JP3031613B2 - カラー／濃淡画像入力出力装置と入力出力方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は連続的に階調が変
化する単色の濃淡画像および連続的に階調が変化するカ
ラー画像の入力出力装置と入力出力方法に関する。カラ
ー画像は分解すると３原色または４原色の濃淡画像とな
るから色分解後の処理は濃淡画像の処理と並行に論じる
ことができる。色分解色合成はカラー画像を扱う場合に
頻用される公知の技術であり、本発明の骨子は濃淡画像
の処理にあるから、以後おもに単色の濃淡画像の処理に
ついて説明する。単色の濃淡画像処理を３〜４つ重ねた
ものがカラー画像の処理である。

【０００２】画像をデジタル情報として扱う事が一般的
になってきた。デジタル情報というのは標本化によって
画素毎に分解されるという事、濃度が量子化によって有
限個の階調に分解されるという事、の二重の意味を持っ
ている。空間的に離散的であること、濃度が離散的であ
ることである。画像の関係する各種の応用分野において
対象となる画像は複雑化しつつある。提供されるサービ
スが多様化の一途を辿っている。例えば、対象とする画
像は、写真ばかりではなく、イラスト、文字などが混在
するようになってきた。実施されるサービスも単に画像
を再生するだけではなく、画像の品質を維持したまま任
意の大きさで自由にレイアウトして印刷することなどが
求められる。

【０００３】これらの要求を満たすためには、種々の画
像要素を取り扱う事ができ、画像の変形に対しても高画
質の再生結果を与えることのできる入力出力装置と入力
出力方法が必要となる。加えて、データ保存容量を少な
くし処理時間を短くするために、画像データは圧縮さ
れ、データ量が少ない事が望まれる。本発明が対象にす
る画像のもとになるものは、写真、毛筆文字、印刷文
字、イラスト、ロゴマーク等広範にわたる。濃淡画像と
いうのはある色相についてその強度が連続階調で変化す
る画像である。本発明の対象としてカラー濃淡画像も含
まれる。カラーの場合は要素となる色相に分解し、その
一つについて着目すると濃淡画像になる。４原色に分解
するとそれぞれの色相毎の濃淡画像になるから色相毎に
別々の処理を行う。本発明は、そのように連続的に変化
する色相の集合からなる画像を対象にする。

【０００４】濃淡画像というのは、二値画像の反対語と
して用いられる。であるから単色の濃淡画像を含むし、
カラーの場合は各色相について濃淡がある画像を意味す
る。しかし本発明の濃淡画像処理は一般性があるので、
二値画像をも処理する事ができる。であるからここでは
濃淡画像というのは広く画像という意味であって、二値
画像を排除していないと解釈すべきである。本発明は、
濃淡画像を画像読取り装置或いは画像入力装置によって
多値データとして得て、濃淡画像の特徴を失う事なく、
ノイズを除去し、圧縮して記憶させ、圧縮したデータか
ら濃淡画像を再生するものである。

【０００５】カラー画像の場合は色相毎に分解し４原色
または３原色の濃淡画像を得て、それぞれ独立の処理を
し、濃淡画像の特徴を失う事なくノイズを除き、圧縮し
て記憶させ、圧縮したデータから濃淡画像を再生し、原
色毎のデータを合成再生するものである。

【０００６】

【従来の技術】一般に、濃淡画像を保存し再生する入力
出力方法として、これまでに提案されているものとし
て、（Ａ）ビットマップデータとして取り扱う方法、
（Ｂ）ＤＣＴ（離散コサイン変換）を用いる方法、
（Ｃ）関数近似を用いる方法などがある。これら３種類
の先行技術の現状について述べる。

【０００７】（Ａ）ビットマップデータ法 ビットマップデータというのは、原画像を画素に分解し
画素ごとの濃淡の値を求め画素値として記憶し再生する
ものである。現在最も一般的に行われている方法であ
る。画素毎に濃淡データをそのまま記憶するのであるか
ら処理が簡単であるという長所がある。しかしながら画
素データそのものを扱うからデータ量が膨大なものとな
る。これは複雑な画像を扱うときには致命的な欠点とな
る。大量のメモリと長い時間が掛かる。さらにビットマ
ップ演算を基礎とするから、拡大、縮小等の変形をおこ
なうと画像が乱れ画質が低下する。ビットマップ演算に
立脚しつつそのような欠点を克服するためににいくつか
の提案がなされている。 W. K. Pratt: "Digital Image Processing", Wiley
Interscience, New York, 1978 J. A. Parker, R. V. Kenyon and D. E. Troxel:"Co
mparison of Interpolating Methods for Image Resamp
ling", IEEE Trans. MI, MI-2, 1, pp.31-39, 1983 寅市和男、鎌田賢、石打智美、楊賽、森亮一：”スプ
ライン補間によるビデオハードコピーの画質改善”，信
学論（Ｄ）、J71-D, 7, pp.1276-1285, 1988 田中章、今井英幸、宮腰政明、伊達惇：”多重解像度
解析を用いたデジタル画像の拡大”、信学論（Ｄ−Ｉ
Ｉ），J79-D-II, 5, pp.819-825, 1996 、は、ｓｉｎｃ関数を用いてビットマップデータを
内挿して出力するような改良である。は区分的多項式
を用いてビットマップデータを内挿して出力している。
は多重解像度解析を用いてビットマップデータを内挿
して出力している。これらはデータをある規準によって
内挿するから拡大縮小を行う事はできる。しかしあくま
でビットマップデータを保存しビットマップデータから
画像再生、拡大、縮小などをするのでデータ量が膨大で
ある。ビットマップ法に伴う根本的な難点を解決できな
い。

【０００８】（Ｂ）ＤＣＴ法 離散コサイン関数を用いる方法は、濃度変化が比較的滑
らかな画像においては有効である。しかし急峻な濃度変
化を持つを持つ画像においては不適当である。ブロック
歪やエッジの劣化を生じるからである。それは種々の画
像要素が混在した画像を処理すると画質を甚だしく劣化
させるので致命的な難点となる。さらに離散コサイン変
換法は拡大縮小に対する品質を考慮していない。拡大縮
小などの変形によって画質が低下する。画質劣化を防止
しようとしてＤＣＴ法の改良が提案される。しかしいず
れも不十分である。 福田光一、水口寛彦、川中彰：”エッジブロックの
ＤＣＴにＡＲ推定を適用した静止画符号化法”、信学論
（Ｄ−ＩＩ），J76-D-II,4, pp827-834, 1993 新堀英二、高木幹雄：”ＤＣＴを用いたGerchberg-
Papoulis の反復法を適用した高画質画像拡大”、信学
論（Ｄ−ＩＩ），J76-D-II,9, pp.1932-1940, 1993 はエッジ部分の品質劣化を推定によって防ぐ方法を提
案している。それだけのことであって、拡大縮小という
変形に対しては適用できない。は拡大変形におけるエ
ッジ部の品質劣化を、疑似的復元によって解決する方法
を提案している。しかしビットマップ画像として蓄積さ
れた原画像を対象としているために、データ量が膨大な
ものになる。本発明が解決しようとする問題に対して
は、無力である。

【０００９】（Ｃ）関数近似法 これは画像要素を関数によって近似するものである。 堀内隆彦、大瀧保広、寅市和男：マルチフォントの自
動関数化における接合点の多段階抽出法”、電学論
（Ｃ），113-C, 12, pp.1136-1143, 1993 特願平４−２５９１３７号 特願平４−２６９６４６号 (10) K. Toraichi, T. Horiuchi, R.E. Kalman, Y. Oht
aki and H. Nagasaki:"Compressing Data Volume of Le
ft Ventricular Cineangiograms", IEEE Trans.BME, 4
0, 6, pp.579-588, 1993

【００１０】〜の３つは何れも二値画像を対象にす
る。文字やイラストとして与えられる画像要素を関数表
現して入力し蓄積し出力する。これは二値画像の輪郭線
を処理の対象としている。輪郭線が明確にきまらず多値
のデータを含む写真などの濃淡画像に対しては無力であ
る。二値画像の方法を濃淡画像には使えない。

【００１１】(10)は医用濃淡画像の関数表現手段が提案
されている。画像をライン毎に１変数関数によって近似
する。つまりＩ×Ｊ画素よりなる画像において横に一直
線にならぶ（Ｘ方向）のＩ個の画素全体について関数近
似する。横方向のＩ個の顕著に階調変化する画素群を関
数近似するから揺らぎが大きく高次の関数を用いなけれ
ばならない。高次高階の関数を用いるからパラメータの
数が多くてデータ圧縮が不十分である。横方向つまりラ
インの方向（ラスタライン）には高次のパラメータ数が
多い関数によって近似できたとしても、もっと大きな欠
陥がある。それはＹ方向の連続性のなさということであ
る。横方向の連続性を重視するが縦方向には連続性を担
保する手段がない。だからＹ方向つまりラインと直交す
る方向に対しては再生時に連続性を保つことができな
い。Ｙ方向不連続の為に特に拡大時に画質が顕著に劣化
する。いわんや回転や不等拡大縮小などは不可能であ
る。

【００１２】これは単純に横方向のラインに沿って画像
データを読み取り（ラスタ順）蓄積し処理する方法に内
在する重大な問題である。本発明が解決しようとする問
題に対しては役に立たない。つまり濃淡画像に対して有
効な関数近似法はいまだに存在しないのである。

【００１３】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、濃淡画像を
光学的に読み取り或いは初めから画像入力手段によって
濃淡画像を与え、自動的にデータ圧縮して記憶し、任意
の大きさで任意の位置へ原画像に忠実な画像を短時間で
再生できるような濃淡画像の入力出力装置を提供する事
を目的とする。その目標は以下のように定める。 （１）濃淡画像のデータ圧縮を自動的に行うこと。 （２）拡大縮小などの変形に対しても高品質の濃淡画像
の取扱いが可能なこと。 （３）濃淡画像記憶の為にデータ量が少ない事。 これら３つの要求を満足できるようなものはこれまでに
存在しない。前記の〜(10)の何れも（１）〜（３）の
全てを満たすことができない。

【００１４】特に本発明は濃淡画像から原画像を自動的
に多変数ベクトルデータ化し、これを任意の大きさで任
意の位置に再生することができる画像入力出力装置入力
出力方法を提供することを目的にする。また画像入力
し、データ圧縮した状態で記憶し、印刷機器や計算機で
簡単に利用できる画像処理装置を与えることを目的とす
る。データの数が極めて少なくなるように画像情報を圧
縮でき、遠隔地間での高品質の画像通信手段を実現でき
る画像入力出力方法を提供することをも目的とする。

【００１５】

【課題を解決するための手段】本発明の濃淡画像入力出
力装置は、光学的に濃淡画像データを読み取りあるいは
初めから画像入力手段によって与えられた濃淡画像デー
タを、縦横に有限個並ぶ画素に対応させて濃度を記憶す
る画像記憶装置と、縦横に並ぶ画素に対応付けて読み取
られた濃淡画像において、領域内の各画素の濃度差が小
さく、隣接領域の画素との濃度差が大きくなるように領
域を設定する領域分割機構と、抽出された領域ごとに、
その領域内濃度の平均で表現した画像を記憶する領域記
憶装置と、各領域の境界線を抽出する領域境界線抽出機
構と、抽出された境界点列において、３つ以上の領域を
分割している領域分割点を抽出する領域分割点抽出機構
と、領域分割点で区切られた区間ごとに、境界線の二次
元的座標（ｘ，ｙ）を記憶する領域境界線記憶装置と、
境界点列において勾配の差分変化が急峻な境界急峻点を
抽出する境界急峻点抽出機構と、前記の領域分割点で仕
切られた境界点列のｘ，ｙ座標を、独立変数をｔとし
ｘ，ｙを従属変数とした１変数２次Ｂ−スプライン関数
で近似し、近似精度が所定範囲になるまで双直交近似ま
たは最小二乗近似を繰り返し、境界点列の近似関数を求
める領域境界線近似機構と、領域ごとに境界線を近似し
た関数に関する情報を記憶する領域データ記憶装置と、
画像記憶装置の差分画像を生成する差分画像生成機構
と、縦横に有限個ならぶ画素に対応させてその差分濃度
を記憶する差分画像記憶装置と、差分画像をいくつかの
部分画像に分割する差分画像分割機構と、縦横に有限個
並ぶ画素に対応させてその分割された差分濃度を記憶す
る差分分割画像記憶装置と、差分分割画像を２変数−ス
プライン関数で近似し、近似精度が所定範囲になるまで
双直交近似または最小二乗法を繰り返し、差分分割画像
の近似関数を求めるデータ近似機構と、近似した関数の
パラメータを記憶する圧縮データ記憶装置と、圧縮デー
タを符号化する符号化機構と、符号化データを出力する
符号化データ出力機構と、出力された符号化データを記
憶する符号化データ記憶機構と、符号化データを入力す
る符号化データ入力装置と、入力された符号化データか
ら復号化を行うことによって圧縮データを再生する復号
化機構と、圧縮データから差分分割画像を再生する差分
分割画像再生機構と、差分分割画像を纏めて差分画像を
を再生する差分画像再生機構と、差分画像と領域データ
を用いて濃淡画像を再生する濃淡画像再生機構と、再生
された濃淡画像を出力する濃淡画像出力機構とを含むこ
とを特徴とする。

【００１６】

【発明の実施の形態】図１に本発明の濃淡画像入力出力
装置の全体の構成を一覧表にして示す。ここにも同じ機
構を挙げる。 Ａ．画像記憶装置１ Ｂ．領域分割機構 Ｃ．領域記憶装置 Ｄ．領域境界線抽出機構 Ｅ．領域分割点抽出機構 Ｆ．領域境界線記憶装置 Ｇ．境界急峻点抽出機構 Ｈ．領域境界線近似機構 Ｉ．領域データ記憶装置 Ｊ．差分画像生成機構 Ｋ．差分画像記憶装置 Ｌ．差分画像分割機構 Ｍ．差分分割画像記憶装置 Ｎ．データ近似機構 Ｏ．圧縮データ記憶装置 Ｐ．符号化機構 Ｑ．符号化データ出力機構 Ｒ．符号化データ記憶機構 Ｓ．符号化データ入力装置 Ｔ．復号化機構 Ｕ．差分分割画像再生機構 Ｖ．差分画像再生機構 Ｗ．濃淡画像再生機構 Ｘ．濃淡画像出力機構

【００１７】これは単色の濃淡画像の場合である。カラ
ー濃淡画像の場合は、初めに入力画像を色相毎に分解す
る色分解機構があり、色相毎に同じ様な操作を並行して
行い、圧縮データを得る。そして色相毎に圧縮データか
ら濃淡画像を再生して色合成する。つまりカラー濃淡画
像を扱う場合は次の機構が必要である。 Ｙ．色分解機構 Ｚ．色合成機構 またここでは差分画像を分割して近似しているが差分画
像の全体を近似するようにすれば、差分画像分割、分割
画像の再生の過程は省くこともできる。さらに符号化を
しなければ、符号化復号化の過程Ｐ〜Ｔは省くこともで
きる。このように複雑な処理をするので、本発明の画像
処理は簡単には理解しにくい。そこで図２に示す濃淡画
像（ＳＩＤＢＡ”Ｇｉｒｌ”）について本発明の手順を
簡単に説明する。

【００１８】［濃淡画像の場合］まず原画（女性の写
真"Girl"）の写真をイメージスキャナによって読み取
る。これが画像の光学的な読み取り、入力である。もち
ろん画面上で始めから絵を書くこともできる。次に同じ
ような濃度を持つ画素が集合する領域を抽出しその領域
を平均濃度で表した画像を作成する。これが領域記憶装
置に記憶される。領域に分けられたのでその境界線を抽
出する。境界であるからその領域を囲む閉曲線であるが
全て分離しているわけではない。３本の境界線が交わる
点がある。これを境界分割点という。境界線から境界分
割点を抽出する。もう一つ境界線を特徴づける点は領域
急峻点である。分割点、急峻点は境界線の上にあり境界
線を特徴づける点である。境界線は分割点と急峻点によ
って分割される。分割された境界線部分は端点をもつ曲
線であるがこれを近似関数によって近似する。境界点列
の座標は捨てることができ、境界線は分割点、急峻点、
近似関数によって記憶できる。これによって境界線デー
タを減らすことができる。

【００１９】次に、原画像と領域記憶装置に記憶された
画像の差分を計算する。領域記憶装置は濃度の接近した
部分をその平均濃度によって表現しているから、差分は
その領域において各画素の平均値からのズレを計算する
操作である。差分した結果の画像を差分画像という。各
画素濃度の局所的平均値からのずれが差分であるから濃
度の値は小さい。差分画像に含まれるのは、濃度変化が
少なく滑らかな低周波成分のみになる。次に差分画像を
関数近似する。これによって差分画像を表す圧縮データ
が生成される。境界線の近似と差分画像の近似によって
データ量を著しく減らすことが可能になる。例えば、原
画像と再生画像の画質を３０ｄＢ（ｐ−ｐ／ｒｍｓ）と
設定した場合、データ量を意味するビットレートは１．
９８［bit/pel ］となる。原画像は８［bit/pel ］レベ
ルで表現されているので、データ量は約２５％に圧縮さ
れたことになる。

【００２０】以上が濃淡画像の場合である。本発明は濃
淡画像を取り扱うことを目的にしている。しかしその単
純化された極限としての二値画像をも取り扱う事ができ
る。勿論同じ手順を適用するが、二値画像の場合はより
単純である。図３によって二値画像の一例を述べる。 ［二値画像の場合］図３は原画像「智（ＭＳゴシッ
ク）」を本発明の方法によって処理する方法を例示す
る。二値画像であるから濃度は一定である。濃淡画像の
場合と全く同様に、イメージスキャナによって原画を読
み取る。おなじような濃度の画素を持つ領域を抽出し、
各領域をその平均濃度によって表現した画像が領域記憶
装置に記憶される。それはそうなのであるが、二値画像
であるから、領域は文字輪郭に等しい。平均濃度は文字
の濃度と等しい。文字の輪郭線が境界線として抽出され
る。輪郭線は互いに独立である。交差、分岐しないし接
触もしない。二値画像であるから３つ以上の領域の境界
は存在しない。３つ以上の境界が一致する点である領域
分割点は存在しない。このように二値画像の場合ははな
はだ単純になる。領域急峻点は存在する。そこで領域急
峻点は抽出する。境界を急峻点によって分割し、急峻点
の間は近似関数によって近似する。次に原画像と領域記
憶装置との差分画像を生成する。当然のことであるが、
差分画像の成分はどこでも０になる。図３では差分画像
にはグレーの色を付けているが実際には白紙である。近
似関数は係数が０の平面となる。

【００２１】二値画像の場合、濃淡の近似誤差がない。
境界だけが問題である。境界を正確に表現する事によっ
て、画像の画質を∞［ｄＢ］（すなわち可逆符号化）と
して圧縮することができる。このとき、ビットレートは
０．２２［bit/pel ］であった。原画像は１［bit/pel
］レベルで表現されていたから、２２％のデータ量に
圧縮されたことになる。以上の説明で濃淡画像について
本発明がどのような手順によってデータを入力し処理し
データ圧縮するのかを説明した。出力するのはその反対
の手順によれば良いので、入力からデータ記憶までの手
順が決まれば出力方法も決まる。さらに本発明は濃淡画
像だけでなく、全く同じ方法によりつつ二値画像をも取
り扱う事ができるということをも説明した。

【００２２】

【実施例】図１に示したＡ〜Ｘの各機構について一つ一
つ説明する。 ［Ａ．画像記憶装置１］これは、紙に書かれた絵（文字
も含む）や写真等の濃淡ある（色彩が有っても良い）画
像を光学的手段（例えばイメージスキャナ）によって読
み取って、デジタル情報として記憶する装置である。或
いは初めからマウスやデジタイザによって画像としてコ
ンピュータに入力されるデータをデジタル情報として記
憶することもある。入力される画像がカラーであれば、
４原色に分解する。一つ一つの色に関しては濃淡で表現
できるので濃淡画像と言う事ができる。濃度を従属変数
とし、画像全体に定義した二次元位置の関数として記憶
することができる。

【００２３】そこで濃淡画像は、定義域を座標（ｘ，
ｙ），値域を濃淡値ｆ（ｘ，ｙ）とした連続関数で表現
することができる。濃淡値の範囲はいくらにしても良い
のであるが、ここでは正規化して０〜１の間の値を取る
ものとする。定義域は対象画像の大きさによって変える
こともできるが、ここでは正規化して原画像に拘らず、
ｘ＝０〜１、ｙ＝０〜１の範囲とする。つまり濃淡画像
は、次の連続関数

【００２４】 ｆ（ｘ，ｙ）∈［０，１］ （ｘ，ｙ）∈［０，１］×［０，１］ （１）

【００２５】によって表現する事ができる。濃度変数
ｆ、座標値ｘ、ｙは連続値を取る。これを例えばイメー
ジスキャナを用いて画像読み取りするとこれらの変数は
離散値を取る。ｆはＬレベルに量子化し、ｘ座標
（［０，１］）はＩドットに、ｙ座標（［０，１］）は
Ｊドットに標本化されるものとする。濃度の量子化関数
をｇで、標本化座標を（ｘ_i ，ｙ_j ）によって表現す
る。

【００２６】 ｇ（ｘ_i ，ｙ_j ）∈｛０，１，…，Ｌ−１｝，ｉ＝０，１，…，Ｉ−１、 ｊ＝０，１，…，Ｊ−１ （２）

【００２７】Ｌが濃淡画像の階調の数である。座標の標
本化数Ｉ、Ｊは横方向の刻み、縦方向の刻みの数、つま
り水平方向の画素の数と垂直方向の画素の数である。但
し画素の座標と後の述べる境界線の座標は別のものであ
る。混同してはならない。境界線の座標は画素の４隅に
とる。画素の座標は中心にとる。半画素分相違する。画
素の全数はＩＪである。これらの３つの数の大きさは任
意に設定する事ができる。これらの数が大きいほど記憶
される画像は高品質になる。しかし必要な記憶装置の容
量が大きくなるし、処理時間も長くなるという難点があ
る。Ｌ，Ｉ，Ｊの値は所望の仕様に合わせ適宜決定する
ようにすれば良い。

【００２８】画像記憶装置Ａには、このように原画像の
濃淡情報がデジタル化されそのまま記憶される。処理を
行う前に一次的に全データを記憶する必要があるのであ
る。これは多数のメモリを必要とする。しかし一次的に
保持すればよい記憶であって、後に述べる処理をした後
はすぐに消去して構わない。であるからこれによるメモ
リの占有はあまり問題でない。

【００２９】［Ｂ．領域分割機構］これが本発明の処理
の特徴ある点の第１のものである。従来の画像処理の方
法を先に（〜(10)）述べたがこれらはいずれも領域分
割をしない。本発明は一つの濃淡画像を領域分割する。
これが極めて独創性ある手法である。この領域というの
は原画像に内在する領域ではない。画像を構成する物体
の稜線や輪郭線によってはっきりと区切られている領域
を抽出するというのとは全く違う。存在していない領域
を無理に作り出して分割する。架空の領域を想定して領
域分割するのである。

【００３０】どのように分割するのか？空間的に連続す
る画素であって濃度の近い画素の群を一纏めにして領域
とする。手がかりは濃度の近似性である。濃度の程度に
よって全画像を複数の領域に分割することによって、い
くつかの利益が有る。その利点を本発明者は重視する。 １．一つは境界線が生ずるということである。境界線は
近似関数によって少ないパラメータによって記憶できる
可能性がある。 ２．また領域があるから処理を領域ごとに独立して行う
ことができる。 ３．ほぼ濃度の近似した近隣画素を領域に纏める事によ
って根本的なデータ圧縮を可能とする。この点が最も重
要である。人工的に想定された領域は濃度階調がほぼ同
等である画素の集合である。その領域の平均濃度を求
め、さらに個々の画素の濃度と平均濃度の差を求める。
これを差分濃度と呼ぶ。差分濃度は平均値は０であるし
振動が少なく変化は緩やかである。ために低次の関数に
よって簡単に近似できる。

【００３１】上記の３の利点が本発明の本質であるか
ら、予めその目的のあらましを説明しよう。原画像にお
いて濃度は二次元的に多様な変化をしているはずである
が、変化率は一様でない。急激に変動する部分もあろ
う。また殆ど変動しない部分もあるはずである。後に濃
度変化を二次元関数によって近似するが濃度変化の激し
い部分を含んで近似をすると高次の多項式が必要になり
パラメータが増える。増えるだけならいいのであるが高
次多項式を含ませると本来存在しない振動が発生したり
して近似精度がわるくなる。であるから全空間を一気に
近似するというような愚を避ける。濃度が類似した部分
を仮想的な領域としているのであるから、急激に濃度変
動する部位は境界線に集中するはずである。つまり境界
線というのは濃度が非連続に変動する部分なのである。
濃度関数の特異な線といって良いであろう。濃度変化の
急峻な部位を境界線に押し込んでしまうための最も有効
な方途が濃度による領域分割なのである。

【００３２】濃度関数というものを仮想的に想定すれば
その特異線は全て境界線に掃き寄せてしまっているとい
う事もできよう。すると領域の内部は特異点のない連続
性の優れた滑らかな変動をする部分になる。実際には領
域の濃度の平均を求め、個々の画素濃度の平均濃度から
のズレを差分濃度とする。差分濃度は平均値が０でしか
も穏やかな変化をする。差分濃度を関数近似するが、濃
度変動が弱いので少ないパラメータを持つ低次の関数に
よって高精度の近似ができる。このように濃度による領
域分割は本発明の取って頗る重要である。領域分割機構
Ｂは、画像を近似する濃度階調の画素の集合からなる領
域に分割するものである。領域内の各画素の濃度差は小
さく、隣接画像との領域間では濃度差が大きくなるよう
に領域を決める。領域分割はほぼ同一の濃度を持つ画素
ごとに処理することによって画質が向上すること（濃度
変化が激しい部分例えばエッジ部分が鮮明になる）、デ
ータ量を少なくできる（領域毎に平均と差分を取るので
近似係数のビット数が減る）、処理時間が短くなるなど
のメリットがある。

【００３３】注意しなければならない。本発明の領域分
割は画像に存在する対象物体を正確に領域として抽出す
るのではない。そうではなくて単に濃度の近い連続部分
を領域として抽出するのである。画像に初めから内在す
る領域を捜し当てて分割するのではなく本来存在しない
領域を作って分割するのである。 （ＳＴＥＰ １） 初期設定 すべての画素（ｘ_i ，ｙ_j ）に対して、領域ラベルLabe
l （ｘ_i ，ｙ_j ）を定義する。これは０か１の二値を取
る関数であって０は領域分割される前の画素であること
を、１は領域分割された後の画素であることを表す。初
期設定においては、全ての画素に対して領域ラベルを０
とする。

【００３４】 Label （ｘ_i ，ｙ_j ）＝０ （３）

【００３５】（ＳＴＥＰ ２） 初期操作 領域には濃度ｇの最大値ｇ_max と最小値ｇ_min と平均濃
度ｇ_avを定義する。これは領域によって決まるから領域
の番号ｒを付けるべきであるが簡単の為に省略する。ま
た平均ｇ_avといっても最大値ｇ_max と最小値ｇ_min の平
均である。ｇ_av＝（ｇ_max ＋ｇ_min ）／２である。実際
の重み付き平均値ではない。画像を左上からラスター走
査して、Label （ｘ_i ，ｙ_j ）＝０の画素を探し、いま
までついてないラベルを付ける。領域の濃度値の最大値
ｇ_max 、最小値ｇ_min として、今探した画素の濃度値ｇ
（ｘ_i ，ｙ_j ）を付けると（ｇ_max ←ｇ（ｘ_i ，ｙ
_j ）、ｇ_min ←ｇ（ｘ_i ，ｙ_j ））。したがって初回の
操作では、最も左上の画素（ｘ_l ，ｙ_l ）にラベル１が
付き、それが属する領域の濃度最大ｇ_max も最小ｇ_min
もその画素の濃度になる。

【００３６】 Label（ｘ_l ，ｙ_l ）＝１ （４） ｇ_max ＝ｇ_min ＝ｇ（ｘ_l ，ｙ_l ） （５）

【００３７】これはラスタ順に操作を進める際に行う最
初の操作である。 （ＳＴＥＰ３）注目している画素を（ｘ_i ，ｙ_j ）とす
る。それが所属する領域番号をｒとする。８近傍という
概念を用いて領域分割する。８近傍というのはある画素
の上下左右斜めにある８つの隣接画素のことである。
（ｘ_i ，ｙ_j ）の８近傍は（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）と書くこ
とができる。但し、ｋ，ｌ＝０、±１であり、ｋ＝ｌ＝
０が禁止される。注目している画素（ｘ_i ，ｙ_j ）が属
する領域ｒの濃度値の最大値と最小値の平均（ｇ_max ＋
ｇ_min ）／２＝ｇ_avと、その８近傍でまだラベルがつい
ていない画素Label （ｘ_i+k ，ｙ_j+i ）＝０の濃度値ｇ
（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）を比較しそれらの差の絶対値がある
一定値Ｗ未満、すなわち

【００３８】 ｜ｇ_av−ｇ（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）｜＜Ｗ （６）

【００３９】であれば、その近傍画素も同一領域ｒに属
するものと判断する。そうでなければ異なる領域に属す
るものと判定する。（６）の選別は本発明の於いて極め
て重要である。これが本発明の操作内容を端的にあらわ
している。領域ｒを生成することとｒに属する画素を求
める操作を行うことが領域分割である。ラベルづけされ
るとラベル関数が１になる。つまりその近傍画素に対し
て

【００４０】 Label （ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）＝１ （ｋ，ｌ＝０，±１） （７）

【００４１】とする。ラベル付けというのは（７）のよ
うに関数値を１にするだけでなく、これが属する領域を
ｒとして確定することである。同一座標（ｘ_i ，ｙ_j ）
の８近傍に（６）を満たすものが複数個存在する場合も
ある。その場合は以下に述べる処理を並列に行う。同一
のラベル付け（式（６）を満たす）がされた近傍画素の
濃度値とその領域の濃度最大値、最小値を比較し、近傍
画素の値がこれらを越えるものであれば、越える側の値
を、近傍画素の値によって更新する。つまり近傍画素濃
度がその領域の濃度の幅をはみ出すものであれば、近傍
画素濃度自身を境界にして、領域に属する画素の濃度が
全て最大値と最小値の間に存在するようにする。もし
も、

【００４２】 ｇ（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）＜ｇ_min （８） ならば、ｇ_min ←ｇ（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）という置き換え
をする。反対にもしも、 ｇ（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）＞ｇ_max （９）

【００４３】ならば、ｇ_max ←ｇ（ｘ_i+k ，ｙ_j+l ）と
いう置き換えをする。（８）、（９）の何れでもない場
合は、ｇ_max 、ｇ_min は前回の値を維持する。このよう
に最小値、最大値を更新する。これによってその領域に
含まれる画素群が取る濃度値の範囲が広くなる。が、そ
れまでに領域ｒに含まれるものと判定された画素が、
（６）を満たさなくなり領域からはみ出すということは
ない。最大値と最小値の平均値からの幅をＷにするよう
にしているからである。

【００４４】これについて証明する。（６）があるの
で、一つの領域のｇ_max とｇ_min の差は２Ｗ未満であ
る。ある時に領域ｒに属する画素の濃度値の幅を２Ｕと
すると、ｇ_max −ｇ_min ＝２Ｕである。最後に領域ｒに
属するものと判定された画素の値ｇ’が最小値ｇ_min よ
り小さいと仮定する。その場合ｇ’がｇ_min になる。平
均値が（ｇ_min −ｇ’）／２だけ下がる。この領域の濃
度の最大はｇ_max であるが、ｇ_max −ｇ_av＋（ｇ_min −
ｇ’）／２＝（ｇ_max −ｇ’）／２＜Ｗである。だから
平均値の変動によっても、一旦その領域に属するものと
された画素が条件（６）を満たさなくなるということは
ない。

【００４５】このようにして領域に属する画素の数が増
えるにしたがってｇ_max とｇ_min の幅２Ｕが大きくな
る。最大でも幅は２Ｗ未満である（ｇ_max −ｇ_min ＜２
Ｗ）。しかし領域の広がりとともにｇ_max −ｇ_min が２
Ｗに収束するかというとそうではない。ラベルづけ済み
の画素数が増えると幅２Ｕはふえる。しかし２Ｗの幅か
ら飛び出すことはない。領域の分け方は一義的には決ま
らない。隣接する画素はいくつも有るからどの順序でラ
ベルづけするかによって、領域に属する画素が異なって
くる。画素甲（ｇ）の隣接画素として、乙（ｇ＋０．９
Ｗ）、丙（ｇ−０．９Ｗ）が有ったとする。初めに乙を
甲と同一領域に属するものと判断すると、平均がｇ＋
０．４５Ｗになり、丙はその領域から外れる。甲乙が同
一領域で丙はその他の領域である。反対に初めに丙が甲
と同一領域に属するものとすると平均値はｇ−０．４５
Ｗとなり、乙はその領域には入らない。このように処理
の順序によって領域分けが異なってくる。領域分割は一
義的でないということである。しかし実際には隣接画素
についてラベル付けをするときは順序を決めておくので
分割は確定する。それは順序が決まっているから領域分
割も確定するということである。順序を変えると領域分
割は異なってくる。つまり領域分割は原画像に内在する
特徴を引き出しているのではないということである。

【００４６】そのように言える理由はもうひとつある。
甲（ｇ）の隣接画素を辿って行き乙（ｇ＋０．９Ｗ）、
丙（ｇ−０．５Ｗ）、丁（ｇ−０．９Ｗ）が順に並んで
いるとすると、甲乙丙は同一領域に入る。ところが丁は
その領域から排除される。乙丙間は１．４Ｗも濃度差が
あり、丙丁間は０．４Ｗしか濃度差がない。それなの
に、その領域と隣接領域の境界は丙丁間にある。このよ
うな不自然さは微分を取らずに平均からの単純な差によ
って領域帰属を判定していることに起因する。原画を視
覚によって領域分けしたとすれば微分値が大きいところ
で領域分けをしてしまうであろう。そのような自然な分
割と、本発明でおこなう（６）の領域分割は全く違う。
（ＳＴＥＰ ４）注目する画素を、近傍画素のｇ（ｘ
_i+k ，ｙ_j+l ）に移し（（ｘ_i ，ｙ_j ）←（ｘ_i+k ，ｙ
_j+l ））、ＳＴＥＰ ３の処理を行う。その近傍画素の
内（６）を満足する画素が存在しないときは、つぎの領
域ｒ＋１を作る。領域ｒ＋１での処理はＳＴＥＰ３に従
う。こうしてラスター順に分割領域を作製する。領域に
含まれる画素はLabel （ｘ_i ，ｙ_j ）＝１とする。全て
の画素のラベルが０でなくなったならば、（任意のｉ，
ｊに対してLabel （ｘ_i ，ｙ_j ）≠０でないならば）領
域分割を終了する。

【００４７】以上の方法によって、分割が行われる。こ
こで、分割のパラメータＷは、各領域内で許容する濃度
差を意味するパラメータである。Ｗが大きいと領域の面
積が大きくなる。領域データ処理時間が増大する可能性
がある。Ｗが小さければ領域の個数が増える。領域抽出
に要する処理時間が増える。その反面画像近似データと
そのための処理時間が減少する可能性がある。Ｗの選び
方によって、領域分割の様子が変わってくる。分割領域
ｒは要素となる画素の平均濃度によって塗りつぶす。こ
こで平均というのは、最大、最小の平均ではなく所属画
素全部の平均値である。これをｈとする。図４は同じ原
画像を異なるＷによって処理したものを表す。（ａ）は
Ｗ＝８としたものである。これは原画像と殆ど異ならな
い。刻みが細かすぎるからであろう。（ｂ）はＷ＝１６
としたものである。壁に現れていた縦のシミが消えてい
る。壁との濃度の差が８より大きく１６より小さいから
である。少女の左肩から下方の部分がより明るい階調に
なっている。（ｃ）はＷ＝３２としたものである。一つ
一つの領域が広くなる。原画像から離れた印象を与える
ようになってくる。背後の窓の桟が消えかけになる。髪
の濃淡が原画像と異なり粗くなる。 ［Ｃ．領域記憶装置］領域記憶装置Ｃには、各領域を領
域内の平均で表現した画像

【００４８】 ｈ（ｘ_i ，ｙ_j ）∈｛０，１，…，Ｌ−１｝ （１０）

【００４９】が格納される。ｈというのは領域ｒ内で一
定値である。（ｘ_i ，ｙ_j ）にはよらない。しかし濃度
変数であるから、０〜Ｌ−１のいずれかの値を取る。ま
た各領域には領域番号が付けられる。ここでは省略して
いる。 ［Ｄ．領域境界線抽出機構］領域境界線抽出機構は、画
像の領域の境界線を求める操作を行うものである。前段
の処理によって領域がもとまっているから境界線は確定
する。境界線は、後の処理で関数として表現する必要が
ある。ためにここで抽出しておく必要がある。しかし画
素そのものと線は違う。画素を繋いだものが線であるの
ではない。

【００５０】初めに領域境界線を表現するための座標を
設定する。座標は画像の左上隅の点を（ｘ，ｙ）＝
（０，０）として、横軸にＸ軸、縦軸にＹ軸を取る。こ
のとき座標の示す位置は、各画素の頂点であることに注
意する。図５にこれを示す。一般には、画素の中心を座
標点と設定することが多い。しかし本発明ではそうでは
なくて、画素の４隅を座標点とするのである。すなわち
１つの画素は４つの座標点によって表現される。画素の
中心は半整数の座標によって表される。従って、原画像
の画素数がＩ×Ｊとすると、座標の取り得る値はそれよ
りも一つ多くなる。つまりｘ＝０，１，２，…，Ｉ、ｙ
＝０，１，２，…，Ｊとなる。

【００５１】このようにすることの利点はふたつある。
一つは座標点を画素の境界に設定できるということであ
る。もう一つの利点は、１ドットの点や、１ドット幅の
線を領域として表現できることである。前者の性質は境
界線を定義し確定するために好適である。前段の処理に
おいて領域分割をしたが、これは画素を領域として分割
するものである。全ての画素はいずれかの領域に配属さ
れている。境界線用として残された画素は存在しない。
もしも画素中心に座標点を取ると、隣接する領域の境界
線が、何れかの最外周の画素と合致してしまうから、境
界線に関して隣接画素が非対称になってしまう。隣接領
域を正しく分ける線という意味での境界線を与えること
ができない。後者の性質は次のような場合に有用であ
る。座標を画素の中心にもってくると、１ドット幅の線
や点は、「輪郭を持たない」単なる線や点として表現さ
れるために、本発明の重要な部分である「拡大などの変
形」を施しても、１ドット幅の点や線のままでしか再現
されないという問題がある。本発明のように座標を画素
の頂点にもってくると１ドット幅の線や点も、面積のあ
る「領域」として表現できる。拡大などの変形において
も、領域として拡大などの変形がなされる。

【００５２】図６によってこの点を説明する。９個の連
続する画素によって表現される線分（図６（ａ））があ
るとする。画素中心に座標を取った場合（ｂ）、拡大し
ても、幅を持たず長さが増えるだけである（ｃ）。幅方
向には拡大されない。これは忠実な拡大でない。本発明
のように画素の４隅に座標点を取ったときは、９個の連
続画素によって表される領域は長い長方形として表現さ
れる（ｄ）。これを拡大すると図６（ｅ）のようにな
る。原画に忠実に拡大される。忠実な拡大縮小を可能に
するために座標を画素の隅（頂点）に設定するのは有効
である。このような座標の取り方も本発明の新規な点の
一つである。通常は座標を画素の中心に設定するので、
画素と座標点が混用される。本発明はそのような定義を
取らない。

【００５３】これまで述べた方法によって全画面をくま
なく領域に分割できた。そのままではデータ圧縮するこ
とができない。領域を明確に定義するのに必要最小限の
要素は輪郭線である。すべての領域が輪郭線を持ち、全
面がくまなく領域に分けられているから、輪郭線は境界
線である。領域を明確に定義するためには境界線を抽出
すれば良いということになる。領域境界線の抽出方法に
ついて説明する。領域境界線は離散的には境界点列とし
て表現される。ここで境界点列というのは領域の境界に
存在しており、左右上下に４連結している座標点列のこ
とである。４連結であるから隣接点間の距離は常に画素
辺の長さに等しい。全画面中にＲ個の領域が存在すると
する。座標点列は｛ｘ^r _k，ｙ^r _k｝k^{Nr-1 R-1} _{k=0 r=0}によ
って表現される。ｒはＲ個の領域０，１，…、Ｒ−１に
つけた領域番号である。ｋはある領域ｒの境界点列のな
かの点の番号である。Ｎ_r は領域ｒの境界線上に存在す
る点の総数である。ｋはその境界線上の点０、１，…，
Ｎ_r-1 につけた点番号である。ｘ^r _kというのは領域ｒの
境界線上のｋ番目の点のｘ座標ということである。

【００５４】具体的には、境界点列は以下のような手順
によって決められる。 （ＳＴＥＰ １） 初期設定 ｒ←０ （領域番号０の処理を始める） （ＳＴＥＰ ２） 領域番号ｒの抽出 領域番号ｒの画素を、領域記憶装置に記憶されている画
像から抽出する。 （ＳＴＥＰ ３） 境界点列の走査 領域の境界点１点を適当に選び（ラスター走査などで簡
単に見つけられる）、その境界点を始点（ｘ⁰ ₀, ｙ⁰ ₀）
として、時計廻りに追跡する。そして境界点列の座標デ
ータを｛ｘ⁰ _k，ｙ⁰ _k｝^N0-1 _k=0 として抽出する。追跡方
法は例えばチェーンコードを用いる方法などがある。 （ＳＴＥＰ ４） 終了条件の判定 境界線は閉曲線である。分岐はあるがある領域ｒの周囲
という事に限ると一義的に経路の決まる閉曲線である。
領域ｒについて全ての境界線の点列を抽出するともとの
点にもどってくるのでその領域での全ての点列が抽出さ
れたということが分かる。領域ｒでの走査が終わると、
ｒ←ｒ＋１とする。つまり領域ｒ＋１についてＳＴＥＰ
３の境界線抽出を行う。ｒ＝Ｒとなった場合、すべての
領域の境界点列が抽出されたと判定しこの操作を終了す
る。以後は一つずつの境界線について説明するから境界
線の番号ｒを省略する。以後境界線はｒという符号が除
かれているというように理解すべきである。またＮ
（ｒ）がｒ番目の境界線の点列の数であるが、これも以
後省略する。符号が多いので随時省略した記号法を用い
る。

【００５５】［Ｅ．領域分割点抽出機構］領域を仕切る
境界線はそれぞれ閉曲線であるが相互に分離しているの
ではなく２以上の境界線が交わる点を持つ。つまり分岐
点がある。この点で二値画像の輪郭線とは異なる。境界
線上の分岐点を領域分割点と呼ぶ。領域分割点抽出機構
は、３つ以上の領域を分割している点（領域分割点）を
求める操作を行うものである。もしこの点（領域分割
点）を抽出しなければ、後の境界線の関数近似におい
て、境界が分岐した場所の近似において、どこを近似す
れば良いのかわからなくなる。本発明は分割点を抽出
し、領域分割点によって区切られた区間毎に行う。分割
点で区切られた線とすればそれはひとつの曲線であるか
ら近似ができる。そのために領域分割点の抽出が必要な
のである。

【００５６】領域分割点は、２×２画素のウインドウを
用いて、領域記憶装置に記憶されている画像に対して、
左上から右下へラスター走査をすることによって求め
る。図７（ａ）にラスター走査を示す。ある点が分割点
であるのかないのかを判断するためにはその点の周囲４
画素（２×２）に着目する。この４画素をウインドウと
呼ぶが、ウインドウがラスター順に動いて行くのであ
る。ウインドウの４画素の濃度を比較して、中央の点が
分割点かどうかを決める。濃度の違う３種類の画素がそ
の点の周りにあればそれは分割点である。例を挙げる。
図７（ｂ）は４画素のうち上ふたつが白画素、下ふたつ
が黒画素である。ふたつの領域が接触するだけであるか
ら中央の点は分割点ではない。図７（ｃ）は左上画素が
白、右上が灰色、下２画素が黒である。３つの領域が接
触しているから中心点は分割点である。この他に４つの
濃度の相違する画素が接触する場合がある。その場合は
４領域の分割点ということになる。

【００５７】［Ｆ．領域境界線記憶装置］領域境界線
は、領域分割点のデータを用いて、以下のように記憶さ
れる。 （ＳＴＥＰ １）領域境界点列において、領域分割点で
あるものは、その旨のフラグを与える。 （ＳＴＥＰ ２）領域境界点列において、隣合う領域分
割点間の点列を、一つの境界区間として境界区間番号を
付ける。ただし、隣合う領域において、同区間を共有し
ている場合には、境界区間に同じ番号を付けるようにす
る。図８（ａ）にこれを示す。ここでは５つの濃度の異
なる領域が存在する部分を示す。３つ以上の領域が接す
る点が分割点である。単に折れ曲がる点ではない。この
図では３つの領域分割点がある。円で囲んだ部分の拡大
図が図８（ｂ）である。ここにふたつの領域分割点ア、
イが含まれる。アイ間の境界区間はふたつの領域に属す
るが、これには同じ番号を付けるのである。

【００５８】以上のようにして境界点列は、｛ｘ^p _k，ｙ
^p _k｝^{Mp-1 p-1} _{k=0 p=0} というふうに記憶される。ここで
記号Ｐは画像に存在する境界区間の総数である。ｐは境
界区間に付けられた番号であり、０〜Ｐ−１の何れかで
ある。Ｍｐはｐ番目の境界区間に存在する境界点列の個
数を意味する。ｋは境界点列に付けられた番号である。
ｘ^p _k、ｙ^p _kはｐ番目の境界区間のｋ番目の点列のｘ座
標、ｙ座標である。 ［Ｇ．境界急峻点抽出機構］境界急峻点というのは、境
界点列においてその勾配の差分変化が急峻な点をいう。
これも境界点列を近似する上で重要な役割を果たす点で
ある。勾配の変化であるから実質的には曲率にあたる。
勾配変化が大きい点を抽出して点列を分けるとにより巧
みに近似ができる。境界線を領域分割点と境界急峻点に
よって分け、分けたものを近似するという点が本発明の
巧みな点である。境界線は単独の閉曲線ではないから分
岐を持つ可能性があり分岐を含むとここで近似の順序が
定まらないから領域分割点としてまず除き、さらに分岐
以外の点で曲がりが著しく低次の関数で近似しにくい点
を急峻点として除くのである。

【００５９】一般に、種々の変化の激しい部分を関数で
近似するには高次の関数が必要になる。高次の関数で近
似できたとしてもルンゲの現象に代表されるように強い
振動を生じる。この問題は、関数近似に内在する問題で
いかなる多項式を用いても変化の激しい部分を関数近似
するとその部分から少し外れた部分でその関数は激しい
振動をする。つまり変化の激しい部分は関数近似しない
で除き、それ以外の滑らかに変化する部分のみを関数近
似すれば低い次元の関数でよりぴったりと近似できるの
ではないか？と本発明者は考えた。そのような発想に基
づいて、本発明では勾配の変化が大きい部分を境界急峻
点として除きその間の滑らかな変動をする部分を低次元
の関数によって近似する。この近似は振動を伴わず原画
に忠実でありデータ数も少ない。

【００６０】境界急峻点を求めてその間の区間を近似す
るから、本発明は画質を維持しながれ記憶すべきデータ
量を少なく抑えることができるのである。具体的には各
境界区間において以下のような手順によって求められ
る。 （ＳＴＥＰ １）境界区間の全境界点において、局所方
向ベクトルDirection （ｐ，ｋ）を求める。境界区間ｐ
においてある境界点｛（ｘ^p _k，ｙ^p _k）｝に於ける局所ベ
クトルを、境界線にそってそれよりａ個前方の点へ、そ
れよりａ個後方の点から引いたベクトルとして定義す
る。局所方向ベクトルは

【００６１】 Direction（ｐ，ｋ）：＝vector（ｘ^p _k+a−ｘ^p _k-a，ｙ^p _k+a−ｙ^p _k-a）(1１）

【００６２】である。ここでａは局所性を表すパラメー
タである。２ａだけ離れた２つの点のを通るようにベク
トルを引くので、ａの選び方に任意性が残る。ａが小さ
すぎるとノイズに弱くなる。ａが大きすぎると急峻性に
鈍感になる。本発明の実施例ではａ＝２に選んでいる。
図９に局所方向ベクトルの例を示す。図９（ａ）におい
て点エの局所方向ベクトルはオカである。対象点とベク
トルは接触しているとは限らず、通常は互いに離れてい
る。図９（ｂ）は境界線にそって各点の局所方向ベクト
ルを示すものである。境界線そのものが一箇所キクで落
ち込むので局所方向ベクトルもここで下向き成分を持つ
ようになる。ベクトルは大体境界線を辿ってゆく感じで
あるが、曲がり角においては境界線と少しずれてくる。 （ＳＴＥＰ ２）ここでは（ＳＴＥＰ１）で求められた
局所方向ベクトルを４５゜刻みの八方向に量子化する。
つまりＸ方向に対して−２２．５゜、＋２２．５゜、６
７．５゜、１１２．５゜、…、−６７．５゜の８方向の
扇型の範囲に分けてこれらに入るものは全て同じベクト
ルとするのである。量子化はノイズに対して局所方向ベ
クトルが安定になるために行われる。以後、量子化され
た局所方向ベクトルを単に方向ベクトルと呼ぶ。方向ベ
クトルはDirection （ｐ，ｋ）で表すことにする。図９
の局所方向ベクトルを量子化した結果を図１０に示す。
これらは長さが１になるようにしてある。さらにベクト
ルの始点も違う。そのベクトルを定義する座標点にベク
トルの中点がくるようにしている。角度だけを問題にす
るからベクトルの長さや始点は自在に選んで表示しても
良い。このために図９と図１０のベクトルはかなり感じ
が違う。

【００６３】量子化によってベクトルの方向のばらつき
が減る。このような例であると、ほとんどは流れの方向
に平行なベクトルになる。図９（ａ）のオカのように横
３画素分縦１画素の点を結ぶものは、Ｘ方向となす角度
が１８゜になる。だからこれは角度が０のものに含まれ
る。横１画素縦３画素のものはＹ軸となす角度が１８゜
で有るから、角度が９０゜のものに含まれる。横２画素
縦２画素のものは角度が４５゜であるから、量子化角度
４５゜のものに含まれる。そのようなものは図９（ｂ）
においても一つしかない。もちろんそのようなことはａ
の選び方にもよる。図１０に示すように、量子化によっ
てノイズが落ちてより単純なベクトルの集合になる。 （ＳＴＥＰ３）境界区間の全境界点において局所急峻度
を求める。局所急峻度θ（ｐ，ｋ）は着目している境界
点｛（ｘ^p _k，ｙ^p _k）｝の前後の局所方向ベクトルの角度
を以下の式で定義する。

【００６４】

【数１２】

【００６５】ただしθの定義域は−π＜θ≦πとする。
但しこの式だけからではθの正負が分からない。時計回
りの曲がりなら正、反時計回りなら負とするというよう
に決めておけば正負を決めることができる。着目点での
局所方向ベクトルは含まずそれよりｂ個前のベクトルと
ｂ個後のベクトルだけを含む。ここでｂは局所性を表す
パラメ−タである。２ｂだけ離れた２つのベクトルの角
度を計算するので、ｂの選び方に任意性が残る。ｂが小
さすぎると大局的な変化を得られない。ｂが大きすぎる
と局所的な変化を得られない。本発明の実施例では、ｂ
＝１に選んでいる。（ＳＴＥＰ４） 境界点の全てにお
いて局所急峻度θを求める事ができる。

【００６６】 ｜θ（ｐ，ｋ）｜≧β （１３）

【００６７】となる点｛（Ｘ^p _k、Ｙ^p _k）｝を境界急峻点
とする。ここでβは許容急峻度を意味するパラメータで
ある。これは−πから＋πのある一定数に決める。図１
１によって具体的な例を示す。図１１（ａ）において前
記の局所方向ベクトルを示す。初めは水平方向のベクト
ルが３つ並んでいるから角度は０である。次に水平のベ
クトルに下向き４５゜のベクトルが続いている。ふたつ
離れた点の局所方向ベクトルのなす角度はπ／４であ
る。つぎは水平ベクトルと垂直ベクトルの違いであるか
らπ／２である。その次は４５゜のベクトルと下向きの
ベクトルの差であるからπ／４である。もしも隣接局所
方向ベクトルのなす角度によって定義するとこれらの角
度の和が境界線の曲がり角に等しくなるはずである。し
かし本発明ではそうでなく、ふたつ分離れた座標点での
局所方向ベクトルの角度を計算しているからそのような
サムルールが成り立たない。

【００６８】さらに境界線の勾配が急峻な点を選び出す
のであるからいくつか離れた３点を取って中間点からベ
クトルを引きその挟む角を求めることによっても急峻点
らしきものを求めることができるはずである。しかし本
発明はそのようなことをしない。もっと複雑で精緻な手
法を採用している。４つ分離れた２点を結ぶ局所方向ベ
クトルを求め、量子化し、ふたつ分離れたベクトルのな
す角度を求めてこれがβよりも大きい点を急峻点とす
る。この方法は図９の曲がり点コ、サ、キ、クなどを急
峻点として抽出しないという大きい利点がある。単純に
３点から離散的手法で勾配変化の大きい点を求めると、
コ、サ、キ、クのような点も急峻点として抽出してしま
う。ところが本発明のようにするとシのみを急峻点とし
て抽出できるのである。以上の方法によって境界急峻直
線や円弧の近似区間に於いては、冗長な境界急峻点を除
去する方法も考えられる。例えば先述の文献、堀内、大
瀧、寅市：「マルチフォントの自動関数化における接合
点の多段階抽出法」．電学論（ｃ），113-c,12,pp1136-
1143,1993 を適用する事が出来る。しかし本発明の境界
急峻点の抽出法は、精緻な手法を用いているため、上述
のようにコ、サ、キ、クなどの直線の冗長点を最初から
抽出しないため、冗長な境界急峻点の除去はさほど効果
がないと思われる。

【００６９】［Ｈ．領域境界線近似機構］前段階まで
で、境界線の上にある領域分割点と境界急峻点とを抽出
した。この段階では境界線は領域分割点によって区切ら
れているから境界線はそれ以上もはや分岐することはな
い。境界線は既に境界急峻点によって区切られているか
ら勾配変化が急激である点もない。この機構Ｈは領域分
割点と境界急峻点によって区切られた部分の境界点列を
関数によって近似する。分岐は除かれているから近似す
べき境界線の範囲は一次元的である。つまり一つの曲線
になっている。急峻点も除いているから著しい曲がりの
ない滑らかな曲線あるいは線分になっている。両方含め
て曲線という。その曲線の両端の点は領域分割点から境
界急峻点である。領域分割点とか境界急峻点とか呼ぶの
は煩雑であるし近似に関してはどちらが端点であっても
よいので、両者を含め単純に「特徴点」と呼ぶことにす
る。つまり特徴点＝領域分割点＋境界急峻点である。

【００７０】これまでの手順によって境界線と特徴点が
分かった。境界線は点の集合であるから点の座標に集合
として得られている。全ての境界線座標のデータそのま
までは数多くの座標を記憶しなくてはならずデータ量が
多すぎる。多いというだけでなく拡大や縮小回転平行移
動などの操作を実行しにくいという難点がある。柔軟性
に欠ける。本発明者はもちろんそのような方途は取らな
い。境界線を少ないデータで記述できるようにしデータ
圧縮をする。特徴点の座標はどのみち記憶しなければな
らない。しかし境界線上のふたつの特徴点間の曲線部に
ついては関数近似することによって曲線を記述するデー
タ量を減らす事が可能である。ふたつの特徴点によって
区切られる区間は滑らかな曲線であるから特徴点間を低
次の関数によって近似できるはずである。

【００７１】そこで局所的な広がりをもつスプライン関
数によって特徴点間の曲線を近似することを試みる。ス
プライン関数は不規則に分布する点の間を補間するため
に利用される区分的多項式であり多項式の変化する点を
節点と呼ぶ。節点（knots ）間をｍ次の区分的多項式に
よって表現し節点では関数値そのものと（ｍ−１）階微
分が連続するように係数を決めるものである。ｍ階微分
の値は連続しない。本来は節点を適当に分散させて近似
の精度を上げるようにできる。節点を巧みに決めて高精
度の近似をすることがスプライン関数による近似テクニ
ックの一つである。しかしここでは節点を予め決めてし
まう。曲線の区間をＴとして次元数Ｍによって割った長
さＴ／Ｍの等距離に均等に節点が存在するものとする。
曲線の上に節点を等密度で分布させる。つまり節点を与
える自由度は初めから犠牲にしている。ＴとＭが決まれ
ば節点は自動的に決まってしまう。Ｔのサイズは特徴点
間の距離であって様々である。Ｍも自由に選べるパラメ
ータである。Ｍを上げることによって近似を上げること
ができる。しかしＭを決めると多数の節点が決定され
る。

【００７２】ここで利用するスプライン関数は正規化さ
れたＢスプラインの一種である。ここで使うスプライン
関数は節点をＴ／Ｍ毎に与えるとしているから、次元数
Ｍと次数ｍがパラメータになる。次元数Ｍ、次数ｍの違
いによって幾つもの種類のものがある。Ｍというのは次
元数で区間の分割の数である。分割されたものを細区分
と呼ぶ。問題になる区間の長さをＴとすると、細区分は
（Ｔ／Ｍ）の長さを持っている。これをΔとする（Δ＝
Ｔ／Ｍ）。細区分を指定するパラメータとしてここで
は、ｋ、ｌ、などを使う。アルファベットの数が足りな
いから以後、同じ文字を異なる対象を表現するのみ用い
ることもある。スプライン関数は細区分毎に多項式を定
義しこれの和として局在する分布を表現する。これに対
して次数というのは多項式の次数の事である。次数ｍが
０（０次）の場合はある一つ細区分で１を取る矩形関数
である。積分は１である。次数が１の場合はその細区分
と隣接細区分のみで直線の立ち上がりと立ち下がりのみ
からなる三角波で積分はやはり１である。次数ｍが２の
場合は３つの細区分にわたるなだらかな山になる関数で
ある。これは２次関数をつないだもので負にはならな
い。積分は１である。次数が３の場合は３次スプライン
関数というが、４つの細区分に渡る関数で両端に振動が
現れる。ｍ次のスプライン関数の基底関数は、ｍ＋１の
細区分に広がり、ｍ＋１階のスプラインという。通常は
このサフィックスをつけて、Ｎ_q,_m+1 と書く。がここで
はｍ＋１を省いて、Ｎ_q と書くことにする。以後もサフ
ィックスが複雑になるから適当にサフィックスを省くこ
とがある。これはΔを通じて次元数Ｍを含みＭによって
異なる基底であることに注意すべきである。ｍ次の基底
関数はＮ_q(ｔ）は次のように書ける。

【００７３】

【数１４】

【００７４】ここで｛ａ｝₊ は括弧内数ａが正である場
合だけそのままの値ａを取り、括弧内の数ａが負である
と０である関数を表す。ｔ＝ｑ＋ｗに於いて新たにその
点から微分０から立ち上がるｍ次関数いずれも局在した
関数を表し、ｑは立ち上がりの座標である。節点である
ｔ＝（ｑ＋ｗ）Δからｍ次関数｛ｔ−（ｑ＋ｗ）Δ｝^m
をそれまで含まれていたｍ次連続関数に追加する。これ
は節点でそのものの値が０で１階微分から（ｍ−１）階
微分までのｍ個の値が全て０である関数である。これを
節点で追加していく関数であるから全ての節点で関数値
と１階から（ｍ−１）階までの微分値が連続であるのは
当然である。ｔ＝（ｑ＋ｗ）Δからｍ次式として立ち上
がる関数から、ｔ＝（ｑ＋ｍ＋１）Δからｍ次式として
立ち上がる関数まで合計（ｍ＋１）個のｍ次関数を合計
する。ｍ＋１番目の関数はそれまでの関数を打ち消す為
にあるだけで、ｔ＝（ｑ＋ｍ＋１）Δ以後は恒等的に０
である。（１４）式においてｔ＞（ｑ＋ｍ＋１）Δであ
ればΣの中の｛｝₊ の＋が落ちるのでそのまま和を計算
できるがこれは０であることが簡単に証明できる。

【００７５】つまり基底Ｎ_q(ｔ）はｔ＝｛ｑ＋（ｍ＋
１）／２｝Δにピークがありｔ＝ｑΔ〜（ｑ＋ｍ＋１）
Δの細区分に広がる左右対称な局在関数である。ｍ次の
スプラインはｍ次関数を繋ぎ併せてｍ＋１細区分に広が
る山を作っている。二次スプラインは二次関数によって
３つの細区分に広がる山をつくる。勿論次数ｍをもパラ
メータとして区間によって次数を変化させる補間方法も
ある。しかしここでは次数は変えない。例えばｍ＝２の
二次区分的多項式を終始使う。ｍ＝３であっても良い。
場合によってｍを変化させないということである。ｍを
自在に変えることによって近似を容易にするというのが
スプライン関数の利点の一つである。しかし本発明は途
中で次数を変えない。スプラインの２つの利点（自由節
点、自由次数）を捨てる事になるが、反面新たな利益が
ある。次数ｍを決めると基底関数Ｎ_q の形が決まるので
計算は余程容易になる。先に境界線の点列のなかで領域
分割点と境界急峻点を取り除いている。二つの特徴点を
結ぶ曲線は低周波振動を含むだけになっている。だから
低次関数で十分に近似できる。

【００７６】図１９はｍ＝１のスプライン関数Ｎ
_-1（ｔ）を示すグラフである。基底関数は積分が１にな
るように正規化される。ｍ＝１の関数は三角波形であり
これの線形結合では曲線を表現するのは難しい。ｍ＝２
の二次スプライン関数は、（１４）でｍ＝２とすれば得
られる。

【００７７】

【数１５】

【００７８】図２０は二次スプライン関数Ｎ₀ （ｔ）
（ｍ＝２、ｑ＝０、Ｔ／Ｍ＝１）を示すグラフである。
簡単の為にＴ／Ｍ＝Δ＝１として表示しているが、実際
には横軸はＴ／Ｍ＝Δの刻みになる。これは０から立ち
上がり、３／２で最大値３／４を取り、３で０に落ちる
関数である。簡単な連続２次関数であるから次に具体的
な関数形を示す。

【００７９】 （ａ）０＜ｔ＜１ ｔ² ／２ （１６） （ｂ）１＜ｔ＜２ （３／４）−｛ｔ−（３／２）｝² （１７） （ｃ）２＜ｔ＜３ （ｔ−３）² ／２ （１８）

【００８０】という簡単な二次関数になる。繋ぎ目のｔ
＝１，２では関数値が連続し、１階微分も連続してい
る。２階微分は不連続である。滑らかさを持つスプライ
ンの中で関数形は最も単純である。Ｎ_q の積分値は１で
ある。図２０に各部分の面積を図示しているがバランス
のよい形をしている。一つの細区分ｑ〜（ｑ＋１）内に
値を持つのは３つの基底Ｎ_q 、Ｎ_q-1 、Ｎ_q-2 だけであ
る。これらを細区分ｑ〜ｑ＋１で同じ重み１をもつもの
として足し合わせると１になる。つまり係数を全て同じ
にすれば直線をも表現できるという事である。２次関数
であるが係数を全て同じとすると定数になるのである。
一つの細区分でそのような事が言えるので、全ての細区
分に付いても同じことが言える。つまり直線の場合は次
元数Ｍがいかなる場合であっても係数ｃ_q を定数とする
ことによって直線を表現できる。直線の場合はＭ＝１に
よって最も表現できるのである。Ｍ＝１から近似を出発
させれば直線はここで近似が終わってしまう。Ｍ＝１で
Ｘ方向に３つ、Ｙ方向に３つの係数を一定値にして直線
を過不足なく近似できる。

【００８１】スプライン関数のようにある区間で多項式
によって表されるが異なる区間で関数形の異なるような
関数を区分的多項式という。曲線を表現できるもっとも
簡単なスプライン関数は二次（ｍ＝２）のスプライン関
数である。本発明は３次スプラインによっても展開でき
るし、理論は並行して作る事ができる。しかし以後は２
次スプライン関数を基底として説明する。３次４次のス
プライン関数でも同じような形の式になるので、二次ス
プラインで代表させることができる。一般の関数ｆ
（ｔ）をスプライン関数で近似する場合、基底関数Ｎ_q
（ｔ）の係数をｃ_q として、ｆ（ｔ）＝Σｃ_q Ｎ_q
（ｔ）として節点ｑについて展開する。二次スプライン
の場合、３つの細区分に広がるから、０番目の細区分に
影響を与えるのはＮ_-2からである。そこでｑの範囲は−
２〜Ｍ−１（Ｍは細区分の番号）となる。Ｍ＋２個の係
数が存在する。細区分自体はＭ個あり、０、１、…、Ｍ
−１の番号が振られる。

【００８２】さて境界線の特徴点で挟まれる非特徴部分
の曲線を近似したい。これには一工夫必要である。境界
線は連続曲線であるが画素を辿っているから実際には点
の連続体である。つまり連続する点列である。８近傍を
とれば縦横の他に４５度斜めに連続することもある点列
である。４近傍を取れば縦横にのみ連続する点列であ
る。境界線の点列を境界線点列と呼ぶ。点列の数をｎと
する。ある起点から数えて境界線点列のｋ番目の点（０
≦ｋ≦ｎ−１）を二次元座標（ｘ_k ，ｙ_k ）によって表
現する。境界線はそのような点列ｋの集合である。集合
を表す｛…｝を使って、境界線を｛（ｘ_k ，ｙ_k ）｝に
よって表現できる。画像メモリには現在、ｋの値も（ｘ
_k ，ｙ_k ）の値も保持されているがそのままではデータ
数が多すぎる。特徴点間の非特徴部はもっと少ないデー
タによって記憶させたい。先ほどからスプラインによる
補間法等について説明してきた。しかし二次元座標であ
る境界点列をそのままスプライン関数によって近似でき
ない。節点を定義する座標をｘにするとこれは境界線に
そって一様に増大減少する単純な関数でないからであ
る。そのような関数をスプライン関数の独立変数にする
ことはできない。

【００８３】幸いな事にｋによって点列が番号づけられ
ており、ｋによってｘ座標、ｙ座標が関連づけられてい
る。そこで媒介変数表示をすることができる。ｔを媒介
独立変数とし点列の一つｋについてｔ_k を決める。これ
はｋに関して一様増加する関数である。初めから（ｘ
_k ，ｙ_k ）が分かっているから、ｔ_k と（ｘ_k ，ｙ_k ）
が関連づけられる。ｔ_k とｘ_k ，ｔ_k とｙ_k を関連づけ
ると一価関数の２つの組が得られる。これが｛（ｔ_k ，
ｘ_k ）｝と｛（ｔ_k ，ｙ_k ）｝である。媒介変数が点列
番号ｋの上昇関数であるようにでき、点列での座標がき
まっているから一価であることは当然である。点列
｛ｋ｝のｘ座標｛ｘ_k ｝をスプライン関数ｓｘ（ｔ）に
より近似する。ｙ座標｛ｙ_k ｝をスプライン関数ｓy
（ｔ）によって近似する。これは基底Ｎ_q （ｔ）の係数
をｃ_q としそれの線形結合である。ｘ座標とｙ座標があ
るのでそれぞれをサフィックスとして付して係数は２組
のセット｛ｃ_xq｝、｛ｃ_yq｝になる。

【００８４】

【数１９】

【００８５】

【数２０】

【００８６】この式の意味は次のようである。Ｎ_q
（ｔ）はｑ〜ｑ＋３に局在する図２０（ｍ＝２のときは
図２０そのもの））のような山形の関数である。局在す
るということがｔにでなくサフィックスｑによって示さ
れる。二次スプラインに話しを限るとｑ＋３／２の場所
に局在する確率をｃ_q が表現しているのである。近似関
数を決めるということは係数２（Ｍ＋１）個の係数｛ｃ
_xq｝、｛ｃ_yq｝を決めることである。境界線に含まれる
点の数ｎと細区分の数Ｍを混同してはいけない。長い曲
線の場合ｎは大きいが振動はわずかであるから細区分の
数Ｍは十分に小さい。２ｎ個の二次元座標｛（ｘ_k ，ｙ
_k ）｝を２Ｍ＋４個の係数｛（ｃ_xq、ｃ_yq）｝に変換し
た場合十分にデータの圧縮になっているのである。簡単
の為、以後二種類の係数を単純にｃ_q と呼ぶ事もある。

【００８７】ｔは当然に連続する変数である。境界点列
のｋ番目でｔ_k をとるがそれ以外の値もとるし当然ｔで
微分することもできる。ｓx （ｔ_k ）、ｓy （ｔ_k ）が
ｋ番目の点のｘ座標、ｙ座標を与える。但し近似である
からｓx （ｔ_k ）、ｓy （ｔ_k ）はｘ_k 、ｙ_k に必ずし
も等しくない。近似関数を求めるということは係数
｛（ｃ_xq、ｃ_yq）｝を決めることに等しい。基底関数の
選び方に関してふたつの方法が有り得る。一つは最小二
乗法による方法である。もう一つは本発明者が初めて提
案した双直交関数を用いる方法である。これの方が短時
間で計算できる。そこで本発明者は後者を用いて係数を
決める方が格段に優れていると考える。しかし本発明で
は、最小二乗法も使えるのでここでは両方を説明する。

【００８８】［１．最小二乗法によるｃｑの決定法］境
界線点列のｋ番目の点での、実際の座標（ｘ_k ，ｙ_k ）
と近似関数が与える近似座標ｓx （ｔ_k ）、ｓy （ｔ
_k ）の差の二乗を計算し合計し、全ての点での差の二乗
の和を計算してこれを最小にするように係数を決めると
いうものである。全ての点での差の二乗の和を二乗誤差
Ｑと簡単に呼ぶ。これは、

【００８９】

【数２１】

【００９０】によって定義される。ｋは境界点列の点で
０〜ｎ−１の値を取る。次元数Ｍではない。これを最小
にするよう係数を決める。二乗誤差を最小にするので最
小二乗法というのである。数１９、数２０を代入する
と、

【００９１】

【数２２】

【００９２】この式にはふた通りのΣが現れる。ｋに関
する和は境界点列の関するｎ個の和である、ｑに関する
和は基底関数に関するＭ＋２の和である。基底関数は図
２０のように既知の関数である。（ｘ_k ，ｙ_k ）も既知
である。ｃ_xq、ｃ_yqが未知数である。Ｑが最小というの
は係数ｃ_xq，ｃ_yqをその点の極近傍で変動させてもＱが
増えるだけであるという状態を意味する。そこでＱを２
（Ｍ＋２）個の未知数によって偏微分しこれが０である
とする。ところがＱの中を見るとｘ係数とｙ係数は独立
に含まれるから、いずれか一方の微分だけで０となる。
かくして微分を０とすることによって、２（Ｍ＋２）個
の決定方程式が得られる

【００９３】 δＱ／δｃ_xj＝０ （ｊ＝−２、−１、…、Ｍ−１） （２３） δＱ／δｃ_yj＝０ （ｊ＝−２、−１、…、Ｍ−１） （２４） つまり

【００９４】

【数２５】

【００９５】

【数２６】

【００９６】この一次方程式を解いて係数ｃ_xq、ｃ_yqを
求めることができる。係数ｃ_xqは（Ｍ＋２）個あり、定
数Ｎ_xj（ｔ_k ）はｎ（Ｍ＋２）個ある。２（Ｍ＋１）元
の一次方程式である。Ｍ＝１から近似を始めるから最初
は容易に計算できる。近似結果が所定の基準を満たさな
いと、次元数Ｍを一つずつ増やしていくが、Ｍが大きく
なると時間が掛かるようになる。あるいは、｛ｃ_xq｝を
Ｍ＋２元の列ベクトルｃ_x （ｑ＝−２，…，Ｍ−１）、
｛ｘ_k ｝をｎ元の列ベクトルｘ（ｋ＝０，１，…，ｎ−
１）、｛Ｎ_xq（ｔ_k ）｝をＭ＋２列ｎ行の行列Ｎ_x によ
って表すと（ｑ＝−２，…，Ｍ−１；ｋ＝０，１，…，
ｎ）、^t ＮをＮの転置行列（ｎ列Ｍ＋２行）として、行
列式

【００９７】 ^tＮ_x Ｎ_x ｃ_x ＝Ｎ_x ｘ （２７） ^tＮ_y Ｎ_y ｃ_y ＝Ｎ_y ｙ （２８） によって前記の一次方程式を書き換えることができる。
この行列式を解くと係数が求められる。Ｎ_x 、Ｎ_y 自身
は正方行列でないから逆行列が存在しない。しかし^t Ｎ
_x Ｎ_x は（Ｍ＋２）行（Ｍ＋２）列の正方行列であって
逆行列が有る。これら積の逆行列を計算して、

【００９８】 ｃ_x ＝（^t Ｎ_x Ｎ_x ）^-1Ｎ_x ｘ （２９） ｃ_y ＝（^t Ｎ_y Ｎ_y ）^-1Ｎ_y ｙ （３０）

【００９９】を求める。最小二乗法によって係数を決め
るというのは、結局のところ（２９）、（３０）のよう
な行列計算によって係数を決める事に等しい。逆行列の
計算で係数ｃ_x ，ｃ_y が求められると、各境界点列ｋで
の座標（ｘ_k，ｙ_k ）と、近似座標（ｓ_x （ｔ_k ），ｓ_y
（ｔ_k ））の二乗誤差の平方根（つまり距離）を計算
しその最大値εが所定の値より小さいか？大きいか？を
判定する。

【０１００】 ε＝ｍａｘ_k ［｛ｓ_x （ｔ_k ）−ｘ_k ｝² ＋｛ｓ_y （ｔ_k ）−ｙ_k ｝² ］^1/2 （３１）

【０１０１】ここでｍａｘ演算はｋ＝０〜ｎの全ての境
界点列において以下の値が最大になるものを選べという
ことである。ここでは和ではなく個々の点での差の最大
値によって評価している。和によって誤差を評価すると
ある点では意外に大きい誤差が出ているにも拘らずこれ
を許容することになる。そこで和ではなく個々の点での
誤差により近似を評価する。つまり（３１）の評価は最
小二乗法とは無関係である。式は少し似ているが意味は
全然違う。計算の為の最小二乗法と、（３１）の結果の
評価法とを混同してはならない。

【０１０２】評価式（３１）において誤差最大値εの値
を抑えることによってもとの座標に近づける事ができ
る。しかしεを小さい値まで持っていくには近似を多数
回（Ｍが大きく）繰り返さなくてはならず時間が掛か
る。たとえばε＜０．５となるまで近似をすることにす
る。誤差が１画素の半分までなら許容するということで
ある。原画が画素毎に離散的に表現されているから、ε
＜０．５ということは原画を最も忠実に表すことに重点
が置かれているのである。もちろんそうではなくて、ε
の許容誤差を１以上にすることもできる。これは計算回
数を減らすという意味だけではなく別の意義もある。原
画を忠実に再生することよりも境界線の滑らかな再生に
重点が置かれた場合などに適する。目的によって許容最
大誤差εを自在に設定できる。ある次元数Ｍにおいて前
記の計算をしてεがある所定の値以下である時はそれで
計算を止めてその係数｛ｃ_xq，ｃ_yq｝を採用する。既に
述べたように直線の場合はＭ＝１でそのような関係を満
足するようにできる。

【０１０３】εが許容範囲より大きい場合は近似が不十
分なのである。その時は次元数をＭ＋１にして再び同様
な計算をする。勿論Ｍが変わると細区分（−２，−１，
…，ｑ，…，Ｍ−１）が全て変わるので係数Ｎ_q （ｔ
_k ）も全く変わる。全てを計算し直す必要がある。改め
て係数を計算し（３１）の評価をする。それでもεが所
定値より大きいときはさらにＭの値を一つ増やす。こう
してεが所定の値（例えば０．５）より小さくなるまで
計算と評価を繰り返す。簡単な曲線であると、小さいＭ
であってもεが所定の値以下になる。複雑な曲線である
とＭをかなり高い値にして初めてεが許容値より小さく
なる。最小二乗法による方法はＭが小さいうちは実行可
能である。しかしＭが大きくなると逆行列を求めること
が難しくなる。Ｍが大きい場合には多大の計算時間が掛
かるようになり次第に現実性を喪失してゆく。より時間
を浪費しない単純な計算方法が希求される。ブレークス
ルーが必要である。

【０１０４】［２．双直交関数を用いる方法］双直交関
数という概念自体が新規なものである。まず関数の直交
性について説明する。パラメータによって指定できる一
群の関数系があるときパラメータが異なる関数の積の所
定範囲の積分が０である場合その関数系には直交性があ
るという。例えばｓｉｎ、ｃｏｓ関数には異なる係数の
関数の積の１周期分の積分が０であるという直交性があ
る。積分範囲を０〜２πとして、

【０１０５】 ∫ｓｉｎ( ｐｔ) ｓｉｎ( ｑｔ) ｄｔ＝πδ_pq （ｐ，ｑは整数） （３２）

【０１０６】である。δ_pqはクロネッカのδであり、ｐ
≠ｑなら０、ｐ＝ｑなら１である。ｐとｑが違えば積の
積分は０である。ｐ＝ｑなら積の積分はπである。つま
りｓｉｎ、ｃｏｓ関数には理想的な直交性がある。その
ほかの特殊関数も直交性を持つものが多い。たとえばル
ジャンドルの多項式Ｐ_m （ｔ）も直交性を持ち、−１か
ら＋１の積分範囲での定積分は

【０１０７】 ∫Ｐ_m （ｔ）Ｐ_n （ｔ）ｄｔ＝２δ_mn／（２ｎ＋１） （３３）

【０１０８】となる。綺麗な直交性である。任意の関数
をルジャンドル多項式によって展開した時の数係数を、
直交性を使って求める事ができる。ベッセル関数Ｊ_m
（ｔ）も少し変わった直交性を持つ。

【０１０９】 （ｂ² −ａ² ）∫ｔＪ_m （ａｔ）Ｊ_m （ｂｔ）ｄｔ＝ｔ［ｂＪ_m （ａｔ）Ｊ_m+l （ｂｔ）−ａＪ_m （ｂｔ）Ｊ_m+l （ａｔ）］ （３４）

【０１１０】ベッセル関数は周期性がなく零点が無数に
あるからこのような直交性になる。これを使って、任意
の関数をベッセル関数によって展開した時の係数を計算
することができる。エルミート多項式Ｈ_p （ｔ）も簡単
な直交性をもつ。積分範囲をマイナス無限大からプラス
無限大として、

【０１１１】 ∫Ｈ_p （ｔ）Ｈ_q （ｔ）ｄｔ＝δ_pq （３５）

【０１１２】である。ｐ≠ｑであると積の積分は０であ
る。そのような既知の特殊関数だけでなく、一般にエネ
ルギーを表現するハミルトニアンをＨとするシュレンデ
ィンガー方程式の固有関数ψ_p は離散的なエネルギーレ
ベルＥｐを固有値として、

【０１１３】 Ｈψ_p ＝Ｅ_p ψ_p （３６） を満たすが。これらは積分範囲をマイナス無限大〜プラ
ス無限大として ∫ψ_p （ｔ）ψ_q （ｔ）ｄｔ＝δ_pq （３７）

【０１１４】である。｛ψ_p ｝は既知であっても未知で
あっても極めて単純な直交性をもつのである。ことほど
さように、異なるパラメータを持つ関数系は、直交性を
もつものなのである。直交性というのはパラメータを含
む関数系ではごくごく一般的な性質である。これらの関
数を直交関数系とよぶこともある。このような直交性は
任意の関数をこれらの関数によって展開したときの結合
の係数を計算する時に極めて好都合な性質である。例え
ば任意の関数ｆ（ｔ）をシュレディンガー方程式の解
｛ψ_p ｝によって展開すると、ｐを０〜無限大として、

【０１１５】 ｆ（ｔ）＝Σｃ_p ψ_p （ｔ） （３８）

【０１１６】とかくことができるが、係数ｃ_p は極めて
簡単に、原関数ｆ（ｔ）と波動関数ψ_p （ｔ）の積の積
分によって与えられる。つまり（３８）の両辺にψ_q
（ｔ）を掛けてｔで積分すると、

【０１１７】 ∫ｆ（ｔ）ψ_q （ｔ）ｄｔ＝Σ∫ψ_q （ｔ）ｃ_p ψ_p （ｔ）ｄｔ＝Σδ_pqｃ_p ＝ ｃ_q （３９）

【０１１８】によって求められる。積分範囲はマイナス
無限大からプラス無限大である。直交性のある関数系で
あれば、任意の関数を線形結合によって表現した場合の
係数ｃpは一つの積分計算∫ｆ（ｔ）ψ_p （ｔ）ｄｔに
よってごくアッサリと計算される。（３９）はそのよう
な性質を示すものである。（３９）で２式から３式に行
く場合に直交性を使っている。これらの関数が直交性を
持つのは結局その振動性にある。上に挙げたどのような
関数でも正負に符号を変える振動をするがパラメータが
異なるとこの振動のモードが異なるために積の積分が０
になるのである。ところがスプライン関数には直交性が
ない。スプライン基底関数Ｎ_q （ｔ）はｑ＋３／２に局
在する関数である。ところがｑの異なる点に局在する二
つのスプライン関数Ｎ_q （ｔ）、Ｎ_j （ｔ）の積の積分
は０でない。∫Ｎ_q （ｔ）Ｎ_j （ｔ）ｄｔ≠０である。
異なるパラメータｑ，ｊをもつスプライン関数は直交し
ない。非直交系である。

【０１１９】多くの関数系に直交性があるのにスプライ
ン関数にはない。この点で実はスプライン関数は珍しい
関数なのである。これはどうしてか？それは一つにはス
プライン関数が単純すぎるからである。振動が少なく単
純なピークを持つ関数であるからである。２次のスプラ
イン関数は図２０に示したように全く負にならず正負に
渡るような振動をしない。正負の振動がないので直交性
があろう筈がない。３次、４次というような高次のスプ
ライン関数は端の方で振動する。しかしこれらとて、振
動が弱すぎて積の積分を０にする事はできない。ではど
うして振動が弱いのか？もともとスプライン関数は振動
の少ない補間をするための関数として人工的に考え出さ
れた関数である。だから振動が小さいのは当然である。
振動が小さいというのは、ｍ次スプラインにおいてｍ階
微分が不連続であることを許していることと実は等価で
ある。初めに述べたｓｉｎ関数、ルジャンドル関数、エ
ルミート関数、シュレディンガー方程式の解などは全て
無限回微分可能であってこれら微分が連続している。そ
のような条件があると当然に振動を多く含む。強い振動
が直交性を与える。

【０１２０】これらの完備した関数群に比較して、スプ
ライン関数はｍ階微分できず振動を無理に抑えている。
形が単純で計算しやすいという利点がある反面直交性が
ない。直交性がないために任意の関数をスプライン関数
によって展開したときの係数ｃ_q を簡単には求める事が
できない。（３９）の２式から３式への推移が成り立た
ない。ために（３９）のような計算では係数ｃ_q を求め
る事ができない。ゆえに最小二乗法による膨大な計算を
せざるを得ないという事情にあった。（３９）のような
１回の積分によって係数ｃ_q が求められる、というのは
極めて魅力的である。スプライン関数の場合でもそうあ
りたいものである。しかしスプライン関数には直交性が
ないので、（３９）のように単純には行かない。そこで
基底関数Ｎ_q （ｔ）に対して無理に直交関数Ｌ_q （ｔ）
というものを想定する。任意の関数ｆ（ｔ）をスプライ
ン関数によって展開し係数をｃ_q としたとき、

【０１２１】

【数４０】

【０１２２】単純に係数ｃｑを

【０１２３】

【数４１】

【０１２４】によって計算できるようにしたい。ただし
ここでは区間を０〜Ｔとしている。直交性があればＬ_q
＝Ｎ_q なのであるが非直交系なのでスプライン関数の場
合は新たなＬ_q のような関数（Ｌ_q ≠Ｎ_q ）が必要なの
である。Ｌ_q はどのような関数であろうか？果たしてそ
のような関数は存在するのであろうか？（４１）のよう
に書けるためにはＬ_q 群とＮ_q 群には直交性がなければ
ならない。そこで、存在するからどうか分からないがこ
こではＬ_q を基底Ｎ_q の直交関数と呼ぶことにしよう。
つまり

【０１２５】

【数４２】

【０１２６】これが必要であるのは、（４０）を（４
１）に代入すればすぐに分かる。スプライン関数Ｎ_p は
非直交系であるから、異なるパラメータｐ，ｑを持つ関
数Ｎ_p 、Ｎ_q の積の積分は有限確定値ｇ_pqを持つ。

【０１２７】

【数４３】

【０１２８】これは計算することができる。もちろんＭ
を含むが、単純に差（ｐ−ｑ）の関数である。しかもそ
の広がりは狭い。次数ｍの場合Ｎ_p （ｔ）は（ｍ＋１）
の細区分に広がるだけであるから（ｐ−ｑ）が−ｍ〜＋
ｍの場合だけに有限の値があり、その他は０である。図
２０のｍ＝２の場合は具体的に、

【０１２９】 ｐ＝ｑの時 ｇ_pq＝１ （４４） ｐ＝ｑ±１の時 ｇ_pq＝１／３ （４５） ｐ＝ｑ±２の時 ｇ_pq＝１／２４ （４６） ｐがそれ以外の時 ｇ_pq＝０ （４７）

【０１３０】である。基底の交差積の集合｛ｇ_pq｝を
（Ｍ＋２）行（Ｍ＋２）列の正方行列Ｇと考えることも
できる。この行列の都合のよいところは正方行列のサイ
ズＭがいかなる場合であっても、行列の値（４４）〜
（４７）が予め決定されていることである。つまりＭが
幾らであっても計算しなおす必要はない。常に既知行列
である。さらに対称行列であって逆行列を計算しやす
い。さてｔの定義区間［０，Ｔ］において任意の関数は
基底関数｛Ｎ_q ｝の線形結合によって表し得るのである
から、直交関数Ｌ_p 自体も基底｛Ｎ_q ｝の線形結合で表
現できるはずである。そこで直交関数Ｌ_p を係数
｛ｄ_pq｝として基底｛Ｎ_q｝の線形結合によって表現す
る。

【０１３１】

【数４８】

【０１３２】これを（４２）に代入して、

【０１３３】

【数４９】

【０１３４】という関係式を得る。基底の積の積分の値
は（４３）によって与えているから、

【０１３５】

【数５０】

【０１３６】となる。直交関数の展開係数｛ｄ_pq｝を
（Ｍ＋１）列（Ｍ＋２）行の正方行列Ｄとみなすことが
できる。また基底関数の積の積分｛ｇ_pq｝も（Ｍ＋２）
列（Ｍ＋２）行の正方行列Ｇと書き直すことができる。
クロネッカのδのなす行列は単位行列Ｉである。（５
０）は次のように簡明な行列の式に書き直す事ができ
る。

【０１３７】 ＤＧ＝Ｉ （５１） これから行列Ｄは端的に基底の積の積分行列Ｇの逆行列
であることが分かる。 Ｄ＝Ｇ^-1 （５２）

【０１３８】Ｇの成分は（４４）〜（４７）に具体的に
与えている。行列Ｇは既知である。当然、直交関数Ｌｐ
の展開係数の行列Ｄも既知ということになる。Ｍが幾つ
であっても既知である。まことに都合の良い性質であ
る。先ほどの話しに戻る。任意の関数ｆ（ｔ）を（４
０）のように基底関数で展開したとする。

【０１３９】

【数４０】

【０１４０】これに直交関数Ｌ_p （ｔ）を掛けてｔによ
って積分すると、

【０１４１】

【数５３】

【０１４２】であるが、基底関数Ｎ_q と直交関数Ｌ_p と
の直交性（４２）から、（５３）の右辺はΣ_q=-2 ^M-1 δ
_qpｃ_q ＝ｃ_p となる。であるから、（４１）のように、

【０１４３】

【数５４】

【０１４４】となるのである。Ｌ_p （ｔ）は既知関数で
あるからこれをそのまま計算すると係数ｃ_p が分かる。
あるいはこれを基底関数までに還元して、

【０１４５】

【数５５】

【０１４６】とすることもできる。基底関数Ｎ_q （ｔ）
は振動の少ない関数であり、直交関数Ｌ_p は振動の激し
い関数である。これまでの手続きとは反対に基底関数Ｎ
_q を直交関数Ｌ_p によっても展開することができる。こ
のときの展開係数を｛ｕ_qp｝とする。また内積（区間で
の定積分のこと）（Ｌ_p ・Ｌ_q ）＝Ｊ_qpと置くと。これ
らのなす（Ｍ＋２）行（Ｍ＋２）列の行列に対して、
（５１）と同様に、

【０１４７】 ＵＪ＝Ｉ （５６）

【０１４８】という式が成り立つ。さらにＬ_p をＮ_q に
結び付ける係数｛ｄ_pq｝行列Ｄは、Ｎ_q をＬ_p に結び付
ける係数｛ｕ_qp｝の行列Ｕの逆行列である。纏めて書く
と、

【０１４９】 ＵＤ＝Ｉ， ＵＪ＝Ｉ， ＤＧ＝Ｉ （５７） となる。これから Ｄ＝Ｊ （５８） Ｕ＝Ｇ＝Ｄ^-1＝Ｊ^-1 （５９）

【０１５０】であることが分かる。（５８）は直交関数
の内積（Ｌ_p ・Ｌ_q ）の行列Ｊが、直交関数を基底関数
によって展開したときの行列Ｄに等しいということを述
べている。（５８）は反対に基底関数の内積（Ｎ_p ・Ｎ
_q ）の行列Ｇが、基底関数を直交関数によって展開した
ときの係数の行列Ｕに等しいということである。そして
Ｄ＝Ｊは、Ｕ＝Ｇの逆行列なのであるから結局はどれか
一つが求まれば４つとも全部決まるということである。
（４０）、（４１）の反対に、任意の関数を直交関数系
によって展開したときの係数は、基底関数とその関数の
積の積分によって求められる。このような相補性があ
る。このような相補性の為に｛Ｌ_q ｝と｛Ｎ_p ｝の組を
双直交関数というのである。

【０１５１】さて、最小二乗法に代わるものとして本発
明者の手になる双直交関数による手法を使うのである
が、ｋ番目の境界点列ｔｋの座標（ｘ_k ，ｙ_k ）を、
（ｔ_k ，ｘ_k ）、（ｔ_k ，ｙ_k ）の組にして（１９）、
（２０）のように基底関数Ｎ_q によって近似している。
近似曲線の式がｓx （ｔ）、ｓy （ｔ）である。この係
数ｃ_xq，ｃ_ypの計算法として双直交関数法を適用しよ
う。

【０１５２】

【数１９】

【０１５３】

【数２０】

【０１５４】これまでに述べた手法によって、直交関数
Ｌ_q によって係数は ｃ_xq＝∫ｓ_x （ｔ）Ｌ_q （ｔ）ｄｔ （６０） ｃ_yq＝∫ｓ_y （ｔ）Ｌ_q （ｔ）ｄｔ （６１）

【０１５５】と書けるのであるが、ｓx （ｔ），ｓy
（ｔ）が既知でないから積分計算はできない。分かって
いるのは点列の座標（ｔ_k ，ｘ_k ）、（ｔ_k ，ｙ_k ）だ
けである。そこで区間［０，Ｔ］にわたる積分を境界点
列（０〜ｎ−１）の和によって置き換えて、

【０１５６】

【数６２】

【０１５７】

【数６３】

【０１５８】とする。これが係数を与える方程式であ
る。基底関数の直交関数Ｌ_q （ｔ）は先に述べたように
既知関数である。であるからＬ_q （ｔ_k ）も計算できる
し、係数を計算することができる。もちろん直交関数は
Ｍを含みＭが代わると形が異なる。しかしＭに関してＬ
_q （ｔ）は表にして記憶させることができるのでｔ＝ｔ
_kに対するＬ_q （ｔ_k ）の値はすぐに分かる。あるい
は、（４８）によって、直交関数Ｌ_q （ｔ）を基底関数
Ｎ_p （ｔ）にまで戻して、

【０１５９】

【数６４】

【０１６０】

【数６５】

【０１６１】係数ｄ_qpは基底Ｎ_q ，Ｎ_p の交差積分の行
列｛ｇ_pq｝の逆行列であるから既知である。Ｎ_p （ｔ
_k ）もすぐに計算できるから、この式によって係数を決
めることができる。基底関数には多くの場合０であるか
ら計算は見かけよりも簡単である。Ｎ_p は区間［０，
Ｔ］をＭ分割してｐ番目の細区分から立ち上がりｐ＋３
番目で消失する関数である。ｔ_k というのは同じ区間
［０，Ｔ］を境界点列の数ｎでわったもののｋ番目の点
である。であるからｋ番目の境界線点列について不等式

【０１６２】 ｐ／Ｍ≦ｋ／ｎ≦（ｐ＋３）／Ｍ （６６）

【０１６３】を満足するｐをもつ３つの基底関数だけが
値をもちこれとｘ_k ，ｙ_k をかけ算すれば良いというこ
とになる。一つの点ｋに関してｘ方向に３つｙ方向に３
つの積を合計すればよいので、点列の数ｎの３倍の３ｎ
回の和演算によって（６４）の係数ｃ_xqが計算できる。
同様にｃ_yqも３ｎ回の和演算によって求めることができ
る。（６２）、（６３）或いは（６４）、（６５）の双
直交関数による方法と先ほどの最小二乗法による式（２
９）、（３０）或いは（２５）、（２６）と比較する
と、双直交関数によるものの方が計算が格段に簡単であ
る事が分かる。本発明は勿論最小二乗法による逆行列を
求める手法でも可能であるが、計算時間の点で格別に有
利な双直交関数法を採用する方が良い。

【０１６４】こうしてある次元数Ｍに対して２（Ｍ＋
２）の係数が求まると、その近似を評価する。これは最
小二乗法の項で述べたものと同様で、境界点列の全ての
点ｋで元の座標（ｘ_k ，ｙ_k ）と近似ｓx （ｔ）、ｓy
（ｔ）の距離を求めその最大値εがある値よりも小さい
かどうかによって判定する。（３１）の繰り返しになる
が、

【０１６５】 ε＝ｍａｘ_k ［｛ｓx （ｔ_k ）−ｘ_k ｝² ＋｛ｓy （ｔ_k ）−ｙ_k ｝² ］^1/2 （６７）

【０１６６】によって判定するのである。εは自由に与
える事のできるパラメータである。例えば ε＜０．５ （６８）

【０１６７】というような条件を付ける。評価法は同様
である。もしも、εが所定値よりも小さい場合はそこで
近似を中止する。これで近似ができたということにな
る。εが所定の値よりも大きい場合はＭの値を一つ増や
してＭ＋１にして再び近似計算をする。Ｍ＝１から出発
して所定の値以下になるまで双直交近似を続ける。濃淡
画像の境界を表現するには、Ｂスプライン関数を用いる
ことで十分である。しかし二値画像を扱う場合は境界線
が画像の輪郭線になる。その場合精度良く境界を表現す
る必要がある。その場合には、境界線の直線、円弧の部
分を別の関数として表現するという工夫も可能である。

【０１６８】［Ｉ．領域データ記憶装置］ここまでの操
作によって、原画を濃度の近似する複数の領域に分割し
その領域の平均濃度を求め、領域の境界線を抽出し領域
分割点と境界急峻点を求め、さらに領域分割点や境界急
峻点の間の非特徴部の曲線をスプライン関数によって近
似し基底関数の係数を求めることができた。以上の操作
によって下記のような数多くの領域データが得られた。
これらを領域データとして保存する。 （１）原画像のサイズ （２）領域の数 （３）各領域の平均濃度 （４）対応境界線情報 （５）境界線の数 （６）各境界線の始点と近似関数の次元数 （７）近似係数列 対応境界線情報というのは、ここで初めて出る言葉であ
る。それは、その領域を囲む境界線番号と、その境界点
列の方向（正／負）を意味する。境界点列の方向という
のは再生データ生成装置において、注目している領域が
再生した境界のどちら側にあるのかを区別するために境
界に方向付けをしているのである。方向情報がないと再
生した境界線のどちら側に注目している領域が存在する
のかが分からなくなる。その他のパラメータは既に説明
している。領域データというのは濃度が似通っている領
域についての境界線、平均濃度など全体的なパラメータ
を指す。領域データが全てではなく一つの領域での各画
素の濃度がそれ以外のパラメータとして存在している。
濃度の画素毎の変動はこれから扱うべきものであるから
ここでいう領域データには含まない。領域データのサイ
ズを表１に纏めた。

【０１６９】

【表１】

【０１７０】［Ｊ．差分画像生成機構 ］これまでの操
作では、濃度が似通った部分を領域として抽出しその領
域の境界を決め境界線を特徴点によって区切り、特徴点
間の部分曲線を関数近似している。領域の平均濃度ｈに
よって表現したものが図２の領域記憶装置の画像であ
る。これは一つの領域をその平均濃度によって表現して
いる。平均濃度で表現した画像は原画と濃度の変化がか
なり似ている。連続変化する濃度を離散的変化にしたも
のが平均濃度による画像だからである。しかし平均濃度
画像は原画像と細部の濃度変化においてはもちろん違
う。一つの領域は同じ平均濃度で塗りつぶしているから
内部の濃度の変化が全く無視されている。領域内部の任
意の画素の濃度は勿論平均濃度に等しくない。等しくな
いだけでなく画素によって変動している。画素のもとも
との濃度の平均濃度からのズレを差分濃度或いは単に差
分という。つまり原画像の濃度＝領域に於ける平均濃度
＋差分濃度である。

【０１７１】このように、濃度が近似した狭い部分を濃
度の近似する事を手がかりに領域に分割し、その領域に
平均濃度を与え、さらに平均濃度からのズレを計算しズ
レを求めるのが本発明のよって立つ根本的な思想であ
る。原濃度から平均濃度を差し引くことによってズレ濃
度だけにしたものが差分画像である。ズレ濃度だけで表
現した差分画像を生成するのが差分画像生成機構Ｊであ
る。画素（ｘ_i ，ｙ_j ）の原画像濃度ｇ（ｘ_i ，ｙ_j ）
から、平均濃度ｈ（ｘ_i ，ｙ_j ）を差し引いたものが差
分画像ｄｉｆｆ（ｘ_i ，ｙ_j ）である。但しここでｈ
（ｘ_i ，ｙ_j ）は独立変数（ｘ_i ，ｙ_j ）としているが
画素によって変動するのでなくそれが属する領域につい
て一つの値が決まっている。

【０１７２】 ｄｉｆｆ（ｘ_i ，ｙ_j ）＝ｇ（ｘ_i ，ｙ_j ）−ｈ（ｘ_i ，ｙ_j ）（６９）

【０１７３】差分画像の例を図１２に示す。これは図４
の平均濃度画像に対応するものである。図１２の（ａ）
は濃度幅がＷ＝８の場合の差分画像である。殆ど一様な
画像であって濃度の変動が分かりにくい。Ｗが小さいた
めに領域が極めて狭くなり領域内での濃度差分が小さい
ので差分画像が一様濃度に近づくのである。階調が例え
ば２５６とすると平均値は１２８であるからＷ＝８の場
合は、全面において濃度階調が１２４〜１３２に限られ
るわけで一様濃度に近いのは当たり前である。濃度の差
が消えかかっているが残りの分の濃度変化は平均画像に
残っている。図４の平均画像においてＷ＝８の平均画像
は原画像に極めて近い。図１２（ｂ）は濃度幅がＷ＝１
６の場合である。差分画像にほのかに濃度差が現れるが
はっきりしない。濃度幅が少し広くなるから差分画像に
も模様のように原画の一部がうっすら現れる。残り分は
図４（ｂ）の平均濃度画像に現れる。

【０１７４】図１２（ｃ）は濃度の幅が粗くＷ＝３２の
場合である。差分画像に原画のパターンが現れてくる。
領域が広くなり階調の幅も広くなるので原画の特徴が浮
かび上がる。平均濃度画像は図（ｃ）のように原画と離
れてくる。ｇ＝ｈ＋ｄｉｆｆなのであるから、原画の濃
度変化は平均濃度画像と差分画像に分配される。Ｗ＝８
のように刻みが細かいとより多く平均濃度画像に分配さ
れ、Ｗ＝３２にように刻みが粗いと濃度変動は差分画像
により多く分配される。結局、原画像の濃度変動は平均
濃度画像と差分画像に分配されるが分配の割合を決める
ものが領域濃度幅Ｗであるということである。

【０１７５】それではＷは大きい方が良いのか？小さい
方が良いのか？これが問題である。濃度幅Ｗというのは
同一の領域に含まれる画素濃度の差の最大値である。Ｗ
が大きいと一つの領域が広くなる。平均濃度画像が原画
からかけ離れてくる。その代わり差分画像が原画の特徴
をある程度担うようになる。領域の数が少ないから境界
線も少なく領域データが少なくて済むという利点があ
る。処理時間も短い。しかし差分画像には多くの濃度変
化が含まれるから差分画像の近似に多くのパラメータを
必要とする。しかも近似精度が劣る。そういう難点があ
る。Ｗが小さいと一つの領域が狭くなる。領域の数が多
くなる。境界線や特徴点の数も増える。領域データが増
える。平均濃度画像に原画の特徴が多く配分される。差
分画像の方は変化の少ない一様濃度に近くなる。そのよ
うな振動に乏しい濃度変化は低次の多項式によって容易
に近似することができる。従ってより忠実な近似が可能
だということになる。しかし領域数が多いので計算時間
は増える。目的によってＷの値を適宜決定すると良い。

【０１７６】［Ｋ．差分画像記憶装置］差分画像記憶装
置には、画素毎の濃度差分ｄｉｆｆ（ｘ_i ，ｙ_j ）の値
が記憶される。ここで（ｉ，ｊ）は原画の縦横に付けら
れた画素の番号である。領域に分割されているので領域
毎に記憶させることもできるが、領域と離れて画素番号
によって記憶する。領域毎でなく１つの差分画像として
記憶する。境界線が既に確定しておりどの画素（ｉ，
ｊ）がどの領域に含まれるかということは既に確定して
いるからである。原画と同じ寸法（ｉ＝０，１，…，Ｉ
−１；ｊ＝０，１，…，Ｊ−１）を持つ一つの画像とし
て差分画像を記憶させると、処理が領域に限られないか
らより好都合である。

【０１７７】［Ｌ．差分画像分割機構］ここでさらに一
工夫をする。これまでの処理によって濃度を同じうする
領域に分割され領域において差分が計算されている。そ
の領域において差分画像の濃度変化をそのまま近似する
ことはもちろん可能であろう。しかし本発明者はそのよ
うな道を選ばない。領域の形状は不定形であり境界線も
曲がっているので境界条件が極めて複雑になる。単純な
二次元関数であっても境界が入り組んでいたのでは簡明
な計算ができない。そこで本発明はもはや領域に拘らず
差分画像の全体を対象にする。先に境界線を取りだし領
域毎に差分を計算し、これを重ね合わせて全画素よりな
る差分画像を計算した。これは次の関数近似をより容易
にするためである。このようにもはや近似計算において
領域を相手にせず、画像全体に広がる差分画像を相手に
するのである。

【０１７８】差分画像は原画像と同じ広がりをもち領域
毎に限定されていない。つまり原画像の縦画素数がＩ、
横画素数がＪとすると、差分画像も同じ大きさで縦画素
数がＩ、横画素数がＪである。領域に分割するが差分を
取ったあとは直ちに重ね合わせるから全体で一つの差分
画像が存在するのである。原画と寸法は同じで長方形で
あるから縦横に座標を取って近似をするのに適してい
る。注意すべき事がある。原画（Ｉ×Ｊ）と同じ大きさ
のもの（Ｉ×Ｊ）を関数近似するのだから、原画をその
まま近似するのとどうちがうのか？同じではないか？と
いう疑問が起こり得よう。しかし両者は轄然と違う。原
画は濃度の急激な変化をそのまま含んでいるから関数近
似すると次元数が増え関数を定義するパラメータの数が
増えてしまう。その割には近似の精度が上がらない。

【０１７９】本発明の差分画像は特別な画像である。領
域毎に平均濃度を差し引いたものであるから、図１２の
Ｗ＝８の例のように領域毎だけでなく全体に濃度が一様
である。これが重要な点である。濃度変動が著しい部分
は境界線として予め叩き出しているから残ったものは平
明な濃度変動しか含んでいない。このように濃度変動の
値そのものは領域毎に定義する平均濃度に収容し、濃度
変動の微分は境界線に押し込んでいるから残っている濃
度関数は平均０で微分も小さい平坦な画像になる。先述
のように階調を２５６階調としてＷ＝８とすると、差分
画像には１２０〜１２８階調しか出現しないので平明単
純な濃度しかもたない。であるからこれを関数近似する
と、少ないパラメータによって精度良く近似できるので
ある。原画像を直接に近似するのとは全く意味が違うの
である。さて差分画像の近似であるがここで工夫が必要
になる。

【０１８０】１枚の差分画像（Ｉ×Ｊ）に対して一挙に
二次元的に濃度関数を近似することができる。しかし濃
度関数の近似は誤差が所定の値以下になるまで繰り返し
実行しなければならない。領域が広いと計算時間が掛か
りすぎる。より狭い範囲で二次元近似する方が計算時間
を短くすることができる。そこで計算時間を節減するた
めに、領域をさらに縦横に分割して適当な大きさのＱ個
のブロックにする。ブロックは長方形でも良いが、正方
形にするとｘ方向、ｙ方向の処理が同じになるからより
好都合である。その場合ブロック一つ分はＩとＪの公約
数に決めると過不足無く全画像面をブロックによって覆
いつくすことができる。さらに周辺の１画素分を重畳さ
せることによってブロックの突き合わせを容易にでき
る。１画素分を重畳させないと、拡大／縮小した時に、
ブロックの境界がスッポリ抜けてしまう。これを回避す
るために隣接ブロック間で１行分或いは１列分だけ重ね
る。

【０１８１】このように差分画像分割機構は、差分画像
をさらに細かいブロックに分割する機構である。図１３
に差分画像分割の処理概念図を示す。差分画像になって
いる領域はこのように四角形でなく不定形であるがそれ
を縦横の格子状に分割しブロックを一つ一つ処理してい
くようになっている。このブロック内で差分画像の近似
計算を遂行する。もしも何らかの前処理をしていない画
像を分割してブロック毎の処理をし後で組み合わせたと
した場合ブロックと他のブロックの境界において値が不
連続になってしまう事がある。これを「ブロック歪み」
と呼ぶ。ブロック分けをした場合これの修正に苦慮しな
ければならない。しかし本発明の場合はそのような心配
はない。それまでに濃度変化の激しい部分を境界線とし
て除去しているし変化分は平均濃度画像に嵌込んでいる
から差分画像の全体で濃度はほぼ一様であって変化に乏
しいものになっている。だからブロックの境界での再生
値が食い違うということはない。

【０１８２】差分画像分割機構は無くても良い。これは
計算時間短縮のための方途であって、計算時間を余り問
題にしない場合はこれを省略できる。 ［Ｍ．差分分割画像記憶装置］各領域において、Ｑ個に
分割された差分画像｛ｄｉｆｆ（ｘ_iq，ｙ_jq）｝^Q は差
分分割画像記憶装置Ｍに記憶される。それを用いて以後
の二次元の濃度の近似が行われる。 ［Ｎ．データ近似機構］差分分割画像記憶装置Ｍに記憶
された各ブロックの画像に対して差分濃度変数を関数近
似する。本発明に於いて最も重要な近似である。対象は
差分画像ｄｉｆｆ（ｘ_iq，ｙ_iq）であるから二次元的な
広がりをもつ。境界線は先に２次の１変数スプライン関
数によって近似したが、差分分割画像が二次元であるか
ら２変数２次スプライン関数によって差分濃度を近似す
る。二次元になるのでパラメータが多くなるが、差分濃
度関数になっているから比較的低い次元数Ｍによって十
分な近似ができるし係数の数も少なくて良い。

【０１８３】ここでは２次元のスプライン関数を使うが
もちろん３次元スプライン関数であっても同様に近似で
きる。基底関数をΨ_mn（ｘ，ｙ）とする。これはｘ，ｙ
の定義域を［０，１］として（だからＴ＝１）、Ｍをｘ
方向の次元数、Ｎをｙ方向の次元数として

【０１８４】

【数７０】

【０１８５】 ０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１ （７１）

【０１８６】但し（α）＋というのは括弧の内部が正の
時にはそのままαの値をとり、括弧の内部が負の時は０
であるということを表している。Ｎはｙ方向の次元数で
あってこれまで使ってきた基底関数Ｎ_p （ｘ）のＮと混
同してはならない。アルファベット記号の数が足りない
ので同一の記号を異なるパラメータの表現のために用い
る事がある。これは先に境界線の近似に使った二次元基
底関数Ｎ_m （ｘ）、Ｎ_n （ｙ）の直積である。Σの中に
ｘとｙの交差項があるように書いているが実は常にｘの
項とｙの項に因数分解できる。（７１）のような変域に
関して正方形の限定があるがこれは先ほどのブロック分
割に対応している。ブロックの１辺を１とするような変
域にしているのである。Ｔ＝１であるから、基底関数の
Δは単に１／Ｍや１／Ｎに置き換えられる。ｘ方向には
図２０に示す様な山形の単純な関数でありｙ方向にも同
様に単純な関数である。一変数基底関数の直積であるか
ら円筒対称性はない。有限の値が存在するのは、

【０１８７】 ｍ／Ｍ＜ｘ＜（ｍ＋３）／Ｍ，ｎ／Ｎ＜ｙ＜（ｎ＋３）／Ｎ （７２）

【０１８８】の正方形部分である。それ以外では０であ
る。最大値を取るのは、ｘＭ＝ｍ＋（３／２）、ｙＮ＝
ｎ＋（３／２）である。最大値は９／１６である。ｘと
ｙの（７１）の範囲の定積分は１である。このような２
変数基底関数を使ってブロック毎の差分濃度ｄｉｆｆ
（ｘ_i ，ｙ_j ）を近似する。近似関数をＳ（ｘ，ｙ）と
する。展開係数をｃ_mnとする。

【０１８９】

【数７３】

【０１９０】係数ｃ_mnを求めることが近似式を求めるこ
とである。ｃ_mnを決めるにはさきほどの境界線の近似と
同様の手法を用いることができる。つまり最小二乗法に
よる方法と、双直交関数による内積（積の積分）計算に
よる方法である。本発明では双直交関数法を用いる。

【０１９１】先に述べた１変数基底関数には直交性がな
かった。それの直積である２変数スプライン基底関数に
も直交性はない。しかし１変数基底関数の場合と同じよ
うに双直交関数を定義することによって係数ｃ_mnを比較
的簡単に計算できるようになる。Ψ_mn（ｘ，ｙ）の直交
関数をΦ_pq（ｘ，ｙ）とすると、両者には次の関係が要
求される。

【０１９２】 ∫∫Ψ_mn（ｘ，ｙ）Φ_pq（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝δ_mpδ_nq （７４）

【０１９３】積分範囲はｘ，ｙともに０〜１である。も
しもこのような性質のある直交関数が存在すれば（７
３）の係数ｃ_mnは、

【０１９４】 ｃ_mn＝∫∫Ｓ（ｘ，ｙ）Φ_pq（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ （７５）

【０１９５】によって計算できる。直交関数は２つの変
数をもつためにサフィックスも二つあるが、実は比較的
簡単に決めることができる。（６９）の定義から２変数
スプライン関数Ψ_mn（ｘ，ｙ）が１変数スプライン関数
Ｎ_m （ｘ）、Ｎ_n （ｙ）の積であることは明かである。
というより１変数スプラインの積として２変数スプライ
ンを与えたのであるからそれは当然である。

【０１９６】 Ψ_mn（ｘ，ｙ）＝Ｎ_m （ｘ）Ｎ_n （ｙ） （７６） 基底関数Ｎ_m （ｘ）の直交関数としてＬ_p （ｘ）を与え
た。つまり ∫Ｎ_m （ｘ）Ｌ_p （ｘ）ｄｘ＝δ_mp （７７） ∫Ｎ_n （ｙ）Ｌ_q （ｙ）ｄｙ＝δ_nq （７８） であった。すると（７４）を満たす２変数直交関数Φ_pq
（ｘ，ｙ）は一義的に、 Φ_pq（ｘ，ｙ）＝Ｌ_p （ｘ）Ｌ_q （ｙ） （７９）

【０１９７】に決まってしまう。Ｌ_p （ｘ）は既知の関
数である。０≦ｘ≦１の間の値に対して数表を作ってお
くと便利である。直交性から係数ｃ_mnは次の積分によっ
て与えられるはずである。

【０１９８】 ｃ_mn＝∫∫Ｓ（ｘ，ｙ）Ｌ_m （ｘ）Ｌ_n （ｙ）ｄｘｄｙ （８０） 実際にはＳ（ｘ，ｙ）の値がブロック化された差分画像
ｄｉｆｆ（ｘ，ｙ）として離散的に分かっているから、
次の式の計算をすれば良い。 ｃ_mn＝Σ_i Σ_j ｄｉｆｆ（ｘ_i ，ｙ_j ）Ｌ_m （ｘ_i ）Ｌ_n （ｙ_j ）／ＭＮ （８１）

【０１９９】となる。Σの和はブロックに含まれる全て
の画素（ｉ，ｊ）について実行する。Ｌ_m 、Ｌ_n は既知
の関数であるからこの計算をするのは可能である。さら
に良く知られた２次のスプライン関数にまで戻す事もで
きて、

【０２００】

【数８２】

【０２０１】とかくことができる。ｐの和は−２〜Ｍ−
１、ｑの和は−２〜Ｎ−１である。つまり２変数直交関
数Φ_mnは２変数スプライン関数Ψ_pqに対してテンソルｄ
_mnpqによって結合されるが、

【０２０２】

【数８３】

【０２０３】テンソルｄ_mnpqは単に ｄ_mnpq＝ｄ_mpｄ_nq （８４）

【０２０４】によって与えられる。反対に２変数スプラ
インΨ_mnは２変数直交関数Φ_pqに対してテンソルｕ_mnpq
によって結合されるとすれば

【０２０５】

【数８５】

【０２０６】このテンソルも ｕ_mnpq＝ｕ_mpｕ_nq （８６）

【０２０７】と書けるのである。であるから係数ｃ_mnは
（８２）の計算によって求めることができる。１変数基
底関数の積になっている事から（８２）の計算自体もみ
かけより余程簡単である。Ｎ_p （ｘ_i ）はｐ≦ｘ_i Ｍ≦
ｐ＋３にのみ値を持ちその他は０の関数である。つまり
ｘ_i に対して有限の値をもつ基底は３つだけである。だ
から（８２）の計算は各点（ｘ_i ，ｙ_j ）において３×
３＝９項だけの和になる。（Ｍ＋１）（Ｎ＋１）項を和
演算するのではなくたったの９項だけで済む。ブロック
のサイズを（Ｋ＋１）画素×（Ｈ＋１）画素とすると係
数ｃ_mnの計算は９（Ｋ＋１）（Ｈ＋１）回の計算で求め
られる。ブロックの縁で１画素分かさなるから＋１とな
るが、ブロック本来の大きさはＫＨである。ブロックの
数はＱであるから理想的には、全画面の画素（０，１，
…，Ｉ−１；０、１、…、Ｊ−１）に対して

【０２０８】 ＫＨＱ＝ＩＪ （８７）

【０２０９】の関係にある。基底関数のｘ方向の次元数
Ｍ、ｙ方向の次元数Ｎがパラメータになる。初めＭ＝
１、Ｎ＝１から出発し所定の誤差範囲になるまで次元数
を一つづつ上げて近似を繰り返す。これは境界線の近似
と同様である。しかし形状長さが不定の境界線と違い、
ブロックは寸法が一定している。境界線は一次元ブロッ
クは二次元という違いがある。近似の精度の評価は以下
に定義するＳＮＲによって行う。

【０２１０】

【数８８】

【０２１１】ここでＬは濃度の階調（例えば２５６）で
ある。Ｋ、Ｈはブロックのｘ、ｙ方向のサイズ、ｉ、ｊ
の和はブロック内の全ての画素点と周辺１画素幅につい
て行う。近似した濃度と原濃度階調の差の二乗をブロッ
ク内全画素合計し、これを（Ｋ＋１）（Ｈ＋１）で割っ
て１画素分の平均の誤差を求める。階調数がＬであるか
ら、これを階調Ｌの２乗で割る。これによって１画素あ
たりの全階調に対する誤差の比が分かる。これが小さい
ほど良いのである。そこでこの比の逆数の常用対数を取
って１０を掛けたものをＳＮＲとしてこれにより誤差評
価している。ＳＮＲの単位はｄＢである。

【０２１２】０ｄＢでは、誤差が全階調Ｌに等しいので
全く信号が存在しない。２０ｄＢであると、１画素あた
りの誤差が全階調の約１／１０だということである。４
０ｄＢで、１画素あたりの誤差が全階調の約１／１００
であるということである。

【０２１３】 ＳＮＲ＞ε’ （８９）

【０２１４】となればそこで近似を中止しそのときの
Ｍ，Ｎ、ｃ_mnを確定する。ε’をいかに決めるかが問題
である。これが高い方が精度良く近似できるが時間が掛
かる。目的によってε’を適当な値に設定する。例えば
３０〜４０ｄＢ程度に決める。次元数Ｍ、係数ｃ_mnと基
底関数Ψ_mn（ｘ，ｙ）が決まるから１ブロック分ｑの差
分分割画像の差分濃度を近似する関数｛ｃ_mn（ｑ）｝が
決定されたことになる。同様の操作を全ブロック（ｑ＝
０，１，２，…，Ｑ−１）に対して繰り返すことにより
全差分画像の差分濃度近似関数の係数｛ｃ_mn（ｑ）｝
^Q-1 _q=0が得られる。これを圧縮データと呼び、領域デー
タＩと区別する。領域データも境界線を境界急峻点、領
域分割点によって分割した部分を近似し圧縮したもので
あるがそれらは領域データと呼ぶ。差分画像に関するも
のを圧縮データという事にする。

【０２１５】以上に説明したものはブロック毎のデータ
近似計算である。さきにも述べたように差分画像をブロ
ックごとに分割するのは計算時間を短縮するためにすぎ
ない。計算時間の制限がなければブロックに分割せず、
いきなり全差分画像を近似するようにしても良い。その
場合、Ｌ．とＭ．の過程を省略しＫ．差分画像記憶から
Ｎ．データ近似まで飛ぶ事になる。この場合は計算の領
域がｘ方向にＩ個、ｙ方向にＪ個となる。先述の方法で
は双直交関数はスプライン関数の基底によって展開しそ
の係数を予め求めておくようにしている。それはスプラ
イン関数の積の積分が作る行列の逆行列であるというこ
とも述べた。

【０２１６】もちろん陽に計算によって双直交関数を求
めることもできる。本発明者の博士論文(11)T. Horiuch
i: A study on adaptable system model and its appli
cation to desktop publishing system, Dissertation,
University of Tsukuba, 1995にＢ−スプライン関数の
双直交関数が初めて陽に提示されている。基底Ｎ_m
（ｔ）の双直交関数Ｌ_m （ｔ）は、

【０２１７】

【数９０】

【０２１８】ここでｈは細区間の広さであって、ｈ＝Ｔ
／Ｍである。この計算は解析的にはできないが数値的に
はコンピュータによって簡単に計算することができる。
２次スプライン関数の双直交関数は図２１に例示する。
積分は１であって、異なるｍの値の基底Ｎ_k との積の積
分値は０で、Ｎ_m （ｔ）との積の積分値は１である。ピ
ークの横にある負の値の部分が他のｍの基底との積の積
分値を０にしている。双直交性を与えるために振動する
形をとるが短い距離で０に収束する。このようなＢ−ス
プライン関数の双直交関数形を積分の形で与えたのは本
発明者が最初である。この形から双直交関数を求め表に
しておけば、メモリは必要となるが、演算量を削減する
ことができる。（９０）から出発すればＧの逆行列を計
算する必要はない。

【０２１９】［Ｏ．圧縮データ記憶装置］データ近似機
構から圧縮データが出力されるのでそれを記憶する装置
である。データは差分画像の近似結果に関するものであ
る。、各ブロック毎に近似した関数のｘ方向及びｙ方向
の次元数Ｍ、Ｎとその次元数によって張られる空間の基
底関数の係数｛ｃ_mn｝である。既に別の箇所に蓄積され
ている領域データとは違う。ここで領域に関するデータ
つまり境界線、特徴点等のデータと、全体の差分画像の
データの２通りのデータがここまでの過程で生成された
ことになる。圧縮データ記憶装置に格納されるデータの
サイズを表２に示す。

【０２２０】

【表２】

【０２２１】［Ｐ．符号化機構］画像データとしてこれ
までに領域データ（境界線）Ｉと圧縮データ（差分画
像）Ｏとを生成した。これらをそのまま記憶させても良
い。しかしさらにデータ量を減らす事もできる。符号化
によってデータ量を減らすという方法は情報処理技術に
おいては良く行われることであって目新しいことはな
い。符号化の方法もいくつかのものがすでに知られてい
る。ここでは例えばハフマン符号化を行う。もちろんハ
フマン以外の符号を使っても差し支えない。ここでは領
域データＩと圧縮データＯの両方について符号化を実行
する。ただし符号化処理を行うことによってデータ量は
減るが、反面処理時間は増える。メモリ節減を重視する
か、処理時間短縮を重んじるかによって符号化の採否を
決めることにする。

【０２２２】［Ｑ．符号化データ出力機構］符号化デー
タは、ビット列として出力される。この機構を符号化デ
ータ出力機構と呼んでいる。符号化はデータ圧縮に有効
であるが、唯にそれだけではない。符号化されているか
ら復号化をしなければ再生できない。復号化の方法が分
からない限り符号化されたデータを判断できない。符号
化は暗号化の役割をもはたしているのである。 ［Ｒ．符号化データ記憶機構］符号化データ出力機構か
ら出力されたデータを記憶する装置である。ここに記憶
されたデータは所望の時に出力される。ここまでが画像
データを圧縮し記憶する装置である。画素データをその
まま記憶するのではなくて、濃度の近似した部分を領域
として取りだし平均濃度と領域の境界線を求め境界線を
近似してデータを減らしている。また平均濃度を差し引
いたもので画像を再構成して差分画像とし差分濃度を近
似してデータ圧縮している。領域データについても、差
分画像についてもデータが圧縮されている。

【０２２３】但しさきにも述べたように、差分画像を一
定サイズのブロックに分割しブロック毎に処理するとい
う事は不可欠ということではない。ブロック分割しない
場合は、差分画像分割機構Ｌや差分分割画像記憶装置Ｍ
などは存在しない。また符号化も任意に取捨選択すれば
良い。符号化をしない場合は符号化機構Ｐ、符号化デー
タ出力機構Ｑ、符号化データ記憶機構Ｒ、符号化データ
入力装置Ｓなどはなく、領域データ、圧縮データがその
まま別個に記憶されていることになる。ここまでは入力
画像を加工しデータを記憶する機構の説明であった。こ
の状態でフロッピーや、ハードディスク、光磁気ディス
クなどにデータ蓄積することができる。この蓄積は一時
的なこともあるし、長年にわたることもある。さらに永
久的な固定も可能である。

【０２２４】以下の説明するものは、蓄積されたデータ
を再生する過程である。データ圧縮の手順を反対に実行
すればよいので新規な事柄はもはやない。圧縮の逆を行
えばよいのである。計算によって画像データを近似し関
数の係数として記憶されているから、拡大縮小など相似
性を維持しつつ画像を再生するのは容易である。拡大に
してもｘ方向、ｙ方向で拡大率を相違させる事もでき
る。また平行移動や回転もできる。 ［Ｓ．符号化データ入力装置］まず、蓄積された符号化
データを読み取ることを行う。符号化データというのは
領域データと差分画像の圧縮データの両方を符号化した
ものである。符号化処理をしなった場合ここから復号化
機構Ｔまでの処理は省かれて直接に差分画像再生の過程
まで飛ぶ。

【０２２５】再生処理は所望の時に行えば良い。フロッ
ピーや光磁気ディスクなどの記憶媒体にデータが蓄積さ
れている場合は、それらの媒体から直接に読み込めば良
い。しかし電話回線等を通じて遠隔地にある記憶装置か
らデータを読み込むことも可能である。 ［Ｔ．復号化機構］入力された符号化データの復号化を
行う。符号化に対応した復号化手法が用いられる。デー
タは、圧縮データ記憶装置０に記憶されたものと同じ形
式で復号化される。

【０２２６】［Ｕ．差分分割画像再生機構］復号化され
た圧縮データから、差分分割画像を再生する。ブロック
毎に分割されそのブロックでのｘ方向の次元数Ｍとｙ方
向の次元数Ｎ、その次元でスプライン関数展開係数が分
かっているので、差分画像の濃淡値を再生することがで
きる。ブロック内の各標本点（ｘ_i ，ｙ_j ）に於ける差
分濃淡値Ｓ（ｘ_i ，ｙ_j ）は

【０２２７】

【数９１】

【０２２８】によって計算できるが、先にも述べたよう
に２変数基底関数Ψ_pqは１変数基底関数Ｎ_p 、Ｎ_q の直
積であるから、（９１）は直ちに、

【０２２９】

【数９２】

【０２３０】によって与えられる。Ｎ_p はデータ近似し
たときのスプライン関数であり２次元のスプラインで近
似したときは同じ２次元の同じ関数を使う。３次元以上
の関数を使った場合は同じ３次元以上のスプライン関数
を使う。２次元スプライン関数の場合は既に述べている
ようにＮ_p は次のような関数である。区間を［０，Ｔ］
として次元数をＭとする。Δは細区間の幅（Ｔ／Ｍ）と
して節点はΔ毎に存在する。Ｎ_p （ｘ）はｐ番目の細区
間から（ｐ＋２）番目の細区間に値を持ち、

【０２３１】 Ｎ_p （ｘ）＝０．５（ｘ−ｐ）² ｐΔ≦ｘ≦（ｐ＋１）Δ （９３） Ｎ_p （ｘ）＝（ｘ−ｐ−１）（ｐ＋２−ｘ）＋０．５ （ｐ＋１）Δ≦ｘ≦（ｐ ＋２）Δ （９４） Ｎ_p （ｘ）＝０．５（ｐ＋３−ｘ）² （ｐ＋２）Δ≦ｘ≦（ｐ＋３）Δ （９５）

【０２３２】であって、それ以外の細区間では０であ
る。Ψ_pq（ｘ_i ，ｙ_j ）はｘ方向にｐ〜ｐ＋３の細区間
と、ｙ方向にｑ〜ｑ＋３の３区間に広がる関数でつまり
は９つの正方形の区間に広がるだけの関数である。これ
に係数を掛けて差分画像の濃度を求める計算をするので
ある。 ［Ｖ．差分画像再生機構］Ｑ個の差分分割画像が得られ
たのでこれらを縦横に組み合わせて全体の差分画像（Ｉ
×Ｊ）を再生する。

【０２３３】［Ｗ．濃淡画像再生機構］差分画像に、領
域を再生しその平均濃度を差分濃度に加える事によって
濃淡画像を再生する。領域の再生は復号化された領域デ
ータ（符号化した場合）を用い、まず境界線を再生し、
その境界線によって囲まれる領域の各点（ｘ_i ，ｙ_j ）
の差分濃度Ｓ（ｘ_i ，ｙ_j ）にその領域ｑの平均濃度ｈ
（ｑ）を加えることによって各点の濃度ｇ（ｘ_i ，ｙ
_j ）を求めることによって実行される。領域の境界線の
再生は次のようにする。境界急峻点と領域分割点が原画
像の上に定義された二次元座標によって与えられている
からそれらの領域特徴点をまず決める。二つの特徴点の
間の境界線線分を決める係数｛ｃ_xp，ｃ_yq｝が分かって
おりこれが読み出されている。境界線の隣接特徴点間を
再生する為にｘ方向関数ｓｘ（ｔ）、ｙ方向関数ｓｙ
（ｔ）を係数ｃ_xp，ｃ_yqから再生する。

【０２３４】

【数９６】

【０２３５】

【数９７】

【０２３６】これは独立変数をｔとしている。ｔの変域
は例えば［０，１］というように決まっている。適当な
間隔でｔの値をとって｛ｓｘ（ｔ），ｓｙ（ｔ）｝を計
算し、これを境界点列｛（ｘ_i ，ｙ_j ）｝とする。これ
を全ての点間で計算して全ての境界線を再生することが
できる。これによって境界線によって囲まれる領域ｑが
決定される。領域には平均濃度ｈ（ｑ）が与えられ記憶
されているから、その領域の全体で差分濃度Ｓ（ｘ_i ，
ｙ_j ）に平均濃度ｈ（ｑ）を加えて、各点での濃度ｇ
（ｘ_i ，ｙ_j ）を再生する。

【０２３７】 ｇ（ｘ_i ，ｙ_j ）＝Ｓ（ｘ_i ，ｙ_j ）＋ｈ（ｑ） （９８）

【０２３８】差分濃度は中間値に近い階調のもので、中
間階調の前後Ｗ／２の値しか取らないが、平均濃度はそ
のような限定は無く様々の値を取る。（９８）のＨ
（ｑ）は領域毎に異なる。であるから画像の特徴のほと
んどは領域毎の平均濃度ｈ（ｑ）に含まれるのである。
細かい階調の変化だけが差分濃度ｄｉｆｆに残され、こ
れを近似した関数がＳ（ｘ_i ，ｙ_j ）である。これが微
妙な階調の変化を表現している。 ［Ｘ．濃淡画像出力機構］こうして濃淡画像を指定する
パラメータが全て計算によって再生される。これを具体
的な形で出力する必要がある。計算によって画像を再生
するから、拡大、縮小は自在である。拡大縮小のいずれ
にも対応できるように大型のプリンタを使うと便利であ
る。紙面に印刷するだけでなくて出力をカッティングプ
ロッタにしてシートを切断するようにすることもでき
る。

【０２３９】関数の係数から濃淡画像を再生するため
に、例えば再生画像の大きさを１ｍｍ角から幅９０ｃｍ
×長さ１６ｍまで指定できるレイアウトエディタを用い
る。再生画像は例えば６００ＤＰＩ以上の精度を持つポ
ストスクリプト対応プリンタを用いて出力される。単色
の濃淡画像の場合は以上のＡ〜Ｘのみで十分であるが、
カラー画像を扱う場合はそれらに加えて、初めにカラー
画像を分解して色相毎の濃淡画像にする色分解機構Ｙ
と、濃淡画像の処理をしてからこれらを合成する色合成
機構Ｚが必要になる。

【０２４０】［Ｙ．色分解機構］カラー画像を符号化す
る方法としては、カラー信号をそのまま符号化するコン
ポジット符号化と、複数の原色信号成分を各成分毎に符
号化するコンポネント符号化がある。本発明では、各成
分を濃淡画像入力出力装置で取り扱えるようにコンポネ
ント符号化の枠組みを採用する。色分解機構Ｙは各成分
を原色に分解する。カラー画像を原色分解する方法は幾
つもある。例えば、カラーテレビやカラー写真のよう
に、光の原色を混合してカラー化する場合には、ＲＧＢ
の３原色が用いられる。しかしＲＧＢは相互相関が高
く、符号化には非効率的である。そこでＲＧＢを線形変
換して得られる伝送３原色信号ＹＵＶなども用いられ
る。本発明はＲＧＢに分解することによってもカラー画
像処理を行うことができる。またＹＵＶに分解すること
によってもカラー画像処理を行うことができる。

【０２４１】印刷物のように、原色顔料や、染料などを
混合してカラー化する方法では、ＹＭＣが使用される。
しかし、カラー印刷画像では、ＹＭＣの３原色インクで
は黒色を十分に表現できない。そこでこれら３色にＫを
加えたＹＭＣＫの４色を用いる。つまりカラー画像を分
解する原色の組み合わせとして、 １．ＲＧＢ ２．ＹＵＶ ３．ＹＭＣ ４．ＹＭＣＫ などの組み合わせが知られているが、本発明はそのいず
れの組み合わせによって色分解しても良い。例えば、コ
ンピュータディスプレイに表示したければ、ＲＧＢやＹ
ＵＶに分解すれば良いし、印刷画像で表現したければＹ
ＭＣＫに分解すれば良い。分解された各画像を、濃淡画
像入力出力装置の画像記憶装置１（図１）に格納して、
それぞれに対して処理を行う。実際には同じ様な３原
色、４原色に対応する３つまたは４つの濃淡画像入力出
力装置を並列に用いると処理が促進させる。

【０２４２】図２２はそのような色分解−濃淡画像処理
−色合成の過程を略示する。４のようにＹＭＣＫに分解
する場合は、カラー入力を、色分解機構Ｙによって、Ｙ
ＭＣＫの４色に分解し、４つの濃淡画像入力出力機構に
入れデータ近似した結果を記憶する。濃淡画像入力出力
装置というのは図１の装置と同じである。データ近似の
結果はそれぞれの濃淡画像入力出力装置に記憶される。
これを色毎に再生し、色合成してカラー画像として出力
するのである。計算機が、色毎の入力画像の並列処理を
行うことができれば各色相毎に並列して処理し、計算機
にそれだけの能力がないときは、順番に処理をすればよ
い。 ［Ｚ．色合成機構］濃淡画像入力出力装置からは、色分
解された各画像が再生されて出力されてくる。これらの
画像を合成して出力するのが本機構である。合成方法は
分解に用いた方法を対応したものを用いる。また、出力
装置によっては、出力装置が合成してくれるようになっ
たものもある。その場合には色合成機構Ｚを省くことが
できる。

【０２４３】画像は関数の係数の形で記憶されているの
で、任意の倍率（縦横の変倍も可）に拡大縮小できる。
また座標を任意の位置に指定する事ができる。このため
文字などの二値画像を含む任意の濃淡画像を任意の位置
に任意の大きさで出力することができる。上記の機構
は、Ｃ⁺⁺言語を用いたプログラムによって、Unix Work
Station やWindows OSの計算機に実装する事ができる。

【０２４４】

【発明の効果】本発明の効果を確かめるために、先述の
標準濃淡画像”ＳＩＤＢＡ／ＧＩＲＬ”及び二値画像で
ある”ＭＳゴシックフォント「愛」”に本発明を適用し
た。これらふたつの原画像を図１４に示す。 ［Ｇｉｒｌの場合］本発明では領域分割のパラメータＷ
と差分画像の近似の許容誤差ε’が任意に設定できる。
そこでＷとε’を様々に変えて実験を行った。図２は既
に述べているように本発明の手順を示している。初めの
ものが原画像である。次のものが領域記憶装置の画像で
あるが、これは濃度が近似した近接部分を領域としてそ
の領域に平均濃度を付けた平均濃度画像である。Ｗが小
さいと領域の数が増え処理時間がより多く掛かるが、領
域が狭くなり原画の特徴が殆ど平均濃度に押し込められ
るようになる。そこで境界線の像も示している。Ｗが大
きいと境界線の数も減り、Ｗが小さいと境界線が増える
から境界線もＷに左右される。さらに領域分割点、境界
急峻点をも示す。これらもＷによって変化する。

【０２４５】差分画像は原濃度から平均濃度を差し引い
た濃度で表したもので、階調の中間値をｇｍとするとｇ
ｍ±Ｗ／２の範囲の値を取るであるから、Ｗが小さいほ
ど原画の特徴をとめない。先ほどの領域記憶装置画像
（平均濃度画像）と相補的な関係にある。これらは画像
処理の工程を個々に示すものである。再生画像は処理を
反対向きに辿り原画を再生したものである。Ｗの値は原
画の特徴を平均濃度画像と差分画像の何れに振り分ける
かを決めるパラメータである。図４のように異なるＷに
対して平均濃度画像が異なる。Ｗ＝８は濃度の幅が狭い
から領域が狭く、領域の全体を平均濃度で置き換えても
原画を良く表す事ができる。Ｗ＝３２であると領域が広
く数が減るので原画の特徴をもはや伝える事ができな
い。

【０２４６】図１２が差分画像を示すが、Ｗ＝８である
と殆どの濃度変化は平均濃度に入っているから差分画像
は殆ど中間値に等しく一様濃度に近い。Ｗ＝３２である
と差分画像にも濃度の変化があって原画の持つ特徴の幾
分かが現れる。差分画像を２変数近似するがＷ＝８のよ
うに濃度変化の乏しい画面の場合これを低次元数の関数
で好適に近似できる。Ｗと違いε’の効果はこれらの画
像から直接には分かりにくい。が、ε’は差分画像を２
変数近似するときの誤差を評価するものであるから、実
は結果を直接に左右するパラメータである。ＳＮＲの下
限を決めるものがε’であるがこれは３０〜４０ｄＢは
欲しいものである。しかしこれを高くするとデータ量が
増える。Ｗによってもデータ量が増減する。

【０２４７】そこでＷとＳＮＲをパラメータとして１画
素当たりの必要なｂｉｔ数を計算した。図１５にその結
果を示す。原画は濃淡のレベルが２５６階調（８ビッ
ト）で表されているから１画素（pel ）当たりのデータ
は８bit/pel である。Ｗ＝８０でＳＮＲが３０ｄＢとす
ると２．２bit/pel である。Ｗ＝８０でＳＮＲを２６ｄ
Ｂとすると１画素当たりデータ量は１．４bit/pel であ
る。原画の約１／６程度に圧縮される事が分かる。Ｗを
大きくすると領域数が減りデータ量は減るが差分画像が
粗くなる。しかしＳＮＲを大きく取る事によって近似画
像を原画に近づける事ができる。図１４（ａ）から図１
６（ａ）の処理はＷ＝９６，ε’＝３０ｄＢとしてい
る。再生画像はよく原画を再生している。

【０２４８】さらに図１７は同じ原画をＷ＝１６、ε’
＝４０ｄＢとしたときの再生画像を示す。より一層原画
に近くて全く遜色がないといえる。図１７はさらに縮小
した再生画像（ａ）と原寸の画像（ｂ）とさらに拡大画
像（ｃ）をも示す。このように本発明は拡大縮小を自由
自在に行える。 ［愛の場合］ 本発明は濃淡画像を相手にするがもちろ
ん二値画像も処理できる。図１４（ｂ）の原画は二値画
像の例である。二値画像であっても全く同様の処理をお
こなう。しかし濃度が２つの種類しかないので領域分割
したときＷによらず濃度は２値になる。領域の広がりは
初めの黒の部分白の部分に一致する。領域での画素の平
均濃度からのばらつきがなくつねに平均濃度に等しい。
差分画像はであるから２５６／２＝１２８の階調になり
一様の差分画像となる。領域の平均濃度から原画の１画
素当たりのデータは１bit/pel である。２変数近似を行
うが最低次元数で係数が一定値という結果になるから、
Ｗやε’の設定は結果に無関係である。二値画像である
「愛」を処理した場合の１画素当たりデータ数は０．２
２bit/pel であった。データ量は約１／４に圧縮されて
いる。これを図１６（ｂ）に示す。図１４（ｂ）の原画
は２５６×２５６画像であるため輪郭のギザギザが目立
っているが、図１６（ｂ）の再生画像は関数で表現され
ているため輪郭がスムーズに整形されている。原画より
再生画像の方が優れている。これはたいへん画気的な事
である。このような優れた効果を挙げることが出来るの
は本発明だけである。

【０２４９】画質や処理時間を決めるパラメータはＷと
ε’のふたつであると述べたが、実はもう一つある。境
界線を近似するときの許容誤差εがそれである。境界線
は特に二値画像の場合に重要になる。εを小さくすると
近似精度が高まる。しかし原画に誤りがある場合もあり
原画に良く似ている方が良いとは限らない事もある。境
界線誤差のパラメータεの設定によって修正も可能であ
る。例えば二値画像の入力にノイズが乗って輪郭が歪ん
でいる場合、これを忠実に再現するのはむしろ望ましく
ない。その様な場合は境界線の近似幅の制限εを大きく
しノイズの影響を排除するようにすることもできる。本
発明は濃淡画像を読み取り或いは直接に濃淡画像を入力
し、濃淡画像の濃度の違いにより領域分割し、領域の平
均濃度を求め、境界線を特徴点によって分割し分割され
た境界線部分を自動的に多変数ベクトルデータ化し、差
分画像濃度や境界線を関数近似して少ないデータ量にし
て記憶蓄積することを可能にする。データ量が少ないの
で再生するのも簡単である。蓄積データを用いて任意の
大きさの濃淡画像を高品質を保って再生できる。さらに
データ量が少ないので遠隔地に電話回線などをもちいて
伝送することもできる。

【０２５０】従来の濃淡画像の画像処理方法は関数近似
をしないでビットマップでデータ蓄積をおこなってい
た。だから拡大縮小などの変形は容易でない。ビットマ
ップ演算によって行わなければ成らず膨大なデータ量と
計算量を必要とした。だから事実上拡大などは殆ど不可
能であった（レンズやミラーによる光学的なものは除
く）。況や縦横の倍率の異なる拡大縮小などは全く不可
能であった。ところが本発明では境界線差分画像のデー
タを本に関数の係数をデータとして蓄積するので、計算
によって再生画像を作製できる。画像の拡大、縮小、回
転、変位、異方性拡大など自由自在に迅速に行える。こ
れらの操作によって画質が劣化するという事もない。こ
れを任意の大きさで任意の位置に再生することができ、
印刷機器や計算機で簡単に利用できる画像処理装置を与
えることができる。さらに本発明によって圧縮した画像
情報はデータの数が極めて少ない。ために遠隔地間での
高品質の画像通信手段として本発明は優れて有効であ
る。

【０２５１】本来は濃淡画像の処理を目的とするが、同
じ手法によって二値画像の処理も行う事ができる。文字
イラスト写真などの区別をすることなく多様な画像を取
り扱う事ができる。用途は甚だ広い。汎用性に極めて秀
でている。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の濃淡画像入力出力装置の全体機構を示
す全体構成図。画像記憶装置、領域生成装置、特徴点抽
出装置、差分画像演算装置、符号化データ生成装置、再
生データ生成装置などの演算機構とそれらの結果のデー
タを記憶するための記憶装置等より成る。

【図２】濃淡画像”ＳＩＤＢＡ／Ｇｉｒｌ”を例にして
本発明の手順を簡単に示す図。順に入力濃淡画像、領域
記憶装置の画像（各領域を平均濃度で塗りつぶした画
像）、境界線の画像、領域分割点の画像、境界急峻点の
画像、差分画像の画像、再生画像をそれぞれ表してい
る。

【図３】二値画像”ＭＳゴシックフォント「智」を例に
して本発明の手順を簡単に示す図。順に入力二値画像、
領域記憶装置の画像（領域をその平均濃度で塗りつぶし
たもの）、境界線の画像、領域分割点の画像、境界急峻
点の画像、差分画像、再生画像をそれぞれ示す。

【図４】同じ濃淡画像”Ｇｉｒｌ”についての領域分割
パラメータＷを変化させた時のと領域分割の違いの様子
を示した図。全階調の数が２５６の場合にＷを８、１
６、３２にそれぞれ設定している。（ａ）がＷ＝８の場
合である。領域の数が多くて原画像の特徴を正確に表現
している。（ｂ）はＷ＝１６の場合である。（ｃ）がＷ
＝３２の場合である。領域分割が粗いので原画像の細か
い特徴が消えてしまっている。

【図５】境界線の座標の取り方を示した図。（ａ）は全
画像の広がりを示す。横軸がＸ軸、縦下向きの軸がＹ軸
である。画素の数は横にＩ個、縦にＪ個あり全部でＩＪ
個である。画素の中心ではなくて画素の隅部に座標点を
取るようにする。座標歯横方向にｘ＝０，１，２，，
Ｉ、縦方向にｙ＝０，１，２，，Ｊであり、座標点の数
は（Ｉ＋１）（Ｊ＋１）である。（ｂ）は原点近くの画
素において座標の取り方を説明するための拡大図。

【図６】座標の取り方によって拡大した場合の境界線が
異なることを説明するための図。（ａ）の１画素の幅を
もつ線分を拡大する場合に、（ｂ）のように画素の中心
に座標点を取ると幅方向には拡大せず長さ方向だけに拡
大されるので（ｃ）のように幅のない拡大線分になる。
（ｄ）のように画素の四隅の点を座標点とすると幅方向
にも拡大されるから（ｅ）のように相似形を維持しつつ
拡大することができる。

【図７】領域分割点の探索方法と決定方法を説明するた
めの図。（ａ）は原画像の全体を示す。これを２×２の
ウィンドウによって走査することによって領域を探す。
（０，０）から右へ水平走査し１画素分下の画素列を右
へ水平に走査する。縦１段ずつおろして水平走査を繰り
返し（ラスタ順）濃度が異なる部分を探す。（ｂ）のよ
うに２×２の４画素中に濃度階調の異なる領域が２つあ
ってこれが接している場合は４画素の中心点は分割点で
ない。（ｃ）のように濃度階調の異なる領域が３つあっ
て初めてその４画素の中心が領域分割点と認められる。

【図８】領域分割点の間の部分として定義される境界区
間を説明する図。（ａ）は全画面に５つの異なる領域が
存在する場合を示す。ア、イ、ウの３つの点が領域分割
点となる。ふたつの領域分割点が境界線で連結されその
間に他の領域分割点が存在しない場合その境界線の一部
であって２つの領域分割点によって挟まれる部分が境界
区間である。ここでは（ｂ）に境界区間アイを示す。ア
ウも境界区間であるが間に境界急峻点が存在している。

【図９】局所方向ベクトルを説明する図。（ａ）は４つ
の画素においてエ点の局所方向ベクトルを述べている。
α＝２の場合であって境界線にそって問題にしているエ
点の２つ前の点から、２つ後の点へ引いた矢印が局所方
向ベクトルである。（ｂ）は境界線を辿るときに局所方
向ベクトルがどのように変わっていくのかを例示してい
る。

【図１０】図９（ｂ）と同じ例において４５度ずつの刻
みで８方向に量子化した局所方向ベクトルを示す図。

【図１１】局所急峻度の説明図。任意の境界線上の点が
急峻点であるから否かということは着目してある点のｂ
個前の点の局所方向ベクトルと、その点のｂ個後の点の
局所方向ベクトルのなす角度がある一定角より小さい場
合にその点を急峻点とする。

【図１２】全画像を濃度の近似した画素を含む領域に分
割し、領域の平均濃度を各画素の濃度から差し引いたも
のが差分画像であるが、領域分割の細かさを決めるパラ
メータＷを８、１６、３２に変えた時にどのように差分
画像が変化するかということを示す差分画像図。（ａ）
はＷ＝８である。平均濃度からなる領域分割画像（図
４）に原画の特徴が移っているから差分画像は濃淡変化
に乏しい灰色の中間階調になっている。（ｂ）はＷ＝１
６である。平均濃度画像にも差分画像にも等分に特徴が
配分されている。（ｃ）はＷ＝３２である。平均濃度画
像への配分が減りその分差分画像に階調の変化が現れ
る。

【図１３】差分画像は全画面と同じ大きさをもつのでそ
のままでは計算処理に不適である場合もありそのような
場合に矩形状のブロックに分割して処理することを説明
するための図。

【図１４】２種類の原画像を示す図。（ａ）は”Ｇｉｒ
ｌ”の原画像、（ｂ）は「愛」の原画像である。

【図１５】”Ｇｉｒｌ”に於いて領域分割パラメータの
Ｗと、誤差の評価を決めるパラメータε’と、その時の
１画素当たりのビット数の関係を示すグラフ。

【図１６】図１４の原画像を本発明の方法で処理し再生
したものを示す図。（ａ）は”Ｇｉｒｌ”の再生画像、
（ｂ）は「愛」の再生画像。

【図１７】図１４の”Ｇｉｒｌ”を変化させて出力させ
たときの再生画像。（ａ）は縮小画像、（ｂ）は原寸画
像、（ｃ）は拡大画像。

【図１８】輪郭線と境界線の違いを説明するための図。
（ａ）は輪郭線であって分岐のない単なる閉曲線であ
る。（ｂ）は境界線であって分岐がある。分岐の点を領
域分割点と呼ぶ。

【図１９】細区間を１として、１次のスプライン関数基
底Ｎ_-1（ｔ）を示すグラフ。

【図２０】細区間を１として、２次のスプライン関数基
底Ｎ₀ （ｔ）を示すグラフ。

【図２１】２次のスプライン関数の双直交関数のグラ
フ。

【図２２】カラー画像をＹＭＣＫの４色に分解しそれぞ
れを濃淡画像処理するようにしたカラー画像の入力出力
機構の概略を示す構成図。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 9/00 H04N 1/41

Claims (6)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 光学的に濃淡画像データを読み取り或い
   は濃淡画像データを直接に入力し縦横に有限個並ぶ画素
   に対応させて濃度を記憶する画像記憶装置と、縦横に並
   ぶ画素に対応づけて読み取られた濃淡画像を領域内の各
   画素の濃度差が小さく隣接領域の画素との濃度差が大き
   くなるように複数の領域に分割し領域ごとの平均濃度を
   求める領域分割機構と、抽出された領域ごとにその領域
   内の濃度の平均で表現した画像を記憶する領域記憶装置
   と、分割された領域の境界線を点列として抽出する領域
   境界線抽出機構と、抽出された境界点列において３つ以
   上の領域に接する点を領域分割点として抽出する領域分
   割点抽出機構と、領域分割点で区切られた区間ごとに境
   界線の二次元座標（ｘ，ｙ）を記憶する領域境界線記憶
   装置と、境界点列において勾配の差分変化が急峻な点で
   ある境界急峻点を抽出する境界急峻点抽出機構と、独立
   変数をｔとしｘ，ｙを従属変数とした１変数スプライン
   関数で前記の領域分割点又は境界急峻点によって区切ら
   れた区間の境界点列を近似し近似精度が所定範囲になる
   まで双直交近似或いは最小二乗法近似を繰り返し前記区
   間の境界点列の近似関数を求める領域境界線近似機構
   と、領域ごとに境界線を近似した関数に関する情報を記
   憶する領域データ記憶装置と、画像記憶装置に記憶され
   た画像の原画素濃度から領域記憶装置に記憶される領域
   ごとの平均濃度を差し引いてできる全体の画像である差
   分画像を生成する差分画像生成機構と、縦横に有限個並
   ぶ画素に対応させてその差分濃度を記憶する差分画像記
   憶装置と、差分画像をいくつかの部分画像に分割する差
   分画像分割機構と、縦横に有限個並ぶ画素に対応させて
   その分割された差分濃度を記憶する差分分割画像記憶装
   置と、差分分割画像を２変数スプライン関数によって近
   似し近似精度が所定範囲になるまで双直交近似或いは最
   小二乗法近似を繰り返し差分分割画像の近似関数を求め
   るデータ近似機構と、近似した関数のパラメータを記憶
   する圧縮データ記憶装置と、圧縮データを符号化する符
   号化機構と、符号化データを出力する符号化データ出力
   機構と、出力された符号化データを記憶する符号化デー
   タ記憶機構と、符号化データを入力する符号化データ入
   力装置と、入力された符号化データから復号化を行う事
   によって圧縮データを再生する復号化機構と、圧縮デー
   タから差分分割画像を再生する差分分割画像再生機構
   と、差分分割画像を纏めて差分画像を再生する差分画像
   再生機構と、差分画像を領域データを用いて濃淡画像を
   再生する濃淡画像再生機構と、再生された濃淡画像を出
   力する濃淡画像出力機構とを含むことを特徴とする濃淡
   画像入力出力装置。
2. 【請求項２】 光学的に濃淡画像データを読み取り或い
   は濃淡画像データを直接に入力し縦横に有限個並ぶ画素
   に対応させて濃度を記憶する画像記憶装置と、縦横に並
   ぶ画素に対応づけて読み取られた濃淡画像を領域内の各
   画素の濃度差が小さく隣接領域の画素との濃度差が大き
   くなるように複数の領域に分割し領域ごとの平均濃度を
   求める領域分割機構と、抽出された領域ごとにその領域
   内の濃度の平均で表現された画像を記憶する領域記憶装
   置と、分割された領域の境界線を点列として抽出する領
   域境界線抽出機構と、抽出された境界点列において３つ
   以上の領域に接する点を領域分割点として抽出する領域
   分割点抽出機構と、領域分割点で区切られた区間ごとに
   境界線の二次元座標（ｘ，ｙ）を記憶する領域境界線記
   憶装置と、境界点列において勾配の差分変化が急峻な点
   である境界急峻点を抽出する境界急峻点抽出機構と、独
   立変数をｔとしｘ，ｙを従属変数とした１変数スプライ
   ン関数で前記の領域分割点又は境界急峻点によって区切
   られた区間の境界点列を近似し近似精度が所定範囲にな
   るまで双直交近似或いは最小二乗法近似を繰り返し前記
   区間の境界点列の近似関数を求める領域境界線近似機構
   と、領域ごとに境界線を近似した関数に関する情報を記
   憶する領域データ記憶装置と、画像記憶装置に記憶され
   た画像の原画素濃度から領域記憶装置に記憶される領域
   ごとの平均濃度を差し引いてできる全体の画像である差
   分画像を生成する差分画像生成機構と、縦横に有限個並
   ぶ画素に対応させてその差分濃度を記憶する差分画像記
   憶装置と、差分画像を２変数スプライン関数によって近
   似し近似精度が所定範囲になるまで双直交近似或いは最
   小二乗法近似を繰り返し差分画像の近似関数を求めるデ
   ータ近似機構と、近似した関数のパラメータを記憶する
   圧縮データ記憶装置と、圧縮データを符号化する符号化
   機構と、符号化データを出力する符号化データ出力機構
   と、出力された符号化データを記憶する符号化データ記
   憶機構と、符号化データを入力する符号化データ入力装
   置と、入力された符号化データから復号化を行う事によ
   って圧縮データを再生する復号化機構と、圧縮データか
   ら差分画像を再生する差分画像再生機構と、差分画像を
   領域データを用いて濃淡画像を再生する濃淡画像再生機
   構と、再生された濃淡画像を出力する濃淡画像出力機構
   とを含むことを特徴とする濃淡画像入力出力装置。
3. 【請求項３】 光学的に濃淡画像データを読み取り或い
   は濃淡画像データを直接に入力し縦横に有限個並ぶ画素
   に対応させて濃度を記憶する画像記憶装置と、縦横に並
   ぶ画素に対応づけて読み取られた濃淡画像を領域内の各
   画素の濃度差が小さく隣接領域の画素との濃度差が大き
   くなるように複数の領域に分割し領域ごとの平均濃度を
   求める領域分割機構と、抽出された領域ごとにその領域
   内の濃度の平均で表現した画像を記憶する領域記憶装置
   と、分割された領域の境界線を点列として抽出する領域
   境界線抽出機構と、抽出された境界点列において３つ以
   上の領域に接する点を領域分割点として抽出する領域分
   割点抽出機構と、領域分割点で区切られた区間ごとに境
   界線の二次元座標（ｘ，ｙ）を記憶する領域境界線記憶
   装置と、境界点列において勾配の差分変化が急峻な点で
   ある境界急峻点を抽出する境界急峻点抽出機構と、独立
   変数をｔとしｘ，ｙを従属変数とした１変数スプライン
   関数で前記の領域分割点又は境界急峻点によって区切ら
   れた区間の境界点列を近似し近似精度が所定範囲になる
   まで双直交近似或いは最小二乗法近似を繰り返し前記区
   間の境界点列の近似関数を求める領域境界線近似機構
   と、領域ごとに境界線を近似した関数に関する情報を記
   憶する領域データ記憶装置と、画像記憶装置に記憶され
   た画像の原画素濃度から領域記憶装置に記憶される領域
   ごとの平均濃度を差し引いてできる全体の画像である差
   分画像を生成する差分画像生成機構と、縦横に有限個並
   ぶ画素に対応させてその差分濃度を記憶する差分画像記
   憶装置と、差分画像を２変数スプライン関数によって近
   似し近似精度が所定範囲になるまで双直交近似或いは最
   小二乗法近似を繰り返し差分画像の近似関数を求めるデ
   ータ近似機構と、近似した関数のパラメータを記憶する
   圧縮データ記憶装置と、圧縮データから差分画像を再生
   する差分画像再生機構と、差分画像を領域データを用い
   て濃淡画像を再生する濃淡画像再生機構と、再生された
   濃淡画像を出力する濃淡画像出力機構とを含むことを特
   徴とする濃淡画像入力出力装置。
4. 【請求項４】 光学的にカラー画像を読み取り或いはカ
   ラー画像データを直接に入力し縦横に有限個並ぶ画素に
   対応させて色相及び濃度を記憶する画像記憶装置と、色
   相毎にカラーデータを分解し３原色叉は４原色の色相に
   分解する色分解機構と、色分解機構によって分解された
   ３原色または４原色に分解された濃淡画像データを画素
   毎に濃度データとして記憶する画像記憶装置と、縦横に
   並ぶ画素に対応づけて読み取られた濃淡画像を領域内の
   各画素の濃度差が小さく隣接領域の画素との濃度差が大
   きくなるように複数の領域に分割し領域ごとの平均濃度
   を求める領域分割機構と、抽出された領域ごとにその領
   域内の濃度の平均で表現した画像を記憶する領域記憶装
   置と、分割された領域の境界線を点列として抽出する領
   域境界線抽出機構と、抽出された境界点列において３つ
   以上の領域に接する点を領域分割点として抽出する領域
   分割点抽出機構と、領域分割点で区切られた区間ごとに
   境界線の二次元座標（ｘ，ｙ）を記憶する領域境界線記
   憶装置と、境界点列において勾配の差分変化が急峻な点
   である境界急峻点を抽出する境界急峻点抽出機構と、独
   立変数をｔとしｘ，ｙを従属変数とした１変数スプライ
   ン関数で前記の領域分割点又は境界急峻点によって区切
   られた区間の境界点列を近似し近似精度が所定範囲にな
   るまで双直交近似或いは最小二乗法近似を繰り返し前記
   区間の境界点列の近似関数を求める領域境界線近似機構
   と、領域ごとに境界線を近似した関数に関する情報を記
   憶する領域データ記憶装置と、画像記憶装置に記憶され
   た画像の原画素濃度から領域記憶装置に記憶される領域
   ごとの平均濃度を差し引いてできる全体の画像である差
   分画像を生成する差分画像生成機構と、縦横に有限個並
   ぶ画素に対応させてその差分濃度を記憶する差分画像記
   憶装置と、差分画像を２変数スプライン関数によって近
   似し近似精度が所定範囲になるまで双直交近似或いは最
   小二乗法近似を繰り返し差分画像の近似関数を求めるデ
   ータ近似機構と、近似した関数のパラメータを記憶する
   圧縮データ記憶装置と、圧縮データから差分画像を再生
   する差分画像再生機構と、差分画像を領域データを用い
   て濃淡画像を再生する濃淡画像再生機構と、色相毎に再
   生された濃淡画像を合成する色合成機構と、色合成機構
   で合成された画像を出力するカラー画像出力機構とを含
   むことを特徴とするカラー画像入力出力装置。
5. 【請求項５】 光学的に濃淡画像データを読み取り或い
   は濃淡画像データを直接に入力し、縦横に有限個並ぶ画
   素に対応させて濃度を画像記憶装置に記憶させ、縦横に
   有限個並ぶ画素に対応づけて読み取られた濃淡画像を領
   域内の各画素の濃度差が小さく隣接領域の画素との濃度
   差が大きくなるように複数の領域に分割し領域ごとの平
   均濃度を求め領域と平均濃度を領域記憶機構に記憶さ
   せ、分割された領域の境界線を点列として抽出し、抽出
   された境界点列において３つ以上の領域に接する点を領
   域分割点として抽出し、領域分割点で区切られた区間ご
   とに境界線の二次元座標（ｘ，ｙ）を記憶させ、境界点
   列において勾配の差分変化が急峻な点である境界急峻点
   を抽出し、独立変数をｔとしｘ，ｙを従属変数とした１
   変数スプライン関数で前記の領域分割点又は境界急峻点
   によって区切られた区間の境界点列を近似し近似精度が
   所定範囲になるまで双直交近似或いは最小二乗法近似を
   繰り返し前記区間の境界点列の近似関数を求め、領域ご
   とに境界線を近似した関数に関する情報を領域データ記
   憶装置に記憶させ、画像記憶装置に記憶された画像の原
   画素濃度から領域記憶装置に記憶される領域ごとの平均
   濃度を差し引いて出来る全体の画像である差分画像を生
   成し、画素に対応させてその差分濃度を差分画像記憶装
   置に記憶させ、差分画像を２変数スプライン関数によっ
   て近似し近似精度が所定範囲になるまで双直交近似或い
   は最小二乗法近似を繰り返し差分画像の近似関数を求
   め、近似した関数のパラメータを圧縮データ記憶装置に
   記憶させ、圧縮データから差分画像を再生し、差分画像
   と領域データを用いて濃淡画像を再生し、再生された濃
   淡画像を出力するようにした事を特徴とする濃淡画像入
   力出力方法。
6. 【請求項６】 光学的にカラー画像を読み取り或いはカ
   ラー画像データを直接に入力し縦横に有限個並ぶ画素に
   対応させて色相及び濃度を画像記憶装置に記憶させ、色
   相毎にカラーデータを分解し３原色叉は４原色の色相に
   分解し、分解された３原色または４原色に分解された濃
   淡画像データを画素毎に濃度データとして記憶させ、縦
   横に有限個並ぶ画素に対応づけて読み取られた濃淡画像
   を領域内の各画素の濃度差が小さく隣接領域の画素との
   濃度差が大きくなるように複数の領域に分割し領域ごと
   の平均濃度を求め領域と平均濃度を領域記憶機構に記憶
   させ、分割された領域の境界線を点列として抽出し、抽
   出された境界点列において３つ以上の領域に接する点を
   領域分割点として抽出し、領域分割点で区切られた区間
   ごとに境界線の二次元座標（ｘ，ｙ）を記憶させ、境界
   点列において勾配の差分変化が急峻な点である境界急峻
   点を抽出し、独立変数をｔとしｘ，ｙを従属変数とした
   １変数スプライン関数で前記の領域分割点又は境界急峻
   点によって区切られた区間の境界点列を近似し近似精度
   が所定範囲になるまで双直交近似或いは最小二乗法近似
   を繰り返し前記区間の境界点列の近似関数を求め、領域
   ごとに境界線を近似した関数に関する情報を領域データ
   記憶装置に記憶させ、画像記憶装置に記憶された画像の
   原画素濃度から領域記憶装置に記憶される領域ごとの平
   均濃度を差し引いて出来る全体の画像である差分画像を
   生成し、画素に対応させてその差分濃度を差分画像記憶
   装置に記憶させ、差分画像を２変数スプライン関数によ
   って近似し近似精度が所定範囲になるまで双直交近似或
   いは最小二乗法近似を繰り返し差分画像の近似関数を求
   め、近似した関数のパラメータを圧縮データ記憶装置に
   記憶させ、圧縮データから差分画像を再生し、差分画像
   と領域データを用いて濃淡画像を再生し、色相毎に再生
   された濃淡画像を合成し、合成されたカラー画像を出力
   するようにした事を特徴とするカラー画像入力出力方
   法。