CN111959527A - 一种基于转角优化序列的汽车路径跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于转角优化序列的汽车路径跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括MPC路径跟踪控制器、轮胎侧偏角估计模块、CarSim汽车模型和轮胎模型线性化模块。轮胎侧偏角估计模块用于估计预测时域内的轮胎侧偏角序列，轮胎模型线性化模块用于预测时域内非线性轮胎力的线性处理，MPC路径跟踪控制器优化求解出汽车的前轮转角序列，输入给CarSim汽车模型，实现路径跟踪控制。

Description

一种基于转角优化序列的汽车路径跟踪控制方法

技术领域：

本发明涉及汽车路径跟踪控制领域，一种基于转角优化序列的汽车路径跟踪控制方法。

背景技术：

随着交通拥堵问题的日益严重和道路安全问题的日益突出，自动驾驶汽车已经成为汽车行业发展的趋势。由于实际的道路环境复杂多样，而且汽车本身也存在着强非线性，使得自动驾驶汽车的跟踪控制面临巨大的挑战。

国内外学者在自动驾驶汽车跟踪控制算法方面已经有了很多研究成果，传统的控制方法主要有鲁棒控制、预瞄控制和滑模控制等。但上述方法通常只能利用当前的环境信息和汽车状态，并且难以考虑环境和汽车的约束条件。因此，研究人员开始将模型预测控制(Model predictive control，MPC)应用到汽车控制领域。

国内在进行路径跟踪控制研究时，通常假设汽车的轮胎侧偏角较小，将轮胎模型简化成线性轮胎模型，因此并不适用于高速极限工况下的路径跟踪控制。而在汽车稳定性控制领域，国内外已有很多学者根据当前汽车状态对轮胎模型进行连续线性化处理，设计基于线性时变MPC的汽车稳定性控制器并取得了很好的控制效果。但是，这种线性化方法在预测时域内并没有考虑轮胎力的非线性变化，当汽车处于动力学极限附近时，这种线性化方式将变得不那么精确。而国外在路径跟踪控制方面有一些学者开始考虑预测时域内轮胎力的变化对路径跟踪效果的影响。论文[Brown M,Funke J,Erlien S,Gerdes J C.Safedriving envelopes for path tracking in autonomous vehicles[J].ControlEngineering Practice,2017(61):307-316.]在研究基于MPC的路径规划与路径跟踪的集成控制时，利用上一时刻求解的轮胎侧偏角序列对当前预测时域内的轮胎力进行连续线性化处理。但仅仅使用上一时刻优化的侧偏角序列会产生抖动的现象。论文[Funke J,BrownM,Erlien S M,Gerdes J C.Collision Avoidance and Stabilization for AutonomousVehicles in Emergency Scenarios[J].IEEE Transactions on Control SystemsTechnology,2017,25(4):1204-1216.]在此基础上，对轮胎侧偏角进行了正则化处理，较好的解决了这一问题。但是上述方法要求控制时域与预测时域长度一致，较长的控制时域加重了求解器的计算负担。而且，这些研究主要针对中低速工况，尚未讨论高速低附着极限工况下的控制问题。

发明内容：

为解决极限工况下自动驾驶汽车紧急避撞时传统路径跟踪控制方法因轮胎力表达不精确导致的路径跟踪失败问题，本发明提供一种基于转角优化序列的路径跟踪控制方法。首先，基于非线性UniTire轮胎模型求解的轮胎状态刚度对非线性轮胎力进行线性化处理，然后，提出基于优化转角序列的轮胎状态刚度预测方法，并利用预测的轮胎状态刚度实现预测时域内轮胎力的预测和线性化，最后设计MPC控制器实现路径跟踪控制。

本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：

一种基于优化转角序列的路径跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括MPC控制器、轮胎侧偏角估计模块、CarSim汽车模型和轮胎模型线性化模块；轮胎侧偏角估计模块用于估计预测时域内汽车的轮胎侧偏角序列；轮胎模型线性化模块用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、质心侧偏角和侧向位移；MPC控制器根据期望的侧向位移、横摆角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角和前轮转角序列，并输入给CarSim汽车模型和轮胎侧偏角估计模块，控制汽车实现路径跟踪控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、设计轮胎侧偏角估计模块，确定预测时域内的轮胎侧偏角序列，其表达式如下：

其中，

和

为预测时域内前后轮胎的侧偏角序列；β_pre为预测的汽车质心侧偏角；γ_pre为预测的车辆横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

为汽车纵向速度；

步骤2、设计轮胎模型线性化模块，实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似，其过程包括如下子步骤：

步骤2.1、设计非线性UniTire轮胎模型，如下：

其中，F_y为轮胎侧向力；

为无量纲总切向力；φ_x为相对纵向滑移率；φ_n为修正后的相对综合滑移率；μ_y为侧向摩擦系数；F_z为轮胎垂直载荷；E为综合曲率因子；φ为相对综合滑移率；E_x为纵向力曲率因子；E_y为侧向力曲率因子；φ_y为相对侧向滑移率；λ为总切向力方向因子；K_x为纵滑刚度；K_y为侧偏刚度；S_x为纵向滑移率；S_y为侧向滑移率；μ_x为纵向摩擦系数；F_zn为轮胎无量纲垂直载荷；ω为车轮角速度；V_x为轮胎接地印迹中心纵向滑移速度；V_y为轮胎接地印迹中心侧向滑移速度；R_e为轮胎有效滚动半径；κ为ISO轮胎坐标系中的纵向滑移率；α为ISO轮胎坐标系中的轮胎侧偏角；F_z0为轮胎标称载荷；模型参数η＝4，φ_c＝1，pu₁＝0.89，pu₂＝-0.289，pu₃＝-0.289，su₁＝1.106，su₂＝-0.36，su₃＝0.051，pe₁＝-2.98，pe₂＝9.37，se₁＝-2.08，se₂＝9.37，pk₁＝0.019，pk₂＝-0.00000001，pk₃＝-0.00000001，sk₁＝0.046，sk₂＝0.008，sk₃＝0.006；

步骤2.2、轮胎模型线性化方程设计，其过程包括如下子步骤：

步骤2.2.1、轮胎状态刚度定义，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；

为汽车侧向速度；

为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.2.2、轮胎模型性化方程设计，将步骤2.1的式(2)得到的轮胎侧向力和步骤2.2.1的式(15)得到的轮胎侧偏角代入步骤2.2.1的式(14)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

F_y,i＝C_i·α_i (16)

其中，下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

步骤2.3、预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、为了获得轮胎的非线性特性，基于Unitire轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎侧向刚度对轮胎载荷与轮胎侧偏角的关系曲线，得到轮胎状态刚度三维图。轮胎线性化模块将轮胎的载荷和预测的轮胎侧偏角分别输入到轮胎状态刚度三维图，通过线性插值法获得轮胎的轮胎状态刚度

步骤2.3.2、预测时域内轮胎状态刚度预测，将步骤1中得到的预测的轮胎侧偏角序列输入到步骤2.3.1中的轮胎状态三维图，可以得到预测内M步的轮胎状态刚度值，进而预测M步的轮胎状态刚度变化量可以表示为：

其中n＝1,2,…M.

最终可以得到预测时域内M步的轮胎状态刚度：

其中，

表示当前时刻的轮胎状态刚度，由步骤2.2.1中的式(14)计算得到；

为了提高预测的轮胎状态的精度，设计了一种预测时域内P至M步的轮胎状态刚度预测方法，具体如下所示：

其中，

表示上一时刻的轮胎状态刚度，

表示当前时刻的轮胎状态刚度相对于上一时刻的增量；

预测时域内P步的轮胎状刚度可以表示为:

其中，

表示当前时刻的轮胎侧偏角对应的状态刚度；

表示第M步的轮胎状态刚度；ρ₁和ρ₂表示状态刚度调节因子；

步骤2.3.3、预测时域内的轮胎模型线性化，将步骤2.3.2的式(20)代入步骤2.2.2的式(16)可得到预测时域内的轮胎侧向力的线性化表达式：

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立汽车运动学模型，其表达式如下：

其中，I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；m为汽车质量；β为汽车的质心侧偏角速度；

为汽车在大地坐标系中的横摆角变化率；

为汽车在大地坐标系中侧向位移的变化率；

为汽车在大地坐标系中的横摆角；

步骤2.3.1的式(20)代入步骤3.1的汽车动力学模型式(22)，可以得到MPC控制器的预测模型：

将式(23)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量

预测输出ζ为横摆角和侧向位移，即

步骤3.2、计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (25)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；

步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、用期望的侧向位移和质心侧偏角与汽车实际侧向位移和质心侧偏角偏差的二范数作为路径跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：Γ_y和Γ_β分别是对侧向位移和质心侧偏角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：Γ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

-δ_fmax≤δ_f(k+n)≤δ_fmax

-Δδ_fmax≤Δδ_f(k+n)≤Δδ_fmax (28)

n＝0,1…M

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

步骤3.3.4、设置控制输出约束，满足道路环境要求：

其中，-β_max是质心侧偏角下限，β_max是质心侧偏角上限；-Y_max是侧向位移下限；Y_max是侧向位移上限；

步骤3.4、求解系统控制输入，其过程包括如下子步骤：

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(27)

ii)约束条件式(31)～(32)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(30)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim汽车模型，实现汽车的路径跟踪控制。

本发明的有益效果是：本方法通过优化的转角序列预测时域内的轮胎状态刚度，实现预测时域内轮胎力的预测和线性化，能够有效解决高速极限工况下自动驾驶汽车紧急避撞时传统路径跟踪控制方法因轮胎力表达不精确导致的路径跟踪失败问题，明显改善高速极限工况下的避撞控制效果，而且有助于降低求解器的计算负担。

附图说明

图1是本发明的控制系统结构示意图。

图2是轮胎状态刚度预测示意图。

图3是汽车运动学模型示意图。

图4是预测时域内轮胎模型线性化示意图。

图5是轮胎状态刚度特性三维图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

图1是本发明一种基于优化转角序列的路径跟踪控制方法的系统结构示意图，该系统主要包括MPC控制器1、轮胎侧偏角估计模型块2、CarSim汽车模型3和轮胎模型线性化模块4；轮胎侧偏角估计模型快2用于估计预测时域内的轮胎侧偏角序列；轮胎模型线性化模块4用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型4用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、横摆角和侧向位移；MPC控制器1根据期望的侧向位移、质心侧偏角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角，输入给CarSim汽车4模型，控制汽车实现路径跟踪控制；同时将求解出的前轮转角序列输入给轮胎侧偏角估计模型块2，计算出预测时域内的轮胎侧偏角序列；

下面以CarSim汽车仿真软件某车型为平台，具体说明本发明的方法，其主要参数如表1所示：

表1 CarSim汽车的主要参数

前轮转角估计模块2的设计，用于计算出预测的轮胎侧偏角序列，其表达式如下：

其中，

和

为预测时域内前后轮胎的侧偏角序列；β_pre为预测的汽车质心侧偏角；γ_pre为预测的车辆横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

为汽车纵向速度；

设计轮胎模型线性化模块4的设计包括三部分：2.1设计非线性轮胎模型；2.2轮胎模型线性化方程设计；2.3预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化；

在2.1部分中，设计非线性UniTire轮胎模型如下：

其中，F_y为轮胎侧向力；

为无量纲总切向力；φ_x为相对纵向滑移率；φ_n为修正后的相对综合滑移率；μ_y为侧向摩擦系数；F_z为轮胎垂直载荷；E为综合曲率因子；φ为相对综合滑移率；E_x为纵向力曲率因子；E_y为侧向力曲率因子；φ_y为相对侧向滑移率；λ为总切向力方向因子；K_x为纵滑刚度；K_y为侧偏刚度；S_x为纵向滑移率；S_y为侧向滑移率；μ_x为纵向摩擦系数；F_zn为轮胎无量纲垂直载荷；ω为车轮角速度；V_x为轮胎接地印迹中心纵向滑移速度；V_y为轮胎接地印迹中心侧向滑移速度；R_e为轮胎有效滚动半径；κ为ISO轮胎坐标系中的纵向滑移率；α为ISO轮胎坐标系中的轮胎侧偏角；F_z0为轮胎标称载荷；模型参数η＝4，φ_c＝1，pu₁＝0.89，pu₂＝-0.289，pu₃＝-0.289，su₁＝1.106，su₂＝-0.36，su₃＝0.051，pe₁＝-2.98，pe₂＝9.37，se₁＝-2.08，se₂＝9.37，pk₁＝0.019，pk₂＝-0.00000001，pk₃＝-0.00000001，sk₁＝0.046，sk₂＝0.008，sk₃＝0.006；

在2.2部分中，在前时刻对轮胎模型进行线性化，包括两部分：2.2.1轮胎状态刚度定义；2.2.2轮胎模型性化方程设计；

在2.2.1部分中，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，如图3，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；

为汽车侧向速度；

为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

在2.2.2部分中，设计轮胎模型线性化方程，将式(2)得到的轮胎侧向力和式(15)得到的轮胎侧偏角代入式(14)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

F_y,i＝C_i·α_i (16)

其中，下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

在2.3部分中，预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化包括三部分：2.3.1建立轮胎侧偏刚度特性三维图；2.3.2预测时域内轮胎状态刚度预测；2.3.3预测时域内的轮胎模型线性化；

在2.3.1部分中，建立汽车运动学模型轮胎侧偏刚度特性三维图，如图5所示；

在2.3.2部分中，对预测时域内轮胎状态刚度预测，将式(1)得到的预测的轮胎侧偏角序列输入轮胎状态刚度三维图，可以得到预测时域内M步的轮胎状态刚度值，进而预测M步的轮胎状态刚度变化量可以表示为：

其中n＝1,2,…M.

最终可以得到预测时域内M步的轮胎状态刚度：

其中，

表示当前时刻的轮胎状态刚度，由式(14)计算得到；

为了提高预测的准确度，设计了一种预测时域内P至M步的轮胎状态刚度预测方法，具体如下所示：

其中，

表示上一时刻的轮胎状态刚度，

表示当前时刻的轮胎状态刚度相对于上一时刻的增量；

预测时域内P步的轮胎状刚度如图2所示，可以表示为:

其中，

表示当前时刻的轮胎侧偏角对应的状态刚度；

表示第M步的轮胎状态刚度；ρ₁和ρ₂表示状态刚度调节因子；

在2.3.3部分中，对预测时域内的轮胎模型线性化，如图3，将式(21)代入步骤2.2.2的式(16)可得到预测时域内的轮胎侧向力的线性化表达式：

MPC控制器3的设计包括四部分：3.1建立预测模型；3.2计算预测输出；3.3设计优化目标及约束条件；3.4求解系统控制输入；

在3.1部分中，首先建立车辆运动学模型，如图4所示，其表达式如下：

图中，XOY坐标系为大地坐标系；

为汽车侧向速度；

为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；δ_f为车辆前轮转角；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；α_f与α_r分别为前、后轮胎侧偏角；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

其中，I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；m为汽车质量；β为汽车的质心侧偏角；

为汽车在大地坐标系中的横摆角变化率；

为汽车在大地坐标系中侧向位移的变化率；

为汽车在大地坐标系中的横摆角；

将式(20)代入式(22)，可以得到MPC控制器的预测模型：

将式(23)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

将式(24)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；状态变量

预测输出ζ为质心侧偏角和侧向位移，即

在3.2部分中，计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (26)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；

在3.3部分中，优化目标及约束条件的设计包括三部分：3.3.1设计路径跟踪性能指标；3.3.2设计转向平滑指标；3.3.3设置执行器物理约束；3.3.4设置控制输出约束；

在3.3.1部分中，用期望的侧向位移和横摆角与汽车实际侧向位移和横摆角的偏差的二范数作为路径跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：Γ_y和

分别是对侧向位移和质心侧偏角跟踪性能的加权因子；

在3.3.2部分中，用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：Γ_u是对控制输入变化量的加权因子；

在3.3.3部分中，设置执行器物理约束，利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

-δ_fmax≤δ_f(k+n)≤δ_fmax

-Δδ_fmax≤Δδ_f(k+n)≤Δδ_fmax (29)

n＝0,1…M

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

在3.3.4部分中，设置控制输出约束，满足道路环境要求：

其中，-β_max是质心侧偏角下限，β_max是质心侧偏角上限；-Y_max是侧向位移下限；Y_max是侧向位移上限；

在3.4部分中，系统控制输入的求解包括两部分：3.4.1构建多目标优化控制问题；3.4.2求解多目标优化控制问题；

在3.4.1部分中，利用线性加权法将式(27)的跟踪性能指标和式(28)的转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(25)

ii)约束条件式(29)～(30)

在3.4.2部分中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(31)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输出给CarSim汽车模型3，实现汽车的路径跟踪控制。

Claims (1)

1.一种基于转角优化序列的汽车路径跟踪控制方法，其特征在于，该方法包括轮胎侧偏角估计模块、轮胎模型线性化模块、MPC控制器和CarSim汽车模型；轮胎侧偏角估计模块用于估计预测时域内汽车的轮胎侧偏角序列；轮胎模型线性化模块用于实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似；CarSim汽车模型用于输出汽车的实际状态量，包括汽车纵向速度、侧向速度、横摆角速度、横摆角和侧向位移；MPC控制器根据期望的侧向位移、质心侧偏角以及汽车的实际状态量，求解出汽车的前轮转角和前轮转角序列，并输入给CarSim汽车模型和轮胎侧偏角估计模块，控制汽车实现路径跟踪控制；

该方法包括以下步骤：

步骤1、设计轮胎侧偏角估计模块，确定预测时域内的轮胎侧偏角序列，其表达式如下：

其中，

和

为预测时域内前后轮胎的侧偏角序列；β_pre为预测的汽车质心侧偏角；γ_pre为预测的车辆横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

为汽车纵向速度；

步骤2、设计轮胎模型线性化模块，实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似，其过程包括如下子步骤：

步骤2.1、设计非线性轮胎模型，得到轮胎侧向力F_y的表达式如下：

其中，F_y为轮胎侧向力；

为无量纲总切向力；φ_x为相对纵向滑移率；φ_n为修正后的相对综合滑移率；μ_y为侧向摩擦系数；F_z为轮胎垂直载荷；E为综合曲率因子；φ为相对综合滑移率；E_x为纵向力曲率因子；E_y为侧向力曲率因子；φ_y为相对侧向滑移率；λ为总切向力方向因子；K_x为纵滑刚度；K_y为侧偏刚度；S_x为纵向滑移率；S_y为侧向滑移率；μ_x为纵向摩擦系数；F_zn为轮胎无量纲垂直载荷；ω为车轮角速度；V_x为轮胎接地印迹中心纵向滑移速度；V_y为轮胎接地印迹中心侧向滑移速度；R_e为轮胎有效滚动半径；κ为ISO轮胎坐标系中的纵向滑移率；α为ISO轮胎坐标系中的轮胎侧偏角；F_z0为轮胎标称载荷；模型参数η＝4，φ_c＝1，pu₁＝0.89，pu₂＝-0.289，pu₃＝-0.289，su₁＝1.106，su₂＝-0.36，su₃＝0.051，pe₁＝-2.98，pe₂＝9.37，se₁＝-2.08，se₂＝9.37，pk₁＝0.019，pk₂＝-0.00000001，pk₃＝-0.00000001，sk₁＝0.046，sk₂＝0.008，sk₃＝0.006；

步骤2.2、轮胎模型线性化方程设计，其过程包括如下子步骤：

步骤2.2.1、轮胎状态刚度定义，定义轮胎状态刚度C为每一侧偏角α下，侧向力与该侧偏角的比值，表达式如下：

其中，前、后轮的轮胎侧偏角α_f和α_r分别定义如下：

其中，δ_f为前轮转角；

为汽车侧向速度；

为汽车纵向速度；γ为汽车横摆角速度；l_f与l_r分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；

步骤2.2.2、轮胎模型性化方程设计，将步骤2.1得到的轮胎侧向力和步骤2.2.1的式(15)得到的轮胎侧偏角代入步骤2.2.1的式(14)可得到每个轮胎的轮胎状态刚度，基于得到的轮胎状态刚度，前、后轮胎的侧向力可线性化表示为：

F_y,i＝C_i·α_i (16)

其中，下标i＝f,r，分别指前、后轮胎；

步骤2.3、预测时域内轮胎状态刚度预测和轮胎模型线性化，其过程包括如下子步骤：

步骤2.3.1、为了获得轮胎的非线性特性，基于Unitire轮胎模型，获取不同路面附着系数下的轮胎侧向刚度对轮胎载荷与轮胎侧偏角的关系曲线，得到轮胎状态刚度三维图；轮胎线性化模块将轮胎的载荷和预测的轮胎侧偏角分别输入到轮胎状态刚度三维图，通过线性插值法获得轮胎的状态刚度

步骤2.3.2、预测时域内轮胎状态刚度预测，将步骤1中得到的预测的轮胎侧偏角序列输入到步骤2.3.1中的轮胎状态三维图，可以得到预测内M步的轮胎状态刚度值，进而预测M步的轮胎状态刚度变化量可以表示为：

其中n＝1,2,…M.

最终可以得到预测时域内M步的轮胎状态刚度：

其中，

表示当前时刻的轮胎状态刚度，由步骤2.2.1中的式(14)计算得到；

为了提高预测的轮胎状态刚度的精度，设计了一种预测时域内P至M步的轮胎状态刚度预测方法，具体如下所示：

其中，

表示上一时刻的轮胎状态刚度，

表示当前时刻的轮胎状态刚度相对于上一时刻的增量；

预测时域内P步的轮胎状刚度可以表示为:

其中，

表示当前时刻的轮胎侧偏角对应的状态刚度；

表示第M步的轮胎状态刚度；ρ₁和ρ₂表示状态刚度调节因子；

步骤2.3.3、预测时域内的轮胎模型线性化，将步骤2.3.2的式(20)代入步骤2.2.2的式(16)可得到预测时域内的轮胎侧向力的线性化表达式：

步骤3、设计MPC控制器，其过程包括如下子步骤：

步骤3.1、建立预测模型，建立汽车运动学模型，其表达式如下：

其中，I_z为绕汽车质心铅垂轴的横摆转动惯量；

为汽车横摆角加速度；F_y,f和F_y,r分别为前、后轮胎的侧向力；m为汽车质量；

为汽车侧向加速度；

为汽车在大地坐标系中的横摆角变化率；Y为汽车在大地坐标系中侧向位移的变化率；

为汽车在大地坐标系中的横摆角；

将步骤2.3.3的式(20)代入步骤3.1的汽车动力学模型式(22)，可以得到MPC控制器的预测模型：

将式(23)写成标准状态空间方程的形式，并以步长T_s进行离散化，得到增量式的离散预测模型模型如下：

其中，控制输入u为前轮转角，即δ_f；预测输出ζ为横摆角和侧向位移，即

步骤3.2、计算预测输出，根据模型预测控制理论，取预测时域为P，控制时域为M，可以得到在当前k时刻的预测输出为：

ζ(k+1|k)＝S_ξ·Δξ(k)+I·ζ(k)+S_uΔU(k) (25)

其中，

预测输出矩阵ζ(k+1|k)＝[ζ(k+1|k),…,ζ(k+P|k)]^T；控制输入增量矩阵ΔU(k)＝[Δu(k),…,Δu(k+M-1)]^T；

步骤3.3、设计优化目标及约束条件，其过程包括如下子步骤：

步骤3.3.1、用期望的侧向位移和质心侧偏角与汽车实际侧向位移和质心侧偏角偏差的二范数作为路径跟踪性能指标，其表达式如下：

其中：Γ_y和Γ_β分别是对侧向位移和质心侧偏角跟踪性能的加权因子；

步骤3.3.2、用控制量变化量的二范数作为转向平滑指标，其表达式如下：

其中：Γ_u是对控制输入变化量的加权因子；

步骤3.3.3、设置执行器物理约束，满足执行器要求：

利用线性不等式限制前轮转角及其变化量的上下限，得到转向执行器的物理约束，其数学表达式为：

其中：-δ_fmax是前轮转角下限，δ_fmax是前轮转角上限；-Δδ_fmax是前轮转角变化量的下限；Δδ_fmax是前轮转角变化量的上限；

步骤3.3.4、设置控制输出约束，满足道路环境要求：

其中，-β_max是质心侧偏角下限，β_max是质心侧偏角上限；-Y_max是侧向位移下限；Y_max是侧向位移上限；

步骤3.4、求解系统控制输入，其过程包括如下子步骤：

步骤3.4.1、利用线性加权法将步骤3.3.1所述跟踪性能指标和步骤3.3.2所述转向平滑指标转化为单一指标，构建多目标优化控制问题：

服从于

i)预测模型式(27)

ii)约束条件式(31)～(32)

步骤3.4.2、在控制器中，采用二次规划算法，求解多目标优化控制问题(30)，得到最优开环控制序列Δδ_f为：

选取当前时刻最优开环控制序列中的第一个元素进行反馈，与前一时刻进行线性叠加后得到前轮转角δ_f，输入给CarSim汽车模型，实现汽车的路径跟踪控制。

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