CN105814489B

CN105814489B - 用于计算结构的电磁散射性质和近似结构的重构的方法和设备

Info

Publication number: CN105814489B
Application number: CN201480057752.XA
Authority: CN
Inventors: M·C·范伯登
Original assignee: ASML Netherlands BV
Current assignee: ASML Netherlands BV
Priority date: 2013-09-09
Filing date: 2014-08-08
Publication date: 2017-10-27
Anticipated expiration: 2034-08-08
Also published as: WO2015032586A1; NL2013312A; TW201516391A; US20160223916A1; IL244378A0; CN105814489A; US9766552B2; KR101846320B1; KR20160055219A; IL244378B; TWI557404B

Abstract

一种计算结构的电磁散射性质的方法，结构包括不同性质的材料并且结构在至少一个横向方向上是周期性的并在垂直方向上延伸，包括：通过针对在至少一个横向方向上的多个模式中的每个相应模式执行在垂直方向上的伪谱多项式(切比雪夫)展开乘以对于多个模式中的所有模式都使用在正交方向上的相同样本点的1D格林函数的积分(1350)，针对每个模式在数值上求解用于电磁散射的体积分方程。积分通过求解第一(1116)与第二(1120)离散变换步骤之间的方程的正则化线性系统来执行以计算(1118)正则化切比雪夫多项式系数矢量(γ)的值。使用数值求解的结果来计算结构的电磁散射性质。

Description

用于计算结构的电磁散射性质和近似结构的重构的方法和设备

相关申请的交叉引用

本申请要求2013年9月9日提交的美国临时申请61/875,340的优先权，并且该申请通过引用全部合并于此。

技术领域

本申请涉及结构的电磁散射性质的计算。

本发明可以例如在微观结构的量测中应用，例如以评估光刻设备的临界尺寸(CD)性能。

背景技术

光刻设备是将期望的图案施加到衬底上、通常是到衬底的目标部分上的机器。可以例如在集成电路(IC)的制造中使用光刻设备。在这种情况下，备选地称作掩模或掩模版的图案形成装置可以用于生成待形成在IC的单个层上的电路图案。该图案可以被转移到衬底(例如，硅晶片)上的目标部分(例如，包括裸片的一部分、一个或数个裸片)上。图案的转移典型地是凭借到设置于衬底上的一层辐射敏感材料(抗蚀剂)上的成像来进行。一般情况下，单个衬底将含有相继地被图案化的相邻目标部分的网络。已知的光刻设备包括：所谓的步进器，其中通过使整个图案一次曝光到目标部分上来辐照各目标部分；和所谓的扫描器，其中通过在给定方向(“扫描”方向)上凭借辐射束扫描图案同时同步地平行于或反向平行于该方向扫描衬底来辐照各目标部分。也可以通过将图案压印到衬底上而使图案从图案形成装置转移至衬底。

为了监测光刻工艺，有必要测量被图案化的衬底的参数，例如形成在其中或其上的相继的层之间的重叠误差。存在有用于进行在光刻工艺中形成的微观结构的测量的各种技术，包括扫描电子显微镜和各种专用工具的使用。一种形式的专用检查工具是其中辐射的光束被引导到衬底的表面上的目标上并且测量散射的或反射的光束的性质的散射仪。通过将光束的在由衬底反射或散射之前和之后的性质进行比较，可以确定衬底的性质。这可以例如通过将反射的光束与存储在与已知衬底性质相关联的已知测量的库中的数据进行比较来完成。两种主要类型的散射仪是已知的。光谱散射仪将宽频带辐射束引导到衬底上并且测量被散射到特定的窄角度范围内的辐射的光谱(作为波长的函数的强度)。角分辨散射仪使用单色辐射束并测量作为角度的函数的散射的辐射的强度。

更一般地，能够将散射的辐射与在数学上从结构的模型预测的散射行为进行比较将是有用的，结构的模型可以自由地设定和变化直到预测的行为与来自真实样本的观察到的散射匹配。不幸的是，虽然如何通过数值程序对散射建模在原理上是已知的，但已知技术的计算负担致使这样的技术不实用，特别是如果期望实时重构的话，和/或当牵涉到的结构与在一维上周期性的简单结构相比更加复杂时。

CD重构属于在逆散射的一般名称下已知的一组问题，其中观察到的数据和可能的物理状况匹配。目的是找到引出尽可能密切地观察到的数据的物理状况。在散射测量的情况中，电磁理论(麦克斯韦方程)允许预测什么将是针对给定物理状况的测量出的(散射的)数据。这被称为前向散射问题(forward scattering problem)。逆散射问题现在是找到对应于实际测量出的数据的适当物理状况，这典型地是高度非线性问题。为求解该逆散射问题，使用了使用许多前向散射问题的解的非线性求解器。在用于重构的已知手段中，非线性问题建立在三个要素上：

·在测量出的数据与从估计的散射设定计算出的数据之间的差异的高斯-牛顿最小化；

·在散射设定中的参数化形状，例如接触孔的半径和高度；

·每次参数更新时前向问题(例如，计算出的反射系数)的解中的充分高的准确度。

对于1D-或2D-周期性结构(例如光栅)的CD重构，可以使用体积分法(VIM)以有效地计算出有关散射问题的解，如已在美国专利申请公开号US2011/0218789 A1和美国专利申请公开号US2011/0098992 A1中公开的，这些申请通过引用合并于此。对于在周期性的平面中的光谱展开的特定选择造成在正交非周期性方向上的完全解耦模态的描述。采取各具有描述每个模式的波传播的1D格林函数的一维积分方程的序列形式的该模态描述被离散或采样以获得数值方案。对于低阶离散化方案，1D积分方程的结构导致用于矩阵-矢量乘积的数值上稳定且有效的O(N)算法，其中N是每个1D积分方程的样本的数量。

切比雪夫展开(Chebyshev expansion)已知道了很长一段时间并且尤其是其与离散余弦变换(DCT)的关系已被采用以产生用于包括微分方程和1D积分方程、例如[2,4,5]的一系列数值方法的有效的数值方案。

使1D积分方程离散的低阶展开的明显缺点在于数值离散化误差收敛为O(h²)，其中h是网格尺寸。对于沿着非周期性方向关于波长高的结构，许多样本都需要达到可接受的准确度水平，这进而导致长的计算时间和大的存储器要求。

用以增加收敛率的手段接着引入具有高阶多项式的较高阶展开，这引出了包括切比雪夫多项式展开和勒让德多项式展开(Legendre polynomial expansion)的伪谱方法。伪谱方法因其指数收敛而闻名。然而，利用该手段存在有两点警告：高阶展开引出有效的矩阵-矢量乘积吗？；和，所得数值方案稳定吗？

切比雪夫展开由于离散余弦变换(DCT)的使用而产生O(NlogN)的有效的矩阵-矢量乘积。然而，稳定性结果成了大问题、尤其是对于衰逝模式(evanescent mode)而言，例如[2]中呈现出的方案已发现对于上面提到的积分方程是高度不稳定的，如在本文中的图16中图示出的。在没有用于稳定性的进一步措施的情况下，积分方程的所得线性系统具有非常高的条件数并因此不能被迭代地可靠求解。

发明内容

在半导体工艺的领域期望的是迅速地执行电磁散射性质的准确计算。

根据本发明的第一方面，提供有一种计算结构的电磁散射性质的方法，该结构包括不同性质的材料并且该结构在至少一个横向方向上是周期性的并在相对于至少一个横向方向正交的方向上延伸，该方法包括：

-通过针对在至少一个横向方向上的多个模式中的每个相应模式执行在正交方向上的伪谱多项式展开乘以对于多个模式中的所有模式都使用在正交方向上的相同样本点的1D格林函数的积分，针对多个模式在数值上求解用于电磁散射的体积分方程，其中积分通过求解方程的正则化线性系统来执行；和

-使用数值求解的结果来计算结构的电磁散射性质。

方法可以进一步包括如下步骤：

-通过借助限定扩展的正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)修改线性系统以补偿易于发生与条件调节相关的误差的展开系数而将方程的线性系统正则化；

-求解在第一离散变换步骤与第二离散变换步骤之间的方程的正则化线性系统以计算出正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的值；

-将第二离散变换步骤应用于正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的非扩展部分以计算出在正交方向上的样本点处的正则化积分(H₁(k)和H₂(k))；和

其中计算结构的电磁散射性质的步骤使用计算出的正则化积分(H₁(k)和H₂(k))。

使方程的线性系统正则化的步骤可以包括生成在正交方向上的样本点处的函数(F(k))，函数包括易于产生与条件调节相关的误差的展开系数，使得线性系统的修改补偿函数(F(k))，

并且方法可以进一步包括在离散转换步骤之后的、将正则化积分(H₁(k)和H₂(k))与正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的扩展部分(γ¹ _M+1,γ² _M+1)乘以函数(F(k))组合以计算出在正交方向上的样本点处的进一步的积分(G₁(k)和G₂(k))的步骤，

并且其中计算结构的电磁散射性质的步骤可以使用计算出的进一步的积分(G₁(k)和G₂(k))。

根据本发明的第二方面，提供有一种从由通过辐射照射对象而产生的检测到的电磁散射性质重构对象的近似结构的方法，方法包括如下步骤：

-估计至少一个结构参数；

-从至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射性质；

-将检测到的电磁散射性质与至少一个模型电磁散射性质进行比较；和

-基于比较的结果来确定近似对象结构，

其中模型电磁散射性质使用根据任一前述权利要求的方法来确定。

根据本发明的第三方面，提供有一种用于重构对象的近似结构的检查设备，检查设备包括：

-照射系统，被配置成用辐射照射对象；

-检测系统，被配置成检测由照射产生的电磁散射性质；和

-处理器，被配置成：

-估计至少一个结构参数；

-从至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射性质；

-从检测到的电磁散射性质与至少一个模型电磁散射性质之间的差异来确定近似对象结构，

其中处理器被配置成使用根据第一方面的方法来确定模型电磁散射性质。

根据本发明的第四方面，提供有一种计算机程序产品，含有用于计算结构的电磁散射性质的计算机可读指令的一个或多个系列，指令适于引起一个或多个处理器执行根据权利要求1至7中的任一个的方法。

发明的进一步特征和优点、以及发明的各种实施例的结构和操作在下面参照附图详细地进行描述。需要注意的是发明不限于在这里所描述的特定实施例。一些实施例在这里被呈现仅用于图示性目的。附加实施例对于相关领域(多个)技术人员而言基于在这里所含的教导是显而易见的。

附图说明

被包含在这里并形成说明书的一部分的附图图示出本发明并且与描述一起进一步用于说明发明的原理并使得(多个)相关领域技术人员能够做出并使用发明。

图1描绘了光刻设备。

图2描描绘了光刻单元或簇。

图3描绘了第一散射仪。

图4描描绘了第二散射仪。

图5描绘了使用用于从散射仪测量进行的结构的重构的本发明的实施例的第一示例过程。

图6描绘了使用用于从散射仪测量进行的结构的重构的本发明的实施例的第二示例过程。

图7描绘了可以根据本发明的实施例被重构的散射几何结构。

图8描绘了背景的结构。

图9图示出用以计算入射场与分层介质的相互作用的格林函数的使用。

图10是针对对比电流密度、电场或由电场和电通量密度的线性组合构成的矢量场求解对应于VIM公式的线性系统的高级方法的流程图。

图11是根据本发明的实施例的针对电场使用VIM公式的更新矢量的计算的流程图。

图12描绘了使用连续的矢量场以在数值上求解VIM公式的本发明的实施例；

图13是根据本发明的实施例的更新矢量的计算的流程图；

图14描绘了根据本发明的实施例的求解具有对比源反演的VIM公式的方法。

图15是根据本发明的实施例的使用了具有对比源反演的VIM公式的更新矢量的计算的流程图。

图16图示出在对数刻度上的对应于针对一维电介质平板的VIM公式的离散版本的线性系统的条件数相对于传播系数的实部乘厚度以及相对于展开的多项式次数PD。

图17A和图17B是根据本发明的实施例的方法的流程图。

图18以示意性形式描绘了配置有程序和数据以便执行根据本发明的方法的计算机系统。

本发明的特征和优点将从下面结合附图时阐述的详细描述中变得更加显而易见，其中相似的参考字符始终标识出相应的元件。在附图中，相似的参考数字一般指示出同样的、功能上类似的和/或结构上类似的元件。元件首次出现所在的附图用相应参考数字中的最左侧位数指示出。

具体实施方式

该说明书公开了包含该发明的特征的一个或多个实施例。所公开的实施例(多个)仅举例说明了本发明。本发明的范围不限于所公开的实施例(多个)。本发明由所附的权利要求限定。

所描述的实施例和说明书中对“一个实施例”、“实施例”、“示例实施例”等的引用指示出所描述的实施例(多个)可以包括特定的特征、结构或特性，但是每个实施例可以并不一定包括特定的特征、结构或特性。此外，这样的短语并不一定是指相同实施例。此外，当特定的特征、结构或特性是与实施例有关地描述时，可以理解的是，与无论是否明确地描述的其他实施例有关地实现这样的特征、结构或特性是在本领域技术人员的知识内的。

本发明的实施例可以在硬件、固件、软件或它们的任何组合中实施。本发明的实施例也可以被实施为可由一个或多个处理器读取和执行的存储在机器可读介质上的指令。机器可读介质可以包括用于存储或传输呈可由机器(例如，计算装置)读取的形式的信息的任何机构。例如，机器可读介质可以包括只读存储器(ROM)；随机存取存储器(RAM)；磁盘存储介质；光存储介质；闪存装置；电、光、声或其他形式的传播信号(例如，载波、红外信号、数字信号等)，及其他。此外，固件、软件、例行程序、指令可以在这里被描述为执行某些动作。然而，应该领会的是，这样的描述仅为了方便并且这样的动作事实上产生于执行固件、软件、例行程序、指令等的计算装置、处理器、控制器或其他装置。

然而，在更详细地描述这样的实施例之前，呈现出可以实施本发明的实施例的示例环境是有指导性的。

图1示意性地描绘了光刻设备。设备包括：照射系统(照射器)IL，被配置成调节辐射束B(例如，UV辐射或DUV辐射)；支撑结构(例如，掩模台)MT，被构造成支撑图案形成装置(例如，掩模)MA并被连接至配置成根据某些参数将图案形成装置准确定位的第一定位器PM；衬底台(例如，晶片台)WT，被构造成保持衬底(例如，涂有抗蚀剂的晶片)W并被连接至配置成根据某些参数将衬底准确定位的第二定位器PW；和投影系统(例如，折射式投影透镜系统)PL，被配置成将通过图案形成装置MA赋予辐射束B的图案投影到衬底W的目标部分C(例如，包括一个或多个裸片)上。

照射系统可以包括各种类型的光学部件，如折射型、反射型、磁性型、电磁型、静电型或其他类型的光学部件，或者它们的任何组合，用于引导、成形或控制辐射。

支撑结构支撑着图案形成装置、即支承其重量。它以取决于图案形成装置的定向、光刻设备的设计和诸如例如图案形成装置是否被保持在真空环境中等的其他条件的方式来保持图案形成装置。支撑结构可以使用机械的、真空的、静电的或其他夹持技术来保持图案形成装置。支撑结构可以是例如可根据需要固定或可动的框架或台。支撑结构可以确保图案形成装置例如相对于投影系统处于期望的位置。这里关于术语“掩模版”或“掩模”的任何使用都可以视为与更上位的术语“图案形成装置”同义。

这里使用的术语“图案形成装置”应该广义地解释为是指可以用于在辐射束的截面中赋予辐射束以图案以便在衬底的目标部分中创建出图案的任何装置。应该注意的是，赋予辐射束的图案可以不是精确地对应于衬底的目标部分中的期望图案，例如，如果图案包括相移特征或所谓辅助特征的话。一般地，赋予辐射束的图案将对应于诸如集成电路等的正在目标部分中创建的器件中的特定的功能层。

图案形成装置可以是透射型的或反射型的。图案形成装置的示例包括掩模、可编程反射镜阵列和可编程LCD面板。掩模是光刻中公知的，并且包括诸如二元、交替相移和衰减相移等的掩模类型，以及各种混合掩模类型。可编程反射镜阵列的示例采用小反射镜的矩阵布置，其中的每一个能够单独地倾斜以便沿不同方向反射进来的辐射束。倾斜的反射镜在由反射镜矩阵反射的在辐射束中赋予图案。

这里使用的术语“投射系统”应该被广义地解释为涵盖任何类型的投影系统，包括折射型、反射型、反射折射型、磁性型、电磁型和静电型光学系统，或它们的任何组合，视正使用的曝光辐射或诸如浸没液体的使用或真空的使用等的其他因素的情况而定。术语“投影透镜”的任何使用在这里可以视作与更上位的术语“投影系统”同义。

如这里所描绘的，设备是透射类型的(例如，采用透射式掩模)。备选地，设备可以是反射类型的(例如，采用如上面所提及的类型的可编程反射镜阵列，或者采用反射式掩模)。

光刻设备可以是具有两个(双级)或更多衬底台(和/或两个或更多的掩模台)的类型的。在这样的“多级”机器中，可以并行地使用附加的台，或者可以在一个或多个台上执行预备步骤同时一个或多个其他台被用于曝光。

光刻设备也可以是如下类型的：其中，衬底的至少一部分可以由具有相对高的折射率的液体、例如水覆盖，以便填充投影系统与衬底之间的空间。浸没液体也可以施加至光刻设备中的其他空间，例如在掩模与投影系统之间。浸没技术是现有技术中公知的，用于增加投影系统的数值孔径。如这里使用的术语“浸没”不意味着诸如衬底等的结构必须被沉浸在液体中，反而仅意味着在曝光期间在投影系统与衬底之间设有液体。

参见图1，照射器IL从辐射源SO接收辐射束。源和光刻设备可以是单独的实体，例如当源是受激准分子激光器时。在这样的情况中，源不视为形成光刻设备的一部分，并且在包括了例如合适的引导反射镜和/或扩束器的光束传递系统BD的帮助下使辐射束从源SO传到照射器IL。在其他情况中，源可以是光刻设备的一体部分，例如当源是汞灯时。源SO和照射器IL以及如果需要的话与光束传递系统BD一起可以称作照射系统。

照射器IL可以包括用于调整照射光束的角强度分布的调整器AD。一般地，可以调整照射器的光瞳面中的强度分布的至少外径向范围和/或内径向范围(常分别称作σ外和σ内)。另外，照射器IL可以包括诸如积分器IN和聚光器CO等的各种其他部件。照射器可以用于调节照射光束，以在其截面中具有期望的均匀性和强度分布。

辐射束B入射在被保持在支撑结构(例如，掩模台MT)上的图案形成装置(例如，掩模)MA上，并且通过图案形成装置而被图案化。在横穿过掩模MA之后，辐射束B通过投影系统PL，该投影系统使光束聚焦到衬底W的目标部分C上。在第二定位器PW和位置传感器IF(例如，干涉仪装置、线性编码器、2-D编码器或电容传感器)的帮助下，可以使衬底台WT准确地移动，例如以便将不同的目标部分C定位在辐射束B的路径上。类似地，第一定位器PM和另一位置传感器(图1中未明确描绘)可以用于将掩模MA相对于辐射束B的路径准确地定位，例如在从掩模库进行的机械检索之后，或在扫描期间。一般情况下，掩模台MT的移动可以在形成第一定位器PM的一部分的长行程模块(粗略定位)和短行程模块(精细定位)的帮助下实现。类似地，衬底台WT的移动可以利用形成第二定位器PW的一部分的长行程模块和短行程模块来实现。在步进器(与扫描器相对)的情况中，掩模台MT可以仅连接至短行程致动器，或者可以是固定的。掩模MA和衬底W可以利用掩模对准标记M1、M2和衬底对准标记P1、P2而对准。虽然如图示出的衬底对准标记占据了专用目标部分，但它们可以位于目标部分之间的空间中(这些被称为划线对准标记)。类似地，在超过一个的裸片设置于掩模MA上的情况下，掩模对准标记可以位于裸片之间。

所描绘的设备可以以下面的模式中的至少一个使用：

1.在步进模式中，使掩模台MT和衬底台WT保持基本静止，而将赋予辐射束的整个图案一次投影到目标部分C上(即，单次静态曝光)。接着使衬底台WT在X和/或Y方向上移位使得不同的目标部分C能够被曝光。在步进模式中，曝光场的最大尺寸限制了在单次静态曝光中成像的目标部分C的尺寸。

2.在扫描模式中，同步地扫描掩模台MT和衬底台WT而同时将赋予辐射束的图案投影到目标部分C上(即，单次动态曝光)。衬底台WT相对于掩模台MT的速度和方向可以由投影系统PL的(缩小)放大率和图像反转特性来确定。在扫描模式中，曝光场的最大尺寸限制了单次动态曝光中的目标部分的宽度(在非扫描方向上的)，而扫描运动的长度确定了目标部分的高度(在扫描方向上的)。

3.在另一模式中，使掩模台MT保持基本静止地保持着可编程的图案形成装置，并且在将赋予辐射束的图案投影到目标部分C上的状态下移动或扫描衬底台WT。在该模式中，一般采用脉冲辐射源，并且在衬底台WT的每次移动之后或在扫描期间的相继的辐射脉冲之间根据需要更新可编程的图案形成装置。该操作模式可以容易地应用于使用诸如上面所提及的类型的可编程反射镜阵列等的可编程图像形成装置的无掩模光刻。

也可以采用上面描述的使用模式的组合和/或变化或者完全不同的使用模式。

如图2所示，光刻装置LA形成有时也称作光刻单元或簇的光刻单元LC的一部分，该光刻单元LC还包括用以在衬底上执行曝光前和后工艺的设备。传统上，这些设备包括用以沉积抗蚀剂层的旋涂器SC、用以使已曝光的抗蚀剂显影的显影器DE、激冷板CH和烘烤板BK。衬底机械手或机器人RO从输入/输出端口I/O1、I/O2拾取衬底、使它们在不同工艺设备之间移动并接着传递至光刻设备的进料台LB。经常总称为轨道的这些装置在轨道控制单元TCU的控制之下，该轨道控制单元TCU自身由监督控制系统SCS控制，该监督控制系统SCS还凭借光刻控制单元LACU控制着光刻设备。因此，可以操作不同设备以使生产量和处理效率最大化。

为了使通过光刻设备被曝光的衬底正确且一致地曝光，期望检查已曝光的衬底以测量诸如随后的层之间的重叠误差、线厚度、临界尺寸(CD)等的性质。如果检测到误差，则可以对随后的衬底的曝光度进行调整，尤其是如果检查可以即刻且快速地完成足以使相同批次的其他衬底仍然待曝光的话。还有，已经被曝光的衬底可以被剥离并重新加工—以提高产率—或丢弃，由此避免在已知会有缺陷的衬底上执行曝光。在衬底的仅一些目标部分有缺陷的情况中，可以仅在良好的那些目标部分上执行进一步的曝光。

检查设备用于确定衬底的性质，并且特别是确定不同衬底或相同衬底的不同层的性质从层到层是如何变化的。检查设备可以一体化到光刻设备LA或光刻单元LC内或者可以是独立的装置。为了使得能够实现最迅速的测量，期望的是检查设备在曝光之后立即测量在已曝光的抗蚀剂层中的性质。然而，抗蚀剂中的潜像具有非常低的对比度—在抗蚀剂的已曝光于辐射的部分与未曝光的那些部分之间在反射率上仅有非常小的差异—并且不是所有检查设备都具有用以进行潜像的有用测量的充分的敏感度。因此可以在曝光后烘烤步骤(PEB)之后进行，该曝光后烘烤步骤习惯上是在已曝光的衬底上所进行的第一步骤并且增加抗蚀剂的已曝光和未曝光部分之间的对比度。在该阶段，抗蚀剂中的图像可以被称作半潜。也可以进行已显影的抗蚀剂图像的测量—此时抗蚀剂的已曝光的或者未曝光的部分已被去除—或者在诸如蚀刻等的图案转移步骤之后进行。后一可能性限制了有缺陷衬底的重新加工的可能性但仍然可以提供有用信息。

图3描绘了可以在本发明的实施例中使用的散射仪。它包括将辐射投影到衬底W上的宽频带(白光)辐射投影器2。反射的辐射被传至光谱仪检测器4，其测量镜面反射的辐射的光谱10(作为波长的函数的强度)。从该数据，可以通过处理单元PU、例如传统上通过严格耦合波分析(RCWA)和非线性回归或者如图3的底部所示通过与模拟光谱的库进行的比较来重构引出检测到的光谱的结构或轮廓。一般情况下，对于重构，结构的一般形式是已知的并且从做出结构所使用的工艺的知识假设一些参数，仅留下结构的几个参数待由散射测量数据确定。这样的散射仪可以被配置为正入射散射仪或斜入射散射仪。

可以在本发明的实施例中使用的另一散射仪被示出在图4中。在该装置中，由辐射源2发射出的辐射使用透镜系统12被聚焦通过干涉滤波器13和偏振器17、由部分反射表面16反射并且凭借具有高数值孔径(NA)、优选至少0.9并且更优选至少0.95的显微镜物镜15被聚焦到衬底W上。浸没式散射仪可以甚至具有有着超过1的数值孔径的透镜。反射的辐射接着透射通过部分反射表面16进入检测器18内以便使散射光谱被检测。检测器可以位于在透镜系统15的焦距上的背投影光瞳平面11中，然而光瞳平面可以替代地利用辅助光学器件(未示出)被重新成像到检测器上。光瞳平面是其中辐射的径向位置限定入射的角度并且角位置限定辐射的方位角度的平面。检测器优选为二维检测器，使得衬底目标30的二维角散射光谱可以被测量。检测器18可以例如是CCD或CMOS传感器的阵列，并且可以使用例如每帧40毫秒的积分时间。

参考光束经常例如用于测量入射辐射的强度。要做到这一点，当辐射束入射在分束器16上时，它的一部分透射通过分束器作为朝向参考反射镜14的参考光束。参考光束接着被投影到相同检测器18的不同部分上。

一组干涉滤波器13是可用的以选出在比方说405nm至790nm或甚至更低、如200nm至300nm的范围中的所感兴趣的波长。干涉滤波器可以是可调谐的而不是包括一组不同的滤波器。可以使用光栅代替干涉滤波器。

检测器18可以以单个波长(或窄波长范围)测量散射光的强度、以多个波长单独地测量强度或测量在波长范围之上集成的强度。此外，检测器可以单独地测量横向磁与横向电偏振光的强度和/或横向磁与横向电偏振光之间的相位差。

使用宽频带光源(即，具有宽范围的光频率或波长的光源—并因此是宽范围的颜色)是可能的，其给出了大的集光率，从而允许了多个波长的混合。宽频带中的多个波长优选地各具有Δλ的带宽和至少2Δλ(即，带宽的两倍)的间距。辐射的数个“源”可以是使用纤维束已分裂开的扩展辐射源的不同部分。以该方式，可以并行地以多个波长测量角分辨散射光谱。3-D光谱(波长和两个不同的角度)可以被测量，其含有与2-D光谱相比更多的信息。这允许更多信息被测量，这增加了量测过程稳健性(robustness)。这在EP 1,628,164A中更详细地进行了描述。

衬底W上的目标30可以是光栅，其被印刷成使得在显影之后，条纹由实的抗蚀剂线形成。条纹可以备选地被蚀刻到衬底内。该图案对光刻投影设备、特别是投影系统PL中的色差敏感，并且照射对称性和这样的像差的存在将使它们自身显现在被印刷的光栅上的变化中。于是，被印刷的光栅的散射测量数据被用于重构光栅。光栅的诸如线宽和形状等的参数可以从印刷步骤和/或其他散射测量过程的知识被输入至由处理单元PU执行的重构过程。

建模

如上所述，目标是在衬底的表面上。该目标经常采取在光栅中的一系列的线或者2-D阵列中的大致矩形结构的形状。量测中的严格光学衍射理论的目的是有效地计算从目标反射的衍射光谱。换言之，针对CD(临界尺寸)均匀性和重叠量测得到目标形状信息。重叠量测是其中两个目标的重叠被测量以便确定衬底上的两个层是否对准的测量系统。CD均匀性是简单地光栅在光谱上的均匀性的测量以确定光刻设备的曝光系统是如何起作用的。具体地，CD或临界尺寸是被“写入”衬底上的对象的宽度并且是光刻设备在物理上能够在衬底上写入的限制。

与诸如目标30等的目标结构的建模及其衍射性质结合地使用上面所描述的散射仪中的一个，可以以若干方式来执行结构的形状和其他参数的测量。在由图5表示的第一类型的过程中，计算出基于目标形状(第一候选结构)的第一估计的衍射图案并且与观察到的衍射图案进行比较。接着使模型的参数系统地变化并且在一系列的迭代中重新计算出衍射，以生成新的候选结构并因此获得最佳拟合。在由图6表示的第二类型的过程中，事先计算出针对许多不同候选结构的衍射光谱，以创建衍射光谱的“库”。接着将从测量目标观察到的衍射图案与计算出的光谱的库进行比较以找到最佳拟合。两种方法可以一起使用：可以从库得到粗略拟合，随后通过迭代过程找到最佳拟合

更详细地参见图5，将简要描述执行目标形状和/或材料性质的测量的方式。目标将对于该描述被假设为一维(1-D)结构。在实践中它可以是一维的，并且处理将相应地进行调节。

在步骤502中，使用诸如上面所描述的那些等的散射仪来测量衬底上的实际目标的衍射图案。该测量出的衍射图案被转发至诸如计算机等的计算系统。计算系统可以是上面提及的处理单元PU，或者它可以是单独的设备。

在步骤503中，建立在若干参数p_i(p₁、p₂、p₃等等)方面限定目标结构的参数化模型的“模型选配方案”。这些参数可以在1D周期性结构中例如表示侧壁的角度、特征的高度或深度、特征的宽度。目标材料和底下的层的性质也用诸如折射率(在散射测量辐射束中存在的特定的波长处)等的参数表示。下面将给出特定示例。重要的是，虽然目标结构可以由描述其形状和材料性质的几十个参数限定，但模型选配方案会将这些参数中的许多限定为具有固定值，而其他的是可变或“浮动”参数，用于以下过程步骤的目的。此外下面我们描述做出固定和浮动参数之间的选择所使用的过程。此外，我们将引入其中可以准许参数变化而没有完全独立的浮动参数的方式。为了描述图5的目的，仅可变参数被视作参数p_i。

在步骤504中：通过设定用于浮动参数的初始值pi⁽⁰⁾(即，p₁ ⁽⁰⁾、p₂ ⁽⁰⁾、p₃ ⁽⁰⁾等等)估计模型目标形状。将在某些预定范围内生成各浮动参数，如选配方案中限定的。

在步骤506中，例如使用诸如RCWA等的严格光学衍射方法或者麦克斯韦方程的其他任何求解器，将表示估计形状的参数与模型的不同元件的光学性质一起用于计算散射性质。这给出了估计目标形状的估计或模型衍射图案。

在步骤508和510中，接着将测量出的衍射图案与模型衍射图案进行比较，并且它们的类似之处和差异用于计算出针对模型目标形状的“评价函数”。

在步骤512中，假设评价函数指示出模型在它准确地表示实际目标形状之前需要改进，估计新的参数p₁ ⁽¹⁾、p₂ ⁽¹⁾、p₃ ⁽¹⁾等并迭代反馈到步骤506中。重复步骤506至512。

为了帮助搜索，步骤506中的计算可以进一步生成评价函数的偏导数，指示出增加或减小参数将使评价函数在参数空间中的该特定的区域中增加或减小时所采用的灵敏度。评价函数的计算和导数的使用一般是本领域已知的，并且将不会在这里详细描述。

在步骤514中，当评价函数指示出该迭代过程已收敛在具有期望准确度的解上时，将当前估计参数报告作为实际目标结构的测量。

该迭代过程的计算时间很大程度上由所使用的前向衍射模型来确定，即利用严格光学衍射理论从估计目标结构进行的估计模型衍射图案的计算。如果要求更多参数，那么有更多的自由度。计算时间在原理上以自由度的数量的幂增加。

在506计算出的估计或模型衍射图案可以以各种形式表达。如果以与步骤510中生成的测量出的图案相同的形式表达计算出的图案，则使比较简化。例如，模型化光谱可以很容易与由图3的设备测量出的光谱进行比较；模型化光瞳图案可以很容易与由图4的设备测量出的光瞳图案进行比较。

从图5向前遍及该描述，将在使用图4的散射仪的假设下使用术语“衍射图案”。本领域技术人员将容易使教导适于不同类型的散射仪，或者甚至其他类型的测量仪器。

图6图示出备选的示例过程，其中事先计算出针对不同估计目标形状(候选结构)的多个模型衍射图案并且存储在库中用于与真实测量进行比较。下面的原理和术语与用于图5的过程相同。图6的过程的步骤是：

在步骤602中，执行生成库的过程。可以针对各类型的目标结构生成单独的库。库可以由测量设备的用户根据需要生成，或者可以由设备的供应商预先生成。

在步骤603中，建立在若干参数p_i(p₁、p₂、p₃等等)方面限定目标结构的参数化模型的“模型选配方案”。迭代过程的考虑类似于步骤503中的那些。

在步骤604中，例如通过生成所有参数的随机值，来生成参数p₁ ⁽⁰⁾、p₂ ⁽⁰⁾、p₃ ⁽⁰⁾的第一集合等，各参数都在其值的预期范围内。

在步骤606中，计算出模型衍射图案并存储在库中，表示从由参数表示的目标形状所预期的衍射图案。

在步骤608中，生成参数p₁ ⁽¹⁾、p₂ ⁽¹⁾、p₃ ⁽¹⁾等的新集合。步骤606、608重复数十、数百或甚至数千次，直到包括所有存储的模型化衍射图案的库被判定充分完成。各存储的图案表示多维参数空间中的样本点。库中的样本应该以充分的密度填充样本空间，使得任何真实衍射图案都将被充分密切地被表示。

在步骤610中，在生成库之后(虽然可以在之前)，将真实目标30放置在散射仪中并测量出其衍射图案。

在步骤612中，将测量出的图案与存储在库中的模型化图案进行比较以找到最佳匹配图案。可以与库中的每一个样本进行比较，或者可以采用更系统的搜索策略，以降低计算负担。

在步骤614中，如果找到匹配，那么用于生成匹配的库图案的估计目标形状可以被确定为近似对象结构。对应于匹配的样本的形状参数被输出作为测量出的形状参数。匹配过程可以直接在模型衍射信号上执行，或者它可以在被优化用于快速评估的替代模型上执行。

在步骤616中，可选地，使用最近的匹配样本作为起始点，并且使用细化过程以得到用于报告的最终参数。该细化过程可以包括例如与图5中示出的那个非常类似的迭代过程。

是否需要细化步骤616对于实施者是个选择的问题。如果库被非常密集地采样，那么迭代细化可以不需要，因为总会找到良好的匹配。另一方面，这样的库可能对于实际使用太大。实用的解决方案因此是使用库搜索参数的粗略集合，随后是使用评价函数以确定参数的更准确集合的一次或多次迭代，以报告具有期望准确度的目标衬底的参数。当执行附加迭代时，将是添加计算出的衍射图案及相关联的经过细化的参数集合作为库中的新条目的选项。以该方式，可以初始使用库，这基于相对小的计算工作量，但这构建了使用细化步骤616的计算工作量的较大库。无论使用哪种方案，所报告的可变参数中的一个或多个的值的进一步细化也可以基于多个候选结构的匹配的优度得到。例如，最终报告的参数值可以通过两个或多个候选结构的参数值之间的插值产生，假设这些候选结构的两者或所有都具有高的匹配分数。

该迭代过程的计算时间很大程度上由在步骤506和606的前向衍射模型来确定，即利用严格光学衍射理论从估计目标形状进行的估计模型衍射图案的计算。

对于2D周期性结构的CD重构，在前向衍射模型中常使用RCWA，而微分方法、体积分方法(VIM)、有限差分时域(FDTD)和有限元法(FEM)也已有报道。如例如用在RCWA和差分方法中的傅里叶级数展开也可以通过采用完美匹配层(PML)或者用以模仿朝向无限接近在其上使用傅里叶展开的单位单元的边界的辐射的其他类型的吸收边界条件而用于解析非周期性结构。

体积分方法

RCWA的主要问题之一是它要求用于2D周期性结构的大量的中央处理单元(CPU)时间和存储器，因为一个序列的特征值/特征矢量问题需要求解和串接。对于FDTD和FEM，CPU时间典型地也是太高。

已知的体积分方法(如美国专利号6,867,866 B1和美国专利号7,038,850 B2中所公开的)或者基于展现出相对于网格细化的缓慢收敛的全空间离散化方案，或者基于展现出相对于越来越多的谐波的差的收敛的光谱离散化方案。作为可替代方案，提出了包含启发式方法以改善收敛的光谱离散化方案。

对于VIM而言必须求解的线性系统与RCWA相比大得多，但是如果它以迭代方式求解，则与数个矢量的存储一起仅需要矩阵-矢量乘积。因此，存储器使用典型地比用于RCWA的低得多。潜在瓶颈是矩阵-矢量乘积自身的速度。如果在VIM中应用Li规则、也称作傅里叶因子分解规则，那么矩阵-矢量乘积将会归因于数个逆子矩阵的存在而慢得多。备选地，Li规则可以忽略并且FFT可以被用于获得快速矩阵-矢量乘积，但差的收敛的问题依然存在。

图7示意性地图示出可以根据本发明的实施例被重构的散射几何结构。衬底702是在z方向上分层的介质的较低部分。示出了其他层704和706。在x和y上周期性的二维光栅708被示出在分层介质的顶部。还示出了x、y和z轴710。入射场712与结构702至708相互作用并被它们散射，从而造成反射场714。因此结构在至少一个方向x、y上是周期性的并且包括不同性质的材料，以便在包括了不同材料之间的材料边界处的入射电磁场分量E^inc和散射电磁场分量E^S的总和的电磁场E^tot上引起间断。

图8示出背景的结构并且图9示意性地图示出可以用于计算入射场与分层介质的相互作用的格林函数。在图8和图9中，分层介质702至706对应于与图7中相同的结构。在图8中，也连同入射场712示出了x、y和z轴710。还示出了直接反射场802。参照图9，点源(x’，y’，z’)904表示格林函数与生成场906的背景的相互作用。在该情况中，因为点源904在顶部层706的上方，所以有来自706与周围介质的顶部接口的仅一个背景反射908。如果点源在分层介质内，那么将会有在上、下方向两者上的背景反射(未示出)。

待求解的VIM公式是

J^c(x',y',z')＝χ(x',y',z')E^tot(x',y',z') (0.2)

在该方程中，入射场E^inc是已知的入射的角度、偏振和幅值的函数，E^tot是未知的并且计算解所针对的总电场，J^c是对比电流密度，是格林函数(3×3矩阵)，χ是由jω(ε(x,y,z,)-ε_b(z))给出的对比度函数，其中ε是结构的介电常数并且ε_b是背景介质的介电常数。χ在光栅外是零。

格林函数是已知的并且针对包括702至706的分层介质可计算。格林函数示出了在xy平面中的卷积和/或模态分解(m₁,m₂)并且在中沿着z轴的占优势的计算负担是卷积。

对于离散化，总电场在xy平面中以布洛赫/弗洛凯模式(Bloch/Floquet mode)展开。与χ的乘法变成：(a)在xy平面中的离散卷积(2D FFT)；和(b)在z上的乘积。在xy平面中的格林函数相互作用是每个模式的相互作用。对应于均质背景介质的在z上的格林函数相互作用是可以利用具有复杂性O(NlogN)的一维(1D)FFT执行的卷积。备选地，但图中未示出，在z上的格林函数可以通过采用具有复杂性O(N)的凭借在z上的向上和向下递推关系的其半可分离(semi-separability)性质来计算。通过将已经计算出的结果的一部分重新使用作为用于均质背景介质的相互作用的一部分，可以添加来自在光栅上方和下方的分层介质的反射的贡献。

xy中的模式的数量是M₁M₂，并且z中的样本的数量是N。

有效的矩阵-矢量乘积具有复杂性O(M₁M₂N log(M₁M₂N))并且存储复杂性是O(M₁M₂N)。

使用基于克雷洛夫子空间方法(Krylov subspace method)、例如BiCGstab(l)(稳定双共轭梯度法)的迭代求解器来执行对于Ax＝b的VIM解方法，BiCGstab(l)典型地具有步骤：

将残余误差限定为r_n＝b–Ax_n

凭借残余误差计算出更新矢量(多个)v_n

更新解：x_n+1＝x_n+α_n v_n

更新残余误差r_n+1＝r_n-α_n Av_n

图10是求解对应于VIM公式的线性系统的高级方法的流程图。这是通过在数值上求解体积分计算出结构的电磁散射性质的方法。在最高级，第一步骤是预处理1002，包括读取输入并准备FFT。下一步骤是计算出解1004。最后，执行在其中计算出反射系数的后处理1006。步骤1004包括也示出在图10的右手侧的各种步骤。这些步骤是计算入射场1008、计算格林函数1010、计算更新矢量1012、更新解与残余误差(例如，使用BiCGstab)1014和测试看看是否达到收敛1016。如果未达到收敛，则控制环路返回至作为更新矢量的计算的步骤1012。

图11图示出根据本发明的实施例的使用了体积分方法的在对应于图10的步骤1012的计算更新矢量中的步骤，该方法是通过在数值上求解针对电场E的体积分方程计算出结构的电磁散射性质的方法。

步骤1102是在四维(4D)阵列中重组矢量。在该阵列中第一维度具有三个元素E_x、E_y和E_z。第二维度具有针对m₁的所有值的元素。第三维度具有针对m₂的所有值的元素。第四维度具有针对z的所有值的元素。因此4D阵列存储了总电场(E_x,E_y,E_z)(m₂,m₂,z)的光谱(在xy平面中)表示。在图11中从步骤1102下降的三个并行的虚线箭头对应于通过针对各层z而执行的步骤1104至1110进行的三个2D阵列的处理，每个阵列分别针对E_x、E_y和E_z。这些步骤执行电场(E_x,E_y,E_z)(m₂,m₂,z)的光谱(在xy平面中)表示与材料性质的卷积以计算出对应于下面的方程(0.2)的对比电流密度(m₁,m₂,z)的光谱(在xy平面中)表示。详细地，步骤1104牵涉到取出三个2D阵列(二维是针对m₁和m₂)。在步骤1106中，将2D FFT针对三个阵列中的每一个前向计算成空间域。在步骤1108中，将三个阵列中的每一个乘以通过傅里叶表示的截短被过滤的对比度函数χ(x,y,z)的空间表示。在步骤1110中完成卷积，其中2D FFT后向到产生光谱对比电流密度(m₁,m₂,z)的光谱(在xy平面中)域。在步骤1112中将计算出的光谱对比电流密度放回到4D阵列中。

接着针对各模式(即，在相同时间针对z中的所有样本点)，执行步骤1114至1122。从步骤1116旁边下降的三个虚线箭头对应于计算积分项，该积分项是背景与自身是由总电场的与结构的相互作用而产生的对比电流密度的相互作用。这已知是使用光谱域(相对于z方向)中的乘法通过(m₁,m₂,z)与空间(相对于z方向)格林函数的卷积来执行。然而，根据本发明的实施例，伪谱多项式展开乘以1D格林函数的积分通过求解方程的正则化的线性系统来执行。可以求解两个正则化的系统：一个用于向上积分并且一个用于向下积分。在两倍大的一个矩阵方程下可以带来两个非耦合的系统。方程的线性系统可以通过借助限定扩展的正则化展开系数矢量修改线性系统以补偿易于发生与条件调节相关的误差的展开系数而被正则化。使方程的线性系统正则化可以包括生成在正交方向上的样本点的函数F(k)，函数包括易于发生与条件调节相关的误差的展开系数，使得线性系统的修改补偿了函数F(k)。

详细地，在步骤1114中，取出光谱对比电流密度(m₁,m₂,z)作为针对x、y和z中的每一个的三个1D阵列。步骤1116至步骤1120牵涉到在第一和第二离散变换步骤1116与1120之间将方程的正则化线性系统求解1118成正则化展开系数矢量γ的值。包括步骤1116至1120的虚线方框1150对应于参照提供了更详细的描述的图17A和图17B所描述的步骤。在步骤1122中，添加相对于z在空间域中的背景反射(参见图9中的908)。背景反射与格林函数的该分离是传统技术并且步骤可以通过添加轶-1投影来执行，如本领域技术人员应该领会的。当处理各模式时，接着在步骤1124中将如此计算出的针对总电场(E_x,E_y,E_z)(m₂,m₂,z)的更新矢量放回到4D阵列中。

下一步骤是在矢量中重组4D阵列1126，该步骤与“在4D阵列中重组矢量”的步骤1102的不同之处在于它是反向运算：使各一维索引与四维索引唯一地相关。最后在步骤1128中，从输入矢量中减去来自步骤1126的矢量输出，对应于方程(0.1)的右手侧中的减法。输入矢量是在图11中的步骤1102中进入的并且含有(E_x,E_y,E_z)(m₁,m₂,z)的输入矢量。

利用图11中所描述的方法的问题在于它导致差的收敛。该差的收敛由介电常数上的并行跳动和针对截短的傅里叶空间表示的对比电流密度引起。如上面所讨论的，在VIM方法中Li逆规则不适于克服收敛问题，因为在VIM中逆规则的复杂性由于VIM数值求解中所需的非常大量的逆运算而导致非常大的计算负担。通过引用合并于此的美国专利申请公开号US2011/0218789 A1公开了一种克服了由并行跳动引起的收敛问题而不用诉诸如Li所描述的逆规则的使用的方式。通过避免逆规则，US2011/0218789 A1的手段不用牺牲用于在VIM手段中以迭代方式求解线性系统所要求的矩阵-矢量乘积的效率。

US2011/0218789 A1公开了在计算结构的电磁散射性质的体积分方法(VIM)中的改进的收敛通过在数值上求解针对矢量场F而不是电场E的体积分方程来获得。矢量场F可以通过基的改变而与电场E相关，并且可以在电场E具有间断的材料边界处是连续的。矢量场F的卷积使用根据有限劳伦规则的卷积算子(根据有限离散卷积运算)来执行，这允许了凭借1D和/或2D FFT(快速傅里叶变换)的有效矩阵-矢量乘积。可逆的基卷积与改变算子C被配置成通过执行根据周期性结构的材料和几何性质的基的改变将矢量场F变换成电场E。

在求解了针对矢量场F的体积分之后，附加的后处理步骤可以用于从矢量场F得到电场E。

矢量场F可以通过使用法向-矢量场n滤除连续分量而由电场E与电通量密度D的场分量的组合构成。

改进的体积分方法可以被包含到用于重构对象的近似结构的量测工具中的前向衍射模型内、例如以评估光刻设备的临界尺寸(CD)性能。

图12图示出使用连续矢量场在数值上求解VIM公式的本发明的实施例。这牵涉到针对通过基的改变与电场E相关的矢量场F在数值上求解体积分方程，矢量场F在一个或多个材料边界处是连续的，以便确定矢量场F的近似解。矢量场F通过相对于至少一个方向x，y的至少一个有限傅里叶级数来表示，并且在数值上求解体积分方程的步骤包括通过矢量场F与基卷积与改变算子C的卷积来确定电场E的分量，和通过矢量场F与卷积算子M的卷积来确定电流密度J。基卷积与改变算子C是可逆的并且包括在至少一个方向x、y上的结构的材料和几何性质，并且被配置成通过执行根据材料和几何性质的基的改变而将矢量场F变换成电场E。卷积算子M包括在至少一个方向x、y方向上的结构的材料和几何性质。电流密度J可以是对比电流密度并且通过相对于至少一个方向x、y的至少一个有限傅里叶级数来表示。卷积使用诸如从包括第一傅里叶变换(FFT)和数论变换(NTT)的集合中选出的一个等的变换来执行。基卷积与改变算子C和卷积算子M根据有限离散卷积运算，以便产生有限结果。

图12示出了针对中间矢量场F求解VIM系统的步骤1202，以及用以通过矢量场F的近似解与基卷积与改变算子C的卷积而得到总电场E的后处理步骤1204。卷积可以使用诸如从包括快速傅里叶变换(FFT)和数论变换(NTT)的集合中选出的一个等的变换来执行。图12还在右手侧示出了执行有效矩阵-矢量乘积1206至1216以迭代地求解VIM系统的示意性图示。这起始于步骤1206中的中间矢量场F。第一次设定此F，它可以从零开始。在此初始步骤之后，通过迭代求解器和残余引导F的估计。接下来，使用凭借针对z方向上的各样本点的2DFFT的基卷积与改变算子C与中间矢量场F的卷积来计算出1208总电场E。基卷积与改变算子C被配置成将中间矢量场F的基变换成总电场E的基。还有，对比电流密度J是在步骤1210中使用材料卷积算子M与中间矢量场F的卷积而计算出。步骤1210是利用凭借2D FFT执行的卷积而针对z中的各样本点而执行。在步骤1212中，计算出在格林函数G与对比电流密度J之间的相互作用和轶-1投影以产生散射电场E^s。运算1214将两个计算出的结果E^s从E中减去以得到E^inc的近似值1216。因为步骤1206至1216产生更新矢量，于是后处理步骤1204被用于产生总电场E的最终值。

与单独的后处理步骤1204不同，所有更新矢量的总和可以在步骤1208处被记录以便计算出总电场E。然而，此手段增加了方法的存储要求，而后处理步骤1204与迭代步骤1206至1216相比在存储或处理时间上成本低。

因此，在图12的左手侧上，指定出对应于光谱VIM的线性系统。线性系统凭借迭代求解器和图12的右手侧上的流程图中指定出的VIM的有效矩阵-矢量乘积来求解。本发明的实施例关系到矩阵-矢量乘积流程图的右手侧上的方块1212“计算E^s＝-G*J”。该方块评估归因于对比电流密度J的散射电场E^s。根据本发明的实施例，在该方块中，伪谱多项式展开乘以1D格林函数的积分通过求解方程的正则化线性系统来执行。以与参照图11所讨论的方式相同的方式，可以求解两种正则化系统：一个用于向上积分并且一个用于向下积分。可以在两倍大的一个矩阵方程下带来两个未耦合的系统。方程的线性系统可以通过借助限定扩展的正则化展开系数矢量修改线性系统以补偿易于发生与条件调节相关的误差的展开系数而被正则化。使方程的线性系统正则化可以包括生成在正交方向上的样本点的函数F(k)，函数包括易于发生与条件调节相关的误差的展开系数，使得线性系统的修改补偿了函数F(k)。

矩阵-矢量乘积的该部分的计算是基于在(非均匀)切比雪夫栅格上采样的针对量J的切比雪夫展开乘以用于1D亥姆霍兹方程(Helmholtz equation)的1D格林函数的闭合形式解析积分。凭借用于闭合切比雪夫规则的离散余弦变换(DCT)(即，I型DCT)，将J的采样值变换成用于切比雪夫展开的系数。随后，通过求解解析正则化线性系统将展开积分，其中在这里所描述的解析正则化是第一次用于计算傅里叶积分的应用。后一步骤造成表示与格林函数积分之后的结果的用于新切比雪夫展开的系数的集合。作为最终步骤，在相同的非均匀切比雪夫栅格上评估展开。虚线方块1250对应于由参照图13描述的虚线方框1350所围成的步骤和参照图17A和图17B描述的步骤。

与以前的手段的明显差异在于这里所描述的实施例可以不只是解决单个1D积分方程，而且可以解决1D积分方程或单个积分的完整系统，对此耦合归因于在纵向方向上在相同栅格上评估出的场-材料相互作用而发生。纵向方向是正交于结构是周期性所在的横向方向(例如x，y)的“非周期性”或“正交”方向。这里所描述的实施例在相同时间在用于所有模式的一个算法内解决了效率和稳定性两者。

图13是基于US2011/0218789 A1的公开的根据本发明的实施例的更新矢量的计算的流程图。图13的流程图对应于图12的右手侧(步骤1206至1216)。

在步骤1302中，在4D阵列中重组矢量。接着针对z中的各样本点执行步骤1304至1318。在步骤1304中，从4D阵列中取出三个2D阵列。这三个2D阵列(F_t1,F_t2,F_n)(m₁,m₂,z)分别对应于连续矢量场F的两个切向分量F_t1、F_t2和法向分量F_n，各分量具有对应于m₁和m₂的两个维度。因此矢量场F通过使用法向-矢量场n滤除电磁场E的相切于至少一个材料边界的连续分量并且还滤除电磁通量密度D的垂直于至少一个材料边界的连续分量而由电磁场E与相应电磁通量密度D的场分量的组合构成。在步骤1306中，用(F_t1,F_t2,F_n)(m₁,m₂,z)表示的光谱连续矢量场的卷积起始于用(F_t1,F_t2,F_n)(x,y,z)表示的在步骤1306中的2D FFT前向的针对三个阵列中的每一个到空间域内的计算。在步骤1308中，将从步骤1306得到的傅里叶变换(F_t1,F_t2,F_n)(x,y,z)在空间域中乘以空间乘法算子C(x,y,z)。在步骤1310中，将在步骤1308中得到的乘积通过2D FFT后向变换成光谱域。接着在步骤1312处将光谱总电场(E_x,E_y,E_z)放回4D阵列中。此外，将副本反馈前向至下面讨论的减法运算1322。

在步骤1314中，将从步骤1306得到的傅里叶变换(F_t1,F_t2,F_n)(x,y,z)在空间域中乘以乘法算子M。在步骤1316中通过2D FFT后向将在步骤1314中的计算的乘积变换成光谱域以产生用(m₁,m₂,z)表示的光谱对比电流密度。在步骤1318中将光谱对比电流密度放回4D阵列中。

为了完成已知入射电场E^inc的近似值的计算，以与参照图11中的相应识别编号的步骤所描述的方式相同的方式、通过步骤1114至1122针对各模式m₁、m₂计算出格林函数与背景的相互作用。如参照图11所描述的，步骤1116至1120牵涉到在第一与第二离散变换步骤1116与1120之间求解1118方程的正则化线性系统以计算出正则化展开系数矢量γ的值。因此包括步骤1116至1120的虚线方框1350对应于参照提供了更详细描述的图17A和图17B描述的步骤。

在步骤1320中，将背景与光谱对比电流密度J的光谱格林函数的相互作用的结果放回4D阵列中。最后，在步骤1322中，利用从由步骤1312前向反馈的总电场中减去步骤1320的结果的减法来完成已知入射电场E^inc的近似值的计算，并且最终步骤1314在矢量中重组4D阵列。这意味着4D阵列的每一个四维索引与矢量的一维索引唯一地相关。

通过引用合并于此的美国专利US2013/0066597A1公开了一种适于在量测应用中重构光栅轮廓的对比-源反演(CSI)算法。实施例牵涉到在数值上求解针对电流密度J的体积分方程。它通过E与J的线性组合的连续分量的选择而采用与电场E^S相关的矢量场F^S和电流密度J的隐式构造，矢量场F在一个或多个材料边界处连续，以便确定电流密度J的近似解。矢量场F用相对于至少一个方向x、y的至少一个有限傅里叶级数来表示，并且数值上求解体积分方程的步骤包括通过矢量场F与卷积算子M的卷积来确定电流密度J的分量。卷积算子M包括在x、y方向上的结构的材料和几何性质。电流密度J可以用相对于x、y方向的至少一个有限傅里叶级数来表示。此外，连续分量可以使用作用于电场E和电流密度J的卷积算子P_T和P_n来提取。

图14图示出基于US2013/0066597 A1的公开的本发明的另一实施例。

图14示出通过采用使用连续分量提取算子形成的中间矢量场F来求解针对电流密度J的VIM系统的步骤1402，以及用以通过使格林函数算子作用于电流密度J得到总电场E的后处理步骤1404。图14还在右手侧示出了执行有效矩阵-矢量乘积1406至1420以迭代地求解VIM系统的示意性图示。这起始于步骤1406中的电流密度J。第一次设定此J，它可以从零开始。在此初始步骤之后，通过迭代求解器和残余引导J的估计。在步骤1408中，计算出在格林函数G与对比电流密度J之间的相互作用和轶-1投影以产生散射电场E^s。根据本发明的实施例，通过求解方程的正则化线性系统来执行伪谱多项式展开的积分。以与参照图11和图12所讨论的方式相同的方式，可以求解两个正则化系统：一个用于向上积分并且一个用于向下积分。可以在两倍大的一个矩阵方程下带来两个非耦合的系统。方程的线性系统可以通过借助限定扩展的正则化展开系数矢量修改线性系统以补偿易于发生与条件调节相关的误差的展开系数而被正则化。使方程的线性系统正则化可以包括生成在正交方向上的样本点的函数F(k)，函数包括易于发生与条件调节相关的误差的展开系数，使得线性系统的修改补偿了函数F(k)。虚线方框1450对应于由参照图15描述的虚线方框1550所围住的步骤和参照图17A和图17B所描述的步骤。还有，在步骤1414中使用与作用于散射电场E^s和电流密度J的两个连续分量提取算子P_T和P_n的卷积来计算出中间矢量场F。因此第一连续分量提取算子P_T在步骤1410中被用于提取电磁场E^s的连续分量，并且第二连续分量提取算子P_n在步骤1412中被用于提取按比例缩放的电磁通量密度D^s的连续分量。在步骤1416中，场-材料相互作用算子(M)在提取出的连续分量上运算。步骤1414表示从在步骤1410中得到的电磁场的连续分量与在步骤1412中得到的按比例缩放的电磁通量密度的连续分量形成在材料边界连续的上矢量场F^s。确定对比电流密度的分量的步骤1416通过使用场-材料相互作用算子M在矢量场F^s上运算来执行。步骤1410至1416是利用凭借FFT执行的卷积针对z中的各样本点而执行。卷积可以使用诸如从包括快速傅里叶变换(FFT)和数论变换(NTT)的集合中选出的一个等的变换来执行。运算1418将两个计算出的结果J^s从J中减去以得到1420中的与入射电场E^inc相关的J^inc的近似值。因为步骤1406至1420产生更新矢量，于是后处理步骤1404被用于产生总电场E的最终值。

与单独的后处理步骤1404不同，所有更新矢量的总和可以在步骤1408处被记录以便计算出散射电场E^s并且后处理步骤变成仅仅将入射电场E^inc添加至散射电场。然而，此手段增加了方法的存储要求，而后处理步骤1404与迭代步骤1406至1420相比在存储或处理时间上成本低。

图15是基于US2013/0066597 A1的根据本发明的实施例的更新矢量的计算的流程图。图15的流程图对应于图14的右手侧(步骤1406至1420)。

在步骤1502中在4D阵列中重组矢量。

随后，以与参照图11中编号1114至1124和图13中编号1114至1320的相应步骤所描述的方式相同的方式通过步骤1504至1514针对各模式m₁、m₂计算出格林函数与背景的相互作用。如参照图11和图13所描述的，步骤1116至1120牵涉到在第一与第二离散变换步骤1116与1120之间求解1118方程的正则化线性系统以计算出正则化展开系数矢量γ的值。因此包括步骤1116至1120的虚线方框1150对应于参照提供了更详细描述的图17A至图17B描述的步骤。

接着针对z中的各样本点(也就是，针对各层)，执行步骤1516至1530。在步骤1516中，从4D阵列中取出三个2D阵列。这三个2D阵列(E_x,E_y,E_z)(m₁,m₂,z)对应于散射电场E的笛卡尔分量，各分量具有对应于m₁和m₂的两个维度。用(F_x,F_y,F_z)(m₁,m₂,z)表示的连续矢量场的卷积起始于用(E_x,E_y,E_z)(m₁,m₂,z)表示的在步骤1518中的2D FFT前向的针对三个阵列中的每一个到空间域内的计算。在步骤1520中，将从步骤1518得到的傅里叶变换(E_x,E_y,E_z)(x,y,z)在空间域中乘以空间乘法算子MP_T(x,y,z)，这具有两个功能：首先通过应用切向投影算子P_T滤除散射电场的连续分量，由此产生了连续矢量场F的切向分量，并且其次通过将连续矢量场F与仅关于散射场的对比电流密度J联系起来的对比度函数M执行乘法。

在步骤1514处将放回4D阵列中的散射场(E_x,E_y,E_z)(m₂,m₂,z)反馈到如上面所讨论的步骤1516和如下面所讨论的步骤1522两者内。

在步骤1522中，针对z中的各样本点(也就是，针对各层)，将散射电通量密度D的按比例缩放的版本形成为从步骤1514得到的散射电场与从取出三个2D阵列之前的步骤1502前向反馈到的对比电流密度的按比例缩放的总和，对应于在光谱域中的D的笛卡尔分量。在步骤1524中，执行这些阵列的2D FFT，产生了在空间域中的笛卡尔分量(D_x,D_y,D_z)(x,y,z)。在步骤1526中，将这些阵列在空间域中乘以乘法算子MP_n，这具有两个功能：首先按比例缩放的通量密度的连续的法向矢量被滤除并且产生连续矢量场F的法向分量，并且其次通过将连续矢量场F与仅关于散射场的对比电流密度J联系起来的对比度函数M执行乘法。接着在步骤1528中，将步骤1520与1526的结果组合以产生针对连续矢量场F的所有分量、即切向和法向分量的运算MF的近似值。接着在步骤1530中通过2D FFT后向将MF变换成光谱域以产生用MF(m₁,m₂,z)表示的光谱对比电流密度的近似值。在步骤1532中，将与散射场相关的所得的光谱对比电流密度返回4D阵列中，并且随后在步骤1534中转换回矢量。这意味着使4D阵列的每一个四维索引与矢量的一维索引唯一地相关。最后在步骤1530中，利用从由步骤1502的输入前向反馈到的总对比电流密度中减去步骤1534的结果的减法来完成与入射电场J^inc相关的已知对比电流密度的近似值的计算。

切比雪夫插值算法

在实施例中，解决了在计算电磁散射性质的体积分方法中的一维积分方程的序列的沿着纵向非周期性(z)方向上的离散。最初，已利用用于展开对比-电流密度的局部分段线性基函数和用于测试而匹配的点将这些积分方程离散。该手段的优点在于，当采用1D格林函数的半可分离性时导致O(N)的简单且低复杂性的算法，或者当采用卷积性质时导致O(NlogN)的简单且低复杂性的算法，其中N是基函数和样本点的数量。此外，在z方向上的光栅的几何结构可以由切片建立并且可以对每个切片处理离散。

然而，缺点在于，沿着z方向的插值误差的收敛归因于分段线性展开函数而限于第二阶。这是与其中针对各模式的行为在具有从特征值分解得出的传播系数的指数函数方面在解析上是已知的RCWA相比。由于我们不想在体积分方法中引入昂贵的特征值计算，所以我们在寻找一种在维持用于一维积分方程的序列的低复杂性矩阵-矢量乘积的状态下导致插值误差的快速收敛的可替代方案。

得到对于插值的较高阶收敛的自然方式是使用较高阶的多项式基。然而在沿着这些线推理时应该牢记两个方面。首先，为了得到较高阶收敛，待插值的函数应该充分地正则以允许高阶插值，即，函数应该可连续微分至在插值的整个区间上充分高的次数。在体积分方法中，这意味着高阶插值仅在每个切片被应用，因为对比电流密度的作为在积分方程中的插值函数的光谱分量可以横跨切片边界展现出数种间断。

第二方面在于，插值和与插值核、即光谱格林函数的积分应该产生针对相应矩阵-矢量乘积的低复杂性算法。对于低阶分段线性展开，这是简单的，因为各基函数的受限的支持产生低阶递推关系，即，可以凭借几个乘法和已经计算出的函数值及积分函数值的添加从一个样本点积分至下一个。对于较高阶多项式，这典型地不是这样的情况，因为插值点沿着整个插值区间扩散。因此，需要另一机制产生低复杂性矩阵-矢量乘积。这里所使用的机制在于，可以在与一维格林函数核积分之前和之后的正交多项式的展开系数之间导出仅牵涉到几个(和固定数量的)以前计算出的系数和权重的短递推关系，并且多项式的加权和可以凭借低复杂性算法在恰当选出的特定点处进行评估。特别地，我们选择可以通过与快速傅里叶变换(FFT)直接相关的离散余弦变换(DCT)在所谓的切比雪夫节点处被评估的第一种切比雪夫多项式的基。

格林函数与积分方程

在体积分方法中，要求将表示为j_m(z)的对比电流密度的光谱分量与一维格林函数核以及其相对于z的第一和第二导数积分，即，

其中i∈{x,y,z}表示对比电流密度的笛卡尔分量，n∈{0,1,2}表示相对于z的微分的阶数，并且(微分之后)z呈现独立于m的预定离散值。这些积分可以被改写为积分的线性组合

其中z∈[a,b]。这些积分方程核所属的核的类是所谓的半可分离核。这些积分也承担对沃特拉(Volterra)积分方程的强相似性。由于在向上和向下积分上的积分的分裂，指数函数上的绝对值可以被去除，这产生了表达式

虽然现在可以将exp(±γ_mz)带到积分外，但在数值意义上实施这一步时需要小心，因为γ_m可能很大并且是正的而z呈现[a,b]中的值，这可能会造成用于指数的非常大或非常小的数量。

第一种切比雪夫多项式上的准备工作

为了函数的插值已相当多地使用了第一种切比雪夫多项式，由此形成了所谓的伪谱方法的子类。伪谱方法对于在非常平滑的函数上的相对于插值误差的其高阶收敛是已知的。此外，切比雪夫多项式形成了具有使得它们展现出呈连续函数形式和呈离散(采样的)函数形式两者的正交性的特殊性质的正交多项式的集合。它们把这些性质归功于在以连续和离散傅里叶变换采用时它们与傅里叶展开的亲密关系，对于该傅里叶展开连续和离散的正交关系也成立。

阶数n＝0,1,2,.的第一种切比雪夫多项式T_n(x)在区间x∈[-1,1]上限定为

T_n(x)＝cos(narccos(x)). (6)

虽然该限定可以扩展超过区间[-1,1]，但我们不需要扩展的限定。对于相对于x的导数，我们容易导出以下关系

第一种切比雪夫多项式的限定还允许通过x＝cos(t)的代换在连续情况中的正交关系的直接导出，即

利用该正交关系，可以在区间x∈[-1,1]上建立在第一种切比雪夫多项式方面的函数的展开，即

其中展开系数得到为

其中已假设积分和求和的顺序例如因为均匀的收敛而可以互换并且其中

是诺依曼符号(Neumann symbol)。诺依曼符号的存在激发了几位作者引入Σ'记法，即

为了以后方便，将在区间[-1,1]上的在第一种切比雪夫多项式方面的指数函数的展开给出为

其中I_n(q)是阶数n且自变数q的第一种修正贝塞尔函数。该展开从用于第一种贝塞尔函数和切比雪夫多项式与余弦之间的关系的生成函数得出[5]。

除了多项式之间的上面的连续正交性质，在多项式之间还有离散正交性质。接着在所谓切比雪夫节点处对切比雪夫多项式进行采样，该所谓切比雪夫节点可以以两种不同方式来限定：闭合规则和开放规则。闭合的切比雪夫节点被限定为多项式(1-x²)T′_N(x)的N+1个零，其中单引号指示出相对于x的导数，即

在该情况中，切比雪夫节点包括限定的域的边界，即±1。这些切比雪夫节点可以被采用作为在切比雪夫高斯-罗巴托求积规则(Chebyshev Gauss-Lobatto quadraturerules)中的横坐标或样本点。鉴于包含域的端点，这些规则被称为“闭合求积规则”，参见[1]和[4，第106至112页]。这些节点引出了离散正交关系

针对m,n≤N，其中

由于我们将对每个切片应用切比雪夫展开并且由于我们已经具有一种凭借在各切片的顶部和底部采样的场值使来自各个切片的响应耦合的机制，所以我们的关注点在于闭合规则、即包括区间[-1,1]的端点的切比雪夫节点的应用，并且我们将假设使用对应于闭合规则的节点。在该部分的末尾，针对所谓“开放规则”的情况给出了简要概述。

离散正交关系可以用于基于在切比雪夫节点的样本f(x_k)来构造f(x)的N阶函数插值，即

其中

由于在切比雪夫节点的插值性质。针对上面的闭合规则的正交关系的展开产生

因此展开系数可以被确定为

后一公式可以解释为I型离散余弦变换(DCT-I)。该解释非常重要，因为DCT在作用于含有针对k＝0,...,N的采样的函数值f(x_k)的长度N+1的数量上的DCT的一个应用上都产生针对n＝0,...,N的展开系数此外，DCT由于其与快速傅里叶变换(FFT)的关系因此是针对恰当选出的N的值的O(NlogN)的低复杂性算法。事实上，长度N+1的DCT-I精确地等效于(高达2的整体比例因子)具有偶对称的2N个实数的FFT。结果，2N必须具有在小的素数上的因子分解以便产生有效算法。DCT-I例如已在软件包FFTW中被实施。值得一提的是，I型DCT是其自己的逆向的按比例缩放的版本。这意味着样本点值f(x_k)可以凭借DCT-I从展开系数再生。

在利用切比雪夫多项式求和中的乘法因子1/d_n的存在在一些文献中用双引号表示，即

在下面相对于开放切比雪夫节点给出一些评论。可以将开放切比雪夫节点限定为T_N+1的N+1个零，其不包括域的端点，如

其引出了正交关系

针对m,n<N。这些切比雪夫节点也可以被采用作为切比雪夫高斯-罗巴托求积规则中的横坐标。鉴于排除域的端点，这些规则被称作“开放规则”，参见[1]。这些求积规则通过将在第一种切比雪夫多项式方面表达出的整体插值多项式积分得到，并且接着可以通过开放节点给出横坐标。凭借DCT再次得到针对切比雪夫多项式的相应的乘法因子，但现在II型(DCT-II)的和DCT-II的逆运算是III型的DCT(DCT-III)。DCT-II和DCT-III两者也已在FFTW中实施并且具有O(NlogN)的计算复杂性。

对于用具有平行或垂直偏振的斜入射平面波来照射均质平板的情况，两个公知的1D问题，我们可以遵循由Kang,Koltracht和Rawitscher发表的文章[2]。作者利用了针对包括呈以下形式的核k(z,z′)的所谓半可分核的1D核的类的切比雪夫展开，

限定在区间[a,b]上。在本质上，遵循作者的手段是将核k₁至k₄的域以平滑方式扩展至整个区间[a,b]，并且随后采用针对这些核的切比雪夫展开。由于核的半可分离性导致在离散情况中的显著计算优点，所以似乎在展开核的情况下最佳地维持半可分离性。对于与exp(-γ|z-z′|)成正比的1D平板的格林函数的情况，核k₁(z)至k₄(z)变成在区间[0,d]、即平板的位置上的函数exp(±γz)。显然，当γ具有实部时，这些核中的两个表明指数生长并且其他两个表明指数衰变，这可能对整体算法的数值稳定性和准确度有害。

遵循[2]中提出的算法的实施的初始测试表明，在γ是纯粹虚数的传播波的情况中，与精确解相比，对于平板可以得到高准确度的答案。测试显示出相对于切比雪夫展开的阶数的指数收敛。例如，对于具有波长的一半厚度的平板，仅需要17个切比雪夫多项式以得到高达机器精度的答案。这必须与在使用了体积分方法的已知系统中的分段线性展开的O(N^-2)收敛率相比。

图16图示出针对[2]中提出的手段的在对数刻度上的条件数相对于传播系数γ的实部乘厚度以及相对于展开的多项式次数PD。平板的厚度是d＝0.5λ并且γ是纯粹实的。多项式次数指示出考虑到的切比雪夫多项式的数量。

做出了调查以看看当考虑衰逝波时、即当Re{γ}>0时算法的准确度和稳定性会发生什么。据观察，当γ的实部增加时或者当γ具有非零实部并且平板的厚度增加时，收敛率依然是指数的但相关联的线性系统的条件数迅速地增加，如图16所示。当在模拟中使用体积分方法考虑到的衰逝模式的数量增加时，迭代求解器需要许多迭代来收敛，即使针对相对低的对比。当模式的数量更进一步增加时，迭代求解器不能收敛。这些成果清楚地指示出归因于所提出的算法的病态性(ill-conditioning)，因为之前对于使用分段线性展开时的同样的低对比情况从来没有发生过这样的迭代收敛问题。此外，存在着如下理论结果：其表明包括分段线性展开和由切比雪夫多项式进行的展开在内的一般插值方法产生了具有接近连续公式化的条件调节的条件调节的积分方程，该连续公式化典型地被恰当地条件调节用于这里所讨论的种类的积分方程。因此插值自身不会引起病态性。结果，核的展开必须以某种方式负责，这与使核指数形式地迅速增加和衰变的担忧相一致。

解析积分算法

在[2]中所提出的手段的最吸引人的性质在于，相对于格林函数的矩阵-矢量乘积由于DCT的应用和呈所谓左和右光谱积分矩阵[2]形式的随后矩阵-矢量运算的稀疏性而具有低的计算成本。乍一看，不清楚这样的性质是否可以通过诉诸将切比雪夫多项式和格林函数的乘积积分的另一手段来保持，因为矩阵-矢量乘积的结构取决于[2]中所提出的核展开。然而，为了洞察到在前述部分中指出的不稳定性的根源，我们将通过导出精确积分过程来继续并且同时我们将表明所得的算法仍然是低复杂性的。

类比于方程(1)，我们将未知的电流密度在次数M的一般多项式P_M(z)方面展开并且考虑不定积分

∫P_M(z)exp(γz)dz＝Q_M(z)exp(γz), (28)

其中Q_m(z)再次是次数m的多项式。公式通过重复的部分积分得到。从计算点的角度看，关键点是使Q_m(z)的系数与P_m(z)的系数相关，并且具有在z的值的范围上的多项式P_m(z)和Q_m(z)的迅速评估。多项式P_m和Q_m的迅速评估可以通过将多项式写入作为切比雪夫多项式的总和并且同时将z的值限制为如与在上面关于切比雪夫多项式的初步讨论所指示出的呈DCT形式的下面的求积规则的横坐标中的那些而得到。为了能够应用切比雪夫多项式的性质，重点是首先通过引入下面的缩放比例将所感兴趣的区间、即z∈[a,b]按比例缩放至t∈[-1,1]

我们通过将按比例缩放的多项式P_m和Q_m在切比雪夫多项式方面展开并且我们将方程(28)重写为

其中我们想要找到作为q和α_n、n∈{0,...,M}的函数的所有β_m。所需求的关系可以通过将上面的方程相对于t进行微分来找到，即

因此我们具有多项式方程

通过应用关系(2)并且随后相对于t进行积分，我们获得了

其中C表示归因于不定积分的积分常数。注意，用于T₀(t)的系数归于积分常数C而不能确定并且因此T₀(t)已从上面的方程中去除。通过将系数与相等的切比雪夫多项式组成组，我们获得了线性方程的集合

这些线性关系可以在矩阵方程方面被总结为

其中

和

上面的矩阵方程产生了在矩阵U_M和D_M两者都高度稀疏并因此求解线性方程的集合的相关复杂性至少在原理上会是低复杂性、即O(N)的意义上的在矢量α_M与β_M的系数之间的适当的关系。乍一看，求解线性系统由于U_M是上三角形矩阵而通过执行往回代换非常简单地完成。不幸的是，矩阵是U_M极端病态的并且结果在矢量β_M中的所得系数归因于四舍五入而极端不可靠。进一步的调查显示，U_M的病态性是归因于可以变得任意小的单个奇异值。病态性也许用简单的解析示例更好地来说明：

该示例清楚地表明了用于使多项式阶数减小的系数的幅值的极端增加。因此如果解析结果表明该类型的爆发(blow-up)，则矩阵U_M必须是固有病态的，因为系数的生长由U_M的逆向的范数界定。另一方面，如果如在数个数值测试中所观察到的，病态性仅与单个奇异矢量相关，那么应该可以将线性系统(40)分裂成恰当条件调节的系统和少量病态性的系统。就本身而言，系统的病态性部分仍然可以引出数值不稳定性，但如果能够显示总解的该分量并不显著地为针对整体积分方程的最终解做出贡献，那么仍然存在有用于积分方程的稳定、恰当条件调节并且有效的数值算法的希望。

为了表明病态性的根源，我们将方程(40)中的系统的第一列和最后一行分开并且我们将系统重写为

其中B_R是由U_M通过去除第一列和最后一行而得到，D_R是由D_M通过去除最后一行而得到，并且β_R是由β_M通过去除第一行、即取出β₀而得到。数值测试显示B_R是恰当条件调节的矩阵并因此我们可以假设可以以稳定的方式计算出。注意，B_R是三对角矩阵并因此计算B_R的LU分解是O(N)运算并且在LU矩阵上的随后的前向和后向代换由于这些矩阵是双对角的事实也是O(N)的。因此计算对于形式B_R x＝y的方程的解在复杂性上是O(N)的。

上面的系统在逆向方面的解通过如下方程给出

其中e_k是第k个单位矢量、即除了在第k个条目以外到处都具有零的矢量。现在通过使用范数估计和与D_R是具有小范数的线性算子的观察可以容易地看出，上面的幅值β₀必须对数值计算中的不稳定性负责。事实上，内积在M>>1时变得极小。与β₀的大幅值对应的矢量是并且矢量自身由于B_R的条件调节而可以被可靠地计算出。

让我们现在在区间[-1,t]上以及-1<t<1的考虑下考虑用于积分的整体表达的解的结构，即

通过将矢量β写为正则化部分β_R和具有由β₀控制的幅值的矢量v_R的总和，如方程(4)中，我们得到了

其中我们从1而不是0开始给β_R的元素计数，并且其中v_R由以下方程给出

因此，针对用于上面的积分的在数值上稳定的表达，乘以β₀的因子F(t)必须变得非常小以补偿作为M的函数的在β₀上的生长。凭借数值手段维持该因子F(t)的准确度是复杂的任务，因为预料可能在一起形成该因子的两个项之间苛刻的消去。作为极端手段，可以通过将其设为零而完全忽略F(t)项。虽然在用于均质平板配置的测试时当忽略F(t)时数值测试仅显示出小的冲击，但是这在像3D光谱体积分方程一样的更复杂设定中的解的整体质量上的影响依然不清楚。因此，我们现在将通过应用文献中提出的正则化技术来继续。

用于解析积分的稳健的算法

在文献中已凭借解析正则化提出了从方程(40)的线性系统得到数值上稳定的解[2]。下面我们遵循他们的论述中的关键步骤。

代替如方程(49)中那样在数值上构造函数F(t)，解析手段通过以下认识来遵循：具有零右手侧(或者具有α_m＝0的在方程(4)中的相应递推关系)的在方程(40)中的U_M的第一个M-1行通过第一种修正贝塞尔函数来满足，即

其中I_m(-q)是阶数m和变数-q的第一种修正贝塞尔函数。矢量I_M现在被形成为

结果，如果矢量β_M是方程(40)的解，那么β_M+λI_M满足相同线性系统的第一个M-1方程，即仅最后两个方程不满足。关键的观察现在是方程(40)中的方程的系统可以通过将一个或多个行和列添加至U_M和D_M使得这些于是变成遵循方程(42)中的这些矩阵的限定的U_M+1和D_M+1并且通过使具有在含有零的端部处的一个行的矢量α_M和β_M扩展来扩展。扩展的矢量被表示为α_M+1和β_M+1。因此我们具有

和

随后，我们将矢量γ_M+1限定为

β_M+1＝γ_M+1+λI_M+1, (55)

其中由于β_M+1的最后条目是零的事实，我们现在可以固定确定λ，即

我们注意到，M>q的时修正贝塞尔函数的指数衰变显示λ可以变得相当大，所以需要小心地进行数值实施。γ_M+1的限定在方程的集合中引入了一个额外的自由度、即γ_M+1，因为方程(56)中的λ与γ_M+1之间的连接事实上是系统方程(53)的最后一个方程。

通过在方程(53)中替代关系(55)和(56)，我们获得了对于γ_M+1成立的线性系统

其中原始系统的最后一个方程由于方程(56)已被去除，并且

该方程由针对方程(51)中的贝塞尔函数的递推关系得出。线性系统(57)是针对M+2未知数的M+1方程的集合、即γ₀,...,γ_M+1。结果，存在有固定确定未知数中的一个的自由。虽然在[5]中给出了对此的建议，其中较小矩阵需要以更复杂的簿记(book keeping)为代价被LU因子分解，但通过前述部分激发了我们的选择并且我们将设定

γ₀＝0, (59)

这实质上将右手侧上的矩阵的第一列去除。针对γ_M+1的所得系统于是是

这密切地类似于前述部分中的正则化系统。如此得到的矩阵方程已发现对于q的大范围的真实和复杂值被恰当地条件调节，除了q非常接近零之外。后一情况可以通过将方程的整个集合乘以q来处理。此外，方程(60)中的线性系统的解由于矩阵A(-q)的三对角本质而有效地得到，该矩阵A(-q)利用有效前向和后向代换算法产生了双对角LU因子，如例如LAPACK(线性代数包)中实施的。

避免减去求和中的消去

我们现在回到在区间[-1,t]上的原始积分并且在γ_M+1方面具有-1<t<1的考虑下考虑用于积分的整体表达的解的结构，即

注意，在上面的公式中的前两个求和由于γ₀＝0的选择而起始于m＝1，如之前说明的。这些方程密切地类似于方程(49)，但现在数值上计算出的矢量v_R已用矢量I_M替换，该矢量I_M具有可以用于克服在因子F_A(-q,t)中预料到的消去的更熟知的解析性质。在该因子中的有效数字的损失将归因于因子1/I_M+1(-q)而在数值不稳定性上迅速地转化，该因子1/I_M+1(-q)一旦M>|q|就展现出作为M的函数的指数生长。

为了进一步调查因子F_A(-q,t)，我们回到方程(16)。针对在切比雪夫多项式方面的指数函数的该表示可以用于导出针对F_A(t)的可替表示达，还参见[5]，

对于F_A(-q,t)的后一表示，我们现在包括1/I_M+1(-q)，即

由于序列I_m(q)典型地是指数衰变序列，所以我们可以预料级数收敛非常快并且我们注意到序列的第一项的幅值由一界定。结果，作为M的函数的1/I_M+1(-q)的指数增加凭借该表示被成功地抑制。与[5]相对，我们对于F_A(-q,t)总是使用后一表示，因为我们已得出经验它总是稳定的。缺点是该贡献必须被预先计算出而前一表示容易被包括在其他求和中。

剩下的任务现在是对于t的给定值实际地计算出上面的表示(63)的级数，即

做到这一点的有效方式是采用Clenshaw递推公式[3，第172至177页]。虽然贝塞尔函数和切比雪夫多项式两者可以被选择为用于递推的基，但我们采用了在Clenshaw算法中的用于切比雪夫多项式的递推，而贝塞尔函数的比率已在早期步骤中基于方程式(51)的后向递推关系、即米勒算法被生成为

其中针对N的R_N(z)＝0的起始值比在求和中考虑到的修正贝塞尔函数的最大阶数大至少20倍。为了获得求和所需的比率，即对于m≥M+1的I_m(-q)/I_M+1(-q)，我们注意到这些比率可以通过使比率R_m(z)以递归的方式相乘而得到，即

积分的采样

在整个过程中的最终步骤是将来自电流密度的展开系数的映射引入离散变量的新集合。这是能够构造有限线性系统、即在(1)中的考虑下的用于积分的矩阵-矢量乘积所需要的。基本上，有可以遵循的两个手段。第一个是将整个积分近似为仅切比雪夫多项式的总和，这意味着(61)中的三项中的两个需要在切比雪夫多项式方面进行近似，即本质上是exp[-q(1+t)]和F_A(-q,t)。第二手段是在规定点t_k对积分采样，使得可以获得切比雪夫多项式的总和的有效计算。由于我们不妨将切比雪夫展开与已经在体积分方法中起作用的空间采样手段合并，所以可以方便地选择第二手段、即对积分采样。

针对采样点t_k的选择应该由离散余下变换的应用得到，因为这是用以同时评估在样本范围上的切比雪夫多项式的加权和的最有效的方式。这留下两个可能性：开放原则或闭合原则，如第2部分中说明的。从前述讨论可以容易地看出，端点t＝±1也存在于求和中，这意味着闭合规则是最方便的选择。闭合原则与DCT-I一致，如方程(23)中，并且样本点通过方程(17)给出，即

FFTW中的DCT-I的精确限定和实施由如下方程给出

其中DCT_I[f(t_k)](m)是f(t_k)的DCT-I的第m个元素，并且d_k已在方程(19)中被限定为

在整体算法中，现在有要求DCT-I的两个步骤。第一个是当方程(31)中的展开系数α_m必须由对比电流密度j_i(z)的在切比雪夫节点处的采样值确定时。通过限定，我们假设我们具有展开

其中和

从方程(22)中的关系我们具有

并因此

这意味着系数DCT_I[j(z_k)](M)必须乘以1/2。

要求DCT-I的第二步骤是当方程(1)中的积分G₁(z)和G₂(z)的切比雪夫展开的系数g_m已计算出并且展开需要在切比雪夫节点z_k处被评估时，即

其中

全矩阵-矢量乘积

现在让我们回到在(1)中限定的原始积分G₁(z)和G₂(z)并且总结至此所采取的步骤。计算由需要执行一次的准备阶段和可能作为矩阵-矢量乘积执行许多次的执行阶段组成。

准备阶段由下面的步骤组成:

1.将区间[a,b]按比例缩放至[-1,1]并且将γ_m按比例缩放至q，如在方程(4)中。

2.选择切比雪夫展开的最大阶数：M。

3.将长度M+1的DCT-I初始化。

4.如方程(17)中计算针对闭合原则的切比雪夫节点：t_k。

5.在方程(60)中计算三对角矩阵A(-q)的元素。

6.使用LAPACK计算A(-q)的LU因子分解。

7.如5.1部分中说明的使用Clenshaw算法在方程(63)中计算函数F(k)＝F_A(-q,t_k)/I_M+1(-q)。

8.计算函数v¹(k)＝exp[-q(1+t_k)]和v²(k)＝exp[-q(1-t_k)]

这里需要注意的是，对于积分G₂，需要矩阵A(q)，但是我们可以为此利用A(-q)的LU分解，因为A(q)＝-A(-q)^T。类似地，对于G₂我们需要A(q,t_k)/I_M+1(q)＝F_A(-q,-t_k)/I_M+1(-q)＝F(M-k)并且v¹(k)和v²(k)的角色互换，因为在节点处的反对称性t_k＝-t_M-k。

执行阶段由下面的步骤组成：

1.凭借DCT-I如方程(76)中计算电流密度的展开系数α_m。

2.利用方程(42)中限定的D_M计算D_Mα_M。

3.使用A(-q)的预先计算的LU因子，计算矢量和的系数作为方程(60)的解，即

A(-q)γ¹＝D_Mα_M, (79)

A(q)γ²＝D_Mα_M, (80)

4.限定和

5.计算和

6.计算

7.计算

由在矢量j中组织的电流密度的样本生成G₁(k)和G₂(k)的两个矩阵-矢量乘积可以被紧凑地写作线性运算的序列。为了使记法容易，引入四个附加线性算子，例如对于任意矢量p＝(p₀,...,p_M)^T我们限定

C_M p＝DCT_I[p_m], (81)

S_M p＝(0,p₀,...,p_M-2,2p_M-1)^T, (83)

P_M p＝p_M, (84)

P₀p＝p₀, (85)

即，C_M现在表示I型DCT，N_M是对角归一化矩阵，S_M是与乘法组合的移位矩阵，并且P_M是筛出矢量的最后条目的投影算子。S_M的矩阵表示通过式(86)给出

和P₀与P_M的矩阵是

P₀＝(1,0,…,0) P_M＝(0,…,0,1) (87)

利用这些限定，我们可以将针对G₁＝(G₁(0),...,G₁(M))^T和G₂＝(G₂(0),...,G₂(M))^T的矩阵-矢量乘积表达为

其中我们已引入了识别算子I_M和矢量F¹＝(F(0),...,F(M))^T与F²＝(F(M),...,F(0))^T。

伴随矩阵-矢量乘积

在前述部分中所引入的线性算子的帮助下，可以容易地构造出两个矩阵-矢量乘积的伴随。在正式意义上，线性运算的顺序需要逆向并且各算子必须用其伴随替换。起始于方程(88)中的用于G₁的表示并且用上标H表示伴随，我们获得了

其中后一等式是I_M和N_M的自伴随和矩阵C_M、D_M、S_M、P₀、P_M是实值并因此它们的伴随等于它们的移项的观察的结果。各个矩阵的伴随或移项中的所有都容易建立和编程。唯一更多牵涉到的伴随是A^-H(-q)的，但是这可以凭借采用A(-q)的LU因子分解(凭借zgttrf得到)的LAPACK例程zgttrs来执行，并因此相应的矩阵-矢量乘积可凭借该例程是得到。

最后，方程(89)中用于G₂的表示的伴随产生

注意，矩阵A^-H(q)＝-A^-H(-q)并因此与LAPACK例程zgttrs组合的A(-q)的LU分解可以被用于执行伴随矩阵-矢量乘积的该部分。

连接多个切片

切比雪夫展开最好在方程(1)中的对比电流密度j_m(z)的所有分量都可连续地微分至非常高的阶数时工作。在这种情况下，插值估计显示出切比雪夫展开的近似上的误差随着多项式的线性增加的阶数而成指数减小。然而，对比电流密度的可微性取决于光栅的几何结构及其材料成分。当材料成分在纵向、非周期性坐标z的某值处急剧改变时或者当光栅的几何结构展现出扭结或间断时，对比电流密度潜在地不连续或者具有不连续的一阶导数。

在间断或不连续导数的情况中的切比雪夫展开的差的收敛可以通过使用于对比-电流密度的展开的区间分裂成较小子区间或者切片来减轻，使得对比-电流密度在各切片的内部上可连续地微分至高阶。假如我们预料到在z＝a₁处的间断，那么将区间[a,b]分区成切片[a,a₁]和[a₁,b]。于是在各切片上限定了用于对比-电流密度的单独的切比雪夫展开，并且如方程(1)中给出的将对比-电流密度与格林函数一起积分的以前描述的方法可以在每个切片上执行。备选地，可以选择在一个子区间上采用切比雪夫展开并且在另一子区间上采用另一类型的展开、例如分段展开。还有，在这样的情况中，可以在每个切片上采用已经文档记录的积分方法并且有待回答的唯一问题是如何将贡献从一个切片耦合至另一个。

为了回答该问题，我们将注意力集中在方程(1)中的积分G₁(z)上，因为手段对于G₂(z)类似。对于两个切片、即区间[a,a₁]和[a₁,b]的情况，我们有以下两种情况要考虑：观察坐标z处于区间[a,a₁]中或区间(a₁,b]中。前一情况在两个切片之间不产生耦合，因为积分的区间起始于z＝a并因此该情况可以通过用于一个切片的积分的原始方法来处理。对于情况z∈(a₁,b]，我们将积分G₁(z)重写为

上面的最终表达显示两个切片之间的耦合采取指数函数乘已经从跨越切片[a,a₁]的积分得到的已经计算出的常数G₁(a₁)的形式。第二积分是跨越单个切片的标准积分，这在以前已经进行了讨论。因此两个或多个切片之间的耦合是简单地添加演变作为观察点z乘从以前的切片的端点已经计算出的贡献的指数函数的额外项。当在切片[a₁,b]上使用切比雪夫展开时，那么已经在以第7部分中限定的矢量v¹(k)的形式计算出的上面的结果中的所要求的指数函数和来自切片[a,a₁]的附加贡献可以容易地与全矩阵-矢量乘积的执行阶段的在步骤6中的常数H₁(0)合并，以达到在浮动点运算的数量上的最大效率。

在上面描述的实施例中，切比雪夫展开已被用作用于在计算电磁散射性质的体积分方法中所使用的对比电流密度的展开的沿着纵向非周期性(z)方向的分段线性展开的可替代方案。对于数值稳定性，正则化步骤可以用于计算格林函数与对比电流密度的切比雪夫展开的相互作用。所得的算法在数值上稳定并且有效、即O(NlogN)，其中N是沿着z的样本点的数量。数值测试显示，在体积分方法中的切比雪夫展开展现出反射系数的指数收敛。作为结果，当与体积分方法中的分段线性展开相比时，尤其是当在分段线性展开的情况中每个切片的样本的数量大时，切比雪夫展开是有竞争力的并且经常在计算时间方面更快。这是当切片相对于(局部)波长厚时发生。需要许多分段线性样本的另一情况是当横向方向上的傅里叶模式的数量高时。第二个效果在于，当需要较少样本时体积分方法的存储器要求将会降低。

也可以与现有的分段线性展开并排地、和/或与具有不同系数的切比雪夫展开并排地、和/或与勒让德展开并排地实施切比雪夫展开，以这样的方式使得可以对各切片单独地进行针对特定的展开的选择。这允许了使用不同的展开。例如，分段线性展开对于具有非常少的样本的薄切片最适宜，而切比雪夫展开在切片厚时最有效。在切比雪夫展开的情况中的针对每个切片的样本数量的选择应该反映出DCT在其相应的FFT的长度可因子分解成小素数、即典型地2、3和5时最有效。

图17A和图17B是根据本发明的实施例的方法的流程图。图17A和图17B的步骤可以用如分别在图11、图13和图15中的1150(步骤1116至1120)、1350(步骤1116至1120)和1550(步骤1506至1510)那样用虚线方框识别出的步骤取代。这些步骤在更一般情况下如分别在图12和图14中的1250和1450那样用虚线方框识别出。实施例是计算结构的电磁散射性质的方法，结构包括不同性质的材料并且结构在至少一个横向方向上是周期性的并且在相对于至少一个横向方向正交的方向、在该示例中是z方向上延伸。方法牵涉到：通过针对在至少一个横向方向上的多个模式中的每个相应模式执行在正交方向上的伪谱(在该示例中是切比雪夫)多项式展开乘以对于多个模式所有模式都使用正交方向上的相同样本点的1D格林函数的积分，针对多个模式在数值上求解用于电磁散射的体积分方程，其中积分通过求解方程的正则化线性系统来执行。图17A和图17B中的步骤是：

在步骤1702中，设定特定用于各模式的展开。

在步骤1704中，通过如下方法正则化：生成包括易于发生与条件调节相关的误差的系数的在z上的样本点(切比雪夫降低)处的函数F(k)，并且通过限定正则化的向上/向下展开系数矢量γ¹＝(γ¹ ₁..γ¹ _M,γ¹ _M+1)和γ²＝(γ² ₁..γ² _M,γ² _M+1)修改线性系统以补偿F(k)。因此方程的线性系统通过借助限定扩展的正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)修改线性系统以补偿易于发生与条件调节相关的误差的展开系数而被正则化。在该示例中的术语“扩展的”包括添加行至矢量并去除矢量的第一条目。本领域技术人员将领会的是扩展是在正则化方案的情况下完成，并且它是意味着通过扩展进行的信息的引入或在解中保持信息的能力。可选地，将方程的线性系统正则化的步骤可以包括生成在正交方向上的样本点处的函数(F(k))，函数包括易于发生与条件调节相关的误差的展开系数，使得线性系统的修改补偿函数(F(k))。可选地，在正交方向上的样本点处的函数(F(k))的生成使用递推公式。

在步骤1706中，使用在z上的样本点(切比雪夫节点)处的电流密度(m₁,m₂,z)的采样值的离散变换(当使用切比雪夫展开时是DCT)来计算(切比雪夫)展开系数矢量α_M。

在步骤1708中，使用(切比雪夫)展开系数矢量来α_M计算光谱差异化的对比电流密度矢量D_Mα_M。

在步骤1710中，通过向上/向下求解横跨z域的方程的正则化线性系统以计算出正则化展开系数矢量γ¹和γ²来执行针对对比电流密度乘1D格林函数的向上/向下组分(对应于A(-q)和A(q))的(切比雪夫)展开的积分。因此方程的正则化线性系统在第一与第二离散变换步骤之间求解以计算出正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的值。

在步骤1712中，从计算出的正则化展开系数矢量γ¹和γ²中分离出不同部分。

1714和1716示出不同部分。在1714中，示出了非扩展的向上和向下部分和在实践中，这些部分的分离可以通过复制储存了矢量γ¹和γ²的阵列并修改阵列来完成。在该示例中，各阵列的最后条目被去除并且被复制到用于步骤1716的存储中并且第一条目被设为零。虽然这里选择了零，但可以使用其他值。可以插入额外的条目以便使矢量具有用于矩阵乘法的正确长度。

在1716中，示出了向上和向下计算出的条目γ¹ _M+1和γ² _M+1。在未使用F(k)的实施例中，这些条目可以被丢弃(并且甚至不分离出)。

在步骤1718中，使用正则化展开系数矢量γ¹和γ²的非扩展向上和向下部分和的第二离散变换(当使用切比雪夫展开时是DCT)来计算在z上的样本点处的正则化积分H₁(k)和H₂(k)。因此第二离散变换步骤被应用于正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的非扩展部分以计算出在正交方向上的样本点处的正则化积分(H₁(k)、H₂(k))。在未使用F(k)并且条目γ¹ _M+1和γ² _M+1被丢弃的实施例中，在该阶段可以执行正则化积分H₁(k)和H₂(k)的线性组合以计算出在没有反射时的在z域中的散射电磁场该结果等效于如分别在图11、图13和图15中的1150、1350和1550所识别出的步骤的结果。因此通过将图17A和图17B的以上步骤插入如参照图11至图15所描述的体积分方法内，可以使用数值求解的结果、在该示例中使用计算出的正则化积分(H₁(k)和H₂(k))来计算出结构的电磁散射性质。

在使用F(k)并且条目γ¹ _M+1和γ² _M+1未丢弃的实施例中，代替正则化积分H₁(k)和H₂(k)的线性组合，步骤1720和1722可以被用于进一步改进性能。在步骤1720中，将正则化积分H₁(k)和H₂(k)与条目γ¹ _M+1和γ² _M+1乘以包括易于发生与条件调节相关的误差的系数的函数F(k)组合以计算出在z上的样本点处的最终积分G₁(k)和G₂(k)。因此方法可以在离散变换步骤之后进一步包括将正则化积分(H₁(k)和H₂(k))与正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的扩展部分(γ¹ _M+1,γ² _M+1)乘以函数(F(k))组合以计算出在正交方向上的样本点处的进一步的积分(G₁(k)和G₂(k))的步骤。

在步骤1722中，执行最终积分G₁(k)和G₂(k)的线性组合以计算出在没有反射时的在z域中的散射电磁场该结果等效于如分别在图11、13和15中的1150、1350和1550所识别出的步骤的结果。通过将包括步骤1720和1722的图17A和图17B的以上步骤插入如参照图11至图15所描述的体积分方法内，可以使用计算出的进一步的积分来计算出结构的电磁散射性质。

在参照图17A和图17B所描述的实施例中，伪谱多项式展开是切比雪夫展开、离散变换是离散余弦变换并且在正交方向上的样本点是切比雪夫节点。此外，切比雪夫节点包括积分被执行所跨越的在正交方向上的域的端点。切比雪夫展开具有在特定栅格上的样本与DCT之间的关系，因此可以使用FFT有效地实施。

在另一实施例中，伪谱多项式展开是勒让德展开并且离散变换是离散勒让德变换。

具有正则化的所提出的伪谱多项式展开产生较短的计算时间并且要求用于在波长方面高的光栅的较少存储器。对于高达大约0.2波长高的光栅，计算时间上的增益相对低，即2的因子，但是对于具有数个波长的高度的光栅、例如在用于极紫外(EUV)光刻的量测中所使用的光栅来说，可以获得在计算时间上的15至20的因子的改进。关于存储器，增益直接与所要求的样本的数量成正比，即已观察到从8的因子到超过20的因子的内侧节省。

此外，这里所描述的实施例在光栅的特定的部分(例如薄层)可以用低阶展开被展开并且在波长方面长的其他部分以伪谱多项式展开被展开的意义上可以与已经现有的低阶展开(例如分段线性)组合。这产生了利用各展开的强项的整体算法。

图18以示意性形式示出配置有为了执行根据本发明的实施例的方法的程序和数据的计算机系统。计算机系统包括中央处理单元(CPU)1802和用于存储在程序执行期间的程序指令1806和数据1808的随机存取存储器(RAM)1804。计算机系统还包括用于存储在程序执行之前和之后的程序指令和数据的盘存储1810。

程序指令1806包括离散余弦变换(DCT)例程1812、矩阵乘法函数1814、诸如加法和减法1816和阵列组织函数1818等的其他算数函数。数据1808包括在VIM系统的解的计算期间使用的4D阵列1820和2D阵列1822。用于输入和输出的其他传统计算机部件未示出。

在本发明的实施例中，傅里叶级数展开可以通过采用完美匹配层(PML)或者用以模仿朝向无限接近在其上使用傅里叶展开的单位单元的边界的辐射的其他类型的吸收边界条件而用于解析非周期性结构。

本发明的实施例可以根据参照图5和图6所描述的重构方法来实施以提供从由通过辐射照射对象而产生的检测到的电磁散射性质重构对象的近似结构的方法。

本发明的实施例可以通过在参照图3和图4所描述的处理单元PU上实施这里所描述的方法以提供用于重构对象的近似结构的检查设备来实施。

参照图3、图4和图18所描述的处理器可以在含有用于计算结构的电磁散射性质的计算机可读指令的一个或多个序列的计算机程序的控制下操作，指令适于引起一个或多个处理器执行这里所描述的方法。

虽然可能在该正文中对IC的制造中的检查设备的使用进行了特定参考，但应该理解的是，这里所描述的检查设备可以具有其他应用，如集成光学系统的制造、用于磁畴存储器、平板显示器、液晶显示器(LCD)、薄膜磁头等的引导和检测图案。本领域技术人员将领会的是，在这样的可替代应用的情况下，本文中的术语“晶片”或“裸片”的任何使用可以被视作分别与更上位的术语“衬底”或“目标部分”同义。这里提到的衬底可以在曝光之前或之后在例如轨道(典型地将一层抗蚀剂施加至衬底并使经过曝光的抗蚀剂显影的工具)、量测工具和/或检查工具中进行处理。在适用时，本文中的公开可以应用于这样的和其他衬底处理工具。此外，衬底可以被处理超过一次，例如以便创建多层IC，使得这里所使用的术语衬底也可以是指已经含有多个经过处理的层的衬底。

上面描述的根据本发明的实施例的方法可以被包含到前向衍射模型内，用于从由通过辐射照射对象而产生的诸如衍射图案等的检测到的电磁散射性质来重构对象(不限于1D周期性的)的近似结构，如上面参照图5和图6所描述的。上面参照图3和图4所描述的处理单元PU可以被配置成使用该方法来重构对象的近似结构。

虽然可能已在上面对在光学光刻的情况下的发明的实施例的使用进行了特定参考，但应该领会的是，发明可以在任何应用、例如压印光刻中使用，并且只要情况允许并不限于光学光刻。在压印光刻中，图案形成装置中的拓扑限定了创建在衬底上的图案。可以将图案形成装置的拓扑按压到供给至衬底的一层抗蚀剂内，随之通过施加电磁辐射、热、压力或其组合使抗蚀剂固化。在抗蚀剂固化之后，将图案形成装置从抗蚀剂上移走，在其中留下图案。

这里所使用的术语“辐射”和“光束”涵盖所有类型的电磁辐射，包括紫外(UV)辐射(例如，具有或大约365nm、355nm、248nm、193nm、157nm或126nm的波长)和极紫外(EUV)辐射(例如，具有在5nm至20nm的范围内的波长)，以及诸如粒子束或电子束等的粒子束。

术语“透镜”只要情况允许可以是指包括折射型、反射型、磁性型、电磁型和静电型光学部件在内的各种类型的光学部件中的任一个或组合。

术语“电磁”涵盖电的和磁的。

术语“电磁散射性质”涵盖反射和透射系数及散射测量参数，包括光谱(如作为波长的函数的强度)、衍射图案(作为位置/角度的函数的强度)和横向磁的与横向电的偏振光的相对强度和/或在横向磁的与横向电的偏振光之间的相位差。衍射图案自身可以例如使用反射系数进行计算。

因此，虽然关于反射散射描述了本发明的实施例，但发明也适用于透射散射。

术语“正则化”是指引入附加信息以便解决不适定问题(ill-posed problem)或防止过度拟合的过程。

虽然已在上面描述的发明的特定实施例，但应该领会的是，发明可以以除了所描述的以外的方式实践。例如，发明可以采取含有描述了如上面所公开的方法的计算机可读指令的一个或多个序列的计算机程序或者其中存储有这样的计算机程序的数据存储介质(例如，半导体存储器、磁或光盘)的形式。

需要领会的是，详细描述部分并且不是发明内容和摘要部分意在用于解释权利要求。发明内容和摘要部分可以陈述如发明人所设想出来的本发明的一个或多个但不是所有示例性实施例，并因此不意在以任何方式限制本发明和随附权利要求。

上面已在图示出指定功能及其关系的实施的功能构造块的帮助下描述了本发明。这些功能构造块的界限为了描述方便在这里被任意进行了限定。可以限定可替代的界限，只要指定功能及其关系被适当地执行。

特定实施例的上述描述如此充分地揭示了发明的一般性质以至于其他人可以通过应用本领域技术内的知识容易地在无需过度实验的情况下为各种应用修改和/或改写这样的特定实施例，而不会脱离本发明的一般概念。因此，这样的改写或修改意在落入基于这里所呈现出的教导和指导的所公开的实施例的等效方式的含义和范围内。需要理解的是，本文中的措辞或术语是为了描述的目的并且不是限制性的，使得本说明书的术语或措辞应当由技术人员根据教导和指导来解释。

本发明的宽度和范围不应该受上面描述的示例性实施例中的任一个限制，而是应该根据下面的权利要求及其等效方式来限定。

参考文献

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[2]S.-Y.Kang、I.Koltracht和G.Rawitscher，具有间断核的积分方程的-Clenshaw-Curtis求积法，计算数学，72:729–756，2002年3月。

[3]W.H.Press、S.A.Teukolsky、W.T.Vetterling和B.P.Flannery，Fortran77中的数值选配方案：科学计算领域，剑桥大学出版社，第二版，1992年。

[4]A.Quarteroni和A.Valli，偏微分方程的数值近似，斯普林格计算数学系列，斯普林格，1994年。

[5]T.Hasegawa和T.Torii，通过切比雪夫级数展开的振荡函数的不定积分，计算与应用数学学报，17:21–29，1987年。

Claims

1.一种计算结构的电磁散射性质的方法，所述结构包括不同性质的材料并且所述结构在至少一个横向方向上是周期性的并在相对于所述至少一个横向方向正交的方向上延伸，所述方法包括：

-通过针对在所述至少一个横向方向上的多个模式中的每个相应模式执行在所述正交方向上的伪谱多项式展开乘以对于所述多个模式中的所有模式都使用在所述正交方向上的相同样本点的1D格林函数的积分，针对所述多个模式在数值上求解用于电磁散射的体积分方程，其中所述积分通过求解方程的正则化线性系统来执行；和

-使用所述数值求解的结果来计算所述结构的电磁散射性质。

2.根据权利要求1所述的方法，进一步包括如下步骤：

-通过借助限定扩展的正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)修改所述线性系统以补偿易于发生与条件调节相关的误差的展开系数而将方程的所述线性系统正则化；

-求解在第一离散变换步骤与第二离散变换步骤之间的方程的所述正则化线性系统以计算出所述正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的值；

-将所述第二离散变换步骤应用于所述正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的非扩展部分(γ^1*,γ^2*)，以计算出在所述正交方向上的样本点处的正则化积分(H₁(k)和H₂(k))；和

其中计算所述结构的电磁散射性质的步骤使用计算出的所述正则化积分(H₁(k)和H₂(k))。

3.根据权利要求2所述的方法，其中使方程的所述线性系统正则化的步骤包括生成在所述正交方向上的样本点处的函数(F(k))，所述函数包括易于产生与条件调节相关的误差的展开系数，使得所述线性系统的所述修改补偿所述函数(F(k))，

并且所述方法进一步包括在所述第二离散变换步骤之后的、将所述正则化积分(H₁(k)和H₂(k))与所述正则化展开系数矢量(γ¹,γ²)的扩展部分(γ¹ _M+1,γ² _M+1)乘以所述函数(F(k))组合以计算出在所述正交方向上的样本点处的进一步的积分(G₁(k)和G₂(k))的步骤，

并且其中计算所述结构的电磁散射性质的步骤使用计算出的所述进一步的积分(G₁(k)和G₂(k))。

4.根据权利要求3所述的方法，其中在所述正交方向上的样本点处的所述函数(F(k))的所述生成使用递推公式。

5.根据权利要求2至4中的任一项所述的方法，其中所述伪谱多项式展开是切比雪夫展开，所述第一离散变换和所述第二离散变换是离散余弦变换，并且在所述正交方向上的所述样本点是切比雪夫节点。

6.根据权利要求5所述的方法，其中所述切比雪夫节点包括所述伪谱多项式展开乘以所述1D格林函数的积分在其之上被执行的在所述正交方向上的域的端点。

7.根据权利要求2至4中的任一项所述的方法，其中所述伪谱多项式展开是勒让德展开并且所述第一离散变换和所述第二离散变换是离散勒让德变换。

8.一种从由通过辐射照射对象而产生的检测到的电磁散射性质重构所述对象的近似结构的方法，所述方法包括如下步骤：

-估计至少一个结构参数；

-从所述至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射性质；

-将检测到的所述电磁散射性质与所述至少一个模型电磁散射性质进行比较；和

-基于所述比较的结果来确定所述对象的近似结构，

其中所述模型电磁散射性质使用根据任一前述权利要求所述的方法来确定。

9.根据权利要求8所述的方法，进一步包括将多个所述模型电磁散射性质布置在库中的步骤，并且比较的步骤包括使检测到的所述电磁散射性质与所述库的内容进行匹配。

10.根据权利要求8或权利要求9所述的方法，进一步包括将确定至少一个模型电磁散射性质和比较检测到的所述电磁散射性质的步骤进行迭代，其中基于前述迭代中的比较的步骤的结果修正所述结构参数。

11.一种用于重构对象的近似结构的检查设备，所述检查设备包括：

-照射系统，被配置成用辐射照射所述对象；

-检测系统，被配置成检测由所述照射产生的电磁散射性质；和

-处理器，被配置成：

-估计至少一个结构参数；

-从所述至少一个结构参数确定至少一个模型电磁散射性质；

-从检测到的所述电磁散射性质与所述至少一个模型电磁散射性质之间的差异来确定所述对象的近似结构，

其中所述处理器被配置成使用根据权利要求1至7中的任一项所述的方法来确定所述模型电磁散射性质。

12.一种计算机程序产品，包含用于计算结构的电磁散射性质的计算机可读指令的一个或多个系列，所述指令被适配成引起一个或多个处理器执行根据权利要求1至7中的任一项所述的方法。