JP2009033506A - ディジタルフィルタ - Google Patents

Abstract

【目的】ＳＴ−ＤＦＴを利用したディジタルフィルターに於いて設計パラメーターを有限に打ち切ってフィルタを実現した場合であってもフィルタの通過域に於けるリップルを低減し平坦な振幅特性を得ることを目的とする。
【構成】標本化された入力信号をＲ個のサンプリングポイント分ずつ順次シフトさせながらＮ個のサンプリング値列を得る操作を行い、各サンプリング値列について離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）を施すことによって離散的周波数成分に変換し、夫々の周波数成分の所望周波数成分のみを抽出するフィルタリング処理を行った後、逆ＤＦＴを施し、これを所望周波数成分のみをフィルタリングした信号を作出するものである。
【選択図】図１

Description

本発明はフィルタ、殊に時間依存フーリエ変換（ＳＴ−ＤＦＴ）を利用したディジタルフィルタに関する。

従来よりディジタルフィルタとして離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）手段或いは高速フーリエ変換（ＦＦＴ）手段を利用したものが知られている。これは周知の如く、標本化した入力信号を標本数Ｎ毎のブロックについてＤＦＴ（若しくはＦＦＴ）を施しＮ個の離散した周波数成分から成る周波数スペクトルに変換し、所定のフィルタリングを行った後に逆ＤＦＴ（若しくは逆ＦＦＴ）変換を施すものである。この方法では、逆ＤＦＴを施す際にはＤＦＴしたときとブロックを同期させることが必要であり、また周波数成分の遅れを補正すべく位相等化も必要となるため、これらの処理を本来のＤＦＴ処理に付加しなくてはならず、これがハードウェアの負担になると云う欠陥があった。

これに対し時間依存フーリエ変換（ＳＴ−ＤＴＦ）手段を用いればブロック同期及び位相等化処理なしにほぼ線形のフィルタを実現できることが知られている。ＳＴ−ＤＦＴはディジタル信号処理の一種であって瞬時スペクトラムを算出するアルゴリズムであり、これをフィルタと見倣したものをフィルタバンク総和法（ＦＢＳ法）と称する。

ＳＴ−ＤＴＦ を利用したフィルタは、Ａ／Ｄコンバータ等により所定の周期にてサンプリングすることにより時間軸上で標本化された入力信号を、Ｎ個のサンプリング値列（ブロック）毎に区切り、前後の数ブロック分の信号に基づきＮ個のサンプリング値列を得る操作をＲ個のサンプルポイント分ずつ順次シフトさせながら行い、各ブロックについて離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）を施すことによってＮ個の周波数成分から成る離散型周波数スペクトルに変換し、夫々の離散型周波数スペクトルについて所望周波数成分のみを抽出するフィルタリング処理を行った後、逆ＤＦＴを施し、これをブロック数２Ｑ個について合成することによって所望周波数成分のみをフィルタリングした信号を作出するものである。

ここで原理とアルゴリズムについて説明する。まずＳＴ−ＤＦＴの定義から変換式は次のようになる。
・I₀は零次の第一種変形ベッセル関数
ここでXn(e^j2πk/N)は、時刻ｎにおける瞬時スペクトラムの周波数成分、ｘ（ｎ）
は時刻ｎにおける入力信号．ｗ（ｎ）は（２）式で定義される分析フィルタ関数とする。

上述のアルゴリズムをフィルタバンクと等価と解釈したときの構成を図５に示す。ｈ（ｎ）は理想低域通過フィルター（ＬＰＦ）に時間領域でe^jωmなる変調をかけ（但し、ω＝２πｋ／Ｎ）．ωだけ周波数をシフトさせた帯域フィルタ（ＢＰＦ）である。入力信号がそのＢＰＦを通した後にベースバンド帯域への変調項e^-jωnをかけた後の信号Ｘｎ(e^jωk)が瞬時スペクトラムとなる。逆変換も同様に等価といえる。また各ＢＰＦ出力はe^jωmなる変調をかけベースバンドにシフトしているがこの帯域は入力信号帯域の１／２Ｎであるので、サンプリング周波数を１／Ｎに落とすことができる。この結果ベースバンドにシフトする前に比べてサンプリングを１／Ｒ（Ｒ≦Ｎ）に減らすことができる。これをディジタル信号処理で実現する場合、サンプル数がＲ：１になるように間引き（ダウンサンプル）を行なえばよく、Ｒサンプルごとに一回分析処理を行うことであり、ｎ＝ｒＲ（ｒは整数）とおくことと等価である。

また連続的な周波数スペクトルを周波数領域で適性にサンプリングして周期的な離散スペクトルにした場合、それを逆フーリエ変換した時間領域での入力信号はＮサンプルごとに区切ってｍをｍ＝Ｎｓ＋ｑ（ｓは整数、０≦ｑ≦Ｎ−１）と表現する。これを（１）式に代入、ＤＴＦの形に展開する。Ｘｎ(e^j2πk/N)は数列Ｕｎ（ｑ）を法Ｎだけ円状シフトした後Ｎ点ＤＦＴをとったものになる。すなわち


ここで((ｑ−ｒＲ))_Nは括弧内ｑ−ｒＲをｍｏｄｕｌｏＮで数えることを意味する。この時、（３）式はＮポイントの離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）の形をしているから高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を用いることができる。

一方、（１）式に基づく逆変換の定義式は次のようになる。

各周波数ｋに対する数列Xn(e^j2πk/N)をカットオフ周波数π／Ｎの低域フィルタに通し補間する。このフィルタのインパルス応答をg(ｎ)とし、全長２ＲＱ−１であると仮定する。ここでＲは、データを補間する間隔、Ｑは、補間する畳み込みの有限範囲（Ｑ≠０、Ｑは整数）である。さらに（５）式は、次のように書き換えられる。

このとき、（６）式はＮポイントの離散的逆フーリエ変換（ＩＤＦＴ）の形をしていることから高速逆フーリエ変換（ＩＦＦＴ）を用いることができる。

ここで合成フィルタとして次のＬａｇｒａｎｇｅ関数を用いる。

図３にＬａｇｒａｎｇｅ関数を示す。Ｌａｇｒａｎｇｅフィルタによる補間のイメージを図４に示す。（１）式で定めた瞬時スペクトラムを簡単のためＸｎ（ｋ）とする。その瞬時スペクトラムは、分析時にサンプリングされた時間（Ｒ）ごとに求まる。それを図６の斜右上方向を軸として描いてある。その垂直横方向に時間軸をそして垂直縦方向に瞬時スペクトラムのパワーを軸にとってある。その上に絶対時間ｎのＬａｇｒａｎｇｅ関数の時間的推移位置を示してる。絶対時間ｎの時系列合成サンプル値を求めるためにＬａｇｒａｎｇｅ関数と瞬時スペクトラムとの畳み込みを求める。畳み込みを行う制約された範囲（２Ｑ）を相対時間としてＬａｇｒａｎｇｅ関数と瞬時スペクトラムとの畳み込みを行って補間する。その結果を逆フーリエ変換したものが絶対時間ｎの時系列サンプル値となる。シミュレーションに用いたアルゴリズムは、スペクトルをフーリエ逆変換し、時系列合成サンプル値を求めている。

複素荷重係数を考慮したＳＴ−ＤＦＴの逆変換アルゴリズムを以下で述べる。複素荷重係数を考慮した逆変換の原理を示す。これは、信号をＳＴ−ＤＦＴに通した時の大きな位相ひずみや振幅ひずみを除去することを目的としている。合成部の複素荷重係数P_kは周波数領域では次式で示される。

この複素荷重係数を考慮すると逆変換（６）式は次のように書ける。

上述した如き原理に基づくＳＴ−ＤＦＴ手段を用いたフィルタは、実際にはディジタル信号処理プロセッサ（ＤＳＰ）若しくはゲート回路の組み合わせ等の周知の手法によってフィルタとして実現される。

しかしながら、ＳＴ−ＤＦＴ手段を用いてフィルタを構成した場合、処理量及び遅延の増大を防止すべく設計パラメーターであるＱ及びＲを有限に打ち切らなければならないため、フィルタの振幅特性が著しく劣化し櫛状のリップルを呈すると共に位相直線性も大きくずれるという欠陥があった。

ＳＴ−ＤＦＴをフィルタバンクと等価と見たときの設計パラメーターをＬ＝８，Ｑ＝２０，Ｒ＝Ｎ／２とし、ＳＴ−ＤＦＴの離散ポイント数をＮ＝３２，間引きフィルタにkaiserフィルタを用い、補間フィルタにＬａｇｒａｎｇｅフィルタ用いたときの周波数特性を図７に示す。同図に於いて横軸のＦｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎｄｅｘはＤＦＴの線スペクトルの番号である。この周波数特性は、ＳＴ−ＤＦＴの帯域を半分にした低域通過フィルタの特性を用い、ＳＴ−ＤＦＴの周波数の８倍の解像度の周波数を入力したときの振幅特性である。ＳＴ−ＤＦＴの周波数サンプル点は、１つのフィルタバンクの中心周波数である。

合成フィルタにＬａｇｒａｎｇｅフィルタを用いたときの位相角の変化を周波数ごとに見ると通過域では、フィルタバンクの間では位相角がずれている。図７から明らかな如く櫛状の振幅特性となり、各フィルタバンク間で位相がずれるという欠陥があったこと上述した通りである。

本発明は上述した如き従来のＳＴ−ＤＦＴを利用したディジタルフィルタの欠点を排除するためになされたものであって、設計パラメータを有限に打ち切ってフィルタを実現した場合であってもフィルタの通過域に於けるリップルを低減し平坦な振幅特性を得ることを目的とする。

本発明は、上述の課題を解決するためになされたもので、以下の構成を備える。
所定の周期にてサンプリングし標本化された入力信号をＲ個のサンプリングポイント分ずつ順次シフトさせながらＮ個のサンプリング値列を得る操作を行い、各サンプリング値列について離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）を施すことによって離散的周波数成分に変換し、夫々の周波数成分の所望周波数成分のみを抽出するフィルタリング処理を行った後、逆ＤＦＴを施し、これを所望数２Ｑ個について合成することによって所望周波数成分のみをフィルタリングした信号を作出する時間依存フーリエ変換（ＳＴ−ＤＦＴ）を利用したディジタルフィルタに於いて、
前記離散的周波数成分について適宜その位相を変化した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめたことを特徴とするディジタルフィルタ。

本発明は、以上説明した如く構成するものであるから、従来と同様にＳＴ−ＤＦＴを利用したディジタルフィルタの設計パラメータを有限に打ち切ってフィルタを実現した場合であってもフィルタの通過域に於けるリップルを低減し平坦な振幅特性を実現する上で著しい効果を奏する。

上述の目的を達成するため本発明は、Ａ／Ｄ変換器等により所定の周期にてサンプリングし標本化された入力信号を、Ｒ個のサンプリングポイント分ずつ順次シフトさせながらＮ個のサンプリング値列を得る操作を行い、各サンプリング値列について離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）を施すことによって離散的周波数成分に変換し、夫々の周波数成分の所望周波数成分のみを抽出するフィルタリング処理を行った後、逆ＤＦＴを施し、これを所望周波数成分のみをフィルタリングした信号を作出する時間依存フーリエ変換（ＳＴ−ＤＦＴ）を利用したフィルタに於いて、前記離散的周波数成分について適宜その位相を変化した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめたものであって、前記離散的周波数成分について最低周波数から奇数番目のすべての周波数成分について位相を１８０°回転した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめる。または、前記離散的周波数成分について最低周波数からｋ番目のすべての周波数成分について位相を次の角度回転した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめる。
k=0のとき360°/N
k=4a+2(a=0,1,2,…)のとき360°/4
k=4a(但し、8の倍数でない)のとき360°/8
k=8a(但し、16の倍数でない)のとき360°/16
k=N/4*a(但し、N/2の倍数でない)のとき360°/(N/2)
更にはＲ＝Ｎ／２であり且つＱが偶数である若しくはＲ＝Ｎ／４であり且つＱ＝３＋４ｎ（但し、ｎ＝０，１，２，３・・・）或いはＲ＝Ｎ／ａであり且つＱ＝（ａ／２＋１）＋ａｎ（但し、ｎ＝０，１，２，３・・・、１＜ａ≦Ｎ、ａはＮの約数）であるもの。

本発明者は設計パラメーターを有限に打ち切ってＳＴ−ＤＦＴを利用したディジタルフィルタを実現した場合について、計算機シミュレーションによる解析を重ねるうちに、ＤＦＴにより得られた周波数成分の位相を調整することにより、通過域のリップルを制御できることを見い出し、以下の最適条件に到達した。（８）式に於けるn₀をn₀(k)と周波数の関数に置き換えたとき
n₀(k)=0 ｋが偶数のとき
n₀(k)=N/2 ｋが奇数のとき
という条件、即ち前記離散的周波数成分について最低周波数から奇数番目のすべての周波数成分について位相を１８０°回転すると共に、Ｒ＝Ｎ／２、Ｑ＝偶数の時、Ｒ＝Ｎ／４、Ｑ＝３＋４ｎの時、或いはＲ＝Ｎ／ａであり且つＱ＝（ａ／２＋１）＋ａｎ（但し、ｎ＝０，１，２，３・・・、１＜ａ≦Ｎ、ａはＮの約数）の時、通過域の櫛状特性が改善可能となる。

以下、本発明を実施例を示す画面に基づいて詳細に説明する。図１は本発明に係るディジタルフィルタ１をアナログ信号回路に適用した場合の構成を概念的に示した図であって、Ａ／Ｄ変換器２により所定の周期にてサンプリングし標本化された入力信号を、Ｒ個のサンプリングポイント分ずつ順次シフトさせながらＮ個のサンプリング値列（ブロック）を得る操作を行い、各ブロックについて離散型フーリエ変換（ＤＦＴ）を施すことによって離散的周波数成分に変換する分析部３と、前記離散的周波数成分について適宜その位相を変化する処理を行う位相調節部４と、夫々の周波数成分の所望周波数成分のみを抽出するフィルタリング処理を行うフィルタリング部５と、各ブロックに逆ＤＦＴを施し、これを所望数２Ｑ個について合成する合成部６とによって所望周波数成分のみをフィルタリングした信号を作出し、これをＤ／Ａコンバータ７にてアナログ値に変換して出力するものである。実際にはディジタル信号処理プロセッサ（ＤＳＰ）若しくはゲート回路の組み合わせ等の周知手法によってフィルタとして実現されるものの、ここではシミュレーションにより特性の確認を行った。

従来のそれと同様に設計パラメータをＬ＝８、Ｑ＝２０、Ｒ＝Ｎ／２とし、離散ポイント数をＮ＝３２、間引きフィルタにkaiserフィルタを用い、補間フィルタにＬａｇｒａｎｇｅフィルタ用いたときの振幅周波数特性を図２に示す。図２に示す如く本方式を用いた場合、図７で観察された約130ｄＢの通過域における櫛状の落ち込みを約０．２３ｄＢ程度のリップルに低減しほぼ平坦な連続域特性とすることができた。

位相調整後のＳＴ−ＤＦＴの位相特性は、通過域での位相直線性がほぼ実現され、通過域でのリップルが、最大約０．００００４ｄｅｇと極めて微小な値となった。

尚、以上発明を煩雑を避けるため最適条件に於けるシミュレーションを例として説明したが、本発明はこれらのみに限定されることなくＳＴ−ＤＦＴを利用したディジタルフィルタにおいて、位相制御することにより通過域の特性を平坦化せしめたことを含むものである。

本発明に係るディジタルフィルタをアナログ信号回路に適用した場合の構成図。 本発明に係るディジタルフィルタの振幅の周波数特性を示す図。 Lagrange関数の波形を示す図。 Lagrangeフィルタによる補間イメージを示す図。 ST-DFTのアルゴリズムを概念的に説明する図。 間引きフィルタに使用しているkaiser関数の波形を示す図。 従来のディジタルフィルタの振幅の周波数特性を示す図。

符号の説明

１・・・ディジタルフィルタ
３・・・分析部
４・・・位相調整部
５・・・フィルタリング部
６・・・合成部

Claims (6)

1. 所定の周期にてサンプリングし標本化された入力信号をＲ個のサンプリングポイント分ずつ順次シフトさせながらＮ個のサンプリング値列を得る操作を行い、各サンプリング値列について離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）を施すことによって離散的周波数成分に変換し、夫々の周波数成分の所望周波数成分のみを抽出するフィルタリング処理を行った後、逆ＤＦＴを施し、これを所望数２Ｑ個について合成することによって所望周波数成分のみをフィルタリングした信号を作出する時間依存フーリエ変換（ＳＴ−ＤＦＴ）を利用したディジタルフィルタに於いて、
   前記離散的周波数成分について適宜その位相を変化した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめたことを特徴とするディジタルフィルタ。
2. 前記離散的周波数成分について最低周波数から奇数番目のすべての周波数成分について位相を１８０°回転した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめたことを特徴とする請求項１記載のディジタルフィルタ。
3. 前記離散的周波数成分について最低周波数から次のk番目の周波数成分について位相を次の各々回転した上でフィルタリング処理を行うことにより通過域のリップルを低減せしめたことを特徴とする請求項１記載のディジタルフィルタ。
   k=0のとき360°/N
   k=4a+2(a=0,1,2,…)のとき360°/4
   k=4a(但し、8の倍数でない)のとき360°/8
   k=8a(但し、16の倍数でない)のとき360°/16
   k=N/4*a(但し、N/2の倍数でない)のとき360°/(N/2)
4. Ｒ＝Ｎ／２であり且つＱが偶数であることを特徴とする請求項１ないし３のいずれか記載のディジタルフィルタ。
5. Ｒ＝Ｎ／４であり且つＱ＝３＋４ｎ（但し、ｎ＝０，１，２，３・・・）であることを特徴とする請求項１ないし３のいずれか記載のディジタルフィルタ。
6. Ｒ＝Ｎ／ａであり且つＱ＝（ａ／２＋１）＋ａｎ（但し、ｎ＝０，１，２，３・・・、１＜ａ≦Ｎ、ａはＮの約数）であることを特徴とする請求項１ないし３のいずれか記載のディジタルフィルタ。