CN111008441B - 整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法，首先建立了具有齿过和齿偏中心结构特征的整体平头立铣刀端齿刃线，提出了用于端齿直纹型后刀面的刃磨模型。本发明的模型以砂轮端面为磨削面，可在保证磨削质量的同时，通过调整砂轮摆角和抬角的等工艺参数，实现砂轮磨削姿态定义的灵活性，避免刃磨干涉。

Description

整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法

技术领域

本发明涉及高精密磨削制造技术领域，具体为一种整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法。

背景技术

整体立铣刀以其良好的切削性能和几何通用性等优势成为铣削加工的主要加工刀具之一。目前，针对于整体立铣刀刃磨制造的研究吸引了国内外众多研究人员的兴趣[李国超,孙杰.整体立铣刀刃磨仿真技术研究现状与发展趋势[J].机械工程学报,2015,51(9):165-175.(LI Guochao,Sun Jie.Current Research and Development Trends ofEnd Mill Grinding Simulation Technology[J].Journal of Mechanical Engineering,2015,51(9):165-175.)]。但随着整体立铣刀结构特征的复杂性和精确性要求的提高，已有的刃磨方式极易出现干涉的问题，难以实现铣刀的高精密磨削制造。而且，目前国内关于整体立铣刀的刃磨制造方法还不成体系。因此，针对于整体平头立铣刀端齿后刀面刃磨方法开展研究，对提高整体立铣刀刃磨精度具有十分重大的意义。

端齿部分作为整体立铣刀轴向进给的主要切削部分，对刀具的切削力[Dang J W,Zhang W H,Yang Y,et al.Cutting force modeling for flat end milling includingbottom edge cutting effect[J].International Journal of Machine Tools andManufacture,2010,50(11):986-997.]和刀具寿命等的影响力是不可忽视的。需要根据不同工艺要求进行端齿结构参数的优化设计，如何精确磨削加工出各种特征的端齿结构也非常关键。针对于整体立铣刀的端齿磨削加工工艺，许多学者和研究机构已经开展了研究工作。陈逢军等以正交螺旋形刃口曲线为基础，建立了球头端齿前刀面和后刀面的砂轮轨迹模型；但是该刃磨模型仅针对于正交螺旋形球头立铣刀，且加工后刀面时使用的是单锥面砂轮，不仅会使刀位的计算变复杂，还会在加工过程中更容易发生干涉(陈逢军,胡思节.五轴磨床加工球头立铣刀轨迹建模研究[J].制造技术与机床,2007(5):16-19.)。另外，刘建军等运用空间矢量旋转原理建立了具有齿过中心结构特征的圆弧头立铣刀端齿磨削轨迹模型，难以对砂轮磨削姿态进行灵活调整，刃磨过程容易出现干涉[刘建军,黎荣,程雪锋,等.圆弧头立铣刀端刃CNC磨削仿真技术研究[J].现代制造工程,2012(10):84-89.]。CHENG等^[5]在球头铣刀顶部设计了一种具有齿偏中心量的新型球头立铣刀，并描述了“S”型刃口曲线的数学模型，然后基于该模型提出了前刀面刃磨方法[Xuefeng Cheng,Guofu Ding,Rong Li,Xiaojie Ma,Shengfeng Qin,Xiaolu Song.A New Design and GrindingAlgorithm for Ball-end Milling Cutter with Tooth Offset Center.Proceedings ofthe Institution of Mechanical Engineers,Part B:Journal of EngineeringManufacture,2014,228(7):687-697.]。

由上述研究结果可知，许多学者开展了整体立铣刀端齿后刀面的刃磨方法研究，但是对实际加工过程中常会出现的干涉等问题研究相对较少，且大多采用砂轮回转面进行磨削，磨削质量不高。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的在于提供一种可在保证磨削质量的同时，通过调整砂轮摆角和抬角的等工艺参数，实现砂轮磨削姿态定义的灵活性，避免刃磨干涉的整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法。技术方案如下：

一种整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法，包括以下步骤：

步骤1：定义端齿直线刃相关几何参数：

(1)定义周齿螺旋刃沿刀具回转中心轴线方向的长度为刀刃长度L_t；

(2)定义周齿螺旋刃起始处的刀具回转体半径为刀具起始回转半径R_w；

(3)定义螺旋角β为回转体母线方向矢量与刀刃点切矢量的夹角；

(4)定义刀具回转体外轮廓与刀具回转中心轴线的夹角为刀具锥度角κ；

(5)定义端面中心点到端齿直线刃的距离为齿偏中心量h；

(6)定义端齿直线刃沿其刃线方向超出端面中心点的距离为齿过中心量l_h；

(7)定义端齿直线刃与垂直于刀具回转轴线的平面的夹角为端齿直线刃内倾角η；

(8)定义刀具端齿部分的刀体回转半径为r，根据周齿锥角的几何关系，得

r＝R_w-L_t·tanκ (1)

(9)定义端齿直线刃的长度为L_h，根据直线刃的空间几何关系，得：

步骤2：定义坐标系

(1)工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w：

以刀具回转轴为Z_w轴，以周齿螺旋刃线起点所在端面为X_wO_wY_w平面；定义周齿螺旋刃线末点处，相对于工件坐标系X轴绕Z轴的旋转角为回转角

式中，

为初始回转角；

(2)端齿坐标系O_d-X_dY_dZ_d：

由工件坐标系绕Z轴旋转回转角

再沿Z轴正方向平移L_t得到端齿坐标系；采用变换矩阵的方式描述任意一点从端齿坐标系下的坐标P'转换到工件坐标系下的坐标P的变换关系，如下式所示

P＝M_d-w·P′+T_d-w (4)

式中，M_d-w表示从端齿坐标系到工件坐标系的旋转矩阵：

T_d-w表示从端齿坐标系到工件坐标系的平移矩阵：

(3)直线刃坐标系O_m-X_mY_mZ_m：

由端齿坐标系绕Z轴反向旋转角度

再绕Y轴旋转角度θ，最后沿着X轴正方向平移r得到直线刃坐标系；

定义任意一点从直线刃坐标系下的坐标P'转换到端齿坐标系下的坐标P变换关系，如下式所示：

P＝M_m-d·P′+T_m-d (9)

式中，M_m-d表示从直线刃坐标系到端齿坐标系的旋转矩阵：

T_m-d表示从直线刃坐标系到端齿坐标系的平移矩阵：

步骤3：定义端齿直线刃

齿后刀面宽度和后角以X_mY_m平面为基准，定义P₀点，即直线刃坐标系的原点O_m为端齿直线刃的起点，P₀P₁为第一后刀面与X_mY_m平面的交线，l为第一后刀面宽度；λ为第一后角；则P₀点在直线刃坐标系的坐标为P₀(0,0,0)，P₁点坐标表达如下：

由于端齿直线刃与直线刃坐标系的Z_m轴重合，则设端齿直线刃起点P₀处的端齿直线刃的单位切矢量F_xw为：

则端齿直线刃上的任意点P_t坐标表示为：

P_t＝t·F_xw+P₀,0≤t≤L_h (14)

式中，t为参变量；P₀为P₀点的坐标矩阵；

步骤4：计算砂轮姿态：

(1)砂轮的初始姿态

定义P₀指向P₁的矢量为F_t，则F_t垂直F_xw，且F_t和F_xw构成的平面与砂轮初始姿态下的砂轮端面重合；定义此平面的法矢为砂轮轴矢量F_g：

F_g＝F_t×F_xw (15)

定义P₀指向砂轮磨削端面圆中点O_g的矢量为F_b，砂轮大端圆面在点P₀的切矢为F_t，由于F_b垂直于F_g与F_t，得

F_b＝F_g×F_t (16)

因此P₀沿着矢量F_b方向移动砂轮大端圆半径R_g的距离，即可得到刀位点坐标：

O_g＝P₀+R_g·F_b (17)

(2)砂轮的摆角对初始姿态的变换

定义端齿后刀面在P₀点的法矢量为F_g0，则

式中，λ为第一后角；

定义摆角μ_ag为砂轮以P₀为中心，以F_g0为回转轴所旋转的角度；绕空间任一单位矢量N(N_x,N_y,N_z)旋转一个角度γ的旋转矩阵通式为：

式中，versγ＝1-cosγ；

点P₁绕矢量F_g0旋转摆角μ_αg得到点P₁'，其表达式如下：

由点P₁'和点P₀得到矢量F_t'，根据式(15)-(17)，得到具有摆角的砂轮轴矢F_g'和刀位点坐标O_g'；

(3)砂轮的抬角对初始姿态的变换

定义抬角δ_αg为砂轮绕经过摆角变换后的矢量F_t'所旋转的角度；直线刃坐标系下，定义F_g”为经过抬角变换的砂轮轴矢量，其由F_g'绕F_t'旋转δ_αg得到

F_g″＝Rot(F_t′,δ_αg)F_g′ (21)

进一步根据式(15)-(17)，得到具有抬角的砂轮刀位点坐标O_g”；

(4)砂轮在工件坐标系下的最终姿态

将砂轮轴矢量和刀位点坐标转换到工件坐标系下表达，转换矩阵如下式所示：

式中，O_{g_w}为刀位点在工件坐标系下的坐标，F_{g_w}为砂轮轴矢量在工件坐标系下的坐标。

本发明的有益效果是：本发明首先建立了具有齿过和齿偏中心结构特征的整体平头立铣刀端齿刃线，提出了用于端齿直纹型后刀面的刃磨模型。该模型以砂轮端面为磨削面，可在保证磨削质量的同时，通过调整砂轮摆角和抬角的等工艺参数，实现砂轮磨削姿态定义的灵活性，避免刃磨干涉。然后，通过机床的运动原理，将砂轮刀位文件转换为5轴数控工具磨床的NC代码，实现直径10mm的整体立铣刀端齿直纹型后刀面的刃磨。

附图说明

图1为端齿直线刃相关几何参数的定义示意图。

图2为工件坐标系及端齿坐标系位置示意图。

图3为直线刃坐标系示意图。

图4为端齿后刀面宽度与角度示意图。

图5为砂轮初始姿态示意图。

图6为矢量F_g0示意图。

图7为砂轮摆角示意图。

图8为砂轮抬角示意图。

图9为仿真效果图。

图中：1-端齿直线刃；2-端面中心点；3-周齿螺旋刃；4-第一后刀面；5-第二后刀面。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。本发明的整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法，具体步骤如下：

步骤1：端齿直线刃相关几何参数定义

整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面结构定义和端齿后刀面磨削轨迹算法的基础是端齿直线刃几何特征的精确描述，如图1所示。以下对端齿直线刃的相关几何参数进行定义：

(1)刀刃长度L_t

定义周齿螺旋刃沿刀具回转中心轴线方向的长度为刀刃长度L_t。

(2)刀具起始回转半径R_w

定义周齿螺旋刃起始处的刀具回转体半径为刀具起始回转半径R_w。

(3)螺旋角β

采用采用文献^[6]中对螺旋角的定义方式，即螺旋角β为回转体母线方向矢量与刀刃点切矢量的夹角。

(4)锥度角κ

定义刀具回转体外轮廓与刀具回转中心轴线的夹角为刀具锥度角κ。

(5)齿偏中心量h

定义端面中心点到端齿直线刃的距离为齿偏中心量(或称作偏心距)h。

(6)齿过中心量l_h

定义端齿直线刃沿其刃线方向超出端面中心点的距离为齿过中心量l_h。

(7)端齿直线刃内倾角η

定义端齿直线刃与垂直于刀具回转轴线的平面的夹角为端齿直线刃内倾角η。

(8)端齿部分的刀体回转半径r

定义刀具端齿部分的刀体回转半径为r，根据周齿锥角的几何关系，可得

r＝R_w-L_t·tanκ (24)

(9)端齿直线刃的长度L_h

定义端齿直线刃的长度为L_h，根据直线刃的空间几何关系，可得

步骤2：坐标系定义

(1)工件坐标系

立铣刀砂轮磨削轨迹研究的目标是获得磨削过程中机床各轴在任意时刻的位置。为了便于立铣刀数控磨削的对刀和得到控制机床的NC程序，需要将磨削坐标系下的磨削轨迹变换到工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w对进行描述。定义刀具回转轴为Z_w轴，以周齿螺旋刃线起点所在端面为X_wO_wY_w平面，如图2所示。

定义周齿螺旋刃线末点(端齿直线刃起点)处，相对于工件坐标系X轴绕Z轴的旋转角为回转角

等螺旋角的圆柱型和圆锥型刀具的周齿刃线的相关研究已经相对完善，本发明采用文献[何耀雄,周云飞,周济.广义螺旋运动与复杂回转刀具几何建模[J].航空学报,2002,23(2):135-139.(HE Yaoxiong,ZHOU Yunfei,ZHOU Ji.Generalized HelicalMoment And Geometric Modeling Ocomplicated-Shape Revolving Cutting Tools[J].Acta Aeronautica ET Astronautica Sinica,2002,23(2):135-139.)中推导周齿刃线过程中用到的回转角

的推导公式，其式如下所示：

式中，

为初始回转角[刘井玉.特种回转面刀具几何建模及数控磨削加工原理研究[D].哈尔滨工业大学,1998.(Liu Jinyu.Research on Geometric Modeling andNumerical Control Grinding Principle of Special Rotary Surface Tool[D].HarbinInstitute of Technology,1998.)]。

(2)端齿坐标系

为了便于端齿刃线的表达，定义端齿坐标系O_d-X_dY_dZ_d。端齿坐标系可由工件坐标系绕Z轴旋转回转角

再沿Z轴正方向平移L_t得到，如图2所示。

本发明采用变换矩阵的方式描述任意一点从端齿坐标系下的坐标P'转换到工件坐标系下的坐标P的变换关系，如式(4)所示

P＝M_d-w·P′+T_d-w (27)

式中M_d-w表示从端齿坐标系到工件坐标系的旋转矩阵：

T_d-w表示从端齿坐标系到工件坐标系的平移矩阵：

(3)直线刃坐标系

为了便于直线刃后刀面的定义，定义直线刃坐标系O_m-X_mY_mZ_m。直线刃坐标系是由端齿坐标系绕Z轴反向旋转角度

再绕Y轴旋转角度θ，最后沿着X轴正方向平移r得到的。

同理，定义任意一点从直线刃坐标系下的坐标P'转换到端齿坐标系下的坐标P变换关系，如式(9)所示：

P＝M_m-d·P′+T_m-d (32)

式中，M_m-d表示从直线刃坐标系到端齿坐标系的旋转矩阵：

T_m-d表示从直线刃坐标系到端齿坐标系的平移矩阵：

步骤3：端齿直线刃定义

(1)端齿后刀面宽度和后角

为了表达准确和计算简单，端齿直线刃后刀面的所有定义都基于直线刃坐标系。端齿后刀面宽度和后角都以X_mY_m平面为基准，如图4所示。定义P₀点为端齿直线刃的起点(即直线刃坐标系的原点O_m)，P₀P₁为第一后刀面与X_mY_m平面的交线，l为第一后刀面宽度；λ为第一后角。

P₀点在直线刃坐标系的坐标为P₀(0,0,0)，由图4所示的几何关系可知P₁点坐标可表达如下：

(2)端齿直线刃单位矢量

由于端齿直线刃与直线刃坐标系的Z_m轴重合，则设端齿直线刃起点P₀处的端齿直线刃的单位切矢量F_xw，则

从而，端齿直线刃上的任意点P_t坐标可以表示为(t为参变量)：

P_t＝t·F_xw+P₀,0≤t≤L_h (37)

步骤4：砂轮姿态的计算

(1)砂轮的初始姿态

为了保证端齿直纹型后刀面的磨削质量，本发明采用砂轮端平面磨削的方式。当砂轮为初始姿态时，砂轮端平面与端齿后刀面重合。为了表达准确和计算简单，砂轮姿态的定义都基于直线刃坐标系。

定义P₀指向P₁的矢量为F_t，则F_t垂直F_xw，且F_t和F_xw构成的平面与砂轮初始姿态下的砂轮端面重合。定义此平面的法矢为砂轮轴矢量F_g：

F_g＝F_t×F_xw (38)

定义P₀指向砂轮磨削端面圆中点O_g(刀位点)的矢量为F_b，砂轮大端圆面在点P₀的切矢为F_t。由于F_b垂直于F_g与F_t，可得

F_b＝F_g×F_t (39)

因此只要将P₀沿着矢量F_b方向移动砂轮大端圆半径R_g的距离，即可得到刀位点坐标：

O_g＝P₀+R_g·F_b (40)

(2)砂轮的摆角对初始姿态的变换

为了避免在后刀面磨削过程中可能产生的砂轮与端齿其他特征结构的干涉，在直线刃坐标系中引入砂轮摆角工艺参数。定义端齿后刀面在P₀点的法矢量为F_g0，则

定义摆角μ_ag为砂轮以P₀为中心，以F_g0为回转轴所旋转的角度，如图6所示。

绕空间任一单位矢量N(N_x,N_y,N_z)旋转一个角度β的旋转矩阵通式为：

式中，versβ＝1-cosβ。

点P₁绕矢量F_g0旋转摆角μ_αg得到点P₁'，其表达式如下：

由点P₁'和点P₀得到矢量F_t'，根据式(15)-(17)，可得具有摆角的砂轮轴矢F_g'和刀位点坐标O_g'。

(3)砂轮的抬角对初始姿态的变换

为了减少后刀面磨削过程中砂轮与后刀面的磨削接触区域，在直线刃坐标系中引入砂轮的抬角工艺参数。定义抬角δ_αg为砂轮绕经过摆角变换后的矢量F_t'所旋转的角度，如图8所示。直线刃坐标系下，定义F_g”就是经过抬角变换的砂轮轴矢量，其可由F_g'绕F_t'旋转δ_αg得到

F_g″＝Rot(F_t′,δ_αg)F_g′ (44)

进一步根据式(15)-(17)，可得具有抬角的砂轮刀位点坐标O_g”。

(4)砂轮在工件坐标系下的最终姿态

上述砂轮轴矢量和刀位点坐标都是在直线刃坐标系下描述的，为了便于用于实际加工，需要最终转换到工件坐标系下表达。转换矩阵如式(23)、(24)所示，其中O_{g_w}为刀位点在工件坐标系下的坐标，F_{g_w}为砂轮轴矢量在工件坐标系下的坐标：

试验验证

为了验算本发明所提出的砂轮磨削轨迹算法，在VC++环境开发了一套算法模块，按照一定步长循环计算即可获得直纹形后刀面的砂轮刀位数据。使用Vericut8.0对所设计的刀尖分屑槽将NC程序导入Vericut仿真软件，进行磨削仿真并检查干涉情况。端齿后刀面磨削仿真结果如图9所示。端齿后刀面实际刃磨过程中砂轮转速为25m/s，进给速度为10mm/s，磨削过程采用磨削油冷却。

通过检测仪的标准测量方式对端齿后刀面的后角、主后刀面宽度和端齿向心角进行测量。三把整体平头立铣刀几何参数测量结果如表1所示，从表中可以看出，刃磨后的刀具参数误差在3％以内，与设计值具有较高的吻合度，且经过砂轮抬角及摆角的微调，刃磨过程并未出现干涉情况，这也验证了上述整体平头立铣刀端齿后刀面刃磨模型的正确性。

表1立铣刀端齿后刀面几何参数设计值与实测值

Claims (1)

1.一种整体平头立铣刀端齿直纹型后刀面的磨削轨迹求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：定义端齿直线刃相关几何参数：

(1)定义周齿螺旋刃沿刀具回转中心轴线方向的长度为刀刃长度L_t；

(2)定义周齿螺旋刃起始处的刀具回转体半径为刀具起始回转半径R_w；

(3)定义螺旋角β为回转体母线方向矢量与刀刃点切矢量的夹角；

(4)定义刀具回转体外轮廓与刀具回转中心轴线的夹角为刀具锥度角κ；

(5)定义端面中心点到端齿直线刃的距离为齿偏中心量h；

(6)定义端齿直线刃沿其刃线方向超出端面中心点的距离为齿过中心量l_h；

(7)定义端齿直线刃与垂直于刀具回转轴线的平面的夹角为端齿直线刃内倾角η；

(8)定义刀具端齿部分的刀体回转半径为r，根据周齿锥角的几何关系，得

r＝R_w-L_t·tanκ (1)

(9)定义端齿直线刃的长度为L_h，根据直线刃的空间几何关系，得：

步骤2：定义坐标系

(1)工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w：

以刀具回转轴为Z_w轴，以周齿螺旋刃线起点所在端面为X_wO_wY_w平面；定义周齿螺旋刃线末点处，相对于工件坐标系X轴绕Z轴的旋转角为回转角

式中，

为初始回转角；

(2)端齿坐标系O_d-X_dY_dZ_d：

由工件坐标系绕Z轴旋转回转角

再沿Z轴正方向平移L_t得到端齿坐标系；采用变换矩阵的方式描述任意一点从端齿坐标系下的坐标P'转换到工件坐标系下的坐标P的变换关系，如下式所示

P＝M_d-w·P′+T_d-w (4)

式中，M_d-w表示从端齿坐标系到工件坐标系的旋转矩阵：

T_d-w表示从端齿坐标系到工件坐标系的平移矩阵：

(3)直线刃坐标系O_m-X_mY_mZ_m：

由端齿坐标系绕Z轴反向旋转角度

再绕Y轴旋转角度θ，最后沿着X轴正方向平移r得到直线刃坐标系；

定义任意一点从直线刃坐标系下的坐标P'转换到端齿坐标系下的坐标P变换关系，如下式所示：

P＝M_m-d·P′+T_m-d (9)

式中，M_m-d表示从直线刃坐标系到端齿坐标系的旋转矩阵：

T_m-d表示从直线刃坐标系到端齿坐标系的平移矩阵：

步骤3：定义端齿直线刃

齿后刀面宽度和后角以X_mY_m平面为基准，定义P₀点，即直线刃坐标系的原点O_m为端齿直线刃的起点，P₀P₁为第一后刀面与X_mY_m平面的交线，l为第一后刀面宽度；λ为第一后角；则P₀点在直线刃坐标系的坐标为P₀(0,0,0)，P₁点坐标表达如下：

由于端齿直线刃与直线刃坐标系的Z_m轴重合，则设端齿直线刃起点P₀处的端齿直线刃的单位切矢量F_xw为：

则端齿直线刃上的任意点P_t坐标表示为：

P_t＝t·F_xw+P₀,0≤t≤L_h (14)

式中，t为参变量；P₀为P₀点的坐标矩阵；

步骤4：计算砂轮姿态：

(1)砂轮的初始姿态

定义P₀指向P₁的矢量为F_t，则F_t垂直F_xw，且F_t和F_xw构成的平面与砂轮初始姿态下的砂轮端面重合；定义此平面的法矢为砂轮轴矢量F_g：

F_g＝F_t×F_xw (15)

定义P₀指向砂轮磨削端面圆中点O_g的矢量为F_b，则砂轮大端圆面在点P₀的切矢也为F_t，由于F_b垂直于F_g与F_t，得

F_b＝F_g×F_t (16)

因此P₀沿着矢量F_b方向移动砂轮大端圆半径R_g的距离，即可得到刀位点坐标：

O_g＝P₀+R_g·F_b (17)

(2)砂轮的摆角对初始姿态的变换

定义端齿后刀面在P₀点的法矢量为F_g0，则

式中，λ为第一后角；

定义摆角μ_ag为砂轮以P₀为中心，以F_g0为回转轴所旋转的角度；绕空间任一单位矢量N(N_x,N_y,N_z)旋转一个角度γ的旋转矩阵通式为：

式中，versγ＝1-cosγ；

点P₁绕矢量F_g0旋转摆角μ_αg得到点P₁'，其表达式如下：

由点P₁'和点P₀得到矢量F_t'，根据式(15)-(17)，得到具有摆角的砂轮轴矢F_g'和刀位点坐标O_g'；

(3)砂轮的抬角对初始姿态的变换

定义抬角δ_αg为砂轮绕经过摆角变换后的矢量F_t'所旋转的角度；直线刃坐标系下，定义F_g”为经过抬角变换的砂轮轴矢量，其由F_g'绕F_t'旋转δ_αg得到

F_g″＝Rot(F_t′,δ_αg)F_g′ (21)

进一步根据式(15)-(17)，得到具有抬角的砂轮刀位点坐标O_g”；

(4)砂轮在工件坐标系下的最终姿态

将砂轮轴矢量和刀位点坐标转换到工件坐标系下表达，转换矩阵如下式所示：

式中，O_{g_w}为刀位点在工件坐标系下的坐标，F_{g_w}为砂轮轴矢量在工件坐标系下的坐标。

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