RU2551400C1 - Способ гармонического анализа периодического многочастотного сигнала на фоне шума - Google Patents

Abstract

Изобретение относится к измерительной технике и предназначено для гармонического анализа периодических колебательных процессов, в частности электрических сигналов. Способ гармонического анализа периодического многочастотного сигнала заключается в итерационном процессе определения необходимой формы весовой функции. В результате многократных оценок частот составляющих периодического многочастотного сигнала форма весовой функции подбирается такой, чтобы на частоте любого из анализируемых составляющих сигнала слагаемые спектра от других составляющих сигнала по амплитуде были равны нулю, причём кратность нуля, определяемая порядком производных модуля спектра, может быть заданной степени. В дополнительном цикле гармонического анализа задаётся дополнительный ноль спектра весовой функции с частотой, при которой обеспечивается минимально возможная эквивалентная шумовая полоса, при определённых до этого других нулях в спектре весовой функции. За счёт уменьшения эквивалентной шумовой полосы весовой функции снижаются погрешности оценок частот, фаз и амплитуд гармонических слагаемых сигнала на фоне шума. Технический результат заключается в уменьшении погрешности измерения частот амплитуд и фаз гармонических составляющих периодического многочастотного сигнала на фоне шума. 3 з.п. ф-лы, 5 ил.

Description

Изобретение относится к измерительной технике и предназначено для гармонического анализа периодических колебательных процессов, в частности электрических сигналов.

В измерительной технике известны различные способы гармонического (спектрального) анализа периодического многочастотного сигнала, заключающиеся в определении гармонического состава периодического многочастотного сигнала $$y(t)$$

и оценивании частот, амплитуд и фаз входящих в сигнал гармоник.

Известен эффективный способ спектрального анализа сигнала [1] на основе дискретного преобразования Фурье в котором для снижения погрешности оценки частоты, вызванной дискретностью спектра, искусственно увеличена длительность периода повторения реализации сигнала путем добавления нулевых отсчетов к исходной реализации. Предельным случаем этого способа является использование дискретно-временного преобразования Фурье, эквивалентного обработке реализации сигнала с бесконечным периодом, и исключающего погрешности оценки частоты и амплитуды сигнала за счет дискретности спектра.

Однако в этом способе не исключено влияние боковых лепестков слагаемых спектра на точность определения частот, фаз и амплитуд составляющих анализируемого сигнала.

Для уменьшения погрешности, обусловленной влиянием боковых лепестков слагаемых спектра на положения спектральных пиков, широко используется способ гармонического анализа сигнала $$y(t)$$

[2], включающий получение отсчетов $$y(m)$$

сигнала через равные интервалы времени $$\Delta t$$

, перемножение отсчетов $$y(m)$$

сигнала с отсчетами весовой функции $$w(m)$$

, вычисление спектра путем нахождения Фурье-образа полученного произведения и оценку частот слагаемых сигнала.

Практическое осуществление этого способа выполняют методами цифровой обработки сигналов.

Известен способ гармонического анализа сигнала $$y(t)$$

[3], включающий получение цифровых отсчетов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала через равные интервалы времени $$\Delta t$$

, перемножение цифровых отсчетов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала с отсчетами весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

, вычисление спектра путем нахождения Фурье-образа полученного произведения и оценку частот слагаемых сигнала [3, стр. 129, 273 - 274].

Известно, что обработка сигналов с помощью ВФ позволяет ослабить влияние боковых лепестков слагаемых спектра, но лишь за счет ухудшения спектрального разрешения. Считается, что в результате этих противоречий при использовании спектрального анализа на основе преобразования Фурье погрешность оценки частоты и амплитуды сигнала с относительно широким спектром не может быть низкой [4, стр. 102]. Причем минимумы погрешности оценки частоты совпадают с максимумами погрешности оценки амплитуды.

Таким образом, способы спектрального анализа сигнала имеют существенную погрешность определения частот, амплитуд и фаз спектральных слагаемых анализируемого сигнала из-за взаимного влияния боковых лепестков слагаемых спектра и низкой разрешающей способности.

Снижение взаимного влияния боковых лепестков слагаемых спектра предложено в итерационном способе гармонического анализа периодического многочастотного сигнала $$y(t)$$

с периодом $$T$$

[5], являющемся прототипом, цикл которого включает получение цифровых отсчетов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала через равные интервалы времени $$\Delta t$$

, генерирование весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

в форме цифровых отсчетов, перемножение цифровых отсчетов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала с цифровыми отсчетами весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

, вычисление спектра путем нахождения Фурье-образа полученного произведения, оценивание частот $$x_i\mathrm{,....,}{x}_j$$

пиков спектра, превышающих уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра, и оценивание частот, амплитуд и фаз гармонических составляющих сигнала по частотам, амплитудам и фазам Фурье-образа, полученного произведения, на частотах $$x_i\mathrm{,....,}{x}_j$$

пиков спектра. Затем многократно выполняют дополнительные циклы гармонического анализа. В каждом дополнительном цикле гармонического анализа по результатам выполненного $$\left(k-1\right)$$

цикла гармонического анализа изменяют форму весовой функции генерированием новых цифровых отсчетов весовой функции, повторяя циклы гармонического анализа до получения на частоте каждого из анализируемых гармонических составляющих сигнала допустимых значений слагаемых спектра от заданного количества других гармонических составляющих сигнала и допустимых значений заданного количества производных слагаемых спектра от заданного количества других гармонических составляющих сигнала.

Цифровые отсчеты весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

генерируют по отсчетам дискретной весовой функции, определенной одним из двух выражений. Первое выражение имеет вид

$$w_s(m,b_1,b_2\mathrm{...}{b}_N)=1+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{\left(-1\right)}^n{C}_{sn}\left(b_1,b_2\mathrm{,..,}{b}_N\right)\cos \left[2n\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}$$

,

где $$m$$

- номер текущего отсчета сигнала;

$$b_i={\omega }_{i}T/2\pi$$

- нормированная частота, на которой задается равенство нулю спектр весовой функции или его производная;

$${\omega }_i-$$

отсчеты угловой частоты;

$$T$$

- период;

$$N$$

- число тригонометрических слагаемых весовой функции, равное суммарному числу варьируемых нулей спектра ВФ и нулей его производных;

$$n$$

- номер тригонометрического слагаемого;

$$C_{sn}\left(b_1,b_2\mathrm{,..,}{b}_N\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{\cos \left(nM\right)}\cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^N\left[\frac{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2b_{i}M\right)}{2{\sin }^2\left(b_{i}M\right)}\right]}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^N\frac{\left[1-\cos \left(2pM\right)\right]}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2pM\right)}}$$

;

$$M=\pi /M{}_0$$

;

$$M{}_0$$

- число отсчетов сигнала.

Второе выражение имеет вид

$$w_c(m,b_1,b_2\mathrm{...}{b}_N)=\frac{1}{K}\{\sin \left[\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{\left(-1\right)}^n{C}_{cn}(b_1,b_2\mathrm{,...,}{b}_N)\sin \left[(2n+1)\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\}$$

,

где

$$K=\frac{-2}{M_o}\{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-1}+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{C}_{cn}(b_1,b_2\mathrm{,...,}{b}_N)\frac{\cos \left(n\pi \right)\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-1}}\}$$

;

$$C_{сn}\left(b_1,b_2\mathrm{,..,}{b}_N\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\sin \left[\left(n+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\times$$

$$\times {\displaystyle \prod _{i=1}^N\left\{\frac{\cos \left[\left(2n+1\right)M\right]-\cos \left(2b_{i}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2b_{i}M\right)}\right\}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^N\frac{\cos \left(M\right)-\cos \left[\left(2p+1\right)M\right]}{\cos \left[\left(2n+1\right)M\right]-\cos \left[\left(2p+1\right)M\right]}}}$$

.

Изменение формы весовой функции задают изменением положений нулей $$b_i$$

спектра весовой функции

$$S_s\left(x,b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_N\right)=\frac{\sin \left(\pi x\right)}{M_o\sin \left(Mx\right)}\times \left\{1+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{C}_{sn}\left(b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_N\right)\cos \left(n\pi \right)\frac{2\cos \left(nM\right)\cdot {\sin }^2\left(Mx\right)}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2Mx\right)}}\right\},$$

или $$S_c\left(x,b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_N\right)=\frac{-\cos \left(\pi x\right)\cos \left(Mx\right)}{\mathrm{0,5}{M}_{o}K}\cdot \{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2Mx\right)}+$$

$$+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{C}_{cn}(b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_N)\cos \left(n\pi \right)\frac{\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-\cos \left(2Mx\right)}}\}$$

,

где $$x=\omega T/2\pi$$

- текущая нормированная частота;

$$\omega$$

- текущая угловая частота.

При выполнении $$(k)$$

цикла гармонического анализа по оцененным частотам

$$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

пиков спектра в $$(k-1)$$

цикле гармонического анализа, которые превышают уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра, вычисляют взаимные разности между частотами $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

пиков спектра $$\Delta x_i^{\left(k-1\right)}=x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}$$

и корректируют форму весовой функции путем задания частот нулей спектра и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{(k)}=\left|\Delta x_i^{\left(k-1\right)}\right|$$

. Затем используют весовую функцию со скорректированной формой в $$(k)$$

цикле гармонического анализа, при этом за частоты гармонических составляющих принимают оценки на последнем цикле гармонического анализа.

Изменение формы весовой функции выполняют до снижения модуля разности между вновь полученными значениями оценок частот $$x_i^{\left(k\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k\right)}$$

пиков спектра и их предыдущими значениями $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

ниже контрольного уровня $${\Delta }_x$$

:

$$\left|x_i^{\left(k\right)}-x_i^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

,…, $$\left|x_j^{\left(k\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

.

Амплитуду и фазу каждого составляющего сигнала оценивают после уточнения частот пиков спектра.

Для оценки частот гармонических составляющих многочастотного сигнала в первом цикле применяют весовую функцию такой формы, при которой для минимальной разности частот между гармоническими составляющих сигнала не происходит перекрытия основных лепестков слагаемых спектра сигнала, а уровень боковых лепестков спектра весовой функции не превышает заданного. При этом основной лепесток слагаемого спектра, соответствующий наиболее слабому из анализируемых составляющему сигнала, превышает уровень боковых лепестков слагаемого спектра наиболее интенсивного составляющего сигнала, которые определяют на основе априорных сведений о возможном гармоническом составе сигнала.

В последнем цитируемом способе максимально ослаблено влияние боковых лепестков от каждого из анализируемых гармонических слагаемых спектра на результаты измерений параметров гармонических слагаемых сигнала, но сохраняется существенное влияние шума на точность определения частот, фаз и амплитуд, составляющих анализируемого сигнала.

Технический результат, на достижение которого направлено изобретение способа, заключается в одновременном уменьшении погрешности измерения частот амплитуд и фаз гармонических составляющих периодического многочастотного сигнала на фоне шума.

Указанный технический результат достигается тем, что в способе гармонического анализа периодического многочастотного сигнала $$y(t)$$

с периодом $$T$$

, цикл которого включает получение цифровых отсчетов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала через равные интервалы времени $$\Delta t$$

, генерирование весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

в форме цифровых отсчетов, перемножение цифровых отсчетов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала с цифровыми отсчетами весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

, вычисление спектра путем нахождения Фурье-образа полученного произведения, оценивание частот $$x_i\mathrm{,...,}{x}_j$$

пиков спектра, превышающих уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра и оценивание частот, амплитуд и фаз гармонических составляющих сигнала по частотам, амплитудам и фазам Фурье-образа полученного произведения на частотах $$x_i\mathrm{,...,}{x}_j$$

пиков спектра, многократное выполнение дополнительных циклов гармонического анализа, в каждом из которых по результатам выполненного $$\left(k-1\right)$$

цикла гармонического анализа изменяют форму весовой функции генерированием новых цифровых отсчетов весовой функции путем задания частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

, использование весовой функции со скорректированной формой в $$(k)$$

цикле гармонического анализа, повторение циклов гармонического анализа до получения на частоте каждого из анализируемых гармонических составляющих сигнала допустимых значений слагаемых спектра от заданного количества других гармонических составляющих сигнала и допустимых значений заданного количества производных слагаемых спектра от заданного количества других гармонических составляющих сигнала и принятие за частоты гармонических составляющих оценки на последнем цикле гармонического анализа, с соблюдением следующих условий дополнительно выполняют следующую совокупность действий. Выполняют, по меньшей мере, один дополнительный цикл гармонического анализа, в котором по результатам выполненного гармонического анализа изменяют форму весовой функции генерированием новых цифровых отсчетов весовой функции путем одновременного задания частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

и одного дополнительного нуля спектра ВФ.

Возможно генерирование отсчетов весовой функции с одновременным заданием суммарного числа $$N$$

частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

и одного дополнительного $$N+1$$

нуля спектра ВФ после снижения абсолютного значения разности между вновь полученными значениями оценок частот пиков спектра $$x_i^{\left(k\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k\right)}$$

и их предыдущими значениями $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

ниже контрольного уровня $${\Delta }_x$$

$$\left|x_i^{\left(k\right)}-x_i^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

,…, $$\left|x_j^{\left(k\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

.

Предпочтительно в каждом цикле гармонического анализа начиная со второго изменение формы весовой функции генерированием новых цифровых отсчетов весовой функции путем одновременного задания суммарного числа $$N$$

частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

и одного дополнительного $$N+1$$

нуля спектра ВФ.

При выполнении $$(k)$$

цикла гармонического анализа по оцененным частотам $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

пиков спектра в $$(k-1)$$

цикле гармонического анализа вычисляют взаимные разности между частотами пиков спектра $$\Delta x_i^{\left(k-1\right)}=x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}$$

и корректируют форму весовой функции путем одновременного задания суммарного числа $$N$$

частот нулей спектра и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{(k)}=\left|\Delta x_i^{\left(k-1\right)}\right|$$

и дополнительного $$N+1$$

нуля $$b_{N+1}^{(k)}$$

$$b_{N+\text{1}}^{(k)}={\left[\frac{{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{A}_{sn}^2{n}^4{\left({\left(b_1^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2\mathrm{...}{\left({\left(b_N^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{A}_{sn}^2{n}^2{\left({\left(b_1^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2\mathrm{...}{\left({\left(b_N^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2}}\right]}^{\frac{1}{2}}$$

в спектре

$$\begin{array}{l}{S}_s\left(x,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{\sin \left(\pi x\right)}{M_o\sin \left(Mx\right)}\times \\ \times \left\{1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)\cos \left(n\pi \right)\frac{2\cos \left(nM\right)\cdot {\sin }^2\left(Mx\right)}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2Mx\right)}}\right\}\end{array}$$

весовой функции

$$w_s(m,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})=1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{\left(-1\right)}^n{C}_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)\cos \left[2n\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}$$

,

где $$A_{sn}={(-1)}^{n+1}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{p^2}{p^2-n^2}}$$

;

$$b_i={\omega }_{i}T/2\pi$$

- нормированная частота, на которой задается равенство нулю спектр весовой функции или его производная в $$(k)$$

цикле гармонического анализа;

$${\omega }_i-$$

отсчеты угловой частоты;

$$T$$

- период;

$$x=\omega T/2\pi$$

- текущая нормированная частота;

$$\omega$$

- текущая угловая частота;

$$M{}_0$$

- число отсчетов сигнала;

$$M=\pi /M{}_0$$

;

$$m$$

- номер текущего отсчета сигнала и весовой функции;

$$N$$

- число тригонометрических слагаемых весовой функции, равное суммарному числу варьируемых нулей спектра ВФ и нулей его производных;

$$n$$

- номер тригонометрического слагаемого;

$$C_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{\cos \left(nM\right)}\cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^{N+1}\left[\frac{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2b_i^{(k)}M\right)}{2{\sin }^2\left(b_i^{(k)}M\right)}\right]}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{\left[1-\cos \left(2pM\right)\right]}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2pM\right)}}$$

,

или дополнительного $$N+1$$

нуля $$b_{N+1}^{(k)}$$

$$b_{N+1}^{(k)}={\left[\mathrm{0,25}+\frac{D{}_n(1+G_n)-C_n{F}_n}{C{}_n(1+G_n)-\left(1+H_n\right)F_n}\right]}^{\frac{1}{2}}$$

,\tab

в спектре

$$S_c\left(x,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{-\cos \left(\pi x\right)\cos \left(Mx\right)}{\mathrm{0,5}{M}_{o}K}\cdot \{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2Mx\right)}+$$

$$+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})\cos \left(n\pi \right)\frac{\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-\cos \left(2Mx\right)}}\}$$

весовой функции

$$\begin{array}{l}{w}_c(m,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})=\frac{1}{K}\times \\ \times \{\sin \left[\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{\left(-1\right)}^n{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})\sin \left[(2n+1)\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\}\end{array}$$

,

где $$D_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n^2{L}_n^2}$$

;

$$B_n=A_{cn}{\displaystyle \prod _{i=2}^{N+1}\left(1-\frac{n^2+n}{{\left(b_i^{(k)}\right)}^2-\mathrm{0,25}}\right)}$$

;

$$A_{cn}=\frac{{(-1)}^{n+1}}{2n+1}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{p^2+p}{\left(p^2+p\right)-\left(n^2+n\right)}}$$

;

$$L_n=n^2+n$$

;

$$G_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n\frac{\cos n\pi }{2n+1}}$$

;

$$C_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n^{2}L{}_n}$$

;

$$F_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n\frac{\cos n\pi }{2n+1}{L}_n}$$

;

$$H_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n^2}$$

;

$$K=\frac{-2}{M_o}\{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-1}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})\frac{\cos \left(n\pi \right)\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-1}}\}$$

;

$$C_{сn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\sin \left[\left(n+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\times$$

$$\times {\displaystyle \prod _{i=1}^{N+1}\left\{\frac{\cos \left[\left(2n+1\right)M\right]-\cos \left(2b_i^{(k)}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2b_i^{(k)}M\right)}\right\}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{\cos \left(M\right)-\cos \left[\left(2p+1\right)M\right]}{\cos \left[\left(2n+1\right)M\right]-\cos \left[\left(2p+1\right)M\right]}}}$$

.

Сущность способа заключается в том, что многократные оценки частот гармонических составляющих периодического многочастотного сигнала на фоне шума используют для итерационного процесса определения необходимой формы весовой функции. В результате форма весовой функции подбирается такой, чтобы на частоте любого из анализируемых составляющих сигнала слагаемые спектра от других составляющих сигнала по амплитуде были равны нулю, причем кратность нуля, определяемая порядком производных, может быть заданной степени. В этом случае независимо от фазовых и амплитудных соотношений между составляющими периодического многочастотного сигнала исключается их взаимное влияние при оценке параметров в спектральной области. При этом задание дополнительного $$N+1$$

нуля в спектре весовой функции с частотой, определенной в формуле изобретения, обеспечивает минимально возможную эквивалентную шумовую полосу, при определенных до этого цикла гармонического анализа других нулях в спектре весовой функции. Дополнительный $$N+1$$

нуля в спектре весовой функции, минимизирующий эквивалентную шумовую полосу можно задавать начиная со второго цикла гармонического анализа, поскольку в первом цикле гармонического анализа определяется общее количество частот пиков спектра и, соответственно, определяется число $$N$$

варьируемых тригонометрических слагаемых весовой функции, равное суммарному числу нулей спектра ВФ и нулей его производных, необходимое для уменьшения взаимного влияния боковых лепестков от каждого из анализируемых гармонических слагаемых спектра. За счет уменьшения эквивалентной шумовой полосы весовой функции, заданием дополнительного $$N+1$$

нуля в спектре весовой функции снижаются погрешности частот, фаз и амплитуд гармонических слагаемых сигнала на фоне шума.

Проведенный анализ уровня техники, включающий поиск по патентным и научно-техническим источникам информации и выявление источников, содержащих сведения об аналогах заявляемого изобретения, позволяет установить, что заявителем не обнаружены технические решения, характеризующиеся признаками, идентичными всем существенным признакам заявленного изобретения. Выделение из перечня найденных аналогов прототипа позволило выявить совокупность существенных (по отношению к усматриваемому заявителем техническому результату) отличительных признаков в заявляемом объекте, изложенных в формуле изобретения. Следовательно, заявляемое изобретение соответствует требованию "новизна" по действующему законодательству. Сведений об известности отличительных признаков в совокупностях признаков известных технических решений с достижением такого же, как у заявляемого способа, положительного эффекта не имеется. На основании этого сделан вывод, что предлагаемое техническое решение соответствует критерию "изобретательский уровень".

Сущность предлагаемого способа поясняется с помощью устройства, схематично изображенного на фиг. 1, спектрами, изображенными на фиг. 2, графиками, изображенными на фиг. 3, фиг. 4 и фиг. 5.

На фиг. 2 изображены два слагаемых спектра двухчастотного сигнала в положительной области частот.

На фиг. 3 приведены формы весовых функций.

На фиг. 4 приведены эквивалентные шумовые полосы весовых функций.

На фиг. 5 приведены относительные погрешности оценок частот радиоимпульсов на фоне шума.

Устройство (фиг. 1) содержит датчик электрического сигнала 1 (ДЭС) с двумя выходами, аналого-цифровой преобразователь 2 (АЦП) с двумя входами и одним выходом, схему цифровой обработки сигналов 3 (СЦОС) с двумя входами и двумя выходами, формирователь импульсов начала и окончания периода 4 (ФИНОП).

Первый выход ДЭС 1 через АЦП 2 соединен с первым входом СЦОС 3. Второй выход ДЭС 1 соединен со вторым входом СЦОС 3 через ФИНОП 4. Первый выход СЦОС 3 соединен со вторым входом АЦП 2. Второй выход СЦОС 3 является выходом устройства. СЦОС 3 может быть выполнена стандартной, содержащей генератор импульсов синхронизации и цифровой процессор, включающий устройство памяти и арифметическое устройство.

Практическая реализация устройства не представляет сложности и осуществляется на основе широкораспространенных электронных элементов и приборов.

Способ гармонического анализа периодического многочастотного сигнала осуществляют следующим образом. Аналоговый периодический многочастотный электрический сигнал $$y(t)$$

, формируемый ДЭС 1, поступает в АЦП 2, с выхода которого цифровые отсчеты $$y_{\text{ц}}(m)$$

(где $$m=\mathrm{0,}\mathrm{...,}{M}_0-1$$

) сигнала поступают на первый вход СЦОС 3. Одновременно с ДЭС 1 через ФИНОП 4 на второй вход СЦОС 3 поступает последовательность синхронизирующих импульсов, соответствующих началам и окончаниям периодов периодического многочастотного сигнала.

С применением СЦОС 3 выполняют все действия над сигналами и синхронизируют работу АЦП 2.

В течение первого периода одновременно с поступлением цифровых отсчетов анализируемого сигнала с помощью СЦОС 3 генерируют цифровые отсчеты весовой функции по отсчетам весовой функции

$$w_s(t,b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_{N1})=1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N1}{A}_{sn}\left(b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_{N1}\right)\cos \left(2\pi nt\right)}$$

,

или

$$w_c(t,b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_{N1})=\frac{1}{K1}\left\{\cos \left(\pi t\right)+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N1}{A}_{cn}(b_1,b_2\mathrm{,...}{b}_{N1})\cos \left[\pi (2n+1)t\right]}\right\}$$

.

До выполнения первого цикла гармонического анализа неизвестно количество пиков спектра, частоты которых необходимо оценить, поэтому неизвестно и необходимое число варьируемых тригонометрических слагаемых весовой функции $$N$$

. В этой связи для оценки частот гармонических составляющих многочастотного сигнала в первом цикле применяют весовую функцию с числом варьируемых тригонометрических слагаемых $$N1$$

такой формы, при которой для минимальной разности частот между гармоническими составляющих сигнала не происходит перекрытия основных лепестков слагаемых спектра сигнала, а уровень боковых лепестков спектра весовой функции не превышает заданного. При этом основной лепесток слагаемого спектра, соответствующий наиболее слабому из анализируемых составляющему сигнала, превышает уровень боковых лепестков слагаемого спектра наиболее интенсивного составляющего сигнала.

Целесообразно для оценки частот составляющих многочастотного сигнала в первом цикле гармонического анализа применять весовые функции, которые имеют минимально возможный уровень боковых лепестков спектра при заданной ширине основного лепестка и заданной скорости уменьшения уровня боковых лепестков [5].

Генерируемые цифровые отсчеты весовой функции перемножают с цифровыми отсчетами $$y_{\text{ц}}(m)$$

периодического многочастотного сигнала. Затем вычисляют спектр, определяют максимум и принимают уровень наиболее интенсивного слагаемого спектра равным уровню максимума, а уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра принимают равным уровню боковых лепестков примененной весовой функции. Определяют пики спектра, превышающие уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра на заданную величину, например на 10 дБ. Оценивают частоты $$x_i^{\left(1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(1\right)}$$

модулей всех спектральных пиков, которые превышают на заданную величину, например на 10 дБ, уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра и записывают их в память.

В последующих циклах гармонического анализа число оцененных пиков спектра становится известно по результатам первого цикла гармонического анализа. Поэтому для устранения погрешности измерения частот и амплитуд слагаемых сигнала форма весовой функции должна задаваться варьируемыми параметрами таким образом, чтобы на частоте каждого из слагаемых сигнала спектры других слагаемых были равны нулю вместе с заданным количеством их производных. Для этого необходимо уже $$N$$

варьируемых тригонометрических слагаемых весовой функции

Вычисляют взаимные разности между частотами пиков спектра $$\Delta x_i^{\left(1\right)}=x_i^{\left(1\right)}-x_j^{\left(1\right)}$$

. Получают цифровые отсчеты $$y_{ц}(m)$$

второго периода периодического многочастотного сигнала и генерируют цифровые отсчеты весовой функции второго цикла гармонического анализа по отсчетам дискретной весовой функции уже с числом варьируемых тригонометрических слагаемых весовой функции $$N$$

$$w_s(m,b_1^{\left(2\right)},b_2^{\left(2\right)}\mathrm{...}{b}_N^{\left(2\right)})=1+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{\left(-1\right)}^n{C}_{sn}\left(b_1^{\left(2\right)},b_2^{\left(2\right)}\mathrm{...}{b}_N^{\left(2\right)}\right)\cos \left[2n\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}$$

,

или

$$w_c(m,b_1^{\left(2\right)},b_2^{\left(2\right)}\mathrm{...}{b}_N^{\left(2\right)})=\frac{1}{K}\{\sin \left[\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]+$$

$$+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{\left(-1\right)}^n{C}_{cn}(b_1^{\left(2\right)},b_2^{\left(2\right)}\mathrm{...}{b}_N^{\left(2\right)})\sin \left[(2n+1)\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\}$$

с формой огибающей заданной частотами $$b_i^{(2)}$$

, равными модулям взаимных разностей

между частотами пиков спектра $$b_i^{(2)}=\left|\Delta x_i^{\left(1\right)}\right|$$

, определенным в первом цикле гармонического анализа. Оценивают частоты $$x_i^{\left(2\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(2\right)}$$

модулей всех спектральных пиков и записывают их в память. Вычисляют разницу оценок частот, полученных в первом и втором циклах гармонического анализа $$\left|x_i^{\left(2\right)}-x_i^{\left(1\right)}\right|$$

,…, $$\left|x_j^{\left(2\right)}-x_j^{\left(1\right)}\right|$$

. Если разница результатов оценки частот не снижена ниже контрольного уровня $${\Delta }_x$$

, определенного допустимой погрешностью измерений, выполняют следующий цикл гармонического анализа путем перемножения вновь генерируемых цифровых отсчетов весовой функции с вновь измененной формой по результатам второго цикла на вновь получаемые цифровые отсчеты сигнала и оценивания частот гармонических слагаемых сигнала по частотам Фурье-образа, вновь полученного произведения на частотах спектральных пиков.

Аналогично в $$(k)$$

цикле гармонического анализа получают цифровые отсчеты $$y_{\text{ц}}(m)$$

$$(k)$$

-го периода периодического многочастотного сигнала. По оцененным частотам пиков спектра в $$(k-1)$$

цикле гармонического анализа $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

, вычисляют взаимные разности между частотами пиков спектра $$\Delta x_i^{\left(k-1\right)}=x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}$$

, корректируют форму ВФ путем задания частот $$b_i^{(k)}$$

, на которых приравнивается нулю спектр весовой функции или его производная, модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{(k)}=\left|\Delta x_i^{\left(k-1\right)}\right|$$

и используют весовую функцию со скорректированной формой $$w_s(m,b_1^{\left(k\right)},b_2^{\left(k\right)}\mathrm{...}{b}_N^{\left(k\right)})$$

, или $$w_c(m,b_1^{\left(k\right)},b_2^{\left(k\right)}\mathrm{...}{b}_N^{\left(k\right)})$$

в $$(k)$$

цикле гармонического анализа. Итерационную процедуру циклов гармонического анализа с последовательным изменением формы весовой функции выполняют до снижения абсолютного значения разности между вновь полученными значениями оценок частот пиков спектра $$x_i^{\left(k\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k\right)}$$

и их предыдущими значениями $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

, ниже контрольного уровня $${\Delta }_x$$

:

$$\left|x_i^{\left(k\right)}-x_i^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

,…, $$\left|x_j^{\left(k\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

.

При этом за частоты гармонических составляющих принимают оценки, полученные на последнем цикле гармонического анализа, а амплитуду и фазу каждого составляющего сигнала оценивают после уточнения частот пиков спектра.

В результате итерационной процедуры на частоте каждого из анализируемых гармонических составляющих сигнала получают близкие к нулевым значения от всех слагаемых спектра, которые на заданную величину (например на 10 дБ, как было приведено выше) превышают уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра, а также близкие к нулевым значения заданного количества производных от этих слагаемых спектра.

В дополнительных циклах гармонического анализа, возможно, начиная со второго, суммарное число варьируемых нулей спектра весовой функции $$N+1$$

на единицу больше, чем число нулей $$N$$

, взаимно минимизирующих влияние боковых лепестков спектров и их производных. $$N+1$$

дополнительный ноль $$b_{N+1}^{(k)}$$

$$b_{N+\text{1}}^{(k)}={\left[\frac{{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{A}_{sn}^2{n}^4{\left({\left(b_1^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2\mathrm{...}{\left({\left(b_N^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{A}_{sn}^2{n}^2{\left({\left(b_1^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2\mathrm{...}{\left({\left(b_N^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2}}\right]}^{\frac{1}{2}}$$

в спектре

$$S_s\left(x,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)}\right)=\frac{\sin \left(\pi x\right)}{M_o\sin \left(Mx\right)}\cdot \left\{1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)}\right)\cos \left(n\pi \right)\frac{2\cos \left(nM\right)\cdot {\sin }^2\left(Mx\right)}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2Mx\right)}}\right\}$$

весовой функции

$$w_s(m,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)})=1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{\left(-1\right)}^n{C}_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)}\right)\cos \left[2n\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}$$

,

или $$N+1$$

-й дополнительный ноль $$b_{N+1}^{(k)}$$

$$b_{N+1}^{(k)}={\left[\mathrm{0,25}+\frac{D{}_n(1+G_n)-C_n{F}_n}{C{}_n(1+G_n)-\left(1+H_n\right)F_n}\right]}^{\frac{1}{2}}$$

,\tab

в спектре

$$S_c\left(x,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)}\right)=\frac{-\cos \left(\pi x\right)\cos \left(Mx\right)}{\mathrm{0,5}{M}_{o}K}\cdot \{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2Mx\right)}+$$

$$+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)})\cos \left(n\pi \right)\frac{\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-\cos \left(2Mx\right)}}\}$$

весовой функции

$$\begin{array}{l}{w}_c(m,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)})=\\ =\frac{1}{K}\{\sin \left[\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{\left(-1\right)}^n{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+1}^{(k)})\sin \left[(2n+1)\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\}\end{array}$$

задают из условия получения минимально возможной эквивалентной шумовой полосы весовой функции при уже определенных $$N$$

варьируемых нулях спектра $$b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...,}{b}_N^{(k)}$$

.

На фиг. 2 кривыми 5 и 6 приведены модули двух слагаемых спектра сигнала с относительными частотами 100 и 103 (на периоде анализа $$T$$

составляющие сигнала имеют 100 и 103 периодов колебаний) и с одинаковыми амплитудами после осуществления дополнительного цикла гармонического анализа. При обработке сигнала использована весовая функция, у которой $$N+1=3$$

и в результате итерационной процедуры сформированы нулевые значения спектра вместе с первой производной на относительной частоте 3 и дополнительный ноль на относительной частоте 1.122. Нули на относительной частоте 3 снижают взаимное влияние слагаемых сигнала боковыми лепестками спектра. Дополнительный ноль на относительной частоте 1.122 минимизирует эквивалентную шумовую полосу весовой функции, у которой на предыдущих циклах определена относительная частота, равная 3, на которой задаются нулевое значение спектра и нулевое значение его производной. При этом из-за отсутствия взаимного влияния слагаемых спектра и минимального влияния шума положения максимумов имеют минимальное смещение по частоте и на частотах максимумов амплитуды и фазы спектра определяются с минимальной погрешностью.

На фиг. 3 кривой 7 приведена форма весовой функции с $$N+1=3$$

после выполнения дополнительного цикла гармонического анализа, соответствующая спектру, изображенному на фиг. 2. Для сравнения кривой 8 изображена форма весовой функции до выполнения дополнительного цикла гармонического анализа с $$N=2$$

.

При снижении разницы результатов оценки частоты ниже контрольного уровня СЦОС 3 производит вывод результатов оценки частот, амплитуд и фаз гармонических слагаемых многочастотного периодического сигнала на выход устройства.

На фиг. 4 кривой 9 приведена зависимость эквивалентной шумовой полосы весовой функции с $$N+1=3$$

от частоты оцененного варьируемого нуля спектра и его первой производной $$b{}_1=b_2$$

при определении третьего нуля $$b_3$$

по минимуму эквивалентной шумовой полосы и использовании предлагаемого способа. Для сравнения кривой 10 изображена эквивалентная шумовая полоса весовой функции с $$N=2$$

и $$b{}_1=b_2$$

при использовании для обработки прототипа без дополнительного нуля спектра, минимизирующего эквивалентную шумовую полосу.

На фиг. 5 приведена относительная погрешность оценки частот $$\Delta =\left({\omega }_{\text{измеренное}}-{\omega }_{\text{заданное}}\right)\cdot T/2\pi$$

периодической последовательности двухчастотных радиоимпульсов длительностью $$T$$

. Каждый радиоимпульс состоит из отрезка гармонического колебания со ста периодами ( $$x_1=100$$

) и отрезка гармонического колебания с варьируемым числом от 102 до 112 периодов колебаний ( $$x_2=\mathrm{102....112}$$

). Кривые 11 и 12 получены при использовании предлагаемого способа. Кривые 13, 14 получены при использовании прототипа. Кривые 12, 14 получены при отношении сигнал - шум $$q=20$$

дБ, а 11, 13 получены при отношении сигнал - шум $$q=60$$

дБ.

Из приведенных результатов следует, что применение предлагаемого способа позволяет снизить погрешность оценки частот гармонических составляющих периодического многочастотного сигнала на фоне шума практически пропорционально уменьшению эквивалентной шумовой полосы. Также снижается погрешность оценки фаз и амплитуд составляющих сигнала.

Источники информации

1. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.

2. Хэррис Ф. Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИР. 1978. Т. 66, №1. С. 60-96.

3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

4. Иванов Ю.Е. О наивысшей точности спектрального оценивания гармонических сигналов дискретным преобразованием Фурье // Проблемы управления и информатики. - 1998. - № 2. - С. 102.

5. Патент РФ 2435168, G01R23/16. Опубликовано 27.11.2011, Бюл. №33.

Claims (4)

1. Способ гармонического анализа периодического многочастотного сигнала $$y(t)$$

с периодом $$T$$

, цикл которого включает получение цифровых отсчётов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала через равные интервалы времени $$\Delta t$$

, генерирование весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

в форме цифровых отсчётов, перемножение цифровых отсчётов $$y_{\text{ц}}(m)$$

сигнала с цифровыми отсчётами весовой функции $$w{}_{\text{ц}}(m)$$

, вычисление спектра путём нахождения Фурье-образа $$$$

полученного произведения, оценивание частот пиков спектра $$x_i\mathrm{,...,}{x}_j$$

, превышающих уровень боковых лепестков наиболее интенсивного слагаемого спектра, и оценивание частот, амплитуд и фаз гармонических составляющих сигнала по частотам, амплитудам и фазам Фурье-образа полученного произведения на частотах $$x_i\mathrm{,...,}{x}_j$$

пиков спектра, многократное выполнение дополнительных циклов гармонического анализа, в каждом из которых по результатам выполненного $$\left(k-1\right)$$

цикла гармонического анализа изменяют форму весовой функции генерированием новых цифровых отсчётов весовой функции путём задания частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

, использование весовой функции со скорректированной формой в $$(k)$$

цикле гармонического анализа, повторение циклов гармонического анализа до получения на частоте каждого из анализируемых гармонических составляющих сигнала допустимых значений слагаемых спектра от заданного количества других гармонических составляющих сигнала и допустимых значений заданного количества производных слагаемых спектра от заданного количества других гармонических составляющих сигнала и принятие за частоты гармонических составляющих оценки на последнем цикле гармонического анализа, отличающийся тем, что выполняют, по меньшей мере, один дополнительный цикл гармонического анализа, в котором по результатам выполненного гармонического анализа изменяют форму весовой функции генерированием новых цифровых отсчётов весовой функции путём одновременного задания частот $$b_i^{(k)}$$

нулей спектра ВФ и нулей его производных равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

и одного дополнительного нуля спектра ВФ.

2. Способ по п. 1, отличающийся тем, что генерируют отсчёты весовой функции с одновременным заданием суммарного числа $$N$$

частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

и одного дополнительного $$N+1$$

нуля спектра ВФ после снижения абсолютного значения разности между вновь полученными значениями оценок частот пиков спектра $$x_i^{\left(k\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k\right)}$$

и их предыдущими значениями $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

, ниже контрольного уровня $${\Delta }_x$$

$$\left|x_i^{\left(k\right)}-x_i^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

,…, $$\left|x_j^{\left(k\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|\le {\Delta }_x$$

.

3. Способ по п. 1, отличающийся тем, что в каждом цикле гармонического анализа начиная со второго изменяют форму весовой функции генерированием новых цифровых отсчётов весовой функции путём одновременного задания суммарного числа $$N$$

частот нулей спектра ВФ и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{\left(k\right)}=\left|x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}\right|$$

и одного дополнительного $$N+1$$

нуля спектра ВФ.

4. Способ по п. 1, отличающийся тем, что при выполнении $$(k)$$

цикла гармонического анализа по оценённым частотам $$x_i^{\left(k-1\right)}\mathrm{,....,}{x}_j^{\left(k-1\right)}$$

пиков спектра в $$(k-1)$$

цикле гармонического анализа вычисляют взаимные разности между частотами пиков спектра $$\Delta x_i^{\left(k-1\right)}=x_i^{\left(k-1\right)}-x_j^{\left(k-1\right)}$$

и корректируют форму весовой функции путём одновременного
задания суммарного числа $$N$$

частот нулей спектра и нулей его производных $$b_i^{(k)}$$

равными модулям взаимных разностей между частотами пиков спектра $$b_i^{(k)}=\left|\Delta x_i^{\left(k-1\right)}\right|$$

, и дополнительного $$N+1$$

нуля $$b_{N+1}^{(k)}$$

$$b_{N+\text{1}}^{(k)}={\left[\frac{{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{A}_{sn}^2{n}^4{\left({\left(b_1^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2\mathrm{...}{\left({\left(b_N^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2}}{{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{A}_{sn}^2{n}^2{\left({\left(b_1^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2\mathrm{...}{\left({\left(b_N^{\left(k\right)}\right)}^2-n^2\right)}^2}}\right]}^{\frac{1}{2}}$$

в спектре
$$\begin{array}{l}{S}_s\left(x,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{\sin \left(\pi x\right)}{M_o\sin \left(Mx\right)}\times \\ \times \left\{1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)\cos \left(n\pi \right)\frac{2\cos \left(nM\right)\cdot {\sin }^2\left(Mx\right)}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2Mx\right)}}\right\}\end{array}$$

весовой функции
$$w_s(m,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})=1+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{\left(-1\right)}^n{C}_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)\cos \left[2n\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}$$

,
где $$A_{sn}={(-1)}^{n+1}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{p^2}{p^2-n^2}}$$

;
$$b_i={\omega }_{i}T/2\pi$$

- нормированная частота, на которой задаётся равенство нулю спектр весовой функции или его производная в $$(k)$$

цикле гармонического анализа;
$${\omega }_i-$$

отсчёты угловой частоты;
$$T$$

- период;
$$x=\omega T/2\pi$$

- текущая нормированная частота;
$$\omega$$

- текущая угловая частота;
$$M{}_0$$

- число отсчётов сигнала;
$$M=\pi /M{}_0$$

;
$$m$$

- номер текущего отсчёта сигнала и весовой функции;
$$N$$

- число тригонометрических слагаемых весовой функции, равное суммарному числу варьируемых нулей спектра ВФ и нулей его производных;
$$n$$

- номер тригонометрического слагаемого;
$$C_{sn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{\cos \left(nM\right)}\cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^{N+1}\left[\frac{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2b_i^{(k)}M\right)}{2{\sin }^2\left(b_i^{(k)}M\right)}\right]}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{\left[1-\cos \left(2pM\right)\right]}{\cos \left(2nM\right)-\cos \left(2pM\right)}}$$

,
или дополнительного $$N+1$$

нуля $$b_{N+1}^{(k)}$$

$$b_{N+1}^{(k)}={\left[\mathrm{0,25}+\frac{D{}_n(1+G_n)-C_n{F}_n}{C{}_n(1+G_n)-\left(1+H_n\right)F_n}\right]}^{\frac{1}{2}}$$

,
в спектре
$$S_c\left(x,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{-\cos \left(\pi x\right)\cos \left(Mx\right)}{\mathrm{0,5}{M}_{o}K}\cdot \{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2Mx\right)}+$$

$$+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})\cos \left(n\pi \right)\frac{\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-\cos \left(2Mx\right)}}\}$$

весовой функции
$$\begin{array}{l}{w}_c(m,b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})=\frac{1}{K}\times \\ \times \{\sin \left[\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{\left(-1\right)}^n{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})\sin \left[(2n+1)\left(m+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\}\end{array}$$

,
где $$D_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n^2{L}_n^2}$$

;
$$B_n=A_{cn}{\displaystyle \prod _{i=2}^{N+1}\left(1-\frac{n^2+n}{{\left(b_i^{(k)}\right)}^2-\mathrm{0,25}}\right)}$$

;
$$A_{cn}=\frac{{(-1)}^{n+1}}{2n+1}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{p^2+p}{\left(p^2+p\right)-\left(n^2+n\right)}}$$

;
$$L_n=n^2+n$$

;
$$G_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n\frac{\cos n\pi }{2n+1}}$$

;
$$C_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n^{2}L{}_n}$$

;
$$F_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n\frac{\cos n\pi }{2n+1}{L}_n}$$

;
$$H_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{B}_n^2}$$

;
$$K=\frac{-2}{M_o}\{\frac{\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\cos \left(M\right)-1}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}{C}_{cn}(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)})\frac{\cos \left(n\pi \right)\sin \left[M\left(n+\mathrm{0,5}\right)\right]}{\cos \left[M\left(2n+1\right)\right]-1}}\}$$

;
$$C_{сn}\left(b_1^{(k)},b_2^{(k)}\mathrm{,...}{b}_{N+\text{1}}^{(k)}\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}\sin \left(\mathrm{0,5}M\right)}{\sin \left[\left(n+\mathrm{0,5}\right)M\right]}\times$$

$$\times {\displaystyle \prod _{i=1}^{N+1}\left\{\frac{\cos \left[\left(2n+1\right)M\right]-\cos \left(2b_i^{(k)}M\right)}{\cos \left(M\right)-\cos \left(2b_i^{(k)}M\right)}\right\}\cdot {\displaystyle \prod _{\begin{array}{l}p=1\\ p\ne n\end{array}}^{N+1}\frac{\cos \left(M\right)-\cos \left[\left(2p+1\right)M\right]}{\cos \left[\left(2n+1\right)M\right]-\cos \left[\left(2p+1\right)M\right]}}}$$

.

Images