CN108107269A - 一种谐波分析中幅值求解方法 - Google Patents

一种谐波分析中幅值求解方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种谐波分析中幅值求解方法，步骤依次为，对稳态谐波信号进行离散化；对离散化后的信号进行加窗截断，得到加窗信号的频谱；得到加权形式的幅值表达式；求解幅值关于频率偏差的微分值的最小值，获得最优权值；在有干扰分量情况下，首先采用传统比值法求解频率偏差；根据最优权值和频率偏差建立优化问题，最终求解出幅值。本发明提出了谐波分析幅值最优加权值求解方法，提高了幅值求解精度。

Description

一种谐波分析中幅值求解方法
技术领域
本发明属于电能质量分析与控制领域，特别涉及了一种谐波分析中幅值求解方法。
背景技术
实际电网的复杂谐波包含丰富的间谐波成分，且间谐波有一些不同于整数次谐波的特征，如果简单的使用FFT方法将会出现很多问题，这也是复杂平稳谐波分析最大的挑战。相对于整数次谐波，间谐波有如下特点：
1、间谐波频率不是基波频率的整数倍，甚至很难确定其大概周期，所以要实现对间谐波分量的同步采样基本是不可能的；
2、间谐波和整数次谐波/间谐波的频谱可能靠的很近，这就要求复杂谐波的分析方法必须具有很高的分辨率；
3、间谐波的强度很弱，使其更容易受频谱泄露的影响，尤其是当间谐波和整数次谐波靠的很近的时候，这种影响就更为明显。
在IEC规定下，谱线间的频率间隔为Δf＝fs/N＝5Hz，Hanning窗的主瓣宽度为20Hz，对于任意的相邻的整数次谐波而言，这已经足以将其分辨开来。再加之Hanning的加权作用，谐波分量的泄露的影响已经非常小，故高精度的估计整数次谐波分量的参数是较容易实现的。不过对于间谐波而言，考虑到间谐波上述的三个特点，FFT的局限性就非常严重，具体体现在以下三方面：
1、对于整数次谐波，选取合适的采样频率和采样点数，通过加窗减小频谱泄露的影响，再利用插值法克服栅栏效应，这样即可实现整数次谐波参数的高精度估计。但对于间谐波而言，由于间谐波的频率不是基波的整数倍，故即使在同步采样的时候(对整数次谐波而言)，也很难实现对间谐波的高精度分析；
2、由于间谐波的幅值仅为整数次谐波的百分之几或更小，于是临近的比较强的谐波分量的频谱泄露有可能导致出现虚假间谐波分量或者间谐波谱峰消失，当间谐波和谐波间隔比较小的时候，这种现象会更突出；
3、分辨率的问题。FFT分析时，为了将信号的两个比较接近频率分量分辨开来，必须提高频率分辨率。这可以通过增加采样时间或者采用主瓣比较窄的窗函数来实现。
通常频域求解谐波幅值的方法是比值法求出频偏，然后采用三根谱线峰值结合频偏估计幅值，事实上，这样的估计方法存在无穷多组，当频谱泄露很弱的时候，这些方法估计结果相差不大，但是当泄露分量能量较大的时候，随意加权可能会进一步增强泄露的不利作用，而这一点在以前是没有引起注意的。
发明内容
为了解决上述背景技术提出的技术问题，本发明旨在提供一种谐波分析中幅值求解方法，提出谐波分析幅值最优加权值求解方法，提高幅值求解精度。
为了实现上述技术目的，本发明的技术方案为：
一种谐波分析中幅值求解方法，包括以下步骤：
(1)对稳态谐波信号进行离散化；
(2)对离散化后的信号进行加窗截断，得到加窗信号的频谱；
(3)在无干扰分量情况下，根据频谱主瓣内最高峰谱线及其左右谱线得到幅值的加权形式，在该加权形式中分配未知权值给最高峰谱线及其左右谱线；
(4)求解幅值关于频率偏差的微分值的最小值，获得此时的权值，即为最优权值；
(5)在有干扰分量情况下，首先采用传统比值法求解频率偏差；
(6)根据步骤(4)得到的最优权值和步骤(5)得到的频率偏差建立优化问题，最终求解出幅值。
进一步地，在步骤(1)中，设稳态谐波信号则x(t)离散后的数字序列其中，A为信号幅值，f0为信号频率，为信号初相，t表示连续时刻，ω0＝2πf0Ts，Ts为采样周期，fs为离散化的采样频率，n表示离散序列；在步骤(2)中，采用Hanning窗对离散化后的信号进行加窗截断，则得到的加窗信号频谱：
上式中，W(*)为窗函数的连续频谱函数，N为采样点数，k是频谱所对应的数字位置，k0'＝f0/Δf，Δf为频率分辨率，设频谱最高谱峰点为k0，则k0＝k0'+δ，δ为频率偏差。
进一步地，在步骤(3)中，设主瓣内谱峰处相邻3根谱线的索引值分别为k1、kmax、k2，这3根谱线的幅值分别为y1＝|X(k1)|、ymax＝|X(kmax)|、y2＝|X(k2)|，在无其他分量干扰时：
则幅值A的加权形式如下：
其中，a,b,c分别为y1,y2,ymax的权值；
在步骤(4)中，求解最小时的权值a,b,c，即为最优权值。
进一步地，所述最优权值为a＝4,b＝4,c＝-7。
进一步地，在步骤(6)中，建立如下优化问题：
上式中，|*|1表示求1范数，W为步骤(4)求得的最优权值，ξ＝[ξ1ξ0ξ-1]，ξ1,ξ0,ξ-1为其他谱峰泄露产生的干扰分量。
采用上述技术方案带来的有益效果：
本发明从鲁棒性角度研究了加权系数对谐波分量幅值的影响，设计了最优加权值求解方法，抑制泄露的作用。另一方面，充分结合电力系统谐波分布的特点，挖掘了泄露频谱干扰的稀疏特征。本发明提高了幅值求解精度，并具有较强的通用性。
附图说明
图1是本发明的整体方法流程图。
具体实施方式
以下将结合附图，对本发明的技术方案进行详细说明。
本发明提出了一种谐波分析中幅值求解方法，如图1所示，具体过程如下。
设一稳态谐波信号为的形式，以采样频率fs＝1/Ts对x(t)离散化，得数字序列：
也即：
上式中，Ts为采样周期；ωo＝2πfoTs为谐波数字角频率。
对信号x(n)加窗截断，只考虑在正频率f0附近的频谱，则加窗信号x(n)w(n)(为了保证方法有较高的分辨率和计算形式的简洁性，为简化叙述，这里在主瓣宽度和旁瓣衰减速率中折中取Hanning窗)频谱为：
上式中，W(f)为窗函数w(n)的连续频谱函数，N为采样点数，k是频谱所对应的数字位置，k0'＝f0/Δf，Δf为频率分辨率，设频谱最高谱峰点为k0，则k0＝k0'+δ，δ为频率偏差。
为叙述方便，这里以主瓣内谱峰处相邻的三根谱线为例进行分析，设δ为由非同步采样的引起的频率偏移量，主瓣内谱峰处相邻的三根谱线的索引值分别为k1、kmax以及k2，这三根谱线的对应的幅值分别为y1＝|X(k1)|、ymax＝|X(kmax)|以及y2＝|X(k2)|，如果所加的窗函数为hanning窗，则无其他分量干扰时：
多数方法在求幅值的时候利用的是：
其中，y1+2ymax+y2前面的系数1:2:1是考虑到主瓣内的最大谱线受泄露的影响最小，令其权值取大一些，实际上，从代数的角度可以分析，任意的数值都是上述等式都是成立的。本发明要解决是否存在最优的系数使泄露对参数估计的影响最小：
希望找到一组最优的权值(a,b,c)，最优准则是，即使频谱泄露较强，导致δ估计存在误差后，幅值A仍然能具有高精度。
理论上，该问题等价于求一组(a,b,c)使最小，但是该问题是一个复杂的多项式分数优化问题，形式也相当复杂，结果也不具有实际可操作性，此处采用一种简化的求解方法，由于δ通常很小，本发明认为
另一方面，考虑将较复杂的分母项将转移至分子侧，则：
可见，采用不同的权值组合(a,b,c)，则谐波幅值估计值对频偏估计的误差是不同的，我们寻找的是一组(a,b,c)，使上式最小。对上式在x＝0处泰勒展开，由于一般δ很小，则δ5之后的高阶项可以忽略不计，故：
要使上式最小，对常数项而言，选择a＝b，将使这一项为0；
与此同时，δ的平方项和四次项都为零，上式转化成：
粗略的看，后一项这种情况下，如果7a+4c＝0，则必定能保证这即是说，计算频偏估计存在误差，谐波幅值估计的误差也很小。
综上所述，最优的权值为(4,4,-7)，而不是传统的(1,1,2)。
传统的(1,1,2)加权，泄露的作用将增强，本发明结果的物理意义是，泄露的频谱通过(4，4，-7)进行了一定程度的抵消，故能保证幅值求解精度。
故谐波幅值的估计方法为：
以上推导虽然针对hanning开展，但是该思路可以推广至一般的窗函数中。
如果所加的窗函数为hanning窗，存在其他分量干扰时：
其中，ξ1ξ0ξ-1为其他谱峰泄露产生的干扰分量，这三个量都是未知量。数学上说，上述方程组是无解的。但另一方面，结合电力系统谐波的特点，通常ξ1ξ0ξ-1中有两个通常很小，另一个较大，这说明向量ξ＝[ξ1ξ0ξ-1]是一个绝大多数为零的稀疏矢量。
理论上说，通过求解|ξ|1最小化问题可以求解得出A,δ，但由于FFT后的幅值和频率偏差δ以及谐波幅值A均为非线性关系，该问题是一个强非凸优化问题，求解难度很大，为此，本发明结合上面提出的加权系数，提出两阶段谐波分析方法：
阶段一：采用传统比值法得到频率偏差δ。
阶段二：考虑以下优化问题
上式中，W为前文推导出来的加权系数(4,4,-7)。
上述优化问题中，频率偏差通过比值校正法得到，故上述问题实际上一个关于谐波幅值的一个1范数优化问题，求解很简单，由于变量数目不多，可以采用线性规划，也可以采用ADMM方法求解。
实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

Claims (5)

1.一种谐波分析中幅值求解方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)对稳态谐波信号进行离散化；
(2)对离散化后的信号进行加窗截断，得到加窗信号的频谱；
(3)在无干扰分量情况下，根据频谱主瓣内最高峰谱线及其左右谱线得到幅值的加权形式，在该加权形式中分配未知权值给最高峰谱线及其左右谱线；
(4)求解幅值关于频率偏差的微分值的最小值，获得此时的权值，即为最优权值；
(5)在有干扰分量情况下，首先采用传统比值法求解频率偏差；
(6)根据步骤(4)得到的最优权值和步骤(5)得到的频率偏差建立优化问题，最终求解出幅值。
2.根据权利要求1所述谐波分析中幅值求解方法，其特征在于，在步骤(1)中，设稳态谐波信号则x(t)离散后的数字序列其中，A为信号幅值，f0为信号频率，为信号初相，t表示连续时刻，ω0＝2πf0Ts，Ts为采样周期，fs为离散化的采样频率，n表示离散序列；在步骤(2)中，采用Hanning窗对离散化后的信号进行加窗截断，则得到的加窗信号频谱：
<mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </msup> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
上式中，W(*)为窗函数的连续频谱函数，N为采样点数，k是频谱所对应的数字位置，k0'＝f0/Δf，Δf为频率分辨率，设频谱最高谱峰点为k0，则k0＝k0'+δ，δ为频率偏差。
3.根据权利要求2所述谐波分析中幅值求解方法，其特征在于，在步骤(3)中，设主瓣内谱峰处相邻3根谱线的索引值分别为k1、kmax、k2，这3根谱线的幅值分别为y1＝|X(k1)|、ymax＝|X(kmax)|、y2＝|X(k2)|，在无其他分量干扰时：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
则幅值A的加权形式如下：
<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>ay</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>by</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>cy</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfrac> </mrow>
其中，a,b,c分别为y1,y2,ymax的权值；
在步骤(4)中，求解最小时的权值a,b,c，即为最优权值。
4.根据权利要求3所述谐波分析中幅值求解方法，其特征在于，所述最优权值为a＝4,b＝4,c＝-7。
5.根据权利要求3所述谐波分析中幅值求解方法，其特征在于，在步骤(6)中，建立如下优化问题：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mi>W</mi> <mi>&amp;xi;</mi> <msub> <mo>|</mo> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>A</mi> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
上式中，|*|1表示求1范数，W为步骤(4)求得的最优权值，ξ＝[ξ1ξ0ξ-1]，ξ1,ξ0,ξ-1为其他谱峰泄露产生的干扰分量。
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