DE60132797T2

DE60132797T2 - Rekonstruktion ungleichförmig abgetasteter bandbegrenzter signale

Info

Publication number: DE60132797T2
Application number: DE60132797T
Authority: DE
Inventors: Häkan JOHANSSON; Per LÖWENBORG
Original assignee: Infineon Technologies AG
Current assignee: Infineon Technologies AG
Priority date: 2000-10-02
Filing date: 2001-09-28
Publication date: 2009-02-12
Anticipated expiration: 2021-09-29
Also published as: SE0003549L; SE518092C2; CN1468433A; EP1330824A1; ATE386323T1; US6476754B2; TW498623B; DE60132797D1; US20020075177A1; SE0003549D0; WO2002029806A1; CN100379154C; EP1330824B1; AU2001290483A1

Description

ERFINDUNGSGEBIET
Die vorliegende Erfindung betrifft allgemein das Gebiet des Abtastens und insbesondere Verfahren und Vorrichtungen zur Rekonstruktion von ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten Signalen, Verfahren und Vorrichtungen zur Kompensation von Zeitversatz in zeitlich verschachtelten Analog/Digital-Umsetzern (ADU) und ein Computerprogrammprodukt zum Durchführen der Rekonstruktionsverfahren.
BESCHREIBUNG DES VERWANDTEN STANDS DER TECHNIK UND HINTERGRUND DER ERFINDUNG
Bei der gleichförmigen Abtastung wird eine Sequenz x(n) aus einem analogen Signal x_a(t) erhalten, indem letztere äquidistant bei t = nT abgetastet wird, –∞ < n < ∞, d. h. x(n) = x_a(nT), wobei T die Abtastperiode ist, wie in 1a dargestellt. In diesem Fall beträgt die Zeit zwischen zwei konsekutiven Abtastfällen immer T. Bei der ungleichförmigen Abtastung andererseits hängt die Zeit zwischen zwei konsekutiven Abtastfällen von den Abtastfällen ab. Die vorliegende Erfindung befaßt sich mit der Situation, wo die Abtastwerte in N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1 getrennt werden können, wobei x_k(m) erhalten wird durch Abtasten von x_a(t) mit der Abtastrate 1/(MT) bei t = nNT + t_k, d. h. x_k(m) = x_a(nMT + t_k), wobei M eine positive ganze Zahl ist. Dieses Abtastverfahren ist in 1b für N = 2 und M = 2 dargestellt. Solche ungleichförmig abgetasteten Signale treten aufgrund von Zeitversatzfehlern beispielsweise in zeitlich verschachtelten Analog/Digital-Umsetzern (ADUs) auf.
Die Frage, die entsteht, lautet, wie aus x_k(m) eine neue Sequenz y(n) derart ausgebildet werden soll, daß y(n) entweder genau oder ungefähr (in einem gewissen Sinne) gleich x(n) ist. Für herkömmliche zeitlich ver schachtelte ADUs ist N = M und idealerweise t_k = kT. In diesem Fall wird y(n) = x(n) durch einfaches Verschachteln von x_k(m) erhalten. In der Praxis jedoch ist t_k aufgrund von Zeitversatzfehlern nicht genau gleich kT, was Aliasing-Komponenten in Y(e^jωT) einführt, wobei Y(e^jωT) die Fourier-Transformation von y(n) ist. Das bedeutet, das y(n) ≠ x(n), und somit ist die Information in y(n) nicht länger die gleiche wie die in x(n).
Es sei angemerkt, daß es wohlbekannt ist, daß, wenn die t_k derart verschieden sind, daß alle Abtastwerte zeitlich getrennt sind, dann x_a(t) eindeutig durch die Abtastwerte in den x_k(m) bestimmt werden. Es ist auch wohlbekannt, wie x_a(t) unter Verwendung analoger Interpolationsfunktionen aus den x_k(m) zurückgehalten werden können. Diese Funktionen lassen sich jedoch, wenn überhaupt möglich, nicht leicht in praktischen Implementierungen lösen, was somit nach anderen Lösungen ruft.
Der Artikel von Velaquez S.R., Nguyen T.Q., Broadstone S.R., Roberge J.K. „A hybrid filter bank approach to analogue-to-digital conversion", TIME-FREQUENCY AND TIME-SCALE ANALYSIS, 1994, PROCEEDINGS OF THE IEEE-SP INTERNATIONAL SYMPOSIUM in Philadelphia, PA, USA, 25.–28. Oktober 1994, Seiten 116–119, New York, USA, ISBN: 0-7803-2127-8, zeigt in 2 einen zeitlich verschachtelten ADU, bei dem die Ausgänge der ADU überabgetastet und dann miteinander summiert werden. Der gleiche Artikel zeigt in 3 einen nicht zeitlich verschachtelten Mehrkanal-ADU, bei dem die Ausgänge der ADUs überabgetastet, von digitalen Filtern gefiltert und dann summiert werden.
KURZE DARSTELLUNG DER ERFINDUNG
Eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht dementsprechend in der Bereitstellung eines Verfahrens bzw. einer Vorrichtung zur Rekonstruktion eines ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten analogen Signals x_a(t), wobei das ungleichförmig abgetastete Signal N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, umfaßt, erhalten durch Abtasten mit einer Abtastrate von 1/(MT) gemäß x_k(m) = x_a(nMT + t_k), wobei M eine positive ganze Zahl ist und t_k = kMT/N + Δt_k, wobei Δt_k von Null verschieden ist, die zu folgendem in der Lage sind: Ausbilden einer neuen Sequenz y(n) aus den N Teilsequenzen x_k(m) derart, daß y(n) mindestens die gleiche Information wie x(n) = x_a(nT) enthält, d. h. x_a(t) mit einer Abtastrate von 1/T abgetastet wird, in einem Frequenzbereich unter ω₀ (und möglicherweise einschließlich ω₀), wobei ω₀ eine vorbestimmte Grenzfrequenz ist.
Eine weitere Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht in der Bereitstellung eines derartigen Verfahrens bzw. einer derartigen Vorrichtung, die effizient, schnell, einfach und preiswert sind.
Noch eine weitere Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht in der Bereitstellung eines derartigen Verfahrens bzw. einer derartigen Vorrichtung, die in der Lage sind, Rauschen wie etwa z. B. Quantisierungsrauschen zu reduzieren.
Diese Aufgaben werden unter anderem durch ein Verfahren bzw. eine Vorrichtung gelöst, die die folgenden Schritte ausführen:

(i) Überabtasten jeder der N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, um den Faktor M;
(ii) Filtern jeder der überabgetasteten N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, durch einen jeweiligen digitalen Filter; und
(iii) Addieren der N digital gefilterten Teilsequenzen, um y(n) auszubilden.

Bevorzugt ist das jeweilige digitale Filter ein Fractional-Delay-Filter und hat einen Frequenzgang G_k = a_k e^(–jωsT), k = 0, 1, ..., N – 1 im Frequenzband |ωT| = ω₀T, wobei a_k eine Konstante ist und s von einer ganzen Zahl verschieden ist, und insbesondere s = d + t_k, wobei d eine ganze Zahl ist.
Wenn ω₀T ein fester Wert unter π ist, so daß das ursprüngliche analoge Signal Frequenzkomponenten einer höheren Frequenz als ω₀ umfaßt, dann wird eine regionale perfekte Rekonstruktion erzielt, das heißt, y(n) enthält die gleiche Information wie x(n) = x_a(nT), d. h. x_a(t) mit einer Abtastrate von 1/T abgetastet, nur in einem Frequenzbereich |ω| = ω₀. Eine regional perfekte Rekonstruktion ist von besonderem Interesse in überabgetasteten Systemen, wo die niedrigeren Frequenzkomponenten die wesentlichen Informationen führen, wohingegen die höheren Frequenzkomponenten unerwünschte Komponenten (zum Beispiel Rauschen) enthalten, die durch digitale und/oder analoge Filter beseitigt werden sollen.
Hier besitzen die Fractional-Delay-Filter einen Frequenzgang G_k = a_kA_k(e^jωT), k = 0, 1, ..., N – 1 im Frequenzband ω₀T < |ωT| = π, wobei A_k(e^jωT) eine willkürliche komplexe Funktion ist.
Wenn andererseits ω₀ tatsächlich alle Frequenzkomponenten des ursprünglichen analogen Signals enthält (d. h. ω₀T enthält alle Frequenzen bis zu π), wird eine perfekte Rekonstruktion erzielt, d. h. y(n) ist identisch mit x(n).
In beiden Fällen kommt es zu zwei verschiedenen Situationen: (1) 2K₀ + 1 = N und (2) 2 K₀ + 1 < N, wobei K₀ gegeben ist durch
für eine regional perfekte Rekonstruktion, wobei ⌈x⌉ als die kleinste ganze Zahl gelesen werden sollte, die größer oder gleich x ist, bzw. [–ω₁, ω₁] das Frequenzband ist, in dem das bandbegrenzte analoge Signal x_a(t) gefunden wird, und durch K0 = M – 1für eine perfekte Rekonstruktion.
In der Situation (1) werden die a_k berechnet als a = B–1c,wobei a die a_k in Vektorform sind, gegeben durch a = [a0 a1 ... aN-1]T,wobei B^–1 der Kehrwert von B ist, wie gegeben durch
In Situation (2) werden die a_k berechnet als a = B ^–1ĉ,wobei a definiert ist als a = [auafix]T,wobei a_u und a_fix(2K₀ + 1) unbekannte a_k und L = N – 2K₀ – 1 feste Konstante a_k enthalten, wobei B ^^–1 der Kehrwert von B ^ ist, wie gegeben durch
wobei B gegeben ist durch
S gegeben ist durch S = [Sz Sd],wobei
und
S_d= diag[1 1 ... 1],und
ĉ ĉ = [cafix]T ist, wobei c gegeben ist durch
Die L a_k können willkürlich gewählt werden. Bevorzugt werden sie als Null gewählt, wobei dann der entsprechende Kanal entfernt ist, oder als M/N, wobei dann etwaiges Quantisierungsrauschen auf ein Minimum reduziert werden kann.
Weitere Aufgaben der Erfindung sollen ein Verfahren zur Kompensation eines Zeitversatzes in einem zeitlich versschachtelten Analog/Digital-Umsetzer-(ADU)-System bereitstellen, umfassend mehrere Analog/Digital-Umsetzer (ADU), und das ADU-System selbst bereitstellen.
Somit werden ein derartiges Verfahren und ADU-System bereitgestellt, umfassend das jeweilige Verfahren und die jeweilige Vorrichtung wie oben beschrieben, wobei jede der N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, durch einen jeweiligen der Analog/Digital-Umsetzer abgetastet wird.
Noch eine weitere Aufgabe der vorliegenden Erfindung soll ein Computerprogrammprodukt zur Rekonstruktion eines ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten analogen Signals bereitstellen.
Eine derartige Aufgabe wird durch ein Computerprogrammprodukt gelöst, das in den internen Speicher einer digitalen Signalverarbeitungsvorrichtung geladen werden kann, umfassend Softwarecodeabschnitte zum Ausführen beliebiger der Verfahren wie oben beschrieben, wenn das Produkt auf der Vorrichtung läuft.
Ein Vorteil der vorliegenden Erfindung besteht darin, daß ein ganz oder teilweise rekonstruiertes digitales Signal produziert werden kann ohne die Notwendigkeit, sehr komplexe und kaum implementierbare analoge Interpolationsfunktionen anzuwenden.
Weitere Charakteristiken der Erfindung und Vorteile davon ergeben sich aus der folgenden ausführlichen Beschreibung von Ausführungsformen der Erfindung.
KURZE BESCHREIBUNG DER ZEICHNUNGEN
Ein eingehenderes Verständnis der vorliegenden Erfindung ergibt sich aus der ausführlichen Beschreibung von bevorzugten Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung, die nachfolgend angegeben sind, und den beiliegenden 1–6, die lediglich als Darstellung angegeben sind und die vorliegende Erfindung nicht einschränken.
1a veranschaulicht schematisch eine gleichförmige Abtastung, wobei eine Sequenz x(n) aus einem analogen Signal x_a(t) erhalten wird, indem letzteres äquidistant bei t = nT, –∞ < n < ∞, d. h. x(n) = x_a(nT) erhalten wird; und 1b zeigt schematisch eine ungleichförmige Abtastung, wobei Abtastwerte in zwei Teilsequenzen x_k(m) getrennt werden, k = 0, 1, wobei x_k(m) erhalten wird durch Abtasten von x_a(t) mit der Abtastrate 1/(2T) bei t = n2T + t_k, d. h. x_k(m) = x_a(n2T + tk).
2 veranschaulicht schematisch einen gleichförmigen Abtaster und Quantisierer.
3 veranschaulicht schematisch einen Überabtaster.
4 veranschaulicht schematisch ein Analog/Digital-Filterbank-ADU-Hybridsystem.
5 veranschaulicht schematisch ein Analysefilterbanksystem zum Produzieren von x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, wobei x_k(m) N Teilsequenzen sind, erhalten durch Abtasten von x_a(t) zu Zeitpunkten t = nMT + t_k.
6 veranschaulicht schematisch eine Polyphasendarstellung der Aufwärtsabtastung- und Synthesebank in dem System von 4.
AUSFÜHRLICHE BESCHREIBUNG VON AUSFÜHRUNGSFORMEN
In der folgenden Beschreibung werden zu Zwecken der Erläuterung und nicht der Beschränkung spezifische Details dargelegt, um ein eingehendes Verständnis der vorliegenden Erfindung zu vermitteln. Es ist jedoch dem Fachmann klar, daß die vorliegende Erfindung in anderen Versionen praktiziert werden kann, die von diesen spezifischen Details abweichen. In anderen Fällen entfallen detaillierte Beschreibungen wohlbekannter Verfahren und Vorrichtungen, damit die Beschreibung der vorliegenden Erfindung nicht mit unnötigen Details verdunkelt wird.
Die vorliegende Erfindung betrachtet das Problem des Rekonstruierens ungleichförmig abgetasteter bandbegrenzter Signale. Ein derartiges Problem entsteht zum Beispiel aufgrund von Zeitversatzfehlern in zeitlich verschachtelten Analog/Digital-Umsebern (ADU). Genauer gesagt haben wir es mit der folgenden Situation zu tun. Seien N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, gegeben, erhalten durch Abtasten eines bandbegrenzten analogen Signals x_a(t) mit einer Abtastrate von 1/(MT) gemäß x_k(m) = x_a(nMT + t_k). Wie soll eine neue Sequenz y(n) aus x_k(m) derart gebildet werden, daß y(n) entweder genau oder ungefähr (in einem gewissen Sinne) gleich x(n) = x_a(nT) ist, d. h. x_a(t) abgetastet mit einer Abtastrate von 1/T. Dazu wird in dem vorliegenden Patent die Verwendung einer N-Kanal-Digitalsynthesefilterbank vorgeschlagen. Das Gesamtsystem kann als eine Verallgemeinerung der herkömmlichen zeitlich verschachtelten ADU angesehen werden, auf die ersteres als ein Spezialfall reduziert wird. Wir zeigen, daß das vorgeschlagene System mit richtigen idealen Synthesefiltern y(n) = x(n) erreichen kann. Diese Synthesefilter eignen sich jedoch nicht zur Approximierung durch digitale Filter in der Praxis. Deshalb werden wir auch den Fall betrachten, bei dem y(n) ≠ x(n), wo aber y(n) und x(n) die gleiche Information in einem niedrigeren Frequenzbereich enthalten. Wir zeigen, daß das Gesamtsystem Y(e^jωT) = X(e^jωT) für |ωT| = ω₀T erreichen kann, wobei Y(e^jωT) und X(e^jωT) die Fourier-Transformationen von x(n) bzw. y(n) sind und ω₀ eine vorbestimmte Grenzfrequenz ist, wieder mit den richtigen idealen Synthesefiltern, die in diesem Fall durch digitale Filter aus der Praxis approximiert werden können. Dieses Verfahren eignet sich für (geringfügig) überabgetastete ADU-Systeme, wo ein Aliasing in das Frequenzband ω₀T < |ωT| = π toleriert werden kann. Die idealen Synthesefilter sind Allpaßfilter mit im allgemeinen verschiedenen Verstärkungskonstanten. Wir analysieren die Effekte der Verwendung praktischer Filter, die den idealen nahe kommen.
Folgendes ist der Umriß der anderen Teile der vorliegenden Beschreibung. Zuerst werden die gleichförmige Abtastung, Überabtastung und Analog/Digital-Filterhybridbänke kurz rekapituliert, wobei sich letztere zweckmäßigweise beim Analysieren von ungleichförmig abgetasteten Systemen verwenden lassen. Der folgende Abschnitt behandelt ungleichförmige Abtastung und Rekonstruktion. Danach werden zeitlich verschachtelte ADU und ihre Verallgemeinerungen betrachtet. Der nachfolgende Abschnitt betrifft die Fehleranalyse bzw. das Quantisierungsrauschen. Schließlich ist eine Liste von Gleichungen (Gl.) angegeben, wobei auf die Gleichungen in den obigen Abschnitten Bezug genommen wird.
Gleichförmige Abtastung, Überabtastung und Filterbänke
Gleichförmige Abtastung und Quantisierung sind durch den gleichförmigen Abtaster und Quantisierer in 2 dargestellt. Unter Nichtbeachtung der Quantisierung wird die Ausgangssequenz x(n) durch gleichförmiges Abtasten des analogen Eingangssignals x_a(t) zu den Zeitpunkten nT für alle n erzielt, siehe Gl. (1) in der Liste von Gleichungen am Ende dieser Beschreibung. Hier sind T die Abtastperiode und f_sample = 1/T die Abtastfrequenz. Die Fourier-Transformationen von x(n) und x_a(t) stehen entsprechend der Poissonschen Summenformel in Beziehung, siehe Gl. (2).
Der Aufwärtsabtaster in 3 wird verwendet, um die Abtastfrequenz um einen Faktor von M heraufzusetzen. Die Abtastperiode und die Abtastfrequenz, mit der niedrigeren Rate assoziiert, hier durch T₁ bzw. f_sample,1 bezeichnet, stehen offensichtlich zu T und f_sample in Beziehung, wie in Gl. (3). Die Ausgangssequenz y(n) ist durch Gl. (4) gegeben, und die Fourier-Transformationen von y(n) und x(m) stehen wie in Gl. (5) zueinander in Beziehung.
Es soll nun das System in 4 betrachtet werden, was wir als eine Analog/Digital-Hybridfilterbank oder Filterbank-ADU bezeichnen. Dieses System verwendet eine analoge Analysefilterbank, gleichförmige Abtaster und Quantisierer und eine digitale Synthesefilterbank. Abtastung und Quantisierung finden am Ausgang der Analysefilter mit einer Abtastfrequenz von 1/T₁ = f_sample/M statt, da T₁ = MT. Bei dem Filterbank-ADU erfolgen so wohl Abtastung als auch Quantisierungen mit der niedrigen Abtastrate f_sample/M.
Bei Nichtberücksichtigung der Quantisierungen in dem System von 4 wird die Fourier-Transformation der Ausgangssequenz y(n) leicht mit Hilfe der obigen Beziehungen erhalten, siehe Gl. (6), wobei X_k(e^jmωT) durch Gl. (7) gegeben ist. Gl. (6) kann als Gl. (8) umgeschrieben werden, wobei V_p(jω) durch Gl. (9) gegeben ist.
Es sollen die Systeme in 2 und 4 mit X(e^jωT) und Y(e^jωT) wie durch Gl. (2) bzw. Gl. (8) angegeben betrachtet werden. Man erinnere sich, daß das Spektrum eines abgetasteten Signals immer mit einer Periode von 2π periodisch ist (2π-periodisch). Somit ist X(e^jωT) offensichtlich 2π-periodisch. Dies gilt auch für Y(e^jωT), solange alle G_k(e^jωT) 2π-periodisch sind. Somit genügt es, X(e^jωT) und Y(e^jωT) in dem Intervall –π = ωT = π zu betrachten. Es werden nun zwei verschiedene Arten von Rekonstruktion behandelt.
Perfekte Rekonstruktion: Das System in 4 besitzt eine perfekte Rekonstruktion (PR), wenn Gl. (10) für eine gewisse von Null verschiedene Konstante c und eine ganzzahlige Konstante d vorherrscht. Im Zeitbereich haben wir im PR-Fall y(n) = cx(n – d). Das heißt, mit c = 1 ist y(n) einfach eine verschobene Version von x(n). Aus den Gl. (2), (8) und (10) ist ersichtlich, daß PR erhalten wird, wenn Gl. (11) für –∞ = r = ∞ vorherrscht.
Regional perfekte Rekonstruktion: Es seinen x(n) und y(n) getrennt, wie durch Gl. (12) angegeben, wobei entsprechende Fourier-Transformationen durch Gl. (13) und (14) angegeben sind, wobei ω₀T < π. Das System in 4 besitzt regional perfekte Rekonstruktion (RPR), wenn Gl. (15) oder äquivalent Gl. (16) für eine gewisse von Null verschiedene Konstante c und ganzzahlige Konstante d vorherrscht. Im Zeitbereich haben wir in dem RPR- fall y_low(n) = cx_low(n – d). Das heißt, mit c = 1 ist y_low(n) einfach eine verschobene Version von x_low(n). y(n) ist jedoch keine verschobene Version von x(n), d. h. y(n) ≠ cx(n – d). Aus Gl. (2), (8) und (16) ist zu sehen, daß RPR erhalten wird, wenn Gl. (17) für –∞ = r = ∞ erfüllt ist. Systeme mit regional perfekter Rekonstruktion sind in überabgetasteten Systemen von Interesse, wo x_low(n) die wesentlichen Informationen trägt, wohingegen x_high(n) unerwünschte Komponenten (z. B. Rauschen) enthält, die durch digitale und/oder analoge Filter beseitigt werden sollen.
Bandbegrenzte Fälle: Wenn X_a(jω) bandbegrenzt ist, dann braucht nur eine finite Anzahl von Termen in den Summierungen von Gl. (2) und (8) in dem Intervall –π = ωT = π verarbeitet zu werden. Es werden zwei verschiedene Fälle betrachtet.
Fall A (PR): x_a(t) sei gemäß Gl. (18) bandbegrenzt. In diesem Fall wird das Nyquist-Kriterium zum Abtasten mit einer effektiven Abtastfrequenz von 1/T ohne Aliasing erfüllt. Somit kann x_a(t) beibehalten werden, wenn ein Aliasing in das Band –π = ωT = π vermieden wird.
Es soll zuerst x(n) in 2 betrachtet werden. Aus Gl. (2) ist offensichtlich, daß wir im Gebiet –π = ωT = π kein Aliasing haben, wenn X_a(jω) gemäß Gl. (18) bandbegrenzt ist. Es soll als nächstes y(n) in 4 betrachtet werden. Im Gebiet –π = ωT = π, wobei X_a(jω) gemäß Gl. (18) bandbegrenzt ist, kann leicht verifiziert werden, daß nur 2K₀ + 1 Terme in Gl. (8) für p = –K₀, –(K₀ – 1), ..., K₀ berücksichtigt werden brauchen, wobei K₀ durch Gl. (19) gegeben ist.
PR wird nun erhalten, wenn Gl. (20) vorherrscht, wo K₀ durch Gl. (19) gegeben ist. In diesem Fall kann x_a(t) somit aus x(n) sowie y(n) zurückgehalten werden, vorausgesetzt das System in 4 besitzt PR.
Fall B (RPR): x_a(t) sei gemäß Gl. (21) bandbegrenzt und gemäß Gl. (22) mit den entsprechenden Fourier-Transformationen getrennt, die durch Gl. (23), (24) und (25) gegeben sind.
In diesem Fall kann x_a(t) nicht beibehalten werden, doch kann x_a,low(t) beibehalten werden, solange Aliasing in das Band –ω₀T = ωT = ω₀T vermieden wird.
Es soll zuerst x(n) in 2 betrachtet werden. Im Gebiet –π = ωT = π, wobei X_a(jω) gemäß Gl. (21) und (25) bandbegrenzt ist, ist es offensichtlich, daß in Gl. (2) nur 3 Terme für r = –1, 0, 1 betrachtet werden müssen. Zudem läßt sich im Gebiet –ω₀T = ωT = ω₀T, wobei ω₀ durch Gl. (25) gegeben ist, leicht verifizieren, daß nur ein Term für r = 0 berücksichtigt werden braucht. Das heißt, ein Aliasing in dieses Band wird automatisch vermieden. Es soll als nächstes y(n) in 4 betrachtet werden. In dem Gebiet –π = ωT = π, wobei X_a(jω) gemäß Gl. (21) und (25) bandbegrenzt ist, kann leicht verifiziert werden, daß nur 2K₀ + 1 Terme in Gl. (8) für p = –K₀, –(K₀ – 1), ..., K₀ berücksichtigt werden müssen, wobei K₀ durch Gl. (26) gegeben ist, wobei ⌈x⌉ für die kleinste ganze Zahl größer oder gleich x steht. Zudem wird in dem Gebiet –ω₀T = ωT = ω₀T, wobei ω₀ durch Gl. (25) gegeben ist, ohne weiteres verifiziert, daß nur 2K₀ + 1 Terme in Gl. (8) für p = –K₀, –(K₀ – 1), ..., K₀ berücksichtigt werden müssen, wobei K₀ durch Gl. (27) gegeben ist.
RPR wird nun erhalten, wenn Gl. (28) erfüllt ist, wobei K₀ durch Gl. (27) gegeben ist, und A(jω) ist eine gewisse willkürliche Funktion. In diesem Fall kann somit x_a,low(t) sowohl von x(n) wie auch y(n) beibehalten werden, vorausgesetzt das System in 4 besitzt RPR.
Ungleichförmiges Abtasten und Rekonstruktion
Es seien x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N Teilsequenzen, die durch Abtasten von x_a(t) zu den Zeitpunkten t = nMT + t_k erhalten wurden, d. h. wie durch Gl. (29) angegeben. Für M = N = 2 wird x_a(t) gemäß 1b abgetastet.
Die Teilsequenzen x_k(m) können durch Abtasten der Ausgangssignale von den Analysefiltern in 4 erhalten werden, wenn diese Filter gemäß Gl. (30) ausgewählt werden. Die Analysefilterbank ist in diesem Fall wie in 5 gezeigt.
Durch Verknüpfen der Gl. (9) und (30) erhält man Gl. (31).
Als nächstes wird gezeigt, wie die Synthesefilter in den bandbegrenzten Fällen A und B (siehe vorausgegangene Sektion) gewählt werden, so daß PR bzw. RPR erhalten werden.
Fall A (PR-Fall): In diesem Fall ist x_a(t) gemäß Gl. (18) bandbegrenzt. Es seien G_k(e^jωT) durch Gl. (32) angegebene 2π-periodische Filter. Aus Gl. (31) und (32) wird Gl. (33) erhalten. Für PR ist es erforderlich, daß V_p(jω) wie durch Gl. (33) angegeben Gl. (20) erfüllt. Das heißt, PR wird erhalten, wenn Gl. (34) erfüllt ist.
Fall B (RPR-Fall): In diesem Fall ist x_a(t) gemäß Gl. (21) bandbegrenzt. Es seien G_k(e^jωT) 2π-periodische Filter, die durch Gl. (35) gegeben sind, wobei A_k(e^jωT) gewisse willkürliche komplexe Funktionen sind. Aus Gl. (31) und (35) erhält man Gl. (36), wobei A(jω) durch Gl. (37) gegeben ist.
Für RPR ist erforderlich, daß V_p(jω) wie durch Gl. (36) gegeben Gl. (28) erfüllt. Das heißt, RPR wird erhalten, wenn wieder Gl. (34) erfüllt ist.
Als nächstes wird betrachtet, wie die a_k berechnet werden. Sowohl für PR als auch RPR (Fälle A und B) muß Gl. (34) erfüllt sein. Diese Gleichung kann in Matrix form als Gl. (38) geschrieben werden, wobei B eine (2K₀ + 1)×N-Matrix gemäß Gl. (39) ist, wobei die u_k durch Gl. (40) gegeben sind. Zudem ist a ein Spaltenvektor mit N Elementen und c ein Spaltenvektor mit 2K₀ + 1 Elementen gemäß Gl. (41) bzw. (42), wobei T für die Transponierte (ohne Komplex-Konjugierte) steht. Die a_k sind die Unbekannten, wohingegen die c_k gemäß Gl. (43) gegeben sind.
Gl. (38) ist ein lineares System aus 2K₀ + 1 Gleichungen mit N unbekannten Parametern a_k. Somit kann Gl. (38) gelöst werden, wenn 2K₀ + 1 = N. Es werden zwei verschiedene Fälle unterschieden.
Fall 1: 2K₀ + 1 = N. In diesem Fall ist die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl von Gleichungen. Die a_k können in diesem Fall unter den durch den folgenden Satz angegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt werden.
Satz 1: Wenn B und c wie durch Gl. (39) bzw. (42) angegeben sind, 2K₀ + 1 = N und t_k ≠ t_m + MTr, k ≠ m, r ∈ Z, dann existiert ein die Gl. (38) erfüllender eindeutiger Wert a und dadurch auch Gl. (34) erfüllende eindeutige a_k-Werte. Zudem sind alle die a_k in a reellwertige Konstanten.
Beweis: Zuerst wird bewiesen, daß es eine eindeutige Lösung gibt. Da 2K₀ + 1 = N, ist B eine quadratische N×N-Matrix. Wenn B nichtsingulär ist, dann wird a eindeutig durch Gl. (44) beschrieben, wobei B^–1 der Kehrwert von B ist. Es reicht deshalb aus zu zeigen, daß B unter den angegebenen Bedingungen nichtsingulär ist. Dazu wird zuerst beobachtet, daß B wie durch Gl. (39) gegeben wie in Gl. (45) geschrieben werden kann, wobei A durch Gl. (46) gegeben ist und C eine diagonale Matrix gemäß Gl. (47) ist.
Die Matrix A ist eine Vandermonde-Matrix. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Nichtsingularität von A ist deshalb, daß die u_k verschieden sind, d. h. u_k ≠ um, k ≠ m, was die gleiche Bedingung ist wie t_k ≠ t_m + MTr, k ≠ m, r ∈ Z, aufgrund von Gl. (40). Da die Determinante von B det B = det A det C ist und |det C| = 1, erhalten wir ferner die Relationen wie in Gl. (48) gegeben. Das heißt, B ist nichtsingulär dann und nur dann, wenn A nichtsingulär ist. Dies beweißt, daß B nichtsingulär ist und eine eindeutige Lösung a immer unter den angegebenen Bedingungen existiert.
Um zu beweisen, daß die a_k in a reellwertige Konstanten sind, gehen wir wie folgt vor. Es wird angenommen, daß wir die eindeutigen Werte a_k haben, die Gl. (34) genügen. Unter Verwendung von Gl. (40) kann Gl. (34) äquivalent als Gl. (49) geschrieben werden, wobei x* für die Komplex-Konjugierte von x steht. Aus Gl. (49) erhalten wir Gl. (50). Diese zeigt, daß auch die Werte a_k* Gl. (34) genügen. Da jedoch a_k eindeutig sind, folgt daraus, daß sie reellwertig sein müssen.
Fall 2: 2K₀ + 1 < N. In diesem Fall übersteigt die Anzahl der Unbekannten die Anzahl der Gleichungen. Wir können deshalb unter den a_k L = N – 2K₀ – 1 zusätzliche lineare Beschränkungen auferlegen und dennoch Gl. (34) erfüllen. Hierbei beschränken wir uns auf den Fall, bei dem die L a_k für k = N – L + 1, N – L + 2, ..., N auf gewisse Konstanten festgelegt sind. Dieser Fall deckt die herkömmlichen zeitlich verschachtelten ADU mit einer geraden Anzahl von Kanälen ab. Da L a_k frei sind, könnten sie natürlich auf Null gesetzt werden, wobei dann die entsprechenden Kanäle entfernt würden. In diesem Sinne besteht keine Notwendigkeit, die Fälle mit einer geraden Anzahl von Kanälen zu betrachten. Wie wir jedoch unten sehen werden, kann es wert sein, diese Fälle zu betrachten, um das Quantisierungsrauschen am Ausgang des Gesamtsystems zu reduzieren.
Das System aus linearen Gleichungen, das gelöst werden soll, kann hier in Matrixform als Gl. (51) geschrieben werden, wobei B eine N×N-Matrix ist und a und c Spaltenvektoren mit N Elementen sind, gemäß Gl. (52), (53) bzw. (54), wobei B die (2K₀ + 1)×(2K₀ + 1)-Matrix ist, wie durch Gl. (39) gegeben, au und a_fix die (2K₀ + 1) Unbekannten bzw. L festen Konstanten von a enthalten, c der Spaltenvektor mit (2K₀ + 1) Elementen wie durch Gl. (43) angegeben ist, S eine durch Gl. (55) angegebene L×N-Matrix ist, wobei S_z eine durch Gl. (56) gegebene Lx(2K₀ + 1)-Nullmatrix und S_d eine L×L-Diagonalmatrix ist, wobei die Diagonalelemente gleich Eins sind, siehe Gl. (57).
Wie in Fall I können die a_k in Fall 2 unter den durch den folgenden Satz angegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt werden.
Satz 2: Wenn B ^ und c wie durch Gl. (52) bzw. (54) angegeben sind, enthält a_fix in Gl. (53) L reelle feste Konstanten, 2K₀ + 1 < N und t_k ≠ t_m + MTr, k ≠ m, r ∈ Z, dann existiert ein Gl. (51) erfüllender eindeutiger Wert für a und deshalb auch Gl. (34) erfüllende eindeutige a_k-Werte. Zudem sind alle die a_k in a reellwertige Konstanten.
Beweis: Der Beweis folgt dem von Satz 1. Um die Existenz und Eindeutigkeit zu beweisen, reicht es somit aus zu zeigen, daß B ^ unter den angegebenen Bedingungen nichtsingulär ist, da a dann durch Gl. (58) eindeutig bestimmt ist.
Um die Nichtsingularität von B ^ darüber zu beweisen, beobachten wird, daß seine Determinante durch Gl. (59) gegeben ist, wobei B ~ eine aus B ~ durch Löschen von L Spalten für k = N – L + 1, N – L + 2, ..., N erhaltene (2K₀ + 1)×(2K₀ + 1)-Teilmatrix ist, d. h. wie in Gl. (60) gegeben. Aus dem Beweis von Satz 1 wissen wir, daß det B ~ ≠ 0 und somit B ^ ≠ 0 unter den angegebenen Bedingungen. Dies beweist, daß B ^ nichtsingulär ist und immer eine eindeutige Lösung existiert. Der Beweis, daß die a_k in a reellwertig sind, erfolgt auf die gleiche Weise wie der von Satz 1.
Zeitlich verschachtelte ADU und ihre Verallgemeinerungen
Diese Sektion betrachtet herkömmliche zeitlich verschachtelte ADU und ihre Verallgemeinerungen. Es sei zuerst der Fall betrachtet, wo N = M, wobei t_k durch Gl. (61) und (62) gegeben ist.
Zudem sollen die Synthesefilter G_k(e^jωT) durch Gl. (32) gegeben sein, mit a_k = 1, k = 0, 1, ..., M – 1, c = 1 und d = 0, d. h. wie in Gl. (63). Aus den Gl. (31) und (63) erhalten wir Gl. (64).
Somit wird PR erhalten. In diesem Fall liegt ein herkömmlicher zeitlich verschachtelter ADU vor. Die Ausgangssequenz y(n) wird hier durch Verschachteln der x_k(m) erhalten.
In der Praxis wird Δt_k jedoch nicht länger genau Null sein. Wenn Δt_k bekannt sind, können die a_k gemäß Gl. (44) berechnet werden, wenn N ungerade ist und 2K₀ + 1 = N, oder gemäß Gl. (58), wenn 2K₀ + 1 < N. In diesem Fall kann PR nicht erzielt werden, da N = M und PR erfordert, daß K₀ = M – 1. Somit können weder 2K₀ + 1 = N noch 2K₀ + 1 < N erfüllt werden. Andererseits kann RPR erzielt werden. Für diesen Fall stellt sich die folgende Frage: Wenn N = M und K₀ gegeben sind, was ist der größte Wert von ω₀T, den wir zulassen können und dennoch RPR erhalten können? Es ist bereits festgelegt, daß Gl. (65) erfüllt sein muß, um RPR zu erzielen. Wenn 2K₀ + 1 = N, erhalten wir Gl. (66).
Es soll als nächstes der Fall betrachtet werden, wobei N ≠ M, wobei t_k durch Gl. (67) und (68) gegeben ist. Zudem sollen die Synthesefilter G_k(e^jωT) durch Gl. (32) gegeben sein mit a_k = M/N, k = 0, 1, ..., N – 1, c = 1 und d = 0, d. h. wie in Gl. (69). Aus den Gl. (31) und (69) erhalten wir Gl. (70).
Somit wird PR erhalten. In diesem Fall haben wir ein System, das als eine Verallgemeinerung der zeitlich verschachtelten ADU angesehen werden kann. In diesem Fall können wir jedoch nicht länger die Ausgangssequenz durch Verschachteln der x_k(m) erhalten.
Wieder wird Δt_k in der Praxis nicht länger genau Null sein. Wenn die Δt_k bekannt sind, können die a_k entsprechend Gl. (44) berechnet werden, wenn N ungerade ist und 2K₀ + 1 = N oder gemäß Gl. (58), wenn 2K₀ + 1 < N. Im Gegensatz zu dem Fall mit M-Kanal können wir hier in dem Fall mit dem N-Kanal sowohl PR als auch RPR durch Auswählen von K₀ gemäß Gl. (19) bzw. (27) und natürlich dadurch erzielen, daß N so gewählt wird, daß 2K₀ + 1 < N. Um RPR für ein gegebenes M und K₀ zu erzielen, muß ω₀T wieder Gl. (65) genügen. Wenn 2K₀ + 1 = N, erhalten wir Gl. (71). Somit erhalten wir durch Erhöhen der Anzahl der Kanäle RPR über einen größeren Frequenzbereich hinweg.
Fehler- und Rauschanalyse
Als nächstes erfolgt eine Fehleranalyse. Insbesondere werden Grenzen zu den Fehlern in a und c abgeleitet, wenn B und a durch B + ΔB bzw. a + Δa ersetzt werden. Die Fehler in a sind insofern von Interesse, als daß Quantisierungsrauschen betroffen ist, wie in der nächsten Sektion klar wird. Die Fehler in c sagen uns, wie nahe alle praktischen Filter bei den idealen Synthesefiltern liegen müssen, damit bestimmte vorgeschriebene zulässige Fehler in c erfüllt werden.
Wir verwenden die L_∞-Zeichen-Normen wie durch Gl. (72) definiert für einen N×1-(1×N)-Vektor x mit Elementen x_i und wie durch Gl. (73) definiert für eine NxN-Matrix X mit Elementen x_ik.
Fehler in a: Es sei zuerst Fall 1 mit 2K₀ + 1 = N betrachtet. Es sei zuerst angenommen, daß wir Ba = c für t_k = d_kT und a_k haben. Es sei als nächstes angenommen, daß t_k = d_kT und a_k durch t_k = d_kT + Δt_k und a_k + Δa_k ersetzt werden, wohingegen c festgehalten wird. Das führt zu Gl. (74). Die Matrix ΔB ist eine NxN-Matrix gemäß Gl. (75), wo Δb_pk und Δt_pk durch Gl. (76) bzw. (77) gegeben sind.
Wenn nun Gl. (78) genügt ist, dann kann gezeigt werden, daß Gl. (79) gilt. Aus Gl. (75)–(77) erhalten wir Gl. (80).
Wir haben B = AC und folglich B^–1 = C^–1A^–1. Da A hier eine DFT-Matrix ist, ist zudem ihr Kehrwert A^–1 eine IDFT-Matrix; somit |A^–1|_∞ = 1. Wir haben auch |C^–1|_∞ = 1, weil C^–1 offensichtlich eine Diagonalmatrix mit diagonalen Elementen u_k ^K ₀ ist, wobei u_k durch Gl. (40) gegeben sind. Wir haben somit Gl. (81), die zusammen mit Gl. (80) zur Gl. (82) führt. Durch Einsatz der Gl. (79)–(82) und unter der Annahme |ΔB|_∞ |B^–1|_∞ << 1 erhalten wir schließlich Gl. (83).
Es sei als nächstes Fall 2 mit 2K₀ + 1 < N betrachtet. Dieser Fall ist etwas schwieriger als Fall 1, da wir B im allgemeinen nicht als ein Produkt zwischen einer DFT-Matrix und einer Diagonalmatrix ausdrücken können. Wenn wir uns jedoch auf die zeitlich verschachtelten ADU und ihre Verallgemeinerungen beschränken, läßt sich ohne weiteres zeigen, daß Gl. (51) als Gl. (84) umgeschrieben werden kann, wobei B' eine NxN-Matrix gemäß Gl. (85) ist, wobei u_k durch Gl. (40) gegeben ist, und c' ein Spaltenvektor mit N Elementen c_k gemäß Gl. (86) ist.
Offensichtlich können wir B' als ein Produkt zwischen einer DFT-Matrix und einer Diagonalmatrix ausdrücken. Wir kommen deshalb zu dem gleichen Ergebnis wie in Fall 1, d. h. der Grenze in Gl. (83).
Fehler in c: Es sei angenommen, daß wir Ba = c für t_k = d_kT und a_k haben. Es sei nun angenommen, daß t_k = d_kT und a_k durch t_k = d_kT + Δt_pk bzw. a_k + Δa_k ersetzt werden. Dies führt zu Gl. (87), aus der wir Gl. (88) erhalten. Wiederum erhalten wir aus Gl. (88) Gl. (89). Unter Verwendung der Gl. (39) und (75)–(77) erhalten wir schließlich Gl. (90), die bei der Auslegung der Synthesefilter G_k(z) nützlich ist.
Man erinnere sich von oben, daß die idealen Filter die Frequenzgänge a_k e^–jωtk über den relevanten Frequenzbereich aufweisen sollten [falls c = 1 und d = 0 in Gl. (32) und (35)]. In der Praxis kann G_k(z) sich den idealen Gängen nur annähern. Die Frequenzgänge von G_k(z) können als Gl. (91) ausgedrückt werden, wobei Δa_k(ωT) und Δt_pk(ωT) die Abweichungen von den idealen Größen- und Phasengängen sind. Wenn die zulässigen Fehler in c und Gl. (90) und (91) gegeben sind, ist es somit leicht, G_k(z) so auszulegen, daß die Anforderungen erfüllt werden.
Zur Analyse der Rauschvarianz am Ausgang des Systems in 4 ist es zweckmäßig, die Synthesefilterbank mit ihrer sogenannten Polyphasenrealisierung gemäß 6 darzustellen. Die Ausgangssequenz y(n) wird durch Verschachteln der y_i(m), i = 0, 1, ..., M – 1, erhalten. Die Transferfunktion des Ausgangs y(n) ist durch Gl. (92) angegeben, wobei Y(z) durch Gl. (93) gegeben ist, X(z), Y(z) und G^(p)(z) in Gl. (94), (95) bzw. (96) definiert sind. Die G_ik(z) sind die Polyphasenkomponenten von G_k(z) gemäß Gl. (97).
Wie bei der Rauschanalyse üblich, werden die Quantisierungsfehler als stationäres weißes Rauschen modelliert. Es seien x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, unkorrelierte Quellen für weißes Rauschen mit Null-Mittelwert und Varianzen s_xk ². Da G^(p)(z) ein lineares und zeitlich invariantes System beschreibt, sind auch die Ausgänge y_i(m), i = 0, 1, ..., M – 1, stationäres weißes Rauschen mit einem Null-Mittelwert. Die Varianzen von y_i(m), hier durch s_yi ²(n) bezeichnet, sind im allgemeinen verschieden, selbst wenn s_xk ² gleich sind. Auch die Ausgänge y_i(m) können korreliert sein. Das Ausgangsrauschen y(n) wird deshalb im allgemeinen nicht stationär sein. Seine Varianz, hier durch s_y ²(n) bezeichnet, ist somit zeitlich variant. Es ist weiterhin periodisch mit einer Periode N, da offensichtlich Gl. (98) gilt.
Wir definieren das mittlere Quantisierungsrauschen am Ausgang in Gl. (99). Wenn die Synthesefilter G_k(z) und ihre Polyphasenkomponenten G_ik(z) gegeben sind, kann (s_y ²)_av wie in Gl. (100) berechnet werden.
Nun seien die Synthesefilter durch Gl. (101) gegeben und alle Eingangsvarianzen s_xk ² gleich gemäß Gl. (102). Das Verknüpfen der Gl. (100)–(102) gibt uns Gl. (103).
Eine Frage, die sich nun stellt, lautet, wie die a_k ausgewählt werden sollen, so daß (s_y ²)_av wie durch (103) gegeben in Abhängigkeit von der Einschränkung auf ein Minimum reduziert wird, daß PR oder RPR gleichzeitig erzielt wird. Es soll das Problem wie durch Gl. (104) definiert betrachtet werden. Die Einschränkung in Gl. (104) ist eine von jenen, die erfüllt sein muß, um PR oder RPR zu erhalten. Da die Summe aus den a_k M ist, kann die in Gl. (104) zu minimierende Zielfunktion als Gl. (105) umgeschrieben werden. Somit wird die Lösung für Gl. (104) für a_k = M/N, k = 0, 1, ..., N – 1 erhalten mit dem Mindestwert von (s_y ²)_av wie in Gl. (106).
Dies zeigt, daß die Auswahl a_k = M/N für die zeitlich verschachtelten ADU und ihre Verallgemeinerungen das mittlere Quantisierungsrauschen am Ausgang auf ein Minimum reduziert.
In der Praxis wird Δt_k nicht länger genau Null sein, was impliziert, daß die a_k durch a_k + Δa_k ersetzt werden. Wenn die Δa_k klein sind (und a_k > 0), ist das mittlere Quantisierungsrauschen in diesem Fall durch Gl. (107) gegeben. Mit a_k = M/N erhalten wir Gl. (108). Die Quantität wird aus Gl. (83) erhalten.
Die vorliegende Erfindung hat das Problem des Rekonstruierens ungleichförmig abgetasteter bandbegrenzter Signale unter Verwendung digitaler Filterbänke betrachtet. Das Gesamtsystem kann als eine Verallgemeinerung der herkömmlichen zeitlich verschachtelten ADU angesehen werden, auf die ersteres als ein Spezialfall reduziert wird. Durch Verallgemeinern der zeitlich verschachtelten ADU ist es möglich, die Fehler, die aufgrund von Zeitversatzfehlern eingeführt werden, zu eliminieren. Wir betrachten Systeme sowohl mit perfekter Rekonstruktion (PR) als auch regional perfekter Rekonstruktion (RPR), und es wird gezeigt, wie solche Systeme zu erhalten sind, indem die (idealen) digitalen Filter ordnungsgemäß ausgewählt werden.
Das Verfahren zum Rekonstruieren eines ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten Signals kann in einer beliebigen geeigneten digitalen Signalverarbeitungsvorrichtung, wie etwa zum Beispiel eigene Hardware, oder einem Computer implementiert werden. Das Verfahren wird im letzteren Fall mit Hilfe eines Computerprogrammprodukts ausgeführt, das Softwarecodeabschnitte umfaßt, die in den internen Speicher einer geeigneten Vorrichtung geladen sind.
Die Liste von Gleichungen wird auf den folgenden Seiten präsentiert.
Liste der Gleichungen
Y(ejωT) = ce–jdωTX(ejωT), |ωT| ≤ π (10)
x(n) = xlow(n) + xhigh(n) (12) y(n) = ylow(n) + yhigh(n) (13) X(ejωT) = Xlow(ejωT) + Xhight(ejωT) Y(ejωT) = Ylow(ejωT) + Yhight(ejωT) (13) Xlow(ejωT) = 0, ω0T < |ωT| ≤ π Xhigh(ejωT) = 0, |ωT| ≤ ω0T Ylow(ejωT) = 0, ω0T < |ωT| ≤ π Yhigh(ejωT) = 0, |ωT| ≤ ω0T (14) Y(ejωT) = ce–jdωTX(ejωT), |ωT| ≤ ω0T (15) Ylow(ejωT) = ce–jdωTXlow(ejωT), |ωT| ≤ π (16)
Xa(jω) = 0, |ω| ≥ πT (18) K0 = M – 1 (19)
Xa(jω) = 0, |ω| ≥ ω1 (21) Xa(t) = Xa,low(t) + Xa,high(t) (22) Xa(jω) = Xa,low(jω) + Xa,high(jω) (23) Xlow(jω) = 0, |ω| > ω0 Xhigh(jω) = 0, |ω| ≤ ω0, |ω| ≥ ω1 (24) 0 < ω0 < ω1, ω0 + ω1 ≤ 2π/T (25)
xk(m) = x(nMT + tk), k = 0, 1, ..., N – 1 (29)

Ba = c (38)
a = [a0, a1 ... aN-1]T (41)
a = B–1c (44) B = AC (45)
det A ≠ 0 ⇔ det B ≠ 0 det A ≠ 0 ⇔ det B = 0 (48)
B ^a = ĉ (51)
a = [auafix]T (53) ĉ = [cafix]T (54) S = [SzSd] (55)
Sd = diag[1 1 ... 1] (57) a = B ^–1ĉ (58)
tk = dkT + Δtk k = 0, 1, ..., M – 1 (61) dk = k, k = 0, 1, ..., M – 1 Δtk = 0, k = 0, 1, ..., M – 1 (62) Gk(ejωT) = e–jkωT, |ωT|, < π (63)
tk = dkT + Δtk (66) k = 0, 1, ..., N – 1 (67) dk = kMN , k = 0, 1, ..., N – 1 Δtk = 0, k = 0, 1, ..., N – 1 (68)
ω0T ≤ π(N+1)M – ω1T (71) ||x||∞ = max|x1|, 0 ≤ 1 ≤ N – 1 (72)
(B + ΔB)(a + Δa) = c. (74)
Δtpk = 2πpMT Δtk (77) ||ΔB||∞·||B–1||∞ < 1 (78)
||B–1||∞ ≤ ||C–1||∞·||A–1||∞ = 1 (81)
B'a = c' (84)
(B + ΔB)(a + Δa) = c + Δc (87) Δc = BΔa + ΔBa + nBΔa (88) ||Δc||∞ ≤ ||B||∞||Δa||∞ + ||ΔB||∞||a||∞ + ||ΔB||∞||Δa||∞ (89) ||Δc||∞ ≤ Nmax{|Δak|} + Nmax{|Δtpk|}max{|ak|} + Nmax{|Δtpk|}max{|Δak|} (90) = N(max{|Δak|} + max{|Δtpk|}max{max|ak|})||Δc||∞ ≤ Nmax{|Δak|} + Nmax{|Δtpk|}max{|ak|} + Nmax{|Δtpk|}max{|Δak|} (90) = N(max{|Δak|} + max{|Δtpk|}max{max|ak|}) (90)(90)
Y(x) = G(p)(z)X(z) (93) Y(z) = [X0(z)X1(z) ... XN-1(z)]T (94) Y(z) = [Y0(z)Y1(z) ... YM-1(z)]T (95)

Claims

Ein Verfahren zur Rekonstruktion eines ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten analogen Signals x_a(t), wobei das ungleichförmig abgetastete Signal N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, umfaßt, erhalten durch Abtasten mit einer Abtastrate von 1/(MT) gemäß x_k(m) = x_a(nMT + t_k), wobei M eine positive ganze Zahl ist und t_k = kMT/N + Δt_k, wobei Δt_k von Null verschieden ist, wobei das Verfahren die folgenden Schritte enthält: – Ausbilden einer neuen Sequenz y(n) aus den N Teilsequenzen x_k(m) derart, daß y(n) mindestens die gleiche Information wie x(n) = x_a(nT) enthält, d. h. x_a(t) mit einer Abtastrate von 1/T abgetastet wird, in einem Frequenzbereich unter ω₀, wobei ω₀ eine vorbestimmte Grenzfrequenz ist, mit Hilfe von: (i) Überabtasten jeder der N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, um den Faktor M; wobei das Verfahren gekennzeichnet ist durch: (ii) Filtern jeder der überabgetasteten N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, durch einen jeweiligen digitalen Filter: und (iii) Addieren der N digital gefilterten Teilsequenzen, um y(n) auszubilden.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das jeweilige digitale Filter ein Fractional-Delay-Filter ist und einen Frequenzgang G_k = a_ke^(–jωst), k = 0, 1, ..., N – 1 im Frequenzband |ωT| = ω₀T, aufweist, wobei a_k eine Konstante ist und s von einer ganzen Zahl verschieden ist.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei s = d + t_k, wobei d eine ganze Zahl ist.
Verfahren nach Anspruch 2 oder 3, wobei das jeweilige Fractional-Delay-Filter einen Frequenzgang G_k = a_kA_k (e^jωT), k = 0, 1, ..., N – 1 im Frequenzband ω₀T < |ωT| = π aufweist, wobei A_k(e^jωT) eine willkürliche komplexe Funktion ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 4, wobei die a_k derart ausgewählt sind, daß
erfüllt ist, wobei K₀ gegeben ist durch
wobei ⌈x⌉ als die kleinste ganze Zahl gelesen werden sollte, die größer oder gleich x ist, und [–ω₁, ω₁] das Frequenzband ist, in dem das bandbegrenzte analoge Signal x_a(t) gefunden wird.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei die a_k berechnet werden als a = B–1c,wobei a die a_k in Vektorform sind, gegeben durch a = [a0, a1 ... aN-1]wobei B^–1 der Kehrwert von B ist, wie gegeben durch
vorausgesetzt, daß 2K₀ + 1 = N.
Verfahren nach Anspruch 5, wobei die a_k berechnet werden als a = B ^–1ĉ, wobei a definiert ist als a = [auafix]T wobei au und a_fix (2K₀ + 1) unbekannte a_k und L = N – 2K₀ – 1 feste Konstante a_k enthalten, wobei B ^^–1 der Kehrwert von B ^ ist, wie gegeben durch
wobei B gegeben ist durch
S gegeben ist durch S = [SzSd],wobei
und S_d = diag[1 1 ... 1], und ĉ ĉ = [cafix]T ist, wobei c gegeben ist durch

vorausgesetzt, daß 2K₀ + 1 < N.
Verfahren nach Anspruch 7, wobei L = N – 2K₀ – 1 der a_k berechnet werden als a_k = M/N, k = N – L + 1, N – L + 2, ..., N.
Verfahren nach Anspruch 7, wobei L = N – 2K₀ – 1 der a_k berechnet werden als a_k = 0, k = N – L + 1, N – L + 2, ..., N.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1–9, wobei N = M.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1–9, wobei N ≠ M.
Verfahren nach Anspruch 10 oder 11, wobei ω₀ ausgewählt wird entsprechend
K₀ gegeben ist durch
wobei ⌈x⌉ als die kleinste ganze Zahl gelesen werden sollte, die größer oder gleich x ist, und [–ω₁, ω₁] das Frequenzband ist, in dem das bandbegrenzte analoge Signal x_a(t) gefunden wird.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das jeweilige digitale Filter ein Fractional-Delay-Filter ist und einen Frequenzgang G_k = ak e^(–jωsT), k = 0, 1, ..., N – 1 im Frequenzband |ωT| = π, aufweist, wobei ak eine Konstante ist und s von einer ganzen Zahl verschieden ist und somit die ausgebildete neue Sequenz y(n) genau gleich x(n) ist.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei s = d + t_k, wobei d eine ganze Zahl ist.
Verfahren nach Anspruch 13 oder 14, wobei die a_k derart ausgewählt sind, daß
erfüllt ist, wobei K₀ gegeben ist durch Kp = M – 1.
Verfahren nach Anspruch 15, wobei die a_k berechnet werden als a = B–1C,wobei a die a_k in Vektorform sind, gegeben durch a = [a0 a1 ... aN-1]T,wobei B^–1 der Kehrwert von 3 ist, wie gegeben durch

vorausgesetzt, daß 2K₀ + 1 = N.
Verfahren nach Anspruch 15, wobei die a_k berechnet werden als a = B ^–1ĉ, wobei a definiert ist als a = [auafix]T,wobei a_u und a_fix (2K₀ + 1) unbekannte a_k und L = N – 2K₀– 1 feste Konstante a_k enthalten, wobei B ^^–1 der Kehrwert von B ^ ist, wie gegeben durch
wobei B gegeben ist durch
S gegeben ist durch s = [SzSd],wobei
und S_d = diag[1 1 ... 1], und ĉ ĉ = [cafix]T ist, wobei c gegeben ist durch
vorausgesetzt, daß 2K₀ + 1 < N.
Verfahren nach Anspruch 17, wobei L = N – 2K₀ – 1 der a_k berechnet werden als a_k = M/N, k = N – L + 1, N – L + 2, ..., N.
Verfahren nach einem der Ansprüche 13–18, wobei N > M.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1–19, wobei die N Teilsequenzen x_k(m) vor der Überabtastung quantisiert werden.
Digitale Signalverarbeitungsvorrichtung zur Rekonstruktion eines ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten analogen Signals x_a(t), wobei das ungleichförmig abgetastete Signal N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, umfaßt, erhalten durch Abtasten mit einer Abtastrate von 1/(MT) gemäß x_k(m) = x_a(nMT + t_k), wobei M eine positive ganze Zahl ist und t_k = kMT/N + Δt_k, wobei Δt_k von Null verschieden ist, dadurch gekennzeichnet, daß die Vorrichtung dafür ausgelegt ist, das Verfahren wie in einem der Ansprüche 1–20 beansprucht auszuführen.
Digitale Signalverarbeitungsvorrichtung zur Rekonstruktion eines ungleichförmig abgetasteten bandbegrenzten analogen Signals x_a(t), wobei das ungleichförmig abgetastete Signal N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, umfaßt, erhalten durch Abtasten mit einer Abtastrate von 1/(MT) gemäß x_k(m) = x_a(nMT + t_k), wobei M eine positive ganze Zahl ist und t_k = kMT/N + Δt_k, wobei Δt_k von Null verschieden ist, wobei die Vorrichtung folgendes umfaßt: – digitale Signalverarbeitungsmittel zum Ausbilden einer neuen Sequenz y(n) aus den N Teilsequenzen x_k(m) derart, daß y(n) mindestens die gleiche Information wie x(n) = x_a(nT) enthält, d. h. x_a(t) mit einer Abtastrate von 1/T abgetastet wird, in einem Frequenzbereich unter ω₀, wobei ω₀ eine vorbestimmte Grenzfrequenz ist, umfassend: (i) Mittel zum Überabtasten jeder der N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, um einem Faktor M, wobei M eine positive ganze Zahl ist; gekehnzeichnet durch (ii) Mittel zum Filtern jeder der überabgetasteten N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, durch einen jeweiligen digitalen Filter; und (iii) Mittel zum Addieren der N digital gefilterten Teilsequenzen, um y(n) auszubilden.
Vorrichtung nach Anspruch 22, wobei das jeweilige digitale Filter ein Fractional-Delay-Filter ist und einen Frequenzgang G_k = a_ke^(–jωsT), k = 0, 1, ..., N – 1 mindestens in dem Frequenzband |ωT| = ω₀T, aufweist, wobei ak eine Konstante ist und s von einer ganzen Zahl verschieden ist und s = d + t_k, wobei d eine ganze Zahl ist.
Vorrichtung nach Anspruch 23, wobei die a_k berechnet werden als a = B–1c,wobei a die a_k in Vektorform sind, gegeben durch a = [a0 a1 ... aN-1]T,wobei B^–1 der Kehrwert von B ist, wie gegeben durch
vorausgesetzt, daß 2K₀ + 1 = N.
Vorrichtung nach Anspruch 23, wobei die a_k berechnet werden als a = B ^–1ĉ,wobei a definiert ist als a = [auafix]T wobei a_u und a_fix(2K₀ + 1) unbekannte a_k und L = N – 2K₀– 1 feste Konstante a_k enthalten, wobei B ^^–1der Kehrwert von B ^ ist, wie gegeben durch
wobei B gegeben ist durch
S gegeben ist durch S = [SzSd],wobei
und Sd = diag[1 1 ... 1], und ĉ ĉ = [cafix]T ist, wobei c gegeben ist durch

vorausgesetzt, daß 2K₀ + 1 < N.
Verfahren zur Kompensation eines Zeitversatzes in einem zeitlich verschachtelten Analog/Digital-Umsetzer-(ADU)-System, umfassend mehrere Analog/Digital-Umsetzer (ADU), gekennzeichnet durch Ausführen des Verfahrens wie in einem der Ansprüche 1–20 beansprucht, wobei jede der N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, durch einen jeweiligen der Analog/Digital-Umsetzer abgetastet wird.
Zeitlich verschachteltes Analog/Digital-Umsetzer-(ADU)-System, umfassend mehrere Analog/Digital-Umsetzer (ADU), wobei das System gekennzeichnet ist durch eine digitale Signalverarbeitungsvorrichtung wie in einem der Ansprüche 21–25 beansprucht, wobei jede der N Teilsequenzen x_k(m), k = 0, 1, ..., N – 1, N = 2, durch einen jeweiligen der Analog/Digital-Umsetzer abgetastet wird.
Computerprogrammprodukt, das in den internen Speicher einer digitalen Signalverarbeitungsvorrichtung geladen werden kann, umfassend Softwarecodeabschnitte zum Ausführen des Verfahrens wie in einem der Ansprüche 1–20 beansprucht, wenn das Produkt auf der Vorrichtung läuft.