CN114444254A - 基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法，涉及基覆性边坡稳定性分析技术，包括：根据基覆型边坡的破坏特征确定破坏模式；计算破坏模式对应的安全系数；根据极限分析上限定理进行稳定性分析；所述破坏模式包括：沿基覆界面发生的整体破坏模式、坡顶开裂的对数螺旋滑移面的坡顶局部破坏模式、以及从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面的坡面局部破坏模式。本发明将极限分析上限法与强度折减技术相结合，给出了基覆型边坡稳定性分析的理论公式，通过MATLAB编程对公式进行优化求解，分析了基覆面倾角、边坡坡角及基覆界面强度参数对基覆型边坡破坏模式和稳定性的影响。

Description

基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法

技术领域

本发明涉及基覆型边坡稳定性分析技术领域，具体为基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法。

背景技术

基覆型边坡是一类下部为基岩上部为松散堆积体的边坡，当上部松散结构破坏可形成滑坡，该类型滑坡与均质边坡失稳有一定差异，基覆界面的存在对边坡的破坏模式和安全系数有不可忽视的影响。目前在边坡稳定性分析中多采用极限平衡法，但是极限平衡法不能提供一个精确的上限解或下限解，有一定局限性。

极限分析法利用塑性极限分析的静力学与运动学原理分别确定边坡稳定性的真实解下限与上限，其中的上限方法只要求考虑速度模式(破坏模式) 和能量消耗，应力分布并不要求满足平衡条件，利用功能平衡方程即可获得真实解的上限，因此，极限分析上限方法为寻求边坡稳定的精确解提供了一条新的思路。现有技术中，有对数螺旋转动破坏机制，建立能量平衡方程，分析均质边坡的稳定性；还有构建了一种“牛角形”三维转动破坏机构，并利用极限分析法在三维空间下对边坡稳定性进行分析。

上述现有技术中，大都只是针对单一土质边坡或具有软弱夹层边坡进行分析，而对于基覆型边坡来说，由于下部存在基岩，传统的转动破坏机构所确定的临界滑裂面可能会穿过此层，这显然与实际情况不符，会造成计算得到的安全系数偏低。

发明内容

本发明针对上述现有技术存在的不足，提供基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法，

为了解决上述技术问题，本发明提供了如下的技术方案：

基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法，包括：

根据基覆边坡的破坏特性确定破坏模式；

计算破坏模式对应的安全系数；

根据极限分析上限定理进行稳定性分析；

所述破坏模式包括：沿基覆界面发生的整体破坏模式、坡顶开裂的对数螺旋滑移面的坡顶局部破坏模式、以及从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面的坡面局部破坏模式。

作为本发明的进一步技术方案为，所述计算破坏模式的安全系数，具体包括：

当为基覆界面发生整体破坏模式时，以过折线滑面转折点C的竖直速度间断面CE将土体分为两块，视每一块为刚体，滑面和条间错动的部位被视为耗能塑性体；

设边坡坡高为H，土体容重为γ，内摩擦角为

黏聚力为c；基覆界面处的等效内摩擦角为

黏聚力为c′。坡底倾角为β，坡顶倾角为α，直线 AC与指向坡内方向的水平线夹角为θ₃，θ₃的大小会影响BC、CD滑面的位置和长度。滑面BC倾角为θ₁，长度为L₁；滑面CD倾角为θ₂，长度为L₂；间断面CE长度为L₃；假设两土块滑面处的速度分别为V₁、V₂，间断面CE 的相对速度为V₃，根据相关联流动法则可知，V₁、V₂与滑面的夹角为

V₃与间断面CE的夹角为

相对速度V₃是由速度矢量V₁和V₂的矢量差所引起的，因此V₁、V₂和V₃组成的速度矢量要闭合；

根据速度矢量闭合几何关系，可以得到V₁、V₂和V₃之间的转换公式为：

为获得边坡的安全系数，在极限分析上限法中引入强度折减技术；折减后的抗剪强度指标可分别表达为：

式中，c_m、

c′_m、

为维持平衡所需要的或土体实际发挥的抗剪强度参数；F为抗剪强度折减系数；

作用在边坡上的外荷载只考虑重力，则外力做功只包括重力做功，对应的外力功率为两块土体重力功率之和，即：

其中，S₁、S₂分别为两块土体的单宽体积，由几何关系可得：

①当θ₃≥90°时：

②当θ₃<90°时：

其中，

内能耗散由三部分构成，即分别沿基覆界面BC、CD上的能量耗散W₁、W₂和速度间断面AC上的能量耗散W₃，可得：

W_int＝W₁+W₂+W₃； (11)

其中，

①当θ₃≥90°时：

②当θ₃<90°时：

作为本发明的进一步技术方案为，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：根据极限分析上限定理，令外力做功功率等于内部耗散功率，即：

W_ext＝W_int； (16)

边坡的临界高度H_cr为：

采用迭代法，逐步折减土的强度参数(c、

c′、

)直至获得极限坡高H_cr等于土坡的实际高度H，则此时的强度折减系数F为边坡真实安全系数F_s。

其中，根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体为：采用迭代法和MATLAB编程进行计算确定最小安全系数F_s。

作为本发明的进一步技术方案为，所述计算破坏模式的安全系数，具体包括：

当为从坡顶开裂的对数螺旋滑移面的局部破坏模式时，假定从坡顶开裂的局部破坏模式为对数螺旋旋转柱面GI,并用极坐标表示对数螺线GI的方程：

其中，r₀、θ₀分别为弦OG的长度及其倾角,r_h、θ_h分别为弦OI的长度及其倾角,θ′、θ″分别为弦OF、OF′的倾角,L为坡顶开裂长度；β为边坡倾斜角，α为坡顶倾斜角，H′为局部破坏坡高，H为整体坡高，S₁为坡面 DI的长度。

对于边坡对数螺旋破坏机构，由重力做功引起的外力功率为：

其中，γ为边坡土体容重(kN/m³)，Ω为滑裂面以上土体的转动角速度；f₁～f₃分别为与θ₀、θ_h、

等相关的函数；沿速度间断面GI产生的内能耗散率为：

其中，c为边坡土体粘聚力kPa，V为速度间断量。

作为本发明的进一步技术方案为，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

根据极限分析法的上限定理，令外力做功功率等于内部塑性耗散功率，即W_exp＝W_int，整理后得：

其中，

以0点为原点，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴建立直角坐标系；假设曲线GI上某点F点的斜率和直线BC的斜率相同，连接OF并延长与直线BC交于E点；同理，假设F′点的斜率和直线CD的斜率相同，连接OF′并延长与直线CD交于E′点。

作为本发明的进一步技术方案为，所述计算破坏模式的安全系数，还包括：在均质边坡对数螺旋曲线计算公式的基础上增加约束条件，为了保证对数螺旋曲线GI在基覆界面BCD之上，从而使搜索得到的潜在最危险滑裂面实际存在；具体为：在已有由极坐标和直角坐标之间的转换关系，获取对数螺线GI上任一点在直角坐标系下的斜率为：

又易知直线BC的斜率为：

k₁＝-tanθ₁； (28)

当k＝k₁时，θ＝θ′，即：

F点坐标为(r cosθ′,r sinθ′),则直线OE方程为：

由几何关系可知D点坐标为：

其中，

在三角形ACD中，由正弦定理可得直线CD长度为：

由几何关系可知C点坐标为：

联立式(28)、(34)可知直线BC的方程为：

y＝k₁x+(y_C-k₁x_C)； (35)

将式(30)代入式(35)中，可得E点横坐标为：

直线OE长度为：

直线OF长度为：

为了使对数螺旋曲线GI在基覆界面BC之上，需满足条件|OE|≥|OF|，即：

同理，要想保证对数螺旋曲线GI在基覆界面CD之上，需满足条件 |OE′|≥|OF′|，即：

其中，θ″由式(41)确定：

作为本发明的进一步技术方案为，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：运用约束非线性最优化方法进行MATLAB编程计算从而确定临界安全系数及其相应的破坏机构；将式(21)中隐含的强度折减系数F看作目标函数,土坡稳定性问题的数学规划列式为：

min F＝F(θ₀,θ_h,S₁) (43)

根据式(29)、(41)求解的θ′、θ″与θ₀、θ_h的关系，式(43)的约束条件分为三种情况，分别为：

①θ₀<θ′≤θ″<θ_h，相应的约束条件为：

②θ″≥θ_h≥θ′或θ″≥θ′≥θ_h，适用于边坡倾角β较大且θ₂较小时的工况，此时，将约束条件式(44)进行放宽，即：若θ″≥θ_h≥θ′，不用满足式(40)；若θ″≥θ′≥θ_h，不用满足式(39)、(40)，即约束条件变为：

③θ″≥θ₀≥θ′或θ₀≥θ″≥θ′，适用于边坡倾角β较小且θ₁较大时的工况，此时，需将约束条件式(44)进行放宽，即：若θ″≥θ₀≥θ′，不用满足式(39)；若θ₀≥θ″≥θ′，不用满足式(39)、(40)，但需保证开裂点G 点不超过B点，故约束条件变为：

其中由几何关系可知：

r₀具体公式见式(25)；

对式(43)进行优化求解可分别算出以上三种不同情况对应的抗剪强度折减系数F，然后取最小的F作为对应的边坡安全系数F_s的最小上限解，其对应的θ₀、θ_h、r₀、r_h确定临界破坏机构。

作为本发明的进一步技术方案为，所述计算破坏模式对应的安全系数；具体包括：当从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面局部破坏模式时，假定坡面开裂的局部破坏模式为对数螺旋线旋转柱面GI,把G点移动到坡面AD上，其它保持不变；

其中，f₄～f₅分别为与θ₀、θ_h、

等相关的函数；

x_E表达式见式(36)，其中隐含的r_h表达式不再是式(32)，变为下式：

θ′表达式见式(29)；

x_E′表达式见式(42)，其中r_h表达式见式(54)，θ″表达式见式(41)。

进一步的，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

将式(49)中的强度折减系数F看作目标函数,土坡稳定性问题的数学规划列式为：

min F＝F(θ₀,θ_h,S₁,H′)； (56)

根据式(29)、(41)求解的θ′、θ″与θ₀、θ_h的关系，式(56)的约束条件分为三种情况，分别为：

①θ₀<θ′≤θ″<θ_h，相应的约束条件为：

②θ″≥θ_h≥θ′或θ″≥θ′≥θ_h，适用于边坡倾角β较大且θ₂较小时的工况；此时，需将约束条件式(57)进行放宽，即：若θ″≥θ_h≥θ′，不用满足式 (55)；若θ″≥θ′≥θ_h，不用满足式(53)、(55)；故约束条件变为：

③θ″≥θ₀≥θ′或θ₀≥θ″≥θ′，适用于边坡倾角β较小且θ₁较大时的工况；此时，需将约束条件式(57)进行放宽，即：若θ″≥θ₀≥θ′，不用满足式 (53)；若θ₀≥θ″≥θ′，不用满足式(53)、(55)，故约束条件变为：

针对某一具体工况，对式(56)进行优化求解可分别算出以上三种不同情况对应的抗剪强度折减系数F，然后取最小的F作为坡面局部破坏模式对应的边坡安全系数F_s的最小上限解，其对应的θ₀、θ_h、r₀、r_h确定临界破坏机构。

本发明的有益效果是：

1、本发明将极限分析上限法与强度折减技术相结合，基于能量平衡原理，建立了基覆型边坡稳定性分析方程。通过MATLAB编程对公式进行优化求解，分析了基覆面倾角、边坡坡角及基覆界面强度参数对基覆型边坡破坏模式和稳定性的影响。

2、通过编写的MATLAB优化程序对三种模式下的安全系数进行求解，得到了该边坡的临界破坏状态。

3、采用极限分析上限法，在原有对数螺旋转动破坏机构的基础上添加限制条件，对相应公式进行约束性优化求解，分析了基覆型边坡的局部稳定性，

4、同时考虑基覆界面抗剪强度参数的影响建立了边坡整体稳定安全系数的计算公式；分析了各参数对边坡破坏模式和安全系数的影响，给出了基岩对临界滑裂面和安全系数的影响规律。

附图说明

附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。

图1是本发明提出的基覆型边坡可能的破坏模式示意图；

图2是本发明提出的整体破坏模式示意图；

图3是本发明提出的速度矢量图；

图4是本发明提出的坡顶开裂的局部破坏模式(情况1)示意图；

图5为本发明提出的坡顶开裂的局部破坏模式(情况2)示意图；

图6为本发明提出的坡顶开裂的局部破坏模式(情况3)示意图；

图7为本发明提出的坡面开裂的局部破坏模式(情况1)示意图；

图8为本发明提出的坡面开裂的局部破坏模式(情况2)示意图；

图9为本发明提出的坡面开裂的局部破坏模式(情况3)示意图；

图10为本发明提出的三种破坏模式的边坡安全系数及临界滑裂面对比图；

图11为本发明提出的均质边坡的安全系数及临界滑裂面示意图；

图12a-12d为本发明提出的基覆界面倾角θ₂对边坡的影响示意图；

图13a-13e为本发明提出的基覆界面倾角θ₁和坡角β对边坡的影响示意图；

图14a-14d为本发明提出的基覆界面倾角θ₃对边坡的影响示意图；

图15a-15d为本发明提出的基覆界面黏聚力c′对边坡的影响示意图；

图16a-16d为本发明提出的基覆界面内摩擦角

对边坡的影响示意图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例进行说明，应当理解，此处所描述的优选实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

在本发明的描述中，需要说明的是，术语“竖直”、“上”、“下”、“水平”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，还需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，术语“设置”、“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

本发明提供基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法，包括：

根据基覆型边坡的破坏特征确定破坏模式；

计算破坏模式对应的安全系数；

根据极限分析上限定理进行稳定性分析；

其中，破坏模式包括：沿基覆界面发生的整体破坏模式(模式1)、坡顶开裂的对数螺旋滑移面的坡顶局部破坏模式(模式2)、以及从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面的坡面局部破坏模式(模式3)。

本发明考虑基覆型边坡模型如图1所示，折线BCD为基覆界面。通过分析本文认为基覆型边坡存在三种破坏模式，第一种为沿基覆界面发生整体破坏，简称为整体破坏模式；第二种为坡顶开裂的对数螺旋滑移面的局部破坏，简称为坡顶局部破坏模式；第三种为从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面的局部破坏，简称为坡面局部破坏模式，三种破坏模式如图1所示。

本发明实施例中，所述计算破坏模式的安全系数，具体包括：

当为基覆界面发生整体破坏模式时，以过折线滑面转折点C的竖直速度间断面CE将土体分为两块，视每一块为刚体，滑面和条间错动的部位被视为耗能塑性体；

设边坡坡高为H，土体容重为γ，内摩擦角为

黏聚力为c；基覆界面处的等效内摩擦角为

黏聚力为c′。坡底倾角为β，坡顶倾角为α，直线 AC与指向坡内方向的水平线夹角为θ₃，θ₃的大小会影响BC、CD滑面的位置和长度。滑面BC倾角为θ₁，长度为L₁；滑面CD倾角为θ₂，长度为L₂；间断面CE长度为L₃；假设两土块滑面处的速度分别为V₁、V₂，间断面CE 的相对速度为V₃，根据相关联流动法则可知，V₁、V₂与滑面的夹角为

V₃与间断面CE的夹角为

相对速度V₃是由速度矢量V₁和V₂的矢量差所引起的，因此V₁、V₂和V₃组成的速度矢量要闭合，如图3所示；

根据速度矢量闭合几何关系，可以得到V₁、V₂和V₃之间的转换公式为：

为获得边坡的安全系数，在极限分析上限法中引入强度折减技术；折减后的抗剪强度指标可分别表达为：

式中，c_m、

c′_m、

为维持平衡所需要的或土体实际发挥的抗剪强度参数；F为抗剪强度折减系数；

作用在边坡上的外荷载只考虑重力，则外力做功只包括重力做功，对应的外力功率为两块土体重力功率之和，即：

其中，S₁、S₂分别为两块土体的单宽体积，由几何关系可得：

①当θ₃≥90°时：

②当θ₃<90°时：

其中，

内能耗散由三部分构成，即分别沿基覆界面BC、CD上的能量耗散 W₁、W₂和速度间断面AC上的能量耗散W₃，可得：

W_int＝W₁+W₂+W₃； (11)

其中，

①当θ₃≥90°时：

②当θ₃<90°时：

其中，f₁如式(10)所示。

在实际边坡临界滑裂面的位置应上移，故基于极限分析上限法，在原有对数螺旋转动破坏机构的基础上添加限制条件，对相应公式进行约束性优化求解，分析了基覆型边坡的局部稳定性，同时考虑基覆界面抗剪强度参数的影响建立了边坡整体稳定安全系数的计算公式。最后进一步分析了各参数对边坡破坏模式和安全系数的影响，并结合算例说明基岩对临界滑裂面和安全系数的影响规律。

基于极限分析上限法研究了基覆型边坡的潜在破坏模式及稳定性问题。分别推导了在自身重力作用下基覆型边坡可能存在的三种破坏模式的安全系数计算公式。通过编写的MATLAB优化程序对三种模式下的安全系数进行求解，得到了该边坡的临界破坏状态。最后就相关算例探讨了基覆界面倾角θ₁、θ₂、基覆界面位置控制角θ₃、边坡坡角β、界面强度指标c′、

对边坡破坏模式及安全系数F的影响规律。

本发明实施例中，根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

根据极限分析上限定理，令外力做功功率等于内部耗散功率,即：

W_ext＝W_int (16)

联立式(1)～(16)可求得边坡的临界高度H_cr为：

采用迭代法，逐步折减土的强度参数(c、

c′、

)直至获得极限坡高H_cr等于土坡的实际高度H，则此时的强度折减系数F为边坡真实安全系数F_s。

其中，根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体为：采用迭代法和MATLAB编程进行计算确定最小安全系数F_s。

本发明实施例中，所述计算破环模式的安全系数，具体包括：

当为从坡顶开裂的对数螺旋滑移面的局部破坏模式时，假定从坡顶开裂的局部破坏模式为图4所示的对数螺旋旋转柱面GI,并用极坐标表示对数螺线GI的方程：

其中，r₀、θ₀分别为弦OG的长度及其倾角,r_h、θ_h分别为弦OI的长度及其倾角,θ′、θ″分别为弦OF、OF′的倾角,L为坡顶开裂长度。β为边坡倾斜角，α为坡顶倾斜角，H′为局部破坏坡高，H为整体坡高，S₁为坡面DI 的长度。其它参数的意义同图2所示，此处不再累述。

对于如图4所示的边坡对数螺旋破坏机构，由重力做功引起的外力功率为：

其中，γ为边坡土体容重(kN/m³)，Ω为滑裂面以上土体的转动角速度；f₁～f₃分别为与θ₀、θ_h、

等相关的函数，具体公式见下文。沿速度间断面GI 产生的内能耗散率为：

其中，c为边坡土体粘聚力(kPa)，V为速度间断量，c_m、

的意义如式(1) 所示。

其中，根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

根据极限分析法的上限定理，令外力做功功率等于内部塑性耗散功率，即W_exp＝W_int，整理后得：

其中，

如图4所示，以0点为原点，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴建立直角坐标系。假设曲线GI上某点F点的斜率和直线BC的斜率相同，连接 OF并延长与直线BC交于E点；同理，假设F′点的斜率和直线CD的斜率相同，连接OF′并延长与直线CD交于E′点。

本发明实施例中，计算破坏模式的安全系数，还包括：在均质边坡对数螺旋曲线计算公式的基础上增加约束条件，为了保证对数螺旋曲线GI 在基覆界面BCD之上，从而使搜索得到的潜在最危险滑裂面实际存在；具体为：在已有由极坐标和直角坐标之间的转换关系，获取对数螺线GI上任一点在直角坐标系下的斜率为：

又易知直线BC的斜率为：k₁＝-tanθ₁； (28)

当k＝k₁时，θ＝θ′，即：

F点坐标为(r cosθ′,r sinθ′),则直线OE方程为：

由几何关系可知D点坐标为：

其中，

在三角形ACD中，由正弦定理可得直线CD长度为：

由几何关系可知C点坐标为：

联立式(28)、(34)可知直线BC的方程为：y＝k₁x+(y_C-k₁x_C)； (35)

将式(30)代入式(35)中，可得E点横坐标为：

直线OE长度为：

直线OF长度为：

为了使对数螺旋曲线GI在基覆界面BC之上，需满足条件|OE|≥|OF|，即：

同理，要想保证对数螺旋曲线GI在基覆界面CD之上，需满足条件 |OE′|≥|OF′|，即：

其中，θ″由式(41)确定：

r_h表达式见式(32)。

其中，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

运用约束非线性最优化方法进行MATLAB编程计算从而确定临界安全系数及其相应的破坏机构；将式(21)中隐含的强度折减系数F看作目标函数,土坡稳定性问题的数学规划列式为：

min F＝F(θ₀,θ_h,S₁) (43)

根据式(29)、(41)求解的θ′、θ″与θ₀、θ_h的关系，式(43)的约束条件分为三种情况，分别为：

①θ₀<θ′≤θ″<θ_h

此种情况如图4所示，适用于大多数工况。此时，相应的约束条件为：

②θ″≥θ_h≥θ′或θ″≥θ′≥θ_h

此种情况如图5所示，适用于边坡倾角β较大且θ₂较小时的工况(即E′、 F′点可能位于边坡范围以外)。此时，需将约束条件式(44)进行放宽，即：若θ″≥θ_h≥θ′，不用满足式(40)；若θ″≥θ′≥θ_h，不用满足式(39)、(40)。即约束条件变为：

③θ″≥θ₀≥θ′或θ₀≥θ″≥θ′

此种情况如图6所示，适用于边坡倾角β较小且θ₁较大时的工况(即E、 F点可能位于边坡范围以外)。此时，需将约束条件式(44)进行放宽，即：若θ″≥θ₀≥θ′，不用满足式(39)；若θ₀≥θ″≥θ′，不用满足式(39)、(40)。但需保证开裂点G点不超过B点，故约束条件变为：

其中由几何关系可知：

r₀具体公式见式(25)。

针对某一具体工况，对式(43)进行优化求解可分别算出以上三种不同情况对应的抗剪强度折减系数F(如果存在的话)，然后取最小的F作为坡顶局部破坏模式对应的边坡安全系数F_s的最小上限解，其对应的θ₀、θ_h、r₀、 r_h确定临界破坏机构。

进一步的，所述计算破坏模式对应的安全系数；具体包括：当从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面局部破坏模式时，

假定坡面开裂的局部破坏模式为图7所示的对数螺旋线旋转柱面GI, 相当于仅把图4中的G点移动到坡面AD上，其它保持不变。因此，各参数的含义参见图4。

坡面局部破坏模式的公式推导过程与坡顶局部破坏模式类似，只是土体重力做功计算稍有区别；因此，下面只列出最终的结果，具体的推导过程参见坡顶局部破坏模式；

其中，f₄～f₅分别为与θ₀、θ_h、

等相关的函数；

x_E表达式见式(36)，其中隐含的r_h表达式不再是式(32)，变为下式：

θ′表达式见式(29)；

x_E′表达式见式(42)，其中r_h表达式见式(54)，θ″表达式见式(41)。

进一步的，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

将式(49)中的强度折减系数F看作目标函数,土坡稳定性问题的数学规划列式为：

min F＝F(θ₀,θ_h,S₁,H′)； (56)

根据式(29)、(41)求解的θ′、θ″与θ₀、θ_h的关系，式(56)的约束条件分为三种情况，分别为：

①θ₀<θ′≤θ″<θ_h

此种情况如图7所示，适用于大多数工况；此时，相应的约束条件为：

②θ″≥θ_h≥θ′或θ″≥θ′≥θ_h

此种情况如图8所示，适用于边坡倾角β较大且θ₂较小时的工况(即E′、 F′点可能位于边坡范围以外)；此时，需将约束条件式(57)进行放宽，即：若θ″≥θ_h≥θ′，不用满足式(55)；若θ″≥θ′≥θ_h，不用满足式(53)、(55)；故约束条件变为：

③θ″≥θ₀≥θ′或θ₀≥θ″≥θ′

此种情况如图9所示，适用于边坡倾角β较小且θ₁较大时的工况(即E、 F点可能位于边坡范围以外)；此时，需将约束条件式(57)进行放宽，即：若θ″≥θ₀≥θ′，不用满足式(53)；若θ₀≥θ″≥θ′，不用满足式(53)、(55)，故约束条件变为：

针对某一具体工况，对式(56)进行优化求解可分别算出以上三种不同情况对应的抗剪强度折减系数F(如果存在的话)，然后取最小的F作为坡面局部破坏模式对应的边坡安全系数F_s的最小上限解，其对应的θ₀、θ_h、r₀、 r_h确定临界破坏机构。

本发明提供一实施例，具体为基覆型边坡,其中α＝0°,H＝10m,γ＝ 17kN/m³,c＝c′＝18kPa，

β＝40°，θ₁＝40°，θ₂＝20°，θ₃＝100°。利用MATLAB编写的非线性优化迭代程序分别得到整体破坏模式、2、3的边坡安全系数F_s及其对应的临界滑裂面，如图10所示。图 11为均质土坡按上述方法求得的安全系数及临界滑裂面图(相当于θ₁＝θ₂＝0°)。

由图10可知，坡顶局部破坏模式(即从坡顶开裂的局部失稳破坏)显然更加容易发生。由失稳状态系统耗能最小原理可知，当坡顶局部破坏模式的局部失稳机构为能耗最小机构时，整体破坏模式的整体耗能机构由于耗能非最小而不会先于坡顶局部破坏模式的局部失稳机构发生。由图10和图 11对比可知，基覆界面的存在使得边坡的最危险滑裂面上移而不会通过坡趾或坡趾以下，同时也会提高边坡的整体稳定性(不考虑岩、土交界面抗剪参数的降低)。

在给定θ₁＝40°,θ₃＝100°，c′＝c，

的条件下,基覆界面倾角θ₂对边坡破坏模式和安全系数F的影响如图12所示。

由图12a～d可知，按坡顶局部破坏模式(即从坡顶某处开裂的对数螺旋滑裂面)求得的边坡安全系数F总是最小的，说明此条件下边坡最危险破坏模式为坡顶局部破坏模式。随着θ₂从0开始增大，坡顶局部破坏模式的安全系数F在初期变化较小，当θ₂进一步增大时，F会有较明显的增大，原因在于基覆界面使得边坡临界滑裂面位置逐渐变浅、潜在滑动体范围逐渐变小，从而造成滑体重力做功功率相对于界面耗能速率降低更快。而整体破坏模式(即沿基覆界面的整体破坏)的安全系数F随θ₂的逐渐增加呈现出先减小后增大的趋势。当θ₂接近坡角β时，F会有较明显的增大且与坡顶局部破坏模式的安全系数F很接近，这是因为当θ₂较大即基覆界面较陡时，坡顶局部破坏模式的临界滑裂面会很接近基覆界面，即边坡潜在滑动体范围接近所有覆盖层土体，此时两种破坏模式很类似，故安全系数F会很接近。另外，随θ₂增加坡面局部破坏模式(即从坡面开裂的局部破坏)的安全系数F的增长速率越来越快且大于相应的另两种模式，说明坡面局部破坏模式对θ₂的变化更敏感。

在给定θ₂＝20°,θ₃＝100°，c′＝c，

的条件下,基覆界面倾角θ₁、坡底倾角β对边坡破坏模式和安全系数F的影响如图13所示。

由图13a～13d可知，随着θ₁和β的增加，边坡最危险破坏模式仍为坡顶局部破坏模式，且只有当θ₁较大时，安全系数F会略有增大，此时基覆界面会限制坡顶土体开裂的范围，使得边坡趋于安全，而其他情况F保持不变。对整体破坏模式而言，随着θ₁的增加，安全系数F会经历先减小后增大的过程，这是因为θ₁越大，土体耗散功率基本不变，而滑移面BC的滑移速度V₁的竖直速度分量V_1,v会越大，且运动速度为V₁的潜在滑动土体的重力G₁会越小。当θ₁较小时，V_1,v的增大速率大于G₁的减小速率，故随θ₁的增大重力做功增加，安全系数F减小；当θ₁较大时，V_1,v的增大速率小于G₁的减小速率，故随θ₁的增大重力做功减小，安全系数F增大。由上述分析可知，对此类基覆型边坡来说，当其它参数一定时，存在一个θ₁使得边坡的整体稳定性最低。从图中还可看出θ₁对坡面局部破坏模式的安全系数基本没有影响。

从图13e可以看出，当其它参数给定时，随着β的增大，三种模式对应的安全系数均呈明显下降趋势。说明坡角对边坡安全系数影响较大。坡面局部破坏模式的安全系数F下降的速率略大于另两种模式，说明坡面局部破坏模式对坡角β的变化更敏感，因此当β较大时，如图13d所示，坡面局部破坏模式的安全系数在一些工况下会小于整体破坏模式，此时坡面局部破坏模式较整体破坏模式更易发生。

在给定θ₁＝40°,θ₂＝20°，c′＝c，

的条件下,基覆界面分布角θ₃对边坡破坏模式和安全系数F的影响如图14所示。

由图14a～14d可知，对θ₃的分析也能得出与θ₁相似的规律。差别在于：随着θ₃的增大，整体破坏模式的安全系数F会逐渐减小并接近于坡顶局部破坏模式的安全系数，说明θ₃越大，重力功率减小的速率小于耗散功率，基覆边坡的整体稳定性与倾角θ₃呈负相关关系。

通常在天然状态下，可将基覆界面的黏聚力和内摩擦角视为与上覆土体相同，但在某些条件下如强降雨时，在基覆界面处形成饱和液化土，导致c′、

与c、

相比有较大降低，此时界面效应不可忽略。在给定θ₁＝40°,θ₂＝20°,θ₃＝100°,

的条件下，基覆界面黏聚力c′对边坡破坏模式和安全系数F的影响如图15所示。

由图15a～15d可知，整体破坏模式和坡顶局部破坏模式存在一个交点，当界面黏聚力c′小于该点对应的土体黏聚力时，边坡发生沿基覆面的整体破坏，且安全系数F与c′近似呈线性增加关系；当c′大于该点对应的土体黏聚力时，边坡发生从坡顶开裂的局部破坏，且c′对此时的安全系数F没有影响。进一步分析，随着β的增大，整体破坏模式和坡顶局部破坏模式的交点朝c′减小的方向移动，这是因为基覆界面相同时，边坡越陡，基覆界面对边坡最危险滑裂面位置的限制作用越弱，即基覆界面和最危险滑裂面接近程度越低，导致整体破坏模式和坡顶局部破坏模式分别求得的安全系数F相差越大。因此，当c′从等于c开始减小时，越缓的边坡越先由坡顶局部破坏模式转换为整体破坏模式，即越容易发生整体破坏。此外，从图中还可看出c′对坡面局部破坏模式的安全系数F几乎没有影响。

同样,在给定θ₁＝40°,θ₂＝20°,θ₃＝100°,c′＝c的条件下,基覆界面内摩擦角

对边坡破坏模式和安全系数F的影响如图16所示。

由图16a～16d可知，

对基覆型边坡破坏模式和安全系数F的影响规律与c′相似。差别在于：当其它参数相同时，整体破坏模式(沿基覆面的整体破坏)以c′为自变量的安全系数变化直线的斜率大于以

为自变量的斜率(如图15a和图16a中整体破坏模式直线所示)，说明与

相比，基覆型边坡的整体稳定性对c′的变化更敏感。

本发明将极限分析上限法与强度折减技术相结合，基于能量平衡原理，建立了基覆型边坡稳定性分析方程。通过MATLAB编程对公式进行优化求解，分析了基覆面倾角、边坡坡角及基覆界面强度参数对基覆型边坡破坏模式和稳定性的影响。

在重力作用下，如果不考虑基覆界面抗剪强度的降低，边坡最危险破坏模式为从坡顶某处开裂的对数螺旋滑裂面，即文中定义的坡顶局部破坏模式。基覆界面与边坡临空面的相对位置是影响基覆型边坡稳定性的重要因素，即文中定义的θ₃。基覆界面底部倾角(θ₂)对边坡安全系数影响最明显。随着θ₂从0开始增大，坡顶局部破坏模式的安全系数F在初期变化较小，当θ₂进一步增大时，F会有较明显的增大。边坡倾角与边坡安全系数呈负相关变化。

对于沿基覆界面发生整体破坏(整体破坏模式)而言，边坡安全系数随界面上部倾角(θ₁)的增大呈现出先减小后增大的变化规律。随着界面底部倾角(θ₂)和界面位置控制角(θ₃)的增大，边坡破坏整体破坏模式与坡顶局部破坏模式的滑移面呈现出相互接近的趋势，且两种模式对应的边坡安全系数大小也趋于相等。

基覆界面的抗剪强度参数c′、

对边坡破坏模式和安全系数有显著影响。当c′、

开始降低且小于土体c、

时，其最危险破坏模式将从坡顶局部破坏模式(坡顶开裂的对数螺旋滑移面的局部破坏)逐步转变为整体破坏模式(沿基覆界面发生整体破坏)。基覆型边坡的整体稳定性对c′的变化更敏感。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.基于极限分析上限法的基覆型边坡稳定性分析方法，其特征在于，包括：

根据基覆边坡的破坏特征确定破坏模式；

计算破坏模式对应的安全系数；

根据极限分析上限定理进行稳定性分析；

所述破坏模式包括：沿基覆界面发生的整体破坏模式、坡顶开裂的对数螺旋滑移面的坡顶局部破坏模式、以及从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面的坡面局部破坏模式。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算破坏模式的安全系数，具体包括：

当基覆界面发生整体破坏模式时，以过折线滑面转折点C的竖直速度间断面CE将土体分为两块，视每一块为刚体，滑面和条间错动的部位被视为耗能塑性体；

设边坡坡高为H，土体容重为γ，内摩擦角为

黏聚力为c；基覆界面处的等效内摩擦角为

黏聚力为c′；坡底倾角为β，坡顶倾角为α，直线AC与指向坡内方向的水平线夹角为θ₃，滑面BC倾角为θ₁，长度为L₁；滑面CD倾角为θ₂，长度为L₂；间断面CE长度为L₃；假设两土块滑面处的速度分别为V₁、V₂，间断面CE的相对速度为V₃，根据相关联流动法则可知，V₁、V₂与滑面的夹角为

V₃与间断面CE的夹角为

相对速度V₃是由速度矢量V₁和V₂的矢量差所引起的，因此V₁、V₂和V₃组成的速度矢量要闭合；

根据速度矢量闭合几何关系，可以得到V₁、V₂和V₃之间的转换公式为：

为获得边坡的安全系数，在极限分析上限法中引入强度折减技术；折减后的抗剪强度指标可分别表达为：

式中，c_m、

c′_m、

为维持平衡所需要的或土体实际发挥的抗剪强度参数；F为抗剪强度折减系数；

作用在边坡上的外荷载只考虑重力，则外力做功只包括重力做功，对应的外力功率为两块土体重力功率之和，即：

其中，S₁、S₂分别为两块土体的单宽体积，由几何关系可得：

①当θ₃≥90°时：

②当θ₃＜90°时：

其中，

内能耗散由三部分构成，即分别沿基覆界面BC、CD上的能量耗散W₁、W₂和速度间断面AC上的能量耗散W₃，可得：

W_int＝W₁+W₂+W₃； (11)

其中，

①当θ₃≥90°时：

②当θ₃＜90°时：

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

根据极限分析上限定理，令外力做功功率等于内部耗散功率，即：

W_ext＝W_int； (16)

边坡的临界高度H_cr为：

采用迭代法，逐步折减土的强度参数

直至获得极限坡高H_cr等于土坡的实际高度H，则此时的强度折减系数F为边坡真实安全系数F_s。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体为：采用迭代法和MATLAB编程进行计算确定最小安全系数F_s。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算破坏模式的安全系数，具体包括：

当为从坡顶开裂的对数螺旋滑移面的局部破坏模式时，假定从坡顶开裂的局部破坏模式为对数螺旋旋转柱面GI，并用极坐标表示对数螺线GI的方程：

其中，r₀、θ₀分别为弦OG的长度及其倾角，r_h、θ_h分别为弦OI的长度及其倾角，θ′、θ″分别为弦OF、OF′的倾角，L为坡顶开裂长度；β为边坡倾斜角，α为坡顶倾斜角，H′为局部破坏坡高，H为整体坡高，S₁为坡面DI的长度。

对于边坡对数螺旋破坏机构，由重力做功引起的外力功率为：

其中，γ为边坡土体容重(kN/m³)，Ω为滑裂面以上土体的转动角速度；f₁～f₃分别为与θ₀、θ_h、

等相关的函数；沿速度间断面GI产生的内能耗散率为：

其中，c为边坡土体粘聚力kPa，V为速度间断量。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

根据极限分析法的上限定理，令外力做功功率等于内部塑性耗散功率，即W_exp＝W_int，整理后得：

其中，

以0点为原点，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴建立直角坐标系；假设曲线GI上某点F点的斜率和直线BC的斜率相同，连接0F并延长与直线BC交于E点；同理，假设F′点的斜率和直线CD的斜率相同，连接OF′并延长与直线CD交于E′点。

7.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算破坏模式的安全系数，还包括：

在均质边坡对数螺旋曲线计算公式的基础上增加约束条件，为了保证对数螺旋曲线GI在基覆界面BCD之上，从而使搜索得到的潜在最危险滑裂面实际存在；具体为：

在已有由极坐标和直角坐标之间的转换关系，获取对数螺线GI上任一点在直角坐标系下的斜率为：

又易知直线BC的斜率为：

k₁＝-tanθ₁； (28)

当k＝k₁时，θ＝θ′，即：

F点坐标为(r cOSθ′，r sinθ′)，则直线0E方程为：

由几何关系可知D点坐标为：

其中，

在三角形ACD中，由正弦定理可得直线CD长度为：

由几何关系可知C点坐标为：

联立式(28)、(34)可知直线BC的方程为：

y＝k₁x+(y_C-k₁x_C)； (35)

将式(30)代入式(35)中，可得E点横坐标为：

直线OE长度为：

直线OF长度为：

为了使对数螺旋曲线GI在基覆界面BC之上，需满足条件|OE|≥|OF|，即：

同理，要想保证对数螺旋曲线GI在基覆界面CD之上，需满足条件|OE′|≥1OF′|，即：

其中，θ″由式(41)确定：

8.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

运用约束非线性最优化方法进行MATLAB编程计算从而确定临界安全系数及其相应的破坏机构；将式(21)中隐含的强度折减系数F看作目标函数，土坡稳定性问题的数学规划列式为：

min F＝F(θ₀，θ_h，S₁) (43)

根据式(29)、(41)求解的θ′、θ″与θ₀、θ_h的关系，式(43)的约束条件分为三种情况，分别为：

①θ₀＜θ′≤θ″＜θ_h，相应的约束条件为：

②θ″≥θ_h≥θ′或θ″≥θ′≥θ_h，适用于边坡倾角β较大且θ₂较小时的工况，此时，将约束条件式(44)进行放宽，即：若θ″≥θ_h≥θ′，不用满足式(40)；若θ″≥θ′≥θ_h，不用满足式(39)、(40)，即约束条件变为：

③θ″≥θ₀≥θ′或θ₀≥θ″≥θ′，适用于边坡倾角β较小且θ₁较大时的工况，此时，需将约束条件式(44)进行放宽，即：若θ″≥θ₀≥θ′，不用满足式(39)；若θ₀≥θ″≥θ′，不用满足式(39)、(40)，但需保证开裂点G点不超过B点，故约束条件变为：

其中由几何关系可知：

r₀具体公式见式(25)；

对式(43)进行优化求解可分别算出以上三种不同情况对应的抗剪强度折减系数F，然后取最小的F作为对应的边坡安全系数F_s的最小上限解，其对应的θ₀、θ_h、r₀、r_h确定临界破坏机构。

9.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算破坏模式对应的安全系数；具体包括：当从坡面开裂且滑移面为对数螺旋面局部破坏模式时，

假定坡面开裂的局部破坏模式为对数螺旋线旋转柱面GI，把G点移动到坡面AD上，其它保持不变；

其中，f₄～f₅分别为与θ₀、θ_h、

等相关的函数；

x_E表达式见式(36)，其中隐含的r_h表达式不再是式(32)，变为下式：

θ′表达式见式(29)；

x_E′表达式见式(42)，其中r_h表达式见式(54)，θ″表达式见式(41)。

10.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述根据极限分析上限定理进行稳定性分析，具体包括：

将式(49)中的强度折减系数F看作目标函数，土坡稳定性问题的数学规划列式为：

min F＝F(θ₀，θ_h，S₁，H′)； (56)

根据式(29)、(41)求解的θ′、θ″与θ₀、θ_h的关系，式(56)的约束条件分为三种情况，分别为：

①θ₀＜θ′≤θ″＜θ_h，相应的约束条件为：

②θ″≥θ_h≥θ′或θ″≥θ′≥θ_h，适用于边坡倾角β较大且θ₂较小时的工况；此时，需将约束条件式(57)进行放宽，即：若θ″≥θ_h≥θ′，不用满足式(55)；

若θ″≥θ′≥θ_h，不用满足式(53)、(55)；故约束条件变为：

③θ″≥θ₀≥θ′或θ₀≥θ″≥θ′，适用于边坡倾角β较小且θ₁较大时的工况；此时，需将约束条件式(57)进行放宽，即：若θ″≥θ₀≥θ′，不用满足式(53)；

若θ₀≥θ″≥θ′，不用满足式(53)、(55)，故约束条件变为：

对式(56)进行优化求解可分别算出以上三种不同情况对应的抗剪强度折减系数F，然后取最小的F作为坡面局部破坏模式对应的边坡安全系数F_s的最小上限解，其对应的θ₀、θ_h、r₀、r_h确定临界破坏机构。

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