CN115032945A - 复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法属于多轴数控机床高精加工领域，涉及一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法。该方法根据曲面几何特征、砂轮几何参数在残留高度和弓高误差约束下确定刀触点、刀位点。通过建立工件坐标系、砂轮坐标系和砂轮‑曲面接触模型，结合复杂曲面上刀触点法向量与砂轮磨削点法向量之间的关联关系，计算工件坐标系中砂轮‑曲面接触点的位置及磨削过程中C轴转角。结合工件坐标系中刀位点坐标、C轴转角和设定的C轴转速生成慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹。该方法可实现高陡度、周向轮廓凹凸起伏、局部曲率急变类复杂曲面慢刀伺服精密磨削加工。刀具轨迹规划方法便捷有效，实用性强。

Description

复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法

技术领域

本发明属于多轴数控机床高精加工领域，涉及一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法。

背景技术

具有周向轮廓凹凸起伏、局部曲率急剧变化等几何特征的复杂曲面零件被越来越广泛的应用于高端装备中，这类零件的加工精度和表面质量对其使用性能具有重要影响。这类曲面零件往往还采用具有硬度高、脆性大的难加工材料，为满足该类复杂曲面零件高质高效的加工要求，精密、超精密磨削加工得到广泛应用，但目前精密、超精密磨削多是针对平面、球面和回转非球面零件的加工。慢刀伺服技术可使机床工件轴变成位置可控的C轴，XZC三轴联动圆弧包络磨削可实现非回转对称复杂曲面零件的精密磨削加工。然而，曲面复杂的几何特征导致砂轮-曲面接触点偏离加工平面，传统针对平面和回转对称曲面的磨削方法和刀具轨迹难以保证复杂曲面加工精度和表面质量，因此，迫切需要研究一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法。

彭扬林等人的文献“盘形圆弧砂轮曲面磨削几何模型”，国防科技大学学报，2015，37(06)：39-42，建立了盘形圆弧砂轮的几何模型，通过磨削点法向量匹配建立了曲面刀触点和砂轮磨削点的映射关系并对回转对称凸二次曲面零件进行了圆弧包络磨削实验，然而，该方法的加工实验中磨削接触点的位置始终位于砂轮截面圆弧上，该方法并未对具有周向轮廓凹凸起伏特征的零件进行刀具轨迹规划及实验研究。Wang等人的文献“Surfacegeneration and materials removal mechanism in ultra-precision grinding ofbiconical optics based on slow tool servo with diamond grinding wheels”，Journal of Manufacturing Processes，2021，72：1-14，提出了基于金刚石砂轮慢刀伺服的复杂曲面精密磨削加工方式，通过对慢刀伺服加工的运动分析规划盘形砂轮磨削轨迹，实现对双锥光学元件的精密磨削加工。但该方法因加工过程中磨削接触点的位置在砂轮上周期性变化，不适宜加工周向轮廓凹凸起伏、局部曲率急剧变化的复杂曲面零件。

发明内容

本发明旨在克服已有方法的不足，发明一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法。该方法基于曲面几何特征和砂轮几何参数计算满足加工要求的刀触点、刀位点，通过建立砂轮-曲面接触模型，计算复杂曲面零件磨削过程中砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的位置和C轴转角，最终结合工件坐标系中刀位点坐标、C轴转角和转速生成NC刀具轨迹，实现周向轮廓凹凸起伏、局部曲率急剧变化复杂曲面零件XZC三轴联动慢刀伺服精密磨削加工。

本发明的技术方案是一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法，其特征在于，该方法基于曲面几何特征和砂轮几何参数在残留高度和弓高误差约束下，计算满足加工要求的刀触点、刀位点，通过建立工件坐标系、砂轮坐标系和砂轮-曲面接触模型，结合复杂曲面上刀触点法向量与砂轮轮廓上各点法向量之间的关联关系，计算工件坐标系中砂轮-曲面接触点位置，对磨削复杂曲面过程中C轴转角进行计算。结合工件坐标系中刀位点坐标、C轴转角和转速生成NC刀具轨迹。方法的具体步骤如下：

步骤1，残留高度和弓高误差约束的刀触点和刀位点计算；

复杂曲面用S＝S(u,v),0≤u,v≤1表示，u，v为曲纹坐标参数，在慢刀伺服模式下，机床的X、Z、C三轴在空间构成柱坐标系，同时，高性能和高编程分辨率的数控系统将复杂曲面零件的三维笛卡尔坐标转化为极坐标，其中参数u沿坐标系极径方向，参数v沿坐标系极角方向。

将曲面边界曲线作为第一条环形刀触点轨迹，走刀沿曲面v曲线方向，根据弓高误差对曲面边界曲线离散得到刀触点，第一条环形刀轨上相邻刀触点对应参数v的变化量为：

其中，ρ_j为曲面边界曲线上当前刀触点沿周向的曲率半径，e为弓高误差，l_b为曲面边界曲线长度，按照公式(1)计算的Δv_j的最小值记为Δv_min，以Δv_min作为同一条刀轨上相邻刀触点之间参数v的增量对曲线进行等参数离散。经过离散得到的第一条环形刀轨上第j个刀触点在曲面参数域内的坐标为

行距沿曲面u曲线方向，根据欧拉定理，曲面上一点沿u向的法曲率为：

k_u＝k₁cos²λ+k₂ sin²λ (2)

其中，k₁、k₂分别为曲面上一点的最大主曲率和最小主曲率，λ为该点沿u曲线方向的一阶偏导矢和主曲率k₁对应的方向矢量之间的夹角，曲面上一点主曲率k₁、k₂为：

其中，K为曲面在该点的高斯曲率，H为曲面在该点的平均曲率：

其中，E、F、G为曲面的第一基本形式，L、M、N为曲面的第二基本形式，表达式如下：

其中，S_u、S_v为曲面S(u,v)的一阶偏导数，S_uu、S_uv、S_vv为曲面S(u,v)的二阶偏导数。n为曲面上该点的单位法向量，表达式如下：

根据公式(2)中k_u的正负可判断曲面上当前刀触点沿u向曲线的凹凸性：k_u>0表示曲面在该点沿u向曲线为凹曲线，k_u＝0表示曲面在该点沿u向曲线为直线，k_u<0表示曲面在该点沿u向曲线为凸曲线。

根据曲面上各点沿u向曲线的凹凸性和曲率半径，结合残留高度和球面砂轮沿走刀方向的有效曲率半径，相邻刀触点轨迹上对应刀触点之间的行距为：

其中，h为残留高度，r_e为砂轮沿走刀方向的有效曲率半径，对于球面砂轮，r_e与球面砂轮半径值相等，R_u为曲面上点沿u曲线方向的曲率半径，R_u＝1/|k_u|。

前两条环形刀轨对应刀触点之间参数u的变化量为Δu_j＝l_j/l_uj，其中，l_uj为曲面上第j个刀触点对应u曲线的长度。

第二条环形刀轨上第j个刀触点的u，v参数按照公式(9)计算：

根据前两条环形刀轨生成第一圈螺旋刀轨，螺旋刀轨上第j个刀触点对应的u、v参数值为：

第一圈螺旋刀轨刀触点确定之后，按公式(2)-(7)计算各刀触点沿u向法曲率，按公式(8)计算相邻刀轨对应刀触点之间的行距并转化为参数u的变化量，将得到的刀触点拟合成曲线作为当前刀触点轨迹继续计算后续刀轨，直至刀触点轨迹覆盖整张曲面。

复杂曲面磨削加工时选用半径为r的球面砂轮，按照上述步骤计算得到的曲面上的刀触点在工件坐标系中的笛卡尔坐标记为p＝[x_p,y_p,z_p]，刀位点由刀触点沿法向偏置一个砂轮半径得到，按公式(11)计算：

其中，[cosα_p，cosβ_p，cosγ_p]为曲面上刀触点p的法向量方向余弦，按照公式(7)计算。

步骤2，球面砂轮轮廓上各点法向量计算

建立工件坐标系和砂轮坐标系：工件坐标系原点O与曲面原点重合，工件坐标系Z轴与机床坐标系Z_M轴平行，刀具退离工件的方向为Z轴正方向，X轴平行于横向滑座，刀具退离工件的方向为X轴正向，Y轴方向由右手螺旋法则确定。将球面砂轮球心定义为砂轮坐标系原点O_t，Z_t轴与砂轮轴线重合，指向工件的方向为Z_t轴正向，X_t轴在过Z_t轴且平行于横向滑座的平面上，与Z_t轴垂直，指向工件的一侧为X_t轴正向，Y_t轴方向由右手螺旋法则确定。

砂轮坐标系O_tX_tY_tZ_t中，砂轮上一点p_t＝[x_pt,y_pt,z_pt]用参数方程可以表示为：

其中，ψ为砂轮球心O_t和砂轮轮廓上一点p_t的连线O_tp_t与砂轮坐标系Z_t轴正向方向向量之间的夹角，θ为砂轮球心O_t和砂轮轮廓上一点p_t的连线O_tp_t在X_tO_tY_t平面上的投影与砂轮坐标系X_t轴正向方向向量之间的夹角。

对砂轮轮廓上的点p_t分别沿ψ和θ方向求导，计算得到该点沿对应方向的切向量τ_ψ、τ_θ，即：

在砂轮坐标系中点p_t的法向量为：

n_pt＝τ_ψ×τ_θ＝[sinψcosθ,sinψsinθ,cosψ](14)

步骤3，工件坐标系中砂轮-曲面接触点坐标计算

建立磨削曲面上点p位置时的砂轮-曲面接触模型：连接工件坐标系原点O、刀触点p和球面砂轮球心O_t，构成三角形OpO_t。砂轮-曲面接触模型中，刀触点p到工件坐标系原点O的距离：

刀触点p到球面砂轮球心O_t的距离为球面砂轮半径r。

刀触点p和球面砂轮球心O_t的连线pO_t与刀触点p和工件坐标系原点O的连线pO之间的夹角为：

其中，n_p为曲面上刀触点p的单位法向量，按照公式(7)计算，n_Op是从工件坐标系原点O指向刀触点p的向量。

工件坐标系原点O到球面砂轮球心O_t的距离：

球面砂轮球心O_t和刀触点p的连线O_tp与球面砂轮球心O_t和工件坐标系原点O的连线O_tO之间的夹角为：

工件坐标系原点O和曲面上刀触点p的连线Op与工件坐标系原点O和球面砂轮球心O_t的连线OO_t之间的夹角为：

工件坐标系原点O和球面砂轮球心O_t的连线OO_t与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角为：

工件坐标系原点O和刀触点p的连线Op与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角为：

在工件坐标系中，过点p分别向工件坐标系Z轴和线段OO_t作垂线，交点分别为

将以O₁为圆心，

为半径的圆记为圆1，以O₂为圆心，

为半径的圆记为圆2，两圆的交点坐标即为砂轮-曲面接触时点p在工件坐标系中的位置。将O₂向圆1所在平面投影，工件坐标系中投影点的坐标为

圆2圆心O₂到其投影点

的距离为：

砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的坐标满足：

其中，

为工件坐标系中点O₂在圆1所在平面上投影点

的X坐标。x_pj、y_pj分别为工件坐标系中砂轮-曲面接触点的X、Y坐标，按公式(24)和公式(25)计算：

其中，工件坐标系中砂轮-曲面接触点Y坐标的正负由砂轮与工件之间相对位置关系以及曲面上刀触点p的法向量与垂直于该点和Z轴组成平面的向量之间的夹角决定。

曲面上的刀触点p确定后，构造一个垂直于该刀触点和工件坐标系Z轴正向方向向量组成平面的向量m_p，其表达形式为：

m_p＝n_Op×n_z (26)

其中，n_z为工件坐标系中过点p指向Z轴正向的向量。

曲面上p点单位法向量n_p和向量m_p之间的夹角：

若ε＞π/2，则砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的Y坐标为正值，反之，为负值。

步骤4，慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹生成

在工件坐标系中，曲面上刀触点p＝[x_p,y_p,z_p]对应的极角：

根据步骤3计算得到的砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的坐标值，按公式(29)计算该点对应C轴转角与工件坐标系中极角的角度差：

磨削曲面上点p位置时C轴转角为：

φ_p＝φ_pj±Δφ_pj(30)

其中，工件顺时针旋转时，取“+”，工件逆时针旋转时，取“-”。

NC程序中刀位点坐标为：

根据公式(31)计算的工件坐标系XOZ平面中刀位点的坐标和按照公式(30)计算C轴转角，并给定C轴转速，最终生成慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹。

本发明的有益效果是根据曲面特征、砂轮参数在残留高度和弓高误差约束下确定刀触点、刀位点；通过建立砂轮-曲面接触模型，结合复杂曲面上刀触点法向量与砂轮上各点法向量之间的关联关系，建立砂轮-曲面接触点在工件坐标系中位置求解方法，确定复杂曲面磨削过程中C轴的转角。结合XOZ平面中刀位点坐标、C轴转角和转速，生成慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹。用该方法采用慢刀伺服磨削加工对高陡度、表面轮廓凹凸起伏、局部曲率急变的曲面进行磨削加工后，工件表面粗糙度低、均匀性好，复杂曲面慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法便捷有效，实用性强。

附图说明

图1—刀具轨迹规划方法整体流程图。

图2—本发明实施例中超精密数控磨削平台结构示意图，其中，1是磨削平台隔振床身，2是磨削平台X轴，3是磨削主轴，4是磨削平台工件轴(C轴)，5是磨削平台Z轴。

图3—实施例中采用的具有周向轮廓凹凸起伏几何特征的复杂曲面零件。

图4—砂轮上点的法向量示意图，其中，O_t点为砂轮坐标系原点，X_t、Y_t、Z_t分别为工件坐标系的X_t轴、Y_t轴、Z_t轴正方向，p_t为砂轮轮廓上的点，n_pt为球面砂轮上p_t点的法向量，α_pt为p_t点法向量与X_t轴正向方向向量的夹角，β_pt为p_t点法向量与Y_t轴正向方向向量的夹角，γ_pt为p_t点法向量与Z_t轴正向方向向量的夹角。

图5—砂轮-曲面接触模型示意图，其中，O点为工件坐标系原点，X、Y、Z分别为工件坐标系的X轴、Y轴、Z轴正方向，p点为砂轮-曲面接触点，O_t点为砂轮坐标系原点，X_t、Y_t、Z_t分别为工件坐标系的X_t轴、Y_t轴、Z_t轴正方向。

图6—砂轮-曲面接触模型相关线段及角度示意图。其中，γ_p为曲面刀触点法向量n_p与砂轮坐标系Z_t轴正向方向向量之间的夹角，

为线段pO与线段pO_t之间的夹角，

为线段O_tp与线段O_tO之间的夹角，

为线段Op与线段OO_t之间的夹角，

为线段OO_t与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角，

为线段Op与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角。

图7—工件坐标系中砂轮-曲面接触点位置计算模型。其中，l_pO为砂轮-曲面接触点到工件坐标系原点的距离，

为线段Op与线段OO_t之间的夹角，

为线段OO_t与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角，

为线段Op与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角，O₁点为圆1的圆心，O₂点为圆2的圆心，

为O₂点在圆1平面上的投影，p点为砂轮-曲面接触点。

图8—实施例中工件加工后表面的白光干涉仪测量图。

具体实施方式

结合技术方案与附图详细说明本发明的具体实施方式。

附图2是本发明实施例中超精密数控磨削平台结构示意图，其中，1是磨削平台隔振床身，2是磨削平台X轴，3是磨削主轴，4是磨削平台工件轴即C轴，5是磨削平台Z轴。在表面轮廓凹凸起伏和局部曲率急剧变化复杂曲面零件XZC三轴联动磨削过程中，由于其复杂的几何特征导致刀具轨迹规划困难，零件难以达到理想的加工精度和表面质量。为解决这一难题，实现复杂曲面精密磨削加工，发明一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法，该方法流程如附图1所示，方法的具体步骤如下：

步骤1，计算残留高度和弓高误差约束的刀触点、刀位点。

复杂曲面用S＝S(u,v),0≤u,v≤1表示，u，v为曲纹坐标参数，在慢刀伺服模式下，机床的X、Z、C三轴在空间构成柱坐标系，同时，高性能和高编程分辨率的数控系统将复杂曲面零件的三维笛卡尔坐标转化为极坐标。采用慢刀伺服方式加工周向轮廓凹凸曲面时，曲面和砂轮的接触点会偏离加工平面(XOZ平面)，造成工件主轴(C轴)转角的变化，为克服现有技术的缺陷，本发明采用的慢刀伺服磨削加工，对磨床的工件主轴与Z轴均进行控制，使机床工件主轴变成位置可控的C轴，机床的X、Z、C三轴在空间构成柱坐标系，磨削过程中控制器对所有运动轴发送插补进给指令，精确协调工件轴和砂轮的相对运动，计算磨削过程中曲面任意位置对应C轴的转角，以实现复杂曲面的精密精准加工。

本实施例中，复杂曲面工件如附图3所示，该曲面由口径40mm的旋转抛物面叠加4个凹坑形成，凹坑最大深度1mm，曲面陡度64°。给定残留高度50nm，弓高误差5μm，按照公式(1)-(10)计算曲面上的刀触点参数。本实施例中所用球面砂轮半径为14mm，按照公式(11)计算刀位点。

步骤2，计算球面砂轮轮廓上各点法向量。按照公式(12)-(14)计算砂轮上各点法向量，砂轮上任一点p_t法向量方向如附图4所示。

步骤3，计算工件坐标系中砂轮-曲面接触点坐标。

连接工件坐标系原点O、刀触点p和球面砂轮球心O_t，构成三角形OpO_t，如附图5所示，砂轮-曲面接触模型中相关线段长度及线段间夹角示意图如附图6所示。根据步骤1得到的各个刀触点，按照公式(15)-(21)计算砂轮-曲面接触模型中各条线段长度及线段间夹角。根据各刀触点对应砂轮-曲面接触模型中各条线段长度及线段间夹角的计算结果，按照公式(22)-(27)计算工件坐标系中砂轮-曲面接触点坐标。工件坐标系中砂轮-曲面接触点位置计算模型如附图7。

步骤4，慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹生成。按照公式(28)计算曲面上刀触点对应的极角，根据步骤3计算的砂轮和曲面接触点在工件坐标系中的坐标按照公式(29)计算C轴转角和刀触点对应极角之间的差值，按照公式(30)计算磨削过程中C轴转角，结合公式(31)计算的工件坐标系中刀位点坐标以及给定的C轴转速生成慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹。

本实施例中半精加工阶段选用球面半径14mm，粒度为1000#的CBN球面砂轮，考虑到加工效率，设定磨削深度为10μm，砂轮转速为12000rpm，C轴转速为10rpm。精加工阶段选用球面半径14mm，粒度为3000#的CBN球面砂轮，综合考虑加工质量与效率，设定磨削深度为3μm，砂轮转速为12000rpm，C轴转速为10rpm。用白光干涉仪对加工后的工件表面进行粗糙度测量，测量结果如附图8，工件表面粗糙度达到73nm，实现了XZC三轴联动模式下复杂曲面的精密慢刀伺服磨削加工。

本发明实施的复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法，根据曲面特征和砂轮参数规划刀触点、刀位点，建立砂轮-曲面接触模型计算磨削过程中C轴的转角，结合XOZ平面刀位点坐标、C轴转角以及C轴转速生成慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹，实现了高陡度、表面轮廓凹凸起伏、局部曲率急变类复杂曲面精密磨削加工。实施方法便捷有效，实用性强。

Claims (1)

1.一种复杂曲面零件慢刀伺服磨削加工刀具轨迹规划方法，其特征在于，该方法基于曲面几何特征和砂轮几何参数在残留高度和弓高误差约束下计算满足加工要求的刀触点、刀位点，通过建立工件坐标系、砂轮坐标系和砂轮-曲面接触模型，结合复杂曲面上刀触点法向量与砂轮轮廓上各点法向量之间的关联关系，计算工件坐标系中砂轮-曲面接触点位置，对磨削复杂曲面过程中C轴转角进行计算；结合工件坐标系中刀位点坐标、C轴转角和转速生成NC刀具轨迹；方法的具体步骤如下：

步骤1，残留高度和弓高误差约束的刀触点和刀位点计算

复杂曲面用S＝S(u,v),0≤u,v≤1表示，u，v为曲纹坐标参数，在慢刀伺服模式下，机床的X、Z、C三轴在空间构成柱坐标系，同时，高性能和高编程分辨率的数控系统将复杂曲面零件的三维笛卡尔坐标转化为极坐标，其中参数u沿坐标系极径方向，参数v沿坐标系极角方向；

将曲面边界曲线作为第一条环形刀触点轨迹，走刀沿曲面v曲线方向，根据弓高误差对曲面边界曲线离散得到刀触点，第一条环形刀轨上相邻刀触点对应参数v的变化量为：

其中，ρ_j为曲面边界曲线上当前刀触点沿周向的曲率半径，e为弓高误差，l_b为曲面边界曲线长度，按照公式(1)计算的Δv_j的最小值记为Δv_min，以Δv_min作为同一条刀轨上相邻刀触点之间参数v的增量对曲线进行等参数离散；经过离散得到的第一条环形刀轨上第j个刀触点在曲面参数域内的坐标为

行距沿曲面u曲线方向，根据欧拉定理，曲面上一点沿u向的法曲率为：

k_u＝k₁cos²λ+k₂sin²λ (2)

其中，k₁、k₂分别为曲面上一点的最大主曲率和最小主曲率，λ为该点沿u曲线方向的一阶偏导矢和主曲率k₁对应的方向矢量之间的夹角，曲面上一点主曲率k₁、k₂为：

其中，K为曲面在该点的高斯曲率，H为曲面在该点的平均曲率：

其中，E、F、G为曲面的第一基本形式，L、M、N为曲面的第二基本形式，表达式如下：

其中，S_u、S_v为曲面S(u,v)的一阶偏导数，S_uu、S_uv、S_vv为曲面S(u,v)的二阶偏导数；n为曲面上该点的单位法向量，表达式如下：

根据公式(2)中k_u的正负可判断曲面上当前刀触点沿u向曲线的凹凸性：k_u>0表示曲面在该点沿u向曲线为凹曲线，k_u＝0表示曲面在该点沿u向曲线为直线，k_u<0表示曲面在该点沿u向曲线为凸曲线；

根据曲面上各点沿u向曲线的凹凸性和曲率半径，结合残留高度和球面砂轮沿走刀方向的有效曲率半径，相邻刀触点轨迹上对应刀触点之间的行距为：

其中，h为残留高度，r_e为砂轮沿走刀方向的有效曲率半径，对于球面砂轮，r_e与球面砂轮半径值相等，R_u为曲面上点沿u曲线方向的曲率半径，R_u＝1/|k_u|；

前两条环形刀轨对应刀触点之间参数u的变化量为Δu_j＝l_j/l_uj，其中，l_uj为曲面上第j个刀触点对应u曲线的长度；

第二条环形刀轨上第j个刀触点的u，v参数按照公式(9)计算：

根据前两条环形刀轨生成第一圈螺旋刀轨，螺旋刀轨上第j个刀触点对应的u、v参数值为：

第一圈螺旋刀轨刀触点确定之后，按公式(2)-(7)计算各刀触点沿u向法曲率，按公式(8)计算相邻刀轨对应刀触点之间的行距并转化为参数u的变化量，将得到的刀触点拟合成曲线作为当前刀触点轨迹继续计算后续刀轨，直至刀触点轨迹覆盖整张曲面；

复杂曲面磨削加工时选用半径为r的球面砂轮，按照上述步骤计算得到的曲面上的刀触点在工件坐标系中的笛卡尔坐标记为p＝[x_p,y_p,z_p]，刀位点由刀触点沿法向偏置一个砂轮半径得到，按公式(11)计算：

其中，[cosα_p，cosβ_p，cosγ_p]为曲面上刀触点p的法向量方向余弦，按照公式(7)计算；

步骤2，球面砂轮轮廓上各点法向量计算

建立工件坐标系和砂轮坐标系：工件坐标系原点O与曲面原点重合，工件坐标系Z轴与机床坐标系Z_M轴平行，刀具退离工件的方向为Z轴正方向，X轴平行于横向滑座，刀具退离工件的方向为X轴正向，Y轴方向由右手螺旋法则确定；将球面砂轮球心定义为砂轮坐标系原点O_t，Z_t轴与砂轮轴线重合，指向工件的方向为Z_t轴正向，X_t轴在过Z_t轴且平行于横向滑座的平面上，与Z_t轴垂直，指向工件的一侧为X_t轴正向，Y_t轴方向由右手螺旋法则确定；

砂轮坐标系O_tX_tY_tZ_t中，砂轮上一点p_t＝[x_pt,y_pt,z_pt]用参数方程可以表示为：

其中，ψ为砂轮球心O_t和砂轮轮廓上一点p_t的连线O_tp_t与砂轮坐标系Z_t轴正向方向向量之间的夹角，θ为砂轮球心O_t和砂轮轮廓上一点p_t的连线O_tp_t在X_tO_tY_t平面上的投影与砂轮坐标系X_t轴正向方向向量之间的夹角；

对砂轮轮廓上的点p_t分别沿ψ和θ方向求导，计算得到该点沿对应方向的切向量τ_ψ、τ_θ，即：

在砂轮坐标系中点p_t的法向量为：

n_pt＝τ_ψ×τ_θ＝[sinψcosθ,sinψsinθ,cosψ] (14)

步骤3，工件坐标系中砂轮-曲面接触点坐标计算

建立磨削曲面上点p位置时的砂轮-曲面接触模型：连接工件坐标系原点O、刀触点p和球面砂轮球心O_t，构成三角形OpO_t；砂轮-曲面接触模型中，刀触点p到工件坐标系原点O的距离：

刀触点p到球面砂轮球心O_t的距离为球面砂轮半径r；

刀触点p和球面砂轮球心O_t的连线pO_t与刀触点p和工件坐标系原点O的连线pO之间的夹角为：

其中，n_p为曲面上刀触点p的单位法向量，按照公式(7)计算，n_Op是从工件坐标系原点O指向刀触点p的向量；

工件坐标系原点O到球面砂轮球心O_t的距离：

球面砂轮球心O_t和刀触点p的连线O_tp与球面砂轮球心O_t和工件坐标系原点O的连线O_tO之间的夹角为：

工件坐标系原点O和曲面上刀触点p的连线Op与工件坐标系原点O和球面砂轮球心O_t的连线OO_t之间的夹角为：

工件坐标系原点O和球面砂轮球心O_t的连线OO_t与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角为：

工件坐标系原点O和刀触点p的连线Op与工件坐标系Z轴正向方向向量之间的夹角为：

在工件坐标系中，过点p分别向工件坐标系Z轴和线段OO_t作垂线，交点分别为

将以O₁为圆心，

为半径的圆记为圆1，以O₂为圆心，

为半径的圆记为圆2，两圆的交点坐标即为砂轮-曲面接触时点p在工件坐标系中的位置；将O₂向圆1所在平面投影，工件坐标系中投影点的坐标为

圆2圆心O₂到其投影点

的距离为：

砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的坐标满足：

其中，

为工件坐标系中点O₂在圆1所在平面上投影点

的X坐标；x_pj、y_pj分别为工件坐标系中砂轮-曲面接触点的X、Y坐标，按公式(24)和公式(25)计算：

其中，工件坐标系中砂轮-曲面接触点Y坐标的正负由砂轮与工件之间相对位置关系以及曲面上刀触点p的法向量与垂直于该点和Z轴组成平面的向量之间的夹角决定；

曲面上的刀触点p确定后，构造一个垂直于该刀触点和工件坐标系Z轴正向方向向量组成平面的向量m_p，其表达形式为：

m_p＝n_Op×n_z (26)

其中，n_z为工件坐标系中过点p指向Z轴正向的向量；

曲面上p点单位法向量n_p和向量m_p之间的夹角：

若ε＞π/2，则砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的Y坐标为正值，反之，为负值；

步骤4，慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹生成

在工件坐标系中，曲面上刀触点p＝[x_p,y_p,z_p]对应的极角：

根据步骤3计算得到的砂轮-曲面接触点在工件坐标系中的坐标值，按公式(29)计算该点对应C轴转角与工件坐标系中极角的角度差：

磨削曲面上点p位置时C轴转角为：

φ_p＝φ_pj±Δφ_pj (30)

其中，工件顺时针旋转时，取“+”，工件逆时针旋转时，取“-”；

NC程序中刀位点坐标为：

根据公式(31)计算的工件坐标系XOZ平面中刀位点的坐标和按照公式(30)计算C轴转角，并给定C轴转速，最终生成慢刀伺服磨削加工NC刀具轨迹。

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