CN111179699A - 一种立方体的切割与拼合方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种立方体的切割与拼合方法，包括以下步骤：S1：准备一立方体，从立方体的长棱沿对角线斜割后形成堑堵；S2：沿所述堑堵的一顶点与相对的宽棱做贯通的切割，剖开后形成阳马与鳖臑；S3：将所述阳马与所述鳖臑拼合后，构成三种非正棱锥的四棱锥；S4：在上述S2中，沿宽棱切割后，继续从S1的立方体的高棱沿对角线做贯通的切割，形成六块鳖臑；S5：在上述S1中，所述立方体的长宽高的比例设置为(1‑3.721)：(1‑3.721)：(1‑3.721)，将得到的六块S4所述鳖臑拼合后，构成多种正n棱锥，追加对应的鳖臑构成相应的正n棱柱。本发明的一种立方体的切割与拼合方法，可利用鳖臑拼合成多种正n棱锥，对现有椎体体积逻辑推导法提供了实操性补充。

Description

一种立方体的切割与拼合方法
技术领域
本发明涉及几何教学辅助领域，特别涉及一种立方体的切割与拼合方法。
背景技术
对立方体从顶点到棱的切割，早在我国三国时候的古代数学家刘徽在其著作《九章算术》中就有提到，切割后可以看出堑堵由阳马、鳖臑构成，而阳马由鳖臑构成。后人发现，复制鳖臑可以合围成一种四棱锥(同一种立方体的另外两个维度的切割还可以形成另外两种四棱锥)，复制鳖臑却无法围合成正n棱锥，也很难拼合成正n棱柱。按以往《九章算术》中的方法，将积木游戏与几何构型结合起来，鳖臑构型有限，且切出的鳖臑和阳马，只能构成三种四棱锥，而且均为非正棱锥，拼合难度较小、成果单一，对于立体几何教学辅助的作用效果有限，也很难应用于儿童游戏中。
发明内容
本发明的主要目的是提供一种立方体的切割与拼合方法，以解决上述背景技术中提出的问题。
为实现上述目的，本发明提供了一种立方体的切割与拼合方法，包括以下步骤：
S1：准备一立方体，从立方体的长棱沿对角线斜割后形成堑堵；
S2：沿所述堑堵的一顶点与相对的宽棱做贯通的切割，剖开后形成阳马与鳖臑；
S3：将所述阳马与所述鳖臑拼合后，构成三种非正棱锥的四棱锥；
其特征在于，还包括以下步骤：
S4：在上述S2中，沿宽棱切割后，继续从S1的立方体的高棱沿对角线做贯通的切割，形成六块鳖臑；
S5：在上述S1中，所述立方体的长宽高的比例设置为(1-3.721)：(1-3.721)：(1-3.721)，将得到的六块S4所述鳖臑拼合后，构成多种正n棱锥，追加对应的鳖臑构成相应的正n棱柱。
优选地，当所述立方体的长宽高的比例为1：1：1，所述鳖臑为两种，所述鳖臑拼合构成堑堵和阳马各一种。
优选地，当所述立方体的长宽高的比例为1：1：N(N>1)，所述鳖臑为四种，所述鳖臑拼合构成两种堑堵、两种阳马。
优选地，当所述立方体的长宽高的比例为1：X：Y(X，Y>1，X≠Y)或X：Y：Z(X，Y，Z>1，X≠Y≠Z),所述鳖臑为六种，所述鳖臑拼合构成三种堑堵、三种阳马。
优选地，当所述立方体有两条棱长的比例为1：M(其中M为1/1.371/1.731/2.081/2.411/2.751/3.041/3.721中的任一种)，切割后，所述鳖臑拼合构成与所述棱长比例顺序对应的正四棱锥、正五棱锥、正三棱锥-正六棱锥、正七棱锥、正八棱锥、正九棱锥、正十棱锥、正十二棱锥。
优选地，所述正四棱锥、正五棱锥、正三棱锥-正六棱锥、正七棱锥、正八棱锥、正九棱锥、正十棱锥、正十二棱锥追加相应的鳖臑构成相应的正四棱柱、正五棱柱、正三棱柱-正六棱柱、正七棱柱、正八棱柱、正九棱柱、正十棱柱、正十二棱柱。
优选地，当所述立方体有多组不同且同时满足1：M的棱长比例(其中M为1/1.371/1.731/2.081/2.411/2.751/3.041/3.721中的任一种)，所述鳖臑拼合后构成与多种所述棱长比例相对应的正n棱锥。
优选地，同一个所述立方体的鳖臑之间等体积且等重量，所述鳖臑与所述阳马的体积比与重量比均为2：1。
优选地，所述立方体制作材料的摩擦系数＞0.5。
本发明的有益效果是：
1.将现代的极限元与积木游戏紧密结合，将长宽高的比例设置为(1-3.721)：(1-3.721)：(1-3.721)的立方体切割成鳖臑，只需拼合复制鳖臑即可拼合成若干种正n棱锥。
2.可以在正n棱锥的基础上追加鳖臑构成若干种相应的正n棱柱。
3.由于来自于同一个立方体的鳖臑之间是等体积(等重量)的，当用这些鳖臑的复制件构成近似于圆锥的正n棱锥以及近似于圆柱的正n棱柱时，有利于极限元思想的教学应用与理解，有助于推导理解圆锥与等高的圆柱的体积比，也是对现有椎体体积逻辑推导法缺少实操性的重要补充。
4.由于这些鳖臑是非对称几何体，相互形成或者是组合形成多种镜对称的构型，增加了趣味性，同时其切割与拼合的操作需要丰富的空间构型能力，由于其构型的复杂性，也成为空间建构能力的智力测试手段。
5.丰富了传统智力游戏，由于这些构件从简单到复杂构成了多级序列，因此可以用于人一生不同阶段的手部活动——早期的儿童创造性构建积木游戏、专业学习阶段的学科辅助用具(立体几何、建筑学教育和美术教育)、晚年的老年活化脑筋。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图示出的结构获得其他的附图。
图1为本发明实施例提供的一种立方体的切割与拼合方法的不同比例方案的立方体图；
图2为本发明实施例提供的一种立方体的切割与拼合方法的方案一立方体切割拼合图；
图3为本发明实施例提供的一种立方体的切割与拼合方法的方案二立方体切割拼合图；
图4为本发明实施例提供的一种立方体的切割与拼合方法的方案三立方体切割拼合图；
图5为本发明实施例提供的一种立方体的切割与拼合方法的部分正n棱锥图。
附图标号说明：
Figure BDA0002359812480000041
Figure BDA0002359812480000051
本发明目的的实现、功能特点及优点将结合实施例，参照附图做进一步说明。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
需要说明，本发明实施例中所有方向性指示(诸如上、下、左、右、前、后……)仅用于解释在某一特定姿态(如附图所示)下各部件之间的相对位置关系、运动情况等，如果该特定姿态发生改变时，则该方向性指示也相应地随之改变。
另外，在本发明中涉及“第一”、“第二”等的描述仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示其相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括至少一个该特征。另外，各个实施例之间的技术方案可以相互结合，但是必须是以本领域普通技术人员能够实现为基础，当技术方案的结合出现相互矛盾或无法实现时应当认为这种技术方案的结合不存在，也不在本发明要求的保护范围之内。
在本发明实施例中，一种立方体的切割与拼合方法，包括以下步骤：
S1：准备一立方体，从立方体的长棱沿对角线斜割后形成两个一模一样的三角柱体，称其为堑堵,所述堑堵体积是立方体体积的一半；
S2：沿所述堑堵的一顶点与相对的宽棱做贯通的切割，剖开后形成阳马与鳖臑，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四角锥，称其为阳马，余下的三角锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑，鳖臑的每个面上都存在一个直角；
S3：将所述阳马与所述鳖臑拼合后，构成三种非正棱锥的四棱锥；
继续进行以下步骤：
S4：在上述S2中，沿宽棱切割后，继续从S1的立方体的高棱沿对角线做贯通的切割，形成六块鳖臑；
S5：在上述S1中，参照图1，所述立方体的长宽高的比例设置为(1-3.721)：(1-3.721)：(1-3.721)，具体地，方案一立方体1比例为1：1：1，方案二立方体2比例为1：1：2.411，方案三立方体3比例为3.041：1.731：1。将得到的六块S4所述鳖臑拼合后，构成多种正n棱锥，追加对应的鳖臑构成相应的正n棱柱。所述的鳖臑有多块形成镜对称。另外，设计的立方体长宽高的比例是经过三角函数精确计算得到的，如果比例失调，甚至制作的公差大于2％，将影响三棱锥几何体(鳖臑)的精密性，并导致多棱锥、多棱柱构型扭曲变形。
进一步地，参照图2，所述的S5中，根据方案一立方体1的长宽高的比例为1：1：1，切割后的鳖臑成镜对称，分别为鳖臑101和鳖臑102，所述鳖臑101与所述鳖臑102拼合构成阳马103，所述阳马103与所述鳖臑102拼合构成堑堵104。
进一步地，当所述立方体的长宽高的比例为1：1：N(N>1)，参照图3和图5，所述的S5中，根据方案二立方体2的长宽高的比例为1：1：2.411，所述鳖臑为四种，分别为鳖臑201、鳖臑202、鳖臑203、鳖臑204。所述鳖臑201与所述鳖臑202拼合构成阳马205，所述鳖臑202与所述鳖臑204构成阳马207，其中，所述阳马205与所述阳马207成镜对称。所述阳马205与所述鳖臑203拼合构成堑堵206，所述阳马207与所述鳖臑201拼合构成堑堵208，其中，所述堑堵206与所述堑堵208成镜对称。除此之外，所述鳖臑201与鳖臑202还能拼合构成一种正四棱锥209，所述鳖臑203与鳖臑204拼合构成一种正八棱锥210，所述正四棱锥、所述正八棱锥继续追加对应的鳖臑可构成相应的正四棱柱、正八棱柱。因为每一个鳖臑都从属于对应的堑堵——三棱柱(鳖臑都可以构成等高的棱柱)，所以，由鳖臑构成的正棱锥就可以构成正棱柱了。
进一步地，当所述立方体有两条棱长的比例为1：M(其中M为1/1.371/1.731/2.081/2.411/2.751/3.041/3.721中的任一种)，切割后，所述鳖臑拼合构成与所述棱长比例顺序对应的正四棱锥、正五棱锥、正三棱锥-正六棱锥、正七棱锥、正八棱锥、正九棱锥、正十棱锥、正十二棱锥。并且，追加相应的鳖臑构成相应的正n棱柱。具体地，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：1.371，所述鳖臑拼合构成一种正五棱锥，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：1.731，所述鳖臑拼合构成一种正三棱锥或是正六棱锥，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：2.081，所述鳖臑拼合构成一种正七棱锥，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：2.411，所述鳖臑拼合构成一种正八棱锥，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：2.751，所述鳖臑拼合构成一种正九棱锥，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：3.041，所述鳖臑拼合构成一种正十棱锥，所述立方体的一个面的棱的长宽比比例为1：3.721，所述鳖臑拼合构成一种正十二棱锥。
进一步地，当所述立方体的长宽高的比例为1：X：Y(X，Y>1，X≠Y)或X：Y：Z(X，Y，Z>1，X≠Y≠Z),所述鳖臑为六种，所述鳖臑拼合构成三种堑堵、三种阳马。当所述立方体有多组不同且同时满足1：M的棱长比例(其中M为1/1.371/1.731/2.081/2.411/2.751/3.041/3.721中的任一种)，例如：1：3.041：1.731，1:1.731:2.411等。所述鳖臑拼合后构成与各种所述棱长比例相对应的正n棱锥。具体地，参照图4，所述的S5中，根据方案三立方体3的长宽高的比例为3.041：1.731：1，所述鳖臑为六种，分别为鳖臑301、鳖臑302、鳖臑303、鳖臑304、鳖臑305、鳖臑306。所述鳖臑302与所述鳖臑306拼合构成阳马307，所述鳖臑301与所述鳖臑305构成阳马309，所述鳖臑303与所述鳖臑304拼合构成阳马311，其中，所述阳马307与所述阳马309成镜对称。所述阳马307与所述鳖臑304拼合构成堑堵308，所述阳马309与所述鳖臑302拼合构成堑堵310，所述阳马311与所述鳖臑306拼合构成堑堵312，其中，所述堑堵308与所述堑堵310成镜对称。除此之外，参照图5，所述鳖臑还可以拼合构成三种正三棱锥、两种正六棱锥、一种正十棱锥，所述正六棱锥以及所述正十棱锥追加鳖臑构成相应的正三棱柱、正六棱柱、正十棱柱。所述鳖臑301与鳖臑304镜对称且能够拼合构成第一种正三棱锥313，将所述的鳖臑301与所述鳖臑304由直立状态放倒拼合构成第二种正三棱锥314，由所述鳖臑301与所述鳖臑304拼合构成的模块占整个正三棱锥的1/3。所述鳖臑302与鳖臑303镜对称且能够拼合构成第三种正三棱锥315，由所述鳖臑302与所述鳖臑303拼合构成的模块也占整个正三棱锥的1/3。两块所述鳖臑302与两块所述鳖臑303成直立状态进行拼合构成第一种正六棱锥316。六块所述鳖臑305与六块所述鳖臑306拼合构成第二种正六棱锥317，所述鳖臑305与所述鳖臑306镜对称。十块所述鳖臑305与十块所述鳖臑306拼合构成正十棱锥318，所述正十棱锥318构成的圆心角为36°。
进一步地，同一个立方体的鳖臑之间等体积且等重量，因此鳖臑与阳马的体积比与重量比均为2：1。所用的就是现代数学的极限元方法，这种将现代的极限元与积木紧密结合的办法可以轻松再现在《九章算术》中描述的“黑阳马、赤鳖臑与巨堑堵相互关键”的景象。这是当前的立体形设计制作还没能做到的(现有的立体几何产品也做不出来)。照此思路，可以制作出更多品种的鳖臑用以构成更多棱锥与同底等高的棱柱，也就可以直观地了解的它们的体积(重量)比是1：3。当用我们这些鳖臑的复制件构成的近似于圆锥的多棱锥时，也就便于理解圆锥与等高的圆柱的体积也是1：3。这也是古希腊数学家尤利塞斯发现的一个重要立体几何定理。因而，本发明是对现有椎体体积逻辑推导法缺少实操性的重要补充。
另外，所述立方体的制作材料的摩擦系数要求＞0.5，否则制作后的几何体(鳖臑)在拼合时容易打滑，影响构建效果。
以上所述仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是在本发明的发明构思下，利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构变换，或直接/间接运用在其他相关的技术领域均包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (9)

1.一种立方体的切割与拼合方法，包括以下步骤：
S1：准备一立方体，从立方体的长棱沿对角线斜割后形成堑堵；
S2：沿所述堑堵的一顶点与相对的宽棱做贯通的切割，剖开后形成阳马与鳖臑；
S3：将所述阳马与所述鳖臑拼合后，构成三种非正棱锥的四棱锥；
其特征在于，还包括以下步骤：
S4：在上述S2中，沿宽棱切割后，继续从S1的立方体的高棱沿对角线做贯通的切割，形成六块鳖臑；
S5：在上述S1中，所述立方体的长宽高的比例设置为(1-3.721)：(1-3.721)：(1-3.721)，将得到的六块S4所述鳖臑拼合后，构成多种正n棱锥，追加对应的鳖臑构成相应的正n棱柱。
2.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：当所述立方体的长宽高的比例为1：1：1，所述鳖臑为两种，所述鳖臑拼合构成堑堵和阳马各一种。
3.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：当所述立方体的长宽高的比例为1：1：N(N>1)，所述鳖臑为四种，所述鳖臑拼合构成两种堑堵、两种阳马。
4.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：当所述立方体的长宽高的比例为1：X：Y(X，Y>1，X≠Y)或X：Y：Z(X，Y，Z>1，X≠Y≠Z),所述鳖臑为六种，所述鳖臑拼合构成三种堑堵、三种阳马。
5.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：当所述立方体有两条棱长的比例为1：M(其中M为1/1.371/1.731/2.081/2.411/2.751/3.041/3.721中的任一种)，切割后，所述鳖臑拼合构成与所述棱长比例顺序对应的正四棱锥、正五棱锥、正三棱锥-正六棱锥、正七棱锥、正八棱锥、正九棱锥、正十棱锥、正十二棱锥。
6.如权利要求5所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：所述正四棱锥、正五棱锥、正三棱锥-正六棱锥、正七棱锥、正八棱锥、正九棱锥、正十棱锥、正十二棱锥追加相应的鳖臑构成相应的正四棱柱、正五棱柱、正三棱柱-正六棱柱、正七棱柱、正八棱柱、正九棱柱、正十棱柱、正十二棱柱。
7.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：当所述立方体有多组不同且同时满足1：M的棱长比例(其中M为1/1.371/1.731/2.081/2.411/2.751/3.041/3.721中的任一种)，所述鳖臑拼合后构成与多种所述棱长比例相对应的正n棱锥。
8.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：同一个所述立方体的鳖臑之间等体积且等重量，所述鳖臑与所述阳马的体积比与重量比均为2：1。
9.如权利要求1所述的一种立方体的切割与拼合方法，其特征在于：所述立方体制作材料的摩擦系数＞0.5。
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