CN108099900A - 一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法 - Google Patents

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Abstract

一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器、MPC控制器、汽车模型。参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧偏刚度；汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给汽车模型，控制汽车实现极限工况下的横向稳定性。

Description

一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法
技术领域
本发明涉及汽车横向稳定性控制领域，特别是关于一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法。
背景技术
随着人们对汽车行驶安全性越来越重视，汽车主动安全系统得到快速发展，其中四轮转向(4Wheel Steering,4WS)技术作为一种提高汽车稳定性的有效手段已得到了广泛的认可，运用4WS技术，可以有效地减小汽车低速行驶时的转弯半径，提高汽车高速行驶时的稳定性。
目前，4WS系统所采用的控制方法主要有PID控制、鲁棒性控制、神经网络控制和模型预测控制(Model Predictive Control,MPC)等方法，其中模型预测控制因能较好地处理多目标任务以及系统约束，在汽车横向稳定性控制领域得到了广泛的应用。
根据其采用的预测模型以及优化方法的不同，MPC可分为线性MPC和非线性MPC。线性MPC凭借其计算负担少，计算速度快而得到广泛使用，但线性MPC不能表征非线性区域的轮胎侧偏特性，因此导致极限工况下控制效果不理想，而能表征汽车非线性动力学特性的非线性MPC虽然在极限工况下能够达到理想的控制效果，但控制器计算负担太重，实时性差，因此很难应用于实际。论文[陈杰,李亮,宋健.基于LTV-MPC的汽车稳定性控制研究[J].汽车工程，2016，38(3):308-316.]采用一种线性时变的MPC方法，通过对目标横摆角速度的限幅，实现极限工况的汽车稳定性控制，减少系统的计算负担。但是，目标横摆角速度幅值的限制依赖于车速和路面附着系数的精确估计，并且当轮胎侧向力饱和时，所采用的线性时变MPC方法不能体现出轮胎侧向力(绝对值)随着轮胎侧偏角的增加而减小的非线性变化特性。论文[Cairano S D,Tseng H E,Bernardini D,et al.Steering Vehicle Controlby Switched Model Predictive Control[J].IFAC Proceedings Volumes,2010,43(7):1-6.]根据汽车的运动状态设计一种切换控制器，考虑了极限工况下轮胎侧向力(绝对值)随着轮胎侧偏角的增加而减小的变化特性，但是该方法采用的仍然是线性的轮胎模型，不能表征轮胎的非线性特性。
发明内容
为了解决现有的线性MPC方法不能全面表征轮胎的非线性特性而导致的汽车在极限工况下横向稳定性差，甚至失稳的问题。本发明提供一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法，在轮胎侧向力达到饱和时，采用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，在表征轮胎非线性特性的同时减小系统的计算负担，保证汽车在极限工况下的横向稳定性。
本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：
一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器、MPC控制器、汽车模型。参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧偏刚度；汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给汽车模型，控制汽车实现极限工况下的横向稳定性。
该方法包括以下步骤：
步骤1、建立参考模型，确定期望的汽车横摆角速度，其过程包括如下子步骤：
步骤1.1、采用线性二自由度汽车模型作为参考模型，其运动微分方程表达式如下：
其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；Iz是绕汽车质心的铅垂轴的横摆转动惯量；Ux是汽车纵向速度；lf和lr分别是汽车质心至前、后轴的距离；Cf和Cr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δf是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角；
步骤1.2、基于公式(1)得到期望的汽车横摆角速度：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；其为稳定性因数；
步骤2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度处理器，其过程包括如下子步骤：
步骤2.1、设计轮胎侧偏角计算模块，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：
其中：αf和αr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δf是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角，δr是控制器优化求解出的汽车后轮转角；
步骤2.2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度计算模块，为了获得后轮轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的后轮轮胎侧向力与后轮轮胎侧偏角的关系曲线，得到后轮轮胎侧偏特性三维图；获取不同路面附着系数下的后轮轮胎侧向力对后轮轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到后轮轮胎侧偏刚度特性三维图，轮胎侧向力和侧偏刚度处理器将当前时刻实际的后轮轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到后轮轮胎侧偏特性三维图和后轮轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法分别获得当前时刻的后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏刚度，输出给MPC控制器，在每个控制周期轮胎侧向力和侧偏刚度处理器更新一次后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏刚度数据；
其中：Pacejka轮胎模型如下：
Fy＝μDsin(Catan(A-E(A-atanA))),
A＝B·α
其中：Fy是轮胎侧向力，α是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷Fz；a0＝1.75；a1＝0；a2＝1000；a3＝1289；a4＝7.11；a5＝0.0053；a6＝0.1925；
步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：
步骤3.1、建立预测模型，其运动微分方程表达式为：
当后轮轮胎侧偏刚度小于0时，后轮轮胎侧向力(绝对值)随后轮轮胎侧偏角的增大而减小，呈现出非线性变化关系，为了表征两者非线性变化特性，构建后轮轮胎侧向力表达式如下：
其中：和分别是基于当前时刻的后轮轮胎侧偏角由轮胎侧向力和侧偏刚度处理器获得的后轮轮胎侧向力和侧偏刚度；
考虑到前轮转角由驾驶员控制方向盘输入，可认为轮胎侧偏角较小，前轮轮胎侧向力(绝对值)随前轮轮胎侧偏角的增大线性增加，前轮轮胎侧偏刚度为定值，因此构建前轮轮胎侧向力表达式如下：
Fy,f＝Cf·αf (6)
其中：Cf是前轮轮胎的侧偏刚度，αf是前轮轮胎的侧偏角；
最终得到预测模型的微分方程表达式为：
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:
其中：
步骤3.2、建立预测方程，用于预测系统未来输出；为了实现汽车横摆角速度的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长；
步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：
步骤3.3.1、用期望的汽车横摆角速度和实际的汽车横摆角速度误差的二范数作为横摆角速度跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子；
步骤3.3.2、用控制量变化率的二范数作为转向平滑指标，体现横摆角速度和质心侧偏角跟踪过程中的转向平滑特性，控制量u是汽车后轮转角，建立离散二次型转向平滑指标为：
其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；
步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：
利用线性不等式限制后轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：
δrmin＜δrk＜δrmax k＝t，t+1……t+M-1
ΔδrminΔδrk＜Δδrmax k＝t，t+1……t+M-1 (12)
其中：δrmin是后轮转角下限；δrmax是后轮转角上限；Δδrmin是后轮转角变化量的下限；Δδrmax是后轮转角变化量的上限。
步骤3.4、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：
步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述横摆角速度跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(12)
步骤3.4.2、在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(13)，得到最优开环控制序列Δδr为：
选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素Δδr(0)进行反馈，输出给汽车模型，实现极限工况下汽车的横向稳定性控制。
本发明的有益效果是：本方法使用线性时变的方法将非线性预测控制问题转换成线性预测控制问题，减小了系统的计算负担；当轮胎侧向力达到饱和时，本方法能充分利用非线性的轮胎侧偏特性，提高极限工况下4WS系统的控制效果，保证汽车在极限工况下的横向稳定性。
附图说明
图1是本发明的控制系统结构示意图。
图2是线性二自由度汽车模型示意图。
图3后轮轮胎侧偏特性三维图。
图4后轮轮胎侧偏刚度特性三维图。
图5是主动后轮转向汽车模型示意图。
图6是后轮轮胎侧向力线性化示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。
图1是一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法的系统结构示意图，该系统主要包括参考模型1、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2、MPC控制器3、汽车模型4。参考模型1用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧偏刚度；汽车模型4用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器3结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给汽车模型4，控制汽车实现极限工况下的横向稳定性。
下面以七自由度汽车模型为平台，具体说明本发明的方法，其主要参数如表1所示：
表1汽车模型的主要参数
参考模型1的建立包括两部分：1.1建立线性二自由度汽车模型；1.2确定期望的汽车横摆角速度。
在1.1部分中，线性二自由度汽车模型如图2所示，其运动微分方程表达式如下：
其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；Iz是绕汽车质心的铅垂轴的横摆转动惯量；Ux是汽车纵向速度；lf和lr分别是汽车质心至前、后轴的距离；Cf和Cr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δf是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角。
在1.2部分中，基于公式(1)得到期望的汽车横摆角速度：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；其为稳定性因数。
轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2的设计包括两部分：2.1设计轮胎侧偏角计算模块；2.2设计轮胎侧向力和侧偏刚度计算模块。
在2.1部分中，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：
其中：αf和αr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δf是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角；δr是控制器优化求解出的汽车后轮转角。
在2.2部分中，为了获得后轮轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的后轮轮胎侧向力与后轮轮胎侧偏角的关系曲线，得到后轮轮胎侧偏特性三维图，如图3；获取不同路面附着系数下的后轮轮胎侧向力对后轮轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到后轮轮胎侧偏刚度特性三维图，如图4。轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2将当前时刻实际的后轮轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到后轮轮胎侧偏特性三维图和后轮轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法分别获得当前时刻后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏刚度，输出给MPC控制器3。在每个控制周期轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2更新一次后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏刚度数据。
其中：Pacejka轮胎模型如下：
Fy＝μDsin(Catan(A-E(A-atanA))),
A＝B·α
其中：Fy是轮胎侧向力；α是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷Fz；a0＝1.75；a1＝0；a2＝1000；a3＝1289；a4＝7.11；a5＝0.0053；a6＝0.1925。
MPC控制器3的设计包括三部分：3.1建立预测模型；3.2建立预测方程；3.3设计优化目标及约束条件；3.4求解系统预测输出。
在3.1部分中，预测模型采用图5所示的主动后轮转向汽车模型，其运动微分方程表达式为：
当后轮轮胎侧偏刚度小于0时，如图6所示，后轮轮胎侧向力(绝对值)随后轮轮胎侧偏角的增大而减小，后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏角呈现出非线性变化关系，为了表征后轮轮胎侧向力与后轮轮胎侧偏角间的这种非线性变化特性，构建后轮轮胎侧向力表达式如下：
其中：和分别是基于当前时刻的后轮轮胎的侧偏角由轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2获得的后轮轮胎侧向力和侧偏刚度值。在下一时刻，后轮轮胎侧偏角改变，MPC控制器3从轮胎侧向力和侧偏刚度处理器2重新获取后轮轮胎的侧向力和侧偏刚度值。
考虑到前轮转角由驾驶员控制方向盘输入，可认为轮胎侧偏角较小，轮胎侧偏特性处于线性区，前轮轮胎侧向力(绝对值)随前轮轮胎侧偏角的增大线性增加，前轮轮胎侧偏刚度为定值，因此构建前轮轮胎侧向力表达式如下：
Fy,f＝Cf·αf (6)
其中：Cf是前轮轮胎的侧偏刚度，αf是前轮轮胎的侧偏角。
最终得到预测模型的微分方程表达式为：
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:
其中：
在3.2部分中，为了实现汽车横摆角速度的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长；
在3.3部分中优化目标及约束条件的设计包括三部分：3.3.1设计横摆角速度跟踪性能指标；3.3.2设计转向平滑指标；3.3.3设置执行器物理约束。
在3.3.1部分中，用期望的汽车横摆角速度和实际的汽车横摆角速度误差的二范数作为横摆角速度跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子。
在3.3.2部分中，用控制量变化率的二范数作为转向平滑指标，体现横摆角速度跟踪过程中的转向平滑特性，控制量u是汽车后轮转角，建立离散二次型转向平滑指标为：
其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子。
在3.3.3部分中，利用线性不等式限制后轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：
δrmin＜δrk＜δrmax k＝t，t+1……t+M-1
Δδrmin＜Δδrk＜Δδrmax k＝t，t+1……t+M-1 (12)
其中：δrmin是后轮转角下限，δrmax是后轮转角上限；Δδrmin是后轮转角变化量的下限；Δδrmax是后轮转角变化量的上限。
在3.4部分中，系统预测输出的求解包括两部分：3.4.1构建汽车稳定性多目标优化控制问题；3.4.2求解多目标优化控制问题。
在3.4.1部分中，利用线性加权法将横摆角速度跟踪性能指标和转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(12)
在3.4.2部分中，在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(13)，得到最优开环控制序列Δδr为：
选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素Δδr(0)进行反馈，输出给汽车模型4，实现汽车的稳定性控制。

Claims (1)

1.一种极限工况下保持汽车横向稳定的四轮转向控制方法，其特征在于，该方法包括参考模型、轮胎侧向力和侧偏刚度处理器、MPC控制器、汽车模型，参考模型用于确定期望的汽车横摆角速度；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器用于确定轮胎的侧偏角、侧向力和侧偏刚度；汽车模型用于输出汽车的实际运动状态信息，包括汽车纵向速度、横摆角速度、质心侧偏角和路面附着系数；MPC控制器结合期望的汽车横摆角速度和汽车的实际运动状态信息，优化求解出汽车的后轮转角，输出给汽车模型，控制汽车实现极限工况下的横向稳定性；
该方法包括以下步骤：
步骤1、建立参考模型，确定期望的汽车横摆角速度，其过程包括如下子步骤：
步骤1.1、采用线性二自由度汽车模型作为参考模型，其运动微分方程表达式如下：
<mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：β是汽车质心侧偏角；γ是汽车横摆角速度；Iz是绕汽车质心的铅垂轴的横摆转动惯量；Ux是汽车纵向速度；lf和lr分别是汽车质心至前、后轴的距离；Cf和Cr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏刚度；δf是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角；
步骤1.2、基于公式(1)得到期望的汽车横摆角速度：
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其中：γref是期望的汽车横摆角速度；其为稳定性因数；
步骤2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度处理器，其过程包括如下子步骤：
步骤2.1、设计轮胎侧偏角计算模块，前、后轮轮胎侧偏角通过下式计算获得：
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其中：αf和αr分别是汽车前、后轮轮胎的侧偏角；δf是驾驶员操纵方向盘产生的汽车前轮转角，δr是控制器优化求解出的汽车后轮转角；
步骤2.2、设计轮胎侧向力和侧偏刚度计算模块，为了获得后轮轮胎的非线性特性，基于Pacejka轮胎模型，获取不同路面附着系数下的后轮轮胎侧向力与后轮轮胎侧偏角的关系曲线，得到后轮轮胎侧偏特性三维图；获取不同路面附着系数下的后轮轮胎侧向力对后轮轮胎侧偏角导数的关系曲线，得到后轮轮胎侧偏刚度特性三维图；轮胎侧向力和侧偏刚度处理器将当前时刻实际的后轮轮胎侧偏角和路面附着系数分别输入到后轮轮胎侧偏特性三维图和后轮轮胎侧偏刚度特性三维图，通过线性插值法分别获得当前时刻的后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏刚度，输出给MPC控制器；在每个控制周期轮胎侧向力和侧偏刚度处理器更新一次后轮轮胎侧向力和后轮轮胎侧偏刚度数据；
其中：Pacejka轮胎模型如下：
Fy＝μDsin(Catan(A-E(A-atanA))),
A＝B·α
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>;</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>;</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>arctan</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>/</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>;</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中：Fy是轮胎侧向力，α是轮胎侧偏角；B，C，D和E取决于车轮垂直载荷Fz；a0＝1.75；a1＝0；a2＝1000；a3＝1289；a4＝7.11；a5＝0.0053；a6＝0.1925
步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：
步骤3.1、建立预测模型，其运动微分方程表达式为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>mU</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当后轮轮胎侧偏刚度小于0时，后轮轮胎侧向力(绝对值)随后轮轮胎侧偏角的增大而减小，呈现出非线性变化关系，为了表征两者非线性变化特性，构建后轮轮胎侧向力表达式如下：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：和分别是基于当前时刻的后轮轮胎侧偏角由轮胎侧向力和侧偏刚度处理器获得的后轮轮胎侧向力和侧偏刚度；
考虑到前轮转角由驾驶员控制方向盘输入，可认为轮胎侧偏角较小，前轮轮胎侧向力(绝对值)随前轮轮胎侧偏角的增大线性增加，前轮轮胎侧偏刚度为定值，因此构建前轮轮胎侧向力表达式如下：
Fy,f＝Cf·αf (6)
其中：Cf是前轮轮胎的侧偏刚度，αf是前轮轮胎的侧偏角；
最终得到预测模型的微分方程表达式为：
<mrow> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将其写成状态空间方程，用于设计预测方程，具体如下:
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>u</mi> </msub> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：
<mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>;</mo> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>;</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;beta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>u</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>f</mi> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mi>f</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>r</mi> <mo>*</mo> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>;</mo> </mrow>
步骤3.2、建立预测方程，用于预测系统未来输出；为了实现汽车横摆角速度的跟踪控制，将连续时间系统的预测模型转换成离散时间系统的增量式模型：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：取样时间k＝int(t/Ts)，t是仿真时间，Ts是仿真步长； C＝1；
步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：
步骤3.3.1、用期望的汽车横摆角速度和实际的汽车横摆角速度误差的二范数作为横摆角速度跟踪性能指标，体现汽车的轨迹跟踪特性，其表达式如下：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：γref是期望的汽车横摆角速度；γ是实际的汽车横摆角速度；P是预测时域；k表示当前时刻；Q是加权因子；
步骤3.3.2、用控制量变化率的二范数作为转向平滑指标，体现横摆角速度和质心侧偏角跟踪过程中的转向平滑特性，控制量u是汽车后轮转角，建立离散二次型转向平滑指标为：
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：M是控制时域；Δu是控制量的变化量；k表示当前时刻；S是加权因子；
步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：
利用线性不等式限制后轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：
δrmin＜δrk＜δrmax k＝t，t+1……t+M-1
Δδrmin＜Δδrk＜Δδrmax k＝t，t+1……t+M-1 (12)
其中：δrmin是后轮转角下限，δrmax是后轮转角上限；Δδrmin是后轮转角变化量的下限；Δδrmax是后轮转角变化量的上限；
步骤3.4、求解系统预测输出，其过程包括如下子步骤：
步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述横摆角速度跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车稳定性多目标优化控制问题，该问题要满足转向执行器的物理约束，且输入输出符合预测模型：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>u</mi> </munder> <mo>{</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
服从于
i)预测模型
ii)约束条件为公式(12)
步骤3.4.2、在控制器中，调用QP算法，求解多目标优化控制问题(13)，得到最优开环控制序列Δδr为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;&amp;delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>u</mi> </munder> <mo>{</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>Q</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>S</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素Δδr(0)进行反馈，输出给汽车模型，实现极限工况下汽车的横向稳定性控制。
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