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Vierpolige Siebschaltung, bei welcher das Produkt der beiderseitigen
Wellenwiderstände nicht von der Frequenz abhängt (K-D-Filter) In der Filtertechnik
hat sich die Notwendigkeit ergeben, statt der bisher üblichen symmetrischen Siebschaltungen
auch unsymmetrische Siebschaltungen zu verwenden, vor allem solche, bei denen das
Produkt der beiderseitigen Wellenwiderstände nicht von der Frequenz abhängt (Konstante-Determinante-Filter
oder K-D-Filter genannt) und die nicht zu einem symmetrischen Vierpol in Reihe mit
einem idealen Transformator äquivalent sind. Unter idealen Transformatoren sind
hier nur praktisch ideale Transformatoren zu verstehen, die lediglich dem Zwecke
dienen, eine Phasenumkehr oder Widerstandsübersetzung herbeizuführen. Die Verwendung
von unsymmetrischen Siebschaltungen neben den bekannten symmetrischen Filtern ist
deshalb praktisch besonders wertvoll, weil die unsymmetrischen Filter alle Vorteile
der symmetrischen Filter aufweisen und es praktisch wünschenswert ist, die, Möglichkeiten
der Lösung einer Siebschaltugsaufgabe durch Verwendung auch unsymmetrischer Vierpole
zu erweitern. Außerdem gelingt es, mit unsymmetrischen Siebschaltungen wegen ihrer
größeren Allgemeinheit Aufgaben zu lösen, deren Lösung bisher mit symmetrischen
Vierpolen nicht gelang.
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Es wäre nun naheliegend, auch bei unsymmetrischen Siebschaltungen
mit konstanter Determinante (K-D-Filter) die Resonanz- und Antiresonanzfrequenzparameter
nach den Grenzfrequenzen hin zunehmend dichter zu legen, wie man es mit Vorteil
bei den symmetrischen Siebschaltungen getan hat. Doch ergeben sich bei der Bemessung
solcher Filter große Schwierigkeiten, deren Überwindung bisher noch nicht gelungen
war.
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Gemäß der Erfindung werden in folgendem genaue in Formeln gefaßte
konstruktive Angaben gemacht, wie ein K-D-Filter zu bemessen ist, damit seine Frequenzparameter
das oben angeführte Verhalten zeigen.
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Abb. z und 2 der Zeichnung dienen zur Erläuterung des Gegenstandes
der Erfindung und zeigen symmetrische Vierpole, die durch Spiegelung und Aneinanderreihung
unsymmetrischer Vierpole gewonnen werden.
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Abb. 3 ist ein Ausführungsbeispiel eines K-D-Filters (Hochpaß). Abb.
q. zeigt die Dämpfungscharakteristik und Abb.5 die Wellenwiderstandscharakteristik
dieses Filters.
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Die schon erwähnte Charakterisierung eines Vierpols durch die Bedingung,
daß das Produkt der beiderseitigen Wellenwiderstände nicht von der Frequenz abhängt,
was auch durch eine Matrix dargestellt werden kann, kann in folgender Weise geschehen.
Mit E, E2, Il, Il seien Spannungen und Ströme an den Eingangsklemmen (z,
z') und Ausgangsklemmen (2, 2') des Vierpols bezeichnet. Ist A, = i co (c)
= Kreisfrequenz) der Frequenzparameter, so gelten die Gleichungen El = Z11
(a') Il + Z12 0) I2 1 E2 = Z12 (A) Il + Z22 (A) I2 .
Die
Größen Z11, Z12 und Z22 hierin sind rationale Funktionen von A,, und zwar sind,
da Ohmsche Widerstände vernachlässigt werden sollen, Z" und Z22 speziell Reaktanzen
(d. h. Charakteristiken von Zweipolen).
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heißt die charakteristische Matiix
des Vierpols.
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Ohne wesentliche Beschränkung der Allgemeinheit kann vorausgesetzt
werden, daß es sich darum handelt, einen Sendeapparat und einen Empfangsapparat
gleichen Ohmschen Widerstandes R miteinander durch eine Siebschaltung zu verbinden.
Doch erstreckt sich die Erfindung durchaus nicht ausschließlich auf den Fall, wo
das Filter an beiderseits gleiche Ohmsche Widerstände angepaßt ist, sondern es kann
durch eine Reihenschaltung des Filters mit einem idealen Transformator oder eine
dazu äquivalente Schaltung die Anpassung an beiderseits verschiedene Ohmsche Widerstände
vorgenommen werden.
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Es ist bequem, statt der Größen Z11, Z12 und Z22 die reduzierten Größen
z11 = Z11IR, z12 = Z"IR und z22 = Z,IR einzuführen. Die Aufgabe, ein Filter zu konstruieren,
kann stets in zwei Teile zerlegt werden: Erstens eine geeignete realisierbare charakteristische
Matrix (d. h. z11, z12 und z22) zu finden, zweitens diese Matrix durch eine Schaltung
zu realisieren. Die für die Charakterisierung eines Filters wichtigste Größe ist
die Betriebsdämpfung A = ln III', wo I den Strom bezeichnet, der in den Empfangsapparat
bei direkter Verbindung mit dem Sendeapparat fließt, und wo I' den entsprechenden
Strom bezeichnet, wenn die Siebschaltung zwischen Sende- und Empfangsapparat gelegt
ist. Allgemein wird die Betriebsdämpfung A durch z11, z12 N und z22 folgendermaßen
ausgedrückt:
Im Sonderfall der K-D-Filter, der dadurch gekennzeichnet ist, daß
wird
Aus diesen Formeln läßt sich schließen, daß A = co wird. für z",
= o. ferner
daß
A -=
o
| wird, falls sowohl W1= R v A wie auch |
| j 22 |
| W2 = R @ 22 A = Rist. Hierin bedeutet Wl |
| nm |
| den linksseitigen, W2 den rechtsseitigen Wellen- |
widerstand. Daß die beiden letzten Bedingungen auch notwendig und hinreichend für
eine ideale Durchlaßfähigkeit sind, ergibt sich auch ohne Benutzung der Formel (r)
aus dem Umstand, daß maximale Energieabgabe von einem Sendeappamit reellem innerem
Widerstand und gegebener EMK an einen angeschlossenen Verbraucherwiderstand nur
dann stattfindet, wenn der Verbraucherwiderstand dem inneren Widerstand des Sendeapparats
gleich ist.
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Aus den Formeln
und Konstante Determinante (A = r) physikalisch
ergibt sich, daß die Bedingung bedeutet, daß der linksseitige Wellenwiderstand W1
bezüglich R2 widerstandsreziprok ist zu dem rechtsseitigen Wellenwiderstand W2,
d. h. W, - R2/N'2 (vgl. auch Abb. 5). Sonderfälle von Filtern dieser Art sind zwar
bereits bekannt. Das einfachste bekannte Beispiel besteht aus einer F-Schaltung
mit einem Zweipol in Querschaltung und einem dazu widerstandsreziproken Zweipol
in Längsschaltung. Die allgemeine rechnerische Erfassung sämtlicher K-D-Filter wird
jedoch erstmalig durch die vorliegende Erfindung gegeben. Grundlegend für den Fortschritt
ist der Umstand, daß von der Eigenschaft Konstante Determinante ausgegangen wird.
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Wegen der Forderung vollkommener Durchlaßfähigkeit im ganzen Frequenzbereich
kommen praktisch nur Reaktanzschaltungen in Frage. Da z11 und z22 als Reaktanzen
nur diskrete Unendlichkeitsstellen besitzen können, die stets mit Nullstellen abwechseln,
so kann die Forderung sehr hoher Dämpfung in einem ganzen Frequenzbereich nur dadurch
erfüllt werden, daß in diesem z12 ,= o ist, womit diese Bedingung auch als notwendig
erkannt ist.
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Der Grundgedanke der Erfindung besteht nun darin, die Konstruktion
allgemeiner unsymmetrischer Filter auf diejenige symmetrischer Filter zurückzuführen.
Wir denken uns nach Abb. r das fragliche Filter E mit einem dazu spiegelbildlichem
F1 in Reihe geschaltet. So entsteht aus dem, unsymmetrischen Filter ein symmetrischer
Vierpol. Dieser ist nun ein svmmetrisches Filter im Sinne der Siebschaltungen (VDI-Verlag
193z). Denn in den Sperrbereichen von F ist ja z12 = o, also sperrt schon die linke
Hälfte des Filters für sich allein genommen, also erst recht das ganze symmetrische
Filter. Übrigens berechnet sich die für die Vierpoldämpfung A1 eines svmmetrischen
Filters maßgebende Größe die angenähert gleich r ist, in den Sperrbereichen
zu
wonach tatsächlich z12 = o mit D = i identisch ist. Andererseits
ist W1 der Wellenwiderstand des symmetrischen Filters der Abb. i (d. h. die bei
symmetrischen Siebschaltungen mit
bezeichnete Größe), und W2 ist der Wellenwiderstand des bei Spiegelung von F an
der anderen Seite und Reihenschaltung analog entstehenden symmetrischen Vierpoles
(vgl. Abb. 2). Danach weiß man, nach den Ergebnissen der Theorie für symmetrische
Filter, daß für W1, W2 und D je nach der Filtertype (Tiefpaß-, Hochpaß-; Bandpaß-
und Bandsperrfilter oder ein Filter höherer Type) nur ganz bestimmte Klassen von
Funktionen des Frequenzparameters z in Frage kommen. Jedoch ist die Auswahl dieser
Klassen und der Parameter in den einzelnen Klassen nicht mehr in dem Maße willkürlich
wie bei symmetrischen Filtern, da es sich ja jetzt um symmetrische Filter der besonderen
Struktur Abb. i oder Abb. 2 handelt. Wie man die Klassen und Parameter weiter einzuschränken
hat, folgt aus einem Theorem des Erfinders über die notwendigen und hinreichenden
Bedingungen der Realisierbarkeit eines beliebigen unsymmetrischen Reaktanzvierpoles
(vgl. Reaktanztheorem von W. Cauer, Sitzungsbericht der Preuß. Akademie der Wissenschaften
193l). Dieses lautet: Damit eine quadratische, symmetrische n-reihige MatrixZ (A,)
= (Zsi) als charakteristische Matrix eines 2 n-Pols aus Reaktanzen aufgefaßt werden
kann, ist notwendig, daß die zugehörige quadratische Form
Zsr I,s I, für jedes reelle System von Werten Il, 12 ... In den für
Zweipolreaktanzen gültigen Bedingungen genügt. Elemente solcher und nur solcher
Matrizen lassen sich in der Form
schreiben, wo
Dieselben Bedingungen sind hinreichend, wenn man (n-i) ideale Transformatoren zu
den Reaktanzen hinzurechnet.
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In unserem Falle ist n = 2 zu wählen. Aus diesen Realisierungsbedingungen
ergeben sich nun leicht die Gesichtspunkte für die Konstruktion allgemeiner unsymmetrischer
Siebschaltungen. Aus den bekannten; Klassen für irgendwie gemäß
den Filtertypen und den Grenz-und denke man sich W1, W2 und D
frequenzen
ausgewählt. Z11 ergibt sich dann als W, D, Z22 als W2 D (beides also
realisierbare Reaktanzen) und R2 d = Z11, Z22 - Z;= als W, W2. Es ist dann
zu prüfen, ob rungsbedingungen verträglich ist, !und unter
mit obigen Realisiediesem Gesichtspunkt ist die Wahl der Klassen und Parameter vorzunehmen.
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Von den vielen neuen Möglichkeiten, die sich so für den Entwurf unsymmetrischer
Siebschaltungen ergeben, soll hier nun eingehender der Fall der K-D-Filter (d =
i) diskutiert und zahlenmäßig an einer konkreten Aufgabe erläutert werden. Hier
ist
Wegen d = i erweisen sich die obigen Realisierungsbedingungen alle als erfüllt,
falls nur die Wurzel in Z12 reell aufgeht, also Z12 eine reelle rationale Funktion
von Z wird. Danach sind genau die Funktionsklassen der folgenden Tabelle I für
möglich.
| Tabelle I |
| D = Yzllz22 für K-D-Filter (Z1lZ22-Zis = R2) . |
| Tiefpaßfilter (TP) |
| I/2) @/@2 + a)2 , |
| m A, |
| 3/2) (@'2 + c02) yi2 -f- ä)i |
| m + a);) |
| (a'2+2,2") ... (A2+2,2) Vi2+(01 |
| 21z + 1/2) . |
| mR(@2+a)2,2@t_1)...(A2+a)' 1) |
Hierin ist z. B. a1 identisch mit a, a3 mit y usw., a2 mit b, a, mit
f usw.
Der Zähler der Klassenbezeichnungen, z. B. 3 in
3I2, deutet an, mit welcher
Klasse aas den Siebschaltungen die betreffende Klasse identisch ist. Der symbolische
Faktor 1I2 soll andeuten, daß die Dämpfung des unsymmetrischen Filters F (Abb. i
und 2) nur die Hälfte der Dämpfung des symmetrischen Filters mit der Dämpfungscharakteristik
D beträgt. Statt Niederfrequenzdurchlaßfilter (NDF), Hochfrequenzdurchlaßfilter
(HDF), Banddurchlaßfilter (BDF) sind hier die kürzeren Bezeichnungen Tiefpaßfilter
(TP), Hochpaßfilter (HP) und Bandpaßfilter (BP) verwandt. Statt der Abkürzung BSF
für Bandsperrfilter ist die kürzere BS benutzt.
m und IC bedeuten positive
Konstante, «)"
1,
CO., 2 usw. sind Resonanz- und Antiresonanzfrequenzen, die
in der aufgeschriebenen Reihenfolge (dies gilt auch für Tabelle II) der Größe nach
aufeinanderfolgen (z. B. cod
< a),
< co b
< co, in
Klasse 5I2). Im Gegensatz zu den Verhältnissen bei symmetrischen Filtern sind aber
jetzt diese Resonanz- und Antiresonanzfrequenzparameter nicht mehr innerhalb der
angegebenen Ungleichungen vollkommen frei wählbar, sondern es müssen gewisse Gleichungen
zwischen ihnen bestehen, welche sogleich diskutiert werden sollen; Gleichungen,
welche ermöglichen, daß Zl. eine reelle, rationale Funktion von A, wird. Für W1
kann irgendeine der
für symmetrische Filter aus den Tabellen I bis IV der Siebschaltungen gewählt werden,
wobei keinerlei Beschränkung in den willkürlichen Parametern außer den angegebenen
Ungleichungen besteht. Diese Klassen für W1 sind in der folgenden Tabelle II angegeben.
Es ist W2 - RZIWl.
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Tabelle II stanter Determinante (Zll Z22 - Z 2 = R2).
für Filter mit kon-
Nunmehr müssen-die Parameter in den D-Klassen so bestimmt werden, daß Z12 rational
ausfällt. Dazu bietet sich die folgende Methode: Es gilt"die allgemeine Regel, wenn
w1 und w2 mögliche
derselben Type (z. B. TP) symmetrischer Filter sind, gilt dies auch für
und für i/w, Statt (5) schreiben wir symbolisch w3
= (w1) +
(w2) - (6)
w3
(bzw. i/w3) hat dann als i-Stellen (Unendlichkeitsstellen der Dämpfung) sowohl die
von w1 wie auch die von w2. Wählt man WI
= w2,
so erhält w3 doppelte :[-Stellen.
Durch derartige Zusammensetzungen kann man solche D-Klassen (vgl. Tabelle I) mit
solchen Parametern auffinden, daß alle i-Stellen doppelt sind und demnach
rational wird, und außerdem noch erreichen, daß z12 reell ausfällt. Bei einer Zusammensetzung
wird allerdings
imaginär. Doch führt das Verfahren folgendermaßen zum Ziel: TP, Klasse I/2. Mit
m = i wird
TP, Klasse 3/2. Sei m' in
eine beliebige positive Konstante. Wir bilden gemäß (6)
Demnach erhält man folgende Ausdrücke für die Parameter der Klasse 3/2 aus Tabelle
I durch die unabhängigen Parameter arl und yrt':
| (t) 1 Y 2m@ + I @1 |
| In = I, u)4 = , (Ob = , . |
| z + m z -@- 4n |
| TP, Klasse 5/2. Mit w4 = 1/# m,2 +2 bilden wir
gemäß (6) |
| V zliz22 = w5 = (w3) + [(w4) + (w4)1 |
| (0 1 2 2 2 |
| 4 + 2 [4 , " + 2 + ( + ") 2] + # @l l |
| 4nm z rrt z Ort ((I+4n')(I+m,#)# I_(I+nt')(I+m,@)J |
| + @,2 (ur2 + o ) ") + [I + 2 (m' + 4rt")]
1 l |
| @(I+m') (I+yn")_I |
| worin |
| ( " I |
| + ) + (I +"' rr2") 2 (2 Ort' -f -
I) - q, ,m"1 ' @1. |
| , 2 Ort |
| (iJ2 + OJ2 = [(I + In') 2 4r2 |
| .: (I -I_ m) (I + m ) |
| und somit |
| I-m I-m 1@2+ I @m'2) (A2+ I @m"2 |
| z12 OJI |
| I + 4y2' # I + 41L" # CU2 2 |
| #I A4 + A.. ( 0)i + C02) + [i
+ 2 (4rL' + m")@ |
| (i + m') (z + 4rt") |
Das allgemeine Bildungsgesetz ist jetzt klar. Für TP, Klasse 2n-112
ergibt sich
= w2"
+1 aus w2"
-1 der TP-Klasse
2 n - i/2 durch symbolische
Addition nach (6) von (ZPl2n) + (w2n), w0
ist.
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Der Nenner von z12 stimmt jedesmal mit dem, entsprechenden Nenner
von überein, und die Nullstellen von z12 stimmen
mit den i-Stellen der w4 überein, aus denen wen
zusammengesetzt wird. Analog
erhält man für HP; Klasse a/2
HP, Klasse y/2. Sei ß' in
eine beliebige positive Konstante. Wir bilden gemäß (6)
Demnach erhält man folgende Ausdrücke für die Parameter der Klasse y/2 aus Tabelle
II durch die unabhängigen Parameter col und Ic':
HP, Klasse c/2. Mit
bilden wir gemäß (6)
Allgemeines Bildungsgesetz für HP: 'Für Klasse a2"+112 ergibt sich
aus w2 n _ i der HP-Klasse a2"-1/2 durch die symbolische Addition (6) vön (wen)
-[- (W2"), wo
BP, Klasse 6/2. Sei m' in
eine beliebige positive Konstante und Co.' lediglich durch die Bedingung
beschränkt, daß co-, < co' < col. Wir bilden gemäß (6)
die i-Stellen von w2 sind. Allgemeines Bildungsgesetz für BP: Für Klasse 44 -E-
2/2 ergibt sich
aus w2"_1 der BP-Klasse 4n-2/2 durch die symbolische Addition nach (6) von (W2")
-E- (W2"),
wo
BS, Klasse b/2.
B S, Klasse f/2. Sei ,u' in
eine beliebige positive Konstante. Wir bilden gemäß (6)
die i-Stellen von w2 sind. Allgemeines Bildungsgesetz für BS: Für Klasse a4"+2p2
ergibt sich
aus w2,1 1 der BS-Klasse a4" 22 durch die symbolische Addition nach
(6) von (W2,) -f- (W2"),
wo
ist.
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Die im Anschluß an (5) und (6) gegebene Regel ist nicht auf die hier
allein als Beispiele angeführten wichtigsten Filtertypen (TP, HP, BP, BS) beschränkt,
sondern läßt sich naturgemäß auch zur Konstruktion von K-D-Filtern beliebig hoher
Type (z. B. Filter mit drei getrennten Durchlaßbereichen) anwenden.
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Wie man sieht, treten in allen Funktionen als Parameter (abgesehen
von den Grenzfrequenzen co_ 1, c)1) ,u', ,u"
. . . ,u3") bzw.
na', m"
... m('1) auf, die beliebig gewählt werden dürfen, außerdem bei den BP noch
die irrt Intervall (co-1, c)1) frei wählbaren o),',
ojö . . . Co(
0 . Aus diesen Parametern lassen sich, wie man aus den oben ausgeführten
Formeln erkennt, die Resonanz- und Antiresonanzfrequenzen in den Funktionsklassen
der Tabelle I (z. B. co., «)- ", (o b, (o- b
. . . (X)0, (t)a, «1_a, cog,
(t)_g
... ) sowie die Konstantenm und ,u eindeutig berechnen. Gute
Filter besitzen nun die Eigenschaft, daß ihre Resonanz- und Antiresonanzfrequenzen
nach den Grenzfrequenzen hin zunehmend dichter liegen. Eine spezielle Wahl solcher
Parameter, die zu möglichst hochwertigen Filtern einer Klasse führt, sind die T-Parameter.
Diese Parameter sind fast identisch mit den in den Siebschaltungen definierten Tschebyscheff-Parametern.
Der Unterschied besteht allein darin, daß der konstante Faktor m oder ,u anders
gewählt wird, und zwar so, daß der größte Wert von in den Annäherungs-(T-)Intervallen
I
ist. Der kleinste Wert in den Annäherungsintervallen ist dann H-2 bzw. 0-2 oder
anders ausgedrückt: Die Breite des Streifens, in dem In in den Annäherungsintervallen
variiert,
. ist 2 In H bzw. 2 In O (vgl. Kurve II aus Abb. q.). Dadurch wird nämlich erreicht,
daß alle I-Stellen doppelt sind, so daß z12 rational wird. Die T-Parameter sind
der folgenden Tabell III zu entnehmen.
| Tabelle III |
| T-Parameter |
| TP BP n2 ' a b c I d ... )% 1-H-4 |
| Klasse Klasse |
| I/2 2/2 |
| I |
| - - - - - |
| k -i |
| 3/2 6/2 I sn 23 |
| sn 3 - - k-3 64 |
| 1 |
| 5/2 I0/2 I sn 45 |
| sn 35 sn 25 |
| sn 5 - . k-5b4d4 |
| I |
| TB |
| 0)a- acol, c)6 = bcuol ... |
| BP w±a-Co_icoi-! 2 (Wi-(0 2a |
| 2 I |
| [/I T (0i 4- oi i -,)2 a2 |
| \, |
| statt a auch o, b, c ... |
| HP BS a-1 ß-i y-1 a-1 .. )/l14 |
| Klasse ,u Klasse 1 ,u |
| a/2 co, b/2 0)l -60-1 - - |
| - |
| x |
| Y/2 ä2 #1 fit #2 (# 1-0)-1) sn
23 sei 3 xaß-4 |
| 5 sn 25 sn 5 |
| - ß-4E-4 |
| ß(#1 #_i) sn 5 sn 3 x5 |
| E/2 a2ys W1 k/2 a2 y2 |
| HP |
| coa = awl, 0),a = (X)1 ... |
| co _ c# |
| BS M±a = #-i@# ±- (@i-W_i) a I -#- 4 1 12 2 " _ |
| a . |
| statt a auch ß, y ... |
In Tabelle III bedeutet sn die jakobische elliptische Funktion,
k'
1 < i bzw.
x < =ist der Modul; K bzw. K ist das vollständige
elliptische Integral erster Gattung. Wie man sieht, hängen hier also alle vorkommenden
Parameter nur von einem einzigen unabhängigen Parameter, nämlich
k-1 bzw.
x ab, der nur die Bedingung zu erfüllen braucht, daß er positiv kleiner als i ist.
Eine interessante Eigenschaft dieser T-Parameter ist, daß die in normierter Frequenz
ausgedrückten Stellen S-",;" der. gleichen hohen Minima der Dämpfung gegeben sind
durch das Verhältnis der normierten T-Intervallgrenzen
k (x) zu den normierten
Resonanzfrequenzen (Nullstellen)
b, d ... (ß,
ö ...
) der Dämpfungsfunktion (oder auch, was dasselbe ist, jedes der
beiden Leerlaufwiderstände z11, z22 im Durchlaßbereich bzw. in den Durchlaßbereichen).
Eine weitere experimentell leicht zu prüfende Eigenschaft der T-Parameter ist, daß
jeder normierten Antiresonanzfrequenz
a, c, e ... (a, y, s
... ) der Leerlaufwiderstände im Durchlaßbereich bzw. in den Durchlaßbereichen
eine entsprechende Unendlichkeitsstelle der Dämpfung derart zugeordnet werden kann,
daß das Produkt der entsprechenden (normierten) Frequenzen gleich der normierten
Frequenz
k (x) der T-Intervallgrenze ist. Dieser gesetzmäßige Zusammenhang
gilt auch noch für die Frequenzen o und oo in dem Sinne, daß einer Antiresonanzfrequenz
o der Leerlaufwiderstände eines Tiefpasses eine Unendlichkeitsstelle der Dämpfung
bei der Frequenz oo zugeordnet werden kann, und umgekehrt bei einem Hochpaß und
analog bei den BP und BS. Dies wird in den weiteren nun folgenden numerischen Beispielen
durchgeführt werden.
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Der Zusammenhang zwischen normierten Frequenzen S2 und gewöhnlichen
Kreisfrequenzen ist für die verschiedenen Typen von Filtern (vgl. auch Siebschaltungen,
Tabelle XI) durch folgende Formeln gegeben: Für TP und HP: o) = fc),
oder
Es ist möglich, durch Spezialisierung der durch Benutzung der Regel (6) gewonnenen
Parameter die T-Parameter zu gewinnen. Diese Spezialisierung wird z. B. in Klasse
s/2 durch folgende Gleichungen wiedergegeben:
Da nach Tabelle III die a, ß, y, ö lediglich von x abhängen, sind
hierdurch die an sich bei einem HP-Filter der Klasse a/2 mit der Grenzfrequenz w,
beliebig positiv unabhängig voneinander wählbaren zwei Parameter ,u' und ti". auf
den einzigen Parameter x zurückgeführt.
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Ubrigens ist bei den Klassen 3/2, y/2 und f12, bei denen sowieso
außer den Grenzfrequenzen nur ein freier Parameter vorkommt, jedes mögliche Parametersystem
ein T-Parametersystem. Obwohl sich dies eigentlich von selbst versteht, soll noch
darauf hingewiesen werden, daß die praktisch realisierten Parameter natürlich etwas
von den in Tabelle III gegebenen exakten Werten. abweichen dürfen. Man wird praktisch
etwa solche Toleranzen zugestehen dürfen, die eine Änderung der garantierten Minimaldämpfung
um höchstens =o °/o des Sollwertes bewirken.
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Die Vierpoldämpfung A1 eines K-D-Filters wird definiert als die Hälfte
der Vierpoldämpfung des zugehörigen, durch Verdoppelung entstehenden symmetrischen
Filters (in den Siebschaltungen ebenfalls mit A1 bezeichnet). Der Minimalwert von
A1 ist bei T-Parametern in den T-Intervallen zelteben durch die Formel
Genau wie bei symmetrischen Siebschaltungen gibt Alzwar den wesentlichsten Anteil
der Dämpfung an, aber nicht die gesamte Betriebsdämpfung, welche durch die Formel
(i a) gegeben ist.
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Durch die von dem Tschebyscheff-Parameter der Siebschaltungen abweichende
Art der Bestimmung von m und ,u bei den T-Parametern wird bewirkt, daß die garantierte
Minimaldämpfung eines K-D-Filters mit T-Parametern etwas kleiner ist als die Hälfte
der Minimaldämpfung bei dem entsprechenden symmetrischen Filter mit Tschebyscheff-Parametern.
Die Differenz beträgt im Maximum i/2 1n 2 = 0,35 Neper (vgl. auch das nachfolgende
numerische Beispiel).
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Nach Auswahl einer für K-D-Filter möglichen D-Klasse und WI-Klasse
mit ihren Parametern, wobei übrigens die Parameter der W,7 Klasse
gemäß
den Siebschaltungen als Tschebyscheff-Para,meter gewählt werden können - die Anwendung
dieser Parameter für die Wellenwiderstandsklassen der K-D-Filter ist ein, Teil der
Erfindung -, sind Z", Zaz und Z1. vollkommen als Funktionen des Frequenzparameters
bestimmt. Es ist Z"=W,D,
Die Bezeichnung einer bestimmten Kombination (D, W1) soll in Analogie zu den Bezeichnungen
bei symmetrischen Filtern so vereinbart werden, daß zuerst die Dämpfungs-und zuletzt
die Wellenwiderstandscharakteristik genannt wird. Z. B. bedeutet ein Filter der
Klasse y/2 2 ein HP-Filter konstanter Determinante mit der D-Charakteristik y/2
und der Wellenwiderstandscharakteristik 2.
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Der Begriff eines K-D-Filters einer gewissen Klasse in der eben beschriebenen
Bezeichnung mit einem gewissen
und soll hier und in den Ansprüchen nicht nur
solche Filter umfassen, von denen bisher die Rede war, sondern außerdem solche Filter,
die aus den bisherigen K-D-Filtern durch Reihenschaltung mit einem idealen Transformator,
wie eingangs erwähnt, hervorgehen oder eine zu einer solchen Reihenanordnung äquivalente
Ausführung bilden.
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Zur Konstruktion eines Filters ist nun noch nötig, die damit bekannte
charakteristische Matrix
durch eine der vielen möglichen äquivalenten Ausführungsformen zu verwirklichen.
Diese Matrix so abgeleitet, wie eben beschrieben, ist stets physikalisch zu verwirklichen.
Eine Form der Verwirklichung ist die in Abb. 2b des Reaktanztheorems dargestellte
Partialbruchschaltung.
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Nunmehr soll nach den angegebenen Regeln ein numerisches Beispiel
einer Filterkonstruktion gegeben werden, und zwar in der Ausführungsform der soeben
erwähnten Partialbruchschaltung. Es handelt sich um ein HP-Filter mit konstanter
Determinante der Klasse y/2 2, das mit den numerischen Werten seiner Schaltelemente
in Abb.3 wiedergegeben ist. Dem Filter liegen folgende technische Forderungen zugrunde:
Vierpoldämpfung Al mindestens 3 Neper bis zur Frequenz 86o Hz, Sollwert des Wellenwiderstandes
von der Frequenz iioo Hz an im, Durchlaßbereich 500 Ohm mit maximaler relativer
Schwankung von 5 °/o. Als Grenzfrequenz col wird 2 x # iooo angenommen. Wie schon
erwähnt, sind die Parameter bei der Klasse y/2 stets identisch mit denT-Parametern.
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Aus Tabelle I liest man für die Klasse y/2 ab:
Aus Tabelle II folgt für die Klasse 2 (HP)
Durch Multiplikation und Division und Multiplikation mit R folgt
Nach (7) ist
Hierin ist mit Berücksichtigung von (8)
Außerdem wollen wir auch für m und caa Tschebyscheff-Parameter wählen. Wie schon
erwähnt, sind die Parameter ,u, co, caß jedenfalls T-Parameter. Zu 50/, Wellenwiderstandsschwankung
gehört nach Tabelle XIV der Siebschaltungen in Klasse 2 a2 = 0,712. Damit folgt
aus Tabelle XI der Siebschaltungen 3. Spalte für Klasse 2 m = H = 1,051 und
(0ä = a2&)2 = 28,05 # iog. Als Al",;" des entsprechenden symmetrischen
Filters ergibt sich aus der Forderung der Aufgabe der Wert 2 (3 + 1/2 In 2) = 6,7
Neper. Zu diesem Wert findet man in der Tabelle XIV der Siebschaltungen
x = =/1,154. Mit diesem Wert x folgt
aus Tabelle
III oder auch aus Tabelle XIV der Siebschaltungen a2 = I/o,86oo, ß2 = 1/0,39I7,
also wird nach Tabelle III «)2=a2C02= 459#=0s ""2 = ß2(02 = 100,8 #
106,
3945 # Ios.
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Somit hat man für die charakteristische Matrix
in Partialbruchzerlegung folgende Form
Die Verwirklichung geschieht nach Reaktanztheorem, wobei sich die Zahlenwerte der
Abb. 3 ergeben. Aus den Abb. 4 und 5 läßt sich erkennen, daß die Anforderungen der
Aufgabe an die Dämpfung und den Wellenwiderstand erfüllt sind. Die Abb.4 setzt uns
weiterhin in den Stand, die oben angegebene Eigenschaft der T-Parameter an diesem
Beispiel zu verwirklichen. Es ergibt sich
transformation oi = 2 co, für HP erhält man
und auf Grund der Frequenz-Ornin = Amin C01 oder f"zin = 9n:in' f1
= 542 Hz
und analog f, = 803 Hz. Ferner entspricht der Antiresonanzfrequenz
von Zll und Z22 bei f = oo die Unendlichkeitsstelle der Dämpfung bei f = o. Man
überzeugt sich an Hand der Abb. 4 von der Richtigkeit dieser Resultate.
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An der eben diskutierten Schaltung der Abb. 3 ist zweierlei bemerkenswert.
Erstens enthält sie keinen idealen Transformator, obwohl nicht immer (vgl. die Arbeit
Reaktanztheorem) ideale Transformatoren in unsymmetrischen Vierpolschaltungen aus
Reaktanzen vermieden werden können. Zweitens ist bemerkenswert, daß oberhalb des
Punktes x die Kopplung der gegenüberliegenden Spulen entgegengesetztes Zeichen hat
wie die Kopplung des Barunterliegenden Spulenpaares. Es gibt also einen Stromkreis
durch das Eingangsklemmenpaar I, I' und einen Stromkreis durch das Ausgangsklemmenpaar
2, 2', derart, daß die Stromkreise beiderseits eines inneren Punktes der Schaltung,
nämlich x, mindestens je ein Spulenpaar enthalten, deren Kopplungen relativ zueinander
entgegengesetzt sind. In der Abb.3 sind im besonderen diese Kopplungen fest. Indessen
liegt es auf der Hand, daß bei anderen analogen K-D-Filtern auch lose Kopplungen
vorkommen können.