CN109753701B - 一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，本发明方法为：步骤1、拟定土质边坡的计算参数；步骤2、建立土质边坡可靠度计算的极限状态函数；步骤3、生成土质边坡地下水水位的随机数；步骤4、生成土质边坡土体材料凝聚力、摩擦角的随机数；步骤5、使用有限单元离散土质边坡，得到有限单元网格；步骤6、进行土质边坡的随机渗流场计算；步骤7、建立土质边坡可靠度分析下限法线性规划模型；步骤8、求解土质边坡下限法线性规划模型；步骤9、统计土质边坡的可靠度指标。本发明可以获得土质边坡可靠度指标随地下水位随机变化的规律，并获得土质边坡的失效概率。

Description

一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法

技术领域

本发明涉及一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，属于边坡工程稳定性分析计算领域。

背景技术

土质边坡的稳定性问题是一个涉及人民生命、财产安全的重要问题。现阶段土质边坡的稳定性分析方法主要包括：确定性分析方法和可靠度分析方法，随着计算理论和计算机技术的巨大进步，土质边坡可靠度分析方法越来越受到重视。土质边坡的失稳破坏主要与两个因素息息相关，一是土体材料抗剪参数的不确定性，即土体材料凝聚力、内摩擦角均存在变异性；另一个是地下水位的随机变化，地下水位的随机变化导致土质边坡的渗流场是随机分布的，进而土质边坡内部各个点的孔隙水压力也是随机变化的。土质边坡的稳定性是一个与土体材料凝聚力、摩擦角和孔隙水压力变异性相关的随机问题。鉴于此，本发明基于国家自然科学基金项目(51564026)进行研究工作，提出一种能够同时考虑土质边坡地下水位随机变化和抗剪参数变异性的土质边坡可靠度分析方法。

发明内容

本发明提供了一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，以获得土质边坡的可靠度指标，为土质边坡可靠度分析提供一种新的计算方法。

本发明的技术方案是：一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定土质边坡的计算参数；

步骤2、建立土质边坡可靠度计算的极限状态函数；

步骤3、生成土质边坡地下水水位的随机数；

步骤4、生成土质边坡土体材料凝聚力、摩擦角的随机数；

步骤5、使用有限单元离散土质边坡，得到有限单元网格；

步骤6、进行土质边坡的随机渗流场计算；

步骤7、建立土质边坡可靠度分析下限法线性规划模型；

步骤8、求解土质边坡下限法线性规划模型；

步骤9、统计土质边坡的可靠度指标。

所述土质边坡的计算参数包括土质边坡的几何参数，土质边坡的地层条件，土质边坡土体材料的凝聚力、摩擦角、容重和渗透系数，土质边坡地下水水位的信息。

所述土质边坡可靠度计算的极限状态函数为：

式中：Z是土质边坡的极限状态函数，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量，k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地水水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

是与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角随机数

相关的极限容重随机数；γ_a是土质边坡土体材料实际的容重，c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数，

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数。

所述步骤3具体为：土质边坡的地下水水位在最高地下水水位与最低地下水水位之间随机变化，假设土质边坡地下水水位的变化规律符合截尾正态分布，土质边坡地下水水位的随机数按下式生成：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的总数量，H_w(t_w)是土质边坡地下水水位的第t_w个随机数，μ_w是土质边坡地下水水位的均值，σ_w是土质边坡地下水水位的标准差，Random是正态分布随机数生成函数，Normal表示随机数符合正态分布；H_lb是土质边坡地下水水位的下界，H_ub是土质边坡地下水水位的上界。

所述步骤4包括：

①假设土质边坡土体材料的凝聚力和摩擦角符合对数正态分布；

②确定土质边坡材料的凝聚力、摩擦角的均值、标准差；

③土质边坡土体材料凝聚力的随机量和摩擦角的随机量的随机数按下式生成：

式中：t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量，c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数，

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数，μ_c是土质边坡土体材料凝聚力的均值，

是土质边坡土体材料摩擦角的均值，σ_c是土质边坡土体材料凝聚力的标准差，

是土质边坡土体材料摩擦角的标准差，Random是正态分布随机数生成函数，lognormal表示随机数符合对数正态分布。

所述步骤5具体为：使用三角形三结点线性有限单元离散土质边坡，在总体坐标系(x,y)下，任意一个有限单元e中有三个结点，第e个单元的第i个结点具有x向有效正应力

y向有效正应力

和切应力

同时，第e个单元的第i个结点作用有孔隙水压力

其中，i＝1,…,3。

所述步骤6具体为：包括：

①基于步骤5得到的有限单元网格，根据稳定渗流理论进行土质边坡的随机渗流场计算，二维稳定渗流公式如下：

式中：k_x是土体材料x方向的渗透系数，k_y是土体材料y方向的渗透系数，H^r是土质边坡内各点的随机水头函数；

②将土质边坡地下水水位随机数H_w(t_w)作为已知边界条件带入上式，求解上式可获得所有有限单元结点的孔隙水压力值：

其中：t_w＝(1,…,W_n)，e＝(1,…,N_e)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量，N_e是土质边坡中有限单元的数量；

是第t_w地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点1的孔隙水压力值，

是第t_w个地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点2的孔隙水压力值，

是第t_w个地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点3的孔隙水压力值。

所述步骤7以有限单元结点的应力为决策变量建立求解土质边坡可靠的的下限法线性规划模型，具体为：①建立土质边坡有限单元的平衡方程；②建立土质边坡有限单元公共边的应力连续条件；③建立土质边坡有限单元的屈服条件；④建立土质边坡有限单元的静力边界条件；⑤建立目标函数；⑥根据土质边坡的极限状态函数、①、②、③、④和⑤建立的函数建立求解土质边坡可靠的下限法线性规划模型；

具体为：

①建立土质边坡有限单元的平衡方程为：

式中：e＝(1,…,N_e)，N_e是土质边坡中有限单元的数量；t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量；k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

是分别是线性三角形有限单元e的6个形函数系数；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点沿x方向的有效正应力；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点沿y方向的有效正应力；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点的切应力；

分别是第t_w个地下水水位作用下有限单元e的第1、2、3个结点的孔隙水压力；A^e是有限单元e的面积；γ^e是有限单元e的容重；

②建立土质边坡有限单元公共边的应力连续条件：

式中：d＝(1,…,N_d)，N_d是土质边坡中有限单元公共边的数量；

θ_d是公共边的倾角，逆时针为正；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点沿x方向的有效正应力；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点沿y方向的有效正应力；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点的切应力；

③建立土质边坡有限单元的屈服条件：

式中：n＝(1,…,N_n)，N_n是土质边坡中有限单元结点的总数量；σⁿ＝[σ'_xn,σ'_yn,τ_xyn]^T；

M_p土体材料摩尔库伦屈服条件线性化正多边形的边数；σ'_xn是第n个结点沿x方向的有效正应力；σ'_yn是第n个结点沿y方向的有效正应力；τ_xyn是第n个结点的切应力；

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数；c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数；

④建立土质边坡有限单元的静力边界条件：

式中：b＝(1,…,N_b)，N_b是土质边坡中边界上的有限单元的数量；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的沿x方向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的沿x方向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的切应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点已知的沿法向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点已知的沿切向的切应力；

分别是第t_w个地下水水水位作用下边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的孔隙水压力；θ_b是边界单元b靠边界上的第1、2个结点连线的倾角；

⑤目标函数：

在考虑土体的容重超载时，下限法目标函数为：

Maximize:k_γ(t_w,t_m)

式中：Maximize表示求“最大”；k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

⑥建立求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型：

式中：Z是土质边坡的极限状态函数。

所述步骤8具体为：

S1、将土质边坡地下水水位随机数H_w(t_w)从t_w＝1到t_w＝W_n循环带入渗流场计算公式，逐次计算土质边坡的W_n个渗流场，获得土质边坡中每个有限单元结点的孔隙水压力值：

其中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量；e＝(1,…,N_e)，N_e是土质边坡中有限单元的数量；

S2、将

从t_w＝1到t_w＝W_n循环，逐次将W_n个渗流场的所有有限单元结点孔隙水压力值代入求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型；

S3、在t_w＝1到t_w＝W_n的每次循环中将c^r(t_m)、

从t_m＝1到t_m＝N循环，将N个土体材料的凝聚力和摩擦角的随机数代入求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型，使用“单纯形”优化算法求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型，求解得到W_n×N个容重超载系数的随机数[k_γ(t_w,t_m),(t_w＝1,…,W_n),t_m＝(1,…,N)]和对应的有限单元的正应力和切应力；同时，在t_w＝1到t_w＝W_n的每次循环中使用“二分法”迭代求解土质边坡的W_n×N个强度储备系数[k_m(t_w,t_m),(t_w＝1,…,W_n),t_m＝(1,…,N)]和与每个强度储备系数对应的有限单元的正应力和切应力。

所述步骤9具体为：

①、计算第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡N个强度储备系数的均值：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量；

是第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡的N个强度储备系数的平均值；

②、计算第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡N个强度储备系数的标准差：

式中：

是第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡N个强度储备系数的标准差；

③、计算土质边坡W_n×N个强度储备系数的均值：

式中：μ_km是土质边坡W_n×N个强度储备系数的平均值；

④、计算土质边坡在所有随机地下水水位作用下的W_n×N个强度储备系数的标准差：

式中：σ_km是W_n×N个强度储备系数的标准差；

⑤、计算土质边坡的失效概率

土质边坡的失效功能函数如下：

式中：I(t_w,t_m)是土质边坡的失效功能函数，k_m(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的强度储备系数的随机数；

土质边坡的失效概率按下式计算：

式中：P_f是土质边坡的失效概率。

本发明的有益效果是：本发明以土质边坡为研究对象，考虑土质边坡地下水位的随机变化，将塑性极限分析下限定理、有限元离散技术、线性规划方法结合起来，以有限元结点的应力为决策变量建立土质边坡可靠度计算的下限法数学规划模型；通过该模型可以获得土质边坡可靠度指标随地下水位随机变化的规律，并获得土质边坡的失效概率。

附图说明

图1本发明的技术路线图；

图2有限单元示意图(标注三角形有限单元速度模式和孔隙水压力)；

图3有限单元示意图(标注三角形有限单元不共节点模式)；

图4下限法相邻有限单元之间的公共边示意图；

图5实施例1土质边坡的几何形状示意图(单位:m)；

图6实施例1土质边坡随机地下水位直方图(单位:m)；

图7实施例1土质边坡土体材料凝聚力随随机数分布图(单位:kPa)；

图8实施例1土质边坡土体材料摩擦角随随机数分布图(单位:°)；

图9实施例1土质边坡有限单元离散示意图；

图10实施例1土质边坡稳定渗流场孔隙水压力等值线(t_w＝30)(单位:kPa)；

图11实施例1土质边坡t_w＝1时土质边坡强度储备系数的直方图；

图12实施例1土质边坡t_w＝30时土质边坡强度储备系数的直方图；

图13实施例1土质边坡t_w＝50时土质边坡强度储备系数的直方图；

图14实施例1土质边坡在50个地下水位作用下的50×1000个强度储备系数的直方图；

图15实施例1土质边坡t_w＝1～50时边坡强度储备系数概率密度分布图；

图16实施例1土质边坡t_w＝5、t_m＝293时总应力的第一主应力等值线(单位:kPa)；

图17实施例1土质边坡t_w＝5、t_m＝293时总应力的第三主应力等值线(单位:kPa)；

图18实施例1土质边坡强度储备系数的均值随地下水位的变化关系图；

图19实施例1土质边坡强度储备系数的标准差随地下水位的变化关系图；

图20实施例1土质边坡失效概率随地下水位的变化关系图。

具体实施方式

实施例1：如图1-20所示，一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定土质边坡的计算参数；

步骤2、建立土质边坡可靠度计算的极限状态函数；

步骤3、生成土质边坡地下水水位的随机数；

步骤4、生成土质边坡土体材料凝聚力、摩擦角的随机数；

步骤5、使用有限单元离散土质边坡，得到有限单元网格；

步骤6、进行土质边坡的随机渗流场计算；

步骤7、建立土质边坡可靠度分析下限法线性规划模型；

步骤8、求解土质边坡下限法线性规划模型；

步骤9、统计土质边坡的可靠度指标。

流程图如图1所示。

进一步地，可以设置所述方法具体步骤如下：

步骤一、拟定土质边坡的计算参数：根据实施例土质边坡的时间情况确定计算参数，包括：确定土质边坡的几何参数，地层条件，土质边坡土体材料的凝聚力、摩擦角、容重和渗透系数，土质边坡地下水水位的信息。

土质边坡的剖面图如图5所示，具体参数如下：地层条件：土质边坡为均质边坡，土体材料为粘土；边坡几何参数：土质边坡顶宽20.0m、边坡高度10.0m、坡角为45°；土体材料的凝聚力取50.00kPa、摩擦角取10°、容重取18.0kN/m³；土体的渗透系数取7e-8m/s；地下水水位信息：土质边坡地下水位的最低水位是10.0m、地下水位的最高水位是20.0m，即地下水位H_w在10m至20m之间随机变化。

步骤二、建立土质边坡可靠度计算的极限状态函数。

土质边坡可靠度计算的极限状态函数为：

式中：Z是土质边坡的极限状态函数，t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量，t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡材料凝聚力/摩擦角随机数的数量，k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地水位作用下与第t_m个土体材料的凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

是与第t_m个土体材料的凝聚力、摩擦角随机数

相关的极限容重随机数；γ_a是边坡土体材料实际的容重，c^r(t_m)是边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数，

是边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数。

本发明定义土质边坡的强度储备系数如下：

式中：k_m(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个抗剪参数的随机数

相关的强度储备系数的随机数；c'r(t_m)是边坡土体材料的凝聚力进行强度折减以后的第t_m个随机数；

是边坡土体材料的摩擦角进行强度折减以后的第t_m个随机数。

具体的，将土质边坡土体材料的容重设为确定值；将土体材料的凝聚力和摩擦角设为相互独立的随机变量，并假设两者均符合对数正态分布；同时设边坡地下水位为随机变量，并符合正态分布；取边坡地下水位随机数的数量W_n＝50，取土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量N＝1000，并根据式(1)建立土质边坡可靠度计算的极限状态函数Z。

步骤三、生成土质边坡地下水位的随机数。

土质边坡在地下水位的最低水位至最高水位之间随机变化，本发明假设边坡地下水位符合截尾正态分布，边坡地下水位的随机数按下式生成：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是地下水水位随机数的总数量，H_w(t_w)是土质边坡地下水位的第t_w个随机数，μ_w是土质边坡地下水位的均值，σ_w是土质边坡地下水位的标准差，Random是正态分布随机数生成函数，Normal表示随机数符合正态分布；H_lb是土质边坡地下水位的下界，可以取边坡地下水位的最低水位；H_ub是土质边坡地下水位的上界，可以取边坡地下水位的最高水位。

具体的，取边坡地下水位的下界H_lb＝10.0m，取边坡地下水位的上界H_ub＝20.0m，取边坡地下水位随机数的数量W_n＝50，取边坡地下水位的均值μ_w＝16，取边坡地下水位的标准差σ_w＝1.79，并根据式(3)生成边坡地下水位的50个随机数，这50个边坡地下水位随机数的直方图如图6所示。

步骤四、生成土质边坡材料的抗剪强度参数的随机数。

包括：①假设土质边坡土体材料的凝聚力和摩擦角符合对数正态分布，②确定土质边坡材料的凝聚力、摩擦角的均值、标准差；③土质边坡材料凝聚力的随机量和摩擦角的随机量的随机数按下式生成：

式中：t_m＝(1,…,N),N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量，c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数，

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数，μ_c是土质边坡土体材料凝聚力的均值，

是土质边坡土体材料摩擦角的均值，σ_c是土质边坡土体材料凝聚力的标准差，

是土质边坡土体材料摩擦角的标准差，Random是正态分布随机数生成函数，lognormal表示随机数符合对数正态分布。

具体的，设土质边坡土体材料的凝聚力、摩擦角符合对数正态分布；取土体的凝聚力的均值是50.00kPa、凝聚力的标准差是15.0，取土体的摩擦角的均值是10°、摩擦角的标准差是3.0；取土体材料的容重为18.0kN/m³，并设容重为确定值；取土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量N＝1000；并根据式(4)分别生成土体的凝聚力、摩擦角的1000个随机数。实施例1土质边坡土体材料凝聚力随随机数分布如图7所示；实施例1土质边坡土体材料摩擦角随随机数分布如图8所示。

步骤五、使用有限单元离散土质边坡。

使用三角形三结点线性有限单元离散土质边坡，有限单元如图2、3所示，在总体坐标系(x,y)下，任意一个有限单元e中有三个结点，第e个单元的第i(i＝1,…,3)个结点具有x向有效正应力

y向有效正应力

和切应力

同时，第e个单元的第i(i＝1,…,3)个结点作用有孔隙水压力

两个相邻有限单元的公共边如图4所示，公共边上有编号为①、②、③、④的4个结点。

具体的，使用有限单元离散实施例土质边坡，土质边坡的有限元网格如图9所示，共离散得到的有限单元N_e＝506个、有限单元之间公共边N_d＝720条、有限单元之间结点N_n＝1518条，每个有限单元结点具有x向有效正应力、y向有效正应力和切应力。

步骤六、进行土质边坡的随机渗流场计算。

包括：①基于步骤5得到的有限单元网格，根据稳定渗流理论进行土质边坡的随机渗流场计算，二维稳定渗流公式如下：

式中:k_x是土体材料x方向的渗透系数，k_y是土体材料y方向的渗透系数，H^r是土质边坡内各点的随机水头函数。

②将土质边坡地水水水位随机数H_w(t_w),t_w＝(1,…,W_n)作为已知边界条件带入上式，求解上式可获得所有有限单元结点的孔隙水压力值：

其中：t_w＝(1,…,W_n)，e＝(1,…,N_e)，W_n是土质边坡地水位随机数的数量，N_e是土质边坡中有限单元的数量；

是第t_w地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点1的孔隙水压力值，

是第t_w个地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点2的孔隙水压力值，

是第t_w个地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点3的孔隙水压力值。

具体的，将步骤三得到的50个地下水位随机数带入式(5)，可获得土质边坡的50个稳定渗流场，并获得50个渗流场的506个有限单元结点的孔隙水压力值：

t_w＝(1,…,50),e＝(1,…,506)。图10是实施例1土质边坡第35个稳定渗流场的有限元结点孔隙水压力等值线(t_w＝35)。

步骤七、建立土质边坡可靠度度分析下限法线性规划模型。

该模型以有限单元结点的x向的有效正应力、y向的有效正应力以及切应力为决策变量，主要步骤包括：①建立土质边坡有限单元的平衡方程；②建立土质边坡有限单元公共边的应力连续条件；③建立土质边坡有限单元的屈服条件；④建立土质边坡有限单元的静力边界条件；⑤建立目标函数；⑥根据土质边坡的极限状态函数、①、②、③、④和⑤建立的函数建立求解土质边坡可靠的下限法线性规划模型。

①至⑥的步骤具体为：

①建立土质边坡有限单元的平衡方程为：

式中：e＝(1,…,N_e)，N_e是土质边坡中有限单元的数量；t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地水位随机数的数量；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量；k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地下水位作用下与第t_m个抗剪参数的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

是分别是线性三角形有限单元e的6个形函数系数；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点沿x方向的有效正应力；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点沿y方向的有效正应力；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点的切应力；

分别是第t_w个地下水位作用下有限单元e的第1、2、3个结点的孔隙水压力；A^e是有限单元e的面积；γ^e是有限单元e的容重。

②建立土质边坡有限单元公共边的应力连续条件：

式中：d＝(1,…,N_d)，N_d是土质边坡中有限单元公共边的数量；

θ_d是公共边的倾角，逆时针为正；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点沿x方向的有效正应力；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点沿y方向的有效正应力；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点的切应力。

③建立土质边坡有限单元的屈服条件：

式中：n＝(1,…,N_n)，N_n是土质边坡中有限单元结点的总数量；σⁿ＝[σ'_xn,σ'_yn,τ_xyn]^T；

C_k＝2sin(2kπ/M_p)；

M_p土体材料摩尔库伦屈服条件线性化正多边形的边数；σ'_xn是第n个结点沿x方向的有效正应力；σ'_yn是第n个结点沿y方向的有效正应力；τ_xyn是第n个结点的切应力；

是土质边坡材料摩擦角的第t_m个随机数；c^r(t_m)是土质边坡材料凝聚力的第t_m个随机数；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量。

④建立土质边坡有限单元的静力边界条件：

式中：b＝(1,…,N_b)，N_b是土质边坡中边界上的有限单元的数量；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的沿x方向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的沿x方向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的切应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点已知的沿法向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点已知的沿切向的切应力；

分别是第t_w个地下水位作用下边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的孔隙水压力；θ_b是边界单元b靠边界上的第1、2个结点连线的倾角。

⑤目标函数：

在考虑土体的容重超载时，下限法目标函数为：

Maximize:k_γ(t_w,t_m) (9)

式中：Maximize表示求“最大”；k_m(t_w,t_m)是第t_w个地下水位作用下与第t_m个抗剪参数的随机数

相关的强度储备系数的随机数，t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地水位随机数的数量；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量。

⑥建立求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型：

步骤八、求解土质边坡下限法线性规划模型。

具体步骤为：

Step1、将H_w(t_w)从t_w＝1到t_w＝W_n循环带入渗流场计算公式，逐次计算土质边坡的W_n个渗流场，获得土质边坡中每个有限单元结点的孔隙水压力值：

其中：t_w＝(1,…,W_n)，e＝(1,…,N_e)；

Step 2、将

从t_w＝1到t_w＝W_n循环，逐次将W_n个渗流场的所有有限元结点孔隙水压力值代入求解土质边坡可靠的下限法线性规划模型；

Step 3、在t_w＝1到t_w＝W_n的每次循环中将c^r(t_m)、

从t_m＝1到t_m＝N循环，将N个土体材料的凝聚力和摩擦角的随机数带入求解土质边坡可靠的下限法线性规划模型，使用“单纯形”优化算法求解下限法线性规划问题，求解得到W_n×N个容重超载系数的随机数[k_γ(t_w,t_m),(t_w＝1,…,W_n),t_m＝(1,…,N)]和对应的有限单元的正应力和切应力；同时，在t_w＝1到t_w＝W_n的每次循环中使用“二分法”迭代求解土质边坡的W_n×N个强度储备系数[k_m(t_w,t_m),(t_w＝1,…,W_n),t_m＝(1,…,N)]和与每个强度储备系数对应的有限单元的正应力和切应力。

计算结果是：获得了土质边坡50×1000＝50000个强度储备系数和对应有限单元的正应力和切应力。

实施例1土质边坡t_w＝1时土质边坡强度储备系数的直方图如图11所示；实施例1土质边坡t_w＝30时土质边坡强度储备系数的直方图如图12所示；实施例1土质边坡t_w＝50时土质边坡强度储备系数的直方图如图13所示；实施例1土质边坡在50个水头作用下土质边坡50×1000个强度储备系数的直方图如图14所示；实施例1土质边坡t_w＝1～50时土质边坡强度储备系数概率密度分布图如图15所示。实施例1土质边坡t_w＝5、t_m＝293时土质边坡的第一主应力等值线如图16所示；实施例1土质边坡t_w＝5、t_m＝293时土质边坡的第三主应力等值线如图17所示。

步骤九、统计土质边坡的可靠度指标。

具体计算方法如下：

①、计算第t_w个随机地下水位作用下土质边坡N个强度储备系数的均值：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地水位随机数的数量；

是第t_w个随机地下水位作用下土质边坡的N个强度储备系数的平均值。

②、计算第t_w个随机地下水位作用下土质边坡N个强度储备系数的标准差：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地水位随机数的数量；

是第t_w个随机地下水位作用下土质边坡N个强度储备系数的标准差。

③、计算土质边坡W_n×N个强度储备系数的均值：

式中：W_n是土质边坡地水位随机数的数量，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量，μ_km是土质边坡W_n×N个强度储备系数的平均值。

④、计算土质边坡在所有随机地下水位作用下的W_n×N个强度储备系数的标准差：

式中：W_n是土质边坡地水位随机数的数量，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量，σ_km是W_n×N个强度储备系数的标准差。

⑤、计算土质边坡的失效概率。当土质边坡的强度储备系数土质边坡的失效功能函数如下：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，t_m＝(1,…,N)，W_n是土质边坡地水位随机数的数量，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量；I(t_w,t_m)是土质边坡的失效功能函数，k_m(t_w,t_m)是第t_w个地下水位作用下与第t_m个抗剪参数的随机数

相关的强度储备系数的随机数，“if”是条件判断语句。

土质边坡的失效概率按下式计算：

式中：W_n是土质边坡地水位随机数的数量，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量，P_f是土质边坡的失效概率。

⑥、根据计算结果绘制土质边坡强度储备系数的直方图、概率密度曲线和累积概率密度曲线，以及绘制强度储备系数的均值和标准差、边坡失效概率随地下水位变化的关系图，绘制边坡的应力等值线。

计算结果是：实施例1土质边坡的50个地下水位作用下强度储备系数的均值

标准差

如表1所示；实施例1土质边坡的W_n×N个强度储备系数的均值μ_km标准差σ_km如表2所示；均值

随地下水位变化如图18所示，标准差

随水库上游库水位随机水头变化如图19所示；土质边坡的失效概率如表2所示，失效概率随地下水位的变化关系如图20所示。

土质边坡W_n×N个强度储备系数的均值是1.867、标准差是0.480，土质边坡的失效概率是0.928％。

表1第t_w个地下水位作用下土质边坡N个强度储备系数的均值、标准差统计表

表2土质边坡W_n×N个强度储备系数的均值、标准差和失效概率统计表

项目	计算结果
		均值μ<sub>km</sub>	1.867
标准差σ<sub>km</sub>	0.480
		失效概率P<sub>f</sub>(％)	0.928

上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (9)

1.一种随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述方法具体步骤如下：

步骤1、拟定土质边坡的计算参数；

步骤2、建立土质边坡可靠度计算的极限状态函数；

步骤3、生成土质边坡地下水水位的随机数；

步骤4、生成土质边坡土体材料凝聚力、摩擦角的随机数；

步骤5、使用有限单元离散土质边坡，得到有限单元网格；

步骤6、进行土质边坡的随机渗流场计算；

步骤7、建立土质边坡可靠度分析下限法线性规划模型；

步骤8、求解土质边坡可靠度分析下限法线性规划模型；

步骤9、统计土质边坡的可靠度指标；

所述步骤7以有限单元结点的应力为决策变量建立求解土质边坡可靠的的下限法线性规划模型，具体为：①建立土质边坡有限单元的平衡方程；②建立土质边坡有限单元公共边的应力连续条件；③建立土质边坡有限单元的屈服条件；④建立土质边坡有限单元的静力边界条件；⑤建立目标函数；⑥根据土质边坡的极限状态函数、①、②、③、④和⑤建立的函数建立求解土质边坡可靠的下限法线性规划模型；

具体为：

①建立土质边坡有限单元的平衡方程为：

式中：e＝(1,…,N_e)，N_e是土质边坡中有限单元的数量；t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量；k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

是分别是线性三角形有限单元e的6个形函数系数；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点沿x方向的有效正应力；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点沿y方向的有效正应力；

分别是有限单元e的第1、2、3个结点的切应力；

分别是第t_w个地下水水位作用下有限单元e的第1、2、3个结点的孔隙水压力；A^e是有限单元e的面积；γ^e是有限单元e的容重；

②建立土质边坡有限单元公共边的应力连续条件：

式中：d＝(1,…,N_d)，N_d是土质边坡中有限单元公共边的数量；

θ_d是公共边的倾角，逆时针为正；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点沿x方向的有效正应力；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点沿y方向的有效正应力；

分别是公共边d的第1、2、3、4个结点的切应力；

③建立土质边坡有限单元的屈服条件：

式中：n＝(1,…,N_n)，N_n是土质边坡中有限单元结点的总数量；σⁿ＝[σ'_xn,σ'_yn,τ_xyn]^T；

C_k＝2sin(2kπ/M_p)；

k＝(1,…,M_p)，M_p土体材料摩尔库伦屈服条件线性化正多边形的边数；σ'_xn是第n个结点沿x方向的有效正应力；σ'_yn是第n个结点沿y方向的有效正应力；τ_xyn是第n个结点的切应力；

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数；c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数；

④建立土质边坡有限单元的静力边界条件：

式中：b＝(1,…,N_b)，N_b是土质边坡中边界上的有限单元的数量；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的沿x方向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的沿x方向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的切应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点已知的沿法向的有效正应力；

分别是边界单元b中靠边界上的第1、2个结点已知的沿切向的切应力；

分别是第t_w个地下水水水位作用下边界单元b中靠边界上的第1、2个结点的孔隙水压力；θ_b是边界单元b靠边界上的第1、2个结点连线的倾角；

⑤目标函数：

在考虑土体的容重超载时，下限法目标函数为：

Maximize:k_γ(t_w,t_m)

式中：Maximize表示求“最大”；k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

⑥建立求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型：

式中：Z是土质边坡的极限状态函数。

2.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述土质边坡的计算参数包括土质边坡的几何参数，土质边坡的地层条件，土质边坡土体材料的凝聚力、摩擦角、容重和渗透系数，土质边坡地下水水位的信息。

3.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述土质边坡可靠度计算的极限状态函数为：

式中：Z是土质边坡的极限状态函数，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量，N是土质边坡土体材料凝聚力和摩擦角随机数的数量，k_γ(t_w,t_m)是第t_w个地水水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的容重超载系数的随机数；

是与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角随机数

相关的极限容重随机数；γ_a是土质边坡土体材料实际的容重，c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数，

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数。

4.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述步骤3具体为：土质边坡的地下水水位在最高地下水水位与最低地下水水位之间随机变化，假设土质边坡地下水水位的变化规律符合截尾正态分布，土质边坡地下水水位的随机数按下式生成：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的总数量，H_w(t_w)是土质边坡地下水水位的第t_w个随机数，μ_w是土质边坡地下水水位的均值，σ_w是土质边坡地下水水位的标准差，Random是正态分布随机数生成函数，Normal表示随机数符合正态分布；H_lb是土质边坡地下水水位的下界，H_ub是土质边坡地下水水位的上界。

5.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述步骤4包括：

①假设土质边坡土体材料的凝聚力和摩擦角符合对数正态分布；

②确定土质边坡材料的凝聚力、摩擦角的均值、标准差；

③土质边坡土体材料凝聚力的随机量和摩擦角的随机量的随机数按下式生成：

式中：t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量，c^r(t_m)是土质边坡土体材料凝聚力的第t_m个随机数，

是土质边坡土体材料摩擦角的第t_m个随机数，μ_c是土质边坡土体材料凝聚力的均值，

是土质边坡土体材料摩擦角的均值，σ_c是土质边坡土体材料凝聚力的标准差，

是土质边坡土体材料摩擦角的标准差，Random是正态分布随机数生成函数，lognormal表示随机数符合对数正态分布。

6.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述步骤5具体为：使用三角形三结点线性有限单元离散土质边坡，在总体坐标系(x,y)下，任意一个有限单元e中有三个结点，第e个单元的第i个结点具有x向有效正应力

y向有效正应力

和切应力

同时，第e个单元的第i个结点作用有孔隙水压力

其中，i＝1,…,3。

7.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述步骤6具体为：包括：

①基于步骤5得到的有限单元网格，根据稳定渗流理论进行土质边坡的随机渗流场计算，二维稳定渗流公式如下：

式中：k_x是土体材料x方向的渗透系数，k_y是土体材料y方向的渗透系数，H^r是土质边坡内各点的随机水头函数；

②将土质边坡地下水水位随机数H_w(t_w)作为已知边界条件带入上式，求解上式可获得所有有限单元结点的孔隙水压力值：

其中：t_w＝(1,…,W_n)，e＝(1,…,N_e)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量，N_e是土质边坡中有限单元的数量；

是第t_w地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点1的孔隙水压力值，

是第t_w个地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点2的孔隙水压力值，

是第t_w个地下水水位随机数H_w(t_w)作用下有限单元e中结点3的孔隙水压力值。

8.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述步骤8具体为：

S1、将土质边坡地下水水位随机数H_w(t_w)从t_w＝1到t_w＝W_n循环带入渗流场计算公式，逐次计算土质边坡的W_n个渗流场，获得土质边坡中每个有限单元结点的孔隙水压力值：

其中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量；e＝(1,…,N_e)，N_e是土质边坡中有限单元的数量；

S2、将

从t_w＝1到t_w＝W_n循环，逐次将W_n个渗流场的所有有限单元结点孔隙水压力值代入求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型；

S3、在t_w＝1到t_w＝W_n的每次循环中将c^r(t_m)、

从t_m＝1到t_m＝N循环，将N个土体材料的凝聚力和摩擦角的随机数代入求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型，使用“单纯形”优化算法求解土质边坡可靠度的下限法线性规划模型，求解得到W_n×N个容重超载系数的随机数[k_γ(t_w,t_m),(t_w＝1,…,W_n),t_m＝(1,…,N)]和对应的有限单元的正应力和切应力；同时，在t_w＝1到t_w＝W_n的每次循环中使用“二分法”迭代求解土质边坡的W_n×N个强度储备系数[k_m(t_w,t_m),(t_w＝1,…,W_n),t_m＝(1,…,N)]和与每个强度储备系数对应的有限单元的正应力和切应力。

9.根据权利要求1所述的随机渗流场作用下的土质边坡可靠度分析下限法，其特征在于：所述步骤9具体为：

①、计算第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡N个强度储备系数的均值：

式中：t_w＝(1,…,W_n)，W_n是土质边坡地下水水位随机数的数量；t_m＝(1,…,N)，N是土质边坡土体材料凝聚力/摩擦角随机数的数量；

是第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡的N个强度储备系数的平均值；

②、计算第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡N个强度储备系数的标准差：

式中：

是第t_w个随机地下水水位随机数H_w(t_w)作用下土质边坡N个强度储备系数的标准差；

③、计算土质边坡W_n×N个强度储备系数的均值：

式中：μ_km是土质边坡W_n×N个强度储备系数的平均值；

④、计算土质边坡在所有随机地下水水位作用下的W_n×N个强度储备系数的标准差：

式中：σ_km是W_n×N个强度储备系数的标准差；

⑤、计算土质边坡的失效概率

土质边坡的失效功能函数如下：

式中：I(t_w,t_m)是土质边坡的失效功能函数，k_m(t_w,t_m)是第t_w个地下水水位作用下与第t_m个土体材料凝聚力、摩擦角的随机数

相关的强度储备系数的随机数；

土质边坡的失效概率按下式计算：

式中：P_f是土质边坡的失效概率。

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