DE1903609B2 - Elektrische filterschaltung - Google Patents

Description

Uü ^{= k} Ι + Β,ρ² + B₂/ +-B_nP²- W

Die Wurzeln des Zählerpolynoms sind die komplexen Nullfrequenzen p₀ = -σ₀ ±;'ω₀ des Filters; die Wurzeln des Nennerpolynoms sind die Polfrequenzen p_K = ± 7CU₀₀ des Filters. Da die Koeffizienten A_n, B_n als Funktionen der Widerstände R und der Kondensatoren C reelle Zahlen sind, treten die Eigenfrequen*.en immer in konjugiert komplexen Paaren auf.

Man kann nun die am Eingang bzw. Ausgang des Verstärkers angeordnete Brücke, bestehend aus den Netzwerken Z₁, Z₂ und Z₃ so bemessen, daß bei η vorgeschriebenen Frequenzen am Brückpunkt χ Brükkengleichgewicht auftritt. Wenn man nun den Punkt χ über einen Ein- bzw. Auskopplungsleitwert mit dem Eingangs- bzw. Ausgangspol des Filters verbindet, so sind diese Frequenzen die Polfrequenzen der Dämpfungskurve U_n = 0, weil über eine abgeglichene Brücke keine Spannung eingespeist oder ausgekoppelt werden kann.

Führt man dagegen vom Gleichgewichtspunkt χ einen Gegenkopplungsleitwert zum Ausgang bzw. zum Eingang des Verstärkers zurück, so kann man dadurch Nullstellen der Dämpfungskurve erzeugen, weil dann bei den Abgleichfrequenzen der Brücke die Gegenkopplung unwirksam wird und die (unendlich groß vorausgesetzte) Verstärkung voll zur Geltung kommt ([/„ = oo). Um ein Brückengleichgewicht bei η Frequenzen herstellen zu können, müssen die Brückenimpedanzen (Z₁, Z₂, Z₃) mindestens 2 π Kondensatoren und 2 η Widerstände enthalten (kanonische Schaltung). Am anderen Brückenpunkt Y wird dann im allgemeinen bei η anderen Frequenzen ebenfalls Brückengleichgewicht eintreten. Doch kann man diese Frequenzen in einer kanonischen Schaltung nicht mehr frei wählen. Zur Realisierung einer gewünschten Dämpfungskurve muß man jedoch sowohl die Polfrequenzen als auch die Nullfrequenzen beliebig vorschreiben können. Dies wird bei einem kanonischen RC-Brückenfilter am besten dadurch erreicht, daß man mehrere Ein- bzw. Auskopplungsleitwerte oder Gegenkopplungsleitwerte verwendet, wie im folgenden näher ausgeführt wird.

Wir behandeln den Fall, daß die Brücke (Z₁, Z₂, Z₃) am Eingang des Gegentaktverstärkers angeordnet ist (Fig. 1). Vom Eingangspol/ zu den vier Brückenpunkten (x, y, u, v) führen die im allgemeinen komplexen, vorzugsweise aber ohmschen Einkopplungswerte (Sx' gy Su> gf)· V°ⁿ den ^ν·^εΓ Brückenpunkten zum Ausgangspol (des Verstärkers und des Filters) // führen die vorzugsweise rein ohmschen Gegenkopplungsleitwerte (G_x, G_v, G_u, G„). Alle diese Leitwerte müssen

3\ 4

Jclein bleiben gegen die Brückenleitwerte (l/Ζπ). Man Wir setzen in Formel (2a) gemäß F i g. 2

■Vereinfacht die Rechnung und beschränkt sich auf

das wesentliche, wenn man sie, wie im folgenden, un- Z- = ^¹ Z- = Z₃ = R₃,

endlich klein voraussetzt Dann läßt sich die Dämp- ^% 1 + ρ R₁ C₁ ' ^r " ^r-

fiingsfunktion des Brücken-RC-Filters in folgender 5

Form darstellen: _rühren ^ _Abkürzungen

U₁ _ X₃Z_{3 +} K₂Z₂-X₁Z_{1 nx} gx-gy

w.p^ipJ ^{ein und erha!ten die} ^mpfungsfunktion (2a):

zweige Funktionen der komplexen Frequenz ρ =

(σ +j ω) sind, während die Koeffizienten fc_m K_n fol- 15 F (P)

gende, vorzugsweise reelle Werte haben: _ 1 P[_{11 321}Q

~* 1 +PiR₁C₁ + UR₃C₂-R₁C₂] + P²OR₁C₁R₃C₂

fcj = gx + gy-gu + gt>; K₁ = G₁₊ G_y- G_n + G_v, Die Wurzeln des Zähler-Polynoms sind die vor-

h = gx + g_y + gu~gi>; ^₂ = G_x+G_y+G_n-G_v, 20 geschriebenen Nullfrequenzen p₀ = -σ₀ ±ju>₀, die

_t __e__e+g_»· κ, = G-G+G-G Wurzeln des Nenner-Polynoms die ebenfalls vorge-

k,-g_x g_y+g„ g„, A₃ O_x O_y+O„ G₁. _{schriebenen Polfrequenze}n _Pa! = ±j«o_e. Hieraus

folgt

Die Leitwerte g_w g_c oder G^ G_v treten nur in der

Differenz {g_u - g_v) auf. Es genügt also in allen Fällen 25 _ 1 + ρ [2 .T₀/^] + p²/^

einer von den beiden Leitwerten; der andere kann FvP) - 1 ₊ p²/,,/^

gleich Null gesetzt werden und somit entfallen.

Die Einführung von Bewertungskoeffizienten (K, k) mit
im Zähler und im Nenner der Gleichung (2) bringt

im allgemeinen eine größere Freiheit in der Bemes- 30 ">l = ⁿo + <"o ·

sung der Brückenimpedanzen Z. Man kann dadurch

beispielsweise die Forderung erfüllen, daß zwei gleich- Durch Gleichsetzen entsprechender Glieder erhält

artige Schaltelemente, wie zwei Kondensatoren, glei- man die Bemessungsformeln für die Schaltelemente chen elektrischen Wert, also gleichen Kapazitätswert, des Filters. Insbesondere folgt
erhalten. Es genügt allerdings meistens, wie schon 35

eingangs gesagt, nur einen Gegenkopplungs- oder „£

einen Einkopplungsleitwert anzuordnen. Im ersten α = f 1

Falle (a) erhalten wir

T=G=G=O K₁ = K, = K* = G 4° wodurch das Filter als Tiefpaß gekennzeichnet ist,

^y " " ' zj*' bei dem die Polfrequenz größer als die Nullfrequenz isi.

Die im Hauptpatent dargestellte Form des Tiefpaß-

p,, . _ _r Z₃₊Z ₂- Z₁ RC-Brückenfilters mit nur einem Einkopplungswider-

f(P) - W K₃Z_{3 +} Ii₂Z₂- Ii₁Z₁' ^{ ' stand r₀ und dafür drei Brückenwiderstände (R₁K₂K₃)

45 erhält man aus der Schaltung, F i g. 2, wenn man das Widerstandsdreieck [R₃, 1/g*, l/g,,] in einen im anderen Falle (b) gilt Widerstandsstern Ir₀R₃R₂) verwandelt.

Beispiel 2
g, = g„ = g„ = O, fc,=*_a=-*,-g„ ₅o _Hochpaß

1 Ki₁Z₃ + K₁Z - K Z ^D'^e Schaltung eines Hochpasses vom Grad 2 zeigt

F(p) = — —' —7 ' ■ (2b) Fig. 3. Auch hier genügen zwei Einkopplungsleit-

^{8y 3 2 l} werte (g_x und g,.). Entsprechend F 5 g. 3 setzen wir

55 in Formel (2a):
Im folgenden wird anhand von Ausführungsbei- „ I

spielen die Bauform (a) (mehrfache Einkopplung) bei Z₁ = -: ^—p-; Z₂ = R₂; Z₃ = ^-,

nur einem Gegenkopplungsweg behandelt. Diese Aus- · + P *m *■ 1 P ^c ■'

fiihrungen gelten sinngemäß für die anderen Fälle.

⁶⁰ ferner wie beim Tiefpaß

Beispiel 1 _G

_. , „ α = -Ι*_-5ί~ und D₀ = -- ------.

Tiefpaß _gx + _gy g_x + g_y

Den Aufbau eines Tiefpasses vom Grade 2 zeigt . _r . .

F iVz In diesem Fall genügen zwei Einkopplungt Dann erhalt man folgende Dampfungsfunkt.on

leitwerte (g_x und g_v). (2a):

R₂C₃-R₁C, + I)₂R₁C₁R₂C₃

¹^ \+PR₁C₁ +R₂C₃Ia - R₁C₃/'a + p²R₁C₁R₂CJa '

Die Formel ist jener des Tiefpasses analog, mit dem Unterschied, daß hier gilt:

a =

_(i2

daß also die Polfrequenz kleiner als die Nullfrequenz ist, wodurch ein Hochpaß gekennzeichnet wird.

Bandoaß
^p

Die Schaltung eines Bandpasses vom Grade η = 2 zeigt F i g. 4. Beachtenswert ist daß hier das Bandpaßverhalten bereits mit nur einer Brücke erzielt wird, also weder eine Doppelbrücke noch eine Kettenschaltung eines Hochpasses und eines Tiefpasses vorliegt. Wir verwenden die normierte Frequenz ρ = (π +Jm)R₀C₀; dann ergeben sich bei einem Aufbau gemäß F i g. 4 folgende Ausdrücke für die Brückenimpedanzen und Koeffizienten:

7 ir - Hl+P)

²^ - TT(2 + biop + 7 '

A₀₁ = 4 + b/c + k₂a/k₃ - k_tb/k₃,

Β_ω = 2 + (2 + k₂a/k₃)(2 + b/c) - 2Ic₁ b/k₃.

(Wegen des symmetrischen Aufbaus der Brückenimpedanzen treten nur vier verschiedene Koeffizienten A₀B₀A_xB_x auf.)

Entsprechend dem gewünschten Verlauf der Dämpfungskurve sind die Wurzeln des Zähler- und Nennerpolynoms (Nullstellen und Pole der Dämpfungsfunktion) gegeben. Bei einem Bandfilter mit zur Bandmittenfrequenz (o»_o = 1/R₀C₀) geometrisch-symmetrischem Dämpfungsverlauf gilt für die normierten Eigenfrequenzen in Polarkoordinatendarstellung:

Nullstellen: Cp₀] , ₄ = _eo±' exp ± j _Vo,

Pole:

= ±7e

i¹

so daß die vier Doppelwurzeln also schon durch die drei Werte ψ₀, o_r„ _ί<α gegeben sind. Es gilt

_F() _ (P-POi)(P-Pq₂)(P-P₀₃)(P~ Pot)

Z₂ZR₀ =

Z₃IR₀ =

= gx +

Die beiden Ausdrücke (3 a) und (3 b) werden gleich-

gesetzt. Man kann dabei die Größen Ic₀ = b\c und fc₃

willkürlich annehmen, die übrigen Bemessungsgrößen (o, b, Ic₁, Ic₂) sind dann aus der Lage der Pole und Nullstellen (q^qo^ ) wie folgt berechenbar:

^3S

k₃ = g_x - g_r + gu-

Aus Gründen der übersichtlicheren rechnerischen Behandlung sind alle RC-Kreise mit der gleichen Zeitkonstanten R_nC_n = l/o>₀ angenommen worden, wodurch eine zu ω₀ geometrisch-symmetrische Dämpfungskurve erhalten wird. Sinngemäß gelten jedoch nach entsprechender Ergänzung die Ergebnisse auch für einen unsymmetrischen Aufbau der Brücke.

Obige Werte von Z und k werden in Formel (2 a) eingesetzt die dann folgende Form annimmt:

a = [ρ₀+ ₀

b = [2 + fc„ + (o₀ + \l_Go) cos _Ψογ/
fco-(ft,- 1/eo)² Sm
k₂a/k₃ = [o + l/p ^²Ik_n
fcjb/fc₃ = [2 + fco]²/fc_o + [_gir - 1/Q₀J²Z

Aus Jq k₂ k₃ folgen die Kopplungsleitwerte
g* = (fci +fc₃)/2,

gv = (*2"*3)/2,

wobei gflt

A₀ = 4 + b/c + a - ft,

^o = 2 + (2 + a) (2 + b/c) -2b,

Stets gilt ^/Jt₃ > 1, was aus den Formeln (4) folgt

da cos ψο < 0 und beim Bandfilter Q₀ < ρ_α ist Des-

halb ergibt sich g_y stets positiv. Sollte dagegen g,

negativ werden (Ic₂ < Ic₁); so müßte man statt g„ den

Leitwert g_r einführen der dann positiv wird

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen

Claims (1)

1. 9 03

   Patentanspruch:

   . "** Elektrische Filterschaltung unter Verwendung eines Operationsverstärkers, der in seinem Eingang und/oder seinem Ausgang ein Gegentaktklemmenpaar hat und der über ein frequenzselektives, nur aus Widerständen und Kondensatoren bestehendes Netzwerk gegecgekoppelt ist, und bei der weiterhin das im Gegenkopplungsweg liegende Netzwerk zumindest eine Brückenschaltung enthält, von der zwei Zweige durch die Zusammenschaltung von wenigstens einem Widerstand mit wenigstens einem Kondensator und die beiden anderen Zweige durch das Gegentaktklemmenpaar des Operationsverstärkers gebildet sind und die aus Widerständen und Kondensatoren gebildeten Zweige dieser Brückenschaltung derart in der Frequenzabhängigkeit ihres Scheinwiderstandes unterschiedlich sind, daß hierdurch ein Nullstellenpaar der Dämpfungsfunktion der Ubertragungsdämpfung festgelegt ist, nach Hauptpatent 1541972, dadurch gekennzeichnet, daß eine Klemme (/ bzw. //) des Eingangs- und/oder des Ausgangsklemmenpaares der Filterschaltung mit unterschiedlichen Brückenpunkten (x, y, u, v) ihrer zugehörigen Brückenschaltung über Kopplungswiderstände {g^ g_y bzw. g,,, g„) verbunden ist und/oder daß wenigstens zwei Gegenkopplungswege (G_x, G, bzw. G„ GJ vorgesehen sind, die zu unterschiedlichen Brückenpunkten (x, u bzw. t\ y) einer Brückenschaltung führen (F i g. 1 bis 4).

   35

   Die Erfindung bezieht sich auf eine elektrische Filterschaltung nach dem Hauptpatent 15 41 972. Im Hauptpatent ist eine elektrische Filterschaltung unter Verwendung eines Operationsverstärkers, der in seinem Eingang und/oder seinem Ausgang ein Gegentaktklemmenpaar hat und der über ein frequenzselektives, nur aus Widerständen und Kondensatoren bestehendes Netzwerk gegengekoppelt ist, angegeben. Wesentlich für diese Filterschaltung ist, daß das im Gegenkopplungsweg liegende Netzwerk zumindest eine Brückenschaltung enthält, von der zwei Zweige durch die Zusammenschaltung von wenigstens einem Widerstand mit wenigstens einem Kondensator und die beiden anderen Zweige durch das Gegentaktklemmenpaar des Operationsverstärkers gebildet sind, und daß die aus Widerständen und Kondensatoren gebildeten Zweige dieser Brückenschaltung derart in der Frequenzabhängigkeit ihres Scheinwiderstandes unterschiedlich sind, daß hierdurch, wie an sich bekannt, ein Nullstellenpaar der Dämpfungsfunktion der Ubertragungsdämpfung festgelegt ist.

   Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, Filterschaltungen dieser Art in der Weise weiterzubilden, daß hinsichtlich der Verteilung der Polstellen und Nullstellen in der komplexen Frequenzebene mehr Freiheit erhalten wird und/oder daß bestimmte Schaltelemente, wie Kondensatoren und Widerstände in ihren elektrischen Werten innerhalb der Filterschaltungen gleich oder weitgehend gleich gemacht werden Ausgehend von einer Filterschaltung nach dem Hauptpatent wird diese Aufgabe gemäß der Erfindung dadurch gelöst, daß eine Klemme des Eingangs- und/ oder des Ausgangsklemmenpaares der Füterschaltung mit unterschiedlichen Brückenpunkten ihrer zugehörigen Brückenschaltung über Kopplungswiderstände verbunden ist und/oder daß wenigstens zwei Gegenkopplungswege vorgesehen sind, die zu unterschiedlichen Brückenpunkten einer Brückenschaltung führen.

   Nachstehend wird die Erfindung näher erläutert.

   Die Dämpfungsfunktion eines Tiefpasses vom Grade 2 η oder eines Bandpasses vom Grade η hat folgende Form: