KR20180004226A - 고전적 프로세서 상에서 양자-유사 계산을 에뮬레이트하기 위한 퀀톤 표현 - Google Patents
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Abstract
퀀톤 가상 머신은 다항식 시간에 팩토리얼 공간에서 NP-하드 문제에 대한 솔루션을 근사화한다. 데이터 표현 및 방법은 고전적 하드웨어에서 양자 컴퓨팅을 에뮬레이트하지만 양자 하드웨어에서 실행되는 경우 양자 컴퓨팅도 구현한다. 퀀톤은 레메르 코드 및 순열 오퍼레이터에 의해 인덱스된 순열을 사용하여 양자 게이트 및 동작을 나타낸다. 생성 함수는 효율적인 압축된 표현을 위해 인덱스를 지오메트릭 객체에 임베딩한다. 비선형 방향성 확률 분포는 매니폴드에 임베딩되고 각 인덱스 점에 대한 탄젠트 공간엔 선형 확률 분포가 있다. 분포에 단순 벡터 동작은 양자 게이트 동작에 해당한다. 퀀톤은 양자 컴퓨팅의 특징인 중첩, 양자화 및 인탱글 써로게이트를 제공한다. 퀀톤 집단은 문제를 해결하는 로컬 진화 게이트 동작 또는 분포 알고리즘 추정에서 솔루션 후보로서 진화된다. 퀀톤은 순열에 대해 모듈로 산술을 사용하며 따라서 임의의 하드웨어에서도 완벽하게 병렬처리된다.
Description
관련 출원에 대한 상호참조
이 출원은 2015년 5월 5일자로 출원된 미국 가출원 제62/156,955호에 기초하며 이에 대한 우선권을 주장하며, 그 전체 내용은 본원에 참고로 인용된다.
본 개시는 양자-유사 컴퓨팅을 에뮬레이트하고 몇몇 실제 데이터 처리 기능을 수행하는 확률론적 다항식 튜링(Turing) 머신 계산 모델에 관한 것으로서, 특히, 순열에 의한 함수의 계산을 재공식화(reformulate) 하고, 이들을 확률 공간에 임베딩하고, 토폴로지컬 양자 컴퓨팅의 방법을 탑재함으로써 고전적 컴퓨터 상에서 고전적인 확률적 및 양자 컴퓨팅 또는 양자 에뮬레이션에서의 표현 시스템 및 컴퓨팅 방법에 관한 것이다.
컴퓨팅의 보편적인 모델은 통상적으로 튜링 머신이라고 불리는 가상 머신이라고할 수 있으며, 처치-튜링(Church-Turing)에 따라, 가상 머신은 기능 평가로서 아키타입이 람다-계산법인 계산의 토대에 의거한다. 예를 들어, 토대로서 파이(pi)-계산법을 사용하거나, 확률론적 튜링 머신을 구축하기 위해 확률 이론적 모델을 사용하거나 양자 튜링 머신을 구축하기 위해 양자 이론을 사용하는 것과 같이, 튜링 머신을 설계하는 그외 많은 다른 방법이 있다.
많은 클래스의 인공지능 기술은 종종 철학, 수학, 물리, 생물학 및 경제 과학으로부터 영감을 얻는데, 그러나 이것은 이 분야의 숙련된 기술자에겐 일반적인 지식이었지만 함께 통합되었을 땐 비자명한 이들 상이한 분야의 부분들을 조합하는데에 신규성이 있다. 그러므로, 서로 상충되는 요건에 직면하였을 때 올바른 선택을 하는 방법과 어떤 분야(예를 들면, 생물학적으로 영감을 얻은 모델 또는 경제적으로 영감을 얻은 모델, 등)의 어떤 것을 선택할지의 연구는 모든 데이터 분석에서 근본적인 문제인데, 이것이 본원의 기술이 적용되는 곳이다.
올바른 데이터를 선택하는 것은 올바른 결정을 내리는 방법의 근간을 이루지만, 또한 상충되는 데이터, 약한 신호 또는 매우 높은 조합의 복잡도를 취급해야 하는 문제가 있다. 상충되는 데이터는 단순히 데이터가 일관성없는 논리적 추론 결과를 나타냄을 의미한다. 약한 신호는 노이즈 또는 약한 신호를 마스킹하는 기만적으로 강한 신호와 구별하기 어려운 것들이다. 빈도학적 통계 분석과 같은 고전적인 접근법은 결과가 발견되었을 때 최상의 솔루션이 보장되도록 강한 신호 또는 단순 복잡도 클래스엔 작동한다. 그러나, 신호가 약하거나 고 복잡도 클래스의 경우엔, 정확한 답 대신 어떤 종류의 근사가 사용될 것이기 때문에 일반적으로 달성되어야 하는 절충점의 균형이 존재한다. 이들 경우에, 데이터 특성은 약하거나 강한 것이 아니라 매우 복잡하다. 복잡도는 계산 복잡도 클래스, 데이터 디스크립션의 데이터 볼륨 또는 크기, 이의 고 차원성, 다이나믹스 또는 다른 데이터와의 밀접 관련된 관계를 정의하는 기본 알고리즘 구조로 인해 발생한다. 요컨대, 이들 문제는 데이터를 서로 구별되는 클래스로 분리하고 분석하는 것을 매우 복잡해지게 한다.
훈련 데이터 샘플은 많은 경우에, 생성 문제(예를 들면, 신약 합성 또는 재료 설계)에 대한 새로운 솔루션을 합성하기 위한 훈련 데이터가 없을 때 존재하는 것으로 가정한다. 고전적인 접근법에서 동일한 기본 분포는 문제 솔루션 데이터와 동일한 세트로부터 훈련 샘플을 가져온다: 그러나, 데이터 수집의 희소성과 노이즈 및 때로는 입력의 큰 변동에 기인하여, 훈련과 솔루션 데이터 간의 합치에 관한 가정이 불가능하거나 또는 이전에 없었던 새로운 모델을 만들어야 한다.
계층화된 데이터에 기초하여 결정을 해야 하는 세팅에서(예를 들면, 온톨로지, 및 택소노미에서 데이터 또는, 이외 다른 스트라텀), 데이터가 속한 스트라텀에 기인하여 응답에 미치는 영향을 기대할 수 있다. 모델 프레임워크에서, 스트라텀 멤버쉽에 기인한 변화는 특별한 한 세트의 공변량 및 데이터가 주어졌을 때 몇몇 아웃컴의 분포의 추정에 상당한 영향을 줄 수 있다. 특정 스트라텀 내의 멤버쉽은 관심있는 분포의 값에 영향을 미칠 수 있다. 그러나, 많은 경우에, 이들 스트라텀-레벨 효과를 명시적으로 추정하기를 원하지 않으며, 그보다는 스트라텀에 걸쳐 관측되고 추정에서 임의의 비선형성을 감안하는 다른 특징과 연관된 선형 계수와 같은, 다른 관심있는 파라미터를 추정하려고 한다. 구체적인 예로서, 하나가 스트라텀 내 관측의 히스토그램을 조건으로 하는, 고전적인 조건부 우도 모델 접근법의 경우를 고찰한다. 이 조건부 우도는 임의의 스트라텀-레벨 선형 효과에 불변하며, 따라서 이들을 본원에 설명된 모델에서 기여 팩터(우도에서)로서 제거한다. 그러면, 최대 우도 추정을 갖는 모델을 사용하여 나머지 관심 파라미터를 복구하기를 진행할 수 있다. 예를 들어, 임상 심리 시험 분석에서와 같은 사례 대조 연구에서, 응답의 히스토그램을 컨디셔닝하면, 스트라텀은 응답 벡터의 모든 순열을 고려한 것에 달한다. 이것은 조합적으로, 따라서 팩토리얼로, 증가하는 항 수에 대한 합산을 초래한다. 이 고전적 접근법에서 계산은 실행불가능해진다.
그러나, 데이터에서 찾기 어려운 패턴은 순수 노이즈를 처리하는 관련된 몇 가지 특징이 있어야 한다. 이들 패턴은 종종 다른 패턴과 혼동되기 때문에 식별하기 어려운데, 이들은 노이즈에 의해 왜곡되어 나타날 수 있지만 일단 인식되면 노이즈에도 불구하고 복원되고 분류될 수도 있을 것이다. 패턴 모델이 전에 없었던 경우 패턴 모델 구조를 추측성으로 가설한 다음 이 구조에 대해서 데이터 내 패턴 존재 여부를 테스트함으로써 패턴은 종종 학습될 필요가 있다.
90년대 후반에, "분포 알고리즘 추정"(EDA)이 소개되었고, 문헌에서는 "확률적 모델-빌딩 유전자 알고리즘" 또는 "반복 밀도 추정 알고리즘"과 같은 몇몇 다른 용어를 따른다. 이의 새로운 기능으로 인해, 이것은 유전자 알고리즘과 유사한 정신으로 생물학적으로 영감받은 컴퓨팅인, 진화에 의한 확률론적 모델 학습에 기반한 진화 알고리즘에서 주요 도구가 되었다.
EDA는 확률 분포를 통해 문제의 서로 상이한 변수들 간 상호관계를 표현하는 한 세트의 훈련 예와 연관된 조인트 확률 분포를 추정한다. 그러므로, EDA는 이상적으로는 반복 확률론적 머신 학습 기술에 적합하다. EDA 추정 사이클에서 이전 세대에서 학습된 확률 모델을 샘플링하는 것은 새로운 솔루션 집단이 생겨나게 한다. 알고리즘은, 최대 수의 세대/평가, 균질 집단, 또는 솔루션의 개선 부재와 같은 어떤 중지 기준이 충족될 때, 반복을 중지하고, 세대에 걸쳐 발견된 최상의 솔루션을 리턴한다.
팩토리얼적으로 큰 데이터 공간에서 추론, 컴플렉스 데이터 세트 내 객체를 랭킹하는 것, 및 데이터 등록과 같은, NP-하드 문제에 대한 대부분의 접근법은, 정확하지 않지만 판단 솔루션을 가깝게 나타내는 솔루션에 도달하기 위해 컨벡스 최적화, 정수 프로그래밍, 그리고 완화 및 관계된 고전적 근사화 기술에 의존한다. 또한, 이러한 문제를 해결하기 위한 표준 접근법은 선형 목적 함수를 가정한다. 그러나, 종종 이것은 실제 문제의 근사일 뿐이며, 이것은 비선형일 수 있고 비선형 함수를 허용하는 것은 표현력이 훨씬 넓어지게 한다. 그러나, 동일한 모델에서 선형 및 비선형 구조를 둘 다 조합하는 방법은 대체로 임시변통이었다.
확률론적 추론은, 예를 들어 베이시안 추론에서 일반적으로 사용되는 데이터 독립성의 가정과는 대조적으로 데이터 간에 상관이 고려될 필요가 있을 때 다루기 힘들고 복잡해진다. 복잡한 연관된 네트워크 내에서 추론하는 방법은 시뮬레이션된 어닐링 및 다양한 근사에 의존하는 한편 데이터를 순차적으로 그리고 눌 가설(null hypothesis) 하에 처리해야 하는 필요성을 강요한다. 마코프 랜덤 필드, 마코프 로직, 베이시안 신뢰 네트워크 및 그외 다른 유사한 구조와 같은 방법이 방금 제시된 처리 모델에 속한다.
머신 학습 애플리케이션은 내재적으로 사실상 방향성을 지닌 데이터로부터, 혹은 데이터가 상관되거나 계층화되거나 잠복적으로 세리에이트(seriate)되고, 대부분 흔히 실제 사례에서, 데이터가 클러스터 크기의 선험적 지식없이 세리에이트되고, 계층화되고, 방향성이고 아울러 상관되는 데이터로부터 깊은 패턴을 학습하는 것을 수반한다. 스펙트럼 클러스터링 기술은 통상적으로 방향성 데이터 분석을 위한 프로토타입을 구성하는 임베딩을 생성하기 위해 사용되었지만, 하이퍼스피어에 상이한 형상을 초래하여(원래의 구조에 따라) 해석의 어려움에 이르게할 수 있다. 이러한 방향성 데이터의 예로는 텍스트, 의료 정보학, 보험금 청구 분석, 및 방향성 벡터 필드(바람, 날씨, 물리적 현상)를 포함하는 대부분의 과학 영역의 일부 영역을 포함한다. 방향성 데이터에 대한 다양한 확률 밀도는, 예를 들어, 그래프 모델에서와 같이, 기대 최대화(EM) 전략 또는 최대 포스테리어(MAP) 추론을 기반으로 하여 장단점이 존재한다. 주요 어려움은 불완전한 지식(또는 누락된 데이터) 또는 문제의 복잡도로 인해 일반적으로 직접 접근할 수 없는 포스테리어를 학습하는 것이며, 따라서 근사가 사용되어야 한다. 학습의 출력은 일종의 프로토타입이다.
한 세트의 주어진 객체 또는 관측된 객체로부터 프로토타입을 학습하는 것은 이미지 이해, 인지 비젼, 패턴 인식, 데이터 마이닝, 및 생물정보학에서 많은 수의 애플리케이션으로 머신 학습에 있어 핵심 문제이다. 통상적인 접근법은 비교적 잘 이해되지 않은 실제 예로부터 일부 데이터, 흔히 희박한 입력을 취하고, 프로토타입이라고 불리우는 패턴을 학습하는 것이다. 프로토타입은 인식되는 입력 객체들 간에 총 차이(차이가 있을 때)를 최소화한다. 이러한 계산된 프로토타입은 프로토타입의 특성만을 고려함으로써 퀘리에 효율적으로 답할 수 있도록 매우 큰 크기의 구조 데이터에 관하여 추론하거나, 분류하거나, 또는 인덱스화 하기 위해 사용될 수 있다. 다른 중요한 애플리케이션은 압축된 지식 또는 감지의 한 형태로서 단지 몇개의 부분적인 관측로부터만 객체를 재구성하는 데 프로토타입이 사용될 수 있다는 것이다. 프로토타입은 이질적인 데이터 항목 세트에서 일반적인, 숨겨져 있을지라도, 패턴을 식별하고, 이에 따라 데이터 항목을 비자명한 방식으로 관계시키기 위해 사용될 수 있다. 프로토타입 학습 및 표현을 위한 소프트웨어 데이터 구조는 구조 매칭, 예를 들어, 엄한 변환 하에서 쌍별 거리가 불변인 채로 있는 한 세트의 점에 대해 사용될 수 있다.
많은 프로토타입 학습 알고리즘은, 저 세분성 표현을 생성하며, 항상은 아니지만 종종 국부적으로 선형이며, 위음성 및 위양성을 발생함이 없이, 머지않아 문제에 계산적으로 유용할 수 있을 방식으로 핵심적인 특성을 기대를 갖고 포착하는, 저 차원의 매니폴드에 데이터를 임베딩하는 것을 사용한다. 데이터를 누락하거나 데이터가 누락되고 있다고 추론하는 것은 임베딩 프로세스 동안 데이터의 구조적 구성이 손실되기 때문에, 많은 매니폴드 임베딩 기술에서 주요한 문제이며, 따라서, 매니폴드는 이의 동작의 부분으로서, 누락 구조를 취하거나 누락된 구조를 되돌릴 방법이 없다.
본원에 제공된 "배경" 설명은 일반적으로 개시 맥락에서 나타내기 위한 것이다. 출원시 선행 기술로서의 자격이 없을 수 있는 설명의 측면뿐만 아니라, 이 배경 단락에서 기술된 범위 내에서 현재 명명된 발명자의 작업은 본 개시물에 대해 명시적 또는 암묵적으로 선행 기술로서 인정되지 않는다.
퀀톤 가상 머신은 다항식 시간에 팩토리얼 공간에서 NP-하드 문제에 대한 솔루션을 근사화한다. 데이터 표현 및 방법은 고전적 하드웨어에서 양자 컴퓨팅을 에뮬레이트하지만 양자 하드웨어에서 실행되는 경우 양자 컴퓨팅도 구현한다. 퀀톤은 레메르 코드 및 순열 오퍼레이터에 의해 인덱스된 순열을 사용하여 양자 게이트 및 동작을 나타낸다. 생성 함수는 효율적인 압축된 표현을 위해 인덱스를 지오메트릭 객체에 임베딩한다. 비선형 방향성 확률 분포는 매니폴드에 임베딩되고 각 인덱스 점에 대한 탄젠트 공간엔 선형 확률 분포가 있다. 분포에 단순 벡터 동작은 양자 게이트 동작에 해당한다. 퀀톤은 양자 컴퓨팅의 특징인 중첩, 양자화 및 인탱글 써로게이트를 제공한다. 퀀톤 집단은 문제를 해결하는 로컬 진화 게이트 동작 또는 분포 알고리즘 추정에서 솔루션 후보로서 진화된다. 퀀톤은 순열에 대해 모듈로 산술을 사용하며 따라서 임의의 하드웨어에서도 완벽하게 병렬처리된다.
전술한 단락들은 전반적인 소개로서 제공되어졌으며, 다음 청구항의 범위를 제한하려는 것이 아니다. 설명된 실시예는 추가의 잇점과 함께, 첨부된 도면과 관련하여 취해진 다음의 상세한 설명을 참조함으로써 가장 잘 이해될 것이다.
개시물 및 이의 첨부된 다수의 이점에 대한 보다 완전한 이해는 첨부된 도면과 관련하여 고찰될 때 다음의 상세한 설명을 참조함으로써 더 잘 이해될 수 있으므로 용이하게 얻어질 것이다.
도 1은 시스템의 개요의 예시적 흐름도이다.
도 2는 폴리토프(퍼뮤트릭스) 버텍스에 순열 시퀀스의 예시적 표현을 도시한다.
도 3은 폴리토프 상에 버텍스를 생성하기 위해 사용된 예시적 피보나치 격자를 도시한다.
도 4는 하이퍼스피어의 표면 상의 특정 확률 밀도 분포의 예시적 지오메트리를 도시한다.
도 5는 하이퍼스피어에 대한 탄젠트 공간 상의 분포의 예시적 혼합을 도시한다.
도 6은 퀀톤의 스페리컬 피보나치 격자 상의 특정 탄젠트 점과 탄젠트 공간을 도시한다.
도 7은 퀀톤에 대한 분포 알고리즘의 추정을 위한 반복적인 피드백 데이터 처리의 스키마를 도시한다.
도 8은 큐비트를 퀀톤을 위한 고전적 비트에 매핑하기 위한 룩업 테이블과 함께 확률 경로 밀도를 도시한다.
도 9는 퀀톤의 토포로지컬 구조의 예를 도시하고, 오비토프로서 순열 상태 공간을 스피어 상에 임베딩을 도시한다.
도 10은 퀀톤에 대한 분포 알고리즘의 추정을 위한 동작 모델을 도시한다.
도 11은 퀀톤 건설을 위한 예시적 캘리브레이션 동작 및 분해능을 도시한다.
도 12는 퀀톤 캘리브레이션 건설 처리의 예시적 세부사항을 도시한다.
도 13a는 4-순열 오비토프의 공간의 예시적 토폴로지 구조를 도시한다.
도 13b는 5-순열 오비토프의 공간의 예시적 토폴로지 구조를 도시한다.
도 14는 재귀적 진화 및 추정을 기술하는 흐름도이다.
도 15는 몇개의 브레이드 그룹 및 순열 오비토프(조노토프)의 공간의 다면체 구조를 도시한다.
도 16은 양자화된 다면체 확률 밀도 분포를 도시하는 다면체 구조를 도시한다.
도 17은 단일 양자화된 다면체 확률 밀도의 투영을 도시하는 다면체 구조를 도시한다.
도 18a는 양자 게이트(양자 회로)의 예를 도시한다.
도 18b는 순열 표현과 양자 회로 사이의 등가성을 도시한다.
도 19는 고전적 비가역 풀 가산기 회로 및 가역(양자) 풀 가산기 회로의 예를 도시한다.
도 20a는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 흐름도이다.
도 20b는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 다른 흐름도이다.
도 20c는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 다른 흐름도이다.
도 20d는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 다른 흐름도이다.
도 21은 바이토닉 소팅 네트워크 다항식 제약 및 대응하는 구현 예를 도시한다.
도 22는 바이토닉 소팅 네트워크 동작 및 설계의 예를 도시한다.
도 23은 폴리토프 설계로서 바이토닉 소팅 네트워크 동작을 도시한다.
도 24는 소팅 네트워크로서 작용하는 브레이딩의 예를 도시한다.
도 25는 순열 행렬 및 순열 사인 역행렬의 예를 도시한다.
도 26은 순열 행렬 및 순열 패턴 행렬의 예를 도시한다.
도 27은 점 대 각도 파라미터에서 점과 탄젠트 간의 관계를 도시한다.
도 28은 스피어(또는 하이퍼스피어) 상의 특정 확률 밀도 분포의 지오메트리를 도시한다.
도 29는 확률 밀도를 갖는 오비토프 상에 순열을 임베딩하는 예를 도시한다.
도 30은 하이퍼스피어에 대한 퀀톤 데이터 구조 건설을 위한 흐름도이다.
도 31은 조합 패턴으로서 순열 행렬 조노토프의 버텍스의 재-해석을 도시한다.
도 32는 3-순열 오비토프 패턴에 대한 예시적 열거를 도시한다.
도 33은 레메르 인덱스를 사용하여 랭크가 순서화된 인덱스에서 3-순열 오비토프 패턴을 인코딩하는 것을 도시한다.
도 34는 패턴 기반 샘플링에 의한 신호의 디지털화 및 수치 인코딩을 보여주는 도면이다.
도 35는 스피어에 매핑되는 패턴을 도시한다.
도 36은 스피어의 중심에서의 패턴이 혼합된 상태이고 반면 표면은 순수한 것을 도시한다.
도 37은 퀀톤에 매핑된 패턴의 예를 도시한다.
도 38은 네스트된 퀀톤을 갖는 퀀톤의 계층 구조를 도시한다.
도 39는 분포 알고리즘의 추정에서 퀀톤에 대한 예시적 흐름도 스키마타를 도시한다.
도 40은 시스템 온 칩(SOC)에서 퀀톤에 대한 예시적 하드웨어 설계를 도시한다.
도 41은 퀀톤 PMBGA 컨센서스 출력을 위한 전체 마스터 흐름도이다.
도 42는 일 실시예에 따른 컴퓨터를 예시한 도면이다.
도 1은 시스템의 개요의 예시적 흐름도이다.
도 2는 폴리토프(퍼뮤트릭스) 버텍스에 순열 시퀀스의 예시적 표현을 도시한다.
도 3은 폴리토프 상에 버텍스를 생성하기 위해 사용된 예시적 피보나치 격자를 도시한다.
도 4는 하이퍼스피어의 표면 상의 특정 확률 밀도 분포의 예시적 지오메트리를 도시한다.
도 5는 하이퍼스피어에 대한 탄젠트 공간 상의 분포의 예시적 혼합을 도시한다.
도 6은 퀀톤의 스페리컬 피보나치 격자 상의 특정 탄젠트 점과 탄젠트 공간을 도시한다.
도 7은 퀀톤에 대한 분포 알고리즘의 추정을 위한 반복적인 피드백 데이터 처리의 스키마를 도시한다.
도 8은 큐비트를 퀀톤을 위한 고전적 비트에 매핑하기 위한 룩업 테이블과 함께 확률 경로 밀도를 도시한다.
도 9는 퀀톤의 토포로지컬 구조의 예를 도시하고, 오비토프로서 순열 상태 공간을 스피어 상에 임베딩을 도시한다.
도 10은 퀀톤에 대한 분포 알고리즘의 추정을 위한 동작 모델을 도시한다.
도 11은 퀀톤 건설을 위한 예시적 캘리브레이션 동작 및 분해능을 도시한다.
도 12는 퀀톤 캘리브레이션 건설 처리의 예시적 세부사항을 도시한다.
도 13a는 4-순열 오비토프의 공간의 예시적 토폴로지 구조를 도시한다.
도 13b는 5-순열 오비토프의 공간의 예시적 토폴로지 구조를 도시한다.
도 14는 재귀적 진화 및 추정을 기술하는 흐름도이다.
도 15는 몇개의 브레이드 그룹 및 순열 오비토프(조노토프)의 공간의 다면체 구조를 도시한다.
도 16은 양자화된 다면체 확률 밀도 분포를 도시하는 다면체 구조를 도시한다.
도 17은 단일 양자화된 다면체 확률 밀도의 투영을 도시하는 다면체 구조를 도시한다.
도 18a는 양자 게이트(양자 회로)의 예를 도시한다.
도 18b는 순열 표현과 양자 회로 사이의 등가성을 도시한다.
도 19는 고전적 비가역 풀 가산기 회로 및 가역(양자) 풀 가산기 회로의 예를 도시한다.
도 20a는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 흐름도이다.
도 20b는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 다른 흐름도이다.
도 20c는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 다른 흐름도이다.
도 20d는 컴퓨팅의 순열 모델에 대한 다른 흐름도이다.
도 21은 바이토닉 소팅 네트워크 다항식 제약 및 대응하는 구현 예를 도시한다.
도 22는 바이토닉 소팅 네트워크 동작 및 설계의 예를 도시한다.
도 23은 폴리토프 설계로서 바이토닉 소팅 네트워크 동작을 도시한다.
도 24는 소팅 네트워크로서 작용하는 브레이딩의 예를 도시한다.
도 25는 순열 행렬 및 순열 사인 역행렬의 예를 도시한다.
도 26은 순열 행렬 및 순열 패턴 행렬의 예를 도시한다.
도 27은 점 대 각도 파라미터에서 점과 탄젠트 간의 관계를 도시한다.
도 28은 스피어(또는 하이퍼스피어) 상의 특정 확률 밀도 분포의 지오메트리를 도시한다.
도 29는 확률 밀도를 갖는 오비토프 상에 순열을 임베딩하는 예를 도시한다.
도 30은 하이퍼스피어에 대한 퀀톤 데이터 구조 건설을 위한 흐름도이다.
도 31은 조합 패턴으로서 순열 행렬 조노토프의 버텍스의 재-해석을 도시한다.
도 32는 3-순열 오비토프 패턴에 대한 예시적 열거를 도시한다.
도 33은 레메르 인덱스를 사용하여 랭크가 순서화된 인덱스에서 3-순열 오비토프 패턴을 인코딩하는 것을 도시한다.
도 34는 패턴 기반 샘플링에 의한 신호의 디지털화 및 수치 인코딩을 보여주는 도면이다.
도 35는 스피어에 매핑되는 패턴을 도시한다.
도 36은 스피어의 중심에서의 패턴이 혼합된 상태이고 반면 표면은 순수한 것을 도시한다.
도 37은 퀀톤에 매핑된 패턴의 예를 도시한다.
도 38은 네스트된 퀀톤을 갖는 퀀톤의 계층 구조를 도시한다.
도 39는 분포 알고리즘의 추정에서 퀀톤에 대한 예시적 흐름도 스키마타를 도시한다.
도 40은 시스템 온 칩(SOC)에서 퀀톤에 대한 예시적 하드웨어 설계를 도시한다.
도 41은 퀀톤 PMBGA 컨센서스 출력을 위한 전체 마스터 흐름도이다.
도 42는 일 실시예에 따른 컴퓨터를 예시한 도면이다.
순열을 모델 상태를 나타내는 것으로서 취급함으로써 양자 컴퓨팅에 대한 근사를 수행하는 것은 모든 상태가 반복에 의해 동시에 계산된다는 해석을 제공한다. 분포를 근사화 밀도 함수로서 취급하고, 분포를 추정하고, 순열에 의해 표현되는 상태 공간에 이들 분포를 결합하고, 이들 분포에 기초하여 계산하며, 현재의 양자 모델을 사용하여 대칭 그룹 및 구조 학습에 대해 이들 분포로 추론하는 것은 본 개시물의 실시예에 의해 기술되는 바와 같이 중심 사상이다.
n개의 항목의 순열 문제에서 솔루션의 탐색 공간은 n 팩토리얼이다. 탐색 공간은 일반적으로 크기 n의 대칭 그룹과 관련하여 Sn으로서 표기된다. 일반적으로, 순열 문제는 n이 상대적으로 적은 수를 초과하고 계산상의 복잡도가 많은 전형적인 순열 문제가 NP-하드라는 것을 나타낼 때 매우 어려운 것으로서 알려져 있다. 이들의 복잡도의 관점에서, 최적의 솔루션을 계산하는 것은 일반적으로 다루기가 어렵다. 이러한 이유로, 탐색 공간의 팩토리얼 크기에서, 최악의 경우엔 근사적으로, 최상으로, 어떤 특별한 경우엔 정확히, 동작하도록 설계된 데이터 구조를 구현하기 위해 퀀톤을 발명하였다.
또한, 계산으로서 순열의 발상에 기반한(일명 순열 양자 컴퓨팅) 본 개시물에 기술된 독특하고 효율적인 계산가능한 모델을 사용하여, 양자 컴퓨팅이 솔루션 가능성 측면에서 매우 큰 공간, 퀀톤 데이터 구조 및 방법을 가지고 있음에 유의하면서, 본원에서 퀀톤은 가상 머신으로서 양자 컴퓨팅을 에뮬레이션하기 위해 고안되었다.
이제, 퀀톤 개요를 제공하는 도 1을 참조하면, 전체 절차에 두 부분이 있는데, 첫째로는 로컬화된(퀀톤에 대한) 계산 동작을 에뮬레이션하는데 사용하기 위해 퀀톤을 생성하는 로컬 절차가 있으며, 이어 인입되는 데이터 문제에 관하여 학습하기 위해 퀀톤 또는 퀀톤 집단을 진화시키는 글러벌 절차가 있다. 이것은 확률적 모델 빌딩 유전자 알고리즘(PMBGA)이라고도 알려진 분포 추정(EDA) 알고리즘의 절차에 기초하여 최적의 솔루션을 생성하기 위해 행해진다.
퀀톤은 순열이 각각 고유 인덱스를 가질 수 있도록 하는 특별한 방법으로(격자를 사용함으로써) 순열을 연속적인 확률 공간에 임베딩하는 것을 사용한다. 이는 양자 게이트를 모방할 수 있게 하는 동작을 위한 고유한 인코딩을 생성한다. 따라서, 양자 게이트는 빠른 벡터 계산이 입력을 출력으로 변환하거나, 동등하게, 상태에서 상태로 양자 천이를 계산하는, 복잡한 양자 게이트 동작의 등가를 수행하는 연속 확률 벡터 공간에 임베딩된다. 모든 순열이 퀀톤에서 인덱스될 때 동시에 가용함을 고려하면, 모든 연속 벡터 공간 동작은 업데이트를 수행하는 확률 밀도 분포이므로 모든 순열을 동시에 업데이트한다. 이러한 의미에서 퀀톤은 모든 잠재적 솔루션들의 중첩을 나타낸다. 퀀톤은 이의 격자 때문에 양자화된 이산 구조를 나타내며, 인탱글은 입력 퀘리 상태(즉, 학습되거나 해결될 데이터)에 솔루션 세트로서 인탱글 상태를 드러내는 진화 프로세스의 결과로서 나오는 변수들 간 상관에 의해 표현된다.
단계-1: 퀀톤으로 계산하기 위한 주요 절차는 항목 1에서 개개의 퀀톤이 예시되든 퀀톤 집단이 예시되든지에 관계없이 초기화되고 셋업된다. 항목 1에서, 문제 크기는 알 수 있거나 알 수 없다. 문제의 크기가 알려지거나 외부 소스에 의해 추정된다면, 이 수는 퀀톤의 크기를 설정하기 위해 사용된다. 문제의 크기는 문제의 복잡도과 얼마간 상관되며, 이것이 알려진다면, 퀀톤 집단으로서 집단 크기가 설정될 수 있다. 이것이 알려지지 않는다면, 랜덤한 집단 크기가 설정된다.
적어도 도 2 및 표 4에 대응하는 본 개시물의 섹션은 예시화를 위한 퀀톤의 설계에 대한 더 상세를 제공한다.
단계-2: 로컬 및 글로벌 구조의 설계의 부분으로서, 다음 절차는 로컬 구조 및 글로벌 분산 집단 구조를 할당한다. 로컬 퀀톤 구조는 문제 크기에 들어맞는 가장 큰 순열 그룹의 크기를 생성하기 위해 란다우 수를 사용하는 반면 퀀톤 집단의 글로벌 구조는 분포 함수를 선택함으로써 설정된다. 순열을 생성하기 위한 란다우 프로세스는 도 20a에 대응하는 본 개시물의 섹션에서 구체화된다.
단계-3: "정보 지오메트리의 탐색" 공간의 로컬 및 글로벌 레벨 둘 다에서 깊고 기본적인 개념이 있다. 개별적인 퀀톤의 로컬 경우에, 이것은 규칙적인 그리드 또는 격자를 형상이 있는 지오메트리에 임베딩하는 방법을 선택하는 것에 해당한다. 격자 및 지오메트리에 대한 선택의 상세는 본 개시물의 표 1에 본 개시물의 섹션에 주어져 있다. 글로벌인 경우에, 정보 지오메트리는 집단의 탐색 공간을 탐사하는, 또는 다른 말로하면, 샘플링 함수가 공간이 탐사될 때 솔루션 후보를 선택하기 위해 퀀톤 집단의 지오메트리 내에서 걷는, 샘플링 절차이다.
단계-4: 퀀톤의 로컬 모델에서, 본 개시의 표 5에 따르며, 각 격자 점에 임베딩되는 각 순열이 되게 하는 퀀톤에 할당되는 비선형 방향성 확률 밀도 함수는 다음 순열로의 천이 확률을 가지며, 또는, 사용자의 재량에 따라, 확률은 또한 순열 관측의 우도를 나타낼 수 있다. 이것은 퀀톤의 동작에서 L2 노름(norm)의 사용을 가능하게 한다. 예를 들어, 하이퍼스피어와 같은 매니폴드에 대한 일반적인 베이시안 추론 및 확률 밀도 재분포 방법은 베이시안 필터링으로서 알려져 있으며, 일부 수렴 또는 고정점에 도달될 때까지 분포를 업데이트하기 위해 켄트 또는 폰 미제스 피셔 분포 및 이의 더 간단한 버전인 칼만 필터링과 같은 분포를 사용할 수 있다.
단계-5: 선형 확률 밀도는 매니폴드의 각 격자 점에서 탄젠트 공간을 연관시킴으로써 퀀톤에 연관되는데, 이것은 퀀톤의 동작에서 L1 노름을 사용할 수 있게 한다. 따라서, 퀀톤은 각 순열과 연관된 선형 및 비선형 성분 둘 다를 조합한다. 퀀톤의 업데이트는 알 수 없는 수의 성분을 처리하기 위해 구별되는 탄젠트 공간 내 가우시안 분포의 디리클레 프로세스 혼합 모델에 기초하여 고전적이고 융통성있는 혼합 모델을 사용함으로써 진행하며, 이것은 이의 선형 공간에서 퀀톤 확률은 업데이트를 수행하기 위해 고-차원 데이터로 쉽게 확장할 수 있다.
단계-6: 본 개시물의 가장 특유한 부분은, 순열을 생성하기 위해 란다우 넘버링을 사용하여 퀀톤을 설정하고, 퀀톤 상에서 순열 관계가 퀀톤 동작의 동작에 대응하도록 양자 게이트 또는 양자 회로에 직접적으로 등가인 순열 게이트 오퍼레이터가 순열에 연관된다는 것이다. 이 매핑의 더 상세한 내용은 적어도 도 19에 대응하는 개시에서 제공된다.
단계-7: 퀀톤은 양자 에뮬레이터(즉, 양자 가상 머신)로서 직접 사용될 수 있고, 혹은 양자 게이트 오퍼레이터가 고전적 계산의 일반적인 비트-스트링에 교차 및 변이 동작의 통상적인 개념을 대체하는 퀀톤 집단에서 사용될 수 있는데: 이 의미에서, 퀀톤은 본 개시의 도 39에 대응하는 섹션에서 더 상세히 설명되는 바와 같이, PMBGA를 사용하여 문제 해결 양자 회로를 생성하는 양자 회로로의 진화 경로를 제공한다. 이것은 본 개시의 동작들이 모두 낮은 다항식 비용으로 매우 높은 효율로 발생하고, 따라서 양자 컴퓨팅의 새로운 패러다임을 사용하여 문제 해결을 위한 초고속 확장가능의 양자 에뮬레이터로서 볼 수 있기 때문에 중요하다. 퀀톤이 어려운 문제를 해결하는 데 사용된다면, 이것은 후보 솔루션을 식별하기 위해 분포 알고리즘의 반복적 집단 추정에서 확률적 다항식 계산 단계에 의해 NP-하드 문제에 대한 솔루션을 근사화하는 근사 튜링 머신 모델로서 작동한다.
단계-8: 진화 단계는 새로운 개개가 집단 내에서 생성되는 주요 프로세스이다. 적어도 도 18a에 대응하는 이 개시의 섹션에서 더 상세하게 설명된 바와 같이, 진화는 본 개시의 실시예에 의해 설명된 바와 같이 순열에 의해 표현된 퀀톤의 게이트 상태에 작용할 양자 게이트 오퍼레이터의 적용에 의해 진행된다. 본 개시는 순열 형태로 양자 게이트 오퍼레이터를 사용하여, 양자 게이트를 구축하고 실행하기 위한 매우 빠른 동작을 위한 시스템 및 방법을 갖기 때문에, 문제 해결자로서 작용하는 집단 내에서 양자 계산 회로를 진화시키기 위해 PMBGA와 같은 고전적 프레임워크 내에서 이 양자 애플리케이션과 방법을 조합하는 것이 효율적이다.
단계-9: 단계-8에서와 같이 일단 양자 게이트 오퍼레이터가 선택되면, 퀀톤의 양자 회로가 업데이트되고 분포 추정이 업데이트된다.
단계-10: 순열 거리 함수는 양자 게이트 솔루션을 측정하기 위해 사용된다. 거리가 작다면, 솔루션이 가까이 있다. 거리가 멀다면, 솔루션은 여전히 발견되어야 한다. 그러므로, 퀀톤의 중요 부분은 순열 거리 함수의 선택이다. 게이트 동작의 출력 비트 스트링 사이의 해밍 거리 또는 게이트 동작의 비트 스트링 간의 편집 거리로서의 레벤스타인 거리와 같은, 거리 함수에 대한 몇가지 선택이 있다. 그러나, 이 개시는 양자 시스템의 확률적 본성에 보다 가깝게 정렬된 순열 거리를 사용하는데: 순열에 대한 거리 측정은 전체가 본원에 포함되는, J Ceberio, E Irurozki, A Mendiburu, JA Lozano, "A review of distances for the Mallows and Generalized Mallows estimation of distribution algorithms", Computational Optimization and Applications 62 (2), 545-564의 교시내용에 따른 일반화된 말로우 모델에 기초한다.
거리 측정은, 이 경우에 레벤스타인 측정과 유사하게 켄달 타우 거리를 사용하는 거리 기반 지수 모델인 말로우 모델이 사용되는 것으로 두 개의 순열 σ1 및 σ2가 주여졌을 때, 측정은 σ1을 σ2로 변환하는 인접 스와핑의 최소 수와 동등한 σ1과 σ2 사이의 쌍별 불일치의 총 수를 카운트하는 것을 제외하고는, 스트링들 간의 레벤스타인 편집 거리 측정과 유사하다. 도 39에 대응하는 본 개시의 섹션에서 언급된 바와 같이, 이것은 이 개시에 제시된 양자 순열 계산 체제에서 양자 게이트 오퍼레이터와 실제로 동등하다. 따라서, 이 거리 측정을 사용하는 진화는 문제 해결을 수행하는 최적의 양자 회로를 구한다.
단계-11: 솔루션을 생성하는 퀀톤은 출력 솔루션 상태를 비트-스트링로서 계산하거나 적합도를 측정하는 거리 함수에 기초하여 집단이 집단에 다시 주입될 때 솔루션 상태를 계산함으로써 적합도에 대해 평가된다. 적합도가 임계에 관하여 차선책이라면, 집단은 다시 주입되고 부모는 삭제되어, 더 적합한 아동 퀀톤을 남겨둔다. 시스템이 반복 횟수에 대한 사용자가 정의한 임계를 초과하거나 퀀톤이 원하는 레벨의 적합도를 달성하였다면, 이들은 활용될 솔루션으로서 리턴된다.
확률 모델은 퀀톤의 현재 집단에서 최상의 솔루션의 분포에 따라 구축된다. 그러므로, 퀀톤 집단 모델로부터 샘플링 솔루션은 높은 확률로 유망 영역에 속하거나, 글로벌 최적에 근접할 것이다.
일반적으로, 퀀톤 계산 모델을 적용하는 퀀톤 가상 시스템은 원래의 튜링 시스템을 기반으로 한 계산 모델에 필요한 모든 특성을 가지고 있다. 또한, 퀀톤 계산 모델은 순열에 의해 표현되는 고-차원 표면(예를 들어, 하이퍼스피어 또는 n-토러스) 상의 격자점에서 확률 분포 함수를 사용하여 다양한 계산 문제를 나타낸다. 퀀톤 계산 모델에 의해 제공되는 특징들의 고유한 조합은 보다 기존의 계산 및 머신 학습 모델에 있어서의 위에서 언급된 많은 문제를 극복한다.
예를 들어, 위에 언급된 바와 같이, 머신 학습의 기존 모델은 훈련과 솔루션 데이터 간의 합치에 관한 가정을 할 수 없거나 이전에 존재하지 않았던 새로운 모델을 만들어야 할 땐 주저할 수 있다. 이들 경우에, 기존 방법의 우수한 선형 특성을 무시함이 없이, 입력 데이터 공간에서 로컬 특징 및 본질적 지오메트릭 구조는, 비선형성 또한 고려되기 때문에 합치의 가정에 지나치게 마추지 않고 본 발명에서 분류에 대해 더 식별력을 갖기 때문에, 퀀톤 계산 모델은 기존 방법의 이러한 제한을 유리하게 완화할 수 있다.
또한, EDA 모델은 위에서 설명한 것처럼 많은 유익한 특성을 가지고 있지만, 퀀톤 계산 모델은 이들을 개선할 수 있다. 표준 EDA 모델에 대한 퀀톤 모델과의 유일한 차이점은 퀀톤 모델이 순열의 격자에 기초한(상태 공간) 구조의 표현에서 방향성(비가환, 지오메트릭, 및 일반적으로 컴플렉스) 확률 밀도 함수를 로컬 선형 탄젠트 공간에서의 확률 밀도와 조합한다는 것이다. 순열은 본 개시물에서 보이게 되는 바와 같이 임의의 다른 모델 또는 패턴 구조를 인덱스하거나 직접적으로 나타낼 수 있다. 방향성 확률 밀도는 데이터의 비선형 성분을 나타내고 탄젠트 공간은 선형 성분을 나타낸다. 그러므로, 퀀톤 모델은 방향성 또는 컴플렉스 확률 밀도와 구조 간에 구별하는 반면 기존 EDA 모델은 등방성 확률만을 그리고 어떠한 종류의 상태-공간 구조 또는 격자도 없이 사용한다.
나중에 상세히 기술되는 바와 같이, 순열은 생성되어 매니폴드를 테셀레이트하는 격자에 임베딩되는데: 격자와 같은 예는 피보나치 격자이고, 격자의 점에 순열의 대응하는 할당의 예는 퍼뮤토헤드론이거나, 우선적으로, 순열 행렬의 버코프 폴리토프로서의 그의 더 최적의 표현이다. 구조의 더 세부사항은 본 개시물의 몇몇 실시예에서 제공되는데, 그러나 퀀톤에서는 모든 이산 구조가 고유한 비선형 및 그에 연관된 선형 확률 밀도 함수 공간을 갖는다는 것에 유의해야 한다.
퀀톤과 가장 가까운 관련된 개념은 예를 들면, 토픽 분석을 위해 자연어 처리에 사용된 확률 심플렉스의 개념이다. 확률 심플렉스 내 점은 토픽 분포를 나타낸다. 두 확률 분포 간에 차이는 토픽 유사성을 나타낸다. 확률 분포의 차이가 비교되고, 사용되는 쿨백-라이블러 및 젠센-샤논 발산 그리고 헬링거 거리와 같은 정보-이론 유사성에 기초한 발산 기반 측정이 삼각 부등식에 따르지 않기 때문에, 거리 메트릭은 확률 심플렉스에선 적합하지 않다. 그러나, 토픽과 같은 K 항목에 대한 확률 분포는 단순히 단일 확률 분포가 할당되는 확률 심플렉스에 놓인 벡터이다. 따라서, 큰 데이터세트는 심플렉스 내 점들(즉, 벡터)에 의한 문서를 나타내는데: 이들은 가장 가까운 이웃 또는 잠재적 세만틱 인덱싱 기반 접근법의 일반적인 방법으론 해결될 수 없다. 문서가 심플렉스에서 표현될 때 빠른 문서 유사성 계산을 수행할 수 없다는 것은 매우 큰 규모에서 이들 토폴로지 표현의 탐사 및 잠재력을 제한하였다.
퀀톤 모델과 EDA 모델 간에 차이를 더 예시하고 강조하기 위해, 플레인 유클리드 스피어가 예로서 이용되는데, 이것은 단순히 본 개시물에서 정의된 보다 일반적인 하이퍼서페이스의 특별한 경우임을 강조한다. 첫째, 자체가 비선형 공간인 스피어의 표면에 할당될 수 있는 방향성 확률 밀도가 있고; 둘째, 구의 표면 상의 임의의 점에서, 선형 서브-공간이며, 또한 자신의 확률 밀도 함수를 내포할 수 있는, 탄젠시의 점에서의 탄젠트 공간이 정의될 수 있다. 이에 따라서, 퀀톤은 데이터 구조와 관련하여 선형(탄젠트 공간에서) 및 비선형 성분((스페리컬 표면 공간에서) 확률 밀도 함수 둘 다를 조합한다. 데이터의 구조는 자체가 인덱스되거나 순열에 의해 표현된다.
또한, 퀀톤 모델은 저 다항식 시간에 계산이 수행될 수 있도록 확률 심플렉스와 EDA 접근법의 발상을 새로운 고속 인코딩과 혼종한다. 인코딩은 퀀톤을 표현하고, 더욱 필요할 때 콘포멀 공간에서 퀀톤을 다시 표현함으로써 계산을 단순화하기 위해 지오메트릭 대수를 사용하는 것에 의존하는데: 사실상 가장 가까운 이웃들 및 비교 탐색은 관계된 문서 또는 토픽을 퀀톤의 비선형 베이스 공간의 선형 서브-공간으로 인코딩하는, 거리 민감 해시 함수에 의해 표현하게 된다.
지오메트릭 대수(GA)는 지오메트리에서 대칭을 기반으로 하는 좌표 자유 대수이다. GA에서, 지오메트릭 객체와 이들 객체에 대한 오퍼레이터는 단일 대수로 취급된다. GA의 특별한 특징은 이의 지오메트릭 직관이다. 스피어와 원은 모두 지오메트릭 의미를 지닌 대수적 객체이다. 분포 접근법은 간단한 가설에 기반하는데: 객체의 의미는 이의 활용으로부터 추론될 수 있다. 이 발상을 벡터 공간 모델에 적용하는 것은 객체가 지오메트릭 서브-공간에서 수학적 점들 표현되는 컨텍스트 공간을 구성할 수 있게 한다. 유사한 객체들은 이 공간에서 가깝게 표현되며, "활용"의 정의는 공간을 구축하기 위해 사용되는 컨텍스트의 정의에 달려있다. 예를 들어, 단어의 경우, 객체로서 단어를 사용하면, 컨텍스트 공간은 전체 문서, 단어가 나오는 문장, 단어의 고정된 창, 또는 특정 신택틱 컨텍스트일 수 있다. 그러나, 많은 인지 타스크에서 분포 표현이 인간의 수행(예를 들면, LSA 모델)를 시뮬레이트할 수 있지만, 이들은 이해력의 인지 이론에서 생각의 원자 단위로 간주되는 객체-관계-객체 트리플렛(또는 명제)을 나타내지는 않는데: 퀀톤 모델에서, 데이터는 순열 벡터로서 취급된다. 그러므로, 언어학의 경우, 단어는 단순히 문장의 순열인 프레이즈들에 대한 순열인데, 이는 이들 자체가 일반적으로 단락 및 텍스트의 순열이다. 이미지 데이터의 경우, 순열은 텍셀을 생성하기 위해 픽셀을 기반으로 하며, 텍셀의 순열은 이미지를 생성한다.
위에서 언급된 바와 같이, 기존의 계산 모델은 이들이 정확하지는 않지만 판단 솔루션을 가깝게 나타내는 솔루션에 도달하기 위해 고전적 근사화 기술을 사용하기 때문에 어려움을 겪을 수 있다. 이러한 유형의 근사화에 있어서의 문제점은 실제 문제가 비선형적일 수 있고 비선형 함수를 허용함에 따라 훨씬 더 넓은 표현능력을 갖게 된다는 것이다. 그러나, 동일한 모델에서 선형 및 비선형 구조 둘 다를 조합하는 기존의 방법은 대체로 임시변통적이다. 퀀톤 모델은 두 표현을 조합하는 균질한 방법을 제공하며 따라서 확률론적 학습이나 추론을 위한 간단한 절차가 사용된다. 또한, 위에서 언급한 바와 같이, 기대 최대화(EM) 전략이나 최대 사후(MAP) 추론과 같은 학습 방법은 각각 이들 자신의 과제 세트를 가질 수 있다.
퀀톤 모델은 또한 더 높은 차원성을 취급하고, 위양성 또는 위음성을 줄이고, 누락 데이터를 처리할 수 있다는 점에서 높은 세분성의 이점을 활용하면서 임베딩 접근법을 사용한다. 샘플링 점을 적절히 선택하면, 노이즈가 있는 부분 데이터가 O(dNK) 시간내에 재구성될 수 있는데, 여기서 d는 필터가 동작하는 공간의 차원이고, K는 N 및 d과는 독립적인 값이다.
예를 들어, 고-차원 가우시안 필터를 가속화하는 것에 대한 최근의 연구는 샘플의 정규 그리드를 사용하여, 점 샘플로 고-차원 공간을 명시적으로 표현하는데 초점을 두었다. 공간이 이러한 방식으로 명시적으로 표현될 때, 필터링은 입력 데이터를 고-차원 샘플로 재샘플링하고, 샘플에 고-차원의 가우시안 블러를 수행하고, 이어 다시 입력 공간으로 재샘플링함으로써 구현된다. 이 프로세스는 일반적으로 문헌에서 스플래팅, 블러링, 및 슬라이싱의 3 스테이지로서 정의된다. 또한, 다른 시스템과는 달리, 본 시스템은 훈련 데이터 입력에 기초하여 필터 응답을 유도하기 위해 머신 학습에서 사용될 수 있다. 샘플의 정규 그리드만 사용하는 대신, 접근법을 확대할 수 있고, 고-차원 공간을 균일한 간소화 테셀레이트하는 퍼뮤토헤드론 격자를 사용할 수 있다. 또한, 추론을 위해 사전(priors)을 갖고 격자를 구성하기 위해 머신 학습 국면에서 이 테셀레이트에 확률 밀도 측정을 적용할 수 있다. 퍼뮤토헤드론의 테셀레이트 간소화는 고-차원의 면체이며, 따라서 임의의 주어진 점의 둘러싸는 심플렉스는 단순한 라운딩 알고리즘(양자화 해상도에 기초한)에 의해 발견될 수 있다. d 차원에서 n개의 값을 갖는 고-차원의 데이터에 대한 퍼뮤토헤드론 격자를 이용하는 것은 O(d^2n)의 시간 복잡도 및 O(dn)의 공간 복잡도를 갖지만, 소팅 오비토프로서 본 발명의 인코딩으로, 이 복잡도는 k.log(d)로 감소한다.
일단 머신 학습 국면이 완료되고, 애플리케이션이 학습된 패턴의 사용을 시작하면, 이들 학습된 패턴은 대규모 온라인 실시간 지식 처리의 목적에서 고 레이트, 고 데이터 스루풋으로 실행할 수 있을 뿐만 아니라 노이즈에 견고하고 복원력이 뛰어나다는 것이 중요하다. 중요 학습 문제는 한 세트의 관측된 데이터를 나타내는 최상의 구조를 찾는 것인 구조 식별의 문제이다. 문제가 일반적으로 NP-하드인 반면, 본 개시물에서 제공된 데이터 표현 기술은 솔루션으로서 빠른 근사화를 위한 수단을 제공한다.
퀀톤은 예상 컴퓨팅에, 그리고 특히, 시나리오의 타당한 인과관계 상태를 도출하거나, 잠재적인 공산있는 놀라운 아웃컴을 예측하는데 적용될 수 있다. 퀀톤은 매니폴드 상에 학습된 궤적에 의해 정의된 도달가능한 상태 세트들을 계산하기 위해 사용할 수 있는데: 이 세트가 특정된 한 세트의 가설적(즉, 가능한 반사실적) 상태와 교차하지 않는다면, 퀀톤은 공산있는 놀라운 아웃컴을 예측하지 않을 것이지만, 그러나 세트가 교차한다면, 아웃컴은 타당하며, 궤적에 의해 주어진 놀라움을 구성할 수도 있을 것이다.
일반적으로, 고전적 확률적 컴퓨팅뿐만 아니라 양자 컴퓨팅, 머신 학습, 및 인공 지능은 가역 회로 및 고속, 고효율, 콤팩트한 계산 표현 및 초 기하급수적(즉, 엑사스케일을 넘어선) 추론 및 데이터 공간 크기로 스케일링할 수 있는 알고리즘으로부터 이익을 얻을 수 있다. 가역성은 소프트웨어 및 하드웨어 설계 모두에 대한 현재의 기술에 비해 실질적으로 향상된 저 파워 소모를 가져온다. 가역 로직 회로의 표현 및 합성은 양자 컴퓨팅의 핵심 단계인데: 이것은 새로운 유형의 암호화 및 계산에서도 중요하다. 일반적인 계산, 머신 학습, 및 추론을 수행하는 일반적인 유형의 확률적 가역 회로를 합성할 때 주요 과제는 입력 수가 증가함에 따라 상태 공간이 지수적으로 커진다는 것이다. 본 개시물의 실시예는 빠르고, 효율적이며, 매우 콤팩트한 표현을 사용하는 고전적 컴퓨터 상의 고전적 확률론적 및 양자 컴퓨팅 또는 양자 에뮬레이션 둘 다에서 표현 시스템 및 컴퓨팅 방법을 기술한다. 임의의 계산가능한 함수는 가역 함수에 임베딩될 수 있는데: 이것은 순열로서 표현될 수 있음을 의미한다. 본 개시물의 측면은 순열에 의한 함수의 계산을 재공식식화하고, 이들을 양자-유사 컴퓨팅을 에뮬레이트하고 몇몇 실제 데이터 처리 기능을 수행하는 확률론적 다항식 튜링 머신 컴퓨팅 모델의 실현을 위한 확률 공간에 임베딩한다.
본 개시물은 다양한 판단 또는 로직 게이트 프로세스를 시뮬레이트하는 계산 단계가 임의적으로 복잡한 동작 시퀀스들을 하나로 단축함으로써 계산될 수 있도록, 특별한 확률적으로 구성된 공간에 임베딩된 순열 표현에 이산적 또는 심볼의 데이터 표현을 가역적으로 매핑하는 기술을 제공한다. 공간은 양자화되며 각 양자화는 가역적 매핑을 효율적으로 계산할 수 있게 하는 인덱스를 제공한다. 양자화는 격자를 구축하는 건설에 의해 수행된다. 양자화된 공간 및 가역적 이산 대 공간 임베딩 동작은 근사적 머신 학습 및 근사적 계산을 위한 데이터 구조를 제공한다. 계산은 정확하거나 근사화할 수 있다. 근사화의 경우, 양자화는 이상적인 분석 결과와 그 근사치 간의 차이를 무시할 수 있도록 충분히 미세하게 만들 수 있다. 데이터 구조 및 알고리즘은 본원에서 퀀톤 또는 퀀톤 가상 머신(QVM)이라고 하는 가상 시스템을 총괄적으로 정의한다.
다음에는 매우 고 차원 및 조합적으로 복잡한 도메인에서 인덱싱, 클러스터링 및 추론을 수행하기 위한 양자-인스파이어 데이터 표현, 계산 모델 및 알고리즘으로서 QVM에 대한 설명이 제공된다. 퀀톤은 본원에 명시된 바와 같은 알고리즘이 임의의 데이터에 대해 효율적인 양자-유사 컴퓨팅을 수행하는 방식으로 데이터를 인코딩하는데: 퀀톤의 작동이 본 개시의 측면들에 의해 정의된 바와 같은 퀀톤의 가상 머신 동작의 단일 가상 클록 사이클 내에서 모든 가능한 솔루션 경로에 작동하기 때문에 양자-유사라는 용어가 본원에서 사용된 것을 알아야 한다.
퀀톤은 고-차원의 병렬처리를 단일 계산 단계로 인코딩함으로써 양자-유사 컴퓨팅을 에뮬레이트한다. 퀀톤은 희박 훈련 샘플을 사용하면서 고품질, 고-차원, 추론, 누락 데이터 보간, 합성 및 필터링을 효율적으로 수행하기 위한 새로운 접근법을 제공한다. 퀀톤은 주류 기술에서 발견된 단점을 피한다. 퀀톤은 하드웨어 칩 기술(필드 프로그램가능 게이트 어레이(FPGA), 초대규모 집적(VLSI) 회로)뿐만 아니라 현재 소프트웨어로 제조될 수 있으며, 퀀톤에 대한 본 개시물은 하드웨어 명세뿐만 아니라 소프트웨어의 바람직한 실시예 둘 다를 포함한다.
퀀톤 모델은 아래에 나열된 다음 예시적 애플리케이션에서 사용자가 정의한 정확성의 임의의 정도로 효율적인 근사화를 제공한다.
1. 학습 및 랭킹 선호;
2. 인지 이미지 이해;
3. 컴퓨터-음악(예를 들면, 자동 반주 또는 음악 프레이즈 합성); 대규모의 복잡한 항공-교통 관제;
4. 자동 타겟 인식 및 타겟 추적;
5. 고-차원 팩토리얼로 빅 데이터 추론, 레이더 및 기타 신호 추적 신원 할당;
6. 컴퓨터 그래픽스 및 비디오 분석;
7. 밀집하여 코딩된 점-세트 등록(픽셀, 복셀 또는 양자 격자 구조);
8. 로보틱스, 바이오메트릭스, 머신 학습, 이를테면 클러스터링, 실험 설계, 센서 배치, 그래픽 모델 구조 학습, 서브셋 선택, 데이터 압축, 자원 할당, 객체 또는 타겟 추적 및 팩토리얼적으로 큰 (상태) 공간에 있어서의 다른 문제, 단단한 객체에 대한 정렬 문제 및 다차원 점 세트들 간에 유사성을 검출.
9. 유사한 토픽을 공유하는 서로 상이한 문서에 걸쳐서 파라프레이즈 단락의 발견과 같은 세만틱 또는 텍스트적 애플리케이션;
10. 암호화(즉, 숨겨진 코드에서 패턴 발견).
퀀톤 모델은 조건부 우도 하에서 한 세트의 상관된 변수가 주어졌을 때 그룹핑 또는 스트라텀으로서 자연적으로 관측되는 데이터로부터 일부 아웃컴(즉, 확률 측정)의 분포를 추정하기 위해 선형적 및 비선형적 상관 둘 다를 처리할 수 있다. 예를 들어, 사례-제어 임상 연구에서, 스트라텀에서의 관측의 히스토그램에 대해 컨디셔닝이 수행되는데, 이는 사례-제어 응답 벡터의 고유한 요소의 모든 순열을 고려하는 것과 동등한 것으로: 이것은 고전적인 컴퓨터에선 실행불가능한, 팩토리얼로 증가하는 항 수에 대해 합산을 계산적으로 수행할 필요성을 야기한다. 퀀톤은 지오메트릭 근사화에 의해 이들 문제를 해결하는데: 이것은 이 계층화된 조건부 우도를 순열 오비토프에, 하이퍼스피어 또는 하이퍼토러스에 임베딩을 수행할 수 있는데, 이것은 궁극적으로 산란하고 긴 조합 합을 (n)log(n) 단계(팩토리얼 n 대신)로 솔루션을 생성하는 단일의 간단한 벡터 항으로 대체한다.
퀀톤은 "정보를 저장하기 위해 아원자 입자의 양자 상태를 이용하는 컴퓨터"(옥스포드 영어 사전)라는 일반적으로 정의된 양자 컴퓨팅의 순수한 기술적 의미에선 양자-컴퓨터가 아니지만, 양자 시스템의 특성 및 개념에 의해 인스파이어된다. 본 개시물은 리얼 또는 컴플렉스 분포 알고리즘 추정(EDA)을 사용하여 연속체 표현을 갖는 순열을 사용하여 인코딩된 이산 상태 표현에 기초한 확률론적(지오메트릭) 튜링 머신 면에서 퀀톤을 정의한다. 퀀톤 모델은 토폴로지컬 양자 컴퓨터(TQC)에서 달성할 수도 있을 종류의 결과를 에뮬레이션하기 위해 양자-유사 컴퓨팅의 근사화 모델을 나타낸다. TQC 모델에서, 임의의 계산은 전체를 참조로 본원에 포함시키는, Stephen P. Jordan. in "Permutational quantum computing", Quantum Info. Comput. 10, 5 (May 2010), 470-497에 기재된 바와 같이 순열에 의해서만 정의될 수 있다(즉, 순열은 퀀톤 기반의 가상 머신 상에서만 계산을 정의한다).
퀀톤 가상 머신은 고전적 컴퓨터가 진정한 양자 컴퓨팅(즉, 아원자 입자의 상태를 사용하는)을 제외하고는 임의의 다른 접근법에 의해 달성하기가 실행불가하거나 확실히 매우 비자명한 문제에 대한 솔루션을 근사화할 수 있게 한다. 퀀톤은 임의의 상태 표현이 순열에 의해 표현된 상태에 매핑되는 근사화 튜링 머신으로서 가장 잘 기술되는데: 각 계산 단계는 하나의 상태 표현(또는 상태 공간)과 다른 상태 표현 간에 천이와 동등한 것으로 천이가 한 순열에서 다른 순열로의 방향성 확률인 순열 천이 모델에 의해 표현된다.
퀀톤의 연속 모델은, 피보나치 수와 같은 수 혹은 다른 시퀀스로부터, 이를테면 챔퍼나운 수로부터 샘플링을 사용하여 준결정(준-격자)을 구축하는 것을 통해 순열을 확률 밀도 분포 또는 확률 밀도의 혼합 모델에 임베딩함으로써, 혹은 전체를 참조로 본원에 포함시키는, T. N. Palmer in "A granular permutation-based representation of complex numbers and quaternions: elements of a possible realistic quantum theory, Proc. R. Soc. Lond. A 2004 460 1039-1055; DOI: 10.1098/rspa.2003.1189", Published 8 April 2004에 기술된 것과 같은 기술을 이용함으로써 만들어진다.
일반적인 발상은 시퀀스(예를 들면, 피보나치 또는 챔퍼나운)와 같은 넘버링 모델에서 도출된 숫자(순열로부터)를 연관시켜 확률 밀도가 할당될 수 있는, 리만 스피어와 같은 지오메트릭 객체의 양자화된(혹은 그래뉼라) 버전을 임베딩하는 준결정 격자를 생성하는 것이다. 보다 구체적으로, 격자 점들은 본원에서 설명되는 바와 같이 일부 유형의 상태 또는 데이터 구조를 나타내는 순열에 연관된다. 또한, 확률 밀도는 컴플렉스일 수 있지만, 그러나 이의 실제 출력은 순열의 함수로서 가능한 상태의 패턴을 나타내는 객체의 매니폴드 상에 방향성 확률 분포인, n-스피어와 같은 지오메트릭 객체에 임베딩될 수 있다.
순열은 상태 모델을 나타낸다. 순열 동작의 선택이 퀀톤이 최적으로 적용가능한 모델의 클래스를 정의하기 때문에, 순열 동작의 유형(즉, 요소의 순열이 어떻게 알고리즘적으로 수행되는지)이 특히 중요하다. 스피어 상의 특정 위치 값은 양자 입자 상태에 대한 써로게이트를 나타내는 상태를 정의한다. 그러므로 지오메트릭 객체(예를 들면, n-스피어)의 매니폴드 상에 카운트가능의 한 세트의 경로 상의 모든 값의 앙상블은 힐버트-공간 양자 파동 함수에 대한 써로게이트이다.
일 실시예에 의해, 퀀톤은 본 개시의 측면에서 특정된 알고리즘으로, 확률 밀도 공간(매니폴드)에 임베딩하는 것과 결합된 순열 표현을 사용하여 임의의 데이터 구조를 나타낼 수 있는 소프트웨어 요소이다. 퀀톤은 고전적 프로세서에서 양자-유사 컴퓨팅을 근사화하는 써로게이트 모델을 형성하며, 미래의 양자 프로세서에서 퀀톤은 고-차원 공간에서 컴플렉스 추론을 위한 정확한 모델이다.
고전적 프로세서 상에서 퀀톤은 최소 반복으로 매우 빠른 결과를 생성하는데, 여기에서 데이터 사이클의 머신-학습에서 반복(즉, 집단 진화의 세대 및 확률 매니폴드에서 칼만-유사 반복 단계)은 많은 경우에 단일 패스로 수행될 수 있다. 퀀톤 데이터 표현은 극히 매우 복잡한 데이터의 공간 및 시간 효율적 표현을할 수 있게 하는데: 이것은 또한 유전자 알고리즘, 특히 확률적 모델 빌딩 유전자 알고리즘(PMBGA)이라고도 알려져 있는 분포 알고리즘의 추정(EDA)에 기초하여 양자 시뮬레이션의 계산 공간과 시간을 줄이기 위해 본원에서 제시된 알고리즘을 가능하게 한다.
일 실시예에 의해, 퀀톤은 다음의 고유한 임베딩을 사용한다: 순열 또는 연관 오비토프, 확률 밀도 함수를 갖는 비선형 매니폴드, 오비토프의 점에 대응하는 매니폴드의 점을 인덱싱하기 위한 격자, 및 선형 서브-공간을 나타내기 위한 인덱싱된 점에서 탄젠트-공간. 퀀톤의 구체적 인스턴스의 한 예로서, 스페리컬 피보나치 격자를 사용하여 만들어진 퀀톤을 고찰한다. 피보나치 격자는 퍼뮤토헤드론의 점에 대응하는 인덱싱된 점을 정의한다. 이들 점은 하이퍼스피어의 연속된 매니폴드 내에 인스크라이브된다. 하이퍼스피어의 매니폴드는 폰 미제스 피셔 함수와 같은 지오메트릭 방향성 확률 밀도 함수와 연관된다. 격자 점에서 탄젠트 공간은 가우시안과 같은 선형 서브-공간 및 확률 분포와도 연관된다.
퀀톤은 퀀톤에 퀀톤을 임베딩하거나 퀀톤 네트워크를 형성함으로써 계층으로 어셈블될 수 있는데: 네트워크의 경우, 퀀톤은 "학습 된" 퀀톤의 확률 밀도 및 순열 함수가 구조적 예상 능력을 제공하기 때문에 데이터가 네트워크에 들어갈 때 연결성이 예상되는 경로-예상-진화(PAE)를 제공한다. 실시간 추적 및 충돌 회피에 사용되는 바와 같은, 경로 예상의 예는 전체가 참고로 본원에 포함되는, J. Park, S. Kang, N. Ahmad and G. Kang in "Detecting collisions in an unstructured environment through path anticipation," 2006 International Conference on Hybrid Information Technology, Cheju Island, 2006, pp. 115-119에 의해 제공된다.
퀀톤은 데이터 공간이 입력의 크기에서 팩토리얼일 수 있는 어려운 조합 최적화 문제뿐만 아니라, 멀티미디어 또는 다감각 데이터에 극히 방대한 고-차원의 복잡한 도메인에서 추론을 취급하기 위해 개발되었다. 엄청난 수의 이들 데이터와 이들의 고 차원 때문에, 통상의 추론 절차뿐만 아니라 기존의 고전적인 인덱싱 또는 탐색 방법은 너무 비효율적이어서 최신의 슈퍼컴퓨팅 능력으로도 유용하지 못하다. 최적화 문제를 포함하는, 그러나 이에 국한되지 않는, 이러한 종류의 문제에 대해, EDA 모델과 같은 다양한 다른 휴리스틱 근사화 모델뿐만 아니라, 양자 컴퓨팅이 제안되었다.
EDA 모델의 두 가지 버전은 최적화 문제에 대한 입자-무리 및 개미 집단이다. 그러나, 이러한 이들 다양한 이질적 접근법 중 어느 것도 확률적, 변이, 교차 및 그외 다른 진화적 오퍼레이터가 기능하는 기본 데이터 구조로서 비트-벡터를 넘어서는 강건하고 융통성있는 소프트웨어 데이터 표현을 통합하지 못했다.
퀀톤은 연속적인 방향성 확률 분포로 구성되며, 이의 이산적 서브-구조는 오비토프의 버텍스들로 구성된다. 이 지오메트릭 형상은 하이퍼스피어(매니폴드) 및 그와 연관된 국부적으로 선형인 탄젠트 공간 내에 인스크라이브될 수 있는데, 이는 방향성 확률 공간 상의 비-방향성 확률 공간에 대한 써로게이트이다. 상태는 상응하는 양자 상태의 아웃컴에 대한 써로게이트를 형성한다. 이러한 아웃컴의 예는 확률 밀도의 혼합으로서 데이터 클러스터링, 분석 및 추론 애플리케이션에서 결과, 추론 또는 구성을 포함한다.
본 시스템의 데이터 표현 및 방법은 또한 고전적인 컴퓨터 아키텍처(즉, 폰 노이만 모델) 상에 구현에서 아날로그-컴퓨터, 하이브리드 아날로그-디지털 및 완전 양자 컴퓨터 모델로의 가교로서 이상적으로 적합하다.
핵심 발상 중 하나는 동시에 효율적인 인덱싱 방법을 제공하면서(본 개시의 격자에 의해 제공되는 바와 같이) 데이터 행동을 나타내는 방식으로 방위가 취해진 확률 분포를 갖고 퍼뮤토헤드론 및 연관된 조노이드와 같은 오비토프(즉, 조합 폴로토프)가 이들을 하이퍼스피어 또는 하이퍼토러스 또는 다른 지오메트릭 객체의 표면에 임베딩함으로써 컴파일될 수 있는 방법을 연결하는 것이다.
일 실시예에 의해, 본 개시물의 퀀톤은 (i) 조합 폴리토프, (ii) 매니폴드 임베딩, 및 (iii) 방향성 확률 밀도 (iv) 격자 및 (v) 탄젠트 공간인 5가지 핵심 발상을 조합한다. 퀀톤은 양자 써로게이트 데이터 표현을 제공한다(예를 들어, 본원에 순열 구조를 이 개시물에서 앞서 언급된 바와 같은 팔머가 교시하는 것과 조합함으로써, 이에 새롭고 비자명 결과는 다양한 (비-파라메트릭) 추론 프로세스가 써로게이트 양자 컴퓨팅 근사자로서 적용될 수 있다는 것이다). 이들 근사자는 진정한 양자 컴퓨터의 충실도에 가깝지만 완벽하게 매칭되지는 않지만, 인공 지능을 위한 양자 컴퓨터에 쉽게 적응될 수 있는(이 분야에서 양자 인공 지능이라고도 알려진) 결과를 생성하는 근사화 정도를 제공한다.
개시를 단순화하기 위해, 본 개시의 핵심 작동 알고리즘 및 방법을 예시, 개시 및 설명하기 위해, 지오메트릭 객체로서 n-스피어(즉, 하이퍼스피어)를 사용할 것이다. 그러나, 다른 지오메트릭 객체(예를 들어, 하이퍼토리)이 동등하게 적용가능하다는 것을 이해해야 한다.
이러한 대규모 데이터 객체 세트를 사용한 선택, 랭킹 및 추론은 데이터 객체의 순열, 따라서 규칙 또는 추론의 가능한 체인 수가 엔티티 수에서 팩토리얼(n!)이 되는 규칙-구조에 이르게 한다.
퀀톤 데이터 표현 및 알고리즘은 R(n+1) 내 공간의 R(n-1)에서 정의되는 조합 하이퍼스피어의 표면에 있는 주어진 수의 객체(엔티티)에 대해, 임의의 객체 세트의 모든 n! 순열의 임베딩을 제공한다. 퀀톤은 조합 하이퍼스피어 표현, 양자 컴퓨팅 써로게이트 데이터 표현 및 추론에서 요구되는 단순 다항식으로 감소된 n!-요소 조합 시간 및 공간 복잡도 간에 n(log(n)) 시간 알고리즘, 최악의 경우 kn(log(n))을 제공한다. 본 개시의 측면들은 방향성 확률 밀도에 연관될 수 있는 연속 모턴 코드를 사용하는 방법 및 본원에서 설명된 알고리즘을 사용하여 순열로서 나타낼 수 있는 임의의 상태 또는 구조에 대해 확률 밀도를 확립하기 위한 다른 방법을 제공한다.
방법은 많은 수의 객체를 처리하며, 통상적인 확률적 데이터 연관 알고리즘 결과를 에뮬레이트하며, 높은 노이즈 조건에서 약한 신호를 차별화하며, 키랄리티를 처리할 수 있고, 현 기술수준으로는 당업자에게 공지된 주류 추론 방법이 아닌 데이터 크기로 스케일링할 수 있다. 퀀톤은 양자 및 고전적 컴퓨터에서의 구현에 이상적으로 적합하다.
이제 도면을 참조하면, 동일한 도면 부호는 여러 도면 전체에 걸쳐 동일하거나 대응하는 부분을 나타낸다. 실시예를 상세하게 기술할 때, 앞에서 정의된 몇몇 기존의 표기법이 사용된다.
n × n 순열 행렬 세트의 컨벡스 홀은 
으로 표기된 버코프 폴리토프이다. 모든 이중-스토캐스틱 n × n 행렬 세트는 다음과 같다.
퍼뮤타헤드론, 
은 순열의 컨벡스 홀이고, 
은 2n-2 파셋을 가지며, 다음과 같이 정의된다.
퍼뮤토헤드론은
에 의해 
에서 
로 버코프 폴리토프의 투영이다.
또한, u의 ε-이웃을 다음과 같이 정의한다:
예를 들어:
버텍스가 인접해 있을 때, 
이고, 퍼뮤토헤드론의 각 점에 대해 (n-1)개의 인접한 버텍스가 있다.
또한, 실수 세트를 
로서 주어지는 것으로 한다. 순열은 
; 
로서 정의된다.
퍼뮤토헤드론은 서브-모듈라 폴리헤드론이다. 퍼뮤토헤드라라는 단순 조노토프이다. 조노토프 이론은 벡터 구성의 이론과 동등한 것으로: 실현가능한 방위로 놓인 매트로이드와 하이퍼플레인 배열의. 각 차원 v에 대한 하이퍼플레인은 다음에 의해 주어진다:
퍼뮤토헤드론의 점들은 n 차원 공간에서(n-1)-스피어(하이퍼스피어) 상에 있고, 다음에 의해 주어진다:
버코프 폴리토프에서, 2개의 이웃한 버텍스는 심볼:
;
;
;
;Ω;
에 대한 단일 트랜스포지션에 의해 상이하다.
또한, 솔루션 x에서의 확률 분포의 연속 공간에서 결과를 순열, 즉, 퍼뮤토헤드론의 버텍스에 더 가까워지도록 강제하는 페널티를 도입하는 것도 도움이 된다. 이를 위해, 다음은 다음 규칙에 의해 정의된 벡터 기반 정규화 스킴이다.
규칙 1: 
이고 세트 X가 v의 모든 순열의 컨벡스 홀로 구성된 것이라 놓는다. 1<p<∞에 대해, 가장 큰 
노름을 갖는 X 내 점을 v의 순열로서 정의한다.
규칙 2: 
내 모든 n × n 순열 행렬은 모든 이중-스토캐스틱 행렬의 컨벡스 홀인 컨벡스 
차원 폴리토프의 극점이다.
규칙 3: n! 요소를 
차원 하이퍼스피어의 표면에 임베딩한다.
규칙 4: 임의의 이중-스토캐스틱 행렬에 대한 버코프 폴리토프 및 순열 행렬의 극점을, 모든 n! 순열; 
내 전부의 무게중심에 클러스터링된 반경 
하이퍼스피어의 표면에 설정한다.
순열 행렬을 
로서, 특정 순열 행렬을 
로서, 행렬 내 셀에 특정 원소를 
로서 표기한다.
규칙 5: 법선을 갖는 2n-1 하이퍼플레인의 교차에 의해, 규칙 4의 하이퍼스피어뿐만 아니라 모든 순열 
를 내포하도록, 
내 
-차원의 아핀 서브-공간을 설정한다.
n개의 객체에 대한 모든 순열 행렬 
은 이전의 규칙을 사용하여 
내 반경 
의 하이퍼스피어 
의 표면 상에 있게 설정된다. 따라서, 예를 들어, 3개의 순열은 4차원 공간에 있다. 컨포멀 모델에서, 3개의 순열은 컨포멀 모델이 무한대에 점을 추가하기 때문에 5차원 공간에 있다.
규칙 6: 원점에 중심을 둔 
를 정의한다. 요건은 
의 공간과 
의 공간 간에 변환이다.
규칙 7: 극좌표에서 반경 
및 유니티로 정규화된 하이퍼스피어의 반경의 원점 중심의 컨벡스 
차원 하이퍼스피어의 표면과 이산 n! 순열 공간 간에 변환을 정의한다.
규칙 8: 모든 순열을 이들의 레메르 코드를 사용하여 순열에 대한 인덱스로서 참조하고 레메르 코드와 편각에서 좌표 간에 하이퍼스피어의 좌표 상의 정규 원점을 설정한다.
규칙 9: 제n 레메르 코드를, 차원성, d>2에서 원점으로부터 피보나치 나선 격자(각각, 스피어와 하이퍼스피어) 상에 제n 피보나치 점이 되게 정의한다. 따라서, 모든 순열은 격자 상의 점이며, 규칙 6에 의해, 또한 확률 밀도의 경계된 영역(격자에 의해 연속 매니폴드 상에 유도된 양자화에 의해 경계된)이다.
규칙 10: 제n 레메르 코드에 해당하는 제n 피보나치 스페리컬 격자 점 S에서의 탄젠트 공간을, S에서 선형 서브-공간 T인 것으로 정의한다.
규칙 11: 퍼뮤토헤드론, 칼라비-야우 폴리토프, 또는 임의의 준-결정 발생 함수와 같은 폴리토프의 레시프로컬 격자는 (하이퍼)-스피어 혹은 토러스와 같은 주어진 매니폴드의 연속체 혹은 칼라비-야우 매니폴드와 같은 다른 연속적인 매니폴드 구조를 양자화하기 위해 격자 대신에 사용될 수 있다.
규칙 12: 탄젠시 공간에 올바른 가장 가까운 격자 점을 선택하는 불확실성에 상응하는 엡실론의 불확실성 내에서 레시프로컬 격자에 선형으로 의존하는 것으로 탄젠트 공간을 정의한다.
차원-d의 단위 벡터 x는 확률 밀도 함수가 다음과 같이 주어지면 다변수 왓슨 분포를 갖는다고 한다.
여기서 
는 쿠머 함수라고도 알려진 합류하는 하이퍼-지오메트릭 함수이다.
정의 1: 정보-전달 자유도는 본원에서 o로서 표기되는 관측가능이라 지칭되며, 가상 정보를 나를 수 있는 다른 자유도는 h로서 표기되는 히든이라 지칭된다. 양자 상태 토포그래피 절차의 결과인 상태에 대한 설명은 밀도 행렬 D에 의해 주어진다.
핵심 접근법은 상태를 관측가능 부분과 히든 부분으로 명시적으로 분리하고 전체 상태의 양자 통계학적 요구를 사용하여 관측가능 부분과 이들의 제약을 계산하는 것이다.
정의 2: 퍼뮤탄트라고 부르는 특별한 순서로 심볼들의 시퀀스 및 퍼뮤톤이라고 부를 또 다른 히든 심볼들의 시퀀스(고정된 제약으로서 작용할 수도 있을)를 포함하는 실제 관측가능 순열. 퍼뮤톤을 퍼뮤탄트에 적용하는 동작은 퍼뮤트릭스를 갖게 할 것이다.
정의 3: 확률 측정은 격자(예를 들면, 피보나치 격자)의 버텍스에서 관측가능하며, 격자 점에 의해 경계된 서브-공간 내의 점은 정의되지 않는데: 즉, 중개 지역이 천이 공간이어서 정의되지 않은 채로 있는 동안 격자 점이 관측가능을 제공하는 양자 프라이-에피스테믹 이론과 유사하게 공간을 해석한다.
정의 4: 퀀톤
퀀톤은 다음 데이터 요소를 포함한다:
(1) 대칭적이고 연속적인 매니폴드 형태인 지오메트리.
(2) 매니폴드의 대칭 그룹 및 매니폴드에 임베딩된 선형 서브-공간을 제공하는 격자 점에서 선택적인 탄젠트 평면을 분할하는 격자(및 따라서 토폴로지).
(3) 정수의 순열을 각각에 연관시키는 격자 점에 대한 인덱스.
(4) 격자 점들 사이의 하나의 순열에서 다른 순열로의 천이를 위한 규칙;
(5) 격자의 점들 사이에 천이 확률을 연관시키는 확률 밀도 함수.
퀀톤의 요소들이 주어지면, QVM이 이의 기능을 수행하기 위해 동작하는 특정한 동작 규칙을 식별할 수 있다. 본 개시물의 방법의 설명의 단순화 및 명료성을 위해, n-스피어의 형태인 스페리컬 지오메트리는 정확한 알고리즘 및 프로세스를 나타내기 위해 전반에 걸쳐 사용될 것이며, 이들은 다른 지오메트리에 적용함이 자명할 것임에 유의한다.
정의 5: 양자 언어는 본원에서 순열들 사이에 이동에 대응하는 가역 언어로서 정의되며 이들 이동은 격자 점 사이에서 가역적이다.
n-스피어는 퀀톤 데이터 구조의 지오메트리 및 토폴로지이다. n-토러스와 같은 다른 지오메트리 또는 칼라비-야우와 같은 다른 매니폴드 구조도 사용할 수 있다. 퀀톤은 접촉 버텍스가 순열에 뿐만 아니라 피보나치 스페리컬 격자 상의 점에 대응하도록 접촉 버텍스가 하이퍼스피어를 인스크라이브하는 폴리토프로 구성된 객체이다.
퀀톤의 표면은 일반적으로 이와 연관된, 폰 미제스 피셔, 왓슨, 가우시안, 또는 혼합과 같은 확률 분포 또는 확률 밀도 함수(PDF)와, 뿐만 아니라, 이들 확률 밀도 함수의, 컴플렉스 빙햄 혹은 컴플렉스 n-스피어 상의 컴플렉스 왓슨 분포와 같은 컴플렉스 버전을 가질 것이다. 따라서, 퀀톤은, 일 실시예에 의해, 적어도, PDF, 이산 격자, 및 컴플렉스 데이터에서 깊은 패턴을 계산 또는 학습하기 위한 본원에서 제시되는 바와 같은 어떤 알고리즘으로 구성된, 소프트웨어 데이터 구조이다.
퀀톤은 접촉 버텍스가 순열 뿐만 아니라 피보나치 스페리컬 격자 상의 점에 대응하도록 접촉 버텍스가 하이퍼스피어를 인스크라이브하는 폴리토프로 구성된 객체일 수 있다. 퀀톤의 표면은 일반적으로 이와 연관된, 폰 미제스 피셔, 왓슨, 가우시안 또는 혼합과 같은 확률 분포와, 뿐만 아니라 본 개시물이 소프트웨어 데이터 구조 및 컴플렉스 데이터에서 깊은 패턴을 학습하기 위한 연관된 양자-인스파이어 알고리즘을 정의하는, 이들 확률 밀도 함수의 컴플렉스 버전을 가질 것이다. 하나의 예는 버텍스들 중 하나에 대한 탄젠트 평면, 점에서의 법선 벡터, 및 탄젠트 공간 상의 점에 관한, 확률 분포, 예를 들어, 가우스 분포 -이것으로 제한되지 않는다- 이다. 이 구조는 다양한 혼합에 대한 표면 상의 점에 대한 표면 및 탄젠트 공간 중 하나 또는 둘 모두에 관한 확률 분포의 혼합이 표현될 수 있게 한다.
피보나치 나선형 격자는 하이퍼스피어의 표면 상의 좌표로서 점의 분포에 대한 완전히 분석적인 솔루션을 허용하며, 이들 점들은 순열 시퀀스와 동일한 양에 달한다. 본 개시물에서 설명된 바와 같이, 순열 시퀀스와 피보나치 격자 간에 관계는, 순열에 대한 하이퍼 표면 상의 모든 점 및 그 반대 또한 힐버트 곡선과 같은 공간 채움 곡선 인덱싱과 유사하게, 피보나치 격자의 인덱스들이 되도록, 순열 폴리토프의 버텍스가 피보나치 격자와 교차하도록 한다. 버텍스의 배열은 또한 중요하므로 버텍스과 버텍스간 관계는 랜덤하지 않는데: 예를 들어, 4개의 정수 세트, (1,2,3,4)이 주어졌을 때, 이들을 배열하는 4!= 24 방법이 있는데, 그러나, 이들 24개의 숫자가 기입될 수 있는 지오메트리, 즉 이들의 오더링은 자체가 24!이다. 따라서, 퀀톤은 오더링 규칙을 사용하여 어떤 종류의 규칙적인 오더링을 요구한다. 이들 규칙은 양자를 특징짓는 오비토프의 예시적 토폴로지에 대해 도 13a 및 도 13b 하에 실시예에서 더 규명될 것이다.
표 1은 퀀톤의 설계에 사용할 수 있는 지오메트릭 객체의 유형들을 나타낸다.
| 표 1: 퀀톤 구성을 위한 룩업 테이블 | ||
| 매니폴드 유형 | 격자 건설자 | 확률 분포 |
| 칼라비-야우 | 브라베 격자 | 격자 그린 함수, Lp측정 |
| n-스피어 | 피보나치 | 일변량 방향성, L2 측정 |
| n-토러스 | 피보나치, 페르마 | 이변량 방향성, L2 측정 |
| n-큐브 | 바이너리 | 균일, L1측정 |
| n-심플렉스 | 단체의 폴리토픽 수 | 임의 |
| 2-폴리곤 | 다각수 | 임의 |
| 조노토프 | 임의 | 임의 |
도 2는 퍼뮤트릭스(15)라 불리는 버텍스들(12)에서 순열 시퀀스(16)의 고유한 방법론 및 표현을 도시한다. 퍼뮤트릭스(15)은 순열 패턴, 순열 패턴의 가시 부분인 퍼뮤탄트(13), 및 퍼뮤톤(14)라 불리우고 목적이 순열 패턴의 비-가시 부분들로서 작용하는 것인, 그외 다른 엔트리로 구성된다. 퍼뮤톤(14)은 다른 요소인 퍼뮤탄트(13)의 순열에 대해 자신의 위치를 불변이 되게 함으로써 제약 시스템 역할을 할 수 있다. 한 비유는 일부 게임에서 퍼뮤탄트를 허용된 이동으로서 간주하고 퍼뮤톤을 차단된(허용되지 않는) 이동으로서 간주하는 것인데: 2차원에서, 게임은 많은 것 중 한 예로서 체스일 수 있다.
퀀톤에 대한 앞의 설명과 같은 퍼뮤트릭스는 또한 n-퍼뮤탄트와 d-퍼뮤톤 (n+d)!에 대해서, ((n+d)!)! 지오메트릭 순서의 배열의 오더링 수를 발생할 수 있다. 이 점은 오더링이 임의의 인덱스의 시작 시퀀스를 결정하고 순서 자체가 인덱스가 행동하는 방식을 통제하는 관계를 결정하기 때문에 몇가지 중요성을 지닌다. d-퍼뮤톤이 "더미" 변수로서 작용할 수 있었다고 할 때(많은 것 중 한 가능한 규칙으로서), 삭제되었다면, 일부 시퀀스에서 결과는 반복될 것이다. 퍼뮤톤의 역할은 앞에서 분명해질 것이지만, 퍼뮤톤은 다른 동작과 관계가 퍼뮤탄트 관계에 따라 퍼뮤탄트 및 팩터를 제어할 수 있게 하는 가상-입자의 역할을 수행할 수도 있다. 하나의 구체적인 예로서, 퍼뮤탄트는 자연 정수 (1,2,3 ... N)에 의해 인덱스될 수 있으며 반면 퍼뮤톤은 허수 값의 자연 정수 (i1, i2, i3...iN)에 의해 인덱스될 수 있으므로 이 다른 동작은 어떤 방식으로 퍼뮤탄트와 퍼뮤톤을 조합함으로써(예를 들면, 컴플렉스 공액) 출력 인덱스가 되게할 수 있다. 중요한 것은 역(inversion) 수가 1만큼 상이한 연속적인 순열이 스타인하우스-존슨-트로터 알고리즘으로부터 레메르 코드(팩토라딕)를 기반으로 그레이 코드를 형성한다는 것이다. 그러므로, 레메르 코드를 사용하면, 제n 역은 결정론적으로 계산이 가능할 수 있다.
임의의 종류의 임의의 데이터 구조는 순열로 나타낼 수 있으며 순열은 시퀀스, 세트 및 멀티세트를 나타낼 수 있는데: 그러므로, 아래에 표현된 방법 및 알고리즘에 의해 데이터 표현 및 계산 모두에 대해 순열을 가장 기본적인 빌딩 블록으로서 사용할 수 있다.
팩토라딕 진법은 베이스 n의 멱으로 곱한 디지트를 n의 팩토리얼의 연속 값을 곱하는 디지트로 대체한다. 팩토라딕 시퀀스인 레메르 코드는 순열을 고유하게 나타내며, 자연수를 사용하여 표현될 수도 있다. 자연수는 먼저 레메르 코드를 먼저 계산함으로써 0보다 큰 크기의 순열에 대한 랭크를 계산하고, 이어 이에, 팩토라딕 표현에서 십진법으로 변환함에 의해 고유 자연수를 연관시킴으로써 계산한다. 이런 방식으로, 순열의 팩토라딕 표현으로부터 계산되어질, 레메르 코드로부터 임의의 순열을 재구성하는 것이 쉽다.
따라서, 이와 같이 주어졌을 때, 임의의 리스트, 시퀀스, 세트 및 멀티세트 간에 순열로 변환하는 절차는 인덱스 수로서 표현된다(즉, 순열과 후속하여 멀티세트와 같은 소스 데이터 구조가 손실없이 복구될 수 있게 하는 자연수). 데이터 구조, 순열 및 간결한 정수 표현 간의 인코딩 및 디코딩 절차는 다른 모든 경우(순서, 세트 및 리스트)를 커버하며 다음의 변환 규칙 세트에 의해 제공된다.
크누트에 의해 설명된 바와 같은 팩토라딕 진법은 베이스 n의 멱으로 곱한 디지트를 n 팩토리얼의 연속적인 값을 곱하는 디지트로 대체한다. 증가하는 순서 변형 fr에서 첫번째 숫자 d0는 0이고, 두번째는 d1∈ {0,1}이고, n번째는 dn∈ [0..n]이다. 예를 들어, fr(42) → [0, 0, 0, 3, 1] → 0*0! + 0*1! + 0*2! + 3*3! + 1*4!이다.
왼쪽에서 오른쪽으로 감소하는 순서 변형 fl은 fr의 디지트를 역으로 함으로써 얻어진다. 예를 들어, fr(42)=[0,0,0,3,1]이고, 따라서 fl(42) = [1,3,0,0,0]이다. 팩토라딕을 수 리스트로 변환하는 절차 fr의 역은 수 리스트를 다시 팩토라딕으로 변환하는 rf로서 표기된다. 마찬가지로, fl의 역은 lf이다.
예:
fr: 42 → [0,0,0,3,1];
rf: [0,0,0,3,1] → 42;
fl: 42 → [1,3,0,0,0]; 및
lf: [1,3,0,0,0] → 42
순열의 랭크 및 비-랭킹은 레메르 코드와 이들의 팩토라딕을 사용하여 수행된다. perm2nth 함수는 주어진 크기의 제n 순열을 발생하며, 그러므로 자연스럽게 0보다 큰 크기의 임의의 순열에 대한 랭크를 나타낸다. 이것은 먼저 perm2lehmer를 사용하여 레메르 코드 Lh를 계산함으로써 시작한다. 이어, 이것은 팩토라딕에서 십진법으로 함수 lf로 변환함으로써 고유한 자연수 n을 Lh에 연관시킨다. 본 개시물에 대한 특별히 유의할 것은 레메르 코드 Lh가 팩토라딕 표현에서 디지트의 리스트로서 사용된다는 것이다.
nth2perm 함수는 perm2nth의 역이며, 순열을 주어진 크기(0보다 큰)와 자연수 N에 연관시키는 매칭되는 비-랭킹을 제공한다. 그러므로, 순열은 이의 레메르 코드로부터 재구성되고 이어 팩토라딕으로서 순열 표현로부터 계산될 수 있다. 전단사 매핑의 예는 다음과 같다:
전술한 프로세스와 레메르 코드 및 팩토라딕에 대한 순열 및 수를 인코딩하는 방법의 적용을 감안할 때, 본 개시물은 자연수 리스트, 임의의 리스트, 세트 및 멀티세트와 같은 데이터 구조의 간결한 정수 표현을 구축하기 위해 이들 사실을 이용한다.
절차-1: 자연수의 리스트 인코딩
(1) 임의의 입력 멀티세트에 대해, 먼저 멀티세트를 소팅하고, 이어 연속 요소, 즉 [x0...xi + 1...] → [x0...xi +1-xi...] 간에 차이를 계산한다. 예로서: 주어진 멀티세트 [4,4,1,3,3,3]을 [1,3,3,3,4,4]로 소팅하고 쌍별 차이 리스트를 [1,2,0,0, 1,0]로서 계산한다.
(2) 단계(1)의 결과가 주어지면, 선행자에 의해 대체된 증분 시퀀스에서 요소에 의해 차이 리스트를 재-인코딩한다. 그러므로, 시퀀스에서 수의 후속자의 증분 합의 프레디세서 값은 원래의 세트를 소팅된 형태로 리턴한다. 예를 들어, [1,2,0,0,1,0]의 제1 요소는 수 1이고, 그 뒤를 이어 이의 후속자가 리스트 [2,0,0,1,0]로서 온다. 시퀀스에서 수의 프리픽스 합은 원래의 세트를 소팅된 형태로 리턴한다. 또 다른 자명한 예로서, [1,2,3,4,5]가 주어지면, 결과적인 차이 리스트는 [1,1,1,1,1]이다.
(3) {7,1,4,3}과 같은 임의의 자연수 세트가 주어지면, 앞의 첫번째 두 동작의 적용은 소팅 {1,3,4,7}을 생성하며, 이어 연속 요소 간에 차이를 계산하면 [1,2,1,3]이 되는데, 첫번째 원소 1과 그 다음에 증분 [2,1,3]을 갖고, 이것은 레메르 또는 팩토라딕을 사용하여 자연수로 인코딩될 수 있게 [1,1,0,2]을 생성하기 위해 증분의 시퀀스에서 원소들을 취하고 이들의 프레디세서로 대체함으로써, 시퀀스의 가능한 멤버로서 0을 포함한 전단사로 변환된다.
(4) (3)의 출력을 취하여, 이러한 시퀀스에서 수의 후속자의 증분 합의 프레디세서는 원래의 세트를 소팅된 형태로 리턴한다.
임의의 자연수의 (빅 엔디안) 바이너리 표현은 다음 형태의 바이너리 디지트의 연쇄로서 작성될 수 있다
bi∈{0,1}, bi≠bi+1 및 가장 큰 디지트 bm=1이다.
그러므로, 일 실시예에 의해, 다음의 프로세스가 정의된다:
형태 
의 짝수는 동작 
에 대응하고, 형태 
의 홀수는 동작 
에 대응한다. 따라서, 다음 식이 성립한다:
그러므로, 표현(1)에서 
로서 보인 n에서 각 블록 
는 f, i배, 
의 반복된 적용에 해당한다.
이 사실로부터 최상위 디지트(및 따라서 빅 엔디안 표현에서 마지막 블록)가 1이고 블록의 패리티는 식(1)에서 형태 
의 짝수 블록을 내포하는 경우에만 수 n이 짝수임을 교번한다는 것이 된다. 수 n는 식(1)에서 형태 
의 홀수 블록을 내포하는 경우에만 홀수이다.
다음과 같이 2개의 개별 입력 자연수가 주어졌을 때, 단일 자연수 N을 출력하는 절차 compose(i,j,N)를 정의한다.
j가 홀수인 경우에만 compose(i,j)=2(i+1)j이고, j가 짝수인 경우에만 compose(i,j)=2i+1(j+1)-1이다.
그러므로, 일반적으로, 다음의 절차를 정의한다:
구체적으로, 본원에서는 여기에서 0이 시작되도록 카운팅이 정의되므로 지수가 i 대신 i+1인 것으로 정의된다. compose(i,j)는 j가 홀수일 때 짝수가 될 것이고 j가 짝수일 때 홀수가 될 것임에도 유의한다. 동작 compose(i,j)은 가역적이며, 수 리스트를 단일 수로 반복적으로 변환하거나 단일 수로부터 원래의 수 리스트로 다시 되돌릴 수 있다.
입력으로서 단일 자연수를 받아들이고 이를 구성하는 2개의 수 i와 j를 출력하는 절차 uncompose(N)=[i,j]를 정의한다. uncompose의 정의는 compose의 역이며, N을 나누는 2의 가장 큰 지수를 식별하기 위해 헬퍼 서브루틴인 divine(N,i,j)을 이용한다. 이것은 다음과 같이 계산되며, 심볼 "//"는 정수 나누기를 의미함에 유의한다.
따라서, 일반적으로, 자연수를 다른 두 자연수로 가역적으로 비구성하는 절차를 정의한다.
앞의 절차는 규칙을 정의하기 위해 사용되며 표 3에 요약되어 있다. 수가 그래프 혹은 프래그먼트와 같은 구조를 참조하거나 다른 객체에 대한 해시와 같은 임의의 다른 매핑을 갖는다면, 이들은 표 3의 방법을 사용하여 인코딩되고, 디코딩되고, 표현될 수 있다. 이 특징은 퀀톤에서 구조를 매핑하는 데 있어 중요하다.
| 표 3 : 순열을 데이터 구조에 매핑 | ||
| 규칙 | 절차 | 예 |
| 리스트 대 순열 | 자연수 순열로서 자연수 시퀀스를 인코딩 | Input List = [1,1,2,0] Output Perm = [4, 1, 3, 0, 2] |
| 순열 대 리스트 | 순열 대 리스트를 디코딩 | Input Perm = [4, 1, 3, 0, 2] Output List = [1,1,2,0] |
| 리스트 대 세트 | Input List = [1,1,2,0] Output Set = [1, 3, 6, 7] |
|
| 세트 대 리스트 | Input Set = [1, 3, 6, 7] Output List = [1,1,2,0] |
|
| 리스트 대 멀티세트 | Input List = [1,1,2,0] Output Multiset = [1, 2, 4, 4] |
|
| 멀티세트 대 리스트 | Input Multiset = [1, 2, 4, 4] Output List = [1,1,2,0] |
|
| 리스트 대 자연수 | compose | Input List = [1,1,2,0] Output Number = 140 |
| 자연수 대 리스트 | uncompose | Input Number 140 Output List = [1,1,2,0] |
| 리스트 대 순열 | Input List = [1,1,2,0] Output Perm = [4, 1, 3, 0, 2] |
|
| 순열 대 리스트 | Input Perm = [4, 1, 3, 0, 2] Output List = [1,1,2,0] |
|
절차-2: 퀀톤 조합 설계
퀀톤의 조합 설계는 순열간에 천이 모델을 제공하여 결과적인 순열을 출력으로서 생성하기 위해 데이터 구조와 순열 사이에 확립된 관계로 구축한다. 조합 설계에는 몇 가지 요소가 있다:
(i) 후속자와 프레디세서에 순열을 관계시키는 정수 시퀀스의 선택의 관점에서 퀀톤의 순열의 설계;
(ii) 앞에 단계(i)에 의해 생성된 설계에서 순열 간에 순열 천이 오퍼레이터의 설계; 및
(iii) 단계(ii)로부터 순열 천이 오퍼레이터를 동작 세만틱에 연관시킨다.
첫째, 퀀톤의 구조, 오더링 및 크기의 설계는 계산의 크기, 동작 유형 및 필요한 데이터 표현에 있어 사용자가 정의한 요건에 기초한다. 예를 들어, 그리고 통상적인 CPU와 유사하게, 4-요소 퀀톤은 24 비트를 표현할 수 있으며, 10-요소 퀀톤은 221 비트(예를 들면, 10!)를 나타낼 수 있다. 문제는 최적성을 제공하는 Sn의 대칭 그룹의 적절한 설계 측면에서 순열의 올바른 크기와 설계를 선택하는 방법을 갖는 것이다. 답은 순열의 관점에서 란다우 수를 결정함으로써 주어지는데: 이들은 순열 오퍼레이터 설계의 설계와 함께, 본 개시물의 후반부에서 알 수 있듯이, 순열을 변환하는 동작 세만틱이 전단사이고 가역적임을 보장한다.
정수 시퀀스의 선택은 비자명하며 기안-카를로 로테에 의해 정의되고, 전체 본원에 참조로 포함되는, Richard P. Stanley (1997). Enumerative Combinatorics, Volume I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66351-2. p.41에서 설명된 바와 같은 12가지 방법을 따른다. 퀀톤의 조합 설계를 위한 바람직한 시퀀스가 표 4에 도시되었다. 그러나, 일부 시리즈, 또는 한 세트의 동작의 정규 패턴으로 분해가능한 임의의 순열은 순열 격자를 구축하는 역할을 할 수 있다는 것을 이해해야 한다. 예를 들어, 패턴 오퍼레이터는 카탈로니아 자기동형, 서명 순열), 등일 수 있다.
| 표 4 퀀톤의 조합적 설계를 위한 바람직한 시퀀스 | ||
| 페탄 오퍼레이터 | 설명 | 예 |
| 블록단위 패턴 오퍼레이터 | 가장 단순한 블록 단위 순열은 오퍼레이터의 일부로서 순열 동작을 포함할 수 있는, 항상 동일한 순열 동작으로, 고정 크기의 블록에 작용함으로써 얻어진다. | 홀수-및-짝수 스왑 = {2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9, ?} 모든 양의 정수 n = {2, 3, 1, 5, 6, 4, 8, 9, 7, ?}에 대해, p(1)=2. p(2)=3. p(3)=1. p(n+3) = 3 + p(n) |
| 교번 패턴, 지그재그 패턴 또는 위/아래 패턴 오퍼레이터 |
Stanley, Richard P. (2010). "A survey of alternating permutations". Contemporary Mathematics 531: 165-196. Retrieved 11 February 2016 | ZigZag(1,2,3) = [{1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}] |
| 란다우 수 기반 순열 시퀀스 | n 요소의 순열의 가장ㄷ 큰 순서. 동등하게, n"의 파티션 중 가장 큰 LCM(LCM은 최소공배수를 의미한다) | |
| 박스터 순열 | 이들은 패턴 회피 특성을 만족한다. 이들 순열은 순열에서 금지된 서브-시퀀스에 의해 정의된다. | 길이 4의 모든 순열은 {2,4,1,3} 및 {3,1,4,2}를 제외한 박스터이다. |
란다우 수를 기반으로 한 란다우 시퀀스는 순열이 Sn의 순환 부분 그룹에서 자연 오더링으로 자연스럽게 구조화될 수 있는 가장 큰 사이클를 제공하는데: 이 경우, 예를 들어, 일반적인 산술 가산 동작은 알게 되는 바와 같이, 순열의 적용이 된다. 이것은 순열이 인덱스되는 격자 점 사이의 천이(즉, 이동)를 사용함으로써 표현하고 계산할 수 있기 위해서 양자가 순열의 설계에 의존하기 때문에 중요하다.
하이퍼스피어의 표면 상에 폴리토프의 버텍스의 분포에서 사용되는 주요 도구가 도 3에 도시되었는데: 피보나치 격자. 피보나치 격자 및 페르마 격자(또한 나선형)는 분석적이며 가변 지오메트리들로 점을 빠르게 발생할 수 있게 한다. 다른 격자 또한 사용될 수도 있을 것이다. 예를 들어, 도 3의 항목 17은 균등하게 분포된 피보나치 격자에 의해 발생된 지오메트리를 도시하고, 도 3에 항목 18은 적도 상에 발생되는 점들의 밀도를 증가시키기 위해 어떻게 격자 생성기가 변조되었는지를 도시한다.
임의의 차원에 대한 피보나치 격자의 표현은 n-차원 표면 상의 점당 하나의 각도 방향을 갖는 각도 파라미터의 형태로 주어진다. 각도 파라미터의 사용은 π 라디안의 주기로 각도를 사용하는 회전 동작의 대칭 때문에 선호된다. 하이퍼스페리컬 좌표에서 이 표현이 주어지면, 하나의 순열로부터 다른 순열로의 임의의 이동은 피보나치 하이퍼스파이럴을 따라서 혹은 피보나치 하이퍼스파이럴의 와인딩 사이에 이동에 의해 간단하고 분석적으로 주어진다.
순열의 버텍스를 생성하는 경우, 제n 순열은 레메르 코드에 의해 주어지며, 제n 피보나치 수는 비네 공식에 의해 주어진다. 그러므로, 피보나치 격자의 순열과 좌표 사이에는 분석적인 상응이 있다. 이들이 점들에 더 어떻게 분포될 수 있는지에 대한 예시적 옵션들이 도 13a 및 도 13b에 대해 더 설명된다. 2-스피어에 있어서, 스페리컬 피보나치 점 세트는 각도를 사용하여 직접 정의된다(그리고 이들은 간단한 대입에 의해 하이퍼스페리컬 좌표에 대해 앞에서 언급한 것처럼 n-스피어로 일반화될 수 있다).
Fm은 제m 피보나치 수이다.
각각의 베이스 각 Θ에 대해, 점들은 수직(z-축) 상에 분포된다.
그리고 회전 각 φ는 피보나치 비에 의해 주어진다.
피보나치 역비의 한계는 m이 증가함에 따라 황금비이다. z 좌표에 1/N을 추가함으로써 극점에서 균일성을 얻으며, 따라서 다음과 같다:
N은 스페리컬 점들의 수이다.
앞의 설명으로부터 원은 단일 순열을 나타내는 점의 수에 대응하는 점들로 균등하게 분할될 수 있다는 것을, 혹은 2차원 피보나치 나선 또는 오일러 나선 또한 사용될 수 있다는 것을 이해해야 한다. 예를 들어, 3개의 순열로, 6각형에 해당하는 원 상에 6개의 점이 있을 것이다. 세트 {1,2,3}을 사용하여 인덱스되고, 정수를 벡터 공간에서 좌표로서 취급하는, 3개의 객체의 순열에 대해, 6개 벡터는 3-공간의 좌표들인, (1,2,3), (2,1,3 ),...(3,2,1)이다. 그러나, 이로부터, 고-차원에서 단일 차원 넘버링으로 전단사로 변환하는 Z-오더(모턴 코드)과 같은 고-차원 좌표계에서 저-차원 좌표계로 매핑하는 다양한 방법은 정보 손실없이 사용할 수 있다는 것에 유의해야 한다. 따라서, 예를 들어, 4-객체 {1,2,3,4}의 순열에 대한 순열의 좌표는 4-차원 공간이 될 것이지만, 그러나 이들은 모턴 코드를 사용하여 피보나치 나선 상에 인덱스들로서 투영되고 3-스피어 상에 분포될 수 있다. 전체가 참조로 본원에 포함되는, "Spherical fibonacci mapping", ACM Trans. Graph. 34, 6, Article 193 (October 2015)에서 Benjamin Keinert, Matthias Innmann, Michael Sanger 및 Marc Stamminger이 교시하는 것은 피보나치 시리즈를 사용하여 스피어를 포함하여 다양한 원하는 매니폴드에 점들로서 순열을 연관시키는 수단으로서 스피어에 점의 매핑을 설명한다.
선택이 순열이 공간의 좌표를 나타내는 것이라면, 이들 이산 좌표는 조노토프로서 폴리토프 또는 하이퍼큐브를 나타낸다. 3개의 점의 경우, 이들은 3차원에서 스피어의 표면의 접촉하는 버텍스인 6각형의 버텍스를 형성할 것이다. 그러므로, 일반적으로, 순열의 임의의 서브-세트는 순열 요소가 각각 차원으로서 취해졌다면 요구되는 것보다 낮은 차원으로 표현될 수 있다.
순열 그 자체를 생성할 때, 그리고 특히, 0(순열 없음)에서 시작하거나 1(첫번째 순열)에서 시작하여 N(0 또는 1이 선택되었든 관계없이, N번째 순열)까지 인덱스될 수 있는 시퀀스의 순열이 되게 하는 생성기를 제공할 때, 가장 단순한 생성기는 전체가 참조로 본원에 포함되는, John R. Howel, "Generation Of Permutations By Addition"-Mathematics of Computation-Vol. 16-Issue 78-1962-p. 243이 교시하는 바로부터 다음과 같이 정수를 사용하는 가산 순열 생성기인데: K! 순열은 순열 생성 오퍼레이터에 상수 C를 더함으로써 생성될 수 있다. 정수, {0,1,2,...,(K-1)} 또는 {1,2,3,...K}는 베이스 K 정수의 "디지트"를 형성하기 위해 연쇄될 수 있다. 베이스 K 정수를 사용할 때, 1의 반복된 가산은 "디지트"가 길이 K의 순열을 나타내는 정수를 생성할 것이다.
이 프로세스는 순열이 아닌 숫자도 생성할 것이다. 이 정수에 더할 1보다 큰 올바른 수 C는 C=(K-1) 라딕스 K의 배수이다. 상호 서로 다른 숫자로 구성된 정수와 동일 디지트의 순열로 구성된 또 다른 정수 사이의 산술적 차이 라딕스 K는 (K-1)의 배수가 될 것이다. 이 알고리즘은 모든 K! 순열을 사전식 순서로 발생할 것이며 혹은 2개의 주어진 순열 사이의 임의의 순열이 또한 직접 계산될 수 있다. 예를 들어, K=4에 대한 4! 순열에 대해, 한 세트의 디지트 D={0,1,2,3}을 사용하면, C=3 라딕스 4가 된다. 먼저 수 "0123"을 얻기 위해 D를 연쇄한다. 두번째로, C를 더하여 "0123"의 첫번째 순열인 "0132"를 얻는다. 이것은 순열이 "0123"으로 다시 사이클할 때까지 반복될 수 있다.
순서대로 생성된 각 순열에 대해, 이는 격자 생성 함수(즉, 피보나치 시퀀스)의 인덱스(0,1,2,3...N)에 연관될 수 있다는 것에 유의해야 한다. 이 방법으로, 순열은 격자 상의 임의의 점에 연관될 수 있다.
도 4에서 항목 19, 20은, 가우시안 또는 일반화된 말로우 분포와 같은 다른 분포가 도시될 수 있지만, 각각 미제스 피셔의 원형의 방향성 통계 및 샘플 방향성 데이터 세트로부터 다변수 왓슨 분포의 혼합 모델을 보여준다.
도 4는 인스크라이브된 상관 폴리토프(예를 들면, 퍼뮤토헤드라, 오소시아헤드라)의 버텍스가 없는 스피어를 도시하지만, 소프트웨어 퀀톤의 기본적인 근원적 구현 및 설계는 n-스피어 상에 또는 n-토러스 상에 확률 밀도 함수(PDF)의 사용을 중심으로 함을 강조하는 역할을 한다. 공식적으로, 항목 19에 원으로서, 그리고 생성 데이터의 개별 확률 분포의 가중된 합으로서 모델링되는 항목 20에서 궤적으로서 보여진, 데이터의 분포를 나타내는, 혼합 모델이 도시되었다.
즉, 관측되는 데이터는 다음 공식으로 정의되는, 확률 분포의 수 M의 혼합이다:
여기서 v는 d-차원 벡터(데이텀)이고, M은 각각 증거(가중)로서 w와 k번째 성분의 확률 밀도로서 ρ와의 혼합 성분의 수이다.
퀀톤은 또한 컴플렉스 공간에 구축될 수 있으며, 그러므로, 예를 들어, 리만 매니폴드의 퀀톤은 객체의 순열로서 이산 구조와 결합된다. 공지된 리만 매니폴드 상에 놓이는 잠재적으로 큰 데이터세트의 확률 밀도 함수(PDF)는 본 개시의 방법에 의해 근사화된다. 따라서, 구조화된 퀀톤 데이터는 완전히 데이터-기반 표현을 제공하며, 매니폴드에서만 독점적으로 정의된 PDF를 산출하는 데이터 기반 알고리즘을 가능하게 한다.
이제 도 5로 가면, 탄젠트 공간, 비선형 매니폴드 공간(21), 확률 간에 관계, 및 나중에, 이것과 순열과의 관계, 마지막으로, 튜링 머신 면에서 상태 공간(22)에서 상태 공간(23)으로 천이의 계산에서 퀀톤을 정의하는 순열의 사용을 설명한다.
도 5는 점들이 인스크라이브된 오비토프의 버텍스를 나타내는 인스크라이브된 피보나치 스페리컬 격자의 버텍스에서 탄젠트 공간을 구체적으로 도시한다. 도면은 퀀톤이 매니폴드 상에 한 점에 탄젠트 공간에 놓인 선형 PDF 뿐만 아니라 비선형 매니폴드 PDF를 나타내는, 퀀톤에 대한 요점을 설명하기 때문에 중요하다. 대안적 표현은 측지 평균에 위치된 단일 탄젠트 공간을 사용하는데, 이는 이들을 입력 데이터가 매니폴드 상에 폭넓게 펼쳐졌을 때, 혹은 데이터 크기가 매우 클 때, 현저한 정확도 오류를 갖게할 수 있고, 예를 들어 가우시안 프로세스를 사용하는 연관된 알고리즘 복잡도는 이들을 큰 데이터세트에 대해 실행불가해지게 한다.
본 개시의 일 실시예에 의해, 선형 유클리드 탄젠트 공간에서 메시지 길이 비용을 최소화하는 모델 성분의 수를 자동으로 계산하는 자율 알고리즘을 사용하여 다수의 입력 데이터 점들을 투영하기 위해 로그 맵이 이용된다. 데이터 입력은 가장 가까운 버텍스 점으로 양자화된(이것은 작은 오차를 갖는 근사화를 생성한다), 대응하는 평균 점에서 탄젠트 공간의 분포에 의해 표현된다. 단일 탄젠트 공간 대 다중 탄젠트 공간을 사용하여 생성된 정확도 손실은 매니폴드 상의 버텍스에서의 양자화 오차 비용을 극복한다. 그러나, 양자화 오차는 본원에서는 본질적으로 별도의 용어로서 언급되는데, 이는 비선형 정정 성분이며, 또한 매니폴드의 표면의 PDF이다. 이 PDF는 퀀톤의 전체 모델의 포스테리어의 비선형 부분의 역할을하기 때문에 자체가 근사화된다.
탄젠트 공간 통계는 계산되고 지수 맵을 사용하여 매니폴드에 다시 투영된다. 이 프로세스는 통계가 수렴될 때까지 반복되었다. 퀀톤은 훈련 세트 크기에 따라 복잡도가 증가하는 기존의 비-파라메트릭 접근법과는 달리 임의의 많은 수의 샘플을 처리할 수 있다. 퀀톤 매니폴드 혼합 모델은 임의의 특정한 훈련없이 누락 성분의 서브-세트를 추론하는 회귀 뿐만 아니라 비선형 데이터 모델링을 처리한다(즉, 누락 데이터 갭 식별 솔루션). 즉, 퀀톤은 언제나 요구시 가설을 세울 수 있다.
최소 메시지 길이(MML) 원리를 사용한, 완전한 공분산 행렬을 갖는 다변수 가우시안 분포의 파라미터의 분석적 추정은 탄젠트 공간을 사용한 가우시안 PDF를 근사화할 때 바람직하다. 매니폴드 상에 "카처 평균"이라고도 하는, N 점의 매스의 리만 중심, xi은 다음과 같다:
이것은 다음이 될 때까지 반복된다.
값 ε은 임계이고, 값 δ는 매니폴드를 건설하기 위해 사용되는 피보나치 격자(또는 다른 준-결정 구조)의 양자화(분해능 또는 스텝 크기)이다. 필수적으로, 방향성 PDF는 Rn의 벡터 필드를 정의하며, 이것은 임의의 점 x∈Rn에서 매스 점 p로의 벡터들을 애버리지하는 것으로서 해석될 수 있다.
따라서, 점 p 주위의 탄젠트 공간에 단일 제로-평균 가우시안이 p로부터 클러스터 내 편차에 대한 효과적인 모델을 제공하지만, 이 클러스터의 리만 무게중심이 제공된다.
d-차원 스피어 상에 임의의 d-차원 vMF 분포의 집중 파라미터 k 및 평균 벡터 u를 추정하는 표현을 위한 공식은 다음으로서 주어진다:
MML(Minimum Message Length)은 이전 분포 또는 이전이 쉽게 입수할 수 없다면 적어도 근사화를 요구한다. 가정으로서 사용할 수 있는 가장 쉬운 이전은 균일하고 k와는 무관하여 다음과 같이 간단하게 작성된다.
MML 추정은 3-차원 폰 미제스 피셔 분포에 대한 MLE(Message Length Expression)를 최소화하는(α,β,κ) 값들이며, D는 데이터를 나타내고 h는 가설을 나타낸다.
C는 상수이다.
표현 det(F(α,β,κ))는 예측된 피셔 정보 행렬의 디터미넌트이며, 표현 
는 3-차원으로 이전(prior)이다:
마지막으로, 표현 
은 다음으로부터 vMF 분포에 따라 3-차원으로 주어진다:
따라서, n개의 데이터 요소 D에 대해, 다음을 갖는다:
관측된 데이터를 설명하는 최적 수의 혼합 성분 및 이들의 대응하는 파라미터를 추론하기 위한 최소 메시지 길이에 대한 일반화된 탐색 휴리스틱이 사용되며 퀀톤에 대한 바람직한 실시예인 '스놉' 분류 프로그램의 다양한 버전에서 사용되는 탐색에 기초한다.
도 5에 도시된 상황: 하이퍼스피어에 탄젠트 공간의 분포의 혼합은 표현할 수 있는 능력이 스피어에 선형 탄젠트 공간을 사용하여 도 4의 스페리컬 폰-미제스-피셔(vMF) 분포와 연관된 등방성 공분산 뿐만 아니라 완전 공분산 행렬을 제공하는 퀀톤 혼합 모델을 제공한다.
최종 결과는 퀀톤을 입자로서 그리고 분포의 추정기의 맥락에서 모델로서 수반하는, 본 개시의 추론 프로세스에서, 퀀톤 모델은 병렬처리 가능하며, 관측에 대해 적응형 모델의 복잡도를 갖는 이방성 분포 뿐만 아니라 등방성 둘 다를 처리한다는 것이다. 알게 되는 바와 같이, 탄젠시의 각 점은 순열에 기초한 상관 폴리토프의 버텍스이다. 이 공간은 
로 표시되며, 점 p의 이웃에 있는 스피어의 지역을 최상으로 근사화하며 방향성 미분으로서 간주될 수 있는 선형 서브-공간이다. 이 공간에서 벡터는 p에서 탄젠트 벡터라고 불리운다.
탄젠시의 점에서, 스피어 상에 모든 탄젠트 점은 다음과 같이 리만리만 변환을 사용하여 선형 탄젠트 공간에 매핑하기 위해 정의된다.
또한:
리만 로그 맵처럼 스피어 상에 점에서 탄젠트 공간으로의 매핑:
여기서 
는 임의의 점과 관심 점 사이의 측지 거리이다.
역변환은 본원에서 다음과 같이 정의된다:
여기서 
노름은 
와 p(탄젠시의 점) 사이의 측지 거리인 
에 대한 리만 노름 
이다. 이 표현에서, 각 확률적 혼합 요소는 이의 자신의 고유 탄젠트 공간에 있다.
측지 거리 변환은 
이다.
도 6은 퀀톤의 스페리컬 피보나치 격자의 특정 탄젠트 점과 탄젠트 공간을 도시한 것으로, 이 도면은 항목 24로 표시된 이웃, 항목 25로 표시된 탄젠트 점, 항목 26으로 표시된 선형 서브-공간을 도시한다. 선형 공간 상에 점은 
,
,
,
로서 스피어의 매니폴드 상에 대응하는 점과 함께 σ(1), σ(2), σ(3), 및 σ(4)로서 항목 26에 나타내었다. 이들 시그마 점은 공분산인 타원을 형성하는데, 탄젠트 공간에 관한 통계는 비선형인 n-스피어 상에 임베딩되는 반면 선형임을 의미한다. 선형성과 비선형성 사이의 이 브릿지는, 본 개시에서 몇몇 데이터 세트가 주어진 경우 계산 부담을 줄이고 속도 및 정밀도를 추정기에 가져오기 위해 특별히 이용된다.
앞에 다이어그램의 사용의 전체 모델은 분포 알고리즘 추정을 위한 반복적 피드백 데이터 처리의 퀀톤 스키마인, 도 7에 도시된 전체적인 스키마에 의해 요약된다. 도 7의 항목 27에서, 몇몇 관측 데이터를 모델링하고 λ가 가설을 나타내고 x가 관측가능 데이터를 나타내는 것인 P(λ|x)로서 표현되는 가설을 갖는다. 항목 28에서 데이터 x는 퀀톤에 매핑된다. 이것은 몇가지 또는 다양한 P(λ|x)의 혼합에 대해 행해질 수 있다.
몇가지 요점이 순서대로 있다. 첫 번째, 기본 접근법은 일부 항목 e가 데이터 x의 순열 σ에서 어떤 위치 n에 있을 확률을 나타내는, 1차 주변부에 대한 정보를 유지하는 것으로 구성된다. 탄젠트 점에 연결된 Ω1과 Ω2로서 도시된 항목 29의 퀀톤 경우에, 퍼뮤탄트와 퍼뮤톤의 개념을 제공하여 함께 퍼뮤트릭스를 형성하므로, 퀀톤 확장은 도 7에 항목 30에서 퍼뮤트릭스 Π에 대한 고차 주변부로 구성되며, 이는 퍼뮤트릭스(e1,e2,..,ek) 내 특정 세트의 항목이 특정 위치(σ1, σ2,..,σk)에 있을 확률에 대응한다.
따라서 퍼뮤트릭스를 사용하면, 퀀톤은 요소가 정확한 위치를 특정하지 않고 또 다른 요소 다음의 위치에 있을 확률을 유지할 수 있고, 따라서 절대적 정보가 없이 상대적 정보가 캡처된다. 따라서, 퍼뮤트릭스는 퀀톤에 있는 x개의 데이터 항목을 나타낸다. 계산 모델이 실행된 후에 도 7의 항목 31에 퀀톤 출력은 어울리는 가설 및 데이터 P(Π|λ,x) 뿐만 아니라, 퍼뮤트릭스의 모델 Π이다. 즉, 생 데이터와 이의 근원적 모델 및 결과는 확률적으로 출력으로서 유도된다.
큰 x에 대한 임의의 분포를 표현하기 위해, x가 크기에서 팩토리얼이라면, x의 순열은 피보나치 스페리컬 격자 상의 인덱스와 격자의 이 점에서 제n 인덱스 순열을 나타내는 레메르 코드에 의해 주어진 분석 관계에 의해, 저장되지는 않지만, 참조된다. 이러한 방식으로, x의 임의의 크기에 대해, x 데이터 항목에 대한 균일한 분포가 표현될 수 있으며, 여기서 σ는 순열이고 U(σ)는 σ에 대한 균일 분포이다:
퀀톤의 구조는 스왑 동작이나 가산 동작과 같은 -그러나 이들로 제한되지 않는다- 어떤 프리미티브 동작에 관하여 순열 및 이들의 서로에 대한 관계를 인코딩한다. 따라서, 각각의 순열은 암시적으로 순열에 대한 분포인, 확률 분포가 연관되는 근원적 매니폴드를 테셀레이트하는 격자에 의해 인덱스된다.
분포는 컴플렉스 방향성 통계일 수 있고 본 개시에서 양자 파동함수에 대한 근사화하는 써로게이트로서 자체가 사용되는 밀도 함수에 대한 프록시로서 작용할 수 있는데, 이 경우 각각의 순열은 상태 공간 구성을 나타낸다.
이 상황은 큐비트를 고전적 비트에 매핑하기 위한 룩업 테이블과 함께, 퀀톤 확률 경로-밀도를 나타낸 도 8에 도시되어 있다. 도 8의 항목 32에서, 포엔카레-블로흐 스피어를 설명하고, α 및 β:선분의 베이시스의 중첩된 구성들 각각에 대해 열린 종점과 닫힌 종점이 있는 선분으로 특별한 표현을 사용한다. 도 8의 항목 33에서, 일반적인 큐비트 모델을 각도 파라미터로 도시한다. 스피어 상에 탄젠트 점인 퍼뮤트릭스는 이웃의 거의 랜덤하게 축상으로 정렬된 하이퍼플레인을 근사화할 뿐만 아니라 샘플이 선택될 수 있는 선형 탄젠트 하이퍼플레인을 특정한다.
도 8의 항목 34는 탄젠트 점 
, 및 θ에 대하여 다른 점까지 측지 거리를 나타내는 방위의 세그먼트 ℓ를 도시하며, 종점에 채워지거나 채워지지 않은 원에 의해 방위가 주어지고 점의 간격이 0과 1 사이에 어떤 곳에 있는 것을 보여준다. 마지막으로, 항목 35는 θ에 기반한 선분이 고전적인 비트 0 또는 1에 매핑되는 것으로 간주되는지 여부를 결정하기 위해 정의된 규칙을 보여준다. 선분은 중첩의 서브-공간을 나타내고 퀀톤의 지오메트릭 명세 및 이것과 큐비트와의 관계를 강조하기 위해 도시되었다.
즉, 큐비트가 확률 밀도를 나타내는 것처럼, 퀀톤도 마찬가지이다. 설명을 위해 스피어 및 원이 저 차원의 경우를 묘사하기 위해 도시되었지만, 퀀톤의 지오메트리는 하이퍼스피어이다. 그러나, 큐비트와는 달리, 그러나 큐비트와는 유사한, 퀀톤은 각 퍼뮤트릭스가 효율을 위해 좌표축과 정렬된 정수로 라벨링된 한 세트의 독립적인, 상호 직교하는, k-차원 서브-공간인 한 세트의 서브-공간을 나타내는데: 가장 단순한 경우, k-차원 서브-공간은 1이지만, 보다 복잡한 상황에서, 퀀톤은 1보다 큰 서브-공간을 나타낸다. 퍼뮤트릭스가 바이너리 공간 [0, 1]을 나타내는 서브-공간의 경우, 공간은 일반적인 해석처럼 차원 수의 바이너리 지수에 비례한다.
이를 명확히 하고, 퀀톤이 독특한 설계의 컴플렉스 데이터 객체임을 보여주기 위해, "도 9: 퀀톤의 토폴로지컬 구조 및 스피어 상에 오비토프로서 순열 상태 공간을 임베딩"은 서브-공간 및 매핑을 도시한다. 도 9에 36에서, 상태를 나타내는 도 8에 33의 원 다이어그램과 함께 4 큐비트의 간단한 시퀀스가 도시되었다. 양자 순열 레지스터의 구조는 큐비트의 세트들을 취함으로써 정의되고 구성되며, 4쌍의 큐비트의 쿼터너리 큐디트 레지스터에서 시가에 2-큐비트의 쌍을 갖는 레지스터의 예가, 도 9에 37에서 이들의 각각의 벡터 서브-공간과 함께 도시되었다. 마지막으로, 4쌍(즉, 4 큐디트) 세트에 대해, 순열에 대한 24-팩토리얼 가능한 오더링으로, 4-팩토리얼 가능한 시퀀스(4!=24)가 있다.
순열은 서브-공간을 나타내는 정수로 표현되며, 정수는 38에 도시된 바와 같이 퍼뮤토헤드론, 순열 조노토프를 정의하는 좌표에 매핑된다. 그러나, 본 개시의 실시예에 의해 설명된 바와 같이, 퍼뮤토헤드론의 동등한 표현인 버코프-폴리토프로부터 도출된 소팅-오비토프로서 순열 폴리토프의 확장된 콤팩트한 표현이 있는데, 그러나, 버코프-폴리토프는 버코프-폴리토프의 n2 복잡도와는 대조적으로 n(log(n)) 계산 복잡도를 제공하는 소팅-오비토프로 확장된다. 퀀톤에 대한 최종 오비토프는 도 9의 39에서의 출력으로서 개략적으로 도시되었는데, 이의 구성의 세부사항은 이 개시에서 나중에 설명될 것이다.
동작 모델이 도 10에 완전히 도시되었는데: 분포 알고리즘 추정을 위한 퀀톤 동작 모델로서, 한 세트의 파라미터(40)를 가지며, 이는 퀀톤의 구조, 구체적으로 훈련 데이터, 41로부티 기원할 수도 있고 아닐 수도 있는, 순열로서 퍼뮤트릭스의 크기, 차원 수, 피보나치 스페리컬 그리드 및 확률 밀도 모델 42의 선택에 의해 요구되는 제어 파라미터의 선택을 결정하며, 확률 분포의 선택은, 다른 것들 및 다음의 것들의 임의의 혼합이 필요에 따라 선택될 수 있을지라도, 우선적으로 폰 미제스 피셔, 왓슨, 말로우 및 가우시안 분포를 포함하는데, 그러나 이들로 제한되지 않는다.
확률 모델(43)의 선택은 공식적 양자 파동함수 대신 의사-포텐셜를 사용하는 시간 의존성 밀도 함수(TDDF) 또는 방향 의존성 밀도 함수(DDDF)를 우선적으로 사용하는 베이시안 모델, 칼만 모델 및 양자 모델을 포함한다. TDDF가 당업자에게 알려져 있고 속하는 DDDF는 알려져 있지 않고 방향성 통계의 사용은 천이에 대한 벡터 방향을 제공하는 반면 TDDF에서 시간은 방향성을 제공한다.
퀀톤 데이터 매핑(44)은 선택된 확률 모델(43)에 의존할 것이고, 표 5는 바람직한 매핑 모델을 보여준다.
| 표 5: 퀀톤 확률 밀도에 대한 룩업 테이블 | |
| 준결정 유형 | 확률 측정 |
| n-스피어 | 폰 미제스,켄트, 왓슨, 가우시안 |
| n-토러스 | 이변량 폰 미제스 |
| n-큐브 | 균일, 비터비 |
| n-심플렉스 | 베이스, 마코프-체인, 비터비 |
| 2-폴리곤 | 마코프 |
| 조노토프 | 임의 |
양자 컴퓨팅을 위해 개발된 하나의 모델은 토폴로지컬 모델의 관점에서 양자 회로를 정의하는데: 이들 토폴로지컬 양자 컴퓨팅 모델은, 일 예에서, 계산을 수행하기 위해 "브레이딩"이라고 하는 동작에서 순열을 사용한다. 브레이드 동작은 양자 게이트의 로직 동작을 수행하기 위해 큐비트 공간에 작용하는, 생성기라고 하는 행렬에 의해 나타낼 수 있다. 브레이드는 개별 브레이드 동작을 인코딩하는 생성기의 곱을 나타낼 수 있다.
그러므로, 퀀톤의 순열 표현을 사용하면, 브레이딩 동작은 확률의 분포의 추정의 진화를 사용하여 학습함으로써 솔루션 경로로 구동되는 순열 공간을 통한 경로이다. 상세내용은 앞에서 제시되었다.
도 10에 46은 이미지 데이터, 방향성 데이터, 확률적으로 연관된 데이터, 부분적 그래프 데이터, 시계열 및 상태 표현 데이터를 포함할 수 있는 노이즈성 부분 데이터를 수신한다. 45로 건설되고 도 11에서 더 자세히 설명된, 퀀톤 데이터 구조에 대한 계산은, 47에서, 추정된 분포의 형태로, 데이터 관계의 토로그래피에 대한 솔루션 및 항목 48에서, 추구된 결과의 토모그래피로부터의 출력을 생성한다. 따라서, 주요 성분은 한 세트의 파라미터를 갖는 밀도 모델, 및 유효 관측 데이터베이스인데, 그렇지만 데이터베이스를 사용할 수 없다면, 시스템은 대략적인 솔루션으로 수렴하는 것으로 보여질 것이다.
앞의 도 10에서, 도 10에 45에서 퀀톤에 관련하여 고레벨의 모델 설명을 제공했으며, 이제 "도 11에 퀀톤 데이터 구조 건설의 흐름도에서, 퀀톤을 건설하기 위한 동작 단계 및 흐름도의 설명이, 세분화되어, 제공된다.
이제 도 11을 참조하면, 항목 49에서, 훈련 데이터는 본 개시물의 표 3의 방법에 의해 순열로서 표현되고, 이들 결과적인 순열 패턴은, 예를 들어, 항목 50에서 순열(패턴)을 나타내는 제k 레메르 코드인 피보나치 시리즈의 제k 인덱스로서 같은 퀀톤 상의 그들의 인덱스 위치로 결정된다. 항목 51에서 오비토프는 본 개시물의 표 1의 방법에 따라, 그리고 최적으로는, 도 23에 대한 설명에서 나중에 보이는 바와 같이, 소팅 폴리토프로서 건설된다. 항목 52에서 확률 밀도는 표 5의 방법을 사용하여 선택되며, 컴파일(compilation)의 단계는 비네 공식과, 이의 인덱스 리스트를, 이를테면 항목 61에서, 훈련 세트의 최대-포스테리어(MAP) 확률 분포의 추정(예를 들면, 베이시안 재귀 필터링 프로세스를 사용한) 뿐만 아니라, 항목 53에서, 인덱스를 주요 키로 사용하여 한 세트의 관계형 프리디케이트 또는 표준 관계형 데이터베이스 시스템과 같은, 기본 데이터 구조로 기입하는 것을 포함한다. 일단 이것이 도 5의 방법에 따라 고정 점에 도달하면, 캘리브레이트된 퀀톤이 리턴된다.
이제, 결과를 생성하기 위해 노이즈성 부분 데이터를 사용하는 퀀톤의 일반화인 분해능으로, 항목 56에서 노이즈성 데이터 또한 본 개시물의 표 3의 방법에 의한 순열로서 표현되는데: 그러나, 이 경우, 필터링 프로세스는 항목 57에서 퀀톤에 대해 제시된 데이터를 줄이기 위해, 다양한 사용자 선택의 방식을 사용하여 데이터를 거절하기 위해 적용될 수 있다. 항목 58에서, 축소될 수 있는 출력을 생성하는 재귀 베이시안 필터링 프로세스와 같은 추정 기능은 예를 들어 칼만 필터로서 가우시안을 사용하여, 항목 60 에서 스페리컬 지오메트리가 임베딩 지오메트리로서 선택되어졌다면, 스피어에 투영함으로써 노이즈성 데이터의 분포를 퀀톤에 할당한다. 추정은 업데이트될 수 있고, 격자 상의 가장 가까운 양자화된 점은 표 3의 방법에 의해 그들의 순열 표현으로부터 다시 데이터로의 변환과 함께 후보 솔루션으로서 리턴된다.
이 일반적인 프로세스는 한 세트의 훈련 데이터에 관하여 양자 확률 분포를 국부적으로 업데이트하기 위해 사용되며, 확률론적 방법 및 MAP 계산으로 머신 학습 분야의 당업자에게 일반적으로 잘 이해되는 관용구이다.
하이퍼스피어의 구성은 다음과 같이 기술될 수 있다:
하이퍼스피어 
은 다음과 같이 n-차원에서 한 세트의 하이퍼스페리컬 극좌표로서 표현된다:
따라서:
변환이 주어졌다면, 설명을 위해, 표기법의 편의를 위해 n의 차원의 모든 하이퍼스피어에 대한 직접 일반화로 단순화하기 위해 n=3이 사용되었다.
또한, 반경은 고-차원의 경우에 대한 보편성의 어떠한 손실도 없이 전술한 바를 단순화하기 위해 유닛 하이퍼스피어에 대해 유니티인 것으로 가정된다.
이제, 아크 세그먼트(n=3 차원에 대해)는 다음에 의해 주어진다:
그러므로:
스피어 상의 나선형 곡선의 슬로프는 
으로서 주어진 상수인 것으로 정의된다.
따라서, φ = kθ
하이퍼스피어의 표면에 순열 임베딩: 
차원 d: 
공간: 
차원의 하이퍼스피어에 순열 임베딩: 
하이퍼스피어의 반경: 
n개의 객체에 대한 모든 순열 행렬은
순열 공간: 
모든 순열 벡터의 무게중심: 
인덱스를 q,r이라 하고 그러면 위치 q가 값을 갖는다면, 이것은 r이 될 것이다. 예로서, 
은 순열 벡터 내 첫번째 위치가 값 1로 설정됨을 의미한다. 따라서 n개의 벡터에 대해, (1,1) 순열을 갖는 (n-1) 벡터.
따라서, 
하이퍼스피어의 반경은 
제n 피보나치 수는 비네 공식에 의해 주어진다:
동기부여는 임의의 차원의 데이터에 대한 확률 밀도 추정기의 설계로부터, 보다 일반적으로는 소스 코딩으로부터 유도된다. 다음 절차는 (n-1)-차원의 샘플을 
에 매핑하는 PDF 추정 모델을 정의한다. PDF 추정은 커널 밀도 유도 추정 기술을 사용하여 새로운 도메인에서 수행된다. 스무딩 커널 함수는 각 샘플을 이의 자리에서 나타내고 이들의 기여도를 합산한다.
이것은 커널과 데이터 사이의 컨볼루션과 동등하다. 따라서 유도된 컨볼루션 결과는 추정을 나타낸다. 컨볼루션은 종속성을 처리하기 위해서가 아니라, 추정을 계산하기 위해서만 사용되는 것에 유의한다. vMF 천이 모델에서, 주변화는 vMF가 각도 가우시안에 의해 근사화될 수 있다는 사실을 사용하고 각도 가우시안의 분석적 컨볼루션을 수행하고 후속하여 vMF 공간(마디아 & 저프)으로 다시 투영하여 수행될 수 있다.
관련 연구에서, S. M. Plis, T. Lane and V. D. Calhoun, "Permutations as Angular Data: Efficient Inference in Factorial Spaces," 2010 IEEE International Conference on Data Mining, Sydney, NSW, 2010, pp. 403-410의 교시된 바는 전체가 참조로 본원에 포함된다. 그러나, Plis 등의 교시는 이산적 순열 구조를 n-스피어에 임베딩하는 방법을 보여주지만, 이들은 본 발명의 방법과 같이 인덱싱된 준결정 격자를 사용함으로써 프로세스를 효율적이고 일반적이게 만드는 방법을 보여주지 않는다. 본 개시는 여러 가지 방법 중 하나를 제공하지만 일반적으로 모두는 n-스피어 뿐만 아니라 n-토러스와 같은 다른 종류의 지오메트리로 일반화할 수 있는 매니폴드 상에 인덱싱된 임베딩 공간을 구축하기 위해 피보나치 시리즈와 같은 수열을 사용한다.
순열 폴리토프에서 하이퍼스피어로의 알고리즘: 
폴리토프의 버텍스에서 스피어의 표면으로 매핑하는 일반적인 알고리즘은 다음의 3가지 간단한 일반적 단계에 의해 제공된다:
1. 폴리토프가 주어진다면, 
은 정수 좌표를 원점으로 변환한다.
2. 벡터를 
에서 스페리컬 좌표로 변환함으로써 베이시스를 변경한다.
3. 유닛 벡터를 얻기 위해 반경에 의해 재-스케일링한다.
이제, 아래 제시된 이 일반적인 절차의 바람직한 실시예는 Plis 등이 달리 나타낸 바와 같이 재-스케일링 및 많은 다른 계산을 회피한다:
1. 순열 폴리토프 
을 레메르 코드 인덱스로 변환하며, 따라서 0..n로부터 임의의 코드는 순열 P-번째 인덱스를 제공한다.
2. 각 레메르 코드를 1에서 N까지의 고유 인덱스에 연관시킨다.
3. 이 제p 인덱스를 하이퍼스피어의 하이퍼서페이스 상에 피보나치 하이퍼커브 상에 점이라 놓는다. 비네 공식을 사용하여 이 제P 정수를 계산한다.
4. 하이퍼커브가 임베딩된 하이퍼서페이스에 폰 미제스 피셔 또는 기타(말로우, 왓슨) 확률 모델을 적용한다.
5. 그러므로, 이 점에서 피보나치 수에 의해 주어진 바와 같이, 하이퍼스피어 상에 각 인덱스는 각각의 순열을, 따라서 점 주위의 영역 패치에 의해 인덱스된 방향성 분포를 갖는 로케일을 나타낸다.
6. 
에서 유닛 스페리컬 좌표를 사용한다.
7. 피보나치 스페리컬 맵의 인덱스 항에 인덱스를 연관시킨다.
하이퍼스피어에서 다시 순열 폴리토프로로의 알고리즘: 
그러나, 본 개시물에서, 퀀톤 생성기가 분석적이고 임의의 준-셀에 어떤 임의의 점이 최상의 격자(즉, 순열) 점을 선택하기 위해 식별하고 거리를 계산하기가 쉽도록 피보나치 격자가 정규 인덱스에서 공간을 테셀레이트(즉, 양자화)하기 때문에, 상황은 더 간단하다. 즉, 피보나치 격자 폴리토프의 인덱스 점은 공간을 양자화하고, 임의의 점에 피보나치 곡선 상의 가장 가까운 점은 임의의 점까지 곡선을 따라 최소 거리를 사용하여 발견된다. 임의의 점이 완벽한 중간점 이등분(예를 들면, 두 개의 점 사이)이라면, 가장 가까운 이웃 격자 점을 랜덤하게 선택한다. 곡선까지의 거리에 대해 해결하기 위한 절차는 다음과 같다:
(1) 피보나치 곡선은 북극에서 남극으로 스피어를 나선형으로 내려간다. 이것은 z에 대해(남극에 -1에서 북극에 +1로) 이웃 와인딩으로부터 일정 거리를 유지한다.
n = 주어진 나선을 정의하는 상수
이것은 슬로프 dz/d(x,y)가 1/k인 반면 인접 와인딩으로부터 각 와인딩 
을 가지고, 스피어 주위에 k/2 회전을 만든다.
(2) 인터-와인딩 거리가 스피어의 가장 큰 타일을 덮도록 k를 설정한다.
(3) 주 세트 내 모든 점에 대해, 곡선의 가장 가까운 점의 세타를 계산하고, 이들 수에 의해 점 리스트를 인덱스한다. 주어진 테스트 점에 대해, 가장 가까운 이웃 거리 한계인, 곡선 상에 가장 가까운 점의 세타를 계산하고, 이 점을 인덱스에서 찾는다.
(4) 그로부터(즉, 인덱스로부터) 선형 스캐닝을 사용하여 현재 가장 가까운 이웃만큼 멀리 떨어진 쎄타 값까지 밖으로(두 방향으로) 탐색한다. 이 한계에 도달한 후, 이 이웃까지의 거리가 시험 점에서 다음 인접한 와인딩까지의 거리보다 작으면, 가장 가까운 이웃이 얻어진 것이다. 그렇지 않다면, 쎄타 값을 2pi만큼 점프하고, 동일한 방식으로 와인딩을 탐색한다.
(5) 이어, n-스피어 상에 아크 길이 s는 다음과 같이 계산된다.
(6) 가장 가까운 격자 점의 인덱스가 이 점에서 순열을 위한 레메르 코드를 생산한다는 관계를 이용하여, 가장 가까운 격자 점에 하이퍼스피어의 표면 상에 점으로부터 가장 가까운 순열로 다시 변환한다.
(7) 표면 상의 점이 다중 격자 점으로부터 등거리에 있는 경우, 가장 가까운 점을 무작위로 선택하고 그 점에서 순열을 리턴한다.
퀀톤 저스트-인-타임 캘리브레이션 알고리즘. 이제, 도 12을 참조하면, 퀀톤 캘리브레이션 건설 처리 64의 세부사항은 생성된다면 순열을 정의하는 구조 모델로 시작한다. 순열 구조는 순열의 유형과 이것이 주어진 문제를 어떻게 나타낼 것인지 또는 어떤 데이터를 나타낼 것인지 뿐만 아니라 어떻게 하나의 순열이 다음 순열에 이르게 할 것인지 관하여 정의한다. 요소(65)에서 상태 천이 모델은 순열들 간에 확률적 천이의 유형을 특정하며, 데이터로부터 학습되거나 선험적으로 제공될 수 있는데, 실제로 모델은 천이 상태 벡터를 기술한다. 시간 모델(66)은 시간에 따라 순열 또는 이들의 매니폴드로의 할당이 어떻게 변화할 것인지를 결정하는 함수를 특정한다. 측정 모델(67)은 가중 또는 스케일링 팩터와 순열 간의 거리를 측정하는 함수를 제공하는데: 사실, 이것은 상태 벡터에서 관측보다 낮은 차원의 측정 벡터를 제공한다. 예를 들어, 해밍 거리가 사용될 수도 있을 것이다.
68에서 알고리즘 파라미터는 69에 확률 밀도 함수의 선택에 의해 주어진 바와 같이, 확률 모델에 의해 필요로 되는 임의의 상수 또는 휴리스틱 또는 집중 또는 다른 파라미터를 내포한다.
확률적 모델은, 예를 들어, 베이시안 추론에서 당업자에게 표준 정의에 따라, 70에서 관측, 천이 및 포스테리어 확률로 구성된다.
이제, 도 12에서 71, 72, 73, 74 및 75로서 언급된 항목은 총괄적으로 머신 학습이라고도 알려진 캘리브레이션 프로세스를 구성한다. 퀀톤은 몇가지 알려진 참조 데이터를 관측로서 사용하여 캘리브레이트되는데: 캘리브레이션은 관측된 훈련 데이터가 만족되는 수락 임계에 대응할 때까지 매니폴드 상에 순열 간의 확률 밀도 분포의 반복적 추정에 기초한다. 항목 71에서, 주변화는 새로운 분포를 생성하며, 이것은, 통상적인 경우에서와 같이, 사용되며, 항목 73에서, 업데이트 추정 프로세스에서, 이것은 항목 72에 데이터 학습되고 74, 75에서 캘리브레이션이 완료될 때까지 재귀(재귀 베이시안 추정처럼)이다.
이제, 도 13a: 4-순열 오비토프의 공간의 토폴로지 구조를 참조한다. 순열을 정의하는 수들의 이동으로서 순열의 구조는 어떤 구성을 형성함에 유의한다. 본원에 도시된 일례에서, 4개의 순열은 76에서 시작하여 77에서 결과가 된다.
도 13b는 5-순열 오비토프의 공간의 토폴로지컬 구조를 도시한다. 일 예에서, 5개의 순열은 78에서 시작하여 79로 끝날 수 있다.
도 14는 재귀적 진화 및 추정 흐름도를 도시한다.
모델은 2가지 주요 부분을 갖는다:
이 식에 대한 주변화는 vMF를 각도 가우시안으로 근사하고, 분석적으로 컨볼브하고, vMF 공간에 다시 투영하여 계산할 수 있다.
모든 추론 단계는 순열에 대한 Sd 표현에만 작용하여, 불필요한 변환 오버헤드를 피한다.
천이 모델은 순열 h(σ(t)|σ(t-1))에 대해 가능하게 혼합된 조건부 확률 분포에 의해 정의되며, 2개의 상이한 데이터에 속하는 요소가 혼합 이벤트에 의해 얼마간의 확률로 스왑핑될 수 있다. 관측 모델은 분포 P(h(t)|σ(t))에 의해 정의되며, 이는 예를 들어 각 데이터 요소에 대해 관측가능한 특정 데이터 특징에 대한 분포를 캡처할 수 있다.
분포 h(σ(t)|z(1),...,z(t))가 주어졌다면, 시간 t+1에서, 포스테리어, h(σ(t+1)|z(1),...,z(t+1))를 예측/롤업 단계와 컨디셔닝 단계의 2단계로 재귀적으로 계산한다. 함께 취해진 이들 두 단계는 포워드 알고리즘을 형성한다. 예측(유도)/롤업 단계는 천이 모델에 의해 분포를 곱하고 이전 시간 단계를 주변화한다:
밀접하게 관계된 순열은 더 많은 정보를 공통적으로 가지고 있고 따라서 빈약하여 관계된 순열보다 더 압축가능하다. 이 정보 이론적 프레임워크는 해당 설정에서 랭킹에 관한 사전(prior) 지식을 수용함으로써 개별 콘텍스트에 적응할 수 있다. 행해질 수 있는 측정의 구체적인 유형은 다음과 같다:
(1) 2 퍼뮤트릭스에서 비-중첩 정도의 측정;
(2) 퍼뮤트릭스에서 중첩하는 요소들의 혼란의 측정;
(3) 퍼뮤탄트에 이들 요소의 위치(랭크)의 변위; 및
(4) 퍼뮤톤의 크기와 이들의 서브-시퀀스 회피 패턴 혹은 이들의 서브-시퀀스 동형 간에 정렬에 기초한 인탱글에 대한 써로게이트.
연속적 파라미터(n-스피어에 대한 투영인)는 유한 정밀도로만(피보나치 격자 구조 및 순열에 기인한) 표현될 수 있다. MML은 이것을 파라미터가 위치된 불확실성의 지역을 결정함으로써 프레임워크에 포함시킨다. 다음 값은
파라미터 Θ가 중심에 있을 불확실성 지역의 볼륨의 측정을 제공한다.
Θ에 확률 밀도를 곱하였을 때 h(Θ)는 특정 Θ의 확률을 나타내며 다음과 비례한다.
이 확률은 연속된 값의 파라미터를 인코딩하는 것과 연관된 메시지 길이를 계산하기 위해 사용된다(유한 정밀도로).
데이터, D가 주어진 임의의 분포의 파라미터의 벡터Θ. 가설에 대한 사전(prior), h(Θ)가 선택된다(예를 들어, 가우시안). 피셔 정보 행렬의 디터미넌트는 또한 로그-우도 함수:
의 예상된 2차 편미분의 
을 평가하기 위해서 필요하다.
p는 모델에서 자유 파라미터의 수임에 유의한다.
순열 문제에 대한 컨벡스 이완
다음이 주어진다: n 변수에 대한 쌍별 유사성 정보 Aij.
π를 세리에이트된 순열 오더링(poset)이라고 하면:
A의 라플라시안을 
로서 정의한다.
A의 피들러 벡터는 
이다.
vMF의 예:
관측 모델을 통해 추정을 업데이트하기 위해 새로운 관측을 사용한다(요소 86 참조).
트랜지션, 관측, 및 포스테리어 모델에 대한 확률 분포를 사용한다.
o 객체의 부분 관측이 가능해질 때, 관측된 순열 행렬 O의 미지 부분의 차원은 n에서 (n-0)에서 감소된다.
따라서, 알고리즘은 노이즈성 부분 관측가능으로부터 히든 순열의 추출(추론)을 제공한다.
도 14는 방법(1400) 퀀톤 모델 시뮬레이션의 한 구현의 흐름도이다.
방법(1400)의 단계(80)에서, 다양한 입력 파라미터가 초기화된다. 예를 들어, 초기화된 파라미터는 최대 중지 기준(예를 들면, 최대 반복 횟수), 구조 모델의 차원, 상태 천이 모델, 방향성 확률 밀도 함수(예를 들면, 가우스시안 분포에 대한 평균 및 분산, 및 폰 미제스-피셔 분포에 대한 k의 평균과 값)을 포함할 수 있다. 많은 방향성 확률 밀도 함수들이 사용될 수 있지만, 방법(1400)은 본원에서 폰 미제스-피셔 분포를 사용하여 예시될 것이다. 또한, 초기화된 파라미터는 히든 순열의 상대 백분율을 포함할 수 있다. 퀀톤은 버코프 폴리토프로서 및/또는 하이퍼스피어로서 표현될 수 있다.
방법(1400)의 단계(81)에서, 관측 및 천이 모델이 정의된다. 천이 모델은 순열에 대해 가능하게 혼합 조건부 확률 분포 h(σ(t)|σ(t-1))에 의해 정의되며, 2개의 상이한 데이터에 속하는 요소가 혼합 이벤트에 의해 얼마간의 확률로 스왑핑될 수도 있을 것이다. 관측 모델은 분포 P(h(t)|σ(t))에 의해 정의되는데, 이는 예를 들어 각 데이터 요소에 대해 관측가능한 특정 데이터 특징에 대한 분포를 캡처할 수도 있을 것이다.
분포 h(σ(t)|z(1),...,z(t))가 주어졌다면, 시간 t+1에서, 포스테리어, h(σ(t+1)|z(1),...,z(t+1))를 예측/롤업 단계와 컨디셔닝 단계의 2단계로 재귀적으로 계산한다. 함께 취해진 이들 두 단계는 포워드 알고리즘을 형성한다. 예측(유도)/롤업 단계는 천이 모델에 의해 분포를 곱하고 이전 시간 단계를 주변화한다:
방법(1400)의 단계(82)에서, 상태의 포스테리어가 생성된다.
방법(1400)의 단계(83)에서, 히든 순열의 스토캐스틱 진화에 대한 주변화가 계산된다. 폰 미제스-피셔 분포의 경우, 이것은 두 폰 미제스-피셔 분포 간에 콘볼루션이 주변화를 나타내는 근사화를 사용하여 계산될 수 있다.
방법(1400)의 단계(84)에서, 관측가 생성된다. 관측은 먼저 순열을 이의 행렬 오퍼레이터 표현으로 변환함으로써 생성될 수 있다. 다음으로, 행렬 오퍼레이터 표현은 분포의 평균 벡터를 생성하기 위해 버코프 폴리토프의 서브-공간을 나타내는 직교 베이시스 벡터들에 의해 뻗어있는 서브-공간 내 하이퍼스피어의 표면에 행렬 오퍼레이터 표현을 투영하기 위해 사용될 수 있다.
단계(84)의 어떤 구현에서, 분포의 평균 벡터는 버코프 폴리토프 상에 수정된 순열 분포를 생성하기 위해 통계적 샘플을 생성하기 위해 폰 미제스-피셔 분포로부터 무작위 추출을 생성하기 위해 사용된다.
단계(84)의 어떤 다른 구현에서, 분포의 평균 벡터는, 다양한 객체 위치에 대해, 플립 확률 행렬을 계산하기 위해 사용된다. 이어, 플립 확률 행렬은 수정된 순열을 생성하기 위해 하이퍼스피어 상에 표현된 순열에 대한 변경을 결정하기 위해 확률 모델로서 사용된다. 이어, 수정된 순열은 버코프 폴리토프의 수정된 순열 분포로 변환될 수 있다.
버코프 폴리토프의 수정된 순열 분포는 순열 행렬의 가장 가까운 버텍스를 풀기 위해 버코프 폴리토프의 서브-공간을 나타내는 직교 베이시스 벡터의 역을 사용하여 하이퍼스피어의 가장 가까운 버텍스에 매핑될 수 있고, 가장 가까움은 유클리드 거리를 이용하여 결정된다.
방법(1400)의 단계(85)에서, 새로운 관측을 생성하기 위해 부분 관측이 수행된다.
방법(1400)의 단계(86)에서, 새로운 관측은 관측 모델을 통해 추정을 업데이트하기 위해 사용된다:
방법(1400)의 단계(87)에서, 중지 기준에 도달했는지 여부에 대한 질의가 수행된다. 정지 기준에 도달하지 않았다면, 방법(1400)은 단계(87)에서 단계(83)로 진행한다. 그렇지 않으면, 방법(1400)이 완료된다.
순열에 대한 PDF의 관점에서 vMF는 거리가 Sd의 측지인 거리 기반 모델을 설정한다. 그러나, VMF가 등방성 분포에 대해 작용하는 반면, vMF 분포에서 집중 파라미터에 대한 사전(pior) 폐형 공액의 부재는 포스테리어 추론을 복잡하게 하고 집중은 일반적으로 임의로 고정되어 데이터에서 추론되지 않는 파라미터이다.
탄젠트 공간 모델의 추가는 이방성 분포를 가능하게 하고, 데이터에 의해 구동되는 것으로 모델 복잡도를 데이터에 맞게 조정하면서 스피어의 다른 분포에 대한 정정으로서 작용할 수 있다. 추론 알고리즘은 스피어 및 피보나치 격자의 지오메트리를 활용하면서 병렬처리가 가능한다.
본 개시에서, 탄젠트 공간 모델에서, 각각의 혼합 성분은 이 자신의 탄젠트 공간에 존재하고, 각각의 탄젠트 공간은 고유하다.
이제 몇개의 브레이드 그룹과 순열 오비토프(조노토프)의 공간의 다면체 구조에 대한 도 15를 참조하면, 하나의 순열에서 다른 순열로 천이할 때 경로 또는 관계를 식별하는 상이한 순열 레이아웃이 도시되었다. 도 15의 목적은 순열의 오더링에 관하여 지오메트리의 구조에 주의를 끄는 것이다. 이것은 퀀톤 모델에서 순열 오더링이 상태 공간 간에 천이 오더링을 제공하기 때문에 중요하다. 예를 들어, 88에서, 라벨 a는 순열의 "정사각형" 배열에 위치하고, 순열의 6각형 배열에 인접한다. 그러나, 89에서, 라벨 a는 순열의 "정사각형" 배열에 위치하고, 라벨 b에서 순열의 8각형 배열에 인접해 있다. 90에서, 퀀톤의 표면을 타일링하는 상이한 다각형 로케일이 표시된다.
이제, 양자화된 다면체 확률 밀도 분포를 보여주는 다면체 구조를 도시한 도 16을 참조하면, 동등한 확률 밀도의 더 밝은 음영 패치(91)은 커버된 모든 순열이 관측가능으로서 외부 세만틱을 순열로서 상태 공간에 연관시킨다는 것을 의미하는 것으로 해석된다. 본 개시에서 보이는 바와 같이, 이것은 베이시안 유사 접근법을 사용하여 퀀톤에 의해 학습될 수 있다.
도 17: 단일 양자화된 다면체 확률 밀도의 투영을 도시하는 다면체 구조. 학습된 상태가 양자 92 상에 궤적 또는 인과관계 상태의 시퀀스를 나타내는 경우, 이들 상태는 시퀀스에서 언롤될 수 있으며 93, 한 세트의 상태 및 이들의 천이들은 표준 확률 기반 학습 방법에 의해 학습되는 인과관계의 모델을 구성한다.
도 13, 도 14, 도 15 및 도 16은 순열이 순열 패턴 시퀀스에 따라 패턴에 임베딩되고 이것이 준-격자 생성 절차에 의해 주어진 지오메트리 및 토폴로지에 연관된다는 일반적인 발상을 도시한다. 이 점에서, 이제 임의의 양자 게이트 및 회로가 순열 패턴에 의해 어떻게 표현될 수 있는지와, 그리고 임의의 양자 게이트 프로세스(즉, 복잡한 양자 게이트 세트의 동작)가 퀀톤에서 경로에 의해 직접 에뮬레이트될 수 있음을 보이도록 한다. 특히, 계산불가 수와 계산가능 수가 모두 귀추적 가설 및 연역적 계산로 귀결되고, 반면 확률 천이를 조정하는 머신 학습이 귀납적 학습으로 귀결된다는 사실을 다룬다.
Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. 2011. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition (10th ed.). Cambridge University Press, New York, NY, USA의 교시된 바가 본원에 전체적으로 참조로 포함된다.
n 비트 그룹(레지스터)은 주어진 시간에 2n 개의 상이한 수들 중 하나만을 내포할 수 있고 또한 임의의 상수 k> 1 및 임의의 자연수 n에 대해서도 
이 성립함을 이해해야 한다. 그러므로, 예를 들어, 순열에서, 
가능성 상태가 내포된 바와 같이, 24=16 가능성을 내포하는 4 큐비트 상태를 고찰한다. 그러므로, 순열의 상태 공간이 통상적인 큐비트와 비교하여 놀랍게도 급격히 증가하고, 마지막으로 큐비트가 간단한 비트(또는 당업자에게 공지된 pbits와 같은, 확률적 비트조차도)의 상태 공간보다 빠르게 스케일링되는 것을 명백히 알 수 있다.
실수가 컴플렉스의 서브-세트로서 간주될 수 있는 것처럼, 계산 베이시스로 실수 엔트리를 갖는 밀도 행렬을 갖는 큐비트의 양자 상태의 서브-세트로서 실수 레빗 면에서 레빗을 재작성하는 것이 가능하다. 루돌프, T 및 Grover, L, "A 2 Rebit gate universal for quantum computing"의 교시된 바에 기초하여, 실수부 및 허수부에 대한 추가의 코딩과 n-큐비트 상태의 초기 상태로, n+1 레빗(실수 비트)은 임의의 상태를 나타낼 수 있다고 언급할 수 있다:
대응하는 인코딩된 상태는 
= 
및 
= 
이 인코딩에서 실수부 및 허수부를 명시적으로 만드는 표기인 경우이다.
큐비트 상태를 글로벌 국면으로 변경하는 것은 동일 큐비트 상태를 인코딩하는 무한히 많은 레빗 상태의 존재에 의해 반영된다. 간단히 말하면, 전체 절대 값 사인이 누락된다는 점을 제외하면 결과적인 공식은 컴플렉스 경우와 유사하다. 따라서, 2-큐비트 상태는 루돌프 및 쇼어 모델에서 3-레빗 상태로서 재작성될 수 있다. 이것은 퀀톤이 양자 이론의 실제 진폭 변형에서 양자 시스템의 근사 모델이기 때문에 중요하다.
임의의 주어진 양자 모델 상태는 양자 상태의 정상 형태로서 작용하는 고유 퀀톤으로 변환될 수 있다. 정상 형태는 퀀톤 상에 확률 하에 동등 그룹들인 대수적으로 독립적인 스토캐스틱 로컬 동작 및 고전적 통신(SLOCC)에 의존한다. 따라서, 이들 불변은 이들 확률에 의해 파라미터화된 궤도의 패밀리를 구성한다. 일 실시예에 의해, 이 발상은 예컨대, 적어도 하나의 그룹(즉, 궤도)가 공유되어야 한다고 할 때, 공유되는 패턴 회피 시퀀스라고도 알려진, 이것이 공유되도록, 혹은 공유된 패턴 컨포밍 시퀀스로서, N-큐비트 인탱글 상태가 
인탱글 패밀리로서 정의되도록, 동등 그룹 공유의 모델에 의한 인탱글 표현을 위한 스테이지를 설정하는 것으로 해석된다. 따라서 N=4인 경우, 3!= 6 패밀리가 있고, N=3 인 경우, 2개의 패밀리(즉, 2개의 비-아이소모픽 패턴)가 있다.
양자 로직 회로를 순열 표현에 매핑하기 위한 절차:
본원에 앞서 인용되고 포함된 닐슨 및 추앙에 따르는 양자 회로는 n-비트 가역 로직 게이트로서 간주될 수 있다. 이들 로직 게이트는 복잡한 기능 회로를 형성할 수 있지만, 이들 모두는 이들을 거치는 비트의 2n 가능한 상태에 작용하는 순열과 동등하다. 따라서, 가역 로직 게이트를 특정하는 것은 순열에 대해 수행하는 매핑을 특정하는 것으로서 정의된다. 양자 컴퓨팅에서, 이들 계산 상태는 양자 역학적 상태에 의해 표현된다.
잘 정의된 양자 역학적 상태인 n-요소를 갖는 유한 세트 S를 정의하는데: 그러므로, 모든 가역 로직은 순열 오퍼레이터 
을 도입함으로써 표현되고, σ는 S를 자체에 1 대 1로의 매핑이다(즉, 순열).
비트 세트를 
과 같이 소문자로 표현하고, 세트들의 세트를 i(i=0,1,2,3이 되게)로 표현하면, 측정 게이트의 두 입력 비트로 표현되는 4가지 계산 상태로 해석된다. 따라서 다음과 같이 로직의 명세를 작성할 수 있다:
| 표 6: 양자 게이트 천이 매핑(진리표) | |||||
| a 제어 | b 타겟 | | i 입력> | a 제어 | b 타겟 | |i 출력 > |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 3 |
| 1 | 1 | 3 | 1 | 0 | 2 |
이 표현은 이 개시물에서 순열 그룹 S4의 요소로서 해석된다. 이제, 중요한 발상은 C-NOT 게이트와 같은 임의의 보편적 게이트가 위의 표가 순열에 의해서만 전적으로 표현될 수 있도록 S4에서 1대1 매핑으로서 나타낼 수 있다는 것이다. S4는 4!를 포함하는 것으로 4-상태 시스템을 위한 24개의 서로 다른 로직 게이트를 의미한다. 본 개시에서 앞서 언급한 바와 같이, 임의의 N-레벨 양자 시스템은 N! 계산적으로 구별되는 로직 세트에서 순열될 수 있는데: 디그리 N의 이들 순열은 순열의 복합 동작 하에서 오더 N!의 그룹을 형성한다.
그러므로, 다음에서, 본 개시물이 어떻게 (확률적) 순열(일명 순열에 의한 계산)에 의한 양자 계산을 위한 가상 머신을 나타낼 것인지가 예시된다.
임의의 순열 그룹 Sn은 σ에 대한 그룹 동작으로서 구성 맵 φ을 갖고, 간격 S={1,2,3...N}의 한 세트의 순열 
의 모든 전단사 맵의 수집이다.
트랜지션이 길이 2의 사이클이므로, 임의의 순열은 트랜지션의 곱으로서 작성될 수 있으며, 따라서 임의의 순열은 분리 사이클의 곱으로서 작성될 수 있어, 각 사이클을 트랜지션의 곱으로서 작성하는 것으로 충분하다:
주어진 순열을 트랜지션의 곱으로서 작성하는 몇가지 방법이 있음에 유의한다. 예를 들어, P=(3,5,4)(1,2,3,4)라 놓는다. 이어, 각각의 사이클 (3,5,4) 및 (1,2,3,4)에 위에 공식 [00183]을 적용하면, P=(3,4)(3,5)(1,4)(1,3)(1,2)을 얻으며, 따라서 P는 5개의 트랜지션의 곱이다. 다른 한편으로, 먼저 분리 사이클(이 예에서는 단지 하나의 사이클이 있을 것이다)의 곱으로서 P를 기재하고 (T)를 사용할 수 있다. 이것은 P = (3,5,4)(1,2,3,4) = (1,2,5,4) = (1,4)(1,5)(1,2)이 되고, 따라서 이제 P는 3 트랜지션의 곱이다.
C-NOT 게이트(94)는 닐슨 및 추앙에서 설명된 보편적 양자 게이트이다. 도 18a는 순열 사이클 표기에서 기재된 순열에 C-NOT 회로의 매핑을 도시한다. 순열의 사이클의 곱은 가역 로직과 동등하다. n-비트 CNOT 게이트(즉, 제어된-NOT 또는 C-NOT)는 제어 비트가 다른 (n-1) 비트 또는 (n-2), 등등인 반면 n의 임의의 한 비트에 동작한다. n=3인 경우, 도 18b에 도시된 바와 같이 9개의 가능한 C-NOT 게이트(100)가 있는데, 여기서 입력과 출력 간의 각 순열 동작은 트랜지션의 고유 곱에 의해 실현된다.
양자 계산을 위해서는 보편적인 가역 게이트가 필요하다. 이러한 게이트 중 하나는 토폴리 게이트(95)로서 3개의 입력(a, b, c)과 대응하는 출력(a', b', c')을 갖는 3-비트 게이트이다. 입력과 출력 간에 관계는 다음과 같다:
a'= a
b'= b
여기서 
는 배타적 OR(즉, 가산 모듈로 2)을 나타내며,
·
는 AND 함수를 나타낸다. 변수 a 및 b는 제어 비트이며 여기서 c는 타겟 비트라 불리운다. 로직으로부터 알 수 있듯이, 제어 비트는 게이트를 통과하는 동안 변경되지 않는다. 그러나, 타겟 비트는 두 제어 비트가 로직 1이면 플립한다. 토폴리 게이트에 대응하는 순열은 다음과 같다.
바이너리로 트랜지션 표현은 십진법으로 (6, 7)인 (110, 111)이다.
페레스 게이트(96)는 도 18a에 97에서 도시된 바와 같이 98에 더해져 99가 되는 토폴리와 C-NOT 게이트의 동작의 조합이다. 따라서 가산, 감산 등과 같은 더 복잡한 로직을 실현할 수 있다. 페레스 게이트는 다음과 같이 입력과 출력 사이의 관계를 유지하는 3-비트 게이트이다.
a'= a
b'= 
이 게이트에 대응하는 순열은,
십진법으로, 대응하는 사이클은 길이가 4이며 다음과 같이 3개의 트랜지션으로 디컴포즈될 수 있다: 
.
임의의 가역 로직은 순열 그룹의 관점에서 다시 기재될 수 있다: 따라서, 순열 사이클의 개념을 사용하여 가역 게이트의 빌딩 블록에 작동한다. 모든 n 비트 가역 로직에 대해, 디그리 2n의 고유한 순열이 존재한다. 따라서, 순열 그룹에 대한 모든 특성 및 동작은 가역 로직 동작을 적용하거나 구현한다. 그러므로, 모든 게이트는 제어된 순열 게이트라고도 알려진 프레드킨 게이트와 같은 다른 유용한 게이트와 같은 순열에 의해 정의될 수 있다. 또한, 모든 게이트는 n 입력 및 n 출력을 갖는 가역 게이트인 다중 제어 토폴리(MCT) 게이트라고도 알려진 n-비트 토폴리 게이트와 같은 n-비트 동작을 나타낼 수 있다는 점에서 일반적이다.
따라서 순열은 가역 로직을 모방하므로, 순열 구성은 임의의 가역 게이트는 대응하는 순열에 의해 표현가능하다고 할 때, 가역 게이트로 구성된 가역 게이트 또는 양자 회로에서 수행되는 동작을 정의하기 위해 사용되며, 따라서 임의의 양자 회로는 단순히 분리 사이클의 곱의 결과이고 반드시 트랜지션의 곱이다. 본 개시에서, 전-가산기 양자 회로의 프리미티브기본 동작에 대해, 회로에 대응하는 순열 오퍼레이터에 의해 양자 회로를 구축하기 위해 어떤 노하우가 필요하다는 것을 보일 것이다. 단순히 트랜지션의 곱을 구성하는 단순한 접근법은 본원에서 퀀톤에 대해 일반적으로 효율적이고 간단한 계산 오퍼레이터를 구축하는 기초작업이다.
임의의 비가역 함수는 상수 입력과 가비지 출력을 더함으로써 가역 함수에 매핑된다. 그러나, 상수 입력은 출력에서 기능을 실현하기 위해 어떤 값을 가져야하며 가비지 출력은 최종 계산에 영향을 미치지 않아야 한다. 비가역 함수를 가역 함수로 변환하는 데 필요한 최소한의 가비지 출력 수는 
이며, Q는 비가역 함수를 나타내는 진리표에서 출력 비트 패턴이 반복되는 횟수이다. 도 19에 도시된 바와 같이, 전 가산기(101)의 경우에, 출력 비트 패턴들(01, 10)은 3번 반복되고 가장 큰 발생 횟수를 갖는다는 것은 당업자에게 명백하다. 따라서, Q=3에 대해, 최소한 
가비지 출력과 하나의 상수 입력은 도 19에 도시된 바와 같이 전 가산기 기능을 가역적이 되게 만드기 위해 요구된다.
순열 표현에서의 계산을 위한 절차:
Deleglise, Marc, Nicolas, Jean-Louis, and Zimmermann, Paul. "Landau's function for one million billions." Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 20.3 (2008): 625-671의 교시된 바를 포함하고 확장하는, 순열 표현에서 계산을 위한 퀀톤 설계과 절차가 제시된다. Carroll Philip Gossett, Nancy Cam Winget의 US 6256656 B1에서 언급된 특허 "Apparatus and method for extending computational precision of a computer system having a modular arithmetic processing unit"의 교시에서 종래 기술은 기본적인 비가역적 컴퓨터 동작을 향상시키기 위해 모듈러 정수 표현이 어떻게 생산적으로 사용될 수 있는가를 보여준다. 모듈러 정수 표현의 유사한 개념의 본 개시에서의 사용 간에 차이는 순열 동작을 위한 넘버링 시퀀스를 생성하기 위해 란다우 함수를 사용하고, 이들 순열 동작을 사용하여 도 19의 102에서 볼 수 있는 바와 같이 완전히 병렬처리 가능할 수 있는, 완전히 기본적인 가역 컴퓨터 동작 계산을 향상시키는 것이다. 또한, 순열 동작에 의한 이들 가역적인 계산은 양자 계산 회로의 고속 에뮬레이션을 가능하게 하고, 확률론적 모델과 조합될 때, 일반적인 근사 확률론적 튜링 머신 모델로서 매우 빠른 근사 양자-유사 계산을 가능하게 한다.
도 20a는 최적성을 제공하는 Sn의 대칭 그룹의 순열의 크기 및 설계를 선택하는 방법의 흐름도를 도시한다. 모든 단계는 완전히 병렬처리 가능하다. 방법은 순열 오퍼레이터 설계의 대응하는 설계와 조합될 때 변환 순열이 전단사이고 가역적임을 보장하기 위해 변환 순열의 동작 세만틱을 제공하는 란다우 수를 사용한다. 예를 들어, 순열을 설계하기 위해 란다우의 넘버링을 사용함으로써, 수가 란다우의 넘버링 내에 들어맞아야 하는 순열 간에 동작으로서 기재될 수 있다. 결과는 퀀톤이 설계에서 이동 및 동작 면에서 가산 및 감산과 같은 모든 통상적인 명령을 수행할 수 있다는 것이다. 이 설계를 사용하여, 퀀톤은 명령에 대한 계산 모델을 제공하며, 이는 가장 작은 튜링 컴퓨팅 모델을 제시할 수 있다.
방법의 단계(103)에서, 대칭 그룹 Sn의 차원 n에 대해 파티션이 결정된다. 파티션은 양의 자연수들의 합으로서 결정된다. 이 단계와 방법의 나머지 단계는 하스켈 코드로 작성된 함수를 사용하여 아래에 예시된다. 도 20a에 도시된 방법은 대칭 그룹 Sn에서 순열의 서브-세트로 산술을 수행하는 것을 가능하게 한다. 이를 달성하기 위해, 란다우 수는 Sn의 가장 큰 순환 부분 그룹의 오더에 대한 이상적인 후보를 얻기 위해 사용될 수 있다. 관련하여 도 20b에 도시된 방법에 의해 기술된 바와 같이, 순환 그룹은 서브-그룹의 곱으로서 디컴포즈될 수 있는 Zn과 아이소모픽이다. 서브-그룹들의 이들 곱은 각각 
를 가지며, 여기서 p는 n의 소인수 요소이고; 서브-그룹은 이들 계산을 병렬처리하고 신속하게 수행하기 위해 모듈러 산술을 사용하여 이들 순열을 사용하여 동작을 에뮬레이트하기 위해 사용될 수 있다.
도 20a의 방법을 초기화하기 위해, 최대 정수 크기가 설정될 수 있다(예를 들어, 최대 정수는 100으로 설정될 수 있다).
단계(103)에서, 란다우 수는 결정된 파티션을 사용하여 계산된다. 란다우 수는 양의 자연수들의 합으로서 n의 파티션을 사용하여 계산될 수 있다. 란다우 수는 파티션의 요소의 최소 공배수(LCM)를 사용하여 결정될 수 있다. 여기서, LCM(a,b)로 표기될 수 있는 두 정수 a와 b의 최소 공배수는 a와 b로 나눌 수 있는 가장 작은 양의 정수이다.
단계(103, 104)에서 파티션 및 란다우 수는 일례에서 하스켈 코드에서 정의될 수 있다. 임의의 다른 프로그래밍 언어가 사용될 수도 있을 것이다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
landau 19
(420,[3,4,5,7])
landau 42
(32760,[5,7,8,9,13])
도 20a의 방법의 단계(103)에서, 생성기 및 템플레이트는 n보다 큰 란다우 수를 갖는 제1 파티션을 사용하여 란다우 수에 의해 주어진 오더의 순환 그룹에 대해 정의된다. 생성기는 란다우 수가 n보다 큰 제1 파티션을 사용한다. 아래에 보인 바와 같이, 단계(1230)에서 생성기 및 템플레이트는 코드에서 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
"landau function" 42
(60,[3,4,5])
"landau function" 100
(105,[3,5,7])
lGenerator 100
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14]]
단계(106)에서, 순환 형태의 순열에 대해 후속자 및 프레디세서 오퍼레이터가 결정된다. 순환 형태의 순열에 대한 후속자 오퍼레이터는 오른쪽 회전으로서 표현될 수 있다. 유사하게, 순환 형태의 순열에 대한 프레디세서 오퍼레이터는 왼쪽 회전으로서 표현될 수 있다.
단계(107)에서, 자연수와 순열 간에 변환은 순환 형태로 결정된다.
아래에 보인 바와 같이, 단계(107)에서 자연수 및 순열 간의 변환 뿐만 아니라 단계(106)에서 후속자 및 프레디세서 오퍼레이터는 예를 들어 코드에서 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
generator
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
"right operator" generator
[[1,2,0],[4,5,6,7,3],[9,10,11,12,13,14,15,8]]
"left operator" it
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
"Quatnton Add"("number to permutation cycle" 10)("number to permutation cycle" 20)
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[14,15,8,9,10,11,12,13]]
"permutation cycle to number" it
30
또한 위의 하스켈 코드에는 후속자 산술의 정의가 포함된다.
단계(108)에서, 순환 형태의 순열에 대한 궤도는 후속자 오퍼레이터를 사용하여 계산된다. 아래에 나타낸 바와 같이, 단계 108에서 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
mapM_ print "Landau Orbit function"
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
[[1,2,0],[4,5,6,7,3],[9,10,11,12,13,14,15,8]]
...
[[1,2,0],[6,7,3,4,5],[14,15,8,9,10,11,12,13]]
[[2,0,1],[7,3,4,5,6],[15,8,9,10,11,12,13,14]]
마지막으로, 단계(109)에서, 고전적 계산 및 모듈러 산술을 사용하거나 양자 또는 가역적 컴퓨팅 프레임워크 상에서 순열 동작을 사용하여 대칭 그룹 Sn의 순환 부분 그룹에서 계산이 수행된다.
도 20b는 Sn의 대칭 그룹의 에뮬레이션을 사용하여 순열의 크기 및 설계을 선택하는 방법의 흐름도를 도시한다. 도 20b에 도시된 방법은 모듈라 산술이 Zn이 곱인 각각의 서브-그룹에서 독립적으로 발생하기 때문에 방법(도 20b)이 더 빠르며 병렬화될 수 있다는 것을 제외하고는, 도 20a의 방법과 유사한 기능을 수행한다.
도 20b에 도시된 방법의 단계(110)에서, 대칭 그룹 Sn의 차수 n에 대한 파티션은 피르모리얼스의 팩터를 사용하여 에뮬레이트된다. 이 에뮬레이션은 Zn과 Sn의 순환 부분 그룹의 동형에 기반한다. 위에서 언급했듯이, 순환 그룹은 서브-그룹의 곱으로서 디컴포즈될 수 있는 Zn과 동형이다. 서브-그룹들의 이들 곱들은 각각 오더 
를 가지며, p는 n의 소인수이고, 서브-그룹들은 이들 계산의 수행을 병렬화하고 가속하기 위해 모듈러 산술을 사용하여 이들 순열로 동작들을 에뮬레이트하기 위해 사용될 수 있다.
단계(110)에서 파티션 및 프라이모리얼은 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
"partition function" 42
(60,[3,4,5])
"partition function" 100
(120,[3,5,8])
함수 "파티션 함수"는 프라이모리얼 2k가 n 이상인 제1 파티션을 리턴한다.
또한, 단계(111)에서, 생성기 및 템플레이트는 순환 그룹의 에뮬레이션을 위해 정의된다. 생성기와 템플레이트는 n보다 큰 곱에 의해 주어진 오더의 순환 그룹을 위한 것이며, 곱은 프라이모리얼 2k 배이다. 아래에 보인 바와 같이, 단계(111)에서 생성기 및 템플레이트는 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
"primorial generator" 100
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
단계(112)에서, 후속자(z) 및 프레디세서(z') 오퍼레이터는 순환 형태의 순열의 에뮬레이션을 위해 결정된다. 예를 들어, 순열의 사이클의 각 회전은 이들 서브-그룹에서 1만큼 대응하는 모듈러 가산에 매핑될 수 있다. 아래의 하스켈 코드에서, 함수 z는 후속자 오퍼레이터를 구현하고 함수 z'는 프레디세서 오퍼레이터를 구현한다.
단계(113)에서, 자연수와 순열의 에뮬레이션 사이의 변환은 순환 형태로 결정된다.
아래에 도시된 바와 같이, 단계(112)에서의 후속자 및 프레디세서 오퍼레이터 및 단계(113)에서 자연수와 순열의 에뮬레이션 사이의 변환은 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
z [0,0,0]
[1,1,1]
z it
[2,2,2]
z it
[0,3,3]
z' it
[2,2,2]
z' it
[1,1,1]
z' it
[0,0,0]
mapM_ print(map n2zs [0..7])
[0,0,0]
[1,1,1]
[2,2,2]
[0,3,3]
[1,4,4]
[2,0,5]
[0,1,6]
[1,2,7]
map(zs2n.n2zs) [0..7]
[0,1,2,3,4,5,6,7]
단계(114)에서, 순환 형태의 순열에 대한 궤도는 후속자 오퍼레이터를 사용하여 계산된다. 아래에 보인 바와 같이, 단계 108(도 20a)의 궤도가 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
"primoria Orbit"
[[0,0,0],[1,1,1],...,[1,3,6],[2,4,7]]
마지막으로, 단계(115)에서, 모듈러 산술로서 프라이모리얼-기반 근사를 사용하여 대칭 그룹 Sn의 순환 부분 그룹에서 계산이 수행된다.
순열을 결정하는 위에 방법은 각각 변환 순열이 전단사이고 가역적임을 보장하기 위해 변환 순열의 동작 세만틱을 결정하는 기능을 수행한다. 그러나, 후속자 및 프레디세서 기능에 의존하는 전술한 방법보다는 빠른 변환 메커니즘이 실현될 수 있는지에 관해 열린 질문이 존재한다. 대답은 예이며, 더 빠른 변환 메커니즘은 중국인의 나머지 정리를 사용하여 실현될 수 있고, 이는 도 20c의 방법에서 보인 바와 같이, 수 형태 나머지를 효과적으로 회수할 수 있게 한다. 따라서, 나머지로부터 자연수를 회수함으로써 모듈러 리마인더 리스트로의 빠른 변환이 달성될 수 있다.
도 20c를 참조하면, 단계(116A)에서, 중국인의 나머지 정리를 사용하여 자연수가 나머지로부터 회수된다. 아래에 보인 바와 같이, 빠른 변환 함수는 코드에서 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다. 역 n2zs'는 모드 함수를 프라이모리얼 팩터(또는 란다우-수 등가)의 각 요소에 적용함으로써 간단히 나머지 리스트를 찾는다.
예:
mapM_ print (map "number to primorial based permutation" [0..7])
[0,0,0]
[1,1,1]
[2,2,2]
[0,3,3]
[1,4,4]
[2,0,5]
[0,1,6]
[1,2,7]
map("primorial based permutation to number". "number to primorial based permutation") [0..7]
[0,1,2,3,4,5,6,7]
또한, 중국인의 나머지 정리에 대한 확장된 gcd 기반 알고리즘은 코드로 표현될 수 있다.
단계(116B)에서, 각각의 사이클을 회전시키기 위해 나머지를 매핑함으로써 나머지 리스트와 순열 간에 전단사가 정의된다. 위의 함수들의 전단사 매핑은 순환 형태의 실제 순열로 확장될 수 있다. 이를 달성하기 위해, 각 사이클을 회전시키기 위해 나머지를 매핑함으로써 나머지 리스트와 순열 간에 전단사가 정의된다. 아래에서 볼 수 있듯이, 이것은 코드에서 정의될 수 있고, zs2cp 함수는 나머지 리스트에 대응하는 순환 순열을 생성하고, 역함수 zs2cp는 순환 순열에 대응하는 나머지 리스트를 생성한다. 순열은 사이클을 가진 캐노니컬 형태이며, 각각은 슬라이스 [from..to]의 회전으로서 표현된다고 가정됨에 유의한다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
map("primorial based permutation to number". "number to primorial based permutation") [0..7]
[0,1,2,3,4,5,6,7]
zs2cp [0,0,0]
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
s it
[[1,2,0],[4,5,6,7,3],[9,10,11,12,13,14,15,8]]
cp2zs it
[1,1,1]
z it
[2,2,2]
zs2cp it
[[2,0,1],[5,6,7,3,4],[10,11,12,13,14,15,8,9]]
단계(116C)에서, 전단사가 정의된다. 위의 정의를 내려, 자연수와 순환 형태의 순열 간에 전단사를 표현할 수 있다. 아래에서 볼 수 있듯이, 자연수와 순환 형태의 순열 간에 전단사는 코드에서 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
"number to permutation in cycle form" 0
[[0,1,2],[3,4,5,6,7],[8,9,10,11,12,13,14,15]]
"permutation in cycle form to number" it
0
"number to permutation in cycle form" 42
[[0,1,2],[5,6,7,3,4],[10,11,12,13,14,15,8,9]]
"permutation in cycle form to number" it
42
단계(116D)에서, 전술한 더 빠른 전단사는 다양한 산술 동작을 정의하는데 적용된다. 자연수와 순환 형태의 순열 간에 더 빠른 전단사를 사용하여, 순환 형태의 순열에 대해 다양한 산술 동작이 정의되고 효율적으로 수행될 수 있다. 이들 산술 동작은, 예를 들어, 가산 및 곱셈 동작을 포함할 수 있다. 아래에 보인 바와 같이, 이들 산술 동작은 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다. 첫째, 고차 함수 zsOp가 정의될 수 있다. 고차 함수는 각 산술 동작에 대해 특별화될 수 있다. 예를 들어, 가산과 곱셈 동작은 하스켈 코드에서 정의될 수 있다.
예:
"number to permutation based primorials" 42
[0,2,2]
"number to permutation based primorials" 8
[2,3,0]
zsAdd [0,2,2] [2,3,0]
[2,0,2]
"permutation based primorials to number" it
50
이어 이들 동작은 하스켈 코드에 보인 바와 같이 사이클 형태의 순열에 작동하기 위해 아이소모픽 나머지 리스트로부터 적용될 수 있다.
예:
"number to permutation in cycle form" 11
[[2,0,1],[4,5,6,7,3],[11,12,13,14,15,8,9,10]]
n2cp 7
[[1,2,0],[5,6,7,3,4],[15,8,9,10,11,12,13,14]]
cpMul [[2,0,1],[4,5,6,7,3],[11,12,13,14,15,8,9,10]]
[[1,2,0],[5,6,7,3,4],[15,8,9,10,11,12,13,14]]
[[2,0,1],[5,6,7,3,4],[13,14,15,8,9,10,11,12]]
"permutation in cycle form to number" it
77
자연수와 사이클 형태의 순열 사이의 전단사 매핑을 위한 상기 방법에 대한 대안으로서, 사전편찬식으로 순서화된 표현을 생성하는 또 다른 방법이 사용될 수 있다. 예를 들어, 도 20d의 방법에 보인 바와 같이, 변환기가 역 사전편찬식 순서로 나머지를 열거하도록, 사전편찬식으로 순서화된 표현으로의 변환기가 정의될 수 있다.
단계(116E)에서, 방법의 결과를 달성하기 위해, 하나의 전단사 베이스-b 디지트를 수 n으로부터 추출하는 함수가 정의된다. 따라서, "베이스 수 디지트 획득" 기능은 0과 b-1 사이의 디지트를 선택하기 위해 소비된 정보에 의해 n에 저장된 정보를 줄이는 효과적인 결과를 달성한다. 이와 관련하여, 단계(116E)는 또한 0부터 b-1까지의 디지트 b에 저장된 정보를 m에 더하는 결과를 달성하는 "베이스 수 디지트 넣기" 기능을 정의한다. 이하에 보인 바와 같이, 단계(1410)의 기능은 코드로 정의될 수 있다.
단계(116F)에서, 단일 베이스 b 대신에 베이스 bs의 리스트를 사용하여 n으로부터 디지트들의 추출을 반복하는 베이스 리스트에 대한 함수가 정의된다. 베이스 리스트에 대한 함수는 또한 bs의 길이와 매칭되는 길이의 "벡터"가 정확히 추출될 수 있게 마지막 것보다 짧은 디지트의 리스트의 수 스킵으로 n을 증가시킨다. 또한, 단계 116F에서, 베이스 리스트에 대한 상보적인 함수가 정의된다. 이 함수는 베이스 리스트로부터라 언급될 수 있고, 베이스 리스트로부터 함수는 bs의 베이스에 의해 경계된 모든 가정된 디지트 리스트 "수 리스트"를 단일의 자연수 n으로 변환함으로써 위에 기술된 프로세스를 역전한다.
주어진 베이스 리스트에 대해, 단계(116F)의 두 함수는 베이스 리스트의 각각의 요소 bi에 대해 0과 bi-1 사이의 엘리먼트들과 함께 리스트와 동일한 길이의 투플에의 전단사를 정의한다. 또한, 이들 함수는 요소 투플을 사전식 순서(가장 오른쪽 디지트가 최상위인)로 열거하고, 이것은 후속자를 반복해서 적용함으로써 유도된 순서와는 다르며, 이는, 한편, 중국인의 나머지 정리에 의해 제공되는 빠른 변환과 일치한다.
이하에 보인 바와 같이, 단계(116F)의 기능들 코드로 정의될 수 있다. 또한, 함수 호출의 예와 함수 호출에 의해 생성된 출력이 아래에 보여졌다.
예:
mapM_ print(map(toBaseList(snd "cyclal permutation Template"))
[0..7])
[0,0,0]
[1,0,0]
[2,0,0]
[0,1,0]
[1,1,0]
[2,1,0]
[0,2,0]
[1,2,0]
최소 오비토프로서 퀀톤에 순열을 임베딩하기 위한 절차
표 6에 따른 순열 간의 천이 관계의 순열 오비토프는 크기 n의 데이터에 대해 n의 크기에서 다수의 데이터 점 팩토리얼을 요구한다. 메모리 요건의 효율을 개선하기 위해, 데이터 요소 수를 n2 변수와 제약으로 줄이는 버코프 폴리토프가 사용될 수 있는데, 그러나 이것은 순열을 벡터로서 혹은 본 개시에 보인 사이클 형태로 표현하기 위해 사용할 수도 있을 n 변수보다 여전히 훨씬 더 많다.
그러나, Michel X. Goemans, "Smallest compact formulation for the permutahedron", Mathematical Programming, October 2015, Volume 153, Issue 1, pp 5-11, Springer Publishing의 최근의 교시를 조합함으로써, 감소된 표현을 생성하기 위해서, 본원에 피보나치 격자의 사용과 Goemans in C. H. Lim and S. Wright, Beyond the Birkhoff polytope: "Convex relaxations for vector permutation problems", in Advances in Neural Information Processing Systems, Vol. 27, MIT Press, Cambridge, MA, 2014, pp. 2168-2176에 기초한 교시를 조합한다. 본 개시의 표현은 피보나치 격자와 순열을 나타내는 레메르 코드에 대한 그의 인덱스들 간에 매핑을 이용함으로써 더욱 감소되고 압축되어, n.log(n) 순열 벡터만이 Goemans 및 Lim 등의 작업에서 퍼뮤타헤드론을 나타내는 경우, 임베딩으로, n 점이 요구된다. 따라서, 이것은 퀀톤으로서 순열의 임베딩의 최소한의 표현을 형성한다. 이것은 피보나치 격자에서 인덱스로서 순열 및 바람직한 실시예로서 퍼뮤타헤드론에 그들의 등가를 표현하기 위한 상당히 효율적이고 감소된 메모리 표현이다. 그러나, 피보나치 매핑이 주어지면, 리뷰의 몇 가지 점은 순열에의 연결이 즉시 자명하지 않을 수 있고 따라서 데이터 및 가역 회로 에뮬레이션의 표현에 그들의 사용 때문에 소팅 네트워크를 기반으로 순서대로 이루어진다.
도 21: 바이토닉 소팅 네트워크 다항식 제약 및 구현
임의의 소팅 네트워크는, 항목 117에서, Goeman에 따라 m개의 비교기에 n개의 입력이 주어지면, 각 비교기의 2개의 입력과 2개의 출력 간에 관계를 나타내기 위해, 항목 118에서, 각각의 비교기 k=1,2,3..m에 대해 한 세트의 제약을 사용하는 것에 기초하여 O(m) 변수 및 제약의 복잡도를 갖는 퍼뮤타헤드론을 나타내며, 여기서 동작은 항목 119에 설명되었다.
도 22: 바이토닉 소팅 네트워크 동작 및 설계
일반적인 관계는 항목 120에 나타난 바와 같이 입력과 출력 간에 순열로서 볼 수 있으며, 일반적 경우에, 비교기 방향 자체가 순열될 수 있을 때, 이들은 항목 121에 보인, 수월한 소팅 네트워크 또는 입력과 출력 사이의 일반적인 순열을 나타낼 수 있다.
도 23: 폴리토프 설계로서 바이토닉 소팅 네트워크 동작
비교기 관점에서 더 일반화하고 임의의 차원의 관점을 취함으로써, 개념은 항목 122에 보인 SN의 소팅 오비토프로 확장된다. 이러한 비교기 오퍼레이터는 P. S. Phaneendra, C. Vudadha, V. Sreehari and M. B. Srinivas, "An Optimized Design of Reversible Quantum Comparator," 2014, 27th International Conference on VLSI Design and 2014, 13th International Conference on embedded Systems, Mumbai, 2014, pp. 557-562의 교시된 바에 나타낸 바와 같이 가역적으로 구현될 수 있다.
도 24는 바이토닉 소팅 네트워크를 통해 본 브레이딩을 도시한다. 일 실시예에 따라, 본 개시물의 앞서 언급된 Steven Jordan의 교시에 의해 나타낸 바와 같이 순열 양자 컴퓨팅 사이의 관계는 항목 124에서 순열 동작과 동등한, 항목 123에 브레이딩의 동작 관점에서 도시된다. 따라서 이들은 가역적인 계산이 이미 본원에 제시된 항목 122의 도 22의 소팅 오비토프 설계과 직접적으로 등가이다.
도 25: 순열 행렬 및 순열 사인 역행렬
퀀톤의 추가의 특성은, 값이 음에서 양 사이의 범위일 수 있고 순열 사이클 표현이 이의 표현에 관하여 항목 125에서 순열 행렬로서 볼 수 있고 퀀톤 상에 순열이 항목 126에 도시한, 이들이 동작하는, 입력의 사인을 변경할 수 있는 추가의 특성을 갖는다는 것이다.
도 26 : 순열 행렬 및 순열 패턴 행렬
앞에서 언급했듯이, 퍼뮤톤과 퍼뮤트릭스의 개념이 소개되었고 항목 127과 128의 목적은 패턴 회피 또는 패턴 보존을 하도록 행렬에서 2개의 서로 다른 패턴이 퍼뮤톤과 퍼뮤트릭스의 복합이라는 개념을 설명하기 위한 것이다. 항목 130에 의해 나타낸 블록들은 임의의 패턴 순열 동작들이 또한 어떻게 표현될 수 있는지를 보여준다.
도 27: 각도 파라미터에 대한 점에서 점과 탄젠트 간에 관계
이 도면은 퀀톤 데이터 구조(130, 131)의 예시적 지오메트리 및 토폴로지를 도시한다. 요소(134)는 버텍스(133) 중 하나에 대한 탄젠트 평면이다. 요소(132)는 탄젠트 공간 상의 점에 관한 확률 분포를 도시한다.
도 28: 확률 밀도 분포의 클래스의 지오메트리
순열 회로로서 가역 양자 회로를 나타내는 규칙적인 패턴이 항목(135)에서 도시되어 있는 반면, 이동의 임의의 패턴에 대해서, 분포 알고리즘 추정(EDA)을 사용한 반복 프로세스에 의해 인입 데이터로부터 학습된 경로가 136에 도시되었다. 퀀톤의 경우, 학습된 경로를 기록하는 것은 제어점이 이들이 피보나치 격자 점에 해당하는 곳에 저장되는 n-차원(예를 들면, 스플라인 또는 Bezier 곡선)의 한 세트의 곡선을 사용하여 수행된다.
이제 도 29: 확률 밀도를 갖는 오비토프에 순열을 임베딩하는 것을 참조하면, 항목 137에 정의된 두 회로, 또는 학습된 경로(138)의 조합은 확률 밀도 경로들(140)의 혼합으로서 조합할 수 있다. 피보나치 격자 139을 임베딩함으로써, 확률은 양자화될 수 있고 최종 퀀톤 구조 142를 생성하기 위한 순열(즉, 격자 점에서의 상태 공간) 141에 상응한다.
도 29에 항목 142의 퀀톤 구조를 구축할 때, 도 30의 흐름도: 퀀톤 데이터 구조 건설을 위한 흐름도가 사용된다. 일반적으로, 그리고 앞서 나타낸 바와 같은 표 6에 따라, 하이퍼큐브 및 일반적인 오소시아헤드라는 바람직한 실시예에서 앞에서 상세하게 설명한 절차를 사용하여 퍼뮤토헤드론의 감소된 표현으로 표현된다. 따라서, 항목 143 또는 144 또는 145 중 하나를 선택하면, 항목 146에서 퍼뮤토헤드론의 표현은 항목 148에서 Goemans 방법을 사용하여 생성되는 147의 폴리토프로 축소된다. 마지막으로, 피보나치 격자를 사용하여 하이퍼스피어에 임베딩은 결과적인 퀀톤 구조(157)을 생성하기 위해 항목 149에서 수행된다. 앞서 상세히 한 바와 같이, 훈련 데이터는 항목 150에서 제공되고, 이 데이터는 항목 151에 따라, 필터링되고, 도 32, 도 36 및 도 37에서 나중에 제시될 세부사항에 따라 항목 152에 따라 패턴으로 양자화된다. 확률 밀도 함수(153)는 앞서 정의된 바와 같이 표 5마다 선택되고, 이것은 앞의 도 14에 도시된 프로세스에 의해 퀀톤에 매핑된다. 이 시점에서, 퀀톤은 분포를 학습하였으며, 필터 155 및 필요하다면 누락 데이터를(부분적 노이즈성 데이터가 제시되었다면) 제공할 수 있는 투영 알고리즘(156)을 사용하여, 항목(154)에서 노이즈성 데이터로 연역적 추론을 수행할 수 있다.
순열로서 패턴의 명세를 명확히 하기 위해, 조합 패턴으로서 순열 행렬 조노토프의 버텍스의 재해석에 대한 도 31는 바이너리 행렬의 경우 패턴이 어떻게 디지털화될 수 있는지를 도시한다. 더 높은 차원에 대한 등가는 행렬 대신 텐서이다. 그러나, 본 목적을 위해, 행렬은 본 개시물의 필수적인 방법을 예시할 것이다. 예를 들어, 항목 158에서 행렬의 패턴은, 예를 들어, 이미지 평면의 흑백 픽셀의 3 × 3 세트일 수도 있을 항목 159에 바이너리 패턴에 대응한다.
완전한 한 세트의 모든 패턴이 도 32: 3개의 순열 오비토프 패턴에 대한 열거에 도시되었다. 이 패턴 세트에, 각 패턴은 간단히 정수로서 보인 순열 벡터와 연관된다. 따라서, 예를 들어, 164는 순열 P=(3,1,2)를 나타내는 대응하는 정수(312)를 갖는 순열에 대한 행렬을 도시한다. 요소(160, 161, 162, 163, 165)는 다른 예를 도시한다.
레메르 인덱스를 사용한 랭크 순서의 인덱스에서 3-순열 오비토프패턴을 인코딩하는 것을 도시한 도 33의 항목 166에서 각 패턴은 팩토라딕 넘버링 시스템을 사용하는 레메르 코드 167로 변환된다. 당업자는 이것이 인덱스로서 레메르 코드에 의한 패턴의 오더링을 갖게 함을 잘 알고 있다.
따라서 임의의 입력을 샘플링할 때, 선택된 순열(즉, 이 경우 6개 패턴의 3-요소 순열 행렬)의 분해능에서, 임의의 신호는 일부 클록 또는 로직 램포트 클럭에 관하해 샘플링되어, 패턴 기반 샘플링에 의해 신호를 디지털화하고 숫자 인코딩을 보인 도 34에 도시된 바와 같이 한 시퀀스의 순서화된 패턴 인덱스를 생성한다. 도 34의 중요한 부분은, 신호 스트림에 보인 바와 같이 항목 168, 169, 170 및 171에서와 같이 패턴이 들어올 때, 이들은 행렬 패턴(172)에 대한 인덱스를 나타내며 따라서 입력을 최상으로 근사화하는 각 패턴에 대한 코드(173)가 작성된다는 것에 유의하는 것이다. 따라서, 패턴 수에 의한 입력 신호의 압축은 순열의 크기 및 샘플링 레이트에 따라 비례적으로 압축된다. 패턴 시퀀스는 비디오에서와 같이 시간이 지남에 따라 변경되는 흑백 스크린의 픽셀 대신 CPU에서와 같이 바이너리 컴퓨터 레지스터의 천이 시퀀스를 나타낼 수도 있을 것이다.
본 발명의 측면들은 매니폴드의 표면 상에, 예에서 스피어에 매핑되는 패턴에 대한 도 35에 스피어가 표면에서 제로 노이즈이지만, 퀀톤 178의 센트로이드에선 제로가 아닌 순수 노이즈인 노이즈 함수를 제공한다. 이것은 값이 퀀톤의 표면 상에 정확히 떨어지지 않은 측정이 노이즈 임계 내에서 표면 상의 가장 가까운 후보 점까지 외삽될 수 있음을 의미한다. 이 경우, 퀀톤은 진정한 솔루션에 가장 가까운 최상의 가설을 생성하기 위해 노이즈성 데이터 환경에서 작동하고 있다. 다양한 노이즈 함수가 사용될 수 있으며 표면에 0에서 중앙에 1까지 노이즈의 가중을 변경하는 간단한 셰퍼드 보간 기능이 사용되는 경우 사용자 정의의 선택으로서 남겨두는 것이 가장 좋다. 이러한 방식으로, 노이즈성 유사도를 갖는 노이즈성 이미지 또는 노이즈성 회로의 패턴은 에뮬레이트될 수 있고 답을 생성하기 위해 신속한 후보가 생성될 수 있는데: 통계적으로 대답을 반복함으로써, 약한 신호 바이어스는 k-시도에서 성공하는 주파수를 간단히 관측함으로써 최상의 후보를 선택할 것으로 기대된다. 마지막으로, 노이즈는 본 개시에서 후술되는 바와 같이 분포 알고리즘의 추정을 사용함으로써 감안될 수 있으며, 퀀톤 머신 학습 프로세스의 필수적인 부분이다.
표면이 순수인 반면 스피어의 중심에 패턴이 혼합된 상태에 대한 도 36은, 양자 회로에 대해, 중심 180에 더 가까운 동안 순수한 상태로서 0인 표면 179에서 노이즈를 관련 짓게 의도되고, 상태는 노이즈와 유사한 완전히 혼합된 상태인데: 이 경우에, 노이즈 함수는 데이터에 대한 불확실성 측정으로부터 주입된 일부 가우시안 노이즈를 갖고 순열적으로 생성된다. 노이즈를 선택하는 절차는 통계적 모멘트(분산과 같은)가 선택되고, Michael Mascagni and Haohai Yu, "Scrambled Sobol Sequences via permutation", Monte Carlo Methods and Applications. Volume 15, Issue 4, Pages 311-332, ISSN (Online) 1569-3961, ISSN (Print) 0929-9629, DOI: 10.1515/MCMA.2009.017, January 2010의 교시에 따라 순열을 통해 생성된 스크램블된 Sobol 시퀀스에 더해진다.
전체적인 상황은 퀀톤에 매핑된 패턴에 대한 도 37에 도시되었고 여기에서 요소 181은 확률 분포와 노이즈 182, 즉, 퀀톤과 함께 표면에 매핑된 패턴을 나타낸다.
더 큰 순열은 더 작은 순열의 패턴을 내포하며, 패턴은 이들이 네스트된 구조로 분리되어 네스팅의 각 레벨에서 확률 측정의 선택에 가변성을 제공할 때 더 잘 연관된다는 점에 유의해야 한다. 네스팅은 네스트된 퀀톤을 갖는 퀀톤의 계층 구조에 대한 도 38에 도시되었고 여기에서 하이퍼스피어가 예시를 위해 사용되었을지라도, 상황은 또한 정규 매니폴드(이를테면 하이퍼토리와 같은) 다른 선택 중 하나에도 적용된다. 퀀톤 183 및 184의 계층 또는 집단을 생성하는 통찰력과 이유는 퀀톤을 생성하는 최상의 솔루션을 진화시키기 위해 분포 추정을 사용하는 것이다. 최저 레벨의 퀀톤은 상태 천이 함수에 결합된 퀀톤에 대응하며 따라서 확률 밀도 함수는 더 높은 레벨에 것들에 비교하여 다를 수 있다. 생성 t에서의 퀀톤 Q는 Qn(t)로 표시되며, Qbits(각각 레빗)를 나타내는, λ 순열된 상태들에 대해 방향성 확률 밀도를 갖는 오비토프에 대응한다. 따라서 각 퀀톤은 확률 밀도 함수 분포를 갖는 순열로서 표현되는, 길이가 λ인 비트 스트링의 분포로서 볼 수 있다. 모델의 유전자 진화 유형의 모델인 이 모델에서, 퀀톤은 확률 밀도에 따라, 지배적인 표현형, 순열을 표현하는 유전자형이다. 따라서, 각 퀀톤은 궁극적으로, 주어진 입력 데이터 문제에 대한 솔루션을 나타내는 바이너리 스트링을 생성한다.
도 39: 양자-유사 컴퓨팅을 위한 퀀톤에 기초한 추정 분포 알고리즘. 퀀톤의 선행 모델이 주어지면, 입력 데이터가 주어진 머신 학습 프로세스에서 퀀톤을 조정하기 위해 분포 알고리즘 추정의 변형인 확률 밀도 분포 추정이 적용된다.
퀀톤 집단과 계층은 양자 멀티세트에 대응한다. 퀀톤 집단은 항목 185에서 m개의 서브-세트로 분할되며, 각각은 항목 186에서 그룹당 n 퀀톤을 내포하고, 이들의 상태 천이 함수를 동기화할 수 있는 능력을 갖는다(즉, 정확히 동일한 기능 및 파라미터를 사용함으로써만). 단계 187 및 188에서, 분포의 퀀톤 추정은, 먼저 PART-A라고 불리는 항목 185 내지 191에 리스트된 집단 진화 단계에서 주어지고, 두번째로, PART-B라고 불리는 항목 192 내지 198의 단계에서 개개의 퀀톤의 레벨에서인 트윈-결합 방식으로 진화하는데: 이 결합된 진화의 독특한 측면은 로컬 퀀톤의 상태가 글로벌 상태와 인탱글되거나 상관될 수 있다는 것이다. EDA 알고리즘은 PART-A와 PART-B가 일렬로 진화되는 경우 다음과 같이 진행된다.
항목 185-191을 참조하면, PART-A로서:
(1) 제1 초기화 세대는 제2 세대로 반복되는데; 여기에서,
(2) 모든 퀀톤 Qn은 이전에 제시된 순열 표현 방법을 사용하여 데이터 입력 스트링 An에 연관된다.
(3) 이 데이터 세트는 항목 187에서 초기 확률 분포를 구축하기 위해 사용된다.
(4) 확률 분포는 항목 188에서 샘플링된다.
(5) An과 Qn 사이의 비트 스트링의 값은 적합도 189에 대해 비교된다.
(6) An이 이전 세대보다 우수하고 이들의 비트 값이 상이하다면, 양자 게이트 오퍼레이터는 이전에 설명된 순열 방법을 사용하여 Qn의 대응하는 큐비트에 적용된다.
(7) 그러므로, 게이트 동작 이후에, 분포 Qn은 항목 190에서 전체 솔루션 공간의 주어진 솔루션 An을 향해 약간 이동된다.
(8) 항목 186부터 단계는 항목 191에서 반복 수 또는 적합도의 임계에 도달하였을 때 종료될 때까지 반복된다.
퀀톤의 초기 셋업은 X=(X1, ..., Xn)이 길이 n의 순열(각각 브레이드)을 나타내는 이산 랜덤 변수의 벡터를 X=(X1,...,Xn)이 나타낸다는 것이다. 변수에 값의 할당을 표기하기 위해 (소문자) x=(x1,...,xn)을 사용한다. 마지막으로, 순열로서, {1,...,n}에서 한 세트의 인덱스를 표기하는 K를, K에 인덱스에 의해 결정되는 X(각각 x)의 변수의 서브-세트를 표기하는 Xk(각각 xk)를 정의한다. 따라서, 각 X에 대해, {0, 1,...,2g-1}에서 값을 취하는데, 여기에서 g는 값에 대한 생성기의 수이다(그리고 이들은 훈련 데이터로부터 기원할 수 있다).
볼츠만 확률 분포는 에너지를 따라 확률을 시스템 상태와 연관시키기 위해 통계 물리학에서 사용되는데: 이 프로세스는 계산을 유도하거나 퀀톤에 대한 분포의 추정을 위한 써로게이트로서 사용될 수 있다. 계산을 유도할 때, 에너지는 정보를 전달하며, 퍼뮤탄트가 정보 소스가 되는 반면 퍼뮤톤이 정보 싱크의 역할을 하게 설계된다. 따라서, 퀀톤 구조는, 브레이딩(각각의 순열 게이트) 오퍼레이터를 모델링하고 타겟 게이트에 보다 정확한 근사를 제공하는 브레이드에 더 높은 확률을 할당하여, 이에 따라 양자 게이트 자체를 모델링하는 컴퓨팅 진화 모드에서 볼츠만 분포 pB(x)를 사용한다.
볼츠만 분포 
는 다음과 같이 퀀톤에 대해 정의된다:
여기서 g(x)는 목적 함수이고, T는 확률을 스무딩하기 위한 시스템 온도이다.
분포 알고리즘의 추정으로부터 가장 높은 확률을 갖는 퀀톤은 목적 함수를 최대화하는 브레이드에 대응한다. 퀀톤은 타겟 게이트를 나타내며 다음과 같이 브레이드 길이의 객체 함수를 사용하는 브레이드를 위한 생성기 행렬들의 곱을 찾는 문제를 해결하는 것이다:
이제 항목 192 내지 198를 참조하면, PART-B로서:
(1) 항목 192에서, 본 개시물에서 이전에 설명된 방법을 사용하여 다양한 크기의 순열을 갖는 퀀톤의 랜덤 집단이 구축된다.
(2) 항목 193에서, 순열을 나타내는 오비토프는 퀀톤 집단의 부분으로서 개개의 퀀톤을 나타내기 예시된다.
(3) 항목 194에서, 순열 벡터는 일반적으로 순열 공간의 크기보다 작은 선택된 차원을 사용하여 매니폴드(예를 들면, 하이퍼스피어 또는 표 1에서 임의의 지오메트리)에 임베딩된다. 예를 들어, 3-요소 {1,2,3}에 대한 순열 벡터는 일반적인 유클리드 3-공간 내 점들을 생성한다. 그러나, 4-요소 {1,2,3,4}의 순열은 퍼뮤토헤드론의 보다 높은 차원의 점들을 생성한다. 따라서, 예를 들어, 원이 임베딩 공간으로서 선택된다면, 3-요소에 대해서, 6개의 할이 있거나, 4-요소에 대해, 원의 24 분할이 있을 것이며, 인접 관계는, 예를 들어, 순열에서 인접 요소들의 트랜지션일 수 있다. 그러므로, 임베딩의 공간은 순열 공간 자체와 동일한 크기일 필요는 없다;
(4) 혼합 모델 195는 이전에 기술된 방법에 의해 진화되고 조정될 수 있다;
(5) 확률 모델은 양자 게이트 오퍼레이터의 작동에 의해 조정되어, 항목 196에서 순열(게이트 동작) 간에 확률 천이를 변경한다. 고전적인 진화 알고리즘에서, 비트-스트링 교차 또는 변이변이와 같은 오퍼레이터는 탐색 공간을 탐사하기 위해 사용하고 반면 이들 오퍼레이터에 양자-유사 아날로그는 양자 게이트이다.
(6) 197에서 적합도가 평가된다. 효과는 로컬 퀀톤이 진화하여 이들이 로컬에서 글로벌 상태로 동기화되고 총괄적으로 솔루션쪽으로 더 가까이 이동하게 된다는 것이다.
(7) 항목 198에서, 적합도 또는 반복 횟수에 솔루션 임계가 달성된다.
최상의 가장 적합한 상태 천이 함수는 매 세대에서 저장되고, 로컬 동기화를 나타내는 간헐적 간격으로 그룹 함수에 분포된다. 퀀톤 그룹의 한 세트의 모든 집단, 즉 총 n × m 퀀톤으로부터, 모든 퀀톤 멀티세트 중 가장 최상으로 적합한 천이 함수가 매 세대에서 저장되고 또한 주기적으로 그룹 기능에 분포된다. 이것은 효과적으로 글로벌 동기화의 국면이다. 모든 퀀톤은 이들의 확률 분포가 
에 대응하도록 초기 집단에서 시작하며 따라서 두 상태 "0"과 "1"은 바이너리 값의 관측 로직의 경우에 공산이 같다.
퀀톤 모델은 2-큐비트 상태 모델을 임의의 유한 수의 상태로 일반화한다. 정보의 최소 유닛은 이제 n!인, 크기 n의 투플에 의해 정의되는 퀀톤이며, 서로 다른 S 상태의 총 수는 값이 양자 비트(큐비트)와 유사한 한 세트의 확률적 비트의 오더링에 관하여 정의된다.
상태, 
라 놓고, 따라서 
이라면, 24 패턴이 있지만, S가 퀀톤이라면 
조합 솔로션 세트가 존재하고 여기서 순열간 경로는 이들의 다양한 출처로 되돌아갈 수 있다(즉, 순열은 그 자체로 되돌아가는 경로를 가질 수 있다). 이 혼합된 상태 확률 분포는 순수 상태로서 라벨링된 개별 상태 αi를 갖는다.
퀀톤은 다음과 같이 각 상태의 각 확률에 대한 총 확률 보존 식에 준수한다:
퀀톤 집단은 퀀톤의 집단 뿐만 아니라 개별 퀀톤 상에 경로에 관련해서 확률론적으로 상태들의 선형 중첩의 개념을 나타낸다. 그러므로, 상태의 분포를 학습할 때, 바람직한 실시예에서의 알고리즘은 확률적 모델 빌딩 유전자 알고리즘(PMBGA)로서 문헌에서 다양하게 공지되어 있는 분포 알고리즘의 추정(EDA)이다. 두 용어는 구별없이 본 개시에서 상호교환적으로 사용된다.
퀀톤은 순열에 대한 분포에 의해서 그리고 순열 간의 확률적 천이 경로에 의해 표현된다. 이들은 앞서 언급된 바와 같이 큐비트 또는 레빗의 스트링에 대응하며, 따라서 임의의 큐비트(각각 레빗)은 모든 순열(즉 상태)이 모두 단일 퀀톤에서 사용가능하기 때문에 솔루션의 선형 중첩을 나타낼 수 있게 된다. 관측가능에 대한 진리값이 바이너리이라면, 솔루션은 바이너리 세트들의 중첩이고, 그렇지 않고, 다른 로직이 사용되는 경우, 중첩은 로직의 순서(예를 들면, 3-값의 로직)의 솔루션이 된다.
비트가 2개의 가능한 상태(0 또는 1) 중 하나만을 갖는 비트-스트링을 기반으로하는 통상적인 유전자 알고리즘은 차원성의 엄청난 증가, 긴 수렴 시간, 약한 신호 혼란, 수치 부정확 및 컴플렉스 코드와 같은, 매우 높은 스케일에서 현저하고 심각한 단점을 갖는다. 대조적으로, 개별로서 그리고 집단으로서 퀀톤은 모든 조합 솔루션의 중첩을 나타내는데: 이것은 퀀톤/양자 표현 모델의 자연스러운 부분인 반면 퀀톤을 사용하는 유전자유전 알고리즘에 의한 조합 최적화에서 수행에서 상당한 효율과 향상을 제공한다.
이제, 분포 알고리즘 추정에서의 퀀톤에 대한 흐름도 스키마타에 대한 도 39를 참조하면, 본 개시에 특히 중요한 몇가지 명확히 하는 노트가 순서대로 있다. 먼저, 분포 알고리즘의 추정(EDA)은 문제 공간에 대한 더 나은 후보 솔루션의 확률 분포를 추정하는 것에 기초한 진화 모델의 유형이라는 것이 당업자에게 일반적으로 알려져 있다. 앞에서 설명한 바와 같이, 퀀톤은 로컬(퀀톤의 수준에서) 및 글로벌(퀀톤 집단의 수준에서) 진화의 탠댐 모델을 사용하는데: 따라서 퀀톤 기반 PMBGA의 주요 단계는 다음과 같이 캐노니컬 PMBGA(각각 EDA)에서 크게 벗어난다.
(i) 퀀톤의 초기 집단은 무작위로 생성되며, 각 퀀톤은 자체가 글로벌 확률 밀도 함수 또는 혼합과는 다르고 이를 갖는 자신의 확률 밀도 함수를 가질 수 있다.
(ii) 모든 인정되는 솔루션에 대해 균일한 분포에 의해 생성된 집단으로부터 시작하여, 개인의 국부적으로 인탱글 서브-집단은 다양성과의 동기화를 보장하기 위해 순열 패턴 회피 제약 및 기타 하드 상관 관계를 설정함으로써 생성될 수 있다.
(iii) 퀀톤은 이들의 집단뿐만 아니라 개별적으로, 숫자가 높을수록 더 나은 것인, 집단의 각 개개에 대한 수치 랭킹을 제공하는 적합도 함수에 기반한 방법으로 모델을 사용하여 스코어된다. 이 랭크된 집단으로부터, 가장 유망한 솔루션의 서브-세트는 선택 오퍼레이터에 의해 선택된다.
(iv) 알고리즘은 선택된 솔루션의 확률 분포를 추정하려는 확률적 모델을 건설한다. 새로운 솔루션(자식)는 이 모델에 의해 인코딩된 분포를 샘플링함으로써 생성된다. 이어 이들 새로운 솔루션은 구(old) 집단에 다시 통합되는데, 가능하게 완전히 대체한다. 마지막으로, 이들 단계의 반복은 예상되거나 사전에 결정된 기준에 도달될 때까지 연속 사이클로 반복되는데: 이 모델은 개개의 무작위 선택이 양자 게이트 동작를 사용하여 인입 데이터에 대해 테스트되기 때문에 양자-유사 계산을 모델링하는 일반적인 진화 모델에서 벗어나며, 개개는 무작위 프로세스와는 반대로 머신-학습 프로세스로부터 생성될 수 있다.
(v) 마지막으로, 대부분의 구현은 주로 모든 문제 변수가 독립적이라는 가정 때문에 빠르고 효율적인 모델을 제공하는 확률 벡터를 기반으로 한다. 퀀톤은 이 경우를 변수가 독립적이지 않은 경우(즉, 어떤 면에서 인탱글) 뿐만 아니라 취급할 수 있고, 고전적 경우에는 몇몇 예기치 않은 히든 변수(즉, 퍼뮤톤 및 퍼뮤트릭스 상관)에 의해 관계된다.
추정된 확률적 모델은 현재의 최상의 솔루션을 선택하는 것으로부터 구축되며, 이것은 탐색 프로세스를 안내하고 유도된 모델을 업데이트하기 위해 샘플을 생성하는데 사용된다. 퀀톤이 해결하고자 하는 주요 프로세스는 매우 복잡한 데이터 공간에서 변수들 간에 조인트 확률을 캡처하는 것이다. 그러므로, 주 병목현상은 데이터와 연관된 조인트 확률 분포를 추정하는데 있다.
퀀톤 모델은 병목현상을 완화하기 위해 다음의 휴리스틱 규칙 세트를 사용한다:
(a) 독립적인 분포 휴리스틱: 문제의 변수들 간에 의존성이 없다고 가정한다. 조인트 확률 분포는 n개의 독립적인 일변량 확률 분포로서 팩토라이즈되며, H. Muhlenbein, "The equation for response to selection and its use for prediction", evolutionary Computation, 1997의 교시된 바를 사용하여 일변량 주변 분포 알고리즘(UMDA)이 사용된다. 동일 휴리스틱을 가진 다른 선택은 당업자에게 문헌에서, 예를 들어, M. Pelikan and H. Muhlenbein, "Marginal distributions in evolutionary algorithms", in Proceedings of the International Conference on Genetic Algorithms Mendel, 1998에서 언급된 바와 같은 집단 기반 증분 학습(PBIL) 및 콤팩트 유전자 알고리즘(cGA)을 포함한다.
(b) 쌍 의존성 휴리스틱: 변수들의 쌍들 간에 의존성을 가정한다. 그러므로, 변수의 조인트 확률 분포는 변수들 간에 순열이 주어졌을 때 일변량 밀도 함수와 (n-1) 쌍별 조건부 밀도 함수의 곱으로서 팩토라이즈된다. 예를 들어, M. Pelikan and H. Muhlenbein, "The Bivariate Marginal Distribution Algorithm", in Advances in Soft Computing: Engineering Design and Manufacturing, pages 521-535, Springer, 1999에 인용된 이변량 주변 분포 알고리즘(BMDA), 및 Romero, Leoncio A. et al. "A Comparison between Metaheuristics as Strategies for Minimizing Cyclic Instability in Ambient Intelligence." Sensors (Basel, Switzerland) 12.8 (2012): 10990-11012. PMC. Web. 5 May 2016에서 참조된 바와 같은 입력 클러스터링을 위한 상호 정보 최대화(MIMIC), 또는 S. Baluja and S. Davies. Combining multiple optimization runs with optimal dependency trees. Technical Report CMU-CS-97-157에 교시된 바에 따른 COMIT(Combining Optimizers with Mutual Information Trees)알고리즘.
(c) 다중 종속성: 다중 변수들 간에 의존성(강한 상관 또는 인탱글)을 가정한다. 이 경우에, 본 개시에 따른 로컬 및 글로벌 퀀톤 진화 및 집단 진화는 바람직한 실시예 중 하나이다.
다중 종속성의 경우, 퀀톤은 다른 방법보다 특별한 이점과 다항식 효율을 갖는다. 퀀톤의 토대에는 일반적으로 퀘리 레지스터, 
과 힐베르트 공간에서 작용하는 대답 레지스터 
로 구성된 양자 시스템의 발상이 있다:
퀀톤에서, 퀘리 레지스터와 대답 레지스터 둘 다는 특정 문제 인스턴스의 변수에 대한 가능한 값이 변수에 값의 할당의 순열의 공간에 존재하는 n-큐비트 레지스터이다. 예를 들어, NP-완전인 것으로 알려진 SAT 문제는 일반적으로 다중 종속성을 갖는다. 수월한 고전적 계산에 비해 퀀톤 양자 효율은 아마다르 변환 
를 초기화 n-큐비트 상태 
에 총 n번 적용함으로써 계산 기반의 균일한 중첩에 
가 놓여진다는 것이다. 즉,
이것은 기하급수적 수의 상태의 중첩을 야기하며, 각 상태는 퀀톤에서 가능한 경로를 나타내는데, 그러나, 퀀톤 순열 표현에 기인하여, 다항식 수의 게이트만 채용한다. 단일 큐비트는 상태 
로 초기화되며 이것이 대답 레지스터이다. 시스템의 상태는 다음과 같다:
이로부터 다음과 같이 퀘리 및 응답 표현을 도출할 수 있다:
그리고 인탱글을 다음과 같이 표현한다:
각각의 순수 상태에서 앙상블의 프랙션 
이다:
간단히 다음과 같이 작성된다.
그리고 답은 
:
따라서, 솔루션의 전체 수를 k로 나타내면, 
는 아래 표현에 보인 형태를 취한다.
전체 상태는 k=0일 때만 분리가능한데, 즉, 솔루션이 존재하지 않거나, k=2n일 때, 
에 속하는 각 값이 솔루션이다. 그렇지 않으면, 시스템은 인탱글된다. 따라서, 문제에 대한 솔루션이 존재하는지 여부를 결정하는 문제는 상태가 분리가능한지 아니면 인탱글되었는지 여부를 결정하는 문제로 줄일 수 있다.
상태가 인탱글되었는지 결정하기 위해, 다음의 판단 식이 사용된다:
이것은 
에 대해 보조 함수를 채용한다.
이 프로세스는 양자 레지스터를 인탱글되게 하고, 보조 함수를 사용하여, 주어진 범위에 대한 솔루션 상태의 존재에서 인탱글이 체크될 수 있다. 대조적으로, 솔루션이 없다는 것은 특정 범위가 탑색 절차에서 제거된다는 것을 의미한다.
도 40: 시스템 온 칩(SOC)을 위한 퀀톤을 위한 하드웨어 설계
앞의 정보가 주어졌을 때, 퀀톤은 양자 하드웨어가 가용하게 된 때는 언제든 고전적 또는 양자 하드웨어 구현에 적합하다. 고전적 하드웨어에서의 실시예에서, 항목 199에 데이터 샘플러는 항목 G에서 확률 분포를 사용하여 프로세서에 공급한다. 프로세서는 항목 200에서 GPU(그래픽 처리 유닛 코프로세서) 또는 DSP(디지털 신호 처리) 유닛을 사용하여 포스테리어 분포를 계산한다. 이것은 신호 인코딩을 위해 이전에 설명된 압축된 인코딩을 사용하여, 항목 202에서, 최종 출력 코드를 생성하기 위해 가산기 및 버퍼로서 동작하는 항목 201의 레메르 코드 "개정자" 형태로 양자 게이트의 순열 표현과 조합된다.
도 41: 퀀톤 PMBGA 컨센서스 출력을 위한 전체적인 마스터 흐름도
항목 204 내지 211에서 퀀톤 집단은 상이한 진화 체제에 따라 진화할 수 있으며, 이들은 항목 203에서 부모 퀀톤의 확률 밀도 분포를 학습하기 위한 분포의 메타휴리스틱 추정기로서 사용될 수 있는데: 이렇게 하여, 매우 복잡한 패턴, 또는 시간적 이벤트는 주어진 마스터 도메인에서 문제 해결에서 리콜 및 사용에 대비하여, 혹은, 다른 도메인에 솔루션과 유사하게, 항목 212에서 확률의 컨센서스로서(즉, 혼합 모델), 단일 마스터 퀀톤에 학습되어 저장된다.
따라서, 전술한 설명은 단지 본 발명의 예시적 실시예를 개시하고 설명한다. 당업자에 의해 이해할 수 있는 바와 같이, 본 발명은 이의 정신 또는 본질적인 특성을 벗어나지 않고 다른 특정 형태로 실시될 수 있다. 따라서, 본 발명의 개시는 설명을 위한 것이지, 본 발명의 범위 및 다른 청구 범위를 제한하려는 것이 아니다. 본원의 교시의 임의의 용이하게 식별가능한 변형을 포함하여, 개시는 발명의 어떠한 주제도 대중에게 전용되지 않도록 전술한 청구항 용어의 범위를 부분적으로 정의한다.
본 발명의 특징은 어떤 형태의 컴퓨터 프로세서를 사용하여 구현될 수 있다. 전술한 바와 같이, 상술된 실시예의 각각의 기능은 하나 이상의 처리 회로에 의해 구현될 수 있다. 처리 회로는 프로세서가 회로를 포함하기 때문에 프로그램된 프로세서(예를 들어, 도 42의 프로세서(1004))를 포함한다. 처리 회로는 주문형 집적회로(ASIC) 및 인용된 기능을 수행하도록 배열된 통상의 회로 성분와 같은 디바이스도 포함한다. 회로는 회로의 처리를 향상시키고 본 실시예의 특징이 없는 사람 또는 심지어 범용 컴퓨터에 의해서도 불가능한 방식으로 데이터가 처리되도록 하는 상술된 기능 및 특징을 구현하도록 특별히 설계되거나 프로그래밍될 수 있다.
본 실시예는 회로를 갖는 디지털 컴퓨팅 디바이스 상에서 양자 컴퓨팅을 에뮬레이트할 수 있거나 양자 컴퓨터 등에서 구현될 수 있다.
당업자가 인식할 수 있는 바와 같이, 컴퓨터 프로세서는 주문형 집적회로(ASIC), 필드 프로그램가능 게이트 어레이(FPGA) 또는 컴플렉스 프로그램가능 로직 디바이스(CPLD)와 같은 이산 로직 게이트로서 구현될 수 있다. FPGA 또는 CPLD 구현은 VHDL, Verilog 또는 이외 임의의 다른 하드웨어 디스크립션 언어로 코딩될 수 있으며, 코드는 FPGA 또는 CPLD 내에 직접 전자 메모리에 저장되거나 별도의 전자 메모리로 저장될 수 있다. 또한, 전자 메모리는 ROM, EPROM, EEPROM 또는 FLASH 메모리와 같은 비휘발성일 수 있다. 전자 메모리는 또한 정적 또는 동적 RAM과 같은 휘발성일 수 있으며, 마이크로컨트롤러 또는 마이크로프로세서와 같은 프로세서는 전자 메모리뿐만 아니라 FPGA 또는 CPLD와 전자 메모리 간의 상호작용을 관리하도록 제공될 수 있다.
대안적으로, 컴퓨터 프로세서는 본원에 기술된 기능을 수행하는 컴퓨터 판독가능 명령 세트를 포함하는 컴퓨터 프로그램을 실행할 수 있으며, 프로그램은 전술한 비일시적인 전자 메모리 및/또는 하드 디스크 드라이브, CD, DVD, FLASH 드라이브 또는 임의의 다른 공지된 저장 매체를 포함할 수 있다. 또한, 컴퓨터 판독가능 명령은 미국의 인텔로부터 제논 프로세서 또는 미국의 AMD로부터 옵테론 프로세서와 같은 프로세서 및 마이크로소프트 VISTA, UNIX, Solaris, LINUX, Apple, MAC-OSX 및 당업자에게 알려진 다른 운영 시스템과 같은 운영 시스템과 함께 실행되는 유틸리티 애플리케이션, 백그라운드 데몬 또는 운영 시스템의 성분, 또는 이들의 조합으로서 제공될 수 있다. 하나의 CPU 머신 상에서 조차도, 순열 인코딩으로 인해 "병렬"로 동작한다.
또한, 본 발명은 도 42에 도시된 컴퓨터 기반 시스템(1000)을 사용하여 구현될 수 있다. 컴퓨터(1000)는 정보를 통신하기 위한 버스(B) 또는 다른 통신 메커니즘 및 정보를 처리하기 위해 버스(B)와 결합된 프로세서/CPU(1004)를 포함한다. 또한, 컴퓨터(1000)는 프로세서/CPU(1004)에 의해 실행될 정보 및 명령을 저장하기 위해 버스(B)에 결합된, 랜덤 액세스 메모리(RAM) 또는 다른 동적 저장 디바이스(예를 들면, 동적 램(DRAM), 스태틱 RAM(SRAM) 및 동기식 DRAM(SDRAM))와 같은 주 메모리/메모리 유닛(1003)을 포함한다. 또한, 메모리 유닛(1003)은 CPU(1004)에 의한 명령의 실행 동안 임시 변수들 또는 다른 중간 정보를 저장하기 위해 사용될 수 있다. 컴퓨터(1000)는 CPU(1004)를 위한 정적 정보 및 명령들을 저장하기 위해 버스 버스(B)에 결합된 판독 전용 메모리(ROM) 또는 다른 정적 저장 디바이스(예를 들어, 프로그램가능 ROM(PROM), 소거가능 PROM(EPROM) 및 전기적 소거가능 PROM(EEPROM))을 더 포함할 수 있다.
또한, 컴퓨터(1000)는 버스(B)에 결합되어 대량 저장장치(1002) 및 드라이브 디바이스(1006)(예를 들어, 플로피 디스크 드라이브, 판독 전용 콤팩트 디스크 드라이브, 판독/기입 컴팩트 디스크 드라이브, 컴팩트 디스크 주크박스, 테이프 드라이브 및 착탈가능 광자기 드라이브)과 같은 정보 및 명령을 저장하기 위한 하나 이상의 저장 디바이스를 제어하기 위한 디스크 컨트롤러를 포함할 수 있다. 저장 디바이스는 적절한 디바이스 인터페이스(예를 들면, SCSI(Small Computer System InterfaceI), IDE(Integrated Device Electronics), enhanced-IDE(E-IDE), DMA(direct memory access), 울트라-DMA)를 사용하여 컴퓨터(1000)에 추가될 수 있다.
또한, 컴퓨터(1000)는 특수 목적의 로직 디바이스(예를 들어, 주문형 집적 회로(ASICs)) 또는 구성가능 로직 디바이스(예를 들어, 단순 프로그램가능 로직 디바이스(SPLDs), 복잡한 프로그램가능 로직 디바이스(CPLDs), 및 필드 프로그램가능 게이트 어레이(FPGA))를 포함할 수 있다.
컴퓨터(1000)는 또한 컴퓨터 사용자에게 정보를 디스플레이하기 위한, 음극선관(CRT)과 같은 디스플레이를 제어하기 위해 버스(B)에 결합된 디스플레이 제어기를 포함할 수 있다. 컴퓨터 시스템은 컴퓨터 사용자와 상호작용하고 정보를 프로세서에 제공하기 위한 키보드 및 포인팅 디바이스와 같은 입력 디바이스를 포함한다. 예를 들어, 포인팅 디바이스는 방향 정보 및 코맨드 선택을 프로세서에 통신하고 디스플레이 상의 커서 이동을 제어하기 위한 마우스, 트랙볼 또는 포인팅 스틱일 수 있다. 또한, 프린터는 컴퓨터 시스템에 의해 저장 및/또는 생성된 데이터의 인쇄된 리스팅을 제공할 수 있다.
컴퓨터(1000)는 메모리 유닛(1003)과 같은 메모리에 내포된 하나 이상의 명령의 하나 이상의 시퀀스를 CPU(1004)가 실행하는 것에 응답하여 본 발명의 처리 단계의 적어도 일부를 수행한다. 이러한 명령은 대량 저장장치(1002) 또는 착탈가능 매체(1001)와 같은 또 다른 컴퓨터 판독가능 매체로부터의 메모리 유닛으로 판독될 수 있다. 다중-처리 배열 내의 하나 이상의 프로세서는 또한 메모리 유닛(1003)에 내포된 명령 시퀀스를 실행하기 위해 채용될 수 있다. 대안적 실시예에서, 하드-와이어된 회로는 소프트웨어 명령 대신 또는 이와 함께 사용될 수 있다. 따라서, 실시예들은 하드웨어 회로 및 소프트웨어의 임의의 특정 조합으로 제한되지 않는다.
전술한 바와 같이, 컴퓨터(1000)는 적어도 하나의 컴퓨터 판독가능 매체(1001) 또는 본 발명의 교시에 따라 프로그래밍된 명령을 유지하고 본원에 기술된 데이터 구조, 테이블, 레코드 또는 다른 데이터를 포함하기 위한 메모리를 포함한다. 컴퓨터 판독가능 매체의 예는 콤팩트 디스크, 하드 디스크, 플로피 디스크, 테이프, 광자기 디스크, PROM(EPROM, EEPROM, 플래시 EPROM), DRAM, SRAM, SDRAM 또는 임의의 다른 자기 매체, 콤팩트 디스크(CD -ROM) 또는 컴퓨터가 읽을 수 있는 다른 매체이다.
컴퓨터 판독가능 매체 중 임의의 것에 또는 조합에 저장되는 것으로, 본 발명은 주 처리 유닛을 제어하고, 디바이스를 구동하기 위한 소프트웨어, 또는 본 발명을 구현하고, 주 처리 유닛이 사람 사용자와 상호작용할 수 있게 하기 위한 디바이스를 포함한다. 이러한 소프트웨어는 디바이스 드라이버, 운영 시스템, 개발 도구 및 애플리케이션 소프트웨어를 포함할 수 있지만 이에 국한되지는 않다. 이러한 컴퓨터 판독가능 매체는 본 발명을 구현하는데 수행되는 처리의 전부 또는 일부(처리가 분산되는 경우)를 수행하기 위한 본 발명의 컴퓨터 프로그램 제품을 더 포함한다.
본 발명의 매체 상의 컴퓨터 코드 요소는 스크립트, 해석가능 프로그램, 동적 링크 라이브러리(DLL), 자바 클래스 및 완전한 실행가능 프로그램을 포함하지만 이에 제한되지 않는 임의의 해석가능하거나 실행가능한 코드 메카니즘일 수 있다. 또한, 본 발명의 처리 부분은 수행, 신뢰성 및/또는 비용을 향상시키기 위해 분산될 수 있다.
본원에서 사용되는 "컴퓨터 판독가능 매체"라는 용어는 실행을 위해 CPU(1004)에 명령을 제공하는데 참여하는 임의의 매체를 지칭한다. 컴퓨터 판독가능 매체는 비휘발성 매체 및 휘발성 매체를 포함하지만 이에 한정되지 않는 많은 형태를 취할 수 있다. 비휘발성 매체는, 예를 들어, 대량 저장장치(1002) 또는 착탈가능 매체(1001)와 같은 광학, 자기 디스크 및 광자기 디스크를 포함한다. 휘발성 매체는 메모리 유닛(1003)과 같은 동적 메모리를 포함한다.
다양한 형태의 컴퓨터 판독가능 매체는 실행을 위해 CPU(1004)에 하나 이상의 명령의 하나 이상의 시퀀스를 수행하는데 연루될 수 있다. 예를 들어, 명령들은 초기에 원격 컴퓨터의 자기 디스크 상에 실릴 수 있다. 버스(B)에 결합된 입력은 데이터를 수신하여 버스(B) 상에 데이터를 배치할 수 있다. 버스(B)는 데이터를 메모리 유닛(1003)으로 운반하고, 이로부터 CPU(1004)는 명령을 인출하고 실행한다. 메모리 유닛(1003)에 의해 수신된 명령들은 선택적으로 CPU(1004)에 의한 실행 전후에 대량 저장장치(1002) 상에 저장될 수 있다.
컴퓨터(1000)는 또한 버스(B)에 결합된 통신 인터페이스(1005)를 포함한다. 통신 인터페이스(1004)는 예를 들어 근거리 통신망(LAN) 또는 인터넷과 같은 다른 통신 네트워크에 연결된 네트워크에 양방향 데이터 통신 결합을 제공한다. 예를 들어, 통신 인터페이스(1005)는 임의의 패킷 교환 LAN에 부착하기 위한 네트워크 인터페이스 카드일 수 있다. 다른 예로서, 통신 인터페이스(1005)는 대응하는 유형의 통신 라인에 데이터 통신 연결을 제공하는 비대칭 디지털 가입자 라인(ADSL) 카드, 통합 서비스 디지털 네트워크(ISDN) 카드 또는 모뎀일 수 있다. 무선 링크도 구현될 수 있다. 임의의 이러한 구현에서, 통신 인터페이스(1005)는 다양한 유형의 정보를 나타내는 디지털 데이터 스트림을 운반하는 전기, 전자기 또는 광학 신호를 송신 및 수신한다.
네트워크는 일반적으로 하나 이상의 네트워크를 통해 다른 데이터 디바이스에 데이터 통신을 제공한다. 예를 들어, 네트워크는 로컬 네트워크(예를 들어, LAN)를 통해 또는 통신 네트워크를 통해 통신 서비스를 제공하는 서비스 제공자에 의해 운영되는 장비를 통해 다른 컴퓨터에 연결을 제공할 수 있다. 로컬 네트워크 및 통신 네트워크는 예를 들어 디지털 데이터 스트림을 전달하는 전기, 전자기 또는 광학 신호 및 연관된 물리 계층(예를 들면, CAT 5 케이블, 동축 케이블, 광섬유, 등)을 사용한다. 또한, 컴퓨터(1000)는 PDA(personal digital assistant) 랩톱 컴퓨터 또는 셀룰러 전화와 같은 이동 디바이스일 수 있고 이에 연결을 네트워크는 제공할 수 있다.
요약하면, 양자 방법 및 장치는 양자-인스파이어 계산 데이터 표현 및 퀀톤이라고 하는 알고리즘을 사용한다. 퀀톤은 혼합된 상태 표현을 위한 써로게이트이며 결과를 생성하기 위해 학습 또는 추론을 수행하기 위해 퀀톤에서 동작하는 알고리즘이다. 퀀톤은 확률 밀도 함수, 연속 공간을 양자화하는 격자 및 각 격자 인덱스에서의 상태 공간을 나타내는 순열 인코딩을 선택함으로써 고전-유사 거동과 양자-유사 거동 간에 등급이 매겨질 수 있는 특성을 갖는 허구, 격자(예를 들면, 포논) 또는 실제(예를 들면, 원자) 물리 입자에 대한 인코딩으로서 사용될 수 있다.
퀀톤은 보렐 노말 실수의 실제 바이너리 확장에 의해 양자 컴플렉스 공간을 나타내기 위해 위에 언급된 파머에 의해 제안된 순열 모델과 같은, 임의의 수의 디지트 및 장소에 작용하는, 임의의 한 세트의 자기-유사 순열 오퍼레이터에 의해 정의될 수 있다.
실시예를 설명할 목적으로, 순열을 생성하기 위해 피보나치 격자와 간단한 트랜지션 순열 오퍼레이터를 사용할 것이다. 간단한 확률 밀도 함수인 폰 미제스 빙햄 분포가 사용될 것이고 피보나치 격자에 할당된다. 순열과 연관된 피보나치 격자의 점들은 함께 순열 폴리토프를 나타낸다. 그러므로, 격자와 이의 임베딩된 순열에 의해 양자화된, 리만 스피어의 역할을 하는 하이퍼스피어에 이 폴리토프를 임베딩할 것이다.
이의 세분성(즉, 양자화)의 결과로서, 확률 밀도 분포의 값은 하이퍼스피어 또는 스피어에 임베딩된 폴리토프의 버텍스의 카운트가능 세트에만 유일하게 정의될 수 있도록 정의된다(저 차원 순열의 경우). 순열 오퍼레이터는 스피어의 회전 하에 확률 밀도 값의 변환이 정의될 수 있는 순열 오퍼레이터 표현을 기술하거나, 역으로, 확률 밀도를 나타내는 벡터 공간에서의 동작은 순열이 임의의 데이터 구조 및 이 개시에서 더욱 기술되는 모델을 인코딩할 수 있다는 것을 나타내는 순열 결과를 생성함을 기술한다. 순열 오퍼레이터 표현과 순열 인코딩에 의한 임의의 데이터의 표현을 자연수로서 사용하여, 건설적인 양자-유사 확률적 가상 머신이 정의된다.
표준 양자 이론과 유사하게, 퀀톤 순열 오퍼레이터는 표준 양자 이론적 웨이브 함수에서 컴플렉스 위상 함수의 스토캐스티시티를 인코딩하는 역할을 할 수 있는데: 예를 들어, S2에서, 쿼터니온 순열은 파머에서 언급된 바와 같이 웨이브 함수에서 공간 인탱글 관계를 인코딩할 수 있다. 더 높은 차원에서, 로터의 일반적인 지오메트릭 대수는 이 형식주의를 확장한다. 퀀톤은 버텍스의 확률 밀도 값의 유한 샘플을 제공하며, 버텍스 세트는 파머 모델이 사용된다면(ref[]) 양자-이론적 확률 및 상관와 일치하는 확률 측정을 정의하기 위해 사용될 수 있다.
버텍스 기반 확률 밀도 측면에서 퀀톤의 양자화는 벨 부등식의 이행을 요구하지 않는 퀀톤 가상 머신을 감안하며, 따라서 진정한 양자-가상 머신과는 대조적으로 퀀톤을 "양자-인스파이어"의 근사 확률적 가상 머신으로 만든다. 그러나, 표준 양자 현상은 퀀톤에 의해 에뮬레이트된다. 이에 관하여, 퀀톤의 2가지 핵심 특성은, 양자-유사 상태 준비가 확률 밀도(또는 혼합 모델)의 선택에 해당한다는 것과, 측정 확률 및 상관이 빈도주의 또는 베이시이니즘(머신 학습 EDA를 통해 또는 직접 준비에 의해 인코딩되어진 바와 같은)에 의해 도출될 수 있는 관측 상태 공간(즉 모델 상태 공간)의 세분성을 순열 오퍼레이터가 정의하는 역할을 한다는 것이다.
데이터 세트가 파라미터로서 시간을 요구할 때 다이나믹스를 인코딩하기 위한 양자 인스파이어 접근법으로서 사용되는 시간 도메인 밀도 함수 이론(TDDFT)을 사용하여 시간 및 공간 영역이 조합될 수 있다. TDDFT는 고전적 컴퓨터에서 양자 알고리즘을 대략적으로 시뮬레이트하기 위해 사용될 수 있으며, 퀀톤 모델로, 이것은 또한 시간에 따른 클러스터링 또는 추론에 사용될 수 있다. 복잡도 클래스 QMA(양자 메를린 아서) 프로토콜에 있고 실제 양자 컴퓨터에서도 자원을 기하급수적으로 스케일링해야 하는 것과 같은 [http://arxiv.org/abs/0712.0483] 근사 함수를 사용하여 시뮬레이트하기가 매우 어려운 시스템이 있을 것이다.
복잡한 양자 계산 작업을 수행하는 기능을 찾는 것은 극히 어렵고, 본 개시는 특정된 문제 범위 내에서 계산적으로 유용한 함수를 생성하기 위해서, 분포 알고리즘 추정(EDA)에 기초하여, 매우 독특한 방식으로 다수의 별개의 요소를 조합함으로써 양자-유사 컴퓨팅을 근사화하는 고전적 근사를 제공한다. 문제의 범위라는 것은 본원에서 이들의 규모, 크기 또는 복잡도를 의미하고 애플리케이션 도메인 이내로 제약된다(즉, 범용 컴퓨팅 대신에 특수 목적 컴퓨팅을 의미한다).
특정된 스케일은 퀀톤에 의해 표현되는 구조의 순열 또는 깊이의 크기에 의해 결정된다. 따라서, 스케일 내에서, 퀀톤은 고속으로 계산되지만, 순열 스케일이 너무 작으면 계산은 기하급수적 또는 팩토리얼 크기로 다시 악화된다. 그러므로, 필요로 하는 퀀톤의 크기를 추정하는 것은 순열 폴리토프의 버텍스의 스페리컬 분포를 위한 토대로서 사용되는 스페리컬 피보나치 격자의 인접 격자 점들 사이의 거리의 함수로서 퀀톤 자체의 양자화 한계를 추정하는 것이 된다.
효과적인 데이터 구조 인코딩은 예를 들어 분포 및 입자 스웜 알고리즘의 고전적 및 양자 추정은 물론 다른 많은 근본적으로 어려운 최적화 문제에서 알고리즘 속도 향상을 가능하게 하는 주된 이유이다. 빈약한 데이터 구조는 솔루션이 구현하기 위해 해킹 및 워크-어라운드를 필요함을 의미한다.
퀀톤은 일련의 임베딩을 이용한다. 즉, 데이터에 대한 표현으로서 역할을 하는 확률론적 입자로 사전 컴파일된, 팩토리얼적으로 큰 데이터 공간과 n-차원 매니폴드 사이에서 속도를 위한 공간을 거래하지 않고 조합의 복잡도를 부분적으로 평가하고 따라서 컴파일한다.
퀀톤 데이터 인코딩은 중첩의 상태에 대한 전체 조인트 확률 밀도를 나타내기 위해 인탱글과 중첩의 개념을 이용하고 모든 추론 궤적을 동시에 근사화한다(예를 들면, 마코프 체인 몬테 카를로(MCMC)) - 임의의 현재의 순전히 고전적인 데이터 인코딩 모델로는 가능하지 않은 위업. 단일 입자로서, 단일 퀀톤 데이터 인코딩은 방대한 양의 정보를 인코딩할 수 있으며 이러한 퀀톤 인코딩의 다양성은 보다 복잡한 표현의 데이터 써로게이트를 위한 양자 입자 앙상블을 형성한다.
예를 들어 사례-기반 추론(CBR)에서 보다 복잡한 데이터 표현의 써로게이트의 예로서, 동적 사례 메모리는 머신 학습이 사례 적응 프로세스 뿐만 아니라 사례 매칭의 본연의 부분인 추론 프로세스에 핵심이다. 실세계 애플리케이션에서, 빅 데이터는 비구조적인 고-차원 사례 벡터 세트로서 도착하여, 상황이 어려운 스피치-대-스피치 머신 번역 문제와 같은 지식-부족의 피상적 세트의 사례로 구성될지라도, 메모리 기반 또는 인스턴스 기반 추론 및 학습을 요구한다. 퀀톤 데이터 인코딩을 사용하는 본원의 접근법에서, 사례 인덱싱 문제는 사례를 나타내는 순열에 대한 확률 밀도 분포를 통해 내장된 양자 인스파이어 병렬처리를 사용함으로써 매칭이 효율적으로 수행될 수 있는 모델링 레벨에서 다루어진다.
퀀톤은 "백도어"라고 불려졌던 것을 제공하기 때문에 최상의 고전적 접근법에 비해 2차, 기하급수적 및 팩토리얼 스피드업으로 매우 빠른 속도로 수행할 수 있는 추론 절차의 양자-써로게이트를 구현하는 것을 가능하게 한다. 퀀톤 백도어는 매니폴드와 동일 매니폴드에 탄젠트 공간 확률 사이의 임베딩된 확률 밀도와 연속된 매니폴드에 임베딩 사이에 형성되는 연결인데: 이들은 전체 문제 공간에 대한 희박한 수의 점들이다. 백도어는 매우 높은 차원의 데이터 공간에 극적으로 영향을 미칠 수 있는 희박한 수의 파라미터이고 이들을 관리가능한 레벨로 낮추는데 이들이 높은 조합 복잡도를 통한 지름길처럼 작동하기 때문이다. 따라서, 퀀톤 데이터 구조를 사용하기 위한 전형적인 타겟은 퀀톤이 연속 확률 밀도 함수와 구조간에 백도어를 제공함으로써 NP를 P로 근사하는 일반적인 방법을 가능하게 하므로 NP-하드 문제를 공격하는데 있다.
하나의 예는 순열에 대한 추론, 행렬 영속성 계산 및 순차 행렬 문제 뿐만 아니라, (베이시안) 그래픽 모델에서 NP-하드 최대 선험적(MAP) 추론이다. 데이터 구조를 사용하여 제시된 알고리즘은 고전보다 2차 스피드업을 갖는 근사-MAP 구성을 신속하게 찾을 수 있으며, 순열에 대한 추론에 대한 근사 추론을 찾을 수 있고, 근사에 가까운 영속성을 계산하고, 고전적인 방법이 이들 NP-하드 문제 각각에 대해 대략적인 후보 중에서 정확한 솔루션을 선택할 수 있게 노이즈성 순차 행렬 문제에 대한 솔루션을 신속하게 근사화할 수 있다.
방향성 데이터에 대한, 컴플렉스 정규 분포, 켄트, 가우시안, 빙햄, 왓슨, 디리클레 프로세스 혼합 모델 또는 폰 미제스-피셔 분포, 또는 이들의 다변수 버전 중 임의의 하나 또는 혼합은 다루기 쉬운 형태를 제시하며, 퀀톤에 대해 요구되는 모든 모델링 능력을 갖는다.
본 발명은 예상 최대화(EM) 설정에서 파라미터의 수치 근사를 제공하는 하이퍼스피어 상의 분포의 혼합 생성 모델을 사용한다. 이 실시예는 분포 관점으로부터 올바른 임베딩 차원을 선택하는 것뿐만 아니라 스펙트럼 클러스터링을 위한 올바른 임베딩 차원을 선택하는 것에 대한 설명을 제공할 수 있게 한다. 그러나, 텍스트 분석에서, 그리고 클러스터링 목적을 위해, 관련 문서 간의 세만틱(콘텐트 구조)를 표현하기 위해, 토픽은 개념에 대한 순열로서 표현될 수 있다. 순열에 대한 분포를 학습하기 위해, 일반화된 말로우 모델(GMM)은 캐노리컬 순열에 가까운 순열에 확률 매스를 집중시키므로, 이 분포로부터의 순열은 유사할 가능성이 높고, 따라서 유사한 문서를 클러스터링한다. GMM 모델에서, 파라미터의 수는 개념의 수에 따라 선형적으로 증가하므로, 전형적으로 순열의 큰 이산 공간과 관련된 다루기 쉬운 문제를 피할 수 있다.
어떤 실시예가 설명되었지만, 이들 실시예는 단지 예로서 제시되었으며, 발명의 범위를 제한하려는 것이 아니다. 실제로, 본원에 기술된 신규한 방법 및 시스템은 다양한 다른 형태로 구현될 수 있다. 또한, 본원에 설명된 방법 및 시스템의 형태에서 다양한 생략, 대체 및 변경이 본 발명의 사상을 벗어나지 않고 이루어질 수 있다. 첨부된 청구항 및 그 등가물은 본 발명의 범위 및 사상 내에있는 그러한 형태 또는 수정을 포함하도록 의도된다.
Claims (1)
- 양자 유사 머신(quantum like machine)을 에뮬레이트하는 방법에 있어서, 상기 방법은 회로에 의해 수행되며, 상기 방법은
란다우 수(Landau number)에 기초하여 문제 크기에 맞는 최대 순열 그룹의 크기를 결정하는 단계;
고-차원 공간에 닫힌 지오메트릭 표면을 생성하는 단계로서, 상기 닫힌 지오메트릭 표면은 상기 최대 순열 그룹의 크기에 대응하는, 상기 닫힌 지오메트릭 표면을 생성하는 단계;
상기 닫힌 지오메트릭 표면에 버텍스들의 격자(a lattice of vertices)를 임베딩하는 단계;
각각의 순열들을 상기 격자의 대응하는 버텍스들에 할당하는 단계;
선형 탄젠트 공간들을 상기 격자의 수용 버텍스들에 연관시키는 단계;
양자 게이트 동작들에 대응하도록, 상기 격자의 상기 버텍스들의 각각의 순열들 사이에 천이 오퍼레이터들을 연관시키는 단계;
계산을 위해 써로게이트들(surrogates)로서 순열들을 연관시키는 단계;
상기 닫힌 지오메트릭 표면에 걸쳐 비선형 방향성 확률 분포 함수를 분배하는 단계로서, 상기 비선형 방향성 확률 분포 함수는 대응하는 천이 오퍼레이터들의 각각의 우도들을 나타내는, 상기 비선형 방향성 확률 분포 함수를 분배하는 단계; 및
양자 게이트의 에뮬레이션을 생성하기 위해, 상기 천이 오퍼레이터의 상기 우도들의 수정을 위해 상기 비선형 방향성 확률 분포 함수를 업데이트하는 단계를 포함하는, 방법.
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