DE3240647A1

DE3240647A1 - Lehrgeraet

Info

Publication number: DE3240647A1
Application number: DE19823240647
Authority: DE
Inventors: Peter Prof. Dr. 7400 Tübingen Kramer
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1981-11-04
Filing date: 1982-11-04
Publication date: 1983-05-11

Description

Lehrgerät
Bei der Darlegung der Gesetzmäßigkeiten der'ebenen Geometrie und ihrer Anwendungen genügt die Darstellung der Figuren und ihrer Elemente in einer Zeichenebene. Bei der Darlegung der Gesetzmäßigkeiten der räumlichen Geometrie ist es neben der zeichnerischen Darstellung der Körper und ihrer Einzelelemente .in einer Zeichenebene, etwa mittels axionometrischer Darstellung, oder in mehreren verschiedenen Zeichenebenen, etwa im Grund- und Aufrißverfahren, zumindest sehr hilfreich wenn nicht gar notwendig, die Körper und ihre Elemente räumlich-körperlich vorzuführen. Das gilt besonders für Bauteile, auf denen andere Bauteile mit gleicher Gestalt aber anderen Abmessungen oder mit einer anderen GestaJt zusammengesetzt werden können, wie das zum Beispiel bei den meisten technischen Konstruktionsteilen der Fall ist.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Lehrgerät zu schaffen, mit dem die Bildung lückenlos zusammengesetzter Körper bestimmter Gestalt und bestimmter Abmessungen aus einigen wenigen Bauelementen der gleichen oder unterschiedlicher Gestalt und kleinerer Abmessungen möglich ist.
Diese Aufgabe wird durch ein Lehrgerät mit den im Anspruch 1 angegebenen Merkmalen gelöst.
Mit den angegebenen sieben Grundkörpern läßt sich ausgehend von einem Kern in Form eines der beiden Dodekaeder der dreidimensionale Raum ohne Überschneidungen der Grundkörper lückenlos ausfüllen. Dabei lassen sich neue Körper gleicher Gestalt aber größerer Abmessungen oder auch Körper mit einer neuen Gestalt und ebenfalls gröf3erer Abmessungen als der Grundkörper bilden. Ebenso lassen sich damit auch Hohlräume bestimmter Gestalt lückenlos umhüllen, wobei die Hülle nach außen hin wieder eine bestimmte Gestalt hat. Der Aufbau solcher zusammengesetzter Körper ist nicht periodisch aber repetitiv, d. h. bei einem Körper gleichbleibender Gestalt nehmen die Abmessungen nicht von Schicht zu Schicht linear, bezogen auf die Grundgröße zu, sondern um'einen Faktor, der gleich einer ganzzahligen Potenz der Zahl j des Goldenen Schnittes ist.
Bei einer Ausgestaltung des Lehrgerätes nach Anspruch 2 wird der Aufbau zusammengesetzter Körper erleichtert. Bei einer Ausgestaltung des Lehrgerätes nach Anspruch 3 kann durch die Beschränkung der Haft- oder Verbindungselemente auf wenige Bereiche der Grundkörper der Herstellungsaufwand und der Werkstoffaufwand für diese Elemente in sehr engen Grenzen gehalten werden. Mit der Ausgestaltung des Lehrgerätes nach Anspruch 4 wird eine sehr einfach zu handhabende und verhältnismäßig billig herzustellende Verbindungsmöglichkeit geschaffen. Mit der Weiterbildung nach Anspruch 5 läßt sich trotz einfachem Zusammenbau der Körper ein sehr starker Zusammenhalt der Grundkörper erzielen.
Bei einer Ausgestaltung des Lehrqerätes nach Anspruch 6 werden die Grundkörper und die damit zusammengesetzten Körper nur durch ihre Körperkanten in Form der Verbindungsstäbe dargestellt. Dadurch verringert sich der Fertigungsaufwand der Grundkörper auf die Fertigung von fünf Bauteilen, nämlich der Eckenkörper und der Verbindungsstäbe mit vier verschiedenen Längen. Bei der Bildung zusammengesetzter Körper treten die Körperkanten einander benachbarter Grundkörper jeweils nur einmal auf. Bei einem solchen zusammengesetzten Körper ist der Aufbau aus den Grundkörpern jederzeit voll durchschaubar.
Im folgenden wird die Erfindung anhand einiger in der Zeichnung dargestellter Ausführungsbeispiele des Lehrgerätes näher erläutert. Es zeigen: Fig. 1 eine perspektivische Ansicht eines ersten von sieben Grundkörpern des Lchrgerätes gemäß der Erfindung; Fig. 2 eine perspektivisciie Ansicht eines dritten der sieben Grundkörper des Lehrgerätes; Fig. 3 eine perspektivische Ansicht eines fünften der sieben Grundkörper des Lehrgerätes; Fig. 4 eine perspektivische Ansicht des siebten der sieben Grundkörper des Lehrgerätes; Fig. 5 eine Draufsicht einer der Seitenflächen des ersten Grundkörpers des Lchrgerätes; Fig. 6 eine perspektivische Ansicht eines ersten zusammengesetzten Körpers de Lehrgerätes; rig. 7 eine perspektivische Ansicht eines zweiten zusammengesetzten Körpers; Fig. 8 eine perspektivische Ansicht der Einzelteile des Körpers nach Fig. 7; cig. 9 eine perspektivische Ansicht des Körpers nach Fig. 7 aus einer anderen Betrachtungsrichtung; Fig. 10 eine perspektivische Ansicht eines dritten zusammengesetzten Körpers; Fig. 11 eine perspektivische Ansicht eines vierten zusammengesetzten Körpers; Fig. 12 eine perspektivische Ansicht von Einzelteilen zum Anfügen am zu sammenqesetz ten Körper nach Fig. 11; Fig. 13 eine perspektivischc Ansicht des Körpers nach Fig. 7 und weitere (.rundkörper zum Anfügen an diesem; Fig. 14 eine perspektivische Ansicht des vollständig zusammengesetzten Körpers nach Fig. 13 mit weiteren Grundkörpern zum Anfügen an diesem; Fig. 15 eine perspektivische Ansicht mehrerer zusammengesetzter Körper unterschiedlicher Zusammensetzungsstufen und einige Grundkörper zum Zusammenfügen eines Körpers höherer Zusammensetzungsstufe; Fig. 16 eine perspektivische Ansicht des ersten Grundkörpers des Lehrgerätes mit Teilen einer ersten AusFührungsform von Verbindungselementen; Flug. 17 je einen vergrößert d;lrgestellten Querschnitt des bis 19 ersten Teils der Verbindungselemente an zwei aneinander anliegenden Grundkörpern bzw. des zweiten Teils der VerbindungselemenLe bzw. der miteinander vereinigten Teile der Verbinounrgselemente; Fig. 20 je einen vergrößert ;irgestellten Querschnitt des und 21 ersten Teils der Verbindungselemente an zwei nebeneinander liegenden Grundkörpern bzw. der miteinander vereinigten Teile der Verbindungselemente.
Fig. 22 eine perspektivische Ansicht eines Polyeders mit Achsendarstellungen für Ausnehmungen eines Ecken körpers für eine abgewandelte Ausführungsform der Grundkörper; Fig. 23 eine perspektivische Ansicht des ersten der sieben Grundkörper des Lehrgerätes in einer abgewandelten Ausführungsform; Fig. 24 eine perspektivische Ansicht des dritten der sieben Grundkörper des Lehrgerätes in einer abgewandelten Ausführungsform; Fig. 25 eine perspektivische Ansicht des fünften der sieben Grundkörper des Lehrgr!rätes in einer abgewandelten Ausführungsform; Fig. 26 eine perspektivische Ansicht des siebten der sieben Grundkörper des Lehrgerätes in ein-er abgewandelten Ausführungsform; Fig. 27 eine perspektivische Ansicht eines weiteren zusammengesetzten Körper aus einem ersten und einem dritten Grundkörper der abgewandelten Ausführungsform gemäß Fig. 24 und Fig. 25.
Das Lehrgerät weist sieben Grundkörper auf, die in unterschiedlicher Anzahl und Anordnung angewandt werden, um daraus zusammengesetzte Körper herzustellen und um einen bestimmten Raum ohne gegenseitige Überschneidung der Grundkörper lückenlos auszufüllen. Diese sieben Grundkörper sind ein kleineres Dodekaeder d, ein größeres Dodekaeder d', eine kleinere Skene s, eine größere Skene , ein kleinerer Aetos a, ein größerer Aetos a' und ein Tristomos t". Von diesen sieben Grundkörpern haben di ej eniger mit gleicher Benennung die gleiche Gestalt. Sie unterscheiden sich nur durch eine unterschiedliche Größe voneinander. Im folgenden werden daher nur die vier unterschiedlichen Giundkörperarten im einzelnen erläutert und für die gleichartigen lediglich die abweichende Größe angegeben.
Das Dodekaeder d (Fig. 1) ist ein Polyeder, dessen zwölf Flächen aus untereinander gleichen regelmäßigen Fünfecken 20 gebildet sind. In Fig. 1 erscheinen diese Fünfecken nur in perspektivischer Ansicht. Ihre wahre Gestalt und die wahren Größenverhältnisse ihrer fünf Seiten untereinander sind aus der Draufsicht in Fig. 5 ersichtlich. Aufgrund der perspektivischen Darstsllung erscheinen in Fig. 1 nur die beiden Kanten 21 und 22 des Dodekaeder d in ihrer wahren Größe, nämlich mit der Grundlänge L.
Diese Grundlänge L ist ein willkürlich wählbares Längenmaß.
Nach seiner Festlegung gilt es für alle Grundkörper und ihre Abmessungen in der nachstehend aufgezeigten Weise.
Beim großen Dodekaeder d' haben die Fünfecke die Seitenlänge L.
Dieser Faktor $ wird in Zusammenhang mit Fig. 5 näher erläutert.
Auf diesen Vergrößerungsfaktor (in seiner ersten Potenz) weist der Apostroph- im Kennzeichen d' dieses Dodekaeders hin.
Die aus Fig. 2 ersichtliche Skene (Zelt) s ist ein Polyeder in Form einer geraden fünfseitigen Pyramide. Ihre Basisfläche 23 ist ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge L. Die Basisfläche 23 paßt daher genau auf eines der Fünfecke 20 des Dodekaeder d. Die Seitenflächen 24 sind gleichschenklige- Dreiecke.
Die kleinere Seite 25, die zugleich eine Seite der Basisfläche 23 bildet, hat die Länge L. Die beiden gleichlangen größeren Seiten 26 und 27haben die Länge ¢L. Bei der perspektivischen Darstellung der Skene s in Fig. 2 erscheint die ganz links gelegene Seite 28 in ihrer wahren Länge 0*L.
3ei der größeren Skene s' sind alle Seiten- wiederum um den Faktorgrößer als bei der kleineren Skene s. Die Seiten ihrer fünfeckigen Basiafläche 23' haben dementsprechend die Länge'L und die Seiten 26' und 27' ihrer Seitenflächen 24' haben die Länge P Der aus Fig. 3 ersichtliche Aetos (Adler) a ist ein Polyeder in Form eines Tetraeders. Seine vier Flächen 31,- 32, 33 und 34 werden durch gleichseitige Dreiecke gebildet, von denen je zwei einander gleich sind und an einer gemeinsamen Seite aneinander anstoßen. Die beiden größeren Dreieckflächen 31 und 32 haben die beiden gleichlangen Seiten 35 und 36 bzw. 37 und.38 mit jeweils der Länge L. Die den beiden Dreieckflächen 31 und 32 gemeinsame dritte Dreieckseite 39 hat die Länge #J.L. Die beiden kleineren Dreieckflächen 33 und 34, die bei der perspektivischen Darstellung des Aetos a unten liegen und daher nicht sichtbar sind, haben die beiden gleichlanqen Seiten 35 und 37 bzw. 36 und 38, mit der schon angegebenen Länge L. Die den beiden kleineren Dreiecken 33 und 34 gemeinsame dritte Dreieckseite 40 hat die Länge L. Die je zwei gleichen Dreiecken gemeinsamen Seiten 39 und 40 liegen auf voneinander abgekehrt-en Seiten des Aetos a. Sie kreuzen einander im rechten Winkel. Jede der Seiden kleineren Dreieckseiten 33 und 34 hat die gleiche Gestalt und die gleiche Größe wie eine der Seitenflächen 24 der Skene s (Fig. 2). Bei der perspektivischen Darstellung des Aetos a in Fig. 3 erscheint die Seite 39 in ihrer wahren Größe.
Bei dem größeren Aetos a' sind alle Dreieckseiten um den Faktor größer als bei dem Aetos a. I)ie Seiten 35', 36', 37' und 38' haben die Länge j2-L. L. Die Seite 39' hat die Länge )3 L und die Seite 40' hat die Länge # L.
:)er Tristomos (Dreischneid) 1 ist ein Polyeder in Form einer Doppelpyramide aus zwei regelmäßigen dreiseitigen Pyramiden 41 und 42, deren gedachte Basisfläche ein gleichseitiges Dreieck gleicher Größe ist, an der sie miteinander vereinigt sind. Die größere spitze Pyramide 41 hat die drei untereinander gleichen dreieckigen Seitenflächen 43, 44 und 45. Ihre von der gemeinsamen Spitze ausgehenden längeren Seiten 46, 47 und 48 haben die Länge )3 L. Die jeweils kürzere Dreieckseite 49, 50 und 51 hat die Länge 02-L Die kleinere$ stumpfe Pyramide 42, hat die drei untereinander gleichen dreieckigen Seitenflächen 52, 53 und 54.
Ihre von der gemeinsamen stumpfen Spitze ausgehenden kleineren Seiten 55, 56 und 57 haben die Länge 0-L. Die ihnen ebenfalls zugehörigen größeren Dreiecklieiten 49, 50 und 51 , die ebenso zur Pyramide 41 gehören, haben die Länge #2-L L. In der perspektivischen Darstellung in Fig. 4 erscheinen die Seiten 46 und 56 in ihrer wahren Größe.
Wie die Kennzeichnung des Tristomos t'' andeutet, wird er als Grundkörper von vornherein in einer Größenstufe verwendet, in der die Seiten seiner Dreiecksflächen um den Faktor größer sind als die vergleichbaren Seiten der Grundkörper Dodekaeder d, Skene s und Aetos a. In einer um den Faktor oder + kleineren Größen stufe ist der Tristomos zwar ausführ-Dar, jedoch für die Bildung zusammengesetzter Körper ohne Bedeutung. Daher wird er in einer dieser Größenstufen hier nicht weiter erwähnt.
Bei dem in Fig. 5 in der Mitte arlgeordneten regelmäßigen Fünfeck 58 kann man die fünf Seiten mit der Länge L nach beiden Seiten hin verlängern, bis jeweils zwei solcher Verlängerungen einander schneiden. Diese von Schnittpunkt zu Schnittpunkt verlaufenden Strecken bilden ein Pentagranlm. Wenn man die Spitzen dieses Pentagramms durch Geraden miteinander verbindet, erhalt man ein vergrößertes Fünfeck 59. Die außerhalb des kleineren Fünfecks 58 gelegenen Abschnitte der der-Pentagrammseiten haben die Länge +L. Die Seiten des größeren Fünfecks 59 haben die Länge e L Diese Verhältnisse ergeben sich aus den Gesetzmäßigkeiten des Goldenen Schnittes. Die Zahl + ist die Zahl des Goldenen Schnittes. Sie hat den Wert 1,168... . Diese Erscheinung, daß die Vergrößerung oder Ausdehnung einer Grundfigur erst in der zweiten Ausdehnungsstufe mit dem Vergrößerungsode Ausdehnungsfaktor Q wiedei zur gleichen Gestalt führt, tritt auch bei der Bildung zusammengesetzter Körper aus den Grundkörpern auf. Als Bezugsgröße für die Kennzeichnung der Ausdehnungsstufe aller dieser Körper wird im allgemeinen die kürzeste an ihnen vorhandene Kantenlänge herangezogen. Bei dem Fünfeck 58 in Fig. 5 ist das eine der Seiten mit der Länge L und beim Fünfeck 59 eine der Seiten mit der Länge 02-L. Beim Dodekaeder d oder d' ist es die Seite einer der Fünfeckflächen 20 oder 20' mit der Länge L bzw. 0- L. Bei der Skene s oder s' ist es eine der Seiten 25 bzw. 25' der Basisfläche 23 bzw. 23' mit der Länge L bzw. #.L. Beim Aetos a oder a' igt es die durch die Dreieckseite 40 bzw. 40' gebildete Kante mit der Länge L bzw. 0 L. Lediglich beim Tristomos t" (Fig. 4) wird nicht eine der kürzesten Kanten, die Dreieckseiten 55, 56 und 57, sondern eine derjenigen Kanten 49, 50 und 51 als Bezugsgröße herangezogen, die die gemeinsame Basisfläche der beiden Pyramiden 41 und 42 bilden.
Diese Bezugsgröße hat die Länge ¢2 L, worauf die Bezeichnung t" zurückgeht.
Im folgenden wird anhand Fig. 6 ... 15 die Bildung einiger zusammengesetzter Körper aus den Grundkörpern nach Fig. 0 ... 4 erläutert.
Bei dem aus Fig. 6 ersichtlichen Körper 60 ist auf jede der zwölf Fünfeck-Flächen 20 eines jetzt nicht mehr sichtbaren Dodekaeders d (Fig. 1) je eine Skene s (Fig. 2) aufgesetzt, von denen einige zur Verdeutlichung bezeichnet sind. Die Spitzen von je drei einander benachbarten Skenen kann man als Ecken eines gedachten Dreiecks betrachten. Diese gedachten Dreiecke stellen die zwanzig regelmäßigen Flächen eines Ikosaeders dar. Ein solches JI<osaeder stellt demnach die erste Aufbau- oder Ausdehnungsstufe eines Dodekaeders dar, wie es in Fig. 5 bei den Pentagramm im Verhältnis zum Fünfeck 58 der Fall ist.
Aus Fig. 7 und 9 ist ein als laros (Möwe) 1' bezeichneter zusammengesetzter Körper ersichtlich, der bei der Bildung anderer zusammengesetzter Körper höherer Ausdehnungsstufe gewissermaßen als Zwischenkörper sehr nützlich ist. Dadurch wird sowohl der Zusammensetzvorgang wie auch die Erläuterung und das Verständnis dieses Vorganges wesentlich vereinfacht und erleichtert.
Aus der Explosionsdarstellung in Fig. 8 ist ersichtlich, daß der Laros 1" aus einem Dodekaeder d, aus vier Skenen s und aus einem Aetos a zusammengesetzt. wird. Die vier Skenen s sind lediglich zur Erleichterung der Erläuterung und des Verständnisses innerhalb dieser Dar;tellung mit sl ... s4 durchnummeriert. Sie sind an sich beliebig austauschbar.
Das Dodekaeder d bildet den Zentralkörper des Laros 1P'. Es ruht auf einer als Bodenfläche bozeichneten Fünfeckfläche Auf seine von der Bodenfläche abgekehrten Deckfläche 61 wird die eine Skene sO aufgesetzt. An zwei einander benachbarten Fünfeckflächen 62 und 63 der unteren Reihe die zugleich der Bodenfläche benachbart sind, wird ebenfalls je eine Skene s2 bzw. s3 angesetzt. Die vierte Skene s4 wird an derjenigen Fünfeckfläche 64 der unteren Reihe angesetzt, die von den beiden erstgenannten Fünfeckflächen 62 und 63 am weitesten entlernt gelegen ist und durch je eine frei bleibende Fünfeckfläche von ihnen getrennt ist. Zwischen den beiden einander benachbarten Skenen s2 und s3 wird der Aetos a in der Weise eingefügt, daß seine beiden k3eirieren Dreieckflächen 33 und 34 an den einander zugekehrten SeittXnfläcilen der beiden Skenen u2 und s3 anliegen. Aus Fig. 9 ist der Laros 1 " aus einer anderen 3etrachtungsrichtung ersichtlich, bei der die Skene s4 von den übrigen Teilen verdeckt ist.
Aus Fig. 10 ist eine Skene s " ersichtlich, die die zweite Ausdehnungsstufe der als Grundkörper dienenden Skene s darstellt.
Sie wird zusammengesetzt aus einem Dodekaeder d, sechs Skenen s und fünf Aetoi a. Nur fiir diese Darstellung sind die sechs Skenen mit sl ... s6 und die fünf Aetoi mit al ...
durchnummeriert.
Das Dodekaeder d bildet auch hier wieder den Zentralkörper der Skene s''. Diese Skene s" ist auf die Spitze gestellt.
Daher liegt die als Bodenfläche 65 dienende Fünfeckfläche des Dodekaeder d in Fig. 10 oben, wo sie sichtbar ist. An die fünf Füfeckflächen des Dodekaeder d, die seiner Bodenfläche 65 benachbart sind und diese ringsum umgeben, sind die Skenen sl ... s5 angesetzt. In die Aussparungen des dadurch entstandenen pentagrammförmigen Sterns ist je einer der Aetoi al ... a5 eingefügt und dadurch die Basisfläche der Skene s" zu einem Fünfeck geschlossen. Die längste Kante 39 (Fig. 3) dieser Aetoi mit der Länge #² bildet eine Seite dieses Fünfecks der Basisfläche, weshalb die Skene die Bezeichnung 3 § hat An der von der Grundfläche 65 abgekehrten nicht sichtbaren Deckfläche des Dodekaeder d wird die letzte Skene s6 angesetzt und dadurch die Skene s" vervollständigt.
Aus Fig. 11 und 12 ist ausschnittweise die Bildung eines Dodekaeders d " l ersichtlich, dessen Fünfeckflächen die Seitenlänge 0s-L L haben. Der dargestellte und erläuterte Ausschnitt betrifft die Bildung einer snlchen Fünfeckfläche.
Die Bildung des Dodekaeders d''' dil' geht aus von einem Ikosaeder i" (Fig. 11). Dieses Ikosaeder iP' geht seinerseits aus von dem aus Fig. 6 ersichtlichen Körper 60. Bei diesem wird zwischen je zwei Skenen s ein Aetos a eingefügt. Dadurch entsteht das Ikosaeder i'' in Fig. 10. Von den Skenen s des Körpers 60 sind nur noch die Spitzen zu sehen, die der Deutlichkeit halber mit einem kleinen schwarzen Kreis versehen sind. Einige von ihnen sind in Fig. 11 mit al ... s5 durchnummeriert. Die Spitzen der Skene s werden durch die außell liegenden Kanten der Aetoi a miteinander verbunden. Diese Kanten spannen die Dreiecksflächen des Ikosaeders i" auf. Diese Kanten haben die Länge XJL, woraus sich die Bezeichnung 1' des Ikosaeders ableitet.
Aus Fig. 12 sind die Grundkörper und Zwischenkörper zu ersehen, die zusammengefügt und mit dem Ikosaeder i'' aus Fig. 11 vereiniyt eine Fünfeckfläche eines Dudekaeders d' ' ergeben. Dazu gehören fünf Laroi l "1 ... 0 :5, fünf Tristomol t''1 ... t " 5, fünf Aetoi a'l ... a'5 und eine Skene s'.
Die Laroi 1 "1 ... 1''5 sind Zwischenkörper, die gemäß Fig. 7 und 8 aus den dort angegebenen Grundkörpern zusammengesetzt werden. Da sie in größerer Anzahl benötigt werden, ist die Darstellung und Erläuterung eines-Zusammensetzvorganges übersichtlicher, wenn man sich der Laroi als gesondert zusammengesetzter abgegrenzter Zwischenkörper bedient, anstatt immer bis zu ihren Grundkörpern zurückzugehen.
Mit den aus Fig. 12 ersichtlichen Grundkörpern und Zwischenkörparn wird von dem nicht sichtbaren Dodekaeder d im Zentralkörper des Ikosaeders i'' diejenige Fünfeckfläche bis zur Fünfeckfläche in der Ausdehnungsstufe d''' " ' erweitert, auf der die Skene s3 aufgesetzt ist. Um diese Skene s3 herum sind fünf Aetoi a angeordnet.
An deren anderem Ende schließen jeweils weitere Aetoi a an, die an den Skenen sl, s2, s4 und s5 sowie an einer verdeckten benachbarten Skene anliegen, so daß ihre längste Kante 39 (Fig. 3) die Spitze der Skenen sl, s2; s2, s3; s3, s4; s4, s5; s5, sl verbinden. Die an der Skene s3 anliegenden Aetoi a und je zwei der ihnen benachbarten Aetoi umgeben tünf Vertiefungen oder Hohlräume in Form einer dreiseitigen Pyramide. Deren Ausbildung und Abmessungen entsprechen genau der kleineren stumpfen Pyramide 42 eines Tristomos t" (Fig. 4). In je einem dieser Hohlräume wird je einer der Tristomol t ''1 ... t''5 eingesetzt, die in Fig 12 strahlenförmig um das Ikosaeder i" herum in der Weise angeordnet sind, daß (in perspektivischer Darstellung) ihre Mittelachse jeweils auf die Spitze des zugeordneten Hohlraumes ausgerichtet ist. Bei den Tristomoi t"2, t"4 und t"5 ist die Verlängerung ihrer Mittelachse als Verschieberichtung durch eine gepunktete Linie 66, 67 bzw. 68 angedeutet. In die Strahlenkrone aus den fünf Tistomoi t''1 ... t " 5 werden die kranzförmig angeordneten Laroi 1''1 ... 1 " 5 eingesetzt. Die Laroi 1 "1 ... 1' 4 sind bereits in der endgültigen gegenseitigen Anordnung dargestellt, in der sie mit je einer Kante aneinander anstoßen, wie es zwischen dem Laros 1 " 3 und dem Laros 1 " 4 erkennbar ist. Der Laros 1 " 5 ist lediglich zur Verbesserung der Übersichtlichkeit der Fig. 12 und zur Verdeutlichung des Zusammensetzvorganges gegenüber dem Kranz der übrigen vier Laroi versetzt dargestellt. Er wird in der durch die beiden gestrichelten Linien 69 und 70 angedeuteten Verschieberichtung bis zur Anlage an den Kanten der beiden benachbarten Laroi an diese angesetzt. In der Einsetzrichtung oberhalb des Kranzes der Laroi sind die fünf Aetoi all ... a'5 ebenfalls kranzförmig zusammengefügt. Sie werden in den sternenförmigen Hohlraum innerhalb des Kranzes der Laroi in der Verschieberichtung eingefügt, die durch die gestrichelten Linien 71, 72 und 73 angedeutet ist, die von der außen liegenden Spitze des Aetoi a2, a3, bzw. a4 ausgehen.. Der pyramidenförmige Hohlraum innerhalb des Kranzes der Aetoi wird durch die Skene s' ausgefüllt. Die jeweils oben liegende Fläche der Laroi 1"1 ... .
der Aetoi al ... a'5 und die Bodenfläche 74 der Skene s' bilden zusammen eine der Fünfeckflächen des Dodekaeder d' '.
Die übrigen Fünfeckflächen des Dodekaeder d''' werden in gleicher Weise aufgebaut, wobei die Tristomoi t''] ... t"5 zugleich auch zum Aufbau der benachbarten Fünfeckflächen beitragen.
Aus Fig. 13 und 14 sind die Grundkörper und Zwischenkörper zu ersehen, aus denen ein Aetos a''' zusammengesetzt wird.
Dazu gehören ein Laros 1" (Fig. 7) als Zwischenkörper sowie vier Skenen sl ... s4, zehn Atoi al ... a10 und zwei Tristomoi t "1 und t"2. Wie aus Fig. 13 ersichtlich ist, sind an jeder Skene sl ... s4 je zwei Atoi al, a2; a3, a4; a5, a6 bzw. a7, aß eingefügt. Dadurch entsteht je ein Zwischenkörper in Form eines Aetos a'0 ... a'-4, die äußerlich gleich einem zu den Grundkörpern gehörenden größeren Aetos a' sind. Der Zwischenkörper a'2 wird in Richtung der gestrichelten Linien 75, 76 und 77 bis an die vom Betrachter abgekehrte Unterseite des Laros 1" von links herangeschoben. In gleicher Weise wird der Zwischenkörper a'4 entlang der gestrichelten Linien 78, 79 und 80 von rechts her an die abgekehrte Seite des Laros 1 " herangeschoben. Der Zwischenkörper a'O wird auf die Dreieckfläche 81 des Laros 1" aufgesetzt. Der Zwischenkörper a'3 wird auf die Dreieckfläche 82 des Laros 1Pg aufgesetzt. Der Aetos a9 wird an der vom Betrachter abgekehrten oberen Außenseite des Zwischenkörpers a'l und zugleich an der linken sichtbaren Außenseite des Zwischenkörpers a'2 angefügt.
Der Aetos a10 wird an der vom Betrachter abgekehrten oberen Außenseite des Zwischenkörpers a'3 und zugleich an der rechts unten gelegenen Außenseite des Zwischenkärpers a'4 angefügt.
Dadurch entsteht der aus Fig. 14 ersichtliche Zwischenkörper 83.
Dessen beide links und rechts gelegenen Stirnseiten sind pyramidenförmige Hohlräume, von denen der rechts gelegene Hohlraum 84 teilweise sichtbar ist. Diese beiden Hohlräume haben die Negativform der stumpfen kleinen Pyramide 42 eines Tristomos t" (Fig. 4). In den linken Hohlraum wird der Tristomos t "1 und in den rechten Hohlraum 84 der Tristomos t"2 eingesetzt. In diesem vollständig zusammengefügten Zustand bilden alle genannten Teile einen Aetos a " '.
Aus Fig. 15 ist die Bildung sowohl eines Tristomos t " ' wie auch eines Tristomos t' " ' zu ersehen.
Der Tristomos t''' | wird zusammengesetzt aus einem Grundkörper-Tristomos t "1 und aus einem Zwischenkörper 84. Der Zwischenkörper 84 entsteht dadurch, daß bei der Bildung des Zwischenkörpers 83 nach Fig. 13 am Laros 1'' nur die links von ihm dargestellten Zwischenkörper a'l und a'2 sowie der Aetos a9 angefügt werden und die recht; dargestellten Zwischenkörper a'3 und a'4 sowie der Aetos. a10 weggelassen werden. An diesen Zwischenkörper 84 wird der Tristomos t''] angefügt und dadurch bereits der Tristomos t''' gebildet.
Für die Bildung des Tristomos t'''' werden neben dem Tristomos t' " als weitere Grundkörper und Zwischenkörper benötigt: drei Skenen sl ... s3, neun Aetoi a, von denen nur die sieben Aetoi al ... a7 sichtbar sind, vier Tristomol t''2 ... t " 5, drei Laroi 1"1 ... 1 ''3 und drei größere Aetoi a', von denen nur die beiden Aetoi a'l und ;'2 sichtbar sind.
Zunächst werden die drei Skenen sl ... s3 und die sieben Aetoi al ... a7 einschließlicl) der nicht sichtbaren beiden Aetoi zu einer Art Zwischenkörper 85 zusammengesetzt, der ähnlich gebildet wird wie in lig. 11 der rechts oben gelegene Teil des Ikosaeders i". Beim Zwischenkörper 85 und beim Ikosaeder i'' haben die drei kenen sl ... s3 die gleiche Nummerierung und Anordnung. B.i dem kappenförmigen Zwischenkörper 85 bleiben ein Teil dei außen gelegenen Seitenflächen der drei Skenen s1 ... s3 unbedeckt. Ahnlich wie beim Ikosaeder 1'' weist der Zwisehenkörper 85 vier pyramidenförmige Hohlräume oder Vertietungen auf. Die von den drei Skenen sl ... s3 umgebene Verliefung liegt in der Mitte des Zwischenkörpers 85. An jeder ihrer drei Drei eckkan ten schließt nach außen hin je eine weitere gleichartige Vertiefung an. Auf der vom Betrachter abgekehrten Unterseite weist der Zwischenkörper 85 eine größere Vertiefung in Form einer stumpfen Hohlpyramide auf, welche eine Negativform der freien Stirnseite des Zwischenkörpers 84 darstellt. Auf diese freie Stirnseite des Zwis.henkörpers 84 wird der kappenförmige Zwischenkörper 85 aufge;etzt.
In die auf der größtenteils siciltbaren Außenseite des Zwischenkörpers 85 vorhandenen vier hohipyramidenförmigen Vertiefungen wird je einer der Tristomol t'';9 7 t"5 eingesetzt. Dabei steht der Tristomos ti'5 in der Mitte, wobei seine Längsachse mit der Längsachse des Tristomo t''1 und des Zwischenkörpers 84 sowie auch des Zwisciienkörpers 85 fluchtet. Dieser Tristomos t " 5 wird von den anderen drei Tristomoi t''2 .. t " 4 in regelmäßigem Abstand umgeben. Der Zwischenraum zwischen diesen vier Tristomol wird durch einen haubenförmigen Zwischenkörper 86 ausgefüllt.
Der Zwischenkörper 86 wird aus den drei Laroi 1''1 ... 1''3 und aus den drei größeren Aetoi a' zusammengesetzt. Die drei Laroi 1''] ... 1''3 werden kranzförmig so angeordnet, daß ihre Spitzen 87, 88 bzw. 89 wie bei einem dreistrahligen Stern nach außen gerichtet sind. Die dabei zwischen ihnen entstehenden spaltförmigen Zwischenräume werten durch je einen der Aetoi a' ausgefüllt, so daß die in Fig. 15 rechts gelegene geschlossene Außenseite des Zwischenkörpers 86 eine stumpfe dreiseitige Pyramide bildet. Diese ist zugicMich die Außenseite des Tristomos t' " '. Durch diese Anordnung der Laroi 1''1 ... 1''3 und der Aetoi a' entsteht im Inneren des Zwischenkörpers 86 ein schlanker pyramidenförmiger HohJraum. Dieser hat genau die Anordnung und die Abmessungen der größeren spitzen Pyramide 41 eines Tristomos t", so daß der auf dem kappenförmigen Zwischenkörper 85 in der Mitte stehende Tristomos t'"5 genau in diesen Hohlraum hineinpaßt und ihn ausfüllt, wenn der Zwischenkörper 86 auf den Zwischenkörper 85 aufgesetzt ist. Dabei legen sich gleichzeitig die außen stehenden Tristomoi t"2 ... t"4 an einer der Außenflächen des ihnen benachbarten Laros an.
Am Laros 1"1 ist das die auf der linken Seite sichtbare Dreiecksfläche 90. An dieser legt sich die vom Betrachter abgekehrte Seitenfläche der längeren Pyramide 41 (Fig. 4) des Tristomos t"3 an. Die von dieser Seitenfläche abgekehrte Kante 91 des Tristomos t"3 bildet dann am Zwischenkörper 86 die von der Spitze 87 ausgehende Pyramidenkante die sich in der Kante 92 des Zwischenkörpers 84 und in der Kante 93 des Tristo-;nos t"1 bis zur Spitze 94 des zusammengesetzten Tristomos t"" fortsetzt. In gleicher Weise stellen die entsprechenden Kanten der Tristomol t "2 und t"4 die Verbindung von der Spitze 88 bzw. 89 am Zwischenkörper 86 über die entsprechenden Kanten des Zwischenkörpers 84 und des Tristomos t"1 zur gemeinsamen Spitze 94 des Tristomos t" " her.
Das Zusammenfügen von Grundkairpern zu zusammengesetzten Körpern gleich welcher Art wird dadurch erleichtert, daß die Grundkörper an ihren Seitenflächen Haftelemente und/oder Verbindungselemente aufweisen. Da die Grundkörper mit ihren Fünfeckflächen oder Dreieckflächen immer nur in einer ganz bestimmten Ausrichtung aneinander anliegen, genügt es, wenn die Haftelemente und/oder Verbindungselemente nur an einigen wenigen Stellen vorhanden sind. Bei den Fünfcckflächen sind das die Mittelsenkrechten der Fünfeckseiten. Bei den Dreieckflächen ist das die Mittelsenkrechte, insbesondere derjenigen Dreieckseite, welche die beiden gleichlangen Drei(ckseiten miteinander verbindet, so daß die Mittelsenkrechten sowohl eine Winkelhalbierende für diese anderen beiden Dreieckseiten wie auch eine Symmetrielinie der betreffenden Dreieeksfläche bilden.
Eine in den Zeichnungen nicht dargestellte Ausführungsform der Haftelemente wird durch Dauermagnete und durch ferromagnetische Ankerplättchen gebildet, die in den Seitenflächen der Grundkörper bündig eingelassen sind. Beim Dodekaeder wird nur eine Art der Haftelemente angebracht, beispielsweise die Dauermagnete. Bei den anderen Grundkörpern kann man entweder ebenfalls je eine Art Haftelemente verwenden, oder man kann die Haftelemente im Wechsel anbringen. Lotzteres bedeutet beispielsweise, daß an den Fünfeckflächen der Skenen s Ankerplättchen angebracht sind, und an den dreieckförmigen Seitenflächen wiederum Dauermagnete. Bei den Aetoi a sind dementsprechend an den kleineren Dreieckflächen Ankerplättchen und an den größeren Dreieckflächen Dauermagnete angebracht. Bei den Tristomoi sitzen an den Dreieckflächen der kleineren stumpfen Pyramide Ank erplättchen und an den Dreieckfläcllen der größeren spitzen Pyramide Dauermagnete.
Anstelle der Dauermagnete und Ankerplättchen kann man auch Adhäsive verwenden, die bevorzutjt an den gleichen Flächenbereichen angebracht werden,wie das zuvor im Bezug auf die Dauermagnete und Ankerplättchen angegeben wurde. Als Adhäsive kann man Daueradhäsive verwenden, die durch bloßes Aneinanderanlegen der Adhäsionsflächen eine Haftwirkung ergeben. Man kann aber auch durch Druck aktivierbare Adhäsive verwenden, die ihre Adhäsionswirkung nach dem AufeinanderlegeP der Adhäsionsflächen durch eine zusätzliche Druckeinwirkung zwischen den beiden Adhäsionsflächen voll entwickeln. Soweit dabei Adhäsive mit zwei verschiedenen Komponenten eingesetzt werden, kann deren Verteilung im Wechsel wiederum wie bei den Dauermagneten und Ankerplättchen vorgenommen werden.
Als Verbindungselemente kommen vor allem Nut- und Federverbindungen in Betracht. Zweckmäßigerweise werden dabei die Nuten in den Außenflächen der Grundkörper angeordnet und die Federn als einsteckbare oder einschiebbare Einzelteile ausgebildet. Dadurch werden an den Außenflächen der Grundkörper Vorsprünge vermieden.
Die Anordnung der Nuten erfolgt am besten wieder wie bei den Dauermagneten und Ankerplättchen, wobei die Nuten in Richtung der Mittelsenkrechten der benachbarten Kante ausgerichtet sind.
Die Nuten können zur benachbarten Kante hin vor dieser abgeschlossen sein, so daß eine durchgehende Kante erhalten bleibt.
Die Nuten können aber auch bis zur Kante hin offen sein. Dann können die Federn nicht nur quer zur Längsrichtung der Nuten in diese eingesetzt werden, sondern auch in der Längsrichtung der Nuten in diese eingeschoben werden. Das erleichtert das nachträgliche Anbringen der Federn. Dann können in zwei in der Längsrichtung miteinander fluchtenden und ineinander übergehenden Nuten die Federn etwa mittig zur Fuge zwischen den beiden nebeneinander liegenden Grundkörpern eingesetzt werden und dadurch auch in Längsrichtung eine Verbindung herstellen. In dem Falle, daß die miteinander zu verbindenden Flächen zweier benachbarter Grundkörper auf der Außenseite des zusammengesetzten Körpers liegen, kann man Federn mit halber Höhe verwenden, die dann nicht über die Außenfläche des zusammengesetzten Körpers vorstehen.
Aus Fig, 16 ist ein Dodekaeder d ähnlich dem aus Fig. 1 ersichtlicht Hier sind nur der besseren Übersichtlichkeit wegen die unsichtbaren Kanten nicht angedeutet. An der einen Fünfeckfläche 101 und zum Teil an den angrenzenden Fünfeckflächen sind Nuten 102 dargestellt, die den einen Teil der Nut- und Federverbindungen bilden. Diese Nuten 102 sind in der Mitte der Fünfeckseiten angeordnet und in Richtung der Mittelsenkrechten der Fünfeckseiten ausgerichtet. Sie sind zur benachbarten Kante des Dodekaeders hin offen, so daß die Nuten zweier aneinander angrenzender Fünfeckflächen mt einem Knick ineinander überg eh en.
Die Nuten können mit ebenen und zueinander parallelen Seitenwänden ausgebildet sein, wobei die Federn ebenfalls zueinander parallele Seiten flächen haben. Die Dicke dieser Federn ist auf die lichte Weite der Nuten so abgestimmt, daß zwischen den Nutwänden und den Federn mindestens eine tibergangspassung oder noch besser eine leichte Preßpassung vorhanden ist, die nach dem Einsetzen oder Einschieben der Federn in die Nuten eine gewisse Haltekraft für die Teile untereinander ergibt. Dafür können die Federn und/oder die Nutwände mit einer gewissen Form- oder Werkstoffelastizität normal zu den betreffenden Wandflächen versehen sein.
Aus Fig. 17 ... 21 ist eine gegenüber den vorangehenden Darlegungen abgewandelte Ausführungsform der Nut-und-Federverbindung ersichtlich. In den beiden ausschnittweise dargestellten Grundkörpern 103 und 104 von beliebiger Gestalt sind Nuten 105 vorhanden, die untereinander gleich ausgebildet sind, insbesondere die gleiche Querschnittsform haben. Ihre Seitenwände 106 streben von der Nutöffnung aus zum Nutgrund hin leicht auseinander, so daß die Seitenwände der Nuten gewissermaßen einen Hinterschnitt gegenüber ihrer Öffnung haben. In diese Nuten werden Federn 107 eingesetzt, die beispielsweise die aus Fig. OB ersichtliche Querschnittsform haben. Sie habe eine Höhe die geringfügig kleiner bis annähernd gleich der Gesamthöhe zweier aufeinander liegender Nuten 105 (Fig. 17) isL. Ihre Seitenwände 108 sind zueinander parallel angeordnet. I)er äußere Abstand dieser Seitenwände 108, d. h. die Dicke der Federn 107, ist zumindest annähernd so groß wie die lichte Weite der Nuten 105 in der Nähe ihres Nutgrundes. Die Federt 107 weisen im Inneren einen über einen weiten Bereich ihrer höhe reichenden Hohlraum lG9 auf, so daß ihre Seitenwände 108 einwärts federn können. Die lichte Weite des Hohlraumes 109 ist so bemessen, daß die Federn 107 bis auf diejenige Dicke zusammengedrückt werden können, die gleich der Weite der Nutöffnung ist, so daß die Feder 107 quer zu ihrer Längsrichtung in eine Nut 105,beispielsweise des Grundkörpers 104, eingesetzt werden kann, und daß umgekehrt ein Grundkörper 103 mit seiner Nut 105 auf die im anderen Grundkörper sitzende Feder 107 aufgesetzt werden kann, wie aus Fig. 19 ersichtlich ist. Infolge dieser Gestaltung der Nuten 105 und der Formelastizität der Feder 107 wird normal zur Trennfuge der beiden Grundkörper 103 und 104 eine gewisse Haltekraft zwischen den beiden Grundkörpern erreicht.
Die Formelastizität der Federn 107 hat gegenüber der Werkstoffelastizität einer vo:lwandigeri Feder den Vorteil, daß sie auch in seitlicher Richtung, d. h. in Richtung der Trennfuge, eine höhere Führunyskraft auszuüben vermag. Das gilt insbesondere dann, wenn der Hohlraum 109 innerhalb der Feder 107 mit einer lichten Weite ausgeführt ist, daß bei eingesetzter Feder die Innenseiten ihrer Wände in Höhe der Trennfuge an einander anliegen, d. h. der in Fig. 19 nur der anschaulicheren Darstellung wegen gezeichnete Abstand nicht vorhanden ist.
Aus Fig. 20 und 21 ist eine Feder 110 ersichtlich, die nur die halbe Höhe der Feder 107 hat und die damit vollständig, ohne Überstand, in die Nut 105 des Grundkörpers 103 eingesetzt werden kann. Irn übrigen gleicht die Feder 110 weitestgehend der Feder 107. Diese Feder 110 wird dann verwendet, wenn an den Grundkörper 103 ein zweiter Grundkörper 111 nicht gegenüber, sondern neben ihm angefügt wird, und bei beiden Grundkörpern die Außenfläche gleichzeitig eine Außenfläche des zusammengesetzten Körpers bildet, so daß dort überstehende Federn nicht erwünscht sind. Diese Feder 110 wird daher in die miteinander fluchtenden und ineielander übergehenden Nuten 105 des Grundkörpers 103 und 111 in der aus Fig. 21 ersichtlichen Weise eingesetzt. Diese Einsatzart der Feder 110 ist auch mit einer Feder 107 möglich, wenn die Grundkörper an der Verbindungsstelle sowohl einander gegenüber wie auch nebeneinander liegen.
Bei den bisherigen Erläuterungen war stets davon ausgegangen worden, daß die sieben Grundkörper in vollflächiger Ausführungsform vorliegen, wobei sie massiv oder auch hohl sein konnten.
Im folgenden wird anhand Fig. 22 bis 27 eine abgewandelte Form der sieben Grundkörper und der damit zusammengesetzten Körper erläutert, bei der die Grundkörper als Gitterkörper ausgebildet sind, die ihrerseits aus fünf Grundbauteilen hergestellt werden, nämlich aus untereinander gleichen Eckenkörpern E und aus einer bestimmten Auswahl Verbindungsstäbe V1, V2, V3 und V4, mit insgesamt vier Längenstufen. Bei dieser abgewandelten Ausführungsform der Grundkörper werden ihre Körperkanten durch de Verbindungastäbe dargestellt. Dabei bleiben die t'Flächen" dieser Grundkörper frei und somit die Grundkörper selbst und die aus ihnen zusammengesetzten Körper weitgehend durchschaubar.
Bei der abgewandelten Ausführungsform der Grundkörper sind die Eckenkörper nur aus technischen Gründen vorhanden, um die als Körperkanten dienenden Verbindungsstäbe in ihrer richtigen räumlichen Zuordnung festzuhalten. Die "Ecken" der Grundkörper muß man sich daher im Mittelpunkt der Eckenkörper vorstellen, in welche beim Aufbau der Körper die Verbindungsstäbe mit ihren Enden hin eingesteckt werden. Diese Eckenkörper könnten je nach der Art der mit ihnen zu bildenden Ecke einzeln darauf abgestimmt sein. Zweckmäßiger ist es jedoch, von einer einzigen Ausführungsform des Eckenkörpers E auszugehen, die für alle vorkommenden Eckverbindungen verwendet werden kann, wie sie beispielsweise bei den zusammengesetzten Körpern nach Fig. 6 bis 15 auftreten können. Diese untereinander gleichen Eckenkörper E sind als regelmäßige Körper ausgebildet, die für die Aufnahme der Enden der Verbindungsstiibe V1 ... V4 dreißig Ausnehmungen aufweisen. Diese im einzelnen nicht dargestellten Ausnehmungen der Eckenkörper E sind kreiszylindrisch ausgeführt, soweit die Verbindungsstäbe bevorzugt als zylindrische Stäbe mit kreisrundem Querschnitt ausgebildet sind und soweit eine einfache Steckverbindung zwischen den Verbindungsstäben V1 ... V4 und den Eckenkörpern E erwünscht ist. Die Achse einer jeden Au sn ehmung ist in Bezug auf den Mittelpunkt des Eckenkörpers E radial ausgerichtet. Räumlich sind die Ausnehmungen so angeordnet oder, mit anderen Worten, auf dem Umfang des Eckenkörpers E so verteilt, daß ihre Achse durch je eine dreißig Kantenmitten eines mit dem Eckenkörper C konzentrischen regelmäßigen Ikosaeders hindurchgeht.
Ein solches Ikosaeder ist in lig. 22 perspektivisch dargestellt.
Dabei sind die vom Mittelpunkt des Ikosaeders ausgehenden Halbachsen der ihnen entsprechenden Ausnehmungen eingezeichnet, die bei einem ausgeführten Eckenkörper auf der dem Betrachter zugewandten Seite sichtbar sind. Sie sind von der Halbachse 1 ausgehend gruppenweise im Gegenuhrzeigersillne, d. h. im mathematisch positiven Sinne, durchnumeriert. Von der Halbachse 1 haben die übrigen Halbachsen folgenden Winkelabstand: Halbachse Nr. Winkelabstand 1 ovo 2, 3, 4, 5 360 6, 7, 8, 9 600 10, 11, 12, 13 720 14, 15, 16, 17 900 18, 19, 20, 21 1080 22, 23, 24, 25 1200 26, 27, 28, 29 1440 30 1000.
In Fig. 22 ist zusätzlich die Umrißlinie einer Kugel K eingezeichnet, die konzentrisch zu diesem Ikosaeder angeordnet ist, und die dieses Ikosaeder gerade bei den Kantenmitten, also bei den Durchstoßpunkten der Achsen der Ausnehmungen, berührt. Dabei ist zu beachten, daß bei dieser Projektionsart die Kugel nur durch ihren Schattenwurf dargestellt wird und somit als Ellipse erscheint.
Ebenfalls aus rein technischen (;runden werden die Verbindungsstäbe zwischen den Eckenkörpern E nicht so lang ausgeführt wie die Körperkanten, die sie darstellen sollen. Sie werden an beiden Enden um ein bestimmtes Maß verkürzt ausgeführt und der Rest der Körperkante durch den Eckenkörper überbrückt, in den sie eingesteckt werden. Die fiktive Länge der Verbindungsstäbe ergibt sich aus den Längen verhältnissen der Kanten der Grundkörper, die bei der Erläuterung der sieben Grundkörper anhand Fig. 1 bis Fig. 4 angegeben wurde. Die tatsächliche Länge der Verbindungsstäbe V1 ... V4 beträgt: vl = L - 2R + 2u v2 = + L - 2R + 2u v3 = pt.L L - 2R + 2u v4 = L - 2R + 2u.
Darin bedeutet: L die Grundlänge, die wenigstens das Doppelte des Halbmessers R der Eckenkörper E beträgt, R den Abstand der Mündung der Ausnehmungen vom Mittelpunkt des Eckenkörpers E, u die Eindringtiefe der Inden der Verbindungsstäbe V1 ... V4 in den Ausnehmungen des Eckenkörpers E, die von der Mündung der Ausnehmung aus messen wird, und die Zahl des Goldenen Schnittes.
In Fig. 23 bis 26 sind die gleichen vier Grundkörper wie in Fig. 1 bis 4 in der abgewandelten Ausführungsform dargestellt, nämlich in Fig. 23 ein Dodekaeder D, in Fig. 24 eine Skene S, in Fig. 25 ein Aetos A und in Fig. 26 ein Tristomos T". Auch hier ist der Tristomos T" als Grundkörper von vornherein in einer Größenstufe verwendet, in der die Kanten seiner Dreieckfläche um den Faktor )2 größer sind als die vergleichbaren Kanten der anderen drei Grundkörper in Fig. 23 bis 25.
Das Dodekaeder D (Fig. 23) wird aus zwanzig Eckenkörpern E und aus dreißig Verbindungsstäben V1 mit der Länge vl gebildet. Die in Fig. 23 unmittelbar bezeichneten beiden Verbindungsstäbe V1 erscheinen auch hier wieder in wahrer Größe, wohingegen die nicht näher bezeichneten übrigen Verbindungsstangen infolge der perspektivischen Darstellung verkürzt erscheinen.
Das große Dodekaeder D' wird ebenfalls aus dreißig Eckenkörpern E und aus dreißig Verbindungsstäben V2 gebildet. Letztere haben die Länge v2 gemäß der weiter oben stehenden Aufstellung. Beim großen Dodekaeder D' sind demnach die Mitten der Eckenkörper E um den Faktor ; r: weiter voneinander entfernt als beim Dodekaeder D.
Die Skene S (Fig. 24) wird aus sechs Eckenkörpern E, aus fünf Verbindungsstäben V1 mit der Länge vl und aus fünf Verbindungsstäben V2 mit der Länge v2 gebildet. Die fünf Verbindungsstäbe V1 bilden gemeinsam das Basis-Fünfeck der Skene S. Die fünf Verbindungsstäbe V2 bilden dazu gewissermaßen die Zeltstangen.
Die große Ckene S' wird entsprechend aus ebenfalls sechs Eckenkörpern E, aus fünf Verbindungsstäben V2 mit der Länge v2 und aus fünf Ve.rbindungsstäben V3 mit der Länge v3 gebildet.
Der Aetos A (Fig. 25) wird aus vier Eckenkörpern E, aus einem Verbindungsstab S1, , aus vier Verbindunysstäben V2 und aus einem Verbindungsstab V3 gebildet. Im Vergleich mit dem Aetos a aus Fig. 3 befinden sich der Verbindu,ngsstab V1 an der Stelle der kleinsten Dreieckseite 40, die vier Verbindungsstäbe V2 an der Stelle der Dreieckseiten 35, 36, 37 und 38 und der Verbindungsstab V3 an der Stelle der längsten Dreieckseite 39.
Der Tristomos T'' (rig. 26) wird aus fünf Eckenkörpern E, aus drei Verbindungsstäben V2, aus drei Verbindungsstäben V3 und aus drei Verbindungsstäben V4 gebildet. Von diesen Verbindungsstäben bilden die drei Verbindungsstäbe V2 die kleinere stumpfe Pyramide, die drei Ueróindungsstäbe V4 die größere schlanke Pyramide und die drei Verbindungsstäbe 113 die dreieckige Basisfigur, die den beiden Pyramidenteilen des Tristomos T' gemeinsam ist.
Die vorangehende Beschreibung der Grundkörper mit der abgewandelten Ausführungsform als Gittorkörper dient einerseits der Veranschaulichung des Aufbaues dieter Crulldkörper aus nur fünf Ein zelbauteilen und andererseits der Veranschaulichung der Übereinstimmung der abgewandelten Ausfiihrungsform mit den davor beschriebenen Ausführungsformen mit den Vollkörpern. Bei der Bildung zusammengesetzter Körper aus den (;itterkörpern werden diese nicht einfach aneinandergefügt, wie das bei den Vollkörpern der Fall war. Da ein Verbindungsstab nicht nur eine Körperkante des Ausgangskörpers darstellt sondern zugleich auch die entsprechende Körperkante jedes der an den Augangskörper unmittelbar anschließenden Körpers darstellt, werde für die anschließenden Körper nur so viele Bauteile nach einer bestimmten Auswahl an einem bereits vorhandenen Grundkörper oder zusammengesetzten Körper angefügt, daß mit den bereits vorhandenen Bauteilen der hinzuzufügende Körper zwar vollständig aber nicht selbständig entsteht.
Das wird anhand des aus Fig. 27 ersichtlichen zusammengesetzten Körpers verdeutlicht. Dabei erhalten die einzelnen Bauteile Bezugszeichen, bei denen an die Typbezeichnung, z. B. E oder V1, hinter einem Punkt ein Zählindex angefügt ist.
Als Ausgangskörper dient eine Skene S, die im Vergleich zur Skene S in Fig. 24 unter einem anderen Blickwinkel dargestellt ist, damit bei ihrer fünfeckigen Basisfigur die Eckenkörper E.1 ... E.5 mit größerem gelJenseitigem Abstand erscheinen und somit deutlicher sichtbar sind. Diese Eckenkörper E.1 ... r. 5 werden durch die Verbindunglìstäbe Vl.l ... V1.5 zur Basisfigur ergänzt. In die Eckenkörper E.1... E.5 sind außerdem die als "Zeltstäbe" erscheinenden Vrbindungsstäbe V2.1 ... V2.5 so eingesteckt, daß sie an der Spitze der Skene S zusammenlaufen. Dort werden sie durch den auf sie aufgesteckten Eckenkörper E.6 zusammengefaßt und zusammengehalten. An der durch die Eckenkörper E.1, E.5 und E.6 sowie durch die Verbindungsstäbe V1.5, V2.1 und 112.5 aufgespannten "Dreieckseite" der Skene S ist ein Aetos A in der aus Fig. 25 ersichtlichen Ausrichtung angefügt.
Die erwähnte Dreieckseite der Skene S stellt zugleich eine der Drsieckseiten des Aetos A dar. Zur Vervollständigung dieses Aetos A sind am Eckenkörper E.5 der Verbindungsstab V2.6, am Eckenkörper E.1 der Verbindungsstab V2.7 und am Eckenkörper E.6 der Verbindungsstab 113.1 so eingesteckt, daß sie alle drei am selben Eckpunkt des Aetos A zusammenlaufen. Dort ist der Eckenkörper E.7 aufgesteckt, der sie zusammenhält.
In sinngemäß gleicher Weise können alle anhand der Fig. 6 bis 15 beschriebenen und alle sonstigen zusammengesetzten Körper hergestellt werden. Dabei kann e; bei der Herstellung von Körpern einer höheren Größenstufe durchaus sinnvoll sein und die Anschaulichkeit verbessern, wenn man zunächst die dort erwähnten Zwischenkörper, wie etwa einen Laros gemäß Fig. 7 bis 10, herstellt, und diese Zwischenkörper dann erst mit dem vorliegenden Ausgangskörper vereinigt, indem man die jeweils doppelt vorhandenen Bauteile beim einen oder beim anderen Körper entfernt und die komplementären Bauteile miteinander vereinigt.
Die Eckenkörper E können als Kugeln ausgebildet sein, die lediglich durch die ebenen Mündungsr;inder ihrer dreißig Ausnehmungen etwas abgeflacht erscheinen. Die Eckerikörper können aber auch als dreißigflächiges regelmäßiges Polyeder geformt sein, bei dem jeweils in der Mitte seiner rautenförmigen Flächen eine der Ausnehmungen vorhanden ist.
Die Verbindung zwischen den Eckenkörpern und'den Verbindungsstäben kann auf einfache Weise dadurch erreicht werden, daß die Verbindungsstäbe auf ihrer ganzen Länge zylindrisch sind und die Eckenkörper dementsprechend zylindrische Ausnehmungen haben, die im Durchmesser so aufeinander al)gestilllmt sind, daß sich beispielsweise eine Schiebesitzpas:ìung ergibt. Da es für den einwandfreien Aufbau und die einwandfreie Darstellung der Grundkörper und der zusammengesetzten Körper darauf ankommt, daß die fiktiven Kantenlängen möglichst genau erreicht und eingehalten werden, ist es zweckmäßig, die Verbindung der Eckenkörper und der Verbindungsstäbe mit einem in der Achsrichtung der Verbindungsstäbe und der Ausnehmungen wirkenden Anschlag zu versehen.
Das kann dann beispielsweise dadurch erreicht werden, daß die Ausnehmungen als Sackloch ausgebildet sind, und die Enden der Verbindungsstäbe bis zur Anlage am Boden des Sackloches in die Ausnehmungen eingeschoben werden. Anstelle des Bodens des Sackloches kann dafür auch ein Absatz in der Ausnehmung dienen, wobei das übrige Sackloch noch etwas tiefer sein kann, um gegebenenfalls auch kleine Fremdkörper aufzunehmen, so daß diese den genauen Sitz der Verbindungsstät,e nicht beeinträchtigen können.
Ein solcher Absatz in der Ausnehmung kommt auch dann in Betracht, wenn die Ausnehmungen zur Gewichtsersparnis bei den Eckenkörpern als Durchgangslöcher ausgeführt werden. Ein solcher Absatz kann umgekehrt auch an den Verbindungsstäben vorgesehen werden, indem diese an ihren Enden auf einem der Eindringtiefe oder Einstecktiefe u entsprechenden Längenabschnitt mit kleinerem Außendurchmesser ausgeführt werden und die Übergangsfläche als ebene Kreisringfläche ausgebildet wird. In diesem Falle können an den Eckenkörpern die Ausnehmungen als glatte Durchgangslöcher oder zumindest als glatte Sacklöcher ausgeführt sein, deren Tiefe über das Maß u hinaus.beliebig groß sein kann.
Beim Zusammenfügen der Bauteile zu den Grundkörpern und zu zusammengesetzten Körpern, insbesondere beim §'5chließen" einer Figur wie beispielsweise in Fig. 27 beim Schließen der fünfeckigen Basisfigur der Skene S, beim Aufstecken des letzten Eckenkörpers E.6 auf die zusammenlaufenden Verbindungsstäbe V2.1 ... V2.5 oder beim Aufstecken des Eckenkörpers E.7 auf die zusammenlaufenden Verbindungsstäbe V2.6, V2.7 und V3.1 des Aetos A, tritt immer wieder der Fall auf, daß die erforderliche Relativbewegung eines dieser Bauteile, etwa eines der Eckenkörper, nicht mit der Lingsachse der Ausnehmungen dieses Eckenkörpers und nicht mit dr Längsachse der darin einzusteckenden Verbindungsstäbe fluchtet. Diese Schwierigkeiten lassen sich dadurch überwinden, daß entweder die Verbindungsstäbe in ausreichendem Maße biegeelastisch ausgeführt werden oder dadurch, daß für die Verbindung der Enden der Verbindungsstäbe mit den Eckenkörpern besondere Einsteckhülsen verwendet werden.
Diese Einsteckhülsen können .sis Klemmhülsen oder auch als Schraubhülsen ausgebildet sein. In beiden Fällen sind sie auf den Verbindungsstäben zumindest im Bereich deren Enden verschiebbar, und zwar zweckmäßigerweise im Rahmen einer Schiebesitzpassung. Dadurch können die Verbindungsstäbe bei zurückgezoyener Einsteckhülse frei in die Ausnehmung eines Eckenkörpers eingeführt werden und anschließend durch Einschieben der Einsteckhülse in die Ausnehmung hinein die Enden der Verbindungsstäbe in der richtigen Stellung festgehalten werden. Die Klemmhülsen sind entweder mit einer glatten Außenfläche versehen, deren Außendurchmesser mit dem Innendurchmesser der Ausnehmung gen in den Eckenkörpern etwa eine Schiebesitipassung ergibt, oder sie sind mit einzelnen elastisch nachgiebigen Elementen versehen, die sich an der Innenwand der Ausnehmungen mit einer gewissen Kraft elastisch anlegen und dadurch eine entsprechende Reibungskraft erzeugen. Bei der Verwendung von Schraubhülsen sind diese auf ihrer Außenseite mit einem Schraubengewinde und die Ausnehmungen an ihrer Innenwand mit einem darauf abgestimmten Muttergewinde versehen.
Die Verwendung von Einsteckhülsen kommt vor allem dann in Batracht, wenn etwa wegen größerer Abmessungen der Bauteile die Verbindungsstäbe als hohle Stangen ausgebildet werden sollen, deren Biegeelastizität geringer ist als sie für das Einführen der Enden der Verbindungsstäbe in die Ausnehmungen der Eckenkörper erforderlich wäre.
Die Schraubhülsenausführung der Einsteckhülsen ist dann vorzuziehen, wenn die Verbindungsstellen zwischen den Eckenkörpern und den Verbindungsstäben auch Haltekräfte von möglicherweise beträchtlicher Größe übertragen sollen,wie das zum Beispiel bei Gitterkonstruktionen für Bauwerke der unterschiedlichsten Art der Fall ist. Man kann mit Hilfe einer Auswahl aus den fünf Bauteilen zum Beispiel einen Hohlraum schaffen, indem man etwa ein Dodekaeder höherer Größenstufe - oder auc-h eine Hälfte davon - aufbaut, bei dem das sonst in seinem Inneren befindliche Dodekaeder - oder die Hälfte davon - geringerer Größenstufe entfernt ist. Die diesem Verfahren zugrunde liegende Aufbauweise wurde mit Vollkörpern anhand der Fig. 11 und 12 erläutert.
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Claims

Lehrgerät Ansprücne ehrgerät für die Bildung lückenlos zusammengesetzter körper aus Einzelkörpern, gekennzeichnet durch sieben Grundkörper, nämLich ein kleineres Dodekaeder (d), ein größeres Dodekaeder (d'), eine kleinere Skene (s), eine größere Skene (s), einen kleineren Aetos (a), einen größeren Aetos (a') und einen Tristomo. (t''), wobei das kleinere Dodekaeder a (Fig. 1) ein Polyeder ist, dessen zwölf Flächen aus regelmäßigen Fünfecken der Seitenlänge L gebildet sind, wobei das größere Dodekaeder (d') ein Polyeder ist, dessen zwölf Flächen aus regelmäßigen Fünfecken der Seitenlänge L gebildet sind, wobei die kleinere Skene (s) (Fig. 2) ein Polyeder in Form einer geraden fünfseitigen Pyramide ist, deren Basisfläche (23) ein re(lelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge L ist und deren Sflitenfl.icheri (24) Dreiecke sind, die zwei Seiten (26, 27) mit der Länge # L und eine Seite (25) mit der Länge L haben, wobei die größere Skene (s') ein Polyeder in Form einer geraden fünfseitigen Pyramide ist, deren Basisfläche ein regelmä0iges Fün-reck mit der Seitenlänge - L ist und deren Seitenflächen Dreiecke sind, die zwei Seiten mit der Länge #2.L und eine Seite mit der Länge #;L haben, wobei der kleinere Aetos (a) (Fig. 3) ein Polyeder in Form eines Tetraeders ist, dessen vier Flächen t31, 32, 33, 34) durch Dreiecke gebildet werden, von denen je zwei einander gleich sind und an einer gemeinsamen Seite aneinander anstoßen, von denen die einen zwei-Dreiecke (33, 34) zwei Seiten mit der Länge + L und eine Seite mit der Länge L und die anderen zwei Dreiecke (30, 32) zwei Seiten mit der Länge #-L L und eine Seite mit der Länge +a-L haben, und von denen diejenigen zwei Seiten (39, 40), die zwei gleichen Dreiecken (31, 32 bzw. 33, 34) gemeinsam sind, am Aetos (a) voneinander abgekehrt sind, wobei der Aetos (a') ein Polyeder i-n Form eines Tetraeders ist, dessen vier Flächen durch Dreiecke gebildet werden, von denen je zwei einander gleich sind und an einer gemeinsamen Seite aneinander anstoßen uncl von denen die einen zwei Dreiecke zwei Seiten mit der Länge 0t L und eine Seite mit Länge ¢-L und die anderen zwei Dreiecke zwei Seiten mit der Länge #² . L und eine Seite mit der Länge #3 L haben, und von denen diejenigen zwei Seiten, die zwei gleichen Dreiecken gemeinsam sind, am Aetos voneinander abgekehrt sind wobei der Tristomos (t'') ) ein Polyeder in Form einer Doppelpyramide mit zwei regelmäßigen dreiseitigen Pyramiden (41, 42) mit einer gemeinsamen Basis ist, von denen die eine Pyramide (41) drei untereinander gleiche Seitenflächen (43, 44, 45) mit zwei Seiten (46, 48; 46, 47; 47,48) von der Länge #3. L und einen Seite (49, 50, 51) mit der Länge 42-L und die andere Pyramide drei untereinander gleiche Seitenflächen (52, 53, 54) mit zwei Seiten (55, 56; 56, 57;57, 55) von der Länge < L und einer Seite (49, 50, 51) von der Länge it L hat, wobei die Grundlänge eine willkürlich wählbare Größe hat und wobei der Faktor die Zahl des Goldenen Schnittes ist und den Zahlenwert 1,618 ... hat.

2. Lehrgerät nach Anspruch 1 d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t, daß die Grundkörper (d, d', s, s', a, a',t") an ihren Seitenflächen wenigstens je ein Haftelement und/oder Verbindungselement (105, 107) aufweisen, mittels derer zwischen zwei aufeinander liegenden oder aneinander anstoßenden Grundkörpern ein Kraftschluß und/oder Formschluß herstellbar ist.

5. Lehrgerät nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Haftelemente und/oder Verbindungselemente (105, 107) bevorzugt entlang der Mittelsenkrechten zu den Seiten der Seitenflächen (101) angeordnet und in deren Richtung ausgerichtet sind.

a. Lehrgerät nach Anspruch 2 oder 3, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t, daß als Verbindungselemente Nut- und Feder-Verbindungen vorhandeln sind, von denen die Nuten (105) in den Seitenflächen (101) der Grundkörper angeordnet sind und die Federn (107; 110) als Einzelelemente ausgebildet sind und in die Nuten (105) einsteckbar oder einschiebbar sind, wobei die Federn (107; 110) eine Höhe haben, die entweder bis zur einfachen Tiefe oder bis zur zweifachen Tiefe der Nuten (105) reicht.

,. Lehrgerät nach Anspruch 4, da durch gek e n n z e ich ne daß die Seitenwände (106) der Nullen (105) wenigstens in einem Teilbereich einen Rücksprung oder Hinterschnitt gegenüber dem zur Nutöffnung hin gelegenen Bereich aufweisen, daß die Seitenflächen (108) der Federn (107; 110) wenigstens zum Teil die Negativform der Nutwände (106) aufweisen und daß die Nutwände und/oder die Federn (107; 110 ) normal zur Einschieberichtung elastisch verformbar sind.

6. Lehrgerät nach Anspruch d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t, daß die sieben Grundkörper als Gitterkörper (S; A; D; T'') ausgebildet sind, die aus untereinander gleichen Eckenkörpern (E) und aus einet Auswahl von Verbindungsstäben (V1; V2; V3; V4;) mit 4 Längenstufen (vl; v2; v3; v4) gebildet werden, wobei die Eckenkörper (E) als regelmäßige Körper ausgebildet sind und für die Aufnahme der Enden der Verbindungsstäbe (V1 ... l/4) dreißig Ausnehmungen aufweisen, deren Umfangsfläche bevorzugt eine Kreiszylinderfläche ist, deren Achse in Bezug auf den Mittelpunkt des Eckenkörpers (E) radial ausgerichtet ist und die räumlich so angeordnet sind, daß ihre Achse durch eirlf der dreißig Kantenmitten eines mit dem Eckenkörper (E) konzcntrischen regelmäßigen Ikosaeders hindurchgeht, und wobei die Verbindungsstäbe (V1 ... V4) die Länge vl = L - 2R + 2u v2 = #.L L - 2R + 2u v3 = 2-L - 2R + 2u v4 = +s-L L - 2R + 2u haben, worin L die Grundlänge ist, die wenigstens das Doppelte des Halbmessers R der Eckenkörper (E) beträgt, der Abstand der Miindung der Ausnehmung vom Mittelpunkt des Eckenkörpers (E) ist, u die Eindringtiefe der Enden der Verbindungsstäbe (V1 ... V4) in den Ausnehmungen des Eckenkörpers (E) ist, die von der Mündung der Ausnehmung ausgemessen wird, und die Zahl de; Golderien Schnittes ist.

7. Lehrgerät nach Anspruch 6, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t, daß die Ecken körper (E) entweder als Kugel oder, bevorzugt, als dreißig-flächiges regelmäßiges Polyeder ausgebildet sind, dessen untereinander gLeiche Einzelflächen Rautenform haben, in deren Flächenmitte die Ausnehmung angeordnet ist.

8. Lehrgerät nach Anspruch 6 oder 7, da durch g e k e n n z e i c h n e tS daß ein Tiefenanschlag für die Eineringtiefe der Verbindungsstäbe (V1 ... V4) in den Ausnehmunuen der Eckenkörper (E) vorhanden ist, der durch einen Absatz in der Ausnehmung oder durch den Boden der als Sack loch ausgebildeten Ausnehmung und/oder durch je einen Absatz an den Verbindungsstäben (V1 ... V4) gebildet wird.

9. Lehrgerät nach einem der Ans>rüche 6 bis 8, da durch gek e n n L ei c h n e t, daß die Verbindungsstäbe (V1 ... V4) biegeelastisch sind.

10. Lehrgerät nach einem der Ansrüchc 6 bis 9, d a d u r c h g e k e n n z ei c h ne t, daß Einsteckhülsen, vorzugsweise in Form von Schraubhülsen oder in Form von Klemmhülsen, vorhanden sind, die auf den Verbindungsstäben (V1 ... V4) zumindest im Bereich der Enden verschiebbar sind, und daß die Einsteckhülsen und die Ausnehmungen in den Eckenkörpern (E) für eine Relativbewegung zumindest in Richtung ihrer längsachse aufeinander abgestimmt sind.