CN101529375A - 自鉴别量子随机位发生器 - Google Patents

Abstract

本发明的各种不同实施方案均系针对能够集成为光电电路的自鉴别量子随机位发生器。在一种实施方案中，量子随机位发生器(1100，1400)包括含有电磁辐射源(1106，1406，1412)的传输层，电磁辐射源(1106，1406，1412)与分支成第一(1111)，第二(1110)，和第三(1112)波导的波导(1108，1414)相耦合。辐射源产生第一极化状态的电磁辐射脉冲。可操作极化旋转器(1114－1117)与第二和第三波导相耦合使在第二波导中传输的脉冲转换成第二极化状态及使在第三波导中传输的脉冲转换成第三极化状态。系统控制装置(1104)根据在第一波导中传输的脉冲的极化基态产生出位序列，并且根据第二和第三脉冲的极化基态用断层分析鉴别序列的随机性。

Description

自鉴别量子随机位发生器

相关申请的交叉引用

本申请是2006年4月20日提交的申请No.11/407,513和2006年10月10日提交的申请No.11/546,158的部分后继申请。

技术领域

本发明涉及到随机数发生器，特别是使用量子系统的量子力学特性产生随机位序列的方法和系统。

背景技术

随机数在许多领域都有应用，包括游戏、统计采样、求解积分方程、粒子输运计算，以及统计物理学中的计算，仅举此几例。因此，随机数发生器(“RNG”)在使用随机数的方法和系统中扮演了重要的角色。例如，RNG是安全系统的关键部件并且广泛地用来产生用于密码学的密钥。理想的RNG产生事先不能够预测，不能可靠地复制，以及按照均匀分布进行分布的数。换言之，RNG在理论上可产生无偏随机数序列。不过，许多常用的RNG要么是产生形似随机数的序列要么是易于产生数的偏置序列。

使用公式和数字方法已经在软件上实现了产生形似随机数序列的RNG。基于软件的RNG通常是以公式为基础的RNG并称之为“伪随机数发生器”，因为只要使用同样的初始参数，这些公式就能够预测和复制伪随机数序列。递归的莱默(Lehmer)伪随机数发生器(“LPNG”)就是常用伪随机数的一个实例，其由下式给出：

x_n+1＝Ax_n+C(modM)

式中

X_n是随机数序列的第n个数；及

A，C，和M是可以对其进行调整以保证由LPNG产生的数序列看似随机的参数。

通常，指定M为计算机用来计算伪随机数序列的字长，而X₀，即起动源，被赋以质数。例如，对A，C，和M分别地赋以数值21，1，和32(5位)，对X₀赋以质数13时，LPNG产生具有以下伪随机整数：13，18，27，24，25，14，7，等的序列。供选择的方法用每次起动伪随机数发生器时由计算机系统时钟所产生的时间可以起动伪随机数发生器。但是，即使使用由系统时钟所提供的时间也并不是绝对可靠的，因为人们可能能够在起动伪随机数发生器时就确定这一时间。

已经开发出根据由原子，分子，及电系统所产生的热噪声中检测到的无序波动来产生随机数序列的基于硬件的RNG。例如，由流过电阻器电流所产生的热噪声通过把数分配给电压平衡波动幅度便能够用作为随机数序列的源。但是，基于硬件的RNG并非总是可靠的，因为所利用的系统易于受环境变化的影响。例如，基于电噪声的RNG通过改变系统的温度能被偏置。此外，通常用来鉴别由基于硬件的RNG所产生之序列的随机性的方法是确定性的基于软件的方法，这些方法能够用来确定序列在统计学上是否性能良好但却不能用来计算序列的实随机性。而且，即使只是短暂的时间，具有适当模型或算法的足够强有力的数据处理系统也可能变得能够预测无序过程或热过程。

量子随机位发生器(“QRBG”)是另一类型基于硬件的RNG。位是在计算及信息处理中使用的最基本的信息单位，其存在于由二进制数“0”和“1”所表示的两种状态之一。QRBG以基本上相同的量子系统的量子力学特性为基础。随机数序列能够通过使每个数与对量子系统进行的测量结果相关来产生。以这种方式产生的数是真正随机的，因为每一测量把量子系统的状态投射到在进行该测量时许多可能状态中的一种状态，而且，根据量子力学的标准解释，无论怎样改进测量方法和测量设备也不能克服对量子系统所进行的测量的结果中的不确定性。因此，QRBG是产生随机数序列的最理想的系统。

量子测量可以用来产生随机位。例如，通过在含两个光电倍增管检测器的极化分束器上检测45°极化光子的传输和反射能够产生随机位序列，这两个光电倍增管检测器处在极化分束器的输出通道内。每个检测器记录检测事件有相同的概率，但我们不能预测那个检测器记录下一个检测事件。通过将二进制数“0”赋予在其中一个检测器的检测而二进制数“1”赋予在另一检测器的检测，能够建立随机二进制数序列。可以使用位序列产生随机整数序列。例如，假设将30个45°极化光子分开地传输至极化分束器产生出以下随机位序列：

000110101011100101010111100100

这个序列能够分隔成5位字给出以2为底的随机数序列00011，01010，11100，10101，01111，和00100，其然后可以转换成以10为底的分别为随机整数3，10，28，21，15，和4的对应序列。

虽然QRBG看似提供了产生随机数序列的简便的方法和系统，但是QRBG可能更易于通过修改光子源来产生具有偏置位的序列。此外，通常用来鉴别由QRBG所产生之位序列的随机性的方法是确定性的基于软件的方法，这些方法对评价位序列是否真正是随机的并不可靠。物理学家、密码工作者、计算机科学家、以及量子信息用户已经认识到了对能够用来可靠地产生随机位序列，能够集成为光电设备，以及还能够使用依靠量子系统非确定性特性的方法检测，鉴别，和校正随机位序列中偏置的QRBG的需求。

发明内容

本发明的各种不同实施方案均系针对能够集成为光电电路的自鉴别量子随机位发生器。在本发明的一个实施方案中，自鉴别量子随机位发生器包括传输层和系统控制装置。传输层包括与分支成第一波导，第二波导，和第三波导的波导相耦合的电磁辐射源。另外，将电磁辐射源配置成产生第一极化态的电磁辐射脉冲。设置一个或多个极化旋转器并将其配置成使在第二波导中传输的脉冲转换成第二极化态和使在第三波导中传输的脉冲转换成第三极化态。将系统控制装置配置成根据在第一波导中所传输脉冲的极化基态产生位序列，以及根据在第二和第三波导中所传输脉冲的极化基态用断层分析来鉴别位序列的随机性。

附图说明

图1图示出立方体共振腔。

图2图示出以两个独立极化向量和一个归一化波向量为基向量的三维坐标系。

图3图示出在图2所示坐标系中电磁波的电场和磁场分量的图形。

图4为量子化电磁辐射的能级图。

图5图示出与从源所输出并在波导中传输至检测器的脉冲相关的概率分布。

图6A-6B示出了垂直和水平极化基态的曲线图。

图7图示出极化状态的波因凯尔球(Poincare sphere)图。

图8A-8D示出了四个极化状态的曲线图。

图9图示出斯托克斯参数(Stokes paramerers)的几何图形。

图10图示出代表本发明一种实施方案的量子随机数发生器的的总示意图。

图11图示出代表本发明一种实施方案的第一量子随机位发生器的示意图。

图12A-12B图示出代表本发明一种实施方案的开槽极化旋转器。

图13A-13B图示出代表本发明一种实施方案的斜脊极化旋转器。

图14A-14C图示出每个都代表本发明一个实施方案的三个不同随机位发生器的示意图。

图15图示出可以由代表本发明一种实施方案的系统控制装置记录的原始计数的虚拟序列。

图16图示出从代表本发明一种实施方案的原始计数序列产生出随机位序列。

图17图示出示于图10中对对手方案的量子随机数发生器。

图18为代表本发明一种实施方案的最小熵曲线图。

图19示出代表本发明产生随机位序列许多实施方案中之一个实施方案的控制流程图。

图20示出图19步骤1906中调用的例行程序“产生原始二进制数序列

”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。

图21示出图19步骤1908中调用的例程“断层分析(tomographicanalysis)”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。

图22为图19步骤1910中调用的例程“筛选原始二进制数序列”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。

具体实施方式

本发明的各种不同实施方案均系针对能够集成为充电设备的自鉴别量子随机位发生器(“QRBG”)。本发明的系统实施方案产生随机位序列并包括基于量子力学的方法，这些方法能够用来估算和鉴别序列的随机性和从序列中消除偏置位。另外，系统实施方案还足够小足以包括在光电设备内，如个人计算机、服务器、以及便携电子设备，仅举此几例。

本发明的实施方案本质上是数学性质的，为此，下文参照许多方程式和大量图解予以说明。虽然仅只数学表达式对那些量子光学和量子信息学领域中的技术人员就足以充分地说明和体现本发明实施方案的特性，但是包含在下面讨论中的更多的图解，面向问题的实例，以及控制流程图方法，其意图是以各种不同的方式举例说明本发明的各种不同实施方案使得本发明可以为具有不同背景的读者所利用。另外，为了帮助读者了解本发明各种不同实施方案的说明，提供了物理学中有关论题的概述章节。在第一小节中，给出量子力学概述。在第二小节中给出电磁辐射和量子光学概述。第三小节中给出相干状态概述。第四小节中给出极化状态和斯托克斯参数概述。最后，在第五小节中说明了本发明各种不同的系统和方法实施方案。

量子力学概述

本发明的实施方案利用量子力学中的概念。由ClaudeCohen-Tannoudji，Bernard Diu和Frank Laloe，Hermann编著的教科书“Quantum Mechanics，Vol.I and II”(“量子力学，第一卷和第二卷”)(法国，巴黎，1977)是量子力学领域诸多参考文献之一。在本小节中，对涉及本发明实施方案的量子力学中的论题予以说明。更多的细节可以从上面参考的教科书，或者从涉及量子力学的其他教科书，论文，以及杂志文章得到。

量子力学模拟了包括光子，电子，原子，和分子等系统的被观测行为，原子和亚原子能级。量子系统存在于由离散可测量量为特征的离散状态。量子系统的状态用右矢(ket)来代表并用|Ψ>表示，这里Ψ为表示量子系统状态的标记。例如，电子具有两个固有的自旋角动量状态，它们与两个可测量的自旋角动量值h/2和-h/2相对应，这里h约为1.0546×10^-34J(焦耳)。与自旋角动量h/2相对应的自旋态称之为“上旋”并可以用|↑>表示，而与自旋角动量-h/2相对应的自旋态称为“下旋”并可用|↓>表示。可将各种不同的标记赋予各种不同的量子状态。例如，上旋和下旋状态|↑>和|↓>还可以分别用右矢|¹/₂>和|-¹/₂>表示。另外，单一标记也能够用来代表完全不同的量子系统中的不同状态。例如，右矢“|1>”可以代表双原子分子的第一量子化振动能级，同时也能够用来代表如在下一小节中所述的单个光子。

用来确定量子系统可测量量的测量用标符

表示，这里符号“^”表示算符。通常，算符自左对右矢运算如下：

$\widehat{\mathrm{\Ψ}}\left(\right|\mathrm{\Ψ}>)=\widehat{\mathrm{\Ψ}}|\mathrm{\Ψ}>$

式中为代表所观测量子状态的右矢。通常，算符

与称为“本征态”的状态集相关。本征态表示成“|Ψ_i>”，其具有以下特性：

$\widehat{\mathrm{\Ψ}}|{\mathrm{\ψ}}_{.i}>={\mathrm{\ψ}}_i|{\mathrm{\ψ}}_i>$

这里i为非负整数；Ψ_i为实值，称为“本征值”，它与量子系统处在本征态|Ψ_i>时所观测的离散实值可测量量相对应。例如，用来确定与z轴相平行之电子的自旋角动量的测量用

表示，而所观测自旋角动量数值的本征值-本征态的表达式是：

${\hat{S}}_z|\↑>=\frac{h}{2}|\↑>,$ 和

${\hat{S}}_z|\↓>=-\frac{h}{2}|\↓>$

算符的本征态为跨越称为“状态空间”的复向量空间的复向量。本征态构成向量空间的基，如果属于状态空间的每个状态对该基有一个独有的线性叠加的话。例如，在由算符

的N个本征态{|Ψ_i>}所跨越之状态空间中的状态|Ψ>可以写成线性叠加状态如下：

$|\mathrm{\Ψ}>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i|{\mathrm{\ψ}}_i>$

式中C_i是称为“幅度”的复值系数。与算符相关的状态空间还称为“希尔伯特空间(Hilbert space)”。希尔伯特空间包括称为“内积”的数学运算。两个状态|Ψ>和|Ξ>的内积用下式表示：

<Ξ|Ψ>

式中<Ξ|称为“左矢”(bra)，它代表状态|Ξ>的复共轭和易位。内积有以下特性：

<Ξ|Ψ>＝<Ψ|Ξ>*

这里“*”表示复共轭。希尔伯特空间的基本征态为标准正交，或以数学符号表示为：

<ψ_i|ψ_j>＝δ_ij

式中δ_ij在i等于j时为1，否则为0。例如，单电子希尔伯特空间的本征态内积是：

<↑|↑>＝<↓|↓>＝1，和

<↑|↓>＝<↓|↑>＝0

希尔伯特空间本征态的标准正交性特性可以用来确定线性叠加状态|Ψ>的系数。取|Ψ>与|Ψ_i>的内积给出相应的系数：

$<{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i<{\mathrm{\&psi;}}_j|{\mathrm{\&psi;}}_i>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}=c_j$

将系数代入线性叠加中给出：

$|\mathrm{\&Psi;}>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}>$

因为|Ψ>是希尔伯特空间的任意右矢，故

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i|=\hat{1}$

式中

是全同算符。总和称为“完全性关系”，本征态{|Ψ_i>}说成是“完全的”。

在对应于算符的测量之前，量子系统可以认为是同时存在于算符

的所有本征态{|Ψ_i>}，其用(一点)线性叠加状态表示：

$|\mathrm{\&Psi;}>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}>$

与算符相应的测量将初始时在状态|Ψ>的量子系统投射到其中一种本征态|Ψ_i>。换言之，对量子系统的测量实质上是一个滤波过程，其将量子系统的状态置入在测量时线性叠加中其中一个本征态。例如，在与算符相对应的测量之前自旋取向未知的电子以如下线性叠加状态表示：

|Ψ>＝c₁|↑>+c₂|↓>

自旋确定性测量在测量的时刻将电子的状态要么投射到状态|↑>要么投射到状态|↓>。换言之，就在自旋确定性测量之后，电子要么处在状态|↑>要么在状态|↓>。

作为测量的结果在量子系统的状态中有一个相应的不可逆变化。不可逆性只能在进行测量之前量子系统已经处在其中一种量子状态时才可避免。因此，我们不能够根据单一测量的结果推断量子系统的先前状态。例如，如果自旋测量的结果是h/2，就不可能确定在测量的时刻系统曾经处在状态|↑>还是处在自旋态|↑>和|↓>的线性叠加态。

尽管不能够事先知道量子系统的状态将会投射到不同状态中的那一个状态|Ψ_i>，在测量之后马上就求出处在特定状态|Ψ_i>的量子系统的概率由下式给出：

Pr(ψ_i)＝|c_i|²＝|<ψ_i|Ψ>|²

式中|Ψ>是归一化的，而|c_i|²等于c_i*c_i并给出了结果概率。例如，在自旋基{|↑>，|↓>}内的自旋确定性测量之前，认为相干制备的电子求出其在自旋态|↑>的概率为1/2，求出其在自旋态|↓>的概率为1/2。与自旋确定性测量前处在这种自旋态的电子相关的状态可以用下式表示：

$|\mathrm{\&Psi;}>=\frac{1}{\sqrt{2}}|\&UpArrow;>+\frac{1}{\sqrt{2}}|\&DownArrow;>$

对由线性叠加状态|Ψ>表示的量子系统所进行的测量的期望值在数学上用下式表示：

$<\widehat{\mathrm{\&Psi;}}>=<\mathrm{\&Psi;}\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|\mathrm{\&Psi;}>$

并且通过应用完全性关系确定期望值如下：

$<\widehat{\mathrm{\&Psi;}}>=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}<\mathrm{\&Psi;}|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i|\widehat{\mathrm{\&Psi;}|}{\mathrm{\&psi;}}_j><{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}>$

$=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&psi;}}_i{|<{\mathrm{\&psi;}}_i|\mathrm{\&Psi;}>|}^2$

期望值表示根据对集合中量子系统的测量所预期的加权本征值平均结果，这里量子系统的初始状态|Ψ>对集合中的每一项是相同的。换言之，代表每个量子系统的线性叠加状态在测量前是完全相同的。实际上，这种集合通过制备全部处在同样状态的许多相同并独立的量子系统，或者通过重复地制备处在同样状态的单个系统能够得以实现。注意，期望值可能不是对每个测量所得到的值，因此，它不应与从该测量得到的本征值相混淆。例如，

的期望值可以是本征值h/2与-h/2之间的任何实值，但是对电子的

其实测值在每个单独测量中总是h/2或-h/2。

状态|Ψ>中的单个量子系统的期望值使用由下式：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=|\mathrm{\&Psi;}><\mathrm{\&Psi;}|$

定义的密度算符也能够说明，式中状态|Ψ>也称为“纯态”，其与下面说明的统计混合状态截然不同。密度算符在{|Ψ_i>}基中由称为“密度矩阵”的矩阵表示。密度矩阵的矩阵元为：

${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}=<{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j>=c_i^{*}{c}_j$

密度算符体现量子系统状态的特征。换言之，密度算符提供了依据状态|Ψ>能计算出的所有物理信息。例如，密度矩阵对角矩阵元的和由下式给出：

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left|c_i\right|}^2=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ii}}=\mathrm{Tr}\left(\mathrm{\&rho;}\right)=1$

式中Tr代表矩阵对角元的踪迹或和。例如，纯态的双态量子系统：

|Ψ>＝c₁|ψ₁>+c₂|ψ₂>

其密度矩阵由下式给出：

$\mathrm{\&rho;}=\left[\begin{array}{cc}{c}_1{c}_1^{*}& c_1{c}_2^{*}\\ c_2{c}_1^{*}& c_2{c}_2^{*}\end{array}\right]$

其中对角元是与把量子系统投射到状态|Ψ₁>还是状态|Ψ₂>相关的概率，而非对角元则表示状态|Ψ₁>与|Ψ₂>间的干扰作用。此外，状态|Ψ>中量子系统的期望值可以表示成为：

$<\widehat{\mathrm{\&Psi;}}>=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}<{\mathrm{\&psi;}}_j|\mathrm{\&Psi;}><\mathrm{\&Psi;}|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j>$

$=\underset{i,j}{\mathrm{\&Sigma;}}<{\mathrm{\&psi;}}_j\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_j>$

$=\mathrm{Tr}\left\{\widehat{\mathrm{\&rho;}}\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right\}$

然而，关于量子系统的信息并不完全则是常有的情况。例如，量子系统可以处在状态|Ψ₁>，|Ψ₂>，|Ψ₃>，...中的任何一种状态，每一种状态的相关概率为p₁，p₂，p₃，...，其中这些概率满足条件：

0≤p₁，p₂，p₃，...≤1，和

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i=1$

将这种量子系统说成是存在于“统计混合状态”。统计混合状态的密度算符可以确定如下。如上所述，对纯态|Ψ_i>的量子系统可观测量

的测量产生结果Ψ_n的概率是：

Pr_i(ψ_n)＝<Ψ_i|ψ_n><ψ_n|Ψ_i>＝|<ψ_n|Ψ_i>|²

不过，观测统计混合状态的Ψ_n的概率Pr_i(Ψ_n)要用p_i加权并对i求和而给出：

$\mathrm{Pr}\left({\mathrm{\&psi;}}_n\right)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_{i}P{r}_i\left({\mathrm{\&psi;}}_n\right)$

$=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i<{\mathrm{\&psi;}}_n|{\mathrm{\&Psi;}}_i><{\mathrm{\&Psi;}}_i|{\mathrm{\&psi;}}_n>$

$=<{\mathrm{\&psi;}}_n\left|\widehat{\mathrm{\&rho;}}\right|{\mathrm{\&psi;}}_n>$

式中

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i|{\mathrm{\&Psi;}}_i><{\mathrm{\&Psi;}}_i|$

为与统计混合态相关的密度算符。相关的密度矩阵元由下式给出：

${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{np}}=<{\mathrm{\&psi;}}_n\left|\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&Psi;}}_i><{\mathrm{\&Psi;}}_i\left|\right|{\mathrm{\&psi;}}_p>$

$=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_n^{\left(i\right)}{c}_p^{\left(i\right)*}$

对包括混合状态：

$|{\mathrm{\&Psi;}}_i>=c_1^{\left(i\right)}|{\mathrm{\&psi;}}_1>+c_2^{\left(i\right)}|{\mathrm{\&psi;}}_2>$

的双态量子系统，对其密度矩阵的物理意义予以说明。相应的密度矩阵由下式给出：

$\mathrm{\&rho;}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_{11}& {\mathrm{\&rho;}}_{12}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{21}& {\mathrm{\&rho;}}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_1^{\left(i\right)}{c}_1^{\left(i\right)*}& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_1^{\left(i\right)}{c}_2^{\left(i\right)*}\\ \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_2^{\left(i\right)}{c}_1^{\left(i\right)*}& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_2^{\left(i\right)}{c}_2^{\left(i\right)*}\end{array}\right]$

对角矩阵元可以解释成表示当量子系统的状态为|Ψ_i>时，对角矩阵元ρ₁₁表示求出状态|Ψ₁>的量子系统的平均概率，而对角矩阵元ρ₂₂表示求出状态|Ψ₂>的量子系统的平均概率。当同样的测量在相同的条件下进行N次时，将求得Nρ₁₁(N个ρ₁₁)在状态|Ψ₁>，求得Nρ₂₂在状态|Ψ₂>。非对角矩阵元ρ₁₂和ρ₂₁表示状态|Ψ₁>与|Ψ₂>之间的平均干扰作用。注意，与对角矩阵元不同，非对角矩阵元即使在乘积c₁ ⁽ⁱ⁾c₂ ^(i)*和c₂ ⁽ⁱ⁾c₁ ^(i)*中没有一个是零时其也可以是零，这就意味着对N个测量的平均已经消除了状态|Ψ₁>与|Ψ₂>间的干扰作用。

张量积是把不同量子系统的希尔伯特空间组合起来形成代表组合量子系统的希尔伯特空间的一种方法。例如，H_Ψ为第一量子系统的希尔伯特空间。H_Ξ为第二量子系统的希尔伯特空间。用表示的希尔伯特空间代表组合的希尔伯特空间，这里符号

代表张量积。算符

和

分别对应于希尔伯特空间H_Ψ和H_Ξ，而每个算符只对相应的本征态运算如下：

$(\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\&CircleTimes;\widehat{\mathrm{\&Xi;}})\left(\right|\mathrm{\&psi;}>\&CircleTimes;|\mathrm{\&xi;}>)=\left(\widehat{\mathrm{\&Psi;}}\right|\mathrm{\&psi;}>)\&CircleTimes;\left(\widehat{\mathrm{\&Xi;}}\right|\mathrm{\&xi;}>)$

式中|Ψ>代表希尔伯特空间H_Ψ中的状态，|ξ>代表希尔伯特空间H_Ξ中的状态。张量积

可以简化为|Ψ>|ξ>，|Ψ，ξ>，或|Ψξ>。例如，原子轨道中两个电子的自旋态是组合希尔伯特空间的基。这两个电子可以是两个都上旋，两个都下旋，第一个电子上旋和第二个电子下旋，或第一个电子下旋而第二个电子上旋。两个上旋电子的各种不同张量积表达式由下式给出：

$|\&UpArrow;{>}_1\&CircleTimes;|\&UpArrow;{>}_2=|\&UpArrow;{>}_1|\&UpArrow;{>}_2=|\&UpArrow;,\&UpArrow;{>}_{12}=|\&UpArrow;\&UpArrow;{>}_{12}$

式中下标1和2是指第一和第二电子。

电磁辐射和量子光学概述

在这一小节中，对涉及本发明实施方案的电磁辐射和量子光学的简述予以说明。量子光学是涉及到把量子力学应用于电磁辐射的物理学领域。被约束在具有全反射壁共振腔的电磁辐射是量子化的。量子化的电磁辐射能够应用到更一般的无约束的光学系统，如在自由空间或在光纤中传播电磁辐射。

约束在共振腔的电磁辐射，由于没有自由电荷和电流，其包括通过向量电位

联系起来的电场分量

和磁场分量

向量电位满足波动方程：

${\&dtri;}^2\stackrel{v}{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\&PartialD;}^2\stackrel{v}{A}}{\&PartialD;t^2}=0$

以及库伦(Coulomb)非相对论计量条件：

$\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{v}{A}(\stackrel{v}{r},t)=0$

其中电场和磁场分量由下式确定：

$\stackrel{v}{E}(\stackrel{v}{r},t)=-\frac{\&PartialD;\stackrel{v}{A}(\stackrel{v}{r},t)}{\&PartialD;t},$ 和

$\stackrel{v}{B}(\stackrel{v}{r},t)=\&dtri;\&times;\stackrel{v}{A}(\stackrel{v}{r},t)$

假定电磁辐射正在传播并受具有全反射壁的立方体或量子化共振腔所施加的周期性边界条件的限制，其中壁的长度为L。图1图示出立方体共振腔100。相互垂直的轴102，104，和106代表x，y，和z笛卡尔坐标轴。有限准数的立方体共振腔100对波动方程的解施以周期性边界条件。例如，在x，y，和z方向上，向量电位波动方程的平面波解满足条件：

$\exp (i\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r})=\exp (i\stackrel{v}{k}\&CenterDot;(\stackrel{v}{r}+\stackrel{v}{L}))$

式中

是向量(L，L，L)，

称为含分量的“波向量”：

$\stackrel{v}{k}=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{L}(m_x,m_y,m_z),$ 和

m_x，m_y，和m_z为整数。

每集整数(m_x，m_y，m_z)规定了电磁辐射的标准振荡模，波向量

的大小称为波数k，其等于ω_k/c，这里c表示自由空间中的光速，ω_k为角频率。注意，在实际生活中电磁场标准振荡模的频谱实际上是连续的，而由波向量

所提供的标准振荡模的离散谱则近似于连续谱。

上述波动方程满足周期性边界条件的传播向量电位解是：

$A(r,t)=\underset{k,s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{v}{e}}_{\mathrm{ks}}^v(A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}+A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)})$

式中

A_ks ^v是电磁辐射的复幅度；

代表两个单位长度的极化向量；及

m_x，m_y，m_z＝0，±1，±2，±3，...。

对

的和代表对整数(m_x，m_y，m_z)的和，对s的和为对与每个

相关的两个独立极化的和。如下式：

${\stackrel{v}{e}}_{\mathrm{ks}}^v\&CenterDot;{\stackrel{v}{e}}_{{\mathrm{ks}}^{\&prime;}}^v={\mathrm{\&delta;}}_{{\mathrm{ss}}^{\&prime;}},$

所指明并依据上面给出的计量条件：

$\stackrel{v}{k}\&CenterDot;{\stackrel{v}{e}}_{\mathrm{ks}}^v=0,$

这两个极化向量在两个极化方向上是相互垂直的。两个极化向量

和

形成了具有由下式：

${\stackrel{v}{e}}_{k1}^v\&times;{\stackrel{v}{e}}_{k2}^v=\frac{\stackrel{v}{k}}{\left|\stackrel{v}{k}\right|}=\stackrel{v}{\mathrm{\&kappa;}}$

给出的归一化波向量的右旋坐标系。

图2图示出以两个独立极化向量和一个归一化波向量为基向量的三维右旋坐标系。在图2中，波向量202，以及极化向量

204和

206定义了分别以直线208，210，和212表示其坐标之坐标系的三个相互垂直的单位长度基向量。

向量电位的传播电场和磁场分量为：

$\stackrel{v}{E}(\stackrel{v}{r},t)=i\underset{\stackrel{\&prime;}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k{\stackrel{v}{e}}_{\mathrm{ks}}^v[A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}-A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}}{e}^{-i(\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}],$ 和

$\stackrel{v}{B}(\stackrel{v}{r},t)=\frac{i}{c}\underset{\stackrel{\&prime;}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k(\stackrel{v}{\mathrm{\&kappa;}}\&times;{\stackrel{v}{e}}_{\mathrm{ks}}^v)[A_{\mathrm{ks}}^v{e}^{i(\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}-A_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{k}}{e}^{-i(\stackrel{v}{k}\&CenterDot;\stackrel{v}{r}-{\mathrm{\&omega;}}_{k}t)}]$

电场

和磁场两者都是被称之为电场和磁场之“经典”表达式的传播波解，两者彼此相互垂直，并且两者都与波向量

相垂直。注意，波向量和极向参数s定义了被称作“空间振荡模”或电磁辐射场的“振荡模”。

图3图示出在图2所示的右旋坐标系中电磁辐射的电场和磁场分量的图形。电磁辐射沿波向量

202轴取向。电场分量

302和磁场分量

304分别沿相互垂直的极化分量204和

206取向，并在特定时间t出现冻结。

电磁辐射的能量可以通过计算哈密尔顿量(the Hamiltonian)：

$H=\frac{1}{2}\underset{v}{\&Integral;}({\mathrm{\&epsiv;}}_0\stackrel{v}{E}\&CenterDot;\stackrel{v}{E}+\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\stackrel{v}{B}\&CenterDot;\stackrel{v}{B})\mathrm{dV}$

$=2{\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V\underset{\stackrel{\&prime;}{k},s}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&omega;}}_k^2{A}_{\mathrm{ks}}^v{A}_{\mathrm{ks}}^{\stackrel{*}{v}},$

来确定，式中

ε₀是自由空间的介电常数；

μ₀是自由空间的导磁率；及

V是其振腔的体积。

介电常数ε₀表示在电场的作用下真空空间能储存电位能量的程度，而导磁率μ₀表示真空度改变磁场通量的程度。在介电介质中，介电常数还要乘以介电常数ε，ε为介质提高电位能量储存的程度，导磁率还要乘以μ，μ是介质进一步提高磁场通量的程度。

量子哈密尔顿算符由下式给出：

式中

称为“湮灭算符”，

称为“生成算符”，

称为“数字算符”，其还用表示。

在电磁场量子化时，幅度A_ks ^v由以下算符：

${\hat{A}}_{\mathrm{ks}}^v=\sqrt{\frac{h}{2{\mathrm{\&omega;}}_k{\mathrm{\&epsiv;}}_{0}V}}{\hat{a}}_{\mathrm{ks}}^v,$

给出，将其代入上面的经典电场和磁场方程得到电场和磁场算符：

和

电场和磁场算符两者都是厄米特式算符(Hermitian)，其代表可测量的电场和磁场。

因磁场的大小仅为电场的1/c，电场则是造成与带电物质大多数相互作用的原因。因此，通常仅只使用电场来体现电磁辐射性能特性以及与带电物质的任何相互作用，而磁场分量则可以忽略不计。

量子计算和量子信息处理系统能够用电磁辐射的单振荡模

运算。因此，电磁辐射单振荡模的哈密尔顿算符简化成：

式中

和

取代了上面哈密尔顿算符中与振荡模有关的算符

和

单振荡模哈密尔顿算符的本征态和相应的能量本征值是：

式中|n>称为“数字状态”，n是非负整数，其称为“光子数”。代表在电磁场中光子的数目，E_n是电磁场的能量本征值或能量。

湮灭和生成算符对数字状态的运算如下：

$\hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1>,$

和

$\hat{n}|n>=n|n>,$

式中表示算符

其称为“数字算符”。通过把湮灭和生成算符反复地应用于数字状态可以产生数字状态。例如，重复地把湮灭算符应用到数字状态降低了光子数：

$|0>=\frac{{\hat{a}}^n}{\sqrt{n!}}|n>,$

式中|0>称为“真空状态”，其代表电磁辐射的最低能态。从真空态开始，反复地应用生成算符给出：

数字状态相互垂直并构成由下式表示的完全集合：

<n′|n>＝δ_m′n，和

$\underset{n=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}|n><n|=1$

通常，与数字状态|n>相关的能量本征值方程是：

$\hat{H}|n>=\mathrm{h\&omega;}(n+\frac{1}{2})|n>=E_n|n>.$

将湮灭和生成算符应用到能量本征值方程给出：

$\hat{H}\left(\hat{a}\right|n>)=\mathrm{h\&omega;}(n-\frac{1}{2})|n-1>=(E_n-\mathrm{h\&omega;})|n-1>,$ 和

这表明电磁辐射的能级由量子能量hω均等地分隔开。换言之，电磁辐射的激发以称为“光子”的离散量能量hω出现。光子数n是指含电磁辐射的光子hω的数目。

图4是单振荡模量子化电磁幅射的能级图。水平直线代表电磁辐射的能级。能级402为最低能级，它与基底或真空状态|0>相对应。真空态的能量为hω/2或1/2的单个光子能量hω。电磁辐射更高的能级由同样的量子能量hω各自彼此分开。例如，能级404代表总电磁能量为5hω/2的电磁场，其可以认为是具有两个光子加上真空态能量hω/2的电磁辐射的能量。湮灭算符

相当于从电磁场取走一个光子，而生成算符

相当于给电磁辐射加上一个光子。例如，湮灭算符

代表从状态|n>410到更低能态|n-1>412的能量跃迁。这一跃迁通过电磁场向外界环境释放一个光子完成。相反，生成算符

表示从状态|n>410到更高能态|n+1>414的跃迁。这一跃迁通过电磁场从外界接收一个光子完成。注意，通常外界环境可以是原子，量子点，或通过双极相互作用与电磁场耦合的任何其他系统。光子的丢失或吸收将涉及到外界系统的同时激发，而光子的形成或发射会涉及外界系统的相应去激。

光子可以由光子源产生并通过自由空间或在光纤中传输。光子源能够产生单个短时爆发的电磁辐射，其称为“脉冲”，或者产生一序列或一串脉冲，每个脉冲含有一个或多个全部具有相同电磁特性，如波长、相位、和方向，的光子。具有相同光学特性的光子称为“相干”。但是，源，检测器，以及将源与检测器分隔开的介质，如光纤，并不限定光共振腔。源和检测器是无重大反射或能量循环的连续单向流动电磁能量的部件。通过自由空间或波导传输的脉冲可以用波来描述，波束可以用由下式：

$\mathrm{\&xi;}\left(t\right)={\left(\frac{2{\mathrm{\&Delta;}}^2}{\mathrm{\&pi;}}\right)}^{1/4}\exp \{-i{\mathrm{\&omega;}}_{0}t-{{\mathrm{\&Delta;}}^2(t_0-t)}^2\},$

给出的与时间相关的高斯形函数(Gaussian shaped function)来表示，式中

ω₀是脉冲频谱的中心频率，

t是时间，

t₀是波束峰处在距光子源的距离z₀时的时间，及

Δ²是强度频谱的色散。

时间t₀可以由z₀/v确定，这里v是脉冲通过自由空间或在光纤中传输的速度。

波束ξ(t)是脉冲的幅度，|ξ(t)|²是脉冲的光检测概率密度函数，其中光检测概率密度函数|ξ(t)|2满足归一化条件：

$\underset{-\&infin;}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\mathrm{dt}{\left|\mathrm{\&xi;}\left(t\right)\right|}^2=1$

在距光子源的距离z₀。时间间隔(t₁，t₂)内光子的光检测概率由下式给出：

图5图示出与从源502输出并在波导504中传输至检测器506的脉冲相关的概率分布。水平直线508代表光子从源502传输至检测器506的距离z₀，水平直线510为时间轴。曲线512表示光检测概率密度函数|ξ(t)|²。在图5中，光检测概率密度函数|ξ(t)|²512的中心在时间t₀，它相应于脉冲传输过距离z₀所用的平均时间。曲线512下的面积代表在特定时间段内检测脉冲的概率。例如，用斜线标记的区域514代表在时段t1＜t0＜t2内检测光子的概率。时间段516称为“时间仓”，它相应于在其内检测器506对光子进行检测的时段。

相干状态概述

最常见的单振荡模状态是线性叠加的数字状态。有许多不同可能的线性叠加数字状态，但相干状态：

$|\mathrm{\&alpha;}>=\exp (-\frac{1}{2}{\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2)\underset{n=0}{\overset{\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&alpha;}}^n}{\sqrt{n!}}|n>$

是在量子化电磁辐射许多就用中使用的线性叠加数字状态。相干态是湮灭算符的本征态：

$\hat{a}|\mathrm{\&alpha;}>=\mathrm{\&alpha;}|\mathrm{\&alpha;}>$

这里取复共轭给出：

但是，相干态|α>并不是生成算符

的本征态，因为不能重新安排对α求和来从

给出相干态。

数字算符的相干态期望值：

$<n>=<\mathrm{\&alpha;}\left|\hat{n}\right|\mathrm{\&alpha;}>={\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2$

表明|α|²为光子的平均数。在光子数的测量中检测n个光子的概率为泊松分布(Poisson distribution)：

$P_n={|<n|\mathrm{\&alpha;}>|}^2=\exp (-{\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2)\frac{{\left|\mathrm{\&alpha;}\right|}^2}{n!}$

此泊松分布在|α|²数值大时接近于高斯分布。

相干状态是一种量子状态，其特性很类似于具有稳定幅度和固定相位的经典电磁波。例如，与在z方向传播的电场相应的电场算符，在去除振荡模下标k和s后，是：

$=\hat{X}\cos \mathrm{\&Omega;}+\hat{Y}\sin \mathrm{\&Omega;}$

其中时间t和位移z含在以下相角内：

$\mathrm{\&Omega;}(z,t)=\mathrm{\&omega;t}-\mathrm{kz}-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}$

而电场以

为单位进行测量。

相干态近乎于经典状态，因为它给出了电场期望值或相干信号的标准正弦形状：

$\mathrm{\&Sigma;}=<\mathrm{\&alpha;}\left|\hat{E}\left(\mathrm{\&Omega;}\right)\right|\mathrm{\&alpha;}>$

$=\left|\mathrm{\&alpha;}\right|\cos (\mathrm{\&Omega;}-\mathrm{\&phi;})$

式中

α＝|α|e^iφ，

φ是振荡模相干态激发的平均相位角。

极化状态和斯托克斯参数

在本小节，讨论电磁辐射的极化状态。如上面参照图3所述，电磁辐射可以看作是传播横向电磁波。正是仅只电场分量可以用来代表电磁波，因为电场是造成与带电物质大多数相互作用的原因，而磁场的大小只是电场的1/c。如图3中所示，在电磁场的振荡电场

分量和相关的波向量

两者都驻留在振动平面时就说该场是“被线性极化”。通过一个或多个极化器来传输包括无数随机极化的电磁波能够形成一定的极化状态。每个极化器是只传输其电场分量与极化器极化轴对准的电磁波的一种设备。

任意两个相互垂直的线性极化状态都可以用来限定由{|H>，|V>}表示的极化基。第一极化态|H>代表在称为“水平极化”的第一方向上被极化的电磁波，第二极化态|V>代表在与第一方向相垂直、称为“垂直极化”的第二方向上被极化的电磁波。极化基态满足以下条件：

<H|H>＝<V|V>＝1，和

<H|V>＝1

图6A-6B示出了极化基态|H>和|V>的曲线图。在图6A-6B中，相互垂直的轴，如图6A中相互垂直的轴601-603，分别代表x，y，和z笛卡尔坐标轴。图6A示出了处在yz平面的电场

604的垂直极化态|V>。方向箭头606表示电场

604朝向观测平面608传播的方向。从观测平面608，我们能够观测到在波沿着z轴传播通过一个波长λ时电场

604通过一个完整振荡周期的过程。振荡周期用双头方向箭头610表示。图6B示出处在xz平面的电场

612的水平极化态|H>。相关的水平振荡周期用观测平面608中的双头方向箭头616表示。

极化基{|H>，|V>}还可以用来建立用|x>表示的无数个极化态。这些极化态在数学上可以表示成相干线性叠加状态：

$|\mathrm{\&chi;}>=\cos \left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)|H>+e^{\mathrm{i\&phi;}}\sin \left(\frac{\mathrm{\&theta;}}{2}\right)|V>$

式中

0≤θ＜π，和

0≤φ＜2π。

电磁波的无数个极化态在几何上可以用三维的布洛赫球(Blochsphere)表示，它在这种情况下也称为“波因凯尔球”。

图7图示出极化状态的波因凯尔球图形。如图7中所示，直线701-703分别为相互垂直的坐标轴，波因凯尔球704的球心在原点。波因凯尔球704上有无数个点，每个点代表电磁波的一个特有的极化态|x>。例如，点705代表同时包括部分状态|H>和部分状态|V>的极化态|x>。六个点706-711标识出波因凯尔球704与坐标轴701-703间的交点。点706和707分别标识极化基态|H>和|V>，而点708-711分别代表相互垂直的极化态：

$|R>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|H>+i|V>),$ 和

$|L>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|H>-i|V>),$

图8A-8D分别示出四个极化状态|45°>，|-45°>，|R>，和|L>的曲线图。图8A示出处在与水平xz平面成45°倾角的振动平面802内的45°极化态|45°>。极化态|45°>的振荡周期用双头方向箭头804表示。图8B示出处在与水平xz平面成-45°倾角的振动平面806内的-45°极化态|-45°>。极化态|-45°>的振荡周期用双头方向箭头808表示。图8C示出右旋循环极化态|R>，其包括图6A和6B中所示相对相位差δ为-π/2的垂直和水平极化场604和612。右旋极化态的振荡周期用认为是按顺时针方向814旋转的相互垂直的双头方向箭头810和812表示。图8D示出左旋循环极化态|L>，其也包括垂直和水平极化场604和612，但相对相差δ为π/2。右旋极化态的振荡周期用认为是按拟时针方向820旋转的相互垂直的双头方向箭头816和818表示。

任何极化状态都可以用称为“斯托克斯参数”的四个量的线性组合来表示。斯托克斯参数是表示准单色电磁辐射极化状态的一种简便办法，因为电磁辐射测量通常只能确定强度或光子的数目而不是极化状态。斯托克斯参数都具有同样的维数，而且对单色波，它们由下述四个量给出：

$S_0=<a_1^2>+<a_2^2>,$

$S_1=<a_1^2>-<a_2^2>,$

S₂＝2<a₁a₂cosδ>，和

S₃＝2<a₁a₂sinδ>

式中

符号“<·>”表示平均值；

a₁和a₂是电场向量两个不同的相互垂直分量E_x和E_y的瞬时幅度；及

δ是分量E_x和E_y间的相位差。

对单色波，斯托克斯参数中只有三个是独立的，因为这些参数还由全同性联系起来：

$S_0^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$

注意，对部分相干准单色波，斯托克斯参数由下面的不等式联系起来：

$S_0^2\&GreaterEqual;S_1^2+S_2^2+S_3^2$

斯托克斯参数通过下面的斯托克斯关系式相互联系起来：

S₁＝S₀cos2χcos2ψ，

S₂＝S₀cos2χsin2ψ，和

S₃＝S₀sin2χ

式中

0≤Ψ≤π，

$-\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}\&le;\mathrm{\&chi;}\&le;\frac{\mathrm{\&pi;}}{4}.$

图9图示出斯托克斯参数S₁，S₂，和S₃的几何图形。如图9中所示，直线902-904分别为相互垂直的x，y，和z笛卡尔坐标轴。半径为S₀的球体906是所有不同极化状态的几何图形。斯托克斯参数S₁，S₂，和S₃被认为是球体906上点908的笛卡尔坐标，2_x和2_Ψ为球面角坐标。对具有已知强度S₀的每个可能的极化态，在球906上有一个相应的点，反之亦然。右旋极化用球906上处在赤道xy平面910以上的点表示，而左旋极化用球906上处在赤道xy平面以下的点表示。对线性极化的电磁辐射，相位差δ为零或π的整数倍，参数S₃为零。换言之，线性极化电磁辐射用处在球906和xy平面910光线上的点表示。对循环极化的电磁辐射，<a₁>等于<a₂>，相位差δ为π/2或-π/2。因此，右旋循环极化电磁辐射用点912表示，左旋循环极化电磁辐射用点914表示。注意，对部分相干的准单色波，其状态用位于球906内的点表示，如以上不等式所示。

通常，对斯托克斯参数通过将每个参数涂以参数S₀进行归一化，其相当于使用单位强度的入射束。随机极化电磁辐射的斯托克斯参数(S₀，S₁，S₂，S₃)在归一化表示中为(1，0，0，0)，其相应于球906的球心。归一化斯托克斯参数列在表I：

表I

电磁辐射任何准单色波的斯托克斯参数可以由强度或光子数测量结果确定并由以下关系式给出：

S₀＝I(0°，0)+I(0°，0)，

S₁＝I(0°，0)-I(90°，0)，

S₂＝I(45°，0)-I(-45°，0)，和

这里I(θ，ε)表示在y分量相对于x分量发生延迟ε时其电场振动与x轴构成角度θ的电磁辐射的强度。例如，强度I(0°，0)和I(90°，0)表示水平和垂直极化电磁辐射的强度，I(45°，0)和I(-45°，0)可表示45°和-45°极化电磁辐射的强度，而

和

则表示右旋和左旋循环极化电磁辐射的强度。

注意，参数S₀表示总强度。参数S₁等于由接收角度θ等于0°的线性极化的极化器所传输的电磁辐射对由接收角度等于90°的线性极化的极化器所传输的电磁辐射在强度上的超出量。参数S₂有类似的解释。参数S₃等于由接收右旋循环极化电磁辐射的极化器所传输的电磁辐射对由接收左旋循环电磁辐射的极化器所传输的电磁辐射在强度上的超出量。

本发明实施方案

本发明的各种不同实施方案均系针对能够集成为光电设备的自鉴别QRBG。本发明的方法实施方案包括断层分析，其用来计算和鉴别由本发明的系统实施方案所产生的随机位序列的随机性。

I.量子随机位发生器

图10图示出代表本发明一种实施方案的QRBG 1000的总示意图。QRBG 1000包括状态发生器1002，极化状态分析器(“PSA”)1004，原始位发生器(“RBG”)1006，以及系统控制装置1008。状态发生器1002输出相干状态为：

$|{\mathrm{\&alpha;}}_{45}>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\right|{\mathrm{\&alpha;}}_H>+|{\mathrm{\&alpha;}}_V>)$

的电磁辐射的45°极化脉冲1010，式中

|α_H>表示水平极化相干态，

|α_V>表示垂直极化相干态。

术语“水平”是指其电场分量在QRBG 1000的平面中被极化的电磁波，术语“垂直”是指其电场分量在与QRBG 1000的平面相垂直的平面中被极化的电磁波。将电磁辐射的极化脉冲|α₄₅>1010分开使得脉冲|α₄₅>1010的第一部分传输至PSA 1004而脉冲|α₄₅>1010的第二部分传输至RBG 1006。PSA 1004和RBG 1006的各种系统实施方案在下面参照图11-14予以说明。对由状态发生器1002产生的每个脉冲|α₄₅>1010，PSA1004将初始状态投射到电磁辐射的四个不同的极化相干状态。这四个不同极化相干状态是：(1)45°极化脉冲|α₄₅>1012，(2)-45°极化脉冲|α_-45>1013，(3)右旋循环极化脉冲|α_R>1014，及(4)左旋循环极化脉冲|α_L>1015。PSA 1004包括检测系统1018，其检测状态1012-1015并将检测结果传输至系统控制装置1008。RBG 1006包括光衰减器1020，其将脉冲|α₄₅>1010中的光子数减少如下：

式中

|H>表示包括单个光子的水平极化脉冲，

|V>表示包括单个光子的垂直极化脉冲。

RBG 1006包括检测系统1022，其检测单光子的存在并将检测结果传输至系统控制装置。

使用光子极化状态|H>和|V>对位进行编码。例如，可以使用状态|H>的检测代表二进制数“1”，而使用状态|V>的检测代表二进制数“0”。对QRBG 1000的N个运算循环，系统控制装置1008接收由PSA 1004和RBG 1006提供的检测结果并输出由向量

表示的随机位序列，这里m表示随机位的个数，且m＜N，下文参照图15-22说明的方法实施方案是针对建立随机位序列

图11-16图示出符合上述QRBG 1000总示意图的本发明各种不同的QRBG系统实施方案。为简便起见，对图11-16中所示各不同QRBG所共有的部件均配以相同的参考数字，而其结构和功能的解释也不再重复。

图11图示出代表本发明一种实施方案的第一QRBG 1100的示意图。QRBG 1100包括电磁辐射传输层1102和系统控制装置1104。传输层1102包括激光二极管1106和分成为三个波导1110-1112的脊形波导1108。传输层1102可用氮氧化硅(“SiON”)板或合适的光聚合物，如SU-8，制作。波导1108和1110-1112使用各种熟悉的活性离子蚀刻和平版印刷方法能够在板上形成。QRBG 1100包括三个半波极化旋转器1114-1116，以及一个四分之一波极化旋转器1117。能够用来把极化引入到波导1110和1112的极化旋转器的种类在下面参照图12和13予以说明。QRBG 1100包括分别靠近波导1110-1112终端的三个极化分束器1124-1126。极化分束器1124-1126各自由分别处在紧靠着波导1110-1112的锥形波导管组成。例如，极化分束器1124包括一个较短的波导管1136。这些较短波导管的锥形部分各自配置成使得在水平极化脉仍留在波导1110-1112的同时从波导1110-1112瞬息地抽出垂直极化的脉冲。系统控制装置1104包括p-i-n光电检测器1128-1131和两个雪崩充电二极管1132和1133。

图12A-12B图示出代表本发明一种实施方案的开槽极化旋转器1200。图12A图示出含8个槽的开槽极化旋转器的顶视图，这八个槽用涂黑的长方形表示，如黑色长方形1202。槽有基本上呈周期性变化的间隔P以及长度L。图12B图示出示于图12A代表本发明一种实施方案的开槽极化旋转器1200的剖面图。将槽以角度中蚀刻进脊形波导1204，蚀刻深度为d。开槽极化旋转器1200可以制造成类似于波板那样工作，这在较大尺寸的光学应用中是人们所熟悉的。例如，在本发明的各种不同实施方案中，开槽极化旋转器1200可以以适当选择的参数L，p，φ，及d制造使得开槽极化旋转器1200能够类似于半波板或四分之一波板那样工作。对开槽极化旋转器的更详细的说明，请见‘2005.6.第13卷，第13期光学快讯’中Maria V.Kotlyar等人的“InP基材中的小型极化变换器”。

图13A-13B图示出代表本发明一种实施方案的斜脊极化旋转器1300。图13A图示出代表本发明一种实施方案的斜脊极化旋转器1300的等比例视图。斜脊极化旋转器1300的长度为L，嵌入在脊形波导1302，它包括斜坡侧壁1304和与其相对的垂直侧壁1306。斜脊极化旋转器1300用适当的绝缘层1308，如SiO₂，支承。图13B图示出代表本发明一种实施方案的斜脊极化旋转器1300的剖面图。斜脊极化旋转器1300也能够制造成类似于波板那样工作。例如，在本发明的各种不同实施方案中，斜脊极化旋转器1300可以以适当选择的高度H，h，hr，宽度W，及长度L制造使得斜脊极化旋转器1300能够类似于半波板或四分之一波板那样工作。对于斜脊波导的进一步说明，请见‘2006.4.光学工程45(4)，044603’中“光源绝缘体上硅极化旋转波导”；‘2005.10.第17卷，第10期IEEE光子技术通信中“非对称SOI极化旋转器的折曲特征”；2004.5.第22卷，第5期光波技术杂志’中“斜肋波导InGaAsP-InP极化转换器”。

再回到图11，下面是对于由代表本发明一种实施方案的激光二极管1106所产生之单脉冲的QRBG 1100工作的总说明。可以配置激光二极管1106来发射水平极化状态|α_H>或垂直极化状态|α_V>的电磁辐射相干脉冲。半波极化旋转器1114接收相干脉冲并输出45°极化相干脉冲|α₄₅>。通过三通结传输脉冲|α₄₅>给出：

|α₄₅>→c_A|α₄₅>_A+c_B|α₄₅>_B+c_C|α₄₅>_C

式中

|c_A|²+|c_B|²+|c_C|²＝1，

|α₄₅>_A表示在波导1110中传输的45°极化脉冲，

|α₄₅>_B表示在波导1111中传输的45°极化脉冲，及

|α₄₅>_C表示在波导1112中传输的45°极化脉冲。

波导1111可以任选地包括减小脉冲|α₄₅>_B强度的衰减器1142。选定的衰减器1142和极化分束器1125与上面参照图10所述的RBG 1006相对应，而且通过将二进制数“0”赋予在其中一个雪崩光电二极管的检测事件以及将二进制数“1”赋予在另一雪崩光电二极管的检测事件，能够用来建立位序列。在本发明的各种不同实施方案中，通过把掺杂物注入进波导1111能够制造衰减器1142，衰减器1142把脉冲|α₄₅>_B的强度减小到由下式表示的单光子能量：

极化分束器1125将脉冲|45°>分开使得在雪崩光电二极管1132检测单光子脉冲或在雪崩光电二极管1133检测单光子脉冲基本上有相等的概率，脉冲|45°>在{|H>，|V>}基中由下式表示：

式中

|H>表示在波导1111中传输并由雪崩光电二极管1132检测的水平极化单光子脉冲，

|V>表示在波导1136中传输并由雪崩光电二极管1133检测的垂直极化单光子脉冲。

分别在波导1110和1112中传输的脉冲|α₄₅>_A和|α₄₅>_C用来进行如下文参照图15-22所述的断层分析。波导1110和1112以及相应的极化旋转器1115-1117与上面参照图10所述的PSA 1004相对应。可以配置四分之一波极化旋转器1117使输入脉冲的垂直极化分量延迟一个1/4波长，并可配置半波极化旋转器1115和1116使极化旋转45°。

下文说明了极化旋转器1115和1117如何对波导1110中传输的任意极化脉冲进行运算。在脉冲到达四分之一波极化旋转器1117之前，脉冲在{|α_H>，|α_V>}基中由下式表示：

|β>_A＝a|α_H>_A+b|α_V>_A

其中|a|²+|b|²＝1。由四分之一波极化旋转器1117所进行的运算由下式体现其特征：

$\left|\mathrm{\&beta;}{>}_A\stackrel{\mathrm{QWPR}}{\&RightArrow;}a\right|{\mathrm{\&alpha;}}_H{>}_A+\mathrm{ib}|{\mathrm{\&alpha;}}_V{>}_A$

通过适当制造的半波极化旋转器1115来仿制四分之一波极化旋转器1117给出：

$a|{\mathrm{\&alpha;}}_H{>}_A+\mathrm{ib}|{\mathrm{\&alpha;}}_V{>}_A\stackrel{\mathrm{HWPR}}{\&RightArrow;}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[(a+\mathrm{ib})\right|{\mathrm{\&alpha;}}_H{>}_A+(-a+\mathrm{ib})\left|{\mathrm{\&alpha;}}_V{>}_A\right]$

配置极化分束器1124使得状态|α_H>_A传输至p-i-n光电检测器1128，使状态|α_V>_A传输至p-i-n光电检测器1129。

注意，当初始制备的脉冲在 $a=b=1/\sqrt{2}$ 的状态时，脉冲在正好到达四分之一波极化旋转器1117之前处在状态|α₄₅>_A。从四分之一波极化旋转器1117出射的脉冲为右旋循环极化脉冲并以|α_R>_A表示，后面跟随有半波极化旋转器1115的极化旋转器1117将脉冲投射到状态：

$\frac{1}{2}\left[(1+i)\right|{\mathrm{\&alpha;}}_H{>}_A+(-1+i)\left|{\mathrm{\&alpha;}}_V{>}_A\right]$

因此，在p-i-n光电检测器1128检测水平极化脉冲|α_H>_A的概率为1/2，在p-i-n光电检测器1129检测垂直极化脉冲|α_V>_A的概率为1/2。

通常，就在半波极化旋转器1116之前，在波导1112中传输的任意极化脉冲在{|α_H>，|α_V>}基中由下式体现其特征：

|β>_C＝a|α_H>_C+b|α_V>_C

其中|a|²+|b|²＝1。由半波极化旋转器1116所进行的运算由下式体现其特征：

$a|{\mathrm{\&alpha;}}_H{>}_C+b|{\mathrm{\&alpha;}}_V{>}_C\stackrel{\mathrm{HWPR}}{\&RightArrow;}\frac{1}{2}\left[(a+b)\right|{\mathrm{\&alpha;}}_H{>}_C+(-a+b)\left|{\mathrm{\&alpha;}}_V{>}_C\right]$

注意，当初始制备的脉冲在 $a=b=1/\sqrt{2}$ 的状态时，脉冲在正好到达半波极化旋转器1116之前处在状态|α₄₅>_C。从半波极化旋转器1116出射的脉冲的状态由给出如下：

|α_H>_C

换言之，半波极化旋转器1116将状态|α₄₅>_C投射到状态|α_H>_C。在初始时 $a=1/\sqrt{2}$ 和 $b=-1/\sqrt{2}$ 时，脉冲刚好在到达半波极化旋转器1116前处在状态|α_-45>_C。从半波极化旋转器1116出射的脉冲的状态给出如下：

|α_V>_C

换言之，半波极化旋转器1116将状态|α₄₅>_C投射到状态|α_V>_C。

虽然通过一个具体的系统实施方案QRBG 1100已经对本发明作了说明，但这并不是要把本发明限制在这一实施方案。本发明构思范围内的修正改进对本领域中熟练的技术人员将是显而易见的。例如，在本发明的另一实施方案中，本领域普通技术人员会认识到，除了使用图11中所示的三通结1140外，还可以使用两个Y形结将脉冲|α₄₅>分开。如图14A中所示，Y形结1402和1404将脉冲|α₄₅>分成为脉冲|α₄₅>_A，|α₄₅>_B，和|α₄₅>_C。在本发明的又一实施方案中，除了使用图11所示的激光二极管1106产生脉冲之外，还可以使用发光二极管(“LED”)1406和极化分束器1408来产生脉冲|α₄₅>，如图14B中所示。在本发明的其他实施方案中，除了使用含脊形波导1108，1110-1112的传输层1102来导向脉冲的传播之外，还可以用含有能够用来导向脉冲传播的相应光电晶体波导的光电晶体代替传输层1102。在本发明的其他实施方案中，传输层1102和脊形波导1108，1110-1112可以用光纤代替，极化旋转器1114-1118可以用半波和四分之一波板代替，极化分束器可以用极化耦合器代替。例如，图14C图示出代表本发明一种实施方案的QRBG 1410的示意图。QRBG 1410包括激光二极管1412，光纤1414，波导耦合器1416，后者把光纤1414分成三个光纤1418-1420。QRBG 1410还包括三个半波板1422-1424，一个四分之一波板1426，以及三个极化耦合器1428-1430。在本发明的另一实施方案中，激光二极管1412可以用一个LED和一个半波板代替。

II.断层分析

在雪崩光电二极管1132和1133的检测事件可以由系统控制装置1140记录并用来建立随机位序列。系统控制装置1104可记录四个不同的检测事件。例如，在用雪崩光电二极管1132检测脉冲时，记录下二进制数“1”，在由雪崩光电二极管1133检测脉冲时，记录二进制数“0”。在雪崩光电二极管1132和1133中任何一个管中都没检测到脉冲时，记录“无脉冲”，而在两个雪崩光电二极管1132和1133都检测到脉冲时，记录“错误”。表II综合了对从图10中所示状态发生器1002输出的每个脉冲|α45>由系统控制装置1104可以记录的四种事件：

表II

由系统控制装置1104记录的每个检测事件称为“原始计数”。图15图示出对代表本发明一种实施方案的激光二极管1106所产生的N个脉冲|α₄₅>的序列由系统控制装置1104所记录的具有N个原始计数的虚拟序列1500。具有N个原始计数的虚拟序列1500包括由原始计数“无脉冲”1502和原始计数“错误”1504分隔开的含二进制数“0”和“1”的序列。下文参照图17-22说明的本发明的方法实施方案是针对使用极化状态|α_R>_A，|α_L>_A，|α₄₅>_C，及|α_-45>_C来筛选具有N个原始计数的序列并获得随机位序列

注意，在检测器1128-1133的脉冲检测是同步的。

图16图示出从由示于图11中的QRBG 1100已经产生的原始计数序列来产生随机位的虚拟序列。QRBG 1100产生含N个原始计数的序列1500，其示于图15。在N个原始计数的序列1500中记录的“无脉冲”和“错误”检测事件，如“无脉冲”1502和“错误”1504，被从中消除而产生出由列向量1602表示的有n个位的随机序列，其中n＜N。原始序列1602包括若干个虚拟偏置位，如虚拟偏置位1504-1506。偏置可能是硬件缺陷的结果或者是，在最坏案例的情况下，状态发生器1002，如激光二极管1106，受到了希望产生位偏置序列的机构的控制。本发明的量子断层分析方法包括建立一个m×n托普里茨矩阵(Toeplitz matrix)T_mxn，利用它使用如下的矩阵倍增：

${\stackrel{v}{s}}_m=T_{m\&times;n}{\stackrel{v}{r}}_n$

来筛选出原始序列

1602中的偏置位，这里m＜n＜N。随机位序列

用列向量1608表示。

C.D.Walter等的“密码技术硬件和嵌入系统CHES 2003”，pp.166-180，Springer-Verlag(2003)，特别是Barak等的“实随机数发生器在变化环境中的安全”一章提供了托普里茨矩阵的数学定义。下面的讨论给出了按照Barak等的参考文献建立托普矩阵所需的见解。

为了强调尽管在从状态发生器1002输出的状态中有偏置，但本发明的方法仍能用来产生实随机数序列，对本发明基于量子力学的方法实施方案下面参照使用对手的方案产生随机位序列

予以说明。图17图示出在对手方案下上面参照图10所说明的QRBG 1000。在对手的方案下，状态发生器1002受称为“Eve”1702的对手的控制，而QRBG 1000的其余部分在称为“Alice”1704的用户的控制之下。Eve要产生对Alice1704看似随机，但已部分地为Eve所知的位序列。因为Alice只使用状态|H>和|V>产生随机位。下面的分析就限制在由基{|H>，|V>}所跨越的子空间。因此假定Eve产生的相干状态的形式是：

|ψ>＝c|H>+d|V>

其中

|c|²+|d|²＝1，

0≤|c|²≤1，及

0≤|d|²≤1。

假定Eve不知道Alice将测量应用到状态|Ψ>的光子。在Eve制备全部处在同样纯态|Ψ>的脉冲时，Alice能够对每个脉冲进行测量并得到密度矩阵：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{cc}{\left|c\right|}^2& {\mathrm{cd}}^{*}\\ c^{*}d& {\left|d\right|}^2\end{array}\right]$

密度矩阵

代表Alice能够得到的关于Eve提供给Alice的脉冲状态的最大信息总量。Alice通过对Eve所提供的脉冲进行断层分析能够确定密度矩阵

的矩阵元。断层分析，也称“自鉴别”，其用来计算位序列的随机性。量子状态的断层分析在本领域中是众所周知的并且在例如James等的参考文献中作了说明，“Measurement of Qubits”，Phys.Rev.A，Vol.64，052312(“量子位的测量”，物理学评论A，第64卷，052312)。使用断层分析来识别Eve所制备的状态|Ψ>。如James等的参考文献中所述，为了对b量子位系统进行断层分析，需要(4^b-1)个不同的期望值来确定相关的密度矩阵因此，对期望值的测量需要大量的全同状态。(4^b-1)个不同的期望值和对状态的归一化要求在理论上对一般b量子位系统的2^b个复系数产生4^b个独立的限制，从而能够对密度矩阵

和限定所测状态的2^b个复系数有分析解。

Eve还可能通过传输统计混合状态|Ψ_i>(＝c_i|H>+d_i|V>)的脉冲以他所知道但对Alice看似随机的方式使序列偏置，其中每个脉冲的状态有一个相关的概率p_i。Alice进行断层分析确定密度矩阵算符：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i|$

以及相关密度矩阵：

$\widehat{\mathrm{\&rho;}}=\left[\begin{array}{cc}\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|c_i\right|}^2& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_i{d}_i^{*}\\ \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{c}_i^{*}{d}_i& \underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|d_i\right|}^2\end{array}\right]$

式中

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|c_i\right|}^2=P{r}_H$ 为测量状态|H>的概率；及

$\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|d_i\right|}^2=P{r}_V$ 为测量状态|V>的概率。

密度矩阵算符和密度矩阵是纯态密度矩阵算符和相关密度矩阵的合成。注意，尽管Eve制备并知道Alice每次正在测量的每个脉冲的状态|Ψ_i>，但Eve却不能控制Alice对状态|Ψ_i>测量的结果，因为Alice进行的每个测量的结果由量子力学的定律决定。

Alice进行断层分析来确定密度矩阵

并计算随机性源的质量。随机性源的质量使用由下式定义的最小熵(“最小熵”)：

$H_{\min }\left(X\right)\&equiv;-{\log }_2\left(\underset{x\&Element;X}{\max }\mathrm{Pr}\left(x\right)\right)$

能够严格地算出，式中

X是随机变量；

Pr(x)是事件x的概率；及

表示对X中每个事件x的最大概率Pr(x)

换言之，最小熵可以认为是范围在“0”至“1”的概率分布中随机性大小的一种度量，其中“0”表示肯定发生或根本不发生的事件，而“1”则表示事件是否发生是真正随机的。

图18是代表本发明一种实施方案的最小熵的曲线图。在图18中，水平轴1802对应于事件x的概率Pr(x)，垂直轴1804表示最小熵的数值，而曲线1806表示最小熵H_min(X)。在事件x出现的最大概率Pr(x)是“1”1808时，最小熵是“0”1810。换言之，事件x肯定出现并且是完全确定性的。注意，概率Pr(x)等于“0”的事件，其最小熵也为“0”1810，这表示事件未出现。在事件x出现的最大概率Pr(x)是“1/2”1812时，最小熵是“1”1814。换言之，事件x出现而无偏置，其相应于真正的随机事件。在事件x出现的最大概率Pr(x)大于1/2时，最小熵在“0”与“1”之间，事件x说成是偏置事件，如点1816，其对应于最小熵1818。

为举例说明最小熵的利用，下面的讨论说明了密度矩阵的矩阵元如何用在由Eve产生的三个不同种类集合状态的最小熵定义。在Alice对Eve所提供的纯态|Ψ_i>的单个脉冲进行断层分析时，随机变量X分布在集合{0，1}上，最小熵是：

H_Min(|ψ><ψ|)＝-log₂(max(Pr_H(|ψ>)，Pr_V(|ψ>)))

式中

Pr_H(|ψ>)＝|c|²＝|<H|ψ>|²，及

Pr_V(|ψ>)＝|d|²＝|<V|ψ>|²。

最小熵能够拓展到Alice对Eve提供的全部处在同样纯态|Ψ>的n个脉冲进行断层分析时的情况。随机变量X分布在集合{0，1}ⁿ上，最小熵是：

H_Min((|ψ><ψ|)ⁿ)＝-nlog₂(max(Pr_H(|ψ>)，Pr_V(|ψ>)))

最后，在Alice对Eve提供的统计混合纯态|Ψ_i>的n个脉冲进行断层分析时，最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)}^n\right)=-n\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\log }_2\left(\max ({\mathrm{Pr}}_H\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i>),{\mathrm{Pr}}_V\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i>))\right)$

式中

$P{r}_H\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i>)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|c_i\right|}^2,$

$P{r}_V\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i>)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i{\left|d_i\right|}^2.$

Alice不知道含Eve正在提供之脉冲的状态的分解。Alice只能够使用她在进行断层分析时产生的密度矩阵

为了达到最小熵拓展到任意状态，与脉冲相关的最小熵被定义为对密度矩阵

所有可能分解的最小的最小熵。使用最小的最小熵这一定义对Eve能够得到的关于Alice的序列的信息总量设置了上限。

注意，只要最小熵H_min不等于零，Eve就不能完全控制由上述QRBG产生的位序列。换言之，只要最小熵大于零，在QRBG所产生的n个位的序列内就存在某一数量m的随机位，其中m＜n。

为了便于进行断层分析，最小熵H_min

再次以斯托克斯参数的函数来体现其特征。首先，将与上面统计混合状态|Ψ_i>相关的2×2密度矩阵

可以根据斯托克斯参数(S₀，S₁，S₂，S₃)改写如下：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\underset{i=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{S_i}{S_0}{\mathrm{\&sigma;}}_i$

$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_1& S_2+i{S}_3\\ S_2-i{S}_3& 1-S_1\end{array}\right]$

式中

下标“S”标识根据斯托克斯参数改写的密度矩阵；

斯托克斯参数S₀被归一化为“1”，及

σ₁，σ₂，和σ₃是熟知的在{|R>，|L>}基中的泡利矩阵(Pauli matrix)。密度矩阵

的斯托克斯参数可根据检测事件确定如下。在上面参照图11-14所述的本发明的设备实施方案中，Alice使用雪崩光电二极管1132和1133检测单光子。系统控制装置1104接收来自雪崩光电二极管1132和1133的信号并计算出水平极化光子的平均数<H>以及垂直极化的光子数<V>。Alice使用p-i-n光电检测器1128-1131检测电磁辐射强度I(α₄₅)，I(α_-45)，I(α_R)，及I(α_L)。系统控制装置1104接收与强度相应的信号并计算相应的平均强度<α₄₅>，<α_-45>，<α_R>，及<α_L>。然后，归一化的斯托克斯参数可由下式确定：

$S_1=\frac{<H>-<V>}{<H>+<V>},$

$S_2=\frac{<{\mathrm{\&alpha;}}_{45}>-<{\mathrm{\&alpha;}}_{-45}>}{<{\mathrm{\&alpha;}}_{45}>+<{\mathrm{\&alpha;}}_{-45}>},$ 和

$S_3=\frac{<{\mathrm{\&alpha;}}_R>-<{\mathrm{\&alpha;}}_L>}{<{\mathrm{\&alpha;}}_R>+<{\mathrm{\&alpha;}}_L>}$

通过对所有的密度矩阵

定义下述实值函数：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=-{\log }_2\left(\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+i{S}_2|}^2}}{2}\right)$

能够阐述以下定理：

定理。由密度矩阵

描述的系统，其最小熵是

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

定理的证明在后面附录中给出。定理证明了用来产生位序列的状态密度矩阵的测量对对手，如Eve，能够得到的信息总量有一个上限。Barak等指出已知最小熵为H_min的n个位的序列，我们能够从位的原始序列中抽出m个随机位，这里m＜n。这m个随机位根据可任意接近于位的均匀分布的某一分布进行分布。

图19示出代表本发明产生随机位序列诸多实施方案中之一个实施方案的控制流程图。在步骤1902，将上述的QRBG 1100使用N次来滤选出极化分量|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>，及|α_L>，并产生和滤出处在极化状态|H>和|V>的单光子。在步骤1904，根据在步骤1902得到的检测结果，系统控制装置1104计算平均强度|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>，及|α_L>，再用这些平均强度确定如上所述的斯托克斯参数S₂和S₃。在步骤1906，调用例行程序“产生原始位序列”，如上面参照图16A所述，该例程从N个原始计数的序列产生出具有n个随机位的原始序列

在步骤1908，调用例程“断层分析”。如上所述，例程断层分析是确定密度矩阵

和最小熵的一种方法。在步骤1910，调用例程“筛选原始位序列”，其利用最小熵H_min从序列

中消除偏置并产生具有m个随机位的较小序列

在步骤1912，输出随机位序列

图20示出在图19步骤1906中调入之例程“产生原始位序列”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。在步骤2002，采集如上面参照图15所述的N个原始计数。在步骤2004，如上面参照图15所述，通过舍弃与“无脉冲”或“错误”相应的原始计数对原始计数进行筛选而留下n个随机位的原始序列。在步骤2006，系统控制装置1104对与状态<H>和<V>相应的原始计数进行平均以便得到平均值<H>和<V>，接着再使用它们来确定如上所述的斯托克斯参数S₁。

图21示出在图19步骤1908中调用之例程“断层分析”的控制流程图，其代表了本发明诸多实施方案中的一个实施方案。在步骤2102，求出在图19步骤1904中得到的|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>，|α_L>的平均值|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>，|α_L>和在图20步骤2006中得到的平均值<H>和<V>。在步骤2104，建立如上所述的密度矩阵

在步骤2106，使用密度矩阵

建立最小熵

图22是图19步骤1910中调用的例程“筛选随机位序列”的控制流程图，其代表本发明诸多实施方案中之一个实施方案。在步骤2202，输入图20例程“产生随机二进制数序列”中所产生的随机位原始序列

在步骤2204，输入图21例程“断层分析”中产生的最小熵

在步骤2206，建立托普里茨矩阵T_mxn，如Barak等的参考文献所述。在步骤2208，如上面参照图16所述，同步地确定并输出序列

根据Barak等的参考文献，能够从n个随机位的原始序列抽取出的位的最大数目是：

$m=\mathrm{kn}-4{\log }_2\left(\frac{1}{\mathrm{\&epsiv;}}\right)-2$

式中ε是m个位的分布与均匀分布之间的统计距离。统计距离用数学式可定义为：

$\mathrm{\&epsiv;}=\frac{1}{2}\underset{a}{\mathrm{\&Sigma;}}|\mathrm{Pr}(X=a)-\mathrm{Pr}(W=a)|$

式中X和W表示不同的分布。产额Y为可从随机位原始序列得到的随机位的比值m/n。

在本发明的其他实施方案中，本领域中熟练的技术人员将会认识到，其他的光学量子系统，除相干状态以外的状态，如热状态，也可以使用。例如，状态发生器1002可以是发光管。在本发明的其他实施方案中，除极化状态<H>，<V>，|α₄₅>，|α_-45>，|α_R>，及|α_L>以外的极化状态也可以使用，如在James等的参考文献中所说明的极化状态。

上述说明，为解释起见，使用了专门术语以给出对本发明的充分了解。不过，对本领域中的熟练技术人员显而易见不需要具体的细节来实践本发明。提出本发明具体实施方案的上述说明，其目的是以实例解释和说明。它们并不是要详尽无遗地论述本发明或将其限制在所公开的准确形式上。显然，鉴于上面讲授内容，许多修正和变动都是可能的。提出并说明这些实施方案为的是更好地阐释本发明的原理及其实际应用，从而使得熟悉本领域的其他人员能够充分地利用本发明以及具有适合于所设想之具体应用的各种改进的各种不同实施方案。其意图是用以下的权利要求及其同样的要求来限定本发明的范围。

附录

定理。用密度矩阵

所描述的系统，其最小熵是：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

为了举例说明此定理的证明，以实例说明下面三个助定理的证明。

助定理1。对每个存态|Ψ>，存在：

H_Min(|ψ><ψ|)＝f(|ψ><ψ|)

通过对情况Pr_H＞1/2，Pr_H＜1/2，及Pr_H＝1/2给出下式：

$\max (P{r}_H,P{r}_V)=\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+i{S}_2|}^2}}{2}$

来举例说明助定理1的证明。首先，因为|Ψ>为纯态，如上面参照图10所述，相关的斯托克斯参数与波因凯尔球表面上的某一点相对应，特别是参数S₁和S₂由下式给出：

$S_1=\sqrt{4P_H(1-P_H)}\cos 2\mathrm{\&psi;}$

$S_2=\sqrt{4P_H(1-P_H)}\sin 2\mathrm{\&psi;}$

将S₁和S₂代入左手侧给出：

$\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{1-{|S_1+i{S}_2|}^2}}{2}=\frac{1+\sqrt{1-4P{r}_H(1-P{r}_H)}}{2}\\ =\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-P{r}_H|\end{array}$

当Pr_H＞1/2时，左手侧简化为：

max(Pr_H，1-Pr_H)＝Pr_H，

而右手侧简化成

$\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-P{r}_H|=\frac{1}{2}+P{r}_H-\frac{1}{2}=P{r}_H$

当Pr_H＜1/2时，左手侧简化为

max(Pr_H，1-Pr_H)＝1-PrH

而右手侧简化为

$\frac{1}{2}+|\frac{1}{2}-P{r}_H|=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-P{r}_H=1-P{r}_H$

最后，对于无效情况，当Pr_H＝1/2时，左手和右手侧这两侧都简化为1/2。

助定理2。由密度矩阵：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3^{\&prime;}& S_1-i{S}_2\\ S_1+i{S}_2& 1-S_3^{\&prime;}\end{array}\right],$ 和

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1-S_3^{\&prime;}& S_1-i{S}_2\\ S_1+i{S}_2& 1+S_3^{\&prime;}\end{array}\right]$

表示的两个纯态|Ψ₁>和|Ψ₂>是密度矩阵：

${\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1+S_3& S_1-i{S}_2\\ S_1+i{S}_2& 1-S_3\end{array}\right]$

的分解，其中 $S_3^{\&prime;}=\sqrt{1-S_1^2-S_2^2}.$

助定理2的证明：密度矩阵表示的纯态为

的分解，其对角矩阵元满足：

p₁+p₂＝1，和

$p_1-p_2=\frac{S_3}{S_3^{\&prime;}}$

根据助定理1，由于|Ψ₁>和|Ψ₂>两者均为纯态，故：

$H_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_1><{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\right)=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=H_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_2><{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

另外，根据以上对

的方程，在n＝1时有：

$H_{\mathrm{Min}}\left(p_1\right|{\mathrm{\&psi;}}_1><{\mathrm{\&psi;}}_1|+p_2|{\mathrm{\&psi;}}_2><{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

$=p_1{H}_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_1><{\mathrm{\&psi;}}_1\left|\right)+p_2{H}_{\mathrm{Min}}\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_2><{\mathrm{\&psi;}}_2\left|\right)$

$=(p_1+p_2)f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

$=f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

助定理3。函数f

是波因凯尔球上斯托克斯参数S₁，S₂，S₃的收敛函数。

助定理3的证明：

的海斯矩阵(Hessian matrix)本征值在域(1/2，1)上为非负整数。

定理1的证明。根据收到函数的特性，对

的每个分解存在：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&le;\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_{i}f\left(\right|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)$

代入助定理1的结果并利用以上方程

给出：

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&le;H_{\mathrm{Min}}\left(\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{p}_i\right|{\mathrm{\&psi;}}_i><{\mathrm{\&psi;}}_i\left|\right)$

这表明是的最小熵的下限。但根据助定理2，至少有一个

的分解，对其存在

$f\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)=H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)$

因此，

等于对

所有分解的H_Min的最小值。证毕。

Claims (10)

1.自鉴别量子随机位发生器(1100，1400)，该自鉴别量子随机位发生器(1100，1400)包括：

传输层(1102)，该传输层(1102)又包括

电磁辐射源(1106，1406，1412)，该电磁辐射源(1106，1406，1412)与分支成第一波导(1111)、第二波导(1110)、及第三波导(1112)的波导(1108，1414)相耦合，所述电磁辐射源被配置成产生第一极化状态的电磁辐射脉冲；

一个或多个极化旋转器(1114-1117)，所述极化旋转器(1114-1117)被定位和配置使在第二波导中传输的脉冲转换到第二极化态和使在第三波导中传输的脉冲转换到第三极化态；

系统控制装置(1104)，该系统控制装置(1104)被配置成根据在第一波导中所传输脉冲的极化基态产生位序列，以及根据在第二和第三波导中所传输脉冲的极化基态用以断层分析的方式来鉴别位序列的随机性。

2.根据权利要求1所述的发生器，该发生器还包括：

衰减器(1140)，所述衰减器(1140)在工作上与第一波导相耦合并配置成把在第一波导中所传输脉冲的能量减低至最多一个光子；及

第一极化分束器(1125)，所述第一极化分束器(1125)与第一波导相耦合，第二极化分束器(1124)，所述第二极化分束器(1124)与第二波导相耦合，及第三极化分束器(1126)，所述第三极化分束器(1126)与第三波导相耦合。

3.根据权利要求1所述的发生器，其中所述电磁辐射源还包括以下其中之一：

激光二极管；及

发光二极管，其与波导极化器和极化旋转器相耦合。

4.根据权利要求1所述的发生器，其中每个极化旋转器还包括以下之一：

两个或多个极化旋转器(1200，1300)

半波板(1422-1424)；及

四分之一波板(1426)。

5.根据权利要求1所述的发生器，其中所述系统控制装置还包括：

一对雪崩光电二极管(1132，1133)，所述雪崩光电二极管(1132，1133)被配置成检测在第一波导中传输的光子；

第一对p-i-n光电检测器(1128，1129)，所述第一对p-i-n光电检测器(1128，1129)被配置成检测在第二波导中传输的脉冲；和

第二对p-i-n光电检测器(1130，1131)，所述第二对p-i-n光电检测器(1130，1131)被配置成检测在第二波导中传输的脉冲。

6.根据权利要求1所述的发生器，其中所述波导还包括以下之一：

脊形波导；

光晶体中的波导；及

光纤。

7.产生随机位序列的方法，该方法包括：

产生电磁辐射脉冲序列，每个脉冲都处在第一极化状态；

将每个脉冲分成为第一脉冲，第二脉冲，及第三脉冲，所有三个脉冲都在同样的第一极化态；

使用极化旋转器(1200，1300，1422-1424，1426)将每个第二脉冲转换到第二极化态和将每个第三脉冲转换到第三极化态；

根据检测第一脉冲两个极化基态中的一个极化态来产生位序列；及

根据第二和第三脉冲的极化状态，进行断层分析以便鉴别位序列的随机性。

8.根据权利要求7所述的方法，该方法还包括：

将第一脉冲强度衰减为单个光子；及

将第一脉冲分解成两个极化基态，将第二脉冲分解成两个极化基态，以及将第三脉冲分解成两个极化基态。

9.根据权利要求7所述的方法，其中将每个第二脉冲转换成第二极化态以及将每个第三脉冲转换成第三极化态还包括通过一个或多个极化分束器来传输每个第二脉冲和通过一个或多个极化分束器来传输每个第三脉冲。

10.根据权利要求7所述的方法，其中进行断层分析还包括

建立最小熵：

$H_{\mathrm{Min}}\left({\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S\right)\&equiv;-{\log }_2\left(\underset{x\&Element;{\widehat{\mathrm{\&rho;}}}_S}{\max }\mathrm{Pr}\left(x\right)\right)$

式中

是随斯托克斯参数而变的对全体状态|ψ_i>＝c_i|H>+d_i|V>的密度矩阵，Pr(x)是事件x的概率，而

表示对X中每个事件x的最大概率Pr(x)；及

根据最小熵

建立托普里茨矩阵T_mxn，其中m是随机位的数目，n是原始位的数目，m＜n。

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