DE19621434A1 - Verfahren zur Erzeugung eines Dreiecks- und Tetraedergitters - Google Patents
Verfahren zur Erzeugung eines Dreiecks- und TetraedergittersInfo
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Description
Diese Erfindung betrifft ein Verfahren zur Erzeugung eines
Dreiecksgitters oder eines Tetraedergitters in einer Simu
lation, welche auf dem Finitedifferenzverfahren oder einem
ähnlichen Verfahren beruht.
Ein Vorrichtungssimulator für eine Halbleiteranordnung be
rechnet unter Verwendung eines Computers physikalische
Größen innerhalb einer Halbleiteranordnung, um die elektri
schen Eigenschaften, wie z. B. den Klemmenstrom und die
Schwellenspannung des Transistors zu berechnen. Wenn ver
sucht wird, Transistoren in einer Halbleiteranordnung, die
durch LSI (large scale Integration = hochintegrierter
Schaltkreis) dargestellt wird, so zu optimieren, daß die
Halbleiteranordnung ihre höchsten elektrischen Eigenschaf
ten vorweisen kann, können durch den Einsatz eines Vorrich
tungssimulators sowohl die Kosten als auch die Laufzeit,
verglichen mit der gegenwärtigen Herstellung eines Proto
typs eines LSI, bedeutend verringert werden. Außerdem kann,
da der Vorrichtungssimulator physikalische Größen innerhalb
eines Halbleitertransistors berechnet, erforscht werden, in
welcher Weise sich Elektronen oder Löcher in einem Halblei
ter verhalten. Demzufolge kann der Vorrichtungssimulator
verwendet werden, um zum Beispiel die Ursache der Erschei
nung der Stoßionisation deutlich zu machen, welche in bezug
auf einen kleinen MOSFET (metall oxid semiconductor field
effect transistor = Metall-Oxid-Feldeffekttransistor) zu
einem Problem wird.
Um physikalische Größen innerhalb eines Halbleitertransi
stors zu erhalten, löst der Vorrichtungssimulator eine
Poissongleichung, welche eine Beziehung zwischen dem Poten
tial und der Ladungsträgerkonzentration darstellt, oder
eine partielle Differentialgleichung einer Stromkontinui
tätsgleichung oder eine ähnliche Gleichung. Als ein Verfah
ren zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung gibt
es ein Verfahren, bei dem eine Halbleiteranordnung in
kleine Bereiche aufgeteilt und eine partielle Differential
gleichung aufgestellt und berechnet wird, wie in Ryo Dan
ed., "Process Device Simulation Technology", Sangyo Tosho,
pp. 90-122, beschrieben wird.
Andererseits wird, wenn eine Analyse einer Halbleiteranord
nung mit einer komplizierten Struktur, wie z. B. einer Gra
benstruktur, unter Verwendung eines Vorrichtungssimulators
durchgeführt wird, um die Form oder die Struktur der Halb
leiteranordnung genau darzustellen, die Form der Anordnung
unter Verwendung eines Dreiecks unterteilt, um sie auf zu
trennen, wie in C. S. Rafferty et. al., "Iterative methods
in semiconductor device simulation", IEEE Trans. on Elec
tron Devices, Vol. ED-32, No. 10, pp. 2018-2027, October
1985, beschrieben wird.
Die Fig. 1A, 1B und 1C sind aus der oben erwähnten Arbeit
von C. S. Rafferty et al. zitiert und zeigen ein ausführli
ches Beispiel einer Art und Weise, in welcher eine graben
isolierte CMOS-Anordnung (Complementary MOS = komplementä
rer MOS) unter Verwendung dreieckiger Elemente aufgetrennt
wird. Eine Halbleiteranordnung mit einer derartigen Quer
schnittsform, wie in Fig. 1A gezeigt wird, wird als ein
derartiger Satz von dreieckigen Elementen dargestellt, wie
in Fig. 1B gezeigt wird. Darüberhinaus wird in einer Flä
che, die eine Grenzschicht zwischen einer p-Schicht und ei
ner p+-Schicht oder eine Grenzschicht zwischen einer p-
Schicht und einer n-Schicht umgibt, die Halbleiteranordnung
in feinere oder kleinere dreieckige Elemente eingeteilt,
wie in Fig. 1C gezeigt wird. Da die Form der Halbleiteran
ordnung als ein Satz von dreieckigen Elementen dargestellt
wird, kann die Grabenstruktur genau wiedergegeben werden.
Fig. 2 zeigt einen Teil des Satzes der auf diese Weise er
haltenen dreieckigen Elemente in einem vergrößerten Maß
stab. Bei der Lösung einer partiellen Differentialglei
chung, die auf dem Finitedifferenzverfahren basiert und die
dreieckige Elemente verwendet, ist jeder Gitterpunkt (Ecke
eines Dreiecks), der in Fig. 2 durch eine dicke Kreismar
kierung gezeigt wird, mit einer Vielzahl von Gitterpunkten,
die über Verzweigungen (Seiten der Dreiecke) um sie herum
angeordnet sind und in Fig. 2 mit durchgezogenen Linien ge
zeigt werden, verbunden, und auf jeder Verzweigung wird der
Strom I definiert. Außerdem wird der Strom I zwischen den
Gitterpunkten über dem Querschnitt (durch eine unterbro
chene Linie gezeigt) des Strompfades, der durch jede Ab
zweigung abgedeckt wird, integriert. Der Querschnitt des
Strompfades wird durch Liniensegmente dargestellt, die je
weils die Umkreismittelpunkte (dargestellt durch kleine
leere Dreiecke) der beiden einzigen Dreiecke, die an den
gegenüberliegenden Seiten des Strompfades als gemeinsame
Seite angeordnet sind, miteinander verbunden. Um eine Vor
richtungssimulation korrekt durchzuführen, besteht demzu
folge eine wesentlich Bedingung darin, daß sich die Um
kreismittelpunkte der angrenzenden Dreiecke nicht einander
überschneiden. Das ergibt sich daraus, daß der Querschnitt
des Strompfades über welchem der Strom integriert wird,
negativ wird, wenn sich die Umkreismittelpunkte der angren
zenden Dreiecke einander überschneiden. Wenn die Bedingung,
daß sich die Umkreismittelpunkte der angrenzenden Dreiecke
nicht überschneiden, nicht erfüllt wird, wie in Fig. 3 zu
sehen ist (zitiert aus der oben erwähnten Arbeit von C. S.
Rafferty et. al.), liefert das Ergebnis der Analyse eine
physikalisch mögliche Spannungsspitze, bei welcher das
Quasi-Fermipotential 50 V beträgt. Fig. 3 ist eine Ansicht,
die ein Ergebnis der Simulation zeigt, bei welcher eine
Verteilung des Quasi-Fermipotentials einer Anordnung erfaßt
wird. Um die Bedingung zu erfüllen, daß die Umkreismittel
punkte der angrenzenden Dreiecke sich nicht überschneiden,
sollte die Dalaunay-Teilung, bei der innerhalb eines über
einem Dreieck umschriebenen Kreises keine Ecke eines ande
ren Dreiecks enthalten ist, garantiert werden.
Nebenbei bemerkt werden, wenn die Integration eines LSI
weiter voranschreitet und die Größe der Anordnung sinkt,
ein Schmalkanaleffekt (narrow channel effect) und ähnliche
Effekte eines MOSFET zunehmend deutlich, und es ist notwen
dig, eine Vorrichtungssimulation vorzunehmen, die auch die
tiefenmäßige Form eines Transistors berücksichtigt. Um un
ter Verwendung eines Tetraeders als aufteilendes Element
eine beliebige Form genau in ein solches Dreiecksproblem zu
unterteilen, sollte die Form einer dreidimensionalen Halb
leiteranordnung als Satz von Tetraederelementen dargestellt
werden. In diesem Beispiel ist der Strom an den Ecken eines
Tetraeders definiert, und der Querschnitt eines Strompfades
wird durch die Fläche dargestellt, die durch die Linienseg
mente definiert wird, die die Umkreismittelpunkte der Te
traeder miteinander verbindet, die die Ecke gemeinsam be
sitzen. Bei einem dreidimensionalen Problem muß, ähnlich
wie in dem oben beschriebenen zweidimensionalen Problem,
die Aufteilung in Tetraeder ebenfalls eine Delaunay-Teilung
sein, bei der innerhalb einer umschriebenen Kugel des Te
traeders keine Ecke anderer Tetraeder enthalten ist, wie in
M. S. Mock, "Tetrahedral elements and the Scharfetter-Gummel
method", Proceeding of the NASECODE IV, PP. 36-47, 1985
beschrieben wird.
Ein Verfahren der Delaunay-Teilung der zu analysierenden
Form mit Tetraederelementen wird in dem oben erwähnten Ar
tikel von M. S. Mock beschrieben. Für eine vereinfachte Dar
stellung wird hier die Delaunay-Teilung eines zweidimensio
nalen Bereiches mit Dreieckselementen beschrieben. Das Ver
fahren nach Mock fügt an einer Substanzgrenzfläche einen
Punkt oder einen neuen Knoten, der zur Verbesserung der Ge
nauigkeit bei der Berechnung erforderlich ist, in einem
Dreieckssatz, der bereits nach Delaunay aufgeteilt ist,
einzeln hinzu. Das Verfahren ist in den Fig. 4A, 4B und 4C
dargestellt.
Beim Hinzufügen eines neuen Knotens P′ zu einem Dreiecks
satz, der bereits nach Delaunay aufgeteilt ist, wie in Fig.
4A gezeigt wird, wird dafür ein Dreieck, welches den neuen
Knoten P′ enthält, innerhalb des umschriebenen Bereiches
ausgesucht. In Fig. 4 zeigt jede unterbrochene Linie einen
umschriebenen Kreis, und ein Bereich mit schrägen Linien
zeigt die ausgesuchten Dreiecke an. Danach werden die aus
gesuchten Dreiecke gelöscht, wie in Fig. 4B gezeigt wird,
und die Seiten (in Fig. 4B durch die unterbrochenen Linien
gezeigt) der äußersten Umhüllung, die durch die gelöschten
Dreiecke definiert wird, werden ermittelt. Dann werden die
Seiten der äußersten Umhüllung und der neue Knoten P′ mit
einander verbunden, um neue Dreiecke zu erzeugen, wie in
Fig. 4C gezeigt wird. In Fig. 4C werden die neu erzeugten
Dreiecke durch schräge Linien gezeigt. Auch hier erfüllt
der neu erzeugte Satz von Dreiecken die Bedingung der
Delaunay-Teilung. Obwohl oben die zweidimensionale Delau
nay-Teilung, die auf dem Verfahren nach Mock beruht, be
schrieben wird, wird die dreidimensionale Delaunay-Teilung
ebenfalls nach einem ähnlichen Verfahren durchgeführt.
In dem Japanese Patent Laid-Open Application No. Hei 7-
219977 (JP, A, 7-219977) wird ein Verfahren zur Löschung
eines Knotens aus dem Innern eines Bereiches, für welchen
die Delaunay-Teilung durchgeführt wurde, während die Bedin
gung der Delaunay-Teilung erfüllt bleibt, beschrieben. Ent
sprechend dem Verfahren werden, um einen Knoten in einer
zweidimensionalen Ebene zu löschen, unter Verwendung des
Verfahrens des maximal eingeschlossenen Winkels erneut
Dreiecke konstruiert. Insbesondere werden ein zu löschender
Knoten (Gitterspunkt) und die Gitterkanten (Seiten der
Dreiecke), die mit dem Knoten verbunden sind, gelöscht, und
aus den Seiten eines Polygons, welches um den gelöschten
Knoten erhalten bleibt, wird eine Seite, welche bisher
nicht bearbeitet wurde, ausgewählt. Danach wird eine Ecke
des Polygons, mit welcher der Winkel der daran enthaltenen
Seite einen Maximalwert aufweist, durch welchen zusammen
mit der Seite ein Dreieck definiert werden kann, ausge
wählt, und mit der ausgewählten Seite und der ausgewählten
Ecke wird ein neues Dreieck erzeugt. Die soeben beschrie
bene Folge der Arbeitsschritte wird für alle Seiten des Po
lygons durchgeführt. Um einen Knoten in einem dreidimensio
nalen Raum zu löschen, werden unter Verwendung des Verfah
rens der minimal umschriebenen Kugel erneut Tetraeder kon
struiert. Insbesondere werden ein Knoten und eine Gitter
kante (Seite des Tetraeders), die mit einem Knoten verbun
den ist, zuerst gelöscht. Da ein Polyeder, dessen Flächen
Dreiecke darstellen, rund um den gelöschten Knoten erhalten
bleibt, wird aus den Dreiecken der Flächen des Polyeders
ein Dreieck ausgewählt, welches bisher nicht bearbeitet
wurde, und eine Ecke des Polyeders, mit welchem die über
dem Tetraeder umschriebene Kugel, die durch das Dreieck und
die Ecke des Polyeders gebildet wird, die kleinste Größe
ausweist und durch welche zusammen mit der Fläche ein Te
traeder festgelegt werden kann, ausgewählt. Dann wird mit
dem ausgewählten Dreieck und der ausgewählten Ecke das neue
Tetraeder erzeugt. Die soeben beschriebene Folge der Ar
beitsschritte wird für alle Flächen, das heißt, für alle
Dreiecke des Polyeders, durchgeführt.
Wenn übrigens bei dem Verfahren, welches die oben beschrie
bene Delaunay-Teilung löst, Dreiecke (oder Tetraeder) durch
Hinzufügen oder Löschen von Knoten fortgeschrieben werden,
tritt irgendwann auf, daß sich ein Dreieck (oder Tetraeder)
und eine Substanzgrenzfläche einander überschneiden. Die
Form der Substanzgrenzfläche bezeichnet hier, unter Berück
sichtigung einer Halbleiteranordnung, eine Grenzschicht
zwischen einer Verdrahtungsschicht und einer Halbleiter
schicht, eine Grenzschicht zwischen einer Halbleiterschicht
und einem Isolator, eine pn-Übergangsschicht in einer Halb
leiterschicht oder eine Grenzschicht zwischen Bereichen,
welche sich in der Störstellenkonzentration unterscheiden.
Da die Form einer Verdrahtungsschicht, einer Isolator
schicht und einer Halbleiterschicht für eine Analyse in
zwei Dimensionen als Satz von Dreiecken oder für eine Ana
lyse in drei Dimensionen als Satz von Tetraeder dargestellt
wird, wird es, wenn ein Dreieck (oder Tetraeder) über der
Form einer Substanzgrenzfläche erzeugt wird, in einem Simu
lator für eine Halbleiteranordnung dann unmöglich die For
men der verschiedenen Teile genau darzustellen, was zu ei
nem Fehler bei der Durchführung einer genauen Analyse
führt. Deshalb werden die neu erzeugten Dreiecke (oder Te
traeder) geprüft, um festzustellen, ob sie sich mit irgend
einer Form der Substanzgrenzfläche überschneiden oder
nicht, und wo sich einige Dreiecke (oder Tetraeder) mit ei
ner Form der Substanzgrenzfläche überschneiden, muß die
Überschneidung beseitigt werden. Für die Elimination von
Überschneidungen sind die folgenden Verfahren anwendbar.
Der Erfinder der vorliegenden Erfindung schlägt in der Ja
panese Patent Laid-Open Application No. Hei 7-319947 (JP,
A, 7-319947) ein Verfahren zum Beseitigen von Überschnei
dungen vor. Fig. 5 stellt ein Flußdiagramm dar, das den Ab
lauf des in dem JP, A, 7-319947 veröffentlichten Verfahrens
beschreibt. Entsprechend dem Verfahren wird ein Dreieck
(oder ein Tetraeder), welches sich mit einer Form der
Grenzfläche überschneidet, zuerst (Schritt 91) gesucht, und
eine Ecke P des geschnittenen Dreieckes (oder Tetraeders)
wird auf die Grenzfläche der Form projeziert, um einen Pro
jektionspunkt P′ (Schritt 92) zu erhalten. An dem Projekti
onspunkt P′ wird ein Knoten hinzugefügt (Schritt 93), und
unter Verwendung des oben beschriebenen Verfahrens nach
Mock werden erneut Dreiecke (Tetraeder) erzeugt (Schritt
94).
Die Japanese Patent Laid-Open Application No. Hei 4-309183
(JP, A, 4-309183) beschreibt ein Verfahren, bei dem die
Überschneidungen durch Hinzufügen eines Knotens, ähnlich
wie in dem Verfahren der Japanese Patent Laid-Open Applica
tion No. Hei 7-319947 (JP, A, 7-319947), beseitigt werden.
Der hinzugefügte Knoten wird jedoch nicht durch Projektion
auf eine Grenzfläche der Form bestimmt.
Die Japanese Patent Laid-Open Application No. Hei 1-106226
(JP, A, 1-106226) beschreibt eine Technik, bei der geprüft
wird, ob sich ein Tetraeder und eine Grenzschicht der Form
(Formoberfläche) einander überschneiden oder nicht, und
wenn sie sich einander überschneiden, wird eine Ecke des
Tetraeders auf eine Position auf die Oberfläche der Form
bewegt, um die Überschneidung zu beseitigen. Die Fig. 6A
und 6B sind grafische Ansichten, die die Verfahren veran
schaulichen. In diesen Figuren stellt die gezeigte Ellipse
die Oberfläche der Form dar. Wie in Fig. 6A gezeigt wird,
wird eine Ecke des Tetraeders (welches in Fig. 6A in einer
dreieckigen Form gezeigt wird), welche sich mit der Grenz
fläche der Form überschneidet, auf eine Position auf der
festen Form bewegt, um die Überschneidung zu eliminieren.
Die Japanese Laid-Open Application No. Hei 4-268674 (JP, A,
4-268674) beschreibt die Beseitigung einer Überschneidung
nicht eines Tetraeders sondern eines Hexaeders (quadrati
sches Gitter) mit Hilfe einer Bewegung eines Knotens. Wenn
die Position des Knotens eines Gitters mittels Optimierung
bewegt wird, wird eine Überschneidung zwischen dem quadra
tischen Gitter und der Grenzfläche der Form geschaffen. In
der JP, A, 4-268674 wird jedoch die Überschneidung zwischen
der Form und dem Gitter durch Korrektur des bewegten Kno
tens eliminiert, der unter Verwendung einer Formfunktion
auf eine Position auf der festen Form bewegt wird.
Die oben beschriebenen herkömmlichen Verfahren, welche eine
Überschneidung zwischen einem Dreieck oder Tetraeder und
einer festen Form eliminieren, besitzen jedoch die folgen
den Probleme. Insbesondere besteht bei dem Verfahren 1 und
dem Verfahren 2 das Problem, obwohl die Delaunay-Teilung
gesichert ist, da eine Überschneidung eliminiert wird, in
dem ein Knoten hinzufügt wird, daß eine Erhöhung der Anzahl
der Knoten und eine Erhöhung der Analysezeit nicht verhin
dert werden kann. Bei dem Verfahren 3 und dem Verfahren 4
ändert sich, auch wenn die Delaunay-Teilung vor der Besei
tigung der Überschneidung gesichert ist, da beim Eliminie
ren der Überschneidung ein Knoten bewegt wird, die Form des
Dreieckes (Tetraeders), was zu einem weiteren Problem
führt, daß die Delaunay-Teilung nach der Beseitigung einer
Überschneidung nicht unbedingt gesichert werden kann.
Es ist eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfah
ren zur Herstellung eines Gitters bereit zustellen, welches
bei der Beseitigung einer Überschneidung zwischen einer
Grenzfläche der Form und einem Dreieck (oder einem Tetra
eder) nach der Beseitigung einer Überschneidung die Delau
nay-Teilung gesichert ist, wobei ein Anstieg der Knotenzahl
klein gehalten wird.
Die Aufgabe der vorliegenden Erfindung wird durch ein Ver
fahren zur Erzeugung eines Dreiecksgitters erreicht, bei
dem aus einem Dreiecksgitter, welches der Bedingung der
Delaunay-Teilung genügt, Überschneidungen zwischen den
dreiecksgitterbildende Dreiecken und einer Substanzgrenz
fläche eliminiert werden, mit den Schritten:
Suche nach Dreiecken, welche in dem Dreiecksgitter enthal ten sind und sich mit einer Substanzgrenzfläche überschnei den;
Auswahl einer der Ecken jedes der die Substanzgrenzfläche schneidenden Dreiecke als einen beweglichen Knoten, wobei die eine Ecke nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenz fläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten; Auflisten der Dreiecke, welche den beweglichen Knoten gemeinsam ha ben, als Verfahrensobjektdreiecke, und Auflisten der Drei ecke, die um die Verfahrensobjektdreiecke herum liegen, als periphere Dreiecke; und Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einem um jedes der peripheren Dreiecke umschriebenen Kreis liegt oder nicht, und, wenn der Projek tionspunkt in einem umschriebenen Kreis enthalten ist, Hin zufügen eines Knotens am Projektionspunkt und Erzeugung von Dreiecken unter Verwendung des Knotens, und wenn der Pro jektionspunkt nicht in einem um jedes der peripheren Drei ecke umschriebenen Kreis enthalten ist, Löschen aller Ver fahrensobjektdreiecke, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Dreiec ken in dem Bereich, aus dem die Verfahrensobjektdreiecke entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens der maxi mal eingeschlossenen Winkel.
Suche nach Dreiecken, welche in dem Dreiecksgitter enthal ten sind und sich mit einer Substanzgrenzfläche überschnei den;
Auswahl einer der Ecken jedes der die Substanzgrenzfläche schneidenden Dreiecke als einen beweglichen Knoten, wobei die eine Ecke nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenz fläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten; Auflisten der Dreiecke, welche den beweglichen Knoten gemeinsam ha ben, als Verfahrensobjektdreiecke, und Auflisten der Drei ecke, die um die Verfahrensobjektdreiecke herum liegen, als periphere Dreiecke; und Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einem um jedes der peripheren Dreiecke umschriebenen Kreis liegt oder nicht, und, wenn der Projek tionspunkt in einem umschriebenen Kreis enthalten ist, Hin zufügen eines Knotens am Projektionspunkt und Erzeugung von Dreiecken unter Verwendung des Knotens, und wenn der Pro jektionspunkt nicht in einem um jedes der peripheren Drei ecke umschriebenen Kreis enthalten ist, Löschen aller Ver fahrensobjektdreiecke, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Dreiec ken in dem Bereich, aus dem die Verfahrensobjektdreiecke entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens der maxi mal eingeschlossenen Winkel.
Die Aufgabe der vorliegenden Erfindung wird außerdem durch
ein Verfahren zur Erzeugung eines Tetraedersgitters er
reicht, bei dem aus einem Tetraedergitter, welches der Be
dingung der Delaunay-Teilung genügt, Überschneidungen zwi
schen ein das Tetraedergitter bildende Tetraeder und einer
Substanzgrenzfläche eliminiert werden, mit den Schritten:
Suche nach Tetraedern, welche in dem Tetraedergitter ent halten sind und sich mit einer Substanzfläche überschnei den; Auswahl einer der Ecken jedes der Tetraeder, die sich mit der Substanzgrenzfläche überschneiden, als einen beweg lichen Knoten, wobei eine der Ecken nicht auf der Substanz grenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenzfläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten;
Auflisten der Tetraeder, welche den beweglichen Knoten ge meinsam haben, als Verfahrensobjekttetraeder, und Auflisten der Tetraeder, welche um die Verfahrensobjekttetraeder herum angeordnet sind, als periphere Tetraeder; und Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einer um jeden der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt oder nicht und, wenn der Projektionspunkt innerhalb der um schriebenen Kugel liegt, Hinzufügen eines Knotens am Pro jektionspunkt und Erzeugung von Tetraeder unter Verwendung des Knotens, und wenn der Projektionspunkt nicht in einer um jeden der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt, Löschen aller Verfahrensobjekttetraeder, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Tetraedern in dem Bereich, aus dem die Verfahrensobjekttetraeder entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens der minimal umschriebenen Kreise.
Suche nach Tetraedern, welche in dem Tetraedergitter ent halten sind und sich mit einer Substanzfläche überschnei den; Auswahl einer der Ecken jedes der Tetraeder, die sich mit der Substanzgrenzfläche überschneiden, als einen beweg lichen Knoten, wobei eine der Ecken nicht auf der Substanz grenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenzfläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten;
Auflisten der Tetraeder, welche den beweglichen Knoten ge meinsam haben, als Verfahrensobjekttetraeder, und Auflisten der Tetraeder, welche um die Verfahrensobjekttetraeder herum angeordnet sind, als periphere Tetraeder; und Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einer um jeden der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt oder nicht und, wenn der Projektionspunkt innerhalb der um schriebenen Kugel liegt, Hinzufügen eines Knotens am Pro jektionspunkt und Erzeugung von Tetraeder unter Verwendung des Knotens, und wenn der Projektionspunkt nicht in einer um jeden der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt, Löschen aller Verfahrensobjekttetraeder, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Tetraedern in dem Bereich, aus dem die Verfahrensobjekttetraeder entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens der minimal umschriebenen Kreise.
Bei der vorliegenden Erfindung wird vorzugsweise eine der
Ecken dieser Dreiecke (Tetraeder) als beweglicher Knoten
ausgewählt, der sich mit einer Substanzgrenzfläche über
schneidet und der durch den kleinsten Abstand von der Sub
stanzgrenzfläche getrennt ist.
Entsprechend der vorliegenden Erfindung wird eine der Ecken
jedes der Dreiecke (Tetraeder), die sich mit einer Sub
stanzgrenzfläche überschneidet, unter der Bedingung als be
weglicher Knoten ausgewählt, daß die Ecke sich nicht auf
der Substanzgrenzfläche befindet, und es wird unterschie
den, ob die Bedingung der Delaunay-Teilung noch erfüllt ist
oder nicht, wenn der bewegliche Knoten zum Projetionspunkt
verschoben ist, der durch die Projektion des beweglichen
Knotens auf die Substanzgrenzfläche erhalten wird. Dann
wird, wenn die Bedingung der Delaunay-Teilung erfüllt ist,
der bewegliche Knoten zum Projektionspunkt bewegt, und un
ter Verwendung des beweglichen Knotens werden erneut Drei
ecke (Tetraeder) konstruiert. Wenn jedoch die Bedingung der
Delaunay-Teilung nicht erfüllt wird, wird der bewegliche
Knoten nicht verschoben, sondern der Projektionspunkt wird
als Knoten hinzugefügt. Folglich wird die Delaunay-Teilung
gesichert, und ein Ansteigen der Anzahl der Knoten kann auf
ein erforderliches minimales Maß abgesenkt werden.
Im allgemeinen wird, wenn eine Substanzgrenzfläche und ein
Dreieck (Tetraeder) einander überschneiden, die Anzahl der
artiger sich einander überschneidender Dreiecke (Tetraeder)
ein Mehrfaches, und auch die Anzahl der Ecken, welche als
bewegliche Knoten ausgewählt werden können, wird ein Mehr
faches. Da berücksichtigt wird, daß die Wahrscheinlichkeit
steigt, daß die Delaunay-Teilung erhalten bleibt, wenn ein
beweglicher Knoten auf eine Substanzgrenzfläche verschoben
wird, wenn sich der Abstand zwischen dem beweglichen Knoten
und der Substanzgrenzfläche verringert, ist es effektiv, um
einen Anstieg der Knotenzahl zu verhindern, die eine der
Ecken der Dreiecke (Tetrader) als beweglichen Knoten auszu
wählen, die sich mit der Substanzgrenzfläche überschneidet,
welche den kleinsten (aber nicht Null) Abstand von der Sub
stanzgrenzfläche ausweist.
Die Anwendungen der vorliegenden Erfindung verringern die
Berechnungszeit des Finitedifferenzverfahrens bedeutend.
Die obigen und weitere Aufgaben, Merkmale und Vorteile der
vorliegenden Erfindung sollen durch die folgende Beschrei
bung auf der Grundlage der bei liegenden Zeichnungen, welche
ein Beispiel des bevorzugten Ausführungsbeispiels der vor
liegenden Erfindung veranschaulichen, deutlich werden.
Fig. 1A stellt eine Querschnittsansicht eines Beispiels
einer Halbleiteranordnung dar;
Fig. 1B und 1C sind grafische Ansichten, die ein Beispiel
eines Dreiecksgitters zeigen, das aus der in Fig.
1A gezeigten Halbleiteranordnung erzeugt wird;
Fig. 2 ist eine grafische Ansicht, die die elektrischen
Ströme des Dreiecksgitters und einen Integrations
bereich derselben veranschaulicht;
Fig. 3 ist eine grafische Ansicht, die ein Beispiel eines
Ergebnisses einer Simulation zeigt und die verdeut
licht, daß eine Überschneidung eines Umkreismittel
punktes ein unangemessenes Simulationsergebnis her
bei führt;
Fig. 4A, 4B und 4C sind grafische Ansichten, die das Ver
fahren der Delaunay-Teilung in zwei Dimensionen
veranschaulichen;
Fig. 5 stellt ein Flußdiagramm dar, das ein Beispiel einer
herkömmlichen Technik zum Eliminieren einer Über
schneidung zwischen einem Dreieck und einer Sub
stanzgrenzfläche veranschaulicht;
Fig. 6A und 6B sind grafische Ansichten, die eine weitere
konventionelle Technik zum Eliminieren einer Über
schneidung zwischen einem Dreieck und einer Sub
stanzgrenzfläche veranschaulichen;
Fig. 7 stellt ein Flußdiagramm dar, das die Verarbeitung
mit Hilfe des Verfahrens zur Erzeugung eines Drei
ecks entsprechend einem ersten Ausführungsbeispiel
der vorliegenden Erfindung veranschaulicht;
Fig. 8A, 8B, 8C, 8D und 8E sind grafische Ansichten, die
ein konkretes Beispiel der Erzeugung eines Dreieck
gitters entsprechend einem ersten Ausführungsbei
spiel zeigen;
Fig. 9 ist eine grafische Ansicht, die die Struktur der
zum Eliminieren einer Überschneidung mit einer Sub
stanzgrenzfläche verwendeten Daten zeigt; und
Fig. 10 stellt ein Flußdiagramm dar, das die Verarbeitung
mit Hilfe des Verfahrens zur Erzeugung eines Tetra
eders entsprechend einem zweiten Ausführungsbei
spiel der vorliegenden Erfindung veranschaulicht.
Beschreibung der bevorzugten Ausführungsbeispiele:
Unter Bezugnahme auf Fig. 7 wird die Erzeugung eines Drei
eckgitters für eine Analyse, die auf dem Finitedifferenz
verfahren basiert, in zwei Dimensionen beschrieben. Die
Fig. 8A bis 8E zeigen darüberhinaus der Reihe nach ver
schiedene Schritte des Ablaufs der Erzeugung eines Dreieck
gitters. Zuerst wird im Schritt 51 eines der Dreiecke, wel
ches sich mit der Substanzgrenzfläche B überschneidet, aus
einem Satz von Dreiecken mit Delaunay-Teilung ausgesucht.
Bei dem in Fig. 8A gezeigten Beispiel überschneidet sich
ein Dreieck L1 mit der Substanzgrenzfläche B (durch die
dicke Linie in Fig. 8A gezeigt). Dann wird im Schritt 52
eine Ecke, welche zum ausgesuchten Dreieck L1 gehört und
die sich nicht auf der Substanzgrenzfläche B befindet, als
beweglicher Knoten P ausgewählt, und der bewegliche Knoten
P wird auf die Substanzgrenzfläche B projiziert, um einen
Projektionspunkt P′ zu erhalten. Da sich tatsächlich eine
Vielzahl von Dreiecken mit der Substanzgrenzfläche B (in
dem gezeigten Beispiel mit drei Dreiecken L1, L2 und L3)
überschneidet, wird die eine der Ecken der drei Dreiecke,
welche sich nicht auf der Substanzgrenzfläche B befindet
und durch den kleinsten Abstand von der Substanzgrenzfläche
B getrennt ist, als beweglicher Knoten P ausgewählt.
Dann werden im Schritt 53 jene Dreiecke, das heißt, die
Verfahrensobjektdreiecke, aufgelistet, welche den bewegli
chen Knoten P gemeinsam haben. In dem in Fig. 8B gezeigten
Beispiel sind sechs Verfahrensobjektdreiecke L1 bis L6 ein
bezogen. Die drei Dreiecke L3 bis L5 von ihnen überschneiden
sich jedoch nicht mit der Substanzgrenzfläche B. Nachdem
die Verfahrensobjektdreiecke aufgelistet sind, werden im
Schritt 54 jene Dreiecke, das heißt, die peripheren Drei
ecke, welche um die Verfahrensobjektdreiecke angeordnet
sind, aufgelistet. Die peripheren Dreiecke sind jene Drei
ecke, welche mit einem der Verfahrensobjektdreiecke selbst
eine gemeinsame Seite besitzen. In dem in Fig. 2B gezeigten
Beispiel sind sechs periphere Dreiecke J1 bis J6 enthalten.
Danach wird im Schritt 55 geprüft, um festzustellen, ob der
Projektionspunkt P′ In einem um die peripheren Dreiecke J1
bis J6 umschriebenen Kreis enthalten ist oder nicht. Die
Prüfung wird in Fig. 8C verdeutlicht, in welcher die Kreise
mit den unterbrochenen Linien die umschriebenen Kreise der
peripheren Dreiecke J1 bis J6 zeigen. Wenn der Projektions
punkt P′ in einem der umschriebenen Kreise enthalten ist,
wird im Schritt 59, wenn die Delaunay-Teilung nicht erfüllt
ist, wenn der bewegliche Punkt P wie er ist zum Projekti
onspunkt P′ verschoben wird, der bewegliche Knoten P nicht
verschoben, sondern es wird ein Knoten am Projektionspunkt
hinzugefügt, und es werden Dreiecke erzeugt, um die Über
schneidung zu eliminieren, womit der Prozeß beendet ist.
Andererseits werden, wenn im Schritt 55 der Projektions
punkt P′ nicht in einem der umschriebenen Kreise enthalten
ist, alle Verfahrensobjektdreiecke L1 bis L6 im Schritt 56
gelöscht, wie in Fig. 8D gezeigt wird. Dann wird im Schritt
57 der bewegliche Knoten P zum Projektionspunkt P′ verscho
ben, woraufhin der Ablauf der Arbeitsschritte bei Schritt
58 weitergeht. Im Schritt 58 werden unter Verwendung des
Verfahrens des maximal enthaltenen Winkels erneut Dreiecke
in dem Bereich, aus welchem die Verfahrensobjektdreiecke im
Schritt 56 gelöscht wurden, unter Verwendung der äußersten
umhüllenden Seiten des Bereiches und des Knotens P′ nach
der Verschiebung konstruiert, womit der Prozeß beendet ist.
Fig. 8E zeigt einen Satz von Dreiecken nach der erneuten
Konstruktion und die erneut konstruierten Dreiecke sind mit
K1 bis K6 bezeichnet.
Mit Hilfe des oben beschriebenen Prozesses werden Über
schneidungen zwischen Dreiecken und einer Substanzgrenzflä
che eliminiert.
Als nächstes wird unter Bezugnahme auf Fig. 9 ein Beispiel
einer Datenstruktur beschrieben, die verwendet wird, wenn
die oben beschriebene Verarbeitung durchgeführt wird. In
der gezeigten Datenstruktur werden an den betreffenden
Dreiecken und Knoten Zahlen angebracht. Die Dreiecke, wel
che hier mit dem betreffenden Dreieck eine gemeinsame Seite
besitzen, werden als angrenzende Dreiecke des betreffenden
Dreiecks definiert. Für jedes der Dreiecke werden die Zah
len der angrenzenden Dreiecke und der Knoten, die in dem
Dreieck enthalten sind, in einem Speicher gespeichert. Je
der Knoten ist einer der Ecken des Dreiecks. Außerdem wer
den für jeden Knoten die Zahlen jener Dreiecke, das heißt,
der angeschlossenen Dreiecke, welche den Knoten als Ecke
besitzen, und die Koordinatenwerte der Knoten in einem
Speicher gespeichert. Wenn die Daten der beschriebenen
Struktur verwendet werden, entsprechen die einzelnen Drei
eckszahlen und die Zahlen der Knoten, die das Dreieck bil
den, einander und es kann leicht durchgeführt werden, eine
Knotenzahl oder -zahlen aus einer Dreieckszahl zu erhalten
und umgekehrt, aus einer Knotenzahl, eine Dreieckszahl,
welche den Knoten dieser Knotenzahl enthält. Außerdem kön
nen, da die angrenzende Dreieckszahlen im Speicher gespei
chert sind, leicht Informationen der Dreiecke erhalten wer
den, die an irgendein Dreieck angrenzen.
Wenn die oben beschriebene Datenstruktur eingesetzt wird,
um die Verfahrensobjektdreiecke im oben beschriebenen
Schritt 53 aufzulisten, ist es nur erforderlich, die Drei
eckszahl der Verbindungsdreiecke aus den Daten der Knoten
zahlen, die dem beweglichen Knoten entsprechen, abzurufen.
Wenn außerdem im Schritt 54 die peripheren Dreiecke auf zu
listen sind, ist es nur erforderlich, die Verfahrensobjekt
dreiecke aus dem aufgelisteten Satz der Dreiecke als an
grenzende Dreiecke aus den Daten der Verfahrensobjektdrei
ecke zu entfernen.
Unter Bezugnahme auf Fig. 10 wird die Erzeugung eines Te
traedergitters beschrieben, wenn eine auf dem Finitediffe
renzverfahren beruhende Analyse in drei Dimensionen durch
geführt werden soll.
Zuerst wird im Schritt 61 aus innerhalb einer Gruppe von
Tetraedern mit Delaunay-Teilung ein Tetraeder ausgesucht,
welcher sich mit der Substanzgrenzfläche überschneidet.
Dann wird im Schritt 62 eine Ecke, welche zu dem ausgesuch
ten Tetraeder gehört und die nicht auf der Substanzgrenz
fläche liegt, als beweglicher Knoten P ausgewählt, und der
bewegliche Knoten P wird auf die Substanzgrenzfläche proji
ziert, um einen Projektionspunkt P′ zu erhalten.
Da sich tatsächlich eine Vielzahl von Tetraedern mit der
Substanzgrenzfläche überschneidet, wird eine der Ecken des
Tetraeders, welche nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt
und durch den kleinsten Abstand von der Substanzgrenzfläche
getrennt ist, als beweglicher Knoten P ausgewählt. Im
Schritt 63 werden jene Tetraeder, das heißt, die Verfah
rensobjekttetraeder, welche den beweglichen Knoten P ge
meinsam haben, aufgelistet, und im Schritt 64 werden dann
jene Tetraeder, das heißt die peripheren Tetraeder, welche
um die Verfahrensobjekttetraeder angeordnet sind, aufgeli
stet. Die peripheren Tetraeder kennzeichnen die Tetraeder,
welche mit einigen der Verfahrensobjekttetraeder eine Ecke
gemeinsam haben, jedoch nicht das Verfahrensobjekttetrader
selbst sind.
Dann wird im Schritt 65 geprüft, um festzustellen, ob der
Projektionspunkt P′ in der um jeder der aufgelisteten Te
traeder umschriebenen Kugel enthalten ist oder nicht. Wenn
der Projektionspunkt P′ in einer der umschriebenen Kugeln
enthalten ist, geht, wenn die Delaunay-Teilung nicht er
füllt wird, wenn der bewegliche Knoten P so wie er ist zum
Projektionspunkt verschoben wird, der Ablauf der Arbeits
schritte mit Schritt 69 weiter, bei dem am Projektionspunkt
P′ ohne Bewegung des beweglichen Knotens P ein Knoten hin
zugefügt wird, und es werden Tetraeder erzeugt, die den
hinzugefügten Knoten verwenden, um die Überschneidung zu
eliminieren, womit der Prozeß beendet ist.
Andererseits werden, wenn der Projektionspunkt P′ im
Schritt 65 nicht in einer der umschriebenen Kugeln enthal
ten ist, alle Verfahrensobjekttetraeder im Schritt 66 ge
löscht, und dann wird im Schritt 67 der bewegliche Knoten P
zum Projektionspunkt P′ verschoben. Wenn die Verfahrensob
jekttetraeder gelöscht werden und ein Polyeder mit Drei
ecksflächen in einem Bereich gebildet wird, aus welchem die
Verfahrensobjekttetraeder gelöscht wurden, werden im
Schritt 68 erneut unter Verwendung des Verfahrens der mini
mal umschriebenen Kugel und unter Verwendung der äußersten
Umhüllungsfläche des Bereiches und dem Knoten P′ nach der
Verschiebung Tetraeder konstruiert, womit der Prozeß been
det ist.
Mit Hilfe des oben beschriebenen Prozesses wird die Über
schneidung zwischen einem Tetraeder und der Substanzgrenz
fläche eliminiert.
Es wird hier überprüft, in welchem Umfang sich die Zeit,
die für eine auf dem Finitedifferenzverfahren beruhenden
Analyse benötigt wird, von der unterscheidet, bei der ein
Dreieckgitter entsprechend der vorliegenden Erfindung er
zeugt wird, und der, bei der ein Dreiecksgitter entspre
chend einer herkömmlichen Technik erzeugt wird.
Es sei angenommen, daß die Anzahl der Knoten n ist, die
Analysezeit durch das Finitedifferenzverfahren steigt dann
im Verhältnis zu n auf die 1,5-te Potenz an. Die Anzahl der
Knoten, bevor die Elimination der Knoten durchgeführt wird,
wird durch n₀ dargestellt. Entsprechend der herkömmlichen
Technik werden Knoten fast bedingungslos hinzugefügt, um
Überschneidungen zu eliminieren, und die Anzahl der so hin
zugefügten Knoten wird mit nc dargestellt. Bei diesem Bei
spiel ist die Rate r, bei welcher der Prozeß des Finitedif
ferenzverfahrens durch Einsatz der Technik entsprechend der
vorliegenden Erfindung beschleunigt wird, gegeben durch
wobei α die erforderliche Zeit ist, die Dreiecke zu kon
struieren, welche in der vorliegenden Erfindung einen be
weglichen Punkt enthalten. Die Berechnung zur Konstruktion
der Dreiecke, welche einen beweglichen Punkt enthalten,
wird benötigt, um eine endliche Anzahl von Malen, ungeach
tet der Gesamtzahl der Knoten, durchgeführt zu werden. Wenn
die Anzahl nc von Knoten, die zum Eliminieren der Über
schneidungen hinzugefügt wird, insbesondere nc = 1.345 be
trägt, wobei die Knotenzahl n₀ = 10.252 ist, wird durch den
Einsatz der Technik entsprechend der vorliegenden Erfindung
eine Verminderung der Berechnungszeit um annähernd 20 Pro
zent erreicht.
Es ist jedoch einzusehen, daß obwohl die Eigenschaften und
Vorteile der vorliegenden Erfindung in der vorhergehenden
Beschreibung dargelegt wurden, die Offenbarung nur bei
spielhaft ist und daß innerhalb des Umfangs der anhängenden
Ansprüche Veränderungen in der Anordnung der Teile vorge
nommen werden können.
Claims (8)
1. Verfahren zur Erzeugung eines Dreiecksgitters, bei dem
aus einem Dreiecksgitter, welches der Bedingung der Delau
nay-Teilung genügt, Überschneidungen zwischen das Dreiecks
gitter bildenden Dreiecken und einer Substanzgrenzfläche
eliminiert werden, mit den Schritten:
Suche nach Dreiecken, die in dem Dreiecksgitter enthalten sind und eine Substanzgrenzfläche schneiden;
Auswahl einer der Ecken jedes der die Substanzgrenzfläche schneidenden Dreiecke als einen beweglichen Knoten, wobei die eine Ecke nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenz fläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten.
Auflisten der Dreiecke, die den beweglichen Knoten gemein sam haben, als Verfahrensobjektdreiecke, und Auflisten der Dreiecke, die um die Verfahrensobjektdreiecke herum liegen, als periphere Dreiecke; und
Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einem um jedes der peripheren Dreiecke umschriebenen Kreis liegt und, wenn dies der Fall ist, Hinzufügen eines Knotens am Projektionspunkt und Erzeugung von Dreiecken unter Verwen dung des Knotens, und wenn der Projektionspunkt nicht in einem um jedes der peripheren Dreiecke umschriebenen Kreis liegt, Löschen aller Verfahrensobjektdreiecke, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Dreiecken in dem Bereich, aus dem die Ver fahrensobjektdreiecke entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens des maximalen eingeschlossenen Winkels.
Suche nach Dreiecken, die in dem Dreiecksgitter enthalten sind und eine Substanzgrenzfläche schneiden;
Auswahl einer der Ecken jedes der die Substanzgrenzfläche schneidenden Dreiecke als einen beweglichen Knoten, wobei die eine Ecke nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenz fläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten.
Auflisten der Dreiecke, die den beweglichen Knoten gemein sam haben, als Verfahrensobjektdreiecke, und Auflisten der Dreiecke, die um die Verfahrensobjektdreiecke herum liegen, als periphere Dreiecke; und
Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einem um jedes der peripheren Dreiecke umschriebenen Kreis liegt und, wenn dies der Fall ist, Hinzufügen eines Knotens am Projektionspunkt und Erzeugung von Dreiecken unter Verwen dung des Knotens, und wenn der Projektionspunkt nicht in einem um jedes der peripheren Dreiecke umschriebenen Kreis liegt, Löschen aller Verfahrensobjektdreiecke, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Dreiecken in dem Bereich, aus dem die Ver fahrensobjektdreiecke entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens des maximalen eingeschlossenen Winkels.
2. Verfahren nach Anspruch 1,
bei dem diejenige Ecke der die Substanzgrenzfläche schnei
denden Dreiecke, die den geringsten Abstand von der Sub
stanzgrenzfläche hat, als der bewegliche Knoten gewählt
wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1,
bei dem eine Datenstruktur verwendet wird, bei der den das
Dreiecksgitter bildenden Dreiecken und Knoten einzeln Num
mern zugeordnet werden, und daß für jedes der Dreiecke die
Nummern von benachbarten Dreiecken und die Nummern von in
dem Dreieck enthaltenen Knoten in einem Speicher gespei
chert werden, während für jeden der Knoten die Nummern der
Dreiecke, die den Knoten als Ecke haben, und die Koordina
tenwerte des Knotens in dem Speicher gespeichert werden.
4. Verfahren nach Anspruch 1,
bei dem das Dreiecksgitter für eine Analyse nach dem Ver
fahren der finiten Differenzen benutzt wird.
5. Verfahren zur Erzeugung eines Tetraedergitters, bei dem
aus einem Tetraedergitter, welches der Bedingung der Delau
nay-Teilung genügt, Überschneidungen zwischen das Te
traedergitter bildenden Tetraedern und einer Substanz
grenzfläche eliminiert werden, mit den Schritten:
Suche nach Tetraedern, die in dem Tetraedergitter enthalten sind und eine Substanzgrenzfläche schneiden;
Auswahl einer der Ecken jedes der die Substanzgrenzfläche schneidenden Tetraeder als einen beweglichen Knoten, wobei die eine Ecke nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenz fläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten.
Suche nach Tetraedern, die in dem Tetraedergitter enthalten sind und eine Substanzgrenzfläche schneiden;
Auswahl einer der Ecken jedes der die Substanzgrenzfläche schneidenden Tetraeder als einen beweglichen Knoten, wobei die eine Ecke nicht auf der Substanzgrenzfläche liegt, und Projizieren des beweglichen Knotens auf die Substanzgrenz fläche, um einen Projektionspunkt zu erhalten.
Auflisten der Tetraeder, die den beweglichen Knoten gemein
sam haben, als Verfahrensobjekttetraeder, und Auflisten der
Tetraeder, die um die Verfahrensobjekttetraeder herum lie
gen, als periphere Tetraeder; und
Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einer um jedes der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt und, wenn dies der Fall ist, Hinzufügen eines Knotens am Projektionspunkt und Erzeugung von Tetraedern unter Verwen dung des Knotens, und wenn der Projektionspunkt nicht in einer um jedes der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt, Löschen aller Verfahrensobjekttetraeder, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Tetraedern in dem Bereich, aus dem die Verfahrensobjekttetraeder entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens des maximalen eingeschlossenen Winkels.
Prüfen, um festzustellen, ob der Projektionspunkt in einer um jedes der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt und, wenn dies der Fall ist, Hinzufügen eines Knotens am Projektionspunkt und Erzeugung von Tetraedern unter Verwen dung des Knotens, und wenn der Projektionspunkt nicht in einer um jedes der peripheren Tetraeder umschriebenen Kugel liegt, Löschen aller Verfahrensobjekttetraeder, Verschieben des beweglichen Knotens zum Projektionspunkt und erneutes Konstruieren von Tetraedern in dem Bereich, aus dem die Verfahrensobjekttetraeder entfernt wurden, unter Verwendung des Verfahrens des maximalen eingeschlossenen Winkels.
6. Verfahren nach Anspruch 5,
bei dem diejenige Ecke der die Substanzgrenzfläche schnei
denden Tetraeder, die den geringsten Abstand von der Sub
stanzgrenzfläche hat, als der bewegliche Knoten gewählt
wird.
7. Verfahren nach Anspruch 5,
bei dem das Tetraedergitter für eine Analyse nach dem Ver
fahren der finiten Differenzen benutzt wird.
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