CN1468433A

CN1468433A - 非均匀性取样的限频信号的重建

Info

Publication number: CN1468433A
Application number: CNA018167640A
Authority: CN
Inventors: H��ǿɭ; H·强森; 2; P·罗温伯格
Original assignee: Telefonaktiebolaget LM Ericsson AB
Current assignee: Infineon Technologies AG
Priority date: 2000-10-02
Filing date: 2001-09-28
Publication date: 2004-01-14
Anticipated expiration: 2021-09-28
Also published as: TW498623B; SE0003549L; CN100379154C; US20020075177A1; DE60132797T2; WO2002029806A1; SE518092C2; AU2001290483A1; ATE386323T1; EP1330824A1; US6476754B2; SE0003549D0; EP1330824B1; DE60132797D1

Abstract

本发明涉及一种非均匀性取样的限频模拟信号x_a(t)的重建方法与装置，该非均匀性取样信号包括N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N－1，N≥2，其系以1/(MT)的取样速率依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)取样而获得，其中M为整数，而t_k＝kMT/N+Δt_k，Δt_k不为零。本发明包括自该N个子序列x_k(m)形成新序列y(n)，以使y(n)至少含有与x(n)＝x_a(nt)相同的信息，即，x_a(t)在一低于ω₀的频率区域中以1/T的取样速率取样，ω₀系预定限制频率，这通过下列步骤完成：(i)以因子M上取样该N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N－1，而M系正整数；(ii)以对应的数字滤波器过滤该上取样的N个子序列x_k(m)的每一序列，k＝0，1，…，N－1；及(iii)添加该N个数字滤波子序列以形成y(n)。对应数字滤波器较佳为分段延迟滤波器，且具有一在频带｜ωT｜≥ω₀T中的频率响应G_k＝a_ke^(－jωsT)，k＝0，1，…，N－1，a_k系常数，且s等于d+t_k，而d为整数。

Description

非均匀性取样的限频信号的重建

技术领域

本发明大体上涉及取样领域，更特别地，涉及非均匀性取样的限频信号的重建方法与装置，涉及时间交错的模数转换器(ADC)中的时间偏移的补偿方法与装置，及关于一种用于执行所述重建方法的计算机程序产品。

相关技术与发明背景说明

均匀性取样时，通过在t＝nT，-∞＜n＜∞，等距离取样一模拟信号x_a(t)而获得一序列x(n)，即，x(n)＝x_a(nt)，T系取样周期，如图1a所示。在此情况下，二连续取样间隔之间的时间恒为T。另一方面，在非均匀性取样时，二连续取样间隔之间的时间依取样间隔而定。本发明处理的情况是其中样本可以分为N个子序列x_k(m)，k＝0，1，2…，N-1，其中x_k(m)通过在t＝nMT+t_k以1/(MT)的取样速率做取样x_a(t)而获得，即，x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)，M系正整数。这一取样方式以N＝2且M＝2而示于图1b。这样的非均匀性取样信号例如发生在时间偏移误差所导致的时间交错的模数转换器(ADC)。

产生的问题是如何自x_k(m)形成新序列y(n)，而使得y(n)恰等于或大约(某种程度地)等于x(n)。对于传统的时间交错的模数转换器而言，N＝M，且理想上，t_k＝kT。在此情况下，简单地通过使x_k(m)交错就可获得y(n)＝x(n)。然而实际上，时间偏移误差导致t_k不恰等于kT，时间偏移误差将频叠(aliasing)成分引入Y(e^jωT)，Y(e^jωT)系y(n)的傅立叶转换。这意味着y(n)≠x(n)，因此y(n)中的信息不再与x(n)中的信息相同。

应注意，众所周知，如果各t_k不同，从而使全部样本在时间上是分离的，则x_a(t)由x_k(m)中的样本所唯一地确定。同样众所周知的是如何使用模拟内插功能而自x_k(m)得到x_a(t)。然而在实际应用时，这些功能不容易(如果有丝毫可能性的话)达成，于是需要其它的解决方案。

发明概述

因此，本发明的一个目的是分别提供非均匀性取样的限频模拟信号x_a(t)的重建方法与装置，该非均匀性取样信号包括N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2，其系以1/(MT)的取样速率依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)经由取样而获得，其中M为正整数，而t_k＝kMT/N+Δt_k，Δt_k不为零，其可以自该N个子序列x_k(m)形成新序列y(n)，而使得y(n)至少含有与x(n)＝x_a(nt)相同的信息，即，x_a(t)在一低于ω₀(可能包含ω₀)的频率区域中以1/T的取样速率取样，ω₀系预定限制频率。

本发明的又一目的是分别提供这样的方法与装置，其有效、快速、简单且成本低。

本发明的再一目的是分别提供此方法与装置，其可以减少噪声，例如，数字化噪声。

除其它目的外，上述目的分别通过一方法与一装置而获得，所述方法与装置执行下列步骤：

(i)以因子M上取样(upsampling)N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1；

(ii)以一对应的数字滤波器过滤上取样的N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1；及

(iii)添加N个数字滤波子序列以形成y(n)。

较佳地，该对应的数字滤波器系分段延迟(fractional delay)滤波器，且具有一在频带|ωT|≤ω₀T中的频率响应G_k＝a_ke^(-jωsT)，k＝0，1，…，N-1，a_k系常数，s不为整数，特别是s等于d+t_k，而d为整数。

如果ω₀T系小于π的固定值，从而原始模拟信号包括一比ω₀更高的频率的频率成分，则取得区域性最佳重建，即，y(n)含有与x(n)＝x_a(nT)相同的信息，即，只有在频率区域|ω|≤ω₀中以1/T的取样速率取样的x_a(t)。区域性最佳重建特别重视过取样的(oversampled)系统，其中较低频成分载有基本信息，而较高频成分含有要由数字和/或模拟滤波器除去的所不希望的成分(例如噪声)。

此处，分段延迟滤波器具有在频带ω₀T＜|ωT|≤π中的频率响应G_k＝a_kA_k(e^jωT)，k＝0，1，…，N-1，其中A_k(e^jωT)是任意复数函数。

另一方面，如果ω₀不包含原始模拟信号的频率成分(即，ω₀T包含直到π为止的全部频率)，则取得最佳重建，即，y(n)等于x(n)。

在任一情况下，都产生二种不同的情形：(1)2K₀+1＝N与(2)2K₀+1＜N，其中K₀系得自于

K_{0} = [\frac{M (ω_{0} T + ω_{1} T)}{2 π}] - 1

以用于区域性最佳重建，其中分别地，[x]应读作是大于或等于x的最小整数，而[-ω₁，ω₁]系所述限频模拟信号x_a(t)所处的频带，且通过

K₀＝M-1而用于最佳重建。

在状况(1)，a_k计算如下

a＝B^-1c，

a系a_k的向量形式，且由下式计算得出

a＝[a₀ a₁…a_N-1]^T，

B^-1系B的逆矩阵，且B系得自于

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}}

而c系

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T其中

在状况(2)，各a_k计算如下

a = {\hat{B}}^{- 1} \hat{c},

a定义为

a＝[a_u a_fix]^T

其中a_u与a_fix含有(2K₀+1)个未知数a_k与L＝N-2K₀-1个固定常数a_k，系的逆矩阵，

系得自于

\hat{B} = [\begin{matrix} B \\ S \end{matrix}]

其中B得自于

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}}

S得自于

S＝[S_z S_d]，其中

S_{z} = [\begin{matrix} 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \end{matrix}],

并且

S_d＝diag[11…1]

为

\hat{c} = {[\begin{matrix} c & a_{fix} \end{matrix}]}^{T}

其中c得自于

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T其中

故L个a_k可任意地选择。优选将其选择为零(在此情况下对应的频道被除去)或者是M/N(在此情况下任何数字化噪声可减至最小)。

本发明的其它目的是提供一种在时间交错的模数转换器(ADC)系统——其包括多个模数转换器(ADC)——中的时间偏移的补偿方法，以及提供模数转换器系统本身。

因此，所提供的这样的方法与模数转换器系统分别包括了上述的方法与装置，其中N个子序列x_k(m)，k＝0，1，2…，N-1，N≥2中的每一序列由一个对应的模数转换器取样。

本发明的再一目的是提供一种计算机程序产品，其用于非均匀性取样的限频模拟信号的重建。

此目的系通过一计算机程序产品而实现，该计算机程序产品可加载到一数字信号处理装置的内部存储器，包括软件码部分，其在该产品于该装置上运行的时候，用于执行上述任何方法。

本发明的一优点为，可以产生完全或部分重建的数字信号，不需要应用很复杂且难以实行的模拟内插功能。

通过本发明的实施例的下列详细说明，将可明白本发明的其它特征及其优点。

附图简单说明

通过以下所提供的本发明较佳实施例的详细说明与附图1～6，将可更完整地了解本发明，所给附图仅用于说明，因此并不会限制本发明。

图1a示意说明均匀性取样，其中通过在t＝nT，-∞＜n＜∞，等距离取样一模拟信号x_a(t)而获得一序列x(n)，即，x(n)＝x_a(nt)；图1b示意说明非均匀性取样，其中样本分为二个子序列x_k(m)，k＝0，1，而x_k(m)通过在t＝n2T+t_k以1/(2T)的取样速率取样x_a(t)而获得，即，x_k(m)＝x_a(n2T+t_k)。

图2示意说明一均匀性取样器与数字转换器。

图3示意说明一上取样器。

图4示意说明一混合模拟/数字滤波器组模数转换器系统。

图5示意说明一解析滤波器组系统，其用于产生x_k(m)，k＝0，1，2…，N-1，其中x_k(m)系在时间间隔t＝nMT+t_k取样x_a(t)而获得的N个子序列。

图6示意说明图4的系统中的上取样与合成组的多相代表。

实施例详细说明

在下列说明中，为了解释而非限制，提出了特定细节，以供完整了解本发明。然而，对本领域技术人员显而易见的是，本发明可通过不同于这些特定细节的其它变例而实行。在其它情况下，略去公知的方法与装置的详细说明，以免让不需要的细节混淆本发明的说明。

本发明考虑非均匀性取样的限频信号的重建问题。此问题例如发生在时间偏移误差所导致的时间交错的模数转换器(ADC)。为了精确起见，我们处理下列状况：已知有N个子序列x_k(m)，k＝0，1，2…，N-1，其系依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)，以1/(MT)的取样速率来取样限频模拟信号x_a(t)而获得，如何自x_k(m)形成新序列y(n)，以使y(n)恰等于或大约(某种程度地)等于x(n)＝x_a(nT)，即，以1/T的取样速率取样的x_a(t)。为此目的，我们在本发明中建议使用N频道数字合成滤波器组。整个系统可以看成传统时间交错的模数转换器的概括化，而前者系将其简化而成的特殊状况。我们证明，使用适当的理想合成滤波器，所建议的系统可以达成y(n)＝x(n)。然而，这些合成滤波器不适于以实际的数字滤波器加以近似。所以，我们也考虑y(n)≠x(n)但其中y(n)与x(n)在低频区域含有相同信息的状况。我们证明，整个系统可于|ωT|≤ω₀T时达成Y(e^jωT)＝X(e^jωT)，Y(e^jωT)与X(e^jωT)分别为y(n)与x(n)的傅立叶转换，而ω₀系预定限制频率，再次地，关于适当的理想合成滤波器，其在此情况下可以通过实际的数字滤波器加以近似。此方案对于(略微)过取样的模数转换器系统很有用，其可以忍受频带ω₀T＜|ωT|≤π中的频叠。理想合成滤波器系全通滤波器，其一般具有不同的增益常数。我们分析使用实际的滤波器来近似理想滤波器的效果。

此说明的其余部分的概要如下。首先，扼要重述均匀性取样、上取样与混合模拟/数字滤波器组，其中后者可以在分析非均匀性取样系统时方便地使用。下文中处理非均匀性取样与重建。其后，考虑时间交错的模数转换器及其概括化。接续部分分别涉及误差分析与使噪声作数字转换。最后，提供一方程式表，该方程式是在上文中所提到的。均匀性取样、上取样与滤波器组

在图2中，均匀性取样与数字转换由均匀性取样器与数字转换器代表。忽略数字转换，通过对于全部的n，均匀地在时间间隔nT取样模拟输入信号x_a(t)而得到输出序列x(n)，请参看本说明结尾的方程式表中的方程式(1)。这里，T系取样周期，而f_sample＝1/T系取样频率，x(n)与x_a(t)的傅立叶转换根据泊松求和公式而相关，请参看方程式(2)。

图3的上取样器用于以因子M增加取样频率。与较低速率有关的取样周期及取样频率，此处分别标示为T₁与f_sample，1，显然与方程式(3)中的T及f_sample有关。输出序列y(n)得自于方程式(4)，而如方程式(5)，y(n)与x(m)的傅立叶转换彼此相关。

考虑图4的系统，我们将它称为混合模拟/数字滤波器组或滤波器组ADC。此系统使用一模拟分析滤波器组、均匀性取样器与数字转换器、及一数字合成滤波器组。取样与数字转换发生于解析滤波器的输出端，因为T₁＝MT，故取样频率为1/T₁＝f_sample/M。在滤波器组ADC中，取样与数字转换二者于是以低取样速率f_sample/M执行。

忽略图4所示系统中数字转换。输出序列y(n)的傅立叶转换可借助于以上关系容易地获得，参看方程式(6)，其中X_k(e^jMωT)得自于方程式(7)。方程式(6)可以重写为方程式(8)，其中V_p(jω)得自于方程式(9)。

考虑图2与4所示的系统，X(e^jωT)与Y(e^jωT)分别得自于方程式(2)与方程式(8)。请记住，一取样信号的光谱恒为周期性，其周期为2π(2π周期)。于是，X(e^jωT)显然为2π周期。只要全部G_k(e^jωT)为2π周期，则这对于Y(e^jωT)而言亦为真。因此，在-π≤ωT≤π间隔中考虑X(e^jωT)与Y(e^jωT)就足够了。现在，我们将处理二种不同类型的重建。

最佳重建：如果方程式(10)对某非零常数c与整数常数d成立，则图4的系统具有最佳重建(PR)。在时域中，我们有最佳重建的状况y(n)＝cx(n-d)。亦即c＝1时，y(n)只是x(n)的移位形式。自方程式(2)、(8)与(10)，我们看到，如果对于-∞≤r≤∞，方程式(11)成立，则可以获得最佳重建。

区域性最佳重建：令x(n)与y(n)如方程式(12)所示而分解，对应的傅立叶转换得自于方程式(13)与(14)，其中ω₀T＜π。如果方程式(15)——或等效地，方程式(16)——对某非零常数c与整数常数d成立，则图4的系统具有区域性最佳重建(RPR)。在时域中，我们有区域性最佳重建的状况，y_low(n)＝cx_low(n-d)。亦即c＝1时，y_low(n)只是x_low(n)的移位形式。然而，y(n)不是x(n)的移位形式，即，y(n)≠cx(n-d)。自方程式(2)、(8)与(16)，我们看到，如果对于-∞≤r≤∞，满足方程式(17)，则可以获得区域性最佳重建。区域性最佳重建系统重视过取样系统，其中x_low(n)承载基本信息，而x_high(n)含有要由数字和/或模拟滤波器除去的所不希望的成分(例如噪声)。

限频状况：当X_a(jω)限频时，于-π≤ωT≤π的间隔，在方程式(2)与(8)的求和中，只有数目有限的项需要处理。我们考虑二种不同的状况。

状况A(最佳重建)：令x_a(t)依据方程式(18)而限频。在此情况下，达到以1/T的有效取样频率取样而无频叠的奈奎斯特(Nyquist)判据。因此若避免频叠进入频带-π≤ωT≤π，则可以保留x_a(t)。

首先考虑图2中的x(n)。根据方程式(2)，当X_a(jω)依据方程式(18)而限频时，显然，我们在区域-π≤ωT≤π中无频叠。其次，考虑图4中的y(n)。在区域-π≤ωT≤π中，X_a(jω)依据方程式(18)而限频，易证明，我们只需要考虑方程式(8)中的2K₀+1项，p＝-K₀，-(K₀-1)，…，K₀，其中K₀得自于方程式(19)。

如果方程式(20)成立，其中K₀得自于方程式(19)，则现在获得最佳重建。故在此情况下，只要图4中的系统具有最佳重建，则x_a(t)可自x(n)与y(n)而保留。

状况B(区域性最佳重建状况)：令x_a(t)依据方程式(21)而限频，且如方程式(22)所示而分解，其中对应的傅立叶转换得自于方程式(23)、(24)与(25)。

在此情况下，只要避免频叠进入频带-ω₀T≤ωT≤ω₀T，则不能保留x_a(t)，但可以保留x_a，low(t)。

首先考虑图2中的x(n)。在区域-π≤ωT≤π中，X_a(jω)依据方程式(21)与(25)而限频，显然，我们只需要考虑方程式(2)中的3项，r＝-1，0，1。此外，在区域-ω₀T≤ωT≤ω₀T中，ω₀得自于方程式(25)。易于证明，我们仅需考虑一项：r＝0。也就是说，进入此频带的频叠是自动避免的。其次，考虑图4中的y(n)。在区域-π≤ωT≤π中，X_a(jω)依据方程式(21)与(25)而限频，易证明，我们只需要考虑方程式(8)中的2K₀+1项：p＝-K₀，-(K₀-1)，…，K₀，而K₀得自于方程式(26)，其中[x]代表大于或等于x的最小整数。此外，在区域-ω₀T≤ωT≤ω₀T中，ω₀得自于方程式(25)。易证明，我们只需要考虑方程式(8)中的2K₀+1项：p＝-K₀，-(K₀-1)，…，K₀，而K₀得自于方程式(27)。

如果满足方程式(28)，其中K₀得自于方程式(27)，且A(jω)为某任意函数，则现在可以获得区域性最佳重建。故在此情况下，只要图4中的系统具有区域性最佳重建，则可以自x(n)与y(n)保留x_a，low(t)。非均匀件取样与重建

令x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，系在时间间隔t＝nMT+t_k经由取样而获得的N个子序列，即如从方程式(29)所得出的。就M＝N＝2而言，x_a(t)依据图1b进行取样。

如果依据方程式(30)来选择图4中的这些解析滤波器，则子序列x_k(m)可以通过自该解析滤波器将输出信号取样而获得。在此情况下，解析滤波器组如图5所示。

结合方程式(9)与(30)，我们得到方程式(31)。

以下显示如何在限频状况A与B(请参看前文)中选择合成滤波器，从而分别获得最佳重建与区域性最佳重建。

状况A(最佳重建状况)：在此情况下，x_a(t)依据方程式(18)而限频。令G_k(e^jωT)为得自于方程式(32)的2π周期滤波器。由方程式(31)与(32)，可以获得方程式(33)。就最佳重建而言，需要令得自于方程式(33)的V_p(jω)满足方程式(20)。即，如果满足方程式(34)，即获得最佳重建。

状况B(区域性最佳重建状况)：在此情况下，x_a(t)依据方程式(21)而限频。令G_k(e^jωT)系得自于方程式(35)的2π周期滤波器，其中A_k(e^jωT)为某任意复数函数。由方程式(31)与(35)，我们获得方程式(36)，其中A(jω)得自于方程式(37)。

就区域性最佳重建而言，需要使得由方程式(36)所给出的V_p(jω)满足方程式(28)。即，再次地，如果满足方程式(34)，即获得区域性最佳重建。

其次，考虑如何计算a_k。就最佳重建与区域性最佳重建(状况A与B)二者而言，必须满足方程式(34)。此方程式可以写为如同方程式(38)的矩阵形式，其中B是依据方程式(39)的(2K₀+1)×N阶矩阵，u_k得自于方程式(40)。此外，分别依据方程式(41)与(42)，a为有N个元素的列向量而c是有2K₀+1元素的列向量，其中T代表转置(无复数共轭部分)。a_k为未知数，而c_k得自于方程式(43)。

方程式(38)是有2K₀+1个方程式的线性系统，其中有N个未知参数a_k。因此，如果2K₀+1≤N，则方程式(38)有解。我们将二种不同的状况加以区别。

状况1：2K₀+1＝N。在此情况下，未知数的数目与方程式的数目相等。在以下命题所述的条件下，可以唯一确定此状况中的a_k。

命题1：如果B与c分别得自于方程式(39)与(42)，2K₀+1＝N，且t_k≠t_m+MTr，k≠m，r∈Z，则存在唯一的a，其满足方程式(38)，且唯一的a_k也满足方程式(34)。此外，a中的全部a_k均系实数值常数。

证明：我们首先证明存在唯一的解。既然2K₀+1＝N，则B系N×N阶方阵。如果B非奇异，则a由方程式(44)唯一地确定，其中B^-1系B的逆矩阵。因此在所述的条件下，表明B非奇异就足够了。为此目的，我们首先要看到，得自于方程式(39)的B可以写成方程式(45)，其中A得自于方程式(46)，而C则是依据方程式(47)的对角线矩阵。

矩阵A系范德蒙德(Vandermonde)矩阵。所以，A非奇异的必要与充分条件为，u_k是不同的，即，u_k≠u_m，k≠m，而由于方程式(40)，这是与t_k≠t_m+MTr，k≠m，r∈Z相同的条件。此外，因为B的行列式为det B＝det A det C，且|det C|＝1，我们获得方程式(48)所给出的关系。即，若当且唯当A为非奇异，B为非奇异。这就证明在所述条件下，B为非奇异，且恒存在a的唯一解。

为证明a中的a_k系实数值常数，我们进行如下。假设我们具有满足方程式(34)的唯一值a_k。利用方程式(40)，则方程式(34)同样可以写为方程式(49)，其中x^*代表x的复数共轭部分。由方程式(49)，我们得到方程式(50)。这表明，值a_k ^*也满足方程式(34)。然而，因为a_k是唯一的，即得出它们必为实数值。

状况2：2K₀+1＜N。在此情况下，未知数的数目超过了方程式的数目。所以，我们可以在a_k中加入L＝N-2K₀-1个额外的线性约束条件，而仍然满足方程式(34)。此处，我们将自己限制于这样一种状况：其中对于k＝N-L+1，N-L+2，…，N，L个a_k固定于某些常数。这种状况涵盖具有偶数频道的传统时间交错的模数转换器。因为L个a_k可以自由选择，所以，在将要除去对应频道的状况下，我们当然可以将它们设定为零。如此一来，不需要考虑具有偶数频道的状况。然而，以下我们将可看到，可能值得考虑这些状况，为的是减少在整个系统的输出端的数字化噪声。

待解的线性方程式系统在此处可写为如同方程式(51)的矩阵形式，而分别依据方程式(52)、(53)与(54)，

系N×N阶矩阵，a与

系具有N元素的列向量，其中B为得自于方程式(39)的(2K₀+1)×(2K₀+1)阶矩阵，a_u与a_fix分别含有a的(2K₀+1)个未知数与L个固定常数，c为得自于方程式(43)的具有(2K₀+1)个元素的列向量，S为得自于方程式(55)的L×N阶矩阵，其中Sz是得自于方程式(56)的L×(2K₀+1)阶空矩阵，Sd是L×L对角线矩阵，其中对角线元素等于一，请参看方程式(57)。

如同状况1，状况2中的a_k可以在以下命题所述条件下唯一地确定。

命题2：如果

与分别得自于方程式(52)与(54)，方程式(53)中的a_fix含有L个实数值固定常数，2K₀+1＜N，且t_k≠t_m+MTr，k≠m，r∈Z，则存在唯一的a，其满足方程式(51)，因而亦存在唯一的一组a_k，其满足方程式(34)。此外，a中的全部a_k均系实数值常数。

证明：本证明接续命题1的证明。为了证明存在性与唯一性，证实在所述条件下系非奇异就足够了，其原因为a是由方程式(58)唯一确定的。

为了证明

的非奇异性，我们观察到，它的行列式得自于方程式(59)，其中

是自B将k＝N-L+1，N-L+2，…，N共L行消去而得的(2K₀+1)×(2K₀+1)阶子矩阵，即，如方程式(60)所示。我们从命题1的证明知道，

\det \tilde{B} &NotEqual; 0,

于是，在所述条件下，

\det \hat{B} &NotEqual; 0 .

这样就证明了

是非奇异的，且唯一的解恒存在。a中的a_k系实数值的证明方式与命题1相同。时间交错的模数转换器及其概括化

本节考虑传统时间交错的模数转换器及其概括化。首先考虑N＝M而t_k得自于方程式(61)与(62)的状况。

此外，令合成滤波器G_k(e^jωT)系通过使方程式(32)中的a_k＝1，k＝0，1，…，M-1，c＝1且d＝0而得出，即，如方程式(63)所示。由方程式(31)与(63)，我们得到方程式(64)。

由此，获得最佳重建。在此情况下，我们具有一个时间交错的模数转换器。此处，输出序列y(n)系通过使x_k(m)交错而得出。

然而，实际上Δt_k不再恰等于零。若Δt_k已知，如果N为奇数且2K₀+1＝N，则a_k可以依据方程式(44)计算，而如果2K₀+1＜N，则依据方程式(58)计算。在此情况下，不能达到最佳重建，其原因为N＝M且最佳重建需要使K₀＝M-1。于是，既不能满足2K₀+1＝N且不能满足2K₀+1＜N。另一方面，可以获得区域性最佳重建。就此状况而言，产生下列问题：已知N＝M与K₀，则我们可以允许且仍然可以获得区域性最佳重建的ω₀T的最大值为何？易于证实，为了达成区域性最佳重建，我们必须满足方程式(65)。如果2K₀+1＝N，则我们得到方程式(66)。

其次，考虑N≠M而t_k得自于方程式(67)与(68)的状况。此外，令合成滤波器G_k(e^jωT)系通过使方程式(32)中的a_k＝M/N，k＝0，1，…，N-1，c＝1且d＝0而得出，即，如方程式(69)所示。由方程式(31)与(69)，我们得到方程式(70)。

由此，获得最佳重建。在此情况下，我们具有一系统，其可以视为时间交错的模数转换器的概括化。然而，在此情况下，我们不再能够通过使x_k(m)交错而获得输出序列。

再次地，实际上，Δt_k不再恰等于零。若Δt_k已知，如果N为奇数且2K₀+1＝N，则a_k可以依据方程式(44)计算，而如果2K₀+1＜N，则依据方程式(58)计算。与M频道的状况相反，此处，我们在N频道的状况下通过分别依据方程式(19)与(27)来选择K₀，且当然通过选择N，从而使得2K₀+1≤N，则可以达成最佳重建与区域性最佳重建二者。为了达成区域性最佳重建，就已知的M与K₀而言，ω₀T必须再次满足方程式(65)。如果2K₀+1＝N，则我们得到方程式(71)。因此，通过增加频道数目，我们在一更宽的频率区域获得区域性最佳重建。误差与噪声解析

其次，提供误差分析。更精确地说，当B与a分别为B+ΔB与a+Δa所取代的时候，我们导出a与c中误差的界限。在有关数字化噪声方面，a中的误差是重点所在，在下文中将可明白。c中的误差则告诉我们任何实际的滤波器必须与理想合成滤波器有何等近似，以满足c的某些指定允许误差。

我们将要利用方程式(72)所定义的L_∞范数以用于一具有元素x_i的N×1(1×N)阶向量x，及方程式(73)所定义的L_∞范数以用于一具有元素x_ik的N×N阶矩阵X。

a的误差：首先，考虑2K₀+1＝N的状况1。首先假设对于t_k＝d_kT与a_k，我们有Ba＝c。其次，假设t_k＝d_kT与a_k分别为t_k＝d_kT+Δt_k与a_k+Δa_k所取代，而c保持固定。由此得到方程式(74)。矩阵ΔB为依据方程式(75)的N×N阶矩阵，其中Δb_pk与Δt_pk分别得自于方程式(76)与(77)。

现在，如果满足方程式(78)，则可以证实方程式(79)成立。由方程式(75)～(77)，我们可得方程式(80)。

我们有B＝AC，并从而得到B^-1＝C^-1A^-1。此外，因为此处的A系DFT矩阵，其逆矩阵A^-1系IDFT矩阵；因此，‖A‖_∞＝1。我们也得到‖C^-1‖_∞＝1，其原因为显然C^-1系具有对角线元素u_k ^k0的对角线矩阵，其中u_k得自于方程式(40)。于是，我们得到方程式(81)，其与方程式(80)一起，导出方程式(82)。利用方程式(79)～(82)，且假设‖ΔB‖_∞‖B^-1‖_∞＜＜1，我们最后得到方程式(83)。

其次，考虑2K₀+1＜N的状况2。此状况比状况1略为困难，其原因为我们通常不能以DFT矩阵与对角线矩阵的积表示

。然而，如果我们将自己限制在时间交错的模数转换器及其概括化，则显然我们可以将方程式(51)重写为方程式(84)，其中B′系依据方程式(85)的N×N阶矩阵，而u_k得自于方程式(40)，且c′为依据方程式(86)的具有N个元素c_k的列向量。

显然，我们可以将B′表示为一DFT矩阵与一对角线矩阵的积。所以我们将以和状况1相同的结果作为结束，即，以方程式(83)为界。

c的误差：假设t_k＝d_kT与a_k时，我们得到Ba＝c。现在假设t_k＝d_kT与a_k分别为t_k＝d_kT+Δt_pk与a_k+Δa_k所取代。这样得出方程式(87)，我们由该方程式可得到方程式(88)。依次地，由方程式(88)，我们得到方程式(89)。利用方程式(39)与方程式(75)～(77)，我们最后得到方程式(90)，其在设计合成滤波器G_k(z)时很有用。

由上述，请记住理想滤波器应具有在重点频率范围上的频率响应a_ke^-jωt _k(如果在方程式(32)与(35)中c＝1且d＝0的话)。实际上，G_k(z)当然可以只近似于理想响应。我们可以将G_k(z)的频率响应表示为方程式(91)，其中Δa_k(ωt)与Δt_pk(ωt)分别是理想大小与相位响应的偏移量。已知c的允许误差与方程式(90)及(91)，于是可以容易地设计G_k(z)，以使需求得到满足。

为了分析在图4的系统输出端的噪声变化，方便的是依据图6，用其所谓多相实现方式(polyphase realization)来表示合成滤波器组。输出序列y(n)系通过将y_i(m)，i＝0，1，…，M-1交错而获得。输出y(n)的转换函数得自于方程式(92)，其中Y(z)得自于方程式(93)，而X(z)、Y(z)、与G^(p)(z)分别在方程式(94)、(95)与(96)中定义。G_ik(z)系依据方程式(97)的G_k(z)的多相成分。

通常，在噪声分析中，数字转换误差经模型化而成为静止的白噪声(white noise)。令x_k(m)，k＝0，1…，N-1为具有零平均值与变化量σ_xk ²的不相关的白噪声源。既然G^(p)(z)描述一线性与非时变系统，则输出y_i(m)，i＝0，1，…，M-1亦为具有零平均值的静止的白噪声。然而，y_i(m)的变化量，此处标为σ_yi ²(n)，大体上是不同的，即使当σ_xk ²相等时亦然。输出y_i(m)也可以是相关的。所以，输出噪声y(n)大体上将不静止。因此，它的变化量，此处标为σ_y ²(n)，是随时间变化的。因为显然方程式(98)成立，故它又是周期性的，周期为N。

我们在方程式(99)中定义输出端的平均数字化噪声。已知合成滤波器G_k(z)及它的多相成分G_ik(z)，则可在方程式(100)中计算(σ_y ²)_av。

现在，令合成滤波器得自于方程式(101)，且依据方程式(102)，全部输入变化量σ_xk ²相等。结合方程式(100)～(102)，我们就得到方程式(103)。

现在发生的一问题是如何选择a_k，以使得自于方程式(103)的(σ_y ²)_av在同时达成最佳重建或区域性最佳重建的约束下减至最小。让我们将问题视为由方程式(104)所定义。方程式(104)中的约束是为了获得最佳重建或区域性最佳重建所必须满足的约束之一。因为a_k之和为M，故方程式(104)中待减至最小的目标函数可以重写为方程式(105)。因此，获得方程式(104)中对于a_k＝M/N，k＝0，1，…，N-1的解，其中(σ_y ²)_av的最小值如方程式(106)所示。

这表明，选择a_k＝M/N以用于时间交错的模数转换器及它们的概括化使得输出端的平均数字化噪声减至最小。

实际上/Δt_k不再恰为零，其意味着a_k为a_k+Δa_k所取代。如果Δa_k小(且a_k＞0)，则平均数字化噪声在此情况下得自于方程式(107)。以a_k＝M/N，我们得到方程式(108)。数量得自于方程式(83)。

本发明已经考虑使用数字滤波器组的非均匀性取样的限频信号的重建问题。整个系统可视为传统的时间交错的模数转换器的概括化，而前者简化为其特殊状况。通过将时间交错的模数转换器概括化，可以消除实际上由于时间偏移误差所引入的误差。我们考虑最佳重建(PR)与区域性最佳重建(RPR)系统二者，且表明了如何通过适当选择(理想)数字滤波器而获得上述系统。

非均匀性取样的限频信号的重建方法可以任何适当的数字信号处理装置上实行，例如专用硬件或计算机。在后者的状况，所述方法的执行要通过一包括软件代码部分的计算机程序产品，其加载到一适当装置的内部存储器内。

显然，本发明可通过很多方式加以变动。这种变动不应视为偏离本发明的领域。对本领域技术人员显而易见的所有这种变动均应认为包含于所附权利要求的范围内。

方程式表展示在后续各页。方程式表x(n)＝x_a(t)|_t＝nT -∞≤π≤∞ (1)

X (e^{jωT}) = \frac{1}{T} Σ_{T = - \infty}^{\infty} X_{a} (jω - j \frac{2 πr}{T}) - - - - (2)

T_{1} = MT, f_{sample, 1} = \frac{f_{sample}}{M} - - - - (3)

Y (e^{jωT}) = X (e^{jω T_{1}}) = X (e^{jMωT}) - - - - (5)

Y (e^{jωT}) = Σ_{k = 0}^{N - 1} G_{k} (e^{jωT}) X_{k} (e^{jMωT}) - - - - (6)

X_{k} (e^{jMωT}) = X_{k} (e^{jω T_{1}})

= \frac{1}{T_{1}} Σ_{p = - \infty}^{\infty} H_{k} (jω - j \frac{2 πp}{T_{1}}) X_{a} (jω - j \frac{2 πp}{T_{1}})

= \frac{1}{MT} Σ_{p = - \infty}^{\infty} H_{k} (jω - j \frac{2 πp}{MT}) X_{a} (jω - j \frac{2 πp}{MT}) - - - - (7)

Y (e^{jωT}) = \frac{1}{T} Σ_{p = - \infty}^{\infty} V_{p} (jω) X_{a} (jω - j \frac{2 πp}{MT}) - - - - (8)

V_{p} (jω) = \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{N - 1} G_{k} (e^{jωT}) H_{k} (jω - j \frac{2 πp}{MT}) - - - - (9)

Y(e^jωT)＝ce^-jdωTX(e^jωT)，|ωT|≤π (10)x(n)＝x_low(n)+x_high(n) (12)y(n)＝y_low(n)+y_high(n)X(e^jωT)＝X_low(e^jωT)+X_high(e^jωT) (13)Y(e^jωT)＝Y_low(e^jωT)+Y_high(e^jωT)X_low(e^jωT)＝0，ω₀T＜|ωT|≤πX_high(e^jωT)＝0，|ωT|≤ω₀T (14)Y_low(e^jωT)＝0，ω₀T＜|ωT|≤πY_high(e^jωT)＝0，|ωT|≤ω₀TY(e^jωT)＝ce^-jdωTX(e^jωT)，|ωT|≤ω₀T (15)Y_low(e^jωT)＝ce^-jdωTX_low(e^jωT)，|ωT|≤π (16)X_a(jω)＝0，|ω|≥π/T (18)K₀＝M-1 (19)

X_a(jω)＝0，|ω|≥ω₁ (21)x_a(t)＝x_a，low(t)+x_a，high(t) (22)X_a(jω)＝X_a，low(jω)+X_a，high(jω) (23)X_low(jω)＝0，|ω|＞ω₀ (24)X_high(jω)＝0，|ω|≤ω₀，|ω|≥ω₁0＜ω₀＜ω₁，ω₀+ω₁≤2π/T (25)

K_{0} = [\frac{M (π + ω_{1} T)}{2 π}] - 1 - - - - (26)

K_{0} = [\frac{M (ω_{0} T + ω_{1} T)}{2 π}] - 1 - - - - (27)

x_k(m)＝x(nMT+t_k)，k＝0，1…，N-1 (29)

H_{k} (s) = e^{s t_{k}}, k = 0,1, . . ., N - 1 - - - - (30)

V_{p} (jω) = \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{N - 1} G_{k} (e^{jωT}) e^{- j (ω - \frac{2 πp}{MT}) t_{k}} - - - - (31)

G_{k} (e^{jωT}) = a_{k} {ce}^{- jω (t_{k} + dT)}, | ωT | < π - - - - (32)

V_{p} (jω) = \frac{1}{M} {ce}^{- jdωT} Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k} e^{- j \frac{2 πp}{MT} t_{k}} - - - - (33)

A (jω) = \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k} A_{k} (e^{jωT}) e^{j (ω - \frac{2 πp}{MT}) t_{k}} - - - - (37)

Bα＝c (38)

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{- K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- K_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}] - - - - (39)

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}} - - - - (40)

α＝[α₀ α₁…α_N-1]^T (41)

c = {[\begin{matrix} c_{0} & c_{1} & \cdot \cdot \cdot & c_{2 K_{0}} \end{matrix}]}^{T} - - - - (42)

α＝B^-1c (44)B＝AC (45)

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ u_{0} & u_{1} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{{2 K}_{0}} & u_{1}^{{2 K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{2 K}_{0}} \end{matrix}] - - - - (46)

C = diag [\begin{matrix} u_{0}^{- K_{0}} & u_{1}^{- K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- K_{0}} \end{matrix}] - - - - (47)

det A≠0det B≠0det A＝0det B＝0 (48)

Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k} = M, p = 0

Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k} {[u_{k}^{p}]}^{*} = Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k} u_{k}^{p} = 0, p = 1,2, . . ., K_{0} - - - - (49)

Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k}^{*} = M, p = 0

Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k}^{*} u_{k}^{p} = Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k}^{*} {[u_{k}^{p}]}^{*} = 0, p = 1,2, . . ., K_{0} - - - - (50)

\hat{B} a = \hat{c} - - - - (51)

\hat{B} = [\begin{matrix} B \\ S \end{matrix}] - - - - (52)

α=[α_u α_fix]^T (53)

\hat{c} = {[\begin{matrix} c & a_{fix} \end{matrix}]}^{T} - - - - (54)

S＝[S_zS_d] (55)

S_{z} = [\begin{matrix} 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \end{matrix}] - - - - (56)

S_d＝diag[11…1] (57)

a = {\hat{B}}^{- 1} \hat{c} - - - - (58)

\det \hat{B} = \det \tilde{B} Π_{l = 0}^{L - 1} S_{d, ll} = \det \tilde{B} - - - - (59)

\tilde{B} = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}] - - - - (60)

t_k＝d_kT+Δt_k，k＝0，1，…，M-1 (61)d_k＝k，k＝0，1，…，M-1Δt_k＝0、k＝0，1，…，M-1 (62)G_k(e^jωT)＝e^-jkωT，|ωT|＜π (63)

ω_{0} T \leq \frac{2 π (K_{0} + 1)}{M} - ω_{1} T - - - - (65)

ω_{0} T \leq \frac{π (M + 1)}{M} - ω_{1} T = \frac{π}{M} + π - ω_{1} T - - - - (66)

t_k＝d_kT+Δt_k，k＝0，1，…，N-1 (67)

d_{k} = \frac{kM}{N}, K = 0,1, . . ., N - 1 - - - - (68)

Δt_k＝0，k＝0，1…，N-1

G_{k} (e^{jωT}) = \frac{M}{N} e^{\frac{- jMkωT}{N}}, | ωT | < π - - - - (69)

ω_{0} T \leq \frac{π (N + 1)}{M} - ω_{1} T - - - - (71)

‖x‖_∞＝max|x_i|，0≤i≤N-1 (72)

{| | X | |}_{\infty} = \max Σ_{k = 0}^{N - 1} | x_{ik} |, 0 \leq i \leq N - 1 - - - - (73)

(B+ΔB)(α+Δα)＝c. (74)

ΔB = [\begin{matrix} {Δb}_{- K_{0}, 0} & {Δb}_{- K_{0}, 1} & \cdot \cdot \cdot & {Δb}_{- K_{0}, N - 1} \\ {Δb}_{- (K_{0} - 1), 0} & {Δb}_{- (K_{0} - 1), 1} & \cdot \cdot \cdot & {Δb}_{- (K_{0} - 1), N - 1} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ {Δb}_{K_{0}, 0} & {Δb}_{K_{0}, 1} & \cdot \cdot \cdot & {Δb}_{K_{0}, N - 1} \end{matrix}] - - - - (75)

{Δb}_{pk} = e^{j \frac{2 πpk}{M}} (e^{jΔ t_{pk}} - 1) - - - - (76)

Δ t_{pk} = \frac{2 πp}{MT} Δ t_{k} - - - - (77)

‖ΔB‖_∞·‖B^-1‖_∞＜1 (78)

\frac{{| | Δa | |}_{\infty}}{{| | a | |}_{\infty}} \leq \frac{{| | ΔB | |}_{\infty} \cdot {| | B^{- 1} | |}_{\infty}}{1 - {| | ΔB | |}_{\infty} \cdot {| | B^{- 1} | |}_{\infty}} - - - - (79)

{| | ΔB | |}_{\infty} = \max Σ_{k = 0}^{N - 1} | {Δb}_{pk} | \approx \max Σ_{k = 0}^{N - 1} | {Δt}_{pk} | - - - - (80)

\leq \frac{N (N - 1) π}{M} \cdot \max {\frac{| {Δt}_{k}}}{T}}

‖B^-1‖_∞≤‖C^-1‖_∞·‖A^-1‖_∞＝1. (81)

{| | ΔB | |}_{\infty} < {| | B^{- 1} | |}_{\infty} \leq \frac{N (N - 1) π}{M} \cdot \max {\frac{| {Δt}_{k} |}{T}} - - - - (82)

{| | Δa | |}_{\infty} < {| | a | |}_{\infty} \frac{N (N - 1) π}{M} \cdot \max {\frac{| {Δt}_{k} |}{T}} - - - - (83)

B¹α＝c¹ (84)

B^{'} = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{{N - K}_{0} - 1} & u_{1}^{{N - K}_{0} - 1} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{N - K}_{0} - 1} \end{matrix}] - - - - (85)

(B+ΔB)(α+Δα)＝c+Δc (87)Δc＝BΔα+ΔBα+ΔBΔα (88)‖Δc‖_∞≤‖B‖_∞‖Δα‖_∞+‖ΔB‖_∞‖α‖_∞+‖ΔB‖_∞‖Δα‖_∞(89)‖Δc‖_∞≤Nmax{|Δα_k|}+Nmax{|Δt_pk|}max{|α_k|}+Nmax{|Δt_pk|}max{|Δα_k|} (90)＝N(max{|Δα_k|}+max{|Δt_pk|}max{|α_k|})

G_{k} (e^{jωT}) = [a_{k} + Δ a_{k} (ωT)] e^{- j [{ωt}_{k} + {Δt}_{pk} (ωT)]} - - - - (91)

Y (z) = Σ_{i = 0}^{M - 1} z^{- i} Y_{i} (z^{M}) - - - - (92)

Y(z)＝G^(p)(z)X(z) (93)X(z)＝[X₀(z)X₁(z)…X_N-1(z)]^T (94)Y()＝[Y₀(z)Y₁(z)…Y_M-1(z)]^T (95)

G^{(p)} (z) = [\begin{matrix} G_{00} (z) & G_{01} (z) & \cdot \cdot \cdot & G_{0, N - 1} (z) \\ G_{10} (z) & G_{11} (z) & \cdot \cdot \cdot & G_{1, N} (z) \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ G_{M - 1,0} (Z) & G_{M - 1,1} (z) & \cdot \cdot \cdot & G_{M - 1, N - 1} (z) z \end{matrix}] - - - - (96)

G_{k} (z) = Σ_{i = 0}^{M - 1} z^{- i} G_{tk} (z^{M}) - - - - (97)

σ_{y}^{2} (nM + i) = σ_{y_{i}}^{2} - - - - (98)

{(σ_{y}^{2})}_{av} = \frac{1}{M} Σ_{i = 0}^{M - 1} σ_{y_{i}}^{2} - - - - (99)

{(σ_{y}^{2})}_{av} = \frac{1}{M} Σ_{i = 0}^{M - 1} σ_{y_{i}}^{2} = \frac{1}{M} Σ_{i = 0}^{M - 1} Σ_{k = 0}^{N - 1} σ_{x_{k}}^{2} Σ_{n = - \infty}^{\infty} {| g_{ik} (n) |}^{2}

= \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{N - 1} σ_{x_{k}}^{2} Σ_{i = 0}^{M - 1} Σ_{n = - \infty}^{\infty} {| g_{ik} (n) |}^{2}

= \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{N - 1} σ_{x_{k}}^{2} {Σ_{n = - \infty}^{\infty} | g_{ik} (n) |}^{2}

= \frac{1}{M} Σ_{k = 0}^{N - 1} σ_{x_{k}}^{2} \frac{1}{2 π} {&Integral;}_{- π}^{π} {| G_{k} (e^{jωT}) |}^{2} dωT - - - - (100)

σ_{x_{k}}^{2} = σ_{x}^{2} . - - - - (102)

{(σ_{y}^{2})}_{av} = \frac{ω_{c} T}{Mπ} σ_{x}^{2} Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k}^{2} - - - - (103)

\min imize Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k}^{2} subjectto Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k} = M - - - - (104)

Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k}^{2} = {(Σ_{k = 0}^{N - 1} a_{k})}^{2} + Σ_{k = 0}^{N - 2} Σ_{q = k - 1}^{N - 1} {(a_{k} - a_{q})}^{2}

= M^{2} + Σ_{k = 0}^{N - 2} Σ_{q = k + 1}^{N - 1} {(a_{k} - a_{q})}^{2} - - - - (105)

{(σ_{y}^{2})}_{av, \min} = \frac{{Mω}_{c} T}{Nπ} σ_{x}^{2} - - - - (106)

{(σ_{y}^{2})}_{av} = \frac{ω_{c} T}{Mπ} σ_{x}^{2} Σ_{k = 0}^{N - 1} {(a_{k} + {Δa}_{k})}^{2}

= \frac{ω_{c} T}{Mπ} σ_{x}^{2} Σ_{k = 0}^{N - 1} (a_{k}^{2} + 2 a_{k} Δ a_{k})

\leq \frac{ω_{c} T}{Mπ} σ_{x}^{2} Σ_{k = 0}^{N - 1} (a_{k}^{2} + {2 a}_{k} {| Δ a_{k} |}_{\max}) - - - - (107)

{(σ_{y}^{2})}_{av} \leq \frac{ω_{c} T}{Mπ} σ_{x}^{2} (\frac{M^{2}}{N} + 2 M {| {Δa}_{k} |}_{\max})

= \frac{{Mω}_{c} T}{Nπ} σ_{x}^{2} (1 + \frac{2 N {| Δa}_{k} |_{\max}}{M})

= {(σ_{y}^{2})}_{av, \min} (1 + \frac{{2 N | {Δa}_{k} |}_{\max}}{M}) - - - - (108)

Claims

1.一种非均匀性取样的限频模拟信号x_a(t)的重建方法，该非均匀性取样信号包括N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2，其系以1/(MT)的取样速率依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)取样而获得，其中M为正整数，而t_k＝kMT/N+Δt_k，Δt_k不为零，该方法特征在于以下步骤：

-自该N个子序列x_k(m)形成新序列y(n)，使得y(n)至少含有与x(n)＝x_a(nT)相同的信息，即，在一低于ω₀的频率区域中，ω₀系预定限制频率，以1/T的取样速率使x_a(t)通过下列步骤完成取样：

(i)以因子M上取样该N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1；

(ii)以一对应的数字滤波器过滤该上取样的N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1；及

(iii)添加该N个数字滤波的子序列，以形成y(n)。

2.根据权利要求1所述的方法，其中该对应的数字滤波器系分段延迟滤波器，且具有在频带|ωT|≤ω₀T中的频率响应G_k＝a_ke^(-jωsT)，k＝0，1，…，N-1，a_k为常数，s不为整数。

3.根据权利要求2所述的方法，其中s等于d+t_k，d为整数。

4.根据权利要求2所述的方法，其中该对应的分段延迟滤波器具有在频带ω₀T＜|ωT|≤π中的频率响应G_k＝a_kA_k(e^jωT)，k＝0，1，…，N-1，其中A_k(e^jωT)是任意复数函数。

5.根据权利要求2至4中任一项所述的方法，其中选择a_k使其满足

其中K₀得自于

K_{0} = [\frac{M (ω_{0} T + ω_{1} T)}{2 π}] - 1

其中[x]应读作是大于或等于x的最小的整数，且[-ω₁，ω₁]系该限频模拟信号x_a(t)所处的频带。

6.根据权利要求5所述的方法，其中a_k计算如下，

a＝B^-1c，

a系a_k的向量形式，且系得自于

a＝[a₀ a₁…a_n-1]^T，

B^-1系B的逆矩阵，且B得自于

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}}

而c为

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T，其中

条件为2K₀+1＝N。

7.根据权利要求5所述的方法，其中a_k计算如下，

a = {\hat{B}}^{- 1} \hat{c},

a定义为

a＝[a_u a_fix]^T

其中a_u与a_fix含有(2K₀+1)个未知数a_k以及L＝N-2K₀-1个固定常数a_k，而系

的逆矩阵，

得自于下式，

\hat{B} = [\begin{matrix} B \\ S \end{matrix}]

其中B由下式得出

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}},

且

S得自于

S＝[S_z S_d]，其中

S_{z} = [\begin{matrix} 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \end{matrix}],

且

S_d＝diag[1 1 … 1]，且为

\hat{c} = {[\begin{matrix} c & a_{fix} \end{matrix}]}^{T},

其中

c得自于

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T，且

条件为2K₀+1＜N。

8.根据权利要求7所述的方法，其中L＝N-2K₀-1个a_k由a_k＝M/N，k＝N-L+1，N-L+2，…，N来计算。

9.根据权利要求7所述的方法，其中L＝N-2K₀-1个a_k由a_k＝0，k＝N-L+1，N-L+2，…，N来计算。

10.根据权利要求1至9中任一项所述的方法，其中N＝M。

11.根据权利要求1至9中任一项所述的方法，其中N≠M。

12.根据权利要求10或11所述的方法，其中ω₀系依据下式选择：

ω_{0} T \leq \frac{2 π (K_{0} + 1)}{M} - ω_{1} T

K₀得自于

K_{0} = [\frac{M (ω_{0} T + ω_{1} T)}{2 π}] - 1

13.根据权利要求1所述的方法，其中该对应的数字滤波器系分段延迟滤波器，且具有在频带|ωT|≤π中的频率响应G_k＝a_ke^(-jωsT)，k＝0，1，…，N-1，a_k为常数，s不为整数，且因此所形成的该新序列y(n)恰等于x(n)。

14.根据权利要求13所述的方法，其中s＝d+t_k，d为整数。

15.根据权利要求13所述的方法，其中选择a_k，使其满足

其中K₀得自于

K₀＝M-1。

16.根据权利要求15所述的方法，其中a_k计算如下，

a＝B^-1c，

a系a_k的向量形式，且系得自于

a＝[a₀ a₁…a_N-1]^T，

B^-1系B的逆矩阵，且B得自于

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}}

而c为

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T，其中

条件为2K₀+1＝N。

17.根据权利要求15所述的方法，其中a_k计算如下，

a = {\hat{B}}^{- 1} \hat{c},

a定义为

a＝[a_u a_fix]^T

的逆矩阵，得自于下式，

\hat{B} = [\begin{matrix} B \\ S \end{matrix}]

其中B由下式得出

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}},

且

S得自于

S＝[S_z S_d]，其中

S_{z} = [\begin{matrix} 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \end{matrix}],

且

S_d＝diag[11…1]，且

为

\hat{c} = {[\begin{matrix} c & a_{fix} \end{matrix}]}^{T},

其中

c得自于

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T，且

条件为2K₀+1＜N。

18.根据权利要求17所述的方法，其中L＝N-2K₀-1个a_k由a_k＝M/N，k＝N-L+1，N-L+2，…，N来计算。

19.根据权利要求13至18中任一项所述的方法，其中N＞M。

20.根据权利要求1至19中任一项所述的方法，其中该N个子序列x_k(m)在上取样以前经过数字转换。

21.一种非均匀性取样的限频模拟信号x_a(t)的重建的数字信号处理装置，该非均匀性取样信号包括N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2，其系以1/(MT)的取样速率依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)取样而获得，其中M为正整数，而t_k＝kMT/N+Δt_k，Δt_k不为零，其特征在于该装置适于执行根据权利要求1至20中任一项所述的方法。

22.一种非均匀性取样的限频模拟信号x_a(t)的重建的数字信号处理装置，该非均匀性取样信号包括N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2，其系以1/(MT)的取样速率依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)取样而获得，其中M为正整数，而t_k＝kMT/N+Δt_k，Δt_k不为零，该装置包括：

-数字信号处理装置，用于自该N个子序列x_k(m)形成新序列y(n)，使得y(n)至少含有与x(n)＝x_a(nt)相同的信息，即，在一低于ω₀的频率区域中，ω₀系预定限制频率，以1/T的取样速率使x_a(t)通过下列步骤完成取样：

(i)以因子M上取样该N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1，M为正整数；

(ii)以一对应的数字滤波器过滤该上取样的N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1；

(iii)添加该N数字滤波子序列，以形成y(n)。

23.根据权利要求22所述的装置，其中该对应的数字滤波器系分段延迟滤波器，且具有至少在频带|ωT|≤ω₀T中的频率响应G_k＝a_ke^(-jωsT)，k＝0，1，…，N-1，a_k为常数，s不为整数，且s＝d+t_k，d为整数。

24.根据权利要求23所述的装置，其中a_k计算如下，

a＝B^-1c，

a系a_k的向量形式，且系得自于

a＝[a₀ a₁…a_n-1]^T，

B^-1系B的逆矩阵，且B得自于

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}}

而c为

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T，其中

条件为2K₀+1＝N。

25.根据权利要求23所述的装置，其中a_k计算如下，

a = {\hat{B}}^{- 1} \hat{c},

a定义为

a＝[a_u a_fix]^T

其中a_u与a_fix含有(2K₀+1)个未知数a_k以及L＝N-2K₀-1个固定常数a_k，而系的逆矩阵，

得自于下式，

\hat{B} = [\begin{matrix} B \\ S \end{matrix}]

其中B由下式得出

B = [\begin{matrix} u_{0}^{{- K}_{0}} & u_{1}^{{- K}_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{{- K}_{0}} \\ u_{0}^{- (K_{0} - 1)} & u_{1}^{- (K_{0} - 1)} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{- (K_{0} - 1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ u_{0}^{K_{0}} & u_{1}^{K_{0}} & \cdot \cdot \cdot & u_{N - 1}^{K_{0}} \end{matrix}]

其中

u_{k} = e^{- j \frac{2 π}{MT} t_{k}},

且S得自于

S＝[S_z S_d]，其中

S_{z} = [\begin{matrix} 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \cdot \cdot & 0 \end{matrix}],

且

S_d＝diag[11…1]，且为

\hat{c} = {[\begin{matrix} c & a_{fix} \end{matrix}]}^{T},

其中

c得自于

c＝[c₀ c₁…c_2K0]^T，且

条件为2K₀+1＜N。

26.一种时间交错的模数转换器(ADC)系统中的时间偏移补偿方法，该系统包括多个模数转换器(ADC)，其特征在于执行根据权利要求1至20中任一项所述的方法，其中该N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2的每一序列由对应的一个所述模数转换器进行取样。

27.一种时间交错的模数转换器(ADC)系统，其包括多个模数转换器(ADC)，该系统特征在于有根据权利要求21至25所述的数字信号处理装置，其中该N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2的每一序列对应的一个所述模数转换器进行取样。

28.一种可加载一数字信号处理装置的内部存储器的计算机可读取的记录媒体，包括软件码部分，其在该产品于该装置上运行的时候，用于执行一非均匀性取样的限频模拟信号x_a(t)的重建方法，该非均匀性取样信号包括N个子序列x_k(m)，k＝0，1，…，N-1，N≥2，其系以1/(MT)的取样速率依据x_k(m)＝x_a(nMT+t_k)取样而获得，其中M系正整数，而t_k＝kMT/N+Δt_k，Δt_k不为零，该方法包括：

-自该N个子序列x_k(m)形成新序列y(n)，以使y(n)至少含有与x(n)＝x_a(nT)相同的信息，即，x_a(t)在一低于ω₀的频率区域中以1/T的取样速率取样，ω₀系预定限制频率，其系通过下列步骤完成：

(ii)以一个别的数字滤波器过滤该上取样的N个子序列x_k(m)的每一项，k＝0，1，…，N-1；及

(iii)添加该N数字滤波子序列，以形成y(n)。