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Einrichtung zum Integrieren von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
beliebiger Ordnung, z. S. Differentialgleichungen für Schwingungsvorgänge Die Geräte,
welche auf Land-, Wasser-oder Luftfahrzeugen die vertikale Richtung anzeigen sollen,
z. B. Kreiselaggregate oder Pendelsysteme, unterliegen außer der Beeinflussung durch
die Rotation der Erde noch dem Einfluß der Änderungen der Fahrtgeschwindigkeit und
Fahrtrichtung. Infolgedessen werden an ihnen häufig Fehlweisungen beobachtet. Man
hat bisher bei Pendelsystemen z. B. versucht, diese Fehlweisungen dadurch möglichst
herabzudrücken, daß man die Schwingungsdauer der Pendel möglichst groß wählte. Indessen
läßt sich auf diesem Wege keine vollständige Beseitigung der erwähnten Fehleinstellungen
derartiger Geräte erreichen, wie diesbezügliche Versuche ergeben haben. Man kann,
wie bekannt ist, die beschriebenen Störungsvorgänge durch verhältnismäßig komplizierte
gewöhnliche Differentialgleichungen darstellen.
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Gemäß der Erfindung werden die Nachteile der obenerw ähnten Geräte
dadurch vermieden, daß die Einstellvorrichtungen für die unabhängigen Größen der
Differentialgleichungen, die über Rechengetriebe an sich bekannter Art, z. B. Differential-
oder Multiplikationsgetriebe sowie Hebelsysteme, auf beliebige Integrationsvorrichtungen
einwirken, z. B. auf Reibradgetriebe, von den die Ergebnisse der Integrationsvorrichtungen
angebenden Getriebeteilen beeinflußt werden. Nur dadurch, daß die Resultate oder
Zwischenresultate von Integrationsgetrieben auf die Einstellorgane derselben wieder
zurückwirken, ist es möglich, einen Integrationsmechanismus zu schaffen, der ein
System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung integriert. Man kann
beispielsweise Meßeinrichtungen für die auf die Geräte wirkenden Störungskräfte
auf die Einstellorgane für die Integrationseinrichtungen derart einwirken lassen,
daß diese den Effekt der Störungskräfte ermitteln und dadurch die Korrekturen für
etwaige Fehleinstellungen der Geräte messen. Gewünschtenfalls kann man auch die
erwähnten Meßeinrichtungen durch solche Meßeinrichtungen ersetzen, welche mindestens
-zwei Komponenten der Geschwindigkeit des Fahrzeuges ermitteln, wobei diese Meßeinrichtungen
gegebenenfalls gleichzeitig an mehreren Einstellorganen der Integrationseinrichtungen
angreifen, insbesondere auf verschiedenen Integrationsstufen. Wenn auf dem Fahrzeug
ein sogenannter Koppeltisch
vorhanden ist, der fortlaufend die
geographischen Koordinaten des Fahrzeuges ermittelt, so kann man auch die neue Einrichtung
mit diesem Koppeltisch in Verbindung bringen, indem man statt der Geschwindigkeitswerte
auf einer um i höheren Integrationsstufe die entsprechenden Wege einführt; dabei
besteht auch die Möglichkeit, zur Ermittlung des genauen Ortes des Fahrzeuges auch
noch andere Methoden heranzuziehen, wie es beispielsweise die Geschwindigkeitsmessung
darstellt, z. B. astronomische Beobachtungen.
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In den Abbildungen sind vier Ausführungsformen der Erfindung dargestellt.
Die Anordnung nach den Abb. i und 2 stellt den einfachsten Fall der neuen Einrichtung
dar, bei welchem eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit konstantem
Koeffizienten und beliebiger Störungsfunktion integriert werden soll. Es handelt
sich also um Gleichungen von der Form:
Dabei ist t die unabhängige Variable, welche nicht immer die Zeit zu sein braucht,
x die abhängige Variable und a ein konstanter Koeffizient, der von den Übersetzungsverhältnissen
und Hebellängen usw. abhängt. h ist eine Störungsfunktion, die beli.ebigerweise
von t
und x abhängen kann.
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In Abb. i wird die Störungsfunktion h mittels der Handkurbel i über
ein Getriebe 2 an einer Anzeigevorrichtung 3, 4 eingestellt. Dabei wird über einen
längsverschiebbaren Arm 5 ein Hebel 6 verstellt. Der Hebel 6 trägt an seinem einen
Ende einen Stift 6', der in einen Schlitz 7 eingreift. Der Schlitz 7 ist mit dem
Schlitten einer Reibrolle 8 verbunden, die auf einer Vierkant-welle 9 verschiebbar
angeordnet ist. Die Reibrolle 8 erhält einen Antrieb über eine Reibscheibe i o,
die in nicht dargestellter Weise durch eine Integriervorrichtung proportional den
Änderungen der unabhängigen Variablen t gedreht wird. Die Vierkant-welle 9 trägt
an ihrem einen Ende eine Schraubenspindel 9', auf welcher eine Mutter i i verschiebbar
angeordnet ist. Die Mutter i i hat einen Stift i i', der in den Schlitz eines Hebels
12 eingreift. Der Hebel 12 ist um die ortsfeste Achse 13 drehbar angeordnet und
hat an seinem anderen Ende einen Zeiger 15. Außerdem ist dieses Ende mittels eines
Zwischenarmes 14 mit dem Hebel 6 verbunden.
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Die Ausführungsform nach Abb. 2 unterscheidet sich von derjenigen
nach Abb. i im wesentlichen nur dadurch, daß statt der Hebelsysteme der Abb. i in
Abb. 2 Zahnradgetriebe dargestellt sind. Eine beispielsweise Ausführungsform für
die in Abb.2 durch das Rechteck 16 angedeuteten Teile ist in Abb. 5 dargestellt.
Diese Einrichtung enthält eine von der Welle 8o des Planetenrades 1 7
angetriebene
Schnecke 86, mit welcher eine Schraubenmutter 85 in Eingriff steht. An der Schraubenmutter
85 ist ein Bügel 84 befestigt, welcher eine Reibrolle 83 seitlich umfaßt. Die Reibrolle
83 wird durch eine ständig mit gleichbleibender Geschwindigkeit umlaufende Scheibe
82 angetrieben. Das eine Ende 87 der die Anzeigevorrichtung i 5 (Abb 2) antreibenden
Welle 81 ist als Vierkantwelle ausgebildet. Bei etwaigen Verstellungen der Schraubenmutter
85 entfernt sich. die Reibrolle 83 von dem Mittelpunkt der Scheibe 82 oder nähert
sich diesem. Infolgedessen ändert sich dementsprechend die Geschwindigkeit, mit
welcher die Reibrolle 83 über die Vierkantwelle 87 und die Welle 81 die Arizeigevorrichtung
15 einstellt.
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Die in den weiter unten erläuterten Abb. 3 und 4 durch die Rechtecke
23, 28, 47, 48, 55 und 6o angedeuteten Teile können beispielsweise die gleiche Ausbildung
wie die in Abb. 5 dargestellte Einrichtung haben.
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Um die oben angegebene Differentialgleichung
zu lösen, müssen die in dieser vorkommende Konstante a und die von der Zeit
t abhängige Störungsfunktion k bestimmt sein. Dies geschieht z. B. bei der
Einrichtung nach Abb. i in der Weise, daß man folgenden Ansatz für die Geschwindigkeit
der Verstellung des Zeigers 15 macht, dessen Richtigkeit aus der Abbildung ohne
weiteres hervorgeht:
In dieser bedeutet k, eine gegebene Verstellung des Zeigers 3 auf der Skala 4 aus
seiner Nullage; x bedeutet die Verschiebung des Zeigers 15 bzw.,des dem Zeiger zunächstliegenden
Gelenkes von einer bestimmten Anfangsstellung an und d x die Änderung dieser
Zeigerstellung in der Zeiteinheit d t. Mit v, ist das Verhältnis zwischen
dem mit dem Hebel 14 verbundenen unteren Hebelarm des Hebels 6 zu der ganzen Länge
des Hebels 6 zu verstehen und unter v., das Verhältnis zwischen dem Abstand der
Punkte 13 und i i' zu der Länge des Hebels 12. Der Klammerausdruck stellt demnach
die resultierende axiale Verschiebung der Reibrolle 8 dar. w bezeichnet die Umlaufgeschwindigkeit
der Scheibe io, r den Radius der Reibrolle 8 und h die Ganghöhe der Schraubenspindel
9'.
Aus der vorstehend angegebenen Beziehung ergibt sich für die
Proportionalität von h und hl der Ausdruck
und für die Konstante a der Ausdruck
Man kann also durch Verfügung über die geometrischen Abmessungen der Einrichtung
beliebige Werte für a und für k herstellen.
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Damit ist die Lösung der als Beispiel gewählten Differentialgleichung
mittels der Einrichtung nach Abb. i möglich, wie im folgenden näher erläutert wird.
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In ganz entsprechender Weise kann man auch :die Konstanten in den
im nachfolgenden noch angegebenen Differentialgleichungen bestimmen und so auch
diese Gleichungen lösen.
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Die Wirkungsweise der Einrichtungen nach Abb. i und 2 ist wie folgt:
In der Abb. i ist die Nullstellung des Integrationsbetriebes dargestellt. Es ist
jedoch nicht erforderlich, mit der Integration in dieser .L\Tullstellung zu beginnen,
vielmehr ist es zur Berücksichtigung der Integrationskonstanten unter Umständen
sogar notwendig, von einer anderen Stellung, insbesondere des Hebels 12, auszugehen.
Wir wollen uns jedoch zur Erläuterung der Wirkungsweise vorstellen, daß wir von
der dargestellten Nullstellung ausgehen, ferner, daß die unabhängige Variable die
Zeit darstellt und sich also die Scheibe io mit konstanter Geschwindigkeit dreht.
Der auf Null gestellte Mechanismus verharrt in dieser Stellung, da keine Drehung
auf die Reibrolle 8 übertragen wird. Erteilen wir jetzt plötzlich der störenden
Funktion k durch Drehen der Kurbel i einen positiven Wert, so wird der Hebel 6 und
damit die Reibrolle 8 nach rechts hinübergeschoben. Da sich die Scheibe io im mathematisch
positiven Sinne dreht, wird jetzt der Reibrolle 8 eine solche Rotation erteilt,
daß die Mutter i i ebenfalls nach rechts bewegt wird, also auch der Zeiger 15 einen
positiven Ausschlag auf der Skala .anzeigt. Gleichzeitig jedoch wirkt der Hebel
12 mittels des Zwischenarmes 1.4 auf den Hebel 6 derart, daß allmählich die Reibrolle
wieder zur Mitte hingeschoben wird, und zwar mit dauernd abnehmbarer Geschwindigkeit,
da entsprechend ihrer Verschiebung nach der Mitte sich die Umdrehungsgeschwindigkeit
der Spindel g' verringert. Wenn wir die Einstellung der Kurbel i jetzt unverändert
lassen, gelangt die Reibrolle 8 schließlich ganz in die Mitte der Scheibe io, und
es findet keine weitere Bewegung des Mechanismus mehr statt. Der Resultatzeiger
15 zeigt dann einen festen Wert an, dem er sich im Laufe des Verfahrens nach einer
Exponentialfunktion genähert hat. Der Zusammenhang zwischen der Einstellung der
Kurbel i und dem Ausschlag des Zeigers 15 ist bei der geschilderten Situation derselbe,
als wenn an eine Selbstinduktion eine Spannung angelegt wird, um nur ein Beispiel
zu nennen, wo der Apparat einen Vorgang in der Technik zu beschreiben imstande ist.
Man kann natürlich an der Kurbel i beliebige veränderliche Werte einstellen, und
der Apparat nach Abb. i liefert dann das Integral der Differentialgleichung
In Abb. 2 ist ein Mechanismus dargestellt, der genau dieselben Aufgaben zu lösen
hat.
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Die Anordnung nach Abb. 3 dient zur Lösung von Differentialgleichungen
von der Form
wobei die einzelnen Buchstaben entsprechende Bedeutung haben wie bei der oben angegebenen
Differentialgleichung.
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In Abb. 3 wird mittels einer Handkurbel 18 über einen .Schneckentrieb
i9 eine Anzeigevorrichtung 2o eingestellt und diese Einstellung über ein Kegelrad
2i auf ein Planetenrad 22 übertragen, das mit einer Integrationseinrichtung 23 einstellbar
verbunden ist. Die Integrationseinrichtung 23 kann ebenso ausgebildet sein wie diejenige
der Abb. i. Die Welle 2q., welche das Ergebnis der Integrationseinrichtung 23 an
einer Anzeigevorrichtung 25 anzeigt, steht über ein Kegelrad 26 mit einem Planetenrad
27 in Verbindung, das die Einstellung einer zweiten Integrationsvorrichtung 28 bewirkt.
Das Ergebnis der Integrationsvorrichtung 28 wird an einer Anzeigevorrichtung 29
angezeigt. Gleichzeitig wird das Ergebnis der Integrationsvorrichtung 28 über Kegelräder
30, 31, 32a 33 auf das Planetenrad 27 zurückgeführt und außerdem über Kegelräder
34, 35 auf das Planetenrad 22 und somit zur zusätzlichen Einstellung der beiden
Integrationseinrichtungen 23 und 28 benutzt. An den Anzeigevorrichtungen 25 und
29 erscheinen die Resultate der Integration, nämlich die abhängige Variable x an
der Anzeigevorrichtung 29 und ihre Änderungsgeschwindigkeit an der Anzeigevorrichtung25.
Zur
Erläuterung der mathematischen Zusammenhänge sei folgendes gesagt: Das an der Anzeigevorichtung
a9 angezeigte Resultat x wird über Getriebe 30, 3z, 34, 35 zurück übertragen auf
das Differentialgetriebe 21, 22, 35. Hier kommt hinzu der an der Kurbel 18
eingestellte Wert k der Störungsfunktion, und zwar sind die Übersetzungsverhältnisse
der Getriebe und die Drehrichtungen so gewählt, daß an der Einstellvorrichtung des
Integrationsgetriebes 23 der Wert k und b x eingestellt wird. An der Welle 24 erhalten
wir als Resultat der Integration also das Integral f(k-bx) d t.
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Hiervon wird über Getriebe 32, 33 mittels des Getriebes 26, 27 der
Wert a x abgezogen, so daß also an der Integrationsvorrichtung 28 die Größe
f(k-bx) dt-ax eingestellt wird. Durch Integration erhalten wir an der Anzeigevorrichtung
29 also f[f(k-bx) dt-ax]dt. Es ergibt sich aus der Differentialgleichung
daß dieses Integral mit x identisch ist. Die Werte a und b sind von den übersetzungsverhältnissen
der Getriebe abhängig. Wenn man in der Lage sein wird, diese Werte zu ändern, gegebenenfalls
auch als Funktion der Variablen zu ändern, kann man an den Stellen, wo die Kupplungen
36 eingezeichnet sind, Rechengetriebe beliebiger Art zwischensetzen, welche das
Resultat an der Anzeigevorrichtung 29 in der gewünschten Weise umformen. In dem
Integral der Differentialgleichung
erscheinen bekanntlich zwei Integrationskonstanten. Dem entspricht es in der neuen
Apparatur, daß der Verlauf des Integrals von der Anfangsstellung der Integrationsgetriebe
23, 28 abhängig ist. Man kann zur Einstellung der Integrationskonstanten, die beispielsweise
,als Anfangsstellungen der Anzeigevorrichtungen 25, 29 aufgefaßt werden können,
mit den Integratoren Einrichtungen verbinden, welche es erlauben, unabhängig von
dem Integrationsprozeß zusätzliche Drehungen der Resultatwellen zu bewirken.
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Mittels der in der Abb. 4 dargestellten Einrichtung kann ein System
von Differentialgleichungen gelöst werden, welches folgende Form hat:
Mittels Handkurbeln 37 und 38 werden an Anzeigevorrichtungen 39 und 4o die Werte
k und l eingestellt. Dabei werden über Zahnräder 41 und 42 Planetenräder 43 und
44 gleichzeitig eingestellt und die Einstellung dieser Planetenräder über eine Welle
45 und 46 auf je eine Integrationseinrichtung 47 und 48 übertragen. Die Resultate
x und y der Integrationseinrichtungen 47 und 48 erscheinen an Anzeigevorrichtungen
49 und 5o und werden außerdem über Zahnräder 54 52, 53, 54 auf eine weitere Integrationseinrichtung
55 bzw. über Zahnräder 56, 57, 58, 59 auf eine Integrationseinrichtung 6o übertragen.
Die Ergebnisse der Integrationseinrichtungen 55 und 6o werden über Differentialgetriebe
61, 62 bzw. 63 und 64 als zusätzliche Einstellungen auf die Planetenräder 43 und
44 übertragen, wobei außerdem von den Wellen 65 und 66 in der dargestellten Weise
mittels der Zahnräder 67, 68 auf das Differentialgetriebe 6i und mittels der Zahnräder
69 und 7o auf das Differentialgetriebe 64 Zusatzeinstellungen übertragen werden.
In entsprechender Weise werden die Differentialgetriebe 62 und 33 von der Welle
66 aus über Zahnräder 71, 72 bzw. 73, 74 zusätzlich verstellt. An den Anzeigevorrichtungen
75 und 76 werden dabei die Geschwindigkeiten angezeigt, mit denen sich die von den
Integrationseinrichtungen 47 und 48 ermittelten Ergebnisse ändern. Die mathematische
Diskussion verläuft ähnlich wie diejenige, die zur Erläuterung der Abb. 3 gegeben
ist.
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Statt wie bisher angegeben, die neue Einrichtung für Störungskräfte,
die bei Geräten auftreten, welche auf Land-, Wasser- oder Luftfahrzeugen aufgestellt
sind, zu benutzen, kann die neue Einrichtung auch für beliebige andere Zwecke verwendet
werden, wo die Verhältnisse mathematisch ähnlich liegen, beispielsweise zur Auswertung
der allgemeinen ballistischen Gleichungen ,oder Differentialgleichungen, welche
dem zeitlichen Verlauf von Wechselströmen in beliebigen Verteilungsnetzen unterliegen.
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Abb.4 eignet sich insbesondere für die Ermittlung der Bewegung eines
sphärischen Pendels, das auf einem Land-, Wasser- oder Luftfahrzeug aufgestellt
ist, welches sich mit den Geschwindigkeiten k bzw. L nördlich bzw.
östlich bewegt.