CN102636693A - 一种结合fft与非线性最小二乘的谐波分析算法 - Google Patents

Abstract

一种结合FFT与非线性最小二乘的谐波分析算法。适用于电网谐波分析领域。可实现电网信号的频率、幅值和相位的准确计算。本发明的技术方案是：(1)提出了应用FFT计算谐波初始参数和建立谐波模型的方法；(2)提出了求解谐波模型参数的非线性最小二乘方法。该发明的优点是克服了非参数化谐波分析中数据长度对分辨率的影响，提高了频率分辨率；FFT给出模型的结构和初始参数，既解决了最小二乘法的参数建模问题，也给出了参数的初值；而且合适的初值选取使得迭代算法对初值的敏感度降低和大幅减少迭代步数，提高了计算效率；非线性最小二乘算法的参数计算精度远高于加Hanning窗插值法。

Description

一种结合FFT与非线性最小二乘的谐波分析算法

技术领域

本发明涉及一种针对平稳周期信号的高精度谐波分析方法，包括用于初步估计谐波参数的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)方法和用于计算谐波参数的非线性最小二乘算法。本发明属于电网信号的谐波分析领域。

背景技术

电力电子等非线性设备在电力系统中的广泛应用，谐波和间谐波日益增多，严重影响了电力系统的安全运行，分析谐波和间谐波对电力系统有重要意义。目前的谐波分析主要通过对电网信号采样和数字化处理实现的，考虑到电网频率波动等造成了非同步采样，直接进行频谱分析会因为频谱的泄漏而严重影响计算精度，对非整数次谐波检测效果更差。

改进的加窗插值类FFT方法可减少频率泄漏和栅栏效应，但从本质上都是非参数化方法，均不需要信号特征方面信息，因而其分辨率受限于截断信号的长度，造成了理论上有限的分辨能力。参数化谐波分析方法，如最小二乘法，可以解决前述分辨率依赖于信号长度的瓶颈问题，但它又受限于所建模型的合理性。因而需要结合FFT方法和最小二乘法，应用前者初步估算信号的谐波参数，给出频率、幅值和相位的初始估值，并基于前述参数建立信号模型，再应用最小二乘法求取最终的模型参数，给出谐波分析结果。

同时由于基于FFT的谐波模型为非线性模型，而传统的最小二乘法仅能求解线性问题，即只能求取幅值参数。因而，又提出了求取模型参数(幅值、频率和相位)的非线性最小二乘算法。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供了一种结合FFT和非线性最小二乘的谐波分析方法，包括提出用于初步估计谐波参数的快速傅里叶变换(Fast FourierTransform，FFT)方法和用于计算谐波参数的非线性最小二乘算法，实现电网信号的频率、幅值和相位的准确计算；

为了实现上述发明目的，本发明的技术方案是按以顺序步骤进行：

(1)、提出了应用FFT计算谐波初始参数来建立谐波模型的方法：

1)选取待分析的采样信号序列，对其进行FFT运算，但受限于信号的长度以及截断的非整周期问题，必将造成FFT的频谱泄漏和栅栏效应，给出精度较低的谐波参数(频率、幅值和相位)信息；

2)通过第一步骤1)，基于初步的谐波信息建立谐波的参数模型，再取模型如下：

$y\left(t\right)=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{A}_m\sin (2\mathrm{\π}{f}_{m}t+{\mathrm{\θ}}_m)---\left(1\right)$

式中y(t)为待分析信号，A_m为各次谐波幅值，f_m为各次谐波频率，θ_m为各次谐波的相位，m为谐波的次数；

式中模型(1)的确定可通过选取幅度谱中的局部最大值实现，即根据幅度谱中局部最大值个数确定谐波次数m，然后依次确定幅度谱中每一个局部最大值处对应的频率和相位以及局部最大值的数值，把它们取为参数A_m、f_m和θ_m的初值；

(2)、在第一步骤(1)的基础上，再提出求解谐波模型参数的非线性最小二乘方法：

前述模型(1)为非线性模型，传统的最小二乘法仅能线性求解幅值信息，欲同时确定频率、幅值和相位，需采用非线性最小二乘算法；

1)非线性最小二乘法的一般性原理如下：

对于拟合函数为y＝f(t；x₁，x₂，...，x_n)，待求参量为(x₁，x₂，...，x_n)，拟合数据(t_i，y_i)，其最小二乘方程为：

式中

是关于待求参量为(x₁，x₂，...，x_n)拟合误差的平方和，非线性最小二乘问题就是求：

由多元函数求极值问题，其法方程为：

将法方程在x^k处作线性展开得：

f(x)≈Df(x)^T(x-x^k)+f(x_k)＝l_k(x)                            (5)

将l_k(x)代替f(x)，Df(x^k)代替Df(x)，代入法方程(4)得到：

$x^{k+1}=x^k-\frac{\mathrm{Df}{\left(x^k\right)}^{T}f\left(x^k\right)}{\mathrm{Df}{\left(x^k\right)}^T\mathrm{Df}\left(x^k\right)}---\left(6\right)$

为表示方便，上式可进一步写为：

式中：G(x^k)＝Df(x^k)^TDf(x^k)，g(x^k)＝Df(x^k)^Tf(x^k)，p(x^k)＝-G(x^k)^-1g(x^k)；

考虑阻尼时有：

当μ_k＞0总可以保证

因而是收敛的，当太大时会收敛速度下降，若太小则收敛域过小，原则上μ_k＝10^-4～10^-2，通常取μ_k＝10^-2；

2)非线性最小二乘法的实施步骤如下：

第一步骤：置初始近似值x⁰∈Rⁿ，误差限ε＞0，阻尼因子μ₀＝10^-2，缩放因子ν＞1(可取2，5，10)，0→k；

第二步骤：计算f(x^k)，Df(x^k)，G(x^k)，0→j；

第三步骤：解方程组

求得p_k＝p(μ_k)；

第四步骤：计算x^k+1＝x^k+p(x^k)及

第五步骤：若

且j＝0，则取

转步骤3，否则j≠0转第七步骤；

第六步骤：若

则取μ_k＝νμ_k，1→j，转第三步骤；

第七步骤：若满足‖p(x^k)‖≤ε或其他收敛准则，则x^k+1为极小值点x^*的近似，停止；否则将x^k+1→x^k，k+1→k，转第二步骤。

本发明与现有技术相比，其技术效果是：

(1)克服了非参数化谐波分析中，数据长度对分辨率的影响，可通过非线性最小二乘算法给出准确度频率参数，提高了频率分辨率；

(2)利用FFT给出模型的结构和初始参数，既解决了最小二乘法的参数建模问题，也给出了参数的初值；而且合适的初值选取使得迭代算法对初值的敏感度降低和大幅减少迭代步数，提高了计算效率；

(3)谐波和间谐波的算例仿真结果表明：非线性最小二乘算法的参数计算精度远高于加Hanning窗插值法，且计算时间相当，因而，算法具有明显的优势。

附图说明

附图是结合FFT与非线性最小二乘的谐波分析算法的流程图。

具体实施方式

本发明将结合附图作进一步详细说明。

如图1所示，本发明实现的流程图按以下步骤进行：

(1)输入采样数据y(n)并作FFT运算给出精度较低的谐波参数信息；

(2)基于初步谐波信息，通过选取幅度谱局部最大值建立参数模型；

(3)应用非线性最小二乘法确定准确的谐波参数，步骤包括：

1)置初始值x⁰∈Rⁿ，误差限ε＞0，阻尼因子μ₀＝10^-2，缩放因子ν＞1，0→k；

2)计算f(x^k)，Df(x^k)，

G(x^k)，0→j；

3)解方程组

求得p_k＝p(μ_k)；

4)计算x^k+1＝x^k+p(x^k)及

5)若

且j＝0，则取

转步骤3，否则j≠0转步骤7；

6)若

则取μ_k＝νμ_k，1→j，转步骤3；

7)若满足‖p(x^k)‖≤ε或其他收敛准则，则x^k+1为极小值点x^*的近似，停止；否则将x^k+1→x^k，k+1→k，转步骤2。

仿真实例

以下进一步说明本发明的实施例。

算例1：取谐波电网信号模型为：

$y\left(t\right)=\sin (2\mathrm{\π}{f}_{0}t+\frac{\mathrm{\π}}{12})+0.005\sin (4\mathrm{\π}{f}_{0}t+\frac{5\mathrm{\π}}{6})+0.01\sin (6\mathrm{\π}{f}_{0}t+77*\frac{\mathrm{\π}}{180})$

其中，f₀＝49.8Hz，取采样频率F_s＝1kHz，采样时间0.1s，采样点数100个；作初值预估的FFT采样频率为1500Hz，采样时间0.3s。在非线性阻尼最小二乘法中，取误差限ε＝1e-4，缩放因子ν＝2。

表1谐波参数计算精度相对误差表

注：Hanning指加Hanning窗插值FFT算法，NLS指非线性最小二乘算法。

算例2：取含间谐波和直流分量的电网信号模型为：

$y\left(t\right)=0.1+0.2\sin (40\mathrm{\πt}+16*\frac{\mathrm{\π}}{180})+\sin (98.6\mathrm{\πt}+\frac{\mathrm{\π}}{6})+0.02\sin (240\mathrm{\πt}+\frac{\mathrm{\π}}{3})$

取采样频率F_s＝1kHz，采样时间0.128s，采样点数128个；作初值预估的FFT采样频率为2500Hz，采样时间0.256s。在非线性阻尼最小二乘法中，取误差限ε＝1e-4，缩放因子ν＝2。

表2谐波参数计算精度相对误差表

注：Hanning指加Hanning窗插值FFT算法，NLS指非线性最小二乘算法。

从表1和2的对比可见，在谐波和间谐波的检测中，采用结合FFT和非线性最小二乘法的参数计算精度有大幅提高。

本发明的技术方案可应用于电网谐波分析、电能计量和电能质量监测。

Claims (1)

1.一种结合FFT与非线性最小二乘的谐波分析算法，其特征在于该方法按以下顺序步骤进行：

(1)、提出了应用FFT计算谐波初始参数和建立谐波模型的方法：

1)选取待分析的采样信号序列，对其进行FFT运算，但受限于信号的长度以及截断的非整周期问题，必将造成FFT的频谱泄漏和栅栏效应，给出精度较低的谐波参数(频率、幅值和相位)信息；

2)通过第一步骤1)，基于初步的谐波信息建立谐波的参数模型，再取模型如下：

$y\left(t\right)=\underset{m}{\mathrm{\Σ}}{A}_m\sin (2\mathrm{\π}{f}_{m}t+{\mathrm{\θ}}_m)---\left(1\right)$

式中y(t)为待分析信号，A_m为各次谐波幅值，f_m为各次谐波频率，θ_m为各次谐波的相位，m为谐波的次数；

式中模型(1)的确定可通过选取幅度谱中的局部最大值实现，即根据幅度谱中局部最大值个数确定谐波次数m，然后依次确定幅度谱中每一个局部最大值处对应的频率和相位以及局部最大值的数值，把它们取为参数A_m、f_m和θ_m的初值；

(2)、在第一步骤(1)的基础上，再提出求解谐波模型参数的非线性最小二乘方法：

前述模型(1)为非线性模型，传统的最小二乘法仅能线性求解幅值信息，欲同时确定频率、幅值和相位，需采用非线性最小二乘算法；

1)非线性最小二乘法的一般性原理如下：

对于拟合函数为y＝f(t；x₁，x₂，...，x_n)，待求参量为(x₁，x₂，...，x_n)，拟合数据(t_i，y_i)，其最小二乘方程为：

式中

是关于待求参量为(x₁，x₂，...，x_n)拟合误差的平方和，非线性最小二乘问题就是求：

由多元函数求极值问题，其法方程为：

将法方程在x^k处作线性展开得：

f(x)≈Df(x)^T(x-x^k)+f(x_k)＝l_k(x)

(5)

将lk(x)代替f(x)，Df(x^k)代替Df(x)，代入法方程(4)得到：

$x^{k+1}=x^k-\frac{\mathrm{Df}{\left(x^k\right)}^{T}f\left(x^k\right)}{\mathrm{Df}{\left(x^k\right)}^T\mathrm{Df}\left(x^k\right)}---\left(6\right)$

为表示方便，上式可进一步写为：

式中：G(x^k)＝Df(x^k)^TDf(x^k)，g(x^k)＝Df(x^k)^Tf(x^k)，p(x^k)＝-G(x^k)^-1g(x^k)；

考虑阻尼时有：

当μ_k＞0总可以保证

因而是收敛的，当太大时会收敛速度下降，若太小则收敛域过小，原则上μ_k＝10^-4～10^-2，通常取μ_k＝10^-2；

2)非线性最小二乘法的实施步骤如下：

第一步骤：置初始近似值x⁰∈Rⁿ，误差限ε＞0，阻尼因子μ₀＝10^-2，缩放因子ν＞1(可取2，5，10)，0→k；

第二步骤：计算f(x^k)，Df(x^k)，

G(x^k)，0→j；

第三步骤：解方程组

求得p_k＝p(μ_k)；

第四步骤：计算x^k+1＝x^k+p(x^k)及

第五步骤：若且j＝0，则取转步骤3，否则j≠0转第七步骤；

第六步骤：若

则取μ_k＝νμ_k，1→j，转第三步骤；

第七步骤：若满足‖p(x^k)‖≤ε或其他收敛准则，则x^k+1为极小值点x^*的近似，停止；否则将x^k+1→x^k，k+1→k，转第二步骤。