CN112632832B - 一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法，具体包括如下步骤：步骤(1)取包含运动导体的几何区域为运动区域，固定不动的几何区域为背景区域，背景区域和运动区域分别进行离散化得到各自的初始网格；步骤(2)根据运动区域当前的位置，先在背景区域的网格上进行运动区域几何边界重构；步骤(3)通过在背景网格上进行运动区域几何边界重构，得到背景网格内部与运动区域具有同样边界形状的运动投影网格区域；步骤(4)选择运动区域的原网格或背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格，进一步求解运动电磁场问题。

Description

一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法

技术领域

本发明涉及电磁场领域，具体涉及一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法。

背景技术

运动涡流场的计算问题由来以久。根据法拉第电磁感应定律，运动的导体切割磁感线会在导体内产生感应电动势推动电荷定向运动；反过来，运动电荷在磁场中受到洛伦兹力作用在导体上引起导体的形变或运动。许多电气设备的设计和应用都基于这些原理，如电机、电磁炮、无损检测仪、电磁继电器等等。为了准确计算这类设备的工作状态，离不开对运动涡流场的求解。

电磁场的计算虽然已经有了完备的理论体系麦克斯韦方程组，但由于方程的复杂性目前人们只在一些简单的情况下能够获得问题的解析解，此外大部分情况下不得不依靠一些数值算法来得到问题的近似解。这些数值方法包括有限差分、有限元、有限体积、边界元等。它们把求解的时空区域划分为许多简单的片段，在每个小片段上选取一定形式含有待定系数(自由度)的函数，用于描述场的局部性质，再根据场的连续性、边界条件、初始条件等约束，获得对于求解区域上场的时空变化的近似描述。这些方法离不开两个基本要素，一个是空间网格单元剖分，一个是场的局部数学描述。场的数学描述有两种基本的视角：欧拉描述和拉格朗日描述。欧拉描述是网格坐标建立在固定参考系上，物质点可以穿越网格运动；拉格郎日描述则是网格坐标建立在物体的随体参考系上，网格点跟随物体变形或移动。欧拉描述一般用于流体相关计算，主要关注一定区间内的流速、压强、密度等参量的变化。对于运动涡流场计算主要涉及导体的运动，一般多采用拉格朗日描述，主要关注导体上场的变化。

基于拉格朗日描述的运动涡流场计算困难源于导体运动带来运动部分的网格和静止部分的网格之间的相对运动。如果连接运动部分和静止部分的空间区域也划分有网格，这种相对运动可能导致网格边界不匹配、网格交叠、网格扭曲、网格翻转等情况，进而可能导致场的局部数学描述失真，影响计算的准确性。为了避免这种情况出现，常常需要对区域重新剖分网格后再计算。而剖分网格往往比较耗时，尤其是当几何结构比较复杂的时候。为了不重新剖分网格，一个自然的解决方案是取消连接运动部分和静止部分的空间区域的网格，利用边界元方法来描述这部分空间场的分布。边界元虽然一定程度可以解决问题，但由于所有边界单元的场分布直接相关，求解时这些单元构成的计算矩阵是满阵，当求解规模较大时需要消耗大量的内存和计算时间。

除了重新剖分网格和边界元耦合方法以外，人们还开发了许多别的方法处理相关的问题。

一方面可以从网格方面入手，通过修改网格适应边界的改变：

网格变形法(动网格法或运动带法)，采用覆盖全区域的一套网格，设计网格结点的移动规则跟随运动区域边界变化，一定程序上避免局部单元变形过大。网格连接法，运动区域和背景区域分别剖分网格，运动部分每改变一个位置，修改背景网格，通过增加单元结点的方式把运动区域边界上的结点和边加入背景网格中，使背景网格与运动网格交界面有相同的自由度。

另一方面可以从不匹配网格的方程求解方面入手：

运动区域和固定区域分开剖分网格，运动网格可以在任意位置与固定网格重叠，这种方式可以适应任意形式的运动，但不匹配网格之间的自由度不直接相关。为了达到不匹配网格上场的连续性，需要建立不匹配网格自由度之间的耦合关系。有两种基本的耦合形式，一种是迭代耦合，一种是直接耦合。迭代耦合是指运动区域和固定区域分别单独求解，将对方求解出的场在边界上值做为自己求解的边界条件，每次求解完更新这些边界条件，通过迭代达到区域之间求解出的场的一致性。迭代法的优点是数学上容易理解，但反复求解会增加计算量，延长计算所需时间。直接耦合指将运动区域的求解方程、固定区域的求解方程、二者之间的耦合约束整合到一个完整计算方程中，同时求解出不匹配网格上的场的分布并保证场的连续性。直接耦合法的关键是如何建立不匹配网格的自由度之间的场连续性关系。

网格连接法每一步都改变背景网格的单元拓扑结构和结点数目。这会改变计算规模和已经建立的自由度数据结构，导致程序中增加维护相关数据结构的内存开销和时间开销，不利于大规模计算程序的实现。

网格变形法虽然不改变背景网格的单元拓扑结构和结点数目，但无法适用于任意形式的运动，仍然存在单元翻转、变形过大的可能性。

基于重叠不匹配网格的数值算法放松了对网格的要求，可以处理任意形式的运动和变形，但由于背景网格固定不变，运动网格的边界会侵入背景网格单元内部，如图1左侧所示。需要根据侵入边界的位置、形状建立两部分网格自由度之间的约束关系。使用插值法存在过度约束和边界上求解空间锁定的情况。对于Lagrangian乘子法选择合适的函数空间比较困难，可能存在解的收敛性变差的问题。Nitsche方法需要根据侵入边界切割背景网格单元，产生复杂的单元形状。不连续Galerkin方法需要在背景网格增加自由度，扩大了计算规模。Mortar方法虽然没有以上问题，但仍然需要计算侵入边界上的数值积分，需要处理单元之间线、面、体交叉的各种可能性，非常复杂。特别对于运动导体问题，一般选择导体加上包裹导体的一层空气做为运动区域，为了避免存在侵入边界的背景网格单元覆盖到导体区域，还需要要求背景区域网格足够密，这也增加了求解的计算量。此外，侵入边界处的重叠网格也影响计算结果的显示，不够美观，不易分辨边界处的场的分布。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提出一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法。基于重叠不匹配网格的计算，在不改变背景网格拓扑的前提下，将侵入边界变为单元之间的不保形边界，避免由侵入边界带来的计算难题和其它弊端，进一步选择合适的不匹配网格上的数值计算方法求解运动涡流场问题。

本发明的技术方案如下：一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法，具体包括如下步骤：

步骤(1)取运动导体的几何区域为运动区域，固定不动的几何区域为背景区域，背景区域和运动区域分别进行离散化，得到各自的初始网格；

步骤(2)在每个时刻点场的计算开始前，根据运动区域的当前位置，先在背景区域的网格上进行运动区域几何边界重构；

步骤(3)通过在背景网格上进行运动区域几何边界重构，得到背景网格内部与运动区域具有同样边界形状的运动投影网格区域；

步骤(4)选择运动区域的原网格或背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格，进一步求解运动电磁场问题。

进一步的，此处原网格是指运动区域初始剖分得到的网格；投影网格是背景网格内与运动区域相重合的部分。投影网格和运动区域原网格二者边界形状相同，内部网格结构不同。

进一步的，所述步骤(1)中，对于形状复杂的运动导体选择包围运动导体的多边形区域作为运动区域。

进一步的，所述步骤(2)中：通过搜索运动区域边界附近的背景区域单元结点，在不改变单元拓扑的前提下，将这些单元结点移动到运动区域边界位置上。

进一步的，所述步骤(4)中：

a)对于选择运动区域的原网格：

i.运动投影网格区域的边界即是背景网格与运动网格之间的不保形网格界面；

ii.通过不保形网格界面建立背景网格自由度与运动网格自由度的约束关系；

iii.接着将不保形网格界面处约束关系与运动电磁场方程联合求解即可得到运动电磁场问题的解，进而得到场的分布以及运动导体的受力、运动和形变等结果。

进一步的，所述步骤(4)还包括：

b)对于选择背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格；

i.不存在不保形边界，整个求解区域网格是一致的，不需要增加额外的边界约束；

ii.由于运动导体区域的涡流场是与时间相关的，根据选择不同的时间差分格式需要保存之前一个或几个时刻运动投影网格上电磁场的历史分布，并通过插值、最小二乘等方法得到当前运动投影网格上场的历史值；

iii.根据运动投影网格上场的历史值求解当前整个区域一致网格上的电磁场。

有益效果：

本发明给出了一种能更好地解决运动涡流场计算的新方法。新方法以重叠网格为出发点，利用背景网格上运动边界重构，消除重叠网格之间的侵入边界，转换为更加容易处理的不保形界面，进而避免由侵入边界带来的计算困难。该方法能够处理任意形式的导体运动。同时，通过选用适当的不保形边界计算方法，如Mortar方法、Nitsche方法可以实现不增加额外自由度且总体自由度数目在求解过程中不变。这有利于简化程序设计，提高计算速度。并且消除侵入边界还有利于后处理的结果显示。

附图说明

图1：网格侵入边界和不保形边界示意图；小三角形和五角星用来标记a,b网格改变位置的结点；

图2(a)：背景区域Ω_b和运动区域Ω_m的初始网格；

图2(b)：背景区域的网格进行运动区域边界重构后；

图2(c)：从背景网格中去掉运动区域投影网格；

图2(d)：当运动区域运动到新的位置后，重复(a)(b)(c)所示操作的结果；

图3：对应图2(b)中各区域网格、边界的标记的示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

本发明提出一种新的基于重叠不匹配网格的计算方法，在不改变背景网格拓扑的前提下，将侵入边界变为单元之间的不保形边界，如图1，避免由侵入边界带来的计算难题和其它弊端，进一步选择合适的不匹配网格上的数值计算方法求解运动涡流场问题。

根据本发明的一个实施例，提出一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法，具体包括如下步骤：

(1)取运动导体的几何区域为运动区域，固定不动的几何区域为背景区域。背景区域和运动区域单独进行离散化得到分别的初始网格，例如图2(a)的示例。对于形状、结构比较复杂的运动导体可以选择包围运动导体的多边形区域作为运动区域。

(2)在每个时刻点场的计算开始前，根据运动区域的当前位置，先在背景区域的网格上进行运动区域几何边界重构(图2b)。

重构的方法，例如，可以通过遍历网格结点，找到距离运动区域外边界顶点最近的背景网格结点，将这些结点在不改变网格拓扑的情况下移动到运动区域外边界顶点处。然后，从边界顶点出发，依次处理背景网格上与运动区域边界相交的单元边，将这些单元边上的结点在不改变网格拓扑的情况下移动到运动区域外边界上。循环完所有边界顶点后，即完成了在背景网格上的运动区域边界重构。

(3)通过在背景网格上进行运动区域几何边界重构，得到背景网格内部与运动区域具有同样边界形状的运动区域投影网格(图2b)。运动区域投影网格是背景网格内与运动区域相重合的部分。运动区域投影网格和运动区域原网格二者边界形状相同，内部网格结构不同。

(4)选择运动区域的原网格或运动区域投影网格作为当前时刻的运动区域网格。进一步求解运动电磁场问题。

a)对于选择运动区域的原网格(图2c,2d)：

i.运动区域投影网格的边界即是背景网格与运动网格之间的不保形网格界面；

ii.通过不保形网格界面建立背景网格自由度与运动网格自由度的约束关系；

iii.抑制背景网格在运动区域的投影网格内部的单元及自由度；

iv.接着将不保形网格界面处约束关系与运动电磁场方程联合求解即可得到运动电磁场问题的解，进而得到场的分布以及运动导体的受力、运动和形变等结果。在背景网格(去掉运动区域投影网格)和运动区域的原网格上展示场的分布计算结果。由于没有入侵边界，其后处理、展示方法与一般有限元计算的后处理、展示方法相同。

b)对于选择背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格(适用于运动导体形状、内部结构简单的情况)：

i.抑制运动区域原网格的单元及自由度；

ii.不存在不保形边界，整个求解区域网格是一致的，不需要增加额外的边界约束；

iii.由于运动导体区域的涡流场是与历史相关的，需要保存之前一个或几个时刻(根据选择不同的时间差分格式)历史运动区域投影网格上电磁场的分布，并通过插值、最小二乘等方法得到当前运动区域投影网格上场的历史值；

iv.根据运动区域投影网格上场的历史值求解当前整个区域一致网格上的电磁场。场的分布计算结果可在背景网格上展示。由于没有入侵边界，其后处理、展示方法与一般有限元计算的后处理、展示方法相同。

根据本发明的一个实施例，下面我们以2D FEM方法为例说明如何基于以上提出的对应于步骤4.a)的方法(基于运动区域的原网格方法)求解导体任意形式运动的电磁场问题。基于上述的方法也可以推广到3D情况。

记运动导体区域为Ω_m(t)，背景区域为Ω_b，对应的初始离散化三角形网格分别为/>在Lagrangian坐标系下，取系统的控制方程为

其中A为磁矢量势的非零分量，J_s为源电流密度的非零分量，μ是磁导率，σ是电导率，]0，t_n[为时间区间，in和on,是表示方程有效的区域。

参见图3：对应图2(b)中各区域网格、边界的标记，为了直观，将本来在同一个位置的运动区域投影网格(深灰色)和运动区域原网格/>(白色区)做了错位展示。粗体实线为运动区域边界，虚线为错位示意，浅灰色区为背景网格去掉运动区域投影网格/>的剩余部分/>

在第k个时刻点t_k，0≤k≤n，在上重构边界/>得到第k个时刻的变形后的背景网格/>背景网格内的运动区域投影网格/>背景区域内除去运动投影区域以外的区域/> 可以视为与第k个时刻的运动区域网格/>同为Ω_m(t_k)的三角剖分；运动区域投影网格外边界/>可以视为与/>等效的Γ的线段剖分。这样，就获得了非重叠的整个求解区域/>以及区域内部的不保形边界/>

接下来按照求解带有不保形边界的一般性方法即可获得问题的解，如采用Mortar方法。令为/>和/>上的连续分段线性函数空间。对原控制方程(1)的求解可以转化为求解如下变分问题：

寻找映射使得/>满足：

其中u代表方程(1)中磁矢量势A，近似函数空间 其中/>φ为Lagrangian乘子，取为Lagrangian乘子空间/> 中在不保形边界单元边e上的连续函数。

基于如上的方法，如果每步运动后用Lagrange乘子在不保形网格界面边界上施加Mortar边界约束。Lagrange乘子的数目将计入总自由度数。虽然每一步不保形边界上背景网格一方的边界单元数会改变，但Lagrange乘子的数目可以按运动区域原网格不保形边界上的结点数取。自由度总数＝背景网格自由度+运动网格自由度+Lagrange乘子的数目。被抑制的背景网格在运动区域的投影网格内部的自由度，计入总数，但被约束为常值；被抑制的单元不计算刚度矩阵。这样可以保证每一步总的刚度矩阵维度不变(自由度数目不变)，并且是稀疏的，包括不保形边界处自由度对应的矩阵部分也是稀疏的。但总体刚度矩阵可能是病态的，需要用直接求解器求解。

另外，对于求解得到的场的分布，由于以上算法避免了运动边界侵入单元内部，运动边界两侧场的变化可以直接通过边界两侧单元内场的变化描述，避免了在一个单元内刻画侵入边界两侧场的变化的困难。

除了上面给出的Mortar方法实现涡流场计算，还可以采用Nitsche方法。在有不保形边界的非重叠网格上求解运动涡流场。其效果与Mortar方法相同。

下面我们仍以前述的2D运动电磁场问题为例，说明得到不保形边界之后如何采用Nitsche方法求解。

为了简化计算，运动导体区域Ω_m的选取除了包含运动导体外，还包括一层包围导体的空气。按照如前所述的网格处理方法，运动区域与背景区域的不保形边界Γ只存在于空气单元之间。在空气单元所在区域，涡流场的方程可以简化为：

令为/>和/>上的连续分段线性函数空间。按照Nitsche方法，对原涡流场方程的求解可以转化为求解如下变分问题：

寻找映射使得/>满足：

a^h(u(t_k)，v)＝l(v)，

其中：

u代表方程(1)中磁矢量势A，近似函数空间 n为边界Γ的外法向单位向量；[u]＝u_s-u_m；λ是为了保证解的稳定性取的一个足够大的数；/>

1、通过边界重构修正重叠网格。不改变网格单元拓扑结构，单元结点数目。

2、通过修正背景网格，消除侵入边界，转换为网格边界上不保形界面。

3、选择运动区域的原网格或背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格。

4、计算时选择抑制运动区域的原网格或背景网格在运动区域的投影网格内部的单元及自由度，保持总的自由度数目不变。

5、基于得到的有不保形边界的非重叠网格，通过采用一般的处理不保形边界的算法可以求解运动涡流场。可以采用Mortar方法或Nitsche方法实现运动涡流场的计算，不增加额外的自由度，不需要处理侵入边界带来的复杂单元交叉形状和其上的数值积分。

6、消除重叠网格的侵入边界有利于后处理结果显示。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，且应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (2)

1.一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法，其特征在于：具体包括如下步骤：

步骤（1）取包含运动导体的几何区域为运动区域，固定不动的几何区域为背景区域，背景区域和运动区域分别进行离散化得到各自的初始网格；

步骤（2）根据运动区域当前的位置，先在背景区域的网格上进行运动区域几何边界重构；所述步骤（2）中：

通过搜索运动区域边界附近的背景区域单元结点，在不改变单元拓扑的前提下，将这些单元结点移动到运动区域边界位置上；

步骤（3）通过在背景网格上进行运动区域几何边界重构，得到背景网格内部与运动区域具有同样边界形状的运动投影网格区域；

步骤（4）选择运动区域的原网格或背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格，进一步求解运动电磁场问题；所述步骤（4）中：

a) 对于选择运动区域的原网格，所述原网格是指运动区域初始剖分得到的网格：

i. 运动投影网格区域的边界即是背景网格与运动网格之间的不保形网格界面；

ii.通过不保形网格界面建立背景网格自由度与运动网格自由度的约束关系；

iii.接着将不保形网格界面处约束关系与运动电磁场方程联合求解即可得到运动电磁场问题的解，进而得到场的分布以及运动导体的受力、运动和形变结果；

b) 对于选择背景网格在运动区域的投影网格作为当前时刻的运动区域网格投影网格是背景网格内与运动区域相重合的部分；投影网格和运动区域原网格二者边界形状相同，内部网格结构不同；

i. 不存在不保形边界，整个求解区域网格是一致的，不需要增加额外的边界约束；

ii.由于运动导体区域的涡流场是与时间相关的，根据选择不同的时间差分格式需要保存之前一个或几个时刻运动投影网格上电磁场的历史分布，并通过插值或最小二乘方法得到当前运动投影网格上场的历史值；

iii.根据运动投影网格上场的历史值求解当前整个区域一致网格上的电磁场。

2.根据权利要求1所述的一种基于重叠网格运动边界重构的运动电磁场计算方法，其特征在于：

所述步骤（1）中，对于形状、结构复杂的运动导体选择包围运动导体的多边形区域作为运动区域。