KR20210117550A - 3차원 형상의 임계 차원을 측정하기 위한 방법 및 이를 위한 장치 - Google Patents
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Abstract
본 발명은 소자 제조를 위한 임계 차원을 측정하기 위한 방법 및 이를 위한 장치한 관한 것이다. 상기 소자 제조를 위한 임계 차원을 측정하기 위한 방법은 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 결정하는 제 1 단계; 상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 제 2 단계; 상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하는 제 3 단계; 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 제 4 단계; 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하는 제 5 단계; 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하는 제 6 단계; 상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 2 후보 모수를 결정하는 제 7 단계; 및 상기 제 2 후보 모수를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 제 8 단계를 포함할 수 있다.
Description
본 발명은 전자 소자 제조 기술에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는, 전자 소자 제조를 위한 3차원 형상의 임계 차원을 측정하기 위한 방법 및 이를 위한 장치에 관한 것이다.
전자 소자, 예를 들면, 트랜지스터, 메모리 소자 또는 연산 소자와 같은 반도체 소자를 제조하는 과정에서, 반도체 소자의 전기적 또는 물리적 성능에 영향을 미치는 3차원 형상(또는 구조라고도 함)의 기하학적 크기, 예를 들면, 선 너비, 두께, 높이, 또는 종횡비를 확인하기 위해, 상기 3차원 구조에 대한 임계 차원(Critical Dimension; CD로 지칭됨)이 측정될 수 있다. 더하여, 상기 반도체 소자의 결함을 감지하거나 상기 결함의 유형을 분석하기 위해서 상기 임계 차원을 측정할 수도 있다.
반도체 제조를 위한 연속적인 공정 동안 임계 차원이 변동될 수 있으며, 상기 임계 차원의 변동은 제품 수율 및 성능에 중요한 영향을 미치므로, 상기 임계 차원을 정확하고 효율적으로 측정하여 이를 관리하는 기술이 필요하다. 특히, 반도체 소자의 집적도가 비약적으로 향상됨에 따라, 상기 임계 차원을 신속하게 측정하여 효율성을 확보하는 것은 중요하다. 종래에는 주사전자현미경(Scanning Electron Microscope: SEM)을 이용한 측정법과 광학 임계 차원(Optical Critical Dimension: OCD) 측정법이 활용되고 있다. 상기 OCD 측정법이 상기 SEM을 이용한 측정법보다 생산성을 높일 수 있으며, 정확하고, 효율적으로 빠르게 CD를 측정할 수 있기 때문에, 상기 SEM을 이용한 측정법보다는 상기 OCD 측정법이 많이 활용되고 있다.
상기 OCD 측정법은 시뮬레이션된 스펙트럼과 측정 스펙트럼간 차이를 최소화하는 모수 벡터를 통해 상기 임계 치수를 추정하며, 이때 상기 모수 벡터의 검색은 비선형 모수 추정 문제(nonlinear parameter estimation problem)의 해결을 통해 수행될 수 있다. 구체적으로, 가능한 모든 모수 벡터들의 집합에 대응하는 데이터 집합으로부터 상기 측정 스펙트럼에 대응하는 모수 벡터가 검색될 수 있다.
그러나, 상기 비선형 모수 추정 시에 추정 오차에 의해, 바람직하지 않은 결과를 초래할 수 있기 때문에, 각 후보 해에서 경사도 벡터(gradient vector) 또는 헤시안 행렬 (Hessian Matrix) 추정이 필요하며, 이로 인해 종래 비선형 모수 추정 방식은 상기 모수 벡터를 결정하는 목적 함수의 특성에 민감하게 되며, 이로써 부정확한 모수 벡터를 제공할 확률이 증가할 수 있다. 더욱이, 고집적 회로(IC)와 같이 반도체 소자의 크기가 나노 스케일로 축소됨에 따라 종래 수치 시뮬레이터를 기반으로 상기 모수 벡터를 추정하는 것은 더욱 어려워지고 부정확해질 수 있다.
따라서, 측정 스펙트럼을 모델링할 수 있는 모수 벡터를 정확하고 빠르게 연산하여 추정할 수 있는 개선된 방법이 필요하다.
본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는, 측정 스펙트럼을 모델링할 수 있는 모수 벡터를 정확하고 빠르게 연산하여 추정할 수 있는 3차원 형상의 임계 차원을 측정하기 위한 방법을 제공하는 것이다.
또한, 또한, 본 발명이 이루고자 하는 다른 기술적 과제는, 전술한 이점을 갖는 임계 차원을 측정하기 위한 장치를 제공하는 것이다.
그러나, 본 발명의 목적은 전술한 목적에 한정되지 않으며, 본 발명은 다양한 목적을 가질 수 있다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 결정하는 제 1 단계; 상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 제 2 단계; 상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하는 제 3 단계; 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 제 4 단계; 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하는 제 5 단계; 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며, 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하는 제 6 단계; 상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 2 후보 모수를 결정하는 제 7 단계; 및 상기 제 2 후보 모수를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 제 8 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법이 제공될 수 있다. 상기 행렬 정보는 상기 가정 가능한 모수 분포의 평균 벡터(mean vector) 및 공분산 행렬(covariance matrix)를 포함하며, 상기 행렬 정보를 결정하는 단계는 상기 공분산 행렬을 하부 삼각 행렬(lower triangular matrix)과 상기 하부 삼각 행렬의 전치행렬(transpose matrix)의 곱으로 분해하는 단계를 포함할 수 있다.
일 실시 예에서, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계는, 상기 제 1 후보 모수 벡터와 상기 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하는 단계; 및 상기 제 1 출력 벡터와 상기 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 단계를 포함할 수 있다. 상기 제 2 후보 모수를 결정하는 단계는, 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계를 포함할 수 있다. 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계는, 상기 제 2 후보 모수 벡터와 상기 행렬 정보의 공분산 행렬로부터 분해된 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하는 단계; 및 상기 제 1 출력 벡터와 상기 행렬 정보의 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 단계를 포함할 수 있다.
일 실시 예에서, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계는, 하기 수학식을 만족하는 후보 모수 벡터를 확률적으로 선택하는 단계를 포함할 수 있다.
여기서, R은 0과 1 사이의 독립 항등 분포(i.i.d)를 갖는 균등 난수이고, h(x)는 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수이고, p는 상기 제 2 후보 모수 벡터의 크기, 
는 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되는 제 2 후보 모수이며, φ는 0에서 1 사이의 사용자 지정 값임.
일 실시 예에서, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계는, 상기 제 1 후보 모수를 역 선형 변환하는 단계를 더 포함할 수 있다. 상기 방법은 상기 계측 스펙트럼을 이용하여, 상기 행렬 정보를 갱신하는 단계를 더 포함할 수 있다. 상기 제 2 단계 내지 상기 제 8 단계는 소자를 구성하는 하나의 3 차원 구조에 대하여 배치 단위만큼 반복되며, 상기 가정 가능한 모수 분포는 상기 배치 단위만큼 반복 수행됨으로써 획득되는 복수의 모수들이 갖는 확률적 통계 데이터로서, 다변량 정규 분포(multivariate normal distribution)를 포함할 수 있다. 상기 제 1 후보 모수 벡터 또는 상기 제 2 후보 모수 벡터 내의 각 모수는 선형 변환된 좌표계에서 평균이 0이고 분산이 1이며, 통계적으로 독립적인 특징을 가질 수 있다.
일 실시 예에서, 상기 휴리스틱 알고리즘은 GA(Genetic Algorithm), SA(Simulated Annealing), PSO(Partial Swarm Optimization), EA(evolutionary algorithms) TS(Tabu Search) 또는 ACO(Ant Colony Optimization) 중 어느 하나를 포함할 수 있다.
본 발명의 다른 실시 예에 따르면, 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 결정하는 라이브러리부; 상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 스펙트럼 입력부; 및 상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하고, 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하고, 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하고, 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하고, 상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 2 후보 모수를 결정하고, 상기 제 2 후보 모수를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 제어부를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치가 제공될 수 있다. 상기 행렬 정보는 상기 가정 가능한 모수 분포의 평균 벡터(mean vector) 및 공분산 행렬(covariance matrix)를 포함하며, 상기 제어부는, 상기 행렬 정보를 결정하는 단계는 상기 공분산 행렬을 하부 삼각 행렬(lower triangular matrix)과 상기 하부 삼각 행렬의 전치행렬(transpose matrix)의 곱으로 분해할수 있다.
일 실시 예에서, 상기 제어부는, 상기 제 1 후보 모수 벡터와 상기 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하고, 상기 제 1 출력 벡터와 상기 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력할 수 있다. 상기 제어부는, 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환할 수 있다. 상기 제어부는, 상기 제 2 후보 모수 벡터와 상기 행렬 정보의 공분산 행렬로부터 분해된 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하고, 상기 제 1 출력 벡터와 상기 행렬 정보의 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력할 수 있다.
일 실시 예에서, 상기 제어부는, 하기 수학식을 만족하는 후보 모수 벡터를 확률적으로 선택할 수 있다.
여기서, R은 0과 1 사이의 독립 항등 분포(i.i.d)를 갖는 균등 난수이고, h(x)는 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수이고, p는 상기 제 2 후보 모수 벡터의 크기, 
는 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되는 제 2 후보 모수이며, φ는 0에서 1 사이의 사용자 지정 값임.
일 실시 예에서, 상기 제어부는, 상기 제 1 후보 모수를 역 선형 변환할 수 있다. 상기 제어부는, 상기 계측 스펙트럼을 이용하여, 상기 행렬 정보를 갱신할 수 있다. 상기 제어부는, 상기 소자를 구성하는 하나의 3 차원 구조에 대하여 배치 단위만큼 반복 수행되도록 제어하며, 상기 가정 가능한 모수 분포는 상기 배치 단위만큼 반복 수행됨으로써 획득되는 복수의 모수들이 갖는 확률적 통계 데이터로서, 다변량 정규 분포(multivariate normal distribution)를 포함할 수 있다.
일 실시 예에서, 상기 제 1 후보 모수 벡터 또는 상기 제 2 후보 모수 벡터 내의 각 모수는 선형 변환된 좌표계에서 평균이 0이고 분산이 1이며, 통계적으로 독립적인 특징을 가질 수 있다.
본 발명의 3차원 형상의 임계 차원을 측정하기 위한 방법의 실시예에 따르면, 전자 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 이용하여, 후보 모수 벡터를 선형 변환하고, 상기 후보 모수 벡터가 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖도록 필터링함으로써, 측정 스펙트럼을 모델링할 수 있는 모수 벡터를 정확하고 빠르게 연산하여 추정할 수 있는 이점이 제공될 수 있다.
또한, 본 발명의 3차원 형상의 임계 차원을 측정하기 위한 장치의 일 실시예에 따르면 전술한 이점을 갖는 측정 또는 연산 장치가 제공될 수 있다.
본 발명의 효과는 전술한 효과에 한정되지 않으며, 본 발명의 당업자들은 본 발명의 구성에서 본 발명의 다양한 효과를 쉽게 도출할 수 있다.
도 1a은 본 발명의 일 실시예에 의한 OCD(Optical Critical Dimension) 방식을 이용하여 CD(Critical Dimension)를 추정하는 개념을 보여주는 도면이다.
도 1b는 본 발명의 일 실시예에 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 방법을 보여주는 도면이다.
도 1c는 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 보여주는 도면이다.
도 2a 및 도 2b는 본 발명의 일 실시예에 따른 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 순서도이다.
도 3은 본 발명의 실시예에 따른 후보 모수 벡터에 관한 선형 변환(linear transform)의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
도 4는 본 발명의 실시예에 따른 가정 가능한 모수 분포를 갖는 후보 모수 벡터를 필터링하는 개념을 보여주는 도면이다.
도 5는 본 발명의 일 실시예에 의한 CD를 추정하는 장치의 구성을 보여주는 도면이다.
도 1b는 본 발명의 일 실시예에 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 방법을 보여주는 도면이다.
도 1c는 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 보여주는 도면이다.
도 2a 및 도 2b는 본 발명의 일 실시예에 따른 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 순서도이다.
도 3은 본 발명의 실시예에 따른 후보 모수 벡터에 관한 선형 변환(linear transform)의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
도 4는 본 발명의 실시예에 따른 가정 가능한 모수 분포를 갖는 후보 모수 벡터를 필터링하는 개념을 보여주는 도면이다.
도 5는 본 발명의 일 실시예에 의한 CD를 추정하는 장치의 구성을 보여주는 도면이다.
이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명하기로 한다.
본 발명의 실시예들은 당해 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명을 더욱 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이며, 하기 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 범위가 하기 실시예에 한정되는 것은 아니다. 오히려, 이들 실시예는 본 발명을 더욱 충실하고 완전하게 하고, 당업자에게 본 발명의 사상을 완전하게 전달하기 위하여 제공되는 것이다.
또한, 이하의 도면에서 각 층의 두께나 크기는 설명의 편의 및 명확성을 위하여 과장된 것이며, 도면상에서 동일 부호는 동일한 요소를 지칭한다. 본 명세서에서 사용된 바와 같이, 용어 "및/또는" 는 해당 열거된 항목 중 어느 하나 및 하나 이상의 모든 조합을 포함한다.
본 명세서에서 사용된 용어는 특정 실시예를 설명하기 위하여 사용되며, 본 발명을 제한하기 위한 것이 아니다. 본 명세서에서 사용된 바와 같이, 단수 형태는 문맥상 다른 경우를 분명히 지적하는 것이 아니라면, 복수의 형태를 포함할 수 있다. 또한, 본 명세서에서 사용되는 경우 "포함한다(comprise)" 및/또는 "포함하는(comprising)"은 언급한 형상들, 숫자, 단계, 동작, 부재, 요소 및/또는 이들 그룹의 존재를 특정하는 것이며, 하나 이상의 다른 형상, 숫자, 동작, 부재, 요소 및/또는 그룹들의 존재 또는 부가를 배제하는 것이 아니다.
본 명세서에서 제 1, 제 2 등의 용어가 다양한 부재, 부품, 영역, 층들 및/또는 부분들을 설명하기 위하여 사용되지만, 이들 부재, 부품, 영역, 층들 및/또는 부분들은 이들 용어에 의해 한정되어서는 안됨은 자명하다. 이들 용어는 하나의 부재, 부품, 영역, 층 또는 부분을 다른 영역, 층 또는 부분과 구별하기 위하여만 사용된다. 따라서, 이하 상술할 제 1 부재, 부품, 영역, 층 또는 부분은 본 발명의 가르침으로부터 벗어나지 않고서도 제 2 부재, 부품, 영역, 층 또는 부분을 지칭할 수 있다.
이하, 본 발명의 실시예들은 본 발명의 이상적인 실시예들을 개략적으로 도시하는 도면들을 참조하여 설명된다. 도면들에 있어서, 예를 들면, 부재들의 크기와 형상은 설명의 편의와 명확성을 위하여 과장될 수 있으며, 실제 구현시, 도시된 형상의 변형들이 예상될 수 있다. 따라서, 본 발명의 실시예는 본 명세서에 도시된 부재 또는 영역의 특정 형상에 제한된 것으로 해석되어서는 아니 된다. 이하에서는, 도면을 참조하여 본 발명의 다양한 실시예들에 대해 설명하기로 한다.
본 발명에서, OCD(Optical Critical Dimension) 방식을 사용하여 CD(Critical Dimension)을 측정하고자 할 때 통계 최적화 알고리즘이 적용될 수 있다. 구체적으로, 상기 통계 최적화 알고리즘은 상기 OCD 장비를 사용하여 계측한 스펙트럼(이하, 계측 스펙트럼이라 칭함)과 RCWA(Rigorous Coupled Wave Analysis) 모델로부터 얻은 스펙트럼(이하, 수치 시뮬레이션 스펙트럼이라 칭함) 간의 차이를 최소화하는 모델의 CD를 상기 계측 스펙트럼의 CD로 추정할 수 있다. 본 발명은 최적화된 CD를 모델로부터 추정하는 과정에서 배치 단위의 모수 분포의 행렬 정보, 후보 모수 벡터의 선형 변환 그리고 상기 모수 분포를 갖는 후보 모수 벡터의 필터링을 도입하여 적용하고자 한다. 상기 배치 단위의 크기는 균일한 조건 하에서 누적되는 반도체 소자가 제조되는 측정 대상 기판의 정의된 수량일 수 있다. 예컨대, 상기 배치 단위는 웨이퍼의 한 묶음을 지칭하는 롯(Lot)일 수 있다. 상기 모수 분포는 상기 배치 단위의 측정 대상 기판들이 가질 수 있는 가정 가능한 CD들의 분포를 지칭하며, 동일한 다변량 정규분포(multivariate normal distribution)를 포함한다.
도 1a는 본 발명의 일 실시예에 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 개념을 나타내는 도면이고, 도 1b는 본 발명의 일 실시예에 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 방법을 설명하는 순서도이며, 도 1c는 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 나타내는 그래프이다.
도 1a를 참조하면, OCD 측정 방식은 소정의 범위를 갖는 여러 파장들(x1, x2,?, xu)을 갖는 입사광을 웨이퍼(W) 같은 측정 대상 기판에 입사시킨 후 획득된 반사관의 반사율 스펙트럼(y1, y2,?, yu)을 분석하여, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4), CD5(θ5)을 추정할 수 있다. θ1, θ2, θ3, θ4, θ5는 3차원 형상의 각 깊이를 나타내며, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4)는 각각 깊이에 따른 너비 값이고, CD5(θ5)는 전체 두께 값일 수 있다. 각 깊이의 개수나 간격, 그리고 측정하고자 하는 임계 값의 종류는 예시적이며, 본 발명이 이에 한정되는 것은 아니다. 예를 들면, 3 개의 깊이가 측정 대상이 될 수 있으며, 3차원 형상의 상부 폭 또는 하부 폭 등 여하의 특징이 측정 대상이 될 수도 있다. 또한, 3차원 형상은 라인앤스페이스 구조, 트렌치 구조, 기둥 구조, 마카로니 구조, 핀(fin) 구조, 브릿지 구조와 같은 다양한 형상일 수 있으며, 그 형상에 따라 측정 위치 및 측정하고자 하는 임계 값의 종류는 달라 질 수 있다. 이하에서는 설명의 편의상 도 1a에 예시된 5개의 깊이들(θ1 ~ θ5)과 임계 값들(CD1 ~ CD5)에 대해서 설명하도록 한다.
일 실시예로서, 도 1a에 도시된 측정 대상인 웨이퍼(W)는 웨이퍼(W)의 주면에 수직하는 단면이 높은 고종횡비(high aspect ratio; HAR)를 갖는 사다리꼴 형상의 구조를 가지며, 상기 사다리골 구조에서 CD 값들은 높은 상관 관계(correlation)을 갖는다. 상기 사다리골 구조의 특징은 전술한 것과 같이 CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4) 및 CD5(θ5)으로부터 유추될 수 있다. 반사율 스펙트럼(y1, y2,?, yu)(이하, 계측 스펙트럼이라 칭함)과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 검색함으로써, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4) 및 CD5(θ5)가 결정될 수 있다. 또한, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4) 및 CD5(θ5)을 입력 값으로 하는 수치 시뮬레이션 스펙트럼이 생성되는 것이어서, 반사율 스펙트럼(y1, y2,?, yu) 또는 상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼으로부터, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4) 및 CD5(θ5)를 갖는 HAR 구조가 유추될 수 있다. 상기 반사율 스펙트럼은 함수의 출력 값으로, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4) 및 CD5(θ5)은 함수의 입력 값으로 정의될 수 있다.
도 1b를 참조하면, 상기 계측 스펙트럼과 근접한 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 검색하는 프로세스가 예시된다. 상기 검색하는 과정은 후술할 OCD 측정 장치에 의해 수행될 수 있다. 상기 OCD 측정 장치에 의해, 파장 별로 계측 스펙트럼이 측정되는 단계(S100)가 수행될 수 있다. 상기 계측 스펙트럼과 근접하는 수치 시뮬레이션 스펙트럼이 계산될 수 있다(S102). 구체적으로, 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼은 복수의 CD 벡터들 중 어느 하나의 CD 벡터, 예컨대, CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4), CD5(θ5)을 입력 모수로 하는 출력 스펙트럼일 수 있다.
다음 상기 계측 스펙트럼과 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 오차를 계산하기 위해, 상기 계측 스펙트럼과 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼이 비교 분석될 수 있다(S104). 상기 계측 스펙트럼과 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 오차는 평균 제곱 오차일 수 있다.
다음, 상기 계측 스펙트럼과 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 평균 제곱 오차가 허용 오차 범위 내에 있는지 상기 평균 제곱 오차와 상기 허용 오차가 비교될 수 있다(S106). 상기 평균 제곱 오차가 허용 오차보다 큰 경우 단계로 S108로 진행하여 모수 갱신을 할 수 있다. 일 실시예에서, 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 후보 모수를 갱신할 수 있다. 상기 평균 제곱 오차가 허용 오차보다 작거나 같은 경우, 단계 S110로 진행하여, 상기 계측 스펙트럼과 최소 평균 제곱 오차를 갖는 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 입력 모수를 최종 후보 모수로 출력할 수 있다.
전술한 것과 같이, 상기 OCD 측정 장치에 의해, 비선형 모수 추정 방법에 기반하여 상기 계측 스펙트럼과 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 비교하여 차이를 최소화하는 후보 모수를 추정하는 단계들(S102 내지 S108)이 반복되어 최종적으로 상기 계측 스펙트럼과 최소 차이를 갖는 수치 시뮬레이션 스펙트럼이 결정될 수 있다. 이때 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 최종 후보 모수(예: CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4) 및 CD5(θ5))가 출력될 수 있다(S110). 일 실시예에서, 상기 비선형 모수 추정 방법은 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 차이의 제곱 합이 임계치 이하가 될 때까지 후보 모수 갱신과 상기 갱신된 후보 모수를 이용한 수치 시뮬레이션 스펙트럼 계산을 반복하며, 최종적으로 후보 모수를 추정할 수 있다.
종래에는 가우시안 뉴턴 방식(Gauss-Newton Method)을 사용하여 최적화된 CD를 도출하였다. 상기 가우시안 뉴턴 방식은 기울기 벡터(Gradient Vector) 방향으로 1차 편미분한 자코비앙(Jacobian) 또는 2차 편미분한 헤시안(Hessian)을 이용하여 점진적으로 소정 스텝만큼 움직이는 방식이다. 그러나 HAR 구조와 같이 단면적 대비 높이의 비율이 매우 큰 구조에서는 CD 간의 상관관계가 강하게 나타나는 구조이며, 이 경우 국소 최적해(local minimum)가 발생하여 최종적으로 추정할 전역 최적해(Global Minimum)의 CD에 도달함에 있어 한계가 있다. 즉, 상기 가우시안 뉴턴 방식으로는 HAR 구조와 같이 상관관계가 높은 구조에서는 적합한 CD 파라미터 도출이 어려울 수 있다. 이외에도 GA(Genetic Algorithm), SA(Simulated Annealing), PSO(Partial Swarm Optimization), EA(evolutionary algorithms) TS(Tabu Search) 또는 ACO(Ant Colony Optimization) 같은 휴리스틱 알고리즘을 사용할 수도 있지만, 이 역시 HAR 구조에서는 정확하고 빠르게 CD를 추정하는데 한계가 있다.
이와 비교시, 본 발명의 실시예에 따르면, 상기 비선형 모수 추정에 휴리스틱 알고리즘을 결합하고, 배치 단위의 모수 분포의 행렬 정보, 후보 모수 벡터의 선형 변환 그리고 상기 모수 분포를 갖는 후보 모수 벡터의 필터링을 적용함으로써, 계측 스펙트럼을 모델링할 수 있는 후보 모수 벡터를 정확하고 빠르게 연산하여 추정할 수 있다.
일 실시예에서, 피측정 대상의 하나의 구조에 대하여 배치 단위로 검사 공정이 진행되는 경우, 하나의 배치 단위의 모수 분포는 동일한 다량 변량 정규 분포를 갖는다고 가정할 경우, 상기 배치 단위의 모수 분포의 행렬 정보는 후보 모수 벡터의 추정 전에 결정될 수 있는 가정 가능한 정보가 될 수 있다. 예컨대, 로트(Lot) 단위의 웨이퍼들이 갖는 CD들에 대해 다량 변량 정규 분포를 가정할 수 있다. 일 실시예에서, CD 추정은 로트 단위로 수행될 수 있다. 또한, 상기 모수 분포는 행렬 정보로 표시될 수 있으며, 상기 행렬 정보는 상기 모수 분포의 평균 벡터(mean vector)와 공분산 행렬(covariance matrix)을 포함할 수 있다
일 실시예에서, 상기 가정 가능한 모수 분포의 공분산 행렬(Σ)에 관한 콜레스키 분해(Cholesky decomposition) 방법을 이용하여 하부 삼각 행렬(lower triangular matrix. C)이 유도될 수 있다(Σ=CC'). 여기서, C'는 하부 삼각 행렬의 전치행렬(transpose matrix)이다. 상기 유도된 하부 삼각 행렬(C)을 이용하여, 상기 후보 모수 벡터의 선형 변환이 수행될 수 있다.
일 실시예에서, 상기 후보 모수 벡터의 선형 변환은 모든 후보 모수 벡터를 선형 변환하여, 표준화된 좌표계로 변환하는 것이다. 상기 변환된 표준화된 좌표계에서 휴리스틱 알고리즘을 적용하여 후보 모수 벡터를 생성할 수 있다. 본 발명의 실시예에 따르면, 상기 후보 모수 벡터의 선형 변환을 통해서, 모수 사이의 강한 상관관계로 인한 휴리스틱 알고리즘의 부정확도와 비효율을 개선시킬 수 있다.
일 실시예에서, 상기 모수 분포를 갖는 후보 모수 벡터의 필터링은 휴리스틱 알고리즘을 통해 생성한 후보 모수 벡터가 상기 가정가능 모수 분포를 갖도록 하는 과정이다. 상기 후보 모수 벡터가 상기 가정가능 모수 분포를 갖도록 함으로써, 반복적인 후보 모수 추정 과정에서 정확도를 유지하면서도 불필요한 목적 함수 값의 계산을 줄여 모수 추정 시간을 개선시킬 수 있다.
일 실시예에서, 상기 피측정 대상의 하나의 구조에 대하여 배치 단위의 모수 추정은 하기 수학식 1과 같이 모델링될 수 있다.
[수학식 1]
여기서, j는 배치 단위의 크기이며, 
과 관련하여
이 정의되며, 상기 피측정 대상 기판 별 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼 사이 차이를 최소화하는 p차원의 후보 모수를 지칭하며, 
는 2개의 값 사이의 차이의 제곱 합으로 정의되는 목적 함수이다. 
는 j번째의 상기 피측정 대상 기판에 대한 i번째 파장 값을 지칭하며, 
는 j번째의 상기 피측정 대상 기판에 대한 독립 변수의 i번째 입력 값을 지칭하고, j번째의 상기 피측정 대상 기판에 대한 종속 변수의 i번째 출력 값을 지칭하고, 
는 x 벡터와 θ 벡터를 입력으로 하는 수시 시뮬레이션 스펙트럼의 함수이다.
도 1c를 참조하면, 수치 시뮬레이션 스펙트럼은 입력 파장(x1, x2,…, xu)과 CD(θ1, θ2, θ3, θ4, θ5)을 입력 값으로 하는 함수(f(x,θ))로 정의되며, 반사율 스펙트럼(y1, y2,…, yu) 또는 파장별 계측 스펙트럼을 기반으로, 상기 계측 스펙트럼과 근접한 CD(θ1, θ2, θ3, θ4, θ5)을 검색함으로써 최적화된 CD 값이 유추될 수 있다. 즉, 파장별 계측 스펙트럼이 결정되면, 본 발명의 비선형 모수 추정 방법에 의해서 상기 계측 스펙트럼과 근접한 상기 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 정의하는 CD(θ1, θ2, θ3, θ4, θ5)이 검색될 수 있다.
도 2a 및 도 2b는 본 발명의 일 실시예에 따른 의한 OCD 방식을 이용하여 CD를 추정하는 방법을 설명하기 위한 순서도이다.
도 2a를 참조하면, OCD 측정 장치에 의해, 전자 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 결정하는 단계(S201); 상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 단계(S203); 상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하는 단계(S205); 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계(S207); 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하는 단계(S209)가 수행된다. 이후, 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하는 단계(S211); 상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 2 후보 모수를 결정하는 단계(S215); 및 상기 제 2 후보 모수를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 단계(S217)가 수행될 수 있다. 일 실시예에서, 상기 소자를 구성하는 3 차원 구조는 예를 들면, 20:1 내지 20,000: 1의 단면 종횡비를 갖는 HAR(High Aspect Ratio) 구조를 포함할 수 있다. 상기 HAR 구조는 TCAT(Terabit Cell Array Transistor) 또는 BiCs(bit-Cost Scalable) 구조와 같은 3차원 수직 적층 구조의 수직형 낸드 셀 어레이를 갖는 낸드 플래시 메모리 소자의 일부일 수 있으며, 수직형 디램셀이나 핀펫과 같은 트랜지스터 소자의 일부일 수도 있다. 상기 가정 가능한 모수 분포는 동일한 다변량 정규 분포로부터 샘플링될 수 있는 모수들의 분포로서 예측 가능한 정보일 수 있다. 그러나, 본 발명은 상기 HAR 구조에 제한되지 않는다. 예를 들면, 모수간 상관관계가 강한 임의의 볼록 다각형 구조 또는 원형, 타원형 구조의 단면을 갖는 3차원 구조에 적용될 수 있다.
일 실시예에서, 상기 행렬 정보는 상기 가정 가능한 모수 분포의 평균 벡터(mean vector) 및 공분산 행렬(covariance matrix)을 포함할 수 있다. 상기 행렬 정보를 결정하는 단계(S201)는 상기 공분산 행렬을 하부 삼각 행렬(lower triangular matrix라 칭함)과 상기 하부 삼각 행렬의 전치행렬(transpose matrix)의 곱으로 분해하는 단계를 포함할 수 있다.
일 실시예에서, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계(S207)는, 상기 제 1 후보 모수 벡터와 상기 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하는 단계 및 상기 제 1 출력 벡터와 상기 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 단계에 의해 수행될 수 있다. 상기 하부 삼각 행렬은 상기 행렬 정보의 공분산 행렬로부터 분해된 행렬일 수 있다. 구체적으로, 상기 공분산 행렬(Σ)의 콜레스키 분해(Cholesky decomposition)를 통해 하부 삼각 행렬(C)이 결정될 수 있다(Σ=CC'). 여기서, C'는 상기 하부 삼각 행렬(C)의 전치행렬이다. 상기 결정된 하부 삼각 행렬(C)을 이용하여, 상기 후보 모수 벡터의 선형 변환이 수행될 수 있다. 상기 결정된 하부 삼각 행렬(C)를 이용해 후보 모수 벡터를 선형 변환함으로써, 모수간 강한 상관관계로 인해 발생가능한 휴리스틱 알고리즘의 부정확도와 효율의 저하를 개선시킬 수 있다.
일 실시예에서, 상기 제 1 후보 모수를 결정하는 단계(S209)는 상기 비선형 모수 추정 방법에 기반하여 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 차이의 제곱 값들의 합이 임계치 이하가 되도록 하는 상기 제 1 후보 모수 벡터로부터의 상기 제 1 후보 모수를 추정할 수 있다.
일 실시예에서, 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계(S211)는 상기 제 1 후보 모수를 입력으로 하는 휴리스틱 알고리즘을 이용하여, 제 2 후보 모수 벡터를 생성할 수 있다. 예컨대, 상기 제 1 후보 모수가 3 차원 구조인 HAR 구조를 결정할 수 있는 복수의 CD들, 예컨대, 도 1a의 CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4), CD5(θ5)를 포함할 때, 휴리스틱 알고리즘은 각각 CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4), CD5(θ5)를 보정할 수 있으며, 이때 CD1(θ1), CD2(θ2), CD3(θ3), CD4(θ4), CD5(θ5) 각각의 보정에 따라, 상기 제 1 후보 모수로부터 상기 복수의 제 2 후보 모수들이 생성될 수 있다. 상기 복수의 제 2 후보 모수들을 제 2 후보 모수 벡터라 지칭할 수 있다. 상기 휴리스틱 알고리즘은 GA(Genetic Algorithm), SA(Simulated Annealing), PSO(Partial Swarm Optimization), EA(evolutionary algorithms) TS(Tabu Search), CRS(Controlled Random Search) 또는 ACO(Ant Colony Optimization) 중 어느 하나를 포함할 수 있다. 그러나, 본 발명은 이들 상기 휴리스틱 알고리즘에 제한되지 않으며, 모순되지 않는 한 다른 공지의 휴리스틱 알고리즘도 적용 가능하다.
일 실시예에서, 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계(S211)는 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되는 모든 제 2 후보 모수들 중 상기 가정 가능한 모수 분포를 따르는 제 2 후보 모수들만을 선별하여 제 2 후보 모수 벡터를 결정할 수 있다. 본 발명의 일 실시예에 따르면, 상기 가정 가능한 모수 분포를 따르는 제 2 후보 모수들만을 선별함으로써, 비선형 모수 추정 과정에서 불필요한 목적 함수 값의 계산을 방지하며 빠르고 정확하게 후보 모수 추정 과정이 수행될 수 있다. 즉, 확률적으로 선택 가능성이 낮은 제 2 후보 모수를 후보 해에서 배제하고 선택 가능성이 높은 제 2 후보 모수들을 후보 해에 포함시킴으로써, 정확도를 유지하면서 빠르게 선택 가능성이 높은 제 2 후보 모수들에 대해서 비선형 모수 추정을 수행할 수 있다.
상기 가정 가능한 모수 분포를 따르는 제 2 후보 모수를 선별하는 기준은 하기 수학식 2를 통해 수행될 수 있다.
[수학식 2]
여기서, R은 0과 1 사이의 독립 항등 분포(i.i.d)를 갖는 균등 난수이고, h(x)는 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수이며, φ는 0에서 1 사이의 사용자 지정 값이고, 
는 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되는 제 2 후보 모수이다. m은 3 차원 구조의 차원을 지칭한다. 예컨대, 도 1a의 HAR 구조의 차원은 5차원이 될 수 있으며, 이는 5개 CD로 해당 HAR 구조를 유추할 수 있는 것을 의미한다.
일 실시예에서, 선택적으로 상기 제 2 후보 모수를 결정하는 단계(S215) 전에 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계(S213)가 수행될 수 있다. 전술한 상기 제 1 후보 모수가 선형 변환되더라도 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수로부터 검색될 수 있는 상기 제 2 후보 모수 벡터는 선형 변환된 값이 아닌 선형 변환 전의 값일 수 있기 때문에, 단계(S213)가 선택적으로 수행될 수 있다. 구체적으로, 상기 제 2 후보 모수 벡터가 선형 변형된 좌표계 공간에 존재하면, 단계(S213)는 생략될 수 있으며, 반면 상기 제 2 후보 모수 벡터가 선형 변형 전 좌표계 공간에 존재하면, 단계(S213)가 수행될 수 있다. 단계(S209)와 마찬가지로, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계(S213)는 상기 제 2 후보 모수 벡터와 상기 행렬 정보의 공분산 행렬로부터 분해된 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하는 단계와 상기 제 1 출력 벡터와 상기 행렬 정보의 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 단계를 포함할 수 있다.
일 실시예에서, 선택적으로 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계(S211)는 상기 제 1 후보 모수를 역 선형 변환하는 단계를 더 포함할 수 있다. 상기 휴리스틱 알고리즘은 상기 제 1 후보 모수로부터 상기 제 2 후보 모수 벡터를 생성하는데, 이때 선형 변환된 또는 선형 변환되지 않은 제 1 후보 모수가 이용될 수 있다. 따라서, 상기 휴리스틱 알고리즘이 선형 변환되지 않은 제 1 후보 모수를 이용하는 경우, 이전 단계에서 상기 제 1 후보 모수는 이미 선형 변형된 것이어서 상기 제 1 후보 모수를 역 선형 변환이 필요하다. 본 명세서에서, 선형 변형은 후술할 도 3에서 후보 모수를 원 좌표계(original coordinate system)에서 선형 변형된 좌표계로 이동시키는 것을 의미하며, 역 선형 변형은 후보 모수를 선형 변형된 좌표계에서 원 좌표계(original coordinate system)로 이동시키는 것을 의미한다.
일 실시예에서, 단계(S211) 내지 단계(S215)는 임계 조건을 만족할 때까지 수행될 수 있다(단계(218)). 상기 임계 조건은 총 계산 예산(computational budget) 또는 최고 모수 벡터의 타깃 정확도를 만족하는지 여부에 관한 정보를 포함할 수 있다. 상기 총 계산 예산의 경우, 단계(S211) 내지 단계(S215)를 포함하는 함수 추정 연산 단계들의 실행 회수가 설정된 값에 도달하거나 상기 함수 추정 연산 단계들의 실행 시간이 설정된 값에 도달할 때, 상기 함수 추정 연산 단계들은 중지될 수 있다. 상기 최고 모수 벡터의 타깃 정확도는 P 집합의 모든 모수 벡터에서 데이터 집합과 모델로부터의 데이터 사이의 판정 지표(determination index)인 R2의 값을 계산하여 얻어질 수 있고, 최대 및 최소 R2 값 사이의 차이가 사용자 지정 상수보다 작을 때, 단계(S211) 내지 단계(S215)는 중지될 수 있다.
일 실시예에서, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 단계(S217)는 단계(S211) 내지 단계(S215)의 반복 과정을 통해 임계 조건을 만족하는 후보 벡터를 최종 후보 벡터로 선택하는 단계를 포함할 수 있다.
일 실시예에서, 단계(S203) 내지 단계(S217)는 피측정 대상 기판의 배치 단위만큼 반복 수행되어, 피측정 대상 기판별로 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 최종 후보 모수가 결정될 수 있다(S219). 상기 가정 가능한 모수 분포는 상기 배치 단위만큼 반복 수행됨으로써 획득되는 복수의 모수들이 갖는 확률적 통계 데이터로서, 다변량 정규 분포(multivariate normal distribution)를 포함할 수 있다. 상기 제 1 후보 모수 벡터 또는 상기 제 2 후보 모수 벡터 내의 각 모수는 선형 변환된 좌표계에서 평균이 0이고 분산이 1이며, 통계적으로 독립적인 특징을 가질 수 있다.
도 2a를 참조하여 개시된 본 발명의 일 실시예에 따른 임계 치수의 추정 방법은 하기와 같은 순서로 설명될 수도 있다.
단계 0: 사용자 입력 파라미터(
) 설정 
및 가정 가능 분포의 평균 벡터(
)와 공분산 행렬(
) 설정. 반복 횟수 
. 
는 배치 단위의 크기임.
단계 1: Cholesky 분해를 통해 공분산 행렬(
)를 
으로 분해 (
: 하부 삼각 행렬)
관측치 
,
수집, 반복횟수 
, 
로 설정.
단계 2: 다변량 표준 정규 분포를 따르는 
차원 샘플 후보해 벡터 (
) 생성 및 후보해들로 구성된 P 집합 생성 
).
단계 3: 집합 P 내 모든 후보해들에 대해 
로 선형 변환 후,
단계 4: 종료 조건을 만족할 때까지 다음 과정을 반복.
단계 4-1: 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 다음 조건을 만족할 때까지 새로운 후보해 벡터 
생성(채택 & 거절법).
R은 0과 1사이의 균일 분포를 따르는 확률 변수, 
단계 4-2: 
로 선형 변환 후, 
값 평가.
단계 4-3: 
와 
갱신 후 
설정.
단계 5: 관측치 
,
에 대한 모수로 
출력.
단계 6: 만약 
라면, 
설정 후 단계 1로 이동. 그렇지 않으면, 종료
도 2a는 가정 가능한 모수 분포가 이미 알려져 있거나 이미 추정된 경우의 실시 예이며, 다른 실시 예에서, 가정 가능한 모수 분포를 알지 못하는 경우, 도 2b와 같이 단계 S205 내지 단계 S217를 수행하면서 모수의 분포를 추정할 수 있다.
도 2b를 참조하면, 가정 가능한 모수 분포에 대한 초기 행렬 정보가 결정될 수 있다(S202). 구체적으로, 상기 초기 가정 가능 분포의 평균 벡터(
)와 공분산 행렬(
)을 
과 
으로 설정될 수 있으며, 
가 양의 부호 행렬이면서 
를 만족하면, 
, 
으로 설정될 수 있다. 여기서, 
는 양의 정수로서 
조건을 갖는다.
는 배치 단위의 크기이다. 다음, Cholesky 분해를 통해 공분산 행렬(
)를 
으로 분해할 수 있다.
이후, 상기 초기 행렬 정보를 이용하여, 상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 단계(S203)가 수행될 수 있으며, 상기 파장별 계측 스펙트럼을 기반으로 도 2a의 S205 내지 S219의 동일한 단계가 수행될 수 있다. 단계(S203) 내지 단계(S219)는 도 2a의 단계(S203) 내지 단계(S219)와 동일하므로, 모순되지 않는 한 도 2a의 단계(S203) 내지 단계(S219)의 설명을 참조할 수 있다.
이후, 이전 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보, 즉, 평균 벡터(
)와 공분산 행렬(
)은 하기 수학식 3과 수학식 4에 의해 갱신될 수 있다(S220). 단계(S203) 내지 단계(S220)는 피측정 대상 기판의 배치 단위만큼 반복 수행되어, 상기 이전 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보가 갱신될 수 있다(S230).
[수학식 3]
[수학식 4]
일 실시예에서, 선택적으로, 상기 계측 스펙트럼을 이용하여, 상기 행렬 정보인 평균 벡터(
)와 공분산 행렬(
)을 수학식 2 및 수학식 3에 기반하여 갱신하는 단계가 더 수행될 수 있다.
도 2b는 하기와 같은 순서로 설명될 수 있다.
단계 0: 양의 정수 
설정 (
) 및 입력 모수 
설정 
및 
, 
로 각각 설정. 반복 횟수 
.
단계 1: 만약 
가 정부호 행렬이면서 
를 만족하면, 
, 
으로 설정 및 Cholesky 분해를 통해 공분산 행렬 
로 분해 (
: 하삼각행렬),
관측치 
,
수집, 반복횟수 
로 설정.
단계 2-5: 분포기반 휴리스틱 탐색-1과 동일.
단계 6: 
, 
으로 갱신.
만약
라면, 
설정 후 단계 1로 이동. 그렇지 않으면, 프레임워크 종료
도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 후보 모수 벡터에 관한 선형 변환(linear transform)을 설명하기 위한 도면이다.
도 3를 참조하면, 후보 모수(p)들은 2차원의 원 좌표계에 분포되어 있다. 각각의 후보 모수(p), 예를 들면 CD1(θ1)과 CD2(θ2)는 2차원의 원 좌표계에 표현될 수 있다. 비선형 모수 추정 과정에서, 특허 모수간 상관관계가 큰 고종횡비의 형상 분석시, 2차원의 원 좌표계에서 2개의 후보 모수(P1, P2)간 강한 상관관계로 인하여 분포를 벗어난 후보 모수(P3)가 생성될 수 있다. 이 경우, 후보 모수(P3)를 이용하여 최적화 모수를 검색할 경우 정확도 및 효율이 저하될 수 있다.
본 발명의 일 실시예에서는 이를 개선하기 위해서, 선형 변환을 통해 2차원의 원 좌표계의 후보 모수들(p)을 2차원의 변환 좌표계의 후보 모수들(p')로 이동시킬 수 있다. 구체적으로, 가정가능 모수 분포의 공분산 행렬(
)을 콜레스키 분해를 이용하여 하부 삼각 행렬(
)를 도출할 수 있다(
). 상기 도출된 하부 삼각 행렬(
)과 상기 가정가능 모수 분포의 평균 벡터(μ)이용해 2차원 원 좌표계의 모든 후보 모수를 선형 변환하여, 표준화된 변환 좌표계로 변환한다. 상기 원 좌표계의 후보 모수(p)의 θ(θ1, θ2) 벡터와 상기 변환 좌표계의 후보 모수(p')의 
벡터의 관계는 하기 수학식 5로 정의될 수 있다.
[수학식 5]
여기서, θ는 원 좌표계의 후보 모수를 지칭하며, 
는 변환 좌표계의 후보 모수를 지칭하고, μ는 상기 가정 가능한 모수 분포의 평균 벡터 평균 벡터이고, 
는 상기 가정 가능한 모수 분포의 공분산 행렬(
)로부터 분해된 하부 삼각 행렬이다.
전술한 바와 같이, 원 좌표계에 존재하는 두가지 후보 모수를 조합해 새로운 후보 모수를 생성한 경우, 2개의 후보 모수(P1, P2) 간의 강한 상관관계에 의해 분포를 벗어난 새로운 후보 모수가 생성되어, 실제 해가 될 가능성이 낮은 후보 해를 생성할 가능성이 높아져서, 최적 후보 모수를 산출하는 연산의 정확도와 효율이 저하될 수 있다. 그러나, 원 좌표계의 후보 모수들(p)을 변환 좌표계로 선형 변환하게 되면, 2개의 후보 모수(P1', P2') 간의 약한 상관관계에 의해 분포 범위내에 생성된 후보 모수(P3')는 실제 해가 될 가능성이 향상되며, 이로써 후보 해 도출의 정확도와 속도가 향상될 수 있다.
도 4는 본 발명의 실시예에 따른 가정 가능한 모수 분포를 갖는 후보 모수 벡터를 필터링하는 방법을 도시하는 그래프이다. 도 4는 상기 수학식 1에 대하여 모수가 1차원인 경우(p=1) 예시를 표현한 도면이다.
도 4를 참조하면, 휴리스틱 알고리즘을 통해 생성될 수 있는 후보 모수들이 상기 가정 가능한 분포를 갖도록, 상기 수학식 1에 기반하여 휴리스틱 알고리즘에서 균일확률 변수를 이용해 상기 후보 모수들을 선택할 수 있다. 구체적으로, 청색 점들(PP)은 후보해를 나타내며, 화살표(A)는 이동방향과 이동 거리를 의미한다. 종래의 휴리스틱 알고리즘에서는 균등확률 변수를 통해 설정된 방향으로 상기 후보해의 이동 거리가 결정될 수 있다. 본 발명의 실시예에서는 생성되는 후보해들이 균등확률 분포가 아닌 가정 가능 분포를 가질 수 있다. 
는 표준정규분포의 확률밀도함수이며, 
의 확률로 후보해를 선택하도록 하여 가정 가능 분포에서 실제 후보 모수가 존재할 확률이 높은 후보해의 선택 확률을 높이고 후보 모수가 존재할 확률이 낮은 후보해의 선택 확률을 낮추는 효과를 기대할 수 있다.
일 실시예에서, 상기 수학식 1에서 선택 확률이 매우 낮아짐에 따라 후보해를 선택하지 못하는 경우를 방지하기 위해, 사용자 지정 값(
)을 0과 1사이의 값으로 지정할 수 있다. 
를 1에 가까운 값을 사용하게 되면 후보해의 선택 확률은 커지지만 가정 가능 분포의 정보를 많이 활용하지 못하게 되어 복잡도가 상대적으로 증가할 수 있다. 반면 0에 가까운 값을 사용하게 되면, 후보해의 선택 확률이 낮아지지만 가정 가능 분포의 정보를 많이 활용하여 복잡도를 줄일 수 있다. 따라서, 상기 
값은 샘플링된 후보해의 성능 평가에 걸리는 시간이나 가정 가능 분포의 정확성을 고려하여 결정하는 것이 바람직하다.
전술한 바와 같이, 상기 휴리스틱 알고리즘에서 균일확률변수를 이용해 생성한 후보 모수들이 상기 가정 가능한 분포를 갖도록 함으로써, 반복적인 비선형 모수 추정과정에서 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 차이의 제곱 합을 최소화하는 불필요한 목적 함수 값의 계산을 최소화하여 종래보다 빠르고 정확하게 모수를 추정할 수 있다.
도 5는 본 발명의 일 실시예에 의한 CD를 추정하는 장치의 구성을 보여주는 도면이다.
도 5를 참조하면, CD를 산출하는 장치(100)는 파장별 스펙트럼, 가정 가능한 모수 분포의 행렬 정보 같은 소정의 입력된 정보들과 저장된 정보들을 이용하여 컴퓨팅한 결과를 출력한다. 장치(100)는 노트북, 컴퓨터 또는 기타 알고리즘을 실행하고 구현할 수 있는 장치를 포함할 수 있다. 다른 실시예에서, 도 5의 장치(100)는 CD를 추정하는 작업만을 수행하는 전용 컴퓨팅 장치를 포함할 수 있다. 장치(100)는 세부 구성들로써 소프트웨어 구성 요소 또는 하드웨어 구성 요소를 포함할 수 있다.
장치(100)는 스펙트럼 입력부(102), 라이브러리부(106), 출력부(108) 및 이들을 제어하며 최적의 CD를 추정하는 제어부(104)로 구성된다. 제어부(104)는 소정의 최적화 알고리즘을 구현하는 소프트웨어 코드 또는 이를 구현한 프로세서 같은 하드웨어 칩 중 어느 하나 또는 이의 조합일 수 있다.
라이브러리부(106)는 본 발명의 비선형 모수 추정 알고리즘에서 샘플 데이터(CD 벡터, 또는 후보 모수 벡터)를 산출함에 있어서의 해당 샘플 데이터에 대응하는 함수 값(수치 시뮬레이션 스펙트럼)을 제어부(104)로 반환하는 역할을 할 수 있으며, 최적의 샘플 데이터를 산출하는데 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보 같은 필요한 정보를 제공할 수 있다. 샘플 데이터에 대응하는 수치 시뮬레이션 스펙트럼에 관한 정보가 라이브러리부(106)에 저장되며, 라이브러리 구성을 위한 샘플 데이터는 고정될 수도 있고, 샘플 데이터를 새롭게 산출하는 과정에서 추가될 수도 있다. 또한, 제어부(104)의 제어에 의해 RCWA 시뮬레이션에 따라 스펙트럼을 계산하여 CD들을 추가하거나 변경할 수 있다. 출력부(108)는 입력된 계측 스펙트럼과 CD에 기반하여 라이브러리부(106)가 산출한 수치 시뮬레이션 스펙트럼 사이의 차이를 최소화하는 모델의 CD, 즉 제어부(104)가 산출한 샘플 데이터를 출력할 수 있다. 또한, 제어부(104)는 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 샘플 데이터를 산출하고, 여기에서 라이브러리부에 의해 산출된 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 계측 스펙트럼과 비교하여 그 차이를 최소화하는 샘플 데이터를 CD 파라미터로 제공할 수 있다.
광 측정 장치(미도시함)로부터 3차원 구조로부터 파장별 계측된 계측 스펙트럼이 스펙트럼 입력부(102)를 통해 장치(100)로 입력될 수 있다. 입력된 스펙트럼을 이용하여 제어부(104)는 다양한 샘플 데이터를 추출하여 각 샘플 데이터에 대응하는 스펙트럼을 라이브러리부(106)로부터 반환받으며, 입력된 스펙트럼과 샘플 데이터에 대응하는 스펙트럼 사이의 차이를 최소화하는 샘플 데이터, 즉 모델의 CD를 산출할 수 있다.
제어부(104)는 상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하고, 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하고, 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하고, 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하고, 상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 MSE(Mean Square Error)를 최소화하는 제 2 후보 모수를 산출할 수 있으며, 상기 MSE는 파장 별로 계측된 계측 스펙트럼과 라이브러리부(106)에서 제공된 수치 시뮬레이션 스펙트럼 간 차이 제곱 합의 평균으로 산출할 수 있다.
상기한 설명에서 많은 사항이 구체적으로 기재되어 있으나, 그들은 발명의 범위를 한정하는 것이라기보다, 구체적인 예시로서 해석되어야 하며, 다양한 변형이 가능할 수 있다. 따라서, 본 발명의 범위는 설명된 실시예에 의하여 정해지는 것이 아니며, 특허청구범위에 기재된 기술적 사상에 의해 정하여져야 한다.
100: CD 추정 장치
102: 스펙트럼 입력부
104: 제어부
106: 라이브러리부
108: 출력부
102: 스펙트럼 입력부
104: 제어부
106: 라이브러리부
108: 출력부
Claims (21)
- 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 결정하는 제 1 단계;
상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 제 2 단계;
상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하는 제 3 단계;
상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 제 4 단계;
상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하는 제 5 단계;
상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며, 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하는 제 6 단계;
상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 2 후보 모수를 결정하는 제 7 단계; 및
상기 제 2 후보 모수를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 제 8 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 행렬 정보는 상기 가정 가능한 모수 분포의 평균 벡터(mean vector) 및 공분산 행렬(covariance matrix)를 포함하며,
상기 행렬 정보를 결정하는 단계는 상기 공분산 행렬을 하부 삼각 행렬(lower triangular matrix)과 상기 하부 삼각 행렬의 전치행렬(transpose matrix)의 곱으로 분해하는 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 2 항에 있어서,
상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계는,
상기 제 1 후보 모수 벡터와 상기 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하는 단계; 및
상기 제 1 출력 벡터와 상기 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 제 2 후보 모수를 결정하는 단계는,
상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 4 항에 있어서,
상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 단계는,
상기 제 2 후보 모수 벡터와 상기 행렬 정보의 공분산 행렬로부터 분해된 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하는 단계; 및
상기 제 1 출력 벡터와 상기 행렬 정보의 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계는,
하기 수학식을 만족하는 후보 모수 벡터를 확률적으로 선택하는 단계를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법.
여기서, R은 0과 1 사이의 독립 항등 분포(i.i.d)를 갖는 균등 난수이고, h(x)는 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수이고, p는 상기 제 2 후보 모수 벡터의 크기,는 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되는 제 2 후보 모수이며, φ는 0에서 1 사이의 사용자 지정 값임.
- 제 6 항에 있어서,
상기 제 2 후보 모수 벡터를 결정하는 단계는,
상기 제 1 후보 모수를 역 선형 변환하는 단계를 더 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 계측 스펙트럼을 이용하여, 상기 행렬 정보를 갱신하는 단계를 더 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 제 2 단계 내지 상기 제 8 단계는 소자를 구성하는 하나의 3 차원 구조에 대하여 배치 단위만큼 반복되며,
상기 가정 가능한 모수 분포는 상기 배치 단위만큼 반복 수행됨으로써 획득되는 복수의 모수들이 갖는 확률적 통계 데이터로서, 다변량 정규 분포(multivariate normal distribution)를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 제 1 후보 모수 벡터 또는 상기 제 2 후보 모수 벡터 내의 각 모수는 선형 변환된 좌표계에서 평균이 0이고 분산이 1이며, 통계적으로 독립적인 특징을 갖는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 제 1 항에 있어서,
상기 휴리스틱 알고리즘은 GA(Genetic Algorithm), SA(Simulated Annealing), PSO(Partial Swarm Optimization), EA(evolutionary algorithms) TS(Tabu Search) 또는 ACO(Ant Colony Optimization) 중 어느 하나를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 방법. - 소자를 구성하는 3 차원 구조의 임계 치수에 관한 가정 가능한 모수 분포에 대한 행렬 정보를 결정하는 라이브러리부;
상기 3차원 구조로부터 파장별 계측 스펙트럼을 획득하는 스펙트럼 입력부; 및
상기 계측 스펙트럼과 근접한 수치 시뮬레이션 스펙트럼을 결정하는 제 1 후보 모수 벡터를 샘플링하고, 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수 벡터를 선형 변환하고, 상기 선형 변환된 제 1 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 1 후보 모수를 결정하고, 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되며 상기 가정 가능한 모수 분포를 갖는 제 2 후보 모수 벡터를 휴리스틱 알고리즘을 이용하여 결정하고, 상기 제 2 후보 모수 벡터 내에서 상기 계측 스펙트럼과 수치 시뮬레이션 스펙트럼의 차이를 최소화하는 제 2 후보 모수를 결정하고, 상기 제 2 후보 모수를 이용하여, 상기 제 1 후보 모수를 갱신하는 제어부를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 12 항에 있어서,
상기 행렬 정보는 상기 가정 가능한 모수 분포의 평균 벡터(mean vector) 및 공분산 행렬(covariance matrix)를 포함하며,
상기 제어부는, 상기 행렬 정보를 결정하는 단계는 상기 공분산 행렬을 하부 삼각 행렬(lower triangular matrix)과 상기 하부 삼각 행렬의 전치행렬(transpose matrix)의 곱으로 분해하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 13 항에 있어서,
상기 제어부는,
상기 제 1 후보 모수 벡터와 상기 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하고,
상기 제 1 출력 벡터와 상기 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 12 항에 있어서,
상기 제어부는, 상기 행렬 정보를 이용하여, 상기 제 2 후보 모수 벡터를 선형 변환하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 15 항에 있어서,
상기 제어부는, 상기 제 2 후보 모수 벡터와 상기 행렬 정보의 공분산 행렬로부터 분해된 하부 삼각 행렬을 곱하여 제 1 출력 벡터를 출력하고,
상기 제 1 출력 벡터와 상기 행렬 정보의 평균 벡터를 더하여 제 2 출력 벡터를 출력하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 12 항에 있어서,
상기 제어부는, 하기 수학식을 만족하는 후보 모수 벡터를 확률적으로 선택하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치.
여기서, R은 0과 1 사이의 독립 항등 분포(i.i.d)를 갖는 균등 난수이고, h(x)는 표준 정규 분포의 확률 밀도 함수이고, p는 상기 제 2 후보 모수 벡터의 크기,는 상기 제 1 후보 모수로부터 유도되는 제 2 후보 모수이며, φ는 0에서 1 사이의 사용자 지정 값임.
- 제 12 항에 있어서,
상기 제어부는, 상기 제 1 후보 모수를 역 선형 변환하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 12 항에 있어서,
상기 제어부는, 상기 계측 스펙트럼을 이용하여, 상기 행렬 정보를 갱신하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 12 항에 있어서,
상기 제어부는, 상기 소자를 구성하는 하나의 3 차원 구조에 대하여 배치 단위만큼 반복 수행되도록 제어하며,
상기 가정 가능한 모수 분포는 상기 배치 단위만큼 반복 수행됨으로써 획득되는 복수의 모수들이 갖는 확률적 통계 데이터로서, 다변량 정규 분포(multivariate normal distribution)를 포함하는 임계 차원을 측정하기 위한 장치. - 제 12 항에 있어서,
상기 제 1 후보 모수 벡터 또는 상기 제 2 후보 모수 벡터 내의 각 모수는 선형 변환된 좌표계에서 평균이 0이고 분산이 1이며, 통계적으로 독립적인 특징을 갖는 임계 차원을 측정하기 위한 장치.
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2021
- 2021-03-19 US US17/206,654 patent/US11320732B2/en active Active
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| Publication number | Publication date |
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| US11320732B2 (en) | 2022-05-03 |
| US20210294204A1 (en) | 2021-09-23 |
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