CN110058519A - 一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，通过构建多智能体系统的连接图并得出分布式多智能体系统的拉普拉斯矩阵和领导跟随连通矩阵；针对存在非线性项的四旋翼飞行器模型，构建相应的观测器设计快速自适应故障估计器来预测故障的实际大小；构造局部增广系统误差动态方程和全局增广系统误差动态方程；构建Lyapunov函数，通过相应的理论推导得出计算控制器和故障估计器中参数的方法，使得系统在发生执行器故障和外部干扰的作用下完成编队控制的要求。本发明可在理论层面上彻底消除外界干扰对容错控制的不利影响，提升故障估计的性能，并实现四旋翼飞行器编队任何一个节点出现执行器故障或者多个节点同时出现执行器故障的容错控制。

Description

一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法

技术领域

本发明属于多智能体系统技术领域，特别涉及一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法。

背景技术

近些年，随着系统互联复杂化、任务模式协同化趋势的不断加深，基于多智能体系统(Multi-Agent Systems,MAS)技术的相关理论与应用研究逐步开展与完善起来，而与之密切相关的故障诊断理论与方法研究也愈发引人关注。多智能体系统自身特有的网络链接、自由分布、信息共享等优点，使得相关故障诊断系统可以以前所未有的姿态朝着“体大量多”的方向集成和互操作，同时子系统或者说单一智能体在网络化通讯层面上诊断信息的多样化交换和共享方式，也在极大程度上提升了复杂系统的诊断设计自由度和诊断结果准确性，从而有效地拓宽了容错控制方法的研究领域和适用范围。值得一提的是，面对日益复杂的网络化控制系统，基于多智能技术的容错控制方法相较于传统的以冗余设计或分立设计为核心的控制方法，兼有了更小通讯负载、更少资源消耗，且易于扩展、易于维护等特点。这些都将对网络化控制系统容错控制技术的发展与应用起到举足轻重的推动作用。

随着飞行控制系统的发展，需要多智能体协同完成任务的情况层出不穷，基于多智能体系统技术的研究也得到了越来越多的重视和研究。飞行控制系统的一项重要指标就是高可靠性，因为实际飞行过程中复杂的环境影响，在设计飞行控制系统时就要考虑到各种因外界因素引起的不确定性。一个理想的飞行控制系统应当完成如下设计目标：在飞机内部发生部件故障或者遭遇到外界影响发生意外损伤时，系统能够按照故障发生的性质和损伤的特性进行控制策略的应急改变。随着对无人机的研究逐步深化和对无人机的应用领域不断扩大，面对越来越复杂的环境，单个无人机存在的任务执行效率无法进一步提升、容错性较差、受能源和体积限制等问题逐步显露出来，因此，多无人机协同提高完成任务已成为必然趋势。在研究飞行器群的编队、协同等控制问题时，如果机群中的任何一架飞行器或多架飞行器自身发生了故障，且不能及时的进行处理，那么基于导航系统和各种传感器设备，通过飞行器之间的相关信息交互，很有可能会将单个飞行器故障的影响扩散的整个集群当中，该问题的解决对于集群控制是至关重要的。而本专利提出的基于快速自适应技术的飞行控制系统编队容错控制方法正是针对上述情况完成的研究，具有十分重要的理论研究价值和广阔的应用背景。

发明内容

发明目的：针对现有技术的问题，提供一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，借助快速自适应观测器来对故障进行预估，并利用观测器得到的状态信息来设计容错控制器，可在理论层面上彻底消除外界干扰对容错控制的不利影响，提升故障估计的性能，并实现四旋翼飞行器编队任何一个节点出现执行器故障或者多个节点同时出现执行器故障的容错控制。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明提供基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，包括如下步骤：

(1)构建多智能体系统的连接图并以有向图的形式表示，得出分布式多智能体系统的拉普拉斯矩阵L和领导跟随连通矩阵G；

(2)针对存在非线性项的四旋翼飞行器模型，设计一个相应的领导节点，并构建相应的观测器来观察每个智能体的状态变量并设计快速自适应故障估计器来预测故障的实际大小；

(3)针对有向通讯拓扑结构下的每个智能体，利用观测器的全局误差变量和故障估计值来设计相应的控制器，并构造局部增广系统误差动态方程和全局增广系统误差动态方程；

(4)利用局部增广系统误差和全局增广系统误构建Lyapunov函数，通过相应的理论推导得出计算控制器和故障估计器中参数的方法，根据定理中所计算得到的参数可以使得系统在发生执行器故障和外部干扰的作用下完成编队控制的要求。

进一步的，所述步骤(1)的具体步骤如下：

本发明考虑了一组具有领导者跟随架构的四旋翼飞行器的编队控制，由一个领导节点和N个跟随者组成。假设领导者节点是标记为0的节点，并且每个跟随者的标记分别为i∈Γ＝{1,2,3,…,N}，且该集合为一个有限集合。这里用来表示N个节点之间的通讯拓扑，其中V＝{v_i}和分别代表节点集合和边集合。定义为图的邻接矩阵，如果在节点i和j之间有通讯连接，即(v_i,v_j)∈ε，则a_ij＝a_ji＞0，否则，a_ij＝a_ji＝0，对于所有的i∈Γ有a_ii＝0，其中节点v_i的临接集合可以由来表示。在这里定义图的度矩阵为其中且有向图的拉普拉斯矩阵定义领导跟随连通矩阵G＝diag{g₁,g₂,…,g_N}，其中g_i∈{0,1}，当g_i＝1时代表第i个飞行器可以接收到期望轨迹的信息，接受不到时g_i则为0。

进一步的，所述步骤(2)的具体步骤如下：

四旋翼飞行器的外环子系统可以通过如下的动态方程来表示：

其中，为状态变量，为系统的控制输入，为故障向量，为传感器输出，为外界干扰项。和为系统已知的矩阵。函数是一个连续函数，表示第i个飞行器的非线性动态，i＝1,2,…,N。且非线性函数η(·,·)满足Lipschitz条件，且其Lipschitz常数为L_η，即满足以下条件：

|η(x₁(t),t)-η(x₂(t),t)||≤L_η||x₁(t)-x₂(t)||,t≥0.

领导节点的动态方程如下：

在对编队控制问题进行研究时，执行器故障通常被考虑在内。不失一般性，假设其中为矩阵B的第q_l列，因此，存在一个矩阵满足令由的性质可得其余项都为0。有了矩阵之后，执行器故障可表示为：

为了监控不同的通道的执行器，可以选择指定的此外，根据不同故障f_i(t)的选择，可以根据故障的严重程度，故障的性质和时变性质来考虑不同类型的故障，而上述的表述方法则可以表示各种类型的执行器故障。

控制器的设计往往需要用到状态反馈信息，然而在大多数实际应用中，飞行器的状态通常是不可测量的。为了估计飞行器的状态x_i(t)，通常可以设计如下的观测器：

其中，和分别代表x_i(t),f_i(t)和y_i(t)的估计值，为待设计的观测器的增益矩阵。

在观测器设计好的基础上，利用快速自适应方法可以利用状态的估计值来估计故障的大小，具体形式如下：

其中，为输出误差，为故障估计误差，为e_y,i(t)对时间t的求导，为权重矩阵且Γ＝Γ^T＞0，为两个待设计的矩阵，σ为一个正常数。

进一步的，所述步骤(3)中的具体步骤如下：

假设相邻飞行器或者相邻车辆之间的状态误差是可以精确测量的。在这些基础上来进行设计，便有了如下的协同编队控制方案：

其中，c为待设计的加权系数，为待设计的反馈增益矩阵。为飞行器i和飞行器j之间的期望误差向量。

定义状态误差为编队误差为进一步又可以得到

将上述控制器带入到四旋翼飞行器模型当中，可以得到如下形式的闭环系统：

根据上述结果又可以得出第i个飞行器的误差动态方程：

其中，再将上述结构通过全局误差的形式进行表述，可以得出：

其中，Π(e_x(t),t)＝[κ^T(x_x,1(t),t),κ^T(x_x,2(t),t),…,κ^T(x_x,N(t),t)]^T，

对于第i个四旋翼飞行器，编队误差为：

其相应的全局形式为：

其中，κ₁(e_i(t),t)＝η(x_i(t),t)-η(x_i ^r(t),t)，

第i个四旋翼飞行器的故障估计误差可以表示为：

其相应的全局形式为：

为了使得本发明中控制器的参数可以满足编队控制的要求，在此进行如下的定义：

对于本步骤中所描述的多智能体系统，当满足以下条件时则称该多智能体系统满足了编队控制：

(1)在不出现干扰和执行器故障的情况下有：

(2)在执行器故障和外部干扰的影响且系统满足零初始的条件下，误差变量满足其中β＞0的大小取决于 而分别为的上限，γ为一个应该被设计的尽量小的正常数。

并且，假设外部干扰w_i(t)满足||w_i(t)||＜β_w,(i＝1,2,…,N)，加性故障f_i(t)与其导数是有界的，即其中β_f和为两个已知的正常数。

进一步的，所述步骤(4)的具体步骤如下：

由上述内容可知，观测器中的矩阵控制器中的矩阵K，故障估计器中的矩阵R₁,R₂以及增益矩阵Γ，耦合参数c和σ均是未知的，上述相关参数可以通过下列矩阵不等式获取：

K＝B^TP,R₁C＝F^TP,

其中，为一个正定的实对称矩阵，矩阵D＝R₂C，参数α₁,α₂,…,α₇为几个应被设计的尽量小的正常数，接下来将给出具体的证明过程。

考虑下列的Lyapunov函数：

将V(t)沿时间t求导，将步骤三种得到几个全局误差向量带入到上式当中，可以得到：

令且 且K＝B^TP，T＝L+G，则上式又可被重写为：

由上式还可以进一步得到：

由向量的不等式相关条件，可以得出下列结论：

其中，α_i＞0,i＝1,2,…,7为已知常数。将上述的不等式代入到之前的推导当中并考虑到条件F^TP^-1＝R^TC，D＝R₂C，可以得到：

再考虑如下的不等式条件：

将上述的不等式带入到之前的推导过程当中，又可以得到：

又因为和为实对称矩阵，且可以得出和又因为和为实对称矩阵，且可以得出和则上式又可以进一步为：

再对上式进行进一步的整理，可以得出：

即满足第四步中提出的假设条件且不存在外部干扰时，进而可以得出

在上述的基础上，再进一步讨论第三步所提到的性能指标，J可以表示为：

由的定义，J又可被重写为：

从而可以得出，当系统满足零初始条件下，性能指标J＜0，由此证明完成。从上述的证明过程中可以看出，α₁,α₂,…,α₇的大小选择取决于第四步中的矩阵不等式，这样就可以保证误差可以收敛到一个很小的范围内，以此实现理想编队轨迹。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

(1)针对非线性系统，将系统中可能出现的外部干扰考虑在内，研究了其编队容错控制问题。

(2)基于自适应观测器方法，利用观测器的状态估计值进行控制器的设计，并对执行器故障进行了估计，得到的故障估计值同样被应用到控制器当中，以用于补偿实际故障。

(3)利用误差信息设计了Lyapunov函数，对误差和外部干扰进行处理，并设计了相应的性能指标，保证了编队误差在意义下具有渐进稳定的趋势。

附图说明

图1为具体实施例中本发明控制系统的具体结构图；

图2为具体实施例中多智能体系统的无向通讯拓扑图；

图3为具体实施例中控制器中无补偿项时，五个四旋翼飞行器的运动轨迹曲线图；

图4为具体实施例中控制器中无补偿项时的响应曲线，(a)图为飞行器1的误差响应曲线，(b)图为飞行器4的误差响应曲线；

图5为具体实施例中控制器中有补偿项时，五个四旋翼飞行器的运动轨迹曲线图；

图6为具体实施例中控制器中有补偿项时的响应曲线，(a)图为飞行器1的误差响应曲线，(b)图为飞行器4的误差响应曲线；

图7为具体实施例中飞行器1的故障估计值的响应曲线图；

图8为具体实施例中飞行器4的故障估计值的响应曲线图；

图9为具体实施例中飞行器1和飞行器4的故障估计值与实际值的误差响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，进一步阐明本发明。本发明描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所得到的其他实施例，都属于本发明所保护的范围。

本发明将使用四旋翼飞行器平台对本发明的理论结果进行验证，主要通过matlab对四旋翼飞行器进行建模并进行数值仿真。交换拓扑结构如图2所示，为了便于分析，假设所有四旋翼飞行器的运动都在x,y坐标轴上，且每个飞行器的高度和姿态角都指定为常量。

对于每个四旋翼飞行器，轨迹系统中的时间常数远远大于姿态系统的时间常数。因此，如果编队飞行仅考虑四旋翼飞行器的位置和速度，则可以将四旋翼模型解耦为内环控制系统和外环控制系统，其中外环系统使得飞行器可以按照理想轨迹飞行，内环系统则跟踪外环系统生成的一个预期值，具体结构如图1所示。

本发明主要考虑了四旋翼飞行器的外环系统，一个飞行器可以看做是质心分布的，即其动力学方程可以由下列的二阶系统近似描述：

其中，和分别代表四旋翼飞行器的位置和速度，u_i(t)为飞行器的控制输入，K_i＝0.01为飞行器的气动阻尼系数，质量m_i＝0.468kg。ρ_x(t)＝[p_i,x(t),v_i,x(t)]^T且ρ_y(t)＝[p_i,x(t),v_i,y(t)]^T，p_i,x(t)和p_i,y(t)为飞行器在x-y坐标系上的位移，v_i,x(t)和v_i,y(t)为飞行器在x-y坐标系上的速度。

令x_i(t)＝[ρ_x(t),ρ_y(t)]^T，则四旋翼飞行器的动态方程又可以表示为：

其中且 代表矩阵之间的Kronecker积。

在不考虑模型中不确定性的情况下，可以用上述数学模型来表示四旋翼飞行器的动力学方程。本发明考虑了外部干扰和执行器故障的影响，因此，上述模型可以扩展为以下的形式：

其中：

矩阵C和F分别为输出矩阵和故障分布矩阵，通过以往对四旋翼飞行器所进行的建模实验，系统中的非线性项可以选择为如下的形式：

η_i(x_i(t),t)＝0.1sin(x_i(t))+0.05cos(x_i(t))+0.3sin(x_i(t))cos(2x_i(t)).

首先，构建多智能体系统连接图并以无向图表示，如图2所示，1-5代表无向图具有的五个四旋翼飞行器，从图2可以的得到拉普拉斯矩阵L和领导跟随连通矩阵G：

五个飞行器的参考轨迹分别为：

x_1,x(t)＝x_2,x(t)＝x_3,x(t)＝x_4,x(t)＝x_5,x(t)＝t,

x_1,y(t)＝5sin(0.214x_1,x(t)),

x_2,y(t)＝5sin(0.214x_2,x(t))+4,

x_3,y(t)＝5sin(0.214x_3,x(t))+8,

x_4,y(t)＝5sin(0.214x_4,x(t))+12,

x_5,y(t)＝5sin(0.214x_5,x(t))+16,

经过矩阵的相关计算可以得出以下的控制器参数：c＝1.0875,σ＝2.4512

且五个飞行器的初始条件分别为：

x₁(0)＝[5.178,0,1.379,0]^T,x₂(0)＝[0.3185,0,5.322,0]^T,x₃(0)＝[-4.684,0,1.137,0]^T,x₄(0)＝[-2.368,0,-4.158,0]^T,x₅(0)＝[3.082,0,-3.585,0]^T.

仿真实例：

在本发明中，设仿真时间为120s，并且假设飞行器1和飞行器4为故障飞行器，执行器故障的形式如下：

为验证本发明容错控制方法的效果，应用matlab中的simulink模板进行仿真验证，仿真将通过两种情况来进行，情况一为控制器中无补偿项的数值仿真，情况二为控制器中有补偿项的数值仿真。两种情况下的仿真结果分别如下：

情况1：对于编队系统，使用一般形式下的控制方案，即去除控制器中的故障补偿项。在该控制方案的作用下，五个飞行器的运动轨迹如图3所示。在发生执行器故障之前，可以看到系统在该控制方案的作用下可以完成编队队形。然而，在飞行器1和飞行器4发生故障之后，队形明显被破坏，该结果可以从图3中清楚的观察到。

情况2：该情况则考虑控制方案中用于补偿和抵消执行器故障的一项，图5为五个飞行器的运动轨迹，可以观察到在飞行器1和飞行器4发生执行器故障之前和之后都可以按照预定的队形飞行。从图6中可以清楚的观察到在发生故障之前和发生故障之后误差的响应曲线。

从这些仿真图形中可以得出结论，本容错控制方案可以保证飞行器在发生执行器故障时，整个系统仍能按照指定的轨迹飞行。此外，飞行器1和飞行器4故障估计的结果分别如图7和图8所示，估计值与实际值的误差分别如图9所示，从中可以发现所提出的故障估计器可以准确、快速的实现故障估计。

本发明的具体实施方式中凡未涉到的说明属于本领域的公知技术，可参考公知技术加以实施。

以上具体实施方式是对本发明提出的一种基于未知输入观测器的直升机协同编队低频故障诊断方法技术思想的具体支持，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在本发明技术方案基础上所做的任何等同变化或等效的改动，均仍属于本发明技术方案保护的范围。

Claims (6)

1.一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)构建多智能体系统的连接图并以有向图的形式表示，得出分布式多智能体系统的拉普拉斯矩阵L和领导跟随连通矩阵G；

(2)针对存在非线性项的四旋翼飞行器模型，设计一个相应的领导节点，并构建相应的观测器来观察每个智能体的状态变量并设计快速自适应故障估计器来预测故障的实际大小；

(3)针对有向通讯拓扑结构下的每个智能体，利用观测器的全局误差变量和故障估计值来设计相应的控制器，并构造局部增广系统误差动态方程和全局增广系统误差动态方程；

(4)利用局部增广系统误差和全局增广系统误构建Lyapunov函数，通过相应的理论推导得出计算控制器和故障估计器中参数的方法，根据定理中所计算得到的参数可以使得系统在发生执行器故障和外部干扰的作用下完成编队控制的要求。

2.根据权利要求1所述的一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，其特征在于，所述步骤(1)中得出分布式多智能体系统的拉普拉斯矩阵L和领导跟随连通矩阵G的具体步骤如下：

具有领导者跟随架构的四旋翼飞行器的编队控制，由一个领导节点和N个跟随者组成；其中领导者节点是标记为0的节点，并且每个跟随者的标记分别为i∈Γ＝{1,2,3,…,N}，且该集合为一个有限集合；用来表示N个节点之间的通讯拓扑，其中V＝{v_i}和分别代表节点集合和边集合；

定义为图的邻接矩阵，如果在节点i和j之间有通讯连接，即(v_i,v_j)∈ε，则a_ij＝a_ji＞0，否则，a_ij＝a_ji＝0，对于所有的i∈Γ有a_ii＝0，其中节点v_i的临接集合可以由来表示；定义图的度矩阵为其中且有向图的拉普拉斯矩阵定义领导跟随连通矩阵G＝diag{g₁,g₂,…,g_N}，其中g_i∈{0,1}，当g_i＝1时代表第i个飞行器可以接收到期望轨迹的信息，接受不到时g_i则为0。

3.根据权利要求1所述的一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，其特征在于，所述步骤(2)中构建相应的观测器来观察每个智能体的状态变量并设计快速自适应故障估计器来预测故障的实际大小的具体步骤如下：

四旋翼飞行器的外环子系统通过如下的动态方程来表示：

其中，为状态变量，为系统的控制输入，为故障向量，为传感器输出，为外界干扰项；和为系统已知的矩阵；函数η(·,·):是一个连续函数，表示第i个飞行器的非线性动态，i＝1,2,…,N；且非线性函数η(·,·)满足Lipschitz条件，且其Lipschitz常数为L_η，即满足以下条件：

||η(x₁(t),t)-η(x₂(t),t)||≤L_η||x₁(t)-x₂(t)||,t≥0.

领导节点的动态方程如下：

在对编队控制问题进行研究时，执行器故障通常被考虑在内；不失一般性，假设其中为矩阵B的第q_l列，因此，存在一个矩阵满足令由的性质可得其余项都为0；有了矩阵之后，执行器故障表示为：

为了监控不同的通道的执行器，选择指定的此外，根据不同故障f_i(t)的选择，根据故障的严重程度，故障的性质和时变性质来考虑不同类型的故障，而上述的表述方法则表示各种类型的执行器故障；

为了估计飞行器的状态x_i(t)，设计如下的观测器：

其中，和分别代表x_i(t),f_i(t)和y_i(t)的估计值，为待设计的观测器的增益矩阵；

在观测器设计好的基础上，利用快速自适应方法可以利用状态的估计值来估计故障的大小，具体形式如下：

其中，为输出误差，为故障估计误差，为e_y,i(t)对时间t的求导，为权重矩阵且Γ＝Γ^T＞0，为两个待设计的矩阵，σ为一个正常数。

4.根据权利要求1所述的一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，其特征在于，所述步骤(3)中构造局部增广系统误差动态方程和全局增广系统误差动态方程的具体步骤如下：

其中协同编队控制方案如下：

其中，c为待设计的加权系数，为待设计的反馈增益矩阵；为飞行器i和飞行器j之间的期望误差向量；

定义状态误差为编队误差为进一步又可以得到

将上述控制器带入到四旋翼飞行器模型当中，可以得到如下形式的闭环系统：

根据上述结果又可以得出第i个飞行器的误差动态方程：

其中，再将上述结构通过全局误差的形式进行表述，可以得出：

其中，Π(e_x(t),t)＝[κ^T(x_x,1(t),t),κ^T(x_x,2(t),t),…,κ^T(x_x,N(t),t)]^T，

对于第i个四旋翼飞行器，编队误差为：

其相应的全局形式为：

其中，

第i个四旋翼飞行器的故障估计误差可以表示为：

其相应的全局形式为：

5.根据权利要求4所述的一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，其特征在于，所述步骤(3)中协同编队控制方案需要满足如下条件：

在不出现干扰和执行器故障的情况下有：

在执行器故障和外部干扰的影响且系统满足零初始的条件下，误差变量满足其中β＞0的大小取决于β_w,β_f, 而β_w,β_f,分别为w(t),f(t),的上限，γ为一个应该被设计的尽量小的正常数；

并且，假设外部干扰w_i(t)满足||w_i(t)||＜β_w,(i＝1,2,…,N)，加性故障f_i(t)与其导数是有界的，即||f_i(t)||＜β_f,i＝1,2,…,N，其中β_f和为两个已知的正常数。

6.根据权利要求5所述的一种基于快速自适应技术的主动编队容错控制方法，其特征在于，所述步骤(4)中使得系统在发生执行器故障和外部干扰的作用下完成编队控制的要求的具体步骤如下：

观测器中的矩阵控制器中的矩阵K，故障估计器中的矩阵R₁,R₂以及增益矩阵Γ，耦合参数c和σ均是未知的，上述相关参数可以通过下列矩阵不等式获取：

K＝B^TP,R₁C＝F^TP,

其中，为一个正定的实对称矩阵，矩阵D＝R₂C，参数α₁,α₂,…,α₇为几个应被设计的尽量小的正常数，接下来将给出具体的证明过程。

考虑下列的Lyapunov函数：

将V(t)沿时间t求导，将步骤三种得到几个全局误差向量带入到上式当中，可以得到：

令 且K＝B^TP，T＝L+G，则上式又被重写为：

由上式还进一步得到：

由向量的不等式相关条件，得出下列结论：

其中，α_i＞0,i＝1,2,…,7为已知常数；将上述的不等式代入到之前的推导当中并考虑到条件F^TP^-1＝R^TC，D＝R₂C，得到：

再考虑如下的不等式条件：

将上述的不等式带入到之前的推导过程当中，得到：

又因为和为实对称矩阵，且得出和又因为和为实对称矩阵，且得出和则上式又进一步为：

再对上式进行进一步的整理，得出：

即满足第四步中提出的假设条件且不存在外部干扰时，且进而可以得出

在上述的基础上，再进一步讨论步骤(3)中所提到的性能指标，J表示为：

由的定义，J又被重写为：

从而得出，当系统满足零初始条件下，性能指标J＜0，由此证明完成；从上述的证明过程中可以看出，α₁,α₂,…,α₇的大小选择取决于上述中的矩阵不等式，这样就可以保证误差可以收敛到一个很小的范围内，以此实现理想编队轨迹。