CN113255075A - 一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法 - Google Patents
一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法 Download PDFInfo
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Abstract
一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法。首先，定义断屑钻尖后刀面的结构参数，建立断屑钻尖刃线及后刀面的参数化数学模型；其次，定义了断屑钻尖后刀面的坐标系、磨削工艺参数以及砂轮初始姿态；在此基础上，采用坐标变换矩阵描述砂轮运动方式，借助于运动学原理推导了基于工件坐标系的砂轮磨削位置和姿态的计算方法。该算法保证了断屑钻尖后刀面的结构精度，并可灵活调整磨削过程中砂轮姿态。本发明在保证断屑钻头加工精度前提下,改变了断屑条件,提高了钻头耐用度。
Description
技术领域
本发明涉及钻头结构设计技术领域，具体为一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法。
背景技术
断屑钻尖是一种新型的钻头端齿结构，具有较高的孔底切削和断屑能力。断屑钻尖结构具有三段切削刃，其中，中心钻尖直线刃、外侧钻尖直线刃使得切屑受力方向不同而提高断屑性能，中间的钻尖圆弧刃能改善钻尖的受力情况，减小应力集中和延长使用寿命。对应于切削刃的分段，断屑钻尖也存在两个钻尖角——较小的中心钻尖角能提高钻头定心性能，较大的外侧钻尖角能减小孔的边缘变形并改善毛刺状况。断屑钻尖的各钻尖角以及切削刃的长度，需要根据对应的加工材料、孔直径和工艺参数确定。
断屑钻尖后刀面是断屑钻尖结构的关键几何特征，也是断屑钻尖制造工艺的难点和重点。目前，针对刀具后刀面的磨削加工，许多学者已经进行了相关研究工作。如梁志强等[1]研究了等径向后角微细球头铣刀刃磨工艺；张潇然[2]、Lei Han[3]等推导了圆弧头立铣刀刃线与后刀面磨削轨迹的数学模型；孙晓军[4]、刘长玲[4]、Xuefeng Cheng[4]等建立了球头立铣刀后刀面的数学模型并进行了加工验证；李国超[7]对整体式立铣刀进行了系统性的研究，分析了后刀面的三种磨削方法；周焱强等[8]建立了钻头圆锥面后刀面的数学模型；房晨等[9]利用三维软件建立了钻头模型，并利用锥面刃磨法对钻头后刀面磨削轨迹进行了研究；易格等[10]建立了钻削功率与钻头后刀面几何参数之间的关系模型。虽然当前对常规钻尖及立铣刀端齿后刀面磨削工艺的研究已较为成熟，然而针对断屑钻尖后刀面的磨削工艺研究还并不完善，尚未见到相关文献和报告，制约了钻头的创新研发。
本文针对断屑钻尖后刀面磨削工艺进行了数学建模，根据工程应用要求和砂轮运动约束条件，借助于运动学理论和坐标变换矩阵，推导了砂轮磨削轨迹的精确计算方法。
参考文献
[1]梁志强,李世迪,周天丰,高鹏,张东东,王西彬.等法向前角和等径向后角微细球头铣刀刃磨研究[J].机械工程学报,2019,55(05):196-203.
[2]张潇然.圆弧头立铣刀端齿前后刀面的磨削工艺研究[D].西南交通大学,2019.
[3]Han L,Cheng X,Jiang L,et al.Research on parametric modeling andgrinding methods of bottom edge of toroid-shaped end-milling cutter[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part B:Journal ofEngineering Manufacture,2019,233(1):31-43.
[4]孙晓军,唐飞,王晓浩.基于五轴数控磨床的球头立铣刀后刀面加工算法的研究[J].机械工程师,2013(04):11-12.
[5]刘长玲.球头立铣刀五轴数控刃磨算法研究及加工[D].天津大学,2018.
[6]Xuefeng Cheng,Guofu Ding,Rong Li,Xiaojie Ma,Shengfeng Qin,XiaoluSong.A New Design and Grinding Algorithm for Ball-end Milling Cutter withTooth Offset Center.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,PartB:Journal of Engineering Manufacture,2014,228(7):687-697
[7]李国超著.整体硬质合金立铣刀三维建模及刃磨制造关键技术[M].山东大学出版社,2018.
[8]周焱强,曾滔.曲线刃麻花钻数学模型的研究[J].工具技术,2020,54(02):46-49.
[9]房晨,戴俊平.标准麻花钻建模及锥面刃磨法的参数优化[J].机械工程师,2019(07):13-15.
[10]易格,熊良山.双曲面麻花钻的参数节能优化[J].中国计量学院学报,2013,24(02):200-207.
发明内容
本发明的目的是提供一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法，旨在改善断屑条件，提高钻头耐用度。
一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法，包括以下步骤：
步骤1：断屑钻尖后刀面的结构参数定义
为了完整准确地描述断屑钻尖后刀面结构，定义以下结构参数：
(1)中心钻尖角χ：为中心钻尖直线刃线绕钻头轴线回转所形成的锥角。
(2)外侧钻尖角θ：为外侧钻尖直线刃线绕钻头轴线回转所形成的锥角。
(3)钻尖直径D：为两直线刃线理论交点绕钻头轴线回转所形成的圆轮廓直径。
(4)外侧钻尖直径D1：为外侧钻尖直线刃线与周齿螺旋刃的交点绕钻头轴线回转所形成的圆轮廓直径。
(5)钻头周刃长度Lw：为周齿沿钻头轴线方向的长度。
(6)钻尖圆弧半径r：为钻尖圆弧刃线的圆弧半径。
(7)锥度角κ：为周齿回转轮廓母线与钻头轴线的夹角。
(8)周刃螺旋角β：为周齿回转轮廓母线与周齿刃线切矢的夹角。
(9)后角λ：为后刀面在刃线法截面的轮廓与钻头轴线法截面的夹角。
(10)后刀面宽度W：为后刀面在刃线法截面的轮廓长度。
(11)回转角
：为周齿螺旋刃从尾部起点至断屑钻尖后刀面终点的绕钻头轴线回转角度，其计算方法为：
步骤2：坐标系定义
为了便于断屑钻尖三段刃线的参数化建模以及砂轮磨削位置和姿态的描述，建立以下三个坐标系：
(1)工件坐标系Ow-XwYwZw：原点Ow位于钻头尾端圆心，坐标轴Zw为钻头轴线，坐标轴Xw由原点Ow指向周齿刃线起点。为了便于工具磨床后置处理，砂轮磨削轨迹的刀位坐标都需要在工件坐标系下进行描述。
(2)钻尖坐标系Oψ-XψYψZψ：原点Oψ位于两直线刃的理论交点，坐标轴Zψ平行于坐标轴Zw，坐标轴Xψ垂直于第一后刀面刃线与钻头轴线所在的平面。刃线数学模型的建立以及砂轮磨削姿态的完整定义都是基于此坐标系。
(3)刃线法截面坐标系Osn-XsnYsnZsn：原点Osn位于刃线上，坐标轴Xsn与坐标轴Xψ平行，坐标轴Ysn为原点Osn处的刃线切线。该坐标系为浮动坐标系，用以约束砂轮的磨削姿态。
步骤3：坐标系变换矩阵构建
为了便于采用运动学理论进行砂轮磨削位姿的求解，本文构建了以下齐次坐标变换矩阵：
(1)由法截面坐标系到钻尖坐标系的变换矩阵Msn→ψ
该变换矩阵描述为法截面坐标系先绕Xsn轴旋转至与钻尖坐标系同向，再平移至与钻尖坐标系重合。定义第一后刀面刃线上任意点P1的坐标在钻尖坐标系下表达为P1_ψ(下标_ψ表示在钻尖坐标系下描述)：
则Msn→ψ可表达为
式中，Ag为点P1的刃线切矢与坐标轴Yψ的夹角。当点P1位于不同刃线段时，夹角Ag的计算方式不同：
①当点P1位于外侧钻尖直线刃线段
其中，
②当点P1位于钻尖圆弧刃线段
其中，
③当点P1位于中心钻尖直线刃线段
(2)由钻尖坐标系变换到工件坐标系的变换矩阵Mψ→w
该变换矩阵描述为钻尖坐标系先绕坐标轴Zψ旋转回转角
与工件坐标系平行，再平移至与工件坐标系重合。则Mψ→w可表达为
步骤4：断屑钻尖刃线的数学建模
根据钻尖坐标系的定义可知断屑钻尖刃线位于坐标平面YψZψ，则断屑钻尖刃线可分段表达为三个数学模型：
(1)外侧钻尖直线刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，外侧钻尖直线刃线上任意点P1的坐标为可表达为
(2)钻尖圆弧刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，钻尖圆弧刃线上任意点P1的坐标为可表达为
(3)中心钻尖直线刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，中心钻尖直线刃线上任意点P1的坐标为可表达为
(4)刃线模型的扩展
为了减少后刀面摩擦，断屑钻尖可能存在多个后刀面。本文在钻尖坐标系下，通过对上述后刀面钻尖刃线模型进行扩展，以满足第二及第三后刀面几何定义。
第二后刀面刃线只需根据第一后刀面角度与宽度在钻尖坐标系下将第一后刀面刃线进行偏移即可，所以第二后刀面刃线上任意点P2的坐标可以表示为
以此类推，得到第三后刀面刃线的坐标表达式。
步骤5：砂轮磨削姿态定义
刀具后刀面的磨削工艺一般采用11V9碗形砂轮，本文以砂轮轴矢量Fg(即碗形砂轮的大端圆心指向小端圆心)描述砂轮的磨削姿态。为了保证磨削过程中砂轮姿态的一致性，在钻尖坐标系下定义砂轮初始磨削姿态，其可表达为两个约束条件：
(1)砂轮大端圆切矢F1与后刀面在刃线法截面的轮廓重合；
(2)砂轮轴矢量Fg与刃线上点P1处的后刀面垂直。
由上述定义，可得切矢F1在刃线法截面坐标系下可表达为
其在钻尖坐标系下可表达为
F1_ψ＝Msn→ψF1_sn (16)
轴矢Fg在钻尖坐标系下可表达为
Fg_ψ＝F1_ψ×FY_ψ (17)
其中FY_ψ为坐标轴Yψ单位矢量。
定义刃线上点P1指向砂轮圆心Og的径向矢量为Fgr，即
Fgr_ψ＝Fg_ψ×F1_ψ (18)
为了避免实际磨削过程的干涉问题，在砂轮初始磨削姿态的约束下，本文引入磨削抬角δg。定义抬角δg为砂轮绕矢量F1旋转的角度，在保证后刀面磨削精度的基础上，使砂轮的磨削姿态具有一定的调整空间。
定义绕空间任一单位矢量N旋转角度α的变换矩阵为Rot(N,α)
式中，versα＝1-cosα。
引入磨削抬角δg后，砂轮初始轴矢量Fg与初始径向矢量Fgr变换为F′g和F′gr，其在钻尖坐标系下可表达为
F′g_ψ＝Rot(F1_ψ,δg)Fg_ψ (20)
F′gr_ψ＝Rot(F1_ψ,δg)Fgr_ψ (21)
步骤6：砂轮磨削轨迹计算
以砂轮大端面圆心点Og的坐标描述砂轮磨削位置，其约束条件为磨削过程中砂轮的大端圆始终与刃线接触。以第一后刀面磨削为例，圆心点Og坐标在钻尖坐标系下表达为
Og_ψ＝P1_ψ+F′gr_ψRg (22)
其中，Rg为砂轮大端面圆周半径。
步骤7：砂轮磨削刀位点计算
为了便于后置处理得到五轴数控工具磨床各进给轴的运动量，需要将砂轮的位置和姿态转换为磨削轨迹的刀位坐标，即在工件坐标系下表达砂轮大端圆心点Og和刀轴矢量F′g：
Og_w＝Mψ→wOg_ψ (23)
F′g_w＝Mψ→wF′g_ψ (24)
本发明的有益结果是：引入一系列的钻头断屑钻尖后刀面相关参数对后刀面的几何结构建立了较完善的数学模型；基于坐标系的定义与变换以及刃线的数学模型对砂轮的姿态与位置的求解进行了详细的推导；开发了对应的算法模块，进行了仿真和实际加工验证，对磨削轨迹算法的有效性进行了验证。
本发明提出了一种断屑钻尖后刀面的结构参数定义方法，在此基础上建立了钻尖刃线的三段数学模型，通过砂轮的磨削初始姿态以及坐标系变换，推导了砂轮姿态和位置的磨削轨迹数学模型。该算法具有结构参数适应性好、轨迹坐标精度高、砂轮姿态调整灵活等特点，可得到基于工件坐标系的砂轮刀位坐标，满足数控磨削工艺要求。在保证断屑钻头加工精度前提下，改善了断屑条件，提高了钻头耐用度。
附图说明
图1断屑钻尖后刀面几何参数示意图
图2断屑钻尖坐标系图2a为后刀面剖面示意图
图3图3a分别由砂轮初始磨削姿态主视图和左视图。
图4增加抬角后的砂轮磨削姿态示意图
图5断屑钻尖后刀面的实际磨削结果
图6断屑钻头结构示意图
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。本发明的一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法，具体步骤如下：
附图中，1中心钻尖直线刃线，2钻头圆弧刃线，3外侧钻尖直线刃线，4第一后刀面刃线，5第二后刀面刃线，6抬角姿态，7初始姿态，8、9/10分别为第一、第二、第三后刀面。
步骤1：断屑钻尖后刀面的结构参数定义
为了完整准确地描述断屑钻尖后刀面结构，定义以下结构参数：
(1)中心钻尖角χ：为中心钻尖直线刃线绕钻头轴线回转所形成的锥角。
(2)外侧钻尖角θ：为外侧钻尖直线刃线绕钻头轴线回转所形成的锥角。
(3)钻尖直径D：为两直线刃线理论交点绕钻头轴线回转所形成的圆轮廓直径。
(4)外侧钻尖直径D1：为外侧钻尖直线刃线与周齿螺旋刃的交点绕钻头轴线回转所形成的圆轮廓直径。
(5)钻头周刃长度Lw：为周齿沿钻头轴线方向的长度。
(6)钻尖圆弧半径r：为钻尖圆弧刃线的圆弧半径。
(7)锥度角κ：为周齿回转轮廓母线与钻头轴线的夹角。
(8)周刃螺旋角β：为周齿回转轮廓母线与周齿刃线切矢的夹角。
(9)后角λ：为后刀面在刃线法截面的轮廓与钻头轴线法截面的夹角，如图2所示。
(10)后刀面宽度W：为后刀面在刃线法截面的轮廓长度，如图2所示。
(11)回转角
：为周齿螺旋刃从尾部起点至断屑钻尖后刀面终点的绕钻头轴线回转角度，如图2所示，其计算方法为：
步骤2：坐标系定义
为了便于断屑钻尖三段刃线的参数化建模以及砂轮磨削位置和姿态的描述，建立以下三个坐标系：
(4)工件坐标系Ow-XwYwZw：原点Ow位于钻头尾端圆心，坐标轴Zw为钻头轴线，坐标轴Xw由原点Ow指向周齿刃线起点。为了便于工具磨床后置处理，砂轮磨削轨迹的刀位坐标都需要在工件坐标系下进行描述。
(5)钻尖坐标系Oψ-XψYψZψ：原点Oψ位于两直线刃的理论交点，坐标轴Zψ平行于坐标轴Zw，坐标轴Xψ垂直于第一后刀面刃线与钻头轴线所在的平面。刃线数学模型的建立以及砂轮磨削姿态的完整定义都是基于此坐标系。
(6)刃线法截面坐标系Osn-XsnYsnZsn：原点Osn位于刃线上，坐标轴Xsn与坐标轴Xψ平行，坐标轴Ysn为原点Osn处的刃线切线。该坐标系为浮动坐标系，用以约束砂轮的磨削姿态。
步骤3：坐标系变换矩阵构建
为了便于采用运动学理论进行砂轮磨削位姿的求解，本文构建了以下齐次坐标变换矩阵：
(3)由法截面坐标系到钻尖坐标系的变换矩阵Msn→ψ
该变换矩阵描述为法截面坐标系先绕Xsn轴旋转至与钻尖坐标系同向，再平移至与钻尖坐标系重合。定义第一后刀面刃线上任意点P1的坐标在钻尖坐标系下表达为P1_ψ(下标_ψ表示在钻尖坐标系下描述)：
则Msn→ψ可表达为
式中，Ag为点P1的刃线切矢与坐标轴Yψ的夹角。当点P1位于不同刃线段时，夹角Ag的计算方式不同：
④当点P1位于外侧钻尖直线刃线段
其中，
⑤当点P1位于钻尖圆弧刃线段
其中，
⑥当点P1位于中心钻尖直线刃线段
(4)由钻尖坐标系变换到工件坐标系的变换矩阵Mψ→w
该变换矩阵描述为钻尖坐标系先绕坐标轴Zψ旋转回转角
与工件坐标系平行，再平移至与工件坐标系重合。则Mψ→w可表达为
步骤4：断屑钻尖刃线的数学建模
根据钻尖坐标系的定义可知断屑钻尖刃线位于坐标平面YψZψ，则断屑钻尖刃线可分段表达为三个数学模型：
(5)外侧钻尖直线刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，外侧钻尖直线刃线上任意点P1的坐标为可表达为
(6)钻尖圆弧刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，钻尖圆弧刃线上任意点P1的坐标为可表达为
(7)中心钻尖直线刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，中心钻尖直线刃线上任意点P1的坐标为可表达为
(8)刃线模型的扩展
为了减少后刀面摩擦，断屑钻尖可能存在多个后刀面。本文在钻尖坐标系下，通过对上述后刀面钻尖刃线模型进行扩展，以满足第二及第三后刀面几何定义。
如图2所示，第二后刀面刃线只需根据第一后刀面角度与宽度在钻尖坐标系下将第一后刀面刃线进行偏移即可，所以第二后刀面刃线上任意点P2的坐标可以表示为
以此类推，可得到第三后刀面刃线的坐标表达式。
步骤5：砂轮磨削姿态定义
刀具后刀面的磨削工艺一般采用11V9碗形砂轮，本文以砂轮轴矢量Fg(即碗形砂轮的大端圆心指向小端圆心)描述砂轮的磨削姿态。为了保证磨削过程中砂轮姿态的一致性，在钻尖坐标系下定义砂轮初始磨削姿态，如图3所示，其可表达为两个约束条件：
(3)砂轮大端圆切矢F1与后刀面在刃线法截面的轮廓重合；
(4)砂轮轴矢量Fg与刃线上点P1处的后刀面垂直。
由上述定义，可得切矢F1在刃线法截面坐标系下可表达为
其在钻尖坐标系下可表达为
F1_ψ＝Msn→ψF1_sn (16)
轴矢Fg在钻尖坐标系下可表达为
Fg_ψ＝F1_ψ×FY_ψ (17)
其中FY_ψ为坐标轴Yψ单位矢量。
定义刃线上点P1指向砂轮圆心Og的径向矢量为Fgr，即
Fgr_ψ＝Fg_ψ×F1_ψ (18)
为了避免实际磨削过程的干涉问题，在砂轮初始磨削姿态的约束下，本文引入磨削抬角δg。定义抬角δg为砂轮绕矢量F1旋转的角度，在保证后刀面磨削精度的基础上，使砂轮的磨削姿态具有一定的调整空间，如图4所示。
定义绕空间任一单位矢量N旋转角度α的变换矩阵为Rot(N,α)
式中，versα＝1-cosα。
引入磨削抬角δg后，砂轮初始轴矢量Fg与初始径向矢量Fgr变换为F′g和F′gr，其在钻尖坐标系下可表达为
F′g_ψ＝Rot(F1_ψ,δg)Fg_ψ (20)
F′gr_ψ＝Rot(F1_ψ,δg)Fgr_ψ (21)
步骤6：砂轮磨削轨迹计算
以砂轮大端面圆心点Og的坐标描述砂轮磨削位置，其约束条件为磨削过程中砂轮的大端圆始终与刃线接触。以第一后刀面磨削为例，圆心点Og坐标在钻尖坐标系下表达为
Og_ψ＝P1_ψ+F′gr_ψRg (22)
其中，Rg为砂轮大端面圆周半径。
步骤7：砂轮磨削刀位点计算
为了便于后置处理得到五轴数控工具磨床各进给轴的运动量，需要将砂轮的位置和姿态转换为磨削轨迹的刀位坐标，即在工件坐标系下表达砂轮大端圆心点Og和刀轴矢量F′g：
Og_w＝Mψ→wOg_ψ (23)
F′g_w＝Mψ→wF′g_ψ (24)
试验验证
为了验证所提出的断屑钻尖后刀面砂轮磨削位姿算法，本文在VC++环境下开发了计算程序，并采用某G500T+型五轴数控工具磨床进行了磨削加工。验证所用的断屑钻尖后刀面结构设计参数如表1所示，工艺参数如表2所示。
表1断屑钻尖后刀面的结构设计参数
表2断屑钻尖后刀面的磨削工艺参数
实际磨削的断屑钻尖后刀面如图5所示。为了进一步验证算法的计算准确性，利用某PG1000刀具检测仪对实物的结构进行测量，检测数据如表3所示。
表3断屑钻尖后刀面的实际测量结果
测量结果表明砂轮磨削位姿计算方法可基本满足断屑钻尖后刀面的设计和加工要求，但由于砂轮微量磨损导致磨削点发生偏移，从而使得实际后刀面角度和宽度还存在微小误差，可以通过相应的补偿方式进一步提高加工精度。
Claims (1)
1.一种断屑钻尖后刀面磨削轨迹算法,其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：断屑钻尖后刀面的结构参数定义
为了完整准确地描述断屑钻尖后刀面结构，定义以下结构参数：
(1)中心钻尖角χ：为中心钻尖直线刃线绕钻头轴线回转所形成的锥角；
(2)外侧钻尖角θ：为外侧钻尖直线刃线绕钻头轴线回转所形成的锥角；
(3)钻尖直径D：为两直线刃线理论交点绕钻头轴线回转所形成的圆轮廓直径；
(4)外侧钻尖直径D1：为外侧钻尖直线刃线与周齿螺旋刃的交点绕钻头轴线回转所形成的圆轮廓直径；
(5)钻头周刃长度Lw：为周齿沿钻头轴线方向的长度；
(6)钻尖圆弧半径r：为钻尖圆弧刃线的圆弧半径；
(7)锥度角κ：为周齿回转轮廓母线与钻头轴线的夹角；
(8)周刃螺旋角β：为周齿回转轮廓母线与周齿刃线切矢的夹角；
(9)后角λ：为后刀面在刃线法截面的轮廓与钻头轴线法截面的夹角；
(10)后刀面宽度W：为后刀面在刃线法截面的轮廓长度；
(11)回转角
为周齿螺旋刃从尾部起点至断屑钻尖后刀面终点的绕钻头轴线回转角度，其计算方法为：
步骤2：坐标系定义
为了便于断屑钻尖三段刃线的参数化建模以及砂轮磨削位置和姿态的描述，建立以下三个坐标系：
(1)工件坐标系Ow-XwYwZw：原点Ow位于钻头尾端圆心，坐标轴Zw为钻头轴线，坐标轴Xw由原点Ow指向周齿刃线起点。为了便于工具磨床后置处理，砂轮磨削轨迹的刀位坐标都需要在工件坐标系下进行描述；
(2)钻尖坐标系Oψ-XψYψZψ：原点Oψ位于两直线刃的理论交点，坐标轴Zψ平行于坐标轴Zw，坐标轴Xψ垂直于第一后刀面刃线与钻头轴线所在的平面。刃线数学模型的建立以及砂轮磨削姿态的完整定义都是基于此坐标系；
(3)刃线法截面坐标系Osn-XsnYsnZsn：原点Osn位于刃线上，坐标轴Xsn与坐标轴Xψ平行，坐标轴Ysn为原点Osn处的刃线切线。该坐标系为浮动坐标系，用以约束砂轮的磨削姿态；
步骤3：坐标系变换矩阵构建
为了便于采用运动学理论进行砂轮磨削位姿的求解，构建以下齐次坐标变换矩阵：
(1)由法截面坐标系到钻尖坐标系的变换矩阵Msn→ψ
该变换矩阵描述为法截面坐标系先绕Xsn轴旋转至与钻尖坐标系同向，再平移至与钻尖坐标系重合。定义第一后刀面刃线上任意点P1的坐标在钻尖坐标系下表达为P1_ψ，下标_ψ表示在钻尖坐标系下描述：
则Msn→ψ表达为
式中，Ag为点P1的刃线切矢与坐标轴Yψ的夹角。当点P1位于不同刃线段时，夹角Ag的计算方式不同：
①当点P1位于外侧钻尖直线刃线段
其中，
②当点P1位于钻尖圆弧刃线段
其中，
③当点P1位于中心钻尖直线刃线段
(2)由钻尖坐标系变换到工件坐标系的变换矩阵Mψ→w
该变换矩阵描述为钻尖坐标系先绕坐标轴Zψ旋转回转角
与工件坐标系平行，再平移至与工件坐标系重合，则Mψ→w可表达为
步骤4：断屑钻尖刃线的数学建模
根据钻尖坐标系的定义可知断屑钻尖刃线位于坐标平面YψZψ，则断屑钻尖刃线分段表达为三个数学模型：
(1)外侧钻尖直线刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，外侧钻尖直线刃线上任意点P1的坐标为表达为
(2)钻尖圆弧刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，钻尖圆弧刃线上任意点P1的坐标为表达为
(3)中心钻尖直线刃线的数学模型
在钻尖坐标系下，中心钻尖直线刃线上任意点P1的坐标为表达为
(4)刃线模型的扩展
为了减少后刀面摩擦，断屑钻尖可能存在多个后刀面，在钻尖坐标系下，通过对上述后刀面钻尖刃线模型进行扩展，以满足第二及第三后刀面几何定义；
第二后刀面刃线只需根据第一后刀面角度与宽度在钻尖坐标系下将第一后刀面刃线进行偏移即可，所以第二后刀面刃线上任意点P2的坐标表示为
以此类推，可得到第三后刀面刃线的坐标表达式；
步骤5：砂轮磨削姿态定义
刀具后刀面的磨削工艺一般采用11V9碗形砂轮，本文以砂轮轴矢量Fg即碗形砂轮的大端圆心指向小端圆心描述砂轮的磨削姿态；为了保证磨削过程中砂轮姿态的一致性，在钻尖坐标系下定义砂轮初始磨削姿态，其表达为两个约束条件：
(1)砂轮大端圆切矢F1与后刀面在刃线法截面的轮廓重合；
(2)砂轮轴矢量Fg与刃线上点P1处的后刀面垂直；
由上述定义，可得切矢F1在刃线法截面坐标系下表达为
其在钻尖坐标系下表达为
F1_ψ＝Msn→ψF1_sn (16)
轴矢Fg在钻尖坐标系下表达为
Fg_ψ＝F1_ψ×FY_ψ (17)
其中FY_ψ为坐标轴Yψ单位矢量；
定义刃线上点P1指向砂轮圆心Og的径向矢量为Fgr，即
Fgr_ψ＝Fg_ψ×F1_ψ (18)
为了避免实际磨削过程的干涉问题，在砂轮初始磨削姿态的约束下，本文引入磨削抬角δg。定义抬角δg为砂轮绕矢量F1旋转的角度，在保证后刀面磨削精度的基础上，使砂轮的磨削姿态具有一定的调整空间；
定义绕空间任一单位矢量N旋转角度α的变换矩阵为Rot(N，α)
式中，versα＝1-cosα。
引入磨削抬角δg后，砂轮初始轴矢量Fg与初始径向矢量Fgr变换为F′g和F′gr，其在钻尖坐标系下表达为
F′g_ψ＝Rot(F1_ψ，δg)Fg_ψ (20)
F′gr_ψ＝Rot(F1_ψ，δg)Fgr_ψ (21)
步骤6：砂轮磨削轨迹计算
以砂轮大端面圆心点Og的坐标描述砂轮磨削位置，其约束条件为磨削过程中砂轮的大端圆始终与刃线接触。以第一后刀面磨削为例，圆心点Og坐标在钻尖坐标系下表达为
Og_ψ＝P1_ψ+F′gr_ψRg (22)
其中，Rg为砂轮大端面圆周半径。
步骤7：砂轮磨削刀位点计算
为了便于后置处理得到五轴数控工具磨床各进给轴的运动量，需要将砂轮的位置和姿态转换为磨削轨迹的刀位坐标，即在工件坐标系下表达砂轮大端圆心点Og和刀轴矢量F′g：
Og_w＝Mψ→wOg_ψ (23)
F′g_w＝Mψ→wF′g_ψ (24)。
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