CN112214855A - 一种基于标架场的平面区域参数化构造方法 - Google Patents

一种基于标架场的平面区域参数化构造方法 Download PDF

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CN112214855A
CN112214855A CN202011173076.6A CN202011173076A CN112214855A CN 112214855 A CN112214855 A CN 112214855A CN 202011173076 A CN202011173076 A CN 202011173076A CN 112214855 A CN112214855 A CN 112214855A
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points
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徐岗
曹峰
王丹丹
许金兰
凌然
肖周芳
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Hangzhou Dianzi University
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Abstract

本发明公开了一种基于标架场的平面区域参数化构造方法。现有参数化中大多采用人工分解子区域，质量达不到要求。本发明首先生成二维几何CAD模型内部的三角形背景网格，计算二维几何CAD模型位于边界上点的标架和矢量；然后建立拉普拉斯方程，并利用拉普拉斯－贝尔特拉米算子的离散化对拉普拉斯方程求解，得出二维几何CAD模型内部各点的矢量和标架；接着建立二维几何CAD模型的内部流线并简化，实现区域分解；最后对二维几何CAD模型内部各子区域构造Coons面并对所有Coons面进行光顺，得到平面区域参数化构造。本发明避免了人工分解子区域的错误，提高了参数化生成的效率。

Description

一种基于标架场的平面区域参数化构造方法
技术领域
本发明属于CAD参数化技术领域，具体涉及一种基于标架场的平面区域参数化构造方法。
背景技术
在CAD模型的参数化分析中，一个基本的研究方向就是如何解决由边界围成的计算域的参数化问题，参数化的质量对后续的精度以及计算效率都存在着很大的影响。到目前为止，已经有很多方法被研究者所提出，如变分谐波方法、映射法、分治技术、基于轮廓的分解方法、多面片参数化方法以及一些非标准B样条的参数化方法等等，另外，在平面参数化的研究中，通过给定CAD边界模型信息，研究者们也给出了许多不同的区域参数化方法。
对于参数化来说，一般的处理操作并不是对整块CAD边界模型区域进行处理，而是将整个边界区域分解为好几块子区域，通过对每块子区域的操作从而完成整体的参数化操作。而如何通过给定CAD边界模型，分解成若干区域，从而进行参数化操作依然是一个开放性的难题。目前来说，大多数方法都是基于人工多年的实践经验来进行区域分解的操作，或者通过半人工半自动化的操作进行区域分解，通过这些方法所生产的参数化质量往往达不到所预想的要求，而这些缺陷也在一定程度上限制了CAD模型参数化方向的发展。
发明内容
本发明为了避免人工操作所带来的误差，更好满足工程方面参数化质量的要求，提供了一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，通过引入标架场的概念，对CAD边界区域进行自动且合理的区域分解操作，利用标架场技术快速对边界区域进行分解，可以有效避免人工带来的差错，也能够提高参数化的效率，并且最后的参数化质量符合预期的要求。
本发明采用的技术方案是：
本发明一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，首先建立二维几何CAD模型，通过Delaunay三角化算法生成二维几何CAD模型内部的三角形背景网格，并计算二维几何CAD模型位于边界上的点的标架和矢量；然后，建立拉普拉斯方程，并利用拉普拉斯－贝尔特拉米算子的离散化方式对拉普拉斯方程进行求解，得出二维几何CAD模型内部各点的矢量和标架；接着，根据所求二维几何CAD模型内部区域的标架场来建立二维几何CAD模型的内部流线，并简化内部流线实现区域分解；最后，对二维几何CAD模型内部各子区域构造Coons面并对所有Coons面运用迭代法进行拉普拉斯光顺，最终得到基于标架场的平面区域参数化构造。具体包括以下步骤：
步骤1、建立二维几何CAD模型，利用Delaunay三角化算法来获得表达二维几何CAD模型区域的背景三角形网格；然后，计算二维几何CAD模型位于边界上的点的标架和矢量。
其中，标架表示为：
Figure BDA0002747901530000021
式中，m＝3，0≤k≤3，标架中第k个向量
Figure BDA0002747901530000022
Figure BDA0002747901530000023
θx为向量
Figure BDA0002747901530000024
在x方向的分量，θy为向量
Figure BDA0002747901530000026
在y方向的分量；二维几何CAD模型位于边界上的点的正切角z计算公式如下：
z＝atan(y0,x0)/2
x0，y0分别表示二维几何CAD模型位于边界上的点的x轴，y轴坐标，z∈[-π/4,π/4]。
其中，矢量表示为：
Figure BDA0002747901530000027
式中，
Figure BDA0002747901530000028
为位于二维几何CAD模型上的任意点，
Figure BDA0002747901530000029
为二维几何CAD模型的边界区域。
步骤2、建立拉普拉斯方程并求解位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，具体如下：
步骤2.1基于二维几何CAD模型的边界区域
Figure BDA00027479015300000210
上所有点的矢量，建立拉普拉斯方程，具体如下：
Figure BDA00027479015300000211
其中Δ为拉普拉斯算子，
Figure BDA00027479015300000212
为点
Figure BDA00027479015300000213
在i方向的矢量分量；
Figure BDA00027479015300000214
为点
Figure BDA00027479015300000215
在i方向的矢量分量具体表达形式，已由步骤1中的矢量表示得到。
步骤2.2根据拉普拉斯－贝尔特拉米(LB，Laplace-Beltrami)算子的离散化来解拉普拉斯方程，求得二维几何CAD模型的内部区域Ω光滑矢量场，具体如下：
背景三角形网格中位于二维几何CAD模型内部区域的任一点
Figure BDA00027479015300000216
的离散化拉普拉斯－贝尔特拉米算子表达为：
Figure BDA00027479015300000217
其中，Δm为拉普拉斯－贝尔特拉米算子，
Figure BDA00027479015300000218
为
Figure BDA00027479015300000219
周围所有相邻点的集合，
Figure BDA00027479015300000220
是点
Figure BDA00027479015300000221
周围的第j个相邻点，假定相邻点个数有n个，则1＜＜j＜＜n；若j≠1时，α和β分别是点
Figure BDA00027479015300000222
周围连续两个相邻三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000223
和
Figure BDA00027479015300000224
中的公共边所对应在三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000225
和
Figure BDA00027479015300000226
中的夹角，若j＝1时，α和β分别是点
Figure BDA00027479015300000227
周围连续两个相邻三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000228
和
Figure BDA00027479015300000229
中的公共边所对应在三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000230
和
Figure BDA00027479015300000231
中的夹角；根据以点
Figure BDA0002747901530000031
为顶点的各个三角形网格单元分别计算得到一个点q，所有点q依次连线所构成的面积为
Figure BDA0002747901530000032
其中，若以点
Figure BDA0002747901530000033
为顶点的三角形网格单元为锐角三角形，则q为该三角形网格单元的外心，若以点
Figure BDA0002747901530000034
为顶点的三角形网格单元为钝角三角形，则q是该三角形网格单元钝角相对边的中点；
Figure BDA0002747901530000035
为围绕在点
Figure BDA0002747901530000036
周围的第j个相邻点的矢量，
Figure BDA0002747901530000037
为点
Figure BDA0002747901530000038
的矢量。假设背景三角形网格中位于二维几何CAD模型内部区域的点有N个，针对每个内部区域的点建立的式(1)代入式(2)，得到N个仅含N个不同
Figure BDA0002747901530000039
未知量的方程。该N个方程通过重新排列已知量和未知量，得到以下线性方程：
Figure BDA00027479015300000310
其中，矩阵A的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点的系数之和
Figure BDA00027479015300000311
矩阵
Figure BDA00027479015300000312
的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点待求的矢量，矩阵
Figure BDA00027479015300000313
的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点的第j个相邻点的带有系数的矢量之和
Figure BDA00027479015300000314
通过求解式(3)，获得拉普拉斯方程的解。
步骤3、设定角度θz为x轴沿逆时针旋转到与
Figure BDA00027479015300000315
0≤k≤3中的一个方向相同时所转过的最小角度，角度θp为x轴沿逆时针方向旋转到与
Figure BDA00027479015300000316
方向相同时所转过的最小角度，则有：
θp＝4θz (4)
因此，根据步骤2求得的位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，结合公式(4)求得位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的标架，建立二维几何CAD模型内部区域的标架场。
步骤4、根据所求二维几何CAD模型内部区域的标架场来建立内部流线，并简化内部流线实现区域分解。
对二维几何CAD模型内部区域的任一三角形网格单元[V1V2V3]定义积分：
Figure BDA00027479015300000317
其中，∮C代表闭路积分，其积分区域为三角形网格单元的三条边形成的封闭路径，β为三角形网格单元各边上的点的矢量相对x轴的角度，IC为积分所计算的值，V1、V2、V3为三角形网格单元的三个顶点，设从顶点V1的矢量
Figure BDA00027479015300000318
旋转到顶点V2的矢量
Figure BDA00027479015300000319
经过的角度为Δ12，从顶点V2的矢量
Figure BDA00027479015300000320
转到顶点V3的矢量
Figure BDA00027479015300000321
经过的角度为Δ23，从顶点V3的矢量
Figure BDA00027479015300000322
转到顶点V1的矢量
Figure BDA0002747901530000041
经过的角度为Δ31，则
Figure BDA0002747901530000042
若
Figure BDA0002747901530000043
则该三角形网格单元内部无奇异点；若
Figure BDA0002747901530000044
则该三角形网格单元内部存在奇异点且奇异点的价为4-IC，奇异点位置视为三角形网格单元的垂心处。奇异点所流出的流线条数为价数，且所流出的相邻流线之间角度为2π/v，其中，v为奇异点的价。
对于不含奇异点的三角形网格单元[V1V2V3]中流线走向，设流线流入该三角形网格单元[V1V2V3]与该三角形网格单元[V1V2V3]的边产生交点xi，则通过该三角形网格单元[V1V2V3]的
Figure BDA0002747901530000045
进行线性插值得到点xi的矢量
Figure BDA0002747901530000046
将矢量
Figure BDA0002747901530000047
沿自身方向延伸至该三角形网格单元[V1V2V3]的边上产生另一个角点xi+1且求出点xi+1的矢量
Figure BDA0002747901530000048
将矢量
Figure BDA0002747901530000049
移至点xi处，最终矢量
Figure BDA00027479015300000410
和
Figure BDA00027479015300000411
相加所得的矢量方向即为流线在该三角形网格单元[V1V2V3]中推进的方向。
至此得到二维几何CAD模型内部区域存在奇异点的三角形网格单元和不含奇异点的三角形网格单元的所有流线。
然后，对二维几何CAD模型内部区域出现以下情况且不存在交点的任意相邻两条流线进行的流线进行简化合并：情况一、相邻两条流线的起点和终点都不是奇异点；情况二、相邻两条流线中一条流线的起点和终点都是奇异点，另一条流线的起点和终点都不是奇异点；情况三、相邻两条流线中一条流线的起点是奇异点，终点不是奇异点，另一条流线的起点不是奇异点，终点是奇异点。简化合并过程为：针对情况一，如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标，然后将两条流线上每组位置对应的中间点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标，将两条流线上起点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上起点的坐标，将两条流线上终点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上终点的坐标；其中，针对两条流线上的两个中间点，若该两个中间点与各自流线上起点和终点的距离比相等，则视为该两个中间点在各自流线上的位置对应；针对情况二，删除起点和终点都不是奇异点的流线；针对情况三，定义简化合并后新流线的起点和终点分别为两条流线上处于起点位置的奇异点和处于终点位置的奇异点；如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标；将其中一条流线的每个中间点坐标乘以cos2(t)的值与另一条流线位置对应的一个中间点坐标乘以sin2(t)的值相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标；其中，t在0～1之间取值，t的具体值为其中一条流线上的中间点到该流线起点的距离与该流线起点到终点的距离比值。
步骤5、对二维几何CAD模型内部各子区域的四条边分别进行LSPIA拟合操作转化为样条函数表示形式，并构造Coons面；然后对二维几何CAD模型内部各子区域构造的Coons面运用迭代法进行拉普拉斯光顺，完成整个二维几何CAD模型内部的Coons面构造，从而得到基于标架场的平面区域参数化构造。
优选地，每个子区域构造Coons面的过程具体如下：给出由四条边所围成的四边形ABCD，边AB、边BC、边CD和边AD沿逆时针方向布置，其中边AB进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,0)，边BC进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(0,v)，边CD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,1)，边AD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(1,v)，其中，0≤u≤1,0≤v≤1；然后根据四条边的信息来插值出子区域的内部信息，即构造边AB和边CD的插值表达式P1(u,v)＝(1-v)P(u,0)+vP(u,1)，构造边AD和边BC的插值表达式P2(u,v)＝(1-u)P(0,v)+vP(1,v)，因为存在冗余，所以构造冗余表达式P3(u,v)＝(1-u)(1-v)P(0,0)+u(1-v)P(1,0)+v(1-u)P(0,1)+uvP(1,1)，其中，P(0,0)为表达式P(u,0)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝0时的具体值，P(1,0)为表达式P(u,0)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝0时的具体值，P(0,1)为表达式P(u,1)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝1时的具体值，P(1,1)为表达式P(u,1)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝1时的具体值。最后，构造Coons面表达式为P(u,v)＝P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v)。
本发明具有的有益效果是：
本发明面向等几何分析领域下的参数化构造方法需求，提出了一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，也适用于绝大部分二维CAD几何模型。本发明可以有效利用标架场对内部区域进行子区域的划分，从而将整体的参数化构造转化为各个子区域的参数化构造，避免了人工方式的错误，也提高了参数化生成的效率，并且在参数化质量上保持优异，也为参数化研究提供了不一样的生成方法。
附图说明
图1为本发明实施例建立的螺帽二维几何CAD模型示意图；
图2为位于点
Figure BDA0002747901530000051
处的标架场以及矢量示意图；
图3a为本发明实施例生成的螺帽背景三角形网格示意图；
图3b为图3a的局部放大图；
图4a为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域点所在的相邻两个三角形网格单元示意图；
图4b为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域点的拉普拉斯－贝尔特拉米算子离散化表达示意图；
图5a为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域的标架场示意图；
图5b为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域的矢量场示意图；
图6为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域一个三角形网格单元的矢量分别示意图；
图7a为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域流线流入不含奇异点的三角形网格单元的走向示意图；
图7b为本发明实施例中螺帽二维几何CAD模型内部区域流线流出不含奇异点的三角形网格单元的走向示意图；
图8a为本发明实施例简化合并前的螺帽二维几何CAD模型内部区域流线示意图；
图8b为本发明实施例简化合并后的螺帽二维几何CAD模型内部区域流线示意图；
图9为本发明实施例得到的螺帽平面区域参数化构造示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
以螺帽为例的一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，具体如下：
步骤1、建立螺帽二维几何CAD模型，如图1所示，利用Delaunay三角化算法来获得表达螺帽二维几何CAD模型区域的背景三角形网格，如图3a和图3b所示；然后，计算螺帽二维几何CAD模型位于边界上的点的标架和矢量。
其中，标架表示为：
Figure BDA0002747901530000061
式中，m＝3，0≤k≤3，标架中第k个向量
Figure BDA0002747901530000062
Figure BDA0002747901530000063
θx为向量
Figure BDA0002747901530000064
在x方向的分量，θy为向量
Figure BDA0002747901530000065
在y方向的分量；螺帽二维几何CAD模型位于边界上的点的正切角z计算公式如下：
z＝atan(y0,x0)/2
x0，y0分别表示螺帽二维几何CAD模型位于边界上的点的x轴，y轴坐标，z∈[-π/4,π/4]。
其中，矢量表示为：
Figure BDA0002747901530000066
式中，
Figure BDA0002747901530000067
为位于螺帽二维几何CAD模型上的任意点，如图2所示，
Figure BDA0002747901530000068
为螺帽二维几何CAD模型的边界区域。
步骤2、建立拉普拉斯方程并求解位于螺帽二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，具体如下：
步骤2.1基于螺帽二维几何CAD模型的边界区域
Figure BDA0002747901530000071
上所有点的矢量，建立拉普拉斯方程，具体如下：
Figure BDA0002747901530000072
其中Δ为拉普拉斯算子，
Figure BDA0002747901530000073
为点
Figure BDA0002747901530000074
在i方向的矢量分量；
Figure BDA0002747901530000075
为点
Figure BDA0002747901530000076
在i方向的矢量分量具体表达形式，已由步骤1中的矢量表示得到。
步骤2.2根据拉普拉斯－贝尔特拉米(LB，Laplace-Beltrami)算子的离散化来解拉普拉斯方程，求得螺帽二维几何CAD模型的内部区域Ω光滑矢量场(如图5b)，具体如下：
背景三角形网格中位于螺帽二维几何CAD模型内部区域的任一点
Figure BDA0002747901530000077
的离散化拉普拉斯－贝尔特拉米算子表达为：
Figure BDA0002747901530000078
其中，Δm为拉普拉斯－贝尔特拉米算子，
Figure BDA0002747901530000079
为
Figure BDA00027479015300000710
周围所有相邻点的集合，
Figure BDA00027479015300000711
是点
Figure BDA00027479015300000712
周围的第j个相邻点，假定相邻点个数有n个，则1＜＜j＜＜n；若j≠1时，α和β分别是点
Figure BDA00027479015300000713
周围连续两个相邻三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000714
和
Figure BDA00027479015300000715
中的公共边所对应在三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000716
和
Figure BDA00027479015300000717
中的夹角，如图4a所示，若j＝1时，α和β分别是点
Figure BDA00027479015300000718
周围连续两个相邻三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000719
和
Figure BDA00027479015300000720
中的公共边所对应在三角形网格单元
Figure BDA00027479015300000721
和
Figure BDA00027479015300000722
中的夹角；根据以点
Figure BDA00027479015300000723
为顶点的各个三角形网格单元分别计算得到一个点q，所有点q依次连线所构成的面积为
Figure BDA00027479015300000724
如图4b所示，其中，若以点
Figure BDA00027479015300000725
为顶点的三角形网格单元为锐角三角形，则q为该三角形网格单元的外心，若以点
Figure BDA00027479015300000726
为顶点的三角形网格单元为钝角三角形，则q是该三角形网格单元钝角相对边的中点；
Figure BDA00027479015300000727
为围绕在点
Figure BDA00027479015300000728
周围的第j个相邻点的矢量，
Figure BDA00027479015300000729
为点
Figure BDA00027479015300000730
的矢量。假设背景三角形网格中位于螺帽二维几何CAD模型内部区域的点有N个，针对每个内部区域的点建立的式(1)代入式(2)，得到N个仅含N个不同
Figure BDA00027479015300000731
未知量的方程。该N个方程通过重新排列已知量和未知量，得到以下线性方程：
Figure BDA00027479015300000732
其中，矩阵A的每个元素为螺帽二维几何CAD模型内部区域每一网格点的系数之和
Figure BDA00027479015300000733
矩阵
Figure BDA00027479015300000734
的每个元素为螺帽二维几何CAD模型内部区域每一网格点待求的矢量，矩阵
Figure BDA00027479015300000735
的每个元素为螺帽二维几何CAD模型内部区域每一网格点的第j个相邻点的带有系数的矢量之和
Figure BDA0002747901530000081
通过求解式(3)，获得拉普拉斯方程的解。
步骤3、设定角度θz为c轴沿逆时针旋转到与
Figure BDA0002747901530000082
0≤k≤3中的一个方向相同时所转过的最小角度，角度θp为x轴沿逆时针方向旋转到与
Figure BDA0002747901530000083
方向相同时所转过的最小角度，则有：
θp＝4θz (4)
因此，根据步骤2求得的位于螺帽二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，结合公式(4)求得位于螺帽二维几何CAD模型内部区域Ω的点的标架，建立螺帽二维几何CAD模型内部区域的标架场，如图5a所示。
步骤4、根据所求螺帽二维几何CAD模型内部区域的标架场来建立内部流线，并简化内部流线实现区域分解。
对螺帽二维几何CAD模型内部区域的任一三角形网格单元[V1V2V3](如图6所示)定义积分：
Figure BDA0002747901530000084
其中，∮C代表闭路积分，其积分区域为三角形网格单元的三条边形成的封闭路径，β为三角形网格单元各边上的点的矢量相对x轴的角度，IC为积分所计算的值，V1、V2、V3为三角形网格单元的三个顶点，设从顶点V1的矢量
Figure BDA0002747901530000085
旋转到顶点V2的矢量
Figure BDA0002747901530000086
经过的角度为Δ12，从顶点V2的矢量
Figure BDA0002747901530000087
转到顶点V3的矢量
Figure BDA0002747901530000088
经过的角度为Δ23，从顶点V3的矢量
Figure BDA0002747901530000089
转到顶点V1的矢量
Figure BDA00027479015300000810
经过的角度为Δ31，则
Figure BDA00027479015300000811
若
Figure BDA00027479015300000812
则该三角形网格单元内部无奇异点；若
Figure BDA00027479015300000813
则该三角形网格单元内部存在奇异点且奇异点的价为4-IC，奇异点位置视为三角形网格单元的垂心处。奇异点所流出的流线条数为价数，且所流出的相邻流线之间角度为2π/v，其中，v为奇异点的价。
对于不含奇异点的三角形网格单元[V1V2V3]中流线走向，设流线流入该三角形网格单元[V1V2V3]与该三角形网格单元[V1V2V3]的边产生交点xi，则通过该三角形网格单元[V1V2V3]的
Figure BDA00027479015300000814
进行线性插值得到点xi的矢量
Figure BDA00027479015300000815
如图7a所示，将矢量
Figure BDA00027479015300000816
沿自身方向延伸至该三角形网格单元[V1V2V3]的边上产生另一个角点xi+1且求出点xi+1的矢量
Figure BDA00027479015300000817
将矢量
Figure BDA00027479015300000818
移至点xi处，最终矢量
Figure BDA00027479015300000819
和
Figure BDA00027479015300000820
相加所得的矢量方向即为流线在该三角形网格单元[V1V2V3]中推进的方向d，如图7b所示。
至此得到螺帽二维几何CAD模型内部区域存在奇异点的三角形网格单元和不含奇异点的三角形网格单元的所有流线，如图8a所示。
然后，对螺帽二维几何CAD模型内部区域出现以下情况且不存在交点的任意相邻两条流线进行的流线进行简化合并：情况一、相邻两条流线的起点和终点都不是奇异点；情况二、相邻两条流线中一条流线的起点和终点都是奇异点，另一条流线的起点和终点都不是奇异点；情况三、相邻两条流线中一条流线的起点是奇异点，终点不是奇异点，另一条流线的起点不是奇异点，终点是奇异点。简化合并过程为(简化合并后螺帽二维几何CAD模型内部区域的所有流线如图8b所示)：针对情况一，如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标，然后将两条流线上每组位置对应的中间点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标，将两条流线上起点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上起点的坐标，将两条流线上终点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上终点的坐标；其中，针对两条流线上的两个中间点，若该两个中间点与各自流线上起点和终点的距离比相等，则视为该两个中间点在各自流线上的位置对应；针对情况二，删除起点和终点都不是奇异点的流线；针对情况三，定义简化合并后新流线的起点和终点分别为两条流线上处于起点位置的奇异点和处于终点位置的奇异点；如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标；将其中一条流线的每个中间点坐标乘以cos2(t)的值与另一条流线位置对应的一个中间点坐标乘以sin2(t)的值相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标；其中，t在0～1之间取值，t的具体值为其中一条流线上的中间点到该流线起点的距离与该流线起点到终点的距离比值。
步骤5、对螺帽二维几何CAD模型内部各子区域的四条边分别进行LSPIA拟合操作转化为样条函数表示形式，并构造Coons面；然后对螺帽二维几何CAD模型内部各子区域构造的Coons面运用迭代法进行拉普拉斯光顺，完成整个螺帽二维几何CAD模型内部的Coons面构造，从而得到基于标架场的螺帽平面区域参数化构造，如图9所示。
优选地，每个子区域构造Coons面的过程具体如下：给出由四条边所围成的四边形ABCD，边AB、边BC、边CD和边AD沿逆时针方向布置，其中边AB进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,0)，边BC进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(0,v)，边CD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,1)，边AD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(1,v)，其中，0≤u≤1,0≤v≤1；然后根据四条边的信息来插值出子区域的内部信息，即构造边AB和边CD的插值表达式P1(u,v)＝(1-v)P(u,0)+vP(u,1)，构造边AD和边BC的插值表达式P2(u,v)＝(1-u)P(0,v)+vP(1,v)，因为存在冗余，所以构造冗余表达式P3(u,v)＝(1-u)(1-v)P(0,0)+u(1-v)P(1,0)+v(1-u)P(0,1)+uvP(1,1)，其中，P(0,0)为表达式P(u,0)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝0时的具体值，P(1,0)为表达式P(u,0)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝0时的具体值，P(0,1)为表达式P(u,1)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝1时的具体值，P(1,1)为表达式P(u,1)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝1时的具体值。最后，构造Coons面表达式为P(u,v)＝P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v)。

Claims (2)

1.一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，其特征在于：该方法具体包括以下步骤：
步骤1、建立二维几何CAD模型，利用Delaunay三角化算法来获得表达二维几何CAD模型区域的背景三角形网格；然后，计算二维几何CAD模型位于边界上的点的标架和矢量；
其中，标架表示为：
Figure FDA0002747901520000011
式中，m＝3，0≤k≤3，标架中第k个向量
Figure FDA0002747901520000012
Figure FDA0002747901520000013
θx为向量
Figure FDA0002747901520000014
在x方向的分量，θy为向量
Figure FDA0002747901520000015
在y方向的分量；二维几何CAD模型位于边界上的点的正切角z计算公式如下：
z＝atan(y0,x0)/2
x0，y0分别表示二维几何CAD模型位于边界上的点的x轴，y轴坐标，z∈[-π/4,π/4]；
其中，矢量表示为：
Figure FDA0002747901520000016
式中，
Figure FDA0002747901520000017
为位于二维几何CAD模型上的任意点，
Figure FDA0002747901520000018
为二维几何CAD模型的边界区域；
步骤2、建立拉普拉斯方程并求解位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，具体如下：
步骤2.1基于二维几何CAD模型的边界区域
Figure FDA0002747901520000019
上所有点的矢量，建立拉普拉斯方程，具体如下：
Figure FDA00027479015200000110
其中Δ为拉普拉斯算子，
Figure FDA00027479015200000111
为点
Figure FDA00027479015200000112
在i方向的矢量分量；
Figure FDA00027479015200000113
为点
Figure FDA00027479015200000114
在i方向的矢量分量具体表达形式，已由步骤1中的矢量表示得到；
步骤2.2根据拉普拉斯－贝尔特拉米算子的离散化来解拉普拉斯方程，求得二维几何CAD模型的内部区域Ω光滑矢量场，具体如下：
背景三角形网格中位于二维几何CAD模型内部区域的任一点
Figure FDA00027479015200000115
的离散化拉普拉斯－贝尔特拉米算子表达为：
Figure FDA00027479015200000116
其中，Δm为拉普拉斯－贝尔特拉米算子，
Figure FDA00027479015200000117
为
Figure FDA00027479015200000118
周围所有相邻点的集合，
Figure FDA00027479015200000119
是点
Figure FDA00027479015200000120
周围的第j个相邻点，假定相邻点个数有n个，则1＜＜j＜＜n；若j≠1时，α和β分别是点
Figure FDA00027479015200000121
周围连续两个相邻三角形网格单元
Figure FDA0002747901520000021
和
Figure FDA0002747901520000022
中的公共边所对应在三角形网格单元
Figure FDA0002747901520000023
和
Figure FDA0002747901520000024
中的夹角，若j＝1时，α和β分别是点
Figure FDA0002747901520000025
周围连续两个相邻三角形网格单元
Figure FDA0002747901520000026
和
Figure FDA0002747901520000027
中的公共边所对应在三角形网格单元
Figure FDA0002747901520000028
和
Figure FDA0002747901520000029
中的夹角；根据以点
Figure FDA00027479015200000210
为顶点的各个三角形网格单元分别计算得到一个点q，所有点q依次连线所构成的面积为
Figure FDA00027479015200000211
其中，若以点
Figure FDA00027479015200000212
为顶点的三角形网格单元为锐角三角形，则q为该三角形网格单元的外心，若以点
Figure FDA00027479015200000213
为顶点的三角形网格单元为钝角三角形，则q是该三角形网格单元钝角相对边的中点；
Figure FDA00027479015200000214
为围绕在点
Figure FDA00027479015200000215
周围的第j个相邻点的矢量，
Figure FDA00027479015200000216
为点
Figure FDA00027479015200000217
的矢量；假设背景三角形网格中位于二维几何CAD模型内部区域的点有N个，针对每个内部区域的点建立的式(1)代入式(2)，得到N个仅含N个不同
Figure FDA00027479015200000218
未知量的方程；该N个方程通过重新排列已知量和未知量，得到以下线性方程：
Figure FDA00027479015200000219
其中，矩阵A的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点的系数之和
Figure FDA00027479015200000220
矩阵
Figure FDA00027479015200000221
的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点待求的矢量，矩阵
Figure FDA00027479015200000222
的每个元素为二维几何CAD模型内部区域每一网格点的第j个相邻点的带有系数的矢量之和
Figure FDA00027479015200000223
通过求解式(3)，获得拉普拉斯方程的解；
步骤3、设定角度θz为x轴沿逆时针旋转到与
Figure FDA00027479015200000224
中的一个方向相同时所转过的最小角度，角度θp为x轴沿逆时针方向旋转到与
Figure FDA00027479015200000225
方向相同时所转过的最小角度，则有：
θp＝4θz (4)
因此，根据步骤2求得的位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的矢量，结合公式(4)求得位于二维几何CAD模型内部区域Ω的点的标架，建立二维几何CAD模型内部区域的标架场；
步骤4、根据所求二维几何CAD模型内部区域的标架场来建立内部流线，并简化内部流线实现区域分解；
对二维几何CAD模型内部区域的任一三角形网格单元[V1V2V3]定义积分：
Figure FDA00027479015200000226
其中，∮C代表闭路积分，其积分区域为三角形网格单元的三条边形成的封闭路径，β为三角形网格单元各边上的点的矢量相对x轴的角度，IC为积分所计算的值，V1、V2、V3为三角形网格单元的三个顶点，设从顶点V1的矢量
Figure FDA0002747901520000031
旋转到顶点V2的矢量
Figure FDA0002747901520000032
经过的角度为Δ12，从顶点V2的矢量
Figure FDA0002747901520000033
转到顶点V3的矢量
Figure FDA0002747901520000034
经过的角度为Δ23，从顶点V3的矢量
Figure FDA0002747901520000035
转到顶点V1的矢量
Figure FDA0002747901520000036
经过的角度为Δ31，则
Figure FDA0002747901520000037
若
Figure FDA0002747901520000038
则该三角形网格单元内部无奇异点；若
Figure FDA0002747901520000039
则该三角形网格单元内部存在奇异点且奇异点的价为4-IC，奇异点位置视为三角形网格单元的垂心处；奇异点所流出的流线条数为价数，且所流出的相邻流线之间角度为2π/v，其中，v为奇异点的价；
对于不含奇异点的三角形网格单元[V1V2V3]中流线走向，设流线流入该三角形网格单元[V1V2V3]与该三角形网格单元[V1V2V3]的边产生交点xi，则通过该三角形网格单元[V1V2V3]的
Figure FDA00027479015200000310
进行线性插值得到点xi的矢量
Figure FDA00027479015200000311
将矢量
Figure FDA00027479015200000312
沿自身方向延伸至该三角形网格单元[V1V2V3]的边上产生另一个角点xi+1且求出点xi+1的矢量
Figure FDA00027479015200000313
将矢量
Figure FDA00027479015200000314
移至点xi处，最终矢量
Figure FDA00027479015200000315
和
Figure FDA00027479015200000316
相加所得的矢量方向即为流线在该三角形网格单元[V1V2V3]中推进的方向；
至此得到二维几何CAD模型内部区域存在奇异点的三角形网格单元和不含奇异点的三角形网格单元的所有流线；
然后，对二维几何CAD模型内部区域出现以下情况且不存在交点的任意相邻两条流线进行的流线进行简化合并：情况一、相邻两条流线的起点和终点都不是奇异点；情况二、相邻两条流线中一条流线的起点和终点都是奇异点，另一条流线的起点和终点都不是奇异点；情况三、相邻两条流线中一条流线的起点是奇异点，终点不是奇异点，另一条流线的起点不是奇异点，终点是奇异点；简化合并过程为：针对情况一，如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标，然后将两条流线上每组位置对应的中间点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标，将两条流线上起点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上起点的坐标，将两条流线上终点坐标相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上终点的坐标；其中，针对两条流线上的两个中间点，若该两个中间点与各自流线上起点和终点的距离比相等，则视为该两个中间点在各自流线上的位置对应；针对情况二，删除起点和终点都不是奇异点的流线；针对情况三，定义简化合并后新流线的起点和终点分别为两条流线上处于起点位置的奇异点和处于终点位置的奇异点；如果其中一条流线上的任意中间点a在另一条流线上没有找到位置对应的中间点，则根据中间点a与中间点a所在流线起点和终点的距离比L，求出在另一条流线上与起点和终点距离比也为L的插值点坐标；将其中一条流线的每个中间点坐标乘以cos2(t)的值与另一条流线位置对应的一个中间点坐标乘以sin2(t)的值相加后除以2所得的坐标来作为简化合并后新流线上一个中间点的坐标；其中，t在0～1之间取值，t的具体值为其中一条流线上的中间点到该流线起点的距离与该流线起点到终点的距离比值；
步骤5、对二维几何CAD模型内部各子区域的四条边分别进行LSPIA拟合操作转化为样条函数表示形式，并构造Coons面；然后对二维几何CAD模型内部各子区域构造的Coons面运用迭代法进行拉普拉斯光顺，完成整个二维几何CAD模型内部的Coons面构造，从而得到基于标架场的平面区域参数化构造。
2.根据权利要求1所述的一种基于标架场的平面区域参数化构造方法，其特征在于：每个子区域构造Coons面的过程具体如下：给出由四条边所围成的四边形ABCD，边AB、边BC、边CD和边AD沿逆时针方向布置，其中边AB进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,0)，边BC进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(0,v)，边CD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(u,1)，边AD进行LSPIA拟合后的参数表达式为P(1,v)，其中，0≤u≤1,0≤v≤1；然后根据四条边的信息来插值出子区域的内部信息，即构造边AB和边CD的插值表达式P1(u,v)＝(1-v)P(u,0)+vP(u,1)，构造边AD和边BC的插值表达式P2(u,v)＝(1-u)P(0,v)+vP(1,v)，因为存在冗余，所以构造冗余表达式P3(u,v)＝(1-u)(1-v)P(0,0)+u(1-v)P(1,0)+v(1-u)P(0,1)+uvP(1,1)，其中，P(0,0)为表达式P(u,0)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝0时的具体值，P(1,0)为表达式P(u,0)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝0时的具体值，P(0,1)为表达式P(u,1)中u＝0时的具体值或表达式P(0,v)中v＝1时的具体值，P(1,1)为表达式P(u,1)中u＝1时的具体值或表达式P(1,v)中v＝1时的具体值；最后，构造Coons面表达式为P(u,v)＝P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v)。
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