CN105607577A - 一种基于轴向精度的小线段过渡方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于轴向精度的小线段过渡方法。本发明包括以下步骤：根据数控系统设定的轴向误差值和机床结构，动态确定不同方向上的最大轮廓误差；根据动态确定的最大轮廓误差值，确定插补数据中非必需的点，将其标记为冗余点；建立圆弧过渡的数学模型，确定过渡圆弧相关参数的初始值；根据标记的冗余点，检查并调整参数值。本发明提出的轮廓误差计算方法和冗余点滤除方法，在保证加工质量的基础上，可有效地减少待加工路径的数据量。基于轴向的圆弧轨迹规划方法以及基于冗余点的圆弧参数调整方法，可以将加工误差控制在系统的限制范围之内，在保证加工质量的基础上提高加工效率。

Description

一种基于轴向精度的小线段过渡方法

技术领域

本发明涉及数控技术领域的小线段加工技术，具体的说是一种基于轴向精度的小线段过渡方法。

背景技术

在复杂曲面的数控加工过程中，CAM系统首先将复杂曲面离散成简单平面，并用小线段覆盖，产生的加工数据传输到CNC系统中。此时，如果按照传统方式直接加工，频繁的加减速会降低加工表面的质量和加工效率。因此，对小线段所表示的加工路径进行过渡处理，对提高加工质量和效率至关重要。

现有的处理方法主要分为以下几种：一是直接过渡法，这种方法最简单，但加工误差最大。二是单周期的圆弧过渡法，但在过渡点处加工速度会降低，而且轮廓精度难以保证。三是基于矢量的曲线过渡，这种方法不适用于加工长度过短的小线段。四是样条曲线过渡法和样条曲线拟合法。样条曲线过渡法包括Ferguson曲线过渡法、NURBS曲线过渡法，样条曲线拟合法包括NURBS曲线等样条曲线拟合。样条曲线的拟合和插补过程中涉及到的计算量较大，不适用于实时系统。而且上述算法在进行路径规划时，设置唯一的轮廓误差值，未考虑轴向轮廓误差的要求，不能满足特殊工件的加工要求。

发明内容

针对现有常用方法各自的不足之处，本发明要解决的技术问题是提供一种能够根据保证加工件轴向精度的，又不会降低加工速度的基于轴向精度的小线段过渡方法。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种基于轴向精度的小线段过渡方法，包括以下步骤：

根据数控系统设定的轴向误差值和机床结构，动态确定不同方向上的最大轮廓误差；

根据动态确定的最大轮廓误差值，确定插补数据中非必需的点，将其标记为冗余点；

建立圆弧过渡的数学模型，确定过渡圆弧相关参数的初始值；

根据标记的冗余点，检查并调整参数值。

所述根据数控系统设定的轴向误差值和机床结构，动态确定不同方向上的最大轮廓误差erro_max，在三轴情况下为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{\max \_x=}|{\mathrm{erro}}_{x=\max }/\cos \left(x\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_y}=|{\mathrm{erro}}_{y\_\max }/\cos \left(y\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_z}=|{\mathrm{erro}}_{z\_\max }/\cos \left(z\right)|\end{array}\right.---\left(1\right)$

erro_max＝min(erro_{max_x},erro_{max_y},erro_{max_z})

在五轴情况下为：

erro_max＝min(min(erro_{max_x}),min(erro_{max_y}),min(erro_{max_z}))(5)

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{\max \_x=}|{\mathrm{erro}}_{x=\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(x\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_y}=|{\mathrm{erro}}_{y\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(y\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_z}=|{\mathrm{erro}}_{z\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(z\right)|\end{array}\right.---\left(4\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{x\_\max \_\mathrm{new}}=\cos \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{y\_\max }-\sin \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\\ {\mathrm{erro}}_{y\_\max \_\mathrm{new}}=-\cos \left(B\right)\sin \left(C\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{y\_\max }+\sin \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\\ {\mathrm{erro}}_{z\_\max \_\mathrm{new}}=\sin \left(B\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(B\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\end{array}\right.$

其中，erro_{x_max}、erro_{y_max}、erro_{z_max}为数控系统允许的x,y,z轴的轴向误差最大值，erro_{max_x}，erro_{max_y}，erro_{max_z}为数控系统允许的x,y,z轴的轴向轮廓误差。

所述冗余点通过如下方法确定：

P_n到P_m为待加工点，P_i,n＜i≤m，为当前点，如果P_j(n＜j＜i)到直线P_nP_i的距离erro_j≤erro_max，则P_j为冗余点。

所述过渡圆弧相关参数的初始值为：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_{p_{m}Q1\_1}=\sin (\mathrm{\θ}/2)/(1-\cos (\mathrm{\θ}/2)){\mathrm{erro}}_{P_{m}O}\\ L_{p_{m}Q1\_2}=\min (L_{p_m{p}_q}/2,L_{\mathrm{mm}}/2)\\ L_{p_{m}Q1}=\min (L_{p_{m}Q1\_1},L_{p_{m}Q1\_2})\\ r=\cos (\mathrm{\θ}/2)/\sin (\mathrm{\θ}/2)L_{p_{m}Q1}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，为系统在P_mO方向上所允许的最大轮廓误差,θ为∠P_nP_mO，表示由确定的线段P_mQ₁的长度，表示由P_nP_m，P_mP_q确定的线段P_mQ₁的长度，点Q₁，Q₂分别表示圆O与线段P_nP_m，P_mP_q的切点_。

所述根据标记的冗余点，检查并调整参数值，包括以下步骤：

对P_nP_m间的冗余点进行检查，从当前点P_i(i＝m-1)开始，直到点P_s为止，P_s满足∠P_iOP_m≤∠Q1OP_m且∠Q1OP_m≤∠P_i-1OP_m。按照第二部分的方法计算P_i+1P_i方向上允许的最大误差如果公式(7)成立，则i减1，

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|L_{P_{i-1}O}-r|(\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_{i-1}{p}_i}\\ \left|\right|L_{P_{i-1}O}-r|(\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_m{P}_q})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_m{P}_q}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_m{p}_q}\\ \left|\right|L_{P_{i}O}-r|(\stackrel{\→}{P_i{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_i{P}_o}|\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}}|)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_i{p}_{i-1}}\\ \left|\right|L_{P_{i}O}-r|(\stackrel{\→}{P_i{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_m{P}_q})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_i{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_m{P}_q}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_m{p}_q}\end{array}\right.---\left(7\right)$

否则，调整过渡圆弧半径的大小，线段P_i+1P_i在i＞m-1时可能会与线段P_nP_m有交线，故：

如果i＝m-1，做直线P_m-1Q₁'垂直于直线P_nP_m，垂足为Q₁'，与P_mO交点为O'，过渡圆弧半径如公式(8)所示，其中表示∠P_i-1P_mO，

如果n＜i＜m-1，做直线P_i-1Q₁″垂直于直线P_nP_m，垂足为Q₁″，与P_mO交点为O″，过渡圆弧半径如公式(9)所示，其中表示∠P_i-1P_mO，表示线段P_mQ1″的长度，

$r^{\′\′}=\tan \left(\mathrm{\θ}\right)L_{P_m{Q1}^{\′\′}}---\left(9\right)$

按照上述方法对P_mP_q间的冗余点进行检查。

继续对线段P_mP_q、P_qP_t进行路径规划，直到结束。

本发明具有以下优点及有益效果：

1.提出的轮廓误差计算方法和冗余点滤除方法，在保证加工质量的基础上，可有效地减少待加工路径的数据量。

2.基于轴向的圆弧轨迹规划方法以及基于冗余点的圆弧参数调整方法，可以将加工误差控制在系统的限制范围之内，在保证加工质量的基础上提高加工效率。

附图说明

图1是最大轮廓误差确定方法示意图；

图2是B、C双转台的五轴机床结构简图；

图3是圆弧过渡的数学模型示意图；

图4是滤除冗余点的示意图；

图5是初始加工路径与未滤除冗余点时的加工路径对比图；

图6是初始加工路径与滤除冗余点后的加工路径对比图；

图7是未滤除冗余点时，各轴向上的加工误差结果图；

图8是滤除冗余点后，各轴向上的加工误差值结果图；

图9是二维平面内的待加工数据图；

图10是三维平面内的待加工数据图；

图11是加工图9数据时，各轴向上的加工误差值结果图；

图12是加工图10数据时，各轴向上的加工误差值结果图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

根据系统设定的轴向误差值，动态确定不同方向上的最大轮廓误差。图1为最大轮廓误差确定方法的示意图。假设系统允许的x,y,z轴的轴向误差最大值为erro_{x_max}、erro_{y_max}、erro_{z_max}，则由x,y,z轴轴向误差决定的系统轮廓误差为erro_{max_x}，erro_{max_y}，erro_{max_z}，系统在OP方向上允许的轮廓误差为erro_max，如公式(1)所示。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{\max \_x=}|{\mathrm{erro}}_{x=\max }/\cos \left(x\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_y}=|{\mathrm{erro}}_{y\_\max }/\cos \left(y\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_z}=|{\mathrm{erro}}_{z\_\max }/\cos \left(z\right)|\end{array}\right.---\left(1\right)$

erro_max＝min(erro_{max_x},erro_{max_y},erro_{max_z})

在五轴数控系统的加工过程中，路径过渡时所允许的轮廓误差，不仅涉及x、y、z轴，同时与旋转轴密切相关。如图2，以BC转台为例，加工路径上的点(x、y、z)与实际加工的点(X、Y、Z)有公式(2)所示的对应关系，其中x0、y0、z0表示机床坐标系原点在工件坐标系中的位置，B、C表示旋转轴的旋转角度。

x＝cos(B)cos(C)(X+x₀)+sin(C)(Y+y₀)-sin(B)cos(C)(Z+z₀)

y＝-cos(B)sin(C)(X+x₀)+cos(C)(Y+y₀)+sin(B)sin(C)(Z+z₀)(2)

z＝sin(B)(X+x₀)+cos(B)(Z+z₀)

工件表面x,y,z轴轴向误差最大值为erro_{max_x}，erro_{max_y}，erro_{max_z}，加过路径过渡时所允许的x,y,z轴轴向误差最大值为erro_{x_max_new}，erro_{y_max_new}，erro_{z_max_new}。公式(2)对X,Y,Z轴求偏导，如公式(3)，(4)，(5)所示，系统允许的轮廓误差为erro_max。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{x\_\max \_\mathrm{new}}=\cos \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{y\_\max }-\sin \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\\ {\mathrm{erro}}_{y\_\max \_\mathrm{new}}=-\cos \left(B\right)\sin \left(C\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{y\_\max }+\sin \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\\ {\mathrm{erro}}_{z\_\max \_\mathrm{new}}=\sin \left(B\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(B\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{\max \_x=}|{\mathrm{erro}}_{x=\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(x\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_y}=|{\mathrm{erro}}_{y\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(y\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_z}=|{\mathrm{erro}}_{z\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(z\right)|\end{array}\right.---\left(4\right)$

erro_max＝min(min(erro_{max_x}),min(erro_{max_y}),min(erro_{max_z}))(5)

根据动态确定的最大轮廓误差值，确定插补数据中非必须的点，将其标记为冗余点。当相邻待加工的点间隔较近时，相邻线段间的夹角和长度会产生较大变化，同时会产生冗余的小线段，因此，在轮廓误差允许的范围内，将冗余点去除掉，可以有效减少加工数据，在保证加工质量的基础上，提高加工速度。如图3所示，P_n到P_m为待加工点,P_i(n＜i≤m)为当前点，如果P_j(n＜j＜i)到直线P_nP_i的距离erro_j≤erro_max，则P_j为冗余点，将该点数据进行标记，i值加1。否则，以P_i为新的的起点，进行冗余点滤除，直到最后一点。

建立圆弧过渡的数学模型，确定过渡圆弧相关参数的初始值。然后，根据标记的冗余点，检查并调整参数值。如图4所示，可以求出过渡圆弧的相关参数，如公式(6)所示。

$\left\{\begin{array}{c}{L}_{p_{m}Q1\_1}=\sin (\mathrm{\θ}/2)/(1-\cos (\mathrm{\θ}/2)){\mathrm{erro}}_{P_{m}O}\\ L_{p_{m}Q1\_2}=\min (L_{p_m{p}_q}/2,L_{\mathrm{mm}}/2)\\ L_{p_{m}Q1}=\min (L_{p_{m}Q1\_1},L_{p_{m}Q1\_2})\\ r=\cos (\mathrm{\θ}/2)/\sin (\mathrm{\θ}/2)L_{p_{m}Q1}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，为系统在P_mO方向上所允许的最大轮廓误差,θ为∠P_nP_mO。

由于冗余点P_i(n+1≤i≤m-1)的存在，为了保证轮廓误差在系统最大值范围内，需要修订过渡圆弧的参数。

首先，对P_nP_m间的冗余点进行检查，从当前点P_i(i＝m-1)开始，直到点P_s为止，P_s满足∠P_iOP_m≤∠Q1OP_m且∠Q1OP_m≤∠P_i-1OP_m。按照第二部分的方法计算P_i+1P_i方向上允许的最大误差如果公式(7)成立，则i减1，

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|L_{P_{i-1}O}-r|(\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_{i-1}{p}_i}\\ \left|\right|L_{P_{i-1}O}-r|(\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_m{P}_q})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_m{P}_q}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_m{p}_q}\\ \left|\right|L_{P_{i}O}-r|(\stackrel{\→}{P_i{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_i{P}_o}|\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}}|)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_i{p}_{i-1}}\\ \left|\right|L_{P_{i}O}-r|(\stackrel{\→}{P_i{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_m{P}_q})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_i{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_m{P}_q}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_m{p}_q}\end{array}\right.---\left(7\right)$

否则，调整过渡圆弧半径的大小，线段P_i+1P_i在i＞m-1时可能会与线段P_nP_m有交线，故：

如果i＝m-1，做直线P_m-1Q₁'垂直于直线P_nP_m，垂足为Q₁'，与P_mO交点为O'，过渡圆弧半径如公式(8)所示，其中表示∠P_i-1P_mO。

如果n＜i＜m-1，做直线P_i-1Q₁″垂直于直线P_nP_m，垂足为Q₁″，与P_mO交点为O″，过渡圆弧半径如公式(9)所示，其中表示∠P_i-1P_mO，表示线段P_mQ1″的长度。

$r^{\′\′}=\tan \left(\mathrm{\θ}\right)L_{P_m{Q1}^{\′\′}}---\left(9\right)$

其次，按照上述方法对P_mP_q间的冗余点进行检查。

继续对线段P_mP_q、P_qP_t进行路径规划，直到结束。

本发明的执行效果：设定系统允许的x,y,z轴的轴向误差分别均为1mm，文采用线性加减速方法和前瞻控制算法进行速度规划。图5与图6的对比说明滤除冗余点较未滤除冗余点，减少了加工路径的数据量。图5显示，未滤除冗余点时，加工用了147个插补周期，图6显示，滤除冗余点后用了98个插补周期，提高了加工效率。同时，如图7，图8所示，算法将加工误差限定在了系统允许范围内，保证了加工质量。

为了进一步验证系统性能，对图9所示二维平面内的海豚图形，图10所示三维空间内的燕子图形进行加工，结果如表1所示，加工误差如图11,图12所示。

表一加工数据对比

从图11，图12可以看出，本文算法加工过程将轴向误差限定在系统允许的范围之内。从表1的对比看，滤除冗余点后待加工路径的数据量减少，当待加工路径中有较多角度变化不大的小线段时，数据量减少较多，同时，由于加工路径数据量的减少，速度规划的效率提高，提升了加工效率。

Claims (5)

1.一种基于轴向精度的小线段过渡方法，其特征在于，包括以下步骤：

根据数控系统设定的轴向误差值和机床结构，动态确定不同方向上的最大轮廓误差；

根据动态确定的最大轮廓误差值，确定插补数据中非必需的点，将其标记为冗余点；

建立圆弧过渡的数学模型，确定过渡圆弧相关参数的初始值；

根据标记的冗余点，检查并调整参数值。

2.根据权利要求1所述的一种基于轴向精度的小线段过渡方法，其特征在于，所述根据数控系统设定的轴向误差值和机床结构，动态确定不同方向上的最大轮廓误差erro_max，在三轴情况下为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{\max \_x}=|{\mathrm{erro}}_{x\_\max }/\cos \left(x\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_y}=|{\mathrm{erro}}_{y\_\max }/\cos \left(y\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_z}=|{\mathrm{erro}}_{z\_\max }/\cos \left(z\right)|\end{array}\right.---\left(1\right)$

erro_max＝min(erro_{max_x},erro_{max_y},erro_{max_z})

在五轴情况下为：

erro_max＝min(min(erro_{max_x}),min(erro_{max_y}),min(erro_{max_z}))(5)

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{\max \_x}=|{\mathrm{erro}}_{x\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(x\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_y}=|{\mathrm{erro}}_{y\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(y\right)|\\ {\mathrm{erro}}_{\max \_z}=|{\mathrm{erro}}_{z\_\max \_\mathrm{new}}/\cos \left(z\right)|\end{array}\right.---\left(4\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{erro}}_{x\_\max \_\mathrm{new}}=\cos \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{y\_\max }-\sin \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\\ {\mathrm{erro}}_{y\_\max \_\mathrm{new}}=-\cos \left(B\right)\sin \left(C\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{y\_\max }+\sin \left(B\right)\cos \left(C\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\\ {\mathrm{erro}}_{z\_\max \_\mathrm{new}}=\sin \left(B\right){\mathrm{erro}}_{x\_\max }+\cos \left(B\right){\mathrm{erro}}_{z\_\max }\end{array}\right.$

其中，erro_{x_max}、erro_{y_max}、erro_{z_max}为数控系统允许的x,y,z轴的轴向误差最大值，erro_{max_x}，erro_{max_y}，erro_{max_z}为数控系统允许的x,y,z轴的轴向轮廓误差。

3.根据权利要求1所述的一种基于轴向精度的小线段过渡方法，其特征在于，所述冗余点通过如下方法确定：

P_n到P_m为待加工点，P_i,n＜i≤m，为当前点，如果P_j(n＜j＜i)到直线P_nP_i的距离erro_j≤erro_max，则P_j为冗余点。

4.根据权利要求1所述的一种基于轴向精度的小线段过渡方法，其特征在于，所述过渡圆弧相关参数的初始值为：

$\left\{\begin{array}{c}{L}_{p_{m}Q1\_1}=\sin (\mathrm{\θ}/2)/(1-\cos (\mathrm{\θ}/2)){\mathrm{erro}}_{P_{m}O}\\ L_{p_{m}Q1\_2}=\min (L_{p_m{p}_q}/2,L_{\mathrm{nm}}/2)\\ L_{p_{m}Q1}=\min (L_{p_{m}Q1\_1},L_{p_{m}Q1\_2})\\ r=\cos (\mathrm{\θ}/2)/\sin (\mathrm{\θ}/2)L_{p_{m}Q1}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，为系统在P_mO方向上所允许的最大轮廓误差,θ为∠P_nP_mO，表示由确定的线段P_mQ₁的长度，表示由P_nP_m，P_mP_q确定的线段P_mQ₁的长度，点Q₁，Q₂分别表示圆O与线段P_nP_m，P_mP_q的切点。

5.根据权利要求1所述的一种基于轴向精度的小线段过渡方法，其特征在于，所述根据标记的冗余点，检查并调整参数值，包括以下步骤：

对P_nP_m间的冗余点进行检查，从当前点P_i(i＝m-1)开始，直到点P_s为止，P_s满足∠P_iOP_m≤∠Q1OP_m且∠Q1OP_m≤∠P_i-1OP_m。按照第二部分的方法计算P_i+1P_i方向上允许的最大误差如果公式(7)成立，则i减1，

$\left\{\begin{array}{c}\left|\right|L_{P_{i-1}O}-r|(\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_{i-1}{p}_i}\\ \left|\right|L_{P_{i-1}O}-r|(\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_m{P}_q})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_{i-1}{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_m{P}_q}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_m{p}_q}\\ \left|\right|L_{P_{i}O}-r|(\stackrel{\→}{P_i{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_i{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_i{P}_{i-1}}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_i{p}_{i-1}}\\ \left|\right|L_{P_{i}O}-r|(\stackrel{\→}{P_i{P}_o}\·\stackrel{\→}{P_m{P}_q})/\left(\right|\stackrel{\→}{P_i{P}_o}|\·|\stackrel{\→}{P_m{P}_q}\left|\right)|\≤{\mathrm{erro}}_{p_m{p}_q}\end{array}\right.---\left(7\right)$

否则，调整过渡圆弧半径的大小，线段P_i+1P_i在i＞m-1时可能会与线段P_nP_m有交线，故：

如果i＝m-1，做直线P_m-1Q′₁垂直于直线P_nP_m，垂足为Q′₁，与P_mO交点为O'，过渡圆弧半径如公式(8)所示，其中表示∠P_i-1P_mO，

如果n＜i＜m-1，做直线P_i-1Q″₁垂直于直线P_nP_m，垂足为Q″₁，与P_mO交点为O″，过渡圆弧半径如公式(9)所示，其中表示∠P_i-1P_mO，表示线段P_mQ1″的长度，

$r^{\′\′}=\tan \left(\mathrm{\θ}\right)L_{P_m{Q1}^{\′\′}}---\left(9\right)$

按照上述方法对P_mP_q间的冗余点进行检查。

继续对线段P_mP_q、P_qP_t进行路径规划，直到结束。