TW498623B

TW498623B - Reconstruction of nonuniformly sampled bandlimited signals

Info

Publication number: TW498623B
Application number: TW089121596A
Authority: TW
Inventors: Hakan Johansson; Per Lowenborg
Original assignee: Ericsson Telefon Ab L M
Priority date: 2000-10-02
Filing date: 2000-10-16
Publication date: 2002-08-11
Also published as: DE60132797D1; EP1330824A1; WO2002029806A1; CN1468433A; ATE386323T1; AU2001290483A1; US6476754B2; EP1330824B1; SE0003549L; US20020075177A1; SE518092C2; CN100379154C; DE60132797T2; SE0003549D0

Description

498623 A7 B7 五、發明說明（發明之技術範疇大體上係關縣樣之料，更特別地，關於非均二’又永（限頻信號之重建方法與裝置，關於時間交铒之 …數位轉換器(ADCs)的時間偏移之補償方.二及關於：種用於執行該重建方法之電腦程式產品:… 本發明之相關技藝與背景説明一=;ΓΓ，藉由在t=nT，—，等距離取樣二。紅⑴而後得—序列x⑻，π，x(n)=Xa(叫，丁係係中者 Ν 例器二二，如圖la所緣示。在此狀況，二連續取樣間隔之 :争間恆爲T。另一方面，在非均勾性取樣時，二連請取厲之間的時間依取樣間隔而定。本發明處理的狀況樣本可以分爲n個子序列以叫者，ku’m，立在t = nMT+tk以1/(MT)的取樣率取樣〜⑴而獲得 ’即’ Mm)=Xa(nMT+tk)，M係正整數。此取樣方案以 =2且2繪示於圖lb。此非均勻性取樣信號發生在， # 如，時間偏移誤差所導致之時間交錯的類比至數位轉換 (ADCs) 〇比況際頻指發生的問題係如何自xk(m)形成新序列y(n)，俾使y(n)恰等於或大約（某種程度地）等於x(n)。就傳統時間交錯的類土數k轉換器而言，N二M，且理想上，h = kT。在此狀 ’ y(n) = x(n)簡單地藉由使Xk(m)交錯而獲得。然而，實上’時間偏移誤差導致tk不恰等_於kT，時間偏移誤差將疊成分引入Y(ehT)，Y(epT)係y(n)的富立葉轉換。此意 ’ y(n) * χ(η)，於是，y(n)中的資訊不再與χ(…中者相同 4- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格⑽χ脱公爱） 498623 五、發明說明（2 應注思，XfA人皆知，如一間方面係分離的，列χ ^ k不同，俾使全邵樣本在時人亦皆知如何使用類⑽中的樣本唯—決定。眾，在實際應用的時候，自眾咖)得到〜⑴。然而的話跡性發明概述因此，本發明之—目纟 α ^ ^ 類比信號·重建方法性取f之限頻括N個子序列Xk(m)，k=Gi : : &取4心虎包 ^ m .. r, Xk(m) . x (；MT；；；； 7/； ? ^ " 1/(MT> a(nMT+tk：Kfe由取樣而獲得，並中係正整數，而tk，〜，△㈣爲零，其可以；㈣個子序列Xk(m)形成新序列y(n)，俾使y⑷至少含有 1⑽相同的資訊，即，Xa⑴在_低於<可能包含;^ 頻率區域中以1/T的取樣率取樣，叫係預定限制頻率。 # 本發明之又一目的係個別提供此方法與裝置，其有效率、快速、簡單且成本低。本發明之再一目的係個別提供此方法與裝置，其可以減少雜訊，例如，量化雜訊。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製那些目的特別各藉由一方法與一裝置而獲得，其執行下列步驟·· ⑴以因子Μ升取樣N個子序列xk(m)之每一項，k二 0,1，…，N-1 ; (ii)以一個別的數位濾波器過濾升取樣的N個子序列 Xk(m)之每一項，k二 0，1，..·，Ν-1 ;及 -5- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623

五、發明說明（3 (iii)添加N數位濾波子序列以形成y(n)。較佳地，個別數位濾波器係分數延遲濾波器，且具有— 在頻帶|MT| S 中的頻率響應Gk= ake(如st)，匕：〇 1 ，丄，· · ·，IN - 1 ，ak係常數，s非整數，特別地，s等於d + tk，而d係整數。如果％ T係小於7Γ的固定値，俾使原始類比信號包括一比叫更高之頻率的頻率成分，則達成區域性最佳重建，即， y(n)含有與X(n) = xa(nT)相同的資訊，即，只有在頻率區域卜丨 S⑺。中而以1 / Τ的取樣率取樣之xa(t)。區域性最佳重建特別重視過度取樣的系統’其中低頻成分載有基本資訊，而高頻成分含有待由數位及/或類比濾波器移除之非所欲的成分（例如，雜訊）。此處，分數延遲濾波器具有在頻率帶％T<|以T| g冗中的頻率.應Gk 二 akAk(ej ) ’ 让二 0，1，···，Ν-1，其中Ak(ejwT)是任意複數函數。另一方面，如果％不包含原始類比信號的頻率成分（即，叫丁包含直到7Γ爲止的全部頻率），則達到最佳重建，即， y(n)等於 x(n)。在任一狀況，發生二不同的情形：（1) 2Κ〇+ι二1^與（2) 2Κ〇+1<Ν，其中Κ〇係得自於 Κ 二 + ωχΤ) 2π - 以用於區域性最佳重建，其中〜個別地，「χ]係大於成等於 X之最小的整數，且-叫，叫係該限頻類比信號心⑴所在之處的頻率帶，及得自於 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) · ·1 n .H ϋ ϋ ϋ ϋ 一一口，· ϋ ϋ 1^1 ϋ ϋ -

經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 -6 -

498623 A7 B7 五、發明說明（4 K〇 = M-1 以用於最佳重建。在狀況（1)，眾ak如下而計算 a = B ·1 c， a係眾ak的向量形式，且係得自於 0 = [α〇 A …〜_丨]， Β·1係Β的逆矩陣，且係得自於裝——“ (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 u^o u0 …丨 B = u_(Ko- l) u0 <(欠。-丨)·. (尺0-1) • uN-\ UK0 • 〇 ufo ,. uK〇 .uN-\ uk = .2κ 而c係 C = C0 C1 … Ί T C^〇，其中其中訂--------- ck k = KQ〇, k = 0, 1, ..., 2Km k^Kr 在狀況2，眾ak如下而計算本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 A7 B7 五、發明說明（5 B- a之定義爲 αϋ αΓιχ 其中au與afix含有（2Κ0+1)個未知數ak與L = Ν-2Κ0-1個固定常數ak，k1係云的逆矩陣，

B 其中B得到 Β uk -(尺〇- 1) -(尺〇 - 1) ,尺〇 .2π }Έτ

UN (尺〇- 1) 其中 ------------裝·--·-----訂--------- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製

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S nd S Z -5 - 中其 ο ο ο ο ο ο 8 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐）五發明說明（6 ) 且 = diag[i 1 ... ι]，且、_ Γ ΊΓ :=Lc ，其中 c得自於，

ck 其中〇，/: = 0,1 於是，L個ak可任音遗〜、兔擇。較佳地，它們選槎苠兩狀況，對應的頻道遭到昤 ]遥擇馬令，在驾 f化雜訊可減至最小。狀况，任飼本發明之其他目的侣浐 7你才疋供—種用以時間交位轉換器（ADC)手统^ ^ , 〒門人錯义頒比至襄 )承屍一其包括複數類 (ADCs)—的時間偏移之锊換- 換器系統本身。心万法，以及提供類比至數位轉、、；疋此方法與類比至數位轉換器系統包括上述個別之方法與裝置，其中N個子序列XkCm)，kHU]，難2 ，足每一序列由一個別的類比至數位轉換器取樣。本發明之再一目的係提供一種電腦程式產品，用於非均勻性取樣之限頻類比信號之重建。五、發明說明（7 ) 此目的之達成係藉由—+ w 信號處理裝置的内部記憧：腦=品，其可載入-數位品於該裝置上運行的時：^匕括軟體碼邵分，其在該產本發明之一優點爲i ,，用於執行上述任何方法。號，不需要應用很複纟了以屋生芫全或部分重建的數位信由本發明之實施例以實行的類比内插功能。其他特徵及其優點。砰細説明，將可明白本發明的圖式簡單説明由以下所提供之本發明· 1-6,將可更完整了解本^貫施例的詳細説明與附圖於是並不會限制本發明，附圖僅係爲了筆提供，圖1&示意1會示均句性取樣，其中藉由在hT — <n“ ’寺㈣取樣"類比信號〜⑴而獲得-序列X⑷，即，x(n) =X 3 (η1);圖1 b示切示非均勻性取樣，其中樣本分爲二個子序列 xk(m) ’ k - G，1 ’ 而 Xk(m)係在 t = η2τ + _ 1/(2丁）的取樣率取樣〜⑴而獲得，gp，Xk(m)=Xa(n2T + tk)。圖2 7F意繪示一均勻性取樣器與量化器。圖3示意繪示一升取樣器。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製圖4不意繪示一混合類比/數位濾波器組類比至數位轉換器系統。圖5示思繪示一知析，慮波為組系統，其用於產生〜（⑺），k =〇，1，2··.，Ν-1，其中xk(m)係在時間間隔t= nMT + tk取樣〜α) 而獲得的N個子序列。圖6示意繪示圖4之系統中的升取樣與合成組的多相代表。 -10· 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 x 297公釐） 498623 五、發明說明（8 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製實施例詳細説明在下列説明中，爲了解釋而非限制，卜 Vk ^ ^ ^ ^ -k ^ RH1 ^ 乃棱出特足細卽，以仏儿整了醉本發明。然而，專精政⑽ 予符於此技蟄者可明白，本發明可以藉不同於這些特定細節 j，、他艾形而實行。在其他狀況，眾人皆知的方法與裝置 ”冷置又砰細說明予以省略，以兄最不需要的細節混淆本發明的說明。本發明考慮非均勻性取樣之限頻信號之重建問題。此越發生在，例如，時間偏移誤差所導致之時間交錯的類至數位轉換器(ADCs)。爲了精確起見，我們處理下列狀。已知有_子序列X“m)，k : 〇山2·』]，其係以的取樣率依據Xk(m) = xa(nMT+tk)以取樣限頻類比信號xa(t) 而獲得。如何自Xk(m)形成新序列y(n)，俾使八幻恰等於大約（某種程度地）等於x(n)=Xa(nT)，即，以1/τ的取樣率… 樣之xa(t)。爲了此目的，我們在此專利中建議使用ν頻道數位合成濾波务組。整個系統可以看成傳統時間交錯的類比至數位轉換器之一般化，而前者係將其簡化而成之特殊狀況。我們證明，使用適當的理想合成濾波器，所建議的統可以達成y(n)二x(n)。然而，這些合成濾波器不適於以貝際的數位濾波器模擬。所以，我們也考慮y(n) *以…但奴… 與x(n)在低頻區域含有相同資訊的狀況。我們證明，整個系統於 |βΓ| S ⑺。T時可以達成 Y(g> T) zz x(e> 丁），Y(ej。丁、 X(ej )各爲y(n)與χ(η)的富立葉轉換，而必。係預定限制頻 ’再次地，關於適當的理想合成濾波器，其在此狀況可貫際的數位遽波器模擬。此方案對於（略微）過度取樣的問比況或取訂系實「)與率以類 # -11 - 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐 498623 五、發明說明（9 比至數位轉換器系統很有用，复 “猶。理想合成遽波哭係1:以忍受頻帶心奪同的增益常數。我們分析 =通濾波器，其一般具有不器的效果。用際的濾波器模擬理想濾波此説明之其餘部分的概要如下取樣、升取樣與混合類比首。先’扼要重述均勾性用於分析非均勾性取樣系統之：波者可以方便地樣與重建。其後，考慮時 ά X中處理非均勻性取們的一般化。接續者㈣it的類比至數位轉換器與它後，提供-方程式表差分析與量罐^ 物㈣^上文中所提到者。均勾：取樣與量化在圖2中由均勾性取樣器與量化器代 ΐ樣：t Γ ’輸出序列Χ⑷係在時間間隔心就全部的η以取樣九、比細入信號Xa⑴而得，請閲此説明結尾之方程式表 = ^取樣周期’而叫/T係取才水旧率。x⑷與Xa⑴的富立葉轉換與卜松的加總請閱方程式（2)。圖3的升取樣器係用於以M之因子增加取樣頻率。盘低速率有關的取樣周期及取樣頻率，此處個別標示爲丁 I血 fsample，！，顯然與方程式（3)中的丁及fsamp|e有關。輸出序列y^') 得自於方程式（4)，而y(n)與x(m)的富立葉轉換彼此相關，如方程式（5)。 " 費合作社印製考慮圖4的系統’我們將它稱爲混合類比/數位減波哭組或濾波器組ADC。此系統使用一類比分析濾波器組、均勺本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） -12 - 五、發明說明（10 性取樣咨與量化器、及一數位合成濾会發生在取樣頻率爲丨 /M、·Γ σσ、且。取樣與量化原因爲τ,-Μτ : 解折濾波器的輸出，其 1 — Μτ。在濾波器組ADC中，取浐盘Β儿以低取樣率、e/Μ執行。耳又^I化二者於是忽略圖4之系統中的量化。輸、以俨助於以、 y(n)的冨立葉轉換可 X“:jMwT、二係而容易地獲得，請閱方程式⑹，其中 ( )::自於方程式⑺。方程式⑹可以重寫爲方程式 -中Vp(J ω )係得自於方程式（9)。考慮圖2與4中的系、统，x(ej“）與γ(—τ)各得自於 (2)與（8)。記得_取樣信號的光触爲周期性，並周期王爲^ 以=周期）。於是，x(eW)顯然爲h周期。此對於冲

§T 而言吓爲眞，只要全部Gk(ePT)爲2疋周期即可。於是，以認爲X(e-卿，係在^ωΤ“之間隔：現在，我們將處理二不同型式的重建。、最佳重建··如果方程式⑽對某非零常數c與整數常數d 成互，則圖4的系統具有最佳重建（PR)。在時域中，於最佳重建的狀況，我們可以獲得y(n)二“（卜句。即，i，則 y(n)只是x(n)之移位形式。自方程式（2)、（8)與（1〇)，我們看到，如果對於-〇〇〇〇，方程式（11)成立，則可以獲得最佳重建。 ^ 區域性最佳重建：令x(n)與y(n)如方程式（12)所示而分解，對應的富立葉轉換係得自於方.程式（13)與（14)，其中％τ< 7Γ。如果方程式（15)—或等效地，方程式（16)一對某非零常數c與整數常數d成立，則圖4的系統具有區域性最佳重建 -13- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱） 498623 A7 B7 五、發明說明（11 ) (RPR)。在時域中，於區域性最佳重建的狀況，我們可以獲 #y,〇w(n)=cxlow(n-d)〇 gp，c= 1 , S'l y 1〇w(n) - ^ x,〇w(n)^ 位形式。然而，y(n)不是x(n)之移位形式，即，y(n) * cx(n_d) 。自方程式（2)、（8)與（16)，我們看到，如果對於_ ⑺，滿足方程式（17)，則可以獲得區域性最佳重建。區^ 性最佳重建'系統重視過度取樣系、统，其中⑻承載基本資訊，而xhigh(n)含有待由數位及/或類比濾波器移除之非所欲的成分（例如，雜訊）。限頻狀況：當xa(jG；)限頻時，於-疋§ ωΤ^冗的間隔，在方程式（2)與（8)的加總中，只有數目有限之項需要處理。我們考慮二不同的狀況。狀況Α(最佳重建）··令〜⑴依據方程式（18)而限頻。在此狀況，達到以1/T的有效取樣頻率取樣而無假訊之尼奎斯特 (Nyquist)標準。於是，如果避免假訊進入頻帶π $ ττ，則可以保留Xa(t)。首先考慮圖2中的x(n)。由方程式（2)，當乂山·。）依據方程式（18)而限頻時，顯然，我們在區域-π g ωΤδ冗中無假訊。其次，考慮圖4中的y(n)。在區域中，Xa(j β )依據方程式（1 8)而限頻，可以容易證明，我們只需要考慮方私式（8)中的 2Κ〇+1項，ρ = -Κ〇，-(Κ〇-ΐ)，··.，Κ〇，而 κ〇得自於方程式（19)。 - 如果方程式（20)成立，其中KG得自於方程式（19)，則現在獲得最佳重建。在此狀況，於是，只要圖4中的系統具有最佳重建，則xa⑴可自x(n)與y(n)而保留。 ------------jml-裝--- (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) J^T· 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 -14- 498623 五、發明說明（12) 狀況B(區域性最佳重建狀況令Μυ依據方程式⑺）而 ΡΜΙ ’且如万程式（22)所示而分解’對應的富立葉轉換係得自於方程式（23)、（24)與（25)。、在此狀況，只要避免假訊進入頻帶1。丁$⑴Tg⑺〇丁，則可以保留xa(t)，但不能保留Xa，i〇w⑴。首先考慮圖2中的X(n)。在區域- 7Γ$ωΤ£冗中，Xa(j⑺）依據方私式（2 1)與（2 5)而限頻，顯然，我們只需要考慮方程式（2)中之3項，^，(^。此外，在區域⑺丁: ^ 中，％係得自於方程式（25)。可以容易證明，我們只需^ 考慮一項r=0。即，自動避免進.入此頻帶的假訊。其:， 1慮圖4中的y(n)。在區域1^丁^中，依據方程式（21)與（25)而限頻，可以容易證明，我們只需要考慮方程式（8)中的2K0+1項，…，κ〇，而“係得自於方程式（26)，其中间代表大於或等於义之最小的整數。此外，在區域·ω Tg 中，吟係得自於方程式（25)。可以容易證明，我們只需要考慮方程式（8)中的2Kq+1項，ρ = -Κ〇，-(Κ〇 -1 )，...，Κ〇，而 Κ〇係得自於方程式（27)。如果滿足方程式（28)，其中KG係得自於方程式（27)，且 A(j ω )係某任意函數，則現在可以獲得區域性最佳重建。在此狀況，於是，只要圖4中的系統具有區域性最佳重建，則可以自χ(η)與y(n)保留Xa，丨。w(t)_。非均勻性取樣與重建 - + Xk(m)，k 一 0,1，…，N -1 ,係在時間間隔t二nM丁經由取樣而獲得的N個子序列，即，得自於方程式（29)。就M = 15- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） t 訂經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 498623 A7 __________—__B7_ 五、發明說明（13 ) N二2而言，、⑴係依據圖lb而取樣。如果圖4中的解析濾波器係依據方程式（30)而選擇者，則子序列xk(m)可以藉由自該解析濾波器將輸出訊號取樣而獲得。在此狀況，解析濾波器組係如圖5所示。結合方程式（9)與（30)，我們得到方程式（3丨）。其/人，所頭示者係如何在限頻狀況Α與Β (請閱前文）中選擇合成濾波器，以致於個別獲得最佳重建與區域性最佳重建。狀況A(最佳重建狀況）：在此狀況，〜⑴係依據方程式（18) 而限頻。令Gk(ePT)係得自於方程式（32)之2冗周期濾波器。由方程式（3 1)與（32)，可以獲得方程式（33)。就最佳重建而T，需要使得自於方程式（33)之Vp(j ω )滿足方程式（2〇) 。即’如果滿足方程式（34)，即獲得最佳重建。狀況Β(區域性最佳重建狀況）··在此狀況，、⑴係依據方程式（21)而限頻。令Gk(ejwT)係得自於方程式（35)之2 π周期慮波态’其中Ak(ej τ)係某任意複數函數。由方程式（3 1)與 (3 5)，我們獲得方程式（36)，其中A(j ω )得自於方程式（37) 就區域性最佳重建而言，需要使得自於方程式（36)iVp(jw〕滿足方程式（28)。即，再次地，如果滿足方程式（34)，即獲得區域性最佳重建。 _ 其次，考慮如何計算ak。就最·隹重建與區域性最佳重建 (狀況A與B)二者而言，必須滿足方程式（34)。此方程式可以爲爲如同方程式（3 8)的矩陣形式，其中b是依據方程式 -16- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) «

I ---.--I I I 訂-------II B7 五、發明說明（14) 3 9)的（2反〇+1^階矩陣，1^係得自於方程式（4〇)。此外，依據方式（41)與（42)，個別地，a係有μ素的行向量，c 係有2K0+1兀件的行向量，其中丁代表轉置（無複數共軛部分) 。ak係未知數，而^係得自於方程式（43)。方私式（38)係具備N個未知參數％的2K()+1個方程式之線性系統。因此，如果2Κ0+ 1 g N，則方程式（3 8)有解。我們 ^一不同的狀況加以區別。狀況1 : 2K〇+ 1 =： N。在此狀況，未知數的數目等於方程式的數目。在以下命題所述的條件下，可以唯一決定此狀況中的ak。命題1 ··如果B與c個別得自於方程式（39)與（42)，2K〇+1 一 Ν，且tk辛tm + MTr，k辛m，r eZ，則存在唯一的a，其滿足方程式（38)，使得唯一的ak也滿足方程式（34)。此外，a 中的全部ak係實數値常數。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製證明··我們首先證明存在唯一的解答。既然2Kg+1 = N，則B係NxN階正方形矩陣。如果b非奇異，則a由方程式（44) 唯一決定，其中B·1係B的逆矩陣。於是，在所述的條件下，足以顯示B非奇異。爲了此目的，我們首先觀察到，得自於方程式（39)的B可以寫成方程式（45)，其中A係得自於方程式（46)，而C係依據方程式（47)之對角線矩陣。

矩陣A係凡德蒙迪（Vandermohde)矩陣。所以，A非奇異的必要與充分條件爲，眾u k不同-，即，u k * u m，k * m，而由於方程式（40)，其係與tk辛tm + MTr，k辛m，r eZ相同的條件。此外，因爲B的行列式係detB = detA detC，且I detC I -17- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） A7 B7 五、發明說明（IS) -1，我們獲得方程式（4 異，❹爲非奇異。此證明，；：；:二若且唯若A爲非奇，且恒存在a之唯—解答。 &的條件下，B爲非奇異爲了證明a中的眾ak係膏設我們具有滿足方程式(34)的唯我：如下而奸^ 則方程式（34)同樣可以寫爲、^匕〜。利用万程式（40)，數共軛部分。由方y々M0 /、代表X的稷 # 作式（49)，我們得到方程式（50)。此顧亍必須爲實數値。），“，因“係唯-，則它們的:ΓΓ:、Γ°+1<Ν。在此狀況，未知數的數目超過方程式的数目。所以，我們可以太在+ ak中加入L = Ν-2Κ〇-1個鋅外訂的線性約束條件，而仍然滿足方程式(34)。此處，我們將自，於：狀況，即，k=N-L+1，N彳+ 2，.，似個〜係固疋於某些常數。此狀況涵蓋具有偶數頻道之傳統時間交夂的類比至數位轉換器。因爲[個％可以自由選擇，所以， # 在知私除對應頻這的狀況，我們當然可以將它們設定爲零。如此一來，不需要考慮具有偶數頻道之狀況。然而，以下我們將可看到，可能値得考慮這些狀況，以減少在整個系統輸出處之量化雜訊。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製待解的線性方程式系統在此處可寫爲如同方程式（5丨）的矩陣形式，而個別依據方程式（52)、（53)與（54)，云係NxN 階矩陣，a與6係具有N元素的行矩陣，其中B係得自於方程式（39)的（2K〇+l)x(2K〇+l)階矩陣，個別地，au與afix含有a 的（2KG+1)個未知數與L個固定常數，c係得自於方程式（43) -18- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公爱經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 498623 A7 __ B7 五、發明說明（16) 之具有（2Κ〇+1)個元素的行矩陣，s係得自於方程式（55)之 LxN階矩陣，其中Sz係得自於方程式（56)的Lx(2K〇+l)階空矩陣，Sd係LxL對角線矩陣，而對角線元素等於一，請閱方程式（57)。如同狀況1，於狀況2中的眾ak可以在以下命題所述的條件下唯一決定。命題2 :如果》與ί個別得自於方程式（52)與（54)，方程式 (53)中的afix含有L個實數値固定常數，2κ〇+ι<Ν，且tk辛 tm + MTr，k* m，reZ，則存在唯一的a，其滿足方程式（51) ，因而亦存在唯一的一組ak，其滿足方程式（34)。此外，a 中的全部ak係實數値常數。證明：證明係接續命題1的證明。爲了證明存在性與唯一性，則必須證貫，在所述條件下，云係非奇異，其原因爲a 係由方程式（58)唯一決定。爲了證明乡的非奇異性，我們觀察到，它的行列式係得

自於方程式（59)，其中5係自B將k=N-L+l，N-L + 2，...，is^L 行消去而得之（2K〇+l)x(2K〇+l)階子矩陣，即，如方程式（6〇) 所不。我們從命題1的證明知道，det否* 〇，於是，在所述條件下，det 6*0。此證明》係非奇異，且唯一的解答恆存在。a中之眾ak係實數値的證明是以和命題1相同的方式而爲之。 _ 的類比至數位轉換器及此章節考慮傳統時間交錯的類比至數位轉換器及其一般化。首先，考慮n:m而g得自於方程式（61)與（62)的狀況。 -19- ^---.-----^---------. (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁)

498623 A7 五、發明說明（17) 此外，令合成濾波咨Gk(ej0J τ)係使方程式（32)中的^ =夏，k=0，l，...，M-l，c =丨且d二0而得，即，如方程式（63)所示。由方程式（3 1)與（63)，我們得到方程式（64)。閱於是，獲得最佳重建。在此狀況，我們具有一個時間交錯的類比至數位轉換器。此處，輸出序列y(n)係藉由使眾 Xk(m)叉錯而得。然而，實際上，不再恰等於零。如果Atk已知，如果 N爲奇數且2K〇+l = N，則眾&!^可以依據方程式（44)計算，而如果2KG+1<N，則依據方程式（58)計算。在此狀況，不能達到最佳重建，其原因爲N二Μ且最佳重建需要使K〇 ^ i。於是，既不能滿足2K〇+l = N且不能滿足2Κ〇+1<Ν。另一方面，可以獲得區域性最佳重建。就此狀況而言，產生下列問題：已知N = Μ與K〇，則我們可以允許且仍然可以獲得區域性最佳重建之％ Τ的最大値爲何？可以容易地證實，爲^ 達成區域性最佳重建，我們必須滿足方程式（65)。如果 2K〇+l = Ν，則我們得到方程式（66)。其次，考慮N* M*tk得自於方程式（67)與（68)的狀況。此外，令合成濾波斋Gk(ejwT)係使方程式（32)中的ak二M/N ，k=0，l，."，N-l ’ c二1且d=〇而得，即，如方程式（69)所示。由方程式（3 1)與（69)，我們得到方程式（7〇)。於是，獲得最佳重建。在此狀況，我們具有一系統，其可以視爲時間交錯的類比至數位轉換器之一般化。然而，在此狀況，我們不再能夠藉由使眾Xk(m)交錯而獲得輸出序列0 20- 五、發明說明（18) 再次地’實際上，△ tk不再恰等於零。如果△ tk已知，如果N爲奇數且2K〇+l二N，則眾〜可以依據方程式（44)計算，而如果2Κ〇+1<Ν’則依據方程式（58)計算。與μ頻道的狀況相反’此處’藉由個別依據方程式（19)與（27)選擇，當然，亚藉由選擇N，俾使2K()+1 g N，則我們可以在N頻道的狀 f達成取佳重建與區域性最佳重建二者。爲了達成區域性取佳重建，就已知的Μ與KG而言，必。丁必須再次滿足方程式 (65)。如果2Κ0+1：=Ν，且我們得到方程式（71)。因此，藉由^加頻道數目，我們在一更寬的頻率區域獲得區域性最佳重建。誤差與雜訊解析其次，提供誤差分析。更精確地，當B與a個別以β + δβ 與a+Aa取代的時候，我們將界限放在&與(：的誤差。在有關於量化雜訊方面，a的誤差係重點所在，在下文中將可明白。c的誤差告訴我們任何實際的濾波器必須與理想合成濾波器有多近似，以滿足c之某些指定允許誤差。經濟部智慧財產局員工消費合作社印製我們將要利用方程式（72)所定義的！__範數以用於一具有元素XiiNx1(lxN)階向量X，及方程式（73)所定義的1^_範數以用於一具有元素xikiNxN階矩陣X。 a的誤差：首先考慮2K〇+l = N之狀況1。首先假設在^二 dkT與ak時，我們獲得Ba= c。其次，假設tk二^ 丁與^個別以tk - dkT+A ~與ak+A ak取代，.而c保持固定。此總結爲方程式（74)。矩陣△ B係依據方程式（75)之NxN階矩陣，其中 △ bpk與△ “個別得自於方程式（76)與（77)。 -21 - 498623 A7 五、發明說明（19 現在，如果滿足方程式（78)，則可以證實方程式（79)成立。以方程式（75)-(77)，我們可得方程式（8〇)。我們得到B二AC，結果，= 此外，因爲此處的a係dft矩陣，它的逆矩陣A-、IDFT矩陣；因此，μι 。我們也得到lc1L =1，其原因爲，顯然，σ1係具有對角線 π素uk 0的對角線矩陣，其中“係得自於方程式。於是，我們彳于到方程式（81)，其與方程式（8〇)一起導致方程式 (82)。利用方程式（79)-(82)，且假設M>1|L〈〈丨，我們最後得到方程式（83)。 _ 其次，考慮2KG+1<N的狀況2。·此狀況比狀況丨略爲困難 :其原因爲我們通常不能以DFT矩陣與對角線矩陣的積表不έ。然而’ ％果我們將自己限制在時間交錯的類比至數位轉換器及其一般化，則顯然我們可以將方程式（51)重寫爲方程式（84)，其中Β.係依據方程式（85)的㈣階矩陣，而 Α係得自於方程式（40)，且c，係依據方程式（86)之具有^^個元素ck的行向量。 :然’我們可以將B’表示爲一DFT矩陣與一對角線矩陣的和、所以我們將以和狀況j相同的結果作爲結束，即，以方程式（83)爲界。消 /的誤差：假設^^丁與〜時，我們得到Ba=c。現在假汉tk dkT#ak個別以tk=dkT+A_t#與取代。此總結馬万程式（87)，我們由彼可得到相式（88)。依次地，由方程式（叫，我們得到方程式（89)。利用方程式（39)與（75H77) ’我們最後得到方程式（90)，其在設計合成遽波器〜⑴時 22 本紙張〒度適用中國國家蘇 (210 X 297 公釐） 498623 A7

498623 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製五、發明說明（21 ) A7 B7

我們在方私式（9 9)定義輸出處的平均量化雜訊。已知合成渡波益Gk(z)及它的多相成分Gik(z)，則可在方程式（ι〇〇) 中計算（π y2)av。現在，令合成濾波器係得自於方程式（1〇1)，且依據方程式（102) ’全邵輸入變異數σ 相等。結合方程式 (100)-(102)，我們得到方程式（1〇3)。現在發生（一問題是如何選擇眾ak，俾使得自於方程式 (103) 之（σ /)av在同時達成最佳重建或區域性最佳重建的拘束下減至最小。讓我們將問題視爲由方程式（104)所定義者。方程式（104)的拘束係爲了獲得最佳重建或區域性最佳重建所必須滿足者之一。因爲眾〜之和係M，故方程式 (104) 中待減至最小的目標函數可以重寫爲方程式（1〇5)。因此，2方程式（104)的解答係以ak=M/N，k=0，l，...，N-l而得， (σ y )av的最小値係如方程式（1 06)所示。此顯示，選擇ak=M/N以用於時間交錯的類比至數位轉換备及Έ：們的一般化使得輸出處的平均量化雜訊減至最小。貝IV、上，△ tk不再恰爲零，其意指〜以〜取代。如果△ a^]、（且ak>〇)，則平均量化雜訊在此狀況係得自於方程式（107)。&ak：=M/N，我們得到方程式（1〇8)。數量係得自於方程式（83)。本發明已經考慮使用數位濾波器組的非均勻性取樣之限 !Λ、L號之重建問題。整個系統可以視爲傳統時間交錯的類 ^至數位轉換器之一般化，而前者簡化爲彼之特殊狀況。精由將時間交錯的類比至數位轉換器一般化，可以消除實 -24-

請先閱讀背 © 之注意事II 填 1i裝頁 tr

A7 ^_______B7__ 五、發明說明（^ ^ -- 際上由於時間偏移誤差所引入的誤差。我 1亏慮最佳重建 (PR)與區域性最佳重建（RPR)系統二者，且 a ^ 一 777如何猎由適备選擇（理想）數位濾波器而獲得此系統。非均勻性取樣之限頻信號之重建方法可以任何適當的數位化唬處理裝置實行，例如，專屬硬體或電腦。在後者的狀況，方法之執行係藉由一包括軟體碼部分的電腦程式產品’其載入一適當裝置的内部記憶體内。頭然’本發明可以很多方式改變。此改變不應視爲偏離本舍明的範嘴。專精於此技藝的人易於思及之此修改全部意圖包含於附屬申請專利範圍的範疇内。方程式表展示在下列諸頁。 (請先閱讀背面之注意事^:填寫本頁) 1 裝 _

經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 -25- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 A7 B7 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製

498623 A7 B7 五、發明說明（24 )

N- I (9) Y(eJ^) = ce-Jd(J)TX(e^T), |ωΓ|<π (10) V/ω) ce-jduT, ρ = |ω| <Κ/Τ 0， ρ ^ rM. |ω| <κ/Τ (Π) ，十）=义l〇w㈨二'igh㈨ /㈨=>W㈨”high㈨ = /V!〇w(eW-〜h(〆) 小 7·ωΓ) = (12) (13) ------------裝--- (請先閱讀背面之注意事^:填寫本頁) . *γΐ〇νν^；ωΓ) = °' ω〇Γ<|ωΓ| <π /high(^°r) = 〇, ！ω7^ω〇Γ Ki〇w^;C〇r) = 0> ω〇Γ<|ωΓ|<π rhieh^;a)r) = °' Ιω7Ί <ω〇Γ (14) Υ{β^ωΤ) = ce-jd^TX{e^T). \ωΤ\<ω〇Τ 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製

- I (19) ce-jd^T^ ρ = 〇, |ω| < π 0， |ρ| = 1, 2, ..., Α：〇, Ο < ω < π: (20) Χ.ά(]ω) = Ο, |ω| > ωι &= \，i〇、v(〇-\，high(r)Ί。·00) = 〇, ΙΜ>ω〇 υ7ω) = 〇，丨⑴丨 <ωο，丨°°丨 >ωι (21)(22) (23) (24) (請先閱讀背面之注意事:填寫本頁) 裝 Ο < ω〇 < ωρ ω〇 - ω( < 2κ/Τ (25) 訂： Κ0 ΚΓ Μ(κ ^ ω{Τ) 2κ }/(〇〇〇 Γ + c〇i Γ) 2κ (26) (27) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 ce-jdaT、ρ = 〇y |ω| < ω〇 .4(；ω), ρ = Ο, ω〇 < |ω| < κ/Τ 0， |ρ| = 1, 2, ..., Κ〇, |ω| < ω〇

Χη{ηι) = χ(ηΜΤ tj.), k = 0,. 1.....Ν - I

Hk(s) = es：\ /: = Ο, 1, ..., /V- 1 -28 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (28) (29) (30) 498623 A7 B7 五、發明說明（26 ) ；V- = μ Σ Gk^T)e ω (31)

Gk{e^T) akce -风tk — crn ，\ωΤ\ < κ (32) N- l 2κρVP、⑽=hCe_j—T Y % J MT 1 /: = 0 (33) •V-l _ 一 /.....tΣ y ·ν/Γ (34) (請先閱讀背面之注意事W：填寫本頁) -裝

Gk(e^)T) yyc〇) akce ,|ωΓ| <ω〇Γ ikA Λe^T), ω〇Γ < |ωΓ| < π (35) 訂·- iV- I _ 2κρ ^ ake~J^\ \ωΤ\ <ω〇Τ 1 Α- = 0 (36) ω〇Γ < |ωΓ| < η: 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製

：ν- I J」(，)=士 Σ k = Q Βα = c ω (37) (38) -29- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 A7 B7 五、發明說明（27) ... Ll~K〇 UN -\ B = ，。-v〜一 1)… ‘(V) (39) ^0 110 ,f〇 ... U ~JWr[k 'k = e (40) a = a〇 a[…a,V-1_ T (41) c = c0 cl ··· C2K〇 T . (42) ck : iV/, k = K〇 =< 0，人’ =0，1，…，2 y (43) a = B~x c

β = AC (44) (45) (請先閱讀背面之注意事¾再填寫本頁) -裝

A 1 1 .. .1 11 q 111 . · v - 2K〇 1KQ :0 ϋ .. 2人' 、· UN- C = diag -30- (46) (47) 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 A7 B7 五、發明說明（28 ) det /1 ^ 0 <=> det 5 0 det ^ = Ο » det 5 = Ο (48) ;-Λ ν-ιΣ=ον-ιΣ=ο ;ν^ Λ Μ

ο II P ν-Σ=ο 49 ο A: :龙 . α —- ο 丨 ο^ Σ = ^ Σ - y V, 々 Μ 01 一p (請先閱讀背面之注意事3填寫本頁) 1 裝 •V. α,:νί 氺 α o p 2 α <〇q 5 Λ X- π 2 5 Γ 3 5 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製

S X- π α C - Γ 54)

S ο ο · ο

Id- S ζ -J · \* 5 ο ο · ο 0 0.0 3 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 Α7 Β7 五、發明說明（29)

B \ = diag[ 1 I ... \—/ 5 a - B~[c L-\

det 5 = det 5 ^ = det B d,T - ^ = 0, l.....M - d j. = ky k — 0, 1, ..., M — △ G. = 0， k = 0, 1, ..., yV/· < π 8 5 9) 5 60) /(\ 2 6 3 (請先閱讀背面之注意事^填寫本頁) 一裝 · ω '(/ κ Σ ο II 1Γ/

1L Λυ ο ο II U ρ ρ 64) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 2κ(Κ〇^[) ω〇^—^—-ω1Γ 5 6 Μ · Μ tk = dkT ^ Mk,人，=0, 1，…，"· 、^/ > > 6 7 6 6 /IV /—\ -32 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 A7 B7 五、發明說明（30) dk

kM (68)

i\t, = 0, k = Ο, 1, ..., -/V Μ (69) N -\ 2k pkV，)= ^ Σ e

i, P = 〇0, p^O (70) _ K (： V - l) 一 ωιΓ 丨WL =隱丨'1，- (71) (72) -----------«-裝—— (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) · .V- l IWL =眶 Σ ΙΆ 〇^ύ-人，=ο (73) (Β ^ ΑΒ){α ~ Δα) = c . (74) Δ6 .尺〇, Δό Δό 夂〇，‘.ν-ι Δέ-(λ：〇-1),0 Δ6-(Λ：〇-1), Δό 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 Δ6 Δ6 υ’ -(^〇-ΐ)^ν-Λ〜0，‘ν- 1 .2κρ\ ^bpk = e ：νί {eJ^：pk - I) 33- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (75) (76) (77) 498623 A7 B7 五、發明說明（31) (78) ΙΙΔΙ ML. ml (79) N- 1 /V - lML =隱 Σ ΙΔΜ'max Σ ΙΔν·Ι k (80)

，(㈣.maJH Μ

T (81) hi 」V(,V- ι)π

M max^

I△〜 ~T (32) 丨丨△(〈丨丨（^ιιξ.匪

M

T (S3) B'a = c' (84) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 B' u~Ko • u:V-l 〖严。-1) ·: “一(〜一 1) V-1 N -K〇-\ 1 ·. (0 /-心--1 • ιί N- 1 一 ),1，…，iV - 1, k ^ Kq (85) (36) 34 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁)

本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 A7 B7 五、發明說明（32 ) (β - ί\β)(α - Aa) = c - Ac

Ac = Βί\α ABa -r ABAa (87) (88) (S9) llAcll〇〇 < iVmax{ |ΔαΑ.| } + /Vmax{ |Ar^A.| }max{ |α^ } + iVmax {I Δ^·| } max {I Δα人.1} =人·|} + max{|Ar#|}max{|a々|}) (90) G,(e^T) = [α,-Δα,(ωΓ)]β'7[ακ^Δ^(ωΠ1 (91) ，(二）= (92) 7(r) = σ(ρ)(ζ)Χ(ζ) 久(二）= 以二） r0⑴η(二）…。一丨㈡ (93) (94) (95) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印制π C(P)⑴ G〇〇(r) G〇l(z) G 1〇(二） G11(:) G0, /V- 1(:) 1(Γ)

一 1，〇(ζ) G}/— 1，l(z)…G V/ - ·ΰν - 1 〔：） (96) M- Q(:) = Σ i = 0 (97) -35 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 498623 Α7 Β7 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製五、發明說明（33) 〇-(nM - i) = σ" Μ - I(σ2)=丄 y σ2 (98) (99) (Oav (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) Μ - I \ί- l/V- IΣ兮丄 /=0々=0 η iV- I Μ - I 〇〇Σ吃Σ Σ Ν㈤I2 =0 / = 0 /1 = -〇c .'V -丨〇〇Σσ1Σ|^)Ι2 Μ π Σ Σ < Σ 1¾⑷I: Μ Μ k = 0 η = -〇 iV-丨 π 1 V 1 - 〉 (J - Μ ^ λ\·2ιγ

\\Gk{e^T)[d^T _· 裝又-=0 (100)

Gk{e^T) α^-’ν/々ω7ν、ν，|ω7Ί < c〇cr 0， ω〇Τ < |ωΓ| < π σΠ ω Τ ,ν- ι :V - 1 /V- I - minimize ^ al subject to ^ aJf. = Μ ^=0 k=0 -36- 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） (1〇1) (102) (1〇3) (104) 498623 A7 B7 五、發明說明（34 ) ：V - 1 aV - 1 n 7 ：V-2 ‘.V- Σ^ = Σ% 一 • Σ Σ k = 0 = 0 ) k = Oq = k N- 2 /V- l =/V/- -f ^ Σ 、ak- k = =七了 1 (105) (σί;) \ίω€Τ y yav, mm Νκ 〇x (106) c〇cr ：v- (CJPav = Σ V a \—/ 2Vσ .

Mk N-

Gr Σ ^ 2α；*Δί7Ρ ω Γ

人· = ο iV- I

Imax (107) f:il /¾ Γσ σ Γ,Γ」ι//π/ω ω,νΜ Δ Γm m σ 7 m Aiv 〆 08) 經濟部智慧財產局員工消費合作社印製 37 本紙張尺度適用中國國家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐）

Claims

498623 A8 B8 第089U1596號申請專利案 ⑽ -中文申請專利範圍修正本(91年5月）、申請專利範圍 1. 一種非均勻性取樣之限頻類比信號Xa⑴之重建方法，該非句勻性取樣仏號包括則固子序列Xk(m)，k=: 〇，丨，…，， N-2，其係以1/(MT)的取樣率依據取樣而獲得，其中M係正整數，而tk = kMT/Ν+Δ tk，A tk非為零，該方法包括： -自該N個子序列以㈤）形成新序列y(n)，俾使y(n)至少含有與x(n)=xa(nT)相同的資訊，即，&⑴在一低於％的頻率區域中以1/T的取樣率取樣，似。係預定限制頻率，並藉由下列步驟完成：裝 (1)以因子Μ升取樣該>^個子序列x“m)之每一項，兑二 0，1，···，Ν-1 ; Λ (Π)以一個別的數位濾波器過濾該升取樣的1^個子序列 Xk(m)之每一項，bu，具〗；及 (⑴）添加該Ν數位濾波子序列，以形成火…。 2. ==範圍第1項之方法，其中個別數位滤波器係分數延《波器，且具有—在頻帶_"中的頻率響痒 •線 (^一十从…具卜㈣常數蜡整數。. 3. 如申請專利範圍第2項之方法，其中s等於叫，而d係整數器 4·=:利範圍第2項之方法，其中個別分數延遲減波，、有在頻率“。丁叫叫“中的頻率響應Gk= akAk(eP 是任意複數函數。 5·如申請專利範圍第2項之方法，其中眾〜係選擇為滿足本纸張尺度適财S S家標準(CNS) A鐵 3 2 6 8 9 8 8 8 8 A B c D 申請專利範圍 Σα^ε .2πρ Μ,ρ = 0 [0制=1，2,…尺。 K〇係得自於 κο M((〇qT + c〇j T) 2π [V]係大於或等於χ之最小的整數，且 C〇i 係該限頻類比信號Xa(t)所在之處的頻率帶。 6.如申請專利範圍第5項之方法，其中假設2K〇+l = N ’眾 ak係如下而計算， a = B-1 c , a係眾ak的向量形式，且係得自於 ^ = k - aN-J J 1係B的逆矩陣，且係得自於一欠ο B uk UN- 1 厂(A_l) V - 1 其中 .2π /Λ7Γί 而C係 2- 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210X297公釐)

Ό C1 *·· c2Kn 其中 ck κο 如申請專利範圍第5項女古、、土甘A , 礼固牙0貝《万法，其中假設2Κ〇+1<Ν，眾ak 係如下而計算， &之定義為 Jfix 〜與afix含有（2K0+1)個未知數〜與L = NjKo」個固定常數 4 ,而》·!係左的逆矩陣，且得自於下式， B B由下式可得， B u〇 …“//Λ 严。-ν〜—Ίν) u^〇々··.々' ’其中 3- 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210 x 297公釐) 3 2 6 8 9 8 8 8 8 A B c D 申請專利範圍 uk ·2π, ]MTl S得自於 S ，其中 Ο ο ο οο ο A = diag[ 1 1 ... 且且 c a fix 其中 C得自於其中 C〇 C1 ·*· c2Kf ck k = K〇〇> ^ = 〇, 1, ..., 2/：n, k^Kr 8·如申請專利範圍第7項之方法，其中L = N-2K〇-：H@ak係由 ak=M/N，k=N-L+l，N-L + 2，...，N而計算。 9.如申請專利範圍第7項之方法，其中L二N-2K〇-：H@ ak係由 -4- 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210 X297公釐) 498623 498623

ak=0，k=N-L+l，N-L+2，...，N而計算。 10·如申請專利範圍第2項之方法，其中n==m。 11. 如申請專利範圍第2項之方法，其中M。 12. 如申請專利範圍第10或1丨項之方法，其中％係依據似〇TS 叫Γ而選擇， · Μ Κ〇係得，自於 ^ _\Μ{ω,Τ^ωλΤ)^ Λ Κ「—~^--1， Μ係大於或等於X之最小的整數，且卜㈣]係該限頻類比 "ί吕號X a (t)所在之處的頻率帶。 13. 如申請專利刪！項之方法’其中個別數位滤波器係分數延遲濾波器，且具有一在頻帶|ωΓ|$冗中的頻率響應 = ake㈠WST)，k=0，l，...，N-l ’ ak係常數，s非整數，於是，所形成的該新序列y(n)恰等於χ(η)。 14. 如申請專利範圍第13項之方法，其中s = d+tk，而d係整數〇 15·如申凊專利Ιϋ圍第13項《方法，其中眾^係選擇為滿足 h k 1〇，η=ι,2，··χ。 κ〇係得自於 Κ〇 = Μ-1。 49862： 8 8 8 8 ABC D 申請專利範圍 16.如申請專利範圍第1·5項之方法，其中假設2K〇+l = N，眾化係如下而計算， a= B·1。， a係眾ak的向量形式，且係得自畤 α = [α〇屮…〜_!f , B·1係B的逆矩陣，且係得自於 B _(尺〇-1) 其中 .2π uk = e 而C係 Γ0 C\ ··· c2Kn \T 其中 ck k = K0 . 17.如申請專利範圍第15項之方法，其中假設2K〇+l<N，眾 &以系如下而計算， a = B'lc -6- 本紙張尺度適用中國国家標準(CNS) A4規格(210 χ 297公釐) 3 2 6 8 9 8 8 8 8 A BCD 六、申請專利範圍 a之定義為 ϋ au與afix含有（2Κ〇+1)個未知數ak與L= Ν-2Κ〇-1個固定常數ak，而力-1係名的逆矩陣，且得_自於，力=片， S B得自於，必...d . 5 = e。-n “严〇-υ ..“n」，其中 ·2π , uk = ^ s得自於 ^ = [^z ^d] ，其中

4 = diag[l 1 ... 1]，且本纸張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210 X 297公釐) A8 B8 C8 D8 、申請專利範圍 C " [c arJ c得自於 T ’其中 ’其中 Lc〇 Cl - C2^ ck 〇,人· 1 ^..,2尺“ 18·如申請專利範圍第17項之方法，其中LUK0-1個^係由 ak= M/N，N-L+1，N-L + 2，...，N而計算。 19·如申請專利範圍第I3項之方法，其中N>M。 2〇·如申凊專利範圍第i項之方法，其中該N個子序列在升取樣以前量化。中 21·—種非均勻性取樣之限頻類比信號Xa⑴之重建之數位信號處理裝置，該非均勻性取樣信號包括N個子序列Xk(m) ，k=0，l，…，N-l，Ng2,其係以1/(MT)的取樣率依據Xk(m) =xa(nMT+tk)取樣而獲得，其中μ係正整數，而。 kMT/N+Atk，△、非為零，其特徵為該裝置可執行如請專利範圍第1項之方法。信 22. —種非均勻性取樣之限頻類比信號〜⑴之重建之數位旧號處理裝置’該非均勾性取樣信號包括Ν個子序列Xk(m) ，k=0，l，…，Ν-1，Ν-2,其係以ι/(ΜΤ)的取樣率依據Xk(m) =xa(nMT + tk)取樣而獲得，其中μ係正整數，而tk = -8 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210 X 297公爱) 498623 A8 B8 C8

kMT/N+Z\ tk，Z\ tk非為零，該裝置包括： -數位信號處理裝置，用於自該N個子序列〜㈤形成新序列y(n) ’俾使y⑻至少含有與x(n) = Xa(nt)相同的資訊，即，xa⑴在一低於％的頻率區域中以1/τ的取樣率取樣，叫係預定限制頻率，其係藉由下列步驟完成： ⑴以因子Μ升取樣該Ν個子序列〜…）之每一項，k = 0，1，··.，Ν-1，Μ係正整數； ⑼以—個別的數位滤波器過遽該升取樣的Ν個子序歹， xk(m)之每一項，k=0，l，...，N-l ; (iii)添加該N數位濾波子序列，以形成y(n卜 23·如申請專利範圍第22項之裝置，並士加& 衣罝其中個別數位滤波器係分數延遲濾波器，且具有一至少.相册I〜 ^ ^ ^ 芏）在頻帶中的韻率響應 Gk= ake(-jw sT)，k= ο 1 χτ , ，”..，Ν-Ι，而ak係常數，5非整數，且s = d+tk，d係整數。 24.如申請專利範圍第23項之裝置，其中假設2κ。… 〜係如下而計算， a= B-1c， a係眾ak的向量形式，且係得自於 β = [α0 …βΛΜ]Γ , 1係Β的逆矩陣，且係得自於

裝 •線 -9 - 3 2 6 8 9 A B c D 申請專利範圍 B uk .2π rJMTtk 一尺ο uO ° 一尤0 W1 0 · U^K0 .· uN-\ _(尺〇 - U ] ·_ -(尺。- i) '* UN-\ κ0 V ·. r/。 • UN- 1 其中而C係 cO. C1 C2K 〇· 其中 ck k^KQ 〇, k = Ο, 1, ..., 2Κη, k^Kn 25.如申請專利範圍第23項之裝置，其中假設2Κ0+1<Ν，眾 ak係如下而計算， a = B~xc »a之定義為 anx] 丁 10-

本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210X 297公釐) 498623 8 8 8 8 A B c D 申請專利範圍 au與afix含有（2Κ〇+1)個未知數&!^與L= Ν-2Κ0-1個固定常數ak，而左-1係左的逆矩陣，且得自於下式， B B由下式可得 B ιΓ尺。 u0 ιΓ尺0 ，· uN-\ 0 ! 一 υ ^ 1 ·. ^o-l) ·· UN_ \ · uK〇 uKo uK〇 UQ UN- 1 .2π rJMTtk 其中 S得自於其中且 0 0 diag [ 1 1 JL 其中 -11 - 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210 X 297公釐)

ABCD C得自於 :0 C1 C2Kn T ，其中 Ck 0> 26· 種t間叉錯之類比至數位轉換器（ADC)系統之時間偏移補彳貝方法’該系統包括複數類比至數位轉換器（ADCs) ’这万法包括執行如申請專利範圍第1項之方法，其中該 N個子序列xk(m)，H··，^，^ 2的每一序列係由該類比至數位轉換器之一取樣。 27.種時間叉錯之類比至數位轉換器（ADC)系統，系統包括複數類比至數位轉換器（ADCs)，該系統包括一如申請專利範圍第21項之數位信號處理裝置，其中該1^個子序列，…，N]，N-2的每一序列係由該類比至數位轉換器之一取樣。 28·:種可載入一數位信號處理裝置的内部記憶體之電腦可讀取之記錄媒體，包括軟體碼部分，其在該產品於該裝置上運行的時候，用於執行一非均勾性取樣之限頻類比信號xa⑴之重建方法，該非均勻性取樣信號包括N個子序列乂“!11)，1^0，1，...，冰；1，1^2，其係以1/(1^)的取樣率依據xk(m)=Xa(nMT+tk)取樣而獲得，其中“係正整數，而 tk=kMT/N+Atk，Atk非為零，該方法包括·· -自該N個子序列〜化）形成新序列y(n),俾使y(n)至少含 -12- 本纸張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210X297公釐)

申請專利範圍有與x(n)=Xa(nT)相同的資訊，即，Xa⑴在一低於％的頻率區域中以1/τ的取樣率取樣，似。係預定限制頻率，其係藉由下列步驟完成： (0以因子Μ升取樣該Ν個子序列Xk(m)之每一項，k ^ 〇，1，···，Ν-1 ; (Π)以一個別的數位濾波器過濾該升取樣的Ν個予序利 xk(m)之每一項，k=0，l，…，Ν-1 ;及 (iii)添加該N數位濾波子序列，以形成y(n)° 13- 本紙張尺度適用中國國家標準(CNS) A4規格(210 x 2町公釐）