CN102692823A - 用于计算结构的电磁散射属性和用于近似结构的重构的方法和设备 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于计算结构的电磁散射属性和用于近似结构的重构的方法和设备。还公开一种用于重构光栅轮廓的CSI算法。针对于电流密度J求解体积积分方程通过选择E和J的连续分量而采用与电场E^S和电流密度J相关的矢量场F^S的固有结构以确定J的近似解，其中F在一个或更多个材料边界处是连续的。F通过至少一个有限傅里叶级数相对于至少一个方向x、y表示，并且数值求解体积积分方程的步骤包括通过将F与包括沿两个方向上的材料和几何结构属性的卷积算符M卷积来确定J的分量。J可以通过至少一个有限傅里叶级数相对于两个方向表示。可以使用作用在E和J上的卷积算符P_T和P_N提取连续分量。

Description

用于计算结构的电磁散射属性和用于近似结构的重构的方法和设备

技术领域

本发明涉及结构的电磁散射属性的计算。本发明可以应用于显微结构的量测，例如评估光刻设备的临界尺寸(CD)性能。

背景技术

光刻设备是一种将所需图案应用到衬底上，通常是衬底的目标部分上的机器。例如，可以将光刻设备用在集成电路(IC)的制造中。在这种情况下，可以将可选地称为掩模或掩模版的图案形成装置用于生成待形成在所述IC的单层上的电路图案。可以将该图案转移到衬底(例如，硅晶片)上的目标部分(例如，包括一部分管芯、一个或多个管芯)上。所述图案的转移通常是通过将图案成像到提供到衬底上的辐射敏感材料(抗蚀剂)的层上。通常，单个衬底将包含连续形成图案的相邻目标部分的网络。公知的光刻设备包括：所谓步进机，在所述步进机中，通过将整个图案一次曝光到所述目标部分上来辐射每一个目标部分；以及所谓扫描器，在所述扫描器中，通过辐射束沿给定方向(“扫描”方向)扫描所述图案、同时沿与该方向平行或反向平行的方向扫描所述衬底来辐射每一个目标部分。也可能通过将图案压印(imprinting)到衬底的方式从图案形成装置将图案转移到衬底上。

为了监测光刻过程，需要测量图案化的衬底的参数，例如形成在衬底上或衬底内的相继的层之间的重叠误差。已有多种技术用于测量在光刻过程中形成的显微结构，包括使用扫描电子显微镜和多种专门工具。一种形式的专用检验工具是散射仪，其中辐射束被引导到衬底表面上的目标上并且测量散射或反射束的属性。通过比较辐射束在被衬底反射或散射前后的属性，可以确定衬底的属性。通过将反射束同与已知衬底属性相关的已知测量值的库中存储的数据比较可以确定所述衬底的属性。已知两种主要类型的散射仪。分光镜散射仪将宽带辐射束引导到衬底上并且测量散射到特定的窄的角度范围的辐射的光谱(强度作为波长的函数)。角分辨散射仪使用单色辐射束并且测量作为角度的函数的散射辐射的强度。

更加普遍的是，能够将散射辐射与由结构的模型所数学预测的散射行为对比是有用的，结构的模型可以自由地建立并且变化直到所预测的行为与所观察到的来自真实样本的散射匹配为止。不幸的是，虽然原则上已经知道如何通过数值程序对散射建立模型，但是已知的技术的计算负担导致这种技术不实用，尤其当想要实时重构的时候和/或所涉及的结构比一维周期的简单结构更加复杂的情况下。

CD重构属于在通称为反演散射情形下已知的一组问题，其中所观察到的数据与可能的物理情形匹配。目的是尽可能接近地找出导致所观察到的数据的物理情形。在散射情形中，电磁理论(麦克斯韦方程)允许对于给定的物理情形预测什么将是所测量(散射)的数据。这被称为前向散射问题。在此反演散射问题是找出对应于通常是高度非线性问题的实际测量数据的正确的物理情形。为了解决这种反演散射问题，使用非线性求解器，其使用多个前向散射问题的解。在已知的重构方法中，基于三个要素求解非线性问题：

测量数据和由所估计的散射结构来计算的数据之间的差异的高斯-牛顿(Gauss-Newton)最小化；

在散射结构中用参数表示的形状，例如接触孔的半径和高度；

在每一次更新参数时前向问题的解(例如所计算的反射系数)中的充分高的精确度。

另一个成功的、在近期的文献中报告的用以求解反演散射问题的方法是对照源反演(CSI)[14]。原则上，CSI采用同时求解麦克斯韦方程中的数据匹配和不匹配的公式，即在每个最小化的步骤处麦克斯韦方程没有求解至足够的精确度。此外，CSI采用失常的图像而不是用参数表示的形状。

CSI的成功主要是由于以所谓的对照源J和对照函数χ作为基本未知量将反演问题重新构成。这种重新构成使得不依赖于χ的测量的数据和J的线性问题的不匹配，而由于χ和J的耦合，麦克斯韦方程中的不匹配保持非线性。CSI被成功地与体积积分方法(VIM)^[14]、有限元方法(FEM)^[15]以及有限差分方法(FD)^[16]结合。然而，所有列出的数字方法(VIM，FEM，FD)都是基于空间公式化和空间离散化(即，像素或网格)。

发明内容

本发明在用以快速执行电磁散射属性的精确计算的半导体处理的领域是需要的。

根据本发明的第一方面，提供一种计算结构的电磁散射属性的方法，所述结构包括例如在材料边界处引起电磁场内至少一个不连续的相异属性的材料，所述方法包括步骤：通过确定对照电流密度的多个分量，使用场-材料相互作用算符在电磁场的连续分量和对应于该电磁场的被标定比例的电磁通量密度的连续分量上运算，来数值求解针对于对照电流密度的体积积分方程，被标定比例的电磁通量密度被形成为对照电流密度的不连续分量和电磁场的不连续分量的被标定比例的和；和通过使用所确定的对照电流密度的分量来计算所述结构的电磁散射属性。

根据本发明的第二方面，提供一种根据检测到的由物体被辐射照射引起的电磁散射属性来重构所述物体的近似结构的方法，所述方法包括步骤：估计至少一个结构参数；由所述至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射属性；将检测到的电磁散射属性与所述至少一个模型电磁散射属性对比；和基于对比的结果确定所述物体的近似结构；其中，通过使用根据第一方面所述的方法确定所述模型电磁散射属性。

根据本发明的第三方面，提供一种用于重构物体的近似结构的检验设备，所述检验设备包括：照射系统，配置成用辐射照射所述物体；检测系统，配置成检测由照射引起的电磁散射属性；和处理器，配置成：估计至少一个结构参数、由所述至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射属性、将检测到的电磁散射属性与所述至少一个模型电磁散射属性对比和由检测到的电磁散射属性与所述至少一个模型电磁散射属性之间的差异确定物体的近似结构，其中，所述处理器配置成使用根据第一方面所述的方法确定所述模型电磁散射属性。

根据本发明的第四方面，提供一种计算机程序产品，包含一个或更多个机器可读指令序列，用于计算结构的电磁散射属性，所述指令适于引起一个或更多个处理器执行根据第一方面所述的方法。

本发明的其他特征和优点以及本发明不同实施例的结构和操作将在下文中参照附图进行描述。本发明不限于这里所描述的具体实施例。在这里给出的这些实施例仅是示例性用途。基于这里包含的教导，其他的实施例对本领域技术人员将是显而易见的。

附图说明

在此附图并入说明书并且形成说明书的一部分，其示出本发明并且与说明书一起进一步用来说明本发明的原理，以允许本领域技术人员能够实施和使用本发明。

图1示出光刻设备；

图2示出光刻单元或光刻簇；

图3示出第一散射仪；

图4示出第二散射仪；

图5示出使用本发明的一个实施例用于通过散射仪测量结果重构结构的第一示例过程；

图6示出使用本发明的一个实施例用于通过散射仪测量结果重构结构的第二示例过程；

图7示出可以根据本发明一个实施例重构的散射几何结构。

图8示出背景的结构。

图9示出使用格林函数计算散射电场与分层介质的相互作用；

图10是求解对应于用于对照电流密度的VIM公式的线性系统的高级方法的流程图；

图11是使用现有技术中已知的用于对照电流密度的VIM公式来计算更新矢量的流程图；

图12示出本发明的一个实施例；

图13a是根据本发明一个实施例的计算更新矢量的流程图；

图13b示出根据本发明一个实施例的用于以对照源反演来求解VIM公式的对照电流密度的矩阵矢量乘积的流程图。

图13c是用在图13b的矩阵矢量乘积中的投影算符和材料的运算的流程图；

图14是根据本发明一个实施例的计算结构的电磁散射属性的方法的流程图；

图15a是用于具有偏移c0的旋转的椭圆的全局(x，y)坐标系和局部(x″，y″)坐标系的定义；

图15b示出用于椭圆坐标系的NV场；

图15c示出用于椭圆的共形映射；

图16a示出用于矩形的连续NV场；

图16b示出用于矩形的不连续NV场；

图17示出以基本形状以网格形成“狗骨(dogbone)”；

图18示出根据本发明一个实施例的由较小的矩形和扇形建立具有带圆角的矩形的横截面的棱镜的法向矢量场。

图19示出具有NV场和局部坐标系的旋转的且偏移的三角形。

图20示出具有NV场和局部坐标系的旋转的且偏移的梯形。

图21示出具有NV场和局部坐标系的旋转的且偏移的扇形。

图22示出通过阶梯近似方法近似椭圆的过程。

图23示出计算机系统的示意形式，其配置有程序和数据以便执行根据本发明一个实施例的方法。

结合附图通过下面详细的描述，本发明的特征和优点将变得更加清楚，在附图中相同的附图标记在全文中表示对应元件。在附图中，相同的附图标记通常表示相同的、功能类似的和/或结构类似的元件。元件第一次出现的附图用相应的附图标记中最左边的数字表示。

具体实施方式

本说明书公开一个或多个实施例，其中并入了本发明的特征。所公开的实施例仅给出本发明的示例。本发明的范围不限于这些公开的实施例。本发明由所附的权利要求来限定。

所述的实施例和在说明书中提到的“一个实施例”、“一实施例”、“示例性实施例”等表示所述的实施例可以包括特定特征、结构或特性，但是每个实施例可以不必包括特定的特征、结构或特性。而且，这些段落不必指的是同一个实施例。此外，当特定特征、结构或特性与实施例结合进行描述时，应该理解，无论是否明确描述，实现将这些特征、结构或特性与其他实施例相结合是在本领域技术人员所知的知识范围内。

本发明的实施例可以应用到硬件、固件、软件或其任何组合。本发明实施例还可以实现为存储在机器可读介质上的指令，其可以通过一个或更多个处理器读取和执行。机器可读介质可以包括任何用于以机器(例如计算装置)可读形式存储或传送信息的机制。例如，机器可读介质可以包括：只读存储器(ROM)；随机存取存储器(RAM)；磁盘存储介质；光学存储介质；闪存设备；传播信号的电、光、声或其他形式(例如，载波、红外信号、数字信号等)，以及其他。此外，这里可以将固件、软件、程序、指令描述成执行特定动作。然而，应该认识到，这些描述仅为了方便并且这些动作实际上由计算装置、处理器、控制器或执行所述固件、软件、程序、指令等的其他装置来完成的。

然而，在详细描述这些实施例之前，给出实施本发明的多个实施例的示例性环境是有指导性意义的。

图1示意地示出了一光刻设备。所述光刻设备包括：照射系统(照射器)IL，其配置用于调节辐射束B(例如，紫外(UV)辐射或深紫外(DUV)辐射)；支撑结构(例如掩模台)MT，其构造用于支撑图案形成装置(例如掩模)MA，并与用于根据确定的参数精确地定位图案形成装置的第一定位装置PM相连；衬底台(例如晶片台)WT，其构造成用于保持衬底(例如涂覆有抗蚀剂的晶片)W，并与配置用于根据确定的参数精确地定位衬底的第二定位装置PW相连；和投影系统(例如折射式投影透镜系统)PL，其配置成用于将由图案形成装置MA赋予辐射束B的图案投影到衬底W的目标部分C(例如包括一根或更多根管芯)上。

照射系统可以包括各种类型的光学部件，例如折射型、反射型、磁性型、电磁型、静电型或其它类型的光学部件、或其任意组合，以引导、成形、或控制辐射。

所述支撑结构支撑图案形成装置，即承载图案形成装置的重量。支撑结构以依赖于图案形成装置的方向、光刻设备的设计以及诸如图案形成装置是否保持在真空环境中等其他条件的方式保持图案形成装置。所述支撑结构可以采用机械的、真空的、静电的或其它夹持技术保持图案形成装置。所述支撑结构可以是框架或台，例如，其可以根据需要成为固定的或可移动的。所述支撑结构可以确保图案形成装置位于所需的位置上(例如相对于投影系统)。在这里任何使用的术语“掩模版”或“掩模”都可以认为与更上位的术语“图案形成装置”同义。

这里所使用的术语“图案形成装置”应该被广义地理解为表示能够用于将图案在辐射束的横截面上赋予辐射束、以便在衬底的目标部分上形成图案的任何装置。应当注意，被赋予辐射束的图案可能不与在衬底的目标部分上的所需图案完全相符(例如如果该图案包括相移特征或所谓辅助特征)。通常，被赋予辐射束的图案将与在目标部分上形成的器件中的特定的功能层相对应，例如集成电路。

图案形成装置可以是透射式的或反射式的。图案形成装置的示例包括掩模、可编程反射镜阵列以及可编程液晶显示(LCD)面板。掩模在光刻术中是公知的，并且包括诸如二元掩模类型、交替型相移掩模类型、衰减型相移掩模类型和各种混合掩模类型之类的掩模类型。可编程反射镜阵列的示例采用小反射镜的矩阵布置，每一个小反射镜可以独立地倾斜，以便沿不同方向反射入射的辐射束。所述已倾斜的反射镜将图案赋予由所述反射镜矩阵反射的辐射束。

这里使用的术语“投影系统”应该广义地解释为包括任意类型的投影系统，包括折射型、反射型、反射折射型、磁性型、电磁型和静电型光学系统、或其任意组合，如对于所使用的曝光辐射所适合的、或对于诸如使用浸没液或使用真空之类的其他因素所适合的。这里使用的术语“投影透镜”可以认为是与更上位的术语“投影系统”同义。

如这里所示的，所述设备是透射型的(例如，采用透射式掩模)。替代地，所述设备可以是反射型的(例如，采用如上所述类型的可编程反射镜阵列，或采用反射式掩模)。

所述光刻设备可以是具有两个(双台)或更多衬底台(和/或两个或更多的掩模台)的类型。在这种“多台”机器中，可以并行地使用附加的台，或可以在一个或更多个台上执行预备步骤的同时，将一个或更多个其它台用于曝光。

所述光刻设备还可以是这种类型，其中衬底的至少一部分可以由具有相对高的折射率的液体覆盖(例如水)，以便填充投影系统和衬底之间的空间。浸没液体还可以施加到光刻设备的其他空间中，例如掩模和投影系统之间的空间。浸没技术在本领域是熟知的，用于提高投影系统的数值孔径。这里使用的术语“浸没”并不意味着必须将结构(例如衬底)浸入到液体中，而仅意味着在曝光过程中液体位于投影系统和该衬底之间。

参照图1，所述照射器IL接收从辐射源SO发出的辐射束。该源SO和所述光刻设备可以是分立的实体(例如当该源为准分子激光器时)。在这种情况下，不会将该源考虑成形成光刻设备的一部分，并且通过包括例如合适的定向反射镜和/或扩束器的束传递系统BD的帮助，将所述辐射束从所述源SO传到所述照射器IL。在其它情况下，所述源可以是所述光刻设备的组成部分(例如当所述源是汞灯时)。可以将所述源SO和所述照射器IL、以及如果需要时设置的所述束传递系统BD一起称作辐射系统。

所述照射器IL可以包括用于调整所述辐射束的角强度分布的调整器AD。通常，可以对所述照射器IL的光瞳平面中的强度分布的至少所述外部和/或内部径向范围(一般分别称为σ-外部和σ-内部)进行调整。此外，所述照射器IL可以包括各种其它部件，例如积分器IN和聚光器CO。可以将所述照射器用于调节所述辐射束，以在其横截面中具有所需的均匀性和强度分布。

所述辐射束B入射到保持在支撑结构(例如，掩模台MT)上的所述图案形成装置(例如，掩模MA)上，并且通过所述图案形成装置来形成图案。已经穿过掩模MA之后，所述辐射束B通过投影系统PL，所述投影系统将辐射束聚焦到所述衬底W的目标部分C上。通过第二定位装置PW和位置传感器IF(例如，干涉仪器件、线性编码器、2-D编码器或电容传感器)的帮助，可以精确地移动所述衬底台WT，例如以便将不同的目标部分C定位于所述辐射束B的路径中。类似地，例如在从掩模库的机械获取之后，或在扫描期间，可以将所述第一定位装置PM和另一个位置传感器(图1中未明确示出)用于相对于所述辐射束B的路径精确地定位掩模MA。通常，可以通过形成所述第一定位装置PM的一部分的长行程模块(粗定位)和短行程模块(精定位)的帮助来实现掩模台MT的移动。类似地，可以采用形成所述第二定位装置PW的一部分的长行程模块和短行程模块来实现所述衬底台WT的移动。在步进机的情况下(与扫描器相反)，掩模台MT可以仅与短行程致动器相连，或可以是固定的。可以使用掩模对准标记M1、M2和衬底对准标记P1、P2来对准掩模MA和衬底W。尽管所示的衬底对准标记占据了专用目标部分，但是它们可以位于目标部分之间的空间(这些公知为划线对齐标记)中。类似地，在将多于一个的管芯设置在掩模MA上的情况下，所述掩模对准标记可以位于所述管芯之间。

可以将所示的设备用于以下模式中的至少一种中：

1.在步进模式中，在将掩模台MT和衬底台WT保持为基本静止的同时，将赋予所述辐射束的整个图案一次投影到目标部分C上(即，单一的静态曝光)。然后将所述衬底台WT沿X和/或Y方向移动，使得可以对不同目标部分C曝光。在步进模式中，曝光场的最大尺寸限制了在单一的静态曝光中成像的所述目标部分C的尺寸。

2.在扫描模式中，在对掩模台MT和衬底台WT同步地进行扫描的同时，将赋予所述辐射束的图案投影到目标部分C上(即，单一的动态曝光)。衬底台WT相对于掩模台MT的速度和方向可以通过所述投影系统PL的(缩小)放大率和图像反转特征来确定。在扫描模式中，曝光场的最大尺寸限制了单一动态曝光中所述目标部分的宽度(沿非扫描方向)，而所述扫描运动的长度确定了所述目标部分的高度(沿所述扫描方向)。

3.在另一模式中，将用于保持可编程图案形成装置的掩模台MT保持为基本静止，并且在对所述衬底台WT进行移动或扫描的同时，将赋予所述辐射束的图案投影到目标部分C上。在这种模式中，通常采用脉冲辐射源，并且在所述衬底台WT的每一次移动之后、或在扫描期间的连续辐射脉冲之间，根据需要更新所述可编程图案形成装置。这种操作模式可易于应用于利用可编程图案形成装置(例如，如上所述类型的可编程反射镜阵列)的无掩模光刻术中。

也可以采用上述使用模式的组合和/或变体，或完全不同的使用模式。

如图2所示，光刻设备LA形成光刻单元LC的一部分(有时也称为光刻元或者光刻簇)，光刻单元LC还包括用以在衬底上执行曝光前和曝光后处理的设备。通常，这些设备包括用以沉积抗蚀剂层的旋涂器SC、用以显影曝光后的抗蚀剂的显影器DE、激冷板CH和烘烤板BK。衬底输送装置或机械手RO从输入/输出口I/O1、I/O2拾取衬底，然后将它们移动到不同的处理设备之间，然后将它们移动到光刻设备的进料台LB。这些经常统称为轨道的装置处在轨道控制单元TCU的控制之下，所述轨道控制单元TCU自身由管理控制系统SCS控制，所述管理控制系统SCS也经由光刻控制单元LACU控制光刻设备。因此，不同的设备可以被操作用于将生产率和处理效率最大化。

为了使由光刻设备曝光的衬底被正确地和一致地曝光，需要检验经过曝光的衬底以测量属性，例如相继层之间的重叠误差、线宽、临界尺寸(CD)等。如果检测到误差，可以对后续衬底的曝光进行调整(尤其是如果检验能够即刻完成或足够迅速到使同一批次的其他衬底仍处于待曝光状态时)。已经曝光过的衬底也可以被剥离并被重新加工(以提高产率)，或被遗弃，由此避免在已知存在缺陷的衬底上进行曝光。在仅仅衬底的一些目标部分存在缺陷的情况下，可以仅对完好的那些目标部分进行进一步曝光。

检验设备被用于确定衬底的属性，且尤其用于确定不同的衬底或同一衬底的不同层的属性从层到层如何变化。检验设备可以被集成到光刻设备LA或光刻单元LC中，或可以是独立的装置。为了能进行最迅速地测量，需要检验设备在曝光后立即测量在经过曝光的抗蚀剂层中的属性。然而，抗蚀剂中的潜影具有很低的对比度(在经过辐射曝光的抗蚀剂部分和没有经过辐射曝光的抗蚀剂部分之间仅有很小的折射率差)，且并非所有的检验设备都对潜影的有效测量具有足够的灵敏度。因此，测量可以在曝光后的烘烤步骤(PEB)之后进行，所述曝光后的烘烤步骤通常是在经过曝光的衬底上进行的第一步骤，且增加了抗蚀剂的经过曝光和未经曝光的部分之间的对比度。在该阶段，抗蚀剂中的图像可以被称为半潜在的。也能够在抗蚀剂的曝光部分或者非曝光部分已经被去除的点上，或者在诸如刻蚀等图案转移步骤之后，对经过显影的抗蚀剂图像进行测量。后一种可能性限制了有缺陷的衬底进行重新加工的可能，但是仍旧可以提供有用的信息。

图3示出散射仪SM1，其可以用于本发明的实施例。散射仪包括宽带(白光)辐射投影装置2，其将辐射投影到衬底W上。反射的辐射通至光谱仪检测器4，光谱仪检测器4测量镜面反射辐射的光谱10(强度是波长的函数)。通过这个数据，引起所检测的光谱的结构或轮廓可以通过处理单元PU(例如通过传统的严格耦合波分析(RCWA)和非线性回归，或通过与图3底部示出的模拟光谱库进行比较)进行重构。通常，对于所述重构，获知所述结构的通常形式，且通过根据所述结构的制作过程的知识假定一些参数，仅留有一些结构参数根据散射仪的数据确定。这种散射仪可以被配置为正入射散射仪或斜入射散射仪。

可以用于本发明的另一个散射仪SM2如图4所示。在该装置中，由辐射源2发出的辐射采用透镜系统12通过干涉滤光片13和偏振器17被聚焦，由部分反射表面16反射并经由具有高数值孔径(NA)(优选至少0.9或更优选至少0.95)的显微镜物镜15聚焦到衬底W上。浸没式散射仪甚至可以具有超过1的数值孔径的透镜。然后，所反射的辐射通过部分反射表面16透射入检测器18，以便检测散射光谱。检测器可以位于在透镜系统15的焦距处的后投影光瞳平面11上，然而，光瞳平面可以替代地以辅助的光学元件(未示出)在检测器上重新成像。所述光瞳平面是其中辐射的径向位置限定入射角而角位置限定辐射的方位角的平面。所述检测器优选为二维检测器，以使得可以测量衬底目标30的两维角散射谱。检测器18可以是例如电荷耦合器件(CCD)或互补金属氧化物半导体(CMOS)传感器的阵列，且可以采用例如每帧40毫秒的积分时间。

参考束经常被用于例如测量入射辐射的强度。为此，当辐射束入射到分束器16上时，辐射束的一部分通过所述分束器作为参考束朝向参考反射镜14透射。然后，所述参考束被投影到同一检测器18的不同部分上。

一组干涉滤光片13可用于在如405-790nm或甚至更低例如200-300nm的范围中选择感兴趣的波长。干涉滤光片可以是可调节的，而不是包括一组不同的滤光片。光栅可以被用于替代干涉滤光片。

检测器18可以测量单一波长(或窄波长范围)的被散射光的强度，所述强度在多个波长上是独立的，或者所述强度集中在一个波长范围上。进而，检测器可以独立地测量横向磁场(TM)和横向电场(TE)偏振光的强度和/或在横向磁场和横向电场偏振光之间的相位差。

能够采用给出大集光率的宽带光源(即具有宽的光频率范围或波长以及由此而生的色彩)，由此允许多个波长的混合。在宽带上的多个波长优选每个具有Δλ的带宽和至少2Δλ(即带宽的两倍)的间距。多个辐射“源”可以是已经被用光纤束分割的扩展辐射源的不同部分。以这样的方式，角分辨散射谱可以并行地在多个波长上被测量。可以测量包含比二维谱更多的信息的三维谱(波长和两个不同角度)。这允许更多的信息被测量，这增加量测过程的鲁棒性。这在EP1,628,164A中进行了更详细的描述，该文献以引用的方式整体并入本文中。

衬底W上的目标30可以是被印刷的光栅，以使得在显影之后，条纹为实抗蚀剂线的形式。所述条纹可以替代地被蚀刻到所述衬底中。该图案对于光刻投影设备(尤其是投影系统PL)中的色差和照射对称性敏感，且这种像差的存在将表明自身在所印刷的光栅中的变化。相应地，所印刷的光栅的散射仪数据被用于重构光栅。光栅的参数(例如线宽和线形)可以被输入到重构过程中，所述重构过程由处理单元PU根据印刷步骤和/或其他的散射仪过程的知识实现。

模型化

如上所述，目标位于衬底表面上。该目标经常采用光栅中一系列的线或二维阵列中的基本上矩形结构的形状。量测中的严格的光学衍射理论的用途是有效地计算从目标反射的衍射光谱。换句话说，获取目标形状信息用于CD(临界尺寸)一致性和重叠量测。重叠量测是一种测量系统，其中测量两个目标的重叠以便确定衬底上的两个层是否对准。CD一致性仅是光谱上的光栅一致性的测量，以确定光刻设备的曝光系统如何运转。具体地，CD，或临界尺寸，是被“写入”到衬底上的目标的宽度，并且是光刻设备能够物理写入衬底上的极限。

使用上述散射仪中的一种结合例如目标30等目标结构及其衍射属性的模型化，可以以多种方式执行所述结构的形状和其他参数的测量。在用图5表示的第一类型的过程中，计算基于目标形状(第一候选结构)的第一估计的衍射图案，并与观察到的衍射图案对比。然后系统地改变模型的参数，并且以一系列迭代重新计算衍射，以产生新的候选结构并因此达到最佳拟合。在图6表示的第二类型的过程中，事前计算多个不同候选结构的衍射光谱以产生衍射光谱的“库”。然后，从测量目标观察到的衍射图案与计算的光谱的库对比，以找出最佳拟合。两个方法可以一起使用：从库获得粗拟合，随后通过迭代过程找出最佳拟合。

更详细地，参照图5，将概要地描述执行目标形状和/或材料属性测量的方法。本说明书将假定目标是一维(1-D)周期结构。在实际应用中，其可以是二维周期结构，处理过程将因此而适应性地改变。

在步骤502中，通过使用例如上述的散射仪测量衬底上的实际目标的衍射图案。该测量的衍射图案输送给计算系统，例如计算机。计算系统可以是上面提到的处理单元PU，或可以是单独的设备。

在步骤503中，建立“模型处方”，其限定目标结构的以多个参数p_i(p₁、p₂、p₃等)表示的参数化模型。这些参数可以表示例如在一维周期结构中的侧壁角度、特征的高度或深度、特征的宽度等。目标材料和下面的层的属性还可以通过例如折射系数的参数(在散射辐射束中存在的特定波长条件下)表示。下面给出具体示例。重要的是，虽然目标结构可以通过几十种描述其形状和材料属性的参数限定，但是模型处方将这些参数中的许多限定成具有固定的值，同时其他参数是用于下面处理步骤的可变的或“浮动”参数。

在步骤504中：通过设定浮动参数(即p₁ ⁽⁰⁾、p₂ ⁽⁰⁾、p₃ ⁽⁰⁾等)的初始值p_i ⁽⁰⁾估计模型目标形状。每个浮动参数将在特定预定范围内生成，如在处方中所限定的。

在步骤506中，表示估计的形状的参数与模型的不同元素的光学属性一起，用于计算散射属性，例如通过使用严格的光学衍射方法(例如RCWA或麦克斯维方程的任何其他求解方法)。这给出所估计的目标形状的估计的衍射图案或模型衍射图案。

在步骤508和510中，所测量的衍射图案和模型衍射图案然后被对比，并且它们的相似性和差异性被用于计算模型目标形状的“价值函数”。

在步骤512中，假定价值函数表示模型在其精确表示实际的目标形状之前需要进行改进，估计新的参数p₁ ⁽¹⁾、p₂ ⁽¹⁾、p₃ ⁽¹⁾等，并迭代地反馈至步骤506。重复步骤506-512。

为了帮助搜索，步骤506中的计算可以进一步产生价值函数的偏导数，其表示在参数空间内的该特定区域内价值函数随着参数增大或减小而增大或减小的敏感性。在本领域，价值函数的计算和导数的使用基本上是已知的，这里将不详细描述。

在步骤514中，当价值函数表示该迭代过程已经以想要的精确度收敛到解时，则当前估计的参数被作为实际目标结构的测量结果报告。

该迭代过程的计算时间在很大程度由所用的前向衍射模型确定，即由所估计的目标结构使用严格的光学衍射理论计算所估计的模型衍射图案。如果需要更多的参数，则存在更多的自由度。原则上计算时间随着自由度的数量的幂增大。

在步骤506计算的所估计的衍射图案或模型衍射图案可以以多种形式表示。如果所计算的图案以相同的形式表示为在步骤510中产生的测量的图案，则对比被简化。例如，可以容易地将模型化的光谱与通过图3中的设备测量的光谱对比；模型化的光瞳图案可以容易地与通过图4中的设备测量的光瞳图案对比。

从图5向前的整个说明书中，在假定使用图4的散射仪的情况下，使用术语“衍射图案”。本领域技术人员可以容易地将这里的教导适应至不同类型的散射仪，或甚至其他类型的测量仪器。

图6示出替换的示例过程，其中事先计算不同的估计的目标形状(候选结构)的多个模型衍射图案，并将其存储在库里用以与实际的测量结果对比。下面的原理和术语与图5中的过程相同。图6过程的步骤如下：

在步骤602中，执行生成库的过程。可以为每种类型的目标结构生成单独的库。该库可以通过测量设备的用户根据需要来生成，或者可以通过设备供应商预生成。

在步骤603中，建立“模型处方”，其限定以多个参数p_i(p₁、p₂、p₃等)表示的目标结构的参数化模型。在此所要考虑的内容与迭代过程的步骤503中类似。

在步骤604中，生成第一组参数p₁ ⁽⁰⁾、p₂ ⁽⁰⁾、p₃ ⁽⁰⁾等，例如通过生成所有参数的随机值(每一个随机值在其预期的取值范围内)来实现。

在步骤606中，计算模型衍射图案并将其存储在库里，其表示根据由参数表示的目标形状所预期的衍射图案。

在步骤608中，生成一组新的参数p₁ ⁽¹⁾、p₂ ⁽¹⁾、p₃ ⁽¹⁾等。重复步骤606-608几十次、几百次，或甚至几千次，直到包括所有存储的模型衍射图案的库被充分地判定完成。每个存储的图案表示在多维参数空间内的样本点。库里的样本应该以充分接近地表示任何真实衍射图案的足够的密度位于样本空间中。

在步骤610中，在生成库之后(但是也可以是之前)，将真实目标30放置在散射仪中并测量其衍射图案。

在步骤612中，将测量的图案与存储在库内的模型图案对比以便找出最佳匹配图案。可以用库内的每个样本来实施该对比，或可以采用更加系统性的搜寻策略以减少计算负担。

在步骤614中，如果找出匹配，则用于生成匹配的库图案的估计的目标形状可以被确定为接近物体结构。与匹配样本对应的形状参数被输出为测量的形状参数。可以直接对模型衍射信号执行匹配过程，或对被优化用于快速评估的替代模型执行匹配过程。

在步骤616中，可选地，最接近的匹配样本被用作起始点，并且使用精选过程获得的最终参数用于报告。该精选过程可以包括与例如图5中示出的非常类似的迭代过程。

是否需要精选步骤616是执行者的选择。如果库里具有非常密集的样本，则可以不需要迭代精选，因为将总是能找到良好的匹配。另一方面，这种库对实际应用可能太大。因而实践中的解决方案是使用库搜寻得到粗略的一组参数，随后通过使用价值函数一次或更多次迭代确定更加精确的一组参数，以想要的精确度报告目标衬底的参数。在执行附加的迭代的情况下，可以选择在库内增加所计算的衍射图案和相关的精选的参数组作为新的条目。以此方式，可以初始地使用库，这是基于相对小的计算量，但是这可以导致建立使用精选步骤616的计算工作的更大的库。不管使用哪种方案，基于多个候选结构的匹配的优势还可以获得所报告的一个或更多个可变参数的值的进一步精选。例如，通过在两个或更多个候选结构的参数值之间插值可以得出最终报告的参数值，假定这些候选结构全部具有高的匹配分数。

该迭代过程的计算时间很大程度上由步骤506和606中的前向衍射模型确定，即，使用严格的光学衍射理论由所估计的目标形状计算所估计的模型衍射图案。

对于二维周期结构的CD重构，RCWA被普遍用在前向衍射模型中，同时微分法、体积积分法(VIM)、有限时域差分(FDTD)以及有限元法也已经被报道。傅里叶级数展开(例如在RCWA和微分法中使用的)也可以用于通过采用完美匹配层(PML)或其他类型的吸收边界在傅里叶展开使用所在的单位单元的边界附近朝向无穷远模仿辐射，来分析非周期结构。

法向矢量场

在严格的衍射模型化过程中，已经表明^[1]，通过引入在跨过材料界面上是连续的辅助中间场F来代替具有跨过这些界面的不连续分量的E场和D场，可以显著地改善解的收敛。被改善的收敛导致以更少的计算成本来得到更加精确的答案，这是光学散射仪中主要的挑战之一，尤其是对于二维周期衍射光栅。

通过使用所谓的法向矢量场、垂直于材料界面的虚拟矢量场用公式表示矢量场F。在RCWA的情形下用以生成法向矢量场的算法已经在文献^{[3] [5]}中报道。法向矢量场不仅与RCWA结合使用，而且与微分法结合使用。

然而，法向矢量场的方案的一个主要难点在于在整个计算域上实际生成法向矢量场本身。生成这种场存在非常少的限制条件，但是同时存在许多与其生成相关的开放问题。必须针对全部几何结构生成法向矢量场，不能在不考虑连接的材料界面的情况下在孤立的域上操作。已经通过使用施瓦兹-克里斯托弗变换(Schwartz-Christoffel transformation)^[3]提出了多种解，但是所有这些方法都遭受缺少对任何形状生成法向矢量场的灵活性或该灵活性以高的计算成本呈现^[5]。这两种情况对快速重构都是破坏性的，因为对于重构来说，在改变光栅结构的尺寸条件下保持连续变化的法向矢量场的追踪是重要的。这是因为不连续展开的法向矢量场可能会干扰支配重构过程的整个非线性求解器的收敛。另一个问题是，建立法向矢量场需要的时间。这种计算的开销应该尽可能小，以允许快速分析和重构。

体积积分方法

RCWA的一个主要问题是，其需要大量的中央处理单元(CPU)时间二维周期结构的存储器，因为一系列的特征值/特征矢量问题需要求解和级联。对于FDTD和FEM，CPU时间通常也太高。

已知的体积积分方法(如文献^[9](美国专利第6,867,866 B1号和美国专利第7,038,850 B2号)中公开的)是基于全部空间离散化方案或基于光谱离散化方案，所述全部空间离散化方案相对于网格细分显示出缓慢的收敛，所述光谱离散化方案相对于数量增大的谐波显示出差的收敛性。作为替代方案，已经提出了包含启发式方法以改进收敛性的光谱离散化方案^[9]。

对于VIM必须求解的线性系统相比于RCWA要大得多，但是如果以迭代的方式求解该线性系统，则仅需要矩阵矢量乘积以及存储若干个矢量。因此，存储器使用通常远低于RCWA。潜在的瓶颈是矩阵矢量乘积本身的速度。如果在VIM中应用李法则(Li rules)^[10][11]，则由于存在若干个逆子矩阵而使矩阵矢量乘积将慢得多。替代地，可以忽略李法则，并可以使用FFT到达快速矩阵矢量乘积，但是收敛性差的问题仍然存在。

图7示意地示出可以根据本发明的一个实施例重构的散射几何构型。衬底802是z方向上分层的介质的下部。图中示出其他层804和806。在x和y方向上是周期性的二维光栅808在图中被示出位于分层的介质顶部。x、y和z轴线如810所示。入射场812与结构802-808相互作用且被它们散射，由此导致反射场814。因此，该结构在x、y中的至少一个方向上是周期性的，并且包括例如在电磁场，E^tot(包括入射电磁场分量E^inc和散射电磁场分量E^s的和)中在相异材料之间的材料边界处引起不连续的相异属性的材料。

图8示出背景结构，图9示意地示出格林函数，其可以用以计算入射场和分层介质的相互作用。在图8和图9中，分层的介质802-806与图7中的相同结构对应。在图8中，x、y和z轴线与入射场812一起被示出。直接反射场902也被示出。参照图9，点源(x’，y’，z’)904表示产生场906的格林函数与背景的相互作用。在这种情况下，因为点源904在顶层806上方，因此仅存在一个来自顶层806与周围介质的顶界面的背景反射908。如果点源在分层介质内部，则将存在沿向上和向下方向的背景反射(未示出)两者。

将要求解的VIM关系式为

$E^{\mathrm{inc}}(x,y,z)=E^{\mathrm{tot}}(x,y,z)-\∫\∫\∫\stackrel{=}{G}(x,x^{\′},y,y^{\′},z,z^{\′})J^c(x^{\′},y^{\′},z^{\′}){\mathrm{dx}}^{\′}{\mathrm{dy}}^{\′}d{z}^{\′}---\left(0.1\right)$

J^c(x′，y′，z′)＝χ(x′，y′，z′)E^tot(x′，y′，z′)        (0.2)

在该方程中，入射场E^inc是入射角、偏振以及振幅的已知的函数，E^tot是未知的且计算解所针对的总电场，J^c是对照电流密度，

是格林函数(3×3矩阵)，χ是由jω(ε(x，y，z，)-ε_b(z))给出的对照函数，其中ε是结构的介电常数，ε_b是背景介质的介电常数。χ在光栅外部是零。

格林函数

是已知的，并且对于包括层802-806的分层的介质是可计算的。格林函数示出xy平面内的卷积和/或模式分解(m₁，m₂)，在

中沿z轴线的域计算负担是卷积。

为了离散化，总电场在xy平面内以Bloch/Floquet模式展开。与χ的乘法变成：(a)xy平面内的离散的卷积(二维FFT)；(b)z维度上的乘积。xy平面内的格林函数相互作用是每个模式的相互作用。在z维度上的格林函数相互作用是卷积，其可以使用具有复杂度O(NlogN)的一维(1D)FFT执行。

xy内的模式数量为M₁M₂，z维度上的样本数量为N。

有效的矩阵矢量乘积具有复杂度O(M₁M₂N log(M₁M₂N))并且存储复杂度为O(M₁M₂N)。

基于Krylov子空间方法，例如BiCGstab(l)(稳定化的双共轭梯度方法)，通过使用迭代求解器对Ax＝b执行VIM求解方法，该方法通常具有以下步骤：

将残余误差限定为r_n＝b-Ax_n

经由残余误差计算更新矢量v_n

更新解：x_n+1＝x_n+α_nv_n

更新残余误差r_n+1＝r_n-α_nAv_n

图10是求解与VIM方程对应的线性系统的高级方法的流程图。这是通过数值求解体积积分来计算结构的电磁散射属性的方法。在最高级的情况下，第一步骤是预处理1002，包括读取输入和准备FFT。下一步骤是计算解1004。最后，执行计算反射系数的后处理1006。步骤1004包括也在图10的右手侧示出的多个步骤。这些步骤是计算入射场1008、计算格林函数1010、计算更新矢量1012、更新解和残余误差(例如使用BiCGstab)1014以及测试看是否达到收敛1016。如果没有达到收敛，则控制回路返回至计算更新矢量的步骤1012。

图11示出计算更新矢量过程中与图10中使用现有技术已知的体积积分方法的步骤1012对应的步骤，其是通过数值求解电场E的体积积分方程来计算结构的电磁散射属性的方法。

在光谱域中，积分表达式以入射场和对照电流密度来描述总电场，其中对照电流密度与格林函数相互作用，即

$e^i(m_1,m_2,z)=e(m_1,m_2,z)-\underset{-\∞}{\overset{\∞}{\∫}}\stackrel{=}{G}(m_1,m_2,z,z^{\′})j(m_1,m_2,z^{\′})d{z}^{\′}---\left(1.1\right)$

其中

此外，

表示在z方向上平坦地分层的背景介质的光谱格林函数，e(m₁，m₂，z)表示在xy平面内写成光谱基形式的总电场E(x，y，z)的光谱分量，以及j(m₁，m₂，z)表示也在xy平面内写成光谱基形式的对照电流密度J^c(x，y，z)的光谱分量。

第二方程式是总电场和对照电流密度之间的关系，其实质上是由在结构中存在的材料限定的构成关系，即

J^c(x，y，z)＝jω[ε(x，y，z)-ε_b(z)]E(x，y，z)    (1.2)

其中J^c表示对照电流密度，ω是角频率，ε(x，y，z)是结构的介电常数，ε_b(z)是分层的背景的介电常数，E表示总电场，全被写成空间基(spatialbasis)形式。

直接的方法是将方程(1.2)直接转换为光谱域，如文献^[9]提出的，即

$j(m_1,m_2,z)=\underset{k=M_{1l}}{\overset{M_{1h}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=M_{2l}}{\overset{M_{2h}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\χ}}_s(m_1-k,m_2-l,z)e(k,l,z)---\left(1.3\right)$

其中，M_1l和M_2l是光谱下边界，M_1h和M_2h是光谱上边界，其被考虑用于E和J^c的有限的傅里叶表达式。此外，χ_s(k，l，z)是相对于横向(xy)平面的对照函数χ(x，y，z)的傅里叶系数。

步骤1102是重新整理四维(4D)阵列中的矢量。在该阵列中，第一维具有三个元素

和

第二维具有针对于m₁的所有值的元素。第三维具有针对于m₂的所有值的元素。第四维具有针对于z的每个值的元素。因此，四维阵列存储对照电流密度

的光谱(在xy平面内)表示。对于每种模式(即，同时对于z维度上所有取样点)，执行步骤1104至1112。从旁边的步骤1106向下的三个平行的点线箭头对应于计算方程(1.1)中的积分项，其是背景与对照电流密度的相互作用。这通过使用光谱域(相对于z方向)内的乘法以将

与空间(相对于z方向)格林函数的卷积来执行。

详细地，在步骤1104中，光谱对照电流密度

被取出作为三个一维阵列，分别针对于x、y和z中的每一个。在步骤1106中，通过将三个阵列中的每一个的一维FFT前向地计算至相对于z方向的光谱域以得出

开始卷积，其中k_z是相对于z方向的傅里叶变量。在步骤1108中，对照电流密度的截断的傅里叶变换通过空间格林函数

的傅里叶变换在光谱域(相对于z方向)内相乘。在步骤1110中，执行一维后向FFT以变换至相对于z方向的空间域。在步骤1112中，加上相对于z的空间域中的背景反射(见图9的908)。这种背景反射与格林函数的分离是常规技术，并且如本领域技术人员认识到的，该步骤可以通过增加秩-1(rank-1)投影来执行。随着每个模式被处理，则于是所计算的更新的散射电场的矢量(E_x，E_y，E_z)(m₂，m₂，z)在步骤1114中被放回四维阵列中。

随后对于每个样本点(即，同时对于所有模式)，执行步骤1116和1122。通过对每一个样本点z执行步骤1116至1122，图11中的从步骤1114向下的三个平行点线箭头对应三个二维阵列的处理，每一个分别用于E_x、E_y和E_z。这些步骤执行散射电场(E_x，E_y，E_z)(m₂，m₂，z)的光谱(在xy平面内)表达式与材料的属性的卷积，以计算对照电流密度相对于散射电场

的光谱(在xy平面内)表达式。这些步骤在仅将针对于e读取散射场而不是总的电场的意义上对应方程(1.3)。具体地，步骤1116获取三个二维阵列(二维是对于m₁和m₂)。在步骤1118中，对三个阵列中的每一个将二维FFT前向地计算至空间域中。在步骤1120中，三个阵列中的每一个乘以对照函数χ(x，y，z)的空间表达式，其通过傅里叶表达式的截断滤波。在步骤1122中，以后向至光谱(在xy平面内)域的二维FFT完成卷积，由此得出相对于散射电场

的光谱对照电流密度。在步骤1124中，所计算的光谱对照电流密度被放回到四维阵列中。

下一步骤是重新整理矢量的四维阵列1126，其与步骤1102“重新整理四维阵列中的矢量”不同，其中其是逆操作：每个一维标记与一个四维标记唯一相关。最后在步骤1128中，从输入矢量中减去从步骤1126输出的矢量，这对应于乘以对照函数χ(x，y，z)的方程(1.1)的右手边的减法。输入矢量是在图11中步骤1102处进入且包含

的矢量。

图11中描述的方法的问题在于，其导致差的收敛。这种差的收敛由用于截断的傅里叶空间表达式的对照电流密度和介电常数中的并发跳跃引起。如上所述，在VIM方法中，李的逆法则(Li inverse rule)不适于克服收敛问题，因为在VIM中由于VIM数值求解中需要极大量的逆运算，导致逆法则的复杂性带来极大的计算负担。本发明的实施例克服由于并发跳跃引起的收敛问题，而不依靠使用如李所描述的逆法则。通过避免逆法则，本发明的实施例不牺牲在VIM方法中以迭代形式求解线性系统所需的矩阵矢量乘积的效率。

图12示出本发明的一个实施例。其涉及数值求解对照电流密度J的体积积分方程。这通过使用场-材料相互作用算符M以对在电磁场E^S的连续分量和与电磁场E^S对应的被标定比例的电磁通量密度D^S的连续分量的运算以确定对照电流密度J的分量来执行，其中被标定比例的电磁通量密度D^S形成为电磁场E^S的不连续分量和对照电流密度J的不连续分量的被标定比例的和。该实施例通过选择E和J的分量使用与电场E^S和电流密度J相关的矢量场F^S的固有构造，其中矢量场F在一个或更多个材料边界处是连续的，以便确定电流密度J的近似解。矢量场F由相对于至少一个方向x、y的至少一个有限的傅里叶级数表示，并且数值求解体积积分方程的步骤包括：通过将矢量场F与场-材料相互作用算符M卷积来确定电流密度J的分量。场-材料相互作用算符M包括在至少一个方向x、y上的结构的材料和几何属性。电流密度J可以是对照电流密度，并且通过相对于至少一个方向上的至少一个有限傅里叶级数表示。此外，连续分量提取算符是作用在电场E和电流密度J上的卷积算符P_T和P_n。通过使用变换(例如选自包括快速傅里叶变换(FFT)和数论变换(NTT)的组的一个变换)来执行卷积。卷积算符M根据有限的离散卷积运算，以便得出有限的结果。因此，该结构在至少一个方向上是周期性的并且电磁场的连续分量、被标定比例的电磁通量密度的连续分量、对照电流密度的分量和场-材料相互作用算符在光谱域通过相对于所述至少一个方向的至少一个对应的有限傅里叶级数表示，并且所述方法还包括通过计算傅里叶系数来确定场-材料相互作用算符的系数。这里所述的方法也与基于连续函数而不是傅里叶域的那些函数的展开相关，例如基于作为伪谱法的普通类的表达式的切比雪夫(Chebyshev)多项式的展开，或基于Gabor基的展开。

图12示出通过采用以连续分量提取算符形成的中间矢量场F来求解电流密度J的VIM系统的步骤1202，以及后处理步骤1204，后处理步骤1204通过将格林函数算符作用在电流密度J上以获得总电场E。图12在右手边还示意地示出执行有效的矩阵矢量乘积1206至1220以迭代地求解VIM系统。这在步骤1206中由电流密度J开始。第一次设定J，可以从零开始。在起始步骤之后，通过迭代求解器和残差引导J的估计。在步骤1208中，计算格林函数G和对照电流密度J之间的秩-1投影和卷积以得出散射电场E^s。此外，在步骤1214中通过使用作用在散射电场E^s和电流密度J上的两个连续分量提取算符P_T和P_n来计算中间矢量场F。因此，在步骤1210中，第一连续分量提取算符P_T用于提取电磁场E^s的连续分量，在步骤1212中，第二连续分量提取算符P_n用于提取标定比例的电磁通量密度D^s的连续分量。在步骤1216中，场-材料相互作用算符(M)在被提取的连续分量上进行运算。步骤1214表示根据在步骤1210中获得的电磁场的连续分量和在步骤1212中获得的被标定比例的电磁通量密度的连续分量形成在材料边界处连续的矢量场F^s。通过使用场-材料相互作用算符M以在矢量场F^s上运算，执行确定对照电流密度的分量的步骤1216。对z维度中的每个样本点执行步骤1210至1216，其中经由FFT执行卷积。通过使用变换(例如选自包括快速傅里叶变换(FFT)和数论变换(NTT)的集合的一个变换)执行所述卷积。运算1218从J减去两个计算的结果J^s，在步骤1220中得出与入射电场E^inc相关的J^inc的近似值。因为步骤1206和1220产生更新矢量，随后后处理步骤1204用于产生总电场F的最终值。

可以在步骤1208而不是在单独的后处理步骤1204中记录全部更新矢量的和，以便计算散射电场E^s，并且后处理步骤变成仅将入射电场E^inc加至散射电场。然而，相比于迭代步骤1206至1220，该方法加大了所述方法的存储要求，而后处理步骤1204不增大存储或处理时间的成本。

图13a是根据本发明一个实施例的更新矢量的计算流程图。图13的流程图对应图12的右手边(步骤1206至1220)。

在步骤1302中，在四维阵列中重新整理矢量。

随后，对每一个模式m₁、m₂通过步骤1104至1114以与参照图11中对应的相同编号的步骤所描述的方式相同的方式来计算格林函数与背景的相互作用。

随后，对于z的每个样本点(即，对于每一层)，执行步骤1304至1318。在步骤1304中，由四维阵列获取二维阵列。这三个二维阵列(E_x，E_y，E_z)(m₁，m₂，z)对应于散射电场E的笛卡尔分量，每一个具有对应于m₁和m₂的两维。在步骤1306中，由(F_x，F_y，F_z)(m₁，m₂，z)表示的连续矢量场的卷积以对由(E_x，E_y，E_z)(m₁，m₂，z)表示的三个阵列中的每一个至空间域的前向二维FFT计算开始。在步骤1308中，由步骤1306获得的傅里叶变换(E_x，E_y，E_z)(x，y，z)在空间域内乘以空间乘法算符MP_T(x，y，z)，乘法算符MP_T(x，y，z)具有两个功能：首先其通过应用切向投影算符P_T、因此得出连续矢量场F的切向分量来筛选出散射电场的连续分量，以及，其次其通过将连续矢量场F与仅与散射场相关的对照电流密度J相关联的对照函数M执行乘法。

在步骤1114中被放在四维阵列中的散射电场(E_x，E_y，E_z)(m₂，m₂，z)被馈送至步骤1304(如上所述)和步骤1310(如下所述)。

在步骤1310中，对于z维度中的每个样本点(即，每一层)，散射电通量密度D的被标定比例的形式被形成为散射电场(从步骤1114得出)和对照电流密度的被标定比例的和，对照电流密度从步骤1302前馈，其后生成三个二维阵列，与光谱域中的笛卡尔分量D对应。在步骤1312中，执行这些阵列的二维FFT，由此得出空间域内的笛卡尔分量(D_x，D_y，D_z)(x，y，z)。在步骤1314中，这些阵列在空间域内乘以乘法算符MP_n，该乘法算符具有两个功能：第一个，被标定比例的通量密度的连续的法向分量被去除并得出连续矢量场的法向分量F，第二个，其通过将连续矢量场F仅与散射场相关的对照电流密度J相关联的对照函数M执行乘法。随后，在步骤1316中，将步骤1308和1314的结果组合以得出矢量场F的所有分量(即切向分量和法向分量)的运算MF的近似值。随后，在步骤1318中，通过二维FFT后向地将MF转换至光谱域，以得出光谱对照电流密度的近似值，用MF(m₁，m₂，z)表示。在步骤1320中，与散射场相关的光谱对照电流密度被放回四维阵列。

在步骤1320中，与散射场相关的所得到的光谱对照电流密度被放回四维阵列并随后在步骤1322中被转换回矢量。这意味着四维阵列的每个四维标记与矢量的一维标记唯一地相关。随后，在步骤1324中，从由步骤1302的输入前馈的总对照电流密度减去步骤1322的结果，完成与入射电场J^inc相关的已知的对照电流密度的近似值的计算。

参照图14，通过使用法向矢量场n滤除电磁场E的与至少一个材料边界相切的连续分量E_T和滤除电磁通量密度D的与至少一个材料边界成法向的连续分量D_n，由电磁场E的场分量和对应的电磁通量密度D的组合形成矢量场F 1404。通过使用第一连续分量提取算符P_T提取电磁场的连续分量E_T。通过使用第二连续分量提取算符P_n提取被标定比例的电磁通量密度的连续分量D_n。被标定比例的电磁通量密度D被形成为对照电流密度J的不连续分量和电磁场E的不连续分量的被标定比例的和。

在参考材料边界限定的结构的区域内生成法向矢量场n1402，如此处所述。在该实施例中，该区域延伸或跨过相应的边界。生成局部法向矢量场的步骤可以包括将该区域分解为多个子区域，每个子区域是选择为具有相应的法向矢量场的基本形状，以及可能的对应的闭合形式的积分。这些子区域法向矢量场通常是预限定的。替代地，它们可以在运算过程中限定，但是这需要附加的处理，因而需要额外的时间。可以预限定子区域法向矢量场以允许通过将给出法向矢量场的(笛卡尔)的分量作为输出的函数编程为子区域内位置的函数(作为输出)的数值积分。随后，该函数可以被求积分子程序访问以执行数值积分。该求积分法则可以布置成使得用相同的样本点(在子区域内的位置)计算全部傅里叶分量，以进一步缩短计算时间。在步骤1406中，执行法向矢量场在整个区域上的局部积分，以确定场-材料相互作用算符的系数，其在本实施例中是卷积及基变化算符(convolution-and-change-of-basis operator)C(方程(4)的C_ε)。在该实施例中，还通过使用该局部法向矢量场构造材料卷积算符M(在方程(4)和(5)中限定的jω[εC_ε-ε_bC_ε])。执行局部积分的步骤可以包括使用相应的预限定法向矢量场在每个子区域上求积分。

通过使用场-材料相互作用算符M来数值确定对照电流密度

的分量以在矢量场F上运算，并因此在电磁场的被提取的连续分量E_T和被标定比例的电磁通量密度的连续分量D_n上运算。因此可以通过使用对照电流密度的确定的分量

计算结构的电磁散射属性，例如反射系数，在本实施例中通过求解对照电流密度J^c的体积积分方程，以便确定对照电流密度的近似解。

该区域可以对应于对照源的支持集(support)。

生成局部的法向矢量场的步骤可以包括对连续分量中的至少一个标定比例。

标定比例步骤可以包括使用在材料边界处连续的标定比例函数(α)。

标定比例函数可以是恒定的。标定比例函数可以等于背景介电常数的逆。

标定比例步骤还可以包括使用在材料边界处连续的标定比例算符(S)，以计算各向异性的材料属性。

标定比例函数可以是非零的。标定比例函数可以是恒定的。标定比例函数可以等于背景介电常数的逆。

标定比例可以配置成使得电磁场的连续分量和电磁通量密度的连续分量在该区域外部是不可分辨的。

生成局部法向矢量场的步骤可以包括在矢量场上直接使用变换算符(T_n)以将矢量场从依赖于法向矢量场的基转换为不依赖于法向矢量场的基。

所述不依赖于法向矢量场的基可以是电磁场和电磁通量密度的基。

此外，对于二维周期前向散射问题，电场的光谱域体积积分等式可以用于计算反射系数。

期望具有对于基于精确且有效的对照电流密度的体积积分方程可用的光谱公式化途径。在“连续矢量场VIM方法”中通过采用以FFT形式改写的傅里叶因数分解法则和通过为未知的基本原则引入在材料边界处是连续的、电场和电通量密度之间混合形式的新基可以获得精确性和速度改善。然而，这种连续矢量场VIM方法不能被直接应用在CSI公式中，因为基本的未知量J的选择通过CSI描述。而且，对照电流密度J的所有分量在材料边界处总是不连续的。因此，这种方法的速度和精确性不能被用于CSI型的公式。

连续矢量场VIM方法的关键点是用辅助场F表示电场E和对照电流密度J。在发明的实施例中，可以首先用J表示辅助场F，然后使用先前建立的J和F的关系。前面的步骤基于散射电场的积分表达式、在一边的电通量密度和电场与另一边的对照电流密度之间的关系以及投影算符P_n和P_T。对于各向同性的介质的最简单的情况，可以得出

J＝MF＝M(P_TE+ωαP_nD)＝M[P_T(E^inc+GJ)+αP_n(ε_bE^inc+ε_bGJ+J/(jω))]

其中G表示格林函数算符。

在重新布置各项之后，可以得出

M[P_TE^inc+αP_nε_bE^inc]＝J-M[P_T(GJ)+αP_n(ε_bGJ+J/(jω))]

这是对照电流密度的体积积分方程。该积分方程由于存在投影算符P_n和P_T而与经典的那个不同。这些算符，例如M，具有FFT形式的有效的矩阵矢量乘积。通过将投影算符和M组合为单个算符，即MP_T和MP_n，在全矩阵矢量乘积中的FFT量被减少。因为FFT是算法的主要计算负荷，因此这种省略步骤直接转化为计算时间的缩短。

在图13b中示出对照电流密度的对应的矩阵矢量乘积。

可以如图13c示出的那样执行算符MP_T和MP_n。

局部法向矢量场

如上所述，类似文献^[1]中引入的，法向矢量场的概念已经在几种计算架构中被采用，尤其是积分法(DM)和严格耦合波分析(RCWA)中被采用。这种概念背后的基本想法是，法向矢量场可以用作对于电场E和电通量密度D的分量的滤波器。通过这种滤波器，可以提取互补的E和D的连续分量，并构造在任何位置上连续的矢量场F，其中对应于仍在研究中的散射物体的角部和几何边缘的孤立的点和线可以除外。在普通的三维处理之后，第3节提供二维法向矢量场(在晶片的xy平面内)的详细的分析。后者沿晶片法向(z轴线)与三维几何结构的切分策略兼容，与RCWA中采用的切分策略类似。

本发明的一个实施例提供局部法向矢量场。这允许具有基本构造块的分割和连接技术，所述基本构造块允许对更加复杂的形状快速和灵活地生成法向矢量场。本发明的实施例通过采用具有作为参数的函数连续地变化的法向矢量场的参数化的构造块(例如在迭代重构期间改变光栅结构的尺寸)解决上面有关在参数如上所述地改变的条件下的设定或调整时间以及连续性的问题。

1.法向矢量场的公式表示

在文献^[1]中可以找到用于讨论的合适的切入点。在该文献中具有积极意义的主要想法之一是在整个计算域上引入法向矢量场n(x，y，z)。该法向矢量场满足两个条件：

●其指向每个材料界面的正交方向

●其在空间内每个点处具有单位长度

除此之外，不存在其他限制条件来限定该矢量场，但是包括其他的属性是有利的，例如一些形式的连续性。一旦已经构造法向矢量场，则可以生成两个切向矢量场t₁(x，y，z)和t₂(x，y，z)，使得{n，t₁，t₂}在计算域内每个点处形成正交基。例如，令n_x和n_y是法向矢量场的分量x和y，则t₁可以构造为：

t₁＝-n_yu_x+n_xu_y，(1)

其中，u_x和u_y分别表示沿x和y方向的单位矢量。最后，通过n和t₁之间的叉积生成矢量场t₂。

矢量场n可以用于滤除电通量密度的不连续分量，这得出连续标量场D_n＝(n，D)，其中(·，·)表示标量积。切向矢量场可以用于提取电场的连续分量如下

E_T＝(E，t₁)t₁+(E，t₂)t₂.        (2)

由文献^[1]，此时矢量场F可以构造为

$F=E_T+D_{n}n=(E,t_1)t_1+(E,t_2)t_2+(n,D)n=F_{t_1}{t}_1+F_{t_2}{t}_2+F_{n}n,---\left(3\right)$

其在任何位置都是连续的，其中对应于介电常数函数的几何结构中的角部和边缘的孤立的点和线可以除外。

这种矢量场F的关键的优点在于，其连续性允许经由传统的卷积法则实现在光谱基内的场-材料相互作用。因此，首要的是，建立在一边的E、D与另一边的F之间的关系，即在文献^[1]中提到的，这个想法是为了建立关系式

E＝C_εF，(4)

D＝εC_εF.(5)

2.朝向局部法向矢量场

2.1投影算符架构

为了对滤除电通量密度和电场的分量的过程进行公式化，引入算符P_n如下

P_nv＝(n，v)n，(6)

其中v是任意三维矢量场。通过法向矢量场n的属性，可以观察到，P_n是投影算符，因而其是幂等的，即P_nP_n＝P_n。类似地，引入算符P_T

P_Tv＝(v，t₁)t₁+(v，t₂)t₂，    (7)

它也是投影算符。使用这些算符，矢量场F被构造为

F＝P_TE+P_nD.        (8)

除了幂等属性，投影算符P_T和P_n具有一些其他有用的属性。首先，具有P_T＝I-P_n，其中I是幺元(identity)算符。这个属性表明，法向矢量场本身足以生成算符P_n和算符P_T，这已经由切向矢量场的构造观察到。其次，算符P_T与P_n相互正交，即P_TP_n＝P_nP_T＝0。

2.2引入标定比例函数

引入法向矢量场形式^[1]的概念的第一个改进在于，可以对矢量场F的分量标定比例(scale)。该标定比例可以采用多种形式，但是为了简明，将讨论矢量场F的法向分量的标定比例，即

F＝E_T+αD_nn，        (9)

其中α是非零标定比例函数，其跨过界面是连续的。标定比例的结果是双重的。首先，可以将矢量场F的分量的标度变为相同的量级。这将改善线性系统C_ε和εC_ε的调节。其次，更重要的是，其对法向矢量场n的局域性具有深远的结果，下面将详细介绍。实际上，第二方面很重要，以致于通常将掌控标定比例的选择，甚至导致非最优化的调节。

2.3场-材料相互作用

下面将示出这些算符P_n和P_T可以如何用于由矢量场F构造方程(4)中的算符。为此，我们从在一边的电场和电通量密度同在另一边的矢量场F的定义之间的空间域关系开始。得出下面的关系式

D＝M_εE，(10)

$E=M_{{\mathrm{\ϵ}}^{-1}}D,---\left(11\right)$

F＝P_TE+αP_nD，(12)

其中，M_ε是与通常是各向异性的介电常数张量ε相乘的空间乘法算符，

是与介电常数张量的(逐点)逆相乘的乘法算符。

首先，建立在E和F之间的关系。因为已经具有

E＝P_nE+P_TE，(13)

P_TF＝P_TE，(14)

$\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_{n}F=P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}E=\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)E+\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T\right)E=\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)E+\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T\right)F.---\left(15\right)$

在重新布置后面的方程并采用P_n的幂等性之后，得到

$P_{n}E={\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T)F,---\left(16\right)$

其中，(P_nM_εP_n)^-1是在P_n范围上(P_nM_εP_n)的逆，即(P_nM_εP_n)^-1(P_nM_εP_n)＝P_n。

因此，方程(4)中的线性算符C_ε由下式给出

$E=C_{\mathrm{\ϵ}}F=[P_T+{\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T)]F.---\left(17\right)$

此外，采用关系式P_T＝I-P_n和(P_nM_εP_n)^-1(P_nM_εP_n)＝P_n，得出

$C_{\mathrm{\ϵ}}=I+{\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}})=I+M_{\mathrm{\ξ}}{P}_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-M_{\mathrm{\ϵ}}),---\left(18\right)$

其中，引入符号M_ξP_n＝P_nM_ξ＝(P_nM_εP_n)^-1，其中M_ξ是标量乘法算符。

以类似的方式，可以得出在电通量密度和矢量场F之间的关系：

$D=P_{n}D+P_{T}D=\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_{n}F+P_{T}D,---\left(19\right)$

P_TD＝P_TM_εE＝P_TM_εP_TE+P_TM_εP_nE＝P_TM_εP_TF+P_TM_εP_nE.(20)

在第二个方程中，可以采用方程(16)消除E，即

$P_{T}D=P_T{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_{T}F+P_T{M}_{\mathrm{\ϵ}}{\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T)F.---\left(21\right)$

因而，

$D=\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{\ϵ}}F=[\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n+P_T{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T+P_T{M}_{\mathrm{\ϵ}}{\left(P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_n\right)}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{P}_T)]F$ (22)

$=[\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n+P_T{M}_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}}]F.$

通过在方程(18)中再次采用关系式P_T＝I-P_n和C_ε的表示，得到

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{\ϵ}}=M_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}}+P_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-M_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}})=M_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}}+(\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}})$ (23)

$=M_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}}+[\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}+P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}{M}_{\mathrm{\ξ}}{P}_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-M_{\mathrm{\ϵ}})]\·$

由于该属性

P_nM_εM_ξP_n＝P_nM_εP_nM_ξ＝(P_nM_εP_n)P_nM_ξ＝P_n，(24)

最后，得出

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{\ϵ}}=M_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}}+\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n-P_n{M}_{\mathrm{\ϵ}}+P_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-M_{\mathrm{\ϵ}})=M_{\mathrm{\ϵ}}{C}_{\mathrm{\ϵ}}.---\left(25\right)$

在后一算符表达式中，算符乘积M_εC_ε被看作单个乘法算符是必要的。另一方面，因为M_ε和C_ε在空间域内具有并发的跳跃，李法则背后的基本原理不再有用。

由方程(18)和(25)中的C_ε和εC_ε的表达式，可以观察到，投影算符(包括其M_ξ的形式)仅与算符

组合出现。因此，原则上，后一算符的支撑集确定生成算符C_ε和εC_ε的系数所需要的法向矢量场n所在的域。

2.3.5边界顺应的各向异性

在用于电磁散射的其他模型化方法中，介质参数的各向异性的方向用球坐标系表示，不考虑散射物体的几何形状。

使用各向异性介质的一个重要的应用涉及线边缘粗糙度(LER)或线宽度粗糙度。虽然LER可以沿线被模型化为三维变形，这种严格的模型化方法通常非常花费时间。因此，通常通过有效的介质近似来模型化LER，其中转换层捕捉包含粗糙度的线的部分。这种转换层被最佳地模型化为各向异性介质。各向异性的方向通常依赖于粗糙度的几何特征，例如见文献^[12]。因为线自动地与笛卡尔坐标系对准，所以边界顺应的各项异性自动地等于沿坐标轴的各项异性。

在其他方法中，不依赖于散射几何限定各向异性。关于边缘粗糙度，各向异性的有效介质模型对线是已知的，但是对于其他几何形状(例如具有圆形截面或椭圆形截面的接触孔)是未知的。

本发明的实施例采用法向矢量场以达到更好的数值收敛。实施例可以具有相对于水平和垂直方向对双折射介质进行模型化的能力。可以处理更广义的各向异性介质，其中各向异性的方向沿边界和图案的边界的法向指向，即各向异性是边界顺应的。遵循LER有效介质方法^[12]的推理线路，这些类型的各向异性提供对有效介质方法的自然延伸，其例如被用于模型LER。而且，不需要附加的处理，因为在如这里所述的所使用的法向矢量场方法内已经确定每个边界的法向。

由方程(12)我们将矢量场F限定为：

F＝P_TE+αP_nD    (25.1)

并且，已经具有通量密度和场强度之间的关系，为

D＝M_εE    (25.2)

此外，我们限定介电常数的边界顺应的各向异性为

M_ε＝ε_nP_n+ε_TP_T，(25.3)

其可以被解释为沿几何形状的法向方向的介电常数和沿该相同几何形状的切向方向的不同的介电常数。

一边的通量密度D和场强度E可以与另一边的辅助场F相关联。得到

$E=[I+(\frac{1}{\mathrm{\α}{\mathrm{\ϵ}}_n}-1)P_n]F---\left(25.4\right)$

$D={\mathrm{\ϵ}}_T[I+(\frac{1}{\mathrm{\α}{\mathrm{\ϵ}}_T}-1)P_n]F---\left(25.5\right)$

如在此讨论的，这些关系式维持用于局部地限定法向矢量场的自由度并且对介电常数仅在乘法因子方面具有小的变化。

对于二元光栅或沿垂直方向近似阶梯的情形，通过将P_T算符分为垂直的和水平部分，即P_T＝P_z+P_T1，可以进一步延伸边界顺应的各向异性，其中后两个算符是相互正交的。这样，介电常数可以甚至具有边界顺应的各向异性的三个方向，由下式给出

M_ε＝ε_nP_n+ε_TP_T1+ε_zP_z    (25.6)

以F表示E的关系式与上面的方程(25.4)保持一致。D的表达式变成

$D=[\frac{1}{\mathrm{\α}}{P}_n+{\mathrm{\ϵ}}_T{P}_{T1}+{\mathrm{\ϵ}}_z{P}_z]F---\left(25.7\right)$

假定这种类型的各向异性仅局限于沿边界的层，则法向矢量场保持局部并且算符P_T1和P_z已经是可以用的。

因此，通过在生成局部法向矢量场且局限在材料边界的区域内使用介电常数的沿材料边界的法向的分量ε_n以及介电常数的沿材料边界的切向的至少一个其他不同的分量ε_t、ε_z，将电磁通量密度与电场相关联。

该实施例扩大了有效介质方法的范围，例如，在弯曲边界上的边缘粗糙度。而且，不需要额外的处理以建立该模型，因为所有的因素都是可用的。因而，没有耗费额外的时间在建立相应的算法和数值问题上。

因为边界顺应的各向异性是处理边缘粗糙度的合适方法，这导致涉及边缘粗糙度的CD重构过程的显著加速。

2.4矢量场基的选择

以上，已经观察到，通过在矢量场F的分量之间选择正确的标定比例，法向矢量场有潜在可能被局域化。然而，对于典型的麦克斯韦求解器，切向矢量场和法向矢量场不表示求解器的分量。在许多情形中，笛卡尔基更合适，例如在VIM、RCWA或微分法中。因为投影算符不改变矢量场的基，所以可能需要电通量密度和电场的附加转换，以达到所需的用于麦克斯韦求解器的基。类似的评述也适用于介电常数算符M_ε，其通常用笛卡尔坐标表示。因此，如果基不同，算符M_ε必须也被转换。注意到，算符M_ξ还包含算符M_ε。然而，因为M_ξ是标量乘法，其最终的形式不依赖于所选择的基。此外，在方程(6)中给出的投影算符P_n的定义不依赖于所选择的基，尽管其实际的矩阵表达式依赖于法向矢量场所选择的基。因此，选择将P_n写成不依赖于基的算符。

现在引入变换算符T_n，其将用法向和切向基表示的矢量场转换成例如用于电场、电通量密度以及介电常数算符M_ε的笛卡尔矢量场。则可以写出电场，在笛卡尔坐标中表示为

$E=T_n{C}_{\mathrm{\ϵ}}F=T_n[I+M_{\mathrm{\ξ}}{P}_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-T_n^{-1}{M}_{\mathrm{\ϵ}}{T}_n)]F=[T_n+T_n{M}_{\mathrm{\ξ}}{P}_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-T_n^{-1}{M}_{\mathrm{\ϵ}}{T}_n)]F,---\left(26\right)$

其中，我们假定F写成法向和切向基的形式。

直接结果是，由于在C_ε中存在幺元算符，在整个计算域上需要法向矢量场和切向矢量场。然而，由于M_ε也包含相同的基转换，还可以重新整理上面的关系式为

$E=T_n{C}_{\mathrm{\ϵ}}F=[T_n+T_n{M}_{\mathrm{\ξ}}{P}_n(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-T_n^{-1}{M}_{\mathrm{\ϵ}}{T}_n)]F$ (27)

$=[T_n+T_n{M}_{\mathrm{\ξ}}{P}_n{T}_n^{-1}(\frac{1}{\mathrm{\α}}I-M_{\mathrm{\ϵ}})T_n]F={\tilde{C}}_{\mathrm{\ϵ}}{T}_{n}F={\tilde{C}}_{\mathrm{\ϵ}}\left(T_{n}F\right),$

其中，已经引入了算符

这表示，变换算符可以直接地作用在F上，其又潜在地导致局部法向矢量场，只要将T_nF考虑为未知，即直接以E和D的基的形式写F。由于上面示出的

关系，对εC_ε类似的求导给出

$D=T_n\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{\ϵ}}F=T_n\left(T_n^{-1}{M}_{\mathrm{\ϵ}}{T}_n\right)C_{\mathrm{\ϵ}}F=M_{\mathrm{\ϵ}}{T}_n{C}_{\mathrm{\ϵ}}F=M_{\mathrm{\ϵ}}{\tilde{C}}_{\mathrm{\ϵ}}{T}_{n}F=\mathrm{\ϵ}{\tilde{C}}_{\mathrm{\ϵ}}\left(T_{n}F\right),---\left(28\right)$

2.5各向同性介质

要考虑的一个重要的类是各项同性介质。对于这种介质，乘法算符M_ε是标量乘法器，其相等地作用在场的每个分量上。因此，转换T_n对M_ε没有影响。此外，C_ε和εC_ε的关系式被极大地简化。对于各向同性的情形，现在考虑在笛卡尔坐标中表示F以及E和D的结果。对于这种情形，已有

$E={\tilde{C}}_{\mathrm{\ϵ}}F=I+T_n{P}_n{T}_n^{-1}(M_{\frac{1}{\mathrm{\α\ϵ}}}-I)F,---\left(29\right)$

$D=\mathrm{\ϵ}{\tilde{C}}_{\mathrm{\ϵ}}F=M_{\mathrm{\ϵ}}+T_n{P}_n{T}_n^{-1}{M}_{\mathrm{\ϵ}}(M_{\frac{1}{\mathrm{\α\ϵ}}}-I)F,---\left(30\right)$

其中我们引入乘法算符

作为(标量)函数1/(αε)的逐点乘法，这导致幺元算符的标量乘法。因此，

$M_{\frac{1}{\mathrm{\α\ϵ}}}-I=(\frac{1}{\mathrm{\α\ϵ}}-1)I.---\left(31\right)$

此时α存在多个选择：

将α选择为恒等于1/ε_b，即(局部)背景介电常数的逆。这导致在介电常数与背景介电常数不同的区域内，即在对照函数不是零的区域内，仅需要法向矢量场的后果。如果在光栅结构中仅存在两种介质，其中之一是背景材料，则这种选择尤其是感兴趣的。

第二种选择也将α选择为常数。然而，依赖于光栅的结构，可能更有利的是，选择不同的常数。一种重要的情形是光栅，在所述光栅中背景的介电常数在不跨过单位单元边界的域内。这例如是抗蚀剂中的圆形接触孔的情形，其中接触孔的填充材料被选择为背景介质。则这种选择导致对于在一个圆上的法向矢量场的较简单的公式，这与具有被省略的一个圆形的单位单元的法向矢量场相反，后者计算所得的积分要难得多。

第三种选择是通过三线性插值或通过高斯窗口平均让α为连续函数，使得其成为原始逆介电常数函数的平滑形式。在这种情况下，仅在材料之间的界面附近的方向上需要法向矢量场，并且法向矢量场变得甚至更加局域化。然而，必须计算的所得的积分通常更难。通过选择从哪里开始逐步将一个介电常数改变成另一的转换，可以以仅在两个介质之间的界面的一侧上需要的局部法向矢量场结束。

通常，如果存在其他接近的结构，则更难以进入边界外部，因为这将使得分割和连接策略复杂得多，下面将进行介绍。

2.6各向同性介质的场-材料相互作用系数的表示式

现在我们更仔细地研究场-材料相互作用算符和

假定电场、电通量密度、矢量场F以及法向矢量场n用它们的笛卡尔分量写出。则由方程(29)得出下面的空间关系

$\left(\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& C_{\mathrm{xy}}& C_{\mathrm{xz}}\\ C_{\mathrm{yx}}& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{yz}}\\ C_{\mathrm{zx}}& C_{\mathrm{zy}}& C_{\mathrm{zz}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right),---\left(32\right)$

其中，

$C_{\mathrm{xx}}=1+n_x^2(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(33\right)$

$C_{\mathrm{xy}}=n_x(x,y,z)n_y(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(34\right)$

$C_{\mathrm{xz}}=n_x(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(35\right)$

$C_{\mathrm{yx}}=n_x(x,y,z)n_y(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(36\right)$

$C_{\mathrm{yy}}=1+n_y^2(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(37\right)$

$C_{\mathrm{yz}}=n_y(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(28\right)$

$C_{\mathrm{zx}}=n_x(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(39\right)$

$C_{\mathrm{zy}}=n_y(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(40\right)$

$C_{\mathrm{zz}}=1+n_z^2(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)\mathrm{\ϵ}(x,y,z)}-1],---\left(41\right)$

和

$\left(\begin{array}{c}{D}_x\\ D_y\\ D_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xx}}& \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xy}}& \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xz}}\\ \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{yx}}& \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{yy}}& \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{yz}}\\ \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{zx}}& \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{zy}}& \mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{zz}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{F}_x\\ F_y\\ F_z\end{array}\right)---\left(42\right)$

其中

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xx}}=\mathrm{\ϵ}(x,y,z)+n_x^2(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,x)],---\left(43\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xy}}=n_x(x,y,z)n_y(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(44\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xz}}=n_x(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(45\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xx}}=n_x(x,y,z)n_y(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(46\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{yy}}=\mathrm{\ϵ}(x,y,z)+n_y^2(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(47\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{yz}}=n_y(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(48\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{zx}}=n_x(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(49\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{yz}}=n_y(x,y,z)n_z(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(50\right)$

$\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{zz}}=\mathrm{\ϵ}(x,y,z)+n_z^2(x,y,z)[\frac{1}{\mathrm{\α}(x,y,z)}-\mathrm{\ϵ}(x,y,z)],---\left(51\right)$

因为电场E、电通量密度D以及辅助矢量场F的所有分量在x和y方向上以光谱基的形式表示，例如

$\left(\begin{array}{c}{E}_x(x,y,z)\\ E_y(x,y,z)\\ E_z(x,y,z)\end{array}\right)=\underset{m_1=M_{1l}}{\overset{M_{1h}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m_2=M_{2l}}{\overset{M_{2h}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}{e}_x(m_1,m_2,z)\\ e_y(m_1,m_2,z)\\ e_z(m_1,m_2,z)\end{array}\right)\exp \{-j[(k_x^{m_1,m_2}+k_x^i)x+(k_y^{m_1,m_2}+k_y^i)y\left]\right\},---\left(52\right)$

其中

和

依赖于周期的方向，

和

依赖于入射场的入射角。在光谱基中，上面的场-材料相互作用变成xy平面内的卷积。例如，对于i，j∈{x，y，z}，我们有

$Q_i(x,y,z)=C_{\mathrm{ij}}(x,y,z)F_j(x,y,z)\↔q_i(m_1,m_2,z)=\underset{l_1=M_{1l}}{\overset{M_{1h}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l_2=M_{2l}}{\overset{M_{2h}}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ij}}(m_1-l_1,m_2-l_2,z)f_j(l_1,l_2,z),---\left(53\right)$

其中

$c_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2,z)=\frac{1}{\left|\right|S\left|\right|}\underset{S}{\∫\∫}{C}_{\mathrm{ij}}(x,y,z)\exp \left[j(k_x^{m_1,m_2}x+k_y^{m_1,m_2}y)\right]\mathrm{dxdy},---\left(54\right)$

其中，S表示xy平面内的单位单元，||S||表示其面积。这意味着，必须计算在系数C_ij和εC_ij的xy平面内对i，j∈{x，y，z}的傅里叶积分。对于法向矢量场和散射几何构型的某种组合，这可以以闭合的形式实施，例如对第3节中的圆形和矩形。对于更加一般的形状，这些系数可以通过网格策略(第4节)或通过数值积分(第5节)来逼近。

2.7二元双折射和阶梯光栅

第二类重要问题是光栅材料具有双折射材料属性的情况，其中各向异性的轴线是z轴线，即

$\mathrm{\ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{xx}}& {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yx}}& {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yy}}& {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zx}}& {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zy}}& {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{zz}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\ϵ}}_T& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\ϵ}}_T& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\ϵ}}_N\end{array}\right),---\left(55\right)$

其中ε_T和ε_N原则上是x、y和z的功能。

现在考虑二元光栅的情形，其在区间z∈[z_l，z_h]上具有沿z轴线的不变的横截面，以及不依赖于z的介电常数分布。对于这种二元光栅，我们选择一个切向矢量场沿z轴线对准，即t₂＝u_z。这意味着，n和t₁是二维矢量场，即其z分量是零。在这种选择的情况下，xy平面内的法向矢量场问题又成为各向同性问题，并且对标定比例参数α的考虑此时与第2.5节中的那些非常类似，例如对于两个介质问题，应该相对于物体的内部或外部的ε_T对电通量密度标定比例，使得被标定比例的电通量密度变成与单位单元的专门部分中的电场一致。

对于更加普遍的光栅几何形状，可以相对于z方向应用光栅的阶梯近似。则，所述光栅由一系列的二元光栅构成，对于这些二元光栅中的每一个可以遵循上面简要说明的策略。

3.具有椭圆和矩形横截面的二元光栅的局部法向矢量场

在本节中，对于二元的二维形状，即矩形和椭圆形，得出C_ε和εC_ε的光谱表达式。这些形状通常被遭遇作为二维晶片量测结构中的整体的或基本的构造块。求导将给出法向矢量场(NV)的构造，以及C_ε和εC_ε的矩阵元素的傅里叶积分的随后的计算。对于给出的轮廓，存在唯一的法向矢量场。无限多个NV场可以被构造，它们具有单位长度并且垂直于轮廓。应该看到，对于具体选择的重要的动机是得出C_ε和εC_ε的傅里叶系数的解析表示式的可能性。此外，NV场中的奇异点的数量应该被最小化以优化傅里叶级数的收敛。椭圆形和矩形很幸运具有傅里叶积分的解析表示式。

3.1任意单位单元的傅里叶积分

在二维情况中，点阵的周期性通过其布拉维(Bravais)点阵矢量(a₁，a₂)描述。在

R＝n₁a₁+n₂a₂，            (56)

上的位移导致等同的点阵位置。具有与布拉维点阵相同的周期的平面波将具有满足以下条件的波矢量K

$e^{\mathrm{iK}\·(r+R)}=e^{\mathrm{iK}\·r}\⇒e^{\mathrm{iK}\·R}=1.---\left(57\right)$

满足该条件的全部波矢量的空间被称为倒数点阵(reciprocal lattice)。该空间由以下两个原始(primitive)矢量跨过

$b_1=\frac{2\mathrm{\π}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\left(\begin{array}{c}{a}_{2y}\\ -a_{2x}\\ 0\end{array}\right),---\left(58\right)$

$b_2=\frac{2\mathrm{\π}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\left(\begin{array}{c}-a_{1y}\\ a_{1x}\\ 0\end{array}\right),---\left(59\right)$

其满足正交条件

b_i·a_j＝2πδ_ij，    (60)

由上式可以检验方程(2)。在任意的二维点阵中的傅里叶积分在此用倒数点阵中的波矢量相对于平面波的基限定。

$F(x,y)=\underset{m_1,m_2=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{f}_{m_1,m_2}{e}^{-i(m_1{b}_1+m_2{b}_2)\·r},---\left(61\right)$

其中由下面的积分得出傅里叶系数

$f_{m_1,m_2}=\underset{\mathrm{unitcell}}{\∫\∫}F\left(r\right)e^{i2\mathrm{\π}(m_1{b}_1+m_2{b}_2)\·r}d{\mathrm{\η}}_{1}d{\mathrm{\η}}_2,---\left(62\right)$

其中，0≤η_i＝a_i/|a_i|≤1是跨过每个布拉维点阵矢量的无量纲数。转换至笛卡尔坐标系给出

$f_{m_1,m_2}=\frac{1}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\underset{\mathrm{unitcell}}{\∫\∫}F\left(r\right)e^{i2\mathrm{\π}(m_1{b}_1+m_2{b}_2)\·r}\mathrm{dxdy},---\left(63\right)$

方程(54)中的二维积分此时被写成

$c_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2,z)=\frac{1}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\underset{\mathrm{unitcell}}{\∫\∫}{C}_{\mathrm{ij}}(x,y,z)e^{i[b_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)x+b_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)y]}\mathrm{dxdy},---\left(64\right)$

其中

$b_e=\left(\begin{array}{c}{m}_1{b}_{1x}+m_2{b}_{2x}\\ m_1{b}_{1y}+m_2{b}_{2y}\end{array}\right),---\left(65\right)$

是投影到笛卡尔轴上的倒数点阵矢量。

参照C_ij的表示式，方程(33)-(41)，可以看到，对角元素包含在整个单位单元上的单位一的傅里叶积分以及法向矢量分量与标定比例因子α(x，y，z)和介电常数ε(x，y，z)的位置依赖函数的积的傅里叶积分。第一积分，即在整个单位单元上的单位一的积分，等于

当标定比例因子α被选择为等于1/ε_b时，第二积分对于各向同性介质的情形可以大大简化。该函数在对照源的支撑集外部为零，在支撑集内部是常数。傅里叶系数c_ij(m₁，m₂，z)在此可以用积分表示：

${\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2,z)=\frac{1}{(a_{1x},a_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\underset{\mathrm{support}}{\∫\∫}{n}_i(x,y,z)n_j(x,y,z)e^{i[b_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)x+b_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)y]}\mathrm{dxdy}.---\left(66\right)$

这将C_ij(方程(33)-(41))的光谱表达式简化为

$c_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2,z)={\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\δ}}_{m_1,0}{\mathrm{\δ}}_{m_2,0}+(\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b}{{\mathrm{\ϵ}}_r}-1){\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2,z),---\left(67\right)$

将εC_ε(方程(43)-(51))的光谱表达式简化为

$\left[\mathrm{\ϵ}{C}_{\mathrm{xx}}\right]={\mathrm{\ϵ}}_b{\mathrm{\δ}}_{m_1,0}{\mathrm{\δ}}_{m_2,0}+({\mathrm{\ϵ}}_r-{\mathrm{\ϵ}}_b){\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{yy}},---\left(68\right)$

在下面的章节中，将得出椭圆和矩形情形的Γ_ij积分(方程(66))的闭合表示式，但是首先该积分将针对散射物体的平移和旋转被进一步简化。

3.2散射物体的平移和旋转

对于例如椭圆和矩形等基本形状的情形，通过转换为局部坐标系可以进一步简化Γ_ij积分的计算。

图15a是具有偏移c₀的旋转的椭圆的全局坐标系(x，y)和局部坐标系(x”，y”)。

对于任意偏离c₀，该平移量

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{c}_{0x}\\ c_{0y}\end{array}\right)---\left(71\right)$

和旋转

散射物体的NV场仅受旋转的影响。全局(x，y)和局部(x”，y”)系统中的方程(66)中的NV分量之积通过线性变换相关联

将方程(71)、(72)以及(73)组合，在局部坐标系内计算可以将Γ_ij积分转换为Γ″_ij

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{xx}}\\ {\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{yy}}\end{array}\right)=M_{{\mathrm{nn}}^{\′\′}}\left(\begin{array}{c}{{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{xx}}\\ {{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{xy}}\\ {{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{yy}}\end{array}\right).---\left(74\right)$

其中M_nn″是来自方程(73)的耦合矩阵，并且

${{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2)=\frac{e^{i[b_e\·c_0]}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\underset{\mathrm{support}}{\∫\∫}{n^{\′\′}}_i{n^{\′\′}}_j{e}^{i(k_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)x^{\′\′}+k_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)y^{\′\′})}{\mathrm{dx}}^{\′\′}{\mathrm{dy}}^{\′\′},---\left(75\right)$

这里已经引入有效波矢量

仍然在等于对照源的支撑集的整个区域上计算Γ″_ij积分(平移和旋转不改变积分Γ″_ij)，但是，如所看到的，在局部坐标系中更容易针对椭圆和矩形评估积分。

总而言之，转换至局部坐标系的效果是三重的：

●用以描述偏移的影响的恒定的相位因子

●相对于布拉维点阵描述物体的方向的有效波矢量

●Γ_ij称为局部坐标系内全部三个Γ″_ij的线性组合

3.3椭圆

已有两个熟知的方法用以生成椭圆的NV场

通过椭圆坐标系

其中a是沿水平对称轴线的半径，b是沿垂直对称轴线的半径，

是方位角，

是椭圆率。

通过共形映射

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\cosh u\cos v\\ a\sinh u\sin v\end{array}\right).---\left(78\right)$

对于恒定的u(0≤u＜∞)和0≤v≤2π，这给出椭圆轮廓。

图15b示出椭圆坐标系的NV场，图15c示出共形映射。

椭圆坐标系优点在于，可以得出Γ″_ij的解析表示式，并且法向矢量场仅在(0，0)处具有奇点(singularity)，而共形映射在连接焦点的线上具有奇异的行为。后面我们将看到，对于矩形的情形，尽管存在多个奇点，但是仍然可以获得收敛。因而仅存在多个奇点不是否定法向矢量场的有说服力的理由。得出傅里叶积分的解析表示式的可能性是有力得多的证据，因为其将导致矩阵矢量乘积的快速计算。当矢量垂直于切向矢量时可以得出法向矢量场

基于此，写出方程(66)需要的法向矢量乘积

将Γ″_ij积分改写至椭圆坐标系给出

幸运的是，通过使用以下幺元(identity)^{[2，第973页]}可以进一步将r-和

-依赖从傅里叶指数中分离出去

其中J_n(z)是具有整数阶n的第一类贝塞尔(Bessel)函数。通过改写方程(81)中的指数的自变量

$\mathrm{wherec}=\arctan \left(\frac{{\mathrm{ek}}_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)}{k_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)}\right),$

方程(82)中的幺元可以被应用于方程(81)中的积分中的指数，由此得出下面Γ″_xx的表示式

其中

$z\≡r\sqrt{{\left(k_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)\right)}^2+{\left({\mathrm{ek}}_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)\right)}^2}.---\left(85\right)$

通过用

和

分别替换角度积分中的分子，可以得出Γ″_xy和Γ″_yy的表示式。这种方法对于椭圆的效率源自可以找出径向和角度积分的解析表示式。贝塞尔(Bessel)函数的径向积分的这些表示式在附录A中得出。对于角度积分，它们在附录B中得出，其中它们表示为

和

分别用于从

至

对变量k运算角度积分和所有奇偶项的求和。对于整个椭圆，通过

简化方程(84)的评估。偶数项的角度积分是

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xx}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xy}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{yy}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\frac{2\mathrm{\πe}}{{(1+e)}^2}\cos \left(2\mathrm{kc}\right){\left(\frac{1-e}{1+e}\right)}^{k-1}\\ \frac{2\mathrm{\πe}}{{(1+e)}^2}\sin \left(2\mathrm{kc}\right){\left(\frac{1-e}{1+e}\right)}^{k-1}\\ -\frac{2\mathrm{\πe}}{{(1+e)}^2}\cos \left(2\mathrm{kc}\right){\left(\frac{1-e}{1+e}\right)}^{k-1}\end{array}\right\}---\left(86\right)$

$=\left\{\begin{array}{c}\frac{2\mathrm{\πe}}{1+e}\\ 0\\ \frac{2\mathrm{\π}}{1+e}\end{array}\right\}(\mathrm{for\; k}=0).---\left(87\right)$

要注意的是圆形(e＝1)的情形，仅(k＝1)-项是非零的。

此时仅需要对偶数级n估计径向积分。在附录A中，对不确定的积分得出闭合形式的表示式

${\∫}^z{z}^{\′}{J}_{2z}\left(z^{\′}\right)d{z}^{\′}=-2n{J}_0\left(z\right)+{(-1)}^{n}z{J}_1\left(z\right)-4\underset{m=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{J}_{2m}\left(z\right)[n-{(-1)}^{n-m}m],---\left(88\right)$

其中求和运算仅对n＞1计算。将方程(86)和(88)带入方程(84)中，得出

${{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{xx}}(m_1,m_2)=\frac{e^{i[b_e\·c_0]}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}\{\frac{{\mathrm{ea}}^2}{R}{J}_1\left(R\right){\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xx}}^e(k=\mathrm{0,0,2}\mathrm{\π})$

$+\frac{{\mathrm{ea}}^2}{R^2}4[1-J_0\left(R\right)]\underset{k=1}{\overset{N_b}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{k}k{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xx}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})+2\frac{{\mathrm{ea}}^2}{R}{J}_1\left(R\right)\underset{k=1}{\overset{N_b}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xx}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})$

$-8\frac{{\mathrm{ea}}^2}{R^2}\underset{m=1}{\overset{N_b-1}{\mathrm{\Σ}}}{J}_{2m}\left(R\right)[\underset{k=m+1}{\overset{N_b}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^{k}k{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xx}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})-{(-1)}^{m}m\underset{k=m+1}{\overset{N_b}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{xx}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\π})]\},---\left(89\right)$

其中N_b是保留在在偶数贝塞尔(Bessel)函数上求和算符中的项的数量，并且

$R\≡a\sqrt{{\left(k_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)\right)}^2+{\left({\mathrm{ek}}_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)\right)}^2}.---\left(90\right)$

要注意的是，在最后的项中对k和m的求和已经被交换以防止同一自变量的贝塞尔(Bessel)函数的多次估计。对于Γ″_xy和Γ″_yy的计算，仅需要由

和

的表示式替代

(见附录B)。

3.4矩形

矩形的连续NV场的生成没有椭圆形明显。已经提出^[3]，为此目的使用施瓦兹-克里斯托弗转换^[4]。接近地逼近矩形的这种方案的NV场为

$\left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\sqrt{b^2-y^2}\\ y\sqrt{a^2-x^2}\end{array}\right).---\left(91\right)$

图16a示出矩形的对应的连续NV场。然而，这种表示不能由其本身得出Γ_ij积分的解析表示式。对于这种情形，我们选择得出接近类似方程(91)的NV场，但是该NV场沿矩形的对角线是不连续的，在对角线形成的三角形内以及沿矩形的边缘的法向是恒定的。

图16b示出矩形的对应的不连续NV场。对于每个三角形，法向矢量场是恒定的，这使得Γ″_ij积分计算尤其简单。

${{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2)=\frac{e^{i(b_e\·c_0)}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}{n}_i{n}_j\underset{{\mathrm{\Δ}}_1{\mathrm{\Δ}}_2{\mathrm{\Δ}}_3{\mathrm{\Δ}}_4}{\∫\∫}{e}^{i(k_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)x+k_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)y)}\mathrm{dxdy}.---\left(92\right)$

表面积分的估计是直接的。对于三角形Δ₁(见图16b)，其给出

$\underset{{\mathrm{\Δ}}_1}{\∫}...=r_a{e}^{\frac{1}{2}i{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a}\frac{1}{i{k}_{\mathrm{ey}}}[e^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}{r}_b}\sin c(\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a+\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ey}}{r}_b)-e^{-\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}{r}_b}\sin c(\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a-\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ey}}{r}_b)].---\left(93\right)$

对于三角形Δ₂，仅需要交换和

三角形Δ₃和Δ₄的结果仅是Δ₁和Δ₂的分别的积分的复共轭。。

对于这种NV场，对于三角形Δ₂和Δ₄有Γ_xx＝0，对于三角形Δ₁和Δ₃有Γ_yy＝0，对于所有三角形有Γ_xy＝Γ_yx＝0。要注意的是，对于极限k_ey→0，方程(93)变成

$\underset{k_{\mathrm{ey}}\→0}{\lim }\underset{{\mathrm{\Δ}}_1}{\∫}...=r_a{r}_b{e}^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ex}}{r}_a}[\sin c\left(\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a\right)-i\left(\frac{\cos \left(\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a\right)-\sin c\left(\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a\right)}{\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{ex}}{r}_a}\right)].---\left(94\right)$

4.分割和连接策略

前面有关矩形的NV场生成的章节给出了生成更任意形状的NV场的非常强大的方法。这些形状可以被分解为基本形状，对于这些基本形状Γ_ij积分具有适于快速计算的闭合形式。通过在特定傅里叶模式指数的条件下对每一种基本形状相关的Γ_ij积分求和，可以容易地获得C_ε和εC_ε的光谱表达式。当然，基本形状的类型必须足够大以便生成所有相关的更加复杂的形状。基本形状的类型包括：(A)具有恒定NV场的三角形：如果一个界面是材料的界面，则NV场必须垂直于这个界面，如果没有材料界面，则NV场可以被任意选择；(B)具有恒定的NV场的梯形(矩形是特殊情形)：如果一个界面是材料的界面，则NV场必须垂直这个界面，如果没有材料界面，则NV场可以任意选择；或(C)具有径向NV场和沿圆形边缘的材料界面的扇形。

任何任意形状-或其近似，原则上可以分解成这些基本形状的网格。

图17示出以这些基本形状以网格形成“狗骨”。

图18示出根据本发明的实施例建立棱镜的法向矢量场，其中棱镜具有带圆角的矩形的横截面，所述带圆角的矩形的横截面由较小的矩形1802和扇形1804构成。要注意的是，通过箭头示出的法向矢量场在物理界面处垂直于这些物体界面。

在本发明的一个实施例中，提供一种用以局部地(即，在散射物体上或其部分上)而不是在整个单位单元上构造法向矢量场的方法。这简化了法向矢量场的生成并且甚至给出了诸如圆形、椭圆形以及矩形的基本形状的数学上非常简化的表示式。

对于更加复杂的形状，提供分割和粘结网格技术，其中任意形状的法向矢量场由两个或更多个选自下面的基本形状的法向矢量场构成：具有以下横截面的棱镜：三角形；矩形；梯形；或扇形；四面体；条纹；具有两个平行表面的六面体；具有平行于地面的截断面的截头棱锥；以及球面段。

对于这些构造块，法向矢量场可以非常简单且快速地形成。

替代地，对于其他复杂形状，直接由该形状生成法向矢量场而不用应用上述的网格策略以避免高的网格密度可能是有利的。这导致使用插值法以生成法向矢量场，这随后用于计算特定的傅里叶积分。本发明的一个实施例在计算域内在多种介质的支撑集上将傅里叶积分分裂成多个积分。对于这些域中的每一个，结合插值算法应用专门的求积分法则以在该域上生成法向矢量场。基于具有周期延拓(periodic continuation)的基础函数应用插值以避免由于单位单元的边界的特定选择而在积分中带来人为的不连续。此外，可以进一步限制法向矢量场的支撑集以指向材料界面的附近。这导致甚至更加节约的方法来生成更加复杂形状的法向矢量场。

4.1基本构建块

在这一章节，将对在形状顶点的坐标内表示的三个基本构成块得出对于Γ_ij积分的闭合表示式。

4.2三角形

图19示出具有NV场和局部坐标系的旋转和偏移的三角形。

图19示出具有顶点A、B以及C的任意三角形。与材料界面(B-C)相对的顶点被选择为局部原点。要注意的是，沿反时针方向顺序安排顶点。首先，以矢量A平移得出矢量B′＝(B-A)和C′＝(C-A)。随后，旋转过

角，得到局部坐标系。在该系统内，B″和C″由方程(72)给出

其中，

使用的B″和C″坐标表达式，得到

${{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2)=\frac{e^{i(b_e\·A)}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}{n}_i{n}_j{\∫}_0^{b_x}{e}^{{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ex}}\left(m_1{m}_2\right)x^{\′\′}}{\∫}_{\left(\frac{b_y}{b_x}\right)x^{\′\′}}^{\left(\frac{c_y}{c_x}\right)x^{\′\′}}{e}^{i{k}_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)y^{\′\′}}{\mathrm{dy}}^{\′\′}{\mathrm{dx}}^{\′\′}$

$=\frac{e^{i(b_e\·A)}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}{n}_i{n}_j\frac{b_x}{{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}}{e}^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ex}}{b}_x}\left(e^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}{c}_y}\sin c\right[\frac{1}{2}(k_{\mathrm{ex}}{b}_x+k_{\mathrm{ey}}{c}_y)]$

$-e^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}{b}_y}\sin c\left[\frac{1}{2}(k_{\mathrm{ex}}{b}_x+k_{\mathrm{ey}}{b}_y)\right])---\left(97\right)$

如果B″C″是材料界面，则NV场为(n_x″，n_y″)＝(1，0)，仅将Γ″_xx保留作为非零分量。在全局坐标系中的Γ_ij通过方程(74)获得。

4.3梯形

图20示出具有NV场和局部坐标系的旋转和偏移的梯形。

对于梯形，可以遵循相同的推导路线。首先，坐标被平移A，给出

$\left\{\begin{array}{c}{B}^{\′}\\ C^{\′}\\ D^{\′}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}B-A\\ C-A\\ D-A\end{array}\right\}---\left(98\right)$

随后，旋转

以给出

其中，

在局部坐标系中

${{\mathrm{\Γ}}^{\′\′}}_{\mathrm{ij}}(m_1,m_2)=\frac{e^{i(b_e\·A)}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}{n}_i{n}_j{\∫}_0^{b_x}{e}^{{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ex}}\left(m_1{m}_2\right)x^{\′\′}}{\∫}_{\left(\frac{b_y}{b_x}\right)x^{\′\′}}^{d_y+\left(\frac{c_y-d_y}{c_x}\right)x^{\′\′}}{e}^{i{k}_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)y^{\′\′}}{\mathrm{dy}}^{\′\′}{\mathrm{dx}}^{\′\′}$

$=\frac{e^{i(b_e\·A)}}{(a_{1x}{a}_{2y}-a_{1y}{a}_{2x})}{n}_i{n}_j\frac{b_x}{{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}}{e}^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ex}}{b}_x}\left(e^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}(c_y+d_y)}\sin c\right[\frac{1}{2}(k_{\mathrm{ex}}{b}_x+k_{\mathrm{ey}}(c_y-d_y))]$

$-e^{\frac{1}{2}{\mathrm{ik}}_{\mathrm{ey}}{b}_y}\sin c\left[\frac{1}{2}(k_{\mathrm{ex}}{b}_x+k_{\mathrm{ey}}{b}_y)\right])---\left(101\right)$

通过将梯形分解为两个三角形并对两个三角形加上方程(97)也可以得出这个结果。关于梯形，如果B″C″是材料界面则NV场为(n_x″，n_y″)＝(1，0)，仅留下Γ″_xx作为非零分量。通过方程(74)获得全局坐标系中的Γ_ij。

4.4扇形

扇形被限定为用原点A、下半径端点B以及扇形角

从圆形限定的一部分。

图21示出具有NV场和局部坐标系的旋转的且偏移的扇形。

可以沿与第3.3节中全椭圆情形相同的线计算NV分量Γ″_ij。主要的差别在于，此时从0至任意角度

估计角度积分。这具有效果，即在贝塞尔(Bessel)求和算符中的所有奇数项上的角度积分至于奇数项，在贝塞尔(Bessel)函数上的径向积分具有解析表示式(见附录A)

${\∫}^z{z}^{\′}{J}_{2n+1}\left(z^{\′}\right)d{z}^{\′}=(2n+1){\∫}^z{J}_0\left(z^{\′}\right){\mathrm{dz}}^{\′}-{(-1)}^{n}z{J}_0\left(z\right)$

$-2\underset{m=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{J}_{2m-1}\left(z\right)[(2n+1)+{(-1)}^{n-m}(2m-1)],---\left(102\right)$

其中所述求和仅应用于n≥1的情形。将方程(102)代入方程(84)中，给出

其中N_b是保留在偶数贝塞尔函数上求和算符中的项的数量，并且

$R\≡a\sqrt{{\left(k_{\mathrm{ex}}(m_1,m_2)\right)}^2+{\left({\mathrm{ek}}_{\mathrm{ey}}(m_1,m_2)\right)}^2}.---\left(104\right)$

J₀的最初项已经使用下式改写(^{[2，第633页]})

${\∫}^z{J}_k\left(z^{\′}\right){\mathrm{dz}}^{\′}=2\underset{p=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{J}_{k+2p+1}\left(z\right).---\left(105\right)$

对于Γ″_xy和Γ″_yy，通过对角度积分替换合适的表示式可以容易地找出NV分量(见附录B)。

5.更普遍形状的法向矢量场生成

对于特定情形，例如奇异的散射几何形状的情形或多种材料彼此之间具有连接界面的情形，可能难以应用网格策略，其导致少量的网格单元并且在电场和电通量密度的光谱基中显示快速的收敛。对于这些情形，需要更加通用的方法生成场-材料相互作用算符的傅里叶系数。一种这样的方法是采用数值求积分以估计关系式(54)的积分。随后求积分法则调用在多个点处的组成部分的函数值以到达想要的积分的近似值。如果我们认真考虑该组成部分，可以注意到，需要估计在任意点(x，y)处的介电常数、幂函数以及法向矢量场的笛卡尔分量。这对于前两个函数是微不足道的，但是对于后者是重要的。由于较早引入的标定比例，仅在αε≠1的区域内需要法向矢量场。此外，我们注意到对于所有的傅里叶系数(m₁，m₂)，可以通过相同的求积分法则和函数估计获得傅里叶系数，对所有傅里叶系数估计幂函数除外。因此，主要关心的是估计在任意位置(假定αε≠1)处的法向矢量场。

在文献^[3，5]中已经讨论了用于生成法向矢量场的若干种处方。第一篇文章讨论基于施瓦茨-克里斯托弗共形映射或通过求解静电问题在RCWA的情形中生成二维法向矢量场。第二篇文章讨论通过所谓具有径向基函数的散射数据插值算法的一个特定示例的逆-距离插值算法的生成。然而，两篇文章教导的是，对规则栅格生成法向矢量场，而不考虑可以仅局部地需要法向矢量场的可能性。此外，对于不适合这种规则栅格的介电常数轮廓，规则的栅格可能会得出慢的收敛，即对于具有不与规则网格相符的界面的分段的恒定材料属性。因此，可能会需要极其大量的栅格点以达到收敛的解。这两个资料使得这些过程极其花费CPU时间。

根据本发明的实施例，使用局部法向矢量场并应用考虑散射物体的积分域的求积分法则，即用考虑材料界面的形状的积分域操作。结果，通过对具有恒定介电常数的域上的积分序列代替对整个单位单元求积分。对更加复杂的域求积分的求积分法则已经在例如文献^[6、7、8]中研究过。因为每个积分的域的介电常数是恒定的并且幂函数是连续的，因而唯一可能的障碍还是法向矢量场。因此，为了保持求积分法则的收敛，需要在求积分法则的积分域上生成足够平滑的法向矢量场。这可以通过散射数据插值算法来实现，对于该算法由积分域的边界的描述和在该边界处的相应的法向矢量场生成输入数据。例如，如果通过分段线性近似描述边界，则法向在局部是恒定的矢量。通过沿边界提供法向矢量场的足够密集的取样，生成足够的数据以应用散射数据插值算法。

5.1法向矢量场的周期延拓

标准散射数据插值算法使用所谓的径向基函数，即仅依赖于数据点和插值点之间距离的基函数。在一般的插值问题中，这通常是好的想法，因为其允许附近的数据比远离的数据对插值数据具有更高的影响。然而，在周期环境中，数据点和插值点之间的距离也变成周期的。如果不对此进行考虑，则跨过周期边界的插值可能会引入人为的不连续，这会使得特定的求积分规则的收敛性变差，或甚至使得投影到法向矢量场上的电磁场的解的收敛性变差。因此，寻找对于具有径向基函数的散射数据插值的替代方案。关键的思想在于生成周期距离函数，其显示出结构的周期性并让该函数替代距离函数。

5.2周期距离函数

在规则的欧几里德空间内，两个点r和r′之间的距离r由下式给出

$r=\sqrt{{(x-x^{\′})}^2+{(y-y^{\′})}^2+{(z-z^{\′})}^2},---\left(106\right)$

其是非负的且仅在两个点一致的时候为零。

现在让我们首先考虑沿x轴线的周期p＞0的一维周期情形。对于这种情形，首先引入模数(p)函数为

其中

表示取整(ceiling)算符。因此，得到

$-\frac{p}{2}\&le;x\mathrm{mod}p<\frac{p}{2}.---\left(108\right)$

在上面的限定情况下，对于周期情形，x和x′之间的欧几里德距离d(x，x′)＝|x-x′|变成d_p(x，x′)＝|(x-x′)modp|。然而，还有其他方法限定距离测量，例如

$d_p(x,x^{\&prime;})=\left|\sin \left(\mathrm{\&pi;}\frac{x-x^{\&prime;}}{p}\right)\right|---\left(109\right)$

也满足距离测量d(x，x′)的基本标准，即

1.d(x，x′)≥0(非负)，

2.d(x，x′)＝0当且仅当x＝x′(不可分辨的同一点)

3.d(x，x′)＝d(x′，x)(对称)，

4.d(x，x″)≤d(x，x′)+d(x′，x″)(三角不等式).

对于具有两个周期方向的空间，情形更加复杂。用a₁和a₂表示周期点阵矢量，则可以将空间内的任何点r＝(x，y，z)表示为

r＝xu_x+yu_y+zu_z＝η₁a₁+η₂a₂+zu_z，(110)

其中η₁和η₂是横向平面内与x和y相关的坐标，与x和y的关系为

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(u_x,a_1)& (u_x,a_2)\\ (u_y,a_1)& (u_y,a_2)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&eta;}}_1\\ {\mathrm{\&eta;}}_2\end{array}\right).---\left(111\right)$

此外，要注意的是，在η₁和η₂的周期内的散射结构，都具有周期1。

内的欧几里德距离函数可以以a₁和a₂表示为

$d(r,r^{\&prime;})=\sqrt{(r-r^{\&prime;},r-r^{\&prime;})}$ (112)

$=\sqrt{{({\mathrm{\&eta;}}_1-{\mathrm{\&eta;}}_1)}^2{\left|\right|a_1\left|\right|}^2+{({\mathrm{\&eta;}}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2)}^2{\left|\right|a_2\left|\right|}^2+2({\mathrm{\&eta;}}_1-{\mathrm{\&eta;}}_1)({\mathrm{\&eta;}}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2)(a_1,a_2)+{(z-z^{\&prime;})}^2}.$

为了实现周期距离函数，现在用f(0)＝0且周期为1的周期函数f(·)替换η₁-η₁和η₂-η₂，使得|f(·)|得出一维周期距离函数，即

$d_p(r,r^{\&prime;})$ (113)

$=\sqrt{f{({\mathrm{\&eta;}}_1-{\mathrm{\&eta;}}_1)}^2{\left|\right|a_1\left|\right|}^2+f{({\mathrm{\&eta;}}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2)}^2{\left|\right|a_2\left|\right|}^2+2f({\mathrm{\&eta;}}_1-{\mathrm{\&eta;}}_1)f({\mathrm{\&eta;}}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2)\left(a_{1,}{a}_2\right)+{(z-z^{\&prime;})}^2},$

其中，f(x)例如等于xmod1或sin(πx)。

5.3周期散射数据插值

在散射数据插值算法中，引入基函数

r≥0，例如

其中β＞0。此外，提供一组数据点r_n和相应的函数值F(r_n)，n∈{1，...，N}。则，该算法确定系数c_n，使得对于所有的n＝1，...，N

其中d(r_m，r_n)表示数据点r_m和r_n之间的距离。如果这组线性方程是非奇异的，则可以确定系数c_n，并且散射数据插值算法得出下面的F插值

对于周期的情形，用方程(113)中的周期距离函数替换上面两个关系式中的距离函数d(·，·)，并到达数据的周期插值，其可以用于以与文献^[5]中类似的方法由材料边界处的法向矢量场的笛卡尔分量生成法向矢量场的笛卡尔分量，即首先找出插值分量为

其中j∈{x，y，z}。然后将位置r处的法向矢量场规范化成1，即 $n\left(r\right)=\tilde{n}\left(r\right)/\left|\right|\tilde{n}\left(r\right)\left|\right|.$

6.在任意各向异性介质中的局部法向矢量场

在前述的章节中，连续矢量场F的结构中的局部法向矢量场的概念通过引入标定比例函数和由Popov和Nevière限定的矢量场中的基变换来实现。在在任何位置与法向矢量场正交的固定的异常轴线的情况下(例如由于光栅的几何形状的阶梯近似)，证明各向同性介质和双折射介质的法向矢量场的局域化。局部法向矢量场的概念在此将在任意各向异性介质的大多数普遍情形中使用。然而，通过标量函数标定比例不足以灵活到处理最普遍的情形。为了应付普遍的各向异性介质的情形，由修改矢量场F的定义开始。通过下式给出更新的F定义

F＝P_TE+αP_n(D-SP_TE)，(117)

其中，S是附加的标定比例算符，α是非零标定比例函数，两者在材料的不连续附近都是连续的。因为P_nD和P_TE都是连续的矢量场，所以矢量场F在α和S的要求下也是连续的。

使用前面简要描述的投影算符代数，得到

$E=\{I+{\left(P_n{M}_{\mathrm{\&epsiv;}}{P}_n\right)}^{-1}[P_n(\frac{1}{\mathrm{\&alpha;}}I-S)P_n-P_n(M_{\mathrm{\&epsiv;}}-S)\left]\right\}F.---\left(118\right)$

方括号之中的算符可以局部地等于零，例如通过一下方式实现：选定

即在不涉及不连续的特定区域内等于介质参数(例如填充介质的恒定的介电常数张量)，并选定αP_n＝(P_nSP_n)^-1(在P_n范围上理解)，其由于S的选择而成为非零连续函数。对于α，计算出α＝1/(n，Sn)。因此，倘若矢量场F的基不依赖于法向矢量场，例如其在笛卡尔坐标中表示，则在

的区域内，不需要法向矢量场。S的另一选择是使用介电常数分布的平滑后的形式。对于这种选择，需要法向矢量场的区域甚至被进一步收缩。

对于各向同性介质，矢量场F的上面的修改与前面的定义一致，因为S随后将是幺元算符的多倍，因此其将与P_T和P_n交换。因此，P_nSP_T等于零，并且对α的选择减少了前面限定的情形。

局部法向矢量场的主要优点，即独立地对每个物体预计算算符C_ε和εC_ε的系数表示式的可能性和应用分割和连接策略的可能性，仍然在普通的各向异性情形是有效的。然而，算符的系数通常更加复杂，因为各向异性的方向与法向矢量场的方向混合。这可以例如由算符(P_nM_εP_n)^-1观察到，其对于各向同性介质来说不依赖于法向矢量场，然而在普通的情形中其依赖于法向矢量场和各向异性的方向。因此，找出限定系数的傅里叶积分的闭合形式的表示式通常更难，并且如第5节介绍的求积分方法可以是有用的替代方案。值得注意的另外情形是物体的各向异性在物体的支撑集上是恒定的并且物体的形状通过具有法向矢量场的固定方向的网格单元(例如三角形或多边形网格单元)来描述。对于这种情形，除了依赖于(恒定)法向矢量场和介电常数张量的各向异性的(恒定)方向之间的角度的恒定的标定比例因子之外，所得出的闭合形式的表示式保持有效。

我们已经描述了投影算符架构以在各向同性和各向异性介质中在光谱基中的场-材料相互作用内分析局部法向矢量场的概念，其可以例如用于RCWA、微分法以及体积积分方法中。使用这种架构，已经能够证明，标定比例和基变换会导致局部法向矢量场，这允许我们将法向矢量场用于专门的形状并对更普遍的形状应用网格策略构造法向矢量场。这极大地改善了法向矢量场方法的灵活性，并且还导致显著地节省建立这些场的CPU时间。已经说明了多个构造块的闭合形式的解决方案和对更普遍形状生成矢量场的示例，包括周期距离插值算法。

本发明的实施例允许更快且更灵活地建立二维和三维形式的法向矢量场，这得出更快的CD重构时间和更快的库处方生成。对于简单的示例，已经观察到在相同的计算硬件上由几分钟加速至亚秒。

2 法向矢量场公式的替代方式

1 李法则和替代方式

应该注意的是，上面的公式是指法向矢量场公式。然而，上面还可以延伸至李公式，其适于矩形的几何形状。下面介绍在李公式中的相应的算符。

2.修改的李法则和保持卷积结构的法向矢量场公式的替代形式

在前面的章节中，我们已经修改了所谓的k空间Lippmann-Schwinger方程(0.1)和(0.2)以为场-材料相互作用构造有效的矩阵矢量乘积并同时保持在光谱基中的精确度。这可以通过引入具有与用E表示的电场一一对应的辅助矢量场F使得当已经计算F时以非常小的附加计算量获得E。主要地，我们已经得出下面形式的一组方程

E^inc＝E-GJ                     (2.69)

F＝P_TE+P_n(ε_bE+J/jω)          (2.70)

J＝jω(ε_Cε-ε_b·C_ε)F＝MF    (2.71)

其中，E^inc表示入射场，G表示分层的背景介质的格林函数的矩阵表达式，M，P_T，P_n，C_ε和(εC_ε)对应FFT形式的有效矩阵矢量乘积。

在上面的情形中，F、J和E之间的关系允许紧凑的且有效的公式形式。然而，存在其他方法以有效矩阵矢量乘积实现高的精确度的目标。本节的目标在于，进一步研究和证明这些替代方式。通过经由E和辅助矢量场F之间的可逆算符C_ε减少一一对应性，可以延伸已有的公式形式。这例如是在辅助矢量场F中引入比电场E中存在的更多的自由度的情形，如我们将在第2.2节中示出的。在没有进一步的测量的情况下，随后将确定矢量场F的所得的线性方程组，因此F不是唯一的，其通常在使用迭代求解器的时候是想要的，因为其通常将导致大量的迭代或迭代过程的分解(breakdown)。为了克服这种情形，我们允许量F、E和/或J之间的附加的线性限定条件组。使用这种原理，我们得到下面概括的经过修改的Lippmann-Schwinger方程组

$\left(\begin{array}{ccc}I& -G& 0\\ C_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{21}& C_{22}& C_{23}\\ C_{31}& C_{32}& C_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E\\ J\\ F\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{E}^i\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).---\left(2.72\right)$

其中上面的矩阵方程中的每个算符允许例如通过FFT实现有效矩阵矢量乘积。

2.1Lalanne法则

在李(Li)得出具有二维周期性的周期结构的法则之前，Lalanne^[13]提出介电常数矩阵M_ε(在^[13]中表示为E)和逆介电常数矩阵的逆矩阵(M_inv(ε))^-1(在^[13]中表示为P^-1)的加权平均公式。对于这样的研究方法，我们可以使用电场E和辅助矢量场F的组合。后者的矢量场在遭遇(M_inv(ε))^-1和E之间乘积的点处引入，以实现快速矩阵矢量乘积以计算对照电流密度J或其被标定比例的对应量q。

J＝jω{[αM_ε+(1-α)(M_inv(ε))^-1]E-ε_bE}＝jω[α(M_ε-ε_bI)E+(1-α)F]，    (2.73)

其中F满足

M_inv(ε)F＝E.            (2.74)

M_ε和M_inv(ε)都具有经由FFT的有效矩阵矢量乘积实施(implementation)。

方程(2.73)和(2.74)的结果可以实现为方程(2.72)形式的更大的线性系统。这里，涉及算符I和G的第一组方程保持不改变。第二组方程将得出在一边的J与另一边的E和F之间的关系，即C₁₁＝jωα(M_ε-ε_bI)、C₁₂＝-I和C₁₃＝jω(1-α)I。然后第三组方程在方程(2.74)中将E和F相关联，即C₂₁＝-I、C₂₂＝0以及C₂₃＝M_inv(ε)。最后，涉及C₃₁、C₃₂、C₃₃的最后一组方程以及右手边的最后一行将不存在。这可以通过包括对电流密度J以及与所述电磁场E相关且不同的矢量场F的体积积分方程进行数值求解以便确定电流密度J的近似解在计算结构的电磁散射属性中执行。此时，矢量场F与电场E通过可逆的算符M_inv(ε)相关联。

2.2链接的李法则

对于交叉的光栅，李^[10][11]已经给出当对应的相互作用矩阵由(块)Toeplitz矩阵和逆(块)Toeplitz矩阵的和构成时在光谱基中更好地捕捉场-材料相互作用。(块)Toeplitz矩阵通常被称为“劳伦法则”的表达式，其对应标准的离散卷积。逆(块)Toeplitz矩阵通常被称为“逆法则”。逆法则应该在场分量在跨过材料界面处是不连续的任何时候应用，并且劳伦法则在场分量在跨过材料界面处是连续的时候应用。这些法则通常被称为“李法则”。(块)Toeplitz矩阵允许FFT形式的有效矩阵矢量乘积，但是逆Toeplitz矩阵不具有Toeplitz形式，因此快速矩阵矢量乘积不容易形成。因而，通过将辅助矢量场的思想延伸，可以引入附加的辅助场以及限制条件，以得到有效矩阵矢量乘积，其也考虑逆(分块)Toeplitz矩阵。

现在考虑二元光栅的各向同性介质的情形，即介电常数不依赖于与存在周期性的平面正交的方向(此处由z方向表示)的光栅。随后李法则仅需要针对在横向平面内(即xy平面)的电场E的场分量进行修改，因为电场的z分量在二元光栅的材料界面处是连续的，因此可以直接应用由有效矩阵矢量乘积表示的劳伦法则。我们由多个矩形分块建立介电常数函数，其可以相邻或不相邻。具体地，将介电常数函数和相应的逆介电常数函数写成

$\mathrm{\&epsiv;}={\mathrm{\&epsiv;}}_b[1+\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&chi;}}_{i,j}{\mathrm{\&Pi;}}_i^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_j^y\left(y\right)],---\left(2.75\right)$

${\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}={\mathrm{\&epsiv;}}_b^{-1}[1+\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,j}{\mathrm{\&Pi;}}_i^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_j^y\left(y\right)],---\left(2.76\right)$

其中，∏_α ^β是β方向上的脉冲函数，其支撑集在与标记α相关的全部区间上。脉冲函数是在其相关的区间上的一个的函数，该函数在其它区间均为零。在x方向上，存在I个不重叠的区间，并且在y方向上存在J个非重叠的区间。此外，χ_i，j是函数

的支撑集上的连续标量函数，并且 ${\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,j}=-{\mathrm{\&chi;}}_{i,j}/(1+{\mathrm{\&chi;}}_{i,j}).$

由电场和通量的x分量的标准的场-材料相互作用关系E_x＝ε^-1D_x，可以得到

$E_x={\mathrm{\&epsiv;}}_b^{-1}[1+\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,j}{\mathrm{\&Pi;}}_i^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_i^y\left(y\right)]D_x,---\left(2.77\right)$

其中，根据李法则的推理^[10][11]，在傅里叶空间中是可因数分解的，但是

不是，因为D_x在材料界面处在y方向上不连续。因为函数∏_α ^β可以被解释为投影算符，所以可以采用下面的形式。

令I是幺元算符并且A_i是与相互正交的投影算符P_i交换的边界算符的序列，则算符

具有边界的逆

其中B_i＝-A_i(I+A_i)^-1。

论证遵循求解代数式并考虑投影算符的幂等性。

使用这个结果，现在可以用电场分量表示电通量分量为

$D_x={\mathrm{\&epsiv;}}_b[1-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,j}{\mathrm{\&Pi;}}_i^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_j^y\left(y\right){(I+\underset{k=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{k,j}{\mathrm{\&Pi;}}_k^x\left(x\right))}^{-1}]E_x,---\left(2.78\right)$

其中，已经使用了A_i和B_i与P_i的交换属性。

类似地，我们对于y分量具有

$D_y={\mathrm{\&epsiv;}}_b[1-\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,j}{\mathrm{\&Pi;}}_i^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_j^y\left(y\right){(I+\underset{l=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,l}{\mathrm{\&Pi;}}_l^y\left(y\right))}^{-1}]E_y\&CenterDot;---\left(2.79\right)$

此时，在已经执行直接对电场分量运算的逆矩阵运算之后，每个乘法算符是可傅里叶因数分解的。这意味着，在光谱域中，逆算符变为逆(分块)Toeplitz矩阵以表示逆法则并且投影算符∏_α ^β的组合变成(分块)Toeplitz矩阵以表示劳伦法则。由这些关系式，我们可以以通常的方法得出对照电流密度，即J＝jω[D-ε_bE]。

由上面的关系式，清楚的是，沿x和y方向的每个区间得出逆算符，即总的I+J逆。如果引入辅助变量(矢量场)至涉及逆算符的中间矩阵矢量乘积，则可以避免这些逆中的每一个。例如，方程(2.78)中的矩阵矢量乘积

由辅助变量F_x，j和线性方程代替，其又具有在光谱域中的其矩阵矢量乘积的有效表达式，被并入线性系统(2.72)中。以此方式，在耗费更多变量的条件下保留FFT形式的矩阵矢量乘积的效率。在I和J大于1的情况下，则尤其是这种情形，因为每个逆增加了辅助变量的量，由此增大总的矩阵矢量乘积的尺寸。

2.3减小李法则中逆算符的数量

第2.2节中的结论在于，每个投影算符∏_α ^β引入新的辅助矢量场，其使得这个过程对于需要更多投影算符的几何结构效率较低。因此，提出问题：是否存在一种方法使用比阶梯策略初始引入的投影算符更少的投影算符而不会牺牲这种策略的几何形状灵活性。

主要的工作在于将方程(2.75)改写成涉及较少的投影算符的和，即改写

${\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}={\mathrm{\&epsiv;}}_b^{-1}[1+\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{i,j}{\mathrm{\&Pi;}}_i^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_j^y\left(y\right)].---\left(2.80\right)$

我们由著名的“四色问题”得到启示，其允许仅用四种不同的颜色对平坦的地图着色，使得地图的两个相邻区域都不具有相同的颜色。在这里的情形中，情况有点类似：具有相邻支撑集的投影算符仅在它们的乘法函数

跨过它们的相互连接的边界处是连续的时候被合并。通常，这些约束条件不被几何形状满足。因而，引入分组使得合并不具有相邻支撑集的投影算符。则这允许构造连续的乘法算符，其与对合并的投影算符的支撑集上的乘法函数

匹配。

首先在一维情形中证明。给出沿x方向的(周期)区间[0，a]，并且将该区间分成偶数个不重叠的段S_i(i＝0，...，2I)，使得所述段的联合跨过周期的区间[0，a]并且所述段根据其沿该区间的位置被标引，即段S_i-1接着段S_i。然后，可以将逆介电常数函数写成

${\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}={\mathrm{\&epsiv;}}_b^{-1}[1+\underset{i=1}{\overset{2I}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_i{\mathrm{\&Pi;}}_i\left(x\right)],---\left(2.81\right)$

其中∏_i(x)的支撑集对应第i个段。

现在引入(相互正交的)奇数和偶数投影算符如下

${\mathrm{\&Pi;}}_o=\underset{k=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&Pi;}}_{2k-1}\left(x\right),---\left(2.82\right)$

${\mathrm{\&Pi;}}_e=\underset{k=1}{\overset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&Pi;}}_{2k}\left(x\right).---\left(2.83\right)$

进一步，我们引入(标量)函数f_o(x)和f_e(x)。这些函数在区间[0，a]上是连续的，具有周期的连续性，即f_o(0)＝f_o(a)和f_e(0)＝f_e(a)，并且对于k＝1，...，I满足

$f_o\left(x\right)={\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{2k+1},x\&Element;S_{2k+1},$ (2.84)

$f_e\left(x\right)={\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{2k},x\&Element;S_{2k},$

由于偶数和奇数投影算符不合并具有相邻支撑集的投影算符的事实，例如通过在偶数和奇数投影算符的支撑集外部的段上的线性插值，函数f_o和f_e可以被构造为连续函数。因此，逆介电常数函数可以写成

${\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}={\mathrm{\&epsiv;}}_b^{-1}[1+f_o\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_o\left(x\right)+f_e\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_e\left(x\right)].---\left(2.85\right)$

现在将这个方案延伸至二维，即光栅结构的横向平面。在每个维度具有偶数个段的笛卡尔乘积栅格上的x和y方向上引入(相互正交的)偶数和奇数投影算符。进一步，引入在周期域[0，a]×[0，b]上的四个周期地连续的标量函数，表示为f_oo(x，y)、f_oe(x，y)、f_eo(x，y)以及f_ee(x，y)。这些函数可以通过在乘以这些函数的投影算符的支撑集外部的双线性插值构造。图22中示出这个过程。

图22示出通过阶梯近似方法2204在横向平面内通过每个维度引入奇数2206(白色支撑集)和偶数2208(实心/阴影支撑集)投影算符来近似椭圆2202的过程。通过将一个方向上的投影算符乘以另一方向上的投影算符，出现隔离框盒的图案。这允许构造连续函数，其在每个隔离框盒的支撑集上具有正确的行为。

则逆介电常数函数可以写成

${\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}={\mathrm{\&epsiv;}}_b^{-1}[1+f_{\mathrm{oo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{oe}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)$ (2.86)

$+f_{\mathrm{eo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{ee}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)],$

其表明，仅存在四个所涉及的两维的投影算符(着色的)。

根据第2.5.2节中简要描述的方法，得到下面的李法则

$D_x=$

${\mathrm{\&epsiv;}}_b\{1-[f_{\mathrm{oo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{oe}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]{\mathrm{\&Pi;}}_o^x\left(x\right){[I+f_{\mathrm{oo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{oe}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]}^{-1}$ (2.87)

$-[f_{\mathrm{eo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{ee}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]{\mathrm{\&Pi;}}_e^x\left(x\right){[I+f_{\mathrm{eo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{ee}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]}^{-1}\}{E}_x,$

和表示D_y和E_y之间关系的类似的表示式。

为了完成这个过程，引入两个辅助场F^e和F^o，其中x分量满足

$[I+f_{\mathrm{oo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{oe}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]F_x^o(x,y)=E_x(x,y)---\left(2.88\right)$

$[I+f_{\mathrm{eo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{ee}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]F_x^e(x,y)=E_x(x,y)---\left(2.89\right)$

并且y分量具有类似的关系。在这些条件下，最后得出

$D_x={\mathrm{\&epsiv;}}_b\{E_x-[f_{\mathrm{oo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{oe}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]{\mathrm{\&Pi;}}_o^x\left(x\right)F_x^o$ (2.90)

$-[f_{\mathrm{eo}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_o^y\left(y\right)+f_{\mathrm{ee}}(x,y){\mathrm{\&Pi;}}_e^y\left(y\right)]{\mathrm{\&Pi;}}_e^x\left(x\right)F_x^e\},$

以及y分量的类似的关系。要注意的是，链接F和E的算符具有二维特性，与前面部分中的逆算符相反。然而，所有的算符此时都是乘法算符，它们经由二维(或重复的一维)FFT具有有效的矩阵矢量乘积实施方式。由这些关系，又可以以通常的方式得出对照电流密度之间的关系，即J＝jω[D-ε_bE]，并构成方程(2.72)中的线性方程。

2.4对于单一砖块的李法则

现在考虑具体情形，其中光栅在xy平面内的横截面由嵌入在具有介电常数ε_b的背景介质中的各向同性的介电常数的单一矩形块(也称为砖)构成。在上述的定义情况下，对于这种情形可以将介电常数函数和逆介电常数函数写成

$\mathrm{\&epsiv;}={\mathrm{\&epsiv;}}_b(1+{\mathrm{\&chi;}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)),---\left(2.91a\right)$

${\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}=\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_b}(1+{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)),---\left(2.91b\right)$

由这些函数，可以得出对照电流密度的函数

$J=j{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\mathrm{\&chi;}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)E=-\mathrm{j\&omega;}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)D.---\left(2.92\right)$

进一步，得出关系式

E＝E^inc+GJ，(2.93a)

$D=\frac{J}{\mathrm{j\&omega;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{b}E,---\left(2.93b\right)$

其中G又表示格林函数算符。此时具体看通量密度和电场的x分量以达到x方向上对照电流密度的因数分解规则，即

$D_x=\frac{J_x}{\mathrm{j\&omega;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_b{E}_x=\frac{J_x}{\mathrm{j\&omega;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_b[E_x^{\mathrm{inc}}+{\left(\mathrm{GJ}\right)}_x]---\left(2.94\right)$

对于固定的x，方括号之中的第二项沿y方向是连续的。因此，乘积是可傅里叶因数分解的，即方括号内给出的脉冲函数和总电场之间的乘积，可以在光谱域中通过劳伦法则计算。随后，考虑一下和式

$\frac{J_x}{\mathrm{j\&omega;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)[E_x^{\mathrm{inc}}+{\left(\mathrm{GJ}\right)}_x],---\left(2.95\right)$

其对于固定的y在x方向上是连续的。因此，在空间域内乘以

的乘法可以在空间域内由劳伦法则表示，即乘积为可傅里叶因数分解的。由空间有效的关系

$J_x=-\mathrm{j\&omega;}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right)\left({\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)D_x\right),---\left(2.96\right)$

和

$J_x={\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)J_x,---\left(2.97\right)$

得到

$J_x=-\mathrm{j\&omega;}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right)\{\frac{J_x}{\mathrm{j\&omega;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)[E_x^{\mathrm{inc}}+{\left(\mathrm{GJ}\right)}_x\left]\right\},---\left(2.98\right)$

其可以改写为积分方程的x分量，即

$J_x+\mathrm{j\&omega;}{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right)[\frac{J_x}{\mathrm{j\&omega;}}+{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right){\left(\mathrm{GJ}\right)}_x]=-\mathrm{j\&omega;}{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\widehat{\mathrm{\&chi;}}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)E_x^{\mathrm{inc}},---\left(2.99\right)$

和对照电流密度的y分量的类似的方程。要注意的是，入射电场在任何位置处是连续的并且因此李法则对入射场不起作用。对于z分量，可以直接写出标准积分方程，因为电场的z分量对于固定的z的所有的x和y是连续的，因此与

和

的所有的乘积是可傅里叶因数分解的，即

$J_z-\mathrm{j\&omega;}{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\mathrm{\&chi;}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right){\left(\mathrm{GJ}\right)}_z=\mathrm{j\&omega;}{\mathrm{\&epsiv;}}_b{\mathrm{\&chi;}}_{\mathrm{1,1}}{\mathrm{\&Pi;}}_1^x\left(x\right){\mathrm{\&Pi;}}_1^y\left(y\right)E_z^{\mathrm{inc}}.---\left(2.100\right)$

本发明的实施例的优点在于，它们允许用于在量测应用中重构光栅轮廓的对照源反演(CSI)算法。

本发明的实施例避免在不连续的矢量场上运算的不连续算符和相关的性能损失，由此提供改进的收敛精确性和速度。

图23以示意的形式示出计算机系统，其配置有程序和数据以便执行根据本发明的一个实施例的方法。计算机系统包括中央处理单元(CPU)2302和用于在执行程序期间存储程序指令2306和数据2308的随机存取存储器(RAM)2304。计算机系统还包括用于在执行程序之前和之后存储程序指令和数据的光盘存储器2310。

程序指令2306包括快速傅里叶变换程序2312、矩阵乘法函数2314、例如加法和减法等其他算法函数2316以及阵列组织函数2318。数据2308包括在计算VIM系统的解期间使用的四维阵列2320和二维阵列2322。图中没有示出用于输入和输出的其他常规计算机部件。

在本发明的实施例中，傅里叶级数展开可以通过采用完美地匹配的层(PML)、或其他类型的吸收边界条件以在使用傅里叶展开的单位单元边界附近朝向无穷大极限模仿辐射来分析非周期结构。

本发明的实施例可以根据参照图5和6描述的重构方法实施以提供根据检测到的物体被辐射照射引起的电磁散射属性重构物体的近似结构的方法。

本发明的实施例可以通过执行这里描述的方法在参照图3和4描述的处理单元PU上实施以提供用于重构物体的近似结构的检验设备。

参照图3、4和23描述的处理器可以在包括用于计算结构的电磁散射属性的机器可读指令的一个或更多个序列的计算机程序控制下操作，所述指令适于引起一个或更多个处理器执行这里描述的方法。

虽然在本文中详述了检验设备用在制造IC(集成电路)，但是应该理解到这里所述的检验设备可以有制造具有其他应用，例如制造集成光学系统、磁畴存储器的引导和检测图案、平板显示器、液晶显示器(LCD)、薄膜磁头等。本领域技术人员应该认识到，在这种替代应用的情况中，可以将这里使用的任何术语“晶片”或“管芯”分别认为是与更上位的术语“衬底”或“目标部分”同义。这里所指的衬底可以在曝光之前或之后进行处理，例如在轨道(一种典型地将抗蚀剂层涂到衬底上，并且对已曝光的抗蚀剂进行显影的工具)、量测工具和/或检验工具中。在可应用的情况下，可以将所述公开内容应用于这种和其他衬底处理工具中。另外，所述衬底可以处理一次以上，例如为产生多层IC，使得这里使用的所述术语“衬底”也可以表示已经包含多个已处理层的衬底。

根据上面描述的本发明的实施例的方法可以并入用于如上面参照图5和6描述的、根据检测到的由辐射照射物体引起的电磁散射属性(例如衍射图案)重构物体的近似结构(不限于一维周期性)的前向衍射模型。上面参照图3和4描述的处理单元PU可以配置成使用这种方法重构物体的近似结构。

虽然上面详述了本发明的实施例在光刻设备的应用，应该注意到，本发明可以有其它的应用，例如压印光刻，并且只要情况允许，不局限于光学光刻。在压印光刻中，图案形成装置中的拓扑限定了在衬底上产生的图案。可以将所述图案形成装置的拓扑印刷到提供给所述衬底的抗蚀剂层中，在其上通过施加电磁辐射、热、压力或其组合来使所述抗蚀剂固化。在所述抗蚀剂固化之后，所述图案形成装置从所述抗蚀剂上移走，并在抗蚀剂中留下图案。

这里使用的术语“辐射”和“束”包含全部类型的电磁辐射，包括：紫外(UV)辐射(例如具有约365、355、248、193、157或126nm的波长)和极紫外(EUV)辐射(例如具有5-20nm范围的波长)，以及粒子束，例如离子束或电子束。

在允许的情况下术语“透镜”可以表示不同类型的光学构件中的任何一种或其组合，包括折射式的、反射式的、磁性的、电磁的以及静电的光学部件。

术语“电磁”包括电和磁。

术语“电磁散射属性”包括反射和透射系数以及散射测量参数，包括光谱(例如作为波长的函数的强度)、衍射图案(作为位置/角度的函数的强度)以及横向磁和横向电偏振光的相对强度和/或横向磁和横向电偏振光之间的相位差。衍射图案本身例如可以使用反射系数计算。

因此，虽然本发明的实施例描述的是反射性散射，但是本发明还可以应用于透射性散射。

尽管以上已经描述了本发明的具体实施例，但应该认识到，本发明可以以与上述不同的方式来实现。例如，本发明可以采用包含用于描述一种如上面公开的方法的一个或更多个机器可读指令序列的一个或更多个计算机程序的形式，或具有存储其中的所述一个或更多个计算机程序的一个或更多个数据存储介质(例如半导体存储器、磁盘或光盘)的形式。

应该认识到，具体实施方式部分，而不是发明内容和摘要部分，用于解释权利要求。发明内容和摘要部分可以提出一个或更多个但不是发明人预期的本发明的全部示例性实施例，因而不能够以任何方式限制本发明和未决的权利要求。

上面借助示出具体功能的应用及其关系的功能性构造块描述了本发明。为了方便说明，这些功能性构造块的边界在此任意限定。只要特定功能及其关系被适当地实施就可以限定替代的边界。

具体实施例的前述说明将充分地揭示本发明的一般特性。其他的实施例可以通过应用本领域技术人员的知识可以在不需要过多的实验、不脱离本发明的总体构思的情况下容易地修改和/或适应于不同应用。因此，基于这里给出的教导和启示，这种修改和适应应该在所公开的实施例的等价物的范围和含义内。应该理解，这里的术语或措辞是为了描述和说明而不是限制，使得本说明书的术语或措辞由本领域技术人员根据教导和启示进行解释。

本发明的宽度和范围不应该受到上述的示例性实施例的限制，而应该仅根据权利要求及其等价物限定。

在本申请中的权利要求与母申请或其他相关的申请中的权利要求不同。因此本申请人撤消了在母申请中或与本申请相关的任何以前的申请中形成的权利要求的范围中的任何没有要求保护的范围。因此，建议审查员应该需要重新考虑任何这样的先前的没有要求保护和由于该没有要求保护的行为而避免的文献。此外，还要提醒审查员在本申请中没有要求保护的行为不应该被认为是母申请中的行为或与母申请相悖。

参考文献(通过引用全部并入本文)

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附录A

贝塞尔(Bessel)函数的径向积分

径向积分计算旨在找出下面的积分的闭合表示式

∫^zz′J_2n(z′)dz′and∫^zz′J_2n+1(z′)dz′for(n≥0).    (A1)

通过采用下面的贝塞尔(Bessel)函数(^[2])的再现关系可以找出

zJ_n-1(z)+zJ_n+1(z)＝2nJ_n(z)，    (A2)

$J_{n-1}\left(z\right)-J_{n+1}\left(z\right)=2\frac{{\mathrm{dJ}}_n\left(z\right)}{\mathrm{dz}}.---\left(A3\right)$

在方程(2)中代入n+1≡2k并求积分，给出偶数贝塞尔(Bessel)积分的递归关系

∫zJ_2k(z)dz＝2(2k-1)∫J_2k-1(z)dz-∫zJ_2k-2(z)dz.    (A4)

在该方程中的第二积分可以使用方程(A3)改写。代入n+1＝2k-1并求积分，给出

∫^zJ_2k-1(z′)dz′＝∫^zJ_2k-3(z′)dz′-2J_2k-2(z).    (A5)

递归积分表示式都可以明确地写成

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2k}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}={(-1)}^{k}z{J}_1\left(z\right)+2\underset{m=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{k-m}(2m-1){\&Integral;}^z{J}_{2m-1}\left(z^{\&prime;}\right)d{z}^{\&prime;},---\left(A6\right)$

${\&Integral;}^z{J}_{2k-1}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}=-J_0\left(z\right)-2\underset{m=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2m}\left(z\right).---\left(A7\right)$

将方程(A7)带入方程(A6)中，给出

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2n}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}={(-1)}^{n}z{J}_1\left(z\right)-2J_0\left(z\right)\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{n-k}(2k-1)$ (A8)

$-4\underset{k=2}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{n-k}(2k-1)\underset{m=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2m}\left(z\right).$

该表示式的缺点在于，贝塞尔(Bessel)函数具有相同的自变量的多重估计。因为这在数值上是很消耗成本的操作，所以转换二重求和给出

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2n}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}={(-1)}^{n}z{J}_1\left(z\right)-2{(-1)}^n{J}_0\left(z\right)\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k(2k-1)$ (A9)

$-4{(-1)}^n\underset{m=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2m}\left(z\right)\underset{k=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k(2k-1).$

对所有k标记的最后的求和被表示为等于

$\underset{k=m+1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^k(2k-1)={(-1)}^{n}n-{(-1)}^{m}m,---\left(A10\right)$

这给出在偶数贝塞尔(Bessel)函数的径向积分的最终的闭合形式表示式

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2n}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}=-2n{J}_0\left(z\right)+{(-1)}^{n}z{J}_1\left(z\right)-4\underset{m=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2m}\left(z\right)[n-{(-1)}^{n-m}m],---\left(A11\right)$

其中求和仅适于n＞1。

相同的推理可以应用于对所有奇数贝塞尔(Bessel)函数的径向积分。在方程(A2)中代入n+1≡2k+1和在方程(A3)中代入n+1≡2k并且求积分，给出下面的递归积分

∫^zz′J_2k+1(z′)dz′＝2(2k)∫^zJ_2k(z′)dz′-∫^zz′J_2k-1(z′)dz′，    (A12)

∫^zJ_2k(z′)dz′＝∫^zJ_2k-2(z′)dz′-2J_2k-1(z).    (A13)

明确地写出递归关系给出

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2n+1}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}={(-1)}^n{\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_1\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}+2\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{n-k}2k{\&Integral;}^z{J}_{2k}\left(z^{\&prime;}\right)d{z}^{\&prime;},---\left(A14\right)$

${\&Integral;}^z{J}_{2n}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}={\&Integral;}^z{J}_0\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}-2\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2k-1}\left(z\right).---\left(A15\right)$

在方程(A14)中代入方程(A15)并交换二重求和，给出

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2n+1}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}={(-1)}^n{\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_1\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}+4{\&Integral;}^z{J}_0\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{n-k}k$

$-8\underset{m=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2m-1}\left(z\right)\underset{k=m}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{n-k}k.---\left(A16\right)$

使用关系

$\underset{k=m}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(-1)}^{n-k}k=\frac{1}{2}[(n+\frac{1}{2})+{(-1)}^{n-m}(m-\frac{1}{2})],---\left(A17\right)$

并部分地对方程(A16)中的zJ₁(z)求积分给出最后的表示式

${\&Integral;}^z{z}^{\&prime;}{J}_{2n+1}\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}=(2n+1){\&Integral;}^z{J}_0\left(z^{\&prime;}\right){\mathrm{dz}}^{\&prime;}+{(-1)}^{n+1}z{J}_0\left(z\right)$

$-2\underset{m=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_{2m-1}\left(z\right)[(2n+1)+{(-1)}^{n-m}(2m-1)],---\left(A18\right)$

其中，最后的求和仅应用于n≥1。

附录B

角度积分

角度积分最普遍的形式写成

其中大括号中的项的所有组合都是可以的，

是椭圆率，

是椭圆或扇形的角，c是随着几何形状输入参数带来的角偏移(见方程(83))。虽然可以得出该积分的闭合表示式，但是本文集中在两个特定情形：

扇形；

全椭圆。

对于圆形e＝1，其显著地简化积分为

其中e指的是偶数模式，o指的是奇数模式。此外，大括号中所有的项的组合都是可以的。直接积分给出

对奇数角度积分可以得出类似的表示式

对于全椭圆的情形，e在方程(B1)中是任意的。偶数角度积分可以写成

其中双角三角关系已经用于改写正弦和余弦的平方。进一步应用正弦-余弦乘积法则和所有三角函数具有周期2π的事实，给出

${\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{xx}}^e(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\&pi;})=\frac{e^2}{e^2+1}\cos \left(2\mathrm{kc}\right){\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}\left(\frac{\frac{1}{2}\cos \left[(k-1)u\right]+\cos \left(\mathrm{ku}\right)+\frac{1}{2}\cos \left[(k+1)u\right]}{1+a\cos \left(u\right)}\right)\mathrm{du}$

$+\frac{e^2}{e^2+1}\sin \left(2\mathrm{kc}\right){\&Integral;}_0^{2\mathrm{\&pi;}}\left(\frac{\frac{1}{2}\sin \left[(k-1)u\right]+\sin \left(\mathrm{ku}\right)+\frac{1}{2}\left[(k+1)u\right]}{1+a\cos \left(u\right)}\right)\mathrm{du}.---\left(B15\right)$

采用被积函数的对称性，可以示出

$\underset{0}{\overset{2\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}}\frac{\sin \left(\mathrm{ku}\right)}{1+a\cos \left(u\right)}\mathrm{du}=0,---\left(B16\right)$

$\underset{0}{\overset{2\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}}\frac{\cos \left(\mathrm{ku}\right)}{1+a\cos \left(u\right)}\mathrm{du}=2{(-1)}^k\underset{0}{\overset{\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}}\frac{\cos \left(\mathrm{kv}\right)}{1-a\cos \left(v\right)}\mathrm{dv}$

$=\frac{\mathrm{\&pi;}}{\sqrt{1-a^2}}{\left(\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{-a}\right)}^k(a^2<1),---\left(B17\right)$

其中基本积分已经用在方程(B17)中(见文献[2，第366页])。

在相同的对称自变量的情况下，可以示出

耐心地对和

重复这个工作得出

${\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{xy}}^o(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\&pi;})={\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{yy}}^o(k,\mathrm{0,2}\mathrm{\&pi;})=0,---\left(B19\right)$

要注意的是，对于圆形(e＝1)的情形，仅(k＝1)-项是非零的。

Claims (15)

1.一种计算结构的电磁散射属性的方法，所述结构包括相异属性的材料，所述相异属性在材料边界处引起电磁场内至少一处不连续，所述方法包括步骤：

(a)通过使用场-材料相互作用算符在电磁场的连续分量和对应于所述电磁场的被标定比例的电磁通量密度的连续分量上运算来确定对照电流密度的分量，以数值求解针对于对照电流密度的体积积分方程，被标定比例的电磁通量密度被形成为对照电流密度的不连续分量和电磁场的不连续分量的被标定比例的和；和

(b)通过使用所确定的对照电流密度的分量计算所述结构的电磁散射属性。

2.如权利要求1所述的方法，还包括步骤：

(a)使用第一连续分量提取算符来提取电磁场的连续分量；和

(b)使用第二连续分量提取算符来提取被标定比例的电磁通量密度的连续分量，

其中，场-材料相互作用算符在所提取的连续分量上运算。

3.如权利要求1或2所述的方法，其中所述结构在至少一个方向上是周期性的，并且电磁场的连续分量、被标定比例的电磁通量密度的连续分量、对照电流密度的分量以及场-材料相互作用算符在光谱域中由至少一个对应的有限傅里叶级数相对于所述至少一个方向表示，并且所述方法还包括步骤：通过计算傅里叶的系数来确定场-材料相互作用算符的系数。

4.如前述权利要求中任一项所述的方法，还包括步骤：由电磁场的连续分量和被标定比例的电磁通量密度的连续分量形成在材料边界处连续的矢量场，并且其中确定对照电流密度的分量的步骤通过使用场-材料相互作用算符在矢量场上运算来执行。

5.如权利要求4所述的方法，还包括步骤：

(a)在所述结构的参照材料边界限定的区域内生成局部法向矢量场；

(b)通过使用法向矢量场来选择电磁场的沿材料边界切向的连续分量和选择沿材料边界法向的对应的电磁通量密度的连续分量以构造矢量场；

(c)在该区域上执行法向矢量场的局部积分以确定场-材料相互作用算符的系数。

6.如权利要求1-3中任一项所述的方法，还包括步骤：

(a)在所述结构的参照材料边界限定的区域内生成局部法向矢量场；

(b)使用所述法向矢量场以选择电磁场的沿材料边界法向的不连续分量和对照电流密度的沿材料边界法向的不连续分量；

(c)在该区域上执行法向矢量场的局部积分以确定场-材料相互作用算符的系数。

7.如权利要求5-6中任一项所述的方法，其中生成局部法向矢量场的步骤包括对连续分量中的至少一个标定比例。

8.如权利要求5所述的方法，其中生成局部法向矢量场的步骤包括对矢量场直接使用变换算符以将矢量场从依赖于所述法向矢量场的基转换为不依赖于所述法向矢量场的基。

9.如权利要求5-8中任一项所述的方法，其中生成局部法向矢量场的步骤包括将所述区域分解成多个子区域，每一个子区域具有相应的法向矢量场，并且执行局部积分的步骤包括在每个子区域的每个相应的法向矢量场上求积分。

10.如权利要求5-9中任一项所述的方法，还包括：在生成局部法向矢量场和材料边界的局部的区域内使用介电常数的沿材料边界法向的分量和介电常数的至少一个其他不同的沿材料边界切向的分量将电磁通量密度与电场相关联。

11.一种由检测到的物体被辐射照射引起的电磁散射属性来重构物体的近似结构的方法，所述方法包括步骤：

(a)估计至少一个结构参数；

(b)由所述至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射属性；

(c)将所检测到的电磁散射属性与所述至少一个模型电磁散射属性对比；和

(d)基于所述对比的结果来确定物体的近似结构；

(e)其中，所述模型电磁散射属性通过使用根据前述权利要求中任一项所述的方法确定。

12.如权利要求11所述的方法，还包括在库里布置多个模型电磁散射属性的步骤，并且所述对比步骤包括将所检测到的电磁散射属性与库里的内容进行对比。

13.如权利要求11或12所述的方法，还包括迭代以下步骤：确定至少一个模型电磁散射属性、和对比所检测到的电磁散射属性，其中所述结构参数基于在先前的迭代中的对比步骤的结果来修正。

14.一种用于重构物体的近似结构的检验设备，所述检验设备包括：

(a)照射系统，配置成用辐射照射所述物体；

(b)检测系统，配置成检测由所述照射引起的电磁散射属性；和

(c)处理器，配置成：

(i)估计至少一个结构参数；

(ii)由所述至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射属性；

(iii)将所检测到的电磁散射属性与所述至少一个模型电磁散射属性对比；和

(iv)由所检测到的电磁散射属性和所述至少一个模型电磁散射属性之间的差异来确定近似的物体结构，

其中，所述处理器配置成使用根据权利要求1-10中任一项所述的方法确定所述模型电磁散射属性。

15.一种计算机程序产品，包含用于计算结构的电磁散射属性的一个或更多个机器可读指令的序列，所述指令适于引起一个或更多个处理器以执行如权利要求1-10中任一项所述的方法。

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