SE518092C2 - Förfarande resp. digital signalbehandlingsanordning för rekonstruktion av olikformigt samplade signaler. - Google Patents

Description

skevningsfel, som introducerar vikningskomponenter i Y(e”"), där Y(e”") är Fourier-transformen av y(n). Detta innebär att y(n) e x(n) och således är informationen i y(n) inte längre samma som den i x(n).

Det skall noteras att det är välkänt att om.tk-värdena är olika så att alla sampel separeras i tiden, så är xayt) entydigt be- stämt av samplen i xkun). Det är också välkänt hur xaft) erhålls från xkun) genom att använda analoga interpolationsfunktioner.

Dessa funktioner är emellertid icke enkla, om över huvud taget möjliga, att erhålla i praktiska implementationer, vilka såle- des kräver andra lösningar.

REDoGöRELsE FÖR UPPFINNINGEN Det är följaktligen ett syfte med föreliggande uppfinning att åstadkomma ett förfarande respektive en anordning för rekon- struktion av en olikformigt samplad, bandbegränsad, analog sig- nal xaßt), där nämnda olikformigt samplade signal innefattar N delsekvenser xkun), k = 0, 1, ..., N-1, N 2 2, som erhålls genom sampling vid en samplingshastighet av 1/(MT) enligt xkun) = x,(nMT+tk), där M är ett positivt heltal och tk = kMT/N + Atk, där Atk är skilt från noll, som är kapabla att bilda en ny sek- vens y(n) från nämnda N delsekvenser xkun) så att y(n) åtminsto- ne innehåller samma information som x(n) = xa(nT), d.v.s. xa(t) samplat med en samplingshastighet av 1/T, i ett frekvensområde lägre än wo (och möjligen innefattande wo), där wo är en förut- bestämd gränsfrekvens.

Ytterligare ett syfte med föreliggande uppfinning är att åstad- komma sådant förfarande respektive sådan anordning, som är effektiva, snabba, enkla och överkomliga. 518 .. 33 Annu ett syfte med föreliggande uppfinning är att åstadkomma sådant förfarande respektive sådan anordning som är kapabla att minska brus, såsom exempelvis kvantiseringsbrus.

Dessa syften, bl.a., uppnås medelst ett förfarande respektive en anordning som utför stegen av att: (i) var och en de N delsekvenserna xkun), k = O, 1, ..., N-l, uppsamplas medelst faktorn M, (ii) var och en av de uppsamplade N delsekvenserna xkun), k = 0, l, ..., N-l filtreras medelst ett respektive digitalt filter, och (iii) de N digitalt filtrerade delsekvenserna adderas för att forma y(n).

Företrädesvis är respektive digitalfilter ett fraktionsfördröj- ningsfilter och har ett frekvenssvar Gk = ake°Ü”“), k = O, 1, ..., N-l i frekvensbandet |wT| s u%T, där ak är en konstant och s är skilt från ett heltal, och i synnerhet är s lika med d + tk, där d är ett heltal.

Om u%T är ett fixt värde mindre än n, så att den ursprungliga, analoga signalen innefattar frekvenskomponenter av en högre frekvens än wo erhålls regionalt perfekt rekonstruktion, d.v.s. y(n) innehåller samma information som x(n) = xa(nT), d.v.s. xa(t) samplar med en samplingshastighet av 1/T, endast i ett frekvensområde |w| s wo. Regionalt perfekt rekonstruktion är av särskilt intresse i översamplade system där de lägre frekvens- komponenterna bär den huvudsakliga informationen, medan de hög- re frekvenskomponenterna innehåller oönskade komponenter (t.ex. _brus) som skall avlägsnas medelst digitala och/eller analoga filter. 518 092 H Här har fraktionsfördröjningsfiltren ett frekvenssvar Gk== ak 1g(e““), k = 0, 1, ..., N-1, i frekvensbandet a%T <|mT|$ n, där A%(e“”) är en godtycklig komplex funktion.

Om å andra sidan wo innefattar alla frekvenskomponenter i den ursprungliga analoga signalen (d.v.s. o%T innefattar alla frekvenser upp till n) erhålls perfekt rekonstruktion, d.v.s y(n) är identiskt med x(n).

I endera fallet uppstår två olika situationer: (1) 2Kd+1 = N och (2) 2K¿+l < N, där Ko ges av _ M(o) T+m T) för regionalt perfekt rekonstruktion, där fxl skall läsas såsom det minsta heltalet större än eller lika med x och [-ml, ml] är frekvensbandet vari nämnda bandbegränsade analoga signal x,(t) påträffas och av K0==Al-1 för perfekt rekonstruktion.

I situation (1) beräknas ak såsom a = B'1c där a är ap-värdena i vektorform som ges av T a = [00 al u. ÛN_I] där B* är inversen av B och es av Q 5' ~;'“° af* »qäên B = uEUCO-l) ul-(Ko-l) ugffï-l) K K K u0° u1° .U uN¶l vari .Lz-lg uk= e¿MTk och där c är T c z uno vari M,k=1<° o, k= o, 1, zxo, HKD Ck I situation (2) beräknas @;värdena såsom a = É”xê där a definieras som T a _ [au aflx] varvid aloch afixinnehåller (ZKJJ) okända qgvärden och L A A N-2K@-1 fixa konstanta ak-värden, B* är inversen av B såsom given av 518 092%ÜÜä*Ä¿LTïÄñJh varvid B ges av 6 -K -K -1< uo ° u] ° uN_°¿ B ___ uB-(KÛ-l) ul-(Krl) uïfï-l) ~å° ~f° »åh vari uk==e och S ges av s = [szscfl vari där ê är T där c är ges av ß» T C = Cl ... vari M, k=1<0 o, 1<= o,1,...,21<0,1<:1<0 ck 518 092 7? Således kan L ap-värden väljas godtyckligt. Företrädesvis väljes de att vara noll, i vilket fall den motsvarande kanalen avlägs- nas, eller väljes de att vara M/N, i vilket fall varje kvantiseringsbrus kan minimeras.

Ytterligare syften med uppfinningen är att åstadkomma ett för- farande för kompensation av tidsskevning i ett tidsuppdelat analog-till-digitalomvandlarsystem (ADC-system) innefattande ett flertal analog-till-digitalomvandlare (ADC) och att åstad- koma själva ADC-systemet.

Således åstadkoms ett sådant förfarande respektive ADC-system innefattande förfarandet respektive anordningen beskrivna ovan, varvid var och en av de N delsekvenserna xkun), k = 0, l, ..., N-1, N 2 2 samplas medelst en respektive av analog-till- digitalomvandlarna. Ännu ett syfte med föreliggande uppfinning är att åstadkomma en datorprogramprodukt för rekonstruktion av en olikformigt samp- lad bandbegränsad, analog signal, Sådant syfte uppnås medelst en datorprogramprodukt nedladd- ningsbar i det interna minnet hos en digital signalbehandlings- anordning, innefattande mjukvarudelar för att utföra något av förfarandena beskrivna ovan då nämnda produkt köres på nämnda anordning.

En fördel med föreliggande uppfinning är att en fullständigt eller delvis rekonstruerad digital signal kan skapas utan behov av att anbringa väldigt komplexa och svårligen implementerbara analoga interpolationsfunktioner_ 5,8 092 Ytterligare kännetecken hos uppfinningen och fördelar med den- samma kommer att bli uppenbara från den följande detaljerade beskrivningen av utföringsformer av uppfinningen.

KORT BESKRIVNING AV RITNINGARNA Föreliggande uppfinning kommer att bättre förstås från den de- taljerade beskrivningen av föredragna utföringsformer av före- liggande uppfinning given här nedan och från de medföljande figurerna l-6, vilka endast ges i illustrativa syften och skall således inte vara begränsande för föreliggande uppfinning.

Fig. la illustrerar schematiskt likformig sampling, vari en sekvens x(n) erhålls från en analog signal xa(t) genom sampling av den senare ekvidistant vid t = nT, -w < n < w, d.v.s. x(n) = xa(nT); och fig. lb illustrerar schematiskt olikformig sampling, vari sampel separeras i två delsekvenser xkun), k = O, 1 där xkun) erhålls genom sampling av xa(t) med samplingshastigheten l/(2T) vid t = n2T+tk, d.v.s. xkun) = xa(n2T+tk).

Fig. 2 illustrerar schematiskt en samplingsenhet för likformig sampling samt en kvantiseringsenhet.

Fig. 3 illustrerar schematiskt en uppsamplingsenhet.

Fig. 4 illustrerar schematiskt ett ADC-system med hybrid ana- log/digitalfilterbank.

Fig. 5 illustrerar schematiskt ett analysfilterbanksystem för att skapa xkun), k = 0, l, ..., N-1, där xkun) är N delsekvenser erhållna genom sampling av xa(t) vid tidstillfällena t = nMT+tk.

Fig. 6 illustrerar schematiskt en flerfasrepresentation av upp- samplingen och syntesbanken i systemet i fig. 4.

'I DETALJERAD BESKRIVNING AV UTFÖRINGSFORFIER I följande beskrivning i förklarande och icke begränsande syf- ten anges särskilda detaljer för att åstadkomma en grundlig förståelse av föreliggande uppfinning. Det skall emellertid vara uppenbart för fackmannen inom området att uppfinningen kan utövas i andra versioner som avviker från dessa särskilda detaljer. I andra fall är detaljerade beskrivningar av välkända förfaranden och anordningar utelämnade för att inte tynga beskrivningen av föreliggande uppfinning med onödiga detaljer.

Denna uppfinning betraktar problemet med att rekonstruera olik- formigt samplade bandbegränsade signaler. Ett sådant problem uppstår i exempelvis tidsuppdelade analog-till-digitalomvandla- re (ADC) på grund av tidsskevningsfel. För att vara precis av- ser vi följande situation. Givet N delsekvenser xkun), k = 0, 1, ..., N-l, erhållna genom sampling av en bandbegränsad analog signal x,(t) med en samplingshastighet av 1/(MT) enligt xkfln) = x,(nMT+tk). Hur skall en ny sekvens y(n) bildas från xkun) så att y(n) antingen är exakt eller approximativt (i något avseende) lika med x(n) = xa(nT), d.v.s. xa(t) samplad med en samplings- hastighet av l/T. I detta syfte föreslås i detta patent användningen av en N-kanals digitalsyntesfilterbank. Totalsy- stemet kan ses som en generalisering av de konventionella tids- uppdelade ADC-omvandlarna, till vilka det förra inskränkes såsom ett specialfall. Vi visar att det föreslagna systemet, med lämpliga ideala syntesfilter kan erhålla y(n) = x(n). Dessa syntesfilter är emellertid icke lämpliga att approximeras medelst praktiska digitala filter. Vi betraktar därför också fallet då y(n) : från x(n), men där y(n) och x(n) innehåller samma information i ett lägre frekvensområde. Vi visar att to- talsystemet kan erhålla Y(e“”) = X(e“”) för|wT|s u%T, där Y(e””) och X(e”") är Fourier-transformerna av x(n) respektive y(n) och wo är en förutbestämd gränsfrekvens, igen med lämpliga ideala syntesfilter, som i detta fall kan approximeras medelst 51 s 092 = 10 praktiska digitala filter. Detta schema är användbart för (nå- got) översamplade ADC-system där vikning in i frekvensbandet a%T <|wT|s n kan tolereras. De ideala syntesfiltren är allmänna bandpassfilter med, i allmänhet, olika förstärkningskonstanter.

Vi analyserar effekterna av att använda praktiska filter som approximerar de ideala filtren.

Dispositionen av de återstående delarna av denna beskrivning är som följer. Först sammanfattas kort likformig sampling, upp- sampling och hybrida analog/digitalfilterbanker, av vilka de senare är lämpliga att använda för att analysera olikformigt samplade system. Det påföljande avsnittet betraktar olikformig sampling och rekonstruktion. Därefter beskrivs tidsuppdelade ADC-omvandlare och deras generaliseringar. Det efterföljande avsnittet avser felanalys respektive kvantiseringsbrus. Slut- ligen ges en uppställning med ekvationer, till vilka hänvisas i de ovannämnda avsnitten.

Likformig sampling, uppsampling och filterbanker Likformig sampling och kvantisering representeras av enheten för likformig sampling och kvantisering i fig. 2. Om kvantise- ring ignoreras, erhålls utmatningssekvensen x(n) genom sampling av den analoga inmatningssignalen xa(t) likformigt vid tidstill- fällena nT för alla n, se ekv. (1) i uppsättningen med ekvatio- ner i slutet av denna beskrivning. Här är T samplingsperioden och f“mfl_= 1/T är samplingsfrekvensen. Fourier-transformerna av x(n) och xaßt) är relaterade till varandra enligt Poissons summationsformel, se ekv. (2).

Uppsamplamplingsenheten i fig. 3 används för att öka samplingsfrekvensen medelst en faktor M. Samplingsperioden och samplingsfrekvensen förknippad med den lägre hastigheten, här betecknad med TI respektive f“mmL1, är uppenbart relaterade till T och ffimfl enligt ekv. (3). Utmatningssekvensen y(n) ges 5131; 092 2 av ekv. (4) och Fourier-transformerna av y(n) och x(n) är relaterade till varandra såsom framgår ekv. (5).

Betrakta systemet i fig. 4, som vi hänvisar till som en hybrid analog/digitalfilterbank eller filterbank-ADC. Detta system använder en analog anlysfilterbank, likformiga samplare och kvantiserare och en digital syntesfilterbank. Samplingen och kvantiseringen äger rum vid utgången hos analysfiltren med en samplingsfrekvens av l/Tl = f /M, eftersom TI = MT. I fil- sampe l terbank-ADC utförs således både sampling och kvantisering vid den lägre samplingshastigheten f /M. sampe l Om vi ignorerar kvantiseringarna i systemet i fig. 4 erhålls Fourier-transformen av utmatningssekvensen y(n) med lätthet med hjälp av de ovannämnda relationerna, se ekv. (6), varvid Xk(e“”T) ges av ekv. (7). Ekv. (6) kan omskrivas såsom ekv. (8), där Vp(jw) ges av ekv. (9).

Betrakta systemen i fig. 2 och 4 med X(e“”) och Y(e””), såsom givna av ekv. (2) respektive (8). Kom ihåg att spektrumet för en samplad signal alltid är periodiskt med en period av Zn (Zn- periodiskt). Således är X(e“”) uppenbart 2n-periodisk. Detta är sant också för Y(e””) så länge som alla Gk(e”") är 2n-periodis- ka. Det räcker således att betrakta X(e””) och Y(e”“) i inter- vallet -n s wT s n. Vi kommer nu att behandla två olika typer av rekonstruktion.

Perfekt rekonstruktion: Systemet i fig. 4 utför perfekt konstruktion (PR) om ekv. (10) gäller för någon konstant c skild från noll och någon heltalskonstant d. I tidsdomänen har vi i fallet med PR y(n) = cx(n-d). D.v.s. med c = 1 är y(n) helt enkelt en skiftad version av x(n). Från ekv. (2), (8) och (10) ser vi att PR erhålls om ekv. (ll) gäller för -w s r s w. m 092 12 Regionalt perfekt konstruktion: Låt x(n) och y(n) vara separe- rade såsom givet av ekv. (12) med motsvarande Fourier- transformer givna ekv. (13) och (14), där u%T < W. Systemet i fig. 4 utför regionalt perfekt rekonstruktion (RPR) om ekv. (15) eller ekvivalent, ekv. (16), gäller för någon konstant c skild från noll och någon heltalskonstant d. I tidsdomänen har vi i fallet med RPR yhw(n) = cxum(n-d). D.v.s. med c = 1 är ykm(n) helt enkelt en skiftad version av xhw(n). y(n) är emellertid inte en skiftad version av x(n), d.v.s. y(n) : cx(n-d). Från ekv. (2), (8) och (16) ser vi att RPR erhålls om ekv. (17) uppfylls för -w s r s w. Regionalt perfekta rekonstruktionssystem är av intresse i översamplade system där xhw(n) bär den huvudsakliga informationen, medan xm®(n) innehåller oönskade komponenter (t.ex. brus) som skall avlägsnas med digitala och/eller analoga filter.

Bandbegränsade fall: Då Xa(jw) är bandbegränsad måste endast ett begränsat antal termer i summationerna i ekv. (2) och (8) han- teras i intervallet -n s wT s n. Vi betraktar två olika fall.

Fall A (PR): Låt x,(t) vara bandbegränsad enligt ekv. (18). I detta fall uppfylls Nyquist-kriteriet för sampling med en effektiv samplingsfrekvens av l/T utan vikning. Således kan xa(t) bevaras om vikning in i bandet -n s wT s n undvikes.

Betrakta först x(n) i fig. 2. Från ekv. (2) är det uppenbart att vi inte har vikning i området -x s wT s n då Xa(jw) är bandbegränsad enligt ekv. (18). Betrakta därefter y(n) i fig. 4. I intervallet -x s wT s n med Xa(jw) bandbegränsad enligt ekv. (18) är det enkelt att verifiera att vi endast behöver betrakta 2K¿+l-termer i ekv. (8) för p = -KO, -(Kp-1), ..., Ko, där Ko ges av ekv. (19). 51% 092 â¿åä;Ää¿åï¿¿'% PR erhålls nu om ekv. (20) gäller, där Ko ges av ekv. (19). I detta fall kan således xa(t) bestämmas från x(n) såväl som y(n) förutsatt att systemet i fig. 4 utför PR.

Fall B (RPR): Låt xa(t) vara bandbegränsad enligt ekv. (21) och separerad enligt ekv. (22) med motsvarande Fourier-transformer givna av ekv. (23), (24) och (25).

I detta fall kan inte xa(t) bevaras, men xmhw(t) kan bestämmas så länge som vikning in i bandet -wOT s wT s cooT undvikes.

Betrakta först x(n) i fig. 2. I intervallet -n s wT s n, med xa(jw) bandbegränsad enligt ekv. (21) och (25) är det uppenbart att vi endast behöver betrakta tre termer i ekv. (2), för r = -1, 0, 1. Vidare i intervallet -u%T s wT s u%T med wo given enligt ekv. (25) är det enkelt att verifiera att vi endast behöver betrakta en term, för r = 0. D.v.s. vikning in i detta band undviks automatiskt. Betrakta därefter y(n) i fig. 4. I intervallet -Ic s ooT s n, med Xa(ju)) bandbegränsad enligt ekv. (21) och (25) är det enkelt att verifiera att vi endast behöver betrakta 2K0+l termer i ekv. (8), för p = -K°, -(K°-1), ..., Ko, där K, ges av ekv. (26), där [X] står för det minsta heltalet större eller lika med x. Vidare i intervallet -u%T s wT s u%T, med wogiven av ekv. (25) är det enkelt verifierat att vi endast behöver betrakta 2K°+l termer i ekv. (8), för p = -KN -(Ko-l), ..., Ko, där Ko ges av ekv. (27).

RPR erhålls nu om ekv. (28) uppfylls, där Ko ges av ekv. (27) och av A(jw) är någon godtycklig funktion. I detta fall kan således xL1W(t) bestämmas från x(n) såväl som y(n) förutsatt att systemet i fig. 4 utför RPR. 518 092 14 Olikformig sampling och rekonstruktion Låt xgnn, k = O, l, ..., N-l vara N delsekvenser erhållna genom sampling av xa(t) vid tidstillfällena t = nMT+tk, d.v.s. såsom ges av ekv. (29). För M = N = 2 samplas xa(t) enligt fig. lb.

Delsekvenserna xk(m) kan erhållas genom sampling av utmatnings- signalerna från analysfiltren i fig. 4, om dessa filter väljes enligt ekv. (30). Analysfilterbanken är i detta fall såsom visas i fig. 5.

Genom att kombinera ekv. (9) och (30) fås ekv. (31).

Härnäst visas hur syntesfiltrena skall väljas i de bandbegrän- sade fallen A och B (se tidigare avsnitt) så att PR respektive RPR erhålles.

Fall A (PR-fallet): I detta fall är xa(t) bandbegränsad enligt ekv. (18). Låt Gk(e”“) vara Zn-periodiska filter givna av ekv. (32). Från ekv. (31) och (32) erhålls ekv. (33). För PR krävs det att Vp(jw) såsom given i ekv. (33) uppfyller ekv. (20).

D.v.s. PR erhålls om ekv. (34) uppfylls.

Fall B (RPR-fallet): I detta fall är xa(t) bandbegränsad enligt ekv. (21). Låt Gk(e””) vara Zn-periodiska filter enligt ekv. (35), där A,(e“”) är några godtyckliga komplexa funktioner. Från ekv. (31) och (35) erhålls ekv. (36), där A(jw) ges av ekv. (37).

För RPR krävs att Vp(jw) såsom given i ekv. (36) uppfyller ekv. (28). D.v.s. RPR erhålls om åter ekv. (34) uppfylls.

Hur ar-värdena skall beräknas betraktas härnäst. För både PR och RPR (fallen A och B) måste ekv. (34) var uppfylld. Denna ekva- tion kan skrivas i matrisform såsom ekv. (38), där B är en (2K¿+l)xN-matris enligt ekv. (39), där uk-värdena ges av ekv. 5 0 9 2 š..'š .g :aja å .. (40). Vidare är a en kolumnvektor med N element och c är en kolumnvektor med 2KpJ element enligt ekv. (41) och (42), där T står för transponatet (utan komplexkonjugat). ag-värdena är okända, medan ck-värdena ges enligt ekv. (43).

Ekv. (38) är ett linjärt system med 2K¿+l ekvationer med N okän- da parametrar ak. Således kan ekv. (38) lösas om 2K¿+l s N. Vi särskiljer två olika fall.

Fall 1: 2K¿+1 = N. I detta fall är antalet okända lika med anta- let ekvationer. a;värdena kan i detta fall bestämmas entydigt under villkoren fastslagna av följande teorem.

Teorem 1: Om B och c ges av ekv. (39) respektive (42) och 2K¿+1 = N och tk - tn+MTr, k s m, r E'Z, så existerar ett unikt a som uppfyller ekv. (38) och därvidlag också entydiga ak-värden som uppfyller ekv. (34). Vidare är alla ak-värdena i a reella konstanter.

Bevis: Vi bevisar först att det finns en entydig lösning. Ef- tersom 2K¿+1 = N är B en kvadratisk NxN-matris. Om B är icke- singulär, så bestäms a entydigt av ekv. (44), där B* är inver- sen av B. Det räcker således att visa att B är icke-singulär under rådande villkor. I detta syfte observerar vi först att B såsom given av ekv. (39) kan skrivas om som i ekv. (45), där A ges av ekv. (46) och c är en diagonalmatris enligt ekv. (47).

Matrisen A är en Vandermonde-matris. Det nödvändiga och till- räckliga villkoret för icke-singularitet hos A är därför att uk- värdena är olika, d.v.s. uk : um, k a m, vilket är samma villkor som tk s t¿+MTr, k s m, r E Z, på grund av ekv. (40). Vidare, eftersom determinanten av B är det B = det A det C och|det C|= l, erhåller vi relationerna som ges i ekv. (48). D.v.s. B är icke-singulär om och endast om A är icke-singulär. Detta bevi- uno- a Säg Û92?WEZ^}¿ÜkMXï"“ sar att B är icke-singulär och att en entydig lösning a alltid existerar under de fastslagna villkoren.

För att bevisa att ap-värdena i a är reella konstanter fortsät- ter vi som följer. Antag att vi har entydiga värden ak som upp- fyller ekv. (34). Genom att använda ekv. (40), kan ekv. (34) ekvivalent skrivas såsom ekv. (49), där x* står för komplexkon- jugatet av x. Ur ekv. (49) får vi ekv. (50). Detta visar att värdena af uppfyller ekv. (34) också. Emellertid, eftersom ak är entydiga, följer att de måste vara reella.

Fall 2: 2KpJ < N. I detta fall överstiger antalet okända anta- let ekvationer. Vi kan därför pålägga L = N-ZKN-1 ytterligare linjära restriktioner bland a,-värdena och fortfarande uppfylla ekv. (34). Vi begränsar oss själva här till fallet då de L af- värdena för k = N-L+l, N-L+2, ..., N, är satta till några konstanter. Detta fall täcker de konventionella tidsuppdelade ADC-omvandlarna med ett jämnt antal kanaler. Eftersom L ak-vär- dena är fria skulle vi självfallet kunna välja dem till noll, i vilket fall de motsvarande kanalerna skulle avlägsnas. I den betydelsen finns det inget behov av att betrakta fallen med ett jämnt antal kanaler. Emellertid, såsom vi skall se nedan, kan det vara värt att betrakta dessa fall för att minska kvantise- ringsbruset vid utgången hos det totala systemet.

Systemet med linjära ekvationer som skall lösas kan här skrivas i matrisform såsom ekv. (51) med E som en NxN-matris och a och É som kolumnvektorer med N element enligt ekv. (52), (53) respektive (54), där B är (2K¿+l)x(2K¿+1)-matrisen som ges av ekv. (39), au och afix innehåller (2K¿+l) okända och L fixa kon- stanter hos a, c är kolumnvektorn med (2K¿+1) element som ges av ekv. (43), S är en LxN-matris given av ekv. (55), där S, är en Lx(2K¿+l)-nollmatris given av ekv. (56) och Sd är en LxL diago- nalmatris, där de diagonala elementen är lika med ett, se ekv. (57). 518 17 Såsom i fall 1 kan ar-värdena i fall 2 entydigt bestämmas under villkoren som fastslås av följande teorem.

Teorem 2: Om å och 6 ges av ekv. (52) respektive (54), afix i ekv. (53) innehåller L reella fixa konstanter, 2K¿+l < N, och tk = t¶+MTr, k : m, r E Z, då existerar ett entydigt a som upp- fyller ekv. (51) och därvidlag också entydiga a;värden som upp- fyller ekv. (34). Vidare är alla ar-värdena i a reella konstan- ter.

Bevis: Beviset följer det för teorem 1. För att bevisa existen- sen och entydigheten räcker det att visa att B är icke-singulär under de fastslagna villkoren, eftersom a då bestäms entydigt av ekv. (58).

För att bevisa icke-singuläritet hos å observerar vi att dess determinant ges av ekv. (59), där š är en (2K¿+l)x (2K¿+1)- delmatris erhållen från B genom att radera L kolumner för k = N-L+l, N-L+2, ..., N, d.v.s. såsom ges i ekv. (60). Vi vet från beviset för teorem 1 att det É e 0 och således är det É : 0 under de fastslagna villkoren. Detta bevisar att É är icke- singulär och att en entydig lösning alltid existerar. Beviset att ak-värdena i a är reella göres på samma sätt som för teorem 1.

Tidsuppdelade ADC-omvandlare och deras generalisering Detta avsnitt betraktar konventionella, tidsuppdelade ADC- omvandlare och deras generaliseringar. Betrakta först fallet då N = M med tk given av ekv. (61) och (62).

Vidare, låt syntesfiltren Gk(e””) ges av ekv. (32) med ak = 1, k = 0, 1, ..., M-1, c = 1 och d = 0, d.v.s. såsom i ekv. (63).

Från ekv. (31) och (63) erhåller vi ekv. (64). 5,8 092 18 Således erhålls PR. I detta fall har vi en konventionell, tids- uppdelad ADC. Utmatningssekvensen y(n) erhålls här genom att sammanlagra xk(m)-värdena.

I praktiken kommer emellertid Atk inte längre att vara exakt noll. Om Atk är känd, kan a,-värdena beräknas enligt ekv. (44) om N är udda och 2Ky+l = N eller enligt ekv. (58) om 2K¿+l < N.

I detta fall kan PR inte erhållas eftersom N = M och PR kräver att K0= M-1. Således kan vare sig 2K¿+l =N eller 2K¿+l < N upp- fyllas. RPR kan å andra sidan erhållas. I detta fall uppstår följande fråga: givet N = M och Ko, vad är det maximala värdet på d%T vi kan tillåta och ändå erhålla RPR? Det kan enkelt fast- slås att för att erhålla RPR måste ekv. (65) uppfyllas. Om 2K¿+l = N får vi ekv. (66).

Betrakta härnäst fallet då N : M med tk given enligt ekv. (67) och (68). Vidare, låt syntesfiltren Gk(e””) ges av ekv. (32) med a,= M/N, k = O, 1, ..., N-1, c = l och d = O, d.v.s. som i ekv. (69). Från ekv. (31) och (69) erhåller vi ekv. (70).

Således erhålls PR. I detta fall har vi ett system som kan ses såsom en generalisering av de tidsuppdelade ADC-omvandlarna. Vi kan emellertid i detta fall inte längre erhålla utmatningssek- vensen genom att sammanlagra xkun)-värdena.

I praktiken kommer Atk igen att inte längre vara exakt noll. Om At, är känd, kan ak-värdena beräknas enligt ekv. (44) om N är udda och 2Kfil = N eller enligt ekv. (58) om 2Kf+l < än N. Till skillnad från M-kanalsfallet kan vi här i N-kanalsfallet erhål- la både PR och RPR genom att välja Ko enligt ekv. (19) respek- tive (27) och vi kan självfallet välja N så att 2K¿+1 S N. För att erhålla RPR för givna M och Ko måste igen u%T uppfylla ekv. (65). Om 2Kfil = N får vi ekv. (71). Således, genom att öka antalet kanaler erhåller vi RPR över ett större frekvensområde. 51 819 09 2 f Fel- och brusanalvs Närmast följer en felanalys. Mera precist, härleder vi gränser för felen i a och c, då B och a utbytes mot B+AB och a+Aa.

Felen i a är av intresse vad gäller det gäller kvantiserings- bruset, såsom kommer att bli uppenbart i nästa avsnitt. Felen i c berättar för oss hur nära de ideala syntesfiltren varje prak- tiskt filter måste vara för att uppfylla några föreskrivna til- låtna fel i c.

Vi kommer att använda Lw-normerna såsom definieras av ekv. (72) för en Nxl (lxN)-vektor x med elementen xi och som definieras av ekv. (73) för en NxN-matris X med elementen xü.

Fel i a: Betrakta första fall 1 med 2K¿+l = N. Antag först att vi har Ba = c för tk = dgr och ak. Antag därefter att tk = d¿P och ak är upbytt mot tk = d¿I+Atk och ak+Aak, medan c hålles fixt.

Detta svarar mot ekv. (74). Matrisen AB är en NxN-matris enligt ekv. (75), där Abm och Atw ges av ekv. (76) respektive (77).

Om nu ekv. (78) är uppfylld kan det visa sig att ekv. (79) gäl- ler. Från ekv. (75) - (77) får vi ekv. (80).

Vi har B = AC och följaktligen B* = C“A*. Vidare, eftersom A här är en DFT-matris, är dess invers A* en IDFT-matris, således ||A“Hw = 1. Vi har också|]C*Hæ = 1 eftersom C* uppenbarligen är en diagonalmatris med diagonalelement ußß där uk ges av ekv. (40). Vi har således ekv. (81), som tillsammans med ekv. (80) resulterar i ekv. (82). Genom att använda ekv. (79) - (82) och anta att HABH,||B“H, << 1, erhåller vi slutligen ekv. (83).

Betrakta därefter fall 2 med 2K¿+1 < N. Detta fall är något svå- rare än fall 1 eftersom vi i allmänhet inte kan uttrycka É som en produkt mellan en DFT-matris och en diagonalmatris. Emel- lertid, om vi begränsar oss själva till tidsuppdelade ACD- 518 092 20 omvandlare och deras generaliseringar kan det direkt visas att vi kan skriva om ekv. (51) som ekv. (84), där B' är en NXN- matris enligt ekv. (85) med uk givna av ekv. (40) och c' är en kolumnvektor med N element ckenligt ekv. (86).

Vi kan uppenbarligen uttrycka B' såsom en produkt mellan en DFT-matris och en diagonalmatris. Vi kommer därför att sluta med samma resultat som i fall 1, d.v.s. begränsningen i ekv. (ss).

Fel i c: Antag att vi har Ba = c för tk= dgr och ak. Antag nu att tk = dkT och ak utbyts mot tk = dkT+Atpk respektive ak+Aak.

Detta svarar mot ekv. (87), ur vilken vi får ekv. (88). Ur ekv. (88) får vi i sin tur ekv. (89). Genom att använda ekv. (39) och (75)-(77) får vi slutligen ekv. (90), som är användbar vid utformning av syntesfiltren Gk(z).

Kom ihåg från ovan att de ideala filten skall ha frekvenssvaren a,e*“,över frekvensområdet av intresse [om c = 1 och d = 0 i ekv. (32) och (35)]. I praktiken kan Gk(z) självfallet endast approximera de ideala svaren. Vi kan uttrycka frekvenssvaren hos Gk(z) som ekv. (91), där Aak(wT) och AtW(wT) är avvikelserna från de ideala storleks- respektive fassvaren. Givet de tillåtna felen i c och ekv. (90) och (91) är det således enkelt att utforma Gk(x) så att kraven uppfylls.

För att analysera brusvariansen vid utgången hos systemet i fig. 4 är det lämpligt att representera syntesfilterbanken med dess s.k. flerfasrealisation enligt fig. 6. Utmatningssekvensen y(n) erhålls genom att sammanlagra y¿(m)-värdena, i = O, 1, ..., M-1. Överföringsfunktionen för utmatningen y(n) ges av ekv. (92), där Y(z) ges av ekv. (93), x(z), !(z) och G definieras av ekv. (94), (95) respektive (96). Gn(z)-värdena är flerfaskomponenterna av Gk(z) enligt ekv. (97). 518 092 21 Som vanligt i brusanalys moduleras kvantiseringsfelen såsom stationärt vitt brus. Låt xkun), k = 0, l, ..., N-1 vara okorre- lerade vita bruskällor med noll medelvärde och varianser onz.

Eftersom G”)(z) beskriver ett linjärt och tidsinvariant system är utmatningarna yi(m), i = 0, 1, ..., M-1 också stationärt vitt brus med noll medelvärde. Varianserna av yiun), här betecknade med owÉ(n) är emellertid i allmänhet olika, även då omf är lika.

Utmatningarna yiun) kan också vara korrelerade. Utmatningsbruset y(n) kommer därför i allmänhet icke att vara stationärt. Dess varians, här betecknad med of(n) är således en tidsvariant.

Vidare är det periodiskt med perioden N eftersom uppenbarligen ekv. (98) gäller.

Vi definierar medelkvantiseringsbruset vid utgången i ekv. (99). Givet syntesfiltren Gk(z) och dess flerfaskomponenter Gn(z) kan (of)w beräknas enligt ekv. (100).

Låt nu syntesfiltren ges av ekv. (101) och alla inmatnings- varianser c“2'vara lika enligt ekv. (102). Kombinering av ekv. (100) - (102) ger oss ekv. (103).

En fråga som nu uppstår är hur man skall välja ak-värdena så att (cf)w som ges av (103) minimeras samtidigt som begränsningarna PR eller RPR samtidigt uppnås. Låt oss betrakta problemet såsom definierat av ekv. (104). Begränsningen i ekv. (104) är en av dem som måste uppfyllas för att erhålla PR eller RPR. Eftersom summan av ar-värdena är M, kan den objektiva funktionen som skall minimeras i ekv. (104) omskrivas såsom ekv. (105). Såle- des erhålls lösningen till ekv. (104) för ak= M/N, k = 0, 1, ..., N-1 med minimivärdet för (cf)W såsom i ekv. (106).

Detta visar att talet ak= M/N för de tidsuppdelade ADC-omvand- larna och deras generaliseringar minimerar medelkvantiserings- bruset vid utgången. 518 092 22 I praktiken komer Atk inte längre att vara exakt noll, vilket medför att ak utbytes mot ak+Aak. Om Aak är litet (och ak > 0) ges medelkvantiseringsbruset i detta fall av ekv. (107). Med ak = M/N erhåller vi ekv. (108). Kvantiteten erhålls från ekv. (ss).

Föreliggande uppfinning har betraktat problemet med att rekon- struera olikformigt samplade bandbegränsade signaler genom att använda digitala filterbanker. Det totala systemet kan ses såsom en generalisering av de konventionella tidsuppdelade ADC- omvandlarna, till vilka det förra inskränker sig som ett speciellt fall. Genom att generalisera de tidsuppdelade ADC- omvandlarna är det möjligt att eliminera felen som införs i praktiken på grund av tidsskevningsfel. Vi betraktar både per- fekt rekonstruktion (PR)- och regionalt perfekt rekonstruktion (RPR)-system och det har visat hur sådana system skall erhållas genom att välja de (ideala) digitala filtren på lämpligt sätt.

Förfarandet för att rekonstruera en olikformigt samplad bandbe- gränsad signal kan implementeras i varje lämplig digital sig- nalbehandlingsanordning, såsom t.ex. dedikerad hårdvara eller en dator. Förfarandet utförs i det senare fallet medelst en datorprogramprodukt innefattande mjukvarukoddelar nedladdade i det interna minnet hos en lämplig anordning.

Det är uppenbart att uppfinningen kan varieras på ett flertal sätt. Sådana variationer skall inte betraktas som en avvikelse från skyddsomfånget hos uppfinningen. Alla sådana modifikatio- ner som är uppenbara för fackmannen inom området är avsedda att innefattas inom skyddsomfånget för de bifogade patentkraven.

Uppsättningen med ekvationer presenteras på de följande sidor- nä.. -nn nnn n n nn nn nn nn nn n n nn nn n en n n nn n n nn n nn nn n n n n n n n n nn n nnn n n n n n n n nn n n nn nnnnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn 23 LISTA MED EKVATIONER IW) = XJÛL T, ~°°5f1$°° (1) =r1 jmf __ 1 w . .ZTCF Å/(e )“ '11 Z X3 10)- “T- (2) r=-°° T f 1 IfM), fsmplefl = S3” % <3) Wi) = { xçnnw), n = o,J_~M,:2M, 4 O. otherwise ( ) Ywffflf) = X<ä°°Tw = Xwlwf) (s) N- 1 WIN) = 2 GkT)X,, k=0 XIÅejMOJT) __.. Xláejmrl) = ._1- N ._ _ J T1p ÉNHÅJOJ T1)Xa( m Tx) 1 °° _ .z . .2 = .Tr 2 H/Å/“nffiyfaffw-Jfi) <1) p = _00 Yæfwf) = 11. 2 V,,<1w)Xa(fw-12§,í§] <8) h) .lä N-1 . 1 - . . 1 Vpuw) = 17 2 GkHk(1w-13) k=O I/(e/wf) = ce-Idwfxæiwf), |wT| s 1: = { Ce-jdwr, p = FM, O, pafirM, IwISTt/T »fw = 11mm Jfxhighw YUI) = y10w(")+)'high(") X = Xlow +Xhigh Yufflflf) = Ymwgifflfyf Yhighuffwf) Xlowßeflflf) = o, wor<|mr| sn Xhighæiwf) = o, |wT| smor Ylowwwf) = o, morqmirl sn Yhighufiflfl) = o, lwrl swor neflflf) = ce-Idmføaeffflf), |wr| s mor Ylowwflfl) = ce-flffflfxlowuffwf), |wT| s 1: _ ce-fdwï, p = rM, IUJI S w Vpuw) = ° O, pafirM, Im] Scuo Xa(jw) = O, Imlzn/T u . an.. u Q « | no (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (13) 51 8 0 9 2 . 25 Ko = M-1 ceÜdwT, p = 0, |C0| < 715 VPUw) = 0, |p|=1,z,...,1<0, oswsn Xagw) = 0, lwI 2011 xaU) = xa,low(t) +xa,high(t) = XaJQW/(jm) + Xm/(jw) = 0, |wl>w0 Xhighgw) = O, lwlswo, lwlzcol 0 M(7:+0J T) K°=(ï1")_1 KO' zífl ce'fd°JT, p = 0, |CÛ| 3 030 ÅUÛJ), O, lpl = 1, 2.

Vp(j(n) = p=0,w0 -.., Izvo, l(Û| 5; (I)0 xk(m) = x(nMT + tk), k = 0, l,...,N-1 Hk(5)=e“k, k = 0,1, ...,N-1 .nan (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (23) (29) (30) u e... 51 8 0 9 2 N_1 . Zrcp . 1 « 1 W'- 'k Vpuw) = A7 2 GkT>e( ) k=0 Gkqefwf) = akCe'f“°“f«+dT>, mm <1: 1 N-1 _Jg¿¿t VPUOJ) = ÜcífdmT 2 ake MT k -jw(rk+dT) . a ce , ILuTI Su) T Gkæjmï) = k 0 %AÄdwÜ, wflädmflsn 1 N-1 qígggl _ -jdmT MT k T < T Vpuw) = Mce kzoake , Iw |_0)0 Agwy c%T n | a . .- (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (33) S, 8 0,2 27 115% ufo uy/fifll -<1< -11 -<1< -11 -<1< -11 uá<° uff' ušfll _ :k j2nt uk = e MT (40) a=aa...a_T (41) 0 1 N 1 T c = [co cl czKg (42) M, k=1<0 ck = (43) _ 0, k=o,1,...,z1<0,k=fi1<0 a = 3-10 (44) B = AC (45) 1 1 1 u u u _ A = o 1 N 1 (46) 2 ZK ZK u0K° ul ° uN_°1 C = diag [ušKo uíKo uš[1<_ol} (47) 51 s 092 h) O) detA:O<=>detB:fiO 48 defA=ø<=>aetß=o ( ) N-l 2 ak=M, p=0 ii? <4” 2 ak[u;]*= 2 akupo, p=1,2,...,1<0 k=0 k=0 N-1 z ak*=M, p=0 k=0 so N-1 N-1 ( ) Z ak=f=ug= 2 ak*[uf]*=o, p=1,2,...,1<0 k=0 k=0 Ba = e (51) ie = H (52) s T a = [du am] m) T c = [c afix] (54) s = [szsd] (55) o o o sz: o o o , (56) 518 092 29 Sd = diagfi 1 11- (Sv) a = B-lê (ss) *L-l den: = derßnsd U - den: (59) =o -K -K -K ”o ° “1 ° “zxg ~ -(K -11 -(K -11 - B = uo ° ul ° u2K0° (60) ušo u? ušlgo 1k=dkT+A:,__, k = o, 1, ...,M-1 (61) dk=k, k = 0,1, ...,M-1 (62) Ark = o, k = 0,1,...,M-1 Gkæfwf) = e-fkwf, mm <1: (63) 1114-1 _jg_1=;¿¿< Vp = 17 e M V' FO (64) k=0 0, pafi0 2n(1< +1) worsï°wl (65) 1r(M+1) _ 1: COOTÉT-COIT '- A7+TI-(D1T rk=dkT+Azk, k= 0,1,...,N-1 (67) 51 ß 092 30 1%! -Izjflc 1 0 - ___ __ N = v p_ VpUw) Nk-ï-oe { o, pwo (DOTS1t(N+1)_w1T Ilxllw = max Ixl-í, 0 S i.<_N-1 N-1 |xik|, osfsN-l k=0 NJÜLÉ = InflX (B+AB)(a+Aa) = c.

AILKÛ, 1 Ab-Ko, N _ 1 ^b_Kwo AB = Ab-(Ko-Ixo Ab-(KO-ILI Ab-(Ko-ILN* AbKw0 AÖKW1 AÖKWN-1 j21tpk _ Abpk = e M (ejAtpk-l) Af = šïïfímk pk AJT (63) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) 518 092 o -uau 31 lmßllw - ilß-IIL, <1 IIAaIIN < IIABII, - ||B'1".,.

N-l N-l IIABIIN = max 2 lAbpkl =max 2 |Atpk| k=0 k=0 _ M _ T .

IIB-lliwsllflllw- llA-lllæ = 1. x __ Al IIABL- Iis-IL <_%f - I .MN-nn_ |NA "^“|'~< ":'"~'í C IM? ~ B'a = c' -K -K -K uo ° ul ° uN_°1 _ -1 -K ~1 -K -1 BI = u0(Ko ) u1( O ) ... ulv(__(l) ) N-K-1 N-K-1 N-K-1 uo 0 ul ° uN_1° M, k=K0 ck = o,k=QLHqN-Lkixo a Q n . nu (78) (79) (30) (31) (32) (33) (84) (35) (86) 51 8 092 32 (B+AB)(a+Aa) = c+Ac Ac = BAa+ABa+ABAa IIACIIN S IIBIIMIIAIIIIN + IIABIINNHIIN + IIABIIwII/Åflllw IIACL ¶Nmax{ |Aak|} + Nmax{ lAtpkl }max{|ak|} + Nrnax{ |Atpk1 }max{ |Aak|} = N(max{|Aak|} + max{ |Atpk| }max{ IakI }) Gkugfwf) = [agAak(wT)1e"f[9f/«*”Mp/ÅW) M-l m) = 2 rfYiçzM) i=O 1/(2) = G(”)(z)X(z) T Xm = [Xow X1(z) XN_I(Z)] T 1/(2) = íyog) Ylu) YM_I(Z)] 600V) 501V) G(P)(z) ___ G1Q(Z) GUÜ) GoJv-flz) GLN-flz) GM-LOÜ) GM-Lflz) GM-LN-flz) M-1 Gk(z) = 2 z”"G¿k(zM) i=O enuu (37) (33) (39) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) <<=š>av j) fiš, #22 Z vi) 2 1010112 || I Q åh.) l\J|,_ Fi *ïn ä Q ïl N \<.

S *l __\f_ aik) S “l akrfMkmT/N, lcoTl < cocT GjÅejmT) = 0, cocTS ImTI s vr oaT N* 2 = C 2 2 (6y)av Mn cx 2 ak k=0 N-1 N-l mínimize 2 nå subject to 2 ak = M k=0 k=0 a . q - ; no (93) (99) (100) (101) (102) (103) (104) 518 092 N-l N-I 2 N-2 N-l w [zakßz z 2 k=0 k=0 k=oq=k+1 N-Z N-l 2 _ 2 M + 2 2 (ak aq) (105) k=oq=k+1 (52) = ¶52 (196) y av, min N15 x 2 (DCT 2N_1 2 (6y)av Mn Gx 2 (akqlbAak) k=0 (DCT N-1 z 2 2 Mn oxkï-:Ouzk + zakAak) s mo; '2 (ag + zakpakimax) (107) ll /Ã Q '~< N \J s» .< ä. 23 f? I-l g) (108)

Claims (28)

518 092 ?šTw*å¿“J¿f="" 35 PATENTKRAV

1. Förfarande för rekonstruktion av en olikformigt samplad bandbegränsad, analog signal xaßt), där nämnda olikformigt samp- lade signal innefattar N delsekvenser xk(m), k = O, 1, ..., N-1, N 2 2, erhållna genom sampling vid en samplingsfrekvens av 1/(MT) enligt xkun) = xa(nMT+tk), där M är ett positivt heltal och tk= kMT/N + Atk, där Atk är skilt från noll, k ä n n e - t e c k n a t a v - att en ny sekvens y(n) skapas från nämnda N delsekvenser xkun) så att y(n) åtminstone innehåller samma information som x(n) = )g(nT), d.v.s. xaft) samplat med en samplingsfrekvens av 1/T, i ett frekvensområde lägre än wo, där om är en förutbestämd gräns- frekvens, genom: (i) att var och en av nämnda N delsekvenser xkun), k = 0, 1, ..., N-1 uppsamplas medelst en faktor M, (ii) var och en av nämnda uppsamplade N delsekvenser xkun), k = O, 1, ..., N-1 filtreras medelst ett respektive digitalt filter; och (iii) nämnda N digitalt filtrerade delsekvenser adderas för att bilda y(n).

2. Förfarande enligt krav 1, varvid respektive digitalfilter är ett fraktionsfördröjningsfilter och har ett frekvenssvar Gk = ak e”““”, k = 0, 1, ..., N-l i frekvensbandet kdfl s u%T, där ak är en konstant och s är skilt från ett heltal.

3. Förfarande enligt krav 2, varvid s = d + tk, där d är ett heltal. . .. . . . . . . . . . . ..

4. Förfarande enligt krav 2 eller 3, varvid respektive frak- tionsfördröjningsfilter har ett frekvenssvar Gk = ak Ak(ej°)T), k = 0, 1, ..., N-1, i frekvensbandet woT < IcnTI s n, där Ak(ej'”T) är en godtycklig komplexfunktion.

5. Förfarande enligt något av kraven 2-4, varvid ak-värdena väljes så att 0, Ipl = 1,2, ...,K0 uppfylles, varvid KO ges av M(oa T+co T) 1<0= [__°_2ï__1_¶-1 där [x] skall läsas som det minsta heltalet större än eller lika med x och [-w1, m1] är frekvensbandet, vari nämnda bandbegränsade analoga signal xa(t) påträffas.

6. Förfarande enligt krav 5, varvid ak-värdena beräknas såsom a = B'1c där a är ak-värdena i vektorform given av T a = [ao al aN_1] där B* är inversen av B såsom given av u6K° uïK° uX,K_°1 B = ušuífl) uíuçfl) ušffflfl) u{(° uf° ušfl] vari _-_2l, *MT 'f llk=e 37 och c är ' r c = u.. vari M;k=KO ck= o, k= 0,1, ...,21 förutsatt att 2K¿+1 = N.

7. Förfarande enligt krav 5, varvid ak-värdena beräknas såsom _ -1~ a-B c där a definieras som .. = p” .mf varvid au och afix innehåller (2K¿+l) okända ak-värden och L = 1 A A N-ZKW-1 fixa konstanter ak, B' är inversen av B som ges av »m varvid B ges av ugfffl 15% uff, B z “Emo-n uíufo-n ufiï-l) u§° uf° .Ü ušfll vari _j.2lt.y uk = e MT* och där S ges av 518 092 38 s = [szscfl vari O 0 0 sz: 0 O 0 0 0 0 och Sd = diaslïl 1 1] Å och där c är a= [cafixï vari C ges av T C = Cl ... där M, k=1<0 o, k= o,1,...,z1<0,k:1<0 Ck förutsatt att 2K¿+1 < N.

8. Förfarande enligt krav 7, varvid L = N-2K,-l av ak-värdena beräknas som ak = M/N, k = N-L+l, N-L+2, ..., N.

9. Förfarande enlig krav 7, varvid L = N-ZKW-1 av a*-värdena beräknas som ak = O, k = N-L+l, N-L+2, ..., N. 518 092 39

10. Förfarande enligt något av kraven 1-9, varvid N = M.

11. ll. Förfarande enligt något av kraven 1-9, varvid N == M.

12. Förfarande enligt krav 10 eller 11, varvid wo väljes enligt 21c(K0+l) där K, ges av Mun T+m T) där hd skall läsas som det minsta heltalet större än eller lika med x och [-ml, ml] är frekvensbandet vari nämnda bandbegränsade analoga signal xayt) påträffas.

13. Förfarande enligt krav 1, varvid respektive digitala fil- ter är ett fraktionsfördröjningsfilter och har ett frekvenssvar Q,= ake“*“”, k = O, 1,..., N-1 i frekvensbandet|wT|s n, där ak är en konstant och s är skild från ett heltal och således nämnda nya sekvens y(n) som bildas är exakt lika med x(n).

14. Förfarande enligt krav 13, varvid s = d + tk, där d är ett heltal.

15. Förfarande enligt krav 13 eller 14, varvid ak-värdena väl- jes så att Nåla e k _ = K k=0 O: lvzs-Hv 0 uppfylles, vari Ko ges av 1<0=M-1

16. Förfarande enligt krav 15, varvid a,-värdena beräknas som a = B"1c 518 092 40 där a är ai-värdena i vektorførm och ges av _ T a _ .H B* är inversen av B sâsøm given av ua* af* uïfíæ B = uEUíO-l) uí-(Ko-l) uX/(fï-l) u? uf° uífll vari _,-2_f=, uk- e MT* och c är T c = Cl n. vari M, o, k= 0,1, ...,21 Ck- förutsatt att 2K¿+1 =N.

17. Förfarande enligt krav 15, varvid ak-värdena beräknas som där a definieras som T a = [Un afix] 51341092 5"' vari aloch afij innehåller (2K¿+l) okända agvärden och L Å A N-ZKN-1 fixa konstanta ak-värden, B* är inversen av B som ges av vari B ges av -K -K -K uo ° u] ° uN_°l %K'-1) 4K -U ~%K -U B: uo ° ul ° uNff uá<° uf° ufiïl vari _-2Zí, uk= e]MTk S ges av S= [w] vari O 0 0 sz: 0 0 0 0 0 O och Sd = diflgfi 1 1] A och där c är _ T c =írañJ 51 g 0 92 42 vari c ges av T c = [co cl czxé' där M,k=1<0 o, k=o, 1, zxo, kexo Ck” förutsatt att 2K¿+1 < N.

18. Förfarande enligt krav 17, varvid L = N-ZKN-1 av ar-värdena beräknas som ak = M/N, k = N-L+1, N-L+2, ..., N.

19. Förfarande enligt något av kraven 13-18, varvid N > M.

20. Förfarande enligt något av kraven 1-19, varvid nämnda N delsekvenser xkfln) kvantiseras före det att de uppsamlas.

21. Digital signalbehandlingsanordning för rekonstruktion av en olikformigt samplad, bandbegränsad, analog signal xayt), där nämnda olikformigt samplade signal innefattar N delsekvenser xkun), k = O, 1, ..., N-1, N 2 2, erhållna genom sampling vid en samplingsfrekvens av 1/(MT) enligt xküu) = xa(nMT+tk), där M är ett positivt heltal och tk = kMT/N + Atk, där Atk är skilt från noll, k ä n n e t e c k n a d a v att anordningen är inrät- tad att utföra förfarandet enligt något av kraven 1-20.

22. Digital signalblehandlingsanordning för rekonstruktion av en olikformigt samplad, bandbegränsad, analog signal xatt), där nämnda olikformigt samplade signal innefattar N delsekvenser xkun), k = O, 1, ..., N-1, N 2 2, erhållna genom sampling vid en samplingsfrekvens av 1/(MT) enligt xkun) = xa(nMT+tk), där M är 51 8 5 1 .:.:É.'*..:.:É."'..="É' 43 ett positivt heltal och tk = kMT/N + Atk, där At, är skilt från noll, k ä n n e t e c k n a d a v - ett digitalt signalbehandligsorgan för att bilda en ny sekvens y(n) från nämnda N delsekvenser xk(n) så att y(n) åtminstone innehåller samma information som x(n) = xa(nT), d.v.s. xaft) samplad vid en samplingsfrekvens av 1/T, i ett frekvensområde lägre än wo, där wo är en förutbestämd gränsfrekvens genom: (i) uppsampling av var och en av nämnda N delsekvenser xgnn, k = O, 1, ..., N-1 medelst en faktor M, där M är ett positivt heltal, (ii) filtrering av var och en av nämnda uppsamplade N delsek- venser xkun), k = 0, 1, ..., N-1, med ett respektive digitalt filter, och (iii) addering av nämnda N digitalt filtrerade delsekvenser för att bilda y(n).

23. Anordning enligt krav 22, varvid respektive digitalfilter är ett fraktionsfördröjningsfilter och har ett frekvenssvar Gk = ak e”“““, k = 0, 1, ..., N-1, åtminstone i frekvensbandet kuT|s u%T, där ak är en konstant och s är skilt från ett heltal och s = d + tk, där d är ett heltal.

24. Anordning enligt krav 23, varvid ai-värdena beräknas såsom a=.B4c där a är ak-värdena i vektorform och ges av T a==P0q.HaN_J där B* är inversen av B som ges av 518 092 44 ušK° uíK° U. ušfifi B = ub-(Ko-l) u-l-(Ko-l) uI-vfíflly-l) u? uf° “§°-1 vari .rjäf uk = e MTk och c är T C _' Iico Cl där M, k=K0 ck = o, k=o,1,...,21<0,k1=1<0 förutsatt att 2K¿+l = N.

25. Anordning enligt krav 23, varvid a;värdena beräknas som där a definieras som T a -\?uafiÄ varvid au och afix innehåller (2K¿+1) okända ak-värden och L = 1 A A N-ZKW-1 fixa konstanta ak-värden, B' är inversen av B och ges av in varvid B ges av ušKo u:Ko B = uš(K0-1)uí(K0-1) uäß ufi vari _-2_'=, uk= e]MTk och där S ges av S = [S1 så vari 0 0 0 sz: 0 0 0 0 0 0 och Sd = diflzß 1 1] A och där c är _ T Û = [C añx] vari c ges av T c = Cl ... där 4 H.uN_1 ”N-1 Ko-n “N-1 v uno v | n . ao n ...o n - ~ n ~n s1g6 092 M, k-KO o, k= o,1,...,21<0,k:1<0 Ck” förutsatt att 2K¿+1 < N.

26. Förfarande för kompensering av tidsskevning i ett tidsupp- delat, analogt-till-digitalomvandlarsystem (ADC-system) inne- fattande att flertal analog-til1-digitalomvandlare (ADC), k ä n n e t e c k n a t a v att förfarandet enligt något av kraven 1-20 utförs, varvid var och en av nämnda N delsekvenser xkun), k = 0, 1, ..., N-1, N 2 2 samplas medelst en respektive av nämnda anlog-till-digitalomvandlare.

27. Tidsuppdelat analog-till-digitalomvandlarsystem (ADC)- system innefattande ett flertal analog-till digitalomvandlare (ADC), k ä n n e t e c k n a t a v en digital signalbehand- lingsanordning enligt något av kraven 21-25, varvid var och en av nämnda N delsekvenser xkun), k = 0, 1, ..., N-1, N 2 2 samp- las medelst en respektive av nämnda analog-till-digitalomvand- lare.

28. Datorprogramprodukt nedladdningsbar i det interna minnet hos en digital signalbehandlingsanordning, innefattande mjuk- varukoddelar för att utföra förfarandet enligt något av kraven 1-20 då nämnda produkt köres i nämnda anordning.