CN106647623B - 一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，包括步骤：(1)根据给定的机床坐标系中的五轴联动刀具路径获取对应的平动轴路径及旋转轴路径；(2)定义平动轴路径及旋转轴路径的光顺部分及线性部分；(3)根据平动轴路径及旋转轴路径光顺部分的圆弧半径以及进给速度，对综合光顺误差进行建模；(4)以衔接速度最优为目标，计算平动轴路径及旋转轴路径光顺部分的圆弧半径；(5)根据时间分割的方法进行插补。该方法不需精确通过给定的路径衔接点，可以克服插补周期不为整数的问题，也可以避免路径段长度对进给速度的限制，通过引入可控的插补误差，可以获得更快的进给速度，提高加工效率。

Description

一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法

技术领域

本发明涉及机床数控系统的研究领域，特别涉及一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法。

背景技术

五轴联动加工代码一般由大量一阶不连续的微小路径段组成，使得进给速度波动严重，甚至根本达不到命令进给速度，影响加工质量和效率，因而在实际应用中需要结合平滑插补算法。所谓平滑插补，是指在插补过程中，往后预读一定数量的路径段，构成一个预处理缓冲区，根据这些路径段的几何特性(包括路径段的长度、转角等)，计算出各段优化的衔接速度，并与期望的加减速策略结合，实现进给速度的平滑控制。平滑插补技术可以大大提高实际进给速度，减少速度波动，提高加工效率，改善加工质量。

目前针对平滑插补可分为路径衔接点精确通过法和路径衔接点光顺过渡法两种。

路径衔接点精确通过法是指在进行平滑插补处理时，严格按照给定的刀具路径进行插补，保证精确通过每个给定的路径衔接点(刀位点)。该方法的优点是插补精度高，不会引入插补误差，缺点是在对路径段进行速度规划时，由于优化后的路径段始末速度不为零，导致无法在整数个插补周期内按照期望的加减速策略对路径段完成插补。目前解决这一问题的方法有：采用整数优化策略、调整进给速度曲线及变周期插补等。然而，路径衔接点精确通过法会受到路径段长度的限制，当路径段长度较短时(如几微米到几十微米)，路径段的衔接速度会被限制得较低(与插补周期有关，插补周期越长，被限制得越低)，因而进给速度提高仍然有限。

路径衔接点光顺过渡法对预读路径段进行局部光顺处理，实现跨段连续插补。但目前该方法只根据光顺误差来确定光顺过渡段，没有同时考虑插补误差来对衔接速度进行优化，这在高速高精加工时缺点表现尤为明显，需要应用者同时考虑光顺误差及插补误差对几何精度及加工效率的影响，往往需要根据不同的工件进行多次尝试后才能获得较为满意的效果。

发明内容

本发明针对现有数控系统五轴联动平滑插补存在的问题，提出了一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，不需精确通过给定的路径衔接点，可以克服插补周期不为整数的问题。

为了到达上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，该方法基于机床数控系统实施，包括下述步骤：

(1)把机床坐标系中的五轴联动刀具路径分别投影到平动轴空间和旋转轴空间中，得到平动轴路径和旋转轴路径，所述平动轴空间是由三个平动轴张成的欧氏空间，所述旋转轴空间是由两个旋转轴张成的欧氏空间；

(2)在由步骤(1)中得到的平动轴路径和旋转轴路径的拐角处，插入光顺圆弧，使光顺圆弧分别与相邻的路径段相切，并确定平动轴路径及旋转轴路径的光顺部分及线性部分；

(3)根据平动轴路径及旋转轴路径光顺部分的圆弧半径以及五轴合成衔接速度，对综合光顺误差进行建模，所述综合光顺误差包括圆弧拟合误差及圆弧插补误差；

(4)根据步骤(3)得到的综合光顺误差模型，以五轴合成衔接速度最优为目标，计算平动轴路径及旋转轴路径光顺部分的圆弧半径，从而确定光顺后的平动轴路径及旋转轴路径；

(5)分别对光顺后的平动轴路径及旋转轴路径的线性部分和光顺部分进行插补，对于线性部分，采用时间分割的方法，把该周期合成位移增量线性的分别投影到五个进给轴上；对于光顺部分，首先把五轴合成速度分解到平动轴路径和旋转轴路径上，然后分别对平动轴路径和旋转轴路径进行圆弧插补及直线插补。

作为优选的技术方案，步骤(1)中，平动轴路径由一系列的平动轴路径衔接点T_i(X_i,Y_i,Z_i)(i＝0,1,...,n)确定，相邻的两个路径衔接点T_i、T_i+1确定了平动轴路径段L_Ti(i＝0,1,...,n-1)；

旋转轴路径由一系列的旋转轴路径衔接点R_i(α_i,β_i)(i＝0,1,...,n)确定，相邻的两个路径衔接点R_i、R_i+1确定了旋转轴路径段L_Ri(i＝0,1,...,n-1)。

作为优选的技术方案，步骤(2)中，对于平动轴路径，过渡路径段为光顺圆弧，如路径衔接点T_i对应的过渡路径段为圆弧A_i；线性路径段为连接相邻光顺圆弧起点和终点的直线段，如路径段L_Ti上对应的线性路径段为I_iH_i+1；

对于旋转轴路径段，过渡路径段由光顺圆弧和一段与之相切的直线段构成；线性路径段为连接相邻过渡路径段起点和终点的直线段。

作为优选的技术方案，步骤(3)中，刀具姿态误差包括刀具中心点位置误差和刀具方向误差，

对刀具中心点的位置误差建模，可由如下公式描述：

对刀具方向误差建模，可由如下公式描述：

其中：r_Ti为平动轴过渡圆弧的半径，r_Ri为旋转轴过渡圆弧的半径，v_Ti为平动轴过渡圆弧的进给速度，v_Ri为旋转轴过渡圆弧的进给速度，T_s为插补周期，v_i为五轴合成衔接速度。

作为优选的技术方案，θ_Ti为平动轴路径在衔接点T_i处的夹角；

θ_Ri为旋转轴路径段在衔接点R_i处的夹角；

m_T为误差映射参数的最大值；

m_PR为误差映射参数的最大值；

m_OR为误差映射参数的最大值；

m_T根据如下方法计算得到，m_PR及m_OR通过相同方法计算得到；

首先根据如下公式计算角度的值：

再根据角度的值计算m_T的取值：

其中V₁及V₂根据如下公式确定：

其中，

为3×3矩阵，为五轴机床运动学变换雅各比矩阵的前三行前三列；

五轴机床的运动学变换定义为为W:R⁵→R⁶，把机床坐标系各轴坐标变换为工件坐标系中五轴刀位，机床坐标系各轴坐标定义为M＝(T,R)，其中T＝(X,Y,Z)为平动轴坐标，R＝(α,β)为旋转轴坐标；工件坐标系中五轴刀位定义为(P,O)，其中P为刀具中心点位置矢量，O为刀具方向矢量；

五轴机床运动学变换雅各比矩阵为

作为优选的技术方案，步骤(4)中，平动轴光顺圆弧最优半径的计算方法如下：

首先计算(a_P-a_O)(b_O-b_P)的值，

其中

K_δTi、K_δRi、T_s、m_T、m_PR及m_OR与第五步中的定义及计算方法相同；

ε_P为用户给定的刀具中心点位置最大误差，ε_O为用户给定的刀具方向最大误差

然后，根据(a_P-a_O)(b_O-b_P)的取值来计算得到平动轴光顺圆弧最优半径及旋转轴光顺圆弧最优半径；

(a_P-a_O)(b_O-b_P)＞0时，则平动轴光顺圆弧最优半径为四个候选取值中的一个。

作为优选的技术方案，步骤(4)中，旋转轴光顺圆弧最优半径计算方法如下：

首先根据如下公式计算平动轴与旋转轴对应路径段长度间的比值K_li：

①当K_li-1≤K_li时，令U_i与旋转轴光顺圆弧B_i的起点J_i重合，旋转轴路径段衔接点R_i对应的过渡路径段则为圆弧B_i与直线段K_iW_i，直线段J_iR_i和R_iK_i的长度为：

圆弧B_i的半径为r_Ri为：

直线段K_iW_i的长度为：

②当K_li-1＞K_li时，令W_i与旋转轴光顺圆弧B_i的终点K_i重合，旋转轴路径段衔接点R_i对应的过渡路径段则为直线段U_iJ_i与圆弧B_i，直线段J_iR_i和R_iK_i的长度为：

圆弧B_i的半径r_Ri为：

直线段U_iJ_i的长度为：

根据①和②两种情况可以确定旋转轴路径段光顺后的过渡路径段和线性路径段。

作为优选的技术方案，步骤(5)中，线性路径段的插补方法如下：

记线性路径段L_i上的当前插补周期对应的插补点为P_i,j，下一个插补周期的五轴合成进给速度为v_i,j，则下一个插补周期的插补点可由如下公式计算：

其中M_i及M_i+1为线性路径段L_i的起点及终点，l_i为线性路径段L_i的长度，T_s为插补周期。

作为优选的技术方案，步骤(5)中，过渡路径段的插补方法如下：

首先根据如下公式，把五轴合成进给速度v分别分解到平动轴过渡路径段和旋转轴过渡路径段上：

分解到平动轴过渡路径段的进给速度：

分解到旋转轴过渡路径段的进给速度：

其中s_T为平动轴路径段的长度，s_R为旋转轴路径段的长度。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

1、本发明的方法同时考虑光顺误差及插补误差，在满足给定的几何精度的前提下，以衔接速度最优为目标，自动计算出光顺后的刀具路径并进行插补。该方法不需精确通过给定的路径衔接点，可以克服插补周期不为整数的问题，也可以避免路径段长度对进给速度的限制，通过引入可控的插补误差，可以获得更快的进给速度，提高加工效率。

2、本发明的应用者只需设定期望的几何精度，系统可自动的同时考虑几何精度和加工效率对刀具路径进行优化插补，不需反复尝试即可获得满意效果。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明平动轴路径光顺示意图；

图3是本发明旋转轴路径光顺示意图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例

如图1所示，本发明一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，是运用到机床数控系统之上，其包括下述五个步骤：

(一)机床坐标系中的线性刀路由一系列五轴路径衔接点M_i(X_i,Y_i,Z_i,α_i,β_i)(i＝0,1,...,n)确定。每一个路径衔接点M_i为由机床各轴坐标构成的五维向量，包括三个平动轴坐标(X_i,Y_i,Z_i)和两个旋转轴的坐标(α_i,β_i)。相邻的两个路径衔接点M_i、M_i+1确定了五轴路径段L_i(i＝0,1,...,n-1)。

如图2、图3所示，把机床坐标系中的五轴联动刀具路径分别投影到平动轴空间(由三个平动轴张成的欧氏空间)和旋转轴空间(由两个旋转轴张成的欧氏空间)中，可以得到平动轴路径和旋转轴路径。平动轴路径由一系列的平动轴路径衔接点T_i(X_i,Y_i,Z_i)(i＝0,1,...,n)确定。相邻的两个路径衔接点T_i、T_i+1确定了平动轴路径段L_Ti(i＝0,1,...,n-1)；

旋转轴路径由一系列的旋转轴路径衔接点R_i(α_i,β_i)(i＝0,1,...,n)确定。相邻的两个路径衔接点R_i、R_i+1确定了旋转轴路径段L_Ri(i＝0,1,...,n-1)。

(二)在平动轴路径和旋转轴路径中插入光顺圆弧，使之分别与相邻的路径段相切，实现机床坐标系线性路径的局部光顺。如图2所示，对应平动轴衔接点T_i的光顺圆弧A_i起点为H_i，终点为I_i，分别与路径段L_Ti-1和L_Ti相切于点H_i和I_i，对应旋转轴衔接点R_i的光顺圆弧B_i起点为J_i，终点为K_i，分别与路径段L_Ri-1和L_Ri相切于点J_i和K_i。

局部光顺后的路径由线性路径段和过渡路径段组成。对于平动轴路径，过渡路径段为光顺圆弧，如路径衔接点T_i对应的过渡路径段为圆弧A_i；线性路径段为连接相邻光顺圆弧起点和终点的直线段，如路径段L_Ti上对应的线性路径段为I_iH_i+1。

对于旋转轴路径段，过渡路径段由光顺圆弧和一段与之相切的直线段构成；线性路径段为连接相邻过渡路径段起点和终点的直线段。

(三)在对机床坐标系线性路径进行局部光顺后，在过渡路径段中存在着圆弧光顺误差和插补误差，经过五轴机床各轴运动的综合作用，最终会引起刀具姿态的误差。

五轴加工中的刀具姿态由工件坐标系中的五轴刀位描述。五轴刀位为六维矢量，由刀具中心点位置矢量和刀具方向矢量组成。因而，刀具姿态误差包括刀具中心点位置误差和刀具方向误差。

对刀具中心点的位置误差建模，可由如下公式描述：

对刀具方向误差建模，可由如下公式描述：

其中：r_Ti为平动轴过渡圆弧的半径，r_Ri为旋转轴过渡圆弧的半径，v_Ti为平动轴过渡圆弧的进给速度，v_Ri为旋转轴过渡圆弧的进给速度，T_s为插补周期，v_i为五轴合成衔接速度。

θ_Ti为平动轴路径在衔接点T_i处的夹角

θ_Ri为旋转轴路径段在衔接点R_i处的夹角

m_T为误差映射参数的最大值。

m_PR为误差映射参数的最大值。

m_OR为误差映射参数的最大值。

m_T根据如下方法计算得到(m_PR及m_OR可通过类似方法计算得到)。

首先根据如下公式计算角度的值：

再根据角度的值计算m_T的取值：

其中V₁及V₂根据如下公式确定：

其中

为3×3矩阵，为五轴机床运动学变换雅各比矩阵的前三行前三列。

五轴机床的运动学变换定义为为W:R⁵→R⁶，把机床坐标系各轴坐标(五维矢量，记为)变换为工件坐标系中五轴刀位(六维矢量)。机床坐标系各轴坐标定义为M＝(T,R)(其中T＝(X,Y,Z)为平动轴坐标，R＝(α,β)为旋转轴坐标)；工件坐标系中五轴刀位定义为(P,O)(其中P为刀具中心点位置矢量，O为刀具方向矢量)。

五轴机床运动学变换雅各比矩阵为

(4)根据第三步计算得到的刀具中心点的位置误差模型及刀具方向误差模型，以及用户给定的刀具中心点位置最大误差ε_P及刀具方向最大误差ε_O，以五轴合成衔接速度v_i最大为优化目标，计算得到平动轴光顺圆弧最优半径及旋转轴光顺圆弧最优半径。

首先计算(a_P-a_O)(b_O-b_P)的值。

其中

K_δTi、K_δRi、T_s、m_T、m_PR及m_OR与第五步中的定义及计算方法相同。

ε_P为用户给定的刀具中心点位置最大误差，ε_O为用户给定的刀具方向最大误差

然后，根据(a_P-a_O)(b_O-b_P)的取值来计算得到平动轴光顺圆弧最优半径及旋转轴光顺圆弧最优半径。

(a_P-a_O)(b_O-b_P)＞0时

则平动轴光顺圆弧最优半径为四个候选取值中的一个。四个候选取值通过如下方法计算：

候选取值1：

候选取值2：

候选取值3：

候选取值4：

把以上四个候选取值代入函数f(r)＝min{a_Pr²+a_Pr,a_Or²+a_Or}中，计算出相应的四个函数值并选出最大函数值，则最大函数值对应的候选取值为平动轴光顺圆弧最优半径，记为r_Tm。

根据以下方法计算旋转轴光顺圆弧最优半径：

首先根据如下公式计算平动轴与旋转轴对应路径段长度间的比值K_li：

①当K_li-1≤K_li时，如图2所示，令U_i与旋转轴光顺圆弧B_i的起点J_i重合，旋转轴路径段衔接点R_i对应的过渡路径段则为圆弧B_i与直线段K_iW_i。直线段J_iR_i和R_iK_i的长度为：

圆弧B_i的半径为r_Ri为：

直线段K_iW_i的长度为：

②当K_li-1＞K_li时，如图2所示，令W_i与旋转轴光顺圆弧B_i的终点K_i重合，旋转轴路径段衔接点R_i对应的过渡路径段则为直线段U_iJ_i与圆弧B_i。直线段J_iR_i和R_iK_i的长度为：

圆弧B_i的半径r_Ri为：

直线段U_iJ_i的长度为：

根据以上两种情况可以确定旋转轴路径段光顺后的过渡路径段和线性路径段。

(五)进行局部光顺后，刀具路径由线性路径段和过渡路径段构成。下面分别给出线性路径段和过渡路径段的插补方法。

A、线性路径段的插补方法。

记线性路径段L_i上的当前插补周期对应的插补点为P_i,j，下一个插补周期的五轴合成进给速度为v_i,j，则下一个插补周期的插补点可由如下公式计算：

其中M_i及M_i+1为线性路径段L_i的起点及终点，l_i为线性路径段L_i的长度，T_s为插补周期。

B、过渡路径段的插补方法。

首先根据如下公式，把五轴合成进给速度v分别分解到平动轴过渡路径段和旋转轴过渡路径段上：

分解到平动轴过渡路径段的进给速度：

分解到旋转轴过渡路径段的进给速度：

其中s_T为平动轴路径段的长度，s_R为旋转轴路径段的长度。

根据v_T和v_R可以分别对平动轴和旋转轴过渡段进行插补；此时，五轴过渡段的插补就转化为对三维(或二维)欧式空间中的圆弧、直线段进行插补。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，包括下述步骤：

(1)把机床坐标系中的五轴联动刀具路径分别投影到平动轴空间和旋转轴空间中，得到平动轴路径和旋转轴路径，所述平动轴空间是由三个平动轴张成的欧氏空间，所述旋转轴空间是由两个旋转轴张成的欧氏空间；

(2)在由步骤(1)中得到的平动轴路径和旋转轴路径的拐角处，插入光顺圆弧，使光顺圆弧分别与相邻的路径段相切，并确定平动轴路径及旋转轴路径的光顺部分及线性部分；

(3)根据平动轴路径及旋转轴路径光顺部分的圆弧半径以及五轴合成衔接速度，对综合光顺误差进行建模，所述综合光顺误差包括圆弧拟合误差及圆弧插补误差；

步骤(3)中，刀具姿态误差包括刀具中心点位置误差和刀具方向误差，对刀具中心点的位置误差建模，可由如下公式描述：

对刀具方向误差建模，可由如下公式描述：

其中：r_Ti为平动轴过渡圆弧的半径，r_Ri为旋转轴过渡圆弧的半径，v_Ti为平动轴过渡圆弧的进给速度，v_Ri为旋转轴过渡圆弧的进给速度，T_s为插补周期，v_i为五轴合成衔接速度；

(4)根据步骤(3)得到的综合光顺误差模型，以五轴合成衔接速度最优为目标，计算平动轴路径及旋转轴路径光顺部分的圆弧半径，从而确定光顺后的平动轴路径及旋转轴路径；

(5)分别对光顺后的平动轴路径及旋转轴路径的线性部分和光顺部分进行插补，对于线性部分，采用时间分割的方法，把该周期合成位移增量线性的分别投影到五个进给轴上；对于光顺部分，首先把五轴合成速度分解到平动轴路径和旋转轴路径上，然后分别对平动轴路径和旋转轴路径进行圆弧插补及直线插补。

2.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，步骤(1)中，平动轴路径由一系列的平动轴路径衔接点T_i(X_i,Y_i,Z_i)(i＝0,1,...,n)确定，相邻的两个路径衔接点T_i、T_i+1确定了平动轴路径段L_Ti(i＝0,1,...,n-1)；

旋转轴路径由一系列的旋转轴路径衔接点R_i(α_i,β_i)(i＝0,1,...,n)确定，相邻的两个路径衔接点R_i、R_i+1确定了旋转轴路径段L_Ri(i＝0,1,...,n-1)。

3.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，步骤(2)中，对于平动轴路径，过渡路径段为光顺圆弧，如路径衔接点T_i对应的过渡路径段为圆弧A_i；线性路径段为连接相邻光顺圆弧起点和终点的直线段，如路径段L_Ti上对应的线性路径段为I_iH_i+1；

对于旋转轴路径段，过渡路径段由光顺圆弧和一段与之相切的直线段构成；线性路径段为连接相邻过渡路径段起点和终点的直线段。

4.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，θ_Ti为平动轴路径在衔接点T_i处的夹角；

θ_Ri为旋转轴路径段在衔接点R_i处的夹角；

m_T为误差映射参数的最大值；

m_PR为误差映射参数的最大值；

m_OR为误差映射参数的最大值；

m_T根据如下方法计算得到，m_PR及m_OR通过相同方法计算得到；

首先根据如下公式计算角度的值：

再根据角度的值计算m_T的取值：

(A)

(B)

其中V₁及V₂根据如下公式确定：

其中，

为3×3矩阵，为五轴机床运动学变换雅各比矩阵的前三行前三列；

五轴机床的运动学变换定义为为W:R⁵→R⁶，把机床坐标系各轴坐标变换为工件坐标系中五轴刀位，机床坐标系各轴坐标定义为M＝(T,R)，其中T＝(X,Y,Z)为平动轴坐标，R＝(α,β)为旋转轴坐标；工件坐标系中五轴刀位定义为(P,O)，其中P为刀具中心点位置矢量，O为刀具方向矢量；

五轴机床运动学变换雅各比矩阵为

5.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，步骤(4)中，平动轴光顺圆弧最优半径的计算方法如下：

首先计算(a_P-a_O)(b_O-b_P)的值，

其中

K_δTi、K_δRi、T_s、m_T、m_PR及m_OR与第五步中的定义及计算方法相同；

ε_P为用户给定的刀具中心点位置最大误差，ε_O为用户给定的刀具方向最大误差

然后，根据(a_P-a_O)(b_O-b_P)的取值来计算得到平动轴光顺圆弧最优半径及旋转轴光顺圆弧最优半径；

(a_P-a_O)(b_O-b_P)＞0时，则平动轴光顺圆弧最优半径为四个候选取值中的一个。

6.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，步骤(4)中，旋转轴光顺圆弧最优半径计算方法如下：

首先根据如下公式计算平动轴与旋转轴对应路径段长度间的比值K_li：

①当K_li-1≤K_li时，令U_i与旋转轴光顺圆弧B_i的起点J_i重合，旋转轴路径段衔接点R_i对应的过渡路径段则为圆弧B_i与直线段K_iW_i，直线段J_iR_i和R_iK_i的长度为：

圆弧B_i的半径为r_Ri为：

直线段K_iW_i的长度为：

②当K_li-1＞K_li时，令W_i与旋转轴光顺圆弧B_i的终点K_i重合，旋转轴路径段衔接点R_i对应的过渡路径段则为直线段U_iJ_i与圆弧B_i，直线段J_iR_i和R_iK_i的长度为：

圆弧B_i的半径r_Ri为：

直线段U_iJ_i的长度为：

根据①和②两种情况可以确定旋转轴路径段光顺后的过渡路径段和线性路径段。

7.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，步骤(5)中，线性路径段的插补方法如下：

记线性路径段L_i上的当前插补周期对应的插补点为P_i,j，下一个插补周期的五轴合成进给速度为v_i,j，则下一个插补周期的插补点可由如下公式计算：

其中M_i及M_i+1为线性路径段L_i的起点及终点，l_i为线性路径段L_i的长度，T_s为插补周期。

8.根据权利要求1所述一种几何精度及衔接速度最优化的五轴联动平滑插补方法，其特征在于，步骤(5)中，过渡路径段的插补方法如下：

首先根据如下公式，把五轴合成进给速度v分别分解到平动轴过渡路径段和旋转轴过渡路径段上：

分解到平动轴过渡路径段的进给速度：

分解到旋转轴过渡路径段的进给速度：

其中s_T为平动轴路径段的长度，s_R为旋转轴路径段的长度。