CN112572410A - 一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法 - Google Patents

Abstract

一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法，其特征在于，该方法包括期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块、稳定性判定模块、模型预测控制器和CarSim车辆模型；期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块用于确定期望的汽车横摆角速度与质心侧偏角；稳定性判定模块用于确定汽车的稳定状态趋势；CarSim车辆模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度，横摆角速度和质心侧偏角；模型预测控制器优化求解出汽车的前轮转角并输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制。

Description

一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法

技术领域：

本发明涉及汽车侧向稳定性控制领域，具体地说是一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法。

背景技术：

自1986年英国发生了全球第一起致死性车祸至今，全球已有4000多万人在交通事故中丧生。研究表明，中、高车速发生的交通事故中约有四成与车辆侧向失稳有关。因此，针对车辆侧向失稳的稳定性控制受到了各研究机构和汽车企业的重视。极限驾驶工况主要指由于突发状况、恶劣环境和极端路况导致的汽车运动接近或达到动力学极限的驾驶工况。这类事故多与汽车的侧向运动相关。如在积水、积雪的道路上紧急转弯或紧急制动时汽车的前轴或后轴易发生侧滑，导致汽车冲出车道、发生“甩尾”，甚至出现侧翻等交通事故。再如，汽车在高速行驶过程中躲避前方突然出现的障碍物时，不当或不及时的操作也可能会导致汽车出现侧滑、翻车或与障碍物发生碰撞等危险，造成严重的交通事故。因此，针对车辆侧向动力学的主动安全技术近年来得到了广泛关注。基于侧向力的车辆稳定性控制主要是基于转向系统的控制方法，如电动助力转向(electric power steering，EPS)、主动前轮转向(active front steering，AFS)、线控转向(steer-by-wire，SBW)等。其中，AFS不仅硬件基础好，而且工作时不会对驾驶员造成伤害，更适用于稳定性控制这种快速干预和高动态响应的控制。在基于AFS的侧向稳定性控制方面，国内外已经有了大量研究成果。在控制算法方面，常见的有模糊控制、滑模控制、鲁棒控制、线性二次最优控制和模型预测控制等等。尽管这些控制方法在理论上都可以解决这一类控制问题，但是面对汽车这样的强非线性和带约束的控制系统，模型预测控制则更有优势。

国内外在进行汽车侧向稳定性控制研究时，通常假设汽车的轮胎侧偏角较小，将轮胎模型简化成线性轮胎模型，因此并不适用于高速极限工况下的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制。由于采用的轮胎模型是线性的，控制器会认为只要不断增大侧偏角就可以得到任意大的侧向力，实际上这会导致控制器超出侧向力的附着极限。为了避免这种情况，通常需要对侧向力或其相关量进行约束。当侧向力被约束在最大值F_y，max处时，AFS的工作区域仅为[0,α_limit]。实际控制器中的约束有时则更加保守。这将导致轮胎力不能被充分利用，限制AFS的工作范围。当车辆的侧向加速度较大或者路面附着系数较低时，轮胎力常处于非线性区域，甚至进入滑移区域。此时，基于线性轮胎模型设计的AFS控制器将不能满足控制需求。

因此，许多的学者开始关注车辆系统的非线性对AFS控制效果的影响。然而，非线性模型预测控制需要在线求解带约束的非线性优化问题，计算负担较重，受限于当前的硬件水平，短时间内难以实现商用。

发明内容：

为解决高速极限工况下预测时域内非线性轮胎力的预测和线性化问题，提高轮胎力的预测和线性化精度，并进一步降低模型预测控制避撞控制器的计算负担，本发明提供一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法。首先，我们提取出模型预测控制控制器在上一时刻优化出的前轮转角序列，并将其输入二自由度车辆模型中，得到汽车的横摆角速度与质心侧偏角序列，将其绘入横摆角速度与质心侧偏角相平面图，通过它们在相平面图中的位置及变化趋势来判断汽车是否即将失稳。然后，将轮胎力曲线用两条直线来代替。控制器根据汽车当前稳定状态来选择轮胎的状态刚度，进而优化出使汽车在极限工况下能够保持稳定行驶的前轮转角。

本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：

一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法，其特征在于，该方法包括期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块、稳定性判定模块、模型预测控制器和CarSim车辆模型。期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块用于确定期望的横摆角速度与质心侧偏角；稳定性判定模块用于确定汽车稳定状态趋势；CarSim车辆模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度，横摆角速度和质心侧偏角；模型预测控制器优化求解出汽车的前轮转角并输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制。

该方法包括以下步骤：

步骤1、设计参考横摆角速度γ_ref及质心侧偏角β_ref，其表达式如下：

式中，l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；C_f和C_r分别为前、后轮侧偏刚度；V_x为汽车纵向速度；m为汽车质量；δ_f,dri表示驾驶员作用在前轮的转角。

质心侧偏角响应体现了车辆的稳定性，其值越小表示车辆侧向滑移越小，因此将质心侧偏角的参考值设为零。

步骤2、设计稳定性判定模块，其过程包括汽车动力学模型建立、相平面稳定域设计、状态刚度切换模块设计。

步骤2.1、汽车动力学模型建立：

汽车动力学模型表达式如下：

其中，m为整车质量；

为汽车侧向加速度；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；δ_f为前轮转角；I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

汽车二自由度微分方程表达式如下：

式中，C_f、C_r分别为前后轮轮胎状态刚度；β为质心侧偏角；

步骤2.2、相平面稳定域设计

步骤2.2.1横摆角速度边界值设计

在车辆侧向动力学控制过程中，车辆的稳定性至关重要，在车辆侧向稳定性控制时，需要从路面附着条件的角度出发约束横摆角速度的幅值，即:

式中，γ为横摆角速度；μ为路面附着系数；g为重力加速度；V_x为汽车纵向速度；

步骤2.2.2设计质心侧偏角边界值

作为车辆侧向稳定性控制的关键指标，可以通过约束后轮侧偏角的方式约束质心侧偏角，即:

式中，α_r为后轮侧偏角；β为质心侧偏角；l_r为汽车质心到后轴的距离；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；α_rmax为后轮侧偏角幅值；

步骤2.3、状态刚度切换模块设计，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、轮胎状态刚度定义，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；β为质心侧偏角；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.3.2、设计非线性轮胎模型简化模块。设计非线性轮胎，公式如下：

式中，j∈{f,r}，r表示后轮，f表示前轮，前轮侧偏角P_j[rad]处所对应的侧偏角称为饱和角，c_j、d_j为轮胎侧偏刚度；e_j为调节因子；

步骤2.3.3、轮胎模型线性化方程设计，式(6)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

其中，下标j∈{f,r}，分别指前、后车轮；

步骤2.3.4、轮胎状态刚度切换准则设计，当车辆处于步骤2.2中所述的稳定状态边界内，控制器会采用轮胎模型中直线1所对应的轮胎状态刚度；当控制器判断车辆处于步骤2.2中所述的稳定状态边界或者超出稳定状态边界时，控制器会将前、后轮轮胎状态刚度切换到轮胎模型中直线2所对应的状态刚度。

步骤3、设计模型预测控制控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，

其中，m为整车质量；

为汽车侧向加速度；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；δ_f为前轮转角；I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离。

将式(3)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

ζ(k)＝h·Δξ(k)+ζ(k-1) (11)

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量ξ＝[γ,β]^T；预测输出ζ为横摆角速度和质心侧偏角，即[γ,β]^T；

步骤3.2、计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (12)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；同时根据式(1)得到参考输出矩阵R(k+1)＝[r_ref(k+1),…,r_ref(k+P)]^T其中，r_ref＝[γ_ref,β_ref]^T；

步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、用期望的横摆角速度与质心侧偏角与汽车实际横摆角速度与质心侧偏角的偏差的二范数作为横摆角速度与质心侧偏角跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：τ_γ和τ_β分别是对横摆角速度与质心侧偏角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：τ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

步骤3.4、求解系统控制输入，其过程包括如下子步骤：

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(10)

ii)约束条件式(14)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(16)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制。

本发明的有益效果是：本方法将模型预测控制器上一时刻优化出的前轮转角序列带入二自由度车辆模型中，输出质心侧偏角与横摆角速度序列，并绘入相平面中，通过判断质心侧偏角与横摆角速度序列在相平面图中的位置及变化趋势，对汽车的稳定状态趋势进行预测，进而模型预测控制器确定是否需要切换轮胎状态刚度，保证汽车行驶在相平面稳定域内，增强汽车行驶的稳定性；由于采用了两条直线来代替非线性轮胎模型的方法，极大减轻了控制器的计算负担，增强了系统的实时性，明显改善高速极限工况下的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制效果。

附图说明

图1是本发明的控制系统结构示意图。

图2是简化轮胎力模型示意图。

图3是相平面稳定区域示意图。

图4是汽车动力学模型示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施对本发明进行详细的描述。

图1是本发明一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法的系统结构示意图，该包括期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块1、模型预测控制器2、CarSim车辆模型3和稳定性判定模块4。期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块1用于确定期望的横摆角速度与质心侧偏角；模型预测控制器2优化求解出汽车的前轮转角并输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制；CarSim车辆模型3用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度，横摆角速度和质心侧偏角；稳定性判定模块4用于判定汽车稳定状态趋势，并选择轮胎状态刚度。

下面以CarSim车辆仿真软件某车型为平台，具体说明本发明的方法，其主要参数如表1所示：

表1 CarSim车辆模型的主要参数

期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块1的设计，用于确定期望的横摆角速度与质心侧偏角，其表达式如下：

式中，γ_ref为期望横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；V_x为汽车纵向速度；C_f与C_r分别为前、后轮侧偏刚度，m为汽车质量；δ_f,dri表示驾驶员作用在前轮的转角。

质心侧偏角响应体现了车辆的稳定性，其值越小表示车辆侧向滑移越小，因此将质心侧偏角的参考值β_ref设为零。

在步骤2中，稳定性判定模块包括三个部分，包括步骤2.1汽车动力学模型建立、步骤2.2相平面稳定域设计、步骤2.3状态刚度切换模块设计。

在步骤2.1中，建立汽车动力学模型：

汽车动力学模型表达式如下：

其中，m为汽车质量；

为汽车侧向加速度；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；δ_f为前轮转角；I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离。

汽车二自由度微分方程表达式如下：

式中，C_f、C_r分别为前后轮轮胎状态刚度；β为质心侧偏角；

在步骤2.2中，设计了相平面稳定域

步骤2.2.1设计横摆角速度边界值

在车辆侧向动力学控制过程中，若车辆出现失稳情况，不仅会严重影响轨迹跟踪的精度，而且容易出现安全问题；在车辆侧向稳定性控制时，需要从路面附着条件的角度出发约束横摆角速度的幅值，即:

式中，γ为横摆角速度；μ为路面附着系数；g为重力加速度；V_x为汽车纵向速度。

步骤2.2.2设计质心侧偏角边界值

作为车辆侧向稳定性控制的关键指标，可以通过约束后轮轮胎侧偏角的方式约束质心侧偏角，即:

式中，α_r为后轮侧偏角；β为质心侧偏角；l_r为汽车质心到后轴的距离；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；α_rmax为后轮侧偏角幅值；

最终，将稳定域用一个四周封闭的四边形包络线来表示，如图3所示.

在步骤2.3中、设计了状态刚度切换模块，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、轮胎状态刚度定义，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；β为质心侧偏角；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.3.2、设计非线性轮胎模型简化模块，如图2所示，公式如下：

式中，j∈{f,r}，r表示后轮，f表示前轮，前轮侧偏角P_j处所对应的侧偏角称为饱和角，c_j、d_j为轮胎侧偏刚度；e_j为调节因子；

步骤2.3.3、轮胎模型线性化方程设计，式(6)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

其中，下标j∈{f,r}，分别指前、后轮胎；

步骤2.3.4、轮胎状态刚度切换准则设计，当车辆处于步骤2.2中所述的稳定域内，控制器会采用轮胎模型中直线1所对应的轮胎状态刚度，如图2所示直线1；当控制器预测出车辆将要超出步骤2.2中所述的稳定状态边界时，控制器会将前、后轮轮胎状态刚度切换到轮胎模型中直线2所对应的状态刚度，如图2所示直线2；

具体判定标准如下：

将模型预测控制器2在上一时刻优化出的前轮转角序列带入二自由度车辆模型中，输出质心侧偏角与横摆角速度序列，并绘入步骤2.2所设计的相平面稳定域中，通过判断质心侧偏角与横摆角速度序列在相平面稳定域中的位置及变化趋势，对汽车的稳定状态趋势进行预测。当横摆角速度与质心侧偏角序列均处于相平面稳定域内时，模型预测控制器2预测汽车按照当前状态行驶可以处于稳定状态，模型预测控制器3会采用图2所示轮胎模型中直线1所对应的轮胎状态刚度进行汽车稳定性控制；当横摆角速度与质心侧偏角序列均处于稳定状态边界外时，模型预测控制器2预测汽车按照当前状态行驶会出现失稳，模型预测控制器2会调整控制策略，采用图2所示轮胎模型中直线2所对应的轮胎状态刚度来优化前轮转角。

模型预测控制控制器3的设计包括四部分：3.1建立预测模型；3.2计算预测输出；3.3设计优化目标及约束条件；3.4求解系统控制输入；

在3.1部分中，建立预测模型，

其中，m为整车质量；

为汽车侧向加速度；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；δ_f为前轮转角；I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

将式(3)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

ζ(k)＝h·Δξ(k)+ζ(k-1) (11)

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量ξ＝[γ,β]^T；预测输出ζ为横摆角速度和质心侧偏角，即[γ,β]^T；

在3.2部分中，计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (12)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；同时根据式(1)得到参考输出矩阵R(k+1)＝[r_ref(k+1),…,r_ref(k+P)]^T其中，r_ref＝[γ_ref,β_ref]^T；

在3.3部分中，优化目标及约束条件的设计包括三部分：3.3.1设计侧向稳定性性能指标；3.3.2设计转向平滑指标；3.3.3设置执行器物理约束；步骤3.3.1、用期望的横摆角速度与质心侧偏角与汽车实际横摆角速度与质心侧偏角的偏差的二范数作为侧向稳定性性能指标，其表达式如下：

其中：τ_y和

分别是对横摆角速度与质心侧偏角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：τ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

在3.4部分中，系统控制输入的求解包括两部分：3.4.1构建多目标优化控制问题；3.4.2求解多目标优化控制问题；

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(11)

ii)约束条件式(15)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(15)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制。

Claims (1)

1.一种基于稳定状态预测的汽车侧向稳定性提升方法，其特征在于，该方法包括期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块、稳定性判定模块、模型预测控制器和CarSim车辆模型；期望横摆角速度与质心侧偏角计算模块用于确定期望的汽车横摆角速度与质心侧偏角；稳定性判定模块用于确定汽车的稳定状态趋势；CarSim车辆模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度，横摆角速度和质心侧偏角；模型预测控制器优化求解出汽车的前轮转角并输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、设计期望的横摆角速度与质心侧偏角；

步骤2、设计稳定性判定模块，其过程包括汽车动力学模型建立、相平面稳定域设计、状态刚度切换模块设计；

步骤2.1、汽车动力学模型建立：

汽车动力学模型表达式如下：

其中，m为汽车质量；

为汽车侧向加速度；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；δ_f为前轮转角；I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

汽车二自由度模型微分方程表达式如下：

式中，C_f、C_r分别为前后轮轮胎状态刚度；β为质心侧偏角；

为质心侧偏角速度

步骤2.2、相平面稳定域设计，具体包括以下步骤：

步骤2.2.1横摆角速度边界值设计

在车辆侧向动力学控制过程中，车辆的稳定性至关重要，若车辆出现失稳情况，不仅会严重影响轨迹跟踪的精度，而且容易出现安全问题；在车辆侧向稳定性控制时，需要从路面附着条件的角度出发约束横摆角速度的幅值，即:

式中，γ为汽车横摆角速度；μ为路面附着系数；g为重力加速度；V_x为汽车纵向速度；

步骤2.2.2设计质心侧偏角边界值

作为车辆侧向稳定性控制的关键指标，可以通过约束后轮轮胎侧偏角的方式约束质心侧偏角，即:

式中，α_r为后轮侧偏角；β为质心侧偏角；l_r为汽车质心到后轴的距离；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；α_rmax为后轮轮胎侧偏角幅值；

步骤2.3、状态刚度切换模块设计，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、轮胎状态刚度C定义为每一侧偏角α下，侧向力F_y与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；β为质心侧偏角；V_x为汽车纵向速度；γ为横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.3.2、步骤2.3.2、设计非线性轮胎模型简化模块，公式如下：

式中，j∈{f,r}，r表示后轮，f表示前轮，前轮侧偏角P_j处所对应的侧偏角称为饱和角；

c_j、d_j为轮胎侧偏刚度；e_j为调节因子；

步骤2.3.3、轮胎模型线性化方程设计，由式(6)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

其中，下标j∈{f,r}，分别指前、后轮胎；

步骤2.3.4、轮胎状态刚度切换准则设计，当车辆处于步骤2.2中所述的稳定状态边界内，控制器会采用轮胎模型中直线1所对应的轮胎状态刚度；当控制器判断车辆处于步骤2.2中所述的稳定状态边界或者超出稳定状态边界时，控制器会将前、后轮轮胎状态刚度切换到轮胎模型中直线2所对应的状态刚度；

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，

其中，m为整车质量；

为汽车侧向加速度；V_x为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；δ_f为前轮转角；I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

将式(3)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

ζ(k)＝h·Δξ(k)+ζ(k-1) (11)

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量ξ＝[γ，β]^T；预测输出ζ为横摆角速度和质心侧偏角，即[γ，β]^T；

步骤3.2、计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (12)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；同时根据式(1)得到参考输出矩阵R(k+1)＝[r_ref(k+1),…,r_ref(k+P)]^T其中，r_ref＝[γ_ref,β_ref]^T；

步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、用期望的横摆角速度与质心侧偏角与汽车实际横摆角速度与质心侧偏角的偏差的二范数作为横摆角速度与质心侧偏角跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：τ_γ和τ_β分别是对横摆角速度与质心侧偏角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：τ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

步骤3.4、求解系统控制输入，其过程包括如下子步骤：

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(11)

ii)约束条件式(15)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(16)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim车辆模型，实现汽车的横摆角速度与质心侧偏角跟踪控制。

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