KR20090012226A - 양자 랜덤 비트 생성기 및 랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법 - Google Patents

양자 랜덤 비트 생성기 및 랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명의 다양한 실시예는 광전자 회로 내에 집적될 수 있는 자가 인증 양자 랜덤 비트 생성기에 관한 것이다. 일 실시예에서, 양자 랜덤 비트 생성기(1100, 1400)는 제 1 도파관(1111), 제 2 도파관(1110) 및 제 3 도파관(1112)으로 나뉘어지는 도파관(1108, 1414)에 커플링되는 전자기 복사 소스(1106, 1406, 1412)를 포함하는 전송층을 포함한다. 복사 소스는 제 1 편광 상태의 전자기 복사의 펄스를 생성한다. 편광 회전기(1114-1117)는 제 2 도파관 및 제 3 도파관에 동작가능하게 커플링되어 제 2 도파관 내에 전송된 펄스를 제 2 편광 상태로 회전시키고 제 3 도파관 내에 전송된 펄스를 제 3 편광 상태로 회전시킨다. 시스템 제어부(1104)는 제 1 도파관 내에 전송된 펄스의 편광 기저 상태에 기초하여 비트 시퀀스를 생성하고, 제 2 및 제 3 펄스의 편광 기저 상태에 기초하여 비트 시퀀스의 랜덤성을 단층촬영법으로 인증한다.

Description

양자 랜덤 비트 생성기 및 랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법{SELF-AUTHENTICATING QUANTUM RANDOM BIT GENERATORS}
관련 출원과의 상호 참조
본 출원은 2006년 4월 20일에 출원된 미국 특허출원번호 제 11/407,513 호 및 2006년 10월 10일에 출원된 미국 특허출원번호 제11/546,158의 일부계속출원이다.
본 발명은 난수 생성기에 관한 것으로, 구체적으로, 양자 광학 시스템의 양자역학 특성을 이용하여 랜덤 비트의 시퀀스를 생성하는 방법 및 시스템에 관한 것이다.
난수는 몇 개만 예를 들자면, 게임 놀이, 통계적 샘플링, 정방정식 계산, 입자 수송 계산 및 통계 물리학 계산을 포함하는 다수의 영역에 적용된다. 따라서, 난수 생성기("RNG")는 난수를 사용하는 방법 및 시스템에서 현저하게 나타난다. 예컨대, RNG는 보안 시스템의 키 구성요소이고 암호화 키를 생성하는 데 광범위하 게 사용된다. 이상적인 RNG는 사전에 예측될 수 없고 쉽게 복제될 수 없으며, 균일한 분배에 따라 분포되는 수를 생성한다. 바꾸어 말하면, RNG는 이상적으로 불편(unbiased) 난수 시퀀스를 생성한다. 그러나, 다수의 일반적으로 사용된 RNG는 외관상(seemingly) 난수 시퀀스를 생성하거나 불편 난수 시퀀스를 생성하기 쉬울 수 있다.
RNG는 공식 및 수치 해법을 사용하여 외관상 난수 시퀀스를 생성하도록 소프트웨어로 구현되었다. 소프트웨어 기반 RNG는 일반적인 공식 기반 RNG이고 "의사 난수 생성기"로서 지칭되는데, 이는 동일한 초기 파라미터가 사용되면, 공식이 의사 난수 시퀀스의 예측 및 복제를 고려하기 때문이다. 순환 레머 의사 난수 생성기("LPNG")는 일반적으로 사용되는 의사 난수 생성기의 예이며 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00001
여기서, x n 은 난수 시퀀스 중 n 번째 수이고,
A, C 및 M은 LPNG에 의해 생성한 시퀀스가 랜덤함을 나타내는 것을 보장하도록 조정될 수 있는 파라미터이다.
전형적으로, M은 의사 난수 시퀀스를 계산하는 데 이용되는 컴퓨터의 워드 크기에 할당되고, x 0, 즉, 시드(seed)는 소수에 할당된다. 예컨대, A, C 및 M을 값 21, 1 및 32(5 비트)에 각각 할당하고, x 0를 소수 13에 할당하면, LPNG는 후속하는 의사랜덤 정수 시퀀스 13, 18, 27, 24, 25, 14, 7 등을 생성한다. 다른 방안은 의사 난수 생성기가 시작될 때마다 컴퓨터 시스템 클록에 의해 생성된 시간으로 의사 난수 생성기를 시드한다. 그러나, 의사 난수 생성기가 시작되었던 시간을 결정할 수 있으므로, 시스템 클록에 의해 제공된 시간을 사용하는 것도 전혀 오류가 없는 것은 아니다.
하드웨어 기반 RNG도 개발되어 원자, 분자 및 전기 시스템에 의해 생성한 열잡음에서 관찰되는 무질서 변동으로부터 난수 시퀀스를 생성해왔다. 예컨대, 열잡음은 저항을 통해 흐르는 전기적 전류에 의해 생성될 수 있는데, 이는 수와 전압 평형 변동의 크기에 할당함으로써 난수 시퀀스의 소스로서 사용된다. 그러나, 사용된 시스템이 환경 변화의 영향을 받기 쉬우므로, 하드웨어 기반 RNG가 신뢰성있는 것은 아니다. 예컨대, 전기적 잡음 기반 RNG는 시스템의 온도를 변화시킴으로써 편향될 수 있다. 또한, 전형적으로 하드웨어 기반 RNG에 의해 생성한 시퀀스(sequence)의 랜덤성을 인증하는 데 이용되는 방법은 결정론적 소프트웨어 기반 방법인데, 이는 시퀀스가 통계적으로 잘 작용되는지 여부를 결정하는 데 사용될 수 있지만, 시퀀스의 진정한 랜덤성을 평가하는 데에는 사용될 수 없다. 또한, 적절한 모델 또는 알고리즘을 갖는 충분한 전력의 데이터 프로세싱 시스템이 단지 단시간 동안만이라도 카오틱 또는 열 프로세스를 예측할 수 있게 될 수 있다.
양자 랜덤 비트 생성기("QRBGs")는 다른 유형의 하드웨어 기반 RNG이다. 일 비트는 컴퓨팅 및 정보 프로세싱에 사용되는 정보의 가장 기본적인 단위이며 이진수 "0" 및 "1"에 의해 표현되는 두 개의 상태 중 하나로 존재한다. QRBG는 실질적으로 동일한 양자 시스템의 양자역학 특성에 기초한다. 난수 시퀀스는 각 수를 양자 시스템에서 수행된 측정의 결과와 결합시킴으로써 생성할 수 있다. 측정이 수 행될 때 각 측정이 양자 시스템의 상태를 다수의 가능한 상태 중 하나에 투영하므로, 이러한 방식으로 생성한 수는 정말로 랜덤하며, 양자역학의 표준 해석에 따라, 특정 방법 및 측정 장치의 정제량은 양자 시스템에서 수행된 측정 결과의 불확실성을 극복할 수 없다. 따라서, QRBG는 난수 시퀀스를 생성하는 가장 바람직한 시스템이다.
양자 측정은 랜덤 비트를 생성하는 데에 사용될 수 있다. 예를 들어, 랜덤 비트의 시퀀스는 편광 빔스플리터의 출력 채널 내에 위치한 두 개의 광전자배증관(photomultiplier)을 사용하여 편광 빔스플리터 상의 45° 편광된 광자의 전송 및 반사에 의해 생성될 수 있다. 각 검출기는 검출 사건을 기록할 동일한 확률을 갖지만, 어느 검출기가 다음의 검출 사건을 기록할지를 예측할 수는 없다. 검출기들 중 하나에서 검출에 대해 이진수 "0"를 할당하고 다른 검출기에서 검출에 대해 이진수 "1"을 할당함으로써, 이진 난수의 시퀀스가 구성될 수 있다. 비트의 시퀀스는 임의의 정수들의 시퀀스를 생성하는 데에 사용될 수 있다. 예를 들어, 30개의 45° 편광된 광자를 개별적으로 편광 빔스플리터로 전송하여 아래와 같은 랜덤 비트의 시퀀스를 생성한다고 가정하자:
Figure 112008074526961-PCT00002
이러한 시퀀스는 5비트 워드로 분할되어 랜덤한 이진수의 시퀀스인 00011, 01010, 11100, 10101, 01111, 00100를 제공하며, 이것은 각각 랜덤한 10진수의 상응하는 시퀀스 3, 10, 28, 21, 15, 4로 변환될 수 있다.
QRBG가 난수 시퀀스를 생성하기에 편리한 방법 및 시스템을 제공하는 것처럼 보이지만, QRBG는 광자 소스를 탬퍼링(tampering)함으로써 의사 난수 시퀀스를 생성하기 쉬울 수 있다. 또한, 전형적으로 QRBG와 같은 장치에 의해 생성한 비트 시퀀스의 랜덤성을 인증하는 데 이용된 방법은 흔히 결정론적 소프트웨어 기반 방법인데, 이는 비트 시퀀스가 정말로 랜덤한지 여부를 평가하는 데 있어서 신뢰할 수 없다. 물리학자, 암호 사용자, 컴퓨터 과학자 및 양자 정보 사용자는 랜덤 비트 시퀀스를 확실하게 생성하는 데 사용되고, 광전자 디바이스로 집적될 수 있으며, 양자 시스템의 비결정론적 특성에 의지하는 방법을 사용하는 QRBG에 의해 랜덤 비트의 시퀀스의 편향을 검출하고, 인증하며, 교정하는 데에도 사용될 수 있는 QRBG에 대한 필요성을 인지해 왔다.
본 발명의 다양한 실시예는 광전자 회로 내로 집적될 수 있는 자가 인증 양자 랜덤 비트 생성기(self-authenticating, quantum random bit generator)에 관한 것이다. 본 발명의 일 실시예에서, 자가 인증 양자 랜덤 비트 생성기는 전송층 및 시스템 제어부를 포함한다. 전송층은 제 1 도파관, 제 2 도파관 및 제 3 도파관으로 나뉘어지는 도파관에 커플링된 전자기 복사 소스를 포함한다. 전자기 복사 소스는 제 1 편광 상태에 있는 전자기 복사의 펄스를 생성하도록 구성된다. 하나 이상의 편광 회전기는 제 2 도파관 내에서 전송된 펄스를 제 2 편광 상태로 회전시키고 제 3 도파관 내에서 전송된 펄스를 제 3 편광 상태로 회전시키도록 위치 및 구성된다. 시스템 제어부는 제 1 도파관 내에서 전송된 펄스의 편광 기본 상태에 기초하여 비트의 시퀀스를 생성하도록 구성되고, 제 2 및 제 3 도파관 내에서 전송된 펄스의 편광 기본 상태에 기초하여 비트 시퀀스의 랜덤성을 단층 촬영으로 인증한다.
도 1은 입방형 공동(cubic cavity)를 도시한 도면.
도 2는 기본 벡터로서 두 개의 독립 편광 벡터와 및 하나의 정규화된 파동벡터를 갖는 3차원 좌표계를 도시한 도면.
도 3은 도 2에 도시된 좌표 시스템 내의 전자기 복사의 전기장 및 자기장 성분의 표현을 도시한 도면.
도 4는 양자화 전자기 복사의 에너지 레벨도.
도 5는 소스로부터 출력되고 도파관 내에서 검출기로 전송된 펄스와 관련된 확률 분포를 도시한 도면.
도 6a 및 도 6b는 수직 및 수평 편광 기저 상태의 플롯을 도시한 도면.
도 7은 편광 상태의 푸엥카레 구(poincare sphere) 표현을 도시한 도면.
도 8a 내지 도 8d는 4개의 편광 상태의 플롯을 도시한 도면.
도 9는 스토크스(Stokes) 파라미터의 기하학적 표현을 도시한 도면.
도 10은 본 발명의 실시예를 나타내는 양자 난수 생성기의 일반적인 개략적 표현을 도시한 도면.
도 11은 본 발명의 실시예를 나타내는 제 1 양자 랜덤 비트 생성기의 개략적 표현을 도시한 도면.
도 12a 및 12b는 본 발명의 실시예를 나타내는 슬롯된(slotted) 편광 회전기를 도시한 도면.
도 13a 및 13b는 본 발명의 실시예를 나타내는 경사-마루(slanted-ridge) 편광 회전기를 도시한 도면.
도 14a 내지 14c는 각각이 본 발명의 실시예를 나타내는, 세 개의 서로 다른 랜덤 비트 생성기의 개략적인 표현을 나타낸 도면.
도 15는 본 발명의 실시예를 나타내는 시스템 제어부에 의해 기록될 수 있는 가상 로우 카운트(raw count)의 시퀀스를 도시한 도면.
도 16은 본 발명의 실시예를 나타내는 로우 카운트 시퀀스로부터의 랜덤 비트 시퀀스 생성를 도시한 도면.
도 17은 반대 시나리오에 대해 도 10에 도시된 양자 난수 생성기를 도시한 도면.
도 18은 본 발명의 실시예를 나타내는 최소-엔트로피(min-entropy)의 플롯을 도시한 도면.
도 19는 랜덤 비트 시퀀스를 생성하는 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 제어 흐름도.
도 20은 도 19의 단계(1906)에서 호출된 루틴 "로우 이진수 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00003
생성"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 도 면.
도 21은 도 19의 단계(1908)에서 호출된 루틴 "단층 촬영 분석"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 도면.
도 22는 도 19의 단계(1910)에서 호출된 루틴 "로우 이진수 시퀀스 선별(sift)에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 도면.
본 발명의 다양한 실시예는 광전자 디바이스 내에 집적될 수 있는 자가 인증 양자 랜덤 비트 생성기(QRBG)에 관한 것이다. 본 발명의 시스템 실시예는 랜덤 비트 시퀀스를 생성하고 시퀀스의 랜덤성을 평가 및 인증하는 데에 사용될 수 있으며 시퀀스로부터 편향된 비트를 제거하는 양자역학 기반의 방법을 포함한다. 시스템 실시예는 또한 몇몇 예를 들자면 개인 컴퓨터, 서버 및 휴대용 전자 디바이스들과 같은 광전자 디바이스에 포함되기에 충분히 작다.
본 발명의 실시예는 사실상 수학적이며, 이러한 이유로 다수의 식과 다수의 그래프를 참조하여 후술된다. 양자 광학 및 양자 정보의 당업자에게 본 발명의 실시예를 완전히 설명하고 기술하는 데 수학식만으로도 충분할 수 있지만, 본 발명이 다양한 배경적 정보로 독자에게 접근할 수 있도록 후속 논의에 포함된 다수의 그래프식 문제 지향 예 및 제어 흐름도 방안이 여러 가지 상이한 방식으로 본 발명의 다양한 실시예를 설명하려 한다. 또한, 독자가 본 발명의 다양한 실시예의 설명을 이해하는 것을 돕기 위해, 물리학 관련 주제의 개요 소부(subsection)가 제공된다. 제 1 소부에서, 양자역학의 개요가 제공된다. 제 2 소부에 전자기 복사 및 양자 광학의 개요가 제공된다. 제 3 소부에는 결맞음 상태(coherent states)의 개요가 제공된다. 제 4 소부에는 편광 상태 및 스토크스 파라미터의 개요가 제공된다. 마지막으로, 본 발명의 다양한 시스템 및 방법이 제 5 소부에 설명된다.
양자역학의 개요
본 발명의 실시예는 양자역학의 개념을 이용한다. 1977년 프랑스 파리 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu and Frank Laloe, Hermann의 텍스트북 "양자 역학 제 1 권 및 제 2 권"은 양자역학 분야에 대한 다수의 참조문 중 하나이다. 이 소부에서, 본 발명의 실시예와 관련된 양자역학의 주제가 설명된다. 추가적인 세부사항은 이상에 참조된 텍스트북 또는 양자역학에 관한 다수의 다른 텍스트북, 논문 및 저널 기사로부터 획득될 수 있다.
양자역학은 광자, 전자, 원자 및 분자를 포함하는 시스템의 관찰된 성향, 원자 및 아원자(subatomic) 레벨을 모델링한다. 양자 시스템은 측정가능한 이산량을 특징으로 하는 이산 상태에 존재한다. 양자 시스템의 상태는 켓(ket)으로 나타나며 ｜Ψ〉으로 표시되는데, 여기서 ｜Ψ〉는 양자 시스템의 상태를 나타내는 라벨이다. 예컨대, 전자는 2 개의 측정가능한 스핀 각 운동량 값 h/2 및 -h/2에 상응하는 2 개의 고유의 스핀 각 운동량 상태를 가지는데, 여기서 h는 대략 1.0546×10- 34 Js이다. 스핀 각 운동량 h/2에 상응하는 스핀 상태는 "스핀 업"으로 지칭되고 ｜↑〉으로 표시될 수 있으며, 스핀 각 운동량 -h/2에 상응하는 스핀 상태는 "스핀 다운"으로 지칭되고 ｜↓〉으로 표시될 수 있다. 여러 가지 상이한 양자 상태에 여러 서로 다른 라벨이 할당될 수 있다. 예컨대, 스핀 업 및 스핀 다운 상태 ｜↑〉 및 ｜↓〉는 각각 켓 ｜½〉및 ｜-½〉로도 나타낼 수 있다. 또한, 완전히 서로 다른 양자 시스템의 상이한 상태를 나타내는 데 단일 라벨이 사용될 수 있다. 예컨대, 켓 "｜1〉"은 2원자 분자의 제 1 양자화 진동 레벨을 나타낼 수 있고, 후속하는 소부에 후술되는 바와 같이 단일 광자를 나타내는 데에도 사용될 수 있다.
양자 시스템의 측정가능량을 결정하는 데 이용된 측정은 연산자
Figure 112008074526961-PCT00004
로 나타내는데, 여기서 기호 "⌒"는 연산자를 지칭한다. 일반적으로, 연산자는 다음과 같이 좌변으로부터 켓을 연산한다.
Figure 112008074526961-PCT00005
여기서
Figure 112008074526961-PCT00006
은 관찰된 양자 상태를 나타내는 켓이다. 전형적으로, 연산자
Figure 112008074526961-PCT00007
는 "고유상태(eigenstate)"로 지칭되는 상태 세트와 관련된다. 고유상태는 후속하는 특성을 가진 "｜Ψ i 〉"으로 나타낸다.
Figure 112008074526961-PCT00008
여기서, i는 음이 아닌 정수이고, Ψ i 는 양자 시스템이 고유상태 ｜Ψ i 〉에 있는 경우에 관찰되는 이산 실수 측정가능량에 상응하는 "고유값"으로 지칭되는 실 수이다. 예컨대, z 축에 평행한 전자의 스핀 각 운동량을 결정하는 데 이용된 측정은
Figure 112008074526961-PCT00009
로 나타내고, 관찰된 스핀 각 운동량 값의 고유값-고유상태 표현은 다음과 같다:
Figure 112008074526961-PCT00010
연산자의 고유상태는 "상태 공간"이라 지칭되는 복소 벡터 공간을 생성하는(span) 복소 벡터이다. 상태 공간에 속하는 모든 상태가 기저 상에 고유한 선형 중첩을 가지면, 고유상태는 벡터 공간의 기저를 구성한다. 예컨대, 연산자
Figure 112008074526961-PCT00011
의 N 개의 고유상태 {｜Ψ i 〉}에 의해 생성되었던 상태 공간 내의 상태 ｜Ψ〉는 고유상태의 선형 중첩으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00012
여기서, c i 는 "진폭"으로 지칭되는 복소값 계수이다. 연산자와 관련된 상태 공간은 "힐베르트 공간(Hilbert space)"으로도 지칭된다. 힐베르트 공간은 "내적"이라 지칭되는 수학적 연산을 포함한다. 2 개의 상태 ｜Ψ〉와 ｜Ξ〉의 내적은 다음과 같이 나타난다.
Figure 112008074526961-PCT00013
여기서, 〈Ξ｜는 "브라(bra)"로 지칭되고 상태 ｜Ξ〉의 켤레 복소수 및 전치를 나타낸다. 내적은 후속하는 특성을 갖는다.
Figure 112008074526961-PCT00014
여기서 "*"는 켤레 복소수를 나타낸다. 힐베르트 공간의 기저 고유상태는 직교하거나 수학적 표기로 존재한다.
Figure 112008074526961-PCT00015
여기서, δ ij 는 i와 j가 같으면 1이고 같지 않으면 0이다. 예컨대, 단일 전자 힐베르트 공간의 고유상태의 내적은
Figure 112008074526961-PCT00016
이다.
힐베르트 공간의 고유상태의 직교 특성은 상태 ｜Ψ〉의 선형 중첩의 계수를 결정하는 데 사용될 수 있다. ｜Ψ〉와 ｜Ψ j 〉의 내적을 구하면 상응하는 계수가 나온다.
Figure 112008074526961-PCT00017
선형 중첩의 계수에 대입하면 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00018
｜Ψ〉가 힐베르트 공간 내의 임의의 켓이므로,
Figure 112008074526961-PCT00019
이다.
여기서,
Figure 112008074526961-PCT00020
은 항등 연산자이다. 총합은 "완전도 관계"로 지칭되고, 고유상태 {｜Ψ i 〉}는 "완전하다"고 한다.
연산자
Figure 112008074526961-PCT00021
에 상응하는 측정 이전에, 양자 시스템이 연산자
Figure 112008074526961-PCT00022
의 모든 고유상태 {｜Ψ i 〉} 내에 동시에 존재한다고 간주될 수 있으며, 이는 상태의 (순수 상태) 선형 중첩으로 나타낸다.
Figure 112008074526961-PCT00023
연산자
Figure 112008074526961-PCT00024
에 상응하는 측정은 초기에 상태 ｜Ψ〉내의 양자 시스템을 고유상태 ｜Ψ i 〉중 하나에 투영한다. 바꾸어 말하면, 양자 시스템 상의 측정은 본질적으로 측정시에 선형 중첩 내의 고유상태 중 하나에 양자 시스템의 상태를 배치하는 필터링 프로세스이다. 예컨대, 연산자
Figure 112008074526961-PCT00025
에 상응하는 측정 이전의 미지의 스핀 지향을 가진 전자는 상태의 선형 중첩 내에 나타난다.
Figure 112008074526961-PCT00026
스핀 결정 측정
Figure 112008074526961-PCT00027
은 측정시에 상태 ｜↑〉 또는 상태 ｜↓〉에 전자의 상태를 투영한다. 바꾸어 말하면, 스핀 결정 측정 이후에만, 전자가 상태 ｜↑〉 또는 상태 ｜↓〉 상태에 존재한다.
측정의 결과로서 양자 시스템의 상태에 대한 상응하는 불가역 변화가 존재한다. 불가역성은 측정이 수행되기 전에 양자 시스템이 이미 양자 상태 중 하나에 존재하는 경우에만 방지될 수 있다. 이에 따라, 단일 측정의 결과에 근거하여 양자 시스템의 이전 상태를 추측할 수 없다. 예컨대, 스핀 측정의 결과가 h/2이면, 측정시에 시스템이 이미 상태 ｜↑〉에 존재했었는지 또는 스핀 상태 ｜↑〉 및 ｜ ↓〉의 선형 중첩에 존재했었는지를 판정할 수 없다.
양자 시스템의 상태가 다양한 상태 ｜Ψ i 〉 중 어떤 상태에 투영되는지 미리 알 수 없지만, 측정 이후 즉시 양자 시스템이 특정 상태 ｜Ψ i 〉에서 발견될 확률은 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00028
여기서 ｜Ψ〉는 정규화되고, ｜c i ｜2은 c i * c i 와 같으며, 결과 확률이 된다.
예컨대, 스핀 기저 {｜↑〉, ｜↓〉} 내의 스핀 결정 측정 이전에, 전자가 스핀 상태 ｜↑〉에서 발견될 확률이 1/2이고 스핀 상태 ｜↓〉에서 발견될 확률이 1/2인 것으로 가간섭적으로 준비된다고 고려한다. 예컨대, 스핀 결정 측정 이전의 스핀 상태 내의 전자와 관련된 상태는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00029
상태 ｜Ψ〉의 선형 중첩으로 나타낸 양자 시스템에서 수행된 측정의 기대값은 수학적으로 다음과 같이 나타내고,
Figure 112008074526961-PCT00030
다음과 같이 완전도 관계를 적용함으로써 결정된다.
Figure 112008074526961-PCT00031
기대값은 앙상블 내의 양자 시스템 상의 측정으로부터 예측된 가중 고유값 평균 결과를 나타내는데, 여기서, 양자 시스템의 초기 상태 ｜Ψ〉는 앙상블의 요소마다 동일하다. 바꾸어 말하면, 각 양자 시스템을 나타내는 상태의 선형 중첩은 측정 이전에 동일하다. 실제로, 이러한 앙상블은 다수의 동일하고 독립적인 양자 시스템 전부를 동일한 상태 내에 준비하거나, 단일 시스템을 동일 상태 내에 반복하여 준비함으로써 구현될 수 있다. 기대값이 측정마다 획득되지 않을 수도 있으므로, 측정으로부터 획득된 고유값과 혼동해서는 안 됨을 알아야 한다. 예컨대,
Figure 112008074526961-PCT00032
의 기대값은 고유값 h/2 내지 -h/2의 임의의 실수일 수 있지만, 각각의 개별 측정에서 전자에 대한
Figure 112008074526961-PCT00033
의 실제 측정값은 언제나 h/2 또는 -h/2이다.
상태 ｜Ψ〉 내의 단일 양자 시스템의 기대값은 다음과 같이 정의된 밀도 연산자를 사용하여 설명될 수도 있다.
Figure 112008074526961-PCT00034
여기서, 상태 ｜Ψ〉는 "순수 상태"로도 지칭되는데, 이는 후술되는 상태의 통계적 혼합과 구별된다. 밀도 연산자는 행렬 원소가
Figure 112008074526961-PCT00035
인 "밀도 행렬"로 지칭된 행렬에 의해 {｜Ψ i 〉} 기저 내에 나타난다.
밀도 연산자는 양자 시스템의 상태의 특성을 나타낸다. 바꾸어 말하면, 밀도 연산자는 상태 ｜Ψ〉로부터 계산될 수 있는 모든 물리적 정보를 제공한다. 예컨대, 밀도 행렬의 대각 행렬 원소의 합은 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00036
여기서 Tr은 행렬의 트레이스, 즉, 대각원소의 합을 나타낸다. 예컨대, 순수 상태
Figure 112008074526961-PCT00037
의 2 상태 양자 시스템의 밀도 행렬은 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00038
여기서, 대각원소는 양자 시스템을 상태 ｜Ψ 1〉 또는 상태 ｜Ψ 2〉에 투영하는 것에 관한 확률이고, 비대각원소는 상태 ｜Ψ 1〉와 ｜Ψ 2〉 사이의 간섭 영향을 나타낸다. 또한, 상태 ｜Ψ〉 내의 양자 시스템의 기대값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00039
그러나, 양자 시스템에 관한 정보가 불완전하다는 것이 흔한 경우이다. 예컨대, 양자 시스템은 각각 관련 확률이 p 1, p 2, p 3...인 상태 ｜Ψ1〉, ｜Ψ2〉, ｜Ψ3〉,... 중 어느 하나에 존재할 수 있는데, 여기서 확률은 다음 조건을 만족시킨다.
Figure 112008074526961-PCT00040
양자 시스템은 "상태의 통계적 혼합"에 존재한다고 한다. 상태의 통계적 혼합에 대한 밀도 연산자는 다음과 같이 결정될 수 있다. 전술된 바와 같이, 순수 상태 ｜Ψi〉 내의 양자 시스템에서 관찰가능한
Figure 112008074526961-PCT00041
의 측정이 결과값 Ψ n 를 산출할 확률은
Figure 112008074526961-PCT00042
이다.
그러나, 상태의 통계적 혼합에서 Ψ n를 관찰할 확률 Pr i (Ψ n )은 p i 가 곱해지고 i항까지 더해져 다음과 같아진다.
Figure 112008074526961-PCT00043
여기서,
Figure 112008074526961-PCT00044
은 상태의 통계적 혼합과 관련된 밀도 연산자이다. 관련된 밀도 행렬 원소는 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00045
밀도 행렬의 물리적 의미는 상태의 혼합을 포함하는 2 상태 양자 시스템에 관하여 설명된다.
Figure 112008074526961-PCT00046
상응하는 밀도 행렬은 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00047
대각 행렬 원소는, 양자 시스템의 상태가 ｜Ψi〉인 경우에, 대각 행렬 원소 ρ 11가 상태 ｜Ψ 1〉 내의 양자 시스템을 발견할 평균 확률을 나타내고, 대각 행렬 원소 ρ 22가 상태 ｜Ψ 2〉 내의 양자 시스템을 발견할 평균 확률을 나타냄을 의미하도록 해석될 수 있다. 동일한 조건 하에서 동일한 측정이 N 번 수행되는 경우에, Nρ 11는 상태 ｜Ψ 1〉에서 발견될 것이고 Nρ 22는 상태 ｜Ψ 2〉에서 발견될 것이다. 비대각 원소 ρ 12 및 ρ 21는 상태 ｜Ψ 1〉와 ｜Ψ 2〉 사이의 평균 간섭 효과를 나타낸다. 대각 행렬 원소와 달리, 곱 c 1 (i) c 2 (i)* 및 c 2 (i) c 1 (i)* 양자 중 어느 것도 0이 아니더라도 비대각 행렬 원소가 0일 수 있음을 알아야 하는데, 이는 N 개의 측정들의 평균이 상태 ｜Ψ 1〉및 ｜Ψ 2〉의 간섭 효과를 상쇄하였음을 의미한다.
텐서 곱(tensor product)은 조합된 양자 시스템을 나타내는 힐베르트 공간을 형성하도록 서로 다른 양자 시스템의 힐베르트 공간을 조합하는 방법이다. 예컨대, H Ψ는 제 1 양자 시스템의 힐베르트 공간을 나타내고, H Ξ는 제 2 양자 시스템의 힐베르트 공간을 나타낸다. H Ψ
Figure 112008074526961-PCT00048
H Ξ로 표시된 힐베르트 공간은 조합된 힐베르트 공간을 나타내는데, 여기서, 기호
Figure 112008074526961-PCT00049
는 텐서 곱을 나타낸다. 연산자
Figure 112008074526961-PCT00050
및
Figure 112008074526961-PCT00051
는 각각 힐베르트 공간 H Ψ 및 H Ξ에 대응하고, 각각은 다음과 같이 상응하는 고유상태에서만 연산한다.
Figure 112008074526961-PCT00052
여기서, ｜Ψ〉는 힐베르트 공간 H Ψ 내의 상태를 나타내고, ｜ξ〉는 힐베르트 공간 H Ξ 내의 상태를 나타낸다. 텐서 곱 ｜Ψ〉
Figure 112008074526961-PCT00053
｜ξ〉은 ｜Ψ〉｜ξ〉, ｜Ψ,ξ〉또는 ｜Ψξ〉로 줄여 쓸 수 있다. 예컨대, 원자 궤도 내의 2 개의 전자의 스핀 상태는 조합된 힐베르트 공간에 대한 기저이다. 2 개의 전자는 양자 모두 스핀 업, 양자 모두 스핀 다운, 제 1 전자 스핀 업 및 제 2 전자 스핀 다운, 또는 제 1 전자 스핀 다운 및 제 2 전자 스핀 업일 수 있다. 2 개의 스핀 업 전자의 다양한 텐서 곱 표현은 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00054
여기서, 아래 첨자 1 및 2는 제 1 및 제 2 전자를 지칭한다.
전자기 복사 및 양자 광학의 개요
이 소부에서, 본 발명의 실시예에 관한 전자기 복사 및 양자 광학의 간략한 기술이 설명된다. 양자 광학은 전자기 복사의 양자역학의 응용에 관한 물리학 분야이다. 완전히 반사하는 벽을 가진 공동에 한정된 전자기 복사가 양자화된다. 양자화된 전자기 복사는 자유 공간 또는 광섬유 내에 전파하는 전자기 복사와 같은 더 많은 일반적인 비한정 광학 시스템에 인가될 수 있다.
자유 전하 및 전류가 없는 공동에 한정된 전자기 복사는 파동 방정식
Figure 112008074526961-PCT00055
및 쿨롱 비상대론적 게이지 조건
Figure 112008074526961-PCT00056
을 만족시키는 벡터 퍼텐셜 항
Figure 112008074526961-PCT00057
과 관련된 전기장 성분
Figure 112008074526961-PCT00058
및 자기장 성분
Figure 112008074526961-PCT00059
을 포함한다.
여기서, 전기장 및 자기장 성분은 다음과 같이 결정된다.
Figure 112008074526961-PCT00060
전자기 복사는 전파되고 있다고 가정하며, 완전히 반사하는 벽을 가진 입방형 또는 양자화 공동에 의해 부과되는 주기적 경계 조건의 영향을 받는데, 여기서 벽의 길이는 L이다. 도 1은 입방형 공동(100)을 도시한다. 직교 축(102,104,106)은 x, y 및 z 데카르트 좌표축을 나타낸다. 유한 차원 입방형 공동(100)은 파동 방정식의 해에 주기적 경계 조건을 부과한다. 예컨대, x, y 및 z 방향으로, 벡터 퍼텐셜 파동 방정식에 대한 평면파 해는 다음 조건을 만족시킨다.
Figure 112008074526961-PCT00061
여기서,
Figure 112008074526961-PCT00062
은 벡터(L,L,L)이고,
Figure 112008074526961-PCT00063
는 mx, my 및 mz가 정수인 성분
Figure 112008074526961-PCT00064
을 가진 "파동벡터"로 지칭된다.
각 정수 세트(mx, my, mz)는 전자기 복사의 정상 모드를 지정하고, 파수라 불리는 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00065
의 크기 k는 ωk/c와 같은데, 여기서 c는 자유 공간 내의 광속을 나타내고, ωk는 각주파수이다. 실제로 전자기장의 정상 모드의 스펙트럼은 실제로 연속적이며 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00066
에 의해 제안된 정상 모드의 이산 스펙트럼은 연속 스펙트럼의 근사치임을 알아야 한다.
주기적 경계 조건을 만족시키는 이상의 파동 방정식에 대한 전파 벡터 퍼텐셜 해는
Figure 112008074526961-PCT00067
이다.
여기서,
Figure 112008074526961-PCT00068
은 전자기 복사의 복소 진폭이고,
Figure 112008074526961-PCT00069
은 2 개의 단위 길이 편광 벡터이며,
mx, my, mz = 0, ±1, ±2, ±3,...이다.
Figure 112008074526961-PCT00070
의 총합은 정수(mx,my,mz)의 총합을 나타내고, s의 총합은 각각의
Figure 112008074526961-PCT00071
과 관련된 2개의 독립 편광의 총합이다.
2개의 편광 벡터는 편광 방향 s 양자 모두에 대해,
Figure 112008074526961-PCT00072
로 나타낸 바와 같이 직교하며, 이상에 주어진 게이지 조건으로부터
Figure 112008074526961-PCT00073
이다. 2 개의 편광 벡터
Figure 112008074526961-PCT00074
및
Figure 112008074526961-PCT00075
은 다음과 같이 정규화 파동벡터를 가진 우선회 좌표 시스템을 형성한다.
Figure 112008074526961-PCT00076
도 2는 기본 벡터로서 2개의 독립 편광 벡터
Figure 112008074526961-PCT00077
및 정규화 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00078
을 가진 3 차원 우선회 좌표 시스템을 도시한다. 도 2에서, 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00079
(202) 및 편광벡터
Figure 112008074526961-PCT00080
(204)과
Figure 112008074526961-PCT00081
(206)은 각각 선(208,210,212)으로 나타낸 좌표축을 가진 좌표 시스템의 3 개의 직교 단위 길이 기본 벡터이다.
벡터 퍼텐셜의 전파하는 전기장 및 자기장 성분은
Figure 112008074526961-PCT00082
이다.
전기장
Figure 112008074526961-PCT00083
과 자기장
Figure 112008074526961-PCT00084
양자 모두 전기장 및 자기장의 "전형적인" 표현으로서 지칭되고, 서로 직교하며, 양자 모두 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00085
에 직교하는 전파 파동 해이다. 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00086
및 편광 파라미터 s는 무엇이 전자기 복사장의 "공간 모드" 또는 "모드"로 지칭되는지 정의한다.
도 3은 도 2에 도시된 우선회 좌표 시스템 내의 전자기 복사의 전기장 및 자기장 성분의 표현이다. 전자기 복사는 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00087
(202) 축을 따라 방향이 정해진다. 전기장 성분
Figure 112008074526961-PCT00088
(302) 및 자기장 성분
Figure 112008074526961-PCT00089
(304)은 각각 직교 편광 벡터
Figure 112008074526961-PCT00090
(204) 및
Figure 112008074526961-PCT00091
(206)를 따라 방향이 정해지며, 특정 시간 t에 고정되는 것처럼 보인다.
전자기 복사의 에너지는 해밀토니안(Hamiltonian)을 구함으로써 결정될 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00092
여기서 ε 0 은 자유 공간의 전기 유전율이고.
μ 0 은 자유 공간의 자기 유전율이며,
V는 공동의 부피이다.
전기 유전율 ε 0 은 전기장의 영향 하에서 진공 공간이 전기 퍼텐셜 에너지를 저장할 수 있는 정도를 나타내고, 자기 유전율 μ 0 은 진공이 자기장의 자속을 변경하는 정도를 나타낸다. 비도전 매개체에서, 매개체가 전기 퍼텐셜 에너지의 저장을 강화하는 정도인 유전상수 ε를 전기 유전율에 더 곱하고, 매개체가 자기장의 자속을 높이는 정도인 μ를 자기 유전율에 더 곱한다.
양자 해밀토니안 연산자는 다음과 같이 주어지며:
Figure 112008074526961-PCT00093
,
이때
Figure 112008074526961-PCT00094
는 "소멸 연산자(annihilation operator)"로 지칭되고,
Figure 112008074526961-PCT00095
는 "생성 연산자(creation operator)"로 지칭되며,
Figure 112008074526961-PCT00096
은 "수 연산자(number operator)"로 지칭되고
Figure 112008074526961-PCT00097
으로도 나타낸다.
전자기장이 양자화될 때, 진폭
Figure 112008074526961-PCT00098
은 다음과 같은 연산자에 의해 주어지고:
Figure 112008074526961-PCT00099
이것은 전술된 고전 전기장 및 자기장 방정식에 대입되어 다음과 같은 전기장 및 자기장 연상자를 획득할 수 있다:
Figure 112008074526961-PCT00100
전기장 연산자와 자기장 연산자 양자 모두 에르미트이고 측정가능한 전기장 및 자기장을 나타낸다.
자기장의 크기가 전기장보다 1/c 배 작으므로, 전기장은 대전 물질과의 상호작용의 대부분을 설명한다. 따라서, 일반적으로 전자기 복사의 성향 및 대전 물질과의 임의의 상호작용의 특성을 나타내는 데 전기장만 사용되며, 자기장 성분은 무시할 수 있다.
양자 연산 및 양자 정보 처리 시스템은 전자기 복사의 단일 모드
Figure 112008074526961-PCT00101
을 사용하여 연산될 수 있다. 그 결과, 전자기 복사의 단일 모드에 대한 해밀토니안 연산자는
Figure 112008074526961-PCT00102
로 정리되는데, 여기서
Figure 112008074526961-PCT00103
및
Figure 112008074526961-PCT00104
은 이상의 해밀토니안 내의 모드 의존형 연산자
Figure 112008074526961-PCT00105
및
Figure 112008074526961-PCT00106
을 대체한다. 단일 모드 해밀토니안의 고유상태 및 상응하는 에너지 고유값은
Figure 112008074526961-PCT00107
이다.
여기서, ｜n〉은 "수 상태"로 지칭되고, n은 전자기장 내의 광자의 수를 나타내는 "광자 수"로 지칭되는 음이 아닌 정수이며, E n 은 에너지 고유값 또는 전자기장의 에너지이다.
소멸 및 생성 연산자는 다음과 같이 수 상태를 연산한다.
Figure 112008074526961-PCT00108
여기서,
Figure 112008074526961-PCT00109
은 연산자
Figure 112008074526961-PCT00110
을 나타내고 "수 연산자"로 지칭된다. 수 상태는 소멸 및 생성 연산자를 수 상태에 반복하여 적용함으로써 생성할 수 있다. 예컨대, 수 상태에 대한 소멸 연산자의 반복 적용은 광자 수를 낮춘다.
Figure 112008074526961-PCT00111
여기서, ｜0〉은 "진공 상태"로 지칭되고 전자기 복사의 최저 에너지 상태를 나타낸다. 진공 상태에서 시작하고, 생성 연산자를 반복하여 적용하면
Figure 112008074526961-PCT00112
이 된다.
수 상태들은 직교하고 경쟁 세트를 형성한다.
Figure 112008074526961-PCT00113
일반적으로, 수 상태 ｜n〉와 관련된 에너지 고유값 식은
Figure 112008074526961-PCT00114
이다. 소멸 및 생성 연산자를 에너지 고유값 식에 적용하면
Figure 112008074526961-PCT00115
이 되는데, 이는 전자기 복사의 에너지 레벨이 양자 에너지 hω만큼 균일하게 이격됨을 나타낸다. 바꾸어 말하면, "광자"로 지칭되는 이산 에너지량 hω 내에 전자기 복사의 여기가 생성한다. 광자 수 n은 전자기 복사를 포함하는 광자 hω의 개수를 지칭한다.
도 4는 양자화된 전자기 복사의 단일 모드의 에너지 레벨도이다. 수평선은 전자기 복사의 에너지 레벨을 나타낸다. 에너지 레벨(402)은 진공 상태 ｜0〉에 상응하는 최저 에너지 레벨이다. 진공 상태의 에너지는 hω/2 또는 단일 광자 hω의 에너지의 1/2이다. 전자기 복사의 더 높은 에너지 레벨은 각각 동일한 양자 에너지 hω만큼 서로로부터 분리된다. 예컨대, 에너지 레벨(404)은 총 전자기 에너지가 5hω/2인 전자기장을 나타내는데, 이는 2개의 광자의 에너지와 진공 상태 에너지 hω/2를 더한 값을 갖는 전자기 복사의 에너지로 간주할 수 있다. 소멸 연산자
Figure 112008074526961-PCT00116
는 전자기 복사로부터의 광자를 제거하는 것에 대응하고, 생성 연산자
Figure 112008074526961-PCT00117
는 전자기 복사에 광자를 추가하는 것에 대응한다. 예컨대, 소멸 연산자
Figure 112008074526961-PCT00118
은 상태 ｜n〉(410)로부터 보다 낮은 에너지 상태 ｜n-1〉(412)로의 에너지 전이를 나타낸다. 이러한 전이는 주변에 대해 전자기장이 광자를 포기함으로써 달성된다. 이와 달리, 생성 연산자
Figure 112008074526961-PCT00119
는 상태 ｜n〉(410)에서 보다 높은 에너지 상태 ｜n+1〉(414)로 의 전이를 나타낸다. 이러한 전이는 전자기장이 주변으로부터 광자를 받아들임으로써 달성된다. 전형적으로 주변은 원자, 양자점 또는 다이폴 상호작용을 통해 장(field)에 결합하는 임의의 다른 시스템일 수 있음을 알아야 한다. 광자의 손실 또는 흡수는 주변 시스템의 동시 여기를 수반할 것이고, 광자의 생성 또는 방출은 상응하는 주변 시스템의 역여기를 수반할 것이다.
광자는 광자 소스에 의해 생성될 수 있고, 자유 공간을 통해서나 광섬유 내에 전달될 수 있다. 광자 소스는 "펄스"라 불리는 전자기 복사의 하나의 짧은 버스트를 생성할 수 있고, 또는 펄스의 시퀀스 또는 트레인을 생성할 수 있으며, 이때 각 펄스는 파장, 위상 및 방향같은 전자기적 특성이 모두 동일한 하나 이상의 광자를 포함한다. 동일한 광학 특성을 갖는 광자는 "간섭성(coherent)"으로 지칭된다. 그러나, 소스, 검출기 및 검출기로부터 소스를 분리하는 광섬유와 같은 매개체는 광학 공동을 정의하지 않는다. 소스 및 검출기는 광학 에너지의 현저한 반사 또는 재생이 없는 전자기 에너지의 연속하는 단방향 흐름의 일부이다. 자유 공간 또는 도파관을 통해 전달된 펄스는 다음과 같이 주어진 시간 의존형 가우시안형 함수로 나타낼 수 있는 파속에 의해 설명될 수 있으며:
Figure 112008074526961-PCT00120
여기서 ω 0는 펄스 스펙트럼의 중심 주파수이고,
t는 시간이며,
t 0는 파속의 피크가 광자 소스로부터 z0만큼 이격되는 시간이고,
Δ2은 스펙트럼의 편차이다.
시간 t 0는 z0/υ에 의해 결정될 수 있는데, 여기서 υ는 자유 공간을 통해 또는 광섬유 내에서 이동하는 펄스의 속도이다.
파속 ξ(t)는 펄스의 진폭이고, ｜ξ(t)｜2은 펄스의 광검출 확률 밀도 함수인데, 여기서 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜2는 정규화 조건을 만족시킨다.
Figure 112008074526961-PCT00121
광자 소스로부터 z0만큼 이격되는 시간 간격(t1,t2)에서 광자의 광검출 확률은 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00122
의 확률
Figure 112008074526961-PCT00123
도 5는 소스(502)로부터 출력되고 도파관(504)를 통해 검출기(506)로 전달되는 펄스와 관련된 확률 분포를 도시한다. 수평선(508)은 광자가 소스(502)로부터 검출기(506)로 이동하는 거리 z0를 나타내고, 수평선(510)은 시간축이다. 곡선(512)은 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜2를 나타낸다. 도 5에서, 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜2(512)는 펄스가 거리 z0를 이동하는 데 걸리는 평균 시간에 상 응하는 시간 t 0에 중심에 있다. 곡선(512) 아래의 영역은 특정 시구간 내에서 펄스를 검출할 확률을 나타낸다. 예컨대, 해시마크 영역(514)은 시구간 t 1<t 0<t 2 내에서 광자를 검출할 확률을 나타낸다. 시구간(516)은 "타임 빈(time bin)"으로 지칭되고, 검출기(506)에서 광자가 검출되는 시구간에 대응한다.
결맞음 상태의 개요
가장 일반적인 단일 모드 상태의 종류는 수 상태의 선형 중첩이다. 수 상태의 다수의 서로 다른 가능한 선형 중첩이 존재하지만, 결맞음 상태
Figure 112008074526961-PCT00124
는 양자화된 전자기 복사의 다수의 애플리케이션에서 사용된 수 상태의 선형 중첩이다. 결맞음 상태는 소멸 연산자의 고유상태이다.
Figure 112008074526961-PCT00125
여기서, 켤레 복소수를 쓰면
Figure 112008074526961-PCT00126
이 된다.
그러나, 결맞음 상태 ｜α〉는 생성 연산자
Figure 112008074526961-PCT00127
의 고유상태가 아닌데, 이는
Figure 112008074526961-PCT00128
로부터 결맞음 상태를 산출하도록 α의 총합이 재배열되기 때문이다.
수 연산자에 대한 결맞음 상태 기대값
Figure 112008074526961-PCT00129
은 ｜α｜2이 광자의 평균 수임을 나타낸다. 광자의 개수 측정시에 n 개의 광자를 검출할 확률은 푸아송 분포이다.
Figure 112008074526961-PCT00130
푸아송 분포는 큰 값 ｜α｜2에 대한 가우시안 분포에 가깝다.
결맞음 상태는 그 특성이 진폭이 안정되고 위상이 고정된 전형적인 전자기파와 가장 근접하게 닮은 양자 상태이다. 예컨대, z 방향으로 전파하는 전기장에 대응하며 모드 아래 첨자 k와 s가 제거된 전기장 연산자는
Figure 112008074526961-PCT00131
인데, 여기서 시간 t 및 변위 z는 위상각
Figure 112008074526961-PCT00132
의 인수이고, 전기장은
Figure 112008074526961-PCT00133
의 단위로 측정된다.
결맞음 상태는, 전기장 기대값 또는 결맞음 신호에 대해 정확한 사인곡선 형태를 주므로 거의 전형적인 상태이다.
Figure 112008074526961-PCT00134
여기서, α=｜α｜e iφ 인데, φ는 모드의 결맞음 상태 여기의 평균 위상각이다.
편광 상태 및 스토크스 파라미터
현재 소부에서, 전자기 복사의 편광 상태가 논의된다. 도 3과 관련하여 전술한 바와 같이, 전자기 복사는 전파하는 전자기 횡파로서 간주할 수 있다. 전기 장이 대전 물질과의 상호작용의 대부분을 설명하고 자기장의 크기가 전기장보다 1/c 배 작으므로, 전자기파를 나타내는 데 사용될 수 있는 것은 전기장 성분뿐이다. 도 3에 도시된 바와 같이, 진동하는 전기장
Figure 112008074526961-PCT00135
성분과 관련된 전자기장의 파동벡터
Figure 112008074526961-PCT00136
양자 모두 진동 평면 내에 존재하므로, 장은 "선형적으로 편광되었다"고 한다. 하나 이상의 편광자를 통해 랜덤하게 편광된 다수의 전자기파를 포함하는 전자기 복사를 투과시킴으로써 한정된 편광 상태가 생성될 수 있다. 각 편광자는 편광자의 편광축을 따라 정렬되는 전기장 성분을 가진 전자기파만을 투과시키는 장치이다.
임의의 2 개의 직교 선형 편광 상태는 {｜H〉,｜V〉}로 나타낸 편광 기저를 정의하는 데 사용될 수 있다. 제 1 편광 상태 ｜H〉는 "수평 편광"으로 지칭되며 제 1 방향으로 편광된 전자기파를 나타내고, ｜V〉는 "수직 편광"으로 지칭되며 제 1 방향에 직교하는 제 2 방향으로 편광된 전자기파를 나타낸다. 편광 기저 상태는 후속하는 조건을 만족시킨다.
Figure 112008074526961-PCT00137
도 6a 및 도 6b는 편광 기저 상태 ｜H〉및 ｜V〉의 플롯을 도시한다. 도 6a 및 도 6b에서, 도 6a 내의 서로 수직인 축(601 내지 603)과 같은 서로 수직인 축은 각각 x, y 및 z 데카르트 좌표축을 나타낸다. 도 6a는 yz 평면에 놓인 전기장
Figure 112008074526961-PCT00138
(604)의 수직 편광 상태 ｜V〉를 도시한다. 방향 화살표(606)는 전기장
Figure 112008074526961-PCT00139
(604)이 관찰 평면(608) 쪽으로 전파하는 방향을 나타낸다. 관찰 평면(608)으로부터, 파동이 하나의 파장 λ을 통해 z 축을 따라 전파하는 것처럼 전기장
Figure 112008074526961-PCT00140
(604)이 하나의 완전한 진동 주기를 통해 진행되는 것을 관찰할 수 있다. 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(610)로 나타낸다. 도 6b는 xz 평면에 놓인 전기장
Figure 112008074526961-PCT00141
(612)의 수평 편광 상태 ｜H〉를 도시한다. 관련된 수평 진동 주기는 관찰 평면(608) 내의 쌍촉 방향 화살표(616)로 나타낸다.
편광 기저 {｜H〉,｜V〉}는 ｜χ〉로 나타낸 무한 개수의 편광 상태를 구성하는 데에도 사용될 수 있다. 이들 편광 상태는 아래와 같은 상태의 간섭성 선형 중첩으로서 수학적으로 나타낼 수 있다:
Figure 112008074526961-PCT00142
여기서,
0≤θ＜π 이고,
0≤φ＜2π 이다.
전자기파의 무한 개수의 편광 상태는 3 차원 블로흐 구로 기하학적으로 나타낼 수 있는데, 이 경우에 "푸앵카레 구(Poincare sphere)"로도 지칭된다.
도 7은 편광 상태의 푸앵카레 구 표현을 도시한다. 도 7에 도시된 바와 같이, 선(701 내지 703)은 각각 직교 좌표축이고, 푸앵카레 구(704)는 원점에 중심을 둔다. 푸앵카레 구(704) 상에 무한 개수의 점들이 존재하는데, 각 점은 전자기파의 고유한 순수 편광 상태 ｜χ〉를 나타낸다. 예컨대, 점(705)은 일부분은 상태 ｜H〉를 일부분은 상태 ｜V〉를 동시에 포함하는 편광 상태 ｜χ〉를 나타낸다. 6 개의 점(706 내지 711)은 푸앵카레 구(704)와 좌표축(701 내지 703) 사이의 교점을 식별한다. 점(706,707)은 각각 편광 기저 상태 ｜H〉 및 ｜V〉를 식별하고, 점(708 내지 711)은 각각 직교 편광 상태를 나타낸다.
Figure 112008074526961-PCT00143
Figure 112008074526961-PCT00144
도 8a 내지 도 8d는 각각 4 개의 편광 상태 ｜45°〉, ｜-45°〉, ｜R〉및 ｜L〉의 플롯을 도시한다. 도 8a는 수평 xz 평면에 45°로 기울어진 진동 평면(802) 내에 놓인 45° 편광 상태 ｜45°〉를 도시한다. 편광 상태 ｜45°〉의 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(804)로 나타낸다. 도 8b는 수평 xz 평면에 -45°로 기울어진 진동 평면(806) 내에 놓인 -45° 편광 상태 ｜-45°〉를 도시한다. 편광 상태 ｜-45°〉의 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(808)로 나타낸다. 도 8c는 도 6a 및 도 6b에 도시된 상대 위상차 δ가 -2π인 수직 및 수평 편광 필드(604,612)를 포함하는 우선회 원편광 상태 ｜R〉를 도시한다. 우선회 편광 상태의 진동 주기는 시계 방향(814)으로 회전하는 것으로 나타내어진 직교 쌍촉 방향 화살표(810, 812)에 의해 표시되었다. 도 8d는 상대 위상차 δ가 -2π인 수직 및 수평 편광 필드(604,612)를 포함하는 좌선회 원편광 상태를 도시한다. 좌선회 편광 상태의 진 동 주기는 관찰 평면(808) 내에 시계 반대 방향으로 회전하는 2 개의 직교 쌍촉 방향 화살표(816,818)로 나타낸다.
임의의 편광 상태는 "스토크스 파라미터"로 지칭되는 4 개의 양의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. 스토크스 파라미터는 준단색(quasi-monochromatic) 전자기 복사의 편광 상태를 나타내기에 편리한 방법인데, 이는 전자기 복사 측정이 전형적으로 광자의 수 및 세기만을 결정할 수 있고 편광 상태는 결정할 수 없기 때문이다. 스토크스 파라미터 모두는 동일한 차원을 가지며, 단색파의 경우에 4 가지 양이 주어진다.
Figure 112008074526961-PCT00145
여기서, 기호 "〈·〉"는 평균값을 나타내고,
a 1 및 a 2는 전기장 벡터의 2 개의 상이한 직교 성분 E x 및 E y 의 순간 진폭이며,
δ는 성분 E x 와 E y 의 위상차이다.
단색파에 대한 스토크스 파라미터 중 3 개만 독립적인데, 이는 파라미터가 항등식으로 설명되기 때문이다.
Figure 112008074526961-PCT00146
부분적으로 간섭성 준단색파의 경우에, 스토크스 파라미터가 부등식으로 설 명됨을 알아야 한다.
Figure 112008074526961-PCT00147
스토크스 파라미터는 후속하는 스토크스 관계에 의해 서로 관련된다.
Figure 112008074526961-PCT00148
여기서,
0≤ψ＜π 이고,
Figure 112008074526961-PCT00149
이다.
도 9는 스토크스 파라미터 S 1, S 2 및 S 3의 기하학적 표현을 도시한다. 도 9에 도시된 바와 같이, 선(902 내지 904)은 각각 직교 x, y 및 z 데카르트 좌표축이다. 반경 S 0의 구(906)는 모든 상이한 편광 상태의 기하학적 표현을 나타낸다. 스토크스 파라미터 S 1, S 2 및 S 3는 구(906) 상의 점 P(908)의 데카르트 좌표라고 간주하고, 2χ 및 2ψ는 구 각도 좌표이다. 주어진 세기 S0의 모든 가능한 편광 상태의 경우에, 구(906) 상에 상응하는 점이 존재하며, 반대의 경우도 또한 같다. 우선회 편광은 적도의 xy 평면(910) 위에 놓인 구(906) 상의 점들로 나타내고, 좌선회 편광은 적도의 xy 평면(910) 아래에 놓인 구(906) 상의 점들로 나타낸다. 선형적으로 편광된 전자기 복사의 경우에, 위상차 δ는 0 또는 π의 정수배이고, 파라미터 S 3는 0이다. 바꾸어 말하면, 선형적으로 편광된 전자기파는 구(906)와 xy 평 면(910)의 교차부에 놓인 점들로 나타낸다. 원편광 전자기 복사의 경우에, 〈a 1〉는 〈a 2〉와 같고, 위상차 δ는 π/2 또는 -π/2이다. 따라서, 우선회 원편광 전자기 복사는 점(912)으로 나타내고, 좌선회 원편광 전자기 복사는 점(914)으로 나타낸다. 부분적으로 간섭성 준단색파의 경우에, 이상의 부등식으로 나타낸 바와 같이, 상태는 구(906) 내부에 놓인 점들로 나타낼 수 있음을 알아야 한다.
전형적으로, 스토크스 파라미터는 각 파라미터를 파라미터 S0로 나눔으로써 정규화되는데, 이는 단위 세기의 입사빔을 사용하는 것과 같다. 정규화 표현으로 나타낸 랜덤하게 편광된 전자기 복사에 대한 스토크스 파라미터(S 0, S 1, S 2, S 3)는 구(906)의 중심에 상응하는 (1,0,0,0)이다. 정규화 스토크스 파라미터는 표 1에 열거된다.
Figure 112008074526961-PCT00150
전자기 복사의 임의의 준단색파의 스토크스 파라미터는 세기 또는 광자 수 측정에 의해 결정될 수 있으며 다음 관계로 주어진다.
Figure 112008074526961-PCT00151
여기서, I(θ,ε)는 y 성분이 x 성분에 대하여 감속도 ε의 영향을 받기 쉬운 경우에 x 축과 각도 θ를 이루는 전기장 진동을 가진 전자기 복사의 세기를 나타낸다. 예컨대, 세기 I(0°,0) 및 I(90°,0)는 수형 및 수직으로 편광된 전자기 장사의 세기를 나타내고, I(45°,0) 및 I(-45°,0)는 45°및 -45°편광된 전자기 복사의 세기를 나타낼 수 있으며,
Figure 112008074526961-PCT00152
및
Figure 112008074526961-PCT00153
은 우선회 및 좌선회 원편광 전자기 복사를 나타낸다.
파라미터 S 0이 총 세기를 나타냄을 알아야 한다. 파라미터 S 1은 각도 θ가 90°인 선형 편광을 수용하는 편광자에 의해 투과된 전자기 복사 위의 각도 θ가 0°인 선형 편광을 수용하는 편광자에 의해 투과된 전자기 복사의 세기의 초과와 같다. 파라미터 S 2는 이와 유사한 해석을 갖는다. 파라미터 S 3는 좌선회 원편광 전자기 복사 위에, 우선회 원편광 전자기 복사를 수용하는 편광자에 의해 투과된 전자기 복사의 세기의 초과와 같다.
본 발명의 실시예
본 발명의 다양한 시스템 실시예들은 광전자 디바이스 내에 집적될 수 있는 자가-인증 QRBG에 관한 것이다. 본 발명의 방법 실시예는 단층 촬영 분석을 포함하며, 이것은 본 발명의 시스템 실시예에 의해 생성된 랜덤 비트 시퀀스의 랜덤성을 평가하고 인증하는 데에 사용된다.
Ⅰ. 양자 랜덤 비트 생성기
도 10은 본 발명의 실시예를 나타내는 QRBG(1000)의 일반적인 도면을 도시한다. QRBG(1000)는 상태 생성기(1002), 편광 상태 검광자("PSA")(1004), 로우(raw) 비트 생성기("RBG")(0106) 및 시스템 제어부(1008)를 포함한다. 상태 생성기(1002)는 다음과 같은 결맞음 상태의 전자기 복사의 45°편광된 펄스(1010)를 출력한다:
Figure 112008074526961-PCT00154
여기서, ｜α H 〉는 수평으로 편광된 결맞음 상태를 나타내고,
｜α V 〉는 수직으로 편광된 결맞음 상태를 나타낸다.
용어 "수평"은 QRBG(1000)의 평면에 평행하게 편광된 전기장 성분을 가진 전자기파를 지칭하고, 용어 "수직"은 QRBG(1000)의 평면에 직교하게 편광된 전기장 성분을 가진 전자기파를 지칭한다. 전자기 복사의 편광 펄스 ｜α 45 〉(1010)는 분리되어 펄스 ｜α 45 〉(1010)의 제 1 부분은 PSA(1004)로 전송되고 펄스 ｜α 45 〉(1010)의 제 2 부분은 RBG(1006)로 전송된다. PSA(1004) 및 RBG(1006)에 대한 다양한 시스템 실시예는 도 11 내지 도 14를 참조하여 후술된다. 상태 생성기(1002)에 의해 생성한 펄스 ｜α 45 〉(1010)마다, PSA(1004)는 초기 상태를 전자기 복사의 4 개의 상이한 편광 결맞음 상태에 투영한다. 4 개의 상이하게 편광된 결맞음 상태는 (1) 45°편광 펄스 ｜α 45 〉(1012), (2) -45°편광 펄스 ｜α -45 〉(1013), (3) 우선회 원편광 펄스 ｜α R 〉(1014) 및 (4) 좌선회 원편광 펄스 ｜α L 〉(1015)이다. PSA(1004)는 상태(1012 내지 1015)를 검출하고 그 검출 결과를 시스템 제어부(1008)로 전송하는 검출 시스템(1018)을 포함한다. RBG(1006)는 다음과 같이 펄스 ｜α 45 〉(1010) 내의 광자의 수를 감소시키는 감쇠기(1020)를 포함한다:
Figure 112008074526961-PCT00155
어떠한 광자도 출력되지 않을 때
하나의 광자가 출력될 때
여기서,
｜H〉는 단일 광자를 포함하는 수평 편광 펄스를 나타내고,
｜V〉는 단일 광자를 포함하는 수직 편광 펄스를 나타낸다.
RBG(1006)는 상태 ｜H〉 또는 상태 ｜V〉인 단일 광자의 존재를 검출하고 그 검출 결과를 시스템 제어부(1008)로 전송하는 검출 시스템(1022)을 포함한다.
광자 편광 상태 ｜H〉 및 ｜V〉는 이진수를 인코딩하는 데 사용된다. 예컨대, 상태 ｜H〉의 검출은 이진수 "1"를 나타내는 데 사용될 수 있고, 상태 ｜V〉의 검출은 이진수 "0"을 나타내는 데 사용될 수 있다. QRBG(1000)의 N 개의 동작 주기에 있어서, 시스템 제어부(1008)는 PSA(1004) 및 RBG(1006)에 의해 공급된 검출 결과를 수신하고, 벡터
Figure 112008074526961-PCT00156
로 나타낸 랜덤 비트 시퀀스를 출력하는데, 여기서 m은 랜덤 비트의 개수를 나타내고 m〈 N이다. 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00157
을 구성하는 것에 관한 방법 실시예는 도 15 내지 도 22을 참조하여 후술된다.
도 11 내지 도 16은 전술된 일반적인 개략적 QRBG(1000) 실시예에 따른 본 발명의 다양한 QRBG 시스템 실시예를 도시한다. 명확성을 위해, 도 11 내지 도 16에 도시된, 다양한 QRBG에 대해 공통적인 구성요소에는 동일한 참조 번호가 제공되었으며, 그러한 구조 및 기능의 설명은 반복되지 않는다.
도 11은 본 발명의 실시예를 나타내는 제 1 QRBG(1100)의 개략적 표현을 도시한다. QRBG(1100)는 전자기 복사 전송층(1102) 및 시스템 제어부(1104)를 포함한다. 전송층(1102)은 레이저 다이오드(1106) 및 리지(ridge) 도파관(1108)을 포함하며 이 도파관은 세 개의 도파관들(1110-1112)로 분리된다. 전송층(1102)은 실리콘 옥시나이트리드("SiON")의 석판 또는 SU-8와 같은 적절한 광 폴리머로부터 제조될 수 있다. 도파관(1108, 1110-1112)은 다수의 잘 알려진 반응성 이온 에칭 및 리소그래픽 방법을 사용하여 석판 내에 형성될 수 있다. QRBG(1100)는 세 개의 1/2파 편광 회전기(1114-1116) 및 1/4파 편광 회전기(1117)를 포함한다. 도파관(1110, 1112)으로 편광을 도입하는 데에 사용될 수 있는 편광 회전기의 종류는 도 12 및 13을 참조로 아래에서 기술되었다. QRBG(1100)는 도파관(1110-1112)의 단부 근처에 각각 위치된 세 개의 편광 빔스플리터(1124-1126)를 포함한다. 편광 빔스플리터(1124-1126)는 각각 도파관(1110-1112)에 근접하게 위치된 테이퍼된(tapered) 도파관으로 구성된다. 예컨대, 편광 빔스플리터(1124)는 보다 짧은 도파관(1136)을 포함한다. 보다 짧은 도파관의 테이퍼된 부분은 수직 편광된 펄스가 도파관(1110-1112)으로부터 점점 사라지도록 추출되는 반면 수평 편광된 펄스는 도파관(1110-1112) 내에 계속 남아있도록 각각 구성된다. 시스템 제어부(1104)는 p-i-n 광검출기(1128-1131) 및 두 개의 아발란치 광다이오드(1132, 1133)를 포함한다.
도 12a 및 12b는 본 발명의 실시예를 나타내는 슬롯 편광 회전기(1200)를 도시한다. 도 12a는 색칠된 직사각형(1202)과 같은 색칠된 직사각형으로 표현된 8개의 슬롯을 포함하는 슬롯 편광 회전기의 평면도를 도시한다. 슬롯들은 실질적으로 주기적인 공간 p 및 길이 L를 갖는다. 도 12b는 본 발명의 실시예를 나타내는 도 12a에 도시된 슬롯 편광 회전기(1200)의 단면도를 도시한다. 슬롯들은 리지 도파관(1204) 내에서 각도 φ로 깊이 d까지 에칭된다. 슬롯 편광 회전기(1200)는 보다 큰 크기의 광학적 애플리케이션에서 잘 알려진 위상 지연기(waveplate)와 유사하게 동작하도록 제조될 수 있다. 예로서, 본 발명의 다양한 실시예에서, 슬롯 편광 회전기(1200)는 슬롯 편광 회전기(1200)가 1/2 파장 위상 지연기 또는 1/4 파장 위상 지연기와 유사하게 동작할 수 있도록 적절하게 선택된 파라미터 L, p, φ 및 d를 갖고 제조될 수 있다. 슬롯 편광 회전기에 대한 보다 상세한 설명을 위해, Optics Express사에서 2005년 6월 출간된, Maria V. Kotlyar 외 다수에 의한 "Compact polarization converter in InP-based material", Vol. 13, No. 13을 참조하여라.
도 13a 및 13b는 본 발명의 실시예를 나타내는 경사-마루 편광 회전기(1300)를 도시한다. 도 13a는 본 발명의 실시예를 나타내는 경사-마루 편광 회전기(1300)의 이소메트릭 도면을 도시한다. 경사-마루 편광 회전기(1300)는 길이가 L이고, 리지 도파관(1302)에 결합되며, 기울어진 측벽(1304) 및 그에 대향하는 수직 측벽(1306)을 포함한다. 경사-마루 편광 회전기(1300)는 SiO2와 같은 적절한 절연층(1308)에 의해 지지된다. 도 13b는 본 발명의 실시예를 나타내는 경사-마루 편광 회전기(1300)의 단면도를 도시한다. 경사-마루 편광 회전기(1300) 또한 위상 지연기와 유사하게 동작하도록 제조될 수 있다. 예로서, 본 발명의 다양한 실시예에서, 경사-마루 편광 회전기(1300)는 경사-마루 편광 회전기(1300)가 1/2 파장 위상 지연기 및 1/4 파장 위상 지연기와 유사하게 동작할 수 있도록 적절하게 선택된 높이 H, h, h r , 폭 W 및 길이 L을 가지고 제조될 수 있다. 경사-마루 도파관에 대한 추가적인 설명을 위해, 2006년 4월 출간된 Optical Engineering 45(4), "Passive silicon-on=insulator polarization-rotating waveguides", 2005년 10월 출간된 IEEE Photonic Technology Letters, Vol. 17, No. 10, "Bending characteristics of asymmetric SOI polatization rotators", 2004년 5월 출간된 J.of Lightwave Technology, Vol. 22, No. 5, "Slanted-rib waveguide InGaAsP-InP polarization converters"를 참조하라.
도 11을 다시 참조하여, 본 발명의 실시예를 나타내는, 레이저 다이오드(1106)에 의해 생성된 단일 펄스에 대한 QRBG(1100)의 동작의 일반적인 설명이 아래에 기술된다. 레이저 다이오드(1106)는 수평 편광 상태 ｜α H 〉 또는 수직 편광 상태 ｜α V 〉에 있는 전자기 복사의 간섭성 펄스를 방출하도록 구성될 수 있다. 1/2 파장 편광 회전기(1114)는 간섭성 펄스를 수신하고 45° 편광된 간섭성 펄스 ｜α 45〉를 출력한다. 펄스 ｜α 45〉는 아래와 같이 3-방향 접합(1140)을 통해 전송되고:
Figure 112008074526961-PCT00158
이때
Figure 112008074526961-PCT00159
이며,
｜α 45〉A는 도파관(1110) 내에서 전송된 45°편광 펄스를 나타내고,
｜α 45〉B는 도파관(1111) 내에서 전송된 45°편광 펄스를 나타내며,
｜α 45〉C는 도파관(1112) 내에서 전송된 45°편광 펄스를 나타낸다.
도파관(1111)은 펄스 ｜α 45〉B의 세기를 감소시키는 감쇠기(1142)를 선택적으로 포함할 수 있다. 선택적인 감쇠기(1142) 및 편광 빔스플리터(1125)는 도 10을 참조로 전술된 RBG(1006)에 상응하며, 이진수 "0"를 아발란치 광다이오드 중 하나에서의 검출 사건으로 할당하고 이진수 "1"를 다른 아발란치 다이오드에서의 검출 사건에 할당함으로써 비트 시퀀스를 구성하는 데에 사용될 수 있다. 본 발명의 다양한 실시예에서, 감쇠기(1142)는 도파관(1111) 내에 도펀트를 주입함으로써 제조될 수 있고, 이것은 에너지의 단일 광자에 대한 펄스 ｜α 45〉B의 세기를 다음과 같이 감소시킨다:
Figure 112008074526961-PCT00160
편광 빔스플리터(1125)는 펄스 ｜45°〉를 아발란치 광다이오드(1132)에서 단일 광자 펄스를 검출할 확률 또는 아발란치 광다이오드(1133)에서 단일 광자 펄스를 검출할 확률이 실질적으로 동일하게 존재하도록 분리시키고, 이것은 {｜H〉,｜V〉} 성분으로 다음과 같이 표현되며:
Figure 112008074526961-PCT00161
이때 ｜H〉는 도파관(1111) 내에서 전송되고 아발란치 광다이오드(1132)에 의해 검출되는 수평으로 편광된 단일 광자 펄스를 나타내고,
｜V〉는 도파관(1136) 내에서 전송되고 아발란치 광다이오드(1133)에 의해 검출되는 수직으로 편광된 단일 광자 펄스를 나타낸다.
각각 도파관(1110, 1112)에서 전송되는 펄스 ｜α 45〉A및 ｜α 45〉c는, 도 15-22을 참조로 아래에서 기술되는 바와 같은 단층 촬영 분석을 수행하는 데에 사용된다. 도파관(1110, 1112) 및 상응하는 편광 회전기(1115, 1117)는 도 10을 참조로 하여 전술된 PSA(1004)와 일치한다. 1/4 파장 편광 회전기(1117)는 들어오는 펄스의 수직 편광 성분을 파장의 1/4만큼 지연시키도록 구성될 수 있고, 1/2 파장 편광 회전기(1115, 1116)는 편광을 45°만큼 회전시키도록 구성될 수 있다.
아래에는 편광 회전기(1115, 1117)가 도파관(1110) 내에서 전송된 임의의 편광을 가지고 펄스 상에서 어떻게 동작하는지를 설명한다. 펄스가 1/4 파장 편광 회전기(1117)에 도달하기 이전에, 펄스는
Figure 112008074526961-PCT00162
성분으로 아래와 같이 표시되며:
Figure 112008074526961-PCT00163
이때
Figure 112008074526961-PCT00164
이다. 1/4 파장 편광 회전기(1117)에 의해 수행되는 동작은 아래와 같다:
Figure 112008074526961-PCT00165
1/4 파장 편광 회전기(1117)에 이어서, 적절하게 제조된 1/2 파장 편광 회전기(1115)에 의해 다음이 주어진다:
Figure 112008074526961-PCT00166
편광 빔스플리터(1124)는 상태
Figure 112008074526961-PCT00167
가 p-i-n 광검출기(1128)로 전송되고, 상태
Figure 112008074526961-PCT00168
가 p-i-n 광검출기(1129)로 전송되도록 구성된다.
처음에 펄스가
Figure 112008074526961-PCT00169
인 상태에서 준비된다면, 1/4 파장 편광 회전기(1117)에 도달하기 직전의 펄스는 상태 ｜α 45〉A에 있다. 1/4 파장 편광 회전기(1117)로부터 이머징되는 펄스는 우선회 원편광되고
Figure 112008074526961-PCT00170
로 표시되며, 이것은 1/2 파장 편광 회전기(1115)에 의해 이어져, 펄스를 아래와 같은 상태로 투영한다:
Figure 112008074526961-PCT00171
그러므로 p-i-n 광검출기(1128)에서 수평으로 편광된 펄스
Figure 112008074526961-PCT00172
를 검출할 확률은 1/2이고, p-i-n 광검출기(1129)에서 수직으로 편광된 펄스
Figure 112008074526961-PCT00173
를 검출할 확률은 1/2이다.
일반적으로,
Figure 112008074526961-PCT00174
기반에서 1/2 파장 편광 회전기(1116) 직전에 도파관(1112) 내에 전송된 임의의 편광을 갖는 펄스는 아래와 같고:
Figure 112008074526961-PCT00175
이때
Figure 112008074526961-PCT00176
이다. 1/2 파장 편광 회전기(1116)에 의해 수행된 동작은 다음과 같다:
Figure 112008074526961-PCT00177
처음에 펄스가
Figure 112008074526961-PCT00178
인 상태에서 준비된다면, 1/2 파장 편광 회전기(1116)에 도달하기 직전의 펄스는 상태 ｜α 45〉c에 있다. 1/2 파장 편광 회전기(1116)로부터 이머징된 펄스의 상태는 다음과 같이 주어진다:
Figure 112008074526961-PCT00179
다시 말하면, 1/2 파장 편광 회전기(1116)는 ｜α 45〉c를 상태
Figure 112008074526961-PCT00180
로 투영한다. 처음에
Figure 112008074526961-PCT00181
이고
Figure 112008074526961-PCT00182
이면, 1/2 파장 편광 회전기(1116)에 도달하기 직전의 펄스는 상태
Figure 112008074526961-PCT00183
에 있다. 1/2 파장 편광 회전기(1116)로부터 이머징된 펄스의 상태는 다음과 같이 주어진다:
Figure 112008074526961-PCT00184
다시 말하면, 1/2 파장 편광 회전기(1116)는 상태 ｜α 45〉c를 상태
Figure 112008074526961-PCT00185
로 투영한다.
본 발명이 특정 시스템 실시예 QRBG(1100)의 형태로 기술되었지만, 본 발명이 이러한 실시예로 제한되는 것은 아니다. 본 발명의 사상에 포함되는 변경은 당업자에게 자명할 것이다. 예컨대, 본 발명의 다른 실시예에서, 당업자는 도 11에 도시된 바와 같이 3-방향 접합(1140)을 사용하는 대신 두 개의 Y-접합들이 펄스 ｜α 45〉를 분리하는 데에 사용될 수 있음을 이해할 것이다. 도 14a에 도시된 바와 같이, Y-접합(1402, 1404)은 펄스 ｜α 45〉를 펄스 ｜α 45〉A , ｜α 45〉B 및 ｜α 45〉c로 분리한다. 본 발명의 다른 실시예에서, 도 11에 도시된 레이저 다이오드(1106)를 사용하는 대신, 펄스를 생성하기 위해서 발광 다이오드("LED")(1406)를 사용할 수 있고, 편광 빔스플리터(1408)가 도 14b에 도시된 바와 같이 펄스 ｜α 45〉를 생성하는 데에 사용될 수 있다. 본 발명의 다른 실시예에서, 펄스의 전파를 다이렉팅하는 데에 리지 도파관(1108, 1110-1112)을 갖는 전송층(1102)을 사용하는 대신, 전송층(1102)이 펄스의 전파를 다이렉팅하는 데에 사용될 수 있는 상응하는 광자성 결정 도파관을 갖는 광자성 결정으로 대체될 수도 있다. 본 발명의 다른 실시예에서, 전송층(1102) 및 리지 도파관(1108, 1110-1112)은 광섬유로 대체될 수 있고, 편광 회전기(1114-1118)는 1/2 파장 및 1/4 파장 위상 지연기로 대체될 수 있으며, 편광 빔스플리터는 편광 커플러로 대체될 수 있다. 예컨대, 도 14c는 본 발명의 실시예를 나타내는 QRBG(1410)의 개략도를 도시한다. QRBG(1410)는 레이저 다이오드(1412), 광섬유(1414) 및 광섬유(1414)를 세 개의 광섬유(1418-1420)로 분리시키는 도파관 커플러(1416)를 포함한다. QRBG(1410)는 또한 세 개의 1/2 파장 위상 지연기(1422-1424), 1/4 파장 위상 지연기(1426) 및 세 개의 편광 커플러(1428-1430)를 포함한다. 본 발명의 다른 실시예에서, 레이저 다이오드(1412)는 LED 및 1/2 파장 위상 지연기로 대체될 수 있다.
Ⅱ. 단층 촬영 분석
아발란치 광다이오드(1132, 1133)에서의 검출 사건은 랜덤 비트 시퀀스를 구성하는 데에 사용되는 시스템 제어부(1104)에 의해 기록될 수 있다. 시스템 제어부(1104)는 네 개의 서로 다른 검출 사건을 기록할 수 있다. 예컨대, 펄스가 아발란치 광다이오드(1132)에서 검출되면, 이진수 "1"이 기록되고, 펄스가 아발란치 광다이오드(1133)에서 검출되면, 이진수 "0"이 기록된다. 아발란치 광다이오드(1132,1133) 양측에서 펄스가 검출되지 않으면, "펄스 없음"이 기록되고, 아발란치 광다이오드(1132,1133) 양자 모두에서 펄스가 검출되면, "오류"가 기록된다. 표 2는 상태 생성기(1002)로부터 출력된 각 펄스 ｜α 45〉마다 시스템 제어부(1104)에 의해 기록될 수 있는 4가지 종류의 사건을 요약한다.
Figure 112008074526961-PCT00186
시스템 제어부(1104)에 의해 기록된 각 검출 사건은 "로우 카운트(raw count)"로 지칭된다. 도 15는 본 발명의 실시예를 나타내며 레이저 다이오드(1106)에 의해 생성된 N개의 펄스 ｜α 45〉의 시퀀스에 대해 시스템 제어부(1104)에 의해 기록된 가상의 N개의 로우 카운트 시퀀스(1500)를 나타낸다. N개의 로우 카운트 시퀀스(1500)는 로우 카운트 "펄스 없음"(1502) 및 로우 카운트 "오휴"(1504)에 의해 분리된 이진수 시퀀스 "0" 및 "1"을 포함한다. 도 17 내지 도 22를 참조하여 후술되는 본 발명의 방법 실시예는 N 열 카운트 시퀀스를 선별하고 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00187
을 획득하기 위해 편광 상태
Figure 112008074526961-PCT00188
, ｜α L 〉A, ｜α 45〉C 및
Figure 112008074526961-PCT00189
를 사용하여 다이렉팅된다. 검출기(1128-1133)에서의 펄스의 검출은 동기화됨을 알아야 한다.
도 16은 도 11에 도시된 QRBG(1100)에 의해 생성된 로우 카운트 시퀀스로부터 가상의 랜덤 비트 시퀀스를 생성하는 것을 도시한다. QRBG(1100)는 도 15에 도시된 N 로우 카운트 시퀀스(1500)를 생성한다. "펄스 없음"(1502) 및 "오류"(1504)와 같이 N 로우 카운트 시퀀스(1500) 내에 기록된 "광자 없음" 및 "오류" 검출 사건은, 열 벡터
Figure 112008074526961-PCT00190
(1602)로 표현되는 n 비트의 로우 시퀀스를 생성하도록 제거되며 이때 n＜N 이다. 로우 시퀀스(1602)는 가상 편향 비트(1504 내지 1506)와 같은 다수의 가상 편향 이진수를 포함한다. 편향은 하드웨어 불완전성, 또는 최악의 경우 레이저 다이오드(1106)와 같은 상태 생성기(1002)가 편향된 비트 시퀀스를 생성하기를 원하는 엔티티에 의해 제어되는 경우의 결과일 수 있다. 본 발명의 양자 단층 촬영 분석 방법은 m×n 토이플릿(toeplitz) 행렬 T n×m 을 구성하는 것을 포함하며, 이것은 다음과 같은 행렬 곱을 사용하여 로우 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00191
(1602) 내의 편향된 비트를 선별하는 데에 사용되고:
Figure 112008074526961-PCT00192
여기서, m〈 n〈 N이다. 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00193
은 열 벡터(1608)로 나타낸다.
Springer-Verlag의 2003년 출간된 C. D. walter(Eds.) 외 다수에 의한 "Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES 2003"의 166 내지 180페이지의 Barak 외 다수에 의한 "True Random Number Generator Secure in a Changing Environment"에서 토이플릿 행렬의 정의를 제공한다. 후속하는 논의는 Barak의 참조에 따른 토이플릿 행렬을 구성하는 데 필요한 식견을 제공한다.
상태 생성기(1002)로부터 출력된 상태의 편향에도 불구하고 본 발명의 방법이 난수 시퀀스를 생성하는 데 사용될 수 있음을 강조하기 위해, 반대 시나리오를 이용하여 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00194
을 생성함을 참조해서 본 발명의 양자역학 기반 방법 실시예가 후술된다. 도 17은 도 10을 참조로 하여 전술된 QRBG(1000)을 반대 시나리오 하에서 기술한다. 반대 시나리오에서, 상태 생성기(1002)는 "이브"(1702)로 지칭되는 반대자의 제어 하에 들어간다. QRBG(1000)의 나머지는 "앨리스"(1704)로 지칭되는 사용자의 제어 하에 있다. 이브는 앨리스(1704)에게 랜덤하게 보이며 이브에게 일부분 알려져 있는 비트 시퀀스을 생성하기를 원한다. 앨리스가 상태 ｜H〉 및 ｜V〉만을 사용하여 이진 난수를 생성하므로, 후속하는 분석은 기저 {｜H〉,｜V〉}에 의해 생성되는 부분 공간으로 제한된다. 따라서, 이브는 형식
Figure 112008074526961-PCT00195
의 결맞음 상태를 생성한다고 가정하는데, 이때
Figure 112008074526961-PCT00196
이다.
이브는 앨리스가 상태 ｜ψ〉내의 광자에 적용하는 측정을 알지 못한다고 가정한다. 이브가 모두 동일한 순수 상태 ｜ψ〉 내의 펄스를 준비할 때, 앨리스는 각 펄스 상의 측정을 수행하고 밀도 행렬을 얻을 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00197
밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00198
은 앨리스가 이브에 의해 제공받은 펄스의 상태에 관하여 앨리스가 얻을 수 있는 정보의 최대량을 나타낸다. 앨리스는 이브에 의해 제공된 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행함으로써 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00199
의 원소를 결정할 수 있다. 소위 "자가-인증"이라 지칭되는 단층 촬영 분석은 비트 시퀀스의 랜덤성을 평가하는 데 사용된다. 양자 상태의 단층 촬영 분석은 종래 기술에 잘 알려져 있의며, 예컨대, Phys. Rev. A, 제 64,052312 권, 제임스 등의 참조문 "Measurement of Qubits"에 설명된다. 단층 촬영 분석은 이브에 의해 준비된 상태 ｜ψ〉를 식별하는 데 사용된다. 제임스 등의 참조문에 설명된 바와 같이, b-큐비트 시스템에 대한 단층 촬영 분석을 수행하기 위해, (4b-1)의 서로 다른 기대값이 관련된 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00200
을 결정하는 데에 필요하다. 따라서, 기대값의 측정을 위해 동일한 상태의 다수의 사본이 필요하다. (4b-1) 상이한 기대값 및 상태에 대한 정규화 필요조건은 이상적으로 일반적인 b-큐비트 시스템의 2b 복소 계수에 대한 4b 독립적 제한을 생성하는데, 이는 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00201
및 측정된 상태를 규정하는 2b 복소 계수에 대한 해석적 해를 허용한다.
이브는 상태 ｜ψ i 〉(=c i ｜H〉+d i ｜V〉)의 통계적 혼합 내의 펄스를 전송함으로써 자신에게 알려져 있지만 앨리스에게 랜덤하게 보이는 방식으로 시퀀스를 편향하려고도 할 수 있는데, 각 펄스의 상태는 관련된 확률 p i 를 갖는다. 앨리스는 단층 촬영 분석을 수행하여 밀도 행렬 연산자
Figure 112008074526961-PCT00202
및 관련된 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00203
을 결정하는데, 여기서,
Figure 112008074526961-PCT00204
은 상태 ｜H〉를 측정할 확률이고,
Figure 112008074526961-PCT00205
은 상태 ｜V〉를 측정할 확률이다. 밀도 행렬 연산자와 밀도 행렬은 순수 상태 밀도 행렬 연산자와 관련 밀도 행렬의 구성이다. 이브는 앨리스가 매번 측정하고 있는 각 펄스의 상태 ｜ψ i 〉를 준비하고 알지만, 앨리스에 의해 수행된 각 측정의 결과가 양자역학의 법칙에 의해 지배되므로, 이브는 상태 ｜ψ i 〉 상의 앨리스의 측정의 결과를 제어할 수 없다.
앨리스는 단층 촬영 분석을 수행하여 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00206
을 결정하고 랜덤성의 소스의 품질을 평가한다. 랜덤성의 소스의 품질은 다음과 같이 최소 엔트로피("min-entropy") 함수를 사용하여 엄격히 평가될 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00207
여기서, X는 확률 변수이고,
Pr(χ)는 사건 χ의 확률이며,
Figure 112008074526961-PCT00208
은 X 내 모든 사건 χ의 최대 확률 Pr(χ)을 의미한다.
바꾸어 말하면, 최소 엔트로피를 "0"으로부터 "1"까지의 범위인 확률 분포 내의 랜덤량의 측정으로서 간주할 수 있으며, 여기서 "0"은 사건이 반드시 발생하거나 또는 전혀 발생하지 않음을 의미하고, "1"은 사건이 진정으로 임의적으로 발생함을 의미한다.
도 18은 본 발명의 실시예를 나타내는 최소 엔트로피의 플롯이다. 도 18에서, 수평축(1802)은 사건 χ의 확률 Pr(χ)에 대응하고, 수직축(1804)은 최소 엔트로피의 값을 나타내며, 곡선(1806)은 최소 엔트로피 H Min (X)를 나타낸다. 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)이 "1"(1808)이면, 최소 엔트로피는 "0"(1810)이다. 바꾸어 말하면, 최소 엔트로피 0은 사건 χ가 확실히 발생하고 완전히 결정적임을 의미한다. "0"과 동일한 확률 Pr(χ)을 갖는 사건 또한 최소 엔트로피 "0"(1801)을 가지며 이것은 사건이 발생하지 않음을 의미한다는 것을 인지하여라. 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)이 "1/2"(1812)이면, 최소 엔트로피는 "1"(1814)이다. 바꾸어 말하면, 사건 χ는 편향 없이 발생하고 정확하게 랜덤 사건에 대응함을 의미한다. 사건 χ가 생성할 최대 확률이 1/2보다 크면, 최소 엔트로피는 "0"과 "1" 사이에 있고, 점(1818)에 상응하는 점(1816)과 같은 편향 사건이라고 한다.
최소 엔트로피의 사용을 증명하기 위해, 후속 논의는 이브에 의해 생성한 3 가지 상이한 종류의 상태의 앙상블에 대한 최소 엔트로피의 정의로 밀도 행렬의 원소가 사용되는 방법을 설명한다. 앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ψ〉 내의 단일 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행하는 경우에, 확률 변수 X가세트 {0,1}에 분포되며, 최소 엔트로피는
Figure 112008074526961-PCT00209
인데, 여기서,
Figure 112008074526961-PCT00210
이다.
최소 엔트로피는 앨리스가 이브에 의해 제공된 모두 동일한 순수 상태 ｜ψ〉 내의 n 개의 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행하는 경우까지 확대될 수 있다. 확률 변수 X는 세트 {0,1}n에 분포되고, 최소 엔트로피는
Figure 112008074526961-PCT00211
이다.
마지막으로, 앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ψ i 〉의 통계적 혼합 내의 n 개의 펄스 상의 단층 촬영 분석을 수행하는 경우에, 최소 엔트로피는
Figure 112008074526961-PCT00212
이며, 여기서,
Figure 112008074526961-PCT00213
이다.
앨리스는 이브가 제공하고 있는 펄스의 상태의 분해를 알지 못한다. 앨리스만이 자신이 단층 촬영 분석 동안에 생성한 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00214
에 접근한다. 임의의 상태까지의 최소 엔트로피의 확장을 얻기 위해, 펄스와 관련된 최소 엔트로피는 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00215
의 모든 가능한 분해에 걸쳐 극소 최소 엔트로피로서 정의된다. 이러한 극소 최소 엔트로피 정의를 사용하면 이브가 앨리스의 시퀀스에 관하여 얻을 수 있는 정보량에 대한 상한이 정해진다.
최소 엔트로피 H Min 이 0이 아닌 한, 이브는 전술한 QRBG에 의해 산출된 비트 시퀀스에 대한 완전한 제어를 갖지 못한다. 바꾸어 말하면, 최소 엔트로피가 0보다 큰 한, QRBG에 의해 생성한 n 개의 비트 시퀀스 내에 소정의 수 m 개의 이진 난수가 존재하는데, 여기서 m＜n이다.
단층 촬영 분석을 용이하게 하기 위해, 최소 엔트로피
Figure 112008074526961-PCT00216
는 스토크스 파라미터의 함수로서 재특징화된다. 먼저, 이상의 상태 ｜ψ i 〉의 통계적 혼합과 관련된 2×2 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00217
은 다음과 같이 톡스 파라미터(S 0, S 1, S 2, S 3)의 항으로 다시 쓸 수 있다.
Figure 112008074526961-PCT00218
여기서, 아래 첨자 "S"는 스토크스 파라미터의 항으로 다시 쓰인 밀도 행렬이고,
스토크스 파라미터 S 0는 "1"로 정규화되며,
σ 1, σ 2 및 σ 3은 잘 알려져 있는 기저 {｜R〉,｜L〉}의 파울리(Pauli) 행렬이다.
밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00219
의 스토크스 파라미터는 다음과 같이 검출 사건에 기초하여 결정될 수 있다. 도 11 내지 도 14를 참조하여 전술된 본 발명의 장치 실시예에서, 앨리스는 단일 광자를 검출하는 데에 아발란치 광다이오드(1132,1133)를 사용한다. 시스템 제어부(1104)는 아발란치 광다이오드(1132,1133)로부터 신호를 수신하고, 수평 편광 광자의 평균 수 〈H〉 및 수직 편광 광자의 평균 수 〈V〉를 계산한다. 앨리스는 p-i-n 광검출기(1128-1131)를 사용하여 전자기 복사의 세기 I(α 45), I(α - 45), I(α R) 및 I(α L)를 검출한다. 시스템 제어부(1104)는 세기에 상응하는 신호를 수신하고 상응하는 평균 세기 〈α 45〉, 〈α -45〉, 〈α R〉 및 〈α L〉를 계산한다. 이어서 정규화 스토크스 파라미터는 다음과 같이 결정될 수 있다:
Figure 112008074526961-PCT00220
모든 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00221
에 대한 후속하는 실수값 함수를 정의하면 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00222
후속하는 정리가 설명될 수 있다.
정리. 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00223
에 의해 설명된 시스템의 최소 엔트로피는
Figure 112008074526961-PCT00224
이다.
정리의 증명은 부록으로 이하에 제공된다. 정리는 비트 시퀀스를 생성하는 데 사용된 상태의 밀도 행렬의 측정이 이브와 같은 반대자가 얻을 수 있는 정보량에 대한 하한을 가짐을 증명한다. 버락 등의 참조문은, 최소 엔트로피가 H Min 인 n 개의 비트 시퀀스가 주어지면, 로우 비트 시퀀스로부터 m 개의 랜덤 비트를 추출할 수 있음을 나타내며, 여기서 m＜n이다. m 개의 랜덤 비트는 균일 분포에 임의로 근접한 분포에 따라 분포된다.
도 19는 랜덤 비트 시퀀스를 생성하는 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타내는 제어 흐름도를 도시한다. 단계(1902)에서, 전술된 QRBG(1100)는 편광 성분 ｜α 45〉, ｜α -45〉, ｜α R 〉 및 ｜α L 〉을 필터링하고, 편광 상태 ｜H〉 및 ｜V〉 내의 단일 광자를 생성 및 필터링하는 데 N 번 이용된다. 단계(1904)에서, 단계(1902)에서 획득된 검출 결과에 기초하여, 시스템 제어부(1104)는 전술한 바와 같이 스토크스 파라미터 S 2 및 S 3를 결정하는 데 사용되는 평균 세기 〈α 45〉, 〈α -45〉, 〈α R 〉 및 〈α L 〉를 계산한다. 단계(1906)에서, 도 16를 참조하여 전술된 바와 같이 N 개의 로우 카운트 시퀀스로부터 n 개의 로우 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00225
을 생성하는 루틴 "로우 비트 시퀀스 생성"이 호출된다. 단계(1908)에서, 루틴 "단층 촬영 분석"이 호출된다. 루틴 단층 촬영 분석은 전술한 바와 같이 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00226
및 최소 엔트로피
Figure 112008074526961-PCT00227
을 결정하는 방법이다. 단계(1910)에서, 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00228
로부터 편향을 제거하고 보다 작은 m 개의 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00229
을 산출하도록 최소 엔트로피 H Min 을 이용하는 루틴 "로우 비트 시퀀스 선별"을 불러낸다. 단계(1912)에서, 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00230
이 출력된다.
도 20은 도 19의 단계(1906)에서 불러낸 루틴 "로우 비트 시퀀스 생성"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(2002)에서, 도 15를 참조하여 전술한 바와 같이 N 개의 로우 카운트가 수집된다. 단계(2004)에서, 도 15를 참조하여 전술한 바와 같이, "펄스 없음" 또는 "오류"에 상응하는 로우 카운트를 버리고 n 개의 로우 랜덤 비트 시퀀스를 남김으로써 로우 카운트가 선별된다. 단계(2006)에서, 시스템 제어부(1104)는 상태 ｜H〉 및 ｜V〉에 상응하는 로우 카운트를 평균화하여 평균 〈H〉 및 〈V〉 결정을 획득하는데, 이것들은 전술한 바와 같이, 후속하여 스토크스 파라미터 S 1를 결정하는 데 사용된다.
도 21은 도 19의 단계(1908)에서 불러낸 루틴 "단층 촬영 분석"에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(2102)에서, 도 19의 단계(1904)에서 획득된 평균 〈α 45〉, 〈α -45〉, 〈α R〉 및 〈α L〉 및 도 20의 단계(2006)에서 획득된 평균 〈H〉 및 〈V〉가 획득된다. 단계(2104)에서, 전술한 바와 같이 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00231
이 구성된다. 단계(2106)에서, 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00232
을 사용하여 최소 엔트로피
Figure 112008074526961-PCT00233
가 구성된다.
도 22는 도 19의 단계(1910)에서 불러낸 루틴 "로우 비트 시퀀스 선별에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(2202)에서, 도 20의 루틴 "로우 이진수 시퀀스 생성"에 의해 생성된 로우 랜덤 비트 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00234
가 입력된다. 단계(2204)에서, 루틴 "단층 촬영 분석"으로 생성한 최소 엔트로피
Figure 112008074526961-PCT00235
가 입력된다. 단계(2206)에서, 버락 등의 참조문에 설명된 바와 같이, 토이플릿 행렬 T n×m 이 구성된다. 단계(2208)에서, 도 16을 참조하여 전술한 바와 같이, 시퀀스
Figure 112008074526961-PCT00236
이 결정되고 이에 맞추어 출력된다.
버락 등의 참조문에 기초하여, n 개의 로우 랜덤 비트 시퀀스로부터 추출될 수 있는 비트의 최대 개수는
Figure 112008074526961-PCT00237
이며, 여기서, ε는 m 개의 비트의 분포와 균일 분포 간의 통계적 거리이다. 통계적 거리는 다음과 같이 수학적으로 정의된다.
Figure 112008074526961-PCT00238
여기서, X 및 W는 상이한 분포를 나타낸다. 산출값 Y는 로우 랜덤 비트 시퀀스로부터 획득될 수 있는 랜덤 비트의 분수 m/n이다.
본 발명의 다른 실시예에서, 당업자는 예컨대 열 상태와 같이 결맞음 상태 외의 다른 광학 양자 시스템이 사용될 수 있음을 인식할 것이다. 예컨대, 상태 생성기(1002)는 백열전구일 수 있다. 본 발명의 다른 실시예에서, 편광 상태 ｜H〉, ｜V〉, ｜α 45〉, ｜α -45〉, ｜α R 〉 및 ｜α L 〉이외의 다른 편광 상태, 예컨대, 제임스 등의 참조문에 설명된 편광 상태가 사용될 수 있다.
설명을 위한 이상의 기술은 본 발명의 완전한 이해를 제공하기 위해 특정 용어를 사용하였다. 그러나, 당업자는 본 발명을 실시하기 위해 특정 세부사항이 필요한 것은 아님을 알 것이다. 본 발명의 특정 실시예에 대한 이상의 기술은 설명 및 예시를 위해 나타내는 것이다. 이들은 개시된 바로 그 형태로 본 발명을 소모하거나 제한하지 않는다. 분명히, 이상의 교시의 측면에서 다수의 변경 및 수정이 가능하다. 실시예는 본 발명의 원리 및 실제 응용을 최상으로 설명하기 위해 도시되고 기술되며, 이로써 당업자가 본 발명 및 예상되는 특정 사용에 적합한 다양한 변경으로 다양한 실시예를 최상으로 이용하게 된다. 본 발명의 범위는 후속하는 특허청구범위 및 그들의 균등물에 의해 규정된다.
부록
정리 1. 밀도 행렬
Figure 112008074526961-PCT00239
에 의해 설명된 시스템의 최소 엔트로피는 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00240
정리 1을 증명하기 위해, 후속하는 3 가지 보조정리(Lemma)가 증명된다.
보조정리 1. 각 순수 상태 ｜ψ〉에 대해:
Figure 112008074526961-PCT00241
보조정리 1 .의 증명은 경우 Pr H ＞1/2, Pr H ＜1/2 및 Pr V =1/2에 대하여
Figure 112008074526961-PCT00242
을 나타냄으로써 증명된다. 우선, ｜ψ〉가 순수 상태이므로, 도 10을 참조하여 전술한 바와 같이 관련된 스토크스 파라미터는 푸엥카레 구의 표면 상의 점에 대응하며, 구체적으로, 파라미터 S 1 및 S 2는 다음과 같다.
Figure 112008074526961-PCT00243
S 1 및 S 2를 우항에 대입하면,
Figure 112008074526961-PCT00244
이 된다.
Pr H ＞1/2이면, 좌변은
Figure 112008074526961-PCT00245
로 정리되고, 우변은
Figure 112008074526961-PCT00246
으로 정리된다.
Pr H ＜1/2이면, 좌변은
Figure 112008074526961-PCT00247
로 정리되고, 우변은
Figure 112008074526961-PCT00248
으로 정리된다.
마지막으로, 명백한 경우로, Pr HV =1/2이면, 좌변과 우변은 1/2로 정리된다.
보조정리 2. 밀도 행렬로 나타낸 2 개의 순수 상태 ｜ψ 1〉 및 ｜ψ 2〉는:
Figure 112008074526961-PCT00249
Figure 112008074526961-PCT00250
이면 밀도 행렬의 분해이다.
Figure 112008074526961-PCT00251
보조정리 2 의 증명: 밀도 행렬은 다음을 만족시키는 대각 행렬 원소를 가진
Figure 112008074526961-PCT00252
의 분해인 순수 상태를 나타낸다.
Figure 112008074526961-PCT00253
정리 1에 기초하여, ｜ψ 1〉와 ｜ψ 2〉 양자 모두 순수 상태이다.
Figure 112008074526961-PCT00254
또한, 이상의
Figure 112008074526961-PCT00255
(n=1)에 대한 방정식에 기초하여:
Figure 112008074526961-PCT00256
보조정리 3. 함수
Figure 112008074526961-PCT00257
는 푸엥카레 구 상의 스토크스 파라미터 S 1, S 2, S 3의 볼록(convex) 함수이다.
보조정리 3 의 증명:
Figure 112008074526961-PCT00258
의 헤센(Hessian) 행렬의 고유값은 영역(1/2,1)에 걸쳐 음수가 아니다.
정리의 증명 .
Figure 112008074526961-PCT00259
의 분해마다 볼록 함수의 특성에 따르면:
Figure 112008074526961-PCT00260
보조정리 1의 결과를 대입하고 이상의 방정식
Figure 112008074526961-PCT00261
을 사용하면
Figure 112008074526961-PCT00262
이 되는데, 이는
Figure 112008074526961-PCT00263
가
Figure 112008074526961-PCT00264
의 최소 엔트로피의 하한임을 의미한다. 그러나 보조정리 2에 따르면,
Figure 112008074526961-PCT00265
인
Figure 112008074526961-PCT00266
의 적어도 하나의 분해가 존재한다.
따라서,
Figure 112008074526961-PCT00267
은
Figure 112008074526961-PCT00268
의 모든 분해에 걸쳐 H Min 의 최소와 같다. 증명 끝.

Claims (10)

  1. 자가 인증 양자 랜덤 비트 생성기(A self-authenticating, quantum random bit generator)(1100,1400)로서,
    제 1 도파관(1111), 제 2 도파관(1110) 및 제 3 도파관(1112)으로 나뉘어지는 도파관(1108, 1414)에 커플링되어, 제 1 편광 상태에 있는 전자기 복사의 펄스를 생성하도록 구성된 전자기 복사 소스(1106, 1406, 1412)와,
    상기 제 2 도파관으로 전송된 펄스를 제 2 편광 상태로 회전시키고 상기 제 3 도파관으로 전송된 펄스를 제 3 편광 상태로 회전시키도록 배치 및 구성된 하나 이상의 편광 회전기(1114-1117)와,
    상기 제 1 도파관 내에 전송된 펄스의 편광 기저 상태(polarization basis state)에 기초하여 비트 시퀀스를 생성하고, 상기 제 2 도파관 및 상기 제 3 도파관 내에 전송된 펄스의 편광 기저 상태에 기초하여 상기 비트 시퀀스의 랜덤성(randomness)을 단층촬영법으로(tomographically) 인증하도록 구성된 시스템 제어부(1104)를 포함하는
    양자 랜덤 비트 생성기.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 제 1 도파관에 동작가능하게 커플링되어, 상기 제 1 도파관 내에 전송 된 펄스의 에너지를 많아야 단일 광자까지로 감소시키도록 구성되는 감쇠기(an attenuator)(1140)와,
    상기 제 1 도파관에 커플링된 제 1 편광 빔스플리터(1125), 제 2 도파관에 커플링된 제 2 편광 빔스플리터(1124) 및 제 3 도파관에 커플링된 제 3 편광 빔스플리터(1126)를 더 포함하는
    양자 랜덤 비트 생성기.
  3. 제 1 항에 있어서,
    상기 전자기 복사 소스는,
    다이오드 레이저,
    도파관 편광기 및 편광 회전기에 커플링된 발광 다이오드 중 하나를 더 포함하는
    양자 랜덤 비트 생성기.
  4. 제 1 항에 있어서,
    각 편광 회전기는,
    두 개 이상의 편광 회전기(1200, 1300),
    1/2 파장 위상 지연기(half-wave plate)(1422-1424),
    1/4 파장 위상 지연기(1426) 중 하나를 더 포함하는
    양자 랜덤 비트 생성기.
  5. 제 1 항에 있어서,
    상기 시스템 제어부는,
    상기 제 1 도파관 내에서 전송된 광자를 검출하도록 구성된 아발란치(avalanche) 광다이오드(1132, 1133)의 쌍과,
    상기 제 2 도파관 내에서 전송된 펄스를 검출하도록 구성된 p-i-n 광검출기(1128, 1129)의 제 1 쌍과,
    상기 제 3 도파관 내에서 전송된 펄스를 검출하도록 구성된 p-i-n 광검출기(1130, 1131)의 제 2 쌍을 더 포함하는
    양자 랜덤 비트 생성기.
  6. 제 1 항에 있어서,
    상기 도파관은,
    리지 도파관(ridge waveguides),
    광자성 결정(a photonic crystal) 내의 도파관,
    광섬유 중 하나를 더 포함하는
    양자 랜덤 비트 생성기.
  7. 랜덤 비트 시퀀스를 생성하는 방법으로서,
    각각이 제 1 편광 상태에 있는 전자기 복사 펄스의 시퀀스를 생성하는 단계와,
    모두가 동일한 제 1 편광 상태에 있는 제 1 펄스, 제 2 펄스 및 제 3 펄스로 각 펄스를 분리시키는 단계와,
    편광 회전기(1200, 1300, 1422-1424, 1426)를 사용하여 각각의 제 2 펄스를 제 2 편광 상태로 회전시키고 각각의 제 3 펄스를 제 3 편광 상태로 회전시키는 단계와,
    상기 제 1 펄스의 두 개의 편광 기저 상태 중 하나의 검출에 기초하여 비트 시퀀스를 생성하는 단계와,
    상기 제 2 펄스 및 상기 제 3 펄스의 편광 상태에 기초해 단층 촬영 분석을 수행하여 상기 비트 시퀀스의 랜덤성을 인증하는 단계를 포함하는
    랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법.
  8. 제 7 항에 있어서,
    상기 제 1 펄스의 세기를 단일 광자로 감쇠시키는 단계와,
    상기 제 1 펄스를 두 개의 편광 기저 상태로, 상기 제 2 펄스를 두 개의 편광 기저 상태로, 상기 제 3 펄스를 두 개의 편광 기저 상태로 분리시키는 단계를 더 포함하는
    랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법.
  9. 제 7 항에 있어서,
    각각의 제 2 펄스를 제 2 편광 상태로 회전시키고 각각의 제 3 펄스를 제 3 편광 상태로 회전시키는 단계는, 하나 이상의 편광 빔스플리터를 통해 각각의 제 2 펄스를 전송하고 하나 이상의 편광 빔스플리터를 통해 각각의 제 3 펄스를 전송하는 단계를 더 포함하는
    랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법.
  10. 제 7 항에 있어서,
    상기 단층 촬영 분석을 수행하는 단계는,
    최소 엔트로피
    Figure 112008074526961-PCT00269
    를 구성하는 단계로서,
    Figure 112008074526961-PCT00270
    는 스토크스 파라미터(Stokes parameters)의 함수로서의 상태
    Figure 112008074526961-PCT00271
    전체에 대한 밀도 행렬이고,
    Pr(χ)는 사건 χ의 확률이며,
    Figure 112008074526961-PCT00272
    은 X 내 모든 사건 χ에 대한 최대 확률 Pr(χ)을 의미하는 단계와,
    최소 엔트로피
    Figure 112008074526961-PCT00273
    에 기초하여 토이플릿 행렬(Toeplitz matrix) T m×n 을 구성하되, m은 랜덤 비트의 개수이고, n은 로우 비트의 개수이며, m < n인 단계를 더 포함하는
    랜덤 비트 시퀀스의 생성 방법.
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