CN109482984A - 一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其包括如下步骤：步骤一，建立成型法摆线齿锥齿轮加工坐标系组；步骤二，确定产形轮齿面方程，对于成型法摆线齿锥齿轮其产形轮齿面即为齿轮齿面；步骤三，确定磨齿用的砂轮参数；步骤四，干涉分析及修正计算；步骤五，磨齿刀位计算。其根据齿面加工数学模型及参数计算确定磨齿用砂轮结构和磨齿运动参数，能够实现采用大直径锥面砂轮在一次磨齿运动中磨削一个齿面，精度高，效率高。

Description

一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法

技术领域

本发明涉及齿轮机械制造，具体涉及一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法。

背景技术

螺旋锥齿轮用于空间中两相交或者相错轴的运动及动力传递。具有承载能力强、传递平稳、噪声低、使用寿命长、结构紧凑、工作可靠性高等优势，广泛应用于汽车、飞机、重型机械等机器的动力传动结构中。

螺旋锥齿轮的加工分为端面铣齿法和端面滚齿法两种，两种方法加工出的螺旋锥齿轮分别称为弧线齿锥齿轮和摆线齿锥齿轮。端面滚齿法由于可以在一次安装中采用一把刀盘进行连续分齿运动完成齿轮两面的加工，因此效率很高。但是由于这种齿轮的产形轮齿面是延伸外摆线的扫掠曲面，而不是回转曲面，因而尚不能进行磨齿加工，导致其热处理后的轮齿变形无法得到修正，限制了其轮齿精度及传动性能的提高。德国的Wiener发明了半完成法(Semi-Completing process)，使用了与端面铣齿同样的机构，可在一次装夹中加工齿轮的凹凸两面，具有一定的便利性。但是这种方法实际上只是局部地以杯形砂轮的弧线去替代延伸外摆线齿线，由此带来了明显的局限性。砂轮和齿面形态的差异会导致齿面材料去除不均，导致部分齿面表面硬化层被过度破坏，而部分齿面则完全没有得到加工，同时也就破坏了摆线齿锥齿轮本身具有的传动特性。西班牙北京交通大学王小椿、河南科技大学邓效忠以及德国的DMG机床集团、美国的Gleason公司与恒轮(HELLER)集团研究了在多轴加工中心上采用通用或专用刀具加工螺旋锥齿轮的方法，其实质是将螺旋锥齿轮当做自由曲面进行加工。采用这些方法将铣削刀具换成对应形状的砂轮后，虽然也能用于摆线齿锥齿轮的磨齿加工，但是其加工效率无法适应大批量中小规格齿轮的精加工。针对这一问题，本发明提出一种用于磨削成型法摆线齿锥齿轮大轮的高效磨齿方法，对提高摆线齿锥齿轮的齿距精度及齿面光洁度减少齿形偏差具有重要意义。

发明内容

本发明的目的是提供一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其根据齿面加工数学模型及参数计算确定磨齿用砂轮结构和磨齿运动参数，能够实现采用大直径锥面砂轮在一次磨齿运动中磨削一个齿面，精度高，效率高。

本发明所述的摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其包括如下步骤：

步骤一，建立摆线齿锥齿轮加工坐标系组；摇台坐标系∑_g＝{O_s，i_s，j_s，k_s}，O_s摇台中心，i_sO_sj_s为摇台平面，k_s为摇台轴线指向摇台内部；刀盘坐标系∑_c＝{O_c，i_c，j_c，k_c}，O_c为刀盘中心，i_cO_cj_c为刀顶平面上，j_c为刀盘中心指向刀刃上的切齿参考点方向，k_c为刀盘轴线背离刀顶平面；齿轮坐标系∑_g＝{O_g，i_g，j_g，k_g}，O_g为齿轮轴错交点位置，坐标轴方向与摇台坐标系相同；

步骤二，确定产形面方程，在摇台坐标系下的产形面V是两个参数的函数，记作V＝V(θ，b_t)，θ为摆线齿锥齿轮加工时刀盘自转角度，b_t为刀刃点在切矢t_c上的长度，如将其变换到齿轮坐标系中则表示齿轮齿面V_w＝V_w(θ，b_t)；

步骤三，确定磨齿用的砂轮参数，根据步骤二得到的产形面方程计算砂轮工作面压力角和砂轮参考点半径；砂轮工作面压力角的计算公式为：λ₁为产形面上θ参数曲线上的一点对于曲线的曲率，其值为曲面V沿dθ方向的值；砂轮参考点半径的计算公式为：k_v为产形面齿线曲率，

步骤四，干涉分析及修正计算，对步骤三得到的砂轮参数进行干涉分析并在存在干涉情况时进行砂轮结构的修改以避免干涉；

步骤五，磨齿刀位计算，先建立数控磨齿机坐标系∑_m＝{O_m，i_m，j_m，k_m}，其与初始状态的齿轮坐标系重合；设根据步骤二计算得到在该坐标系中砂轮位置径矢为V_gc，法矢为k_g；由于k_g的方向不一定与数控磨齿机坐标轴k_m方向一致，需将V_gc和k_g一起首先绕齿轮轴线k_w旋转角度μ，再绕j_m旋转角度υ，可使k_g与k_m重合，而变换后砂轮与齿轮的相对位置并未发生改变；两转角计算公式为：

φ＝arccos(k_g·k_w)，

φ为齿轮轴线与砂轮的轴线的夹角，γ为齿轮加工时的机床安装根锥角；

变换后的砂轮位置径矢和法矢分别为：

V_1gc＝M(j_m，υ)M(k_w，μ)V_gc，

k_m＝M(j_m，υ)M(k_w，μ)k_g，

则成型法摆线齿锥齿轮磨齿的数控加工刀位为：

X，Y，Z分别为磨齿过程中全数控螺旋锥齿轮磨齿机三个线性轴的坐标，A为工件主轴坐标，B为工件主轴摆动轴坐标；用以上计算的加工刀位控制数控锥齿轮磨齿机运动可完成成型法摆线齿锥齿轮齿面的磨削加工。

进一步，所述步骤二中产形面方程为：V＝M(k_s，q₀)R_mc，式中，M(k_s，q₀)表示绕k_m轴旋转角度q₀的旋转矩阵，q₀为确定切齿位置的总转角，

R_mc为经过刀盘自转和摇台旋转变换后摇台坐标系下刀刃上任意一点的径矢，R_mc＝R_sc+V_s，

V_s为摇台中心到刀盘中心的径向矢量，V_s＝S[cos(θ_s)，-sin(θ_s)，0]，S为摇台中心到刀盘中心的长度(径向刀位)，θ_s为刀盘自转时完成连续分齿运动虚拟产形轮对应的转角，

R_sc为经过刀盘自转和虚拟产形轮旋转变换后摇台坐标系下刀刃上任意一点的径矢，R_sc＝M(k_s，θ_s)·M(k′_c，θ)·R′_c，M(k_s，θ_s)为绕k_s轴旋转角度θ_s的旋转矩阵，M(k′_c，θ)为绕k′_c轴旋转角度θ的旋转矩阵，θ为刀盘自转角度，

R′_c为刀刃点径矢在摇台坐标系中的表达方程，R′_c＝M(j_s，J)M(i_s，I)R_c，M(j_s，J)为绕j_s轴旋转角度J的旋转矩阵，J为刀倾方向角，M(i_s，I)为绕i_s轴旋转角度I的旋转矩阵，I为刀倾角，

R_c为刀刃上任一点在刀盘坐标系中的位置径矢，R_c＝R_o·j_c+b_t·t_c，R_o为刀盘半径，b_t为刀刃点在切矢t_c上的长度，切矢为刀刃压力角，

k′_c＝M(j_s，J)M(i_s，I)k_c为刀盘轴线在摇台坐标系中的表达式。

进一步，所述步骤三中的λ₁计算过程为：将产形面上的一点的主法线方向和其沿θ参数曲线的曲率k_v所对应的指向曲率圆中心的矢量分别记作k_n和k_v，则当砂轮的单位法矢n_g和产形面单位法矢n_v重合时，砂轮工作面压力角等于k_v方向和k_n方向的夹角，记

产形面的两个主曲率λ₁和λ₂通过方程式求解得到，所述方程式为

(EG-F²)λ²-(LG-2MF+NE)λ+(LN-M²)＝0，

|λ₁|＞|λ₂|，λ₂是产形面沿微分db_t方向的法曲率，其值为0，λ₁为产形面V沿dθ方向的法曲率值。

进一步，所述步骤四中的干涉分析包括如下步骤：

a砂轮工作面干涉分析，

首先建立砂轮工作面的矢量方程V_g＝V_g(α，b′_t)，α为砂轮母线相位角，b′_t为锥面上点沿母线至刀砂轮顶部的距离参数，然后根据产形面方程计算得到产形面的两个主曲率，根据砂轮工作面方程计算得到砂轮的两个主曲率，由两者主曲率可构建曲率椭圆，以磨削齿轮凹面为例，理论上当砂轮曲率椭圆包含产形面曲率椭圆时，可知砂轮与产形面在相切接触点无干涉；若砂轮母线不经过修形两曲面均为直纹面时，磨削时两者沿一条直线相切，因此磨削摆线齿锥齿轮的整个产形面时两者的干涉判断条件可以简化：当砂轮的最大曲率大于产形面最大曲率时无干涉，当砂轮的最大曲率小于或等于产形面最大曲率时存在干涉，即磨削过程中砂轮朝自身轴线方向的弯曲程度比产形面更大，可始终保持两者之间只存在直线的线接触；

b砂轮非工作面干涉分析，当砂轮加工成型法摆线齿锥齿轮齿面的一端时，在与轴线垂直的砂轮截面内，砂轮非工作面和齿轮另一齿面的另一端的距离ρ有最小值；控制b_t值在刀刃长度范围内就可以计算ρ的具体值，当计算在刀刃长度范围内ρ＞0时，砂轮非工作面与另一齿面无干涉，当计算在刀刃长度范围内ρ≤0时，砂轮非工作面与另一齿面产生干涉，同理计算砂轮加工齿面其他位置时，砂轮非工作面与另一齿面的干涉情况；

c根据步骤a和b的干涉分析对砂轮结构进行调整。

进一步，所述砂轮工作面方程为：V_g＝V_gc+V_gro，

V_gro＝M(k_g，α)·(V_gc+b′_tt′_c)，

V_gc＝V-(R_g-Δ)V_gr，

式中，V_g为磨齿时机床坐标系下砂轮工作面上任意一点的径矢，V_gc为砂轮顶端中点的径矢，V_gro为砂轮磨齿时的接触线绕自身轴线旋转所产生曲面上任意一点的径矢，V_gr为磨齿时砂轮与齿面接触线上的切矢，k_g为砂轮的轴线矢量，t′_c为砂轮母线的切矢，n_v为产形面单位法矢，Δ值是为了避免干涉选取的砂轮半径缩减量，其根据干涉分析结果进行调整，M(k_g，α)为磨齿时接触线上的切矢绕自身轴线旋转的矩阵，为将工作面上法矢旋转至指向中心方向的旋转矩阵。

进一步，当砂轮加工齿面一端时，在砂轮另一端与轴线垂直的截面内砂轮非工作面和另一齿面的距离ρ的计算公式为ρ＝n′_g1·(V_w0-V′_g1)，V′_g1、n′_g1为砂轮非工作面上距离另一齿面距离最小位置(位于砂轮顶部)的径矢和法矢V′_g1＝V_g1(β，0)，n′_g1＝n_g1(β，0)，V_w0为另一齿面与砂轮非工作面最容易发生干涉位置的径矢，位于齿面两端的齿根部位V_w0＝V_w(θ₀，b_t0)，其中θ₀，b_t0为另一齿面位于两端齿根部位的曲面参数，β为砂轮当前接触线到砂轮与产形面最接近点的转角其中V_g、V_gc为当前砂轮位置下的工作面径矢和砂轮顶端中点的径矢。

本发明根据数学模型得到了成型法摆线齿锥齿轮加工中的产形面方程，通过产形面方程确定磨齿所需砂轮的结构参数，根据得到的砂轮构建了磨齿时的数学模型，在此基础上提出了磨齿干涉分析，能够预测给定参数的产形面和砂轮在具体磨齿加工中有无干涉情况，根据干涉情况对砂轮结构进行调整，并且提供了成型法摆线齿锥齿轮五轴联动磨齿时各轴的刀位计算模型，采用该方法能够实现采用大直径锥面砂轮在一次磨齿运动磨削一个完整齿面提高磨齿效率，同时该磨齿方法可保证磨削的齿面在理论上与设计齿面完全一致没有偏差。

附图说明

图1是成型法摆线齿锥齿轮齿面成形示意图；

图2是成型法摆线齿锥齿轮的端面滚齿加工原理示意图；

图3是产形面方程的空间参数曲线示意图；

图4是砂轮结构示意图；

图5是砂轮非工作面干涉分析示意图；

图6是砂轮磨削凹面扩展示意图；

图7是砂轮磨削凸面扩展示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作详细说明。

参见图1，所示的成型法加工摆线齿锥齿轮的齿面成形示意图，采用成型法加工摆线齿锥齿轮时，其端面滚齿过程中只有连续分齿运动而无齿面展成运动。刀盘与齿轮的连续分度运动使得刀刃在齿面上形成延伸外摆线的齿线形状，其齿面形状实际上就是刀刃沿延伸外摆线的扫掠曲面。当刀刃为直线时，则齿面为直纹面。若根据齿面的几何特性，选择一锥状砂轮使其能够置于齿槽中，以锥状砂轮母线代替端面滚齿时的刀刃，则可通过控制砂轮的运动模拟端面滚齿加工时时刀刃的在齿面上的运动轨迹，同时使砂轮母线与产形面上的刀刃直线重合，，由齿面一端扫掠至另一端来复现铣齿时的齿面形状。

实施例一，一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其包括如下步骤：

步骤一，所述摆线齿锥齿轮采用成型端面滚齿法加工制得，参见图2所示的成型法端面滚齿加工的数学模型，建立摆线齿锥齿轮加工坐标系组；摇台坐标系∑_s＝{O_s，i_s，j_s，k_s}，O_s为摇台中心，i_sO_sj_s为摇台平面，k_s为摇台轴线指向摇台内部；刀盘坐标系∑_c＝{O_c，i_c，j_c，k_c}，O_c为刀盘中心，i_cO_cj_c为刀顶平面上，j_c为刀盘中心指向刀刃上的切齿参考点方向，k_c为刀盘轴线背离刀顶平面；齿轮坐标系∑_g＝{O_g，i_g，j_g，k_g}，O_g为齿轮轴错交点位置，坐标轴方向与摇台坐标系相同。

步骤二，确定产形面方程，在机床坐标系下的产形面V是两个参数的函数，记作V＝V(θ，b_t)，θ为摆线齿锥齿轮加工时刀盘自转角度，b_t为刀刃点在切矢t_c上的长度。

所述产形面方程为V＝M(k_s，q₀)R_mc，式中，M(k_s，q₀)表示绕k_m轴旋转角度q₀的旋转矩阵，q₀为确定切齿位置的总转角。

R_mc为经过刀盘自转和摇台旋转变换后摇台坐标系下刀刃上任意一点的径矢，R_mc＝R_sc+V_s。

V_s为摇台中心到刀盘中心的径向矢量，V_s＝S[cos(θ_s)，-sin(θ_s)，0]，S为摇台中心到刀盘中心的长度(径向刀位)，θ_s为刀盘自转时完成连续分齿运动虚拟产形轮对应的转角。

R_sc为经过刀盘自转和虚拟产形轮旋转变换后摇台坐标系下刀刃上任意一点的径矢，R_sc＝M(k_s，θ_s)·M(k′_c，θ)·R′_c，M(k_s，θ_s)为绕k_s轴旋转角度θ_s的旋转矩阵，M(k′_c，θ)为绕k′_c轴旋转角度θ的旋转矩阵，θ为刀盘自转角度。

R′_c为刀刃点径矢在摇台坐标系中的表达方程，R′_c＝M(j_s，J)M(i_s，I)R_c，M(j_s，J)为绕j_s轴旋转角度J的旋转矩阵，J为刀倾方向角，M(i_s，I)为绕i_s轴旋转角度I的旋转矩阵，I为刀倾角。

R_c为刀刃上任一点在刀盘坐标系中的位置径矢，R_c＝R_o·j_c+b_t·t_c，R_o为刀盘半径，b_t为刀刃点在切矢t_c上的长度，切矢为刀刃压力角。

k′_c＝M(j_s，J)M(i_s，I)k_c为刀盘轴线在摇台坐标系中的表达式。

由于磨齿砂轮的几何特征不明确，因此必须先对产形面的曲率进行分析计算。刀刃上任意一点的径矢也即是产形轮上任意一点的径矢，由产形面方程计算，径矢V是两个参数的函数，记作V＝V(θ，b_t)。虽然参数曲面V的法曲率k_n可以进行计算，但是其方向并不是砂轮半径的方向，要求得砂轮在半径方向上的大致曲率，需要固定b_t值为一定值b_t0，则函数V＝V(θ，b_t0)成为空间参数曲线，参见图3，曲线对参数θ的微分dθ是参数曲线的切向量。砂轮磨齿时的运动可以由砂轮回转面上某一点跟随该曲线运动来控制，因此该曲线的曲率方向和砂轮半径方向一致，空间参数曲线的曲率值即产形面的曲率值的计算公式为：

而在产形面上，这是由于的方向与瞬时刀刃切矢相同，当θ被固定为一定值θ₀时，V(θ₀，b_t)收缩为曲面上的一条直线，该直线为磨齿时砂轮和产形面的一条瞬时接触线。

步骤三，确定磨齿用的砂轮参数，参见图4，所示的砂轮结构示意图，所述砂轮为直口杯砂轮，磨齿时砂轮母线应当和产形面上的一条刀刃切矢在瞬时重合，重合时的砂轮单位法矢n_g和产形面单位法矢n_v也反向重合，产形面单位法失n_v的计算公式为： 虽然曲率是标量，但是从曲面上一点沿曲率半径指向曲率圆中心点是有方向的，将曲面上一点的主法线方向和其沿参数曲线的曲率k_v所对应的指向曲率圆中心的矢量分别记作矢量k_n和k_v，则当砂轮的单位法矢n_g和产形面单位法矢n_v重合时，砂轮工作面压力角等于k_v方向和k_n方向的夹角，记

产形面的两个主曲率λ₁和λ₂通过方程式求解得到，所述方程式为

(EG-F²)λ²-(LG-2MF+NE)λ+(LN-M²)＝0，

|λ₁|＞|λ₂|，λ₂是产形面沿微分db_t方向的法曲率，其值为0，λ₁为产形面V沿dθ方向的法曲率值。

由此可计算砂轮工作面压力角砂轮参考点半径

步骤四，干涉分析及修正计算，包括如下步骤：

a砂轮工作面干涉分析，首先建立砂轮工作面方程

V_g＝V_gc+V_gro，

V_gro＝M(k_g，α)·(V_gc+b′_tt′_c)，

V_gc＝V-(R_g-Δ)V_gr，

式中，V_g为磨齿时机床坐标系下砂轮工作面上任意一点的径矢，V_gc为砂轮顶端中点的径矢，V_gro为砂轮磨齿时的接触线绕自身轴线旋转所产生曲面上任意一点的径矢，V_gr为磨齿时砂轮与齿面接触线上的切矢，k_g为砂轮的轴线矢量，α为砂轮母线相位角，t′_c为刀刃切矢t_c变换至产形面后的方向矢量，其在磨齿时也就是砂轮母线的切矢，b′_t为锥面上点沿母线至刀砂轮顶部的距离参数，n_v为产形面单位法矢，Δ值是为了避免干涉选取的砂轮半径缩减量，其根据干涉分析结果进行调整，M(k_g，α)为磨齿时接触线上的切矢绕自身轴线旋转的矩阵，为将工作面上法矢旋转至指向中心方向的旋转矩阵。

根据方程式(EG-F²)λ²-(LG-2MF+NE)λ+(LN-M²)＝0求得砂轮工作面的两个主曲率λ_g1和λ_g2，两主曲率对应的主方向可按下式计算：

同理可得产形面V(θ，b_t)的两个主方向，由于在产形面和砂轮瞬时接触线上的一点两个面法矢重合，砂轮和产形面的四个主曲率方向共面，因此干涉情况可以由该切面上的曲率椭圆进行分析。参见图3，在法矢的切平面上，椭圆长轴、短轴的方向由两个主方向确定，轴的长度由主曲率确定。当砂轮曲率椭圆包含产形面曲率椭圆时，可知在该点无干涉。

若砂轮母线不经过修形两曲面均为直纹面时，磨削时两者沿一条直线相切，此时磨削摆线齿锥齿轮的整个产形面时两者的干涉判断条件可以简化：当砂轮的最大曲率大于产形面最大曲率时无干涉，当砂轮的最大曲率小于或等于产形面最大曲率时存在干涉，即磨削过程中砂轮朝自身轴线方向的弯曲程度比产形面更大，可始终保持两者之间只存在直线的线接触。

b砂轮非工作面干涉分析，在砂轮外侧加工齿轮凹面时，由于摆线齿产形轮的曲率不为定值，砂轮的非工作面也可能发生干涉，且由于砂轮非工作面上的各种参数的初始选取并不是严格由计算得到的，因此非工作面的干涉反而更加难以控制。

建立砂轮非工作面方程：V_g1＝V_gc+V_gro1，V_gro1＝M(k_g，α₁)·(V_gc1+b′_t1t_c1)，

V_gc1＝V-(R_g-Δ-W)V_gr。

V_g1为砂轮非工作面上任意一点的径矢，V_gro1为砂轮磨齿时非工作面上一母线绕自身轴线旋转所产生曲面上任意一点的径矢，b′_t1为砂轮非工作面上一点沿非工作面母线切矢t_c1方向上的距离，为利用工作面母线切矢旋转得到非工作面母线切矢的旋转矩阵，W为砂轮顶宽，为非工作面压力角。

由于产形轮曲率在θ方向上单向变化，因此砂轮在有效产形面任意一端时，其切线方向与产形面另一端的切矢差值dθ-dα最大，也即最容易出现干涉的位置，因此判断非工作面有无干涉，主要是对砂轮加工齿面两端的情况进行分析，参见图5，当砂轮加工产形面一端时，在砂轮另一端与轴线垂直的截面内砂轮非工作面和另一齿面的距离有最小值ρ，其计算公式为：ρ＝n′_g1·(V_w0-V′_g1)。

V′_g1、n′_g1为砂轮非工作面上距离另一齿面距离最小位置(位于砂轮顶部)的径矢和法矢，V′_g1＝V_g1(β，0)，n′_g1＝n_g1(β，0)；V_w0为另一齿面与砂轮非工作面最容易发生干涉位置的径矢，位于齿面两端的齿根部位V_w0＝V_w(θ₀，b_t0)，其中θ₀，b_t0为另一齿面位于两端齿根部位的曲面参数，β为砂轮当前接触线到砂轮与产形面最接近点的转角：

其中V_g、V_gc为当前砂轮位置下的工作面径矢和砂轮顶端中点的径矢。

当计算在刀刃长度范围内ρ＞0时，砂轮非工作面与产形面无干涉，当计算在刀刃长度范围内ρ≤0时，砂轮非工作面与产形面产生干涉。

c根据砂轮工作面和非工作面的干涉分析对砂轮结构进行调整。在实际工程应用中，由于砂轮强度的要求，砂轮顶宽L1必须具备一定的宽度，但是由于砂轮需要磨削全齿深，受齿槽根部宽度限制，通常砂轮顶端将十分狭窄。虽然根据产形面曲率得到的直口杯的砂轮半径在工作面上避免干涉总是可行的，但是由于砂轮自身厚度的存在，磨削深度和砂轮回转线与齿线并不一致等问题，则砂轮的非工作面很容易与齿槽另一面发生干涉。为了避免砂轮非工作面与齿面的干涉问题，将砂轮口进行展开，缩减砂轮的工作面压力角，必要时使其成为负值，将直口杯砂轮的杯口扩展，并使其轴线偏斜，在不改变砂轮截面的情况下，使砂轮外扩并倾斜其轴线可以有效避免非工作面干涉情况的发生。

在研究砂轮扩口的方式时，首先要保证的是工作面继续保持无干涉状态，假定砂轮工作面上一母线始终与齿面线接触，并且在包含该母线的砂轮轴截面上单独对砂轮的截面结构进行改变，从而不影响磨削时两者的接触情况，参见图6，在此截面上砂轮母线与齿面凹面的截面线一致，则砂轮的工作部分的截面实际上可以不做改变，仅使其工作部分整体向外扩展一个展角同时使其轴线倾斜对于轴线与摆线齿锥齿轮轴线平行的砂轮初始半径R_g是由产形轮上的θ参数曲线的曲率计算得到的，其对于磨齿时轴线与摆线齿锥齿轮轴线成一夹角的阔口杯砂轮并不适用，但是不论砂轮的姿态如何，其工作面在被加工齿面法矢方向上的法曲率应该是相同的，关于扩口砂轮的半径设计应使其在自身半径方向的曲率大于齿面的，所述扩口砂轮的曲率值为同样的，在扩口砂轮半径方向上的半径为其曲率的反比，扩口砂轮的半径为R′_g＝1/k′_g。

由于扩口砂轮的结构和参数都改变了，需要重新建立工作面方程，将步骤a中的直口杯砂轮工作面方程中的修改为并将直口杯砂轮工作面方程V_gc＝V-(R_g-Δ)V_gr中的R_g替换为R′_g，得到扩口砂轮的工作面方程。对扩口砂轮的工作面的干涉分析计算过程与步骤a相同。同理，将砂轮非工作面方程修改为将直口杯砂轮非工作面方程V_gc1＝V-(R_g-Δ-W)V_gr中的R_g替换为R′_g，得到扩口砂轮的非工作面方程。参见图7，对于砂轮磨削凸面在扩口后的变化及计算与加工凹面时有所不同，其曲率值的计算公式为：其半径与曲率的关系与磨削凹面时相同，将直口杯砂轮工作面方程中的修改为以建立扩口砂轮磨削凸面的工作面方程。同理，将修改为以建立扩口砂轮磨削凸面的非工作面方程。

如果给砂轮任意选取一个很大的扩展角就能明显避免干涉，但是相对于直口杯砂轮而言，扩口杯砂轮的制造难度更大，在加工过程中的磨损更快且磨损后较难修整，并且随着扩展角的加大，其强度也会降低。在扩展角的选取中，最好的情况是使其尽量能接近直口杯砂轮的同时，正好能避免干涉的发生，因此需要在何种扩展角下为发生干涉的临界值。临界扩展角的计算方程为：V′_g1-V_w0＝0。

式中，V′_g1＝V_g1(β，0)，符号V_in表示砂轮中心指向干涉发生位置的单位矢量，其表达式为

在临界扩展角的计算方程中只有一个未知量即砂轮扩展角。根据计算方程得到的值表示当扩展角取该值时，刚好有干涉发生，若扩展角取值大于方程的根则不会发生干涉，在工程实际中考虑到安全问题及各类误差的存在，应将扩展角适当增大。

步骤五，刀位计算，产形面参数b_t可以固定为刀尖到切齿参考点距离b_t0，此时由V_gc＝V-(R_g-Δ)V_gr计算得到的V_gc实际上就是砂轮的刀心点，但是此时刀心点是在摇台坐标系下的，要计算刀位点首先要将其转换到磨齿机床坐标系下。在该磨齿坐标系下砂轮的位置径矢为V_1gc，

V_1gc＝V_gc+V_d，V_d＝-X_pk_w-X_bk_m+E_mj_m，k_w＝[cos(γ)，0，-sin(γ)]，

式中，X_p为水平轮位，X_b为垂直轮位，E_m为床位，γ为齿坯的安装根锥角。此时的V_1gc就是磨齿坐标下的刀位点，而砂轮的轴线k_g可由计算得到。在基本机床模型中砂轮轴线倾斜通过刀倾、刀转机构实现，但是在全数控磨齿机中，刀盘轴线始终与k_m轴共线，因此还需要将V_1gc和k_g一起首先绕k_w旋转角度μ，再绕j_m旋转υ，这样变换后的k_g与k_m重合，而变换后砂轮与齿轮的相对位置并未发生改变。其转角计算方程为：

φ＝arccos(k_g·k_w)，式中，k_w为工件齿轮的轴线矢量，φ为齿轮轴线与砂轮的轴线的夹角。

则砂轮刀心点径矢和砂轮轴线矢量的变换表示为：

V_1gc＝M(j_m，υ)M(k_w，μ)V_gc，

k_m＝M(j_m，υ)M(k_w，μ)k_g，

则磨削成型法摆线齿锥齿轮时砂轮在数控机床坐标系中的刀位为：

X，Y，Z分别为磨齿过程中全数控螺旋锥齿轮磨齿机三个线性轴的坐标，A为工件主轴坐标，B为工件主轴摆动轴坐标。

实施例二，采用成型法制得摆线齿锥齿轮，其基本参数如表一所示，机床调整参数及刀盘参数如表二所示。

表一摆线齿锥齿轮基本参数

表二机床调整参数及刀盘参数

利用摆线齿锥齿轮的产形面方程，能够设计出磨齿所需的砂轮参数，并通过干涉分析和调整保证砂轮无干涉。由和计算，适当选取Δ值，确定磨齿用砂轮的工作面压力角为参考点半径为R_g＝77.2，以内侧为工作面的砂轮磨削摆线齿锥齿轮凸面。将由刀位计算公式计算出的刀位点导入到全数控锥齿轮磨齿机模型上进行加工仿真，得到了标准的成型法摆线齿锥齿轮理论齿面，并且避免了磨齿过程干涉情况的出现。

Claims (6)

1.一种成型法摆线齿锥齿轮的磨齿万法，其特征在于包括如下步骤：

步骤一，建立摆线齿锥齿轮加工坐标系组；摇台坐标系∑_s＝{O_s，i_s，j_s，k_s}，O_s摇台中心，i_sO_sj_s为摇台平面，k_s为摇台轴线指向摇台内部；刀盘坐标系∑_c＝{O_c，i_c，j_c，k_c}，O_c为刀盘中心，i_cO_cj_c为刀顶平面上，j_c为刀盘中心指向刀刃上的切齿参考点方向，k_c为刀盘轴线背离刀顶平面；齿轮坐标系∑_g＝{O_g，i_g，j_g，k_g}，O_g为齿轮轴错交点位置，坐标轴方向与摇台坐标系相同；

步骤二，确定产形面方程，在摇台坐标系下的产形面V是两个参数的函数，记作V＝V(θ，b_t)，θ为摆线齿锥齿轮加工时刀盘自转角度，b_t为刀刃点在切矢t_c上的长度，如将其变换到齿轮坐标系中则表示齿轮齿面V_w＝V_w(θ，b_t)；

步骤三，确定磨齿用的砂轮参数，根据步骤二得到的产形面方程计算砂轮工作面压力角和砂轮参考点半径；砂轮工作面压力角的计算公式为：λ₁为产形面上θ参数曲线上的一点对于曲线的曲率，其值为曲面V沿dθ方向的值；砂轮参考点半径的计算公式为：k_v为产形面齿线曲率，

步骤四，干涉分析及修正计算，对步骤三得到的砂轮参数进行干涉分析并在存在干涉情况时进行砂轮结构的修改以避免干涉；

步骤五，磨齿刀位计算，先建立数控磨齿机坐标系∑_m＝{O_m，i_m，j_m，k_m}，其与初始状态的齿轮坐标系重合；设根据步骤二计算得到在该坐标系中砂轮位置径矢为V_gc，法矢为k_g；由于k_g的方向不一定与数控磨齿机坐标轴k_m方向一致，需将V_gc和k_g一起首先绕齿轮轴线k_w旋转角度μ，再绕j_m旋转角度υ，可使k_g与k_m重合，而变换后砂轮与齿轮的相对位置并未发生改变；两转角计算公式为：

φ为齿轮轴线与砂轮的轴线的夹角，γ为齿轮加工时的机床安装根锥角；

变换后的砂轮位置径矢和法矢分别为：

V_1gc＝M(j_m，υ)M(k_w，μ)V_gc，

k_m＝M(j_m，υ)M(k_w，μ)k_g，

则成型法摆线齿锥齿轮磨齿的数控加工刀位为：

X，Y，Z分别为磨齿过程中全数控螺旋锥齿轮磨齿机三个线性轴的坐标，A为工件主轴坐标，B为工件主轴摆动轴坐标；用以上计算的加工刀位控制数控锥齿轮磨齿机运动可完成成型法摆线齿锥齿轮齿面的磨削加工。

2.根据权利要求1所述的摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其特征在于：所述步骤二中产形面方程为：V＝M(k_s，q₀)R_mc，式中，M(k_s，q₀)表示绕k_m轴旋转角度q₀的旋转矩阵，q₀为确定切齿位置的总转角，

R_mc为经过刀盘自转和摇台旋转变换后摇台坐标系下刀刃上任意一点的径矢，R_mc＝R_sc+V_s，

V_s为摇台中心到刀盘中心的径向矢量，V_s＝S[cos(θ_s)，-sin(θ_s)，0]，S为摇台中心到刀盘中心的长度(径向刀位)，θ_s为刀盘自转时完成连续分齿运动虚拟产形轮对应的转角，

R_sc为经过刀盘自转和虚拟产形轮旋转变换后摇台坐标系下刀刃上任意一点的径矢，R_sc＝M(k_s，θ_s)·M(k′_c，θ)·R′_c，M(k_s，θ_s)为绕k_s轴旋转角度θ_s的旋转矩阵，M(k′_c，θ)为绕k′_c轴旋转角度θ的旋转矩阵，θ为刀盘自转角度，

R′_c为刀刃点径矢在摇台坐标系中的表达方程，R′_c＝M(j_s，J)M(i_s，I)R_c，M(j_s，J)为绕j_s轴旋转角度J的旋转矩阵，J为刀倾方向角，M(i_s，I)为绕i_s轴旋转角度I的旋转矩阵，I为刀倾角，

R_c为刀刃上任一点在刀盘坐标系中的位置径矢，R_c＝R_o·j_c+b_t·t_c，R_o为刀盘半径，b_t为刀刃点在切矢t_c上的长度，切矢为刀刃压力角，

k′_c＝M(j_s，J)M(i_s，I)k_c为刀盘轴线在摇台坐标系中的表达式。

3.根据权利要求1或2所述的摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其特征在于：所述步骤三中的λ₁计算过程为：将产形面上的一点的主法线方向和其沿θ参数曲线的曲率k_v所对应的指向曲率圆中心的矢量分别记作k_n和k_v，则当砂轮的单位法矢n_g和产形面单位法矢n_v重合时，砂轮工作面压力角等于k_v方向和k_n方向的夹角，记

产形面的两个主曲率λ₁和λ₂通过方程式求解得到，所述方程式为

(EG-F²)λ²-(LG-2MF+NE)λ+(LN-M²)＝0，

|λ₁|＞|λ₂|，λ₂是产形面沿微分db_t方向的法曲率，其值为0，λ₁为产形面V沿dθ方向的法曲率值。

4.根据权利要求1或2所述的成型法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其特征在于：所述步骤四中的干涉分析包括如下步骤：

a砂轮工作面干涉分析，

首先建立砂轮工作面的矢量方程V_g＝V_g(α，b′_t)，α为砂轮母线相位角，b′_t为锥面上点沿母线至刀砂轮顶部的距离参数，然后根据产形面方程计算得到产形面的两个主曲率，根据砂轮工作面方程计算得到砂轮的两个主曲率，由两者主曲率可构建曲率椭圆，以磨削齿轮凹面为例，理论上当砂轮曲率椭圆包含产形面曲率椭圆时，可知砂轮与产形面在相切接触点无干涉；若砂轮母线不经过修形两曲面均为直纹面时，磨削时两者沿一条直线相切，因此磨削摆线齿锥齿轮的整个产形面时两者的干涉判断条件可以简化：当砂轮的最大曲率大于产形面最大曲率时无干涉，当砂轮的最大曲率小于或等于产形面最大曲率时存在干涉，即磨削过程中砂轮朝自身轴线方向的弯曲程度比产形面更大，可始终保持两者之间只存在直线的线接触；

b砂轮非工作面干涉分析，当砂轮加工成型法摆线齿锥齿轮齿面的一端时，在与轴线垂直的砂轮截面内，砂轮非工作面和齿轮另一齿面的另一端的距离ρ有最小值；控制b_t值在刀刃长度范围内就可以计算ρ的具体值，当计算在刀刃长度范围内ρ＞0时，砂轮非工作面与另一齿面无干涉，当计算在刀刃长度范围内ρ≤0时，砂轮非工作面与另一齿面产生干涉，同理计算砂轮加工齿面其他位置时，砂轮非工作面与另一齿面的干涉情况；

c根据步骤a和b的干涉分析对砂轮结构进行调整。

5.根据权利要求4所述的摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其特征在于：所述砂轮工作面方程为：V_g＝V_gc+V_gro，

式中，V_g为磨齿时机床坐标系下砂轮工作面上任意一点的径矢，V_gc为砂轮顶端中点的径矢，V_gro为砂轮磨齿时的接触线绕自身轴线旋转所产生曲面上任意一点的径矢，V_gr为磨齿时砂轮与齿面接触线上的切矢，k_g为砂轮的轴线矢量，t′_c为砂轮母线的切矢，n_v为产形面单位法矢，Δ值是为了避免干涉选取的砂轮半径缩减量，其根据干涉分析结果进行调整，M(k_g，α)为磨齿时接触线上的切矢绕自身轴线旋转的矩阵，为将工作面上法矢旋转至指向中心方向的旋转矩阵。

6.根据权利要求4所述的摆线齿锥齿轮的磨齿万法，其特征在于：当砂轮加工齿向一端时，在砂轮另一端与轴线垂直的截面内砂轮非工作面和另一齿面的距离ρ的计算公式为ρ＝n′_g1·(V_w0-V′_g1)，V′_g1、n′_g1为砂轮非工作面上距离另一齿面距离最小位置(位于砂轮顶部)的径矢和法矢V′_g1＝V_g1(β，0)，n′_g1＝n_g1(β，0)，V_w0为另一齿面与砂轮非工作面最容易发生干涉位置的径矢，位于齿面两端的齿根部位V_w0＝V_w(θ₀，b_t0)，其中θ₀，b_t0为另一齿面位于两端齿根部位的曲面参数，β为砂轮当前接触线到砂轮与产形面最接近点的转角其中V_g、V_gc为当前砂轮位置下的工作面径矢和砂轮顶端中点的径矢。