JP5096457B2 - 光学ベースの自己検証量子乱数発生器 - Google Patents

Description

本発明は乱数発生器に関し、詳細には、量子光学系の特性を用いて乱数列を生成する方法及びシステムに関する。

乱数は、ほんの数例を挙げると、ゲームプレー、統計的サンプリング、積分方程式の計算、粒子輸送計算、統計物理学における計算を含む多数の分野において用途を有する。結果として、乱数を用いる方法及びシステムにおいて、乱数発生器（「ＲＮＧ」）が重要な位置を占める。たとえば、ＲＮＧは、安全システムの重要な構成要素であり、暗号技術のための鍵を生成するために広く用いられる。理想的なＲＮＧは、予め予測することができず、且つ確実に再現することができない数を生成する。言い換えると、ＲＮＧは理想的には、偏りのない乱数列を生成する。しかしながら、一般的に用いられる数多くのＲＮＧは、見せかけの乱数列を生成するか、偏った数列を生成しがちであるかのいずれかである。

公式及び／又は数値演算による方法を用いて、見せかけの乱数列を生成するために、ＲＮＧはソフトウエアで実施されてきた。ソフトウエアベースのＲＮＧは「擬似乱数発生器」と呼ばれる。なぜなら、同じ初期パラメータを用いると、公式によって擬似乱数列を予測し、再現できるようになるからである。再帰的レーマ擬似乱数発生器（「ＬＰＮＧ」）が、一般的に用いられる擬似乱数発生器の一例であり、以下の式によって与えられる。
ｘ_n+1＝Ａｘ_n＋Ｃ（ｍｏｄ Ｍ）
式中、ｘ_nは、乱数列のｎ番目の数であり、Ａ、Ｃ及びＭは、ＬＰＮＧによって生成される数列がランダムに見えるのを確実にするために調整することができるパラメータである。典型的には、Ｍは擬似乱数列を計算するために用いられるコンピュータのワードサイズを割り当てられ、ｘ₀は、シードであり、素数を割り当てられる。たとえば、Ａ、Ｃ及びＭにそれぞれ値２１、１及び３２（５ビット）を割り当て、ｘ₀に素数１３を割り当てると、ＬＰＮＧは、１３、１８、２７、２４、２５、１４、７等の整数の擬似乱数列を生成する。代替的には、擬似乱数発生器が起動される度に、擬似乱数発生器に、コンピュータシステムクロックによって生成される時刻を供給してもよい。しかしながら、システムクロックによって与えられる時刻を用いる場合であっても、擬似乱数発生器が起動されたときの時刻を特定することができるため、絶対的に信頼できるものではない。

原子系、分子系及び電気系によって生成される熱雑音において観測されるカオスゆらぎから乱数列を生成するために、ハードウエアベースのＲＮＧも開発されている。たとえば、電気導体の中に流れる電流によって熱雑音が生成され、それは、電圧平衡ゆらぎを測定することによって、乱数列の発生源として用いることができる。電圧が印加されても、されなくても、導体内の電子のランダム運動のために熱雑音が生じる。しかしながら、ハードウエアベースのＲＮＧによって用いられる系は環境変化の影響を受けやすいため、ハードウエアベースのＲＮＧは必ずしも乱数列の信頼性のある発生源であるとは限らない。たとえば、乱数列を生成するために用いられる、電気雑音ベースのＲＮＧは、その系の温度を変更することによって偏ることがある。さらに、ハードウエアベースのＲＮＧによって生成される数列のランダム性を検証するために典型的に用いられる方法は、ソフトウエアベースの決定論的方法であり、その方法は、その数列が統計的に良好に振舞うか否かを判定するために用いることができるが、その数列のランダム性を評価することができない。

「量子乱数発生器」（「ＱＲＮＧ」）と呼ばれる別のタイプのＲＮＧは、量子系の量子力学的特性に基づく。ＱＲＮＧは典型的には、同一の量子系において測定を実行することによって乱数を生成するために用いられる。各測定は、各量子系の状態を、測定が実行される時刻において取り得る数多くの状態のうちの１つに射影する。測定によって判定される状態は数に関連付けられる。このようにして生成される数は真にランダムである。なぜなら、量子力学の標準的な解釈によれば、測定方法及び測定システムをいくら改良しても、この不確定性を克服することはできないためである。結果として、ＱＲＮＧは、乱数列を生成するのに極めて望ましいシステムである。

ＱＲＮＧを実現するために、｜０＞及び｜１＞によって表される、２つの離散した状態のみを含む量子系を用いることができる。２状態量子系の例は、電磁界の任意の２つの光子状態又はエネルギー状態、電磁界の垂直偏光状態及び水平偏光状態、及び電子又は原子核の２つのスピン状態を含む。２つの離散した状態を有する量子系は「キュービット系」と呼ばれ、「キュービット基底状態」と呼ばれる状態｜０＞及び｜１＞は、集合表記において｛｜０＞，｜１＞｝として表すこともできる。キュービット系は、状態｜０＞や、状態｜１＞や、両方の状態｜０＞及び｜１＞を同時に含む無数の状態のうちの任意の状態で存在することができる。状態｜０＞及び／又は｜１＞を含むいずれの状態も、数学的には、状態の線形重ね合わせとして表すことができる。
｜ψ＞＝α｜０＞＋β｜１＞
式中、状態｜ψ＞は「キュービット」と呼ばれ、パラメータα及びβは以下の条件を満たす複素数値係数である。
｜α｜²＋｜β｜²＝１
｜０＞及び｜１＞が、状態｜ψ＞にあるキュービット系上について実行される測定によって決定される２つの取り得る状態であるとき、状態｜０＞にあるキュービット系を見つける確率は｜α｜²であり、状態｜１＞にあるキュービット系を見つける確率は｜β｜²である。測定は、基底｛｜０＞，｜１＞｝にあるキュービット系について実行されると言われる。

キュービット系に関連付けられる無数の状態は、「ブロッホ球」と呼ばれる、単位半径の３次元球によって幾何学的に表すことができる。

式中、０≦θ＜πであり、０≦φ＜２πである。

図１はキュービット系のブロッホ球表現を示す。図１に示されるように、線１０１〜１０３はそれぞれ、直交するｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸であり、ブロッホ球１０６が原点を中心にして位置する。ブロッホ球１０６上には無数の点があり、各点はキュービット系の１つの固有状態を表す。たとえば、ブロッホ球１０６上の点１０８はキュービット系の１つの固有状態を表しており、それは、部分的に状態｜０＞、及び部分的に状態｜１＞を同時に含む。しかしながら、キュービット系の状態が基底｛｜０＞，｜１＞｝において測定されると、キュービット系の状態は状態｜０＞１１０上に、又は状態｜１＞１１２上に射影される。

図２は、仮想的な単一偏光ビームスプリッタベースのＱＲＮＧ２００を示す。ＱＲＮＧ２００は、偏光ビームスプリッタ２０２と、２つの光子検出器２０４及び２０６と、光子源２０８とを備える。ビームスプリッタ２０２は、２つのプリズム２１２と２１４との間に狭持される多層誘電体薄膜２１０を備える。ビームスプリッタ２０２は、１つの入力チャネル２１６と、２つの出力チャネル２１８及び２２０とを備える。チャネル２１６、２１８及び２２０は、光ファイバ又は自由空間のいずれかを表す。ビームスプリッタ２０２は、垂直偏光電磁放射を反射し、水平偏光電磁放射を透過する。光子源２０８は、以下のように、偏りがない、状態のコヒーレントな線形重ね合わせで表される電磁放射の単一光子を出力する。

式中、｜Ｖ＞は光子の垂直偏光状態を表し、｜Ｈ＞は光子の水平偏光状態を表す。

垂直偏光状態｜Ｖ＞及び水平偏光状態｜Ｈ＞は、単一光子量子系の直交する基底状態である。光子検出器Ｄ₁２０４又は光子検出器Ｄ₂２０６のいずれかにおいて光子が検出されるまで、光子は状態｜χ＞のままである。状態｜χ＞の係数の二乗は、検出器Ｄ₁２０４において光子を検出する確率が１／２であり、検出器Ｄ₂２０６において光子を検出する確率が１／２であることを示す。結果として、いずれかの光子検出器における光子の検出はランダムな事象である。

ＱＲＮＧ２００を用いて、２進数の乱数列を生成することができ、それを、ｎビットワードの乱数列に分割することができる。このｎビットワードの乱数列を、様々な乱数の用途において用いることができる。たとえば、ＱＲＮＧ２００を用いて、以下のように、０〜３１の整数の乱数列を生成することができる。検出器Ｄ₂２０６によって光子が検出されると、２進数「１」が２進数列に追加され、検出器Ｄ₁２０４によって光子が検出されると、２進数「０」が同じ２進数列に追加される。状態｜χ＞を３０回生成することによって、以下の２進数の乱数列が生成されるものと仮定する。
０００１１０１０１０１１１００１０１０１０１１１１００１００
２進数の乱数列を５ビットワードに分割して、２進法の乱数列０００１１、０１０１０、１１１００、１０１０１、０１１１１及び００１００を与えることができ、その後、それらを１０進法の対応する整数の乱数列３、１０、２８、２１、１５及び４にそれぞれ変換することができる。

ＱＲＮＧ２００は乱数列を生成する好都合の方法及びシステムを提供するように見えるが、ＱＲＮＧ２００は、光子源２０８に手を加えることによって、擬似乱数列を生成する場合がある。たとえば、光子源２０８の制御権を有する敵対者は、光子源２０８を偏らせることによって、以下の状態によって表される光子を出力することができる。

結果として、ＱＲＮＧ２００は偏った２進数列を生成する。その場合に、２進数の約２／３が、「１」に等しく、２進数の約１／３が「０」に等しい。さらに、ＱＲＮＧ２００のようなデバイスによって生成される数列のランダム性を検証するのに典型的に用いられる方法は、多くの場合に、ソフトウエアベースの決定論的方法であり、それは、上記のように真のＲＮＧではないため、数列のランダム性を検証するのに信頼性がない。物理学者、暗号研究者、コンピュータ科学者及び量子情報使用者は、乱数列を確実に生成することができ、量子系の非決定論的な特性を利用する方法を用いて、乱数列内の偏りを検出し、検証し、補正することもできるＱＲＮＧの必要性を認識している。

本発明の様々な実施形態は、量子乱数発生器を用いて乱数を生成するための方法及びシステムを対象とする。本発明の一実施形態では、量子乱数発生器は、エンタングルした状態にある第１の光量子系及び第２の光量子系を生成する入力状態発生器と、第１の光量子系の状態及び第２の光量子系の状態を測定する検出器と、第１の光量子系の状態及び第２の光量子系の状態を測定することから得られた結果を評価し、その結果に関連する数を乱数列に付加するか否かを判定するシステムコントロールとを備える。その量子乱数発生器はさらに、入力状態発生器と検出器との間に配置され、第１の光量子系及び第２の光量子系について実行された先行する測定から得られた結果に基づいて、エンタングルした状態を保持するためにシステムコントロールによって動作を制御される状態コントローラも備えることができる。

本発明の様々な実施形態は、２進数の乱数列を生成するために用いることができる、光学ベースの（すなわち、光学技術を利用する）自己検証ＱＲＮＧに関する。本発明の実施形態は、数列のランダム性を評価及び検証し、偏った２進数を除去するための量子力学に基づく方法を含む。本発明の実施形態は事実上数学的であり、このため、数多くの式及び数多くの図解表示を参照しながら以下に説明される。数式はそれのみで、量子光学及び量子情報の分野の当事者に対して、本発明の実施形態を完全に記述し、特徴付けるのに十分であるかもしれないが、様々な背景を有する読者が本発明を利用できるように、以下の説明に含まれる、より図式的で、問題に合わせた例及び制御フロー図の手法は、本発明の様々な実施形態を様々な異なる方法で示すことを意図している。また、読者が本発明の様々な実施形態の説明を理解するのを助けるために、物理学における関連するトピックスを概説するサブセクションが提供される。第１のサブセクションでは、量子力学の概説が提供される。第２のサブセクションでは、電磁放射及び量子光学の概説が提供される。第３のサブセクションでは、量子エンタングルメントの概説が提供される。第４のサブセクションでは、偏光状態及びストークスパラメータの概説が提供される。最後に、第５のサブセクションでは、本発明の様々なシステム及び方法の実施形態が記述される。

量子力学の概説
本発明の実施形態は量子力学の概念を利用する。Claude Cohen-Tannoudji、Bernard Diu及びFrank Laloeによる教本「Quantum Mechanics, Vol. I and II」（Hermann, Paris, France, 1977）は、量子力学の分野のための数多くの参考文献のうちの１つである。このサブセクションでは、本発明の実施形態に関係する量子力学のトピックスが記述される。さらに詳しい事柄は、上記で参照された教本から、又は量子力学に関連する他の多くの教本、論文及び雑誌記事から入手することができる。

量子力学は、光子、電子、原子及び分子を含む系の観測された挙動、原子及び亜原子のレベルをモデル化する。量子系は離散した状態において存在し、その状態は、離散的な測定可能な量によって特徴付けられる。量子系の状態はケットによって表され、｜Ψ＞で示される。ここで、Ψは量子系の状態を表すラベルである。たとえば、電子は２つの固有のスピン角運動量状態を有し、それらの状態は２つの測定可能なスピン角運動量値

に対応する。ここで、

は約１．０５４６×１０^-34Ｊｓである。スピン角運動量値

に対応するスピン状態は「スピンアップ」と呼ばれ、｜↑＞で表され、スピン角運動量値

に対応するスピン状態は「スピンダウン」と呼ばれ、｜↓＞で表される。様々な異なるラベルを、様々な異なる量子状態に割り当てることができる。たとえば、スピンアップ状態｜↑＞はケット｜１／２＞、スピンダウン状態｜↓＞はケット｜−１／２＞によって表すこともできる。また、全く異なる量子系における異なる状態を表すために、ただ１つのラベルを用いることもできる。たとえば、ケット「｜１＞」は、二原子分子の第１の量子化された振動準位を表すことができ、以下のサブセクションにおいて説明されるように、単一光子を表すために用いることもできる。

電子のスピン角運動量のような、量子系の測定可能な量を求めるために用いられる測定は、演算子

によって表される。ここで、符号「＾」は演算子を表す。一般的に、演算子は、以下のように、左からケットに作用する。

式中、

は観測された量子状態を表すケットである。典型的には、演算子

は「固有状態」と呼ばれる１組の状態に関連付けられる。固有状態は、｜ψ_i＞として表され、以下の特性を有する。

式中、ｉは負でない整数であり、ψ_iは「固有値」と呼ばれる実数値であり、量子系が固有状態｜ψ_i＞にあるときに観測される離散した測定可能な量に対応する。たとえば、ｚ軸に平行な電子のスピン角運動量を求めるために用いられる測定は、

によって表され、観測されるスピン角運動量値の固有値−固有状態表現は以下のとおりである。

演算子の固有状態は、「状態空間」と呼ばれる複素ベクトル空間に張る複素ベクトルである。状態空間に属するあらゆる状態が基底に関する固有の線形重ね合わせを有する場合には、固有状態はベクトル空間の基底を構成する。たとえば、演算子

のＮ個の固有状態｛｜ψ_i＞｝で張られる状態空間内の状態｜Ψ＞は、以下のように、固有状態の線形重ね合わせとして書くことができる。

式中、ｃ_iは「振幅」と呼ばれる複素数値係数である。演算子に関連付けられる状態空間は、「ヒルベルト空間」とも呼ばれる。ヒルベルト空間は、「内積」と呼ばれる数学演算を含む。２つの状態｜Ψ＞及び｜Ξ＞の内積は以下のように表される。
＜Ξ｜Ψ＞
式中、＜Ξ｜は「ブラ」と呼ばれ、状態｜Ξ＞の複素共役転置を表す。内積は以下の特性を有する。
＜Ξ｜Ψ＞＝＜Ξ｜Ψ＞^*
式中、「^*」は複素共役を表す。ヒルベルト空間の基底固有状態は正規直交であり、すなわち数学的な表記では、以下のようになる。
＜ψ_i｜ψ_j＞＝δ_ij
式中、δ_ijは、ｉがｊに等しいときに１であり、そうでない場合には０である。たとえば、単一電子ヒルベルト空間の固有状態の内積は以下のようになる。
＜↑｜↑＞＝＜↓｜↓＞＝１、及び
＜↑｜↓＞＝＜↓｜↑＞＝０
ヒルベルト空間の固有状態の正規直交性を用いて、状態｜Ψ＞の線形重ね合わせの係数を求めることができる。｜Ψ＞と＜ψ_j｜との内積をとることによって、次にように対応する係数が与えられる。

この係数を線形重ね合わせに代入すると、以下の式が与えられる。

｜Ψ＞はヒルベルト空間内の任意のケットであるため、以下の式が成り立つ。

式中、

は恒等演算子である。その総和は「完全性関係」と呼ばれ、固有状態｛｜ψ_i＞｝は「完全である」と言われる。

演算子の固有状態は正規直交列ベクトルによって表すことができ、その演算子は正方行列によって表すことができる。たとえば、演算子

に関連付けられる単一電子ヒルベルト空間の固有状態は、以下の列ベクトルによって表される。

式中、記号「Ｂ」は「〜によって表される」を表す。固有状態の転置複素共役は以下の行ベクトルによって表される。

完全性関係を用いると、基底｛｜ψ_i＞｝に対する演算子

は以下の式によって表すこともできる。

式中、

は行列要素である。基底｛｜ψ_i＞｝に対する演算子

に対応する行列は以下のように表すことができる。

に等しい演算子

の行列表現は、対角要素以外は０を有し、対角要素は固有値｛ψ_i｝である。たとえば、電子スピンｚ軸演算子を以下の式によって与えることができる。

ただし、以下の式が成り立つ。

電子スピン演算子

の行列表現は以下の式によって与えられる。

である場合には、演算子

は「エルミート演算子」と呼ばれる。
対応する行列要素は以下の条件を満たす。

演算子

に対応する測定の前に、量子系は、演算子

の全ての固有状態｛｜ψ_i＞｝に同時に存在すると考えることができ、それは、次のように状態の（純粋状態）線形重ね合わせによって表される。

演算子

に対応する測定は、最初に状態｜Ψ＞にある量子系を固有状態｜ψ_i＞のうちの１つに射影する。言い換えると、量子系に関する測定は基本的にはフィルタリング処理であり、この処理によって、測定の時刻に、量子系の状態が、線形重ね合わせの固有状態のうちの１つになる。たとえば、演算子

に対応する測定の前に未知のスピン配向を有する電子は、状態の線形重ね合わせで次のように表される。

スピン判定測定

は、測定の時刻において、電子の状態を状態｜↑＞又は状態｜↓＞のいずれかに射影する。言い換えると、スピン判定測定直後に、電子は状態｜↑＞又は状態｜↓＞のいずれかにある。

測定の結果として、量子系の状態に相応の不可逆的変化が生じる。不可逆性は、測定が実行される前に、量子系が既に量子状態のうちの１つにあるときにのみ避けることができる。結果として、ただ一度の測定の結果に基づいて、量子系の以前の状態を推測ことはできない。たとえば、スピン測定の結果が

である場合には、測定の時刻において、その系が既に状態｜↑＞にあったか、スピン状態｜↑＞と｜↓＞の線形重ね合わせの状態にあったかを判定することはできない。

量子系の状態が様々な状態｜ψ_i＞のうちのいずれに射影されることになるかを予め知ることはできないが、測定の直後に量子系が特定の状態｜ψ_i＞において見いだされる確率は以下の式によって与えられる。

式中、｜Ψ＞は正規化されており、｜ｃ_i｜²はｃ_i ^*ｃ_iに等しく、結果の確率を与える。たとえば、スピン基底｛｜↑＞，｜↓＞｝におけるスピン判定測定の前に、スピン状態｜↑＞において見いだされる確率が１／２であり、スピン状態｜↓＞において見いだされる確率が１／２である、コヒーレントに準備された電子を考える。スピン判定測定前のそのようなスピン状態にある電子に関連付けられる状態は、以下の式によって表すことができる。

状態｜Ψ＞の線形重ね合わせによって表される量子系に対して実行される測定の期待値は数学的に以下の式によって表され、

これは、以下のように完全性関係を適用することによって求められる。

この期待値は、集合内の量子系についての測定から予想される、重み付けされた固有値平均結果を表す。ここで、量子系の初期状態｜Ψ＞は、集合の各メンバについて同じである。言い換えると、各量子系を表す状態の線形重ね合わせは、測定前には同じである。実際には、そのような集合は、全てが同じ状態にある数多くの同一の独立した量子系を準備することによって、又は同じ状態にある単一の系を繰返し準備することによって実現することができる。期待値は、各測定で得られる値ではないことがあり、それゆえ、測定から得られる固有値と混同されるべきでないことに留意されたい。たとえば、

の期待値は固有値

の間の任意の実数値でありうるが、電子に関する

の実際に測定された値は、個々の測定において常に

のいずれかである。

状態｜Ψ＞にある単一の量子系の期待値は、以下の式によって定義される密度演算子を用いて記述することもできる。

式中、状態｜Ψ＞は「純粋状態」とも呼ばれ、以下に記述される状態の統計的混合とは区別される。密度演算子は、｛｜ψ_i＞｝基底において、「密度行列」と呼ばれる行列によって表され、その行列の行列要素は以下のとおりである。

密度演算子は、量子系の状態を特徴付ける。言い換えると、密度演算子は、状態｜Ψ＞から計算することができる全ての物理的な情報を提供する。たとえば、密度行列の対角行列要素の和は以下の式によって与えられる。

式中、Ｔｒは行列の固有和、すなわち対角要素の和である。たとえば、純粋状態にある２状態量子系

の密度行列は以下の式によって与えられる。

式中、対角要素は、量子系を｜ψ₁＞又は｜ψ₂＞のいずれかに射影することに関連する確率であり、対角以外の要素は、状態｜ψ₁＞と｜ψ₂＞との間の干渉効果を表す。さらに、状態｜Ψ＞にある量子系の期待値は、以下のように表すことができる。

しかしながら、量子系についての情報が不完全である状況も珍しくない。たとえば、量子系が、各々が関連する確率ｐ₁、ｐ₂、ｐ₃、．．．を有する状態｜Ψ₁＞、｜Ψ₂＞、｜Ψ₃＞、．．．のいずれか１つの状態をとることができ、この場合、それらの確率は以下の条件を満たす。

この量子系は、「状態の統計的混合」において存在すると言われる。状態の統計的混合の密度演算子は、以下のように求めることができる。上記のように、純粋状態｜Ψ_i＞にある量子系についての観測可能な

の測定が結果ψ_nをもたらす確率は以下のとおりである。

しかしながら、状態の統計的混合にあるψ_nを観測する確率Ｐｒ_i（ψ_n）を、ｐ_iによって重み付けし、ｉにわたって加算すると、以下の式が得られる。

式中、

は、状態の統計的混合に関連する密度演算子である。関連する密度行列の要素は以下の式によって与えられる。

密度行列の物理的な意味はを、状態の混合を含む２状態量子系について次のように記述される。

対応する密度行列は以下の式によって与えられる。

対角行列要素は、量子系の状態が｜Ψ_i＞であるときに、対角行列要素ρ₁₁が、状態｜ψ₁＞にある量子系を見つける平均確率を表し、対角行列要素ρ₂₂が、状態｜ψ₂＞にある量子系を見つける平均確率を表すことを意味するものと解釈することができる。同一の条件下で同じ測定がＮ回実行されるときには、状態｜ψ₁＞においてＮρ₁₁が見つけられることになり、状態｜ψ₂＞においてＮρ₂₂が見つけられることになる。対角以外の要素ρ₁₂及びρ₂₁は、状態｜ψ₁＞と｜ψ₂＞との間の平均干渉効果を表す。対角行列要素とは異なり、対角以外の行列要素は、積

がいずれも０でない場合であっても、０になりえるが、これは、Ｎ回の測定にわたる平均が、状態｜ψ₁＞と｜ψ₂＞の干渉効果を相殺していることを意味することに留意されたい。

テンソル積は、異なる量子系のヒルベルト空間を合成して、合成された量子系を表すヒルベルト空間を形成する１つの方法である。たとえば、Ｈ_Ψが第１の量子系のヒルベルト空間であり、Ｈ_Ξが第２の量子系のヒルベルト空間である。

によって表されるヒルベルト空間は、合成されたヒルベルト空間を表す。ここで、記号

はテンソル積を表す。演算子

はヒルベルト空間Ｈ_Ψに対応し、演算子

はヒルベルト空間Ｈ_Ξに対応し、それぞれ、以下のように、対応する固有状態についてのみ作用する。

式中、｜ψ＞はヒルベルト空間Ｈ_Ψの状態を表し、｜ξ＞はヒルベルト空間Ｈ_Ξの状態を表す。テンソル積

は、｜ψ＞｜ξ＞、｜ψ，ξ＞、又は｜ψξ＞として短縮して書くことができる。たとえば、原子軌道内にある２つの電子のスピン状態は、合成ヒルベルト空間の基底である。２つの電子は、いずれもスピンアップであるか、いずれもスピンダウンであるか、第１の電子がスピンアップであり、第２の電子がスピンダウンであるか、又は第１の電子がスピンダウンであり、第２の電子がスピンアップであるかのいずれかであり得る。２つのスピンアップ電子の様々なテンソル積表現は、以下の式によって与えられる。

式中、下付き文字１は第１の電子、下付き文字２は第２の電子を指す。

量子力学では、連続する固有値スペクトルを有する測定可能な量もある。対応するヒルベルト空間の次元数は無限であり、離散した量子系に関して上述した特性の多くは、連続する量子系の場合に一般化することができる。連続固有値方程式は以下のとおりである。

式中、ζは連続固有値を表し、ケット｜ζ＞は演算子

の連続固有状態である。たとえば、１次元における非拘束粒子の場合、位置ｑ及び運動量ｐはいずれも、それぞれ位置演算子

及び運動量演算子

の連続固有値であり、−∞〜∞の任意の実数値をとることができる。

連続変数ζの特性は、以下のように一般化することができる。

式中、δ（ζ−ζ’）はデルタ関数であり、以下のような多数の極限表現を有する。

任意の物理状態の状態ケットは、以下のように状態｛｜ζ＞｝に関して拡張することができる。

たとえば、粒子の経路内に、その粒子が位置ｑにあるときに、粒子の位置を出力する検出器を配置するものとする。最初に状態｜α＞にあった系は、測定が行なわれた直後に、スピン検出測定が実行されるときに任意の電子スピン状態が２つのスピン状態のうちの一方に射影されるのと概ね同じように、｜ｑ＞によって表される状態に射影される。連続変数ζの他の特性は以下の式によって与えられる。

運動量演算子

は微分演算子

によって表すこともできる。結果として、位置演算子及び運動量演算子はいずれも、次の正準交換関係を満たす。

式中、ｉ及びｊはｘ、ｙ、ｚデカルト座標のような直交座標を表し、交換子は［Ａ，Ｂ］＝ＡＢ−ＢＡと定義される。

電磁放射及び量子光学の概説
このサブセクションでは、本発明の実施形態に関係する電磁放射及び量子光学の簡単な説明が記述される。教本、M. O. Scully及びM. S. Zubairy著「Quantum Optics」（Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 1997））ならびにR. Loudon著「The Quantum Theory of Light (3^rd Edition)」（Oxford University Press, New York, 2000）は、量子光学の数多くの参考文献のうちの２つである。さらに詳しい事柄は、これらの教本から、又はこの分野における数多くの他の教本、論文及び雑誌記事から入手することができる。

量子光学は、電磁放射への量子力学の適用に関係する物理学の一分野である。完全反射性の壁を有する空洞に閉じ込められた電磁放射が量子化される。量子化された電磁放射を、自由空間内又は光ファイバ内を伝搬する電磁放射のような、より一般的な閉じ込められない光学系に適用することができる。

自由電荷も電流も有しない空洞に閉じ込められた電磁放射は、電界成分

及び磁界成分

を含み、それらの成分は、波動方程式

及び非相対論的クーロンゲージ条件

を満たすベクトルポテンシャル

で関連付けられる。ここで、電界成分及び磁界成分は以下の式によって求められる。

電磁放射は、伝搬していると仮定され、完全反射性の壁を有する、立方体空洞、すなわち量子化空洞によって課せられる周期的境界条件にかけられる。ここで、この壁は長さＬを有する。図３は、立方体空洞３００を示す。直交する軸３０２、３０４及び３０６はｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸を表す。限られた寸法の立方体空洞３００は、波動方程式の解に周期的境界条件を課す。たとえば、ｘ、ｙ及びｚ方向において、ベクトルポテンシャル波動方程式の平面波解は条件

を満たす。式中、

はベクトル（Ｌ，Ｌ，Ｌ）であり、

は「波数ベクトル」と呼ばれ、以下の成分を有する。

式中、ｍ_x、ｍ_y及びｍ_zは整数である。各整数組（ｍ_x，ｍ_y，ｍ_z）は電磁放射のノーマルモードを規定し、波数ベクトル

の大きさｋはω_k／ｃに等しい。ここで、ｃは自由空間内の光の速さを表し、ω_kは角周波数である。現実には、電磁界のノーマルモードのスペクトルは実際には連続であり、波数ベクトル

によって示唆されるノーマルモードの離散スペクトルは、連続スペクトルに対する近似であることに留意されたい。

周期的境界条件を満たす上記の波動方程式に対する伝搬するベクトルポテンシャル解は以下のとおりである。

式中、

は電磁放射の複素振幅であり、

は２単位長偏光ベクトルを表し、
ｍ_x、ｍ_y、ｍ_z＝０、±１、±２、±３、．．．
である。

にわたる和は整数（ｍ_x，ｍ_y，ｍ_z）にわたる和を表し、ｓにわたる和は、各

に関連する２つの独立した偏光にわたる和である。２つの偏光ベクトルは以下の式によって示されるように直交する。

両者の偏光方向がｓの場合に、上記で与えられたゲージ条件から、以下の式が成り立つ。

２つの偏光ベクトル

は、以下の式によって与えられる正規化された波数ベクトルを用いる右手座標系を形成する。

図４は、基底ベクトルとして２つの独立した偏光ベクトル

と、正規化された波数ベクトル

とを用いる３次元右手座標系を示す。図４において、波数ベクトル

及び偏光ベクトル

はそれぞれ、線４０８、４１０及び４１２によって表される座標軸を有する座標系の３つの直交する単位長基底ベクトルである。

ベクトルポテンシャルの伝搬する電界成分及び磁界成分は以下のとおりである。

電界

及び磁界

はいずれも、電界及び磁界の「古典的」表現と呼ばれる伝搬波解であり、互いに直交し、いずれも波数ベクトル

に直交する。

図５は、図４に示される右手座標系における電磁放射の電界成分及び磁界成分を示す。電磁放射は、波数ベクトル

軸に沿って向けられる。電界成分

と磁界成分

はそれぞれ直交する偏光ベクトル

と、

に沿って向けられ、特定の時刻ｔにおいて凍結されるように見える。

電磁放射のエネルギーは、以下のハミルトニアンを数値計算することによって求めることができる。

式中、ε₀は自由空間の誘電率であり、μ₀は自由空間の透磁率であり、Ｖは空洞の体積である。誘電率ε₀は、電界の影響下で、真空空間が電気的ポテンシャルエネルギーを蓄えることができる度合いを表し、透磁率μ₀は、真空が磁束を変更する度合いを表す。非導電性媒体では、誘電率はさらにεを乗算され、それは、媒体が電気的ポテンシャルエネルギーの蓄積を増す度合いであり、また透磁率はさらにμを乗算され、それは、媒体が磁束をさらに増す度合いである。

電界成分

及び磁界成分

を量子化するために、位置

及び運動量

の正準変数が、以下の式を設定することによって、ハミルトニアンに導入される。

結果として、電磁放射に関するハミルトニアンは以下のようになる。

ハミルトニアン内の各項は、振動モード

を有する調和振動子のエネルギーである。式中、項

は運動エネルギーであり、項

は単位質量を有する調和振動子のポテンシャルエネルギーである。ハミルトニアンは、位置変数

を量子力学的位置演算子

で、運動量変数

を量子力学的運動量演算子

で、それぞれ置き換えることによって量子化され、以下の量子ハミルトニアン演算子が与えられる。

消滅演算子及び生成演算子が以下の式によって定義され、

量子ハミルトニアン演算子に消滅演算子及び生成演算子を代入することによって、以下の式が与えられる。

式中、

は「個数演算子」と呼ばれ、

によっても表される。位置演算子及び運動量演算子に関して正準交換関係を用いると、消滅演算子及び生成演算子は、以下の式によって与えられる交換関係を満たす。

電磁放射が量子化されると、振幅

は演算子

になり、これを上記の古典的な電界方程式及び磁界方程式に代入して、下記の電界演算子及び磁界演算子を得ることができる。

電界演算子及び磁界演算子はいずれもエルミート演算子であり、測定可能な電界及び磁界を表す。

磁界の大きさは１／ｃ倍だけ電界よりも小さいため、電界が、帯電した物質との相互作用の大部分の原因となる。結果として、一般的には電界のみを用いて、電磁放射の挙動及び帯電した物質との任意の相互作用が特徴付けられ、磁界成分は無視することができる。

量子計算及び量子情報処理システムは、電磁放射の単一モード

を用いて動作することができる。結果として、電磁放射の単一モードに関するハミルトニアン演算子は、以下の式に変換される。

式中、上記のハミルトニアン内のモード依存演算子

の代わりに、

が用いられる。単一モードハミルトニアンの固有状態及び対応するエネルギー固有値は以下のとおりである。

式中、｜ｎ＞は「個数状態」と呼ばれ、ｎは、「光子数」と呼ばれる負でない整数であり、Ｅ_nはエネルギー固有値である。

消滅演算子及び生成演算子は、以下のように、個数状態に対して作用する。

式中、

は演算子

を表し、「個数演算子」と呼ばれる。個数状態は、個数状態に消滅演算子及び生成演算子を繰返し適用することによって生成することができる。たとえば、個数状態に消滅演算子を繰返し適用することによって、以下のように光子数が減少する。

式中、｜０＞は「真空状態」と呼ばれ、電磁放射の最も低いエネルギー状態を表す。真空状態で開始し、生成演算子を繰返し適用することによって、以下の式が与えられる。

個数状態は直交し、以下の式によって表される完全集合を形成する。

一般的に、個数状態｜ｎ＞に関連付けられるエネルギー固有値方程式は以下のとおりである。

エネルギー固有値方程式に消滅演算子及び生成演算子を適用することによって、以下の式が与えられる。

これは、電磁放射のエネルギー準位がエネルギー量子

だけ離隔して等間隔に配置されることを示している。言い換えると、電磁放射の励起は、「光子」と呼ばれるエネルギーの離散した量

において生じる。光子数ｎは、電磁放射を含む光子

の数を指す。

図６は、量子化された電磁放射のエネルギー準位図である。水平線６０２のような水平線は、電磁放射のエネルギー準位を表す。エネルギー準位６０４は最も低いエネルギー準位であり、真空状態｜０＞に対応する。真空状態のエネルギーは、

、すなわち単一光子のエネルギーの１／２である。電磁放射のエネルギー準位が高くなるのに応じて、それぞれ同じエネルギー量子

だけ分離される。たとえば、エネルギー準位６０６は、

の全電磁エネルギーを有する電磁放射を表し、それは、２つの光子のエネルギーに、真空状態エネルギー

を加えたエネルギーと見なすことができる。消滅演算子は、電磁放射からの１つの光子の除去に対応し、生成演算子は、電磁放射への１つの光子の追加に対応する。たとえば、消滅演算子

は状態｜ｎ＞６０２から低いエネルギー状態｜ｎ−１＞６０８への電磁放射遷移６１０を表す。遷移６１０は、周囲に１つの光子を引き渡すことによって達成される。対照的に、生成演算子

は、状態｜ｎ＞６０２から高いエネルギー状態｜ｎ＋１＞６１２への電磁放射遷移６１４を表す。遷移６１４は、周囲から１つの光子を受け取ることによって達成される。典型的には、周囲は、原子、量子ドット、又は双極子相互作用を通じて場に結合する任意の他の系であり得ることに留意されたい。光子の損失又は吸収は、周囲の系が同時に励起することを伴うことになり、光子の生成又は放射は、周囲の系がそれに応じて脱励起することを伴うことになる。

光子は光子源によって生成され、自由空間を通じて、又は光ファイバ内で伝送することができる。光子源は、単一のパルスを生成するか、又は、各パルスが、波長や方向などの光学特性が全ての光子について同じである１つ又は複数の光子を含むパルス列を生成する、パルス式レーザとすることができる。同じ光学特性を有する光子は「コヒーレント」と呼ばれる。しかしながら、光子源、検出器、及び検出器から光子源を分離する光ファイバのような媒体は光共振器を画定しない。光子源及び検出器は、光エネルギーの著しい反射又は循環を生じない、光エネルギーの連続する一方向への流れを構成する部品である。自由空間又は光ファイバを通じて伝送されるパルスは波束によって記述され、波束は、以下の式によって与えられる時間依存性のガウス形関数によって表すことができる。

式中、ω₀はパルススペクトルの中心周波数であり、ｔは時刻であり、ｔ₀は、波束のピークが光子源からの距離ｚ₀に位置する時刻であり、Δ²は、強度スペクトルの分散である。時刻ｔ₀は、ｚ₀／ｖによって求めることができる。ここで、ｖは自由空間を通じて、又は光ファイバ内を進行するパルスの速度である。

波束ξ（ｔ）はパルスの振幅であり、｜ξ（ｔ）｜²はパルスの光検出確率密度関数であり、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜²は、次の正規化条件を満たす。

光子源からの距離ｚ₀において時間間隔（ｔ₁，ｔ₂）内で１つの光子の光検出の確率は以下の式によって与えられる。

図７は、光子源７０２から出力され、光ファイバ７０４内を検出器７０６まで伝送されるパルスに関連する確率分布を示す。水平線７０８は、光子源７０２から検出器７０６まで光子が進行する距離ｚ₀を表し、水平線７１０は時間軸である。曲線７１２は、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜²を表す。図７では、光検出確率密度関数｜ξ（ｔ）｜²７１２は、時刻ｔ₀に中心があり、それは、パルスが距離ｚ₀を進行するのにかかる時間に対応する。曲線７１２の下の面積は、特定の時間期間内にパルスを検出する確率を表す。たとえば、斜線の領域７１４は、時間期間ｔ₁＜ｔ₀＜ｔ₂内に光子を検出する確率を表す。時間期間７１６は「時間ビン」と呼ばれ、光子が検出器７０６において検出される時間期間に対応する。

時間依存生成演算子を用いて、以下のように、光子波束生成演算子を生成することができる。

生成演算子を用いて、以下のように、自由空間を通じて、又は光ファイバ内を伝送される光子を表す連続モード個数状態を構成することができる。

式中、｜０＞は連続モード真空状態である。連続モード個数状態は、以下の同じ条件を満たす。

結果として、連続モード個数状態を特定するために用いられる下付き文字ξは取り去ることができる。波束で構成される光子はいかなるハミルトニアンの固有状態でもないことに留意されたい。

量子エンタングルメントの概説
第１のサブ量子系及び第２のサブ量子系を含む量子系はヒルベルト空間

を有する。ここで、Ｈ_Aは第１の量子系に関連付けられるヒルベルト空間であり、Ｈ_Bは第２の量子系に関連付けられるヒルベルト空間である。ケット｜ｉ＞_Aは、ヒルベルト空間Ｈ_Aの正規直交固有状態を表し、ケット｜ｊ＞_Bは、ヒルベルト空間Ｈ_Bの正規直交固有状態を表す。ここで、ｉ及びｊは正の整数である。ヒルベルト空間

における状態の任意の線形重ね合わせは以下の式によって与えられる。

式中、振幅ｃ_ijは以下の条件を満たす複素数である。

状態｜Ψ＞_ABの特殊な種類の線形重ね合わせは「直積状態」と呼ばれ、積

によって表される。式中、｜ψ＞_Aは、ヒルベルト空間Ｈ_Aにおける状態の正規化された線形重ね合わせであり、｜ψ＞_Bは、ヒルベルト空間Ｈ_Bにおける状態の正規化された線形重ね合わせである。たとえば、２つのキュービット系を含む合成されたキュービット系の状態は、以下のように、キュービットの積によって表される。

ここで、第１のキュービット系の状態は以下のとおりである。

また第２のキュービット系の状態は以下のとおりである。

状態｜ψ＞₁₂は、状態の線形重ね合わせとして次のように書くこともできる。

式中、項｜０＞₁｜０＞₂、｜０＞₁｜１＞₂、｜１＞₁｜０＞₂及び｜１＞₁｜１＞₂は積状態である。状態｜ψ＞₁₂にある各積状態は、関連する係数１／２を有し、それは、第１のキュービット系の状態が基底｛｜０＞₁，｜１＞₁｝において測定され、第２のキュービット系の状態が基底｛｜０＞₂，｜１＞₂｝において測定されるとき、積状態のいずれか１つにおいて、合成されたキュービット系が見いだされる確率が１／４であることを示す。たとえば、第１のキュービット系の状態が基底｛｜０＞₁，｜１＞₁｝において測定され、第２のキュービット系の状態が基底｛｜０＞₂，｜１＞₂｝において測定されるとき、合成されたキュービット系の状態が積状態｜１＞₁｜１＞₂に射影される確率は、１／４（｜１／２｜²）である。

しかしながら、積状態として書くことができないヒルベルト空間

における他の線形重ね合わせはエンタングルした状態である。一般的に、２つ以上のサブ量子系を含むヒルベルト空間の場合、エンタングルした状態は、直積状態として書くことができない、状態の線形重ね合わせである。たとえば、エンタングルした２キュービット系のエンタングルした状態表現は以下のように書くことができる。

エンタングルした状態｜φ＞₁₂は、パラメータα₁、β₁、α₂及びβ₂をどのように選択しても、キュービットα₁｜０＞₁＋β₁｜１＞₁及びα₂｜０＞₂＋β₂｜１＞₂の積に分解することはできない。

以下のように、エンタングルしていない２キュービット系の状態は、エンタングルした２キュービット系の状態と区別することができる。エンタングルしていない状態｜ψ＞₁₂にある、エンタングルしていない２キュービット系について考える。基底｛｜０＞₁，｜１＞₁｝にある第１のキュービット系について実行される第１の測定が、第１のキュービット系の状態を状態｜０＞₁に射影するものと仮定する。状態｜ψ＞₁₂によると、測定直後のエンタングルしていない２キュービット系の状態は、状態

の線形重ね合わせである。同一の基準座標系における第１の測定の直後に、基底｛｜０＞₂，｜１＞₂｝にある第２のキュービット系について第２の測定が実行されるとき、第２のキュービット系の状態が状態｜０＞₂上に射影される確率は１／２であり、第２のキュービット系の状態が状態｜１＞₂上に射影される確率は１／２である。言い換えると、第２のキュービット系の状態は第１のキュービット系の状態とは相関がない。対照的に、エンタングルした状態｜φ＞₁₂にあるエンタングルした２キュービット系について考える。基底｛｜０＞₁，｜１＞₁｝にある第１のキュービット系について実行される第１の測定が、同じく、第１のキュービット系の状態を状態｜０＞₁に射影するものと仮定する。エンタングルした状態｜φ＞₁₂によると、第１の測定後のエンタングルした２キュービット系の状態は、積状態｜０＞₁｜１＞₂である。基底｛｜０＞₂，｜１＞₂｝にある第２のキュービット系について第２の測定が実行されるとき、第２のキュービット系の状態は確かに｜１＞₂である。言い換えると、エンタングルした状態｜φ＞₁₂にある第１のキュービット系の状態と第２のキュービット系の状態とには相関がある。

偏光状態及びストークスパラメータ
このサブセクションでは、電磁放射の偏光状態が説明される。図５を参照して上述したように、電磁放射は、伝搬するＴＥＭ波（transverse electromagnetic wave：横電磁波）として取り扱うことができる。各電磁波は、電界成分

及び磁界成分

を含む。しかしながら、電界が、帯電した物質との相互作用の大部分の原因となり、磁界の大きさは１／ｃ倍だけ電界よりも小さいため、電磁波を表すために、電界成分のみを用いることができる。図５に示されるように、電磁界の振動する電界成分

及び関連する波数ベクトル

がいずれも振動面内に存在するときには、その電磁界は「直線偏光している」と言われる。多数のランダムに偏光した電磁波を含む電磁放射を１つ又は複数の偏光子の中に通すことによって、一定の偏光状態を作り出すことができる。各偏光子は、偏光子の偏光軸に沿った電界成分を有する電磁波のみを透過するデバイスである。

任意の２つの直交する直線偏光状態を用いて、｛｜Ｈ＞，｜Ｖ＞｝によって表される、偏光基底を定義することができる。第１の偏光状態｜Ｈ＞は、「水平偏光」と呼ばれる、第１の方向に偏光された電磁波を表し、第２の偏光状態｜Ｖ＞は、「垂直偏光」と呼ばれる、第１の方向と直交する第２の方向に偏光された電磁波を表す。偏光基底状態は、以下の条件を満たす。

図８Ａ及び図８Ｂは、偏光基底状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞のプロットを示す。図８Ａ及び図８Ｂでは、図８Ａにおける互いに垂直な軸８０１〜８０３のような互いに垂直な軸は、それぞれ、ｘ、ｙ及びｚデカルト座標軸を表す。図８Ａは、ｙｚ平面内に存在する電界

の垂直偏光状態｜Ｖ＞を示す。矢印８０６は、電界

が観測面８０８に向かって伝搬する方向を表す。観測面８０８から、波がｚ軸に沿って一波長λだけ伝搬するのに応じて、電界

が１つの完全な振動サイクルだけ進行することを観測することができる。振動サイクルは、双方向矢印８１０によって表される。図８Ｂは、ｘｚ平面内に存在する電界

の水平偏光状態｜Ｈ＞を示す。関連する水平振動サイクルは、観測面８０８内の双方向矢印８１６によって表される。

偏光基底｛｜Ｈ＞，｜Ｖ＞｝を用いて、｜χ＞によって表される無数の偏光状態を構成することもできる。これらの偏光状態は｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞の両方を同時に含み、数学的には、状態のコヒーレントな線形重ね合わせとして次のように表すことができる。

式中、０≦θ＜π及び０≦φ＜２πである。電磁波の無数の偏光状態は、幾何学的には、３次元ブロッホ球によって表すことができ、この場合には、「ポアンカレ球」とも呼ばれる。

図９は、偏光状態のポアンカレ球表現を示す。図９に示されるように、線９０１〜９０３はそれぞれ直交する座標軸であり、ポアンカレ球９０４の中心がその原点に位置する。ポアンカレ球９０４上には無数の点があり、各点は電磁波の固有の純粋偏光状態｜χ＞を表す。たとえば、ポアンカレ球９０４上の点９０５は、部分的に状態｜Ｈ＞、部分的に状態｜Ｖ＞を同時に含む偏光状態｜χ＞を表す。６つの点９０６〜９１１は、ポアンカレ球９０４と座標軸９０１〜９０３との間の交点を特定する。点９０６及び９０７はそれぞれ偏光基底状態｜Ｈ＞及び｜Ｖ＞を特定し、点９０８〜点９１１はそれぞれ以下の直交する偏光状態を表す。

図１０Ａ〜図１０Ｄはそれぞれ、４つの偏光状態、｜４５°＞、｜−４５°＞、｜Ｒ＞及び｜Ｌ＞のプロットを示す。図１０Ａは、水平なｘｚ平面に対して４５°だけ傾けられた振動面１００２内に存在する４５°偏光状態｜４５°＞を示す。偏光状態｜４５°＞の振動サイクルは、双方向矢印１００４によって表される。図１０Ｂは、水平なｘｚ平面に対して−４５°だけ傾けられた振動面１００６内に存在する−４５°偏光状態｜−４５°＞を示す。偏光状態｜−４５°＞の振動サイクルは、双方向矢印１００８によって表される。図１０Ｃは、図８Ａ及び図８Ｂに示される、垂直偏光電界８０４及び水平偏光電界８１２を含み、−π／２の相対的な位相差を有する、右円偏光状態｜Ｒ＞を示す。この結果は、２つの直交する双方向矢印１０１０及び１０１２によって表される振動サイクルであり、それらの矢印は、電界８０４及び８１２がｚ軸に沿って伝達されるのに応じて、観測面８０８内で時計回りに回転する。図１０Ｄは、同じく垂直偏光電界８０４及び水平偏光電界８１２を含むが、π／２の相対的な位相差を有する左円偏光状態を示す。左偏光状態の振動サイクルは、２つの直交する双方向矢印１０１４及び１０１６によって表され、それらの矢印は観測面８０８内で反時計回りに回転する。

任意の偏光状態は、電磁放射の強度のみの関数である、「ストークスパラメータ」と呼ばれる、４つの量の線形結合によって表すことができる。ストークスパラメータは、電磁放射の偏光状態を表すのに都合の良い方法である。なぜなら、電磁放射測定は典型的には、強度のみを決定することができ、偏光状態を決定することができないためである。ストークスパラメータは、それぞれが任意の入射電磁放射のうちの５０％を透過し、残りの５０％を除去する４個１組のフィルタを考えることによって、その作用を定義することができる。第１のフィルタは、電磁放射の全ての偏光状態を透過するものと仮定される。第２のフィルタ及び第３のフィルタは直線偏光子であり、それぞれ、水平偏光の放射のみ、及び水平に対して４５°に偏光された放射のみを透過する。第４の偏光子は、右円偏光の電磁放射だけを透過する。これら４つのフィルタはそれぞれ、電磁放射のビームの経路内に配置される。フィルタの選択は、ただ１つに限定されないことに留意されたい。数多くの等価な偏光が存在する。強度は検出器によってカウントされる光子の数に比例するため、ストークスパラメータは以下の式によって定義することができる。

ここで、右円偏光状態及び左円偏光状態に関して、光子の数は以下の式によって与えられる。

ここで、

は電磁放射の偏光度を表す２×２密度行列である。

典型的には、ストークスパラメータは、各パラメータをパラメータＳ₀で割ることによって正規化され、それは、単位強度の入射ビームを使用することに等価である。正規化された表現におけるランダムに偏光された電磁放射のストークスパラメータ（Ｓ₀，Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃）は、（１，０，０，０）である。正規化されたストークスパラメータを表１に示す。

本発明の実施形態
本発明の様々な実施形態は、２進数の乱数列を生成するのに用いることができる光学ベースの自己検証ＱＲＮＧを対象とする。本発明の実施形態は、数列を評価し、検証し、シフト（または変更）するのに用いられる最小エントロピーを構成するための量子力学に基づく方法を含む。本発明は、特定の光子偏光状態を参照しながら以下に記述される。本発明は光子偏光状態を使用することに限定されないことに留意されたい。量子光学及び量子情報の分野の当業者であれば、５０：５０ビームスプリッタから出力されるフイッチパス光子（which path photon：たとえば経過情報を含む光子）、又は時間ビン光子のような他の光量子系を用いて、説明された本発明の方法及びシステムを利用することができる。

図１１は、本発明の一実施形態を表す、光学ベースのＱＲＮＧ１１００を示す。図１１に示されるように、ＱＲＮＧ１１００は、入力状態発生器１１０２と、ファイバスクイーザ偏光コントローラ（「ＦＳＰＣ」）１１０４及び１１０６と、偏光ビームスプリッタ１１０８及び１１１０と、光子検出器１１１２〜１１１５と、一致ボックス１１１６と、システムコントロール１１１８とを備える。光ファイバ１１２０が、入力状態発生器１１０２をＦＳＰＣ１１０４に接続し、ＦＳＰＣ１１０４をビームスプリッタ１１０８に接続し、光ファイバ１１２２が、入力状態発生器１１０２をＦＳＰＣ１１０６に接続し、ＦＳＰＣ１１０６をビームスプリッタ１１１０に接続する。また、光ファイバは、ビームスプリッタ１１０８を検出器１１１２及び１１１３に接続し、ビームスプリッタ１１１０を検出器１１１４及び１１１５に接続する。光ファイバは、入力状態発生器１１０２によって生成される電磁放射を伝送するためのチャネルとしての役割を果たす。信号線１１２４のような電気信号線が、検出器１１１２〜１１１５を一致ボックス１１１６に接続し、一致ボックス１１１６をシステムコントロール１１１８に接続し、システムコントロール１１１８をＦＳＰＣ１１０４と１１０６に個別に接続する。一致ボックス１１１６は、信号をシステムコントロール１１１８に伝送し、それに応答して、システムコントロール１１１８は、ＦＳＰＣ１１０４及び１１０６に信号を送信して、光ファイバ１１２０及び１１２２において伝送される電磁放射の状態を調整する。

入力状態発生器１１０２は、エンタングルした偏光状態にある光子対の形態で光量子系を順次に生成する。光子対のうちの第１の光子は入力状態発生器１１０２から光ファイバ１１２０に出力され、ＦＳＰＣ１１０４を通じてビームスプリッタ１１０８まで伝送され、光子対のうちの第２の光子は、入力状態発生器１１０２から光ファイバ１１２２に出力され、ＦＳＰＣ１１０６を通じてビームスプリッタ１１１０まで伝送される。光子対のエンタングルした偏光状態は、次のようにベル状態（Bell state）によって表される。

式中、状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞にある光子対は、水平偏光状態｜Ｈ＞₁にある第１の光子、及び垂直偏光状態｜Ｖ＞₂にある第２の光子を表し、状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞にある光子対は、垂直偏光状態｜Ｖ＞₁にある第１の光子及び水平偏光状態｜Ｈ＞₂にある第２の光子を表す。ビームスプリッタ１１０８は、状態｜Ｖ＞₁にある第１の光子を検出器１１１２へと反射し、状態｜Ｈ＞₁にある第１の光子を検出器１１１３へと透過させる。ビームスプリッタ１１１０は、状態｜Ｖ＞₂にある第２の光子を検出器１１１４へと反射し、状態｜Ｈ＞₂にある第２の光子を検出器１１１５へと透過させる。

検出器１１１２〜１１１５において光子対が検出されるまで、エンタングルした光子対はベル状態｜ψ₊＞のままである。入力状態発生器１１０２によって生成される各光子対は理想的には、以下のように、１つの２進数「０」又は「１」を生成する。ベル状態｜ψ₊＞の係数の二乗係数は、光子対が検出器１１１２〜１１１５に到達するときに、検出器１１１３と１１１４との検出器対において状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞を検出する確率が１／２であり、検出器１１１２と１１１５との検出器対において状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞を検出する確率が１／２であることを示す。言い換えると、状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞又は状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞を検出することはランダムな事象である。光子状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞及び｜Ｖ₁Ｈ₂＞を異なる２進数に関連付けることによって、このランダムな事象を用いて、単一の２進数の乱数を生成することができる。たとえば、検出器１１１３と１１１４との検出器対において状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞にある光子対を検出することは２進数「１」に対応し、検出器１１１２と１１１５との検出器対において状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞にある光子対を検出することは２進数「０」に対応する。

図１２は、本発明の一実施形態を表す、検出器１１１２〜１１１５と一致ボックス１１１６との間の相互接続を示す。図１２では、一致ボックス１１１６は２つのＡＮＤゲート１２０２及び１２０４と、４つの入力信号線１２０６〜１２０９と、２つの出力信号１２１２及び１２１４とを備える。信号線１２０６及び１２０９は、検出器１１１２及び１１１５をＡＮＤゲート１２０４に接続し、信号線１２０７及び１２０８は、検出器１１１３及び１１１４をＡＮＤゲート１２０２に接続し、信号線１２１２及び１２１４はそれぞれ、ＡＮＤゲート１２０２及び１２０４をシステムコントロール１１１８に接続する。検出器１１１２〜１１１５のそれぞれは、その検出器に到達する光子の強度を検出するが、特定の偏光状態を識別しない。検出器が光子を検出するとき、接続されたＡＮＤゲートに信号が送信される。ＡＮＤゲート１２０２及び１２０４は、それぞれが２つの入力信号を同時に受信するときにのみ、信号、すなわちパルスを出力し、そうでない場合には、ＡＮＤゲート１２０２及び１２０４は、信号を出力しない。ＡＮＤゲート１２０２によって出力される信号はＰ₁によって表され、ＡＮＤゲート１２０４によって出力される信号はＰ₀によって表される。たとえば、検出器１１１２及び１１１５が状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞にある光子対を検出するとき、検出器１１１２及び１１１５はＡＮＤゲート１２０４に同時に信号を送信し、ＡＮＤゲート１２０４は、図１１に示されるシステムコントロール１１１８に、信号Ｐ₀を出力することによって応答する。

システムコントロール１１１８は、出力信号Ｐ₀及びＰ₁を受信し、対応する２進数を記録する。図１３は、本発明の一実施形態を表す、システムコントロール１１１８が受信することができる出力信号の４つのタイプの組み合わせを表す、出力信号対時間の２つのプロットを示す。図１３において、線１３０２のような水平線は時間軸であり、垂直線１３０４のような垂直線は電圧軸である。プロット１３０６はＰ₁出力信号に対応し、プロット１３０８はＰ₀出力信号に対応する。垂直方向の破線１３１０〜１３１３は、時間間隔１３１４〜１３１７の上限及び下限を特定する。各時間間隔内で、システムコントロール１１１８は４つの事象のうちの１つを記録し、各事象は入力状態発生器１１０２によって生成される単一光子対に関連付けられ、「生カウント（raw count）」と呼ばれる。ＡＮＤゲートによって出力される信号は、パルス１３１４のような、電圧又は電流のパルスによって表される。時間間隔１３１４では、システムコントロール１１１８によって信号が受信されない。これは、いずれの光子も検出器１１１２〜１１１５に達しないこと、又は単一光子のみが検出器のうちの１つに達すること、又は光子対が検出器１１１２〜１１１５に達するが、光子対が状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞と状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞のいずれの状態にもないこと、の結果として生じうる。結果として、システムコントロール１１１８は生カウント「信号なし」を記録する。時間間隔１３１５及び１３１６では、単一パルス１３１４及び１３１６がシステムコントロール１１１８に連続して入力され、システムコントロール１１１８は、生カウント２進数「０」、その後、２進数「１」を記録する。時間間隔１３１７では、２つのパルス１３１８及び１３２０が、システムコントロール１１１８によって同時に受信され、システムコントロール１１１８は、ＡＮＤゲート１２０２及び１２０４からの２つのパルスの受信を「誤り」と識別する。

理想的には、ＱＲＮＧ１１００を用いて、それぞれの対がベル状態｜ψ₊＞にある複数の光子対を繰返し準備することによって、２進数の乱数列を生成することができる。しかしながら、実際には、図１３を参照しながら上記で説明された、信号なし及び誤りのように、２進数の乱数列を生成する過程において任意の数の摂動（乱れ）が存在することがあり、これらの多数の摂動が乱数列を偏らせることがある。結果として、本発明の実施形態は、生カウントの数列を２進数の生の乱数列に変換する方法を含む。量子力学に基づく方法を用いて、生の数列のランダム性を評価及び検証し、生の数列から２進数の任意の偏りを除去して、２進数のより小さな乱数列を生成する。

図１４は、本発明の一実施形態を表す、ＱＲＮＧ１１００をＮ回仮想的に動作させることによって生成される生カウントの数列から２進数の乱数列を生成する様子を示す。図１４において、Ｎ個の生カウントからなる数列１４０２は、生カウント信号なし１４０４及び生カウント誤り１４０６によって分離された２進数「０」及び「１」の数列を含む。信号なし１４０４及び誤り１４０６に対応する生カウントが、生カウントの数列１４０２から除去され、ｎ個の２進数からなる生の乱数列が生成される。ここで、ｎ＜Ｎである。図１４において、２進数の生の乱数列は

によって表される列ベクトル１４０８に組み立てられる。生の数列１４０８は、偏った２進数１４１０〜１４１２のような、多数の仮想的に偏らされた２進数を含む。本発明の量子力学に基づく方法が、ｍ×ｎテプリッツ行列（Toeplitz matrix）Ｔ_n×mを構成するために用いられ、その行列は、生の数列１４０８内の偏った２進数を選別して除去し、以下のように、ｍ個の変更された２進数の乱数列を生成するのに用いられる。

ここで、ｍ＜ｎ＜Ｎである。２進数の乱数列

は列ベクトル１４１４によって表される。C.D.Walter等（編集）による「Cryptographic Hardware and Embedded Systems CHES 2003」の中の、Barak等著「True Random Number Generators Secure in a Changing Environment」（pp. 166-180, Springer-Verlag (2003)）において、テプリッツ行列の定義が提供されている。以下の説明は、本発明の方法に関連する範囲で、Barakの参考文献にしたがってテプリッツ行列を構成するために必要とされる識見を提供する。

２進数の乱数列を生成するための量子力学に基づく方法を、敵対者が存在するシナリオを参照して以下に説明する。以下の敵対者が存在するシナリオでは、入力状態発生器１１０２は、「イブ」と呼ばれる敵対者の制御下に入る。イブは、「アリス」と呼ばれるＱＲＮＧ１１００のユーザにはランダムに見えるが、イブには少なくとも部分的にわかっている数列を生成することを望む。アリスは、状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞及び｜Ｖ₁Ｈ₂＞のみを用いて２進数の乱数を生成するため、以下の解析は、状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞及び｜Ｖ₁Ｈ₂＞によって張られる部分空間に限定される。それゆえ、イブは以下の形のエンタングルした状態を生成するものと仮定される。

ただし、以下の式が成り立つ。

アリスは、ＱＲＮＧ１１００の制御権を有するが、イブによって制御される入力状態発生器１１０２の制御権は有しない。イブは、アリスが各光子対に適用する測定について知らないものと仮定される。イブが純粋状態｜ψ_i＞にある単一光子対を準備するとき、アリスは、測定に関連する次の密度行列を求めることができる。

密度行列

は、アリスがイブによって提供される光子対の状態について、アリスが得ることができる最大限の情報量を表す。イブによって提供された光子対に関してトモグラフィ解析を実行することによって、アリスは密度行列

の要素を求めることができる。トモグラフィ解析を用いて、乱数列のランダム性が評価され、その解析は「自己検証」と呼ばれる。量子状態のトモグラフィ解析は、当該技術分野では周知であり、たとえば、James等著「Measurement of Qubits」（Phys. Rev. A, Vol. 64, 052312）に記述されている。トモグラフィ解析を用いて、イブによって準備された状態｜ψ_i＞が特定される。James等の参考文献に記述されているように、ｂキュービット系のためのトモグラフィ解析は典型的には、密度行列

を求めるのに、（４^b−１）個の異なる期待値を必要とする。結果として、期待値を測定するために、同一の状態の多数のコピーが必要とされる。状態に関する（４^b−１）個の異なる期待値及び正規化要件は理想的には、一般的なｂキュービット系の２^b個の複素係数に関する４^b個の独立した制約を生成し、測定された状態を定義する密度行列

及び／又は２^b個の複素係数についての解析的解法を可能にする。ＱＲＮＧ１１００によって生成される２キュービット偏光光子対に関するトモグラフィ解析は、１６個の独立した期待値を必要とする。

イブは、各状態が関連する確率ｐ_iを有する、状態の統計的混合｜ψ_i＞において光子対を送信することによって、イブにはわかるが、アリスにはランダムに見えるように数列を偏らせることを試みることができる。アリスは、トモグラフィ解析を実行して、密度行列演算子

及び関連する密度行列

を求める。ここで、

は状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞を測定する確率であり、

は状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞を測定する確率である。密度行列演算子及び密度行列は、純粋状態密度行列演算子及び関連する密度行列の合成である。イブは、アリスが毎回測定している各光子対の状態｜ψ_i＞を準備し、知っているが、アリスによって実行される各測定の結果は量子力学の法則によって支配されるため、イブは純粋状態｜ψ_i＞に関するアリスの測定の結果を制御することはできないことに留意されたい。

アリスは、トモグラフィ解析を実行して、密度行列

を求め、ランダム性に関する発生源の品質を評価する。ランダム性に関する発生源の品質は厳密には、以下のように定義される最小エントロピー（「min-entropy」）関数を用いて評価することができる。

式中、Ｘは確率変数であり、Ｐｒ（ｘ）は事象ｘの確率であり、

は、Ｘ内の全ての事象ｘにわたる最大確率Ｐｒ（ｘ）を意味する。言い換えると、最小エントロピーは、確率分布のランダム性の量の尺度と見なすことができる。図１５は、本発明の一実施形態を表す、最小エントロピーのプロットである。図１５において、水平軸１５０２は事象ｘの確率Ｐｒ（ｘ）に対応し、垂直軸１５０４は、最小エントロピーの値を表し、曲線１５０６は、最小エントロピーＨ_Min（Ｘ）を表す。最小エントロピーが「０」１５０８であるとき、事象ｘが生じる最大確率Ｐｒ（ｘ）は「１」１５１０である。事象ｘは確実に生じ、完全に決定論的な事象である。最小エントロピーが「１」１５１２であるとき、事象ｘが生じる最大確率Ｐｒ（ｘ）は「１／２」１５１４である。事象ｘは偏りなく生じ、真にランダムな事象に対応する。点１５１６のように、最小エントロピーが「０」と「１」との間にあるとき、事象ｘが生じる最大確率は１／２よりも大きく、点１５１８によって表される。

最小エントロピーの使用を例示するために、以下の説明は、イブによって生成される３つの異なる種類の状態集合についての最小エントロピーの定義において、密度行列の要素がどのように用いられるかを記述する。アリスが、イブによって提供された純粋状態｜ψ＞にある単一光子対に関してトモグラフィ解析を実行するとき、確率変数Ｘは集合｛０，１｝にわたって分布し、最小エントロピーは以下のとおりである。

ただし、以下の式が成り立つ。

最小エントロピーは、アリスが、イブによって提供された、全てが同じ純粋状態｜ψ＞にあるｎ個の光子対に関してトモグラフィ解析を実行する事例に拡張することができる。確率変数Ｘは集合｛０，１｝ⁿにわたって分布し、最小エントロピーは以下のとおりである。

最後に、アリスが、イブによって提供された純粋状態｜ψ_i＞の統計的混合にあるｎ個の光子対に関してトモグラフィ解析を実行するとき、最小エントロピーは次のようになる。

ただし、以下の式が成り立つ。

アリスは、イブが提供している光子対の状態の分解を知らない。アリスは、トモグラフィ解析中に自分が生成する密度行列

を手に入れることができるのみである。任意の状態への最小エントロピーの拡張を得るために、光子対に関連する最小エントロピーが、密度行列

の全ての取り得る分解にわたる最も小さい最小エントロピーと定義される。最も小さい最小エントロピーのそのような定義を用いて、イブがアリスの数列について入手することができる情報の量に上限が設けられる。

最小エントロピーＨ_Minが０に等しくない限り、イブは、ＱＲＮＧ１１００によって生成された２進数列を完全には制御できないことに留意されたい。言い換えると、最小エントロピーが０よりも大きい限り、ＱＲＮＧ１１００によって生成されるｎ個の２進数の数列内に、いくつかの数であるｍ個の２進数の乱数が存在する。ここで、ｍ＜ｎである。

アリスは、図１１に示される検出器１１１２〜１１１５において強度を測定するので、最小エントロピー

をストークスパラメータの関数として再び特徴付けることができる。ここでは、ストークスパラメータを用いて、ベクトル｜Ｈ₁Ｖ₂＞及び｜Ｖ₁Ｈ₂＞によって張られる２次元空間が特徴付けられ、その空間は、単一光子の偏光の空間と同形である。上記の状態｜ψ_i＞の統計的混合に関連する２×２密度行列

を以下のようにストークスパラメータ（Ｓ₀，Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃）に関して書き換えることができる。

式中、下付き文字「Ｓ」はストークスパラメータに関して書き換えられた密度行列を特定し、ストークスパラメータＳ₀は、「１」に正規化され、及びσ₁、σ₂及びσ₃はパウリ行列である。状態の統計的混合の場合、密度行列

の行列要素は密度行列

の行列要素に等しい。ここで、対角要素は以下のように関係付けられる。

密度行列

を有する純粋状態はポアンカレ球の表面上に存在する。図１６は、ポアンカレ球の表面上に位置する純粋状態のストークスパラメータを示す。図１６には、ポアンカレ球のただ１つの象限１６０２のみが示されている。線１６０４〜１６０６はそれぞれ直交する座標軸

を表し、座標（Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃）を有する点１６０８が、ポアンカレ球の表面に位置する。ポアンカレ球は以下の単位半径を有する（すなわち単位球である）。

ポアンカレ球の表面上に位置する純粋状態の場合、パラメータＳ₃は、以下のように、パラメータＳ₁及びＳ₂に関係付けられる。

全ての密度行列

について実数値関数

を定義することによって以下の定理を表明することができる。
定理１．密度行列

によって記述される系の最小エントロピーは以下のとおりである。

定理１の証明は後述の付録において提供される。定理１は、２進数列を生成するのに用いられる状態の密度行列の測定において、イブのような敵対者が得ることができる情報の量に上限があることを実証する。Barak等の参考文献は、最小エントロピーＨ_Minを有するｎ個の２進数の数列が与えられると、ｍ個の２進数の乱数を抽出できることを示している。ここで、ｍ＜ｎである。ｍ個の２進数の乱数は、或る分布に従って分布し、その分布は任意的に２進数の均一な分布に近い。

図１７は、２進数の乱数列を生成するための本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す制御フロー図を示す。ステップ１７０２では、ルーチン「トモグラフィ解析」が呼び出される。ルーチン「トモグラフィ解析」は、密度行列

及び最小エントロピー

を求めるための方法である。ステップ１７０４では、ルーチン「生の２進数列を生成する」が呼び出され、それは、図１４を参照して上述したように、ｎ個の２進数からなる生の乱数列

を生成する。ステップ１７０６では、ルーチン「生の２進数列を選別（または変更）する」が呼び出され、そのルーチンは、ステップ１７０２で求められた最小エントロピーＨ_Minを用いて、数列

から偏りを除去し、ｍ個の２進数からなる、より小さな乱数列

を生成する。ステップ１７０８では、２進数の乱数列

が出力される。

図１８は、図１７のステップ１７０２において呼び出されるルーチン「トモグラフィ解析」のための制御フロー図を示し、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ１８０２において開始するｆｏｒループでは、ステップ１８１０において密度行列

を生成し、ステップ１８１２において最小エントロピー

を生成するために、ステップ１８０３〜１８０６が繰り返される。ステップ１８０３では、インデックスｉに応じた所定の値に一致するように、図１１のＦＳＣＰ１１０４及び１１０６のような偏光コントローラを調整する。ステップ１８０４では、図１３を参照して上述したように、生カウントの数列が生成される。ステップ１８０５では、４つの異なる種類の生カウントの移動平均が保持される。ステップ１８０６では、インデックスｉがインクリメントされる。ステップ１８０８では、インデックスｉが（４^b−１）よりも大きいとき、制御がステップ１８１０に移り、そうでない場合には、ステップ１８０３〜１８０６が繰り返される。ステップ１８１０では、James等の参考文献において記載されているように、密度行列

が構成される。ステップ１８１２では、密度行列

を用いて、最小エントロピー

が構成される。

図１９は、図１７のステップ１７０４において呼び出されるルーチン「生の２進数列を生成する」のための制御フロー図を示し、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ１９０２において開始するループでは、生の数列の長さに対応するインデックスｉが予め指定された長さＮ以上になるまで、ステップ１９０２〜１９０８が繰り返される。ステップ１９０２では、Ｍ個の生カウントが生成される。ステップ１９０３では、「０」及び「１」に対応する生カウントの平均が求められる。ステップ１９０４では、当該平均を用いて、誤差信号が計算され、その誤差信号は、光ファイバによって導入される複屈折欠陥を検出する。ステップ１９０５では、誤差信号を用いて、ＦＳＰＣが調整され、複屈折誤差が補正される。システムコントロールは、システムコントロールが光ファイバ内で伝送される光子対の偏光状態を調整できるようにするソフトウエア又はファームウエアを含むことができる。Shimizu等の「Highly Practical Fiber Squeezer Polarization Controller」（J. of Lightwave Technology, Vol. 9, No. 10 (1991)）は、光子の偏光状態を制御するためのＦＳＰＣの動作を記述している。ステップ１９０６では、図１４を参照して上述したように、信号なし又は誤りのいずれかに対応する生カウントを破棄し、２進数の生の乱数列を残すことによって、生カウントが選別（または変更）される。ステップ１９０７では、生の２進数列が数列

に追加される。ステップ１９０８では、長さインデックスｉがインクリメントされる。ステップ１９０９では、インデックスｉがＮ以上であるとき、制御がステップ１９０２に移り、そうでない場合には、２進数の生の乱数列

が出力される。

図２０は、図１７のステップ１７０６において呼び出されるルーチン「生の２進数列を選別（または変更）する」のための制御フロー図であり、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す。ステップ２００２では、図１９のルーチン「生の数列を生成する」において生成された２進数の生の乱数列

が入力される。ステップ２００４では、図１８のルーチン「トモグラフィ解析」において生成された最小エントロピーが入力される。ステップ２００６では、Barakの参考文献において記述されているように、テプリッツ行列Ｔ_n×mが構成される。ステップ２００８では、数列

が求められ、図１４を参照して上述したように、図１７のステップ１７０８において出力される。

Barak等の参考文献に基づいて、ｎ個の２進数からなる生の乱数列から抽出することができる２進数の最大数は以下のとおりである。

式中、εは、ｍ個の２進数の分布と均一な分布との間の統計的距離である。統計的距離は、数学的には、以下のように定義される。

式中、Ｘ及びＷは異なる分布を表す。収率Ｙは、２進数の乱数の割合ｍ／ｎであり、２進数の生の乱数列から求めることができる。２進数の乱数列

を抽出する方法を試験するために、ＱＲＮＧ１１００によって生成されたｎ＝３２００の生の２進数列が、ε＝２^-35の統計的距離及び０．３８の最小エントロピーを用いて生成された。得られた収率は０．３３であった。統計的距離及び生の２進数の数をＱＲＮＧ１１００演算子によって変更して、様々なセキュリティ要求及び計算資源に対応することができる。

本発明の代替的な実施形態では、単一光子状態にある光子を用いて乱数列を生成することに基づくＱＲＮＧにも、トモグラフィ解析を適用することができる。図２１は、単一光子状態を用いて乱数列を生成し、本発明の一実施形態を表す、光学ベースのＱＲＮＧ２１００を示す。図２１に示されるように、ＱＲＮＧ２１００は、入力状態発生器２１０２と、ＦＳＰＣ２１０４と、偏光ビームスプリッタ２１０６と、２つの光子検出器２１０８及び２１１０と、解析器２１１２と、システムコントロール２１１４とを備える。光ファイバ２１１６のような光ファイバが、入力状態発生器２１０２をＦＳＰＣ２１０４に接続し、ＦＳＰＣ２１０４をビームスプリッタ２１０６に接続する。また、光ファイバがビームスプリッタ２１０６を検出器２１０８及び２１１０に接続する。信号線２１１８のような電気信号線が、検出器２１０８及び２１１０を解析器２１１２に接続し、解析器２１１２をシステムコントロール２１１４に接続し、システムコントロール２１１４をＦＳＰＣ２１０４に接続する。

入力状態発生器２１０２は、以下の式によって与えられる垂直偏光状態及び水平偏光状態の線形重ね合わせにある光子を生成し、順次に出力する。

ただし、

である。ビームスプリッタ２１０６は、偏光状態｜Ｖ＞を検出器２１０８へと反射し、偏光状態｜Ｈ＞を検出器２１１０へと透過させる。理想的には、検出器２１０８及び２１１０において検出されるまで、各光子は状態｜ξ＞のままである。検出器２１０８及び２１１０において光子が検出されるとき、解析器は、どの検出器が光子を検出したかを特定するパルスをシステムコントロール２１１４に送信する。図１３を参照して上述したように、解析器２１１２は、異なる種類の生カウントを特定する情報を送信する。

敵対者が存在するシナリオにおいて上述したように、イブは、以下の状態にある光子を準備することによって、偏りがある２進数列を生成することを望む。

ただし、

である。アリスが、イブによって提供された純粋状態の統計的混合｜ξ_i＞にあるｎ個の光子に関してトモグラフィ解析を実行するとき、最小エントロピーは以下の式によって与えられる。

ただし、以下の式が成り立つ。

図１７〜図２０を参照して上述した方法は、ＱＲＮＧ２１００を用いて、２進数の乱数列

を生成するのに用いることができる。

本発明の代替的な実施形態では、検出器において偏光状態に関連付けられる確率を調整するために、ＱＲＮＧ１１００及び２１００に可変損を追加することができる。たとえば、図２２は、可変損を含み、本発明の一実施形態を表す、光学ベースのＱＲＮＧ２２００を示す。図２２に示されるように、ＱＲＮＧ２２００は、ＱＲＮＧ２２００が可変損２２０２及び２２０４を含む点を除いて、図１１のＱＲＮＧ１１００と同じである。可変損は、検出された「０」及び「１」の平均個数に基づいて、システムコントロール１１１８によって調整される。たとえば、検出された「０」の平均個数が検出された「１」の平均個数よりも大きいときは、システムコントロール１１１８は、状態｜Ｖ＞₁にある光子の数を減らすように可変損２２０２に指示するが、これは、状態｜Ｖ₁Ｈ₂＞において検出される光子対の数を減らす効果を有する。一般的に、可変損によって状態｜ψ_i＞に関して実行される演算は、以下の式によって表すことができる。

結果として、可変損は最小エントロピーを増加させる。その密度行列が

であり、その最小エントロピーが

である光子対は「補正されていない光子対」と呼ばれる。ただし、

である。

であると仮定すると、光子対の状態を補正するには、チャネルのうちの１つに損失を追加する必要がある。たとえば、行列要素１＋Ｓ₃が、状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞にある光子対に関連付けられる確率を表す場合には、可変損が、偏光状態｜Ｈ＞₁を搬送する光ファイバに適用される。どの偏光状態が可変損を受けるかは、ただ１つに限定されない。状態｜Ｈ₁Ｖ₂＞にある光子対を検出する確率を下げるために、偏光状態｜Ｖ＞₂を搬送する光ファイバにも可変損を適用することができる。入力状態発生器１１０２において生成されるエンタングルした状態を補正する、すなわちその偏りをなくすために、損失係数

が必要とされる。偏りのない状態のために正規化された密度行列は

であり、関連する最小エントロピーは

である。補正されていない状態の事例では、入手することができる２進数の乱数の部分は以下のとおりである。

式中、Ｋ_eは、Barak等において記述されている、２進数の生の乱数列を選別（または変更）することによって導入されるオーバーヘッドである。損失ηを考慮に入れると、収率は以下のとおりである。

本発明を特定の実施形態に関して説明してきたが、本発明をこれらの実施形態に限定することは意図していない。本発明の思想の範囲内での変更は当業者には明らかであろう。本発明の代替的な実施形態では、当業者は、偏光状態の代わりに、「フイッチパス（which path）」キュービット及び時間ビンキュービットのような他の光量子系を用いることができることを認識するであろう。たとえば、入力状態発生器２１０２を用いて、ランダムに偏光した光子を生成することができ、偏光ビームスプリッタ２１０６の代わりに、５０：５０ビームスプリッタを用いることができる。言い換えると、入力状態発生器２１０２及び５０：５０スプリッタを用いて、「フイッチパス」光キュービット系を生成することができる。さらに、本発明のシステムの実施形態を、時間ビンキュービットで動作するように変更することができる。本発明の代替的な実施形態では、図１１のＱＲＮＧ１１００において、ベル状態｜ψ₊＞にある光子対を用いる代わりに、ベル状態

のうちのいずれか１つにある光子対を用いることもできる。ベル状態のうちのいずれか１つにおいて生成される光子を用いて、２進数の乱数列を生成することができるように、一致ボックス１１１６の構成を変更することができる。本発明の代替的な実施形態では、図１１のＱＲＮＧ１１００及び図２１のＱＲＮＧ２１００を実施するのに使用された光ファイバの代わりに、ミラーによって誘導される光ビームを用いることができる。たとえば、図２３は、光ビーム及びミラーを使用し、本発明の一実施形態を表す、光学ベースのＱＲＮＧ２３００を示す。図２３では、ＱＲＮＧ２３００は、ミラー２３０２のようなミラーを用いて、入力状態発生器１１０２から出力される電磁放射の光子ビームを誘導する。

これまでの記述は、説明の目的上、本発明を十分に理解できるようにするために特定の用語を使用した。しかしながら、本発明を実施するために、特定の細部が必要とされないことは当業者には明らかであろう。本発明の特定の実施形態についてのこれまでの記述は、例示及び説明のために提示されたものである。それらは、本発明を網羅することや本発明を開示した形態そのものに限定することを意図したものではない。上記の教示に鑑みて、数多くの変更及び変形が可能であることは明らかである。それらの実施形態は、本発明の原理及びその実用的な用途を最もわかりやすく説明し、それによって、当業者が、本発明及び様々な実施形態を、意図する特定の用途に適するように様々な変更を加えて最も好適に利用できるようにするために図示及び説明されたものである。本発明の範囲は、添付の特許請求の範囲及びその等価物によって画定されるものである。

［付録］
定理１．密度行列

によって記述される系の最小エントロピーは以下のとおりである。

定理１を証明するために、以下の３つの補助定理が証明される。

補助定理１．純粋状態｜ψ＞毎に、以下の式が成り立つ。

補助定理１の証明は、Ｐｒ_HV＞１／２、Ｐｒ_HV＜１／２及びＰｒ_HV＝１／２の場合に、以下の式が成り立つことを示すことによって証明される。

最初に、｜ψ＞は純粋状態であるため、図１５を参照して上述したように、関連するストークスパラメータはポアンカレ球の表面上のある点に対応し、具体的には、パラメータＳ₁及びＳ₂は以下の式によって与えられる。

Ｓ₁及びＳ₂を右辺に代入すると、以下の式が与えられる。

Ｐｒ_HV＞１／２のときは、左辺は以下のように変換され、

右辺は以下のように変換される。

Ｐｒ_HV＜１／２のときは、左辺は以下のように変換され、

右辺は以下のように変換される。

最後に、自明なケース、すなわち、Ｐｒ_HV＝１／２のときは、左辺と右辺はいずれも１／２になる。

補助定理２．密度行列

によって表される２つの純粋状態｜ψ₁＞及び｜ψ₂＞は、密度行列

の分解である。ただし、以下の式が成り立つ。

補助定理２の証明：密度行列は、

を満たす対角行列要素を有する

の分解である純粋状態を表す。｜ψ₁＞及び｜ψ₂＞はいずれも純粋状態であるため、補助定理１に基づくと以下の式が成り立つ。

さらに、上記の

に関する式に基づいて、ｎ＝１の場合に、以下の式が成り立つ。

補助定理３．関数

はポアンカレ球上のストークスパラメータＳ₁、Ｓ₂、Ｓ₃の凸関数である。

補助定理２の証明：

のヘシアン行列の固有値は、領域（１／２，１）にわたって負でない。

この定理の証明：凸関数の特性によれば、

の各分解について以下の式が成り立つ。

補助定理１の結果を代入し、上記の式

を用いると、以下の式が与えられる。

これは、

が、

の最小エントロピーの下限であることを意味する。しかし、補助定理２によれば、

の少なくとも１つの分解が存在する。ただし、以下の式が成り立つ。

それゆえ、

は、

の全ての分解にわたるＨ_Minの最小値に等しい。以上で証明終り。

キュービット系のブロッホ球表現を示す図である。 仮想的な単一偏光ビームスプリッタを使用する量子乱数発生器を示す図である。 立方体空洞（立方体キャビティ）を示す図である。 基底ベクトルとして、２つの独立した偏光ベクトルと、正規化された波数ベクトルとを用いる３次元座標系を示す図である。 図４に示される座標系における電磁放射の電界成分及び磁界成分を示す図である。 量子化された電磁放射のエネルギー準位図である。 光子源から出力され、検出器まで伝送される光子パルスを検出することに関連する確率分布関数を示す図である。 垂直偏光基底状態のプロットを示す図である。 水平偏光基底状態のプロットを示す図である。 偏光状態のポアンカレ球表現を示す図である。 ４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。 ４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。 ４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。 ４つの偏光状態のうちの１つのプロットを示す図である。 本発明の一実施形態を表す光学ベースの量子乱数発生器を示す図である。 本発明の一実施形態を表す、検出器と、量子乱数発生器の一致ボックスとの間の相互接続を示す図である。 本発明の一実施形態を表す、量子乱数発生器のシステムコントロールが受信することができる出力信号の４つのタイプの組み合わせを表す、出力信号対時間の２つのプロットを示す図である。 本発明の一実施形態を表す、生カウントの数列から２進数の乱数列を生成する様子を示す図である。 本発明の一実施形態を表す最小エントロピーのプロット図である。 ポアンカレ球の表面に配置される純粋状態の１組のストークスパラメータを示す図である。 ２進数の乱数列を生成するための本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す制御フロー図である。 図１７のステップ１７０２において呼び出され、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す、ルーチン「トモグラフィ解析」のための制御フロー図である。 図１７のステップ１７０４において呼び出され、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す、ルーチン「生の２進数列を生成する」のための制御フロー図である。 図１７のステップ１７０６において呼び出され、本発明の数多くの実施形態のうちの１つを表す、ルーチン「生の２進数列を選別（または変更）する」のための制御フロー図である。 本発明の一実施形態を表す、単一光子状態を用いて乱数列を生成する、光学ベースの量子乱数発生器を示す図である。 本発明の一実施形態を表す、可変損を含む、光学ベースの量子乱数発生器を示す図である。 本発明の一実施形態を表す、光ビーム及びミラーを用いる、光学ベースの量子乱数発生器を示す図である。

Claims (9)

1. 乱数列を生成するための光学ベースの自己検証システムであって、
   状態の線形重ね合わせにある光量子系を生成する入力状態発生器（１１０２、２１０２）と、
   前記光量子系の状態を測定する検出器（１１１２〜１１１５、２１０８、２１１０）と、
   前記光量子系の前記状態の測定から得られた結果を評価して、該結果に関連する数を前記乱数列に付加するか否かを判定するシステムコントロール（１１１８、２１１４）と、
   状態コントローラ（１１０４、１１０６、２１０４）であって、前記入力状態発生器（１１０２、２１０２）と前記検出器（１１１２〜１１１５、２１０８、２１１０）との間に配置され、前記光量子系の前記状態の測定から得られた結果に基づいて、前記光量子系の前記状態を保持するために前記システムコントロール（１１１８、２１１４）によって動作を制御される、状態コントローラ（１１０４、１１０６、２１０４）と、
   前記入力状態発生器（１１０２、２１０２）と前記検出器（１１１２〜１１１５、２１０８、２１１０）との間に配置され、前記光量子系の前記状態を測定することに関連する確率のバランスをとるために、前記システムコントロール（１１１８、２１１４）によって動作を制御される可変損（２２０２、２２０４）
   とを備える、自己検証システム。
2. 状態の線形重ね合わせにある前記光量子系は、
   偏光した状態の線形重ね合わせにある単一光子、
   ベル状態にある光子対、
   フイッチパス光子
   エンタングルした状態にあるフイッチパス光子、
   時間ビン光子、
   エンタングルした状態にある時間ビン光子
   のうちの１つである、請求項１に記載のシステム。
3. 前記光量子系を伝送するためのチャネルをさらに備え、該チャネルは、光ファイバ（１１２０、１１２２、２１１６）と自由空間とのうちの一方である、請求項１または２に記載のシステム。
4. 前記状態コントローラ（１１０４、１１０６、２１０４）は、前記光量子系の偏光状態を保持するための１つ又は複数のファイバスクイーザ偏光コントローラをさらに備え、前記検出器は、１つ又は複数の光子検出器をさらに備える、請求項１乃至３のいずれかに記載のシステム。
5. 乱数列を生成するための方法であって、
   入力状態発生器によって状態の線形重ね合わせにある光量子系を生成するステップと、
   検出器によって前記光量子系の状態を測定するステップと、
   前記光量子系の状態を測定するステップから得られた結果を評価して、該結果に関連する数を前記乱数列に付加するか否かを判定するステップと、
   前記入力状態発生器と前記検出器との間に配置された状態コントローラによって、前記光量子系の状態を測定するステップから得られた結果に基づいて、前記光量子系の状態を保持するステップと、
   前記光量子系の状態を測定するステップから得られた結果に基づいて、前記入力状態発生器と前記検出器との間に配置された可変損を制御することによって、前記光量子系の状態を測定することに関連する確率のバランスをとるステップ
   を含む方法。
6. 前記光量子系の前記状態に基づいて乱数を求めるステップと、
   生の乱数列を生成するために、前記生成するステップと、前記測定するステップと、前記求めるステップとを繰り返すステップと、
   前記生の乱数列から乱数列を抽出するのに用いることができる最小エントロピーを得るために、前記光量子系についてトモグラフィ解析を実行するステップ
   をさらに含む、請求項５に記載の方法。
7. 線形重ね合わせにある光量子系を生成する前記ステップは、
   偏光した状態の線形重ね合わせにある単一光子、
   ベル状態にある光子対、
   フイッチパス光子
   エンタングルした状態にあるフイッチパス光子、
   時間ビン光子、
   エンタングルした状態にある時間ビン光子
   のうちの１つ又は複数を生成するステップをさらに含む、請求項５または６に記載の方法。
8. トモグラフィ解析を実行する前記ステップは、光量子系を生成する前記ステップが所望の量子状態を生成したか否かを確認するステップをさらに含む、請求項６に記載の方法。
9. 前記最小エントロピーは
   

   

   によって与えられ、ここで、Ｘは確率変数であり、Ｐｒ（ｘ）は事象ｘの確率であり、
   

   

   はＸ内の全ての事象ｘにわたる最大確率Ｐｒ（ｘ）である、請求項６に記載の方法。

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