DD259485A1

DD259485A1 - Demonstrationsmodell optimierung in drei teilen

Info

Publication number: DD259485A1
Application number: DD30135887A
Authority: DD
Inventors: Guenter Ballasus
Original assignee: Tech Hochschule C Schorlemmer
Priority date: 1987-04-01
Filing date: 1987-04-01
Publication date: 1988-08-24

Abstract

Die Erfindung ist ein Lehrmittel, das an Hoch- und Fachschulen eingesetzt werden kann, um das Verstaendnis fuer die Optimierung wesentlich zu erweitern. Erfindungsgemaess wird ein Demonstrationsmodell in drei Teilen vorgestellt. Das erste Modell ist ein Lehrmittel fuer die lineare Optimierung. Das zweite Modell ist ein Lehrmittel fuer die nichtlineare Optimierung. Das dritte Modell ist ein Lehrmittel zur Veranschaulichung von Naeherungsverfahren in der Optimierung.

Description

Hierzu 3 Seiten Zeichnungen

Anwendungsgebiet der Erfindung

Die Erfindung ist ein Lehrmittel, das in der Lehre an Hoch- und Fachschulen mit mathematisch-physikalischen, technischen, technologischen und ökonomischen Fachrichtungen eingesetzt werden kann.

Stand der Technik

Zur Demonstration von wissenschaftlichen Untersuchungen in räumlicher Darstellung liegt das Patent DD 11 672 vor. Der Nachteil dieses Patentes besteht darin, daß es für die Veranschaulichung der Optimierung ungeeignet ist. Lehrmittel für die Darstellung der Optimierung werden dagegen durch das Patent 127834 erfaßt. Diese Lehrmittel sind zweidimensional und stellen damit einen hohen Anspruch an das räumliche Vorstellungsvermögen der Studenten.

Ziel der Erfindung

Die Erfindung hat zum Ziel, das Verständnis für die Optimierung wesentlich zu erweitern.

Die Optimierung technologischer und ökonomischer Prozesse gewinnt im Zeitalter der wissenschaftlich-technischen Revolution mehr und mehr an Bedeutung. Der Absolvent eines Hoch- bzw. Fachschulstudiums sollte die Methoden der Optimierung beherrschen.

Darlegung des Wesens

Für die räumliche Darstellung der Optimierung sind derzeit keine geeigneten Lehrmittel bekannt. Diese Lehrmittel sind aber ' deshalb erforderlich, weil das räumliche Vorstellungsvermögen der Studierenden nicht den Anforderungen genügt und Schwierigkeiten im Verständnis der Optimierung und verschiedener Optimierungsmethoden auftreten. Erfindungsgemäß wird ein Demonstrationsmodell Optimierung in drei Teilen vorgestellt.

Das erste Modell ist ein Lehrmittel für die lineare Optimierung. Es wird die Lösbarkeit eines linearen Optimierüngsproblems in Abhängigkeit von der Wahl zulässiger Lösungsbereiche veranschaulicht.

Das zweite Modell ist ein Lehrmittel für die nichtlineare Optimierung. Es werden die Methode von Lagrange und die Lösbarkeit eines konvexen Optimierungsproblems in Abhängigkeit von der Wahl zulässiger Lösungsbereiche demonstriert. Das dritte Modell ist ein Lehrmittel zur Veranschaulichung von Näherungsverfahren in der Optimierung. Alle drei Modelle enthalten eine quadratische Grundplatte, die in den 4 Ecken Vorrichtungen besitzt, die oberseitig zur Aufnahme von Rundstäben aus Metall und unterseitig zur Befestigung von Rundfüßen geeignet sind. Überzogen ist die Grundplatte oberseitig mit Metallblech, auf das eine X₁-AChSe und eine x₂-Achse farbig dargestellt sind, die sich links unten schneiden. Ausgehend von den Einheiten auf den Achsen erhält die Grundplatte einen Lochraster von 45 Löchern geringer Tiefe. Im Schnittpunkt beider Achsen befindet sich die Vorrichtung zur Aufnahme eines Rundstabes, der mit einer Kegelspitze versehen, die z-Achse darstellen soll. Die anderen Rundstäbe dienen der Befestigung eines ebenen Flächenstückes im Raum. Einzelheiten des ersten Modells

Die oberen Enden der drei Rundstäbe dienen der Befestigung des Ebenenstückes in Form eines Parallelogramms mittels Bohrungen, abgeschrägten Hülsen und Rändelmuttern. Das verwendete Material für das Ebenenstück ist durchsichtig. Dargestellt wird die Funktion

z = f(x₁₍x₂) = Xi + -X₂.

Das Ebenenteil besitzt einen Parallelogrammraster aus Durchbohrungen, welches dem Quadratraster auf der Grundplatte zugeordnet ist.

Zum Modell gehören mehrere Schablonen aus durchsichtigem Material mit Quadratraster, die zulässige Lösungsbereiche darstellen sollen. Der Rand ist farblich hervorgehoben. Zu jeder dieser Schablonen gehört eine entsprechende Schablone aus durchsichtigem Material mit farbigem Rand für das Ebenenteil. Diese Schablonen sind mit dem Parallelogrammraster versehen.

Zur Darstellung von Höhenlinien auf dem Ebenenteil und auf der Grundplatte stehen farbige Blechstreifen bereit. Diese Blechstreifen haben unterseitig 2 Stifte zum Aufstecken auf die Schablonen. Ein Loch in der Mitte bzw. am Ende des Streifens ermöglicht das Durchstecken von geraden farbigen biegesteifen Drahtstücken senkrecht zur Grundplatte.

Einzelheiten des zweite Modells

Die Befestigung des Ausschnittes einer Halbkugelfläche aus durchsichtigem Material erfolgt in analoger Weise wie beim ersten Modell an den Enden von Rundstäben, wobei die z-Achse zur Befestigung mit einbezogen ist. Dargestellt wird die Funktion

ζ = f(xi,x₂) = 11- V49 - (x7 - 4)² - (x₂ -"if. '

Die Fläche besitzt eine wohldefinierte Anzahl von Durchbohrungen.

Zum Modell gehören Kreisscheiben aus durchsichtigem Material mit farbigem Rand, die auf die Fläche gesteckt werden und Höhenlinien darstellen sollen. Passende Kreisscheiben bzw. -ringe aus durchsichtigem Material werden auf die Grundplatte

gelegt. _

Zwei Viertelkreisscheiben aus durchsichtigem Material mit farbigem Rand für die Grundplatte und entsprechende gebogene farbige aufsteckbare Blechstreifen für die Fläche liegen bereit. Gerade Drahtstücke veranschaulichen bestimmte z-Werte.

Einzelheiten des dritten Modells

Im Unterschied zum zweiten Modell ist die dargestellte Fläche Teil der Mantelfläche eines elliptischen Paraboloids. Dieses Flächenstück besteht aus durchsichtigem Material. Es liegen Ebenenteile aus durchsichtigem Material vor, die unter die Fläche geschoben werden können und dann senkrecht zur Grundfläche stehen, was durch flache Füße ermöglicht wird. Der obere Rand der Flächenteile ist farbig hervorgehoben. Der tiefste Punkt des Randes und sein z-Wert werden andersfarbig dargestellt.

Ausführungsbeispiel

Am Beispiel des linearen Optimierungsproblems

.1 Z = X₁H X₂ —» max

-X₁ + X₂ S 4

2X₁ + 3x₂S 22 4X₁ -X₂ S 16 x₁₍x₂ 2 0

wird der Einsatz des Demonstrationsmodells Optimierung beschrieben. Dabei sind zwei Varianten möglich.

Variante 1: Zeichnerische Lösung

Die Studierenden lösen zunächst das dem zulässigen Lösungsbereich entsprechende lineare Ungleichungssystem und stellen es in einer x_i7x₂-Ebene dar. Der Übungsleiter legt die passende Schablone auf die Grundplatte. Danach wird diez-Achse befestigt.

Es folgen die Befestigung der Haltestabe und der durchsichtigen Platte, zur Darstellung der vorliegenden Zielfunktion. Zum zulässigen Lösungsbereich gehört ein konvexes Polyeder auf der durchsichtigen Platte. Es wird die passende Schablone aufgelegt und durch zwei Steckstifte vor dem Rutschen gesichert. Die Studierenden formulieren jetzt die Gleichung für die Höhenlinien und lösen diese nach x₂ auf. Die Gleichung einer beliebigen Höhenlinie wird aufgestellt und am Modell durch zwei Blechstreifen veranschaulicht. Dann wird der Prozeß der Optimierung durch Hinzufügen weiterer Streifen realisiert und von den Studierenden durch Zeichnen nachvollzogen. Das Optimum wird am Modell abgelesen und durch Einsetzen der zugehörigen Xi,x₂-Werte in die Gleichung der Zieifunktion bestätigt.

Variante 2: Rechnerische Lösung eines linearen Optimierungsproblems (Simplex-Verfahren) Die zeichnerische Lösung wird als bekannt vorausgesetzt. Das Simplex-Verfahren wurde in der Vorlesung behandelt. Das Modell ist aufgebaut. Es fehlen lediglich die Streifen bzw. Stäbe zur Darstellung der Höhenlinien bzw. z-Werte.

An der Tafel stehen bereits Aufgabenstellung und 1.Tableau. Dann wird das 2.Tableau durch Rechnung gewonnen und die zulässige Basislösung notiert. Am Modell wird die zugehörige Ecke gesucht, die Höhenlinie dargestellt und der z-Wert fixiert.

Dieser z-Wert ist durch die Punkte 1-1' festgelegt. Danach wird das 3.Tableau bestimmt und die zugehörige zulässige Basislösung abgelesen. Am Modell wiederholt sich der bereits genannte Vorgang.

Das Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab. In unserem Beispiel sind es 3 Schritte.

Claims

1. Demonstrationsmodell in drei Teilen, gekennzeichnet dadurch, daß sich oberseitig auf einer quadratischen Grundplatte befinden:

— ein Lochraster mit 45 Löchern,

— eine farbig dargestellte x_rAchse und x₂-Achse, die senkrecht aufeinander stehen mit einem Schnittpunkt in der linken unteren Ecke,

— je eine Vorrichtung zur oberseitigen Aufnahme von Rundstäben und unterseitigen Befestigung von Rundfüßen,

— Hülsen und Rändelmuttern zur Befestigung der drei verschiedenen durchsichtigen Flächen im Raum

und daß zum Modell durchsichtige Schablonen mit Quadratraster, durchsichtige Schablonen mit Parallelogrammraster, farbige Blechstreifen und verschieden lange gerade biegesteife Drähte gehören.

2. Demonstrationsmodell nach Punkt 1, gekennzeichnet dadurch, daß der Rundstab in der linken unteren Ecke als z-Achse kenntlich gemacht wird, als Flächen im Raum vorzugsweise ein Ebenenteil in Form eines Parallelogramms, ein Teil einer Halbkugelfiäche und ein Teil der Mantelfläche eines elliptischen Paraboloids Verwendung finden und die Blechstreifen unterseitig 2 Stifte zum Aufstecken besitzen.

3. Demonstrationsmodell nach Punkti und 2, gekennzeichnet dadurch, daß Rundstäbe vorzugsweise aus Metall und durchsichtige Flächen vorzugsweise aus Piacryl Verwendung finden.