KR100965970B1 - 난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템 및 난수 시퀀스의 생성 방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명의 다양한 실시예는 광학 기반의 양자 난수 생성기에 관한 것이다. 본 발명의 일 실시예에서, 광학 기반의 자동 인증 양자 난수 생성기는, 선형 중첩 상태(a linear superposition of states)의 광학 양자 시스템을 생성하는 입력 상태 생성기(1102, 2102)와, 광학 양자 시스템의 상태를 측정하는 검출기(1112-1115, 2108, 2110)와, 광학 양자 시스템의 상태 측정으로부터 획득된 결과를 평가하여 상기 결과와 연관된 수를 상기 난수 시퀀스에 추가할지 추가하지 않을지 여부를 결정하는 시스템 제어부(1118, 2114)를 포함한다. 양자 난수 생성기는 또한 입력 상태 생성기(1102, 2102)와 상기 검출기(1112-1115, 2108, 2110) 사이에 위치하고, 광학 양자 시스템의 상태 측정으로부터 획득된 상기 결과에 기초하여 광학 양자 시스템의 상태를 유지하도록 시스템 제어부(1118, 2114)에 의해 동작이 제어되는 상태 제어기(1104, 1106, 2104)도 포함한다.

Description

난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템 및 난수 시퀀스의 생성 방법{OPTICAL-BASED, SELF-AUTHENTICATING QUANTUM RANDOM NUMBER GENERATORS}
본 발명은 난수 생성기에 관한 것으로, 보다 구체적으로는 광학적 양자 시스템의 특성을 이용하여 난수 시퀀스를 생성하는 방법 및 시스템에 관한 것이다.
난수는 몇 개만 예를 들자면, 게임 놀이, 통계적 샘플링, 정방정식 계산, 입자 수송 계산 및 통계 물리학 계산을 포함하는 다수의 영역에 적용된다. 따라서, 난수 생성기("RNG")는 난수를 사용하는 방법 및 시스템에서 현저하게 나타난다. 예컨대, RNG는 보안 시스템의 키 구성요소이고 암호화 키를 생성하는 데 광범위하게 사용된다. 이상적인 RNG는 미리 예측될 수 없고 쉽게 복제될 수 없는 수를 발생시킨다. 바꾸어 말하면, RNG는 이상적으로 불편(unbiased) 난수 시퀀스를 발생시킨다. 그러나, 다수의 일반적으로 사용된 RNG는 외관상(seemingly) 난수 시퀀스를 발생시키거나 불편 난수 시퀀스를 발생시키기 쉬울 수 있다.
RNG는 공식 및 수치 해법을 사용하여 외관상 난수 시퀀스를 발생시키도록 소프트웨어로 구현되었다. 소프트웨어 기반 RNG는 "의사 난수 생성기"로서 지칭되는 데, 이는 동일한 초기 파라미터가 사용되면, 공식이 의사 난수 시퀀스의 예측 및 복제를 고려하기 때문이다. 순환 레머 의사 난수 생성기("LPNG")는 일반적으로 사용되는 의사 난수 생성기의 예이며 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00001
여기서, x n 은 난수 시퀀스 중 n 번째 수이고,
A, C 및 M은 LPNG에 의해 생성된 시퀀스가 랜덤함을 나타내는 것을 보장하도록 조정될 수 있는 파라미터이다.
전형적으로, M은 의사 난수 시퀀스를 계산하는 데 이용되는 컴퓨터의 워드 크기에 할당되고, x 0, 즉, 시드(seed)는 소수에 할당된다. 예컨대, A, C 및 M을 값 21, 1 및 32(5 비트)에 각각 할당하고, x 0를 소수 13에 할당하면, LPNG는 후속하는 의사랜덤 정수 시퀀스 13, 18, 27, 24, 25, 14, 7 등을 발생시킨다. 다른 방안은 의사 난수 생성기가 시작될 때마다 컴퓨터 시스템 클록에 의해 생성된 시간으로 의사 난수 생성기를 시드할 수 있다. 그러나, 의사 난수 생성기가 시작되었던 시간을 결정할 수 있으므로, 시스템 클록에 의해 제공된 시간을 사용하는 것도 전혀 오류가 없는 것은 아니다.
하드웨어 기반 RNG도 개발되어 원자, 분자 및 전기 시스템에 의해 발생한 열잡음에서 관찰되는 무질서 변동으로부터 난수 시퀀스를 발생시켜왔다. 예컨대, 열잡음은 전기적 도체를 통해 흐르는 전기적 전류에 의해 생성될 수 있는데, 이는 전압 평형 변동을 측정함으로써 난수 시퀀스의 소스로서 사용된다. 열잡음은 도체 내의 전자의 랜덤 이동 때문에, 인가된 전압이 존재하든 존재하지 않든 발생한다. 그러나, 하드웨어 기반 RNG에 의해 이용된 시스템이 환경 변화의 영향을 받기 쉬우므로, 하드웨어 기반 RNG가 항상 난수 시퀀스의 소스를 신뢰할 수 있는 것은 아니다. 예컨대, 난수 시퀀스를 발생시키는 데 사용된 전기적 잡음 기반 RNG는 시스템의 온도를 변화시킴으로써 편향될 수 있다. 또한, 전형적으로 하드웨어 기반 RNG에 의해 생성된 시퀀스의 랜덤성을 인증하는 데 이용되는 방법은 결정론적 소프트웨어 기반 방법인데, 이는 시퀀스가 통계적으로 잘 작용되는지 여부를 결정하는 데 사용될 수 있지만, 시퀀스의 진정한 랜덤성을 평가할 수 없다.
양자 난수 생성기("QRNG")라 불리는 다른 유형의 RNG는, 양자 시스템의 양자역학 특성에 기초한다. ORNG는 전형적으로 동일한 양자 시스템 상에서 측정을 수행함으로써 난수를 생성하는 데에 사용된다. 각 측정은 측정이 수행될 때 각 양자 시스템의 상태를 다수의 가능한 상태들 중 하나로 투영시킨다. 이러한 방식으로 발생된 수는, 양자역학의 표준 해석에 따르면, 아무리 세밀한 측정 방법 및 시스템도 이러한 불확실성을 극복할 수 없기 때문에 정말로 랜덤하다. 따라서, QRNG는 난수 시퀀스를 생성하는 매우 바람직한 시스템이다.
"｜0〉" 및 "｜1〉"로 나타낸 2 개의 이산 상태만을 포함하는 양자 시스템은 QRNG를 구현하는 데 사용될 수 있다. 2 상태 양자 시스템의 예는 임의의 두 개의 광자, 또는 에너지, 전자기장의 상태, 전자기장의 수직 및 수평 편광 상태 및 전자 또는 일부 원자핵의 2 가지 스핀 상태를 포함한다. 2 개의 이산 상태를 가진 양자 시스템은 "큐비트 시스템"으로 지칭되고, "큐비트 기저 상태"로 지칭되는 상태 ｜0 〉 및 ｜1〉도 세트 표시법으로 {｜0〉,｜1〉}로서 나타낼 수 있다. 큐비트 시스템은 상태 ｜0〉, 상태 ｜1〉또는 ｜0〉과 ｜1〉양자 모두를 동시에 포함하는 무한 개수의 상태 중 임의의 상태에 존재할 수 있다. ｜0〉과 ｜1〉양자 모두를 포함하는 상태 중 임의의 상태는 상태의 선형 중첩으로서 수학적으로 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00002
상태 ｜Ψ〉는 "큐비트"로 지칭되고, 파라미터 α 및 β는 다음 조건을 만족시키는 복소값 계수이다.
Figure 112008072785595-pct00003
｜0〉및 ｜1〉이 상태 ｜Ψ〉 내의 큐비트 시스템에서 수행된 측정에 의해 결정된 2 가지 가능한 상태이면, 상태 ｜0〉 내의 큐비트 시스템을 발견할 확률은 ｜α|2이고, 상태 ｜1〉 내의 큐비트 시스템을 발견할 확률은 ｜β｜2이다. 기저 {｜0〉,｜1〉} 내의 큐비트 시스템에서 측정을 수행한다고 한다.
큐비트 시스템과 관련된 무한 개수의 상태는 "블로흐 구(Bloch sphere)"로 지칭되는 단위 반경의 3 차원 구로 기하학적으로 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00004
여기서, 0≤θ＜π이고,
0≤φ＜2π이다.
도 1은 큐비트 시스템의 블로흐 구 표현을 도시한다. 도 1에 도시된 바와 같이, 선(101 내지 103)은 각각 직교 x, y 및 z 데카르트 좌표축이고, 블로흐 구(106)는 원점에 중심을 둔다. 블로흐 구(106) 상에 무한 개의 점이 존재하는데, 각 점은 큐비트 시스템의 고유 상태를 나타낸다. 예컨대, 블로흐 구(106) 상의 점(108)은 일부분은 상태 ｜0〉을, 일부분은 상태 ｜1〉을 동시에 포함하는 큐비트 시스템의 고유 상태를 나타낸다. 그러나, 일단 큐비트 시스템의 상태가 기저 {｜0〉,｜1〉}에서 측정되면, 큐비트 시스템의 상태는 상태 ｜0〉(110) 또는 상태 ｜1〉(112)에 투영된다.
도 2는 가상 단일 편광 빔분리기 기반 QRNG(200)를 도시한다. QRNG(200)는 편광 빔분리기(202), 2 개의 광자 검출기(204,206) 및 광자 소스(208)를 포함한다. 빔분리기(202)는 2 개의 프리즘(212,214) 사이에 끼인 다층 유전체 박막(210)을 포함한다. 빔분리기(202)는 하나의 입력 채널(216) 및 2 개의 출력 채널(218,220)을 갖는다. 채널(216,218,220)은 광섬유 또는 자유 공간을 나타낸다. 빔분리기(202)는 수직으로 편광된 전자기 복사를 반사하고 수평으로 편광된 전자기 복사를 투과시킨다. 광자 소스(208)는 전자기 복사의 단일 광자를 다음과 같이 불편된, 간섭성 선형 중첩 상태로 출력한다:
Figure 112008072785595-pct00005
｜V〉는 광자의 수직 편광 상태를 나타낸다
｜H〉는 광자의 수평 편광 상태를 나타낸다
수직 및 수평 편광 상태 ｜V〉및 ｜H〉는 단일 광자 양자 시스템의 직교 기저 상태이다. 광자가 광자 검출기 D1(204) 또는 광자 검출기 D2(206)에서 검출될 때까지 광자는 상태 ｜χ〉에 남아있다. 상태 ｜χ〉의 계수의 제곱은 검출기 D1(204)에서 광자를 검출할 확률이 1/2이고 검출기 D2(206)에서 광자를 검출할 확률이 1/2임을 나타낸다. 그 결과, 둘 중 어느 하나의 광자 검출기에서의 광자 검출은 랜덤하다.
QRNG(200)는 랜덤 n 비트 워드 시퀀스로 분할될 수 있는 이진 난수 시퀀스를 발생시키는 데 사용될 수 있다. 이때 랜덤 n 비트 워드 시퀀스는 다양한 난수 애플리케이션에 사용될 수 있다. 예컨대, QRNG(200)는 다음과 같이 0 내지 31의 랜덤 정수 시퀀스를 발생시키는 데 사용될 수 있다. 광자가 검출기 D2(206)에 의해 검출되면, 이진수 시퀀스에 이진수 "1"이 이진수의 시퀀스에 추가되고, 광자가 검출기 D1(204)에 의해 검출되면, 동일한 이진수 시퀀스에 이진수 "0"이 추가된다. 상태 ｜χ〉를 연속해서 30 번 발생시키면 아래의 이진 난수 시퀀스를 생성한다고 가정한다.
Figure 112008072785595-pct00006
이진 난수 시퀀스는 5 비트 워드로 분할되어 2 진법의 난수 시퀀스 00011, 01010, 11100, 10101, 01111 및 00100이 되고, 이어서 각각 대응하는 10 진법의 랜덤 정수 시퀀스 3, 10, 28, 21, 15 및 4로 변환될 수 있다.
QRNG(200)는 난수 시퀀스를 발생시키기에 편리한 방법 및 시스템을 제공하는 것처럼 보이지만, QRNG(200)는 광자 소스(208)를 탬퍼링(tampering)함으로써 의사 난수 시퀀스를 발생시키기 쉬울 수 있다. 예컨대, 광자 소스(208)의 제어를 갖는 반대자(adversary)는 출력 광자가 다음과 같은 상태로 나타날 수 있도록 광자 소스(208)를 편향할 수 있다:
Figure 112008072785595-pct00007
그 결과, QRNG(200)는 이진수의 편향된 시퀀스를 생성하며, 이때 이진수들 중 대략 2/3이 "1"이고 이진수들 중 대략 1/3이 "0"이다. 또한, 전형적으로 QRNG(200)와 같은 장치에 의해 생성된 시퀀스의 무작위성을 인증하는 데에 사용되는 방법은 흔히 결정론적 소프트웨어 기반 방법으로, 이는 전술된 바와 같이 진정한 RNG가 아니며, 따라서 시퀀스의 무작위성을 인증하는 데에 있어서 신뢰가능하다. 물리학자, 암호 사용자, 컴퓨터 과학자 및 양자 정보 사용자는 난수 시퀀스를 신뢰할 수 있게 생성할 수 있고, 양자 시스템의 비결정론적 특성에 의지하는 방법을 사용하는 난수 시퀀스에서의 편향을 검출, 인증 및 교정하는 데에도 사용할 수 있는 QRNG에 대한 필요성을 인지해 왔다.
본 발명의 다양한 실시예는 양자 난수 생성기를 사용하여 난수를 생성하는 방법 및 시스템에 관한 것이다. 본 발명의 일 실시예에서, 양자 난수 생성기는 인탱글된 상태(entangled state)에서 제 1 광학 양자 시스템 및 제 2 광학 양자 시스템을 생성하는 입력 상태 생성기, 제 1 광학 양자 시스템의 상태와 제 2 광학 양자 시스템의 상태를 측정하는 검출기 및 제 1 광학 양자 시스템의 상태와 제 2 광학 양자 시스템의 상태를 측정함으로써 획득된 결과를 평가하여 이 결과와 관련된 수를 난수의 시퀀스에 추가할지 않을지의 여부를 결정하는 시스템 제어부를 포함한다. 또한 양자 난수 생성기는, 입력 상태 생성기와 검출기 사이에 위치하고, 앞서 제 1 광학 양자 시스템 및 제 2 광학 양자 시스템 상에서 수행된 측정으로부터 획득된 결과에 기초하여 인탱글된 상태를 유지하도록 시스템 제어부에 의해 동작이 제어되는 상태 제어기도 포함할 수 있다.
도 1은 큐비트 시스템의 블로흐 구 표현을 도시한 도면.
도 2는 가상 단일 편광 빔분리기 기반 양자 난수 생성기를 도시한 도면.
도 3은 입방형 공동을 도시한 도면.
도 4는 기저 벡터로서 2 개의 독립형 편광 벡터 및 정규화 파동벡터를 가진 3 차원 좌표 시스템을 도시한 두면.
도 5는 도 4에 도시된 좌표 시스템 내의 전자기 복사의 전기장 및 자기장 성분의 표현을 도시한 도면.
도 6은 양자화 전자기 복사의 에너지 레벨도.
도 7은 소스로부터 출력되고 검출기로 전송된 광자 펄스를 검출하는 것과 관련된 확률 분포 함수를 도시한 도면.
도 8a 및 도 8b는 수직 및 수평 편광 기저 상태의 플롯을 도시한 도면.
도 9는 편광 상태의 푸엥카레 구(poincare sphere) 표현을 도시한 도면.
도 10a 내지 10d는 네 개의 편광 상태의 플롯을 도시한 도면.
도 11은 본 발명의 실시예를 나타내는 광학 기반의 양자 난수 생성기를 도시한 도면.
도 12는 본 발명의 실시예를 나타낸, 양자 난수 생성기의 검출기와 코인시던스 박스(coincidence box) 간의 상호접속을 도시한 도면.
도 13은 본 발명의 실시예를 나타낸, 양자 난수 생성기의 시스템 제어에 의해 수신될 수 있는 네 가지 유형의 출력 신호 조합을 나타내는 두 개의 출력 신호 대 시간 플롯을 도시한 도면.
도 14는 본 발명의 실시예를 나타낸, 로우 카운트(raw counts)의 시퀀스로부터의 이진 난수의 시퀀스 생성을 도시한 도면.
도 15는 본 발명의 실시예를 나타내는 최소 엔트로피 플롯을 도시한 도면.
도 16은 푸엥카레 구(Poincare sphere)의 표면 상에 위치한 순수 상태(pure state)의 스토크스 파라미터(Stokes parameter)의 셋을 도시한 도면.
도 17은 이진 난수의 시퀀스를 생성하기 위한 본 발명의 다양한 실시예들 중 하나를 나타내는 제어 흐름도.
도 18은 본 발명의 다양한 실시예들 중 하나를 나타낸, 도 17의 단계(1702)에서 불러낸 루틴 "단층 촬영 분석"에 대한 제어 흐름도.
도 19는 본 발명의 다양한 실시예들 중 하나를 나타낸, 도 17의 단계(1704)에서 불러낸 루틴 "로우 이진수의 시퀀스 생성"에 대한 제어 흐름도.
도 20은 본 발명의 다양한 실시예들 중 하나를 나타낸, 도 17의 단계(1706) 에서 불러낸 루틴 "로우 이진수 시퀀스 선별(sift)에 대한 제어 흐름도.
도 21은 본 발명의 실시예를 나타낸, 난수 시퀀스를 생성하는 데에 단일 광자 상태를 사용하는 광학 기반의 양자 난수 생성기를 도시한 도면.
도 22는 본 발명의 실시예를 나타낸, 가변 손실부을 포함하는 광학 기반 양자 난수 생성기를 도시한 도면.
도 23은 본 발명의 실시예를 나타낸, 광학 빔과 미러를 사용하는 광학 기반 양자 난수 생성기를 도시한 도면.
본 발명의 다양한 실시예는 이진 난수 시퀀스를 발생시키는 데 사용될 수 있는 광학 기반의 자동 인증 QRNG에 관한 것이다. 본 발명의 실시예는 시퀀스의 랜덤성을 평가하고 인증하며 편향된 이진수를 소거하는 양자역학 기반 방법을 포함한다. 본 발명의 실시예는 사실상 수학적이며, 이러한 이유로 다수의 식과 다수의 그래프를 참조하여 후술된다. 양자 광학 및 양자 정보의 당업자에게 본 발명의 실시예를 완전히 설명하고 기술하는 데 수학식만으로도 충분할 수 있지만, 본 발명이 다양한 배경적 정보로 독자에게 접근할 수 있도록 후속 논의에 포함된 다수의 그래프식 문제 지향 예 및 제어 흐름도 방안이 여러 가지 상이한 방식으로 본 발명의 다양한 실시예를 설명하려 한다. 또한, 독자가 본 발명의 다양한 실시예의 설명을 이해하는 것을 돕기 위해, 물리학 관련 주제의 개요 소부(subsection)가 제공된다. 제 1 소부에서, 양자역학의 개요가 제공된다. 제 2 소부에 전자기 복사 및 양자 광학의 개요가 제공된다. 제 3 소부에는 양자 인탱글먼트(entanglement)의 개요가 제공된다. 제 4 소부에는 편광 상태 및 스토크스 파라미터의 오버뷰가 제공된다. 마지막으로, 본 발명의 다양한 시스템 및 방법 실시예들이 제 5 소부에 설명된다.
양자역학의 개요
본 발명의 실시예는 양자역학의 개념을 이용한다. 1977년 프랑스 파리 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu and Frank Laloe, Hermann의 텍스트북 "양자 역학 제 1 권 및 제 2 권"은 양자역학 분야에 대한 다수의 참조문 중 하나이다. 이 소부에서, 본 발명의 실시예와 관련된 양자역학의 주제가 설명된다. 추가적인 세부사항은 이상에 참조된 텍스트북 또는 양자역학에 관한 다수의 다른 텍스트북, 논문 및 저널 기사로부터 획득될 수 있다.
양자역학은 광자, 전자, 원자 및 분자를 포함하는 시스템의 관찰된 성향, 원자 및 서브원자(subatomic) 레벨을 모델링한다. 양자 시스템은 측정가능한 이산량을 특징으로 하는 이산 상태에 존재한다. 양자 시스템의 상태는 켓(ket)으로 나타나며 ｜Ψ〉으로 표시되는데, 여기서 ｜Ψ〉는 양자 시스템의 상태를 나타내는 라벨이다. 예컨대, 전자는 2 개의 측정가능한 스핀 각 운동량 값 h/2 및 -h/2에 대응하는 2 개의 고유의 스핀 각 운동량 상태를 가지는데, 여기서 h는 대략 1.0546×10-34 Js이다. 스핀 각 운동량 h/2에 대응하는 스핀 상태는 "스핀 업"으로 지칭되고 ｜↑〉으로 표시되며, 스핀 각 운동량 -h/2에 대응하는 스핀 상태는 "스핀 다 운"으로 지칭되고 ｜↓〉으로 표시된다. 여러 가지 상이한 양자 상태에 여러 서로 다른 라벨이 할당될 수 있다. 예컨대, 스핀 업 및 스핀 다운 상태 ｜↑〉 및 ｜↓〉는 각각 켓 ｜½〉및 ｜-½〉로도 나타낼 수 있다. 또한, 완전히 서로 다른 양자 시스템의 상이한 상태를 나타내는 데 단일 라벨이 사용될 수 있다. 예컨대, 켓 "｜1〉"은 2원자 분자의 제 1 양자화 진동 레벨을 나타낼 수 있고, 후속하는 소부에 후술되는 바와 같이 단일 광자를 나타내는 데에도 사용될 수 있다.
전자의 스핀 각 운동량과 같은 양자 시스템의 측정가능량을 결정하는 데 이용된 측정은 연산자
Figure 112008072785595-pct00008
로 나타내는데, 여기서 기호 "⌒"는 연산자를 표시한다. 일반적으로, 연산자는 다음과 같이 좌변으로부터 켓을 연산한다.
Figure 112008072785595-pct00009
여기서
Figure 112008072785595-pct00010
은 관찰된 양자 상태를 나타내는 켓이다. 전형적으로, 연산자
Figure 112008072785595-pct00011
는 "고유상태(eigenstate)"로 지칭되는 상태 세트와 관련된다. 고유상태는 후속하는 특성을 가진 "｜Ψ i 〉"으로 나타낸다.
Figure 112008072785595-pct00012
여기서, i는 음이 아닌 정수이고,
Ψ i 는 양자 시스템이 고유상태 ｜Ψ i 〉에 있는 경우에 관찰되는 이산 측정가능량에 대응하는 "고유값"으로 지칭되는 실수이다.
예컨대, z 축에 평행한 전자의 스핀 각 운동량을 결정하는 데 이용된 측정은
Figure 112008072785595-pct00013
로 나타내고, 관찰된 스핀 각 운동량 값의 고유값-고유상태 표현은
Figure 112008072785595-pct00014
이다.
연산자의 고유상태는 "상태 공간"이라 지칭되는 복소 벡터 공간을 생성하는(span) 복소 벡터이다. 상태 공간에 속하는 모든 상태가 기저 상에 고유한 선형 중첩을 가지면, 고유상태는 벡터 공간의 기저를 구성한다. 예컨대, 연산자
Figure 112008072785595-pct00015
의 N 개의 고유상태 {｜Ψ i 〉}에 의해 생성되었던 상태 공간 내의 상태 ｜Ψ〉는 고유상태의 선형 중첩으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00016
여기서, c i 는 "진폭"으로 지칭되는 복소값 계수이다. 연산자와 관련된 상태 공간은 "힐베르트 공간(Hilbert space)"으로도 지칭된다. 힐베르트 공간은 "내적"이라 지칭되는 수학적 연산을 포함한다. 2 개의 상태 ｜Ψ〉와 ｜Ξ〉의 내적은 다음과 같이 나타난다.
Figure 112008072785595-pct00017
여기서, 〈Ξ｜는 "브라(bra)"로 지칭되고 상태 ｜Ξ〉의 켤레 복소수 및 전치를 나타낸다. 내적은 후속하는 특성을 갖는다.
Figure 112008072785595-pct00018
여기서 "*"는 켤레 복소수를 나타낸다. 힐베르트 공간의 기저 고유상태는 직교하거나 수학적 표기로 존재한다.
Figure 112008072785595-pct00019
여기서, δ ij 는 i와 j가 같으면 1이고 같지 않으면 0이다. 예컨대, 단일 전자 힐베르트 공간의 고유상태의 내적은
Figure 112008072785595-pct00020
이다.
힐베르트 공간의 고유상태의 직교 특성은 상태 ｜Ψ〉의 선형 중첩의 계수를 결정하는 데 사용될 수 있다. ｜Ψ〉와 ｜Ψ j 〉의 내적을 구하면 대응하는 계수가 나온다.
Figure 112008072785595-pct00021
선형 중첩의 계수에 대입하면 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00022
｜Ψ〉가 힐베르트 공간 내의 임의의 켓이므로,
Figure 112008072785595-pct00023
이다.
여기서,
Figure 112008072785595-pct00024
은 항등 연산자이다. 총합은 "완전도 관계"로 지칭되고, 고유상태 {｜Ψ i 〉}는 "완전하다"고 한다.
연산자의 고유상태는 직교 정규화 행 벡터로 나타낼 수 있고, 연산자는 정사각행렬로 나타낼 수 있다. 예컨대, 연산자
Figure 112008072785595-pct00025
과 관련된 단일 전자 힐베르트 공간 의 고유상태는 행 벡터로 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00026
여기서, 기호 "B"는 "~로 나타낸다"를 의미한다. 전치된 고유 상태의 켤레 복소수는 행 벡터로 나타낸다.
Figure 112008072785595-pct00027
완전도 관계를 사용하면, 기저 {｜Ψ i 〉} 상의 연산자
Figure 112008072785595-pct00028
도 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00029
여기서,
Figure 112008072785595-pct00030
은 행렬 원소이다. 기저 {｜Ψ i 〉} 상의 연산자
Figure 112008072785595-pct00031
에 대응하는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00032
Figure 112008072785595-pct00033
과 동일한 연산자
Figure 112008072785595-pct00034
의 행렬 표현은 0 비대각원소를 가지며, 대각원소는 고유값 {Ψ i }이다. 예컨대, 전자 스핀 z 축 연산자는 다음과 같을 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00035
여기서,
Figure 112008072785595-pct00036
이다.
전자 스핀 연산자
Figure 112008072785595-pct00037
의 행렬 표현은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00038
연산자
Figure 112008072785595-pct00039
은 만일
Figure 112008072785595-pct00040
이면 "에르미트(Hermitian) 연산자"로 지칭된다.
대응하는 행렬 원소는 다음 조건을 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00041
연산자
Figure 112008072785595-pct00042
에 대응하는 측정 이전에, 양자 시스템이 연산자
Figure 112008072785595-pct00043
의 모든 고유상태 {｜Ψ i 〉} 내에 동시에 존재한다고 간주될 수 있으며, 이는 상태의 (순수 상태) 선형 중첩으로 나타낸다.
Figure 112008072785595-pct00044
연산자
Figure 112008072785595-pct00045
에 대응하는 측정은 초기에 상태 ｜Ψ〉내의 양자 시스템을 고유상태 ｜Ψ i 〉중 하나에 투영한다. 바꾸어 말하면, 양자 시스템 상의 측정은 본질적으로 측정시에 선형 중첩 내의 고유상태 중 하나에 양자 시스템의 상태를 배치하는 필터링 프로세스이다. 예컨대, 연산자
Figure 112008072785595-pct00046
에 대응하는 측정 이전의 미지의 스핀 지향을 가진 전자는 상태의 선형 중첩 내에 나타난다.
Figure 112008072785595-pct00047
스핀 결정 측정
Figure 112008072785595-pct00048
은 측정시에 상태 ｜↑〉 또는 상태 ｜↓〉에 전자의 상태를 투영한다. 바꾸어 말하면, 스핀 결정 측정 이후에만, 전자가 상태 ｜↑〉 또는 상태 ｜↓〉 상태에 존재한다.
측정의 결과로서 양자 시스템의 상태에 대한 대응하는 불가역 변화가 존재한다. 불가역성은 측정이 수행되기 전에 양자 시스템이 이미 양자 상태 중 하나에 존재하는 경우에만 방지될 수 있다. 이에 따라, 단일 측정의 결과에 근거하여 양자 시스템의 이전 상태를 추측할 수 없다. 예컨대, 스핀 측정의 결과가 h/2이면, 측정시에 시스템이 이미 상태 ｜↑〉에 존재했었는지 또는 스핀 상태 ｜↑〉 및 ｜↓〉의 선형 중첩에 존재했었는지를 판정할 수 없다.
양자 시스템의 상태가 다양한 상태 ｜Ψ i 〉 중 어떤 상태에 투영되는지 미리 알 수 없지만, 측정 이후 즉시 양자 시스템이 특정 상태 ｜Ψ i 〉에서 발견될 확률은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00049
여기서 ｜Ψ〉는 정규화되고, ｜c i ｜2은 c i * c i 와 같으며, 결과 확률이 된다. 예컨대, 스핀 기저 {｜↑〉, ｜↓〉} 내의 스핀 결정 측정 이전에, 전자가 스핀 상태 ｜↑〉에서 발견될 확률이 1/2이고 스핀 상태 ｜↓〉에서 발견될 확률이 1/2인 것으로 가간섭적으로 준비된다고 고려한다. 예컨대, 스핀 결정 측정 이전의 스핀 상태 내의 전자와 관련된 상태는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00050
상태 ｜Ψ〉의 선형 중첩으로 나타낸 양자 시스템에서 수행된 측정의 기대값은 수학적으로 다음과 같이 나타내고,
Figure 112008072785595-pct00051
다음과 같이 완전도 관계를 적용함으로써 결정된다.
Figure 112008072785595-pct00052
기대값은 앙상블 내의 양자 시스템 상의 측정으로부터 예측된 가중 고유값 평균 결과를 나타내는데, 여기서, 양자 시스템의 초기 상태 ｜Ψ〉는 앙상블의 요소마다 동일하다. 바꾸어 말하면, 각 양자 시스템을 나타내는 상태의 선형 중첩은 측정 이전에 동일하다. 실제로, 이러한 앙상블은 다수의 동일하고 독립적인 양자 시스템 전부를 동일한 상태 내에 준비하거나, 단일 시스템을 동일 상태 내에 반복하여 준비함으로써 구현될 수 있다. 기대값이 측정마다 획득되지 않을 수도 있으므로, 측정으로부터 획득된 고유값과 혼동해서는 안 됨을 알아야 한다. 예컨대,
Figure 112008072785595-pct00053
의 기대값은 고유값 h/2 내지 -h/2의 임의의 실수일 수 있지만, 각각의 개별 측정에서 전자에 대한
Figure 112008072785595-pct00054
의 실제 측정값은 언제나 h/2 또는 -h/2이다.
상태 ｜Ψ〉 내의 단일 양자 시스템의 기대값은 다음과 같이 정의된 밀도 연산자를 사용하여 설명될 수도 있다.
Figure 112008072785595-pct00055
여기서, 상태 ｜Ψ〉는 "순수 상태"로도 지칭되는데, 이는 후술되는 상태의 통계적 혼합과 구별된다. 밀도 연산자는 행렬 원소가
Figure 112008072785595-pct00056
인 "밀도 행렬"로 지칭된 행렬에 의해 {｜Ψ i 〉} 기저 내에 나타난다.
밀도 연산자는 양자 시스템의 상태의 특성을 나타낸다. 바꾸어 말하면, 밀도 연산자는 상태 ｜Ψ〉로부터 계산될 수 있는 모든 물리적 정보를 제공한다. 예컨대, 밀도 행렬의 대각 행렬 원소의 합은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00057
여기서 Tr은 행렬의 트레이스, 즉, 대각원소의 합을 나타낸다. 예컨대, 순수 상태
Figure 112008072785595-pct00058
의 2 상태 양자 시스템의 밀도 행렬은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00059
여기서, 대각원소는 양자 시스템을 상태 ｜Ψ 1〉 또는 상태 ｜Ψ 2〉에 투영하는 것에 관한 확률이고, 비대각원소는 상태 ｜Ψ 1〉와 ｜Ψ 2〉 사이의 간섭 영향을 나타낸다. 또한, 상태 ｜Ψ〉 내의 양자 시스템의 기대값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00060
그러나, 양자 시스템에 관한 정보가 불완전하다는 것이 흔한 경우이다. 예컨대, 양자 시스템은 각각 관련 확률이 p 1, p 2, p 3...인 상태 ｜Ψ1〉, ｜Ψ2〉, ｜Ψ3〉,... 중 어느 하나에 존재할 수 있는데, 여기서 확률은 다음 조건을 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00061
양자 시스템은 "상태의 통계적 혼합"에 존재한다고 한다. 상태의 통계적 혼합에 대한 밀도 연산자는 다음과 같이 결정될 수 있다. 전술된 바와 같이, 순수 상태 ｜Ψi〉 내의 양자 시스템에서 관찰가능한
Figure 112008072785595-pct00062
의 측정이 결과값 Ψ n 를 산출할 확률은
Figure 112008072785595-pct00063
이다.
그러나, 상태의 통계적 혼합에서 Ψ n를 관찰할 확률 Pr i (Ψ n )은 p i 가 곱해지고 i항까지 더해져 다음과 같아진다.
Figure 112008072785595-pct00064
여기서,
Figure 112008072785595-pct00065
은 상태의 통계적 혼합과 관련된 밀도 연산자이다. 관련된 밀도 행렬 원소는 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00066
밀도 행렬의 물리적 의미는 상태의 혼합을 포함하는 2 상태 양자 시스템에 관하여 설명된다.
Figure 112008072785595-pct00067
대응하는 밀도 행렬은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00068
대각 행렬 원소는, 양자 시스템의 상태가 ｜Ψi〉인 경우에, 대각 행렬 원소 ρ 11가 상태 ｜Ψ 1〉 내의 양자 시스템을 발견할 평균 확률을 나타내고, 대각 행렬 원소 ρ 22가 상태 ｜Ψ 2〉 내의 양자 시스템을 발견할 평균 확률을 나타냄을 의미하도록 해석될 수 있다. 동일한 조건 하에서 동일한 측정이 N 번 수행되는 경우에, Nρ 11는 상태 ｜Ψ 1〉에서 발견될 것이고 Nρ 22는 상태 ｜Ψ 2〉에서 발견될 것이다. 비대각 원소 ρ 12 및 ρ 21는 상태 ｜Ψ 1〉와 ｜Ψ 2〉 사이의 평균 간섭 효과를 나타낸다. 대각 행렬 원소와 달리, 곱 c 1 (i) c 2 (i)* 및 c 2 (i) c 1 (i)* 양자 중 어느 것도 0이 아니 더라도 비대각 행렬 원소가 0일 수 있음을 알아야 하는데, 이는 N 개의 측정들의 평균이 상태 ｜Ψ 1〉및 ｜Ψ 2〉의 간섭 효과를 상쇄하였음을 의미한다.
텐서 곱(tensor product)은 조합된 양자 시스템을 나타내는 힐베르트 공간을 형성하도록 서로 다른 양자 시스템의 힐베르트 공간을 조합하는 방법이다. 예컨대, H Ψ는 제 1 양자 시스템의 힐베르트 공간을 나타내고, H Ξ는 제 2 양자 시스템의 힐베르트 공간을 나타낸다. H Ψ
Figure 112008072785595-pct00069
H Ξ로 표시된 힐베르트 공간은 조합된 힐베르트 공간을 나타내는데, 여기서, 기호
Figure 112008072785595-pct00070
는 텐서 곱을 나타낸다. 연산자
Figure 112008072785595-pct00071
및
Figure 112008072785595-pct00072
는 각각 힐베르트 공간 H Ψ 및 H Ξ에 대응하고, 각각은 다음과 같이 대응하는 고유상태에서만 연산한다.
Figure 112008072785595-pct00073
여기서, ｜Ψ〉는 힐베르트 공간 H Ψ 내의 상태를 나타내고, ｜ξ〉는 힐베르트 공간 H Ξ 내의 상태를 나타낸다. 텐서 곱 ｜Ψ〉
Figure 112008072785595-pct00074
｜ξ〉은 ｜Ψ〉｜ξ〉, ｜Ψ,ξ〉또는 ｜Ψξ〉로 줄여 쓸 수 있다. 예컨대, 원자 궤도 내의 2 개의 전자의 스핀 상태는 조합된 힐베르트 공간에 대한 기저이다. 2 개의 전자는 양자 모두 스핀 업, 양자 모두 스핀 다운, 제 1 전자 스핀 업 및 제 2 전자 스핀 다운, 또는 제 1 전자 스핀 다운 및 제 2 전자 스핀 업일 수 있다. 2 개의 스핀 업 전자의 다양한 텐서 곱 표현은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00075
여기서, 아래 첨자 1 및 2는 제 1 및 제 2 전자를 지칭한다.
양자역학에서, 연속적인 고유값 스펙트럼을 가진 측정가능량도 존재한다. 대응하는 힐베르트 공간의 차원은 무한하며, 이산 양자 시스템에 대해 전술한 다수의 특성은 연속 양자 시스템용으로 일반화될 수 있다. 연속적인 고유값 식은
Figure 112008072785595-pct00076
이다. 여기서, ζ는 연속 고유값을 나타내고, 켓 ｜ζ〉은 연산자
Figure 112008072785595-pct00077
의 연속 고유상태이다. 예컨대, 일 차원 내의 복사(unbound) 입자의 경우에, 위치 q 및 운동량 p는 각각 위치 및 운동량
Figure 112008072785595-pct00078
및
Figure 112008072785595-pct00079
의 연속 고유값이며, -∞ 내지 ∞의 임의의 실수라고 가정할 수 있다.
연속 변수 ξ의 특성은 다음과 같이 일반화될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00080
여기서, δ(ζ-ζ')는
Figure 112008072785595-pct00081
과 같은 다수의 극한 표현을 가지는 델타 함수이다.
임의의 물리적 상태에 대한 상태 켓은 다음과 같이 상태 {｜ζ〉}의 항으로 확대될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00082
예컨대, 입자가 위치 q에 있는 경우에 입자의 위치를 출력하는 검출기를 입자의 경로에 배치한다고 간주한다. 측정이 수행된 후 즉시, 스핀 검출 측정이 수행되는 경우에 임의의 전자 스핀 상태가 2 개의 스핀 상태 중 하나에 투영되는 것과 같이, 초기에 상태 ｜α〉에 있었던 시스템은 ｜q〉로 나타낸 상태에 투영된다. 연속 변수 ζ의 다른 특성은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00083
운동량 연산자
Figure 112008072785595-pct00084
는 미분 연산자 -ih∂/∂q로도 나타낼 수 있다. 그 결과, 위치 연산자와 운동량 연산자 양자 모두 정준(canonical) 교환 관계를 만족시킬 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00085
여기서, i와 j는 데카르트 x, y 및 z 좌표와 같은 직교 좌표를 나타내고,
교환자는 [A,B]=AB-BA로 정의된다.
전자기 복사 및 양자 광학의 개요
이 소부에서, 본 발명의 실시예에 관한 전자기 복사 및 양자 광학의 간략한 기술이 설명된다. 1997년 영국 캠브릿지의 캠브릿지 대학 출판사에서 출간된 M. O. Scully 및 M. S. Zubairy의 텍스트북 "Quantum Optics"와 2000년 뉴욕의 옥스포 드 대학 출판사에서 출간된 R. Loudon의 "The Quantum Theory of Light(3판)"가 양자 광학에 대한 참조로서 사용되었다. 추가적인 세부사항은 전술된 텍스트북, 또는 이 분야의 다수의 다른 텍스트북, 페이퍼 및 저널 논문으로부터 획득될 수 있다.
양자 광학은 전자기 복사의 양자역학의 응용에 관한 물리학 분야이다. 완전히 반사하는 벽을 가진 공동에 한정된 전자기 복사가 양자화된다. 양자화된 전자기 복사는 자유 공간 또는 광섬유 내에 전파하는 전자기 복사와 같은 더 많은 일반적인 비한정 광학 시스템에 인가될 수 있다.
자유 전하 및 전류가 없는 공동에 한정된 전자기 복사는 파동 방정식
Figure 112008072785595-pct00086
및 쿨롱 비상대론적 게이지 조건
Figure 112008072785595-pct00087
을 만족시키는 벡터 퍼텐셜 항
Figure 112008072785595-pct00088
과 관련된 전기장 성분
Figure 112008072785595-pct00089
및 자기장 성분
Figure 112008072785595-pct00090
을 포함한다.
여기서, 전기장 및 자기장 성분은 다음과 같이 결정된다.
Figure 112008072785595-pct00091
전자기 복사는 전파되고 있다고 가정하며, 완전히 반사하는 벽을 가진 입방형 또는 양자화 공동에 의해 부과되는 주기적 경계 조건의 영향을 받는데, 여기서 벽의 길이는 L이다. 도 3은 입방형 공동(300)을 도시한다. 직교 축(302,304,306)은 x, y 및 z 데카르트 좌표축을 나타낸다. 유한 차원 입방형 공동(300)은 파동 방정식의 해에 주기적 경계 조건을 부과한다. 예컨대, x, y 및 z 방향으로, 벡터 퍼텐셜 파동 방정식에 대한 평면파 해는 다음 조건을 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00092
여기서,
Figure 112008072785595-pct00093
은 벡터(L,L,L)이고,
Figure 112008072785595-pct00094
는 mx, my 및 mz가 정수인 성분
Figure 112008072785595-pct00095
을 가진 "파동벡터"로 지칭된다.
각 정수 세트(mx, my, mz)는 전자기 복사의 정상 모드를 지정하고, 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00096
의 크기 k는 ωk/c와 같은데, 여기서 c는 자유 공간 내의 광속을 나타내고, ωk는 각주파수이다. 실제로 전자기장의 정상 모드의 스펙트럼은 실제로 연속적이며 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00097
에 의해 제안된 정상 모드의 이산 스펙트럼은 연속 스펙트럼의 근사치임을 알아야 한다.
주기적 경계 조건을 만족시키는 이상의 파동 방정식에 대한 전파 벡터 퍼텐셜 해는
Figure 112008072785595-pct00098
이다.
여기서,
Figure 112008072785595-pct00099
은 전자기 복사의 복소 진폭이고,
Figure 112008072785595-pct00100
은 2 개의 단위 길이 편광 벡터이며,
mx, my, mz = 0, ±1, ±2, ±3,...이다.
Figure 112008072785595-pct00101
의 총합은 정수(mx,my,mz)의 총합을 나타내고, s의 총합은 각각의
Figure 112008072785595-pct00102
과 관련 된 2 개의 독립 편광의 총합이다.
2 개의 편광 벡터는 편광 방향 s 양자 모두에 대해,
Figure 112008072785595-pct00103
로 나타낸 바와 같이 직교하며, 이상에 주어진 게이지 조건으로부터
Figure 112008072785595-pct00104
이다. 2 개의 편광 벡터
Figure 112008072785595-pct00105
및
Figure 112008072785595-pct00106
은 다음과 같이 정규화 파동벡터를 가진 우선회 좌표 시스템을 형성한다.
Figure 112008072785595-pct00107
도 4는 기저 벡터로서 2 개의 독립 편광 벡터
Figure 112008072785595-pct00108
및 정규화 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00109
을 가진 3 차원 우선회 좌표 시스템을 도시한다. 도 4에서, 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00110
(402) 및 편광벡터
Figure 112008072785595-pct00111
(404)과
Figure 112008072785595-pct00112
(406)은 각각 선(408,410,412)으로 나타낸 좌표축을 가진 좌표 시스템의 3 개의 직교 단위 길이 기저 벡터이다.
벡터 퍼텐셜의 전파하는 전기장 및 자기장 성분은
Figure 112008072785595-pct00113
이다.
전기장
Figure 112008072785595-pct00114
과 자기장
Figure 112008072785595-pct00115
양자 모두 전기장 및 자기장의 "전형적인" 표현으로서 지칭되고, 서로 직교하며, 양자 모두 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00116
에 직교하는 전파 파동 해이다.
도 5는 도 4에 도시된 우선회 좌표 시스템 내의 전자기 복사의 전기장 및 자 기장 성분의 표현이다. 전자기 복사는 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00117
(402) 축을 따라 방향이 정해진다. 전기장 성분
Figure 112008072785595-pct00118
(502) 및 자기장 성분
Figure 112008072785595-pct00119
(504)은 각각 직교 편광 벡터
Figure 112008072785595-pct00120
(404) 및
Figure 112008072785595-pct00121
(406)를 따라 방향이 정해지며, 특정 시간 t에 고정되는 것처럼 보인다.
전자기 복사의 에너지는 해밀토니안(Hamiltonian)을 구함으로써 결정될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00122
여기서 ε 0 은 자유 공간의 전기 유전율이고.
μ 0 은 자유 공간의 자기 유전율이며,
V는 공동의 부피이다.
전기 유전율 ε 0 은 전기장의 영향 하에서 진공 공간이 전기 퍼텐셜 에너지를 저장할 수 있는 정도를 나타내고, 자기 유전율 μ 0 은 진공이 자기장의 자속을 변경하는 정도를 나타낸다. 비도전 매개체에서, 매개체가 전기 퍼텐셜 에너지의 저장을 강화하는 정도인 ε를 전기 유전율에 더 곱하고, 매개체가 자기장의 자속을 높이는 정도인 μ를 자기 유전율에 더 곱한다.
전기장
Figure 112008072785595-pct00123
및 자기장
Figure 112008072785595-pct00124
성분을 양자화하기 위해,
Figure 112008072785595-pct00125
을 설정함으로써 해밀토니안에 위치
Figure 112008072785595-pct00126
및 운동량
Figure 112008072785595-pct00127
에 대한 정준 변수를 대입한다.
그 결과, 전자기 복사에 대한 해밀토니안은
Figure 112008072785595-pct00128
이 된다.
해밀토니안 내의 각 항은 진동 모드
Figure 112008072785595-pct00129
를 가진 고조파 발진기의 에너지인데, 여기서, 항
Figure 112008072785595-pct00130
은 운동 에너지이고, 항
Figure 112008072785595-pct00131
은 단위 질량을 가진 고조파 발진기의 퍼텐셜 에너지이다. 해밀토니안은 양자 해밀토니안 연산자
Figure 112008072785595-pct00132
를 산출하도록 위치 및 운동량 변수
Figure 112008072785595-pct00133
및
Figure 112008072785595-pct00134
를 양자역학 위치 및 운동량 연산자
Figure 112008072785595-pct00135
및
Figure 112008072785595-pct00136
로 각각 대체함으로써 양자화된다.
소멸 및 생성 연산자는
Figure 112008072785595-pct00137
로 정의되고, 양자 해밀토니안 연산자에 이 소멸 및 생성 연산자를 대입하면
Figure 112008072785595-pct00138
이 된다.
여기서,
Figure 112008072785595-pct00139
은 "수 연산자(number operator)"로 지칭되고
Figure 112008072785595-pct00140
으로도 나타낸다. 위치 및 운동량 연산자에 대한 정준 교환 관계를 이용하면, 소멸 및 생성 연산자는 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00141
전자기 복사가 양자화되는 경우에, 진폭
Figure 112008072785595-pct00142
은 이상의 전형적인 전기장 및 자기장 방정식에 대입되어 전기장 및 자기장 연산자
Figure 112008072785595-pct00143
를 얻을 수 있는 연산자
Figure 112008072785595-pct00144
가 된다. 전기장 연산자와 자기장 연산자 양자 모두 에르미트이고 측정가능한 전기장 및 자기장을 나타낸다.
자기장의 크기가 전기장보다 1/c 배 작으므로, 전기장은 대전 물질과의 상호작용의 대부분을 설명한다. 따라서, 일반적으로 전자기 복사의 성향 및 대전 물질과의 임의의 상호작용의 특성을 나타내는 데 전기장만 사용되며, 자기장 성분은 무시할 수 있다.
양자 연산 및 양자 정보 처리 시스템은 전자기 복사의 단일 모드
Figure 112008072785595-pct00145
을 사용하여 연산될 수 있다. 그 결과, 전자기 복사의 단일 모드에 대한 해밀토니안 연산자는
Figure 112008072785595-pct00146
로 정리되는데, 여기서
Figure 112008072785595-pct00147
및
Figure 112008072785595-pct00148
은 이상의 해밀토니안 내의 모드 의존형 연산자
Figure 112008072785595-pct00149
및
Figure 112008072785595-pct00150
을 대체한다. 단일 모드 해밀토니안의 고유상태 및 대응하는 에너지 고유값은
Figure 112008072785595-pct00151
이다.
여기서, ｜n〉은 "수 상태"로 지칭되고, n은 "광자 수"로 지칭되는 음이 아닌 정수이며, E n 은 에너지 고유값이다.
소멸 및 생성 연산자는 다음과 같이 수 상태를 연산한다.
Figure 112008072785595-pct00152
여기서,
Figure 112008072785595-pct00153
은 연산자
Figure 112008072785595-pct00154
을 나타내고 "수 연산자"로 지칭된다. 수 상태는 소멸 및 생성 연산자를 수 상태에 반복하여 적용함으로써 발생할 수 있다. 예컨대, 수 상태에 대한 소멸 연산자의 반복 적용은 광자 수를 낮춘다.
Figure 112008072785595-pct00155
여기서, ｜0〉은 "진공 상태"로 지칭되고 전자기 복사의 최저 에너지 상태를 나타낸다. 진공 상태에서 시작하고, 생성 연산자를 반복하여 적용하면
Figure 112008072785595-pct00156
이 된다.
수 상태들은 직교하고 경쟁 세트를 형성한다.
Figure 112008072785595-pct00157
일반적으로, 수 상태 ｜n〉와 관련된 에너지 고유값 식은
Figure 112008072785595-pct00158
이다. 소멸 및 생성 연산자를 에너지 고유값 식에 적용하면
Figure 112008072785595-pct00159
이 되는데, 이는 전자기 복사의 에너지 레벨이 양자 에너지 hω만큼 균일하게 이격됨을 나타낸다. 바꾸어 말하면, "광자"로 지칭되는 이산 에너지량 hω 내에 전자기 복사의 여기가 발생한다. 광자 수 n은 전자기 복사를 포함하는 광자 hω의 개수를 지칭한다.
도 6은 양자화된 전자기 복사의 에너지 레벨도이다. 수평선(602)과 같은 수평선은 전자기 복사의 에너지 레벨을 나타낸다. 에너지 레벨(604)은 진공 상태 ｜0〉에 대응하는 최저 에너지 레벨이다. 진공 상태의 에너지는 단일 광자의 에너지의 hω/2 또는 1/2이다. 전자기 복사의 더 높은 에너지 레벨은 각각 동일한 양자 에너지 hω만큼 분리된다. 예컨대, 에너지 레벨(606)은 총 전자기 에너지가 5hω/2인 전자기 복사를 나타내는데, 이는 2 개의 광자의 에너지와 진공 상태 에너지 hω/2를 더한 값으로 간주할 수 있다. 소멸 연산자는 전자기 복사로부터의 광자를 제거하는 것에 대응하고, 생성 연산자는 전자기 복사에 광자를 추가하는 것에 대응한다. 예컨대, 소멸 연산자
Figure 112008072785595-pct00160
은 상태 ｜n〉(602)에서 보다 낮은 에너지 상태 ｜n-1〉(608)로의 전자기 복사 전이(610)를 나타낸다. 전이(610)는 주변의 광자를 포기함으로써 달성된다. 이와 달리, 생성 연산자
Figure 112008072785595-pct00161
는 상태 ｜n〉(602)에서 보다 높은 에너지 상태 ｜n+1〉(612)로의 전자기 복사 전이(614)를 나타낸다. 전이(614)는 주변으로부터 광자를 받아들임으로써 달성된다. 전형적으로 주변은 원자, 양자점 또는 다이폴 상호작용을 통해 장(field)에 결합하는 임의의 다른 시스템일 수 있음을 알아야 한다. 광자의 손실 또는 흡수는 주변 시스템의 동시 여기를 수반할 것이고, 광자의 생성 또는 방출은 대응하는 주변 시스템의 역여기를 수반할 것이다.
광자는 광자 소스에 의해 생성될 수 있고, 자유 공간을 통해서나 광섬유 내에 전달될 수 있다. 광자 소스는 단일 펄스 또는 펄스 시퀀스를 발생시키는 펄싱 레이저일 수 있는데, 각 펄스는 모두 파장 및 방향과 같은 광학 특성이 동일한 하나 이상의 광자를 포함한다. 광학 특성이 동일한 광자는 "간섭성(coherent)"으로 지칭된다. 그러나, 소스, 검출기 및 검출기로부터 소스를 분리하는 광섬유와 같은 매개체는 광학 공동을 정의하지 않는다. 소스 및 검출기는 광학 에너지의 현저한 반사 또는 재생이 없는 광학 에너지의 연속하는 단방향 흐름의 일부이다. 자유 공간 또는 광섬유를 통해 전달된 펄스는 다음과 같이 주어진 시간 의존형 가우시안형 함수로 나타낼 수 있는 파속에 의해 설명될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00162
여기서 ω 0는 펄스 스펙트럼의 중심 주파수이고,
t는 시간이며,
t 0는 파속의 피크가 광자 소스로부터 z0만큼 이격되는 시간이고,
Δ2은 스펙트럼의 편차이다.
시간 t 0는 z0/υ에 의해 결정될 수 있는데, 여기서 υ는 자유 공간을 통해 또는 광섬유 내에서 이동하는 펄스의 속도이다.
파속 ξ(t)는 펄스의 진폭이고, ｜ξ(t)｜2은 펄스의 광검출 확률 밀도 함수 인데, 여기서 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜2는 정규화 조건을 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00163
광자 소스로부터 z0만큼 이격되는 시간 간격(t1,t2)에서 광자의 광검출 확률은 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00164
의 확률
Figure 112008072785595-pct00165
도 7은 소스(702)로부터 출력되고 광섬유(704)를 통해 검출기(706)로 전달되는 펄스와 관련된 확률 분포를 도시한다. 수평선(708)은 광자가 소스(702)로부터 검출기(706)로 이동하는 거리 z0를 나타내고, 수평선(710)은 시간축이다. 곡선(712)은 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜2를 나타낸다. 도 7에서, 광검출 확률 밀도 함수 ｜ξ(t)｜2(712)는 펄스가 거리 z0를 이동하는 데 걸리는 시간에 대응하는 시간 t 0에 중심에 있다. 곡선(712) 아래의 영역은 특정 시구간 내에서 펄스를 검출할 확률을 나타낸다. 예컨대, 해시마크 영역(714)은 시구간 t 1<t 0<t 2 내에서 광자를 검출할 확률을 나타낸다. 시구간(716)은 "타임 빈(time bin)"으로 지칭되고, 검출기(706)에서 광자가 검출되는 시구간에 대응한다.
시간 의존형 생성 연산자는 다음과 같이 광자 파속 생성 연산자를 발생시키는 데 사용될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00166
생성 연산자는 다음과 같이 자유 공간을 통해 또는 광섬유 내에 전달된 광자를 나타내는 연속 모드 수 상태를 구성하는 데 사용될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00167
여기서, ｜0〉은 연속 모드 진공 상태이다. 연속 모드 수 상태는 후속하는 동일한 조건을 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00168
따라서, 연속 모드 수 상태를 식별하는 데 사용된 아래 첨자 ξ를 버릴 수 있다. 광자를 구성하였던 파속은 임의의 해밀토니안의 고유상태가 아니다.
양자 인탱글먼트의 개요
제 1 양자 서브시스템 및 제 2 양자 서브시스템을 포함하는 양자 시스템은 힐베르트 공간 H A
Figure 112008072785595-pct00169
H B 을 구비하며, 이때 H A 는 제 1 양자 시스템과 관련된 힐베르트 공간이고, H B 는 제 2 양자 시스템과 관련된 힐베르트 공간이다. 켓 ｜i〉A은 힐베르트 공간 H A 의 직교 고유상태를 나타내고, 켓 ｜j〉B은 힐베르트 공간 H B 의 직교 고유상태를 나타내며, 이때 i와 j는 양의 정수이다. 힐베르트 공간 H A
Figure 112008072785595-pct00170
H B 내의 상태의 임의의 선형 중첩은 아래와 같이 주어진다:
Figure 112008072785595-pct00171
이때 진폭 c ij 는 아래의 조건을 만족시키는 복소수이다:
Figure 112008072785595-pct00172
상태 ｜Ψ〉AB의 선형 중첩의 특정 종류는 "다이렉트 프로덕트 상태(direct product states)"로 지칭되며 아래와 같은 곱에 의해 나타내어진다:
Figure 112008072785595-pct00173
,
이때 ｜ψ〉A는 힐베르트 공간 H A 내의 정규화된 선형 중첩 상태이고,
｜ψ〉B는 힐베르트 공간 H B 내의 정규화된 선형 중첩 상태이다.
예를 들어, 두 개의 큐빗(qubit) 시스템을 포함하는 결합된 큐빗 시스템의 상태는 아래와 같이 큐빗들의 곱에 의해 나타낼 수 있고:
Figure 112008072785595-pct00174
,
이때 제 1 큐빗 시스템의 상태는:
Figure 112008072785595-pct00175
이고,
제 2 큐빗 시스템의 상태는
Figure 112008072785595-pct00176
이다.
상태 ｜ψ〉12도 선형 중첩 상태로서 쓰여질 수도 있으며:
Figure 112008072785595-pct00177
이때 ｜0〉1｜0〉2, ｜0〉1｜1〉2, ｜1〉1｜0〉2 및 ｜1〉1｜1〉2은 곱 상태이다. 상태 ｜ψ〉12 내의 각각의 곱 상태는 1/2의 연관 계수를 가지며, 이것은 제 1 큐빗 시스템의 상태가 성분 {｜0〉1,｜1〉1｜} 내에서 측정되고, 제 2 큐빗 시스템의 상태가 성분 {｜0〉2,｜1〉2} 내에서 측정되었을 때, 결합된 큐빗 시스템이 곱 상태들 중 임의의하나로 발견될 확률이 1/4 임을 나타낸다. 예를 들어, 제 1 및 제 2 큐빗 시스템의 상태가 각각 성분 {｜0〉1,｜1〉1｜} 및 {｜0〉2,｜1〉2}에서 측정되었을 때, 결합된 큐빗 시스템의 상태가 곱 상태 ｜1〉1｜1〉2로 투영될 확률은 1/4(｜1/2｜2)이다.
그러나, 힐베르트 공간 H A
Figure 112008072785595-pct00178
H B 내의 다른 선형 중첩은 인탱글된 상태인 곱 상태로서 쓰여질 수 없다. 일반적으로, 두 개 이상의 양자 서브시스템을 포함하는 힐베르트 공간에 있어서, 인탱글된 상태는 다이렉트 프로덕트 상태로서 쓰여질 수 없는 선형 중첩 상태이다. 예를 들어, 인탱글된 두 개의 큐빗 시스템의 인탱글된 상태 표현은 다음과 같을 수 있다:
Figure 112008072785595-pct00179
인탱글된 상태 ｜φ〉12는, 파라미터 α 1, β 1, α 2 및 β 2 의 임의의 선택에 대해, 큐빗 α 1｜0〉1 + β 1｜1〉1 및 α 2｜0〉2 + β 2｜1〉2 의 곱으로 계산될 수 없다.
인탱글되지 않은 상태에서, 2-큐빗 시스템은 다음과 같이 인탱글된 2-큐빗 시스템의 상태와 구별될 수 있다. 인탱글되지 않은 상태 ｜ψ〉12 에서의 인탱글되지 않은 2-큐빗 시스템을 고려하자. {｜0〉1,｜1〉1}을 기초로 하여 제 1 큐빗 시스템 상에서 수행된 제 1 측정이 제 1 큐빗 시스템의 상태를 상태 ｜0〉1로 투영한다고 가정하자. 상태 ｜ψ〉12에 따르면, 인탱글되지 않은 상태에서, 측정 직후의 2-큐빗 시스템은 상태 (｜0〉1｜0〉2 +｜0〉1｜1〉2)/
Figure 112008072785595-pct00180
의 선형 중첩이다. 제 2 측정이 동일한 기준 프레임 내에서의 제 1 측정에 바로 이어 {｜0〉2,｜1〉2} 기반의 제 2 큐빗 시스템 상에서 수행될 때, 제 2 큐빗 시스템의 상태를 상태 ｜0〉2로 투영할 확률은 1/2로 존재하고, 제 2 큐빗 시스템의 상태를 ｜1〉2로 투영할 확률도 1/2로 존재한다. 다시 말하면, 제 2 큐빗 시스템의 상태는 제 1 큐빗 시스템의 상태와 상관되지 않는다. 대조적으로, 인탱글된 상태 ｜φ〉12 내의 인탱글된 2-큐빗 시스템을 고려하자. {｜0〉1,｜1〉1}을 기반으로 하는 제 1 큐빗 시스템 상에서 수 행된 제 1 측정이 제 1 큐빗 시스템의 상태를 상태 ｜0〉1로 투영한다고 가정하자. 인탱글된 상태 ｜φ〉12에 따르면, 인탱글된 상태에서, 제 1 측정 후의 2-큐빗 시스템은 곱 상태 ｜0〉1｜1〉2이다. 제 2 측정이 {｜0〉2,｜1〉2} 기반의 제 2 큐빗 시스템 상에서 수행될 때, 제 2 큐빗 시스템의 상태는 정확하게 ｜1〉2이다. 다시 말하면, 인탱글된 상태 ｜φ〉12에서 제 1 및 제 2 큐빗 시스템의 상태는 상관된다.
편광 상태 및 스토크스 파라미터
현재 소부에서, 전자기 복사의 편광 상태가 논의된다. 도 5와 관련하여 전술한 바와 같이, 전자기 복사는 전파하는 전자기 횡파로서 간주할 수 있다. 각 전자기파는 전기장
Figure 112008072785595-pct00181
및 자기장
Figure 112008072785595-pct00182
성분을 포함한다. 그러나, 전기장이 대전 물질과의 상호작용의 대부분을 설명하고 자기장의 크기가 전기장보다 1/c 배 작으므로, 전자기파를 나타내는 데 사용될 수 있는 것은 전기장 성분뿐이다. 도 5에 도시된 바와 같이, 진동하는 전기장
Figure 112008072785595-pct00183
성분과 관련된 전자기장의 파동벡터
Figure 112008072785595-pct00184
양자 모두 진동 평면 내에 존재하므로, 장은 "선형적으로 편광되었다"고 한다. 하나 이상의 편광자를 통해 랜덤하게 편광된 다수의 전자기파를 포함하는 전자기 복사를 투과시킴으로써 한정된 편광 상태가 생성될 수 있다. 각 편광자는 편광자의 편광축을 따라 정렬되는 전기장 성분을 가진 전자기파만을 투과시키는 장치이다.
임의의 2 개의 직교 선형 편광 상태는 {｜H〉,｜V〉}로 나타낸 편광 기저를 정의하는 데 사용될 수 있다. 제 1 편광 상태 ｜H〉는 "수평 편광"으로 지칭되며 제 1 방향으로 편광된 전자기파를 나타내고, ｜V〉는 "수직 편광"으로 지칭되며 제 1 방향에 직교하는 제 2 방향으로 편광된 전자기파를 나타낸다. 편광 기저 상태는 후속하는 조건을 만족시킨다.
Figure 112008072785595-pct00185
도 8a 및 도 8b는 편광 기저 상태 ｜H〉및 ｜V〉의 플롯을 도시한다. 도 8a 및 도 8b에서, 도 8a 내의 서로 수직인 축(801 내지 803)과 같은 서로 수직인 축은 각각 x, y 및 z 데카르트 좌표축을 나타낸다. 도 8a는 yz 평면에 놓인 전기장
Figure 112008072785595-pct00186
(804)의 수직 편광 상태 ｜V〉를 도시한다. 방향 화살표(806)는 전기장
Figure 112008072785595-pct00187
(804)이 관찰 평면(808) 쪽으로 전파하는 방향을 나타낸다. 관찰 평면(808)으로부터, 파동이 하나의 파장 λ을 통해 z 축을 따라 전파하는 것처럼 전기장
Figure 112008072785595-pct00188
(804)이 하나의 완전한 진동 주기를 통해 진행되는 것을 관찰할 수 있다. 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(810)로 나타낸다. 도 8b는 xz 평면에 놓인 전기장
Figure 112008072785595-pct00189
(812)의 수평 편광 상태 ｜H〉를 도시한다. 관련된 수평 진동 주기는 관찰 평면(808) 내의 쌍촉 방향 화살표(816)로 나타낸다.
편광 기저 {｜H〉,｜V〉}는 ｜χ〉로 나타낸 무한 개수의 편광 상태를 구성하는 데에도 사용될 수 있다. 이들 편광 상태는 ｜H〉와 ｜V〉양자 모두를 동시에 포함하고, 결맞는 상태의 선형 중첩으로서 수학적으로 나타낼 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00190
여기서,
0≤θ＜π 이고,
0≤φ＜2π 이다.
전자기파의 무한 개수의 편광 상태는 3 차원 블로흐 구로 기하학적으로 나타낼 수 있는데, 이 경우에 "푸앵카레 구(Poincare sphere)"로도 지칭된다.
도 9는 편광 상태의 푸앵카레 구 표현을 도시한다. 도 9에 도시된 바와 같이, 선(901 내지 903)은 각각 직교 좌표축이고, 푸앵카레 구(904)는 원점에 중심을 둔다. 푸앵카레 구(904) 상에 무한 개수의 점들이 존재하는데, 각 점은 전자기파의 고유한 순수 편광 상태 ｜χ〉를 나타낸다. 예컨대, 푸앵카레 구(904) 상의 점(905)은 일부분은 상태 ｜H〉를 일부분은 상태 ｜V〉를 동시에 포함하는 편광 상태 ｜χ〉를 나타낸다. 6 개의 점(906 내지 911)은 푸앵카레 구(904)와 좌표축(901 내지 903) 사이의 교점을 식별한다. 점(906,907)은 각각 편광 기저 상태 ｜H〉 및 ｜V〉를 식별하고, 점(908 내지 911)은 각각 직교 편광 상태를 나타낸다.
Figure 112008072785595-pct00191
도 10a 내지 도 10d는 각각 4 개의 편광 상태 ｜45°〉, ｜-45°〉, ｜R〉및 ｜L〉의 플롯을 도시한다. 도 10a는 수평 xz 평면에 45°로 기울어진 진동 평면(1002) 내에 놓인 45° 편광 상태 ｜45°〉를 도시한다. 편광 상태 ｜45°〉의 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(1004)로 나타낸다. 도 10b는 수평 xz 평면에 -45°로 기울어진 진동 평면(1006) 내에 놓인 -45° 편광 상태 ｜-45°〉를 도시한다. 편광 상태 ｜-45°〉의 진동 주기는 쌍촉 방향 화살표(1008)로 나타낸다. 도 10c는 도 8a 및 도 8b에 도시된 상대 위상차가 -2π인 수직 및 수평 편광 필드를 포함하는 우선회 로우 편광 상태 ｜R〉를 도시한다. 결과는 필드(804,812)가 z 축을 따라 전송됨에 따라 관찰 평면(808) 내에 시계 방향으로 회전하는 2 개의 직교 쌍촉 방향 화살표(1010,1012)로 나타낸 발진 주기이다. 도 10d는 상대 위상차가 -2π인 수직 및 수평 편광 필드를 포함하는 좌선회 로우 편광 상태를 도시한다. 좌선회 편광 상태의 진동 주기는 관찰 평면(808) 내에 시계 반대 방향으로 회전하는 2 개의 직교 쌍촉 방향 화살표(1014,1016)로 나타낸다.
임의의 편광 상태는 "스토크스 파라미터"로 지칭되는 4 개의 양의 선형 조합으로 나타낼 수 있으며 이것은 전자기 복사 세기만의 함수이다. 스토크스 파라미터는 전자기 복사의 편광 상태를 나타내기에 편리한 방법인데, 이는 전자기 복사 측정이 전형적으로 세기만을 결정할 수 있고 편광 상태는 결정할 수 없기 때문이다. 스토크스 파라미터는 각각이 임의의 입사하는 전자기 복사의 50%를 전달하고 나머지 50%를 폐기시키는 네 개의 필터의 셋을 고려함으로써 동작이 정의될 수 있다. 제 1 필터는 전자기 복사의 모든 평관 상태를 전달하도록 가정된다. 제 2 및 제 3 필터는 오직 수평으로만 평광된 복사 및 45°에서 편광된 복사를 각각 수평으로 전달하는 선형 편광기이다. 제 4 편광기는 우측 로우가 편광된 전자기 복사만을 전달한다. 이들 네 개의 필터 각각은 전자기 복사선의 경로에 위치한다. 터의 선택은 요구하지 않음을 인지하여라. 수의 동일한 편광이 존재한다. 기는 검출기에 의해 카운팅되는 광자의 수에 비례하기 때문에, 스토크스 파라미터는 다음과 같이 정의될 수 있으며:
Figure 112008072785595-pct00192
이때 우측 및 좌측 로우 편광 상태의 측면에서, 광자의 개수는 다음과 같이 주어진다:
Figure 112008072785595-pct00193
Figure 112008072785595-pct00194
여기에서
Figure 112008072785595-pct00195
는 전자기 복사의 편광 정도를 나타내는 2×2 밀도 행렬이다.
전형적으로, 스토크스 파라미터는 각 파라미터를 파라미터 S0로 나눔으로써 정규화되는데, 이는 단위 세기의 입사빔을 사용하는 것과 같다. 정규화 표현으로 나타낸 랜덤하게 편광된 전자기 복사에 대한 스토크스 파라미터(S 0, S 1, S 2, S 3)는 (1,0,0,0)이다. 정규화 스토크스 파라미터는 표 Ⅰ에 열거된다.
표 Ⅰ
Figure 112008072785595-pct00196
본 발명의 실시예
본 발명의 다양한 실시예는 이진 난수 시퀀스를 발생시키는 데 사용될 수 있는 광학 기반 자동 인증 QRNG에 관한 것이다. 본 발명의 실시예는 시퀀스를 평가하고, 인증하며 조사하는 데에 사용되는, 최소 엔트로피를 구성하기 위한 양자역학 기반의방법을 포함한다. 본 발명은 특정한 광자 편광 상태를 참조로 하여 아래에서 기술된다. 본 발명이 광자 편광 상태의 사용으로 제한되는 것은 아님을 인지하여라. 양자 광학 및 양자 정보 분야의 당업자는 50:50 빔스플리터 또는 타임 빈 광자(time bin photons)로부터 출력된 광자를 통과시키는 다른 광학 양자 시스템을 사용하여 기술된 본 발명의 방법 및 시스템을 사용할 수 있을 것이다.
도 11은 본 발명의 실시예를 나타내는 광학 기반 QRNG(1100)을 도시한다. 도 11에 도시된 바와 같이, QRNG(1100)는 입력 상태 생성기(1102), 광섬유-스퀴저- 편광(fiber-squeezer-polarization) 제어기("FSPC")(1114, 1116), 편광 빔스플리터(1108, 1110), 광자 검출기(1112-1115), 코인시던스 박스(1116) 및 시스템 제어(1118)를 포함한다. 광섬유(1120)는 입력 상태 생성기(1102)를 FSPC(1104)로 접속시키고 FSPC(1104)를 빔스플리터(1108)로 접속시키며, 광섬유(1122)는 입력 상태 생성기(1102)를 FSPC(1106)로 접속시키고 FSPC(1106)를 빔스플리터(1110)로 접속시킨다. 광섬유는 또한 빔스플리터(1108)를 검출기(1112, 1113)로 접속시키고 빔스플리터(1110)를 검출기(1114, 1115)로 접속시킨다. 광섬유는 입력 상태 생성기(1102)에 의해 생성된 전자기 복사를 전달하는 채널로서의 역할을 한다. 신호 라인(1124)와 같은 전기 신호 라인은 검출기(1112-1115)를 코인시던스 박스(1116)로 접속시키고, 코인시던스 박스(1116)를 시스템 제어부(1118)로 접속시키며, 시스템 제어부(1118)를 개별적으로 FSPC(1104, 1106)로 접속시킨다. 코인시던스 박스(1116)는 신호를 시스템 제어부(1118)로 전달하며, 시스템 제어부는 이에 응답하여 신호를 FSPC(1104, 1106)로 전달함으로써 광섬유(1120, 1122) 내에 전달된 전자기 복사의 상태를 조정한다.
입력 상태 생성기(1102)는 후속하여 인탱글된 편광 상태안 광자의 쌍의 형태로 광학 양자 시스템을 생성한다. 광자 쌍의 제 1 광자는 입력 상태 생성기(1102)로부터 광섬유(1120)로 출력되어 FSPC(1104)를 통해 빔스플리터(1108)로 전달되며, 광자 쌍의 제 2 광자는 입력 상태 생성기(1102)로부터 광섬유(1122)로 출력되어 FSPC(1106)를 통해 빔스플리터(1110)로 전달된다. 광자 쌍의 인탱글된 편광 상태는 벨 상태(Bell state)에 의해 표현되며:
Figure 112008072785595-pct00197
이때 상태 ｜H 1 V 2 〉에 있는 광자의 쌍은 수평 편광 상태 ｜H〉1에 있는 제 1 광자와 수직 편광 상태 ｜V〉2 에 있는 제 2 광자를 나타내며, 상태 ｜V 1 H 2 〉에 있는 광자의 쌍은 수평 편광 상태 ｜V〉1에 있는 제 1 광자와 수직 편광 상태 ｜H〉2 에 있는 제 2 광자를 나타낸다. 빔스플리터(1108)는 상태 ｜V〉1 에 있는 제 1 광자를 검출기(1112)로 반사시키고 상태｜H〉1에 있는 제 1 광자를 검출기(1113)로 전달한다. 빔스플리터(1110)는 상태｜V〉2 에 있는 제 2 광자를 검출기(1114)로 반사시키고 상태｜H〉2 에 있는 제 2 광자를 검출기(1115)로 전달한다.
인탱글된 광자의 쌍은 이러한 광자의 쌍이 검출기(1112-1115)에서 검출될 때까지 벨 상태｜ψ +〉에 남아있는다. 입력 상태 생성기(1102)에 의해 생성된 각각의 광자의 쌍은 다음과 같이 단일 이진수 "0" 또는 "1"을 생성한다. 벨 상태 ｜ψ +〉의 계수의 제곱률은 광자의 쌍이 검출기(1112-1115)에 도달하였을 때, 검출기(1113, 1114)의 쌍에서 상태 ｜H 1 V 2 〉를 검출할 확률이 1/2 존재하고, 검출기(1112, 1115)의 쌍에서 상태 ｜V 1 H 2 〉를 검출할 확률이 1/2 존재함을 나타낸다. 다시 말하면, 상태 ｜H 1 V 2 〉 또는 상태 ｜V 1 H 2 〉를 검출하는 것은 임의적인 사건이다. 이러한 임의적인 사건은 광자 상태 ｜H 1 V 2 〉 및 ｜V 1 H 2 〉를 서로 다른 이진수와 연관시킴으로써 단일의 이진 난수를 생성하는 데에 사용될 수 있다. 예를 들어, 검출기(1113, 1114)의 쌍에서의 상태 ｜H 1 V 2 〉의 광자의 쌍의 검출은 이진수 "1"에 상응하고, 검출기(1112, 1115)의 쌍에서의 상태 ｜V 1 H 2 〉의 광자의 쌍의 검출은 이진수 "0"에 상응한다.
도 12는 본 발명의 실시예를 나타내는, 검출기(1112-1115)와 코인시던트 박스(1116) 사이의 상호접속부을 도시한다. 도 12에서, 코인시던스 박스(1116)는 두 개의 AND 게이트(1202, 1204), 네 개의 입력 신호 라인(1206, 1209) 및 두 개의 출력 신호(1212, 1214)를 포함한다. 신호 라인(1206, 1209)는 검출기(1112, 1115)를 AND 게이트(1204)로 접속시키고, 신호 라인(1207, 1209)은 검출기(1113, 1114)를 AND 게이트(1202)로 접속시키며, 신호 라인(1212, 1214)은 각각 AND 게이트(1202, 1204)를 시스템 제어부(1118)로 접속시킨다. 검출기(1112-1115)의 각각은 검출기에 도달하는 광자의 세기를 검출하고 특정 편광 상태를 구별하지는 않는다. 검출기가 광자를 검출하였을 때, 신호는 접속된 AND 게이트로 전달된다. AND 게이트(1202, 1204)는 그들이 두 개의 입력 신호를 각각 동시에 수신하였을 때에만 신호 또는 펄스를 출력하며, 그렇지 않으면 AND 게이트(1204, 1202)는 신호를 출력하지 않는다. AND 게이트(1202, 1204)에 의해 출력된 신호는 각각 P 1 및 P 0으로 표현된다. 예컨대, 검출기(1112, 1115)가 상태 ｜V 1 H 2 〉의 광자의 쌍을 검출하였을 때, 검출기(1112, 1115)는 AND(1204)로 동시에 신호를 전달하고, 신호 P 0를 도 11의 시 스템 제어부(1118)로 출력함으로써 응답한다.
시스템 제어부(1118)는 출력 신호 P 1 및 P 0를 수신하고 상응하는 이진수를 기록한다. 도 13은 본 발명의 실시예를 나타내는, 시스템 제어부(1118)에 의해 수신될 수 있는 출력 신호의 네 가지 유형의 조합을 나타내는 두 개의 출력 신호 대 시간의 플롯을 도시한다. 도 13에서, 라인(1302)과 같은 수평 라인은 시간의 축이고, 수직 라인(1304)과 같은 수직 라인은 전압 축이다. 플롯(1306)은 P 1 출력 신호에 상응하며, 플롯(1308)은 P 0 출력 신호에 상응한다. 수직의 점선(1310-1313)은 시간 간격의 상한 및 하한 경계(1314-1317)와 동일하다. 각각의 시간 간격 내에서, 시스템 제어부(1118)는 네 개의 사건 중 하나를 기록하며, 각 사건은 입력 상태 생성기(1102)에 의해 생성된 광자의 단일 쌍와 관련되고 "로우 카운트(raw count)"라 지칭된다. AND 게이트에 의해 출력된 신호는 펄스(1314)와 같이 전압 또는 전류의 펄스에 의해 표시된다. 시간 간격(1314) 내에서, 시스템 제어부(1118)에 의해 신호가 수신되지 않으며, 이것은 검출기(1112-1115)에 광자가 도달하지 않았거나, 검출기 중 하나에 단일의 광자만이 도달하였거나, 또는 검출기(1112-1115)에 광자의 쌍이 도달하였지만 도달한 광자의 쌍이 상태 ｜H 1 V 2 〉에 있지도, 상태 ｜V 1 H 2 〉에 있지도 않기 때문이다. 그 결과, 시스템 제어부(1118)는 로우 카운트를 "신호 없음"으로 기록한다. 시간 간격(1315, 1316)에서, 단일 펄스(1314, 1316)는 연속적으로 시스템 제어부(1118)로 입력되며 시스템 제어 부(1118)는 이진수 "0"에 이어 로우 카운트 이진수 "1"을 기록한다. 시간 간격(1317)에서, 두 개의 펄스(1318, 1320)가 시스템 제어부(1118)에 의해 동시에 수신되며, 이것은 AND 게이트(1202, 1204)로부터 "오류"인 두 개의 펄스를 수신한 것과 동일하다.
QRNG(1100)는 각각의 광자의 쌍이 벨 상태 ｜ψ +〉에 있는 광자의 쌍들을 반복적으로 준비함으로써 이진 난수의 시퀀스를 생성하는 데에 이상적으로 사용될 수 있다. 그러나, 실제로 도 13과 관련하여 전술된 "신호 없음" 및 "오류"와 같이, 이진 난수의 시퀀스를 생성하는 프로세스에 있어서 임의의 수의 퍼터베이션이 존재할 수 있으며, 다수의 퍼터베이션은 시퀀스를 편향시킬 수 있다. 그 결과, 본 발명의 실시예는 로우 카운트의 시퀀스를 이진 난수의 로우 시퀀스로 감소시키는 방법을 포함한다. 양자역학 기반의 방법은 로우 시퀀스의 임의성을 평가 및 인증하는 데에 사용되며 보다 작은 이진 난수의 시퀀스를 생성하기 위해 로우 시퀀스로부터 이진수에서의 임의의 편향을 제거한다.
도 14는 본 발명의 실시예를 나타내며, QRNG(1100)를 N번 동작시키는 것을 가정하여 생성된 로우 카운트의 시퀀스로부터의 이진 난수의 시퀀스를 생성하는 것을 도시한다. 도 14에서, N 로우 카운트(1402)의 시퀀스는 로우 카운트 신호 없음(1404) 및 로우 카운트 오류(1406)로 분리된 이진수 "0" 및 "1"의 시퀀스를 포함한다. 신호 없음(1404) 및 오류(1406)에 상응하는 로우 카운트는 로우 카운트(1402)의 시퀀스로부터 제거되어 n＜N 일때 n 이진 난수의 로우 시퀀스를 생성한 다. 도 14에서, 이진 난수의 로우 시퀀스는
Figure 112008072785595-pct00198
로 표시되는 행 벡터(1408)로 집합된다. 로우 시퀀스(1408)는 편향된 이진수(1410-1412)와 같은 다수의 가정적으로 편향된 이진수를 포함한다. 본 발명의 양자역학 기반 방법은 다음과 같이 m 개의 선별된 이진 난수 시퀀스를 산출하도록 로우 시퀀스(1408) 내의 편향 이진수를 선별하는 데 사용되는 m×n 토이플릿(toeplitz) 행렬 T n×m 을 구성하는 데 사용된다.
Figure 112008072785595-pct00199
여기서, m〈 n〈 N이다. 이진 난수 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00200
은 행 벡터(1414)로 나타낸다.
Springer-Verlag의 2003년 출간된 C. D. walter(Eds.) 외 다수에 의한 "Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES 2003"의 166 내지 180페이지의 Barak 외 다수에 의한 "True Random Number Generator Secure in a Changing Environment"에서 토이플릿 행렬의 정의를 제공한다. 후속하는 논의는 Barak의 참조에 따른 토이플릿 행렬을 구성하는 데 필요한 식견을 제공한다.
이진 난수 시퀀스를 생성하는 양자역학 기반의 방법은 반대 시나리오를 참조하여 아래에서 기술된다. 아래의 반대 시나리오에서, 입력 상태 생성기(1102)는 "이브(Eve)라 불리는 반대의 제어 하에 포함된다. 이브는 QRNG(1100) 사용자에게 랜덤하게 보이지만 적어도 일부분이 알려져 있는 시퀀스를 생성하고자 하며, 이는 "앨리스(Alice)"라 지칭된다. 앨리스가 오직 상태 ｜H 1 V 2 〉 및 ｜V 1 H 2 〉만을 사용하여 이진 난수를 생성하며 이어지는 분석은 상태 ｜H 1 V 2 〉 및 ｜V 1 H 2 〉에 의해 확장된 서브스페이스로 제한된다. 따라서 이브가 다음과 같은 형태의 인탱글된 상태를 생성한다고 가정된다:
Figure 112008072785595-pct00201
이때,
Figure 112008072785595-pct00202
앨리스는 이브에 의해 제어되는 입력 상태 생성기(1102)를 제외하고는 QRNG(1100)의 제어를 갖는다. 이브는 앨리스가 각각의 광자 쌍에 적용하는 측정을 알지 못한다고 가정한다. 이브가 순수 상태 ｜ψ i 〉의 단일 광자 쌍을 준비할 때, 앨리스는 아래와 같은 측정과 관련하여 밀도 행렬을 결정할 수 있다:
Figure 112008072785595-pct00203
밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00204
은 앨리스가 이브에 의해 앨리스가 제공받은 광자 쌍의 상태에 관하여 앨리스가 얻을 수 있는 정보의 최대량을 나타낸다. 앨리스는 이브에 의해 제공된 광자의 쌍에 대한 단층 촬영 분석을 수행함으로써 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00205
의 원소를 결정할 수 있다. 단층 촬영 분석은 이진수 시퀀스의 랜덤성을 평가하는 데 사용되며, "자동 인증"으로도 지칭된다. 양자 상태의 단층 촬영 분석은 종래 기술에 잘 알려져 있의며, 예컨대, Phys. Rev. A, 제 64,052312 권, 제임스 등의 참조문 "Measurement of Qubits"에 설명된다. 단층 촬영 분석은 이브에 의해 준비된 상태 ｜ψ i 〉를 식별하는 데 사용된다. 제임스 등의 참조문에 설명된 바와 같이, b-큐비트 시스템에 대한 단층 촬영 분석은 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00206
을 결정하기 위해 전형적으로 (4b-1) 상이한 기대값을 필요로 한다. 따라서, 기대값의 측정을 위해 동일한 상태의 다수의 사본이 필요하다. (4b-1) 상이한 기대값 및 상태에 대한 정규화 필요조건은 이상적으로 일반적인 b-큐비트 시스템의 2b 복소 계수에 대한 4b 독립적 제한을 발생시키는데, 이는 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00207
및 측정된 상태를 규정하는 2b 복소 계수에 대한 해석적 해를 허용한다. QRNG(1100)에 의해 생성된 2-큐빗 편광 광자 쌍에 대한 단층 촬영 분석은 16개의 독립적인 예외값을 요구한다.
이브는 상태 ｜ψ i 〉의 통계적 혼합 내의 펄스를 전송함으로써 자신에게 알려져 있지만 앨리스에게 랜덤하게 보이는 방식으로 시퀀스를 편향하려고도 할 수 있는데, 각 상태는 관련된 확률 p i 를 갖는다. 앨리스는 단층 촬영 분석을 수행하여 밀도 행렬 연산자
Figure 112008072785595-pct00208
및 관련된 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00209
을 결정하는데, 여기서,
Figure 112008072785595-pct00210
은 상태 ｜H 1 V 2 〉를 측정할 확률이고,
Figure 112008072785595-pct00211
은 상태 ｜V 1 H 2 〉를 측정할 확률이다. 밀도 행렬 연산자와 밀도 행 렬은 순수 상태 밀도 행렬 연산자와 관련 밀도 행렬의 구성이다. 이브는 앨리스가 매번 측정하고 있는 각 광자의 쌍의 상태 ｜ψ i 〉를 준비하고 알지만, 앨리스에 의해 수행된 각 측정의 결과가 양자역학의 법칙에 의해 지배되므로, 이브는 순수 상태 ｜ψ i 〉 상의 앨리스의 측정의 결과를 제어할 수 없다.
앨리스는 단층 촬영 분석을 수행하여 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00212
을 결정하고 랜덤성의 소스의 품질을 평가한다. 랜덤성의 소스의 품질은 다음과 같이 최소 엔트로피("min-entropy") 함수를 사용하여 엄격히 평가될 수 있다.
Figure 112008072785595-pct00213
여기서, X는 확률 변수이고,
Pr(χ)는 사건 χ의 확률이며,
Figure 112008072785595-pct00214
은 X 내 모든 사건 χ의 최대 확률 Pr(χ)을 의미한다.
바꾸어 말하면, 최소 엔트로피를 확률 분포 내의 랜덤량의 측정으로서 간주할 수 있다. 도 15은 본 발명의 실시예를 나타내는 최소 엔트로피의 플롯이다. 도 15에서, 수평축(1702)은 사건 χ의 확률 Pr(χ)에 대응하고, 수직축(1504)은 최소 엔트로피의 값을 나타내며, 곡선(1506)은 최소 엔트로피 H Min (X)를 나타낸다. 최소 엔트로피가 "0"일 때(1508), 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)은 "1"이다(1510). 사건 χ는 반드시 발생하며 완전히 결정적인 사건이다. 최소 엔트로피가 "1"일 때(1512), 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)은 "1/2"이다(1514). 사건 χ 는 편향없이 발생하며 완전히 임의적인 사건이다. 최소 엔트로피가 점(1516)과 같이 "0"과 "1" 사이에 있을 때, 사건 χ가 발생할 최대 확률 Pr(χ)은 1/2보다 크며, 지점(1518)에 의해 표시된다.
최소 엔트로피의 사용을 증명하기 위해, 후속 논의는 이브에 의해 발생한 3 가지 상이한 종류의 상태의 앙상블에 대한 최소 엔트로피의 정의로 밀도 행렬의 원소가 사용되는 방법을 설명한다. 앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ψ〉 내의 단일 광자의 쌍에 대한 단층 촬영 분석을 수행하는 경우에, 확률 변수 X가세트 {0,1}에 분포되며, 최소 엔트로피는
Figure 112008072785595-pct00215
이며, 이때,
Figure 112008072785595-pct00216
이다.
최소 엔트로피는 앨리스가 이브에 의해 제공된 모두 동일한 순수 상태 ｜ψ〉 내의 n 개의 광자의 쌍에 대한 단층 촬영 분석을 수행하는 경우까지 확대될 수 있다. 확률 변수 X는 세트 {0,1}n에 분포되고, 최소 엔트로피는
Figure 112008072785595-pct00217
이다.
마지막으로, 앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ψ i 〉의 통계적 혼합 내의 n 개의 광자의 쌍에 대한 단층 촬영 분석을 수행하는 경우에, 최소 엔트로피 는
Figure 112008072785595-pct00218
이며, 이때
Figure 112008072785595-pct00219
이다.
앨리스는 이브가 제공하고 있는 광자의 쌍의 상태의 분해를 알지 못한다. 앨리스만이 자신이 단층 촬영 분석 동안에 발생시킨 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00220
에 접근한다. 임의의 상태까지의 최소 엔트로피의 확장을 얻기 위해, 펄스와 관련된 최소 엔트로피는 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00221
의 모든 가능한 분해에 걸쳐 극소 최소 엔트로피로서 정의된다. 이러한 극소 최소 엔트로피 정의를 사용하면 이브가 앨리스의 시퀀스에 관하여 얻을 수 있는 정보량에 대한 상한이 정해진다.
최소 엔트로피 H Min 이 0이 아닌 한, 이브는 QRNG(1100)에 의해 산출된 이진수 시퀀스에 대한 완전한 제어를 갖지 못한다. 바꾸어 말하면, 최소 엔트로피가 0보다 큰 한, QRNG(1100)에 의해 발생한 n 개의 이진수 시퀀스 내에 소정의 수 m 개의 이진 난수가 존재하는데, 여기서 m＜n이다.
도 11에서, 앨리스는 검출기(1112-1115)에서 세기를 측정하기 때문에, 최소 엔트로피
Figure 112008072785595-pct00222
는 스토크스 파라미터의 함수로서 재특징화될 수 있다. 스토크스 파라미터는 단일 광자의 편광의 공간과 동일한 구조인 벡터 ｜H 1 V 2 〉 및 ｜V 1 H 2 〉에 의해 확장된 2차원 공간을 특징화하는 데에 사용된다. 이상의 상태 ｜ψ i 〉의 통계 적 혼합과 관련된 2×2 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00223
은 다음과 같이 톡스 파라미터(S 0, S 1, S 2, S 3)의 항으로 다시 쓸 수 있다:
Figure 112008072785595-pct00224
여기서, 아래 첨자 "S"는 스토크스 파라미터의 항으로 다시 쓰인 밀도 행렬이고,
스토크스 파라미터 S 0는 "1"로 정규화되며,
σ 1, σ 2 및 σ 3은 파울리(Pauli) 행렬이다.
상태의 통계적 혼합에 있어서, 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00225
의 행렬 원소는 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00226
의 행렬 원소와 동일하며, 이때 대각선 원소는 아래와 같이 관계된다:
Figure 112008072785595-pct00227
밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00228
을 갖는 순수 상태는 푸앵카레 구의 표면 상에 위치한다. 도 16은 푸앵카레 구의 표면 상에 위치된 순수 상태의 스토크스 파라미터를 도시한다. 도 16에서, 푸앵카레 구의 하나의 사분원(1602)만이 도시되었다. 라인(1604-1606)은 각각 직교 좌표 축 S 1, S 2 및 S 3을 나타내며, 좌표 (S 1, S 2, S 3)를 갖는 지점(1608)은 푸앵카레 구의 표면 상에 위치한다. 푸앵카레 구는 단위 반지름의 구이 다:
Figure 112008072785595-pct00229
푸앵카레 구의 표면 상에 위치한 순수 상태에 있어서, 파라미터 S 3는 다음과 같이 파라미터 S 1 및 S 2에 관련된다:
Figure 112008072785595-pct00230
모든 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00231
에 대한 후속하는 실수값 함수를 정의하면 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00232
후속하는 정리가 설명될 수 있다.
정리 1. 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00233
에 의해 설명된 시스템의 최소 엔트로피는
Figure 112008072785595-pct00234
이다.
정리 1의 증명은 부록으로 이하에 제공된다. 정리 1은 이진수 시퀀스를 발생시키는 데 사용된 상태의 밀도 행렬의 측정이 이브와 같은 반대자가 얻을 수 있는 정보량에 대한 하한을 가짐을 증명한다. 버락 등의 참조문은, 최소 엔트로피가 H Min 인 n 개의 이진수 시퀀스가 주어지면, m 개의 이진 난수를 추출할 수 있음을 나타내며, 여기서 m＜n이다. m 개의 이진 난수는 균일 분포에 임의로 근접한 분포에 따라 분포된다.
도 17은 이진 난수의 시퀀스를 생성하는 본 발명의 다양한 실시예 중 하나를 나타내는 제어 흐름도를 도시한다. 단계(1702)에서, 루틴 "단층 촬영 분석"이 호출된다. 루틴 단층 촬영 분석은 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00235
및 최소 엔트로피
Figure 112008072785595-pct00236
를 결정하는 방법이다. 단계(1704)에서, 루틴 "로우 이진수의 시퀀스 생성"이 호출되고, 도 14를 참조로 기술된 바와 같이 n 개의 이진 난수의 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00237
를 생성한다. 단계(1706)에서, 루틴 "로우 이진수의 시퀀스를 조사"가 호출되고, 단계(1702)에서 결정된 최소 엔트로피 H Min 를 사용하여 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00238
로부터 편향을 제거하고 보다 작은 m개의 이진 난수의 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00239
를 생성한다. 단계(1708)에서, 이진 난수의 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00240
가 출력된다.
도 18은 본 발명의 다양한 실시예 중 하나를 나타내는, 도 17의 단계(1702)에서 호출된 루틴 "단층 촬영 분석"에 대한 제어 흐름도를 도시한다. 단계(1802)의 for-루프 시작에서, 단계(1803-1806)가 반복되어 단계(1810)에서 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00241
이 생성되고 단계(1812)에서 최소 엔트로피
Figure 112008072785595-pct00242
가 생성된다. 단계(1803)에서, 도 11의 FSCP(1104, 1106)와 같은 편광 제어기는 인덱스 i에 의존하는 사전결정된 값을 매칭하도록 조정된다. 단계(1804)에서, 로우 카운트의 시퀀스가 전술된 바와 같은 도 13을 참조로 생성된다. 단계(1805)에서, 네 개의 서로 다른 유형의 로우 카운트의 러닝 평균이 유지된다. 단계(1806)에서, 인덱스 i는 증가된다. 단 계(1808)에서, 인덱스 i가 (4b-1)보다 더 클 때, 제어는 단계(1810)로 통과하고, 그렇지 않으면 단계(1803-1806)이 반복된다. 단계(1810)에서, 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00243
은 전술된 James 외 다수의 참조문에서와 같이 구성된다. 단계(1812)에서, 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00244
은 최소 엔트로피
Figure 112008072785595-pct00245
를 구성하는 데에 사용된다.
도 19는 본 발명의 다양한 실시예 중 하나를 나타내는, 도 17의 단계(1704)에서 호출된 루틴 "로우 이진수의 시퀀스 생성"에 대한 제어 흐름도를 도시한다. 단계(1902)에서 시작하는 루프에서, 단계(1902-1908)는 로우 시퀀스의 길이에 상응하는 인덱스 i이 사전할당된 길이 N과 같거나 커질 때까지 반복된다. 단계(1902)에서, M 로우 카운트가 생성된다. 단계(1903)에서, "0" 및 "1"에 상응하는 로우 카운트의 평균이 결정된다. 단계(1904)에서, 평균은 광섬유에 의해 삽입된 복굴절 결함(briefringence defects)을 검출하는 오류 신호를 계산하는 데에 사용된다. 단계(1905)에서, 오류 신호는 FSPC를 조정하고 복굴절 오류를 보정하는 데에 사용된다. 시스템 제어는, 시스템 제어가 광섬유 내에서 전달된 광자의 쌍의 편광 상태를 조정하는 것을 가능케하는 소프트웨어 또는 펌웨어를 포함할 수 있다. Lightwave Technology, Vol. 9, No. 10 (1991)의 Shimizu 외 다수에 의한 "Highly Practical Fiber Squeezer Polarization Controller"는 광자의 편광 상태를 제어하기 위한 FSPC의 동작을 기술한다. 단계(1906)에서, 로우 카운트는 도 14를 참조로 하여 전술된 바와 같이, 이진 난수의 로우 시퀀스를 남겨두고 신호 없음 또는 오류 에 상응하는 로우 카운트를 폐기함으로써 선별된다. 단계(1907)에서, 이진수의 로우 시퀀스는 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00246
에 추가된다. 단계(1908)에서, 길이 인덱스 i는 증가된다. 단계(1909)에서, 인덱스 i가 N보다 크거나 같을 때, 제어는 단계(1902)로 통과하고, 그렇지 않으면 이진 난수의 로우 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00247
가 출력된다.
도 20은 도 17의 단계(1706)에서 불러낸 루틴 "로우 시퀀스 이진수 시퀀스 선별에 대한 제어 흐름도를 도시하며, 본 발명의 다수의 실시예 중 하나를 나타낸다. 단계(2002)에서, 도 19의 루틴 "로우 시퀀스 발생"에 의해 발생한 로우 시퀀스 이진 난수 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00248
이 입력된다. 단계(2004)에서, 도 18의 루틴 "단층 촬영 분석"으로 발생한 최소 엔트로피
Figure 112008072785595-pct00249
가 입력된다. 단계(2006)에서, 버락의 참조문에 설명된 바와 같이, 토이플릿 행렬 T n×m 이 구성된다. 단계(2008)에서, 도 14를 참조하여 전술한 바와 같이, 도 17의 단계(1708)에서의 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00250
이 결정되고 이에 맞추어 출력된다.
버락 등의 참조문에 기초하여, n 개의 로우 시퀀스 이진 난수 시퀀스로부터 추출될 수 있는 이진수의 최대 개수는
Figure 112008072785595-pct00251
이며, 여기서, ε는 m 개의 이진수의 분포와 균일 분포 간의 통계적 거리이다. 통계적 거리는 다음과 같이 수학적으로 정의된다.
Figure 112008072785595-pct00252
여기서, X 및 W는 상이한 분포를 나타낸다. 산출값 Y는 로우 시퀀스 이진 난수 시퀀스로부터 획득될 수 있는 이진 난수의 분수 m/n이다. 이진 난수 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00253
을 추출하는 방법을 테스트하기 위해, QRNG(1100)에 의해 발생한 n=3200의 로우 시퀀스 이진 난수 시퀀스는 ε=2-35의 통계적 거리와 0.38의 최소 엔트로피를 사용하여 산출되었다. 획득된 산출값은 0.33이었다. 통계적 거리와 로우 시퀀스 이진수의 개수는 상이한 보안 요구와 연산 리소스를 수용하도록 QRNG(1100) 연산자에 의해 변할 수 있다.
본 발명의 다른 실시예에서, 단층 촬영 분석은 단일 광자 상태의 광자를 사용하는 난수 시퀀스의 생성에 기초하는 QRNG에 적용될 수 있다. 도 21은 본 발명의 실시예를 나타내고, 난수 시퀀스를 생성하기 위해 단일 광자 상태를 사용하는 광학 기반의 QRNG(2100)를 도시한다. 도 21에 도시된 바와 같이, QRNG(2100)는 입력 상태 생성기(2102), FSPC(2104), 편광 빔스플리터(2106), 두 개의 광자 검출기(2108, 2110), 분석기(2112) 및 시스템 제어부(2114)를 포함한다. 광섬유(2116)와 같은 광섬유는 입력 상태 생성기(2102)를 FSPC(2104)로 접속시키고 FSPC(2104)를 빔스플리터(2106)로 접속시킨다. 광섬유는 또한 빔스플리터(2106)를 검출기(2108, 2110)로 접속시킨다. 신호 라인(2118)과 같은 전기 신호 라인은 검출기(2108, 2110)를 분석기(2112)로 접속시키고, 분석기(2112)를 시스템 제어부(2114)로 접속시키며, 시스템 제어부(2114)를 FSPC(2104)로 접속시킨다.
입력 상태 생성기(2102)는 다음과 같이 주어진 수직 및 수평 편광 상태의 선 형 중첩 내의 광자를 생성하고 연속하여 출력하며:
Figure 112008072785595-pct00254
이때
Figure 112008072785595-pct00255
이다. 빔스플리터(2106)는 편광 상태 ｜V〉를 검출기(2108)로 반사시키고 편광 상태｜H〉를 검출기(2110)로 전달한다. 각 광자는 검출기(2108, 2110)에서 검출될 때까지 이상적으로 상태 ｜ξ〉에 남아있는다. 광자가 검출기(2108, 2110)에서 검출되었을 때, 분석기는 어떠한 검출기가 광자를 검출하였는지를 식별하는 펄스를 시스템 제어부(2114)로 전달한다. 도 13를 참조로 전술된 바와 같이, 분석기(2112)는 서로 다른 유형의 로우 카운트를 식별하는 정보를 전달한다.
반대 시나리오에서 전술된 바와 같이, 이브는 아래의 상태에 있는 광자를 준비함으로써 이진수의 편향된 시퀀스를 생성하고자 하고,
Figure 112008072785595-pct00256
이때,
Figure 112008072785595-pct00257
이다.
앨리스가 이브에 의해 제공된 순수 상태 ｜ξ i 〉의 통계적 혼합 내에서 n 광자에 대한 단층 촬영 분석을 수행할 때, 최소 엔트로피는 다음과 같이 주어지며:
Figure 112008072785595-pct00258
이때
Figure 112008072785595-pct00259
이다.
도 17-20를 참조로 하여 전술된 방법은 QRNG(2100)를 사용하여 이진 난수의 시퀀스
Figure 112008072785595-pct00260
를 생성하는 데에 사용될 수 있다.
본 발명의 다른 실시예에서, 가변적인 손실이 검출기에서의 편광 상태와 관련된 확률을 조정하기 위해 QRNG(1100, 2100)에 추가될 수 있다. 예를 들어, 도 22는 본 발명의 실시예를 나타내는 가변 손실부을 포함하는 광학 기반의 QRNG(2200)를 도시한다. 도 22에 도시된 바와 같이, QRNG(2200)는 가변 손실부(2202, 2204)를 제외하고는 도 11의 QRNG(1100)와 동일하다. 가변 손실부는 검출된 "0" 및 "1"의 평균 개수에 기초하여 시스템 제어부(1118)에 의해 조정된다. 예를 들어, 검출된 "0"의 평균 개수가 검출된 "1"의 평균 개수보다 클 때, 시스템 제어부(1118)는 가변 손실부(2202)를 향하여 상태 ｜H 1 V 2 〉에서 검출된 광자의 쌍의 개수를 감소시키는 효과를 갖는 상태 ｜V〉1 내의 광자의 개수를 감소시킨다. 일반적으로, 상태 ｜Ψ i 〉상에서의 가변 손실부에 의해 실행되는 동작은 다음과 같이 나타내어질 수 있다:
Figure 112008072785595-pct00261
그 결과, 가변 손실은 최소 엔트로피를 증가시킨다. 자신의 밀도 행렬이
Figure 112008072785595-pct00262
이고 최소 엔트로피가
Figure 112008072785595-pct00263
인 광자의 쌍은 "부정확한 광자 쌍"으로 지칭되며, 이때
Figure 112008072785595-pct00264
이다. 1+S 3 ≥ 1-S 3이라 가정하면, 광자 쌍의 상태를 보정하는 것은 채널 중 하나에 손실을 추가하는 것을 필요로 한다. 예로서, 만약 행렬 원소 1+S 3가 상태 ｜H 1 V 2 〉 내의 광자의 쌍에 관련된 확률을 나타낸다면, 가변 손실은 편광 상태 ｜H〉1를 수반하는 광섬유에 적용된다. 편광 상태가 가변 손실을 수신하는 것은 고유하지 않다. 가변 손실은 편광 상태 ｜V〉2를 수반하는 광학적 화아ㅣ버로 적용되어 상태 ｜H 1 V 2 〉 내의 광학 쌍을 검출하는 확률을 낮출 수 있다. 입력 상태 생성기(1102) 내에서 생성된 인탱글된 상태를 보정 또는 비편향시키기 위해, 손실 계수
Figure 112008072785595-pct00265
가 요구된다. 비편향된 상태에 대한 정규화된 밀도 행렬은:
Figure 112008072785595-pct00266
이고, 관련된 최소 엔트로피는
Figure 112008072785595-pct00267
이다.
보정되지 않은 상태의 경우에, 획득될 수 있는 이진 난수의 일부분은
Figure 112008072785595-pct00268
이며 이때, K e 는 버락 외 다수의 참조문헌에서 기술한 이진 난수 의 로우 시퀀스를 선별함으로써 오버헤드 삽입된다. 손실 η을 고려하면 산출량은 다음과 같다:
Figure 112008072785595-pct00269
본 발명은 특정 실시예에 관하여 설명되었지만, 본 발명을 이들 실시예로 제한하려는 것은 아니다. 당업자에게 본 발명의 사상 내의 변경은 자명할 것이다. 본 발명의 다른 실시예에서, 당업자는 다른 광학 양자 시스템이 도 12 내지 도 14에 도시된 PSA(1104)를 구현하는 데 이용된 광섬유를 대체할 수 있음을 알 것이다. 본 발명의 다른 실시예에서, "휘치 패스(which path)" 큐빗 및 타임 빈 큐빗과 같은 다른 광학 양자 시스템이 편광 상태 대신 사용될 수 있음을 알 것이다. 예컨대, 입력 상태 생성기(2102)는 편광된 광자를 임의로 생성하는 데에 사용될 수 있으며, 편광 빔스플리터(2106)는 50:50 빔스플리터에 의해 대체될 수 있다. 다시 말하면, 입력 상태 생성기(2102) 및 50:50 스플리터가 "휘치 패스" 광학 큐빗 시스템을 생성하는 데에 사용될 수 있다. 또한, 본 발명의 시스템 실시예는 타임 빈 큐빗을 사용하여 동작하도록 변경될 수 있다. 본 발명의 다른 실시예에서, 도 11의 QRNG(1100) 내의 벨 상태 ｜Ψ +〉의 광자의 쌍을 사용하지 않고 아래와 같은 벨 상태 중 하나의 광자 쌍이 사용될 수 있다:
Figure 112008072785595-pct00270
코인시던스 박스(1116)는 이진 난수의 시퀀스를 생성하는 데에 사용될 수 있는 벨 상태 중 임의의 하나에서 광자가 생성되도록 재구성될 수 있다. 본 발명의 다른 실시예에서, 도 11의 QRNG(1100) 및 도 21의 QRNG(2100)를 구현하는 데에 사용되는 광학 광섬유는 미러에 의해 다이렉팅되는 광학 빔으로 대체될 수 있다. 예컨대, 도 23은 본 발명의 실시예를 나타내며 광학 빔 및 미러를 사용하는 광학 기반의 QRNG(2300)를 도시한다. 도 23에서, QRNG(2300)는 미러(2302)와 같은 미러를 사용하여 입력 상태 생성기(1102)로부터 전자기 복사 출력의 광자 빔을 다이렉팅한다.
설명을 위한 이상의 기술은 본 발명의 완전한 이해를 제공하기 위해 특정 용어를 사용하였다. 그러나, 당업자는 본 발명을 실시하기 위해 특정 세부사항이 필요한 것은 아님을 알 것이다. 본 발명의 특정 실시예에 대한 이상의 기술은 설명 및 예시를 위해 나타내는 것이다. 이들은 개시된 바로 그 형태로 본 발명을 소모하거나 제한하지 않는다. 분명히, 이상의 교시의 측면에서 다수의 변경 및 수정이 가능하다. 실시예는 본 발명의 원리 및 실제 응용을 최상으로 설명하기 위해 도시되고 기술되며, 이로써 당업자가 본 발명 및 예상되는 특정 사용에 적합한 다양한 변경으로 다양한 실시예를 최상으로 이용하게 된다. 본 발명의 범위는 후속하는 특허청구범위 및 그들의 균등물에 의해 규정된다.
부록
정리 1. 밀도 행렬
Figure 112008072785595-pct00271
에 의해 설명된 시스템의 최소 엔트로피는 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00272
정리 1을 증명하기 위해, 후속하는 3 가지 보조정리(Lemma)가 증명된다.
보조정리 1. 각 순수 상태 ｜ψ〉에 대해:
Figure 112008072785595-pct00273
보조정리 1 .의 증명은 경우 Pr H ＞1/2, Pr H ＜1/2 및 Pr V =1/2에 대하여
Figure 112008072785595-pct00274
을 나타냄으로써 증명된다. 우선, ｜ψ〉가 순수 상태이므로, 도 10을 참조하여 전술한 바와 같이 관련된 스토크스 파라미터는 푸엥카레 구의 표면 상의 점에 대응하며, 구체적으로, 파라미터 S 1 및 S 2는 다음과 같다.
Figure 112008072785595-pct00275
S 1 및 S 2를 우항에 대입하면,
Figure 112008072785595-pct00276
이 된다.
Pr H ＞1/2이면, 좌변은
Figure 112008072785595-pct00277
로 정리되고, 우변은
Figure 112008072785595-pct00278
으로 정리된다.
Pr H ＜1/2이면, 좌변은
Figure 112008072785595-pct00279
로 정리되고, 우변은
Figure 112008072785595-pct00280
으로 정리된다.
마지막으로, 명백한 경우로, Pr HV =1/2이면, 좌변과 우변은 1/2로 정리된다.
보조정리 2. 밀도 행렬로 나타낸 2 개의 순수 상태 ｜ψ 1〉 및 ｜ψ 2〉는:
Figure 112008072785595-pct00281
Figure 112008072785595-pct00282
이면 밀도 행렬의 분해이다.
Figure 112008072785595-pct00283
보조정리 2 의 증명: 밀도 행렬은 다음을 만족시키는 대각 행렬 원소를 가진
Figure 112008072785595-pct00284
의 분해인 순수 상태를 나타낸다.
Figure 112008072785595-pct00285
정리 1에 기초하여, ｜ψ 1〉와 ｜ψ 2〉 양자 모두 순수 상태이다.
Figure 112008072785595-pct00286
또한, 이상의
Figure 112008072785595-pct00287
(n=1)에 대한 방정식에 기초하여:
Figure 112008072785595-pct00288
보조정리 3. 함수
Figure 112008072785595-pct00289
는 푸엥카레 구 상의 스토크스 파라미터 S 1, S 2, S 3의 볼록(convex) 함수이다.
보조정리 3 의 증명:
Figure 112008072785595-pct00290
의 헤센(Hessian) 행렬의 고유값은 영역(1/2,1)에 걸쳐 음수가 아니다.
정리의 증명 .
Figure 112008072785595-pct00291
의 분해마다 볼록 함수의 특성에 따르면:
Figure 112008072785595-pct00292
보조정리 1의 결과를 대입하고 이상의 방정식
Figure 112008072785595-pct00293
을 사용하면
Figure 112008072785595-pct00294
이 되는데, 이는
Figure 112008072785595-pct00295
가
Figure 112008072785595-pct00296
의 최소 엔트로피의 하한임을 의미한다. 그러나 보조정리 2에 따르면,
Figure 112008072785595-pct00297
인
Figure 112008072785595-pct00298
의 적어도 하나의 분해가 존재한다.
따라서,
Figure 112008072785595-pct00299
은
Figure 112008072785595-pct00300
의 모든 분해에 걸쳐 H Min 의 최소와 같다. 증명 끝.

Claims (10)

  1. 난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템(an optical-based, self-authenticating system)으로서,
    상기 시스템은,
    선형 중첩 상태(a linear superposition of states)의 광학 양자 시스템을 생성하는 입력 상태 생성기(1102, 2102)와,
    상기 광학 양자 시스템의 상태를 측정하는 검출기(1112-1115, 2108, 2110)와,
    상기 광학 양자 시스템의 상태 측정으로부터 획득된 결과를 평가하여 상기 결과와 연관된 수를 상기 난수 시퀀스에 추가할지 추가하지 않을지 여부를 결정하는 시스템 제어부(1118, 2114)와,
    상기 입력 상태 생성기(1102, 2102)와 상기 검출기(1112-1115, 2108, 2110) 사이에 위치하고, 상기 광학 양자 시스템의 상태 측정으로부터 획득된 상기 결과에 기초하여 상기 광학 양자 시스템의 상태를 유지하도록 상기 시스템 제어부(1118, 2114)에 의해 동작이 제어되는 상태 제어기(1104, 1106, 2104)와,
    상기 입력 상태 생성기(1102, 2102)와 상기 검출기(1112-1115, 2108, 2110) 사이에 위치되어, 상기 광학 양자 시스템의 상태 측정과 관련된 확률을 밸런싱하도록 상기 시스템 제어부(1118, 2114)에 의해 동작이 제어되는 가변 손실부(2202, 2204)를 포함하는
    난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 선형 중첩 상태의 광학 양자 시스템은,
    편광된 상태의 선형 중첩 내의 단일 광자,
    벨 상태(Bell state)의 광자의 쌍,
    휘치 패스(which path) 광자,
    인탱글된 상태(entangled state)의 휘치 패스 광자,
    타임 빈(time bin) 광자, 및
    인탱글된 상태의 타임 빈 광자 중 하나인
    난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템.
  3. 삭제
  4. 제 1 항에 있어서,
    상기 광학 양자 시스템을 전달하는 채널을 더 포함하되, 상기 채널은
    광섬유(1120, 1122, 2116) 및
    자유 공간(free space) 중 하나인
    난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템.
  5. 제 1 항에 있어서,
    상기 상태 제어기(1104, 1106, 2104)는 상기 광학 양자 시스템의 편광 상태를 유지시키도록 하나 이상의 광섬유-스퀴저-편광 제어기(fiber-squeezer-polarization controllers)를 더 포함하고,
    상기 검출기는 하나 이상의 광자 검출기를 더 포함하는
    난수 시퀀스를 생성하는 광학 기반의 자동 인증 시스템.
  6. 난수 시퀀스를 생성하는 방법으로서,
    선형 중첩 상태의 광학 양자 시스템을 생성하는 단계와,
    상기 광학 양자 시스템에 대해 상태 측정을 수행하는 단계와,
    상기 광학 양자 시스템의 상태에 기초하여 난수를 결정하는 단계와,
    상기 생성 단계, 상기 측정 수행 단계 및 상기 결정 단계를 반복하여 로우(raw) 난수의 시퀀스를 생성하는 단계와,
    상기 광학 양자 시스템에 대한 단층 촬영 분석을 수행하여 상기 로우 난수 시퀀스로부터 난수 시퀀스를 추출하는 데에 사용될 수 있는 최소 엔트로피를 획득하는 단계를 포함하는
    난수 시퀀스의 생성 방법.
  7. 제 6 항에 있어서,
    상기 선형 중첩 상태의 광학 양자 시스템을 생성하는 단계는,
    편광된 상태의 선형 중첩 내의 단일 광자,
    벨 상태(Bell state)의 광자의 쌍,
    휘치 패스(which path) 광자,
    인탱글된 상태(entangled state)의 휘치 패스 광자,
    타임 빈(time bin) 광자, 및
    인탱글된 상태의 타임 빈 광자 중 하나 이상의 생성하는 단계를 더 포함하는
    난수 시퀀스의 생성 방법.
  8. 제 6 항에 있어서,
    상기 측정으로부터 획득된 결과가 상기 선형 중첩 상태의 상기 광학 양자 시스템과 일치하면 상기 난수 시퀀스에 상기 난수를 추가하고,
    상기 측정으로부터 획득된 결과가 인탱글된 상태의 상기 광학 양자 시스템과 일치하지 않으면 상기 난수 시퀀스에 상기 난수를 추가하지 않는 단계를 더 포함하는
    난수 시퀀스의 생성 방법.
  9. 제 6 항에 있어서,
    상기 단층 촬영 분석을 수행하는 단계는 상기 광학 양자 시스템의 생성이 원하는 양자 상태를 생성하였는지 여부를 확인하는 단계를 더 포함하는
    난수 시퀀스의 생성 방법.
  10. 제 6 항에 있어서,
    상기 최소 엔트로피는
    Figure 112008072785595-pct00301
    이고,
    이때 X는 확률 변수이고,
    Pr(χ)는 사건 χ의 확률이며,
    Figure 112008072785595-pct00302
    은 X 내 모든 사건 χ의 최대 확률 Pr(χ)을 의미하는
    난수 시퀀스의 생성 방법.
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