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Verfahren und Vorrichtung zur Ausgleichung einer Reihe von Wertepaaren
Bekanntlich ist das Ausgleichsverfahren nach der Methode der kleinsten Summe ,der
Fehlerquadrate sehr zeitraubend durchzuführen, besonders da es hierfür keine speziellen
mathematischen Instrument.. gibt, sondern man sich zur Erleichterung der Rechnungen
nur der üblichen Rechenmaschinen bedienen kann. Zudem hat die Anwendung des genannten
Ausgleichsverfahrens zum Zwecke der Extrapolation grundsätzliche Fehler zur Folge.
Der Zweck der Extrapolation wird nämlich am besten dann erreicht, wenn die Summe
der (absoluten) Fehler der durch Extrapolation vorausgesagten Werte ein Minimum
ist und nicht die Summe der Quadrate dieser Fehler. I.nshesondere bei asymmetrischer
Verteilung der Fehler der gegebenen Wertepaare versagt daher .das bekannte Gaüßsche
Verfahren. Dagegen ist die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Summe der
absoluten Fehler gerade für den Zweck .der Extrapolation geeignet.
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Dieses neue Verfahren hat zudem den Vorzug, eine sehr rasche und einfache
maschinelle Lösung zu .gestatten, wenn man sich auf den Fall einer geraden Anzahl,
vorzugsweise um gleiche d x-Beträge voneinander unterschiedener Wertepaare
y, x und die Ausgleichung nach einer ganzen rationalen Funktion- ersten Grades,
d. h. die Ausgleichung nach einer Geraden beschränkt.
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Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung,
mittels derer man dieses Ziel auf einfache und billige Weise erreichen kann.
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Es seien n Wertepaare
y, x gegeben. Die Ausgleichsgerade nach
der Methode der kleinsten Summe der absoluten Fehler geht durch zwei der gegebenen
Punkte mit den Werten
x = x1 und
x ='xn: Es. muß die
Ungleichung (A) erfüllt -seiri:
| I x- - xt I > I Vx xi + v2 x2 -I- . . . -f - 71n-1
xn, 1 -E- vn xn l |
| (wobei z < l c n und z < 7n c 7.t ist)
. (A) |
Dabei bezeichnet
1 xn
- x, 1 den absoluten Beträ,g von x"7-xt;
v bezeichnet in dieser Glei= chung das Vorzeichen von x und hat den Wert
+i, wenn der Punkt
y, x oberhalb der Ausgleichsgeraden liegt, und .den Wert
- i (in Worten: minus eins), wenn er unterhalb liegt; es hat Iden Wert Null, wenn
der Punkt auf der Ausgleichsgeraden selbst liegt. Außer der Ungleichung (A) muß
noch eine Beziehung erfüllt sein: Die Gesamtanzahl der positiven v-Werte muß gleich
-der Gesamtanzahl der negativen sein. Durch beide Beziehungen sind im allgemeinen
diejenigen zwei unter den: gegebenen Punkten festgelegt, durch die die Ausgleichsgerade
(geht. Jedoch ist man genötigt, durch Probieren die zwei Punkte herauszusuchen,
die .die obigen beiden Beziehungen erfülleen. Diese Aufgabe wird dadurch erleichtert,
daß, solange die Ungleichung (A) nicht erfüllt ist, das Vorzeichen der . (nicht
absolut genommenen) rechten Seite dieser Ungleichung die Richtung angibt, in welcher
die Gerade gedreht werden muß, damit die Ungleichung besser erfüllt werden kann.
Positives Vorzeichen bedeutet dabei eine Drehung entgegen dem U irzeigers-inn. Statt
nun diese Rechnungen auszuführen, -kann man sich rascher und bequemer des gemäß
der Erfindung hergestellten Gerätes bedienen.
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Dieses Gerät besteht im wesentlichen aus der Vereinigung dreier Teile
bzw. dreier Teilvorrichtungen I. Einser Vorrichtung, um die Lage der Wertepaare
bzw. Meßpunkte in der y, x-Ebene darzustellen. Hierbei .kann man sich an Stelle
ebener Flächen auch zylindrischer oder Kugelflächen bedienen oder sonstiger regelmäßiger
flächenförmiger Gebilde, jedoch wird man mit Vorzug Gebilde mit ebenen Flächen benutzen.
Die Meßpunkte können dabei z. B'. dargestellt werden durch Kontakte mechanischer
oder elektrischer Art oder Photozellen, Photowiderstände oder Selenzellen; sie werden
im folgenden als Bauelemente bezeichnet.
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II. Einer der Vorrichtung I angepaß.ten flächigen Vorrichtung, um
einen Teil .der unter I erwähnten Fläche bzw. Ebene, und, zwar einen durch eine
Gerade begrenzten, zu bedecken, wobei die bedeckende Vorrichtung samt ihner.ggeraden
Begrenzung willkürlich verschoben werden kann. Ist die unter I erwähnte Fläche keine
Ebene, so tritt an die Stelle der Geraden eine Abbildung einer Geraden ,auf der
betreffenden Fläche. Die bedeckende flächige Vorrichtung wird zur Ausübung des Verfahrens
auf der zur Vorrichtung I gehörigen Fläche, ihr unmittelbar anliegend oder in einem
konstanten, meist geringen Abstand parallel zu ihr, mit Hilfe .geeigneter Führungen
verschoben. Die Berührung - oder Bedeckung der die Wertepäate bzw: Meß.punkte. darstellenden
Balielemente s911 für die- einzelnen Bauelemente gleichartig und gleich sein uhd
z.- B. in einer Verschiebung senkrecht zu der unter I erwähnten Fläche bestehen
oder irgendeine von dem betreffenden Bauelement ausgehende auf Vorrichtung III sich
auswirkende Veränderung zur Folge haben.
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III. Einer Vorrichtung, welche die von den Bauelementen- der Vorrichtung
I ausgehenden, durch die Vorrichtung II ausgelösten Impulse, Bewegungen oder sonstigen
Veränderungen z. B. elektrischer oder lichtelektrischer Art jeweils mit einem Faktor
vervielfacht, .der dem jeweiligen x-Wert entspricht, die so vervielfachten Veränderungen
summiert und von der erhaltenen Summe eine gemäß Gleichung (B) errechnete Vorgabe
abzieht und das Schlußergebnis und insbesondere dessen Vorzeichen anzeigt oder auch
automatisch je nach dem Vorzeichen den Drehungssinn der Vorrichtung 1I regelt. Dabei
lautet .Gleichung (B)
wobei st die Anzahl der Wertepaare bedeutet und ä und b durch die Abmessungen der
Apparatur bedingte Konstanten sind. Dabei ist b .durch die Darstellung von x bestimmt;
a kann unter Umständen den Wert Null, b den Wert Eins annehmen. Der Gebrauch der
Gleichung (B) wird durch Beispiel i und 2 erläutert.
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Die Vorgabe P kann unter Umständen fehlen bzw. ersetzt werden durch
eine Gegenwirkung, die von den nicht von Vorrichtung II betroffenen Bauelementen
ausgeht.
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Zu den :genannten Vorrichtungen kann bei Bedarf eine vierte nicht
wesentlich zur Erfindung gehörige treten, welche .dafür sorgt, daß die unter II
genannte Gerade stets automatisch eine solche Lage bekommt, daß die Anzahl der oberhalb
und unterhalb von ihr befindlichen Meßpunkte gleich groß ist. Die Benutzung einer
solchen Vorrichtung würde eine völlig automatische Lösung der gestellten mathematischen
Aufgabe ermöglichen, falls die Vorrichtung III so ausgebildet wird, daß sie ebenfalls
automatisch die Drehung der Vorrichtung I1 regelt. Die Umwandlung in eine rein automatisch
arbeitende Apparatur darf jedoch als eine handwerksmäßig durchführbare Verfeinerung
der maschinellen Einrichtung angesehen werden, auf die näher einzugehen sich erübrigt.
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Die Vorrichtung I besteht, zweckmäßig aus einem Rahmen, in welchem
in der y, x-Ebene liegende, in Richtung der y-Achse verlaufende Schienen eingebaut
sind, Die Bauelemente sind. längs der Schienen durch Gleiturig verschiebbar bzw.
an ihnen fixierbar. An Stelle der Gleitschienen können auch gelochte Bänder benutzt
werden, in die die Bauelemente eingesteckt werden, oder es können statt der Rahmen
mit Gleitschienen überhaupt gelochte- Platten verwendet werden.
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Das mathematische Instrument bleibt im Fall der Benutzung .gleichabständiger
x-Werte auch dann brauchbar,, wenn von den Bauelementen zwei oder ein Vielfaches
dieser Anzahl fehlen. Es ändert sich hierdurch ledifich das kompensierende
Moment
bzw. die kompensierende Kraft gemäß Gleichung (B).
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Die Vorrichtung II besteht im einfachsten Fall aus einer Platte, welche
lose auf dem unter I genannten Rahmen aufliegt oder besser sich mittels Führungen
parallel zu dem unter I genannten Rahmen bzw. zu der y,x-Ebene verschieben-läßt.
Die Wirkung einer solchen Verschiebung kann z. B. darin bestehen, daß die Bauelemente
niedergedrückt, Kontakte geschlossen oder geöffnet werden oder daß die Bestrahlung
von Thermoelementlötstellen, Photozellen, Selenzellen oder Photowiderständen verhindert
oder möglich gemacht wird. Auf jeden Fall besteht aber die Wirkung der Vorrichtung
II darin, daß die von ihr bedeckten Bauelemente einer anderen oder entgegengesetzten
Einwirkung ausgesetzt sind als die nicht bedeckten Bauelemente bzw. eine solche
Einwirkung an die Vorrichtung III vermitteln.
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Vorrichtung III kann aus mechanischen und/ oder elektrischen Anordnungen
bestehen, im Fall mechanischer Anordnungen z. B. aus einer Waage mit unterteiltemArm
inVerbindung mit Gewichten, die entsprechend dem x-Wert gestaffelt sind; im Fall
elektrischer Anordnungen kann die Vorrichtung III bestehen aus elektrischen: Widerständen
oder Kondensatoren in Verbindung mit einem Galvanometer oder aus einer Serie von
Relais oder Verstärkerrähren in Verbindung mit einem Galvanometer und kann akustische
oder optische Signaleinrichtungen enthalten. Dabei können die Relais oder Elektronenröhren
dafür sorgen, daß die durch Vorrichtung II hervorgebrachten Wirkungen. entsprechend
.den x-Werten verstärkt bzw. daß die Ungleichung (A) erfüllt wird.
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Die zu den nachfolgenden Beispielen gehörigen Figuren stellen vereinfachend
und schematisch die Wirkungsweise der erfindungsgemäßen Vorrichtungen dar. Beispiel
i (mechanische Vorrichtungen) (siehe Fig. i a, welche das mathematische Gerät im
Grundriß, also die y,x-Ebene zeigt, sowie Fig. i b, welche dasselbe im Aufriß zeigt,
so daß also nur die Ausdehnung in der x-Richtung sowie in der Richtung senkrecht
zur y, x-Ebene erkennbar ist ) Vorrichtung I besteht aus einem Rahmen a. mit Schienen
b, die in Richtung der y-Achse verlaufen und in einem den x-Werten entsprechenden
Abstand aufeinanderfolgen. Auf ihnen sind die Bauelemente c verschiebbar bzw. fixierbar,
welche die Wertepaare bzw. Meßpunlcte h2ennzeichnen. Zu den Bauelementen gehören
Hebel d; sie sind durch (nicht eingezeichnete) Scharniere mit ihnen verbunden. Das
Scharnier hat die Lage des betreffenden Meßpunktes. Das Ende des Hebels d wird durch
(nicht eingezeichnete) Federn nach oben gedrückt, so daß -der Hebel senkrecht steht,
wenn ihn keine äußere Kraft beeinflu3t. Sein Ende trägt eine dünne, praktisch gewichtslose
Schnur. An dieser ist ein Gewicht e befestigt, «-elches bei allen Hebeln gleich
groß ist. Haben -die Hebel ihre senkrechte Normallage, so schweben die Gewichte
frei. Werden die Hebel dagegen durch die Vorrichtung II nach unten, d. h. in waagerechte
Lage gedrückt, so ruhen die Gewichte e auf rillenförmigen Vertiefungen f der Platte
g, welche den Waagebalken mit der Achse h. darstellt. Es wird die Länge der Schnur
so bemessen, daß in diesem Fall das Gewicht e weder ganz noch teilweise von der
Schnur getragen wird, diese also auch dann nicht mehr gespannt ist, wenn der Waagebalken
kleinere Drehbewegungen um die Achse h ausführt.
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Die Vorrichtung II besteht aus der in den Führungsschlitzen h verschieblichen
Platte i. Sobald diese sich wieder von den Hebeln d entfernt, werden diese
wieder durch ihre Feder in die frühere senkrechte Lage gebracht. Die Federn sind
so kräftig, daß sie ohne weiteres imstande sind, die an den Hebeln hängenden Ged=ichte
zu heben.
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Die Arretierungen p und q verhindern, daß der Waagebalken g
sich um mehr als nur kleine Winkel drehen kann. Die Hebel d werden so lang gemacht,
daß ihre Länge die größte Hubhöhe :des Waagebalkens g übertrifft.
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Man bedient sich des mathematischen Instruments folgendermaßen: Bevor
man sich des Instruments für die einzelnen Berechnungen bedient, ermittelt man zunächst
das Kompensationsmoment und legt auf den in den Fig. i a und i b reehts befindlichen
Waagearm das oder .die entsprechenden Kompensationsgewichte auf. Diese sind nur
abhängig von der Gesamtanzahl ya der gegebenen Wertepaare und ihren x-Werten; sie
sind also davon unabhängig, welches bei der einzelnen Aufgabe die y-Werte 27 sind
bzw. welche Lage die einzelnen Meßpunkte zur Ausgleichsgeraden haben.
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Die auf dem linken Arm der Waage liegenden, einem Teil der gegebenen
Meßpunkte zugehörigen Gewichte mögen Abstände vom Drehpunkt der Waage im Betrag
a -1- bx haben. Dabei bedeutet a
den Abstand der dem Wert x = o entsprechenden
Punkte bzw. Geraden von der Achse der Waage, b -den Abstand in Richtung der
x-Achse für d x = i. Es mnuß nun atrf den rechten Waagearm ein Kompensationsmoment
ausgeübt werden vom Betrag P, welches durch die Gleichung (B) gegeben ist:
Dabei umfaßt 1 x die x-Werte sämtlicher gegebener Wertepaare, nicht etwa nur diejenigen
der Bauelemente, deren Gewichte auf dem linken Arm der Waage liegen; das gleiche
gilt für die Zahl n.. Es bedeutet G das Kompensationsgewicht im Abstand L von der
Achse der Waage; natürlich kann man P auch auf mehrere Kompensationsgewichte und
Abstände aufteilen.
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Für die einzelnen Aufgaben bedient man sich nun des mathematischen
Instruments folgendermaßen
Platte i, welche zweckmäßig aus durchsichtigem
Material besteht; wird so verschoben, daß oberhalb und unterhalb der abgrenzenden
Geraden gleich viele Bauelemente liegen und möglichst zwei auf .ihr. Der Zeiger
l -der Waage zeigt nun an, in welcher Richtung die Platte i gedreht werden muß,
um die Lage der Ausgleichsgeraden zu erreichen. Schlägt oder Zeiger Z nach links
aus, so hat man im Gegenuhrzeigersinn zu drehen; weist er nach rechts, so hat man
im Uhrzeigersinn zu drehen. Die richtige Endlage ist erreicht, wenn kleinste Drehungen
der Platte i in .den beiden verschiedenen Richtungen einen verschiedenen Ausschlag
des Zeigers bewirken.
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Statt wie im vorstehenden Beispiel die einzelnen gleichen Gewichte
e so anzuordnen, daß ihre Abstände von der Achse h proportional dem x-Wert sich
ändern, kann. man auch verschiedene Gewichte an die einzelnen Hebel 'hängen, und
zwar jeweils in erinem dem x-Wert proportionalen Betrag, und diese :Gewichte auf
die Schale einer Waage drücken lassen, so ,daß alle Gewichte in gleicher Entfernung
von der Achse angreifen.
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Beispiele (eleiktri-sche Vorrichtungen) (siehe Fig.2) An die Stelle
der Bauelemente c des Beispiels r treten Selenzellen oder Photozellen c. Der Übersichtlichkeit
halber ist ihre Befestigung an den Schienen b nicht eingezeichnet. Vorrichtung II
besteht hier aus einer lichtundurchlässigen Platte i, , welche in einer zweckmäßigen
Ausführungsart nur für Licht bestimmter Wellenlängen undurchlässig ist, auf welches
die Photozellen oder Selenzellen gut ansprechen, während sie auf das durchgelassene
Licht nicht ansprechen. Diese Ausführungsform kann vom Fachmann mit Hilfe von Lichtfiltern
und Photozellen, deren besondere Empfiüdlichkeit in bestimmten Spektralbereichen
liegt, ohne weiteres hergestellt werden. Es kann bei dieser Ausführungsart auch
an die Plattei auf der anderen Seite der begrenzenden Geraden eine Platte angesetzt
werden, welche sowohl für das menschliche Auge wie auch für die Strahlenart durchlässig
ist, welche auf die Photozellen wirkt, was den Vorteil hat, daß man sämtliche Photozellen
bedeckt halten kann.
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Wenn die Platte i über einen Teil der Selenzellen oder Photozellen
geschoben wird, so wird die Reli.chtung und soniit das Ansprechen :der unter ihr
liegenden Zellen verhindert, wenn man das Licht senkrecht auf die y,.x-Ebene-bzw.
die Ebene des Rahmens a fallen läßt. Sämtliche Selenzellen oder Photozellen sind
mit Relais r oder Verstärkerrö'hren verbunden., die die Ströme nach Maßgabe der
x-Werte verstärken. Ein Kompensationsstrom, der durch -eine Serie von Stromerzeugern
m hervorgebracht wird, übernimmt die Rolle des Kompensationsmomentes von Beispiel
z. Seine Berechnung erfolgt analog, d. h. unter Benutzung der Gleichung (B), wobei
a gleich Null zu setzen .ist Und b den ,Strom bedeutet, welcher dem Wert x = r zugeordnet
ist. Amperemeter l übernimmt die Rolle .des Zeigers der Waage von Beispiel z. Im
übrigen arbeitet das Instrument analog .demjenigen des Beispiels z. Die Figur behandelt
den Fall, daß acht Wertepaare gegeben sind. Selbstverständlich ist -das Verfahren
und die Vorrichtung nicht auf diese Anzahl beschränkt.
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Auf Kombinationen, die sich aus den vorstehenden Beispielen leicht
ergeben, braucht nicht näher eingegangen zu werden. Beispielsweise kann man die
Relais,des Beispiels 2 statt zu einer abgestuften Verstärkung .der Photoströme auch
dazu benutzen, entsprechend den x-Werten gestaffelte Gewichte wie im Beispiel z
auf eine Waagschale fallen: zu lassen.