CN110377990B - 重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法 - Google Patents

重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法 Download PDF

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CN110377990B CN201910611365.0A CN201910611365A CN110377990B CN 110377990 B CN110377990 B CN 110377990B CN 201910611365 A CN201910611365 A CN 201910611365A CN 110377990 B CN110377990 B CN 110377990B
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Abstract

本发明提供了一种重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法。包括：计算重力场应力释放荷载作用下的浅埋隧道围岩应力及位移的复势解析函数；计算隧道在空洞边界上引起的附加面力；计算在附加面力作用下空洞的围岩应力及位移复势解析函数；计算空洞在隧道边界上引起的附加面力；计算在附件面力作用下隧道的围岩应力及位移复势解析函数；重复执行上述处理过程，直到满足设定的停止条件；叠加历次迭代获得的复势解析函数，得到浅埋隧道围岩应力及位移的最终的复势解析函数，以及围岩应力及位移的最终的计算公式。本发明方法能够考虑隧道与空洞之间的相互影响；能够考虑隧道开挖过程中的重力场应力释放，求解效率高，求解精度好。

Description

重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法
技术领域
本发明涉及城市地下隧道技术领域，尤其涉及一种重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移的求解方法。
背景技术
我国正处于快速城市化进程中，城市核心区人口迅速增长，城市面临的交通压力日益凸显，甚至成为城市发展的一大瓶颈因素。地铁作为一种高效、准时、大运量交通方式，在国内各个大城市中被广泛采用，未来地铁隧道的修建量将会大大增加。城市地铁隧道具有以下特点：
①一般埋深较浅，重力是主要外荷载。
②施工过程中产生的地层变形很容易传递至周边建(构)筑物，进而危及周边建(构)筑物的安全。
③在城市地层中，因管线渗漏水、地下构筑物施工等因素经常会形成地层空洞，城市地铁隧道一般埋深较浅，受地层空洞等地质病害的影响较大，在老城区这种情况尤为突出。随着人们环保意识的不断增强，对于浅埋隧洞施工引起的地层变形和应力问题，一直备受相关学者和工程人员的关注，而隧道施工前准确的预测地层应力及位移是有效控制施工对环境影响程度的前提。
现有对地铁隧道施工引起的地层变形和应力预测的技术还存在以下不足：
①采用经验预测法时主要参数需要人为确定，受工程人员的经验影响较大，经验法仅能预测地层变形，且经验法不能揭示地层变形的力学机理。
②采用数值模拟方法虽能较全面展示围岩应力和位移，但是数值模拟方法建模过程较慢，模拟参数和方法受工程人员的主观影响，可重复性较差，而且数值计算耗时较长，不能快速对工程进行评价。
③现有理论多针对单个隧洞，很少考虑地层空洞影响，而且鲜有考虑重力因素。
发明内容
本发明的实施例提供了一种重力作用下浅埋隧道围岩应力及位移求解方法，以克服现有技术的问题。
为了实现上述目的，本发明采取了如下技术方案。
一种重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法，包括：
步骤S1、计算出重力场应力释放荷载作用下的浅埋隧道围岩应力及位移的复势解析函数；
步骤S2、计算隧道在空洞边界上引起的附加面力；
步骤S3、计算在附加面力作用下空洞围岩应力及位移的复势解析函数；
步骤S4、计算空洞在隧道边界上引起的附加面力；
步骤S5、计算在附件面力作用下隧道围岩应力及位移的复势解析函数；
步骤S6、重复执行所述步骤S2-S5，直到满足设定的迭代计算停止条件；
步骤S7、叠加历次迭代获得的复势解析函数，得到所述浅埋隧道围岩应力及位移的最终的复势解析函数，以及所述浅埋隧道围岩应力及位移的最终的计算公式。
优选地，所述步骤S1中的计算重力场应力释放条件下的浅埋隧道围岩应力及位移的复势解析函数，包括：
基于复变函数法，考虑重力荷载在隧道开挖边界上的分布形态，仅在重力释放荷载fXn和fYn作用下，浅埋隧道围岩应力及位移的复势解析函数Φ11(z1)和Ψ11(z1)的计算公式如下：
Figure BDA0002122479390000031
Figure BDA0002122479390000032
式中，z1＝x1+iy1，i为虚数单位；κ是与材料相关的常数κ＝3-4μ，μ为围岩材料泊松比；z1c＝-ia1，a1由保角映射函数决定；F1x和F1y分别表示释放应力沿隧道轮廓积分一周所得到的x方向和y方向的合力，F1x＝0，F1y＝fπr1 2γ；f为自重应力释放系数，应力完全释放时等于1，应力不释放时等于0，γ为围岩土体重度，r1为隧道半径；
应力边界条件表示为：
Figure BDA0002122479390000033
式中，z1表示隧道轮廓上的任意一点；A、B为积分的起点和终点，从A点到B点积分时被积对象位于积分路径的左侧；ds1为微分段弧长；C11为积分常数，在其中一个边界上C11假设为零，而在另一个边界上C11不能再取为零；
地表为应力自由边界，x方向和y方向的应力分量均为零，所以地表应力边界条件为：
Figure BDA0002122479390000034
隧道开挖前在隧道拟开挖边界上的任意一点的应力状态为：
Figure BDA0002122479390000035
对于隧道边界上的任意一点，根据静力平衡关系得到：
Figure BDA0002122479390000041
Figure BDA0002122479390000042
考虑隧道边界上的应力状态，隧道洞口应力边界条件为：
Figure BDA0002122479390000043
保角映射函数ω1将Z1平面内的下半平面映射至ζ1平面上的单位圆环：
Figure BDA0002122479390000044
Φ11(z1)和Ψ11(z1)被映射为
Figure BDA0002122479390000045
和ψ11(ζ1)，同时Φ0(z1)和Ψ0(z1)被映射为ζ1圆环域内的单值解析函数
Figure BDA0002122479390000046
和ψ0(ζ1)，并可展开为Laurent级数形式：
Figure BDA0002122479390000047
Figure BDA0002122479390000048
根据式(4)和式(8)可以确定复势解析函数
Figure BDA0002122479390000049
和ψ11(ζ1)。
优选地，所述步骤S2中的计算隧道在空洞边界上引起的附加面力，包括：
通过坐标变换和隧道的复势解析函数
Figure BDA00021224793900000410
和ψ11(ζ1)确定隧道开挖在空洞边界上引起的附加面力，隧道在空洞边界上引起的附加面力的计算公式为：
Figure BDA00021224793900000411
附加面力的计算步骤如下：
①取ζ2平面上洞2边界任意一点坐标λ2＝α2σ2；
②经过映射t2＝ω2(λ2)得到Z2平面上该点坐标t2；
③利用坐标平移t1＝t2+c得到Z1平面上该点坐标t1；
④经过逆映射
Figure BDA00021224793900000514
得到ζ1平面上该点坐标λ1；
⑤将λ1代入式(11)后可以得到该点对应的附加面力。
将附加面力
Figure BDA0002122479390000051
用傅里叶级数逼近
Figure BDA0002122479390000052
Figure BDA0002122479390000053
Figure BDA0002122479390000054
式中，
Figure BDA0002122479390000055
为
Figure BDA0002122479390000056
的实部；
Figure BDA0002122479390000057
的虚部
Figure BDA0002122479390000058
也表示成三角多项式形式，对应系数分别用ε′0、ε′k和δ′k表示，计算公式与式(14)相同；M为在空洞边界上等距取点个数。
优选地，所述步骤S3中的计算空洞在附加面力作用下的复势解析函数，包括：
空洞在附加面力作用下的复势函数表达式为
Figure BDA0002122479390000059
Figure BDA00021224793900000510
ω2为Z2平面映射至ζ2平面的保角映射函数，其余符号意义同上。利用地表应力自由边界和空洞洞口附加面力
Figure BDA00021224793900000511
边界确定系数
Figure BDA00021224793900000512
和
Figure BDA00021224793900000513
的值。
优选地，所述步骤4中的计算空洞在隧道边界上引起的附加面力，包括：
通过坐标变换和隧道的复势解析函数
Figure BDA0002122479390000061
和ψ12(ζ2)确定空洞在隧道边界上引起的附加面力，空洞在隧道边界上引起的附加面力的计算公式为：
Figure BDA0002122479390000062
附加面力的计算步骤如下：
①取ζ1平面上洞2边界任意一点坐标λ1＝α1σ1；
②经过映射t1＝ω1(λ1)得到Z1平面上该点坐标t1；
③利用坐标平移t2＝t1-c得到Z2平面上该点坐标t2；
④经过逆映射
Figure BDA0002122479390000063
得到ζ2平面上该点坐标λ2；
⑤将λ2代入式(17)后可以得到该点对应的附加面力。
附件面力的级数逼近方法同步骤S2。
优选地，所述步骤S5中的计算隧道在附加面力作用下的复势解析函数，包括：
隧道在附加面力作用下的复势函数表达式为
Figure BDA0002122479390000064
Figure BDA0002122479390000065
符号意义同上文，利用地表应力自由边界和隧道洞口附加面力
Figure BDA0002122479390000066
边界确定系数
Figure BDA0002122479390000067
和
Figure BDA0002122479390000068
的值。
优选地，所述步骤S7中的将历次计算获得的复势解析函数叠加得到围岩应力及位移的最终的复势解析函数：
Figure BDA0002122479390000069
j＝1代表隧道，j＝2代表空洞；L为迭代次数。
建立图4所示坐标转换体系，各个坐标系中的坐标满足如下关系
r cosθ＝x＝x'＝x1＝x2+c (21)
r sinθ＝y'＝y+h1＝y1+h1＝y2+h1 (22)
步骤S7所述的围岩应力的最终计算公式包括：
xoy坐标系下任意一点(x,y)应力的求解公式为
Figure BDA0002122479390000071
Figure BDA0002122479390000072
式中，j＝1,2，分别表示隧道和空洞。
开挖前，重力引起的应力由式(5)确定，xoy坐标系下总应力为
Figure BDA0002122479390000073
由x'o'y'坐标系和xoy坐标系的坐标关系确定点(x,y)在x'o'y'坐标系下的应力分量σ'x、σ'y和τ'xy，在rθ极坐标系下点(x,y)的围岩应力的计算公式为：
Figure BDA0002122479390000074
式中,σr、σθ和τrθ分别表示rθ极坐标系下的径向应力、环向应力和切向应力。
步骤S7所述的围岩位移的最终计算公式包括：
xoy坐标系下的位移计算公式为
Figure BDA0002122479390000075
式中，j＝1,2，分别表示隧道和空洞；u和v分别表示水平位移和竖向位移，直角坐标系下隧道和空洞引起的位移可直接叠加
Figure BDA0002122479390000081
由上述本发明的实施例提供的技术方案可以看出，本发明实施例提供的重力荷载作用下的含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移的解析求解方法能够考虑隧道与空洞之间的相互影响；能够考虑隧道开挖过程中的重力场应力释放；解析模型贴合实际，物理意义明确，求解步骤清晰，易于理解；该方法易于编程计算，求解效率高；求解精度较高，且可根据需要改变求解精度以进一步提高求解效率。
本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，这些将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明实施例提供的一种含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移的解析求解方法的求解步骤示意图；
图2-a为本发明实施例提供的一种隧道开挖前含空洞地层浅埋隧道解析模型示意图；
图2-b为本发明实施例提供的一种隧道开挖后含空洞地层浅埋隧道解析模型示意图；
图3为本发明实施例提供的一种重力场释放应力作用下的浅埋隧道示意图；
图4为本发明实施例提供的一种坐标系转换关系示意图；
图5为本发明实施例提供的一种工程算例示意图；
图6-a为本发明实施例提供的一种隧道边界环向应力的解析解与数值解对比图；
图6-b为本发明实施例提供的一种隧道边界变形的解析解与数值解对比图。
具体实施方式
下面详细描述本发明的实施方式，所述实施方式的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施方式是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。
本技术领域技术人员可以理解，除非特意声明，这里使用的单数形式“一”、“一个”、“所述”和“该”也可包括复数形式。应该进一步理解的是，本发明的说明书中使用的措辞“包括”是指存在所述特征、整数、步骤、操作、元件和/或组件，但是并不排除存在或添加一个或多个其他特征、整数、步骤、操作、元件、组件和/或它们的组。应该理解，当我们称元件被“连接”或“耦接”到另一元件时，它可以直接连接或耦接到其他元件，或者也可以存在中间元件。此外，这里使用的“连接”或“耦接”可以包括无线连接或耦接。这里使用的措辞“和/或”包括一个或更多个相关联的列出项的任一单元和全部组合。
本技术领域技术人员可以理解，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。
为便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图以几个具体实施例为例做进一步的解释说明，且各个实施例并不构成对本发明实施例的限定。
实施例一
本发明实施例提供了一种既能够考虑重力荷载释放过程又能够考虑隧道与空洞之间的相互作用的浅埋隧道围岩应力及位移的解析求解方法，以实现快速对工程进行评估。
本发明实施例提供了一种重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法，该方法基于复变函数法和交替法原理，考虑重力荷载和隧道与空洞之间的相互影响。通过与有限元数值模拟结果对比分析，验证了解析解的正确性和高效性。该方法的具体求解过程如图1所示，包括如下的处理步骤：
S1：重力荷载作用下隧道的第一次迭代求解
①复势解析函数计算公式和应力边界条件
图2-a为本发明实施例提供的一种隧道开挖前含空洞地层浅埋隧道解析模型示意图，图2-b为隧道开挖后含空洞地层浅埋隧道解析模型示意图，图3为本发明实施例提供的一种重力场释放应力作用下的浅埋隧道示意图，仅在重力释放荷载fXn和fYn作用下(见图3)，隧道的复势解析函数Φ11(z1)和Ψ11(z1)计算公式为：
Figure BDA0002122479390000101
Figure BDA0002122479390000111
式中，z1＝x1+iy1，i为虚数单位；κ是与材料相关的常数κ＝3-4μ，μ为围岩材料泊松比；z1c＝-ia1，a1由保角映射函数决定；F1x和F1y分别表示释放应力沿隧道轮廓积分一周所得到的x方向和y方向的合力，F1x＝0，F1y＝fπr1 2γ；
f为自重应力释放系数，应力完全释放时等于1，应力不释放时等于0，γ为围岩土体重度，r1为隧道半径。
应力边界条件可以表示为：
Figure BDA0002122479390000112
式中，z1表示隧道轮廓上的任意一点；A、B为积分的起点和终点，从A点到B点积分时被积对象位于积分路径的左侧；ds1为微分段弧长；C11为积分常数，在其中一个边界上C11可以假设为零，而在另一个边界上不能再取为零。
地表为应力自由边界，x方向和y方向的应力分量均为零，所以地表应力边界条件为：
Figure BDA0002122479390000113
隧道开挖前在隧道拟开挖边界上的任意一点的应力状态为：
Figure BDA0002122479390000114
对于隧道边界上的任意一点，根据静力平衡关系可得：
Figure BDA0002122479390000115
Figure BDA0002122479390000116
考虑隧道边界上的应力状态，隧道洞口应力边界条件为：
Figure BDA0002122479390000121
②保角映射
保角映射函数ω1将Z1平面内的下半平面映射至ζ1平面上的单位圆环域
Figure BDA0002122479390000122
式中，
Figure BDA0002122479390000123
α1由式
Figure BDA00021224793900001211
确定。Φ11(z1)和Ψ11(z1)被映射为
Figure BDA0002122479390000124
和ψ11(ζ1)，同时Φ0(z1)和Ψ0(z1)被映射为ζ1圆环域内的单值解析函数
Figure BDA0002122479390000125
和ψ0(ζ1)，并可展开为Laurent级数形式：
Figure BDA0002122479390000126
Figure BDA0002122479390000127
式中，
Figure BDA0002122479390000128
为待确定系数，可通过边界条件确定，其第一个上标表示迭代次数，第二个上标表示洞室编号。
③地表应力边界
由映射至ζ1平面圆环域后的地表边界条件式(4)可得
Figure BDA0002122479390000129
Figure BDA00021224793900001210
④隧道洞口边界
由映射至ζ1平面圆环域后的隧道洞口边界条件式(8)可得
Figure BDA0002122479390000131
Figure BDA0002122479390000132
Figure BDA0002122479390000133
Figure BDA0002122479390000134
Figure BDA0002122479390000135
Figure BDA0002122479390000141
⑤解方程组确定系数值。
根据式(14)和式(15)左侧相等，可以确定积分常数C11
Figure BDA0002122479390000142
在方程组(16)中k从1取到(N-1)，在方程组(17)中k从1取到N，再从方程(14)和(15)中选择一个方程，组成2N个方程，可完全确定2N个待定系数
Figure BDA0002122479390000143
再根据式(12)确定
Figure BDA0002122479390000144
当k＞N时
Figure BDA0002122479390000145
和
Figure BDA0002122479390000146
均取为0。
Figure BDA0002122479390000147
和
Figure BDA0002122479390000148
为常数项，不影响应力，仅引起刚体位移，可通过指定点的位移为零来确定
Figure BDA0002122479390000149
和
Figure BDA00021224793900001410
至此，两个解析函数
Figure BDA00021224793900001411
和ψ0(ζ1)的待定系数已全部确定，解析函数
Figure BDA00021224793900001412
和ψ11(ζ1)也就完全确定了。
S2：隧道在空洞边界上引起的附加面力
通过坐标变换和隧道的复势解析函数
Figure BDA0002122479390000151
和ψ11(ζ1)可确定隧道开挖在空洞边界上引起的附加面力，采用该方法计算空洞边界上的附加面力的计算公式为
Figure BDA0002122479390000152
附加面力的计算步骤如下：
①取ζ2平面上洞2边界任意一点坐标λ2＝α2σ2；
②经过映射t2＝ω2(λ2)得到Z2平面上该点坐标t2；
③利用坐标平移t1＝t2+c得到Z1平面上该点坐标t1；
④经过逆映射
Figure BDA0002122479390000153
得到ζ1平面上该点坐标λ1；
⑤将λ1代入式(21)后可以得到该点对应的附加面力。
为了方便求解将附加面力用傅里叶级数逼近
Figure BDA0002122479390000154
Figure BDA0002122479390000155
Figure BDA0002122479390000156
式中，
Figure BDA0002122479390000157
为
Figure BDA0002122479390000158
的实部；
Figure BDA0002122479390000159
的虚部
Figure BDA00021224793900001510
也可表示成三角多项式形式，对应系数分别用ε′0、ε′k和δ′k表示，计算公式与式(24)相同；n为在空洞边界上等距取点个数。
S3：附加面力作用下空洞的求解：
空洞在附加面力作用下的复势解析函数计算公式为：
Figure BDA0002122479390000161
Figure BDA0002122479390000162
ω2为Z2平面映射至ζ2平面的保角映射函数，其计算公式及符号意义同ω1。利用空洞地表应力自由边界和洞口附加面力
Figure BDA0002122479390000163
边界确定系数
Figure BDA0002122479390000164
Figure BDA0002122479390000165
和
Figure BDA0002122479390000166
的值,方法同步骤S1。
S4：空洞在隧道边界上引起的附加面力
通过坐标变换和隧道的复势解析函数
Figure BDA0002122479390000167
和ψ12(ζ2)可确定空洞在隧道边界上引起的附加面力，采用该方法计算空洞边界上的附加面力的计算公式为
Figure BDA0002122479390000168
附加面力的计算步骤如下：
①取ζ1平面上洞2边界任意一点坐标λ1＝α1σ1；
②经过映射t1＝ω1(λ1)得到Z1平面上该点坐标t1；
③利用坐标平移t2＝t1-c得到Z2平面上该点坐标t2；
④经过逆映射
Figure BDA0002122479390000169
得到ζ2平面上该点坐标λ2；
⑤将λ2代入式(27)后可以得到该点对应的附加面力。
为了方便求解也将附加面力用傅里叶级数逼近，逼近方法与步骤S2相同。
S5：附加面力作用下隧道的求解
隧道在附加面力作用下的复势解析函数计算公式为：
Figure BDA00021224793900001610
Figure BDA0002122479390000171
利用地表应力自由边界和隧道边界上的附加面力
Figure BDA0002122479390000172
边界条件确定系数
Figure BDA0002122479390000173
和
Figure BDA0002122479390000174
的值，方法同步骤S1。
S6：迭代求解至满足精度要求
重复步骤S2～S5，隧道与空洞之间相互影响逐渐减弱，直到满足设定的迭代计算停止条件，比如，当满足设定的求解精度后，迭代求解停止计算。
S7：围岩应力及位移计算
将历次计算得到的复势解析函数叠加得到总的复势解析函数
Figure BDA0002122479390000175
j＝1代表隧道，j＝2代表空洞；L为迭代次数。
为了方便计算应力与位移，建立了如图4所示坐标转换体系，其中包括建立在隧道中心的rθ极坐标系和x’o’y’直角坐标系，建立在隧道正上方的整体坐标系xoy和地表局部坐标系x1o1y1，以及建立在空洞上方的地表局部坐标系x2o2y2。各个坐标系中的坐标满足如下关系
r cosθ＝x＝x'＝x1＝x2+c (31)
r sinθ＝y'＝y+h1＝y1+h1＝y2+h1 (32)
①围岩应力计算公式
xoy坐标系下任意一点(x,y)应力的求解公式为
Figure BDA0002122479390000176
Figure BDA0002122479390000177
式中，j＝1,2，分别表示隧道和空洞。
开挖前，重力引起的应力由式(5)确定，xoy坐标系下总应力为
Figure BDA0002122479390000181
实际工程中，工程人员更关注隧道洞口处的环向应力、径向应力和切向应力，因此，通过坐标变换给出了这些应力计算公式。
由x’o’y’坐标系和xoy坐标系的坐标关系可以确定点(x,y)在x’o’y’坐标系下的应力分量σ'x、σ'y和τ'xy。在rθ极坐标系下点(x,y)的应力为
Figure BDA0002122479390000182
式中,σr、σθ和τrθ分别表示rθ极坐标系下的径向应力、环向应力和切向应力。
②围岩位移计算公式
xoy坐标系下的位移计算公式为
Figure BDA0002122479390000183
式中，j＝1,2，分别表示隧道和空洞；u和v分别表示水平位移和竖向位移。直角坐标系下隧道和空洞引起的位移可直接叠加
Figure BDA0002122479390000184
综上所述，本发明所述技术方案利用复变函数方法和交替法原理，给出了重力荷载作用下的含空洞地层浅埋隧道围岩应力和位移的解析求解方法。该方法可以考虑重力场应力释放，也能够考虑隧道和空洞之间的相互影响。该方案能够揭示围岩应力和变形的基本机理，物理意义明确。另外，本发明所述技术方案中的模型的计算步骤清晰，计算公式明确，非常适合编程计算，而且编程量不大，对于具有一定编程基础的工程人员通过简单编程就可以完成计算。
本发明所述技术方案基于计算案例，将解析解获得的理论计算结果与有限元数值模拟获得的结果进行了对比分析，两者吻合较好，验证了解析解的正确性和高效性。
与经验方法相比，本发明展示的方案可以从更深层次揭示围岩变形的基本机理。与以往理论方法相比，本发明展示的方案既能考虑浅埋隧道的主要荷载因素-重力，又能考虑空洞不利因素，模型更贴合实际。与数值模型方法相比，本发明展示的方案易于编程计算，计算效率高，可以对工程进行快速的系列评价。
下面通过采用本发明展示的解析方法和ABAQUS有限元软件数值模拟对同一工程情况的对比计算，对本发明做进一步展示说明。工程算例以城市地铁盾构单线隧道背景，目前国内地铁埋深绝大部分位于10～30m，计算案例示意见图5，本次展示的算例以空洞位于右侧作为基本情况，空洞位于其他情况仅需改变解析解中的参数即可，具体几何参数见表1。围岩取自《公路隧道设计细则JTG/T D70-2010》中的V级土质围岩，比较适合国内城市地铁隧道建设中遇到的除淤泥质外的软弱土围岩参数，具体围岩参数见表2。
表1几何尺寸参数
Figure BDA0002122479390000191
表2围岩参数
Figure BDA0002122479390000201
图6为应力释放系数为1时隧道边界上的环向应力和变形计算结果。隧道开挖后边界上的径向应力释放，环向应力增长，工程中应重点关注环向应力变化，图6-a为隧道边界上的环形应力分布图。径向应力释放后，隧道边界发生收缩变形，图6-b为隧道边界上的变形分布图，为了方便观察将隧道边界上的变形放大十倍显示。由图6对比分析可知，对于隧道边界上的环向应力和变形来说，解析解与数值解吻合较好，边界位移最大误差约2.6％，应力最大误差约1.5％。误差主要来自两个方面：一是求解过程中函数项的截断误差，二是边界约束条件不同带来的误差。位移误差同时受两个因素影响，应力误差主要受第一个因素影响，所以位移误差比应力误差稍大。如果对计算精度有更高要求，还可以继续增加复势解析函数的项数来实现，但是第二个影响精度的因素是两种计算方式上的差异引起的，无法通过增加复势解析函数项数来实现。对于一般城市隧道工程而言，本示例所达到的精度已经能满足要求。
采用本发明展示的解析方法通过编程计算，在8G内存3.2GHz配置的计算机上运行耗时约1min。当空洞与隧道埋深，相对位置及大小变化时，仅需要改变程序中的输入参数，可以对各个因素进行系列计算，然后对工程进行快速评估。如果采用有限元软件进行系列计算，则每次均需要重新建模和计算，有限元的计算时间耗时比解析方法高1到2个量级，再考虑到建模和系列计算，则有限元耗时比本解析方法耗时高出约3个量级。
本发明所述技术方案可考虑重力释放荷载及空洞因素，贴合工程实际，将考虑重力荷载作用下的含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移解析求解方法进行了应用，并将解析解计算结果与有限元数值模拟结果进行了对比分析，验证了解析解的正确性。相比于数值计算，本方案计算效率非常高，可以对工程快速评估。相比于经验法，本方案从力学机理上揭示了围岩应力和变形，更加可靠和精确，可重复性好。
本领域普通技术人员可以理解：附图只是一个实施例的示意图，附图中的模块或流程并不一定是实施本发明所必须的。
通过以上的实施方式的描述可知，本领域的技术人员可以清楚地了解到本发明可借助软件加必需的通用硬件平台的方式来实现。基于这样的理解，本发明的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品可以存储在存储介质中，如ROM/RAM、磁碟、光盘等，包括若干指令用以使得一台计算机设备(可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等)执行本发明各个实施例或者实施例的某些部分所述的方法。
本说明书中的各个实施例均采用递进的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。尤其，对于装置或系统实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述得比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。以上所描述的装置及系统实施例仅仅是示意性的，其中所述作为分离部件说明的单元可以是或者也可以不是物理上分开的，作为单元显示的部件可以是或者也可以不是物理单元，即可以位于一个地方，或者也可以分布到多个网络单元上。可以根据实际的需要选择其中的部分或者全部模块来实现本实施例方案的目的。本领域普通技术人员在不付出创造性劳动的情况下，即可以理解并实施。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (5)

1.一种重力作用下含空洞地层浅埋隧道围岩应力及位移求解方法，其特征在于，包括：
步骤S1、计算重力场应力释放荷载作用下的隧道围岩应力及位移的复势解析函数；
步骤S2、计算隧道在空洞边界上引起的附加面力；
步骤S3、计算在附加面力作用下空洞围岩应力及位移的复势解析函数；
步骤S4、计算空洞在隧道边界上引起的附加面力；
步骤S5、计算在附加 面力作用下隧道围岩应力及位移的复势解析函数；
步骤S6、重复执行所述步骤S2-S5，直到满足设定的迭代计算停止条件；
步骤S7、叠加历次迭代获得的复势解析函数，得到所述浅埋隧道围岩应力及位移的最终的复势解析函数，以及所述浅埋隧道围岩应力及位移的最终的计算公式；
所述步骤S1中的计算重力场应力释放荷载作用下的浅埋隧道围岩应力及位移的复势解析函数，包括：
基于复变函数法，考虑重力荷载在隧道开挖边界上的分布形态，仅在重力释放荷载fXn和fYn作用下，浅埋隧道围岩应力及位移的复势解析函数Φ11(z1)和Ψ11(z1)的计算公式如下：
Figure FDA0003242009550000011
Figure FDA0003242009550000012
式中，z1＝x1+iy1，i为虚数单位；κ是与材料相关的常数，κ＝3-4μ，μ为围岩材料泊松比；z1c＝-ia1，a1由保角映射函数决定；F1x和F1y分别表示释放应力沿隧道轮廓积分一周所得到的x方向和y方向的合力，F1x＝0，F1y＝fπr1 2γ；f为自重应力释放系数，应力完全释放时等于1，应力不释放时等于0，γ为围岩土体重度，r1为隧道半径；
应力边界条件表示为：
Figure FDA0003242009550000021
式中，z1表示隧道轮廓上的任意一点；A、B为积分的起点和终点，从A点到B点积分时被积对象位于积分路径的左侧；ds1为微分段弧长；C11为积分常数，在其中一个边界上C11假设为零，而在另一个边界上C11不能再取为零；fXn和fYn为重力释放荷载；
地表为应力自由边界，x方向和y方向的应力分量均为零，所以地表应力边界条件为：
Figure FDA0003242009550000022
式中，
Figure FDA0003242009550000023
为复势函数Φ11(z1)的一阶导数的共轭；隧道开挖前在隧道拟开挖边界上的任意一点的应力状态为：
Figure FDA0003242009550000024
式中，K0为隧道围岩侧压力系数；对于隧道边界上的任意一点，根据静力平衡关系得到：
Figure FDA0003242009550000025
Figure FDA0003242009550000026
考虑隧道边界上的应力状态，隧道洞口应力边界条件为：
Figure FDA0003242009550000031
保角映射函数ω1将Z1平面内的下半平面映射至ζ1平面上的单位圆环内半径为α1，对应隧道边界：
Figure FDA00032420095500000314
式中，h1为隧道的中心埋深；
Φ11(z1)和Ψ11(z1)被映射为
Figure FDA0003242009550000032
和ψ11(ζ1)，同时Φ0(z1)和Ψ0(z1)被映射为ζ1圆环域内的单值解析函数
Figure FDA0003242009550000033
和ψ0(ζ1)，并可展开为Laurent级数形式：
Figure FDA0003242009550000034
Figure FDA0003242009550000035
式中，
Figure FDA0003242009550000036
和
Figure FDA0003242009550000037
为复势函数
Figure FDA0003242009550000038
的Laurent级数表达式的待定系数，
Figure FDA0003242009550000039
和
Figure FDA00032420095500000310
为复势函数ψ11(ζ1)的Laurent级数表达式的待定系数；根据式(4)和式(8)可以确定复势解析函数
Figure FDA00032420095500000311
和ψ11(ζ1)；
所述步骤S4中的计算空洞在隧道边界上引起的附加面力，包括：
通过坐标变换和隧道的复势解析函数
Figure FDA00032420095500000312
和ψ12(ζ2)确定空洞在隧道边界上引起的附加面力，空洞在隧道边界上引起的附加面力的计算公式为：
Figure FDA00032420095500000313
附加面力的计算步骤如下：
①取ζ1平面上洞2边界任意一点坐标λ1＝α1σ1；
②经过映射t1＝ω1(λ1)得到Z1平面上该点坐标t1；
③利用坐标平移t2＝t1-c得到Z2平面上该点坐标t2；
④经过逆映射
Figure FDA0003242009550000041
得到ζ2平面上该点坐标λ2；
⑤将λ2代入式(17)后得到该点对应的附加面力。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S2中的计算隧道在空洞边界上引起的附加面力，包括：
通过坐标变换和隧道的复势解析函数
Figure FDA0003242009550000042
和ψ11(ζ1)确定隧道开挖在空洞边界上引起的附加面力，隧道在空洞边界上引起的附加面力的计算公式为：
Figure FDA0003242009550000043
附加面力的计算步骤如下：
①取ζ2平面上洞2边界任意一点坐标λ2＝α2σ2；
②经过映射t2＝ω2(λ2)得到Z2平面上该点坐标t2；
③利用坐标平移t1＝t2+c得到Z1平面上该点坐标t1；
④经过逆映射
Figure FDA0003242009550000044
得到ζ1平面上该点坐标λ1；
⑤将λ1代入式(11)后可以得到该点对应的附加面力；
将附加面力
Figure FDA0003242009550000045
用傅里叶级数逼近
Figure FDA0003242009550000046
Figure FDA0003242009550000047
Figure FDA0003242009550000051
式中，
Figure FDA0003242009550000052
为
Figure FDA0003242009550000053
的实部；
Figure FDA0003242009550000054
的虚部
Figure FDA0003242009550000055
也表示成三角多项式形式，对应系数分别用ε’0、ε’k和δ’k表示，计算公式与式(16)相同；M为傅里叶级数的项数，n为在空洞边界上等距取点个数。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S3中的计算空洞在附加面力作用下的复势解析函数，包括：
空洞在附加面力作用下的复势函数的Laurent级数表达式为
Figure FDA0003242009550000056
Figure FDA0003242009550000057
ω2为Z2平面映射至ζ2平面的保角映射函数；利用地表应力自由边界和空洞洞口附加面力
Figure FDA0003242009550000058
边界确定系数
Figure FDA0003242009550000059
和
Figure FDA00032420095500000510
的值。
4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S5中的计算隧道在附加面力作用下的复势解析函数，包括：
隧道在附加面力作用下的复势函数表达式为
Figure FDA00032420095500000511
Figure FDA00032420095500000512
利用地表应力自由边界和隧道洞口附加面力
Figure FDA00032420095500000513
边界确定系数
Figure FDA00032420095500000514
Figure FDA00032420095500000515
和
Figure FDA00032420095500000516
的值。
5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤S7中的将历次计算获得的复势解析函数叠加得到围岩应力及位移的最终的复势解析函数：
Figure FDA0003242009550000061
j＝1代表隧道，j＝2代表空洞；L为迭代次数；
建立在隧道中心的rθ极坐标系和x’o’y’直角坐标系，建立在隧道正上方的整体坐标系xoy和地表局部坐标系x1o1y1，以及建立在空洞上方的地表局部坐标系x2o2y2；
各个坐标系中的坐标满足如下关系:
rcosθ＝x＝x'＝x1＝x2+c (22)
rsinθ＝y'＝y+h1＝y1+h1＝y2+h1 (23)
步骤S7所述的围岩应力的最终计算公式包括：
xoy坐标系下任意一点(x,y)应力的求解公式为
Figure FDA0003242009550000062
Figure FDA0003242009550000063
式中，
Figure FDA0003242009550000064
和
Figure FDA0003242009550000065
分别为xoy坐标系下的水平、竖向和切向应力，j＝1,2，分别表示隧道和空洞；
开挖前，重力引起的应力由式(5)确定，xoy坐标系下总应力为
Figure FDA0003242009550000066
式中，由x'o'y'坐标系和xoy坐标系的坐标关系确定点(x,y)在x'o'y'坐标系下的应力分量σ’x、σ’y和τ’xy，在rθ极坐标系下点(x,y)的围岩应力的计算公式为：
Figure FDA0003242009550000071
式中,σr、σθ和τrθ分别表示rθ极坐标系下的径向应力、环向应力和切向应力；
步骤S7所述的围岩位移的最终计算公式包括：
xoy坐标系下的位移计算公式为
Figure FDA0003242009550000072
式中，u和v分别表示水平位移和竖向位移，直角坐标系下隧道和空洞引起的位移可直接叠加
Figure FDA0003242009550000073
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