CN103914431A - 一种计算各向异性结构雷达横截面的无网格法 - Google Patents

Abstract

一种计算各向异性结构雷达横截面的无网格法，属于电磁场积分法分析领域。本发明提出一种求解VIEs的新型无网格化方法，它在几何离散化过程中没有网格一致的限制。这种方法将体积域上的体积分转化为一个边界积分（面积分）和一个一维线积分，从而避免了直接在体积域上进行体积分，并且不需要体积离散化。本发明方法既避免了较高的计算代价，又提高了对各向异性物体电磁散射问题的计算精度。本发明方法还可以广泛的应用于通讯、雷达、导航、电磁兼容设计、生物医学成像、地球物理勘探等领域。

Description

一种计算各向异性结构雷达横截面的无网格法

技术领域

本发明涉及电磁场积分法分析领域，具体涉及应用于对各向异性结构雷达横截面的无网格计算方法。 

背景技术

许多理论和实际问题的数值解法基于计算机技术并要求控制方程的区域离散化或有关几何图形的网格描述。虽然一般情况下利用专业商业软件生成网格并不困难，但对于存在多尺度组件或多重材料特性及包含较多几何间断点（或几何奇异点）的复杂结构来说，这将是一个冗长乏味的过程。多尺度特性的结构需要进行非均匀的离散化，并且在不同规模下很难对网格进行完美合并。在这种结构中，元件连接处很容易产生不规则的网格，从而影响一些数值方法的计算。当结构中出现几何变形和移动边界时，则需要进行大量的重复网格划分。 

无网格或少网格方法的目的在于减少数值方法中网格化或重复网格化的花费。由于求解包含移动边界问题的实际需要，这种方法在机械工程领域得到广泛关注，如挤压成型过程、裂缝扩张、固液体交界面上的传播。传统的无网格化方法利用离散点代替网格来描述物体的几何结构，而由于生成一系列无关联的点通常比生成网格容易得多，这种方法能够极大地降低几何离散化的复杂度。虽然没有得到足够的关注，无网格方法对于求解电磁学问题也是有用的。例如，被广泛用于求解电磁表面积分方程的结合Rao-Wilton-Glisson（RWG）基函数的矩量法需要高度网格化，并且在复杂结构中，由于不规则网格的存在，网格的重复划分非常频繁。这是因为RWG基函数定义在一对包含公共边的三角形上。并且，在多尺度结构中，靠近一个交叉点的许多三角形属于不同的元件，这就会形成不规则的三角形对。另外，在逆散射问题的求解中，重构未知物体时由于轮廓反复地改变，也需要对有关的几何体进行网格重新划分。近年来，已有一些出版物提出此应用领域的无网格化方法，但是他们主要处理静态或准静态问题的微分方程，并且只通过积分方程方法处理面积分方程（SIEs）。 

电磁学的积分方程方法包括SIEs和体积分方程（VIEs）的数值方法。虽然 人们更倾向于使用SIEs，但VIEs在不均匀/各向异性结构或逆散射问题的求解中是不可或缺的。求解VIEs要求体积结构的离散化，其中倾向于使用四面体结构来匹配任意几何形状。然而，体积离散化通常比面积离散化复杂得多，即使对于很简单的几何体，也需要专业的商业软件来生成网格。同样的，求解VIEs的矩量法（MOM）传统上使用SWG基函数来描绘未知电流。SWG基函数定义在一对四面体结构上，复杂结构的离散化过程中很容易产生有缺陷或不规则的网格。此外，由于物体轮廓和材料表面是未知的，基于SWG的MOM不能用于求解逆散射问题。因此，如果在数值方法中可以避免使用体积要素将是非常有意义的。 

发明内容

本发明提出一种求解VIEs的新型无网格化方法，它在几何离散化过程中没有网格一致的限制。这种方法将体积域上的体积分转化为一个边界积分（面积分）和一个一维线积分，从而避免了直接在体积域上进行体积分，并且不需要体积离散化。 

本发明给出的技术方案为： 

一种计算各向异性结构雷达横截面的无网格法，自由空间的介质具有介电常数ε_b和磁导率μ_b，其中的三维电导体为不均匀且各向异性的，该实施方法包括如下步骤： 

步骤一，将所述自由空间中三维电导体包围在一个圆柱体内，并令圆柱体的侧面收缩直至接触到电导体的侧面。 

步骤二，在电导体内部选择一些相互之间没有关联的离散点。通过对这些点执行点匹配程序将VIEs转化为一个矩阵方程： 

其中表示VIEs中的一个积分核。选择包含观察点的小圆柱体V₀。然后将这一小部分从体积分中排除。将采用奇异点相减技术来计算小圆柱体上的积分。重新定义被积函数： 

$I={\∫}_{V_e-V_0}h(x,y,z)\mathrm{dV}---\left(3\right)$

其中V_e是外围圆柱体的体积。应用格林-高斯定理将上述积分转化为边界积分： 

${\∫}_{\mathrm{\Ω}}\frac{\∂u\left(X\right)}{{\∂x}_i}\mathrm{dV}={\∫}_{\mathrm{\Γ}}u\left(X\right)n_i\mathrm{d\Γ}---\left(4\right)$

其中Γ是一个体积域Ω的边界或表面；n_i(i=1,2,3)是边界上的单位法向量的第i个分量；X是平滑函数u(X)的位置矢量；x_i是它的第i个坐标。选择 

$u\left(X\right)=u(x_1,x_2,x_3)=u(x,y,z)={\∫}_c^{z}h(x,y,t)\mathrm{dt}---\left(5\right)$

其中c是任意常量，则有 

$I={\∫}_{V_e-V_0}h(x,y,z)\mathrm{dV}={\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_e+{\mathrm{\Γ}}_0}\left({\∫}_c^{z}h(x,y,t)\mathrm{dt}\right)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(6\right)$

因为 

$\frac{\∂u(x,y,z)}{\∂z}=h(x,y,z)---\left(7\right)$

上述式子中，Γ_e是外围圆柱体V_e的边界或表面，Γ₀是小圆柱体V₀的边界或表面。(x,y,z)系统中的n_z相应于(x₁,x₂,x₃)系统中的n₃。（6）式中的积分边界推导为 

$I={\∫}_{A_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{A_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(8\right)$

n_z=0在两个圆柱体侧面的表面，选择c=0，则 

${\∫}_{A_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}=0---\left(9\right)$

在A₀处u(x,y,z)=0。因此 

$I={\∫}_{A_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(10\right)$

在A₁和B₁处n_z=1，在B₀处n_z=-1。在表面上z是一个常量，通过离散化那些表面容易地找到I并利用数值积分计算相应的u(x,y,z)。 

步骤三，选取其他每个点作为观察点来对矩阵中的合成体积分求值，它代表了电导体内的体电流的场贡献。对于任意一个离散点，选取其紧支柱内的一些邻近点的电流值做插值函数，得到这个点的未知电流，这就是未知函数的移动最小二乘近似。所有点的未知电流作为矩阵方程的未知量被求解。 

与现有技术相比，本发明的优点在于提出一种新的无网格方法来求解VIEs。这种方法通过格林-高斯定理将体积域上的体积分转化为一个边界积分（面积分）和一个一维线积分，从而避免了直接在体积域上进行体积分，并且不需要体积离散化，从而降低了计算代价。将体积分转化为边界积分。积分核调整为包含了观 察点的小圆柱体，并使用奇异点相减技术来处理小圆柱体上的奇异值积分。物体最初的积分域扩展为一个圆柱域，这样有利于边界积分的求值。 

附图说明

图1描述无网格化方法的几何体。 

图2无网格方法的算法流程。 

图3几何图形的散射(a)有两层电介质壳的电介质球(b)均匀电介质立方体(c)等离子各向异性球形壳。 

图4电介质球散射近电场的实验结果。 

图5解法的收敛性。 

图6均匀电介质立方体的双站RCS实验结果。 

图7等离子各向异性球体壳的双站RCS实验结果。 

具体实施方式

以下结合附图对本发明技术方案做进一步详实说明。 

考虑自由空间中三维电导体的电磁散射问题。这个电导体是不均匀且各向异性的，自由空间的介质具有介电常数ε_b和磁导率μ_b。 

首先，要如图1所示将电导体包围在一个圆柱体内（图中E为观察节点），并令圆柱体的侧面收缩直至接触到电导体的侧面。然后，在电导体内部选择一些相互之间没有关联的离散点，通过对这些点执行点匹配程序将VIEs转化为一个矩阵方程。最后，选取每个点作为观察点来对矩阵中的合成体积分求值，他代表了电导体内的体电流的场贡献。对于任意一个离散点，选取其紧支柱内的一些邻近点的电流值做插值函数，得到这个点的未知电流，这就是未知函数的移动最小二乘近似。所有点的未知电流作为矩阵方程的未知量被求解。 

传统的无网格方法通过计算电导体域内的相应体积分来获得矩阵元素。这种无网格方法在求值过程中需要背景网格，所以有时候并不认为其是真正的无网格方法。这里，本发明不再需要背景网格（体积元），而通过将体积分转化为边界积分，这是一种真正的无网格方案。为了获得矩阵元素并实现真正的无网格化，本发明将体积分转化为边界积分。为了不使用体积元来计算体积分，考虑如下一般实例： 

其中表示VIEs中的一个积分核。由于VIEs中的积分核是奇异的，我们选择包含观察点的小圆柱体V₀。然后将这一小部分从体积分中排除，使得被积函数在V-V₀上是规则的。我们将采用奇异点相减技术来计算小圆柱体上的积分。重新定义被积函数： 

显然 

$I={\∫}_{V_e-V_0}h(x,y,z)\mathrm{dV}---\left(3\right)$

其中V_e是外围圆柱体的体积。应用格林-高斯定理将上述积分转化为边界积分： 

${\∫}_{\mathrm{\Ω}}\frac{\∂u\left(X\right)}{{\∂x}_i}\mathrm{dV}={\∫}_{\mathrm{\Γ}}u\left(X\right)n_i\mathrm{d\Γ}---\left(4\right)$

其中Γ是一个体积域Ω的边界或表面；n_i(i=1,2,3)是边界上的单位法向量的第i个分量；X是平滑函数u(X)的位置矢量；x_i是它的第i个坐标。如果我们选择 

$u\left(X\right)=u(x_1,x_2,x_3)=u(x,y,z)={\∫}_c^{z}h(x,y,t)\mathrm{dt}---\left(5\right)$

其中c是任意常量，则有 

$I={\∫}_{V_e-V_0}h(x,y,z)\mathrm{dV}={\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_e+{\mathrm{\Γ}}_0}\left({\∫}_c^{z}h(x,y,t)\mathrm{dt}\right)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(6\right)$

因为 

$\frac{\∂u(x,y,z)}{\∂z}=h(x,y,z)---\left(7\right)$

上述式子中，Γ_e是外围圆柱体V_e的边界或表面，Γ₀是小圆柱体V₀的边界或表面。(x,y,z)系统中的n_z相应于(x₁,x₂,x₃)系统中的n₃。（6）式中的积分边界可以推导为 

$I={\∫}_{A_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{A_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(8\right)$

由于n_z=0在两个圆柱体侧面的表面。此外，如果选择c=0，则 

${\∫}_{A_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}=0---\left(9\right)$

因为在A₀处u(x,y,z)=0。因此 

$I={\∫}_{A_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(10\right)$

上述三个积分的计算是很简洁的。在A₁和B₁处n_z=1，在B₀处n_z=-1。同样，在那些表面上z是一个常量，所以我们可以通过离散化那些表面容易地找到I并利用数值积分计算相应的u(x,y,z)。 

案例一 

以可渗透物体的电磁散射问题为例。 

假定入射波频率为f=300MHz，在自由空间（μ_b=μ₀，ε_b=ε₀，k_b=k₀）中沿-z轴传播。我们沿主切口（φ=0°,θ=0°:180°）观察水平极化和垂直极化，计算散射近电场或双站雷达横截面（RCS）。首先，考虑一个包含两层同心电介质涂层的不均匀电解质球的散射，如图3(a)所示。其三层结构的半径分别为a₁=0.3λ，a₂=0.32λ，a₃=0.35λ，并且每层的介电常数分别为ε_r1=3.0,ε_r2=2.0,ε_r3=5.0。在球体内部选择5846个离散点来描述这个几何体，并且在不同的材料中点密度是不同的。核心有1542个点，内层有1026个点，外层有3278个点。这些点是单独离散化每层电介质得到的，不考虑它们出现在两层电介质的边界面上，所以它们在SWG基函数意义下是不共形的。我们沿r=3.0λ观察面为主切口计算散射近电场，如图4所示，结果近似于用相应分析方法所得的结果。下面来看这个方法的收敛性，我们使用不同数量的离散点来描述这个物体，然后通过计算均方根差来比较散射近电场和相应精确解法。图5为均方根误差与点密度的对比图，显然数值误差随着点密度的增加以指数方式减小。 

案例二 

第二个实例考虑一个边长为s=0.2λ，相对介电常数为ε_r=4.0的均匀电介质立方体的散射，如图3(b)。在立方体中取2542个离散点来描绘这个几何体，双站RCS解法如图6所示，并与相应的MOM方法（用SIEs）的对比。可以发现两种解法的结果惊人的相似。 

以上实例包含可以用SIEs更便利地求解的均匀和分段均匀物体，是为了验证解法的准确性。在下面这个例子中，我们考虑常见于许多应用领域的一类不均匀各向异性物体，只能通过VIEs求解。如图3(c)所示，这个物体是一个等离子体各向异性球体壳，其内外表面半径分别为k₀a₁=0.1π和k₀a₂=0.2π（内表面 的内部为真空区）。等离子材料是由旋转回归线张量介电常数或旋转回归线张量磁导率来描述。旋转回归线张量定义为 

$\stackrel{\‾}{\∈}=\left[\begin{array}{ccc}{5\∈}_0& -i{\∈}_0& 0\\ {i\∈}_0& {5\∈}_0& 0\\ 0& 0& {7\∈}_0\end{array}\right],\stackrel{\‾}{\mathrm{\μ}}=\left[\begin{array}{ccc}{5\mathrm{\μ}}_0& {\mathrm{i\μ}}_0& 0\\ {\mathrm{i\μ}}_0& {5\mathrm{\μ}}_0& 0\\ 0& 0& {7\mathrm{\μ}}_0\end{array}\right]$

在几何描述中，我们选择3462个离散点，图7显示当介电常数为旋转回归张量或磁导率为旋转回归张量时对应的双站RCS实验结果。 

Claims (1)

1.一种计算各向异性结构雷达横截面的无网格法，自由空间的介质具有介电常数ε_b和磁导率μ_b，其中的三维电导体为不均匀且各向异性的，该实施方法包括如下步骤：

步骤一，将所述自由空间中三维电导体包围在一个圆柱体内，并令圆柱体的侧面收缩直至接触到电导体的侧面；

步骤二，在电导体内部选择相互之间没有关联的离散点，通过对这些点执行点匹配程序将VIEs转化为一个矩阵方程：

其中表示VIEs中的一个积分核；

选择包含观察点的小圆柱体V₀，然后将这一小部分从体积分中排除，将采用奇异点相减技术来计算小圆柱体上的积分，重新定义被积函数：

$I={\∫}_{V_e-V_0}h(x,y,z)\mathrm{dV}---\left(3\right)$

其中V_e是外围圆柱体的体积；应用格林-高斯定理将上述积分转化为边界积分：

${\∫}_{\mathrm{\Ω}}\frac{\∂u\left(X\right)}{{\∂x}_i}\mathrm{dV}={\∫}_{\mathrm{\Γ}}u\left(X\right)n_i\mathrm{d\Γ}---\left(4\right)$

其中Γ是一个体积域Ω的边界或表面；n_i(i=1,2,3)是边界上的单位法向量的第i个分量；X是平滑函数u(X)的位置矢量；x_i是它的第i个坐标；选择

$u\left(X\right)=u(x_1,x_2,x_3)=u(x,y,z)={\∫}_c^{z}h(x,y,t)\mathrm{dt}---\left(5\right)$

其中c是任意常量，则有

$I={\∫}_{V_e-V_0}h(x,y,z)\mathrm{dV}={\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_e+{\mathrm{\Γ}}_0}\left({\∫}_c^{z}h(x,y,t)\mathrm{dt}\right)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(6\right)$

因为

$\frac{\∂u(x,y,z)}{\∂z}=h(x,y,z)---\left(7\right)$

上述式子中，Γ_e是外围圆柱体V_e的边界或表面，Γ₀是小圆柱体V₀的边界或表面，(x,y,z)系统中的n_z相应于(x₁,x₂,x₃)系统中的n₃；（6）式中的积分边界推导为

$I={\∫}_{A_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{A_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(8\right)$

n_z=0在两个圆柱体侧面的表面，选择c=0，则

${\∫}_{A_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}=0---\left(9\right)$

在A₀处u(x,y,z)=0，因此

$I={\∫}_{A_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_0}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}+{\∫}_{B_1}u(x,y,z)n_z\mathrm{d\Γ}---\left(10\right)$

在A₁和B₁处n_z=1，在B₀处n_z=-1，在表面上z是一个常量，通过离散化那些表面容易地找到I并利用数值积分计算相应的u(x,y,z)；

步骤三，选取其他每个点作为观察点来对矩阵中的合成体积分求值，它代表了电导体内的体电流的场贡献，对于任意一个离散点，选取其紧支柱内的一些邻近点的电流值做插值函数，得到这个点的未知电流，这就是未知函数的移动最小二乘近似，所有点的未知电流作为矩阵方程的未知量被求解。