CN105426342A - 一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法 - Google Patents

Abstract

一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法，1、针对具体的反应堆物理计算问题建立计算模型；2、采用子群共振自屏方法进行共振自屏计算，针对快群源项和共振能群源项，以及共振自屏截面，建立对应的广义共轭方程，对广义共轭方程进行求解，得到共振自屏截面灵敏度系数；3、针对需要计算的重要参数，建立并求解与之对应的广义共轭方程，得到该参数的显式灵敏度系数；4、结合共振自屏截面的灵敏度系数和共振自屏截面的显式灵敏度系数，得到隐式灵敏度系数，总的灵敏度系数等于显式灵敏度系数与隐式灵敏度系数之和；能够快速地得到任意能表示成通量或共轭通量泛函的参数的灵敏度系数，同时考虑了隐式影响，使得灵敏度系数更加精确。

Description

一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法

技术领域

本发明涉及核反应堆堆芯设计和安全领域，具体涉及一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法。

背景技术

传统的核反应堆设计和运行往往采用保守计算，或者设置足够大的安全裕量来保证反应堆的安全。这种做法虽然一定程度上能保证反应堆的安全性，但是丧失了极大的经济性。近年来，国际上在核研究、核工业、核安全和核监管等领域对于提供核反应堆安全参数的“最佳估计值+不确定性”的需求日益增长。

在反应堆物理栅格计算针对核数据的敏感性和不确定性分析中，灵敏度系数计算是获取计算结果不确定度的重要环节，因此灵敏度系数的计算就显得特别重要。根据栅格计算先进行共振计算，再进行多群中子输运计算的特点，灵敏度系数可被分为隐式灵敏度系数和显式灵敏度系数两部分。前者是核数据通过在共振计算中对共振截面的影响，再体现到对中子输运方程计算结果的一种间接影响；后者是核数据通过中子输运方程求解对计算结果的一种直接影响。然而，目前很多敏感性和不确定性分析程序中，作为间接影响的隐式敏感性往往被忽略，而只考虑了作为直接影响的显式敏感性，这势必会引入一定误差。此外，目前隐式敏感性分析往往基于较为简单的共振自屏方法，而针对当前比较主流的共振计算方法——子群方法的隐式敏感性分析并不广泛和深入。另一方面，目前有效增值因子的敏感性和不确定性受到广泛的重视，但对其它重要参数(例如少群常数、功率分布等)的分析计算不够充分。如果要将栅格计算结果的不确定性传递到堆芯计算，诸如少群常数等重要参数的不确定度计算就必不可少。

因此有必要发明一种切实可行的方法，对反应堆物理栅格计算中各种重要参数进行敏感性和不确定性分析，并能够针对目前广泛应用的子群共振自屏方法进行隐式敏感性分析，从而使得敏感性和不确定性的计算更加精确。

发明内容

为了获取反应堆物理栅格计算中重要参数对核数据的灵敏度系数，同时考虑隐式敏感性，本发明提出了一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法，是能够精确考虑反应堆物理栅格计算中的灵敏度系数的计算方法。

为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案予以实施：

一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：基于微扰理论，将多输入参数的反应堆物理计算需要大量扰动计算才能得到灵敏度系数的问题，转化为只需一次前向计算和一次共轭计算就能获取某一计算结果对所有输入参数的灵敏度系数的问题；

设反应堆物理计算中某重要参数为R，以下称为响应，表示成通量或者共轭通量的线性泛函，设为：

$R\≡\frac{\∫{\mathrm{\Φ}}^{*}\left(\mathrm{\ξ}\right)H_1\[\mathrm{\Σ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\]\mathrm{\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)d\mathrm{\ξ}}{\∫{\mathrm{\Φ}}^{*}\left(\mathrm{\ξ}\right)H_2\[\mathrm{\Σ}\left(\mathrm{\ξ}\right)\]\mathrm{\Φ}\left(\mathrm{\ξ}\right)d\mathrm{\ξ}}$ 公式(3)

式中：

Φ——中子角通量密度；

Φ^*——共轭中子角通量密度；

ξ——问题求解的空间；

Σ(ξ)——同求解空间相关的截面数据；

H₁[Σ(ξ)]，H₂[Σ(ξ)]——依赖于截面数据的算子；

建立与响应R的表达式对应的广义共轭输运方程：

$M^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*}=\frac{H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(10)

$M\mathrm{\&Gamma;}=\frac{H_1\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(15)

式中：

M——输运算子；

Γ——广义通量密度；

M^*——输运算子的共轭算子；

Γ^*——广义共轭通量密度；

步骤2：采用广泛应用的输运求解方法——组件模块化特征线方法MOC作为二维输运方程的求解方法，对中子输运方程、共轭中子输运方程，以及广义共轭输运方程进行求解；

特征线方法能够实现一般中子输运方程的求解，但是对于共轭中子输运方程以及广义共轭输运方程，需要对求解流程作一点修改；

对于共轭中子输运方程计算，在计算之前，需要如下操作：

(1)将散射矩阵转置；

(2)将材料的裂变产生截面同裂变谱χ向量互换；

(3)将所有截面的能群号按如下方式变化：

完成上述操作之后，输运求解器能够完成基本的共轭中子输运方程的求解；

当求解广义共轭输运方程，还需要如下操作：

(1)将建立共轭源作为问题的外源项；

(2)对于公式(10)将裂变源的更新按如下形式进行：

${\mathrm{FS}}_g=\frac{{\mathrm{\&nu;\&Sigma;}}_f^g}{4{\mathrm{\&pi;k}}_{eff}}\underset{h=1}{\overset{G}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&chi;}}_h\left({\mathrm{\&Gamma;}}_h^{*}-\frac{<F^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\mathrm{\&Phi;}>}{<F^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*},\mathrm{\&Phi;}>}{\mathrm{\&Phi;}}_h^{*}\right)$ 公式(18)

式中：

FS_g——第g群裂变源；

——裂变产生截面；

k_eff——有效增殖因子；

χ——裂变谱；

Γ^*——广义共轭通量密度；

F^*——中子输运方程裂变算子的共轭算子；

Φ——前向中子通量密度；

Φ^*——共轭中子通量密度；

其计算流程与传统的中子输运方程计算流程基本一致，不同点在于：(1)不需要进行特征值的更新，方程中的特征值使用的是中子输运方程求解得到的特征值；(2)每一次外迭代得到的通量用于裂变源更新时采用公式(18)；

对于方程(15)将裂变源的更新按如下形式进行：

${\mathrm{FS}}_g=\frac{{\mathrm{\&chi;}}_g}{4{\mathrm{\&pi;k}}_{eff}}\underset{h=1}{\overset{G}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&nu;\&Sigma;}}_f^h\left({\mathrm{\&Gamma;}}_h-\frac{<F\mathrm{\&Gamma;},{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{<F\mathrm{\&Phi;},{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{\mathrm{\&Phi;}}_h\right)$ 公式(19)

式中：

Γ——广义通量密度；

F——中子输运方程裂变算子；

当采用输运求解器完成共轭中子输运方程或者广义共轭输运方程的求解之后，需要将获得的角通量在角度上反转，在能群上颠倒，从而为下一步计算提供正确的通量信息；

步骤3：在步骤1建立的方法的基础上，该步针对子群共振计算方法，建立相应的子群广义共轭方程；采用步骤2建立的求解方法，选取组件模块化特征线方法MOC作为二维输运求解方法，求解子群广义共轭方程，为共振自屏截面的灵敏度系数计算提供广义共轭通量；

子群方法中，共振自屏截面的表达式为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}=\frac{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_g}{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_g}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}=\frac{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}=\frac{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}$ 公式(31)

式中：

g——能群标号；

i——子群标号；

N——子群总数；

σ_x(E)——x反应的连续能量截面；

φ(E)——权重谱；

σ_x,g,i——共振截面x的第g共振能群的第i个子群截面；

公式(31)中的子群参数通过帕德近似求解，而子群通量通过求解子群输运方程得到；

设子群输运方程为：

Ω·▽φ_g,i(r,Ω)+Σ_t,g,i(r)φ_g,i(r,Ω)＝Q_s,g,i(r,Ω)公式(32)

式中：

g——共振能群标号；

i——子群标号；

r——空间位置变量；

Ω——角度变量；

φ_g,i(r,Ω)——能群g的第i子群的中子通量密度；

Σ_t,g,i(r)——能群g的第i子群的宏观总截面；

Q_s,g,i(r,Ω)——散射源项；

将上述方程写成算子形式为：

L_gφ_g＝Q_g公式(33)

式中：

L_g——第g个共振能群的子群输运方程的输运算子；

Q_g——第g个共振能群的子群输运方程的源项；

利用输运求解器求解子群输运方程，得到子群通量后，对子群参数加权得到共振自屏截面；

子群共振方法的共振截面灵敏度系数计算公式为：

$S_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g},\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i},\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}+\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g,i}^{*}\left(Q_{g,i}{S}_{Q_{g,i},\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&alpha;}\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}\right)d\mathrm{\&Omega;}dV$ 公式(34)

其中为广义子群共轭方程的解。它由该共振自屏截面的子群输运方程对应的广义子群共轭方程解得，该广义子群共轭方程为：

$L_g^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}_g^{*}=Q_g^{*}$ 公式(35)

式中：

——L_g的共轭算子；

——子群广义共轭通量；

——子群广义共轭源；

其中

$Q_{g,i}^{*}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}d\mathrm{\&Omega;}dV}-\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}d\mathrm{\&Omega;}dV}$ 公式(36)

式中

——第i个子群的源项；

σ_x,g,i——第i个子群截面；

注意到式(34)中存在子群参数灵敏度系数，考虑采用帕德近似方法求解子群参数的过程中，采用直接扰动方法求解子群参数灵敏度系数；对于各共振核素，逐群扰动其连续能量截面，体现为扰动其共振积分表，设扰动百分比为δ，则根据差商代替微分的方法求得子群参数的灵敏度系数，即

公式(37)

式中为未扰动的子群参数即子群截面σ_x,g,i或子群概率p_g,i，和分别为正向和负向扰动α时的子群参数；δ为α的扰动百分比；

此外，式(34)中存在源项Q_g对α的灵敏度系数，这一项的求解同样采用步骤1建立的方法；采用的子群共振自屏计算方法中，源项分成快群散射源项Q_f,g和上游共振能群散射源项Q_r,g，分别为：

$Q_{f,g}=\underset{g\&Element;G_{fast}}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}{\mathrm{\&phi;}}_{g^{\&prime;}}(r,\mathrm{\&Omega;})d\mathrm{\&Omega;}$ 公式(38)

$Q_{r,g}=\underset{g^{\&prime;}<g}{\&Sigma;}{\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g^{\&prime;},i}(r,\mathrm{\&Omega;})d\mathrm{\&Omega;}$ 公式(39)

对于共振能群g，分别对上述两种源建立广义共轭方程：

$L_{g^{\&prime;},g}^{*}{\mathrm{\&Psi;}}_{g^{\&prime;},g}^{*}={\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}$ 公式(40)

式中：

——快群输运算子；

——广义共轭通量；

g’——快群标号；

Σ_s,g'→g——快群到共振能群的散射截面；

而对于上游共振能群g’，有

$L_{g^{\&prime;},i}^{*}{\mathrm{\&Psi;}}_i^{*}={\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g,i}$ 公式(41)

式中：

——子群输运算子的共轭算子；

——广义共轭通量；

g’——上游共振能群标号；

i——第g’群的子群标号；

Σ_s,g'→g,i——上游共振能群g’到当前共振能群g的第i个子群的散射截面；

采用输运求解器求解方程式(40)和(41)，得到对应的广义共轭通量；由下式求得源项的灵敏度系数

$S_{Q_g,\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{Q_g}<\frac{\&part;{\&Sigma;}_s}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}>+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{Q_g}<{\mathrm{\&Psi;}}^{*},\frac{\&part;Q^{\&prime;}}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}-\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}>$ 公式(42)

式中：

Q_g——快群散射源项或上游共振能群散射源项；

Σ_s——快群或上游共振能群到当前共振能群的散射截面；

Q'——求解源项的输运方程的右端源项；

步骤4：针对反应堆物理栅格计算的重要参数，根据步骤1建立的方法获取与之对应的广义共轭方程，利用步骤2的输运求解器，求解获取通量、共轭通量以及广义通量；从而得到各重要参数的显式灵敏度系数；

设某重要参数为R，表示成通量或者共轭通量的线性泛函，设为：

$R\&equiv;\frac{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_1\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_2\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}$ 公式(43)

注意这里R具有一般性，只要是能表示成上述形式的重要参数，都能够进行灵敏度系数的求解；

建立对应的广义共轭源项：

$Q_1=\frac{dR/d\mathrm{\&Phi;}}{R}=\frac{H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(44)

$Q_2=\frac{dR/{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{R}=\frac{H_1\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(45)

利用输运求解器分别求解：

M^*Γ^*＝Q₁公式(46)

MΓ＝Q₂公式(47)

获取通量、广义共轭通量以及广义通量后，显式灵敏度系数由下式计算得到：

$\begin{array}{c}{S}_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }=\frac{dR/R}{d\mathrm{\&alpha;}/\mathrm{\&alpha;}}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)+<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>+<\mathrm{\&Gamma;},M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>\right\}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)-<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\frac{dM}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>-<\mathrm{\&Gamma;},\frac{{\mathrm{dM}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>\right\}\end{array}$ 公式(48)

步骤5：根据步骤3得到的共振自屏截面的灵敏度系数和步骤4得到的显式灵敏度系数，计算出考虑了隐式影响的灵敏度系数；

$S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{tot}=S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }+S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{imp}=S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }+\underset{g}{\&Sigma;}\underset{z,x,j}{\&Sigma;}{S}_{R,{\mathrm{\&sigma;}}_{z,x,g}^{\left(j\right)}}^{\exp }{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{z,x,g}^{\left(j\right)},\mathrm{\&alpha;}}$ 公式(49)

其中j表示共振核素。

与现有技术相比，本发明具有如下优点：

1.由于本发明能够考虑核素截面扰动在子群共振自屏计算过程中对共振自屏截面的影响，因此可以得到核截面数据的考虑了隐式影响的灵敏度系数，使得灵敏度系数的计算更加精确。

2.基于微扰理论，能够建立任意中子通量或共轭通量的泛函的灵敏度系数计算方法，因此可以对反应堆物理计算中多种重要参数进行敏感性计算分析，此外由于微扰理论本身能够快速计算多输入扰动影响的优点，因此本发明可以对存在大量输入参数的反应堆物理计算问题进行快速的敏感性计算，而不要对大量的输入参数进行逐一的扰动，从而提高了计算效率。

附图说明

图1是灵敏度系数计算流程图。

图2是特征线方法求解中子输运方程流程图。

图3是特征线方法求解广义共轭方程流程图。

图4是典型压水堆栅元显式和隐式灵敏度系数对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明是一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法，包括如下步骤：

步骤1：基于微扰理论，将多输入参数的反应堆物理计算需要大量扰动计算才能得到灵敏度系数的问题，转化为只需一次前向计算和一次共轭计算就能获取某一计算结果对所有输入参数的灵敏度系数的问题。

设中子输运方程为如下算子形式：

MΦ＝(L-λF)Φ＝0公式(1)

式中：

M——输运算子；

F——裂变源项算子；

L——输运算子中除裂变源项算子以外的其它算子；

Φ——中子角通量密度；

λ——方程的特征值(λ＝1/k_eff)，k_eff为系统有效增值因子。

设中子输运方程的共轭方程为：

M^*Φ^*＝(L^*-λF^*)Φ^*＝0公式(2)

式中：

M^*——输运算子的共轭算子；

F^*——裂变源项算子的共轭算子；

L^*——输运算子中除裂变源项算子以外的其它算子的共轭算子；

Φ^*——共轭中子角通量密度。

设反应堆物理计算中某重要参数为R(以下称为响应)，可以表示成通量或者共轭通量的线性泛函，设为：

$R\&equiv;\frac{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_1\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_2\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}$ 公式(3)

式中：

ξ——问题求解的空间；

Σ(ξ)——同求解空间相关的截面数据；

H₁[Σ(ξ)]，H₂[Σ(ξ)]——依赖于截面数据的算子。

相对灵敏度系数表示当α相对扰动1％时，R相对改变的百分比，其定义为：

$S_{R,\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{R}\frac{dR}{d\mathrm{\&alpha;}}$ 公式(4)

式中：

α——多群微观截面；

S_R,α——响应R对α的的灵敏度系数。

则由灵敏度系数定义，有：

$\begin{array}{c}S=\frac{dR/R}{d\mathrm{\&alpha;}/\mathrm{\&alpha;}}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)+\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)\right\}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)\right\}\end{array}$ 公式(5)

式中<>表示在问题求解空间ξ上积分。

整理上式得到：

$\begin{array}{c}S=\mathrm{\&alpha;}\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)+<\left(\frac{<H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<H_2^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>\\ +<\left(\frac{<H_1\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<H_2\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>\}\end{array}$ 公式(6)

上式中通量对α的倒数项可以通过微理论建立方法来进行求解。对于中子输运方程两边对α求导：

$\frac{dM}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}+M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}=0$ 公式(7)

于是

$M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}=-\frac{dM}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}$ 公式(8)

取与对应的广义共轭函数并作积分：

$<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>=<M^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>$ 公式(9)

令

$M^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*}=\frac{H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2^{*}\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(10)

根据式(8)和式(9)有

$<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>=-<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\frac{dM}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>$ 公式(11)

所以只要广义共轭函数求出来，就能计算出上式左端项，也就得到了式(6)右端第二项。

对于式(6)右端第三项同理，对共轭中子输运方程两边对α求导：

$\frac{{\mathrm{dM}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}+M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}=0$ 公式(12)

移项有：

$M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}=-\frac{{\mathrm{dM}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}$ 公式(13)

对于取其广义共轭通量并积分：

$<\mathrm{\&Gamma;},M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>=<M\mathrm{\&Gamma;},\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>$ 公式(14)

令

$M\mathrm{\&Gamma;}=\frac{H_1\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(15)

根据式(13)和式(14)，有：

$<\mathrm{\&Gamma;},M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>=-<\mathrm{\&Gamma;},\frac{{\mathrm{dM}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>$ 公式(16)

所以，只要得到了广义共轭通量，就能得到上式左端项，也就得到了式(6)的右端第三项。

从而，可以将灵敏度系数的计算转化为：

$\begin{array}{c}S=\frac{dR/R}{d\mathrm{\&alpha;}/\mathrm{\&alpha;}}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)+<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>+<\mathrm{\&Gamma;},M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>\right\}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)-<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\frac{dM}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>-<\mathrm{\&Gamma;},\frac{{\mathrm{dM}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>\right\}\end{array}$ 公式(17)

根据以上基于微扰理论的推导，对于给定的可以表示成通量或者共轭通量的泛函的任意响应，不需要对输入参数一个一个进行扰动来计算其灵敏度系数，而只需对其建立与之对应的广义(共轭)方程，求解这样带有外源和裂变源的中子输运方程，得到广义(共轭)通量，就能计算出这种响应对所有输入参数的灵敏度系数。与直接扰动方法相比，在响应数量较少时，具有很高的计算效率。

步骤2：由步骤1的方法所得到的方程，需要进行数值求解。选取组件模块化特征线方法(MOC)作为二维输运求解方法，对中子输运方程、共轭中子输运方程以及广义共轭输运方程进行求解。

特征线方法是求解中子输运方程的成熟而有效方法，能够实现一般中子输运方程的求解，其求解流程如图2所示。该求解流程一般称为源迭代法，是一种非常成熟的方法，描述如下：开始任意假定一个初始的裂变源分布，并假定一个初始的特征值，将其带入方程(1)得到一个普通的非齐次方程组，通过组件模块化特征线方法进行内迭代，即对某一群进行求解区域的扫描，在各群内迭代收敛并且能群扫描完成，可以求得更新的中子通量分布和特征值，利用更新的中子通量分布和特征值，进行下一次的区域扫描，直到收敛为止。

但是对于共轭中子输运方程，以及广义共轭方程，需要对求解流程作一点修改。

对于共轭中子输运方程计算，在计算之前，需要如下操作：

(1)将散射矩阵转置；

(2)将材料的(裂变产生截面)同χ(裂变谱)向量互换；

(3)将所有截面的能群号按如下方式变化：

完成上述操作之后，输运求解器可以完成基本的共轭中子输运方程的求解。当求解广义共轭输运方程，还需要如下操作：

(1)将建立共轭源作为问题的外源项；

(2)对于方程(10)将裂变源的更新按如下形式进行：

${\mathrm{FS}}_g=\frac{{\mathrm{\&nu;\&Sigma;}}_f^g}{4{\mathrm{\&pi;k}}_{eff}}\underset{h=1}{\overset{G}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&chi;}}_h\left({\mathrm{\&Gamma;}}_h^{*}-\frac{<F^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\mathrm{\&Phi;}>}{<F^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*},\mathrm{\&Phi;}>}{\mathrm{\&Phi;}}_h^{*}\right)$ 公式(18)

式中：

FS_g——第g群裂变源；

——裂变产生截面；

k_eff——有效增殖因子；

χ——裂变谱；

Γ^*——广义共轭通量密度；

F^*——中子输运方程裂变算子的共轭算子；

Φ——前向中子通量密度；

Φ^*——共轭中子通量密度。

其求解流程如图3所示。该求解流程同上面描述的图2的求解流程基本一致，但主要有两点区别：(1)不需要进行特征值的更新，方程中的特征值使用的是一般中子输运方程求得的特征值；(2)每一次外迭代得到的通量进行裂变源更新时，都需要采用式(18)的形式进行。

对于方程(15)将裂变源的更新按如下形式进行：

${\mathrm{FS}}_g=\frac{{\mathrm{\&chi;}}_g}{4{\mathrm{\&pi;k}}_{eff}}\underset{h=1}{\overset{G}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&nu;\&Sigma;}}_f^h\left({\mathrm{\&Gamma;}}_h-\frac{<F\mathrm{\&Gamma;},{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{<F\mathrm{\&Phi;},{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{\mathrm{\&Phi;}}_h\right)$ 公式(19)

式中：

Γ——广义通量密度；

F——中子输运方程裂变算子。

当采用输运求解器完成共轭中子输运方程或者广义共轭输运方程的求解之后，需要将获得的角通量在角度上反转，在能群上颠倒，从而为下一步计算提供正确的通量信息。

步骤3：在步骤1建立的方法的基础上，该步针对子群共振自屏方法，建立相应的子群广义共轭方程；采用步骤2建立的求解方法，选取组件模块化特征线方法(MOC)作为二维输运求解方法，求解子群广义共轭方程，为共振自屏截面的灵敏度系数计算提供广义共轭通量。

在共振自屏计算过程中，往往需要求解慢化方程或者输运方程来计算问题相关的权重函数φ(E)，以得到问题相关的多群自屏截面：

${\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}^{\left(j\right)}=\frac{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x^{\left(j\right)}\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_g\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}$ 公式(20)式中：

——核素j的x反应的第g群共振截面。

其中φ(E)往往通过求解一个慢化方程或者输运方程得到，设其算子形式为：

Lφ(E)＝Q(E)公式(21)

式中：

φ(E)——权重谱；

L——相应的慢化或输运算子；

Q——源项。

各种核素会参与权重谱的求解，其截面扰动会影响到作为权重的通量，从而影响多群自屏截面。如果多群截面为α，共振核素共振自屏截面对非共振核素截面的扰动的灵敏度系数为定义为：

$S_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}^{\left(j\right)},\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}^{\left(j\right)}}\frac{{\mathrm{d\&sigma;}}_{x,g}^{\left(j\right)}}{d\mathrm{\&alpha;}}$ 公式(22)

一般地，多群共振自屏截面可以表达成式(20)的形式，为简化表达，省略的核素标志j，α表示某核素某反应的某群截面，将等式两边对α求微分，有：

$\begin{array}{c}{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g},\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}}\frac{{\mathrm{d\&sigma;}}_{x,g}}{d\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{\&alpha;}\left\{\frac{{\&Integral;}_g\frac{\&part;{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}+\frac{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}dE}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}-\frac{{\&Integral;}_g\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}dE}{{\&Integral;}_g\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}\right\}\\ =\frac{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)S_{{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right),\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}+\mathrm{\&alpha;}{\&Integral;}_g\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}-\frac{1}{{\&Integral;}_g\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}\right)\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}dE\end{array}$ 公式(23)式中为连续能量截面对α的灵敏度系数。

式(23)的右端第一项称为α扰动的直接影响，该项表示α扰动对该能量段共振截面的直接影响，只有在α为一些基本物理量(共振能量、共振峰宽度等)时该项才非零；右端第二项称为α扰动的间接影响，即通过影响作为权重的通量而间接影响共振截面值。

直接项的计算可以通过具体公式求导或者采用直接扰动方法进行求解。

对于间接项，考虑到通量对α的偏导，将式(21)两边对α求偏导有：

$L\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\&part;Q\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}-\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)$ 公式(24)

两边同乘以共轭函数在相空间积分得到：

$<{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g}^{*}\left(E\right),L\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}>=<{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g}^{*}\left(E\right),(\frac{\&part;Q\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}-\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right))>$ 公式(25)

其中<，>代表在求解空间积分，的下标x和g表示广义共轭函数同共振截面和共振能群是相关的。根据共轭方程的性质，有：

$<{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g}^{*}\left(E\right),L\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}>=<L^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g}^{*}\left(E\right),\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}>$ 公式(26)

其中L^*为L的共轭算符。对比式(25)和式(26)，不妨取广义共轭方程为：

$L^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g}^{*}\left(E\right)=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}-\frac{1}{{\&Integral;}_g\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}$ 公式(27)

那么只要得到带入到式(25)右端，就能得到：

$\begin{array}{c}{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g},\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{\&alpha;}\left\{\frac{{\&Integral;}_g\frac{\&part;{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}+{\&Integral;}_g\left(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}-\frac{1}{{\&Integral;}_g\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}\right)\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}dE\right\}\\ =\frac{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)S_{{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right),\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_g{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}+\mathrm{\&alpha;}<{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g}^{*}\left(E\right),\left(\frac{\&part;Q\left(E\right)}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}-\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)\right)>\end{array}$ 公式(28)

下面将上述对一般共振方法的推导结果推广到子群共振计算方法中。

子群共振计算方法中将能群g共振截面从其最小值到最大值划分成若干区间，称为子群。子群截面的定义为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}=\frac{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}$ 公式(29)

式中，下标g和i分别表示能群和子群；σ_x,g,i为第g能群的第i子群的子群截面；φ(E)为中子通量密度。σ_x,g(E)为能群g的能量相关截面，ΔE_i的范围为ΔE_i∈{E|σ_x,i≤σ_x,g(E)≤σ_x,i+1}。

本发明中共振计算采用的子群共振自屏方法基于物理概率表，概率表给出了一个给定能群内的一组截面值和相应的权重。基于窄共振近似和物理概率表，可以将子群截面按能群给出如下形式：

${\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}\left({\mathrm{\&sigma;}}_0\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}\frac{p_{g,i}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t,g,i}+{\mathrm{\&sigma;}}_0}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\frac{p_{g,i}}{{\mathrm{\&sigma;}}_{t,g,i}+{\mathrm{\&sigma;}}_0}}$ 公式(30)

式中：N为总子群数，σ_x,g为第g群的多群截面，σ₀为背景截面，σ_t,g,i为能群g的第i子群的总截面，p_g,i为能群g的第i子群的子群概率。

基于帕德近似方法可根据式(30)得到子群截面σ_x,g,i和子群概率p_g,i。

在得到子群截面σ_x,g,i和子群概率p_g,i后，由于各子群对应的能量段必然包含于能群g中且不会重复，根据能群平均截面的定义，可将能群g的平均微观截面写成子群的形式：

${\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}=\frac{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_g}{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_g}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}=\frac{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}=\frac{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}$ 公式(31)式中φ_g,i为子群通量，通过求解子群输运方程得到。子群输运方程为：

Ω·▽φ_g,i(r,Ω)+Σ_t,g,i(r)φ_g,i(r,Ω)＝Q_s,g,i(r,Ω)公式(32)

式中：

φ_g,i(r,Ω)——能群g的第i子群的中子通量；

Σ_t,g,i(r)——能群g的第i子群的宏观总截面；

Q_s,g,i(r,Ω)——散射源项；

将上述方程写成算子形式为：

L_gφ_g＝Q_g公式(33)

式中：

L_g——第g个共振能群的子群输运方程的输运算子；

Q_g——第g个共振能群的子群输运方程的源项。

对比式(21)和式(31)可以发现，二者的区别在于前者是在能量上积分，而后者是在子群上求和，前者中子通量一般是通过空间无关的慢化方程所得，而后者中子通量是通过空间相关的子群输运方程所得，因此很容易将前面一般推导的结果推广到子群方法上面，所以根据式(28)，得到子群共振方法的共振截面灵敏度系数为：

$S_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g},\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i},\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}+\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g,i}^{*}\left(Q_{g,i}{S}_{Q_{g,i},\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&alpha;}\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}\right)d\mathrm{\&Omega;}dV$ 公式(34)

其中为广义子群共轭方程的解，广义子群共轭方程为：

$L_g^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}_g^{*}=Q_g^{*}$ 公式(35)

式中：

——L_g的共轭算子；

——子群广义共轭通量；

——子群广义共轭源。

其中

$Q_{g,i}^{*}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}d\mathrm{\&Omega;}dV}-\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}d\mathrm{\&Omega;}dV}$ 公式(36)

式中

——第i个子群的源项；

σ_x,g,i——第i个子群截面。

注意到式(34)中存在子群参数灵敏度系数，考虑在上面采用帕德近似方法求解子群参数的过程中，采用直接扰动方法求解子群参数灵敏度系数。对于各共振核素，逐群扰动其连续能量截面(体现为扰动其共振积分表)，设扰动百分比为δ，则根据差商代替微分的方法求得子群参数的灵敏度系数，即

公式(37)

式中为未扰动的子群参数(子群截面σ_x,g,i或子群概率p_g,i)，和分别为正向和负向扰动α时的子群参数；δ为α的扰动百分比。

此外，式(34)中存在源项Q_g对α的灵敏度系数，这一项的求解同样采用广义微扰理论。本发明采用的子群共振自屏方法中，源项分成快群散射源项Q_f,g和上游共振能群散射源项Q_r,g，分别为：

$Q_{f,g}=\underset{g\&Element;G_{fast}}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}{\mathrm{\&phi;}}_{g^{\&prime;}}(r,\mathrm{\&Omega;})d\mathrm{\&Omega;}$ 公式(38)

$Q_{r,g}=\underset{g^{\&prime;}<g}{\&Sigma;}{\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g^{\&prime;},i}(r,\mathrm{\&Omega;})d\mathrm{\&Omega;}$ 公式(39)

对于共振能群g，分别对上述两种源建立广义共轭方程：

$L_{g^{\&prime;},g}^{*}{\mathrm{\&Psi;}}_{g^{\&prime;},g}^{*}={\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}$ 公式(40)

式中：

——快群输运算子；

——广义共轭通量；

g’——快群标号；

Σ_s,g'→g——快群到共振能群的散射截面。

而对于上游共振能群g’，有

$L_{g^{\&prime;},i}^{*}{\mathrm{\&Psi;}}_i^{*}={\&Sigma;}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g,i}$ 公式(41)

式中：

——子群输运算子的共轭算子；

——广义共轭通量；

g’——上游共振能群标号；

i——第g’群的子群标号；

Σ_s,g'→g,i——上游共振能群g’到当前共振能群g的第i个子群的散射截面。

采用输运求解器求解方程式(40)和(41)，得到对应的广义共轭通量。由下式可以求得源项的灵敏度系数

$S_{Q_g,\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{Q_g}<\frac{\&part;{\&Sigma;}_s}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}>+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{Q_g}<{\mathrm{\&Psi;}}^{*},\frac{\&part;Q^{\&prime;}}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}-\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}>$ 公式(42)

式中：

Q_g——快群散射源项或上游共振能群散射源项；

Σ_s——快群或上游共振能群到当前共振能群的散射截面；

Q'——求解源项的输运方程的右端源项。

步骤4：针对反应堆物理栅格计算的重要参数，根据步骤1建立的方法获取与之对应的广义(共轭)方程，利用步骤2的输运求解器，求解获取通量、广义共轭通量以及广义通量。从而得到各重要参数的显式灵敏度系数。

设某重要参数为R，可以表示成通量或者共轭通量的线性泛函，设为：

$R\&equiv;\frac{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_1\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_2\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}$ 公式(43)

注意这里R具有一般性，只要是能表示成上述形式的重要参数，都可以用本发明的方法进行灵敏度系数的求解。

建立对应的广义共轭源项：

$Q_1=\frac{dR/d\mathrm{\&Phi;}}{R}=\frac{H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(44)

$Q_2=\frac{dR/{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{R}=\frac{H_1\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(45)

利用步骤2开发的输运求解器分别求解：

M^*Γ^*＝Q₁公式(46)

MΓ＝Q₂公式(47)

获取通量、广义共轭通量以及广义通量后，显式灵敏度系数可由下式计算得到：

$\begin{array}{c}{S}_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }=\frac{dR/R}{d\mathrm{\&alpha;}/\mathrm{\&alpha;}}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)+<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},M\frac{d\mathrm{\&Phi;}}{d\mathrm{\&alpha;}}>+<\mathrm{\&Gamma;},M^{*}\frac{{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}>\right\}\\ =\mathrm{\&alpha;}\left\{\left(\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_1}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\frac{{\mathrm{dH}}_2}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}\right)-<{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\frac{dM}{d\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&Phi;}>-<\mathrm{\&Gamma;},\frac{{\mathrm{dM}}^{*}}{d\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>\right\}\end{array}$ 公式(48)

步骤5：根据第3步得到的共振自屏截面的灵敏度系数和第4步得到的显式灵敏度系数，计算出考虑了隐式影响的灵敏度系数。

$S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{tot}=S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }+S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{imp}=S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }+\underset{g}{\&Sigma;}\underset{z,x,j}{\&Sigma;}{S}_{R,{\mathrm{\&sigma;}}_{z,x,g}^{\left(j\right)}}^{\exp }{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{z,x,g}^{\left(j\right)},\mathrm{\&alpha;}}$ 公式(49)

其中j表示共振核素。

如图4所示，给出了典型压水堆栅元问题的一些核素的特征值显式和隐式灵敏度系数比较。传统方法只能得到显式灵敏度系数而往往忽略隐式灵敏度系数，本发明能够计算隐式灵敏度系数，从图中可以看出，某些核素的隐式灵敏度系数相对显式灵敏度系数很大，如果忽略会造成很大的误差。所以考虑隐式灵敏度系数是必要的。

Claims (1)

1.一种获取反应堆物理栅格计算重要参数灵敏度系数的方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤1：基于微扰理论，将多输入参数的反应堆物理计算需要大量扰动计算才能得到灵敏度系数的问题，转化为只需一次前向计算和一次共轭计算就能获取某一计算结果对所有输入参数的灵敏度系数的问题；

设反应堆物理计算中某重要参数为R，以下称为响应，表示成通量或者共轭通量的线性泛函，设为：

$R\&equiv;\frac{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_1\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_2\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}$ 公式(3)

式中：

Φ——中子角通量密度；

Φ^*——共轭中子角通量密度；

ξ——问题求解的空间；

Σ(ξ)——同求解空间相关的截面数据；

H₁[Σ(ξ)]，H₂[Σ(ξ)]——依赖于截面数据的算子；

建立与响应R的表达式对应的广义共轭输运方程：

$M^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*}=\frac{H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(10)

$M\mathrm{\&Gamma;}=\frac{H_1\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(15)

式中：

M——输运算子；

Γ——广义通量密度；

M^*——输运算子的共轭算子；

Γ^*——广义共轭通量密度；

步骤2：采用广泛应用的输运求解方法——组件模块化特征线方法MOC作为二维输运方程的求解方法，对中子输运方程、共轭中子输运方程，以及广义共轭输运方程进行求解；

特征线方法能够实现一般中子输运方程的求解，但是对于共轭中子输运方程以及广义共轭输运方程，需要对求解流程作一点修改；

对于共轭中子输运方程计算，在计算之前，需要如下操作：

(1)将散射矩阵转置；

(2)将材料的裂变产生截面同裂变谱χ向量互换；

(3)将所有截面的能群号按如下方式变化：

完成上述操作之后，输运求解器能够完成基本的共轭中子输运方程的求解；

当求解广义共轭输运方程，还需要如下操作：

(1)将建立共轭源作为问题的外源项；

(2)对于公式(10)将裂变源的更新按如下形式进行：

${\mathrm{FS}}_g=\frac{{\mathrm{v\&Sigma;}}_f^g}{4{\mathrm{\&pi;k}}_{eff}}\underset{h=1}{\overset{G}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&chi;}}_h({\mathrm{\&Gamma;}}_h^{*}-\frac{<F^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}^{*},\mathrm{\&Phi;}>}{<F^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*},\mathrm{\&Phi;}>}{\mathrm{\&Phi;}}_h^{*})$ 公式(18)

式中：

FS_g——第g群裂变源；

——裂变产生截面；

k_eff——有效增殖因子；

χ——裂变谱；

Γ^*——广义共轭通量密度；

F^*——中子输运方程裂变算子的共轭算子；

Φ——前向中子通量密度；

Φ^*——共轭中子通量密度；

其计算流程与传统的中子输运方程计算流程基本一致，不同点在于：(1)不需要进行特征值的更新，方程中的特征值使用的是中子输运方程求解得到的特征值；(2)每一次外迭代得到的通量用于裂变源更新时采用公式(18)；

对于方程(15)将裂变源的更新按如下形式进行：

${\mathrm{FS}}_g=\frac{{\mathrm{\&chi;}}_g}{4{\mathrm{\&pi;k}}_{eff}}\underset{h=1}{\overset{G}{\&Sigma;}}{\mathrm{v\&Sigma;}}_f^h({\mathrm{\&Gamma;}}_h-\frac{<F\mathrm{\&Gamma;},{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{<F\mathrm{\&Phi;},{\mathrm{\&Phi;}}^{*}>}{\mathrm{\&Phi;}}_h)$ 公式(19)

式中：

Γ——广义通量密度；

F——中子输运方程裂变算子；

当采用输运求解器完成共轭中子输运方程或者广义共轭输运方程的求解之后，需要将获得的角通量在角度上反转，在能群上颠倒，从而为下一步计算提供正确的通量信息；

步骤3：在步骤1建立的方法的基础上，该步针对子群共振计算方法，建立相应的子群广义共轭方程；采用步骤2建立的求解方法，选取组件模块化特征线方法MOC作为二维输运求解方法，求解子群广义共轭方程，为共振自屏截面的灵敏度系数计算提供广义共轭通量；

子群方法中，共振自屏截面的表达式为：

${\mathrm{\&sigma;}}_{x,g}=\frac{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_g}{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_g}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}=\frac{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}{\mathrm{\&sigma;}}_x\left(E\right)\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{{\mathrm{\&Delta;E}}_i}\mathrm{\&phi;}\left(E\right)dE}=\frac{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}{\underset{i=1,N}{\&Sigma;}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}$ 公式(31)

式中：

g——能群标号；

i——子群标号；

N——子群总数；

σ_x(E)——x反应的连续能量截面；

φ_(E)——权重谱；

σ_x,g,i——共振截面x的第g共振能群的第i个子群截面；

公式(31)中的子群参数通过帕德近似求解，而子群通量通过求解子群输运方程得到；

设子群输运方程为：

$\mathrm{\&Omega;}\&CenterDot;\&dtri;{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}(r,\mathrm{\&Omega;})+{\mathrm{\&Sigma;}}_{t,g,i}\left(r\right){\mathrm{\&phi;}}_{g,i}(r,\mathrm{\&Omega;})=Q_{s,g,i}(r,\mathrm{\&Omega;})$ 公式(32)

式中：

g——共振能群标号；

i——子群标号；

r——空间位置变量；

Ω——角度变量；

φ_g,i(r,Ω)——能群g的第i子群的中子通量密度；

Σ_t,g,i(r)——能群g的第i子群的宏观总截面；

Q_s,g,i(r,Ω)——散射源项；

将上述方程写成算子形式为：

L_gφ_g＝Q_g公式(33)

式中：

L_g——第g个共振能群的子群输运方程的输运算子；

Q_g——第g个共振能群的子群输运方程的源项；

利用输运求解器求解子群输运方程，得到子群通量后，对子群参数加权得到共振自屏截面；

子群共振方法的共振截面灵敏度系数计算公式为：

$S_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g},\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g},\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&Gamma;}}_{x,g,i}^{*}(Q_{g,i}{S}_{Q_{g,i},\mathrm{\&alpha;}}-\mathrm{\&alpha;}\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i})d\mathrm{\&Omega;}dV$ 公式(34)

其中为广义子群共轭方程的解。它由该共振自屏截面的子群输运方程对应的广义子群共轭方程解得，该广义子群共轭方程为：

$L_g^{*}{\mathrm{\&Gamma;}}_g^{*}=Q_g^{*}$ 公式(35)

式中：

——L_g的共轭算子；

——子群广义共轭通量；

——子群广义共轭源；

其中

$Q_{g,i}^{*}=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&sigma;}}_{x,g,i}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}dQdV}-\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_V{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g,i}dQdV}$ 公式(36)

式中

$Q_{g,i}^{*}$ ——第i个子群的源项；

σ_x,g,i——第i个子群截面；

注意到式(34)中存在子群参数灵敏度系数，考虑采用帕德近似方法求解子群参数的过程中，采用直接扰动方法求解子群参数灵敏度系数；对于各共振核素，逐群扰动其连续能量截面，体现为扰动其共振积分表，设扰动百分比为δ，则根据差商代替微分的方法求得子群参数的灵敏度系数，即

公式(37)

式中为未扰动的子群参数即子群截面σ_x,g,i或子群概率p_g,i，和分别为正向和负向扰动α时的子群参数；δ为α的扰动百分比；

此外，式(34)中存在源项Q_g对α的灵敏度系数，这一项的求解同样采用步骤1建立的方法；采用的子群共振自屏计算方法中，源项分成快群散射源项Q_f,g和上游共振能群散射源项Q_r,g，分别为：

$Q_{f,g}=\underset{g\&Element;G_{fast}}{\&Sigma;}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&Sigma;}}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}{\mathrm{\&phi;}}_{g^{\&prime;}}(r,\mathrm{\&Omega;})d\mathrm{\&Omega;}$ 公式(38)

$Q_{r,g}=\underset{g^{\&prime;}<g}{\&Sigma;}{\mathrm{\&Sigma;}}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}\underset{i=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}{\mathrm{\&phi;}}_{g^{\&prime;},i}(r,\mathrm{\&Omega;})d\mathrm{\&Omega;}$ 公式(39)

对于共振能群g，分别对上述两种源建立广义共轭方程：

$L_{g^{\&prime;},g}^{*}{\mathrm{\&Psi;}}_{g^{\&prime;},g}^{*}={\mathrm{\&Sigma;}}_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g}$ 公式(40)

式中：

——快群输运算子；

——广义共轭通量；

g’——快群标号；

Σ_s,g'→g——快群到共振能群的散射截面；

而对于上游共振能群g’，有

$L_{g^{\&prime;},i}^{*}{\mathrm{\&Psi;}}_i^{*}=E_{s,g^{\&prime;}\&RightArrow;g,i}$ 公式(41)

式中：

——子群输运算子的共轭算子；

——广义共轭通量；

g’——上游共振能群标号；

i——第g’群的子群标号；

Σ_s,g'→g,i——上游共振能群g’到当前共振能群g的第i个子群的散射截面；

采用输运求解器求解方程式(40)和(41)，得到对应的广义共轭通量；由下式求得源项的灵敏度系数

$S_{Q_g,\mathrm{\&alpha;}}=\frac{\mathrm{\&alpha;}}{Q_g}<\frac{\&part;{\mathrm{\&Sigma;}}_s}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}>+\frac{\mathrm{\&alpha;}}{Q_g}<{\mathrm{\&Psi;}}^{*},\frac{\&part;Q^{\&prime;}}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}-\frac{\&part;L}{\&part;\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&phi;}>$ 公式(42)

式中：

Q_g——快群散射源项或上游共振能群散射源项；

Σ_s——快群或上游共振能群到当前共振能群的散射截面；

Q'——求解源项的输运方程的右端源项；

步骤4：针对反应堆物理栅格计算的重要参数，根据步骤1建立的方法获取与之对应的广义共轭方程，利用步骤2的输运求解器，求解获取通量、共轭通量以及广义通量；从而得到各重要参数的显式灵敏度系数；

设某重要参数为R，表示成通量或者共轭通量的线性泛函，设为：

$R\&equiv;\frac{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_1\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}{\&Integral;{\mathrm{\&Phi;}}^{*}\left(\mathrm{\&xi;}\right)H_2\&lsqb;\mathrm{\&Sigma;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)\&rsqb;\mathrm{\&Phi;}\left(\mathrm{\&xi;}\right)d\mathrm{\&xi;}}$ 公式(43)

注意这里R具有一般性，只要是能表示成上述形式的重要参数，都能够进行灵敏度系数的求解；

建立对应的广义共轭源项：

$Q_1=\frac{dR/d\mathrm{\&Phi;}}{R}=\frac{H_1^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2^{*}{\mathrm{\&Phi;}}^{*}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(44)

$Q_2=\frac{dR/{\mathrm{d\&Phi;}}^{*}}{R}=\frac{H_1\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_1\mathrm{\&Phi;}>}-\frac{H_2\mathrm{\&Phi;}}{<{\mathrm{\&Phi;}}^{*}{H}_2\mathrm{\&Phi;}>}$ 公式(45)

利用输运求解器分别求解：

M^*Γ^*＝Q₁公式(46)

MΓ＝Q₂公式(47)

获取通量、广义共轭通量以及广义通量后，显式灵敏度系数由下式计算得到：

<math> <mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>S</mi> <mrow> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mi>exp</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>R</mi> <mo>/</mo> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>/</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dH</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dH</mi> <mi>2</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <msub> <mi>H</mi> <mi>2</mi> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>+&lt;</mi> <msup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mi>,M</mi> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;Phi;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&gt;+&lt;</mi> <mi>&amp;Gamma;</mi> <msup> <mi>,M</mi> <mo>*</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&gt;</mi> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dH</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dH</mi> <mi>2</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> <mrow> <mo>&lt;</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <msub> <mi>H</mi> <mi>2</mi> </msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>&gt;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&lt;</mi> <msup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mi>,</mi> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>&gt;-&lt;</mi> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>,</mi> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>dM</mi> <mo>*</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <mi>&gt;</mi> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </math> 公式(48)

步骤5：根据步骤3得到的共振自屏截面的灵敏度系数和步骤4得到的显式灵敏度系数，计算出考虑了隐式影响的灵敏度系数；

$S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{tot}=S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }+S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{imp}=S_{R,\mathrm{\&alpha;}}^{\exp }+\underset{g}{\&Sigma;}\underset{z,x,j}{\&Sigma;}{S}_{R,{\mathrm{\&sigma;}}_{z,x,g}^{\left(j\right)}}^{\exp }{S}_{{\mathrm{\&sigma;}}_{z,x,g}^{\left(j\right)},\mathrm{\&alpha;}}$ 公式(49)

其中j表示共振核素。