DE827125C - Schnellrechenmaschine - Google Patents

Description

• Schnellrechenmaschine Dic Erfindung betrifft eine Schnellrechenmaschine, die eine im System der Basis io gegebene Zahl in ein System von wesentlich kleinerer Basis überträgt, die Rechenoperationen im letzteren System durchführt und das Ergebnis in das System der Basis io zurücküberträgt.
• Es sind bereits Rechenmaschinen, die nach diesem Verfahren arbeiten, bekanntgeworden. Ihr Hauptkennzeichen besteht darin, daß beispielsweise bei Benutzung des Zweiersystems an die Stelle der beim Dezimalsystem notwendigen Ziffernräder mit zehn Stellungen wesentlich einfachere Glieder mit nur zwei Stellungen treten, da im Zweiersystem nur zwei Rechenzeichen vorhanden sind. Hierfür eignen sich besonders Elektromagnete, deren Anker in angezogener und abgefallener Stellung, entsprechend Erregung bzw. Nichterregung des Magnets, dis beiden Rechenzeichen markieren. Auf diese Weise wurde bereits eine Beschleunigung des Rechenvorganges und eine Verringerung des technischen Aufwandes erzielt, jedoch nur in einem beschränkten Ausmaße, da nur Additionen und Multiplikationen durchgeführt worden sind.
• Eine Rechenmaschine für wissenschaftlich-technische Zwecke soll addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, die Quadratwurzel ausziehen und numerische Integrationen und Differentiationen durchführen und schließlich auch Rechnungen mit tabellierten Funktionen (sin, cos.... ) ausführen können. Darüber hinaus wird verlangt, daß diese Operationen in kürzester Zeit und weitestgehend automatisch vollzogen werden. Die Genauigkeit der Rechnungen soll möglichst hoch sein, ohne jedoch den Rechner dadurch zu ermüden. Trotz allem soll der Preis der Maschine so niedrig bleiben, daß der Käuferkreis möglichst weit ausgedehnt wird.
• Es sind bereits Maschinen gebaut worden, die einen großen Teil der skizzierten Forderungen erfüllten, jedoch sind bei ihnen der technische Aufwand und damit auch der Preis der Maschinen immer noch enorm hoch. Die Vermeidung dieser letztgenannten Nachteile ist nur mit radikalen Mitteln möglich; es genügt nicht allein, die technischen Mittel nach wirtschaftlichen Gesichtspunkten bis zur Reife durchzukonstruieren, vielmehr müssen bereits die Rechenverfahren, die den technischen Aufwand der Rechenmaschine entscheidend bestimmen, nach wirtschaftlichen Gesichtspunkten modifiziert werden. Zu diesem Zweck hat man bereits nichtdezimale Zahlensysteme, insbesondere das System mit der Basis 2, verwendet, weil ein besonderes Multiplikator-werk für die Multiplikation entfällt. Bei der vorliegenden Erfindung werden die bei den schriftlichen Rechenverfahren gebräuchlichen Rechenschemata in zweckentsprechender Weise abgewandelt, jedoch unter Benutzung nichtdezimaler Zahlensysteme. Ein derartiges Multiplikationsschema mit Dezimalzahlen hat beispielsweise folgende Gestalt:

  1101-1011

  iloi

  0000

  iloi

  11o1

  1113111

  Es ist nun für die Rechengeschwindigkeit der Rechenmaschine von großer Bedeutung, in welcher Weise die Addition des in obigem Beispiel aus sechzehn Ziffern in vier Zeilen oder sieben Spalten bestehenden Rechenschemas durchgeführt wird. Es gibt vier Möglichkeiten, die sich durch verschieden große Anzahl von Rechenschritten und demgemäß durch verschieden große Rechengeschwindigkeit unterscheiden: a) Man addiert spaltenweise wie beim schriftlichen Rechnen Ziffer nach Ziffer in mindestens sechzehn Rechenschritten; b) man addiert spaltenweise gleichzeitig sämtliche Ziffern je einer der sieben Spalten, von rechts beginnend, unter gleichzeitiger Berücksichtigung etwaiger Übertragungen aus einer Spalte in die nächsthöhere, das ergibt sieben Schritte; c) man addiert zeilenweise gleichzeitig sämtliche Ziffern je einer der vier Zeilen, von oben beginnend, unter gleichzeitiger Berücksichtigung sämtlicher erforderlichen Übertragungen, das ergibt vier Schritte; d) man addiert gleichzeitig sämtliche Ziffern des gesamten Schemas unter gleichzeitiger Berücksichtigung aller etwa erforderlichen Übertragungen, das ergibt einen Schritt.
• Die Rechenmaschine nach der vorliegenden Erfindung gestattet es, das langwierige Verfahren a) außer Betracht zu lassen. Für jedes der drei übrigen Verfahren b), c) und d) werden Lösungswege im folgenden angegeben.
• Höchste Rechengeschwindigkeit und niedrigster technischer Aufwand sind grundsätzlich nicht kompromißlos miteinander vereinbar. Das Verfahren nach c) sichert für nichtvollautomatisch arbeitende Maschirren schon bei Verwendung billiger Fernsprechrelais eine beachtliche Arbeitsgeschwindigkeit. Für Verfahren nach d) empfiehlt sich die Verwendung trägheitsarmer Schaltmittel in mehr oder minder vollautomatisch arbeitenden Maschinen. Rechenmaschinen nach Verfahren d) erfordern dann wieder einen beträchtlichen Aufwand und dürften nur für Ausnahmeleistungen gebaut werden.
• Im folgenden sollen daher Rechenverfahren insbesondere für den Fall b) und für den Fall c) aufgezeigt werden. Allen gemeinsam ist die Tatsache, daß das Rechenwerk ausschließlich Additionen durchzuführen hat. Die übrigen Rechenoperationen einschließlich der Zahlenwandlungen aus dem Dezimalsystem in die nicht dezimalen Systeme und umgekehrt werden ebenfalls auf Folgen von Additionen, die durch ein Steuerwerk gesteuert werden, zurückgeführt. Die Rechnungen nach Verfahren b) werden in eigens für die Zwecke der hrfindung geschaffenen, im folgenden als symmetrische Zahlensysteme bezeichneten Systemen durchgeführt.
• Die Eigentümlichkeit derartiger Systeme besteht in der Verwendung negativer Ziffern (- i, - 2, - 3 ... ) neben den sonst allein üblichen positiven (o, -1- i, 2 ... ). Da besondere Zahlensymbole hierfür bisher nicht gebräuchlich sind, sollen sie hier vorgeschlagen werden. Es wurden mit Rücksicht auf leichte hand-und maschinenschriftliche Schreibung keine neuen Zeichen erfunden, sondern schnell notierbare, kleine lateinische Buchstaben gewählt, nämlich v = -1, S = -2, c = -3 usf. Weiterhin sollen bedeuten: a = Basis des Zahlensystems, c" = :\nzahl der erforderlichen Ziffern im System der Basis a, p" = Anzahl der Potenzstellen, z. B. P", = Zahl der Dezimalstellen, S" = symmetrisches Zahlensystem der Basis a. Allgemein gilt die Beziehung: ioPio = aPn oder p«, .= p" # Log a, Je größer die Basis a, um s_) kleiner ist dann (vorteilhafterweise) die Ziffernstcllenzühl P"; um so größer ist aber (leider)` auch die Anzahl c,L der erforderlichen Ziffern und damit die Anzahl der verschiedenen physikalisch-technischen N'lerkmale, durch welche diese Ziffern verkörpert werden sollen. Für eine optimale Lösung muß daher ein Kompromiß zwischen möglichst kleiner Ziffernzahl c" und möglichst großer Basis a geschlossen werden.
• Wenn bisher kein System S" (mit a > 2) bekannt wurde, welches die gleichen Vorzüge wie das Zweiersystem aufweist, so hat das darin seinen Grund, daß Multiplikationen im Zweiersystem besonders einfach lösbar sind, weil dabei keine Vielfachen (Zwei-, Drei-. . . Neunfachen), sondern nur entweder das Null-oder das Einfache des Multiplikanden zu bilden sind, so daß Multiplikationsaufgaben durch einfach zu steuernde Folgen von Additionen gelöst werden.
• Die s@-mmetrisc,hen Zahlensysteme vorliegender Erfindung, insbesondere das der Basis 3 (S3 ; a = 3) leisten das gleiche, zeichnen sich aber vor dem Zweiersystem durch weitere nützliche Eigenschaften aus. Beispiele und Rechenregeln sollen diese Systeme erläutern.
• i. Jede Zahl ist im System S. darstellbar in der Form Z=Za=nk.ak+nk_l.ak-l+nk_2.ak-2+ ... nl.al+no.ao Die Potenzen a0, a1 ... brauchen nicht notiert zu werden, so daß die Ziffernfolge Zn = nk, nk_1, nk_.= ... n1, n" übrigbleibt, z. B. mit a = io (Dezimalsystem) z=xlo= i.io2+6.iol+5.ioo= i65. Die Ziffern n können sein:

  Systembasis Verwendete Ziffernsymbole

  a n

  2 0,1

  3 v, o,i

  4 v, 0,1, 2

  5 s, v, 0,1, 2

  6 s, v, 0,1, 2, 3

  7 c, s, v, o,1, 2, 3

  2. Zahlenbeispiele im System S3

  S3 Potenzsummendarstellung

  Notierung

  0 0.30 0

  1 1.30 1

  1 v 1.3 1-1.3 0 2

  10 1-3 ' +0.3 0 3

  11 1.3'+1.30 4

  171v +1.32-1.3'--1.30 5

  1 v o + 1 . 32- 1 . 3' + 0 . 30 6

  1v1 +1.3'2-i.3'+1.30 7

  1 0 v +1.32-f-0.31-1.30 8

  100 + 1 -.3 '= + 0.3 ' +0.3 0 9

  ioi +1.3'2+0.3'+i.30 1o

  11v +1#32+1.3'-1#30 ri

  v11 -1.3'2+1.3'+i.30 -5

  vivo -1.33 +1.3'2__1.3'+0.30 -21

  3. Im System S3 sind sechs Grundaufgaben der Addition möglich 0-f-0==0; 0+0+v=v; i+i=iv; i+v=o; v+v---vi.
• 4. Das kleine Einmaleins besteht aus ebenfalls sechs Grundaufgaben der Multiplikation o#0=-0; 0.1---0; 0 #v=0; i.1--1; 1#v=v; v#v=1.
• Die Produkte o,i bzw. v sind einstellig; Potenzübertragungen sind daher nicht erforderlich.
• Im System S, dagegen ist z. B. das Produkt 2 # 2 = 1v zweistellig.
• 5. Alle Zahlen erscheinen äußerlich positiv, denn Vorzeichen -/- bzw. - vor den Zahlen entfallen, weil sie in den Ziffern enthalten sind. Wahrhaft positive Zahlen beginnen mit einer positiven Ziffer (1, 2 ... ), negative mit negativen Ziffern (v, s, c ... ).
• Aus der positiven Zahl z wird die negative -z gewonnen, indem die Ziffern i mit v, 2 mit s, 3 mit c usf. wechselseitig ve: tauscht werden. Positive und negative Zahlen sind nicht wesenhaft verschieden. Sie stehen gleichberechtigt nebeneinander. Dieses Symmetrieverhältnis hat dem symmetrischen Zahlensystem den Namen gegeben.
• Addition und Subtraktion verschmelzen zu einem einzigen Prozeß: der Summation.
• 6. Eine Potenzübertragung, analog der im Dezimalsystem bekannten Zehnerpotenzübertragung, aus der k-ten Potenz ak in die nächsthöhere ak+l wird künftig als Potenzübertragung ersten Grades bezeichnet. Eine Übertragung in die übernächste Potenz ak+2 heißt demnach Potenzübertragung zweiten Grades usf.
• 7. Die Zahl der Ziffern c" eines Systems S. ist c. = a, z. B. c$ = 3, nämlich o,i und v. Zu ihrer Verkörperung in einer Rechenmaschine werden ebenso viele verschiedene physikalische Größen gebraucht. Ihre Zahl läßt sich reduzieren, wenh als weiteres kennzeichnendes Merkmal die Richtung verwendet wird. So genügen z. B. zwei elektrische Feldgrößen 1 ei 1 = o und 1 C-2 1 --* o für die Verkörperung der drei Ziffern v, o und i des Systems S3, indem einander zugeordnet werden: o und I (il I = o, 1 - +1L221>0, v - -1 C-21 < o.
• B. Für die Anwendung ist die Frage von Bedeutung, wie viele Summanden gleichzeitig summiert werden können, ohne daß Potenzübertragungen höheren als ersten Grades vorkommen können. Diese Zahl f ist offenbar abhängig von der Systembasis a und vom Betrage der größten Ziffer des betreffenden Systems. Im Dezimalsystem können beispielsweise elf Summanden 9 -1- 9 -f- . . . + 9 = 99 addiert werden, ohne daß die Hundertergrenze erreicht wird. Dabei ist jedoch zu beachten, daß einer dieser elf Summanden von der Übertragung aus niederen Stellen stammen kann. Es ist also höchstens f = io. Für die Berechnung von f ist die Kenntnis derjenigen Zahl g bzw. g' erforderlich, welche durch eine derartige Summierung gerade noch erreicht werden darf, im Dezimalsystem z. B. die Zahl 99, da bereits 99 + i = ioo dreistellig wird.
• Es bezeichne der Index die Basis a des zu betrachtenden Systems; g' beziehe sich auf normale, g auf symmetrische Zahlensysteme. Dann ergibt sich g'2 = 112 (9'2 + 1 = i002 = 41o) 92 = 112 (g2 + i = i002 = 41o) g'3 = 223 (g', + i = ioo3 = 910) 9s = 1,3 (9s + i = ivvs = 510) g'4 = 334 (9'4 + 1 = 1004 --- 1610) g4 = 224 (94 + 1 = ivv4 = i110) g'5 = 44s (9's -@ 1 = 1O0, = 2510) g5 = 225 (g5 + i = rSS5 = 1310) Bezeichnet ha den Höchstbetrag der Ziffern des Systems S", dann gilt

  Höchstbetrag

  Basis a Ziffern des

  Systems Sa ha I ga f - °" -

  hn

  I

  2 O, I I 3 1'I 2

  3 v, o, 1 I 4 3

  4 V, o, 1, 2 2 io 4

  5 S, 9l, 0, 1, 2 2 12 5

  Es ist also die Zahl f der Summanden, welche ohne Potenzübertragung höheren als ersten Grades summierbar sind, gleich der Basis a: f =a.
• So lassen sich z. B. in einem symmetrischen Dreiersystem S3 bzw. Fünfersystem S,, in einem einzigen Arbeitsschritt mit gleichzeitiger Berücksichtigung aller erforderlichen Potenzübertragungen (ersten Grades) Summen der Form b = b, -f- b2 + b3 bzw. = b, -f - b, + b3 + b, -i- b; bilden.
• Künftig beschränkt sich die Beschreibung der Einfachheit halber auf die Systeme S3 und S;.
• Die hinsichtlich der Potenzübertragungen ungünstigsten Verhältnisse bei Mehrfachsummierungen zeigen folgende Schemata:

  S, S>

  ... ZIIII ... 22222

  -j- ... IIIII -f- ... 22222

  -f- ... ZIIII + ... 22222

  IIIIO + ... 22222

  ... 22222

  = ... 22220

  g. Die symmetrischen Zahlensysteme haben besondere Bedeutung für ein Verfahren, bei welchem ein ganzes Multiplikationsschema in einem einzigen Arbeitsschritt (Verfahrend) verarbeitet wird. Die zugrunde liegenden Rechenschemata haben folgende Gestalt

  . . . IIIII # III ... 22222 # 11111

  ... ZZIII ... 22222

  . IIIIII -@ ... 222222

  . IIIZIIZ + ... 2222222

  _ -f- ... 22222222

  -f- ... 222222222

  Der Multiplikator in. = iii enthält bereits den ungünstigsten Fall, weil er drei Ziffern des Höchstbetrages h" = i enthält. Sobald m3 > iii, muß mit dem Auftreten von Potenzübertragungen zweiten Grades gerechnet werden.
• Für ira1 = iiiii ist dies jedoch nicht der Fall, da h; = z. Bei dem \-iel kleineren (nur dreistelligen) Faktor na, = 222 beispielsweise sind Übertragungen zweiten Grades nicht ausgeschlossen, wenn man die Verdoppelungen in der Weise löst, daß man zweimalige Addition des gleichen Summanden vorsieht.
• Dann nimmt das Schema folgende Gestalt an:

  . . . 222 # 222

  ... 222

  ... 222

  .... 122

  +- .... 222

  -f - ..... 2'2'2,

  ..... 222

  Es enthält sechs Summanden, also einen zuviel, um Potenzübertragungen zweiten Grades mit Sicherheit auszuschließen.
• Maßgebend hierfür ist demnach nicht die Größe (der Zahlenwert) des Faktors in, sondern die Quersumme q,, seiner Ziffern, welche nicht größer als sein darf.
• Andernfalls wird die Multiplikation in mehreren Teilschritten erledigt, indem stets gerade so viele Ziffern von m; verwendet werden, daß die Teilquersumme t,, der so verwendeten Ziffern den Betrag 5 nicht übersteigt. Mit Berücksichtigung, daß v = -i, S = -2, ergibt sich z. B. die Quersumme q, von m5=221oSV22 zu q; =6.
• Die Multiplikation mit m; ist daher in zwei Teilschritten möglich, z. B. mit m5(1)=2210 SV20 t;,@1@=4<5 und m6(2)=00000002 t,-,@_@---2<5. Für das Dreiersystem S.; gilt entsprechend q3 = 3.
• io. So läßt sich jetzt die Frage beantworten, in wieviel Teilschritte r die >Vlultiplikatiori mit einem beispielsweisen P", = achtdezimalstelligen Faktor ungünstigstenfalls zerlegt werden inuß, damit Potenzübertragungen zweiten Grades vermieden werden, so daß in einer Rechenmaschine hierfür keine Organe vorgesehen werden müssen.
• Es ist die Zahl der Dreierstellen Es ist die Zahl der Fünferstellen Größtmögliche Quersumme q3 - p:5 ' h3 - 1 % . 1 - 1'7.
• Größtmögliche Quersumme q5 = p5 , h, = 12 . 2 = 24, Mit den Teilquersummen t.; = 3 bzw. t; = 5 ergibt sich aber y nicht einfach zu r = q : t, sondern es ist ;u beachten, daß ja das inzwischen ermittelte Teilprodukt seinerseits als einer der zulässigen Summanden zu zählen ist, wodurch deren Anzahl sich auf t- i vermindert, außer beim ersten Schritt, so daß q - i an die Stelle von q tritt. i i. Sollen jedoch auch Potenzübertragungen zweiten Grades zugelassen sein, dann ist die zulässige Quersumme Q der verwendbaren Multiplikatoren erheblich größer. Sie ergibt sich aus der kleinsten vierstelligen Zahl k3 bzw. k; k3=IVVV=14,o k5=isss=63",. Der Index io soll darauf hinweisen, daß die mit ihm gekennzeichneten Zahlen als Dezimalzahlen zu lesen sind.
• Q3 bzw. Q5 dürfen demnach mit Einschluß etwaiger Beiträge aus Potenzübertragungen ersten und zweiten Grades nicht größer als Q3 = k3 - i = 13 bzw. Q5 = k5 - i = 62 sein. Diese Beiträge betragen höchstens je i (in S3) bzw. je 2 (in S.), so daß der Gesamtbeitrag sich auf höchstens 2 bzw. 4 beläuft. Die zulässigen Quersummen Q3 bzw. Q., reduzieren sich damit auf Q,= 13-2 -- I I und Q5 =62-4=58. Die Anzahl G der gleichzeitig summierbaren Summanden beläuft sich demnach auf G3 ist zugleich die höchstzulässige Stellenzahl des Faktors ms, während die Stellenzahl m, sich aus G, zu 29: 2 = 15 ergibt, weil bei Verdoppelungen gewisse Summanden zweimal zu zählen sind. So läßt sich nun die Zahlengrenze m3 bzw. m; berechnen, bis zu welcher alle Faktoren m = m3 bzw. m; der Bedingung genügen, daß Potenzübertragungen höchstens zweiten Grades auftreten. Diese Zahlen sind und das bedeutet: die Multiplikation mit fünf- bzw. zehndezimalstelligen Zahlen erfolgt im symmetrischen Dreier- bzw. Fünfersystem ohne Potenzübertragungen dritten oder höheren Grades.
• Die vorliegende Erfindung nutzt diese Erkenntnisse für eine Rechenmaschine mit Mehrfachsummierung und Schnellmultiplikation aus.
• Insbesondere das Dreiersystem weist folgende Vorzüge auf: i. geringere Stellenzahl (p3) als im Zweiersystem (P1), 2. ebenso wie im Zweiersystem keine Vervielfachungen bei Multiplikationen erforderlich (h, = h3 = 1), 3. positive und negative Zahlen vollkommen gleichwertig, 4. einfachere Vorzeichenanzeige als im Zweiersystem, 5. Addition und Subtraktion sind gleichartige Prozesse (Summation), 6. Mehrfachsummierung (± b1 ± b2 _# b; = ... ) mit Dreierpotenzübertragung höchstens ersten Grades, 7. verkürztes Multiplikationsverfahren, indem je zwei Zeilen des :Multiplikationsschemas gleichzeitig summiert werden mit gjeichzeitiger Berücksichtigung der notwendigen Potenzübertragungen ersten Grades, B. Schnellverfahren für Multiplikationen mit beliebig großen Multiplikanden und höchstens fünfdezimalstelligen Multiplikatoren in einem einzigen Arbeitsschritt mit Berücksichtigung der notwendigen Potenzübertragungen ersten und zweiten Grades.
• Die Zahl der Summanden läßt sich beliebig erhöhen bis zum Falle c), wenn alle erforderlichen Potenzübertragungen, auch die höheren als ersten Grades, gleichzeitig mit dem eigentlichen Summationsprozeß berücksichtigt werden. Wie die Erweiterung der Schaltung des Rechenwerks für diese Verhältnisse vorzunehmen ist, läßt sich aus den mathematischen Bedingungen leicht ablesen.
• Die Schaltung wird aber schon bei der Berücksichtigung der Potenzübertragungen zweiten Grades ziemlich verwickelt und daher in der konstruktiven Verwirklichung teuer, so daß ein Verzicht auf die strikte Innehaltung des Gleichzeitigkeitsprinzips vorteilhaft sein kann.
• Zu diesem Zweck schließt man entweder den Prozeß der Potenzübertragung an den eigentlichen Summationsprozeß an, oder man summiert jeweils eine ganze Spalte, anstatt über eine ganze Zeile des Multiplikationsschemas.
• Es braucht dann nicht für jede einzelne Potenzstelle ein eigenes Resultataufnahmeorgan, z. B. Relais, vorgesehen zu werden (räumliche Trennung!), sondern ein einziges derartiges Organ nimmt nacheinander (zeitliche Trennung!) die Summationsresultate je einer Spalte auf, so wie ein Rechner beim schriftlichen Rechnen spaltenweise über das Schema addiert und die Spaltenergebnisse fixiert. Ein solcher Verzicht auf äußerste Schnelligkeit ist z. B. tragbar, wenn die Einzelvorgänge so rasch erfolgen, daB auch eine zeitliche Folge mehrerer Summationsprozesse noch in sehr kurzen Zeiten durchführbar bleibt, und er empfiehlt sich aus ökonomischen Gründen insbesondere bei Verwendung trägheitslos arbeitender, aber meist kostspieligerer Schaltmittel, die aus der Fernsprech-, Tonfilm-, Rundfunk- und Verstärkertechnik usw. bekannt sind.
• So lassen sich z. B. die Summanden durch elektrische oder' magnetische Felder realisieren, deren Überlagerung der Summe dieser Summanden entspricht.
• Die Größe der Ablenkung eines Elektronenstrahls, welcher dieses Überlagerungsfeld durchläuft, ist ein Maß für die Summierung einer (senkrechten) Spalte des Multiplikationsschemas. Dies Ergebnis ist zwecks weiterer Verrechnung wiederum in eine Feldgröße umzuwandeln oder aber zu fixieren, z. B. in molekularen oder atomaren, von magnetischen Feldern beeinflußten Schaltern (Magnettonverfahren) oder als Nachleuchterscheinungen angeregter Atome mit sehr kurzen Abklingzeiten o. dgl.
• Es erübrigt sich, besondere Verfahren für das Dividieren und das Radizieren zu entwickeln oder der schriftlichen Rechnung analog Rechenschemata nachzubilden, wenn die Multiplikationen extrem schnell lösbar sind. Dann genügt es, den Quotienten bzw. die Quadratwurzel probierend schrittweise Ziffer für Ziffer aufzubauen.
• Der Quotient c der Aufgabe a : b = c, z. B. IVIOVVOVO:IIVVO=IVOVI wird allmählich über schrittweise verbesserte Näherungslösungen cl, c2, c3 ... aufgebaut. Die Maschine bildet zu diesem Zweck die Produkte c, # b, cz # b ... und vergleicht sie mit dem Dividenden a; sie geht dabei grundsätzlich von der größten, ausschließlich aus Einsen gebildeten Zahl cl aus.
• cl = I I I I I cl # b = I I I I I # b > a c2=10111 c2#b=ioiii#b>a c3=IV111 cs#b=iviii#b>a. Alle Näherungswerte sind zu groß. c3 liegt daher dem wahren Wert c am nächsten. Die Ziffern i v ... sind demnach als gültig befunden. Ziffer i an der dritten Stelle ist (wegen c3 # b > a) gewiß zu groß und wird daher probeweise zunächst durch o und dann durch v ersetzt.
• cl =1V011 cz.b=ivoii#b>a cG=IVVII cs.b=ivvii-b<a, cG ist demnach zu klein. Ziffer v an dritter Stelle ist zu klein. Es muß o gelten : i v o.
• c6=IVOO1 C6#b=ivooi.b>a c7=IVOVI c7#b=ivovi#b=a. Damit ist die Division gelöst.
• Sinngemäß verläuft die probierende Ermittlung von Quadratwurzeln.
• Das Zweiersystem hat vor dem symmetrischen Dreiersystem den Vorzug voraus, nur zwei statt drei physikalisch verschiedene Zustandsgrößen für die Verkörperung der beiden Ziffern i und o zu benötigen, z. B. Stromfloß durch elektromagnetisches Relais und Stromlosigkeit des Relais.
• Zur Erleichterung des Verständnisses des Folgenden wird eine kurze Einführung in das Rechnen mit Zweierzahlen vorausgeschickt.
• Im Dezimalsystem bedeutet die Folge der Ziffern 6307 eine Zahl, die ausführlicher geschrieben 6.io3+3#IO-+0#io' +7#10° lautet. Nur zur Vereinfachung der Schreibung läßt man die neben die Vorzahlen 6, 3, 0, 7 geschriebenen Zehnerpotenzen fort. Das Dezimalsystem zeichnet sich dadurch aus, daß alle Einheiten höherer Ordnung (Zehner, Hunderter, Tausender usf.) sich ausschließlich auf der Zahl io aufbauen. Grundsätzlich können statt mit io auch mit anderen Zahlen Zahlensysteme ebenso konsequent aufgebaut werden, z. B. mit der Zahl 2. Alle Zahlen Z werden dann nicht mehr als Summen von Zehnerpotenzen dargestellt, sondern als Summen von Zweierpotenzen: Z = a, # 2° + a1 # 21 + a:" # 2. . , wobei die Vorzahlen a., a1 , a-. . entsprechend dem Zweiersystem entweder o oder i sein müssen. Zwecks vereinfachter Schreibweise wird die Angabe der Zweierpotenzen neben den Vorzahlen ö oder i unterlassen, so wie das im Dezimalsystem üblich ist. Statt I # 21 + o # 2° genügt es zu schreiben i o. Allerdings muß unmißverständlich vereinbart sein, in welchem Zahlensystem die Zahl notiert ist.

  Beispiele

  Dezi- #

  mal- Zweier- @u,führlichc Schreilnvrise

  zahl zahl

  I I I,21

  2 IO* 1.21+0.20

  3 11 1-21+ 1.2o

  ioo I-2`+0#21+0#2°

  I0 IOiO 1.23+0.2-+I.2'+0.20

  45 101101 1#2'+0#211-1#23+I#2- '-, 0.2'-a-1 .2u

  * lies: Eins- --Null, nicht etwa Zehn.

  Im Zweiersystem gibt es nur zwei Ziffern o und I. Dafür sind aber die Zahlenausdrücke etwa dreimal so lang wie im Dezimalsystem, cl. 1i. die Stellenzahl ist etwa dreimal so groß. Wählend die dezimale Rechnung erst beim Überschreiten der Zahl g eine Potenzübertragung (Zehnerübertragung) in die nächst höhere Dekade verlangt, z. B. 17 +- b == 25, ist das im Zweiersystem bereits beine Überschreiten der Zahl i erforderlich

  II= 1.21 +1 .2

  + 01 = 0.2t -- I 211

  100 = I # 2" -f- 0-2' + 0-2"

  Im Zweiersystem gibt es @in, vier Additionsgrundaufgaben, statt deren hundert ein Dezimalsystem: 0-E-0 =0,0 +I=1,1+o=1,1 4-1 -10 Auch das kleine Einmaleins besteht aus nur vier Aufgaben: o.o=O,o.1=0,1.o--=o,i.r--I Das Ergebnis ist also entweder o oder i. Das ist für die Konstruktion einer Rechenmaschine, die nach dem Zweiersystem arbeitet, von hervorragender Wichtigkeit.
• Im Zweiersystem sind 3lultiplikationen mit Zweierpotenzen (21 = io, 2` = ioo... ) ebenso einfach wie im Dezimalsystem die 7\1illtiplihatioli der Zehnerpotenzen (iol = io, io" -- ioo, iJ -= i ooo. . . ). Es werden nur Nullen angehängt. Bei der Division werden dementsprechend Stellen abgestrichen: ioi : io _ io,i; ins Dezimalsystem übertragen lautet diese Aufgabe 5:2 = 2,5.
• Beim Subtrahieren im Zweicrsvstcnz darf man nicht außer acht lassen, daß io - i = i, nicht etwa = g, ist! Also

  ioii ioii

  - Iooi aber - 0101

  ooio olio

  Für das schriftliche Multiplizieren, Dividieren und Wurzelziehen gelten im Zweiersystem ähnliche Schemata wie im Dezimalsystem:

  i0ii . ioi

  ioii

  0000

  -j- i o i i

  iioiii

  ioioioo : iooi = iooi Rest ii

  - iooi

  o00iioo

  -000 100l

  11

  ('10i10100 = iioi Rest 1o11

  - ioooooo - all (a, = looo)

  iiioloo

  - 1000000 - 2a, b, (b, = 100; 2a, b, = 10 # 10o0 # 100)

  I10100

  - 10o00 -- I)1

  1c)0100

  0 - 2a.,b., (a.: = a, @- b, - iioo; bz = o, denn bz = io wäre zu groß)

  100100

  iiooo -2a.,b;, (a. = a, + b1 + b_, = iioo; b3 = i)

  1100

  - i

  i011

  Iln Dezimalsystem können die Verbesserungszuschläge b jeweils eine der zehn Zahlen o,i ... 9 sein. Im Zweiersystem ist die Ermittlung des anzubringenden Verbesserungszuschlages b einfacher, da nur i oder o in Frage kommt. Es ist also nur zu probieren, ob b = i brauchbar ist, sonst ist sicherlich b=o.
• Unter einer Komplementärzahl Z' einer Zahl Z versteht man diejenige Zahl, die zu Z addiert eine reine Zehnerpotenz ergibt; z. B. ist 184 die dreistellige Komplementärzahl zu 816, denn Si6 -1- 184 = 1000 = 103. Komplementärzahlen schlechthin gibt es nicht. Sie sind erst definiert, wenn die zugehörige Potenz p (i03) und damit die Stellenzahl festgelegt ist.
• Analog hierzu können auch im Zweiersystem Komplementärzahlen gebildet werden: z.B. ist oioii die fünfstellige Komplementärzahl zu ioioi, denn ioioi oioii = iooooo -= 2'. Die Bildung der Komplementärzahlen ist im Zweiersystem besonders einfach. Es ist nur nötig, jede o durch i und jede i durch eine o zu ersetzen und hierzu + i zu addieren, wie sich allgemein beweisen und an obigem Beispiel leicht nachprüfen läß:. Unterläßt man die abschließende Addition -; i, so werden durch die bloße Vertauschung der Ziffern i cnd o Ergänzungszahlen Z* gebildet, die für die Erstellung einer Rechenmaschine noch brauchbarer sind als die oben definierten Komplementärzahlen Z'.
• Beispiele:

  p --- 4

  Z Z' Z*

  101o oliO Oioi

  lloi OOli 0010

  1000 1000 oili

  0100 1f00 ioli

  Man bilde Z + Z*. Stets ergibt sich Z + Z* = 2v-i, z.B. mit P=4 ergibt Z -f- Z* =24-i = ioooo - 1 = iiii.

  p=6

  Z Z' Z*

  ooioio iiolio iioioi

  ooiioi iiooli 1100Z0

  00i000 iiiooo liolli

  00010o iiiioo ilioil

  d.h. die Stellenzahl von Z wird durch Vorsetzen zweier Nullen, die von Z' und Z* durch Vorsetzen je zweier Einsen von p = 4 zuf p = 6 Stellen erweitert. Für p = --,x, wäre nur zu berücksichtigen, daß vor und hinter den Zahlen Z co viele Nullen zu schreiben wären, die bei Z* durch coviele Einsen zu ersetzen wären.
• Unter dieser Voraussetzung kann man dann auch von Ergänzungszahlen schlechthin sprechen, weil es sich erübrigt, p = aD besonders zu erwähnen und alle x; vielen Nullen bzw. Einsen zu schreiben.
• Auch im Zweiersystem lassen sich alle Rechenprozesse, d. h. die Systemwandlung vom Dezimalins Arbeitssystem und umgekehrt, das Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren und Radizieren sowie, falls erwünscht, auch das numerische Integrieren und Differentiieren so steuern, daß das Rechenwerk ausschließlich Additionsprozesse durchführen muß.
• Daß dies tatsächlich möglich ist, sollen Beispiele zeigen Die Subtraktionsaufgabe a - z kann auf zweierlei Art auf Additionsprozesse zurückgeführt werden i. Es wird die Komplementärzahl z' nach der Definitionsgleichung z'+x=2p gebildet. Darin bedeutet P die Anzahl der Zweierpotenzstellen der Maschine, z. B. bei n = 3 Dezimalstellen müssen P = Io Zweierpotenzstellen vorgesehen sein.
• Es wird dann aus der Aufgabe a-z=a-(2P-z') = a + Z'- 2P die einfachere Aufgabe a + z'; denn die nur p-stellig arbeitende Maschine unterdrückt von selbst den abzuziehenden Betrag 2P, der an (p + I)-ter Stelle erscheinen würde.
• Diese Art der Subtraktion ist aber nur durchführbar, wenn die Komplementärzahlen von vornherein konstruktiv in geeigneten Schaltelementen der Maschine niedergelegt werden können, wenn z. B. die zu subtrahierende Zahl Ziffer für Ziffer in die Maschine getastet wird; handelt es sich jedoch darum, eine im Verlauf der Rechnung sich ergebende, im Zweiersystem erscheinende Zahl von einer anderen zu subtrahieren, ohne daß eine Umrechnung ins Dezimalsystem vorgenommen und der Subtrahend erneut in die Maschine getastet werden soll, dann ist das geschilderte Subtraktionsverfahren nicht anwendbar. Da führt dann folgender Weg eleganter zum Ziel 2. jeder Zahl x entspricht eine Ergänzungszahl z*, die aus z dadurch hervorgeht, daß man Nullen durch Einsen ersetzt und umgekehrt.
• Man schreibt also z. B. z* = oioo statt z = IOI I. Die Zahl z* ist definiert durch die Gleichung z*+z=2P-I, worin p wieder die Anzahl der in der Maschine angelegten Zweierpotenzstellen angibt.
• Die Komplementärzahl z' unterscheidet sich also von der Ergänzungszahl z* nur um den konstanten Betrag x'-z* = I. Es gilt nun a-z = a- (2P- I) -1- z* = a + z* A- I - 2P. Der Betrag 2P wird von der Maschine selbsttätig unterdrückt, sofern nur dafür gesorgt ist, daß zu jeder Zahl z, die in der Maschine eingestellt ist, von selbst auch z* mit eingestellt wird, und das läßt sich z. B. leicht durch Verwendung von Umschaltekontakten erreichen, bei denen stets ein Kontakt geschlossen und der andere geöffnet ist, dann besteht die Subtraktion a - z aus den zwei Additionen a + z* und (a + z*) + I.
• Die Multiplikation vollzieht sich nach dem Schema

  IOII # IOI

  IOII

  0000

  IOII

  und besteht aus einer Folge eigentümlich gesteuerter Additionsprozesse.
• Das Quadrieren stellt nur einen Sonderfall hiervon dar.
• Die Division erfolgt nach folgendem Schema

  IOIIIIO:IOIO = IOOI Rest I00

  _i010

  IIIo

  - IOIo

  Ioo

  Die Rechnung besteht also in einer Folge von Subtraktionen, die nach dem Befund gewisser Prüfungen, die die Maschine vollziehen muß, gesteuert werden. Die Prüfungsbefunde werden von der Maschine in geeigneter Form als das gesuchte Rechenresultat fixiert. Die Subtraktionen aber sind ja auf Addition zurückzuführen.
• Das Ausziehen der zweiten Wurzel erfolgt im Zweiersystem nach dem Rechenschema der Tafel 2 (s. auch S. 7). Außer gewissen Prüf- und Registriervorgängen besteht die eigentliche Rechnung, die vom Rechenwerk bewältigt werden muß, ausschließlich aus Subtraktionen, denn die Bildung der Produkte a2, -- 2 ab bzw. - b2 ist, wie sich später zeigen wird, ohne j eglichen Rechenvorgang ausschließlich durch besonders ausgebildete Steuerung möglich. Damit sind für alle vier Grundrechnungsarten sowie für das Quadrieren und Radizieren zweiten Grades Rechenschemata gefunden, in denen nur additive Rechenprozesse vorkommen.
• Auch die Umwandlung dezimaler Zahlen in nichtdezimale und umgekehrt ist durch eine Folge von Additionen lösbar. Fig. 5 zeigt eine Darstellung der Zehnerpotenzen io", Io', I0'= als Summen von Zweierpotenzen, z. B.
• I00=I02=0#2'+0#2'"'+0#2'+I#2tc+I-2' 0.24+0.2+I.2=+0#21 -0.2o. Außerdem sind die ganzzahligen Vielfachen dieser Potenzen als Zweierpotenzsummen dargestellt. Die Verwandlung z. B. der dreistelligen Dezimalzahl 358 erfolgt nun in der Weise, daß ein rotierendes Organ nacheinander die Zweierpotenzsummendarstellung der Zahlen 3 # 102 = 300, 5 . 10' = 50 und schließlich 8. Io° = 8 einem addierenden Rechenwerk R W anbietet, so daß als Ergebnis die Zweierpotenzsummendarstellung der Zahl 300 + 50 + 8 = 358 im Rechenwerk aufgebaut wird. Das ist an sich bekannt. Neu dagegen ist das Verfahren, sämtliche Ziffern einer Zeile in einem einzigen Arbeitsschritt unter gleichzeitiger Berücksichtigung aller etwa erforderlichen Potenzübertragungen zu verrechnen. Bei der Rückwandlung aus dem Zweiersystem ins Dezimalsystem wird umgekehrt die zu verwandelnde Zahl schrittweise bis auf den Betrag o abgebaut, indem dem Rechenwerk nacheinander, mit der größten Zahl beginnend, sämtliche in Fig. 5 skizzierten Zweierpotenzsummen der Zehnerpotenzen und ihrer ganzzahligen Vielfachen zur Subtraktion probeweise angeboten werden. Ein später zu beschreibendes Prüforgan P (Fig. i) entscheidet darüber, welche der zur Subtraktion angebotenen Zahlen tatsächlich subtrahiert werden sollen, nämlich z. B. die Zahlen 300, 50 und B. Nach Durchführung dieser Subtraktionen ist die zu verwandelnde Zahl auf Null abgebaut. Ein Registrier-oder Anzeigewerk AW (Fig. I) hält die Ziffernfolge 358 als Umwandlungsergebnis fest. Die Subtraktionen erfolgen nach dem früher Gesagten natürlich als eine Folge von Additionen.
• Numerische Integrationen und Differentiationen sind als Folgen von Operationen in den Grundrechnungsarten darstellbar. So ist es dann tatsächlich möglich, eine Rechenmaschine zu bauen, deren eigentliches Rechenwerk ausschließlich Additionsprozesse durchführen muß, und das daher technisch verhältnismäßig einfach gestaltet sein kann. Außer den Additionsvorgängen spielen sich im Verlaufe der Rechnung Steuer-, Registrier- und Prüfungsvorgänge ab.
• Bei den angegebenen Rechenschemata für das Dividieren und Radizieren i#.;t es nun unangenehm, daß für die Prüfvorgänge gewisse Zahlen z selbst, für die Rechenvorgänge dagegen Ergänzungszahlen z* realisiert sein müssen. Der hierfür erforderliche technische Bauaufwand wird gespart, wenn man den Divisionsprozeß nach folgendem abgewandelten Rechenschema durchführt, so daß nur eine der beiden Zahlen realisiert werden muß.
• Es bedeutet a* die p-stellige Ergänzungszahl von a, d. h. es gilt I. a*+a=2P-I.
• Ferner bedeute y eine Näherungslösung der Aufgabe a : b = x, d. h. es sei 2. y::9 x eine ganze Zahl. Daraus folgt die Beziehung 3. a*+y.b52P-I<2P. Diese Ungleichung wählen wir als Grundlage für die vom Prüforgan P (Fig. I) zu vollziehenden Prüfungen, deren Befunde als Resultat der Aufgabe a : b = x registriert werden sollen.
• Sie sagt aus: Es ist zur Zahl a* so oft der Divisor b zu addieren, daß die Summe gerade noch kleiner bleibt als 2P. Die Anzahl der Additionen ist dann das Näherungsresultat y der Aufgabe a : b = y plus einem verbleibenden Rest, die beide zu registrieren sind. Ein für die (p + I)-te Zweierpotenzstelle 2p vorgesehenes Prüforgan (Relais o. dgl.) steuert diese Additionsprozesse. Das Rechenschema, welches die Maschine realisieren soll; nimmt dann die Gestalt an, die die Tafel 3 zeigt.
• Der Vorzug gegenüber dem ursprünglichen Schema liegt darin, daß sowohl für den Prüf- als auch für den Rechenvorgang mir der Divisor b selbst realisiert werden muß und ferner, daß die Additionen + I nicht mehr nötig sind. Nur einmal wird eine Zahl, nämlich der Dividend a, in seine Ergänzungszahl a* übergeführt.
• Auch für das Radizieren läßt sich ein sinngemäß umgestaltetes Rechenschema angeben. Hierzu wird der Radikand x der Aufgabe y = I 'x- in seine p-stellige Ergänzungszahl x* übergeführt und die Größen a2, 2 a b bzw. b2 selbst addiert entsprechend dem Prüfungsbefund des Prüforgans. Die Prüfbedingung lautet auch hier, daß die Summenbildungsprozesse nur so lange zulässig sind, wie die Summe kleiner als 2P bleibt. Die beiden Additionen + 2 a b ,und b2 lassen sich gleichzeitig in einem Schritt durch Addieren von sich leicht technisch realisieren (Schaltplan Fig. 16 erledigen. Derartige Ausdrücke lassen und 17, Schalter IV und W), ohne daß das Rechenwerk hierfür in Anspruch genommen werden müßte.
• Die Additionen sind so lange fortzusetzen, bis die p-stellige Zahl 2P - I = III ... I möglichst weitgehend erreicht ist.
• Prüfvorgänge haben vor jedem solchen Schritt zu entscheiden, ob diese Zahl durch die vorbereitete Addition überschritten werden würde, zutreffendenfalls gilt für den Verbesserungszuschlag b ,die Ziffer o, wenn nicht, gilt die Ziffer i. Bei der Bildung der Ausdrücke darf von vornherein mit der Gültigkeit der Ziffer i gerechnet werden. Selbst wenn sich das durch den Prüfvorgang als nicht gerechtfertigt herausstellen sollte, daß also b = o gelten muß und daher nur addiert werden darf, so wird diese Bedingung ja dadurch erfüllt, daß schon das Prüforgan die mit Ziffer I vorbereitete unzulässige Addition verhindert.
• Das Rechenschema nimmt dann die Gestalt der Tafel 4 an. Aus ihr folgt, daß die Maschine folgende Prozesse erledigen muß: i. Bildung der Ergänzungszahl x* und der Ausdrücke Prüfen der Zulässigkeit der Additionsprozesse +'a2 bzw. gemäß der Prüfbedingung, 3. Durchführung der Addition, 4. ihre Registrierung.
• In den meisten Fällen wird ein Rest R verbleiben, der sich bequem zur Steigerung der Rechengenauigkeit verwerten läßt. Dieser Betrachtung sei beispielsweise eine mit acht Dezimalstellen arbeitende Rechenmaschine zugrunde gelegt.
• Die von der Rechenmaschine nur vierstellig angezeigte Näherungslösung y1 der Gleichung y = yx kann sich von der wahren Wurzel y nur um weniger als eine Einheit der letzten Dezimale unterscheiden: Y-Y1 ='Y1 < I, also y2 = x = (y1 + JY1)2 =Y12+2y1VY1+4y12<y12C+2y1JY1+I.
• Im Rechenwerk der Maschine steckt noch die Ergänzungszahl des Restes R = Y2-Y12 = x-Y12 =2 Y14 Y1 4- dY12<2y14y1+I'#-- 2Y1dy1. Vernachlässigt man d y12 < I wegen seiner Geringfügigkeit gegenüber y1, welches stets größer als 103 angenommen werden darf, weil man zweckmäßig alle, auch ein- und zweistellige Zahlen, sieben- oder achtstellig tasten wird, damit das Ergebnis vierstellig ausfalle, so folgt daraus durch einen mit der Maschine oder auch mit dem Rechenstab schnell ausführbaren Divisionsprozeß ein Verbesserungszuschlag d y1 zur vierstelligen Wurzel um weitere drei gültige Dezimalstellen; denn der Fehler d y2, welcher durch die Vernachlässigung der Größe d y12 < I in die Rechnung gelangte, ist d. h. er beträgt weniger als eine halbe Einheit der dritten Dezimale. Auf diese Weise ist die Genauigkeit der Wurzel auf sieben gültige Stellen gesteigert.
• Auch der beim Dividieren im Rechenwerk verbleibende Rest (Tafel 3, Zeile 16) kann für eine Erhöhung der Stellenzahl des Quotienten verwertet werden; das erfordert aber besondere Aufmerksamkeit und zusätzliche Bedienungsgriffe des Rechners. Die Stellenzahl von Produkten dagegen läßt sich nur durch konstruktive Maßnahmen erhöhen.
• Bei dem vorher beschriebenen Verfahren c) werden die erforderlichen Additionen zeilenweise in einem einzigen Arbeitsschritt unter gleichzeitiger Berücksichtigung aller etwa erforderlichen Zweierpotenzübertragungen ausgeführt. Für die Aufgabe a + b = c wären also je ein Aufnahmeorgan, z. B. je eine Gruppe elektromagnetischer Relais R', S und R, für die beiden Summanden a und b sowie eines für das Resultat c erforderlich. Es ist nun ein wichtiger Erfindungsgedanke, unter Ausnutzung der Abfallverzögerung beispielsweise elektromagnetischer Relais ein besonderes drittes Aufnahmeorgan für das Resultat c einzusparen, indem das Resultat c selbsttätig den ersten Summanden a in seinem Aufnahmeorgan (Relaisgruppe) löscht und sich an dessen Stelle setzt, während der zweite Summand b gelöscht und durch Null ersetzt wird, so daß jetzt die stabile Additionsaufgabe c -f- o = c bis zu einer beabsichtigten Veränderung des zweiten Summanden vom Rechenwerk gehalten wird. Der Erfolg dieses Verfahrens ist einmal der, daß das jeweilige Zwischenresultat c sofort, d. h. ohne einen weiteren Rechenschritt, also ohne Zeitverlust, zur weiteren Verwendung bereit ist, zum andern, daß der technische Aufwand für das Rechenwerk von drei auf nur zwei Relaisgruppen (R und S) vermindert wird. Das jeweilige Resultat c fungiert also im gleichen Augenblick, in welchem es gebildet wurde, als neuer erster Summand des nachfolgenden Additionsprozesses.
• Man erkennt, daß notwendigerweise die Stellenzahl des Resultats die gleiche sein muß wie die der eingegebenen Summanden.
• Betrachtet man dagegen die der Multiplikation, der Division und der Radizierung zugrunde gelegten Rechenschemata, dann erkennt man in diesem Zusammenhang die auf den ersten Blick bedauerliche Tatsache, daß die Stellenzahlen der Operatoren hierin keineswegs, und zwar grundsätzlich niemals, unter sich und mit der des Resultats übereinstimmen. Das würde aber bedeuten, daß das Rechenwerk einer Rechenmaschine, welches das Produkt n-stelliger Faktoren bilden soll, mit Rücksicht auf die Genauigkeit des Produktes mit 2 n Stellen ausgerüstet werden müßte, oder, wenn Quadratwurzeln mit n Stellen genau ermittelt werden sollen, müßten die Radikanden mit 2 n Stellen eingegeben werden können. Ähnliches gilt für die Division. So bleibt denn, da ja im Rechenwerk ein Unterschied zwischen Summanden und Resultat nach dem oben Gesagten nicht mehr besteht, entweder bei der Zahleneingabe (Multiplikation) oder bei der Angabe des Resultats (Division und Radizierung) etwa die Hälfte des technischen Aufwandes ungenutzt. In Tafel 3 sind z. B. die Repräsentanten der Spalten 3o bis 35 völlig überflüssig. Sie können trotzdem aber nicht forfgelassen werden, weil sie bei anderen Divisionsaufgaben in Funktion treten könnten.
• Es liegt daher nahe, zu versuchen, die Rechenschemata dergestalt abzuwandeln, daß alle installierten Schaltmittel auch tatsächlich gebraucht werden und nicht zur Hälfte brachliegen. Das führt zu folgenden Erfindungsgedanken: Das Multiplikationsschema (z. B. der Aufgabe iioi # ioii = ioooi iii) wird in zwei Teile zerlegt : ,

  iiol

  ooo#o

  II';oI

  i@ioi

  Der rechte, hinsichtlich seines Zahlenwertes minder bedeutende Teil wird zuerst summiert. Dabei erhebt sich die Frage, aus wieviel Ziffern die Summe ß dieses rechten Teils höchstens bestehen kann, mit anderen Worten, wie viele Ziffern dieser Summe durch die Potenzübertragungen über den Trennungsstrich hinweg in den linken Teil eintreten können. Das Schema besteht aus p Zeilen zu je p Ziffern. Der rechte Teil enthält dann p - i Zeilen mit I, 2 ... bis p-i Ziffern, die unter Umständen aus lauter Einsen bestehen können (s. linkes Schema des folgenden Beispiels)

  .I i iiO

  @II 0I I;:00

  III Ooi I;,ooo

  IiIII + o001 --- 1;000o

  Die Summe eines derartigen Schemas ermittelt man leicht, indem man zu jeder Zeile des linken Schemas die entsprechende des mittleren Schemas addiert; das ergibt das rechts notierte Schema, dessen Summe offensichtlich gleich der Zeilenzahl p - i ist. Daraus ergibt sich, da die Summe des mittleren Schemas gleich o,iii..., also nahezu gleich i,o ist, a.-p-I-i =-P-2.
• Für p = 20 ergibt sich demnach z. B. a < 18. Der in den linken Teil des Schemas zu übertragende Betrag kann demnach z. B. hJechstens gleich 17 sein; im Zweiersystem notiert ist dies die Zahl ioooi. Hierfür sind also fünf Stellen erforderlich, um welche die Stellenzahl des Rechenschemas zrr vergrößern wäre. Man kommt jedoch mit einer Stelle weniger aus, da ja im rechts abgetrennten Teil des Multiplikationsschemas nur p - i (also z. B. ig) Ziffern auftreten. Für ein vierzeiliges Schema (p = 4) wäre ß p - 2 = 2, so daß das Schema von vier auf fünf Stellen zu erweitern wäre. Soweit nun das Summationsergebnis der rechten Schemahälfte rechts der Trennungslinie seinen Platz erhält, können diese Ziffern nach Belieben gespeichert oder aber fallen gelassen werden, nachdem die Maschine vorher automatisch geprüft hat, ob eine Aufrundung der letzten Stelle (rechts vom Trennungsstrich) die Genauigkeit des Ergebnisses um eine halbe Einheit der letzten Stelle vergrößern würde. Dies erreicht man in sehr einfacher Weise dadurch, daß man an der ersten Stelle hinter dem Trennungsstrich die Ziffer i zur Addition anbietet. Enthält nämlich das Resultat an dieser Stelle ebenfalls eine Eins, dann besorgt das Rechenwerk automatisch die erforderliche Zweierpotenzübertragung. Andernfalls ereignet sich nichts. Der Teil des Summationsergebnisses, welcher links vom Strich seine Stelle erhält, wird von der Maschine automatisch gespeichert und zusammen mit dem linken Teil des Schemas in einem sich an den ersten Umlauf anschließenden zweiten Umlauf verrechnet. Der Rechner kann also nach Belieben das Multiplikationsergebnis fehlerfrei mit 2n Stellen oder mit nur n + I Stellen, d. h. mit einem Fehler von 99 5 o,5 # io-n ermitteln. Die 2n-stellige Ermittlung des Produkts erfordert allerdings einen zusätzlichen Speicher für die letzten n Stellen.
• Schiebt man nun das oben skizzierte Multiplikationsschema von rechts und links zusammen, so daß äußerlich keine Stellenversetzung mehr kenntlich ist, so ergibt sich folgendes Schema: Die Trennungslinie zwischen rechtem und linkem Teil verläuft jetzt treppenartig. Ferner ist zu berücksichtigen, daß jetzt nicht mehr die untereinanderstehenden Ziffern zur Addition zusammengehören, sondern diejenigen, die auf einer schräg von unten links nach oben rechts verlaufenden Treppenlinie liegen.
• Die Summierung des (linken) Hauptteils des Schemas erfolgt dann nach folgendem Schema, neben welches zum Vergleich und zur Erleichterung des Verständnisses eine normale Anordnung geschrieben wurde:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 I0 12 14 16 18

  I

  0 0 0 01 Ro 0 0 0 0 0

  I I I 0 I S I I I O I I

  I 1 0 1: RI 0 1 1 0 11-4-

  0 1- 1 E) e S 2 -i#I

  I I I I I

  I 1 0 1; R 2 I 1 0 I I o

  1 I I I .or X S 3 1 11,6 x

  I I I I i I

  1 0 0 0 0 i R3 0 0 O ;I 0

  I 1:X0 X S4 IiX@X

  1 0 «0 0 1 1 R 4 0 1 1 0 0

  SS XXXX

  R5 III 0 0 O

  S6 xX:@X

  R6 1I 0 0 O I

  Die Zeilen wurden (s. Spalte io) abwechselnd mit den Buchstaben S und R gekennzeichnet. Unter Spalte i wurden die (vier) Ziffern des Multiplikators (i o i i) notiert, und zwar in je einer mit S gekennzeichneten Zeile. Die Ziffer o des Multiplikators bedeutet nun, daß die betreffende Zeile des Multiplikationsschemas nicht addiert werden darf. Um dies zu kennzeichnen, wurden die Ziffern der betreffenden Zeile horizontal durchstrichen. Die Ziffern der nicht zu berücksichtigenden, z. B. rechten Schemahälfte wurden schräg durchstrichen. Die Trennungslinie zwischen dem rechten und linken Teil des Schemas wurde gestrichelt (vertikal bzw. treppenartig) eingezeichnet. Zusammengehörige, d. h. miteinander zu addierende Ziffern zweier Zeilen (R bzw. S) wurden durch dünne Striche miteinander verbunden. Die zusammengehörigen Zeilen S und R wurden unter Spalte ii laufend numeriert. Beim Übergang von Zeile R in Zeile S wäre eine Stellenversetzung aus Spalte 13 in Spalte 12 notwendig; sie wird aber durch eine solche von Spalte 13 in Spalte 17 ersetzt, so daß die Stellenvertauschung eine zyklische wird. Dadurch wird also die Stellenzahl auf nur wenig mehr als p beschränkt und eine gute Ausnutzung der diese Stellen verkörpernden Maschinenteile erreicht, da stets sämtliche Stellen von Ziffern besetzt sind. Aus dem ersten Umlauf, in welchem die rechte Schemahälfte verarbeitet wurde, wird der Übertrag (im vorliegenden Beispiel der Betrag o o o o o) in Zeile R o übernommen.
• Der Übergang von den Zeilen S in die Zeilen R umfaßt zwei verschiedene Prozesse: eine Summierung und eine Stellenversetzung der Ziffern. Um diese beiden Vorgänge im Schema deutlicher hervortreten zu lassen, werden sie getrennt, und zwischen je zwei Zeilen R und S wird eine weitere, die Stellenversetzung darstellende Zeile R` eingeschoben, so daß nunmehr im folgenden endgültigen Schema wieder übereinanderstehende Ziffern miteinander zu verrechnen sind:

  0 0 0 0 o R _o

  / / / / /

  I

  0 0 0 0 0l R'

  I

  I O I I O I i S I

  O I I 0 I R

  I I 0 I I 0 R'

  O 9 f 1- e -.;-# S 2

  I

  I I O I O R

  I 0 I O I R'

  I O I I j ßI X S 3

  0 0 0 I o R

  0 0@ I o 0 R'

  I 0 I ; x x x S 4

  O I I 0 O R

  I I ' 0 0 O R'

  - S5

  I I O O o R

  I o O o I R'

  I I O I

  000;o

  I 1:0 I

  I ;Z O Z

  Für die Division und das Radizieren lassen sich ganz analoge Schemata aus den bereits in Tafel 3 und 4 angegebenen abwandeln (Tafel i). Die Durchführbarkeit derartiger Divisions- oder Radizierungsschemata ist an gewisse Voraussetzungen gebunden: vorbereitende Prozesse, z. B. die Bildung der Ergänzungszahl, müssen abgeschlossen sein, bevor die Abwicklung des Summationsprozesses beginnen kann. Der Divisor muß mit der Ziffer i beginnen. Tut er es nicht, z. B. . . . : ooioi, dann sind seine Ziffern so weit nach links zu verschieben, bis diese Bedingung erfüllt ist. Mathematisch kommt dies auf eine Multiplikation mit einer geeigneten Zweierpotenz, z. B. ioo # ooioI = IOIOo, hinaus. Eine ähnliche Bedingung gilt für den Radikanden; es muß jedoch die Zweierpotenz eine quadratische sein, d. h. von der Form (2k)2, da ja aus ihr nachher die Wurzel gezogen werden soll. Der Radikand muß daher entweder mit der Ziffer i oder aber oi beginnen. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, dann kann die Zweierpotenzgrenze 2p- i nicht überschritten werden. Im Resultat kann daher niemals eine Null erscheinen, und die Rechenmaschine liefert als Resultat stets eine Folge der Ziffer i, also stets das gleiche sinnlose Resultat iriii .. . .
• Das Verfahren b) (s. S. 2) eignet sich für die Konstruktion einer Rechenmaschine besonders dann, wenn äußerste Schnelligkeit mit verhältnismäßig teuren Schaltmitteln erstrebt wird, wobei aus Ersparnisgründen die Zahl dieser Schaltmittel auf eines für die Summenbildung einer einzigen Spalte beschränkt wird. Das summenbildende Rechenwerk besteht dann z. B. aus einer größeren Zahl von elektrostatischen Ablenkplatten für einen die Summenbildung anzeigenden Elektronenstrahl.
• Das summenbildende Rechenwerk einer nach dem Verfahren c) (s. S. 2) arbeitenden Maschine, bei welchem eine nach einem passend gestalteten Rechenschema verlaufende Folge von Additionen zeilenweise in je einem einzigen Arbeitsschritt ausgeführt wird, läßt sich ebensogut für ein symmetrisches Dreiersystem angeben wie für ein normales Zweiersystem. Um Wiederholungen zu vermeiden, wird hier nur ein solches für das Zweiersystem beschrieben.
• Die Bedingungen, die an die Schaltung eines derartigen Rechenwerkes gestellt werde4 müssen, ergeben sich aus folgender Überlegung: Mit den beiden Ziffern o und i sind folgende vifer Additionsaufgaben möglich: 1. 0+o= o 2. 0+1= 1 3. 1+o= 1 4. I -f- I - (I)0 Das Resultat ist also entweder o oder i. Die eingeklammerte Ziffer i in Gleichung 4 soll jedoch andeuten, daß Zweierpotenzübertragung in die nächsthöhere Stelle ausgeführt werden muß. Diese Gleichungen gelten unter der Voraussetzung, daß dabL-i keine Zweierpotenzübertragung aus niederen Potenzen berücksichtigt werden mußte. Im andern Falle gelten die Gleichungen i' bis 4' 1'. 0+o= 1 2'. O + I = (I) O 3'. 1 -1- o = (1) o 4'.1-f-1=(1)1 Daraus lesen wir vier weitere Gesetzmäßigkeiten ab: 5. Die Aufgabe o + o (Gleichung i und i') zeichnet sich dadurch aus, daß eine Reihe von Zweierpotenzübertragungen aus niederen Potenzen auf alle Fälle ihr Ende findet.
• 6. Die Aufgabe i + i (Gleichung 4 und 4') zeichnet sich dadurch aus, daß sie auf alle Fälle Zweierpotenz-, übertragung in die nächsthöhere Potcnzstelle verlangt.
• Die Aufgaben o -f- i und i + o (Gleichung 2 und 3 bzw. 2' und 3') zeichnen sich dadurch aus, daß sie weder eine bestehende Kette vors Zweierpotenzübertragungen beenden, noch eine neue derartige Kette von sich aus einleiten, sondern die bestehenden Verhältnisse in diese: Hinsicht unverändert lassen.
• B. Die Zweierpotenzübertragung selbst äußert sich darin, daß in den Additionsresultaten der obigen vier Grundaufgaben (Gleichung i bis 4) die Ziffern o und i miteinander vertauscht sind (Gleichung i' bis 4').
• Die Gesetzmäßigkeiten i bis S sprechen somit die grundsätzlichen Forderungen aus, die an die Rechenschaltung des Rechenwerkes gestellt werden müssen.
• Nachdem im vorhergehenden die theoretischen Grundlagen für die erfindungsgemäßen Verfahren des Betriebes von Schnellrechenmaschinen abgeleitet wurden, soll jetzt zur Erläuterung dieser Verfahren, insbesondere des Verfahrens c), ein Beispiel für die Möglichkeit der technischen Verwirklichung dieser Gedanken skizziert werden. Es sei besonders betont, daß es auf die Wahl der technischen Mittel erst in zweiter Linie ankommt, daß grundsätzlich alle technischen Schaltmittel verwendbar sind, mechanische, optische so gut wie elektrische, magnetische usf. Entscheidend für die Wahl sind ihre Betriebssicherheit, Arbeitsgeschwindigkeit, ihr Preis u. ä. Für die folgende Beschreibung mögen deshalb elektromagnetische Fernsprechrelais als billige, handliche, betriebssichere und schnell arbeitende Schaltmittel gewählt werden.
• Fig. i zeigt das Aufbauschema einer Rechenmaschine nach der Erfindung. Sie besteht aus einem Einstellwerk EW zur Eingabe der Rechengrößen nebst Wahl der Rechenoperationen, einem Systemwandler SW für' die Verwandlung der Zahlen aus dem Dezimalsystem ins Zweiersystem und umgekehrt für deren Rückwandlung ins Dezimalsystem, einem die Folge von Additionsprozessen steuernden SteuerwerkStW mit einem Prüforgan P, aus dem Anzeige- und Schreibwerk AW mit Vorzeichen- und Kommastellenanzeige, dem Speicherwerk SPW und aus dem eigentlichen Rechenwerk RW.
• Die Pfeile geben den Gang der Zahlen durch die Maschine an, und die Zeiger 2 bzw. io deuten an, wo die Zahlen im Dezimalsystem und wo sie im Zweiersystem verarbeitet werden.
• Das Einstellwerk (Fig. 2) besteht aus nur zehn Zifferntasten o bis 9, die in fingergerechter Lage angeordnet sind, so daß die blinde Bedienung erleichtert wird. Außer diesen Zifferntasten sind noch Operationstasten für die Wahl der Rechenarten Addieren -f-, Subtrahieren -, Multiplizieren . und Dividieren : sowie für das Quadrieren n2 und Ausziehen der Wurzeln zweiten Grades I!n, für die Rückwandlung von Zwischenergebnissen z und Endergebnissen =, ferner die Speichertasten Sp 1, 1I usf., die Verrechnungstasten V I, 11, die Löschungstasten L I, Il, eine Korrekturtaste Korr., Restanzeigertaste Rest, Kommataste , und eine Auslösetaste A vorgesehen.
• Fig. 3 zeigt ein Rechenwerk, welches den in den Gesetzmäßigkeiten i bis b (s. S. 12) gestellten Forderungen genügt. Es bedeuten: p Anzahl der Zweierpotenzstellen, Qu Spannungsquelle, a zuführender Leitungszweig, b abführender Leitungszweig, c Zuführung zri den Leitungen A" ... Ap_1, d Zuführung zii den Leitungen B" . . . B, _ 1, r" ... rp_1 je sechs Schalter für die Einstellung des ersten Summanden, s". . .s,_1 je sechs Schalter für die Einstellung des zweiten Summanden, A" . . . A.-, Leitungszweige für die Rechnung ohne Zweierpotenzül,ertragung (gemäß Gleichung i bis 4), B,..Bp_1 Leitungszweige für die Rechnung mit Zweierpo@tenzübertragung (gemäß Gleichung 1' bis 4'), Co* ..Cp_1 Leitungszweige für die Weitergabe der Spannung über Zweig c (gemäß Gesetzmäßigkeit 7), D". . .D,_1 Leitungszweige für die Weitergabe der Spannung über Zweig d (gemäß Gesetzmäßigkeit 7), E" . . . Ep _ 1 Leitungszweige für die Einleitung einer, mindestens eingliedrigen, Kette von Zweierpotenzübertragungen (gemäß Gesetzmäßigkeit 6), F_1 ... F,-2 Leitungszweige, welche die Durchführung der Rechnung ohne Zweierpotenzübertragungen ermöglichen (gemäß Gesetzmäßigkeit 5), R"...Rp_1 Relais als Resultatwerk, Y Grenzprüfer als Prüforgan im Potenzbereich 2p, Indizes 0 ... p - i Kennummer für die Zugehörigkeit der Schaltelemente zri den Zweierpotenzen 2"...2p-1.
• Die zu je einer Zweierpotenz gehörenden Schaltelemente des Rechenwerkes sind durch die punktierten Linien von den Nachbarpotenzen abgegrenzt. Die zwischen den Maßpfeilen angeschriebenen Zahlen geben die zugehörigen Kennummern und Zweierpotenzen an. Die Schalter s und r, welche die einzelnen Leitungszweige miteinander verbinden bzw. diese voneinander trennen, sind nicht mit eingezeichnet.
• Ihre Ruhestellung ist mit Ziffer o, ihre Arbeitsstellung mit Ziffer i gekennzeichnet.
• Den Ziffern o und i der Grundaufgaben i bis 4 entsprechen zwei physikalisch verschiedene Tatbestände, nämlich Stromfluß durch R bzw. Stromlosigkeit von R. Welchem dieser beiden Zustände man die Ziffern o und welchem die Ziffer i zuordnen will, ist grundsätzlich beliebig. Beispielsweise bedeute o Stromlosigkeit und i Stromfluß in R.
• Die Prüfung der Erfüllung der acht Gesetzmäßigkeiten kann an einer beliebigen der untereinander gleichwertigen Schaltergruppen, z. B. der mit dem Index 2, erfolgen. Die nullte Schaltergruppe als die niedrigste ist insofern nicht gleichwertig, als eine Rechnung mit Zweierpotenzübertragung aus niederen Potenzen bei ihr ausgeschlossen ist. Leitungszweig B" ist daher überflüssig und wurde mir aus Symmetriegründen mitgezeichnet. Die Prüfung ergibt Zweierpo tenzübertragung in die nächsthöhere Potenz 23 eingeleitet durch Abtrennung des Leitungszweiges A2 an den Stellen C2 und F2 und Anschluß des Zweiges B3 über E2.
• 5. Leitungszweige C und D sind in Stellung o -j- o stets unterbrochen. Pluspol wird über F an Leitungszweig A gelegt und damit die Durchführung der Rechnung ohne Zweierpotenzübertragung gewährleistet.
• 6. Leitungszweige C und D sind in Stellung i + i stets unterbrochen, Spannung wird über E an Zweig B gelegt, welche die Rechnung mit Zweierpotenzübertragung besorgt.
• 7. Leitungszweige C und D in den Stellungen o + i und i + o stets geschlossen. Die Spannung wird also in einem der Zweige c oder d weitergeleitet, dagegen weder über E noch über F, welche beide offen sind.
• B. Die Schalter s und r derleitungszweige B sind entgegen den Schaltern der Zweige A so geschaltet, daß R über A Strom erhalten würde, wenn B offen ist und umgekehrt.
• Damit ist die Vertauschung der Ziffern o und i des Additionsresultats bei der Rechnung mit Zweierpotenzübertragungen gewährleistet. Die acht Gesetzmäßigkeiten sind damit erfüllt.
• Fig. 4 zeigt den Zahlenvergleicher als Prüforgan P (Fig. i). Er besteht aus einem elektromagnetischen Relais Z und einem System von Schaltern s", s1 . . . s,-1, die die Vergleichszahl y" verkörpern, sowie aus den vom Rechenwerk betätigten Schaltern r" ... rp_1, die die zu beurteilende Zahl z" verkörpern. Diese Schalter sind durch Leitungszweige A'" ... A',_1 und B' sowie C" ... C',_1 derart untereinander verbunden, .daß das Relais Z anspricht, sobald y" < x" ist.
• Fig. 5 und 6 zeigen eine Zerlegung von Dezimalzahlen in Zahlen des Zweiersystems bzw. ein mechanisches Tastwerk des Systemwandlers. In der Tabelle nach Fig. 5 gibt der Kopf jeder Zeile das Vielfache einer Zehnerpotenz an, z. B. 2o = 2. iol. Die Ziffern i und o dieser Zeile zeigen an, welche der im Spaltenkopf genannten Zweierpotenzen an der Zerlegung beteiligt sind und welche nicht, z. B.: 20=0#2"-j-0#21 +I#2" 0 # 2 + 1-2 4 +0-2 ' ...
• Konstruktiv läßt sich dies etwa in derWeise realisieren

  i. o -j- O = o Stromweg i über +, a, F1, A2 offen,

  also R2 stromlos oder

  Stromweg 2 über Cl, A2 offen, also

  R2 stromlos.

  Stromweg 3 über B2, entweder bei

  D" und E" oder spätestens bei

  Dl und El offen.

  Stromweg 4 über B2 bei El offen.

  _ Stromweg i über +, a, F, A2, ge-

  2. o -- i - 1 schlossen, also R2 Stromfluß durch

  3. 1 -j- ° - 1 } R oder

  Stromweg 2 über Cl geschlossen.

  4. i A- i = (1) o Stromweg i über -b, a, El offen,

  oder

  Stromweg 2 über Cl, A2 offen, also

  R stromlos.

  und zu einem Schaltwerk gestalten, daß man die Zeichenebene der Fig.5 auf einem metallischen Zylindermantel 21 (Fig. 6) aufrollt, so daß die Zweierpotenzen über die Länge des Zylinders, die Vielfachen der Zehnerpotenzen über seinen Umfang gleichmäßig verteilt sind. An den mit Null gekennzeichneten Stellen (Fig. 5) spart man z. B. mechanische Lücken 24 (Fig. 6) aus. Zum Unterschied dagegen bleibt an den Stellen i (Fig. 5) der Zylindermantel unverändert. Mechanische Taster 22 (Fig. 6) für die einzelnen Zweierpotenzen spiegeln dann bei einer Drehung dieses Schaltzylinders die Zerlegung des jeweils maßgebenden Vielfachen einer Zehnerpotenz in den Stellungen der von den mechanischen Tastern 22 beeinflußten Kontaktfedern 23 wider, oder man ordnet den Stellen elektrisch isolierende bzw. leitende Eigenschaften zu und tastet diese durch elektrische Taster ab wie z. B. die aus der Fernmeldetechnik bekannten Motorwähler.
• D:is Speicherwerk SPW hat die Aufgabe, solche Zahlen, die wegen einer inzwischen auszuführenden Nebenrechnung nicht im Rechenwerk verbleiben können, aber für die spätere Verrechnung ein- oder auch mehrmals wieder gebraucht werden sollen, beliebig lange zu speichern. Derartige Speicher können in beliebiger Zahl in der Maschine untergebracht werden. Die technisch konstruktive Aufgabe besteht also darin, die jeweiligen Schaltstellungen der von den Relais R, ... RP_r (Fig. 3) betätigten Schalter ro . . . y,_, mechanisch oder elektrisch festzuhalten, ohne die für die weitere Rechnung erforderliche Bewegungsfreiheit der Relaisanker zu beeinträchtigen.
• Fig. 7 und 8 zeigen eine schematische Darstellung des Schreibwerks und eine Abwicklung des Typenrades.
• Das Anzeige- und Schreibwerk AW hat die Aufgabe, den gesamten Rechnungsgang und die Rechenergebnisse schriftlich niederzulegen. Mit der Systemwandlerwalze SW zwangsläufig oder starr verbunden ist ein Typenrad 31 (Fig. 7), an dessen Umfang erhabene Drucktypen der Ziffern o bis 9 angeordnet sind. Fig. 8 zeigt eine Abw:cklung des Typenra&s für eine mit n = drei Dezimalstellen arbeitende Maschine. Der Pfeil gibt die Bewegungsrichtung an.
• Ein elektrisch ausgelöstes, farbgetränktes Druckpolster 32, welches gegenüber dem sich mit (Ur Systemwandlerwalze drehenden Typenrad 31 feststeht, druckt die Ziffer der gerade in Wirkstellung befindlichen Drucktype auf ein zwischen 31 und 32 befindliches Blatt Papier 33. Die elektrische Auslösung erfolgt gerade in einem solchen Augenblick, daß die verrechnete (getastete) Zahl auch abg@dcuckt wird. Auf diese Weise werden schnell aufeinanderfolgend die dezimalen Ziffern der eingetasteten Zahlen oder die bei der Rückwandlung eim:ttelten gültigen Ziffern des Rechenergebnisses schriftlich festgehalten. Bei der Betätigung der Operationstasten werden entsprechende Drucktypen in den Wirkungsbereich des Druckpolsters gebracht, so daß auch diese Z°ichen mit abgedruckt werden. So wird der gesamte Rechnungsgang, soweit er nach außen hin, d. h. im dezimalen System in Erscheinung tritt, schriftlich festgehalten. Für die Registrierung der dezimalen Kommastellung kann eine Vo-richtung dienen, die im Prinzip ein Zählwerk für Zehnerpotenzen ist. Daraus leiten sich folgende Forderungen ab, die an eine derartige Vorrichtung zu stellen sind. Additionen und Subtraktionen der Form a # roh ± b # iok sind nur ausführbar, falls h = k, d. h. nur bei übereinstimmender Kommastellung beider Summanden. Der Kommastellenanzeiger ist demnach so auszubilden, daß der Rechenvorgang der "Maschine selbsttätig unterbrochen wird, sobald die Kommastellungen beider Summanden nicht übereinstimmen. Das Zählwerk addiert Null, d. h. es verharrt in der ursprünglichen Stellung. Multiplikationen und Divisionen der Form (a.ioh).(b.iok) bzw. (a.ioh):(b.iok) äußern sich im Kommastellenanzeig.-r durch Zählvorgänge der Form h --t k. Beim Radizieren (zweiten Grades) v ä-. roh hat das Zählwerk die Operationen nachzubilden, mit der einschr:inkenden Bedingung, daß h eine ganze Zahl und h demnach eine durch 2 2 ganzzahlig teilbare Zahl sei. Unzutreffendenfalls, d. h. bei fehlerhafter Kommaeinstellung, ist der Rechenvorgang selbsttätig zu sperren.
• Die Kommastellung kann entweder lediglich angezeigt oder aber registriert werden, letzteres entweder durch Abdrucken des Kommazeichens hinter der h-ten Dezimale oder durch Abdrucken de: gezählten Zehnerpotenz io:!:h (h = o, 1, 2 .. . ). Letzteres hat den Vorteil, daß die Kommastellung auch dann in einfacher Weise registriert werden kann, - wenn das Komma aus dem Anzeig@_bereicli der Maschine herausfällt. So ist z. B. das Komma des Ausdrucks 0,0000001763 bei n,ur achtstelliger Anzeige nicht mehr unterzubringen, dagegen leicht zu registrieren in der Form ooooi763 # i0-10. Konstruktiv lassen sich die oben abgeleiteten Foi der engen etwa durch ein Typenrad erfüllen, welches bei 'Multiplikationen und Divisionen um gewisse, den Exponenten h und k proportionale Drehwinkel -i- T" und ± (A gedreht wird mit einerresultierenden Gesamtdr;2hung ggh ± 99k. Beim Radizieren wird das D:ucktyp2nrad aus der Stellung ggh in die Stellung iibc:-geführt.
• Fig. 9 und io erläutern die Vorzeichenanzeige oder -registrierung. Die Anzeige oder Registrierung der Vorzeichen -j-- bzw. - läßt sich mittels eines Drucktypenrades bewerkstelligen. Der Re--hne: stellt d:e betreffenden Vorzeichen im Einstellwerk mit Hilfe der Drucktasten + oder - ein.
• Im Verlaufe der Rechnung können Vorzeichenwechsel erforderlich werden: bei Additionen und Subtraktionen im Falle der Über- und Un:erschreitung der Nullgrenze, bei Multiplikationen (a - b) und Divisionen (a : b) immer dann, wenn das Vorzei.hen von b negativ ist. Bei Quadrierung gilt stets das ZLichcn -@-, bei Wurzeln zweiten Grades sowohl + als auch -, sofern der Radikand positiv w,ir. Im aad;rn Falle Qmpfiehlt es sich, den Rechner cur, li cl_isZeichea i als SS-mbol für die imaginäre Einheit darauf aufmerksam zu machen, daß das Rechenergebnis imaginär ist, c;d "r dafür zu sorgen, daß eine selbsttätige Sperrung eintritt. Am Umfang des Typenrades sind abwechselnd Drucktypen der Zeichen +, ±, - und i angeordnet (Fig. g). Mit dem Drück auf die Taste 1'n ist eine Drehung des Typenrades um einen Schritt verknüpft, so daß an Stelle des Zeichens + das Doppelzeichen t, an Stelle von - das Zeichen i mit dem Rechenresultat abgedruckt wird. Außer dieser Verstellung des Vorzeichenrades um einen Schritt können geeignete Schaltorgane (Fig. 3 oder io) der Maschine Verstellungen um zwei Schritte auslösen, jedoch mir von den beiden Normalstellungen -j- oder - aus, so daß ein Vorzeichenwechsel von + in - oder umgekehrt erzielt wird. Bei Additionen und Subtraktionen kann das Prüforgan (Fig. 3) des Rechenwerkes für die Auslösung der Typenradverdrehung verwendet werden; denn eine Über- oder Unterschreitung der Nullgrenze äußert sich darin, daß bei der Summenbildung wegen a* -f - b < 2p das Prüforgan unbeeinflußt bleibt, während normalerweise a* -1- b >_ 29 ausfällt. Dieser Umstand läßt sich also zur Steuerung der Typenradverstellung benutzen.
• Für die Multiplikation gilt: d. h. das zuerst getastete Zeichen wird nur darin gewechselt, wenn das zweite ein Minuszeichen ist. Dasselbe gilt für Divisionen.
• Während die Durchführung der eigentlichen Rechenprozesse dem Rechenwerk obliegt, ist es die Aufgabe des Steuerwerkes, dem Rechenwerk immer gerade diejenigen Zahlen zur Summierung anzubieten, die das zugrunde gelegte Rechenschema jeweils vorschreibt. Das geschieht z. B. über eine Gruppe von Relais S, welche die Schalter s des Rechenwerkes betätigen. Das Steuerwerk hat aber auch zu prüfen, z. B. beim Dividieren, Radizieren und bei der Rückwandlung der Zahlen ins Dezimalsystem, ob diese Summationen im Sinne des Rechenschemas zulässig sind. Das geschieht mit dem Prüforgan P (Fig. i). Für die Registrierung dieses Prüfbefundes bzw. für die Aufnahme des Multiplikators oder des Devisors sind Steuerspeicher W und Q mit ihren Schaltern und q notwendig, z. B. elektromagnetische Relais.
• Schließlich hat das Steuerwerk die von Schaltschritt zu Schaltschritt notwendigen Stellenversetzungen (aus den Zeilen Rin die Zeilen R', Tafel i) durchzuführen, z. B. mit Hilfe einer Relaisgruppe R'.
• Weitere Steuerspeicher sind evtl. für die Aufnahme der Zahlenwerte tabellierter Funktionen, z. B. sin und cos, etwa nach Art des Systemwandlers vorzusehen, dgl. für die Aufnahme der Steuerkommandos für automatische Programmrechnungen. Das Steuerwerk besteht demnach zumindest aus den vier Relaisgruppen S, R', W und Q sowie einem Prüforgan P, z. B. in Gestalt eines Zahlenvergleichers (Fig. 4), oder aber, und das sei beispielshalber im folgenden angenommen, aus einem Relais Y (Fig. 3), welches die Stelle eines im Potenzbereich 2T befindlichen Relais R des Rechenwerks einnimmt. Der Stroinfluß durch Y würde bedeuten, daß das Rechenwerk eine Zahl z > 2p - i enthält. Wegen seiner Eigenschaft, das Überschreiten dieser Zahlengrenze anzuzeigen, wird Y im folgenden als Grenzprüfer bezeichnet.
• Das Steuerwerk enthält außerdem einen Stellenversetzungsschalter (SV), eine Reihe von Drehschaltern I bis IV und schließlich zeichnerisch nicht dargestellte Einrichtungen, um i. die vor der Division oder dem Wurzelziehen erfolgten Multiplikationen mit Zweierpotenzen im Rechenresultat wieder rückgängig zu machen, 2. das 2 n-stellige Produkt oder den mehr als n-stelligen Quotienten mit einem nur n-stellig arbeitenden Systemwandler ins dezimale System zurückzuwandeln. Die Kapazität des Systemwandlers reicht für die Rückwandlung eines Vielstellenresultats (z. B. ooiiiioooii in Tafel i Zeile 46) nicht aus. Durch Multiplikationen oder Divisionen mit passend zu wählenden Zehnerpotenzen, und zwar als Potenzsumme im Arbeitssystem, läßt sich die im Arbeitssystem vorliegende Ziffernfolge so transformieren, daß der ins Dezimalsystem zu verwandelnde Teil dieser Ziffern in den Arbeitsbereich des Systemwandlers fällt. Auf diese Weise läßt sich auch ein vielstelliges Resultat in zwei oder mehreren Schritten mit einem normalen Systemwandler verwandeln. Die vorher im Arbeitssystem durchgeführten Multiplikationen oder Divisionen müssen natürlich im Kommastellenanzeiger entsprechend berücksichtigt werden.
• Das Steuerwerk kann zusätzlich Funktionswertspeicher, z. B. der Funktionen sin x, cos x. . ., enthalten. Der wegen seiner augenfälligen Bedeutung gesondert aufgeführte Systemwandler gehört seinem Wesen und seiner Funktion nach auch zum Steuerwerk, und schließlich können Kommandospeicher, welche den automatischen Ablauf beliebiger Programmrechnungen steuern, das Steuerwerk vervollständigen.
• Bei der Beschreibung des Rechenwerkes (s. S. io) wurde darauf hingewiesen, daß es bei Ausnutzung der Abfallverzögerung z. B. elektromagnetischer Relais möglich sei, mit nur zwei statt drei Relaisgruppen, nämlich mit S und R auszukommen. Für die Durchrechnung der Rechenschemata (Tafel 3 und 4) wäre aber dann ein umfangreiches Schaltersystem z. B. nach Art der aus der Fernsprechtechnik gebräuchlichen Motordrehwähler erforderlich. Beim Übergang von den Schemata der Tafeln 3 und 4 zu denen der Tafel i wird durch die Hinzunahme einer dritten Gruppe von Relais R' auf die obenerwähnte Ersparnis verzichtet. Dafür entfällt das umfangreiche Schaltersystem und die mechanische Bewegung des Drehwählers. Eine Gruppe mechanisch starr gekoppelter, elektrischer Wechselschalter SV (Fig. ii) gewährleistet in der gezeichneten Lage die zeitlose Stellenversetzung der Ziffern, wie sie die Rechenschemata der Tafel i bei Multiplikation, Division und Radizierung verlangen. Bei der Addition, Subtraktion und den Systemwandlungen nehmen sie die Wechsellage ein, so daß keine Stellenversetzung erfolgt. In dem Schaltbild des Reclicnwerkes (Fig. 3) ist daher zir beachten, daß für Rechnungen nach dem Schema der Tafel i die finit y (y') bezeichneten Schalter nicht direkt durch die Relais R, sondern indirekt über die Schalter r und S Y' in Fig. ii durch die Relais R' betätigt werden.
• Die Addition a+b=c erfolgt ohne Stellenversetzung in folgender Weise: Nachdem Zahl a durch Zifferntastung aus dem Einstellwerk oder aus einem Speicher ins Rechenwerk (Relaisgruppe S) und von dort über die Schalter r und SV (Fig. ii) in die Relaisgruppe R' gelangt ist, welche durch die angedeutete Selbsthalteschaltung (Schalter r' in Fig. ii) sich selbst halten, wird durch die Betätigung der Additionstaste -,- die Zahl a in einen der Steuerspeicher, etwa Il', übernommen, bis der zweite Summand b in ähnlicher Weise wie a in R' gelangt. Bei fehlerhafter Eingabe von b kann durch Drücken einer Korrekturtaste Korr der fehlerhafte Vorgang wieder aus der Maschine gelöscht und berichtigt wiederholt werden. Befindet sich b in R' und damit über die Schalter r' der Fig. 3 im Rechenwerk, dann wird durch die Ausführungstaste A der Summand a aus W über die Schalter w in die Relaisgruppe S und auf diesem Wege ins Rechenwerk gegeben. Die Relaisgruppe R verzeichnet sofort das Resultat a + b und gibt es, nachdem Summand b aus dem Rechenwerk (Gruppe S) gelöscht wurde, zur Selbsthaltung nach R'. Kürzer ist das Verfahren, wenn auf die Korrekturmöglichkeit keine Rücksicht genommen zu werden braucht. Ein Einstellfehler ist ja stets dann ausgeschlossen, wenn die Summanden sich bereits in der Maschine befinden, etwa in einem Speicher. In diesem Falle kann der zweite Summand b über S sofort zu dem im Rechenwerk befindlichen Summanden a (in R') gegeben werden, so daß sofort die Relais R die Summe a + b registrieren.
• Die Subtraktion a - b = c erfolgt als Addition a* + b = c*; das Resultat ist also die Ergänzungszahl c* von c.
• Die Multiplikation a # b = c (z. B. loiii # ioioi in Tafel i) vollzieht sich folgendermaßen: a = ioiii wird ins Rechenwerk gegeben. Der die Multiplikation vorbereitende Schalter # bewirkt die Speicherung von a in Steuerspeicher W, Schaltergruppe w (Fig. 13) ; die Betätigung der AuslösetasteA bewirkt die Speicherung von b = ioioi in Q mit seiner Schaltergruppe q. Die umlaufenden Schalter I und II werden in Drehung versetzt. Die Relais der Gruppe S (Fig. 12) sprechen nur dann an, wenn die beiden Schalter I und II geschlossen sind. Aus dem Multiplikationsschema der Tafel i entnimmt man: Der erste Summand befindet sich stets in der mit R@ bezeichneten Zeile, realisiert in der Relaisgruppe R'. Der zweite, in Relaisgruppe S verkörperte Summand befindet sich jeweils in der mit S bezeichneten Zeile. Die Relaisgruppe R als Resultatwerk des Rechenwerkes realisiert das in den Zeilen R dargestellte jeweilige Zwischenresultat. Die Stellenversetzungen von R nach R' erfolgen nach dem in Fig. ii dargestellten Prinzip in folgender Weise: Es sei die aus Zeile 12, Spalte io nach Spalte 9 der Zeile 13 zu versetzende Ziffer i betrachtet. Sie ist vor der Versetzung im Relais R, des Rechenwerkes verkörpert. R, betätigt die Schalter r, in Fig. Ti, so daß in der die Versetzung bewerkstelligenden Lage durch Schalter SV ein Stromweg in das Relais Ri (anstatt in RD') geschlossen wird. Es spricht Ri an und hält sich im Selbsthaltekreis, sobald der Wechselschalter T vom Zweig der Schalter r an den der Schalter r' angelegt ist. Die Ziffer i erscheint also um eine Stelle nach links versetzt, so wie es das Schema verlangt. Die Drehschalter I und II schalten jetzt von Stellung 3 auf 4 (selbstverständlich können auch diese Schalter zwecks Vermeidung stark trägheitsbehafteter mechanischer Schaltbewegungen durch eine der Fig. ii analoge Anordnung mit den schnellen und leichten Ankerbewegungen ersetzt werden). Sofort ist Zeile S 4 zur Summierung bereit usf. Die Aussonderung der schräg durchstrichenen Ziffern (z. B. in Zeile 14: ,f o i o i) besorgt der Drehschalter II, da in der Stellung 4 (Fig. 13) nur die drei Relais S2, S1 und S" für die letzten drei Ziffern . . ioi an Spannung liegen. Die fünf Ziffern r o i o i der Zeilen S sind in den durch die Relaisgruppe Q betätigten Schaltern q verkörpert.
• Die Ausschaltung der waagerecht durchstrichenen Zeilen (z.B. Zeile 8) besorgt der Drehschalter 1 zusammen mit den in Reihe geschalteten Schaltern w des Steuerspeichers W, welche den ersten Faktor ioiii des Produkts ioiii # loioi verkörpern. Schalter I bewirkt in Stellung 6 über das Relais S4 die Aufrundungsaddition + i, falls sich der Rechner nicht entschließt, die Vielstellenrechnung durchzuführen und zu diesem Zweck die Aufrundungsaddition mit Hilfe des Schalters V zu unterbinden.
• Auf alle Fälle schließt sich jetzt die Berechnung des Hauptteils des Multiplikationsschemas an. Die Aussonderung der zu unterdrückenden Schemahälfte besorgt weiterhin der Schalter II in Verbindung mit q, während die der Zeilen S vom Schalter I in Verbindung mit den Schaltern w vorgenommen wird. Das prinzipielle Schema für die Darbietung der zu summierenden Zahlen bei einer Multiplikation ist in Fig. 12 dargestellt: Zwei in Reihe geschaltete Schaltersysteme I und II schließen nur dann einen Stromkreis für die Relaisgruppe S, wenn beide Schaltersysteme geschlossen sind. Übertragen auf das Schema bedeutet das, es werden nur die Ziffern summiert, die weder schräg noch horizontal durchstrichen sind. Und das war ja gerade die zii erfüllende Bedingung.
• Bei der Division (Tafel i und Fig. 14 und 15) erfolgt die Aussonderung der horizontal durchstrichenen Zeilen S entsprechend dem Befund des Prüforgans Y mit Hilfe des Ruheschalters y, wenn nämlich das Summationsergebnis die Zahlengrenze 2p - i überschreiten, d. h. in den Potenzbereich 2p eintreten würde. Die Stellenversetzung erfolgt wie bei der Multiplikation. Nachdem in dem vorbereitenden Prozeß die Ergänzungszahl jioiooo (Zeile 4, Spalten 15 bis 21) aus ooiolii (Zeile 3) gebildet wurde, beginnt sofort die Summation mit dem in den Schaltern q (Fig. 15) fixierten, über S ins Rechenwerk gehenden Dividenden ioioi. Der Drehschalter III legt in Stellung i das Relais W,; an Spannung, da Schalter y des Grenzprüfers Y die Summierung zuließ. Wf; hält sich selbst über w,; und fixiert auf diese Weise die erste Ziffer des Quotienten i,oooiioo . . . . Weitere derartige Schritte lassen sich in unbegrenzter Zahl anschließen.
• Das Wurzelziehen y - 1'z verläuft wie ein Divisionsprozeß x : lax = 1 x. Der Divisor )% x ist gleich dem zu ermittelnden Quotienten vx. Er kann daher nicht von vornherein wie der Divisor b der Aufgabe a : b in den Schaltern q (Fig. 15) festgelegt werden. Er wird vielmehr erst im Verlaufe der Rechnung allmählich aufgebaut (Tafel i, Zeile 3, 5, 8, 11 oder Spalte 30). Bevor mit der Summierung begonnen werden kann, muß die Aufgabe zuerst normiert werden, d. h. der Radikand muß notfalls mit einer geeigneten Zweierpotenz multipliziert werden (vgl. S. 12), alsdann wird die Ergänzungszahl hiervon gebildet und schließlich der in Zeile 3 verzeichnete Betrag a12 addiert. Darin bedeutet a1 die erste Näherungswurzel. Wegen der vorausgegangenen Normierung kann hierbei die Zahlengrenze 2P - i noch nicht überschritten werden. Deshalb darf diese Summierung von vornherein und ohne Befragung des Grenzprüfers vorgenommen werden. Das Ergebnis dieser drei Prozesse befindet sich in R' (Zeile 4). Es läßt sich nun zeigen, daß die in S anzubietenden Zahlen aus der jeweiligen in Spalte 3o notierten Näherungswurzel dadurch gebildet werden, daß an die Näherungswurzel in den Spalten 25 und folgende die Ziffernfolge oi anzuhängen ist. Der Resultatsspeicher der Wurzel ist dem der Fig. 14 ähnlich. Die in Zeile 3, Spalte 3o notierte Näherungswurzel wird über einen Schalter w in S fixiert (Fig. 17). Die Darbietung der anzuhängenden Ziffernfolge oi läßt `sich schalttechnisch etwa durch die in Fig. 16 dargestellte Schaltung erreichen. Im Schema der Tafel i erscheint z. B. in Zeile 5, Spalte 25 die Ziffer i der ersten Näherungswurzel a1. Daran anzuhängen ist die Ziffernfolge o1. Das geschieht mit Hilfe des Schalters IV (Fig. 16) in Stellung i, weil Relais SE Strom erhält. Der Grenzprüfer I' verbietet jedoch die Durchführung der Summation der Zeile 5, Schalter y (Fig. 14) öffnet und W fixiert als zweite Ziffer der Wurzel die Ziffer o. In Zeile 1i sind sämtliche Spalten 25 bis 29 mit Ziffern ausgefüllt. Der Radizierungsprozeß ist abgeschlossen, und es kann sich ein Divisionsprozeß mit dem Divisor iooio als Restverwertung zum Zwecke der Genauigkeitssteigerung unmittelbar anschließen.
• Oft wird es erwünscht sein, mit häufiger vorkommenden Funktionen zu rechnen (sin x, cos x ... ). Eine nach der Erfindung gebaute Maschine kommt diesem Wunsche entgegen. Es kann nämlich eine größere Menge von Zahlen nebeneinander für beliebig häufige Verwendung beliebig lang gespeichert werden (Speicherwerk). Ist nun eine Funktion y = ao + alx + .. . in Potenzreihenentwicklung gegeben, liegt aber nicht tabelliert oder nicht mit genügender Genauigkeit tabelliert vor, so kann man Funktionswerte von ihr nach dem in der praktischen Mathematik geläufigen Hornerschen Schema berechnen, wenn man die Entwicklung an geeigneter Stelle abbricht, z. B.: y@'au+alx+a._x.=+a;x3 =(((o @_ as)x+a=)-x+ai)*x+ao.
• Der wiederholt auftretende Faktor x wird ein für allemal gespeichert, und die Berechnung des Funktionswertes setzt sich zusammen aus den sechs Operationen

  a$ # x

  + a2

  .x

  + a1

  .x

  + ao

  Besonders schnell und bequem vollzieht sich eine derartige Rechnung, wenn das Steuerwerk mit einem Kömandospeicher ausgerüstet ist, in welchem ein derartiger Berechnungsgang eingestellt werden kann, so daß die Berechnung selbst nachher automatisch verläuft. Die Konstanten a. ... a. werden von Hand getastet, können aber natürlich ihrerseits auch gespeichert oder gar von vornherein nach Art der Zahlen des Systemwandlers in der Maschine festgelegt sein, besonders dann, wenn Funktionswerte häufig wiederkehrender Funktionen zu berechnen sind, wie z. B. der trigonometrischen Funktionen. Man kann noch einen Schritt weitergehen, indem man nicht die für die Berechnung der Funktionswerte erforderlichen Konstanten, sondern die tabellierten Funktionswerte selbst, natürlich gleich im Zweiersystem, speichert, etwa so wie die Zahlen des Systemwandlers. Es kommt dabei darauf an, mit möglichst wenigen Tabellenwerten auszukommen. Ein Beispiel möge, dies erläutern.
• Die trigonometrischen Funktionen sin x und cos x, aus denen tg x und ctg x leicht zu berechnen sind, werden für die Argumente o°, i° bis 45° im Zweiersystem tabelliert, in einer Zahlenwalze realisiert; das sind 2 # 45 = 9o Zahlenwerte. Daraus lassen sich von hundertstel zu hundertstel Grad 9o . ioo = 9ooo Zwischenwerte mit einem Fehler :9 < io-5 berechnen; z. B:'t sin 35,70° = ? Man entwickle: Bricht man nach dem zweiten Gliede ab, so folgt sin (x + h) r-- sin x + h'# cos x d. h. zu dem in der Maschine mit beispielsweise fünfstelliger Genauigkeit realisierten Wert sin x, z. B. sin 35° = 0,57358 ist ein Zuschlag d sin (x -f- h) = h . cos x zu berechnen. Cos x ist ebenfalls fünfstellig realisiert, h (im Bogenmaß) ergibt sich aus h' = o,70° : h = 0,70. 0,01745329 ... = 0,01222 ... Das läßt sich ein für'allemal mit beliebiger Genauigkeit berechnen und dementsprechend in der Maschine realisieren. Das sind ioo Werte h' = o,oo-o,99 bzw. h = 0 ... 0,01728.
• Man findet also den an sin 35° anzubringenden Zuschlag durch Berechnung des Ausdrucks h # cos x = 0,01222 . 0,8,915 = o,oiooi, dessen Faktoren h sowohl als auch cos x in der Maschine realisiert sind, sofern x < 45°. Für x > 45° berechnet man die Funktionswerte nach den Beziehungen sin x = cos (9o°- x) und cos x = sin (90°-x). So ergib". sich sin 35,7o° = 0,57358 + 0,0100r = o58359 statt o,58354 Unter Berücksichtigung des dritten Gliedes der Reihenentwicklung würde folgen: Die Ausdrücke - könnte man natürlich auch wieder tabellieren und', in der Maschine auf ein°_r besonderenZ3hlenwalze realisieren. Sowahl der Kostenaufwand hierfür: als auch der Z'itaufwand für die Ausrechnung dieses Ausdrucks lassen sich v--rmeiden: Man berechne sin 35,7o° aus sin (36° - 0,30°), d. h. h1' _ - 0,30` anstatt hi = -1- 0,70°. Der zweite Verbesserungszuschlag ist in diesem Falle nur etwa ein Sechstel des ersteren.
• Nach dem vorher Gesagten dürfte folgende Schreibweise ohne weiteres verständlich sein: sin 35,7o° = sin 36, - 30° d sin 36, - 30° = -, 0,3 - 0,01745 - o,8o9o2 - 0,00524 # 0,8o9 _ --'0,00423916 _ - 0,00424

  sin 36° = 0,58779

  d sin 36, - 3o° = - 0,00424

  sin 35,700 - --0,58355

  statt o,58354 in der Tafel.
• Das Beispiel zeigt: Da mit der beschriebenen Rechenmaschine Multiplikationen sehr schnell ausführbar sind, können z.B. trigonometrischeFunktionen sehr gut mit fünfstelliger Genauigkeit interpoliert werden, obwohl die installierten Tabellenwerte sehr weit (r°) auseinanderliegen.
• Der Bauaufwand' hierfür ist auffallend gering. Die Zahl der Zwischenwerte h' beträgt nur noch 5o statt roo. Trotzdem ist die Genauigkeit noch gesteigert. Aus 9o Zahlenwerten (sin bzw. cos o° .. . 45') und 5o Werten k, zusammen also z4oZ3hlenwerten, lassen sich demnach je 9o # roo = 9ooo Funktionswerte d,_r Funktionen sin x ;und cos x mit einer Genauigkeit von etwa einer Einheit der fünften Dezimale schnell interpolieren.
• Die durch vorliegende Erfindung erzielten Vorteile gegenüber bisher bekannten Lösungen erstrecken sich auf die konstruktive Einfachheit und damit auf die Größe, das Gewicht, und den Preis der Maschine, ihre Arbeitsgeschwindigkeit, ihre bequeme Bedienung und Handhabung, auf die Ausbaufähigkeit zu völlig automatisch rechnenden Maschinen und auf den vergrößerten Verwendungsbereich. Diese Vorzüge seien hier kurz zusammengefaßt Das eigentliche Rechenwerk ist lediglich ein Additionswerk, welches sich so ausbilden läßt, daß zeitraubende Arbeitsschritte für die Potenzübertragung nicht erforderlich sind. Das ist für die konstruktiv einfache Gestaltung der Maschine von hervorragender Bedeutung, weil hierdurch die Arbeitsgeschwindigkeit wesentlich erhöht wird. Das Additionsresultat zweier durch die Schalter y und s eingestellten Zihlen erscheint also praktisch im gleichen Augenblick, in welchem die Einstellung beendet ist, mit elektromagnetischen Relais, also in etwa ro bis 30 ms oder weniger.
• Die Arbeitsgeschwindigkeit wird weiter unmittelbar durch die Verwendung trägheitsloser oder -frier Schalter, wie Fotozellen, Elektronenröhren u. dgl., mittel- und unmittelbar durch die Entlastung des Rechners von allen Aufmerksamkeit erfordernden Tätigkeiten gesteigert. Die Zahlen können blind eingegeben werden, und das Rechenergebnis sowie der gesamte Rechenverlauf werden selbsttätig notiert: Abschreibefehler sind daher ausgeschlossen. Stattet man die Maschine auch noch mit einer das Vorzeichen und die Kommastellung anzeigenden Einrichtung aus, dann kann die Maschine auch von ganz ungeschulten Kräften b.-dient werden. Von da aus ist bis zur vollautomatisch arbeitenden Maschine und ihrem Einsatz in Lochkartenmaschinen und ähnlichen nur ein kleiner Schritt, der mit den zur Zeit bekannten technischen Mitteln leicht getan werden kann.
• Die -hohe Arbeitsgeschwindigkeit gestattet die Verwendung der Maschine zu numerischen Integrationen von Ausdrücken der Form u. ä. in Verbindung mit einem geeigneten Längenmeßgerät z. B. als Planimeter zur Bestimmung von Flächeninhalten, statischen :Momenten und Trägheitsmomenten, von Flächenschwerpunkten usw. Hierbei ist der Umweg über das Dezimalsystem nicht erforderlich. Das Ergebnis läßt sich auch zeichnerisch festhalten, wenn man statt der numerischen Anzeige des Ergebnisses eine graphische Aufzeichnung vorsieht. So lassen sich Integral- und Differentialkurven zu graphisch vorgelegten Kurven zeichnen. Zeitliche Mittelwerte lassen sich bilden, wie sie z. B. bei der Sonnenhöhenbestimmung mittels Sextanten zur Steigerung der Meßgenauigkeit erwünscht sind. Indikatordiagrammelassen sich auswerten, ohne die Diagramme überhaupt zu zeichnen usw. Vorrichtungen für die Übertragung derartiger physikalischer Meßgrößen in Zahlengrößen ausfindig zu machen, ist aber nicht Gegenstand der Erfindung.
• Ein besonderer Vorzug einer nach vorliegender Erfindung gebauten Maschine soll besonders betont werden: Hohe Genauigkeit der Rechenergebnisse ist mit geringer Dezimalstellenzahl für die Eingangsgrößen bei niedrigem Aufwand erzielbar. Es sind daher für viele Zwecke des technischen und wissenschaftlichen Rechnens sechs Dezimalstellen durchaus ausreichend; denn das Multiplikationsresultat ist mit zwölf Stellen, der Quotient mit beliebig vielen, die Wurzel mit elf Dezimalstellen bestimmbar, obwohl das Rechenwerk nur mit sechs Stellen ausgestattet ist. Ein Blick auf die Schaltpläne zeigt, daß es sehr einfach ist, den Umfang der Maschine durch Parallelschaltung z. B. einer zweiten gleichartigen Maschine zu erweitern. Es sind hierfür im Rechenwerk und dem Stellenversetzer nur einige elektrische Verbindungen zu lösen bzw. herzustellen. Gleiches gilt für das Einstellwerk, Anzeige- und Schreibwerk, Speicherwerk und Steuerwerk. Nur die Systemwandler der beiden Maschinen müssen verschieden sein: Der der einen verwandelt z. B. Zahlen von o ... 999999, der der zweiten von ioooooo bis 999999oooooo, so daß beide zusammen den Bereich von o bis io12 verarbeiten. Es wäre also denkbar, aus zwei bis auf den Systemwandler genau gleichartigen Maschinen eine größere, z. B. zwölfstellig arbeitende Maschine mit wenigen Handgriffen zu bilden, die Rechnung nach Wunsch also sogar vierundzwanzigstellig durchzuführen und nach durchgeführter Rechnung die Maschinen wieder zu trennen und jede für sich an verschiedenen Orten weiterzubenutzen.

Claims (12)

1. PATENTANSPRÜCHE: i. Schnellrechenmaschine für Addition, die die im System der Basis io gegebenen Zahlen in das System der Basis 2 überträgt, die Addition in diesem System durchführt und das Ergebnis in das System der Basis io zurücküberträgt, dadurch gekennzeichnet, daß die Schaltglieder (Relais), die zu je einer Gruppe für die Repräsentation des ersten Summanden, des zweiten Summanden bzw. der Summe zusammengefaßt sind, so miteinander verschaltet sind (Fig. 3), daß die Ziffern in sämtlichen Spalten gleichzeitig addiert werden, und zwar so, daß sämtliche Potenzübertragungen dabei sofort mitberücksichtigt werden, wodurch die Summe zweier Zahlen in einem einzigen kurz dauernden Arbeitsschritt gebildet wird.
2. 2. Schnellrechenmaschine für die Durchführung von Subtraktionen, dadurch gekennzeichnet, daß die Maschine bei der Subtraktionsaufgabe a-b=c beim Druck auf die Subtraktionstaste aus dem Minuenden a die Ergänzungszahl a* bildet, indem sie bewirkt, daß die den Minuenden verkörpernden Schaltglieder (Relais) von ihrem bisherigen Zustand in den entgegengesetzten übergehen, d. h. daß die Relais abfallen, sofern sie bisher erregt waren und umgekehrt, und daß die Maschine mit dieser automatisch gebildeten Ergänzungszahl die Summe a* + b = c + 2P (P = Stellenzahl der Maschine) bildet und dabei den das Ergebnis a -b = c übersteigenden Betrag 2p unterdrückt, weil in der Resultatrelaisgruppe kein Aufnahmeorgan hierfür vorgesehen ist, so daß die Maschine dieSubtraktion alsAdditionnachdem inAnspruchi genannten Verfahren durchführt.
3. 3. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i und 2 zum Multiplizieren, Dividieren und Radizieren, dadurch gekennzeichnet, daß die bei diesen Rechenoperationen erforderlichen Stellenversetzungen nach rechts bzw. links von der Maschine in der Weise durchgeführt werden, daß die die einzelnen Ziffern des jeweiligen Zwischenergebnisses repräsentierenden Relais durch je einen Schalter mit den rechts bzw. links (d. h. mit den für die niedere bzw. höhere Potenz) bestimmten benachbarten Relais verbunden sind (Fig. ii), so daß einerseits die den jeweiligen Summanden a repräsentierenden Relaisschalter einer bestimmten Zweierpotenzstelle fest zugeordnet bleiben und andererseits sämtliche Schaltglieder der Resultatgruppe dauernd voll ausgenutzt werden, wodurch die Maschinenkapazität ohne zusätzliche Schaltglieder beträchtlich vergrößert wird.
4. 4. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß an Stellevon insgesamt drei Relaisgruppen für die drei Zahlen a, b und c (erster und zweiter Summand und Summe) nur deren zwei benötigt werden, nämlich eine für den zweiten Summanden b und eine zweite zuerst für den Summanden a und dann für die Summe c, indem das Resultat c in den Gliedern für a gebildet und in diesen Gliedern unter Ausnutzung der Abfallverzögerung der Relais auch noch über die Zeit hinweg darin festgehalten wird, die erforderlich ist, die Relais für den Summanden b wieder auf Null zu bringen.
5. 5. Schnellrechenmaschine, die eine im System der Basis io gegebene Zahl in das symmetrische Dreiersystem überträgt, die Rechnung in diesem System durchführt und das Ergebnis in das System der Basis io zurücküberträgt, dadurch gekennzeichnet, daß der größte bei einer Multiplikation auftretende Faktor den Betrag i nicht überschreitet, so daß die Maschine Multiplikationen als Folge von Additionen nach der in Anspruch i gekennzeichneten Art löst, wobei aber die Zahl der Potenzstellen entsprechend der Basis 3 geringer ist als bei der Basis 2.
6. 6. Schnellrechenmaschine nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß physikalisch gerichtete Größen, die sich außer in ihrem Betrage auch noch in ihrer Orientierung unterscheiden (z.B. elektrische Feldstärke + E, - E und Null) zur Repräsentation der Ziffern + i, - i und o benutzt werden, so daß die drei Ziffern einer Dreierpotenzstelle durch ein einziges Schaltglied mit drei unterschiedenen Merkmalen realisiert werden.
7. 7. Schnellrechenmaschine nach Anspruch 5und6 für die Addition von gleichzeitig drei Summanden a + b + c = d, dadurch gekennzeichnet, daß die Maschine eine weitere Gruppe von Schaltgliedern für die Aufnahme des dritten Summanden enthält, wobei Potenzübertragungen zweiten Grades nicht vorkommen können. B.
8. Schnellrechenmaschine nach Anspruch 5bis7, dadurch gekennzeichnet, daß eine größere Zahl von Schaltgliedern derart vereinigt wird, daß Summen aus mehr als drei Summanden sowie auch Produkte in einem einzigen Arbeitsschritt berechnet werden, indem die Schaltglieder derart miteinander verschaltet werden, daß bei der Summierung nicht nur die Potenzübertragungen ersten Grades, sondern auch zweiten Grades sofort mitberücksichtigt werden. g.
9. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis 8, dadurch gekennzeichnet, daß sie aus einem Einstellwerk zur Eingabe der Rechengrößen nebst Wahl der Rechenoperationen, aus einem Systemwandler für die Verwandlung der Zahlen aus dem Dezimalsystem ins Arbeitssystem und umgekehrt für deren Rückwandlung ins Dezimalsystem, aus einem die Folge von Additionsprozessen steuernden Steuerwerk mit Prüforgan, aus einem schreibenden Anzeigewerk mit Vorzeichen- und Kommastellenanzeige, aus dem Speicherwerk und aus dem eigentlichen Rechenwerk besteht. io.
10. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis g, dadurch gekennzeichnet, daß das Einstellwerk mit nur zehn Zifferntasten in fingergerechter Lage, mit vorbereitenden Operationstasten für die Wahl der Rechenarten und für die Rückwandlung von Zwischenergebnissen und Endergebnissen, ferner Speicher-, Verrechnungs- und Löschtasten, mit einer Korrekturtaste, Restanzeigetaste, Kommataste und mit einer Auslösetaste versehen ist. ii.
11. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis io, dadurch gekennzeichnet, daß die Maschine die Rückwandlung ins dezimale System mit dem gleichen Organ vollzieht, mit welchem die Verwandlung aus dem Dezimalsystem ins Arbeitssystem erfolgt, indem die Maschine die umzuwandelnde nichtdezimale Zahl zunächst in ihre nichtdezimale Ergänzungszahl umwandelt und alsdann aus dem Systemwandler die festen Dezimalkombinationen, mit der größten beginnend, zur Addition anbietet, während ein Prüforgan darüber entscheidet, ob die angebotene Kombination addiert werden darf oder nicht, und während das Anzeigewerk die jeweils addierte Dezimalkombination mit einer einzigen Ziffer in der zugehörigen Dezimalstelle registriert und auf diese Weise nach einem vollen Umlauf des Systemwandlers das Rückwandlungsergebnis aufzeichnet.
12. 12. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis ii, dadurch gekennzeichnet, daß von der Maschine automatisch eine Aufrundungsaddition durchgeführt wird, welche die Gültigkeit auch der letzten Stelle eines n-stelligen Pro duktes zweier j e n-stelligen Faktoren gewährleistet, so daß der Fehler unterhalb 0,5 # io-" bleibt (n = die in der Maschine installierte Dezimalstellenzahl). 13- Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis 12 für die Rechnung mit tabbellierten (z. B. trigonometrischen) Funktionen, dadurch gekennzeichnet, daß die Maschine aus einer geringen Zahl weit gestaffelter Tabellenwerte, die in an sich bekannter Weise in einem Zahlenkörper realisiert sind, eine große Zahl eng benachbarter Zwischenwerte mit großer Genauigkeit nach festem Plan automatisch berechnet wie z. B. sin (x -E- h) sin x + h # cos x bei fest gegebenen, in der Maschine niedergelegten Staffelwerten sin x, cos x und h. 1q. Schnellrechenmaschine nach Anspruch i bis 13, dadurch gekennzeichnet, daß zwei Ausführungsformen der Maschine derart ausgebildet werden, daß ein Paar dieser beiden Typen zu einer größeren Maschine zusammengeschaltet werden kann, wodurch eine Maschine mit verdoppelter Maschinenkapazität entsteht.