CN101479699A - 基于光的自鉴别量子随机数发生器 - Google Patents

Abstract

本发明的各种不同实施方案都是针对基于光的自鉴别量子随机数发生器的。在本发明的一种实施方案中，基于光的自鉴别量子随机数发生器包括：生成处在线性叠加状态中之光量子系统的输入状态发生器(1102，2102)，测量此光量子系统之状态的检测器(1112－1115，2108，2110)，评估从测量光量子系统状态所得之结果以确定是否将与此结果相关的数附加到随机数序列的系统控制装置(1118，2114)。量子随机数发生器还可包括处在输入发生器(1102，2102)与检测器(1112－1115，2108，2110)之间的状态控制器(1104，1106，2104)，其在运行上由系统控制装置(1118，2114)进行控制以便根据从测量光量子系统状态所得之结果来保持光量子系统的状态。

Description

基于光的自鉴别量子随机数发生器

技术领域

本发明涉及到随机数发生器，特别是利用光量子系统的特性来生成随机数序列的方法和系统。

背景技术

随机数在许多领域中都有应用，包括游戏、统计采样、求解积分方程、粒子输运计算、以及统计物理学中的计算等，仅举此几例。因此，随机数发生器(“RNG”)在使用随机数的方法和系统中扮演了十分突出的角色。例如，RNG是安全系统的关键部件并且广泛地用于生成加密技术的密钥。理想的RNG产生出事先不能预测且不能可靠复制的数。换言之，RNG在理论上生成无偏随机数序列。但是，许多常用的RNG要么是生成形似随机数序列要么是可能易于生成偏置数序列。

已经在采用公式和/或数字法生成形似随机数序列的软件中实现了RNG。基于软件的RNG称之为“伪随机数发生器”，因为只要使用同样的初始参数，这些公式就能够预测和复制伪随机数序列。递归的莱默(Lehmer)伪随机数发生器(“LPNG”)就是常用伪随机数发生器的一个实例，其由下式给出：

x_n+1＝Ax_n+C(mod M)

式中，Xn是随机数序列的第n个数；

A，C，及M为可进行调整以保证由LPNG所产生的数序列看似随机的参数。

通常，指定M为所用计算机计算伪随机数序列的字长，指定X_O。即启动源，为某一质数。例如，对A，C，和M分别赋值以数值21，1和32(5位)，及对X_O赋值以质数13时，LPNG生成伪随机整数序列13，18，27，24，25，14，7等。其他可选用的方法用每次启动伪随机数发生器时由计算机系统时钟所产生的时间可以启动伪随机数发生器。不过，即使是使用由系统时钟所提供的时间也并不是绝对无误的，因为在启动伪随机数发生器时就能够确定这一时间。

此外还已经并发出基于硬件的RNG，其从在由原子，分子和电系统所产生的热噪声中观测到的无序波动来生成随机数序列。例如，由流过电导体的电流产生热噪声，这种热噪声通过测量电压均衡波动能够用作为随机数序列的源。由于导体内电子的随机运动无论是否存在有外加电压都会出现热噪声。但是，基于硬件的RNG并非总是随机数序列的可靠源，因为基于硬件的RNG所使用的系统易于受环境变化的影响。例如，用来产生随机数序列的基于电噪声的RNG通过改变系统的温度能够偏移。此外，通常用来鉴别由基于硬件之RNG所产生的序列的随机性的方法都是基于确定性软件的方法，这些方法能够用来确定序列在统计学上是否性能良好但不能计算序列的随机性。

另一类RNG，被称作“量子随机数发生器”(“QRNG”)，其基于量子系统的量子力学特性。通常使用QRNG通过对完全相同的量子系统进行测量来生成随机数。每一测量在进行测量时将每个量子系统的状态投射到多种可能状态中的一种状态。由测量所确定的状态与一个数相关。以这种方式产生的数是真正随机的，因为根据量子力学的标准解释，测量方法和系统无论怎么改进也不能克服这种不确定性。因此，ORNG是生成随机数序列的最理想的系统。

只包括由“|0>”和“|1>”表示的两个离散态的量子系统能够用来实现ORNG。双态量子系统的实例包括电磁场的任意两个光子态或能量态，即电磁场的垂直和水平极化态，以及电子或某些原子核的两个自旋态。具有两个离散态的量子系统称为“量子位系统(qubit system)”，而状态|0>和|1>称为“量子位基态(qubit basis state)”，其也可以在集合表示法中表示为{|0>，|1>}。量子位系统可存在于状态|0>，状态|1>，或同时包括状态|0>和|1>的无数状态中的任何状态。包括|0>和/或|1>的任何状态在数学上都能够表示成线性叠加状态：

|ψ>＝α|0>+β|1>

状态|ψ>称为“量子位”，参数α和β是复数值系数，其满足条件：

|α|²+|β|²＝1

在|0>和|1>是由对处在状态|ψ>的量子位系统上进行的测量所确定的两个可能的状态时，求出处在状态|0>的量子量位系统的概率为|α|²，求出处在状态|1>的量子位系统的概率为|β|²。于是就说成是对处在基态{|0>，|1>}的量子位系统进行测量。

与量子位系统相关的无数个状态在几何学上可以用称为“布洛赫球(Bloch sphere)”的单位半径的三维球体表示成：

$|\mathrm{\ψ}\⟩=\cos \left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)|0\⟩+e^{\mathrm{i\φ}}\sin \left(\frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)|1\⟩$

其中0≤θ<π，

0≤φ<2π，

图1图示出了量子位系统的布洛赫球图。如图1所示，直线101-103分别为相互垂直的x，y，z笛卡尔坐标(直角坐标)轴，布洛赫球106的球心在坐标原点。布洛赫球106上有无数个点，每个点代表着量子位系统的一个特有状态。例如，布洛赫球106上的点108表示量子位系统的同时包括部分的状态|0>和部分状态|0>的特有状态。但是，量子位系统的状态一旦以基态{|0>，|1>}测量时，量子位系统的状态就被投射到状态|0>110或状态|1>112。

图2图示出基于虚拟单极化分束器的QRNG200。ORNG200包括极化分束器202，两个光子检测器204和206，及光子源208。分束器202包括夹在两个棱镜212和214之间的多层介电薄膜210。分束器202有输入通道216和两个输出通道218和220。通道216，218和220代表光纤或自由空间。分束器202反射被垂直极化的电磁辐射并传输水平极化的电磁辐射。光子源208以无偏、相干的线性叠加状态输出单光子电磁辐射：

$|\mathrm{\&chi;}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}|V\&rang;+\frac{1}{\sqrt{2}}|H\&rang;$

式中|V>表示光子的垂直极化态，

|H>表示光子的水平极化态。

垂直和水平极化态|V>和|H>为单光量子系统的正交基态。光子保持在状态|X>直至该光子在光子检测器D₁204或光子检测器D₂206被检测到为止。状态|X>的各系数的单方表示在检测器D₁204检测光子的概率为1/2，在检测器D₂206检测光子的概率为1/2。因此，在任何一个光子检测器的光子检测都是随机事件。

ORNG200能够用来生成为了分割成随机n位字序列的随机二进制数序列。随机n位字序列可用在各种各样的随机数应用中。例如，QRNG200能够用来生成0-31间的随机整数序列如下。在检测器D₂206检测到光子时，就将二进制数“1”加到二进制数序列，而在检测器D1204检测到光子时，则将二进制数“0”加到同一二进制数序列。假定生成状态|X>30次生成出下述随机二进制数序列：

000110101011100101010111100100

这个随机二进制数序列能够分割成5位字来给出以2为底的随机数序列00011，01010，11100，10101，01111和00100，然后可将其转换成以10为底的随机整数分别为3，10，28，21，15和4相应序列。

虽然QRNG200看上去如同是提供了生成随机数序列的适宜方法和系统，但是QRNG通过更改光子源208可易于生成伪随机数序列。例如，控制光子源208的“对手”能够使光子源208偏置来输出用下式表示的光子：

$|\mathrm{\&chi;}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{3}}|V\&rang;+\sqrt{\frac{2}{3}}|H\&rang;$

因此，QRNG200生成了二进制数偏置序列，其有约2/3的二进制数等于“1”，约1/3的二进制数等于“0”。此外，通常用来鉴别由某一设备，如QRNG200，所产生之序列的随机性的方法常常是基于确定性软件的方法，如上所述的这些方法并不是真正的RNG，因而其用来鉴别序列的随机性是可靠的。物理学家、密码员、计算机科学家以及量子信息用户已经认识到了对QRNG的需求，这些QRNG能够可靠地生成随机数，并且还能使用依赖量子系统的外确定性特性来检测，鉴别和校正随机数序列中的偏移。

发明内容

本发明的各种实施方案都是针对使用量子随机数发生器来产生随机数的方法和系统的。在本发明的一个实施方案中，量子随机数发生器包括：生成处在缠绕状态之第一光量子系统和第二光量子系统的输入状态发生器，测量第一光量子系统状态和第二光量子系统状态的检测器，以及评估从测量第一光量子系统状态和第二光量子系统状态所得之结果以确定是否将与此结束相关联的数附加到随机数序列的系统控制装置。量子随机数发生器还可包括处在输入状态发生器与检测器之间的状态控制器，其在运行时由系统控制装置进行控制以便根据从对第一光量子系统和第二光量子系统进行的先前测量所得到的结果来保持上述缠结状态。

附图说明

图1图示出量子位系统的布洛赫球图。

图2图示出基于虚拟单极化分束器的量子随机数发生器。

图3图示出立方体共振腔。

图4图示出以两个独立极化向量和一个规格化波向量为基向量的三维坐标系。

图5图示出在图4所示的坐标系中电磁辐射之电场和磁场分量的图。

图6为量子化电磁辐射的钝波图。

图7图示出与检测从源输出并传输至检测器的光子脉冲相关联的概率分布函数。

图8A-8B示出垂直和水平极化基态的曲线图。

图9示出极化态的波因凯尔球(Poincare sphere)图。

图10A-10D示出四种极化态的图形。

图11图示出代表本发明实施方案的基于光的量子随机数发生器。

图12图示出代表本发明实施方案的检测器与量子随机数发生器符合箱之间的相互连接。

图13示出两个输出信号对时间的曲线图，其表示了由代表本发明实施方案的量子随机数发生器的系统控制装置能够接收的四种输出信号组合。

图14图示出代表本发明实施方案，从原始计数序列来生成随机二进制数序列。

图15为代表本发明实施方案的最小熵曲线图。

图16示出处在波因凯尔球面上的纯态斯托克斯(Stokes)参数集。

图17示出代表本发明生成随机二进制数序列多个实施方案中之一个实施方案的控制流程图。

图18示出代表本发明多个实施方案之一个方案、在图17步骤1702中称作“断层分析”例行程序的控制流程图。

图19示出代表本发明多个实施方案之中一个方案，在图17步骤1704中称作“生成原始二进制数序列”例如程序的控制流程图。

图20示出代表本发明多个实施方案中之一个实施方案、在图17步骤1706中称作“筛选原始二进制数序列”例行程序的控制流程图。

图21图示出代表本发明实施方案使用单光子态来生成随机数序的基于光的量子随机数发生器。

图22图示出代表本发明实施方案，包括变量丢失的基于光的量子随机数发生器。

图23图示出代表本发明实施方案，使用光束和反射镜的基于光的量子随机数发生器。

具体实施方式

本发明的各种不同实施方案都是针对能够用来产生随机二位数序列的基于光的自鉴别ORNG。本发明的实施方案包括用来评估和鉴别序列的随机性以及消除偏移二进制数的基于量子力学的方法。本发明的实施方案实质上是具有数学性质的，为此，以下要参考许多方程式和许多图解予以说明。尽管仅仅是数学表达式就能足以向量子光学和量子信息学领域中的熟练技术人员充分地说明与体现本发明实施方案的特性，但是下面讨论中涉及的更多针对问题的图形实例以及控制流程图方法却是意在以各种不同方法来说明本发明的各种实施方案以便使具有各种不同知识背景的读者都可以理想本发明。另外，为了帮助读者了解本发明各种实施方案的说明，提供了物理学中相关论题的概述章节。在第一小节中，给出量子力量概述。第二小节中给出电磁辐射和量子光学概述。第三小节中给出量子缠结的概述。第四小节中给出极化态与斯托克斯参数的概述。最后，在第五小节中说明了本发明各种不同系统与方法的实施方案。

本发明的实施方案使用量子力学中的概念。由ClaudeCohen-Tannoudji，Bernard Din和Frank Laloe，Hermann著述的教科书“量子力学，第1和第二卷”(法国巴黎，1977)是量子力学领域诸多参考书目之一。本小节中，说明了涉及本发明实施方案的量子力学中的论题。更多的细节可以从以上参考的教科书或从与量子力学相关的许多其他教科书，论文，以及杂志文章中得到。

量子力学建立了对包含光子、电子、原子及分子的系统的所观测到行为、原子及亚原子能级的模型。量子系统存在于以可测量的离散量为特征的离散状态。量子系统的状态以右矢来代表并用|ψ>表示，这里ψ是代表量子系统状态的标记。例如，电子有与两个可测量自旋角动量值h/2和-h/2相对应的两个固有自旋角动量状态，其中h约为1.0546×10^-34J(焦耳)。与自旋角动量h/2相对应的自旋态称为“上旋”并以|↑>表示，而与自旋角动量-h/2相对应的自旋态称为“下旋”并以|↓>表示。各种不同标记可给予各种不同量子态。例如，上旋和下旋态|↑>和|↓>还可以分别用右矢|1/2>和|-1/2>表示。另外，单一标记能够用来表示完全不同的量子系统中的不同状态。例如右矢“|1>”能够代表双原子分子的第一量子化振动能级并且还可以用来表示如在下一小节中所述的单个光子。

用来确定量子系统可测量，如电子的自旋角动量的测量用算符ψ表示，这里符号“

”表示算符。通常，算符对左侧的右矢运算如下：

$\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\left(\right|\mathrm{\&Psi;}\&rang;)=\widehat{\mathrm{\&Psi;}}|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

式中

为代表被观测的量子态的右矢。一般来说，算符

与叫作“本征态”的状态集相关联。本征态表示成具有如下特性的“|ψ_i>”：

$\widehat{\mathrm{\&Psi;}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;={\mathrm{\&psi;}}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;$

式中i为非负整数，

ψ为实值，其称作“本征值”，它与量子系统处在本征态|ψ_i>时观测到的可测离散量相对应。

例如，用来确定与Z轴相平行的电子的自旋角动量的测量用

表示，所观测的自旋角动量值的本征值一本征态的表达式是：

${\hat{S}}_z|\&UpArrow;\&rang;=\frac{h}{2}|\&UpArrow;\&rang;,$ 和

${\hat{S}}_z|\&DownArrow;\&rang;=-\frac{h}{2}|\&DownArrow;\&rang;$

算符的本征态为跨越被称为“状态空间”的复向量空间的复向量。在属于状态空间的每个状态都具有特有的基态上的线性叠加时，本征态就构成了向量空间的基态。例如，由算符

之N个本征态{|ψ_i>}所跨越的状态空间中的状态|ψ>可以写成线性叠加本征态如下：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;$

式中C_i为复数值系数，其称为“幅度”。与算符相关联的状态空间也叫作“希尔伯特空间(Hilbert space)”。希尔伯特空间包括被称为“内积”的数学运算。两个状态|ψ>和|≡>的内积用下式表示：

<≡|ψ>

式中<≡|称为“左矢”，其表示状态|≡>的复数共轭值和易位。内积具有如下特性：

<Ξ|ψ>＝<ψ|Ξ>^*

式中“*”代表复数共轭。希尔伯特空间的基本征态为标准正交，或以数学符号表示：

<ψ_i|ψ_j>＝δ_ij

式中δ_ij在i＝j时为1，原则为0。例如，单电子希尔伯特空间本征态的内积为：

<↑|↑>＝<↓|↓>＝1，和

<↑|↓>＝<↓|↑>＝0

希尔伯特空间本征态的正交特性能够用来确定状态|ψ>之线性叠加的系数。取|ψ>与<ψj|的内积得出相应的系数：

$\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{\&lang;\mathrm{\&psi;}}_j|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}=c_j$

将系数代入线性叠加得出：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

因为|ψ>为希尔伯特空间中的任意右矢，

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|=\hat{1}$

式中

为‘全同‘算符。总和称为“完全性关系”，而本征态{|ψ_i>}称作是“完全态”。

算符的本征态可用正交标准化的列向量表示，算符可以用方形矩阵表示。例如，与算符相联的单电子希尔伯特空间的本征态用列向量表示：

$|\&UpArrow;\&rang;B\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],$ 和 $|\&DownArrow;\&rang;B\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

式中符号“B”表示“用...来代表”。本征态的易位复共轭值用行向量表示：

<↑|B[1 0]，和<↓|B[0 1]

使用完全性关系时，关于基{|ψ_i>}的算符

也可以表示成：

$\hat{O}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j|$

式中为矩阵元。与关于基{|ψi>}的算符

相对应的矩阵可表示如下：

$\hat{O}B\left[\begin{array}{cccc}{\&lang;\mathrm{\&psi;}}_1\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;& {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_1\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;& L& \&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_N\&rang;\\ {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_2\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;& {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_2\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;& & M\\ M& & O& \\ {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_N\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;& L& & {\&lang;\mathrm{\&psi;}}_N\left|\hat{O}\right|{\mathrm{\&psi;}}_N\&rang;\end{array}\right]$

算符

等于

的矩阵表达式，其外对角元为零，对角元为本征值{ψ_i}。例如，电子的自旋Z轴算符可由下式给出：

${\hat{S}}_z=\frac{h}{2}{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_z$

式中 $({\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_z=|\&UpArrow;\&rang;\&lang;\&UpArrow;|-|\&DownArrow;\&rang;\&lang;\&DownArrow;|\&CenterDot;)$

电子自旋算符

的矩阵表达式由下式给出：

${\hat{S}}_{z}B\left[\begin{array}{cc}\&lang;\&UpArrow;|{\hat{S}}_z|\&UpArrow;\&rang;& \&lang;\&UpArrow;|{\hat{S}}_z|\&DownArrow;\&rang;\\ \&lang;\&DownArrow;|{\hat{S}}_z|\&UpArrow;\&rang;& \&lang;\&DownArrow;|{\hat{S}}_z|\&DownArrow;\&rang;\end{array}\right]$

$=\frac{h}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

算符

在

时，称为“厄米特算符(Hermition operator)”。

对应的矩阵元满足以下条件：

在对应于算符的测量之前，量子系统被认为是同时存在于该算符ψ的所有本征态{|ψ_i>}，其用状态的(纯态)线性叠加表示：

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;{\&lang;\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

对应于算符的测量将初始时处于状态

的量子系统投射到本征态之一|ψ_i>。换言之，对量子系统的测量在本质上是一个滤波过程，它把量子系统的状态置于在测量时的线性叠加中的本征态之一。例如，对应于算符

的测量之前具有未知自旋方向的电子，其以如下线性叠加状态表示：

|ψ>＝c₁|↑>+c₂|↓>

自旋确定性测量

在测量时将电子的状态投射到状态|↑>或状态|↓>。换言之，刚好在自旋确定性测量后。电子要么处在状态|↑>，要么处在状态|↓>。

作为测量的结果，对量子系统的状态存在一个相应的不可逆变化。不可逆性只有在进行测量之前量子系统已经处在量子态之一时方可避免。因此，不能依据单一测量的结果来推测量子系统的先前状态。例如，如果自旋测量的结果是h/2，就不可能确定在测量时系统是已经处在状态|↑>还是处在自旋态|↑>与|↓>的线性叠加状态。

尽管不可能事先知道量子系统的状态将会被投射到各种不同状态中的那一个状态|ψ_i>，但是测量之后为上就求出的量子系统处在特定状态|ψ_i的概率可由下式给出：

Pr(ψ_i)＝|c_i|²＝|<ψ_i|ψ_i>|²

式中|ψ>是归一化的，|C_i|²等于C_i ^*C_i，其给出结果概率。

例如，在自旋基态{|↑>，|↓>}中的自旋确定性测量之前，认为电子是以有1/2概率被求出处在自旋态|↑>以及有1/2概率被求出处在自旋态|↓>而相干制备的。与处在这种状态中的电子相关的状态在自旋确定性测量之前可用下式表示

$|\mathrm{\&Psi;}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}|\&UpArrow;\&rang;+\frac{1}{\sqrt{2}}|\&DownArrow;\&rang;$

用线性叠加状态|ψ>表示的对量子系统所进行的测量的期望值在数学上以下式表示：

$\&lang;\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&rang;=\&lang;\mathrm{\&Psi;}\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

并应用完整性关系确定如下：

$\&lang;\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&rang;=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&lang;\mathrm{\&Psi;}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}\&rang;$

$=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&psi;}}_i{\left|\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}\&rang;\right|}^2$

期望值代表依据对集合中的量子系统的测量结果所预期的加权本征值的平均结果，这里量子系统的初始状态|ψ>对集合的每一项都是相同的。换言之，代表各量子系统的线性叠加状态在测量前是完全相同的。实际上，这种集合可以通过制备都处在同一状态的多个完全相同而独立的量子系统或通过重复地制备处在同一状态的单个系统来实现。注意，期望值可能不是每个测量所得到的数值，因此，其不应与从测量所得到的本征值相混淆。例如，期望值

可以是本征值h/2和-h/2之间的任意实值，但是对电子而言S_z的实测值在各单独测量中总是h/2和-h/2。

处在恢复|ψ>中的单个量子系统的期望值还可以使用由以下式定义的密度算符：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=|\mathrm{\&Psi;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&Psi;}|$

予以说明，式中|ψ>也称为“纯态”，它与下面说明的统计混合态不同。密度算符用称为“密度矩阵”的矩阵以{|ψ_i>}基态表示，密度矩阵的矩阵元为：

${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}=\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;=c_i^{*}{c}_j$

密度算符体现了量子系统状态的特征。换言之，密度算符提供了可从状态|ψ>计算出的所有物理信息。例如，密度矩阵的对角矩阵元的和给出如下：

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left|c_i\right|}^2=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ii}}=\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\&rho;}\right)=1$

式中T_r代表迹，或矩阵的对角元之和。例如，处于纯态的双态量子系统：

|ψ>＝c₁|ψ₁>+c₂|ψ₂>

其密度矩阵由下式给出：

$\mathrm{\&rho;}=\left[\begin{array}{cc}{c}_1{c}_1^{*}& c_1{c}_2^{*}\\ c_2{c}_1^{*}& c_2{c}_2^{*}\end{array}\right]$

式中对角元为与把量子系统投射到状态|ψ₁>或状态|ψ₂>相关联的概率，外对角元代有状态|ψ₁>与|ψ₂>间的干扰作用。此外，处在状态|ψ>的量子系统的期望值可以表示成为：

$\&lang;\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&rang;=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&Psi;}|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;$

$=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_j\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j\&rang;$

$=\mathrm{Tr}\left\{\widehat{\mathrm{\&rho;}}\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right\}$

但是，经常的情况是关于量子系统的信息是不完全的。例如，量子系统可处在状态|ψ₁>，|ψ₂>，|ψ₃>...，中任意一种状态，每一种状态各自与概率P₁，P₂，P₃，...相关联，这里概率满足条件：

0≤p₁，p₂，p₃，...≤1，和

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i=1$

这种量子系统被说成是处在“统计混合态”。统计混合态的密度算符可确定如下。如上所述，测量纯态|ψ_i>量子系统可观测量ψ得到结果ψ_n的概率是：

Pr_i(ψ_n)＝<ψ_i|ψ_n><ψ_n|ψ_i>＝|<ψ_n|ψ_i>|²

但是，观测统计混合态中ψ的概率Pr_i(ψ_n)要用P_i加权并对i求和得到：

$\mathrm{Pr}\left({\mathrm{\&psi;}}_n\right)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\mathrm{Pr}}_i\left({\mathrm{\&psi;}}_n\right)$

$=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_n|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i|{\mathrm{\&psi;}}_n\&rang;$

$=\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_n\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_n\&rang;$

式中

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i|$

为与统计混合态相关的密度算符。相关的密度矩阵元由下式给出：

${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{np}}=\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_n\left|\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i\left|\right|{\mathrm{\&psi;}}_p\&rang;$

$=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_n^{\left(i\right)}{c}_p^{\left(i\right)*}$

对包含混合态：

$|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;=c_1^{\left(i\right)}|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;+c_2^{\left(i\right)}|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;$

的双态量子系统之密度矩阵的物理意义予以说明。相应的密度矩阵由下式给出：

$\mathrm{\&rho;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_{11}& {\mathrm{\&rho;}}_{12}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{21}& {\mathrm{\&rho;}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_1^{\left(i\right)}{c}_1^{\left(i\right)*}& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_1^{\left(i\right)}{c}_2^{\left(i\right)*}\\ \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_2^{\left(i\right)}{c}_1^{\left(i\right)*}& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_2^{\left(i\right)}{c}_2^{\left(i\right)*}\end{array}\right]$

对角矩阵元可解释成是指在量子系统的状态为|ψ_i>时，对角矩阵元ρ₁₁代表求得处在状态|ψ_i>之量子系统的平均概率，而对角矩阵元ρ₂₂代表求得处在状态|ψ₂>之量子系统的平均概率。当同样的测量在完全相同的条件下进行N次时，Nρ₁₁将在状态|ψ₁>求得，Nρ₂₂将在状态|ψ₂>求得。非对角矩阵元ρ₁₂和ρ₂₁表示状态|ψ₁>与|ψ₂>间的平均干扰作用。注意，与对角矩阵元不同，非对角矩阵元即使在乘积C₁ ⁽ⁱ⁾C₂ ^(i)*和C₂ ⁽ⁱ⁾C₂ ^(i)*中没有一个是零时，它也可以是零，这就意味着对N个测量的平均已经消除了状态|ψ₁>与|ψ₂>的干扰作用。

能力积是将不同量子系统的希尔伯特空间进行组合以形成代表组合量子系统之希尔伯特空间的一种办法。例如，H_ψ为第一量子系统的希尔伯特空间，H_≡是第二量子系统的希尔伯特空间。用

表示的希尔伯特空间代表组合希尔伯特空间，这里符号表示能力积。算符

和

分别对应于希尔伯特空间H_ψ和H_≡，各自只按相应的本征态运算如下：

$(\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&CircleTimes;\widehat{\mathrm{\&Xi;}})\left(\right|\mathrm{\&psi;}\&rang;\&CircleTimes;|\mathrm{\&xi;}\&rang;)=\left(\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|\mathrm{\&psi;}\&rang;)\&CircleTimes;\left(\widehat{\mathrm{\&Xi;}}\right|\mathrm{\&xi;}\&rang;)$

式中|ψ>表示在希尔伯特空间H_ψ中的状态，|ξ>表示在希尔伯特空间H_≡中的状态。能力积

可简写为|ψ>|ξ>，|ψ，ξ>或|ψξ>。例如，原子轨道内两个电子的自旋态是组合希尔伯特空间的基础。两个电子可以是两个都是上旋，两个都是下旋，第一个电子上旋而第二个电子下旋，或第一个电子下旋而第二个电子上旋。两个上旋电子的各不同能力积表达式由下式给出：

${|\&UpArrow;\&rang;}_1\&CircleTimes;{|\&UpArrow;\&rang;}_2={|\&UpArrow;\&rang;}_1{|\&UpArrow;\&rang;}_2={|\&UpArrow;,\&UpArrow;\&rang;}_{12}={|\&UpArrow;\&UpArrow;\&rang;}_{12}$

式中下标1和2指第一和第二电子。

在量子力学中，还有一些具有连续本征值频谱的可测量。相应的希尔伯特空间的维数是无限的，上述对离散量子系统的许多特性可通用于连续量子系统。连续的本征值方程—为：

$\widehat{\mathrm{\&zeta;}}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;=\mathrm{\&zeta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;$

式中ζ表示连续本征值，右矢|ζ>为算符

的连续本征态。例如，对于一个维度中的无束缚粒子来说，位置q和动量p分别为位置和动量算符和

的连续本征值，并且其可假定为-∞—∞间的任何实值。

连续变量ζ的特性可以统一化如下：

<ζ|ζ′>＝δ(ζ-ζ′)，

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&zeta;}|=1,$ 和

$\&lang;\mathrm{\&zeta;}\left|\widehat{\mathrm{\&zeta;}}\right|\mathrm{\&zeta;}\&prime;\&rang;=\mathrm{\&zeta;}\&prime;\mathrm{\&delta;}(\mathrm{\&zeta;}-\mathrm{\&zeta;}\&prime;),$

式中ζ(ζ-ζ¹)为三角函数，其具有无数的极限表达式，如

$\mathrm{\&delta;}(\mathrm{\&zeta;}-\mathrm{\&zeta;}\&prime;)=\underset{\mathrm{\&Delta;}\&RightArrow;0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{{2\mathrm{\&pi;\&Delta;}}^2}}\exp (-\frac{{(\mathrm{\&zeta;}-\mathrm{\&zeta;}\&prime;)}^2}{{2\mathrm{\&Delta;}}^2})$

任意物理状态的状态右矢可以按照状态{|ζ>}展开如下：

$|\mathrm{\&alpha;}\&rang;={\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&zeta;}\&rang;|\mathrm{\&alpha;}$

例如，设想在粒子的路径中放置一个检测器，它在粒子在位置q时输出粒子的位置。在进行测量后，初始时处在状态|d>的系统马上就以与进行自旋检测测量时任意电子自旋态被投射到两种自旋态中之一种状态的极为相同的方式被投射到由|q>表示的状态。连续变量ζ的其他特性由下式给出：

${\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}{|\&lang;\mathrm{\&zeta;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;|}^2=1,$ 和

$\&lang;\mathrm{\&beta;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;={\&Integral;}_{-\&infin;}^{\&infin;}\mathrm{d\&zeta;}\&lang;\mathrm{\&beta;}|\mathrm{\&zeta;}\&rang;\&lang;\mathrm{\&zeta;}|\mathrm{\&alpha;}\&rang;$

动量算符还可以用微分算符

表示。因此，位置和动量算符满足正则对易关系：

$[{\hat{q}}_i,{\hat{q}}_j]=0$

$[{\hat{p}}_i,{\hat{p}}_j]=0,$ 和

$[{\hat{q}}_i,{\hat{p}}_j]=\mathrm{ih}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}$

其中i和j表示直角坐标，如笛卡尔生标的x，y，z坐标，

易位子定义为[A，B]＝AB-BA。

在本小节中，对涉及本发明实施方案之电磁辐射和电子光学的简述予以说明。M.O.Scully和M.S.Zubairy著述的教科书“量子光学”(英国，剑桥，剑桥大学出版社。1977)和R.Loudon著述的教科书“光的量子理论”(第三版)(纽约，牛津大学出版社，2000)是量子光学许多参考文献中的两个参考书园。更多的细节可以从以上参考的教科书或从本领域中许多其他教科书，论文，以及杂志文章中得到。

量子光学是涉及将量子力学应用到电磁辐射的物理学领域。限制在具有理想反射壁之共振腔的电磁辐射被量子化。量子化的电磁辐射可应用到更普通的不受限制的光学系统，诸如在自由空间或光纤中传播电磁辐射。

限制在共振腔的电磁辐射，由于没有自由电荷和电流，其包括按向量电位

相关联的电场分量

和磁场分量

向量电位

满足波动方程：

${\&dtri;}^2\stackrel{V}{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\&PartialD;}^2\stackrel{V}{A}}{{\&PartialD;t}^2}=0$

和库伦非相对论计量条件：

$\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{v}{A}(\stackrel{V}{r},t)=0$

其中电场和磁场分量由下式确定：

$\stackrel{V}{E}(\stackrel{V}{r},t)=-\frac{\&PartialD;\stackrel{v}{A}(\stackrel{V}{r},t)}{\&PartialD;t},$ 和

$\stackrel{v}{B}(\stackrel{V}{r},t)=\&dtri;\&times;\stackrel{v}{A}(\stackrel{V}{r},t)$

假定电磁辐射进行传播并受到由具有理想反射壁之立方体共振腔或量子化共振腔所施加的周期性边界条件的影响，这里壁长度为L。图3图示出立方体共振腔300。正交轴302，304和306代表x，y和z笛卡尔坐标轴。有限维度的立方体共振腔300将周期性边界条件加在波动方程的解上。例如，在x，y和z方向上，向量电位波动方程的平面波动解满足条件：

$\exp (i\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r})=\exp (i\stackrel{V}{k}\&CenterDot;(\stackrel{V}{r}+\stackrel{V}{L}))$

式中

为向量(L，L，L)，

称为具有分量“波向量”：

$\stackrel{V}{k}=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{L}(m_x,m_y,m_z),$ 和

m_x，m_y和m_z为整数。

每个整数集(m_x，m_y，m_z)规定了电磁辐射的正常振荡模，而波向量

的幅度K等于ω_k/c，其中c表示自由空间内的光速，ω_k为角频率。注意，在实际使用期限内电磁场正常振荡模的频谱实际上是连续的，而且用波向量

所假定的正常振荡模的离散频谱也近似于连续频谱。

满足周期性边界条件之上述波动方程的传播向量电位解为：

$A(r,t)=\underset{k,s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v(A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}+A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)})$

式中

为电磁辐射的复数幅度；

代表两个单位长度的极化向量；及

m_x，m_y，m_z＝0，±1，±2，±3，...。

的和表示整数(m_x，m_y，m_z)的和，s的和是与各个

相关的两个独立极化的和。如下式：

${\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v\&CenterDot;{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}\&prime;}^v={\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ss}\&prime;},$

以及依上面给出的计量条件：

$\stackrel{v}{k}\&CenterDot;{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v=0,$

所指明的，对两个极化方向s，这两个极化向量是正交的。两个极化向量

和构成了右旋坐标系，其归一化波向量由下式给出：

${\stackrel{V}{e}}_{k1}^v\&times;{\stackrel{V}{e}}_{k2}^v=\frac{\stackrel{v}{k}}{\left|\stackrel{V}{k}\right|}=\stackrel{V}{\mathrm{\&kappa;}}$

图4图示出一个三维右旋坐标系，其两个独立的极化向量

和归一化波向量

作为基向量。在图4中，波向量以及极化向量

和

分别为坐标轴用直线408，410和412表示的坐标系的三个正交的单位长度基向量。

向量电位的传播电场和磁场分量是：

$\stackrel{V}{E}(\stackrel{V}{r},t)=i\underset{\stackrel{v}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v[A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}-A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}],$ 和

$\stackrel{V}{E}(\stackrel{V}{r},t)=\frac{i}{c}\underset{\stackrel{v}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k(\stackrel{V}{\mathrm{\&kappa;}}\&times;{\stackrel{V}{e}}_{\mathrm{ks}}^v)[A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}-A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{V}{k}\&CenterDot;\stackrel{V}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}],$

电场

和磁场

是被称之为电场和磁场“经典”表示的传播波动解，其互相正交，并且两者都与波向量

相正交。

图5图示出在图4所示右旋坐标系中电磁辐射之电场和磁场分量的图象。电磁辐射沿波向量

取向。电场分量

和磁场分量

分别沿正交极化向量

和

取向并在特定时间t可以视为固定。

电磁辐射的能量可以通过计算如下哈密顿量Hamiltonian加以确定：

$H=\frac{1}{2}\underset{V}{\&Integral;}({\mathrm{\&epsiv;}}_0\stackrel{V}{E}\&CenterDot;\stackrel{V}{E}+\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\stackrel{V}{B}\&CenterDot;\stackrel{V}{B})\mathrm{dV}$

$={2\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V\underset{\stackrel{V}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k^2{A}_{\mathrm{ks}}^v{A}_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}},$

式中ε₀是自由空间的介电常数，

μ₀是自由空间的导磁率，及

V是共振腔的容积。

介电常数ε₀表示真空空间在电场的影响下能够存储电位能量的程度，导磁率μ₀表示真空度调整磁场通量的程度。在不传导介质中，介电常数还要乘以ε，其为介质提高位能存储的程度，而导磁率则还要乘以μ，它是介质进一步提高磁场通量的程度。

为了使电场

和磁场

分量量子化，通过建立下式：

$A_{\mathrm{ks}}^v=\frac{1}{{2\mathrm{\&omega;}}_k\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V}}({\mathrm{\&omega;}}_k{q}_{\mathrm{ks}}^v+{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ks}}^v)$

将位置的动量的正则变量

和引入到哈密顿量(Hamiltomian)。因此，电磁辐射的哈密顿量就变成为：

$H=\frac{1}{2}\underset{\stackrel{V}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}(p_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2+{\mathrm{\&omega;}}_k^2{q}_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2)$

哈密顿量中的每项都是振动谐振模为

之谐波振荡器的能量，其中项

为单位质量谐波振荡器的动能，项

为单位质量谐波振荡器的位能。通过用量子力学的位置和动量算符和

分别代替位置和动量和

将哈密顿量量子化得到量子哈密顿算符：

$\hat{H}=\frac{1}{2}\underset{\stackrel{V}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}({\hat{p}}_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2+{\mathrm{\&omega;}}_k^2{\hat{q}}_{\stackrel{V}{\mathrm{ks}}}^2)$

湮灭和产生算符用下式定义：

${\hat{a}}_{\mathrm{ks}}^v=\frac{1}{\sqrt{2h{\mathrm{\&omega;}}_k}}({\mathrm{\&omega;}}_k{\hat{q}}_{\mathrm{ks}}^v+{i\hat{p}}_{\mathrm{ks}}^v),$ 和

将湮灭和产生算符代入量子哈密顿算符得到：

式中

称为“数字算符”，也用

表示。使用位置和动量算符的正则对易关系时，湮灭和产生算符满足下面给出的易位关系式：

和

在电磁辐射进行量子化时，幅度成为算符：

${\hat{A}}_{\mathrm{ks}}^v=\sqrt{\frac{h}{{2\mathrm{\&omega;}}_k{\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V}}{\hat{a}}_{\mathrm{ks}}^v,$

可将其代入上面的经典电场和磁场方程得到电场和磁场算符：

电场和磁场算符均是厄米特(Hermitian)算符，它们代表可测量的电场和磁场。

电场是造成与带电物质的大多数相互作用的原因，因为磁场的大小为电场的1/c。因此，通常只靠使用电场来体现电磁辐射和与带电物质任何相互作用的性能特性，而磁场分量则可忽略不计。

量子计算和量子信息处理系统使用电磁辐射的单振荡模

可进行运算。因此，电磁辐射单振荡模的哈密顿算符简化成：

式中

和取代了上面哈密顿量中的振荡模相关算符

和单振荡模哈密顿量的本征态和相应的能量本征值为：

式中|n>称为“数字状态”，n是非负整数，称为“光子数”，En为能量本征值。

湮灭和产生算符对数字状态的运算如下：

$\hat{a}|n\&rang;=\sqrt{n}|n-1\&rang;,$

和

$\hat{n}|n\&rang;=n|n\&rang;,$

式中代表算符

其称为“数字算符”。将湮灭和产生算符重复地应用于数字状态就可以生成数字状态。例如，将湮灭算符重复应用到数字状态就降低了光子数：

$|0\&rang;=\frac{{\hat{a}}^n}{\sqrt{n}!}|n\&rang;,$

式中|0>称为“真空态”，其表示电磁辐射的最低能态。从真空态开始，重复地应用产生算符给出：

数字态为正交并形成用下式表示的完全集：

<n′|n>＝δ_n’n，和

$\underset{n=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}|n\&rang;\&lang;n|=1$

通常与数字态|n>相关的能量本征值方程为：

$\hat{H}|n\&rang;=\mathrm{h\&omega;}(n+\frac{1}{2})|n\&rang;=E_n|n\&rang;.$

将湮灭和产生算符应用到能量本征值方程给出：

$\hat{H}\left(\hat{a}\right|n\&rang;)=\mathrm{h\&omega;}(n-\frac{1}{2})|n-1\&rang;=(E_n-\mathrm{h\&omega;})|n-1\&rang;,$ 和

其表明电磁辐射的能级被以量子能量hω均等分开。换言之，电磁辐射的激发以称为“光子”的离散量能量hω出现。光子数n是指令电磁辐射的光子hω的数目。

图6是量子化电磁辐射的能级图。水平直线，如水平线602，代表电磁辐射的能级。能级604是最低能级，它对应于真空态|0>。真空态的能量为hω/2或单个光子能量的1/2。电磁辐射的更高能级都是以同样的量子能量hω各自分开。例如，能级606代表总电磁能量为5hω/2的电磁辐射，其可以被认为是两个光子能量加上真空态能量hω/2。湮灭算符相当于从电子辐射中去除光子，而产生算符相当于向电子辐射加上光子。例如，湮灭算符

表示从状态|n>602到较低能态|n-1>608的电磁辐射跃迁610。跃迁610通过向外界放出电子来达到。相反，产生算符

表示从状态|n>602到较高能态|n+1>612的电磁辐射跃迁614。跃迁614通过从外界接收光子来达到。注意，通常外界可以是原子，量子点，或通过双极相互作用与场相耦合的任何其他系统。光子的丢失或吸收将会涉及外界系统的同时激发，光子的形成或发射将涉及外界系统的相应去激。

光子源能够产生光子并通过自由空间或在光纤内进行传输。光子源可以是脉冲激光器，其产生出单个脉冲或一串脉冲，每个脉冲包含具有同样光学特性，如波长和方向，的一个或多个光子。具有相同光学特性的光子称为“相干”。但是，源，检测器及介质，如将源与检测器分开的光纤，并不限定光谐振腔。源和检测器是具有无重大光能反射或循环的连续单向流动光能的部件。通过自由空间或光纤传输的脉冲利用波包加以说明，其可以用下面给出的随时间变化的高斯形函数表示：

$\mathrm{\&xi;}\left(t\right)={\left(\frac{{2\mathrm{\&Delta;}}^2}{\mathrm{\&pi;}}\right)}^{1/4}\exp \{{-\mathrm{i\&omega;}}_{0}t-{\mathrm{\&Delta;}}^2{(t_0-t)}^2\},$

式中ω₀是脉冲频谱的中心频率，

t为时间

t₀是波包峰值处在距光子源的距离E₀时的时间，及

Δ²是强度频谱的色散。

时间t₀可用z₀/v确定，其中v是脉冲通过自由空间或在光纤中传送的速度。

波包ξ(t)为脉冲的幅度，|ξ(t)|²是脉冲的光检测概率密度函数，其中光检测概率密度函数|ξ(t)|²满足归一化条件：

$\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\mathrm{dt}{\left|\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right|}^2=1$

在距光子源距离z₀处、时间间隔(t₁，t₂)内光子的光检测概率由下式给出：

图7图示出与自源702输出并在光纤704内传输至检测器706的脉冲相关的概率分布。水平直线708代表光子从源702传输至检测器706的距离z₀，水平直线710代表时间轴。曲线712表示光检测概率密度函数|ξ(t)|²。在图7中，光检测概率密度函数|ξ(t)|²712的中心在时间t₀，其等于脉冲传播通过距离z₀所用的时间。曲线712下面的面积代表在特定限内检测脉冲的概率。例如，用斜线标记的区域714表示在时限t₁<t₀<t₂之内检测光子的概率。时限716称为“时间仓(time bin)”，其对应于在检测器706检测光子的时限。

可以使用时间相关的产生算符来产生光子波包产生算符如下：

可以使用产生算符来建立表示通过自由空间或在光纤中传输的光子的连续振荡模数字状态如下：

式中|0>为连续振荡模真空态。连续振荡模数字态满足下述相同条件：

$\hat{n}{|n}_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;=n|n_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;,$

$\&lang;n_{\mathrm{\&xi;}}^{\&prime;}|n_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;={\mathrm{\&delta;}}_{n\&prime;n},$ 和

$\underset{n_{\mathrm{\&xi;}}=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}|n_{\mathrm{\&xi;}}\&rang;\&lang;n_{\mathrm{\&xi;}}|=1$

因此，用来标识连续振荡模数字态的下标号可以省略。注意，波包建立的光子不是任意哈密顿量的本征态。

包括第一量子了系统和第二量子子系统的量子系统具有希尔伯特空间

其中H_A是与第一量子子系统相关的希尔伯特空间，H_B是与第二量子子系统相关的希尔伯特空间。右矢|i>_A代表希尔伯特空间H_A的标准正交本征态，右矢|j>_B代表希尔伯特空间H_B的标准正交本征态，其中i和j为正整数。希尔伯特空间中的任意线性叠加状态由下式给出：

${|\mathrm{\&Psi;}\&rang;}_{\mathrm{AB}}=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}{c}_{\mathrm{ij}}{|i\&rang;}_A{|j\&rang;}_B,$

式中幅度C_ij为复数，其满足条件：

$\underset{\mathrm{ij}}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left|c_{\mathrm{ij}}\right|}^2=1$

特殊种类的线性叠加状态|ψ>_AB称为“直积态”并用以下乘积表示：

${|\mathrm{\&Psi;}\&rang;}_{\mathrm{AB}}={|\mathrm{\&psi;}\&rang;}_A{|\mathrm{\&psi;}\&rang;}_B=\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{c}_i^{\left(A\right)}{|i\&rang;}_A\right)\left(\underset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}{c}_j^{\left(B\right)}{|j\&rang;}_B\right),$

式中|ψ>_A为在希尔伯特空间H_A中的归一化线性叠加态；

|ψ>_B为在希尔伯特空间|ψ>_A中的归一化线性叠加态。

例如，包括两个量子位系统的组合量子位系统的状态用量子位的积表示如下：

|ψ>₁₂＝|ψ>，|ψ>₂

其中第一量子位系统的状态是：

${|\mathrm{\&psi;}\&rang;}_1=\frac{1}{2}({|0\&rang;}_1+{|1\&rang;}_1)$

第二量子位系统的状态是：

${|\mathrm{\&Psi;}\&rang;}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({|0\&rang;}_2{|1\&rang;}_2\right)$

状态|ψ>₁₂还可以写成为线性叠加状态：

${|\mathrm{\&Psi;}\&rang;}_{12}={|\mathrm{\&psi;}\&rang;}_1{|\mathrm{\&psi;}\&rang;}_2$

$=\frac{1}{2}({|0\&rang;}_1{|0\&rang;}_2+{|0\&rang;}_1{|1\&rang;}_2+{|1\&rang;}_1{|0\&rang;}_2+{|1\&rang;}_1{|1\&rang;}_2)$

其中项|0>₁|0>₂，|0>₁|1>₂，|1>₁|0>₂和|1>₁|1>₂为乘积状态。状态|ψ>₁₂中的每个乘积态有一个相关系数1/2，它指出当第一量子位系统的状态以基态{|0>₁|1>₁}测量，第二量子位系统的状态以基态{|0>₂|1>₂}测量时，求出组合量子位系统在上述乘积状态中之任一状态的概率为1/4。例如，在第一和第二量子位系统的状态分别以基态{|0>₁|1>₁}和{|0>₂|1>₂}测量时，有1/4(|1/2|²)的概率将组合量子位系统的状态投射到乘积状态|1>₁|1>₂。

但是，希尔伯特空间

内不能够写成乘积状态的其它线性叠加为缠结状态。通常，对包括两个或多个量子系统的希尔伯特空间而言，缠结状态是不能够写成直积态的线性叠加状态。例如，缠结的双量子位系统，其缠结状态可以写成：

${|\mathrm{\&phi;}\&rang;}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}({|0\&rang;}_1{|1\&rang;}_2{+|1\&rang;}_1+{|0\&rang;}_2)$

缠结状态|φ>₁₂对于参数α₁，β₁，α₂和β₂的任何选择来说都不能分解成量子位α₁|0>₁+β₁|1>₁和α₂|0>₂+β₂|1>₂的乘积。

非缠结双量子位系统的状态可以与缠结双量子位系统的状态区分如下。认为非缠结双量子位系统处在非缠结状态|ψ>1₂。假设对处于基态{|0>₁，|1>₁}的第一量子位系统进行的第一测量将第一量子位系统的状态投射到状态|0>₁。根据状态|ψ>₁，非缠结双量子位系统的状态刚在测量之后为线性叠加状态

在第一测量后马上就在完全相同的参考帧内对处在基态{|0>₂，|1>₂}的第二量子位系统进行测量时，有1/2概率将第二量子位系统的状态投射到状态|0>₂，有1/2概率将第二量子位系统的状态投射到状态|1>2。换言之，第二量子位系统的状态与第一量子位系统的状态无关。相反，认为缠结双量子位系统处在缠结状态|φ>₁₂。假定对处在基态{|0>₁，|1>₁}的第一量子位系统所进行的第一测量也将第一量子位系统的状态也投射到状态|0>₁。概据缠结状态|φ>₁₂，缠结双量子位系统的状态在第一测量后为乘积态|0>₁，|1>₂。对处在基态{|0>₂，|1>₂}的第二量子位系统进行第二测量时，第二量子位系统的状态肯定是|1>₂。换言之，处在缠结状态|φ>₁₂的第一和第二量子位系统的状态是相关的。

在本小节中，讨论由电磁辐射的极化状态。如上参照图5所述，电磁辐射可以看作是传播横向电磁波。每个电磁波包含电场

和磁场

分量。然而，正是只有电场分量能够用来代表电磁波，因为电场是造成与带电物质的大多数相互作用的原因，磁场的大小仅为电场的1/C。如图5所示，当电磁场的振荡电场

分量和相关的波向量

存在于振动平面时，此电场被说成是“被线性极化”。将包含大量随机极化电磁波的电磁辐射通过一个或多个极化器进行传输能够产生一定的极化态。每个极化器是只传输具有与极化器极化轴对准之电场分量的电磁波的装置。

任意两个正交线性极化态都可以用来限定极化基态，其用{|H>，|V>}表示。第一极化态|H>代表在第一方向被极化的电磁波，称为“水平极化”，而第二极化态|V>代表在与第一方向正交的第二方向上被极化的电磁波，其称为“垂直极化”。极化基态满足如下条件：

<H|H>＝<V|V>＝1，和

<H|V>＝1

图8A-8B示出了极化基态|H>和|V>的图形。在图8A-8B中，互相垂直的轴，如图8A中互相垂直的轴801-803分别表示x，y和z笛卡坐尔标轴。图8A示出了在yz平面的电场

的垂直极化态|V>。方向箭头806代表电场

向观测平面808传播的方向。从观测平面808，可以观测到当电磁波沿z轴传播通过一个波长λ时电场

通过一个全振荡周期的进程。振荡周期用双头的方向箭头810表示。图8B示出在xz平面的电场

的水平极化态|H>。相关的水平振荡周期用观测平面808中的双头方向箭头816表示。

极化基{|H>，|V>}还可以用来建立用|X>表示的元数的极化态。这些极化态同时包括|H>和|V>，在数学上可表示成相干线性叠加状态：

$|\mathrm{\&chi;}\&rang;=\cos \left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)|H\&rang;+e^{\mathrm{i\&phi;}}\sin \left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)|V\&rang;$

式中0≤Q<π，

0≤φ<2π。

电磁波的无数个极化态在几何上可以用三维布洛赫球(Blochsphere)表示，在这种情况下其也称为“波因凯尔球(Poincare sphere)”。

图9图示出极化状态的波因凯尔球图形。如图9所示，直线901-903分别为正交坐标轴，波因凯尔球的中心在原点。在波因凯尔球904上有无数个点，每一个点代表电磁波的一个特有的纯极化态|X>。例如，在波因凯尔球904上的点905代表极化态|X>，其同时包括部分的状态|H>和部分状态|V>。六个点906-911标识出波因凯尔球904与坐标轴901-903的交点。点906和907分别标记极化基态|H>和|V>，点908-911分别表示正交极化态：

$|R\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H\&rang;-i|V\&rang;\right),$ 和

$|L\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H\&rang;+i|V\&rang;\right),$

图10A-10D分别表示出四种极化态|45°>，|-45°>，|R>和|L>的曲线图。图10A示出在与水平Xz平面成45°倾角的振动平面1002内的45°极化态|45°>。极化态|45°>的振荡周期用双头的方向箭头1004表示。图10B示出处在与水平XZ平面成-45°倾角的振动平面1006内的-45°极化态|-45°>。极化态|-45°>的振荡周期用双头方向箭头1008表示。图10C示出包括图8A和8B中垂直和水平极化场804和812、其相对相差为-π/2时的右回旋极化态|R>。其结果是用两个正交双头方向箭头1010和1012表示的振荡周期，而两个正交双头方向箭头1010和1012在极化场804和812沿z轴传输时在观测平面808内沿顺时钟方向旋转。图10D示出左回旋极化态|L>，它也包括垂直和水平极化场804和812，但其相对相差为π/2。左旋极化态的振荡周期用两个正交双头方向箭头1014和1016表示，其在观测平面808内沿递时针方向旋转。

任何极化态都能够用四个参量的线性组合来表示，这四个参量称为“斯托克斯参数(Stokes parameters)”，它们只是电磁辐射强度的函数。斯托克斯参数是表示电磁辐射极化态的一种便携方式，因为电磁辐射测量结果通常只能确定强度而不是极化状态。斯托克斯参数在运算时可以通过假定有一组四个滤波器尚予以确定，其中每个滤波器传输任何入射电磁辐射的50％而舍弃余下的50％。假定第一滤波器传输所有极化态的电磁辐射。第二和第三滤波器为线性极化器，它们分别只传输被水平极化的辐射和在与水平成45°被极化的辐射。第四极化器只传输右回旋极化电磁辐射。这四个滤波器中的每个滤波器都置于电磁辐射束的路径内。注意，滤波器的选择并不是唯一的。还存在一些等同的极化。因为强度与由检测器所计数的光子数成正比，斯托克斯参数可以由下式确定：

S₀＝2n₀，

S₁＝2(n₁-n₀)，

S₂＝2(n₂-n₀)，和

S₃＝2(n₃-n₀)

式中光子数，按右回旋和左回旋极化态，由下式给出：

$n_0=\frac{N}{2}(\&lang;R|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|R\&rang;+\&lang;L|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|L\&rang;)$

$n_1=\frac{N}{2}(\&lang;R|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|R\&rang;+\&lang;R|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|L\&rang;+\&lang;L|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|R\&rang;+\&lang;L|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|L\&rang;)$

$n_2=\frac{N}{2}(\&lang;R|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|R\&rang;+i\&lang;R|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|L\&rang;-i\&lang;L|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|R\&rang;+\&lang;L|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|L\&rang;)$

$n_3=N(\&lang;R|\widehat{\mathrm{\&rho;}}|R\&rang;)$

这里

是一个2×2密度矩阵，其表示电磁辐射的极化程度。

通常，通过将每一参数除以参数S₀对斯托克斯参数进行归一化，这等同于使用单位强度的入射束。随机极化之电磁辐射的斯托克斯参数(S0，S1，S2，S3)在归一化表示中为(1，0，0，0)。归一化斯托克斯参数列在表1中：

表1

本发明的各种不同实施方案都是针对能够用来产生随机二进制数序列、基于光的自鉴别QRNG。本发明实施方案包括为建立用来对序列进行计算，鉴别和筛选的最小熵的基于量子力学的方法。以下参照具体的光子极化状态对本发明予以说明。注意，本发明并不限于使用光子极化状态。熟悉量子光学和量子信息学领域的任何人都可以利用使用其他光量子系统，如从50:50分束器，输出的该路径光子或时间仓光子，说明的本发明的方法和系统。

图11图示出代表本发明实施方案的基于光的QRNG1100。如图11所示，QRNG1100包括输入状态发生器1102，光纤挤压极化控制器(“FSPC”)1104和1106，极化分束器1108和1110，光子检测器1112-1115，符合箱1116，以及系统控制装置1118。光纤1120将输入状态发生器1102与FSPC1104相连接并将FSPC1104与分束器1108相连接，光纤1122将输入状态发生器1102和FSPC1106相连接并将FSPC1106与分束器1110相连接。光纤还将分束器1108与检测器1112和1113相连接，将分束器1110与检测器1114和1115相连接。光纤用作传输由输入状态发生器1102所产生的电磁辐射的通道。电信号线，如信号线1124，将检测器1112-1115与符合箱1116相连接，将符合箱1116与系统控制装置1118相连接，并且将系统控制装置1118分别地连接至FSPC1104和1106。符合箱1116将信号传输至系统控制装置1118，作为响应，后者再将信号传输至FSPC1104和1106以调整在光纤1120和1122中所传输的电磁辐射的状态。

输入状态发生器1102按顺充地以处在缠结极化态的光子形式或光子对产生光量子系统。光子对的第一光子从输入状态发生器1102输出进入光纤1120并通过FSPC1104传输至分束器1108，光子对的第二光子从输入状态发生器1102输出进入到光纤1122并通过FSPC1106传输至分束器1110。光子对的缠结极化状态用贝尔态(the Bell state)表示成：

$|{\mathrm{\&psi;}}_{+}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|H_1{V}_2\&rang;+|V_1{H}_2\&rang;)$

其中状态|H₁H₂>中的光子对代表处在水平极化态|H>₁中的第一光子和垂直极化态|V>₂中的第二光子；及

状态|V₁H₂>中的光子对代表处在垂直极化态|V>₁的第一光子和水平极化态|H>₂中的第二光子。

分束器1108将状态|V>1中的第一光子反射至检测器1112并把状态|H>₁中的第一光子传输至检测器1113。分束器1110将状态|V>₂中的第二光子反射至检测器1114并把状态|H>₂中的第二光子传输至检测器1115。

缠结光子对保持在贝尔态|ψ₊>直至光子对在检测器1112-1115被检测到。由输入状态发生器1102所产生的每个光子对理论上产生单个二进制数“0”或“1”如下。贝尔态|ψ₊>系数的平方模数表明，在光子对到达检测器1112-1115时，有1/2概率在检测器1113和1114组成的检测器对检测状态|H₁V₂>，有1/2概率在检测器1112和1115组成的检测器对检测状态|V1H₂>。换言之，检测状态|H₁V2>或状态|V₁H2>为随机事件。通过使光子态|H₁V₂>和|V₁H₂>与不同的二进制数相关，这一随机事件可用来产生单个随机二进制数。例如，在检测器1113和1114组成的检测器对检测状态|H₁V₂>中的光子对对应于二进制数“1”，在检测器1112和1115组成的检测器对检测状态|V₁H₂>中的光子对应于二进制数“0”。

图12图示出代表本发明实施方案的检测器1112-1115与符合箱1116之间的互相连接情况。在图12中，符合箱1116包括两个“与”门(AND_gare)1202和1204，四个输入信号线1206-1209，以及两个输出信号1212和1214。信号线1206和1209将检测器1112和1115连接至“与”门1204，信号线1207和1208将检测器1113和1114连接至“与”门1202，而信号线1212和1214则分别将“与”门1202和1204连接至系统控制装置1118。检测器1112-1115中之各检测器检测到达该检测器的光子的强度但并不分别具体的极化状态。在检测器检测光子时，将信号传输至所连接的“与”门。“与”门1202和1204只在它们各自同时接收到两个输入信号时才输出信号，或者脉冲，否则“与”门1202和1204不输出信号。由“与”门1202和1204输出的信号分别用P₁和P₀表示。例如，在检测器1112和1115检测处在状态|V₁H₂>中的一对光子时，检测器1112和1115同时将信号传输至“与”门1204，后者通过向图11中的系统控制装置1118输出信号P₀作出反应。

系统控制装置1118接收输出信号P₀和P₁并记录下相应的二进制数。图13表示两个输出信号随时间变化的曲线，其表示出由代表本发明实施方案的系统控制装置1118能够接收的四类输出信号的组合。在图13中，水平直线，如直线1302为时间轴，而垂直直线，如1304，是电压轴。曲线图1306对应于P₁输出信号，曲线图1308对应于P0输出信号。垂直虚线1310-1313标记出时间间隔1314-1317的上下限。在每个时间间隔内，系统控制装置1118记录四个事件中之一个事件，每一事件与由输入状态发生器1102所产生的单个光子对相关并称为“原始计数”。由“与”门输出的信号用电压或电流的脉冲表示，如脉冲1314。在时间间隔1314，系统控制装置1118没有接收到信号，这可能是没有光子到达检测器1112-1115，只有一个单个光子到达其中一个检测器，或者一对光子到达检测器1112-1115但这对光子既不处在状态|H₁V₂>也不处在状态|V₁H₂>的结果。因此，系统控制装置1118记录下原始计数“无信号”。在时间间隔1315和1316，单脉冲1314和1316依次输入到系统控制装置1118，后者记录下原始计数二进制数“0”，其后面是二进制数“1”。在时间间隔1317，系统控制装置1118同时接收到两个脉冲1318和1320，并将从“与”门1202和1204接收两个脉冲鉴定为“错误”。

通过重复地制造每对光子都处在贝尔态|ψ₊>的光子时，QRNG1100在理论上能够产生随机二进制数序列。然而在实际上，在产生随机二进制数序列的过程中可能存在任何数量的扰动，如上面参照图13所说明的无信号以及错误，而且许多这种扰动可能使序列偏移。因此，本发明的实施方案包括把原始计数序列简化为随机二进制数原始序列的方法。使用基于量子力学的方法来计算和鉴别原始序列的随机性并自原始序列中消除二进制数中的任何偏移以产生出更小的随机二进制数序列。

图14图示出从代表本发明实施方案的QRNG1100假定运行N次所产生的原始计数序列来产生出随机二进制数序列。在图14中，N个原始计数的序列1402包括由原始计数“无信号”1404和原始计数“错误”1406分开的二进制数“0”和“1”的序列。对应于无信号1404和错误1406的原始计数从原始计数序列1402中去除以产生n个随机二进制数原始序列，其中n<N。图14中，原始序列的随机二进制数被集合成列向量1408，用

表示。原始序列1408包括若干个假设偏移的二进制数，如偏移的二进制数1410-1412。使用本发明之基于量子力学的方法建立m×n个托谱里茨矩阵(Toeplitz matrix)T_nxm，此矩阵用来筛选出原始序列中的偏移二进制数以产生m个筛选随机二进制数的序列如下：

${\stackrel{V}{s}}_m=T_{n\&times;m}{\stackrel{V}{r}}_n$

其中m<n<N。随机二进制数序列

用列向量1414表示。Barak等人的“变化环境中的随机数发生器的安全”，在“加密硬件和隐蔽式系统CHES2003”C.D.Walter等(编辑)pp166-180，Springer-Verlag(2003)提供了托谱里茨矩阵的定义。下面的讨论给出了建立托谱里茨矩阵所需的见解，因为此矩阵涉及到根据Barak参考文献的本发明的方法。

下面参照对于的方案来说明用来产生随机二进制数的基于量子力学的方法。在下面的对手方案中，输入状态发生器1102落入叫作“Eve”的对手的控制之下。Eve要产生对叫作“Alice”的QRNG1100使用者看上去是随机的一个序列，但是Eve至少是部分地为Alice所熟知。因为Alice只使用状态|H₁V₂>和|V₁H₂>产生随机二进制数，下述分析就限制在状态|H₁V₂>和|V₁H₂>所跨越的子空间。因此，假定Eve产生如下形式的缠结状态：

|ψ_i>＝α_i|H₁V₂>+β_i|V₁H₂>

其中

|α_i|²+|β_i|²＝1，

0≤|α_i|²≤1，和

0≤|β_i|²≤1

除了由Eve控制的输入状态发生器1102外，Alice能控制QRNG1100。假定Eve不知道Alice应用于每对光子的测量结果。在Eve准备纯态|ψ_i>中的单个光子对时，Alice能够确定与测量结果相关的密度矩阵：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{cc}{\left|{\mathrm{\&alpha;}}_i\right|}^2& {\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&beta;}}_i^{*}\\ {\mathrm{\&alpha;}}_i^{*}{\mathrm{\&beta;}}_i& {\left|{\mathrm{\&beta;}}_i\right|}^2\end{array}\right]$

密度矩阵

表示Alice能够获得的有关由Eve提供给她的光子对状态的最大信息量。Alice通过对Eve所提供的光子对进行断层分析能够确定密度矩阵

的矩阵元。断层分析用来计算随机数序列的随机性，其称之为“自鉴别”。量子状态的断层分析在本领域中是人们所熟知的并且例如由James等人的在“物理学评论A，第64卷，052312”中的“量子位测量”作了说明。使用断层分析来识别由Eve制备的状态|ψ_i>。如James等的参数文献所述，对b-量子位系统的断层分析通常需要(4^b-1)个不同的期望值来确定密度矩阵

因此，期望值的测量需要大量的复制相同的状态。这些状态的(4^b-1)个不同期望值和归一化测量在理论上对普通b-量子位系统的2^b个复系数产生4^b个独立限制，从而允许对确定所测状态的密度矩阵

和/或2^b个复系数有分析解。由QRNG1100所产生的2-量子位极化光子对的断层分析需要16个独立期望值。

Eve可尝试通过传输处在统计混合状态ψ_i>(每种状态的相关概率为P_i)的我子对以Alice所熟知但对Alice看似随机的方式使序列偏移。Alice进行断层分析来确定密层矩阵算符：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i|{\mathrm{\&Psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&Psi;}}_i|$

以及相关的密度矩阵：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{cc}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|{\mathrm{\&alpha;}}_i\right|}^2& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\mathrm{\&alpha;}}_i{\mathrm{\&beta;}}_i^{*}\\ \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\mathrm{\&alpha;}}_i^{*}{\mathrm{\&beta;}}_i& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|{\mathrm{\&beta;}}_i\right|}^2\end{array}\right]$

式中 $\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|{\mathrm{\&alpha;}}_i\right|}^2={\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}$ 为测量状态|H₁V₂>的概率；及

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|{\mathrm{\&beta;}}_i\right|}^2={\mathrm{Pr}}_{\mathrm{VH}}$ 为测量状态|V₁H₂>的概率。

密度矩阵算符和密度矩阵是纯态密度矩阵算符和相关密度矩阵的合成。注意，虽然Eve制备并知道Alice每次进行测量的每对光子的状态|ψ_i>，但是Eve却不能控制Alice对纯态|ψ_i>进行测量的结果，因为Alice所进行的每个测量的结果是由量子力学的定律决定的。

Alice进行断层分析来确定密度矩阵

并评估随机性来源的质量。随机性来源的质量使用如下面定义的最小熵(“min-entropy”)函数能够进行严格的计算，最小熵函数为：

$H_{\mathrm{Min}}\left(X\right)\&equiv;{-\log }_2\left(\underset{x\&Element;X}{\max }\mathrm{Pr}\left(x\right)\right)$

式中X是随机变量；

Pr(x)是事件X的概率；及

表示对X中每个事件X的最大概率Pr(x)。

换言之，最小熵可以认为是概率分布中随机性总量的一种量度。图15为代表本发明实施方案的最小熵的曲线图。在图15中，水平轴1502对应于事件x的概率Pr(x)，垂直轴线1504表示最小熵的值，曲线1506表示最小熵H_min(x)。在最小熵为“0”1508时，出现事件x的最大概率Pr(x)为“1”1510。事件x肯定出现并且是完全确定事件。在最小熵是“1”1512时，出现事件x的最大概率的概率Pr(x)是“1/2”1514。事件x无偏出现，其对应于实随机事件。在最小熵介于“0”与“1”之间时，如点1516，出现事件x的最大概率大于1/2，以点1518表示。

为了示范最小熵的使用，下面的讨论描述如何把密度矩阵的矩阵元用在对由Eve所产生的三种不同状态集合的最小熵定义中。在Alice对Eve提供的纯态|ψ_i>中的单个光子对进行断层分析时，随机变量X分布在集合{0，1}，最小熵为：

H_Min(|ψ><ψ|)＝-log₂(max(Pr_HV(|ψ>)，Pr_VH(|ψ>)))

式中

Pr_HV(|ψ>)＝|α|²＝|<H₁V₂|ψ>|²，和

Pr_VH(|ψ>)＝|β|²＝|<V₁H₂|ψ>|²

最小熵可以拓展至Alice对都处在Eve所提供的同一纯态|ψ>中的n个光子对进行断层分析时的事例。随机变量x分布在集合{0，1}ⁿ，最小熵是：

H_Min((|ψ><ψ|)ⁿ)＝-nlog₂(max(Pr_HV(|ψ>)，Pr_VH(|ψ>)))

最后，在Alice对处在由Eve所提供的统计混合纯态|ψ_i>中的n个光子对进行断层分析时，最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)}^n\right)=-n\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\log }_2\left(\max ({\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;),{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{VH}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;))\right)$

式中

${\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|{\mathrm{\&alpha;}}_i\right|}^2,$ 和

${\mathrm{Pr}}_{\mathrm{VH}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|{\mathrm{\&beta;}}_i\right|}^2$

Alice不知道Eve正在提供的光子对状态的分解。Alice只能利用她在断层分析时产生的密度矩阵

为了达到使最小熵外延至任意状态，将与光子对相关的最小熵定义为对密度矩阵

所有可能分解的最小的最小熵。使用这种最小的最小熵的定义来设置Eve能够得到有关Alice序列的信息量的上限。

注意，只要最小熵H_min不等于零，Eve就不会对QRNG1100产生的二进制数序列拥有完全的控制。换言之，只要最小熵大于零，在QRNG1100所产生的n个二进制数的序列中就存在m个随机二进制数，这里m<n。

因为Alice在图11中的检测器1112-1115测量强度，最小熵

可以重新称为是斯托克斯参数的函数。这里使用斯托克斯参数来体现向量|H₁V₂>和|V₁H₂>所跨越的二维空间，它与单光子的极化空间是同型的。与统计混合状态|ψ_i>相关的2×2密度矩阵

可以按斯托克斯参数(S₀，S₁，S₂，S₃)改写如下：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{S_i}{S_0}{\mathrm{\&sigma;}}_i$

$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3\end{array}\right]$

式中

下标“s”标识用斯托克斯参数改写的密度矩阵；

斯托克斯参数S₀归一化为“1”；及

σ₁，σ₂和σ₃为泡利矩阵(Pauli matrix)。

对统计混合状态，密度矩阵的矩阵元等同于密度矩阵

的矩阵无，共中对角元的关系如下：

${\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\frac{1+S_3}{2},$ 和

${\mathrm{Pr}}_{\mathrm{VH}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\frac{1-S_3}{2}$

密度矩阵为的纯态处在波因凯尔球的表面上。图16表示出处在波因凯尔球表面上的纯态的斯托克斯参数。在图16中，只示出波因凯尔球的一个象限1602。直线1604-1606分别表示正交坐标轴S1，S2，和S3，坐标为(S₁，S₂，S₃)的点1608处在波因凯尔球的表面上。波因凯尔球具有单位半径：

$S_1^2+S_2^2+S_3^2=1$

对处在波因凯尔球表面上的纯态，参数S₃与参数S₁和S₂的关系如下：

通过定义所有密度矩阵

的下述实值函数：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)={-\log }_2\left(\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+{\mathrm{iS}}_2|}^2}}{2}\right)$

可以阐述如下定理：

定理1.用密度矩阵所描述的系统的最小熵是

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

定理1的证明在后面的附录中给出。定理1表示用来产生二进制数序列的状态密度矩阵的测量对对于，如Eve，能够得到的信息量有一个上限。Barak等的参考文献表明，已知具有最小熵H_Min的n个二进制数的序列，就能抽出m个随机二进制数，这里m<n。m个随机二进制数根据某一分布进行分配，这一分布可人为地接近二进制数的均匀分布。

图17表示出代表本发明用来产生随机二进制数诸多实施方案中之一个方案的控制流程图。在步骤1702，调入例程“断层分析”。例如程序断层分析是确定密度矩阵

和最小熵

的一种方法。在步骤1704，调入例程“产生原始二进制数序列”，它产生如上面参照图14所述的n个随机二进制数的原始序列

在步骤1706，调入例程“筛选[原始二进制数序列”，它利用在步骤1702中确定的最小熵H_Min从序列消除偏移并产生m个随机二进制数的较小序列

在步骤1708，输出随机二进制数序列

图18示出图17中在步骤1702调入的例程“断层分析”的控制流程图并代表了本发明许多实施方案中的一个方案。在步骤1802开始的循环回路中，重复步骤1803-1806以便在步骤1810产生密度矩阵

和在步骤1812产生最小熵

在步骤1803，调整极化控制器如图11中的FSPC1104和1106使取决于指数i的预定值匹配。在步骤1804，产生原始计数序列，如上面参照图13所述。在步骤1805，保持四种不同原始计数的连续均分。在步骤1806，使指数i增值。在步骤1808，当指数i大于(4^b-1)时，控制通至步骤1810，否则重复步骤1803-1806。在步骤1810，如James等的参考文献所述，建立密度矩阵

在步骤1812，使用密度矩阵建立最小熵

图19示出图17在步骤1704中调入的例程“产生原始二进制数序列”的控制流程图并代表了本发明诸多实施方案中之一个方案。在步骤1902开始的回路中，重复步骤1902-1908直至对应于原始序列长度的指数i等于或大于预先指定的长度N。在步骤1902，产生M个原始计数。在步骤1903，确定对应于“0”和“1”的原始计数的平均值。在步骤1904，使用这些平均来计算对光纤引入的二次光折射缺陷进行检测的错误信号。在步骤1905，使用错误信号调整FSPC并纠正二次光折射误差。系统控制装置包括能使系统控制装置调整在光纤中所传输之光子对的极化状态的软件或固件。，Shimizu等人的“Highly Practical Fiber SqueezerPolarization Controller”J.of Lightwave Technology，Vol.9，No.10(1991)(光波技术杂志，第9卷，第10期(1991)，“高度实用纤维挤压极化控制器”)描述了控制光子极化状态的FSPC的工作。在步骤1906，通过舍弃对应于无信号或错误的原始计数对原始计数进行筛选，从而留下随机二进制数的原始序列，如上面参照图14所述。在步骤1907，将二进制数原始序列加到序列上。在步骤1908，将长度指数i增值。在步骤1909，当指数i大于或等于N时，控制通到步骤1902，否则输出随机二进制数的原始序列。

图20为图17步骤1706中调入的例程“筛选原始二进制数序列”的控制流程图，其代表本发明诸多实施方案中之一个方案。在步骤2002，输入在图19例程“产生原始序列”中所产生的随机二进制数的原始序列。在步骤2004，输入在图18例程“断层分析(tomographic analysis)”中所产生的最小熵。在步骤2006，如Barak参考文献所述，建立托普里茨矩阵T_nxm。在步骤2008，确定如上面参照图14所示的序列并将其在图17步骤1708中输出。

根据Barak等的参考文献，能够从n个随机二进制数的原始序列抽出的二进制数最大数目是：

$m=\mathrm{kn}-4{\log }_2\left(\frac{1}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)-2$

式中ε是m个二进制数的分布与均匀分布之间的统计距离。统计距离在数学上定义为：

$\mathrm{\&epsiv;}=\frac{1}{2}\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}|\mathrm{Pr}(X=a)-\mathrm{Pr}(W=a)|$

式中X和W表示不同的分布。产额Y是能够从随机二进制数的原始序列得到的随机二进制数的比值m/n。为检验用来抽取随机二进制数序列

的方法，使用统计距离ε＝2^-35和最小熵0.38曾产生了由QRNG1100所产生的n＝3200个原始二进制数的序列。得到的产额为0.33。原始二进制数的统计距离和数量利用QRNG1100算符能够加以改变以调节不同的安全性需求和计算资源。

在本发明可供选择的实施方案中，断层分析还能够应用到基于使用单光子态的光子束产生随机数序列的QRNG。图21图示出使用单光子态产生随机数序列并代表本发明实施方案的基于光的QRNG2100。如图21所示，QRNG2100包括输入状态发生器2102，FSPC2104，极化分束器2106，两个光子检测器2108和2100，分析器2112，以及系统控制装置2114。光纤，如光纤2116，将输入状态发生以2102与FSPC2104相连接并将FSPC2104与分束器2106相连接。光纤还将分束器2106与检测器2108和2110相连接。电信号线，如信号线2118，将检测器2108和2110与分析器2112相连接，将分析器2112与系统控制装置2114相连接，以及将系统控制装置2114与FSPC2104相连接。

输入状态发生器2102产生并按顺序地输出处在由下式给出的垂直和水平状态线性叠加中的光子：

|ξ>＝a|H>+b|V>

其中|a|²+|b|²＝1。分束器2106将极化态|V>反射至检测器2108并将极化态|H>传输至检测器2110。每个光子在理论上保持在状态|ξ>直至在检测器2108和2110被检测到。当在检测器2108和2110检测光子时，分析器将识别哪一个检测器检测到光子的脉冲传输至系统控制装置2114。

如上面参照图13所述，分析器2112传输对不同种类的原始计数进行识别的信息。

如上面在对手方案中所述，Eve想要通过制备处在如下状态的光子来产生二进制数的偏移序列，此状态是：

|ξ_i>＝a_i|H>+b_i|V>

其中

|a_i|²+|b_i|²＝1，

0≤|a_i|²≤1，和

0≤|a_i|²≤1

在Alice对处在Eve所提供的统计混合纯态|ξ>中的n个光子进行断层分析时，最小熵由下式给出：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&xi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&xi;}}_i\left|\right)}^n\right)=-n\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\log }_2\left(\max ({\mathrm{Pr}}_H\&CenterDot;\&CenterDot;\left(\right|{\mathrm{\&xi;}}_i\&rang;),{\mathrm{Pr}}_V\left(\right|{\mathrm{\&xi;}}_i\&rang;))\right)$

式中

${\mathrm{Pr}}_H\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|a_i\right|}^2,$ 和

${\mathrm{Pr}}_V\left(\right|{\mathrm{\&xi;}}_i\&rang;)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|b_i\right|}^2$

能够利用上面参照图17-20所说明的方法使用QRNG2100产生随机二进制数序列

在本发明可供选择的实施方案中，变量丢失可加到QRNG1100和2100以便在检测器调整与极化状态相关的概率。例如，图22图示出包括变量丢失并代表本发明实施方案的基于光的QRNG2200。如图22中所示，QRNG2200与图11中的QRNG1100相同，只是QRNG2200包括了变量丢失2202和2204。变量丢失由系统控制装置1118根据检测到的“0”和“1”的个数的平均数进行调整。例如，在所检测到的“0”的个数的平均数大于所检测到的“1”的个数的平均数时，系统控制装置1118就把变量丢失引向减小状态|V>₁中的光子数，其作用是减小在状态|V₁H₂>中所检测的光子对数。通常，利用变量丢失对状态|ψ_i>所进行的运算能够用下式表示：

$|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;={\mathrm{\&alpha;}}_i|H_1{V}_2\&rang;+{\mathrm{\&beta;}}_i|V_1{H}_2\&rang;$

$\&RightArrow;\frac{1}{\sqrt{2}}|H_1{V}_2\&rang;+\frac{1}{\sqrt{2}}|V_1{H}_2\&rang;$

因此，变量丢失增大了最小熵。密度矩阵是：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3\end{array}\right]$

以及最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)={\text{-log}}_2\left(\frac{1+\sqrt{1-{4C}^2}}{2}\right)$

的光子对被称为是“未修正的光子对”，式中C＝|S₁+iS₂|²。假定1+S3≥1-S₃，修正光子对的状态需要把丢失加在其中一个通道上。例如，如果矩阵元1+S₃代表与状态|H₁V₂>中光子对相关的概率，变量丢失就加到传输极化态|H>₁的光纤。哪个极化态接收变量丢失并不是唯一的。变量丢失也能够加到传输极化态|V>₂的光纤同样地降低检测状态|H₁V₂>中光子对的概率。为了对输入状态发生器1102中所产生的缠结状态进行修正或使用其无偏，丢失系数：

$\mathrm{\&eta;}=\frac{1-S_3}{1+S_3}$

是需要的。无偏状态的归一化密度矩阵是：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S^{\&prime;}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}(1+S_3)\frac{1+\mathrm{\&eta;}}{2}& (S_1-{\mathrm{iS}}_2)\frac{1+\mathrm{\&eta;}}{2\sqrt{\mathrm{\&eta;}}}\\ (S_1+{\mathrm{iS}}_2)\frac{1+\mathrm{\&eta;}}{2\sqrt{\mathrm{\&eta;}}}& (1-S_3)\frac{1+\mathrm{\&eta;}}{2\mathrm{\&eta;}}\end{array}\right]$

其相关最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S^{\&prime;}\right)={\text{-log}}_2\left(\frac{1+\sqrt{1-C^2\frac{{(1+\mathrm{\&eta;})}^2}{\mathrm{\&eta;}}}}{2}\right)$

在未修正状态的情况下，能够得到的随机二进制数的份额是：

$Y_U=H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)-K_e$

式中K_e为筛选Barak等文献中所说明的随机二进制数原始序列时而引入的附加项。将丢失η考虑进去时，产额为：

$Y_U={\mathrm{\&eta;}}_I\frac{2\mathrm{\&eta;}}{\mathrm{\&eta;}+1}{H}_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S^{\&prime;}\right)-K_e$

虽然通过具体的实施方案已经对本发明作了说明，但其意图并不是要将本发明限制了这些实施方案。本发明构思内的改进对本领域普通技术人员将是显而易见的。在本发明可供选择的实施方案中，本领域普通技术人员会认识到能够使用其他光量子系统，如“该路径”量子位和时间仓量子位，来代替极化状态。例如，能够使用输入状态发生器2102产生随机极化的光子，而用50:50分束器代替极化分束器2106。换言之，能够使用输入状态发生器2102和50:50分相器产生“该路径”光量子位系统。此外，可以修改本发明的系统实施方案用时间仓量子位进行运算。在本发明可供选择的实施方案中，除了使用图11QRNG1100中处在贝尔态|ψ_i>的光子对以外，还能够使用处在以下贝尔状态：

$|{\mathrm{\&psi;}}_{-}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|H_1{V}_2\&rang;-|V_1{H}_2\&rang;),$

$|{\mathrm{\&psi;}}_{+}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|H_1{V}_2\&rang;+|V_1{H}_2\&rang;),$ 和

$|{\mathrm{\&phi;}}_{-}\&rang;=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|H_1{V}_2\&rang;-|V_1{H}_2\&rang;),$

中任一状态的光子对。符合箱1116可以进行重新配置使得以如上任一贝尔状态产生的光子能够用来产生随机二进制数序列。在本发明可供选择的实施方案中，用来实现图11中QRNG 1100和图21中QRNG2200的光纤能够用由反射镜导向的光束来代替。例如，图23图示出使用充束和反射镜并代表本发明实施方案的基于光的QRNG2300。在图23中，QRNG2300使用反射镜，如反射镜2302，使从输入状态发生器1102输出的电磁辐射光子束导向。

上面的说明为了解释起见使用了专门用该以提供对本发明的透彻理解。不过，对本领域普通技术人员将会显而易见，为实践本发明不需要具体的细节。提供本发明具体实施方案的上述说明为的是进行解释和说明。上述这些说明并不是要彻底讨论本发明或是将本发明限制在所揭示的准确形式。显然，鉴于以上讲授，诸多修正和变动都是可能的。展示和说明这些实施方案是为了更好地阐述本发明的原理及其实际应用，从而使本领域的其它普通技术人员能够更好地利用本发明以及适合所设想具体应用的具体各种不同改进的种种实施方案。希望用后面的权利要求及其同等要求来限定本发明的范围。

附录

定理1。用密度矩阵

描述的系统的最小熵为：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

为了说明定理1的证法，要说明下述三个助定理的证法。

助定理1。对每个纯态|ψ>存在：

H_Min(|ψ><ψ|)＝f(|ψ><ψ|)

通过对Pr_HV>1/2，Pr_HV<1/2及Pr_HV＝1/2证明下式：

$\max ({\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}},1-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}})=\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+{\mathrm{iS}}_2|}^2}}{2}$

来说明助定理1的证法。首先，因为|ψ>是纯态，如上面参照图15所说明，相关的斯托克斯参数与波因凯尔球表面上某一点相对应，特别是参数S₁和S₂由下式给出：

$S_1=\sqrt{{4P}_{\mathrm{HV}}(1-P_{\mathrm{HV}})}\cos \mathrm{\&theta;}$

$S_2=\sqrt{{4P}_{\mathrm{HV}}(1-P_{\mathrm{HV}})}\sin \mathrm{\&theta;}$

将S₁和S₂代入右侧得到：

$\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+{\mathrm{iS}}_2|}^2}}{2}=\frac{1+\sqrt{1-{4\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}(1-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}})}}{2}$

$=\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}|$

当Pr_HV>1/2时，左侧简化成：

max(Pr_HV，1-Pr_HV)＝Pr_HV，

而右侧简化成

$\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}|=\frac{1}{2}+{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}-\frac{1}{2}={\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}$

当Pr_HV>1/2时，左侧简化成：

max(Pr_HV，1-Pr_HV)＝1-Pr_HV

右侧简化成

$\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}|=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}=1-{\mathrm{Pr}}_{\mathrm{HV}}$

最后，对没有价值的情况，即当Pr_HV>1/2时，左侧和右侧都简化成1/2。

助定理2。用含 $S_3^{\&prime;}=\sqrt{1-S_1^2-S_2^2}$ 的密度矩阵：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3^{\&prime;}& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3^{\&prime;}\end{array}\right],$ 和

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3^{\&prime;}& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3^{\&prime;}\end{array}\right]$

表示的两个纯态|ψ₁>和|ψ₂>是密度矩阵：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3& S_1-{\mathrm{iS}}_2\\ S_1+{\mathrm{iS}}_2& 1-S_3\end{array}\right]$

的分解矩阵。

助定理2的证法：密度矩阵表示的纯态是对角矩阵元满足：

p₁+p₂＝1，和

$p_1-p_2=\frac{S_3}{S_3^{\&prime;}}$

的矩阵的分解矩阵。

根据助定理1，由于|ψ₁>和|ψ₂>均为纯态，故存在：

$H_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=H_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

此外，根据上面对 $H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)}^n\right)$ 的方程，在n＝1时：

$H_{\mathrm{Min}}\left(p_1\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1|+p_2|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

$=p_1{H}_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_1\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\right)+p_2{H}_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_2\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

$=(p_1+p_2)f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

$=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

定理3。函数

是波因凯尔球上斯托克斯参数S₁，S₂，S₃的凸园函数。

助定理3的证法 

的海斯矩阵(Hessian matrix)本征值在域(1/2，1)为非负值。

定理的证法 根据凸园函数：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&le;\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_{i}f\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)$

对

每个分解矩阵的特性，将助定理1的结果代入并使用上式 $H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)}^n\right)$ 给出：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&le;H_{\mathrm{Min}}\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i\&rang;\&lang;{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)$

这表示

最小熵的下限。但是，根据助定理2，至少有一个

的分解矩阵对其存在：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

因此，等于H_Min对

所有分解矩阵的最小值。证明完毕。

Claims (10)

1.用于产生随机数序列的基于光的自鉴别系统，该系统包括：

输入状态发生器(1102，2102)，其产生处在线性叠加状态的光量子系统；

检测器(1112-1115，2108，2110)，其测量光量子系统的状态；

系统控制装置(1118，2114)，它对从测量光量子系统的状态所得到的结果进行计算来确定是否将与此结果相关的数附加到随机数序列；及

状态控制器(1104，1106，2104)，其处在输入状态发生器(1102，2102)与检测器(1112-1115，2108，2110)之间，工作上由系统控制装置(1118，2114)进行控制以便根据从测量光量子系统的状态所得到的结果来保持光量子系统的状态。

2.根据权利要求1所述的系统，其中在线性叠加状态中的光量子系统属下列情况之一：

在线性叠加极化状态的单个光子；

在贝尔态的光子对；

该路径光子；

在缠结状态的该路径光子；

时间仓光子；及

在缠结状态的时间仓光子。

3.根据权利要求1所述的系统，该系统还包括处在输入状态发生器(1102，2102)与检测器(1112-1115，2108，2110)之间的变量丢失(2202，2204)，其在运算上由系统控制装置(1118，2114)控制以平衡与测量光量子系统状态相关的概率。

4.根据权利要求1所述的系统，该系统还包括用于传输光量子系统的通道，其中通道为下述之一：

光纤(1120，1122，2116)；及

自由空间。

5.根据权利要求1所述的系统，其中所述状态控制器(1104，1106，2104)还包括保持光量子系统极化状态的一个或多个纤维挤压极化控制器，所述检测器还包括一或多个光子检测器。

6.产生随机数序列的方法，该方法包括：

产生线性叠加状态的光量子系统；

对光量子系统进行状态测量；

根据光量子系统的状态确定随机数；

重复步骤：产生、进行、确定，以便产生原始二进制数序列；及

对光量子系统进行断层分析以便得到能够用来从原始随机数序列抽取出随机数序列的最小熵。

7.根据权利要求6所述的方法，其中产生线性叠加中的光量子系统还包括产生一个或多个：

线性叠加极化态的单个光子；

贝尔态的光子对；

该路径光子；

缠结状态的该路径光子；

时间仓光子；及

缠结状态的时间仓光子。

8.根据权利要求6所述的方法，还包括当从测量得到的结果与处在线性叠加状态的光量子系统相符合时将随机数附加到随机数序列，以及当从测量得到的结果与处在缠结状态的光量子系统不相符合时不把随机数附加到随机数序列。

9.根据权利要求6所述的方法，其中进行断层分析还包括确认：是否产生具有期望量子态的光量子系统。

10.根据权利要求6所述的方法，其中最小熵由下式给出：

$H_{\mathrm{Min}}\left(X\right)\&equiv;{-\log }_2\left(\underset{x\&Element;X}{\max }\mathrm{Pr}\left(x\right)\right)$

式中

X是随机变量；

Pr(x)是事件x的概率；及

表示对X中的每一事件x的最大概率Pr(x)。

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