CN107330146B - 一种考虑转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法 - Google Patents

一种考虑转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种同时考虑岩体平动和转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法，属于岩质边坡承载力分析技术领域。本发明基于塑性极限分析上限理论，采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡，以刚性块体单元形心的平动速度、转动速度为未知量，同时考虑岩块的平动、转动力学效应，以边坡的超载系数为目标函数，构建满足结构面剪切破坏、拉伸破坏、转动破坏的塑性流动条件；然后结合虚功原理和速度边界条件建立求解节理岩质边坡的极限承载力的线性数学规划模型，并采用单纯形法对线性数学规划模型进行求解，同时可以采用迭代法求解强度储备系数，最终获得节理岩质边坡极限承载力的上限解和对应的破坏机构。本发明概念明确、计算精度高。

Description

一种考虑转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法
技术领域
本发明是一种节理岩质边坡极限承载力分析的上限方法，特别涉及一种同时考虑岩体平动和转动效应的上限法，属于岩质边坡承载力分析技术领域。
背景技术
岩质边坡存在着大量的结构面，比如：节理、断层、岩层层面、剪切带、软弱夹层等，岩质边坡的强度及其稳定性取决于结构面的强度和破坏模式。一般认为节理岩质边坡由岩块和结构面两部分组成。节理岩质边坡具有以下特点：
(1)岩质边坡的断层、节理、裂隙互相切割，岩块极不规则，其岩体结构非常复杂；
(2)节理岩质边坡的失稳模式比较复杂，在外力作用下岩质边坡有可能发生平动失稳，也有可能发生转动倾倒失稳，或者两者同时发生；
(3)节理岩质边坡中的结构面的破坏模式也很多样化，一般常见的有剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏。
近半个世纪以来，众多的学者和工程师对节理岩质边坡的极限承载能力进行了大量的研究工作，并取得了丰富的研究成果。比如刚体极限平衡法、塑性极限分析法、有限元法、有限差分法、离散单元法、块体单元法、DDA等。但在节理岩质边坡极限承载能力方面还存在一些不足，具体表现在：
(1)现有方法尽管已经被广泛应用于实际工程中，但或多或少都存在一些理论上的不足，比如刚体极限平衡法只能分析简单的节理岩质边坡问题、有限元法和有限差分法在模拟复杂的节理网络和本构关系方面存在困难等；
(2)对于节理岩质边坡的极限承载力分析领域，现有方法还未能完全同时考虑岩块的平动、转动效应以及结构面的剪切破坏、拉伸破坏、转动破坏；
(3)上限法理论是分析结构极限承载力的有效工具，但现阶段运用上限法建立同时考虑岩块的平动、转动效应的数学模型还存在很多难题需要解决，研究成果也较少。
本发明基于国家自然科学基金项目(资助号：51564026)的研究工作，将塑性极限分析上限法理论、刚性块体单元离散技术以及数学规划手段结合起来，提出一种同时考虑平动、旋转效应的岩质边坡极限承载力分析上限法。
发明内容
本发明的目的是提供一种同时考虑平动和转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法，为节理岩质边坡稳定性分析提供一种新方法。
本发明的基本原理是：基于塑性极限分析上限理论，以节理岩质边坡为研究对象，采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡，以刚性块体单元形心的平动速度、转动速度为未知量，同时考虑岩块的平动、转动力学效应，以边坡的超载系数为目标函数，构建满足结构面剪切破坏、拉伸破坏、转动破坏的塑性流动条件；然后结合虚功原理和速度边界条件建立求解节理岩质边坡的极限承载力的线性数学规划模型，并采用单纯形法对线性数学规划模型进行求解，同时可以采用迭代法求解强度储备系数，最终获得节理岩质边坡极限承载力(超载系数或强度储备系数)的上限解和对应的破坏机构。
本发明的技术路线如图1所示。
本发明的节理岩质边坡极限承载力分析上限法的技术方案依次按以下步骤进行：
一、拟定节理岩质边坡的计算参数
根据节理岩质边坡的实际情况，拟定上限法分析需要的计算参数，主要包括：地质条件参数、岩质边坡的几何参数、岩体材料和节理材料的参数(容重、凝聚力、摩擦角、抗拉强度等)、边坡荷载参数信息。
二、采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡
岩质边坡被节理切割以后形成岩块+结构面的组合系统，为了能够同时模拟岩块平动、转动的力学效应，本发明采用多自由度的刚性块体单元离散节理岩质边坡。其主要思想如下：(1)将节理岩质边坡离散为刚性岩块+结构面的几何系统；(2)采用多自由度刚性块体单元模拟岩块，以刚性块体单元形心的平动速率和转动速率为未知量；(3)刚性块体单元之间的结构面上作用有法向力、切向力和弯矩。
对于节理岩质边坡中被节理切割而成的岩块，本发明采用多自由度的刚性块体单元来离散，其由刚性块体单元和结构面组成(如图2、图3、图4所示)。其中总体坐标系为(x,y)，刚性块体单元i与刚性块体单元j相邻的结构面k上的局部坐标系定义为(nk,sk)。为了同时模拟岩块的平动和转动效应，本发明方法定义：块体单元i形心ci上作用有速度向量
Figure GDA0002444806510000021
块体单元i中任意一点P(x,y)上作用有速度向量
Figure GDA0002444806510000022
相邻块体单元之间的结构面k形心
Figure GDA0002444806510000023
上作用有速度间断向量
Figure GDA0002444806510000024
其中速度向量包括平动和转动；结构面k形心
Figure GDA0002444806510000025
上作用有内力向量
Figure GDA0002444806510000026
块体单元i形心ci上作用有等效荷载力向量
Figure GDA0002444806510000027
刚性块体单元、结构面上定义的变量及说明详见表1。
本发明方法为了既能够模拟岩块系统的平动效应和转动效应，同时能模拟岩块之间的剪断或拉裂，为了简化计算，作如下假设：(1)假设岩块为刚体，因此刚性块体单元不会发生变形和破坏，破坏只会发生在相邻块体单元之间的结构面上；(2)同时考虑刚性块体单元的平动和转动效应，在变形过程中岩块不会相互脱离；(3)同时考虑块体之间的剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏；(4)刚性块体单元之间需同时满足平动和转动的变形协调条件。
三、建立求解同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型
根据塑性极限分析上限法理论，要建立同时考虑平动、转动效应节理岩质边坡承载力的上限法模型，必须先建立节理岩质边坡相应的机动许可速度场。上限法机动许可速度场需满足相应的约束条件和建立对应的目标函数，刚性块体单元必须满足以下3个约束条件： (1)结构面塑性流动约束条件；(2)内功功率与外功功率相等条件；(3)速度边界条件。
表1刚性块体单元i与结构面k上作用的变量
Figure GDA0002444806510000031
1、目标函数
上限法的目的就是寻求边坡结构的极限状态。对于节理岩质边坡，有两种方式可以使其达到极限状态，一是通过逐步增加外荷载，二是通过逐步降低岩体的强度参数，即求解超载系数和强度储备系数。
超载系数就是求解岩质边坡发生失稳破坏的那一刻的临界荷载。本发明定义超载系数 K1为：
K1＝Fc/Fa (1)
上式中：Fc是极限荷载，Fa是边坡结构当前实际施加的外荷载。
根据上限定理，边坡在达到极限状态时，需求解超载系数的最小值，本文将超载系数设为目标函数：
Minimize:K1 (2)
强度储备系数是通过降低材料的抗剪、抗拉强度参数直至边坡失稳破坏得到的。本发明定义强度储备系数K2为：
Figure GDA0002444806510000041
上式中：c,
Figure GDA0002444806510000042
分别是结构面的凝聚力和摩擦角，c',
Figure GDA0002444806510000043
分别是结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角，σT,σT'是岩体折减前、后的抗拉强度。
2、结构面塑性流动约束条件
如前所述，本发明假设塑性流动仅发生在相邻块体单元的结构面上，即假定速度不连续位于两个相邻块体单元的公共边上(如图4所示)，并假设结构面厚度为零。相邻刚性块体单元之间需同时考虑平动和转动效应，且相邻刚性块体单元的结构面需同时考虑剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏，因此结构面塑性流动约束条件需由如下两个条件导出：(1)考虑块体单元平动转动的结构面变形协调条件、(2)相邻块体单元滑移剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的广义屈服条件。
(1)考虑块体单元平动和转动的结构面变形协调条件
将节理岩质边坡离散为刚性块体单元+结构面的几何系统以后，任意一个块体单元的考虑平动和转动的速度模式如图4所示，块体单元i中任意一点P(x,y)作用的速度向量为
Figure GDA0002444806510000044
可以使用块体单元i形心ci上作用的平移、转动速度向量
Figure GDA0002444806510000045
来表示：
Figure GDA0002444806510000046
上式中：
Figure GDA0002444806510000047
其是块体单元i的形函数；
Figure GDA0002444806510000048
是块体单元i中任意一点P(x,y)处的速度向量，
Figure GDA0002444806510000049
是块体单元i的形心ci处的速度向量， (xi,yi)为块体单元i中任意一点P的位置坐标；
Figure GDA00024448065100000410
是块体单元i中形心ci的位置坐标。
图4为相邻刚性块体单元之间结构面速度模式图，相邻块体单元i、块体单元j以及两者的交界面k之间的变形必须满足变形协调条件。相邻块体单元i、块体单元j之间的结构面k形心存在速度间断向量可表示为：
Figure GDA00024448065100000411
上式中：
Figure GDA00024448065100000412
是结构面k形心处的速度间断向量；Ni是块体单元i在结构面形心
Figure GDA00024448065100000413
处的形函数，
Figure GDA00024448065100000414
Nj是块体单元j在结构面形心
Figure GDA00024448065100000415
处的形函数，
Figure GDA00024448065100000416
Figure GDA0002444806510000051
是整体坐标到局部坐标的转换矩阵，l1、m1和l2、m2分别是局部坐标系 (nk,sk)中nk轴和sk轴在总体坐标系(x,y)中的方向余弦；
Figure GDA0002444806510000052
是块体单元i中结构面k 中点
Figure GDA0002444806510000053
的位置坐标；
Figure GDA0002444806510000054
是块体单元j中结构面k中点
Figure GDA0002444806510000055
的位置坐标；
Figure GDA0002444806510000056
是块体单元i中形心ci的位置坐标；
Figure GDA0002444806510000057
是块体单元j中形心cj的位置坐标。
结构面变形协调条件式(5)可用向量、矩阵简写为：
Figure GDA0002444806510000058
上式中：
Figure GDA0002444806510000059
Figure GDA00024448065100000510
是相邻两个块体单元i,j的形心处的平动、转动速度向量。
(2)相邻块体单元滑移剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的屈服条件
节理岩质边坡被离散为刚性块体单元+结构面的几何体以后，由于假设刚性块体单元不会变形和破坏，破坏仅仅发生在结构面上。两个相邻块体单元之间的结构面有三种破坏模式：(a)滑移剪切破坏、(b)拉伸破坏、(c)转动破坏，其三种破坏模式如图5所示。本发明同时考虑块体单元的平动和转动力学效应，并建立结构面的剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的屈服条件，
在相邻块体单元发生平动时，节理面一般发生剪切破坏，一般结构面不能承受拉应力。本发明引入拉伸破坏条件建立结构面的修正Mohr-Coulomb屈服准则。假设刚性块体单元之间不能承受拉力，即抗拉强度为σT＝0，则结构的屈服准则如图6所示。在局部坐标系(nk,sk)中采用结构面k形心
Figure GDA00024448065100000511
上作用的内力向量
Figure GDA00024448065100000512
表示的同时满足剪切破坏、拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则可写为：
Figure GDA00024448065100000513
上式中：nd是结构面数量，lk是结构面k的长度，c,
Figure GDA00024448065100000514
是结构面的凝聚力和内摩擦角，σT是结构面的抗拉强度，对于节理岩质边坡一般取岩体的抗拉强度为σT＝0，Nk是结构面k的法向力，规定以拉力为正，Vk是结构面k的剪力。
当节理岩质边坡的刚性块体单元发生转动破坏时，块体单元转动破坏极限状态下的受力如图7所示。块体单元倾倒破坏准则如图8所示。在倾倒破坏发生的临界时刻，发生相对转动的相邻块体单元之间结构面k的转动破坏准则可表示为：
Figure GDA0002444806510000061
上式中：nd是结构面数量，lk是结构面k的长度,Nk是结构面k的法向力，规定以拉力为正,Mk是结构面k的弯矩。
综合结构面考虑拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则式(7)以及块体转动破坏准则式(8)，得到块体单元平动-转动破坏的广义屈服条件
Figure GDA0002444806510000062
具体表示如下:
Figure GDA0002444806510000063
上式中：k＝(1,…,nd)。
(3)结构面塑性流动约束条件
本文假设塑性流动仅发生在结构面上，即假定速度不连续位于两个相邻块体单元的公共边上(如图4所示)，并假设结构面的厚度等于0。为了满足机动许可的条件，在结构面上沿法向、切向速度间断值以及转动角速度间断值必须符合关联流动准则。
结合屈服准则式(9)和关联流动法则
Figure GDA0002444806510000064
(fk为结构面k的剪切、拉伸和转动破坏的广义屈服准则)，可得到结构面k的广义速率间断分量如下：
Figure GDA0002444806510000065
上式可用向量和矩阵简写为：
Figure GDA0002444806510000066
上式中：
Figure GDA0002444806510000067
是结构面k速度间断向量，其中
Figure GDA0002444806510000068
分别为法向速度、切向速度和转角速度的间断分量；
Figure GDA0002444806510000069
是结构面k的5个非负塑性乘子,
Figure GDA00024448065100000610
或
Figure GDA00024448065100000611
代表着结构面发生剪切塑性流动,
Figure GDA00024448065100000612
代表着结构面发生拉伸塑性流动，
Figure GDA00024448065100000613
或
Figure GDA00024448065100000614
代表着沿结构面两侧相邻的块体单元发生转动塑性流动；
Figure GDA0002444806510000071
根据上限法理论相邻块体单元之间必须满足变形协调条件，同时，相邻块体单元之间需满足机动许可的关联流动准则。根据塑性理论的关联流动法则，由变形协调条件得到广义应变率分量(式(6))应该等于由关联流动法则以及屈服条件得到广义塑性应变率分量 (式(11))。因此，将式(6)与式(11)结合便得到所有结构面的塑性流动约束条件：
Figure GDA0002444806510000072
同时要求塑性乘子为非负的附件约束条件：
Figure GDA0002444806510000073
3、内功功率与外功功率相等条件
由虚功原理得知，岩质边坡的外力所做的虚功功率和边坡体内能的耗散功率相等。由于块体单元内部不会发生任何变形和破坏，因此块体单元内部的内功耗散等于0；内功的耗散仅仅产生于相邻块体单元之间的结构面上。根据关联流动法则以及屈服条件式(9)，岩体中沿结构面发生剪切破坏的内部耗散功率为：
Figure GDA0002444806510000074
上式中：nd为岩体中结构面的数量，lk为结构面的长度，c为结构面的凝聚力。
由于假设结构面的抗拉强度为0，因此岩体中沿结构面发生拉伸破坏的内部耗散功率为0。同时，本发明不考虑相邻块体单元发生转动破坏的内部耗散功率。
作用在岩质边坡上的外荷载包括：岩体自重、边界上的力荷载等，这些荷载会在块体单元形心的速度上产生做功。块体单元自重在块体单元竖直方向速度
Figure GDA0002444806510000078
上的所做的外功为：
Figure GDA0002444806510000075
上式中：nb为岩体中块体单元的数量，Ai为块体单元的面积，γ为岩体的容重，
Figure GDA0002444806510000076
是块体单元竖直方向的速度。
块体单元边界上的力荷载可以等效移植到块体单元形心上形成外力的等效荷载力向量，其在块体形心速度上所做的外功为：
Figure GDA0002444806510000077
上式中：nf为岩体中边界上作用有外荷载的块体单元的数量，
Figure GDA0002444806510000081
为块体单元i形心上的速度向量，
Figure GDA0002444806510000082
为边界上块体单元i形心上作用的等效荷载力向量。
根据虚功原理，内功耗散应该等于外力做功，同时考虑求解超载系数的式(1)，则可得到岩体的内功功率与外功功率相等条件：
Figure GDA0002444806510000083
上式为一个非线性表达式，为了避免求解非线性数学规划问题，假设
Figure GDA0002444806510000084
则式(17)可等效写为两个线性表达式：
Figure GDA0002444806510000085
4、速度边界条件
由上限定理可知,机动许可速度场在速度边界上必须满足已知的速度边界条件。节理岩质边坡中的速率为零的边界b上的边界条件为：
Figure GDA0002444806510000086
上式中：nj为速度为0的块体边界界面的数量，
Figure GDA0002444806510000087
为块体边界b上的界面j的整体坐标到局部坐标的坐标转换矩阵：
Figure GDA0002444806510000088
上式中：αj为边界外法线方向与x方向的夹角(逆时针为正)。
5、同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型
为了求解节理岩质边坡超载破坏时的极限状态，集成目标函数式(2)、以及约束条件式 (12)、(13)、(18)、(20)，则得到同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法线性数学规划模型：
Figure GDA0002444806510000089
如果直接求解强度储备系数K2，式(12)、(18)会变成非线性约束，因此当需要求解强度储备系数时，本发明基于式(21)采用迭代法求解强度储备系数K2，具体方法是：在式(3) 中逐步降低材料强度参数并带入式(12)和式(18)，使用式(21)求解K1，当K2使得K1充分接近于1时(误差小于0.001)即为所求的强度储备系数的值(具体迭代过程详见图1)。
四、求解节理岩质边坡的极限承载力
求解式(21)可获得节理岩质边坡破坏时的超载系数K1和对应的速度场。式(21)是一个线性数学规划模型，模型的计算精度主要取决于线性规划求解器的求解精度。本发明采用单纯形法对上限法的线性规划模型进行求解，通过大量的数学实验和实际工程应用结果表明，单纯形法在求解线性规划问题时具有高效率和良好收敛性。
本发明的特点是：本发明方法将上限理论、多自由度刚性块体单元离散技术、线性规划手段结合起来，建立求解节理岩质边坡极限承载力的上限法模型。本发明采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡，以块体单元形心的平动速度、转动速度为未知量，同时考虑岩体的三种破坏模式：结构面的剪切破坏、拉伸破坏和相邻块体单元的转动破坏，最终获得节理岩质边坡同时考虑平动、转动力学效应的极限承载力(超载系数或强度储备系数)；相比传统方法，本方法计算结果更为精确。
本发明具有以下有益效果：
1、本发明为求解节理岩质边坡的极限承载力提供了一种新方法，该方法可以同时考虑岩块的平动、转动力学效应。
2、本发明采用同时考虑了岩质边坡中结构面的剪切破坏、拉伸破坏以及相邻块体单元的转动破坏，求解得到严格的承载力的上限解，计算结果包括超载系数或强度储备系数的上限解和对应的破坏机构。
3、本发明方法概念明确、计算精度高，可以应用于节理岩质边坡的平动破坏和倾倒破坏的计算分析。
附图说明
图1为本发明技术路线图；
图2为刚性块体单元速度模式图；
图3为刚性块体单元及结构面受力模式图；
图4为相邻刚性块体单元之间结构面速度模式图；
图5为相邻块体单元破坏模式图；
图6为结构面剪切拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则；
图7为块体单元倾倒破坏极限状态受力示意图；
图8为块体单元倾倒破坏准则；
图9为实施例1节理岩质边坡的几何形状示意图；
图10为实施例1节理岩质边坡刚性块体单元离散示意图；
图11为实施例1节理岩质边坡极限状态下的平动、转动速度图；
图12为实施例1节理岩质边坡极限状态下结构面剪切破坏示意图；
图13为实施例1节理岩质边坡极限状态下结构面拉伸破坏示意图；
图14为实施例1节理岩质边坡极限状态下结构面转动破坏示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步说明。
本发明的具体实施例1如下：
实施例1为使用式(21)求解一个含有16个条块的节理岩质边坡的强度储备系数。
(一)、拟定节理岩质边坡的计算参数。
图9为实施例1节理岩质边坡的几何形状示意图，此边坡坡高92.5m，坡角为56.6°。岩层倾角为60°，倾向坡内；边坡共有16个岩块条柱，每个条柱的宽度Δx＝10.0m，a1＝5.0m， a2＝5.2m，b＝1.0m。边坡材料的物理力学参数详见表2。
表2节理岩质边坡材料的物理力学参数表
材料名称 重度/(kN·m<sup>-3</sup>) 黏聚力/kPa 内摩擦角/(°) 抗拉强度/kPa
岩体 25 5000.0 45.0 2000
条柱侧面 / 1.0 38.0 0.0
条柱底面 / 1.0 38.0 0.0
(二)、采用刚性块体单元离散节理岩质边坡
采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡，并以刚性块体单元形心速率为未知量。实施例1的边坡系统共离散为32个刚性块体单元，其刚性块体单元离散示意图如图10所示，其中b17～b32这16个单元为岩质边坡基础部分的单元，均施加平动、转动速度为0的边界条件。
(三)、建立求解同时考虑平动转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型
采用多自由度刚性块体单元离散的节理岩质边坡以后，根据式(21)建立了求解同时考虑平动和转动效应的边坡承载力上限法模型。
(四)、求解节理岩质边坡的极限承载力
根据式(21)建立的求解同时考虑平动、转动效应的边坡承载力上限法模型，采用编制的线性规划优化求解程序，求解边坡的强度储备系数K2。求解强度储备系数K2时采用迭代法求解，即：同时逐步降低条柱底面、侧面的材料强度参数，使用单纯形法求解上限法模型的目标函数K1，当使得K1充分接近于1时的K2即为所求的强度储备系数值。不同强度参数条件下的计算结果如表3所示。
表3节理岩质边坡强度储备系数计算结果
Figure GDA0002444806510000111
按本发明上限法计算得到的强度储备系数为严格的上限解。在条柱底面、侧面的凝聚力为1.0kPa、内摩擦角为38°的条件下岩质边坡的破坏机构如图11所示；相应的岩质边坡中发生剪切破坏、拉伸破坏、转动破坏的结构面分别如图12、图13、图14所示。从图中可知边坡破坏时块体1、2为只发生平动滑移破坏，块体3～13既发生平动滑移破坏也发生转动破坏；块体14～16的平动、转动速度均为0是稳定块体。

Claims (1)

1.一种考虑转动效应的岩质边坡极限承载力分析上限法，其特征在于，包括如下步骤：基于塑性极限分析上限理论，以节理岩质边坡为研究对象，采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡，以刚性块体单元形心的平动速度、转动速度为未知量，同时考虑岩块的平动和转动力学效应，以边坡的超载系数为目标函数，构建满足结构面剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏的塑性流动条件；然后结合虚功原理和速度边界条件建立求解节理岩质边坡的极限承载力的线性数学规划模型，并采用单纯形法对线性数学规划模型进行求解，同时可以采用迭代法求解强度储备系数，最终获得节理岩质边坡极限承载力的上限解和对应的破坏机构；
具体步骤如下：
(一)拟定节理岩质边坡的计算参数
根据节理岩质边坡的实际情况，拟定上限法分析需要的计算参数，包括：地质条件参数、岩质边坡的几何参数、岩体和节理材料的参数和边坡荷载参数信息，其中岩体和节理材料的参数包括容重、凝聚力、摩擦角、抗拉强度；
(二)采用多自由度刚性块体单元离散节理岩质边坡
(1)将节理岩质边坡离散为刚性岩块+结构面的几何系统；(2)采用多自由度刚性块体单元模拟岩块，以刚性块体单元形心的平动速率和转动速率为未知量；(3)刚性块体单元之间的结构面上作用有法向力、切向力和弯矩；
其中总体坐标系为(x,y)，刚性块体单元i与刚性块体单元j相邻的结构面k上的局部坐标系定义为(nk,sk)，块体单元i形心ci上作用有速度向量
Figure FDA0002444806500000011
Figure FDA0002444806500000012
是块体单元i的形心处的水平方向的速度，
Figure FDA0002444806500000013
是块体单元i的形心处的竖直方向的速度，
Figure FDA0002444806500000014
是块体单元i的形心处的转动速度；块体单元i中任意一点P(x,y)上作用有速度向量
Figure FDA0002444806500000015
Figure FDA0002444806500000016
是块体单元i中位置坐标为(x,y)的任意一点的水平方向的速度，
Figure FDA0002444806500000017
是块体单元i中位置坐标为(x,y)的任意一点的竖直方向的速度，
Figure FDA0002444806500000018
是块体单元i中位置坐标为(x,y)的任意一点的转动的速度；速度向量包括平动和转动，相邻块体单元之间的结构面k形心
Figure FDA0002444806500000019
上作用有速度间断向量
Figure FDA00024448065000000110
δnk是结构面k形心处的沿法向的平动速度间断值，δSk是结构面k形心处的沿切向的平动速度间断值，δθk是结构面k形心处的转动速度间断值；结构面k形心
Figure FDA00024448065000000111
上作用有内力向量
Figure FDA00024448065000000112
Nk是结构面k形心上作用有法向力，Vk是结构面k形心上作用有剪力，Mk是结构面k形心上作用有弯矩；块体单元i形心ci上作用有等效荷载力向量
Figure FDA00024448065000000113
fxi是块体单元i形心上作用的沿x方向的等效外力，fyi是块体单元i形心上作用的沿y方向的等效外力，mi是块体单元i形心上作用的等效弯矩；
为了简化计算，作如下假设：(1)假设岩块为刚体，因此刚性块体单元不会发生变形和破坏，破坏只会发生在相邻块体单元之间的结构面上；(2)同时考虑刚性块体单元的平动和转动效应，在变形过程中岩块不会相互脱离；(3)同时考虑块体之间的剪切破坏、拉伸破坏和转动破坏；(4)刚性块体单元之间需同时满足平动和转动的变形协调条件；
(三)建立求解同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型
根据塑性极限分析上限法理论，要建立同时考虑平动和转动效应节理岩质边坡承载力的上限法模型，必须先建立节理岩质边坡相应的机动许可速度场，上限法机动许可速度场需满足相应的约束条件和建立对应的目标函数，刚性块体单元必须满足以下3个约束条件：(1)结构面塑性流动约束条件；(2)内功功率与外功功率相等条件；(3)速度边界条件；
(1)目标函数
上限法的目的是寻求边坡结构的极限状态，对于节理岩质边坡，有两种方式使其达到极限状态，一是通过逐步增加外荷载，二是通过逐步降低岩体的强度参数，即求解超载系数和强度储备系数；将超载系数设为目标函数，即Minimize:K1；
超载系数即求解岩质边坡发生失稳破坏的那一刻的临界荷载，超载系数K1为：
K1＝Fc/Fa，其中Fc是极限荷载，Fa是边坡结构当前实际施加的外荷载；
强度储备系数是通过降低材料的抗剪、抗拉强度参数直至边坡失稳破坏得到的，强度储备系数K2为：
Figure FDA0002444806500000021
其中c,
Figure FDA0002444806500000022
分别是结构面的凝聚力和摩擦角，c′,
Figure FDA0002444806500000023
分别是结构面进行强度折减以后的凝聚力和摩擦角，σT,σT'是岩体折减前、后的抗拉强度；
(2)结构面塑性流动约束条件
结构面塑性流动约束条件由如下两个条件导出：①考虑块体单元平动转动的结构面变形协调条件②相邻块体单元滑移剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的广义屈服条件；
①考虑块体单元平动和转动的结构面变形协调条件
将节理岩质边坡离散为刚性块体单元+结构面的几何系统以后，块体单元i中任意一点P(x,y)作用的速度向量为
Figure FDA0002444806500000024
使用块体单元i形心ci上作用的速度向量
Figure FDA0002444806500000025
来表示：
Figure FDA0002444806500000026
上式中：
Figure FDA0002444806500000027
是块体单元i的形函数；
Figure FDA0002444806500000028
是块体单元i中任意一点P(x,y)处的速度向量，
Figure FDA0002444806500000029
是块体单元i的形心ci处的速度向量，(xi,yi)为块体单元i中任意一点P的位置坐标；
Figure FDA00024448065000000210
是块体单元i中形心ci的位置坐标；
相邻块体单元i、块体单元j以及两者的交界面k之间的变形必须满足变形协调条件，相邻块体单元i、块体单元j之间的结构面k形心存在速度间断向量表示为：
Figure FDA0002444806500000031
上式中：
Figure FDA0002444806500000032
是结构面k形心处的速度间断向量；Ni是块体单元i在结构面形心
Figure FDA0002444806500000033
处的形函数，
Figure FDA0002444806500000034
Nj是块体单元j在结构面形心
Figure FDA0002444806500000035
处的形函数，
Figure FDA0002444806500000036
是整体坐标到局部坐标的转换矩阵，l1、m1和l2、m2分别是局部坐标系(nk,sk)中nk轴和sk轴在总体坐标系(x,y)中的方向余弦；
Figure FDA0002444806500000037
是块体单元i中结构面k中点
Figure FDA0002444806500000038
的位置坐标；
Figure FDA0002444806500000039
是块体单元j中结构面k中点
Figure FDA00024448065000000310
的位置坐标；
Figure FDA00024448065000000311
是块体单元i中形心ci的位置坐标；
Figure FDA00024448065000000312
是块体单元j中形心cj的位置坐标；
结构面变形协调条件可用向量、矩阵简写为：
Figure FDA00024448065000000313
上式中：DK＝[-Ti Tj]；
Figure FDA00024448065000000314
Figure FDA00024448065000000315
是相邻两个块体单元i,j的形心处的速度向量，
Figure FDA00024448065000000316
是块体单元j的形心处的水平方向的速度，
Figure FDA00024448065000000317
是块体单元j的形心处的竖直方向的速度，
Figure FDA00024448065000000318
是块体单元j的形心处的转动速度；
②相邻块体单元滑移剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的屈服条件
两个相邻块体单元之间的结构面有三种破坏模式：(a)滑移剪切破坏(b)拉伸破坏(c)转动破坏，同时考虑块体单元的平动和转动力学效应，并建立结构面的剪切破坏、拉伸破坏以及转动破坏的屈服条件；
假设刚性块体单元之间不能承受拉力，即抗拉强度为σT＝0，在局部坐标系(nk,sk)中采用结构面k形心
Figure FDA00024448065000000319
上作用的内力向量
Figure FDA00024448065000000320
表示的同时满足剪切破坏、拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则写为：
Figure FDA00024448065000000321
上式中：nd是结构面数量，lk是结构面k的长度，c,
Figure FDA0002444806500000041
是结构面的凝聚力和内摩擦角，σT是结构面的抗拉强度，对于节理岩质边坡一般取岩体的抗拉强度为σT＝0，Nk是结构面k的法向力，规定以拉力为正，Vk是结构面k的剪力；
当节理岩质边坡的刚性块体单元发生转动破坏时，在倾倒破坏发生的临界时刻，发生相对转动的相邻块体单元之间结构面k的转动破坏准则表示为：
Figure FDA0002444806500000042
上式中：nd是结构面数量，lk是结构面k的长度,Nk是结构面k的法向力，规定以拉力为正,Mk是结构面k的弯矩；
综合结构面考虑拉伸破坏的修正Mohr-Coulomb屈服准则以及块体转动破坏准则，得到块体单元平动-转动破坏的广义屈服条件
Figure FDA0002444806500000043
具体表示如下:
Figure FDA0002444806500000044
上式中：k＝1,…,nd；
③结构面塑性流动约束条件
假定速度不连续位于两个相邻块体单元的公共边上，并假设结构面的厚度等于0，在结构面上沿法向、切向速度间断值以及转动角速度间断值必须符合关联流动准则；
结合屈服准则和关联流动法则
Figure FDA0002444806500000045
Figure FDA0002444806500000046
是塑性乘子，fk为结构面k的剪切、拉伸和转动破坏的广义屈服准则，可得到结构面k的广义速率间断分量如下：
Figure FDA0002444806500000047
上式用向量和矩阵简写为：
Figure FDA0002444806500000048
上式中：
Figure FDA0002444806500000049
是结构面k速度间断向量，其中
Figure FDA00024448065000000410
分别为法向速度、切向速度和转角速度的间断分量；
Figure FDA00024448065000000411
是结构面k的5个非负塑性乘子,
Figure FDA00024448065000000412
或
Figure FDA00024448065000000413
代表着结构面发生剪切塑性流动,
Figure FDA00024448065000000414
代表着结构面发生拉伸塑性流动，
Figure FDA00024448065000000415
或
Figure FDA00024448065000000416
代表着沿结构面两侧相邻的块体单元发生旋转塑性流动，
Figure FDA0002444806500000051
根据上限法理论相邻块体单元之间必须满足变形协调条件，同时，相邻块体单元之间需满足机动许可的关联流动准则，根据塑性理论的关联流动法则，由变形协调条件得到广义应变率分量应该等于由关联流动法则以及屈服条件得到广义塑性应变率分量，得到所有结构面的塑性流动约束条件：
Figure FDA0002444806500000052
Figure FDA0002444806500000053
是是结构面k的速度间断向量，δλk是结构面k的塑性乘子向量，同时要求塑性乘子为非负的附件约束条件：
Figure FDA0002444806500000054
(3)内功功率与外功功率相等条件
由虚功原理得知，岩质边坡的外力所做的虚功功率和边坡体内能的耗散功率相等，由于块体单元内部不会发生任何变形和破坏，因此块体单元内部的内功耗散等于0；内功的耗散仅仅产生于相邻块体单元之间的结构面上，根据关联流动法则以及广义屈服条件，岩体中沿结构面发生剪切破坏的内部耗散功率为：
Figure FDA0002444806500000055
上式中：nd为岩体中结构面的数量，lk为结构面的长度，c为结构面的凝聚力；
作用在岩质边坡上的外荷载包括：岩体自重、边界上的力荷载，这些荷载会在块体单元形心的速度上产生做功，块体单元自重在块体单元竖直方向速度
Figure FDA0002444806500000056
上的所做的外功为：
Figure FDA0002444806500000057
上式中：nb为岩体中块体单元的数量，Ai为块体单元的面积，γ为岩体的容重，
Figure FDA0002444806500000058
是块体单元竖直方向的速度；
块体单元边界上的力荷载可以等效移植到块体单元形心上形成外力的等效荷载力向量，其在块体形心速度上所做的外功为：
Figure FDA0002444806500000059
上式中：nf为岩体中边界上作用有外荷载的块体单元的数量，
Figure FDA00024448065000000510
为块体单元i形心上的速度向量，
Figure FDA00024448065000000511
为边界上块体单元i形心上作用的等效荷载力向量；
得到岩体的内功功率与外功功率相等条件：
Figure FDA00024448065000000512
假设
Figure FDA0002444806500000061
则有：
Figure FDA0002444806500000062
(4)速度边界条件
节理岩质边坡中的速率为零的边界b上的边界条件为：
Figure FDA0002444806500000063
上式中：nj为速度为0的块体边界界面的数量，
Figure FDA0002444806500000064
为块体边界b上的界面j的整体坐标到局部坐标的坐标转换矩阵，
Figure FDA0002444806500000065
是边界上速度为0的块体单元的速度向量：
Figure FDA0002444806500000066
上式中：αj为边界外法线方向与x方向的夹角，逆时针为正；
(5)同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法模型
集成目标函数式、以及约束条件，得到同时考虑平动和转动效应的节理岩质边坡承载力上限法线性数学规划模型：
Figure FDA0002444806500000067
采用迭代法求解强度储备系数K2；
(四)求解节理岩质边坡的极限承载力
采用单纯形法对步骤(三)中的上限法模型进行求解。
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