CN110217229A - 一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括期望路径计算模块、轮胎模型线性化模块、MPC控制器和CarSim汽车模型；期望路径计算模块用于计算期望的汽车侧向位移和横摆角；轮胎模型线性化模块用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、横摆角和侧向位移；MPC控制器根据期望的侧向位移、横摆角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角，输入给CarSim汽车模型，控制汽车实现路径跟踪控制。

Description

一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法

技术领域：

本发明涉及汽车路径跟踪控制领域，一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法。

背景技术：

随着交通拥堵问题的日益严重和道路安全问题的日益突出，自动驾驶汽车已经成为汽车行业发展的趋势。由于实际的道路环境十分复杂，汽车本身也存在着强非线性，使得自动驾驶汽车的跟踪控制面临巨大的挑战。

国内外学者在自动驾驶汽车跟踪控制算法方面已经有了很多研究成果，传统的控制方法主要有鲁棒控制、预瞄控制和滑模控制等。但上述方法通常只能利用当前的环境信息和汽车状态，并且难以考虑环境和汽车的约束条件。因此，研究人员开始将模型预测控制(Model predictive control，MPC)应用到汽车控制领域。

国内在进行路径跟踪控制研究时，通常假设汽车的轮胎侧偏角较小，将轮胎模型简化成线性轮胎模型，因此并不适用于高速极限工况下的路径跟踪控制。而在汽车稳定性控制领域，国内外已有很多学者根据当前汽车状态对轮胎模型进行连续线性化处理，设计基于线性时变MPC的汽车稳定性控制器并取得了很好的控制效果。但是，这种线性化方法在预测时域内并没有考虑轮胎力的非线性变化，当汽车处于动力学极限附近时，这种线性化方式将变得不那么精确。而国外在路径跟踪控制方面有一些学者开始考虑预测时域内轮胎力的变化对路径跟踪效果的影响。论文[Brown M,Funke J,Erlien S,Gerdes J C.Safedriving envelopes for path tracking in autonomous vehicles[J].ControlEngineering Practice,2017(61):307-316.]在研究基于MPC的路径规划与路径跟踪的集成控制时，利用上一时刻求解的轮胎侧偏角序列对当前预测时域内的轮胎力进行连续线性化处理，并在实车上实现了多种驾驶场景的实时跟踪控制。但仅使用上一时刻优化的侧偏角序列会产生抖动的现象。论文[Funke J,Brown M,Erlien S M,Gerdes J C.CollisionAvoidance and Stabilization for Autonomous Vehicles in Emergency Scenarios[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2017,25(4):1204-1216.]在此基础上，对轮胎侧偏角进行了正则化处理，较好的解决了这一问题。但是上述方法要求控制时域与预测时域长度一致，较长的控制时域极大地加重了求解器的计算负担。而且，这些研究主要针对中低速工况，尚未讨论高速低附着极限工况下的控制问题。

发明内容：

为解决高速极限工况下自动驾驶汽车紧急避撞时传统路径跟踪控制方法因轮胎力表达不精确导致的路径跟踪失败问题，本发明提供一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法。首先，基于非线性UniTire轮胎模型求解的轮胎状态刚度对非线性轮胎力进行线性化处理，然后，基于期望路径信息提出轮胎状态刚度预测方法，并利用预测的轮胎状态刚度实现预测时域内轮胎力的预测和线性化，最后设计MPC控制器实现路径跟踪控制。

本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：

一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括期望路径计算模块、轮胎模型线性化模块、MPC控制器和CarSim汽车模型；期望路径计算模块用于计算期望的汽车侧向位移和横摆角；轮胎模型线性化模块用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、横摆角和侧向位移；MPC控制器根据期望的侧向位移、横摆角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角，输入给CarSim汽车模型，控制汽车实现路径跟踪控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、设计期望路径计算模块，确定期望的侧向位移和横摆角，其表达式如下：

其中，X为纵向位置；L为预瞄距离；B为侧向避让距离；c为纵向避让距离的一半；a为避让曲线的倾斜程度；Y_ref为计算得到的期望侧向位移；为计算得到的期望横摆角；为期望侧向位移的变化率；

步骤2、设计轮胎模型线性化模块，实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似，其过程包括如下子步骤：

步骤2.1、设计非线性UniTire轮胎模型，如下：

其中，F_y为轮胎侧向力；为无量纲总切向力；φ_x为相对纵向滑移率；φ_n为修正后的相对综合滑移率；μ_y为侧向摩擦系数；F_z为轮胎垂直载荷；E为综合曲率因子；φ为相对综合滑移率；E_x为纵向力曲率因子；E_y为侧向力曲率因子；φ_y为相对侧向滑移率；λ为总切向力方向因子；K_x为纵滑刚度；K_y为侧偏刚度；S_x为纵向滑移率；S_y为侧向滑移率；μ_x为纵向摩擦系数；F_zn为轮胎无量纲垂直载荷；ω为车轮角速度；V_x为轮胎接地印迹中心纵向滑移速度；V_y为轮胎接地印迹中心侧向滑移速度；R_e为轮胎有效滚动半径；κ为ISO轮胎坐标系中的纵向滑移率；α为ISO轮胎坐标系中的轮胎侧偏角；F_z0为轮胎标称载荷；模型参数η＝4，φ_c＝1，pu₁＝0.89，pu₂＝-0.289，pu₃＝-0.289，su₁＝1.106，su₂＝-0.36，su₃＝0.051，pe₁＝-2.98，pe₂＝9.37，se₁＝-2.08，se₂＝9.37，pk₁＝0.019，pk₂＝-0.00000001，pk₃＝-0.00000001，sk₁＝0.046，sk₂＝0.008，sk₃＝0.006；

步骤2.2、轮胎模型线性化方程设计，其过程包括如下子步骤：

步骤2.2.1、轮胎状态刚度定义，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；为汽车侧向速度；为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.2.2、轮胎模型性化方程设计，将步骤2.1的式(2)得到的轮胎侧向力和步骤2.2.1的式(15)得到的轮胎侧偏角代入步骤2.2.1的式(14)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

F_y,i＝C_i·α_i (16)

其中，下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

步骤2.3、预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、建立汽车运动学模型，其表达式如下：

其中，I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；为汽车横摆角加速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；m为汽车质量；为汽车侧向加速度；为汽车在大地坐标系中的横摆角变化率；为汽车在大地坐标系中侧向位移的变化率；为汽车在大地坐标系中的横摆角；

步骤2.3.2、预测时域内轮胎状态刚度预测，将步骤1得到的期望侧向位移Y_ref和横摆角代入步骤2.3.1中的汽车运动学模型，可以推导出预测的轮胎状态刚度的表达式：

其中，C_f,pre和C_r,pre分别表示预测的前、后轮轮胎状态刚度；期望横摆角的二阶导；为期望侧向位移的二阶导；为期望侧向位移的一阶导；和κ_μ,F为补偿附着系数影响的调节因子；ε是避免分母为零的极小数；

由于轮胎力附着极限的影响，轮胎状态刚度应满足约束：

其中，μ为路面附着系数；

在当前时刻向前取P个期望路径数据，即可得到未来预测时域内的轮胎状态刚度：

其中，上标k表示当前时刻；上标k+n表示未来第n时刻，n＝0,1,…P；函数f(·)表示式(18)；

预测的轮胎状态刚度变化量可以表示为：

最终可以得到预测时域内的轮胎状态刚度：

其中，表示当前时刻的轮胎状态刚度，由步骤2.2.1中的式(14)计算得到；

步骤2.3.3、预测时域内的轮胎模型线性化，将步骤2.3.2的式(22)代入步骤2.2.2的式(16)可得到预测时域内的轮胎侧向力的线性化表达式：

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，将步骤2.3.3的式(23)代入步骤2.3.1的汽车动力学模型式(17)，可以得到MPC控制器的预测模型：

将式(24)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量预测输出ζ为横摆角和侧向位移，即

步骤3.2、计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (26)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；同时根据式(1)得到参考输出矩阵R(k+1)＝[r_ref(k+1),…,r_ref(k+P)]^T其中，

步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、用期望的侧向位移和横摆角与汽车实际侧向位移和横摆角的偏差的二范数作为路径跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：τ_y和分别是对侧向位移和横摆角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：τ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

步骤3.3.4、设置控制输出约束，满足道路环境要求：

其中，是横摆角下限，是横摆角上限；-Y_max是侧向位移下限；Y_max是侧向位移上限；

步骤3.4、求解系统控制输入，其过程包括如下子步骤：

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(25)

ii)约束条件式(29)～(30)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(31)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim汽车模型，实现汽车的路径跟踪控制。

本发明的有益效果是：本方法通过期望路径信息预测出预测时域内的轮胎状态刚度，实现预测时域内轮胎力的预测和线性化，能够有效解决高速极限工况下自动驾驶汽车紧急避撞时传统路径跟踪控制方法因轮胎力表达不精确导致的路径跟踪失败问题，明显改善高速极限工况下的避撞控制效果，而且有助于降低求解器的计算负担。

附图说明

图1是本发明的控制系统结构示意图。

图2是规划出的期望路径示意图

图3是轮胎状态刚度示意图。

图4是汽车运动学模型示意图。

图5是预测时域内轮胎模型线性化示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

图1是本发明一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法的系统结构示意图，该系统主要包括期望路径计算模块1、轮胎模型线性化模块2、MPC控制器3和CarSim汽车模型4；期望路径计算模块1用于计算期望的汽车侧向位移和横摆角；轮胎模型线性化模块2用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型4用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、横摆角和侧向位移；MPC控制器3根据期望的侧向位移、横摆角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角，输入给CarSim汽车4模型，控制汽车实现路径跟踪控制；

下面以CarSim汽车仿真软件某车型为平台，具体说明本发明的方法，其主要参数如表1所示：

表1 CarSim汽车的主要参数

参数	单位	参数值
			汽车质量m	K<sub>g</sub>	1231
汽车质心至前轴的离距l<sub>f</sub>	m	1.04
			汽车质心至后轴的距离l<sub>r</sub>	m	1.56
绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量I<sub>z</sub>	Kgm<sup>2</sup>	2031.4

期望路径计算模块1的设计，用于确定期望的侧向位移和横摆角，如图2所示，其表达式如下：

其中，X为纵向位置；L为预瞄距离；B为侧向避让距离；c为纵向避让距离的一半；a为避让曲线的倾斜程度；Y_ref为计算得到的期望侧向位移；为计算得到的期望横摆角；为期望侧向位移的变化率；

设计轮胎模型线性化模块2的设计包括三部分：2.1设计非线性轮胎模型；2.2轮胎模型线性化方程设计；2.3预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化；

在2.1部分中，设计非线性UniTire轮胎模型如下：

其中，F_y为轮胎侧向力；为无量纲总切向力；φ_x为相对纵向滑移率；φ_n为修正后的相对综合滑移率；μ_y为侧向摩擦系数；F_z为轮胎垂直载荷；E为综合曲率因子；φ为相对综合滑移率；E_x为纵向力曲率因子；E_y为侧向力曲率因子；φ_y为相对侧向滑移率；λ为总切向力方向因子；K_x为纵滑刚度；K_y为侧偏刚度；S_x为纵向滑移率；S_y为侧向滑移率；μ_x为纵向摩擦系数；F_zn为轮胎无量纲垂直载荷；ω为车轮角速度；V_x为轮胎接地印迹中心纵向滑移速度；V_y为轮胎接地印迹中心侧向滑移速度；R_e为轮胎有效滚动半径；κ为ISO轮胎坐标系中的纵向滑移率；α为ISO轮胎坐标系中的轮胎侧偏角；F_z0为轮胎标称载荷；模型参数η＝4，φ_c＝1，pu₁＝0.89，pu₂＝-0.289，pu₃＝-0.289，su₁＝1.106，su₂＝-0.36，su₃＝0.051，pe₁＝-2.98，pe₂＝9.37，se₁＝-2.08，se₂＝9.37，pk₁＝0.019，pk₂＝-0.00000001，pk₃＝-0.00000001，sk₁＝0.046，sk₂＝0.008，sk₃＝0.006；

在2.2部分中，在前时刻对轮胎模型进行线性化，包括两部分：2.2.1轮胎状态刚度定义；2.2.2轮胎模型性化方程设计；

在2.2.1部分中，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，如图3，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；为汽车侧向速度；为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

在2.2.2部分中，设计轮胎模型线性化方程，将式(2)得到的轮胎侧向力和式(15)得到的轮胎侧偏角代入式(14)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

F_y,i＝C_i·α_i (16)

其中，下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

在2.3部分中，预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化包括三部分：2.3.1建立汽车运动学模型；2.3.2预测时域内轮胎状态刚度预测；2.3.3预测时域内的轮胎模型线性化；

在2.3.1部分中，建立汽车运动学模型，如图4，其表达式如下：

图中，XOY坐标系为大地坐标系；为汽车侧向速度；为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；δ_f为车辆前轮转角；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；α_f与α_r分别为前、后轮胎侧偏角；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

式中，I_z为横摆转动惯量；为汽车横摆角加速度；m为汽车质量；为汽车侧向加速度；为汽车在大地坐标系中的横摆角变化率；为汽车在大地坐标系中侧向位移的变化率；为汽车在大地坐标系中的横摆角；

在2.3.2部分中，对预测时域内的轮胎状态刚度进行预测，将式(1)得到的期望侧向位移Y_ref和横摆角代入式(17)的汽车运动学模型，可以推导出预测的轮胎状态刚度的表达式：

其中，C_f,pre和C_r,pre分别表示预测的前、后轮轮胎状态刚度；期望横摆角的二阶导；为期望侧向位移的二阶导；为期望侧向位移的一阶导；和κ_μ,F为补偿附着系数影响的调节因子；ε是避免分母为零的极小数；

由于轮胎力附着极限的影响，轮胎状态刚度应满足约束：

其中，μ为路面附着系数；

在当前时刻向前取P个期望路径数据，即可得到未来预测时域内的轮胎状态刚度：

其中，上标k表示当前时刻；上标k+n表示未来第n时刻，n＝0,1,…P；函数f(·)表示式(18)；

预测的轮胎状态刚度变化量可以表示为：

最终可以得到预测时域内的轮胎状态刚度：

其中，表示当前时刻的轮胎状态刚度，由式(14)计算得到；

在2.3.3部分中，对预测时域内的轮胎模型线进行性化，如图5，将式(22)代入式(16)可得到预测时域内的轮胎侧向力的线性化表达式：

MPC控制器3的设计包括四部分：3.1建立预测模型；3.2计算预测输出；3.3设计优化目标及约束条件；3.4求解系统控制输入；

在3.1部分中，建立预测模型，将式(23)代入式(17)，可以得到MPC控制器的预测模型：

将式(24)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量预测输出ζ为横摆角和侧向位移，即

在3.2部分中，计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k)(26)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；同时根据式(1)得到参考输出矩阵R(k+1)＝[r_ref(k+1),…,r_ref(k+P)]^T其中，

在3.3部分中，优化目标及约束条件的设计包括三部分：3.3.1设计路径跟踪性能指标；3.3.2设计转向平滑指标；3.3.3设置执行器物理约束；3.3.4设置控制输出约束；

在3.3.1部分中，用期望的侧向位移和横摆角与汽车实际侧向位移和横摆角的偏差的二范数作为路径跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：τ_y和分别是对侧向位移和横摆角跟踪性能的加权因子；

在3.3.2部分中，用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：τ_u是对控制输入变化量的加权因子；

在3.3.3部分中，设置执行器物理约束，利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

在3.3.4部分中，设置控制输出约束，满足道路环境要求：

其中，是横摆角下限，是横摆角上限；-Y_max是侧向位移下限；Y_max是侧向位移上限；

在3.4部分中，系统控制输入的求解包括两部分：3.4.1构建多目标优化控制问题；3.4.2求解多目标优化控制问题；

在3.4.1部分中，利用线性加权法将式(27)的跟踪性能指标和式(28)的转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(25)

ii)约束条件式(29)～(30)

在3.4.2部分中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(31)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输出给CarSim汽车模型4，实现汽车的路径跟踪控制。

Claims (1)

1.一种适用于高速极限工况的路径跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括期望路径计算模块、轮胎模型线性化模块、MPC控制器和CarSim汽车模型；期望路径计算模块用于计算期望的汽车侧向位移和横摆角；轮胎模型线性化模块用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、横摆角和侧向位移；MPC控制器根据期望的侧向位移、横摆角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角，输入给CarSim汽车模型，控制汽车实现路径跟踪控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、设计期望路径计算模块，确定期望的侧向位移Y_ref和横摆角

步骤2、设计轮胎模型线性化模块，实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似，其过程包括如下子步骤：

步骤2.1、设计非线性轮胎模型，得到轮胎侧向力F_y的表达式；

步骤2.2、轮胎模型线性化方程设计，其过程包括如下子步骤：

步骤2.2.1、轮胎状态刚度定义，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；为汽车侧向速度；为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.2.2、轮胎模型性化方程设计，将步骤2.1得到的轮胎侧向力和步骤2.2.1的式(15)得到的轮胎侧偏角代入步骤2.2.1的式(14)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

F_y,i＝C_i·α_i (16)

其中，下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

步骤2.3、预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、建立汽车运动学模型，其表达式如下：

其中，I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；为汽车横摆角加速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；m为汽车质量；为汽车侧向加速度；为汽车在大地坐标系中的横摆角变化率；为汽车在大地坐标系中侧向位移的变化率；为汽车在大地坐标系中的横摆角；

步骤2.3.2、预测时域内轮胎状态刚度预测，将步骤1得到的期望侧向位移Y_ref和横摆角代入步骤2.3.1中的汽车运动学模型，可以推导出预测的轮胎状态刚度的表达式：

其中，C_f,pre和C_r,pre分别表示预测的前、后轮胎状态刚度；期望横摆角的二阶导；为期望侧向位移的二阶导；为期望侧向位移的一阶导；和κ_μ,F为补偿附着系数影响的调节因子；ε是避免分母为零的极小数；

由于轮胎力附着极限的影响，轮胎状态刚度应满足约束：

其中，μ为路面附着系数；F_z为轮胎垂直载荷；下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

在当前时刻向前取P个期望路径数据，即可得到未来预测时域内的轮胎状态刚度：

其中，上标k表示当前时刻；上标k+n表示未来第n时刻，n＝0,1,…P；函数f(·)表示式(18)；

预测的轮胎状态刚度变化量可以表示为：

最终可以得到预测时域内的轮胎状态刚度：

其中，表示当前时刻的轮胎状态刚度，由步骤2.2.1中的式(14)计算得到；

步骤2.3.3、预测时域内的轮胎模型线性化，将步骤2.3.2的式(22)代入步骤2.2.2的式(16)可得到预测时域内的轮胎侧向力的线性化表达式：

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，将步骤2.3.3的式(23)代入步骤2.3.1的汽车动力学模型式(17)，可以得到MPC控制器的预测模型：

将式(24)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；预测输出ζ为横摆角和侧向位移，即

步骤3.2、计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (26)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；同时根据式(1)得到参考输出矩阵R(k+1)＝[r_ref(k+1),…,r_ref(k+P)]^T其中，

步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、用期望的期望侧向位移和横摆角与汽车实际期望侧向位移和横摆角偏差的二范数作为路径跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：τ_y和分别是对侧向位移和横摆角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：τ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-u_max是前轮转角下限，u_max是前轮转角上限；-Δu_max是前轮转角变化量的下限；Δu_max是前轮转角变化量的上限；

步骤3.3.4、设置控制输出约束，满足道路环境要求：

其中，是横摆角下限，是横摆角上限；-Y_max是侧向位移下限；Y_max是侧向位移上限；

步骤3.4、求解系统控制输入，其过程包括如下子步骤：

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建汽车横摆稳定性多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(25)

ii)约束条件式(29)～(30)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(31)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim汽车模型，实现汽车的路径跟踪控制。