CN108763697B - 一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，本发明方法为：步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；步骤2、建立岩质边坡的极限状态函数；步骤3、使用刚性块体单元离散岩质边坡；步骤4、建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型；步骤5、使用蒙特卡洛法求解上限法线性规划模型，并计算岩块的失效概率。本发明以二维岩质边坡为研究对象，将塑性极限分析上限定理、刚性块体单元离散技术、线性规划方法和蒙特卡洛方法结合起来建立岩块失效概率计算的上限法数学规划模型；通过该模型可以有效地用于统计岩块的失效概率，并获得岩质边坡中所有岩块的失效概率和对应的失效模式。

Description

一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法

技术领域

本发明涉及一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，属于岩质边坡工程可靠度分析技术领域。

背景技术

在岩土工程领域进行岩质边坡的可靠度分析已经非常流行，但在此领域还存在一些不足，比如：(1)当前的岩质边坡可靠度分析中使用的边坡稳定性计算方法主要以刚体极限平衡法、有限单元法为主，然而刚体极限平衡法需要事先假设岩质边坡破坏的滑裂面、有限单元法需要模拟复杂的节理网络和本构关系，这些都影响了岩质边坡可靠度分析的准确性；(2)在岩质边坡的失效概率方面，主要是基于岩质边坡整体稳定的安全系数以计算边坡整体的失效概率为主；(3)由于参数的变异性，岩质边坡一般会存在多种的失效模式，当前研究成果对岩质边坡多种失效模式的研究存在不足；

鉴于此，本发明基于国家自然科学基金项目(51564026)进行研究工作。

发明内容

本发明提供了一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，以获得岩质边坡中岩块失效概率，为岩块失效概率的计算提供一种新的方法。

本发明的技术方案是：一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；

步骤2、建立岩质边坡的极限状态函数；

步骤3、使用刚性块体单元离散岩质边坡；

步骤4、建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型；

步骤5、使用蒙特卡洛法求解上限法线性规划模型，并计算岩块的失效概率。

所述岩质边坡的计算参数包括岩质边坡的几何参数、岩质边坡的地质参数、岩体材料的物理力学参数、结构面抗剪参数统计值、边坡的边界荷载信息。

所述岩质边坡的极限状态函数为：

式中：Z是岩质边坡的极限状态函数，λ_γ(t)是与第t个抗剪参数的蒙特卡洛随机量

相对应的第t个容重超载系数的随机量；

是与第t个抗剪参数随机变量

相关的极限容重随机量；c^r(t)是结构面凝聚力的第t个蒙特卡洛随机量；

是结构面摩擦角的第t个蒙特卡洛随机量；t＝(1,…,N)，N是抗剪参数的蒙特卡洛随机量的数量。

所述步骤3具体为：在总体坐标系(x,y)下，任意一个刚性块体单元i形心C_i处作用有速度向量u_i＝[u_i,v_i]^T，其中u_i是刚性块体单元i形心C_i处沿x方向的速度、v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，相邻两个刚性块体单元i和刚性块体单元j之间的结构面k的局部坐标系为(n_k,s_k)，使用刚性块体单元离散岩质边坡以后，岩质边坡变成刚性块体单元+结构面的几何系统；其中n_k沿结构面法线方向并与x轴正向的夹角为α_k，s_k沿结构面切线方向，n_k轴与s_k轴符合右手系法则。

所述步骤4包括：①建立结构面的塑性流动约束条件；②建立刚性块体单元的速度边界条件；③建立目标函数；④建立岩块的失效概率计算公式；⑤根据极限状态函数、①、②、③和④建立的函数建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型。

所述步骤4具体为：

①建立结构面的塑性流动约束条件为：

D_ku_ij-N_kλ_k＝0(1)

式中：

K₁是岩质边坡中所有结构面的数量；u_ij＝[u_i,v_i,u_j,v_j]^T，u_i是刚性块体单元i形心C_i处沿x方向的速度、v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，u_j是刚性块体单元j形心C_j处沿x方向的速度、v_j是刚性块体单元j形心C_j处沿y方向的速度；

是结构面k的摩擦角的第t个蒙特卡洛随机量；

分别是结构面k的两个非负塑性乘子，α_k是结构面k的局部坐标系的n_k轴与总体坐标系的x轴之间的夹角且满足逆时针为正；

②建立刚性块体单元的速度边界条件：

T^bu^b＝0(2)

式中：T^b是边界b的坐标转换矩阵；u^b是边界b的速度向量；b＝(1,…,K₃)，K₃是岩质边坡中边界速度等于0的边界单元的总数量；

③目标函数：

在考虑容重超载时，整个岩质边坡的外功功率等于内功功率的约束条件如下：

式中：K₁是岩质边坡中所有结构面的数量，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量，

是结构面k的凝聚力的第t个蒙特卡洛随机量，l_k是结构面k的长度，A_i是刚性块体单元i的面积，γ_a是岩质边坡当前实际的容重，v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，

分别是结构面k的两个非负塑性乘子；

假设

则式(3)等价于以下两式：

将容重超载系数作为目标函数，根据上限定理需要求解容重超载系数的最小值；结合式(4)，定义目标函数如下：

上式中：Minimize表示求“最小”；

④岩块的失效概率计算公式：

刚性块体单元i的失效功能函数如下：

式中：i＝(1,…,K₂)，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量；t＝(1,…,N)，N是抗剪参数的蒙特卡洛随机量的数量，u_i(t)是第t次蒙特卡洛计算的刚性块体单元i形心处的速度向量；λ_γ(t)是第t次蒙特卡洛计算的岩质边坡的容重超载系数的随机量，“or”表示逻辑运算“或者”，“and”表示逻辑运算“与”；

根据式(7)，岩质边坡中每个岩块的失效概率按下式计算：

式中：P_f,i是刚性块体单元i的失效概率；i＝(1,…,K₂)，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量；

⑤建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型：

所述步骤5具体为：

S1、使用蒙特卡洛方法生成结构面的N个凝聚力的蒙特卡洛随机量[c^r(t),(t＝1,…,N)]和内摩擦角的蒙特卡洛随机量

然后将c^r(t)、

从t＝1到t＝N循环，逐次代入求解岩块失效概率的上限法线性规划模型，使用“对偶单纯形法”求解线性规划问题，求解得到N个容重超载系数的随机变量[λ_γ(t),(t＝1,…,N)]和与之对应的刚性块体单元的速度场；

S2、根据容重超载系数的随机量[λ_γ(t),(t＝1,…,N)]和刚性块体单元的速度场，计算所有刚性块体单元的失效功能函数[I_i(t),i＝(1,…,K₂),t＝(1,…,N)]；

S3、根据所有刚性块体单元的失效功能函数[I_i(t),i＝(1,…,K₂),t＝(1,…,N)]计算每个刚性块体单元的失效概率[P_f,i,i＝(1,…,K₂)]，并统计分析岩质边坡的失效模式。

本发明的有益效果是：本发明以二维岩质边坡为研究对象，将塑性极限分析上限定理、刚性块体单元离散技术、线性规划方法和蒙特卡洛方法结合起来建立岩块失效概率计算的上限法数学规划模型；通过该模型可以有效地用于统计岩块的失效概率，并获得岩质边坡中所有岩块的失效概率和对应的失效模式。

附图说明

图1本发明的技术路线图；

图2刚性块体单元示意图；

图3相邻刚性块体单元之间的结构面示意图；

图4实施例1土岩质边坡的几何形状示意图(单位:m)；

图5实施例1岩质边坡刚性块体单元离散示意图；

图6实施例1岩质边坡失效模式1速度矢量图；

图7实施例1岩质边坡失效模式2速度矢量图。

具体实施方式

实施例1：如图1-7所示，一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；

步骤2、建立岩质边坡的极限状态函数；

步骤3、使用刚性块体单元离散岩质边坡；

步骤4、建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型；

步骤5、使用蒙特卡洛法求解上限法线性规划模型，并计算岩块的失效概率。

流程图如图1所示。

进一步地，可以设置所述方法步骤如下：

步骤一、拟定岩质边坡的基本信息：根据二维岩质边坡的工程资料，拟定进行计算分析的主要计算参数，包括：岩质边坡的几何参数(边坡的高度、坡顶宽度、坡面的坡角等)、岩质边坡的地质参数(结构面的倾角)、岩体材料的物理力学参数(岩体的容重等)、结构面抗剪参数统计值(结构面的凝聚力和摩擦角的均值、标准差、变异系数)、边坡的边界荷载信息。

二维岩质边坡如图4所示，岩质边坡的几何参数：边坡HD的高度30m、坡顶FD宽度17.7m、坡面AF的坡角50°；岩质边坡的地质参数：结构面AD的倾角35°、结构面BE的倾角90°、结构面CG的倾角75°；岩体材料的物理力学参数：岩体的容重27kN/m³；三条结构面的凝聚力的均值取65kPa、三条结构面的凝聚力变异系数取0.3，三条结构面的摩擦角的均值取34°、三条结构面摩擦角的变异系数取0.3；边坡无其他外荷载作用。

步骤二、建立岩质边坡的极限状态函数。

本发明使用容重超载的方式使岩质边坡达到极限状态，定义岩质边坡的容重超载系数如下：

上式中：λ_γ是边坡的容重超载系数；γ_a是岩质边坡当前实际的容重，γ_c是边坡达到极限状态时的极限容重。

为了求解岩质边坡容重超载系数的分布规律，本发明设岩质边坡的极限状态函数为：

上式中：Z是岩质边坡的极限状态函数，

是与抗剪参数随机变量

相关的容重超载系数的随机变量；

是与抗剪参数随机变量

相关的极限容重随机变量；c^r是结构面凝聚力的随机变量，

是结构面摩擦角的随机变量。

本发明将岩质边坡中结构面的凝聚力c^r和摩擦角

设为相互独立的随机变量，并假设两者均符合对数正态分布，并假设边坡其它的参数为确定值；然后根据结构面凝聚力和摩擦角的均值、变异系数、标准差，使用蒙特卡洛方法生成结构面的N个凝聚力的蒙特卡洛随机量[c^r(t),(t＝1,…,N)]和内摩擦角的蒙特卡洛随机量

则式(2)可写为：

上式中：λ_γ(t)是与第t个抗剪参数的蒙特卡洛随机量

相对应的第t个容重超载系数的随机量；

是与第t个抗剪参数随机变量

相关的极限容重随机量；c^r(t)是结构面凝聚力的第t个蒙特卡洛随机量；

是结构面摩擦角的第t个蒙特卡洛随机量；t＝(1,…,N)，N是抗剪参数的蒙特卡洛随机量的数量。

具体的，将岩质边坡中结构面的凝聚力和摩擦角设为相互独立的随机变量，并假设两者均符合对数正态分布，并设岩体容重为确定值；据结构面凝聚力和摩擦角的均值、变异系数、标准差，使用蒙特卡洛方法生成结构面的N＝10000个凝聚力的蒙特卡洛随机量[c^r(t),(t＝1,…,10000)]和内摩擦角的蒙特卡洛随机量

并根据式(3)建立岩质边坡的极限状态函数Z。

步骤三、使用刚性块体单元离散岩质边坡：岩质边坡由于受到结构面(节理、裂隙等)的切割而被分成若干岩块，岩质边坡的承载能力主要受控于结构面的几何分布和强度。本发明使用刚性块体单元来离散岩质边坡，任意一个刚性块体单元i如图2所示，在总体坐标系(x,y)下，刚性块体单元i形心C_i处作用有速度向量u_i＝[u_i,v_i]^T，其中u_i是刚性块体单元i形心C_i处沿x方向的速度、v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度。相邻两个刚性块体单元i和刚性块体单元j之间的结构面k如图3所示，定义结构面k的局部坐标系为(n_k,s_k)，其中n_k沿结构面法线方向并与x轴正向的夹角为α_k、s_k沿结构面切线方向，n_k轴与s_k轴符合右手系法则。使用刚性块体单元离散岩质边坡以后，岩质边坡变成刚性块体单元+结构面的几何系统。

使用刚性块体单元离散岩质边坡(如图5所示)，共计离散为4个刚性块体单元、5条结构面，刚性块体单元4为边界上速度等于0(固定不动)的单元，即K₁＝5、K₂＝4、K₃＝4。

步骤四、建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型。

1.结构面的塑性流动约束条件

相邻刚性块体单元i和刚性块体单元j之间的结构面k如图3所示，结构面k的变形必须满足变形协调条件，同时结构面k上的不连续的法向和切向速度间断值必须符合关联流动准则。经过推导，结构面k的塑性流动约束条件可为：

D_ku_ij-N_kλ_k＝0(4)

式中：

K₁是岩质边坡中所有结构面的数量；u_ij＝[u_i,v_i,u_j,v_j]^T，u_i是刚性块体单元i形心C_i处沿x方向的速度、v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，u_j是刚性块体单元j形心C_j处沿x方向的速度、v_j是刚性块体单元j形心C_j处沿y方向的速度；

是结构面k的摩擦角的第t个蒙特卡洛随机量；

分别是结构面k的两个非负塑性乘子，α_k是结构面k的局部坐标系的n_k轴与总体坐标系的x轴之间的夹角(逆时针为正)。

2.刚性块体单元的速度边界条件

根据上限定理，岩质边坡边界上的刚性块体单元应满足已知的速度边界条件，速度等于0的边界上的块体单元的速度边界条件为：

T^bu^b＝0(5)

式中：T^b是边界b的坐标转换矩阵；u^b是边界b的速度向量；b＝(1,…,K₃)，K₃是岩质边坡中边界速度等于0的边界单元的总数量。

3、目标函数

在考虑容重超载时，整个岩质边坡的外功功率等于内功功率的约束条件如下：

上式中：K₁是岩质边坡中所有结构面的数量，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量，

是结构面k的凝聚力的第t个蒙特卡洛随机量，l_k是结构面k的长度，A_i是刚性块体单元i的面积，γ_a是岩质边坡当前实际的容重，v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，

分别是结构面k的两个非负塑性乘子。

式(6)是一个非线性表达式，为了避免求解非线性数学规划问题，本发明假设

则式(6)等价于以下两式：

在建立上限法线性规划模型时，本发明将容重超载系数作为目标函数，根据上限定理需要求解容重超载系数的最小值。结合式(7)，定义目标函数如下：

上式中：Minimize表示求“最小”。

4.岩块的失效概率计算公式

根据上限法理论，当刚性块体单元形心处的速度大于0时，其相对于边界上速度为0的刚性块体单元会产生相对速度，此时刚性块体单元发生失效。因此，当刚性块体单元同时满足以下两个条件时岩块发生失效：(1)岩质边坡容重超载系数小于1.0；(2)刚性块体单元形心的速度大于0。本发明定义刚性块体单元i的失效功能函数如下：

上式中：i＝(1,…,K₂)，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量；t＝(1,…,N)，u_i(t)是第t次蒙特卡洛计算的刚性块体单元i形心处的速度向量；λ_γ(t)是第t次蒙特卡洛计算的岩质边坡的容重超载系数的随机量，“or”表示逻辑运算“或者”，“and”表示逻辑运算“与”。

根据式(10)，岩质边坡中每个岩块(刚性块体单元)的失效概率可按下式计算：

上式中：P_f,i是刚性块体单元i的失效概率(单位：％)；i＝(1,…,K₂)，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量。

5.求解岩块失效概率的上限法线性规划模型

根据极限状态函数式(3)，目标函数式(9)，约束条件式(4)、(5)、(8)，失效概率计算公式(10)、(11)，可得到求解岩块失效概率的上限法线性规划模型如下：

根据式(12)建立实施例1的求解岩块失效概率的上限法线性规划模型。

步骤五、使用蒙特卡洛法求解实施例上限法线性规划模型，并计算岩块的失效概率：

S1、使用蒙特卡洛方法生成结构面的N个凝聚力的蒙特卡洛随机量[c^r(t),(t＝1,…,N)]和内摩擦角的蒙特卡洛随机量

然后将c^r(t)、

从t＝1到t＝N循环，逐次代入求解岩块失效概率的上限法线性规划模型，使用“对偶单纯形法”求解线性规划问题，求解得到N个容重超载系数的随机变量[λ_γ(t),(t＝1,…,N)]和与之对应的刚性块体单元的速度场；

S2、根据容重超载系数的随机量[λ_γ(t),(t＝1,…,N)]和刚性块体单元的速度场，计算所有刚性块体单元的失效功能函数[I_i(t),i＝(1,…,K₂),t＝(1,…,N)]；

S3、根据所有刚性块体单元的失效功能函数[I_i(t),i＝(1,…,K₂),t＝(1,…,N)]计算每个刚性块体单元的失效概率[P_f,i,i＝(1,…,K₂)]，并统计分析岩质边坡的失效模式。

计算结果是：岩块1的失效概率是9.07％、岩块2和岩块3的失效概率均是0.45％、岩块4的失效概率0.00％；在10000次蒙特卡洛模拟计算的结果中，经过统计分析此岩质边坡存在两种失效模式(分别如图6、图7所示)，失效模式1中只有岩块1发生失效，失效次数为862次；失效模式2中岩块1、岩块2、岩块3同时发生失效，失效次数为45次；

表1实施例1岩质边坡的岩块失效概率统计表

上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (3)

1.一种岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，其特征在于：所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定岩质边坡的计算参数；

步骤2、建立岩质边坡的极限状态函数；

步骤3、使用刚性块体单元离散岩质边坡；

步骤4、建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型；

步骤5、使用蒙特卡洛法求解上限法线性规划模型，并计算岩块的失效概率；

所述岩质边坡的极限状态函数为：

式中：Z是岩质边坡的极限状态函数，λ_γ(t)是与第t个抗剪参数的蒙特卡洛随机量

相对应的第t个容重超载系数的随机量；

是与第t个抗剪参数随机变量

相关的极限容重随机量；c^r(t)是结构面凝聚力的第t个蒙特卡洛随机量；

是结构面摩擦角的第t个蒙特卡洛随机量；t＝(1,…,N)，N是抗剪参数的蒙特卡洛随机量的数量；

所述步骤4包括：①建立结构面的塑性流动约束条件；②建立刚性块体单元的速度边界条件；③建立目标函数；④建立岩块的失效概率计算公式；⑤根据极限状态函数、①、②、③和④建立的函数建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型；

所述步骤4具体为：

①建立结构面的塑性流动约束条件为：

D_ku_ij-N_kλ_k＝0 (1)

式中：

k＝(1,…,K₁)，K₁是岩质边坡中所有结构面的数量；u_ij＝[u_i,v_i,u_j,v_j]^T，u_i是刚性块体单元i形心C_i处沿x方向的速度、v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，u_j是刚性块体单元j形心C_j处沿x方向的速度、v_j是刚性块体单元j形心C_j处沿y方向的速度；

是结构面k的摩擦角的第t个蒙特卡洛随机量；

分别是结构面k的两个非负塑性乘子，α_k是结构面k的局部坐标系的n_k轴与总体坐标系的x轴之间的夹角且满足逆时针为正；

②建立刚性块体单元的速度边界条件：

T^bu^b＝0 (2)

式中：T^b是边界b的坐标转换矩阵；u^b是边界b的速度向量；b＝(1,…,K₃)，K₃是岩质边坡中边界速度等于0的边界单元的总数量；

③目标函数：

在考虑容重超载时，整个岩质边坡的外功功率等于内功功率的约束条件如下：

式中：K₁是岩质边坡中所有结构面的数量，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量，

是结构面k的凝聚力的第t个蒙特卡洛随机量，l_k是结构面k的长度，A_i是刚性块体单元i的面积，γ_a是岩质边坡当前实际的容重，v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，

分别是结构面k的两个非负塑性乘子；

假设

则式(3)等价于以下两式：

将容重超载系数作为目标函数，根据上限定理需要求解容重超载系数的最小值；结合式(4)，定义目标函数如下：

上式中：Minimize表示求“最小”；

④岩块的失效概率计算公式：

刚性块体单元i的失效功能函数如下：

式中：i＝(1,…,K₂)，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量；t＝(1,…,N)，N是抗剪参数的蒙特卡洛随机量的数量，u_i(t)是第t次蒙特卡洛计算的刚性块体单元i形心处的速度向量；λ_γ(t)是第t次蒙特卡洛计算的岩质边坡的容重超载系数的随机量，“or”表示逻辑运算“或者”，“and”表示逻辑运算“与”；

根据式(7)，岩质边坡中每个岩块的失效概率按下式计算：

式中：P_f,i是刚性块体单元i的失效概率；i＝(1,…,K₂)，K₂是岩质边坡中所有刚性块体单元的数量；

⑤建立求解岩块失效概率的上限法线性规划模型：

所述步骤5具体为：

S1、使用蒙特卡洛方法生成结构面的N个凝聚力的蒙特卡洛随机量c^r(t)和内摩擦角的蒙特卡洛随机量

然后将c^r(t)、

从t＝1到t＝N循环，逐次代入求解岩块失效概率的上限法线性规划模型，使用“对偶单纯形法”求解线性规划问题，求解得到N个容重超载系数的随机变量λ_γ(t)和与之对应的刚性块体单元的速度场；

S2、根据容重超载系数的随机量λ_γ(t)和刚性块体单元的速度场，计算所有刚性块体单元的失效功能函数I_i(t)；

S3、根据所有刚性块体单元的失效功能函数I_i(t)计算每个刚性块体单元的失效概率P_f,i，并统计分析岩质边坡的失效模式。

2.根据权利要求1所述的岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，其特征在于：所述岩质边坡的计算参数包括岩质边坡的几何参数、岩质边坡的地质参数、岩体材料的物理力学参数、结构面抗剪参数统计值、边坡的边界荷载信息。

3.根据权利要求1所述的岩质边坡中岩块失效概率的计算方法，其特征在于：所述步骤3具体为：在总体坐标系(x,y)下，任意一个刚性块体单元i形心C_i处作用有速度向量u_i＝[u_i,v_i]^T，其中u_i是刚性块体单元i形心C_i处沿x方向的速度、v_i是刚性块体单元i形心C_i处沿y方向的速度，相邻两个刚性块体单元i和刚性块体单元j之间的结构面k的局部坐标系为(n_k,s_k)，使用刚性块体单元离散岩质边坡以后，岩质边坡变成刚性块体单元+结构面的几何系统；其中n_k沿结构面法线方向并与x轴正向的夹角为α_k，s_k沿结构面切线方向，n_k轴与s_k轴符合右手系法则。

Images