CN102508220A - 均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及电磁波与雷达监测领域，提供了均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法；该方法通过建立均匀双各向同性媒质物体的几何模型，将其表面剖分为无缝连接的多个三角形面元；引入面电源矢量函数和面磁源矢量函数；在均匀双各向同性媒质物体内应用场分解方法；根据边界条件，在散射体表面得到边界积分方程；应用矩量法对边界积分方程进行数值求解，包括空间检验与时间检验；空间基函数与检验函数采用RWG基函数，时间基函数与检验函数采用带幅度因子的拉盖尔函数；根据等效原理，得到观察点的电磁散射，再应用傅里叶变换得到雷达散射截面；本发明获得的均匀双各向同性媒质物体的散射场稳定并且可以得到宽频域的雷达散射截面。

Description

均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法

技术领域

本发明涉及电磁波与雷达监测技术领域，具体涉及均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法。

背景技术

双各向同性媒质是一类特殊的复杂媒质，电流源或磁流源激励双各向同性媒质能同时产生电场极化和磁场极化。手征(Chiral)媒质和特勒根(Tellegen)媒质是双各向同性媒质中的两个子类。Chiral媒质具有旋光性，电场波通过手征媒质时极化平面是旋转的。研究表明手征媒质具有互易性，而Tellegen媒质是非互易性的。双各向同性媒质在微波与毫米微波领域有巨大的潜在应用价值，如天线罩，手征性微带天线，模式变换器，极化旋转器。在现代航天技术领域，双各项同性煤质作为一种吸波材料涂敷于导体目标表面，可起到降低目标雷达散射截面(RCS)的作用。通过实验方法获得物体的雷达散射截面成本非常高，因此要获得物体的雷达散射截面，一般采取数值仿真方法，成本低，模型灵活；数值方法已经成为现代工业设计领域的主流方法。

均匀双各向同性媒质的本构关系是：

$\stackrel{\→}{D}={\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\→}{E}+({\mathrm{\χ}}_r-j{\mathrm{\κ}}_r)\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_2{\mathrm{\μ}}_2}\stackrel{\→}{H}$

$\stackrel{\→}{B}=({\mathrm{\χ}}_r+j{\mathrm{\κ}}_r)\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_2{\mathrm{\μ}}_2}\stackrel{\→}{E}+{\mathrm{\μ}}_2\stackrel{\→}{H}$

其中

是位移电流，

是电场强度，

是磁场强度，

是磁感应强度；ε₂是双各向同性媒质的介电常数，μ₂是双各向同性媒质的磁导率，χ_r是特勒根(Tellegen)参数，κ_r是帕斯特(Pasteur)参数，j是虚数单位。在均匀均匀双各向同性媒质物体内电磁场分解为左旋极化波场与右旋极化波场，左旋极化波场与右旋极化波场相互独立，同时都满足麦克斯韦方程组，有各自的介电常数，磁导率和波阻抗(I.V.Lindell，A.H.Sihvola，S.A.Tretyakov，and A.J.Viitanen.Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-isotropicMedia，Boston，MA：Artech House，1994)。双各向同性媒质的本构关系在电场与磁场之间增加了额外的耦合关系，这种媒质给电磁理论带来的新的挑战。通过实验方法获得双各向同性煤质物体的电磁特性存在实验时间周期长，实验条件有限，实验费用高等问题。因此，科研人员致力于开发精确的数值方法仿真双各向同性媒质物体的电磁波传播，散射和辐射。

目前，获取物体电磁特性的方法主要有矩量法(MOM)(R.F.Harrington，Field Computation by Moment Methods.New York，1968)，有限元法(FEM)和时域有限差分法(FDTD)。基于RWG基函数、边界积分方程的矩量法，因其用三角形面元对目标表面建模剖分，可共形于任意形状，具有很高的建模和计算精度，近年来发展很快。在频域，矩量法已经得到了深入的研究，其快速算法(如MLPMA，AIM等)已经很成熟。

矩量法包括如下三个过程：

步骤一：离散化过程。

(1)设算符方程L(f(x))＝g，在算符L的定义域内适当的选择一组基函数f₁，f₂，...，f_n，对于三维问题，一般采用RWG基函数；

(2)将未知函数f(x)表示为该组基函数的线性组合，即：

$f\left(x\right)=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{a}_n{f}_n$

代入算符方程，

$\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{a}_{n}L\left(f_n\right)=g$

于是，求解f(x)的问题转化为求解f_n的系数a_n的问题。

步骤二：取样检验过程

(1)在算符L的值域内适当地选取一组线性无关的检验函数(又称权函数)w_m。

(2)用检验函数w_m与离散后的算符方程做内积：

$\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_n<w_m,L\left(f_n\right)>=<w_m,g>$ m＝1，2，3...

将它写成矩阵形式：

[L_mn][a_n]＝[g_m]

其中

$\left[a_n\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ a_n\end{array}\right]$ $\left[g_m\right]=\left[\begin{array}{c}<w_1,g>\\ <w_2,g>\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ <w_m,g>\end{array}\right]$

步骤三：矩阵的求逆过程。

如果[L_mn]非奇异，则

[a_n]＝[L_mn]^-1[g_m]

式中[L_mn]^-1是[L_mn]的逆矩阵。原来算符方程的解为

f(x)＝[f_n]^T[L_mn]^-1[g_m]

其中[f_n]^T＝[f₁，f₂，...，f_n]

矩量法在应用中通常遵循以上三个过程。若选取检验函数w_m＝f_n，称伽略金(Galerkin)法。

矩量法中的RWG方法是由Rao，Wilton和Glisson所提出来的一种著名而有效的基于三角面元剖分的模型方法(S.M.Rao，“Electromagneticscattering and radiation of arbitrarily shaped surfaces by triangularpatch modeling，”PhD.dissertation.Univ.Mississippi，Aug.1980)。三角面元能较精确地模拟任意区域，且剖分具有很大的灵活性。对任意形状物体，将其表面剖分成三角形面元。每一个三角形面元有三条边，其中被两个或多个三角形面元共享的边称为公共边。在RWG方法中，采用了建立在公共边基础上的RWG基函数。定义在两个相邻的三角形所组成的面元对上，图1是RWG基函数示意图，图中，l_n为一对三角形面元公共边的边长，表示三角面元

的顶点到

面元上任意位置矢量

的端点的矢量，表示三角面元

上任意矢量

的端点到面元

对应顶点的矢量，表示

表示

RWG基函数的表达式为

$f_n\left(r\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{l_n}{2A_n^{+}}{\mathrm{\&rho;}}_n^{+}\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right),\stackrel{\&RightArrow;}{r}\&Element;T_n^{+}\\ \frac{l_n}{2A_n^{-}}{\mathrm{\&rho;}}_n^{-}\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right),\stackrel{\&RightArrow;}{r}\&Element;T_n^{-}\end{array}\right.$

其中分别为正负三角形面元的面积。

虽然时域有限差分法是时域仿真的主流工具，但是在分析大尺度物体的瞬态电磁散射现象时，时域积分方程(TDIE)计算方法更适合。因为对于均匀介质，TDIE方法只需要求解表面离散的少量未知数，也不需要吸收边界条件。对于时域积分方程的求解，当前主要有两类方法：时间步进(MOT)算法和阶数步进(MOD)算法。主流的时域积分方程采用按时间步进(MOT)求解，然而研究表面，时间步进(MOT)的后期会出现不稳定的高频振荡现象，即晚时震荡。近年来，由美国纽约锡拉丘兹大学Sarkar教授领导的研究小组提出的基于拉盖尔(Laguerre)多项式的MOD算法解决了晚时震荡问题(Y.S.Chung，T.K.Sarkar，B.H.Jung，and Z.Ji，“Solution of time domain electric fieldintegral equation using the laguerre polynomials，”IEEE Trans.Antennas Propogat.，vol.52，no.9，pp.2319-2328，Sept.2004；B.H.Jung，T.K.Sarkar，Y.S.Chung，S.P.Magdalena，Z.Ji，S.Jang，and K.Kim，“Transient electromagnetic scattering from dielectric objects usingthe electric field integral equation with laguerre polynomials astemporal basis functions，”IEEE Trans.Antennas Propogat.，vol.52，no.9，pp.2329-2339，Sept.2004)。在基于拉盖尔多项式的MOD算法中，通过选择适当的阶数，可以很好的解决晚时震荡问题。与MOT算法不同的是，该方法在空间域和时间域都运用伽略金方法进行检验。时域的未知系数由一组正交的基于加权拉盖尔多项式的基函数近似，根据伽略金方法的定义，这一基函数也被用作时间域的检验函数。

为了获得更加精确的结果，物体表面的边界积分方程可以采用PMCHWT公式(Y.Chu，W.C.Chew，S.Chen，and J.Zhao，“Generalized PMCHWT formulationfor low frequency multi-region problems，”IEEE Int.Symp.AntennasPropagation Society，pp.664-667，Piscataway，N.J.2002)，即同时使用电场边界条件与磁场边界条件。

获取双各向同性媒质物体的雷达散射截面已有许多频域方法，时域方法主要集中在时域有限差分法(FDTD)。本发明提出一种按照拉盖尔函数阶数步进 (MOD)的时域积分方法，为获取均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面提供了一种新的方法。

发明内容

本发明的目的在于，提出一种双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法。目前，针对双各向同性媒质的雷达散射截面的获取方法主要集中在频域，时域方法比较少，而且已有的按时间步进的时域方法会出现晚时震荡，本发明针对这些情况，提出了一种按照拉盖尔函数阶数步进的计算双各向同性媒质物体的雷达散射截面的时域积分方法。本发明获得瞬态电流，散射场和雷达散射截面同解析分析方法的结果一致。

本发明的目的通过如下方法实现：

步骤(1)均匀双各向同性媒质物体在均匀背景介质中，背景介质的介电常数为ε₁，磁导率为μ₁，均匀双各向同性媒质物体的介电常数为ε₂，磁导率为μ₂；电磁波从背景介质中入射，被均匀双各向同性媒质物体散射；根据均匀双各向同性媒质物体的几何尺寸及其空间位置信息，建立双各向同性媒质物体的几何模型，应用矩量法的三角形表面剖分方法，将其表面剖分为无缝连接的多个三角形面元，表面剖分的精细度由精度要求和计算能力决定。

步骤(2)均匀双各向同性媒质物体表面的面电源矢量函数

和面磁源矢量函数

的空间域基函数采用RWG基函数：

$\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_n\left(t\right){\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_n\left(t\right){\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)$

e_n(t)和h_n(t)是时间系数，N是均匀双各向同性媒质物体表面进行三角形剖分之后的公共边数，

是RWG基函数；时间域的基函数采用φ_j(st)＝e^-st/2L_j(st)：

$e_n\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_{n,j}{\mathrm{\&phi;}}_j\left(\mathrm{st}\right)$

$h_n\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{n,j}{\mathrm{\&phi;}}_j\left(\mathrm{st}\right)$

L_j(st)是带有幅度因子s的j阶拉盖尔函数，M是时间基函数的最大阶数，e_n，j是电源矢量系数，h_n，j是磁源矢量系数。

步骤(3)在均匀双各向同性媒质物体内部电磁场分解为左旋极化波场与右旋极化波场：

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_d={\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{+}+{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{-}$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_d={\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{+}+{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{-}$

其中，

和

分别是均匀双各向同性媒质物体内部电磁场的电场分量和磁场分量，

和

分别是双各向同性媒质内部的右旋极化波场的电场分量和磁场分量；

和分别是双各向同性媒质内部的左旋极化波场的电场分量和磁场分量；根据电磁场边界条件，在双各向同性媒质物体表面S上的切向电磁场连续，得到边界积分方程

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t){|}_{\tan }=-{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^s(\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{h}){|}_{\tan }+\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{\&PlusMinus;}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{\&PlusMinus;},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{\&PlusMinus;}){|}_{\tan }$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t){|}_{\tan }=-{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^s(\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{h}){|}_{\tan }+\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{\&PlusMinus;}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{\&PlusMinus;},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{\&PlusMinus;}){|}_{\tan }$

其中，

和

分别是入射电磁波的电场分量和磁场分量；

和

分别是散射场的电场分量和磁场分量；|_tan表示场量取沿散射体表面S的切向方向的分量；对边界积分方程应用伽略金方法，得到2N×2N维的矩阵方程，求解矩阵方程，得到e_n，j和h_n，j；进一步得到面电源矢量函数

和面磁源矢量函数

步骤(4)根据等效原理，由面电源矢量函数

和面磁源矢量函数

得到观察点的电磁散射，再应用傅里叶变换得到雷达散射截面。

本发明方法主要是均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法；进一步，对上述方法步骤中的相关内容说明如下：

上述方法中的面电源矢量函数

面磁源矢量函数与等效面电流

等效面磁流

有如下关系：

$\stackrel{\&RightArrow;}{J}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{M}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)$

根据电磁场等效原理，电磁散射的电场分量

和磁场分量

与面电源

和面磁源满足如下关系：

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^s(\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{h})=-L\left(\stackrel{\&RightArrow;}{e}\right)-K\left(\stackrel{\&RightArrow;}{h}\right)$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^s(\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{h})=K\left(\stackrel{\&RightArrow;}{e}\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&eta;}}_1^2}L\left(\stackrel{\&RightArrow;}{h}\right)$

其中，η₁是

背景介质的波阻抗；L与K为两个积分微分的算符，算符L表示对算符内的被作用量做如下处理：

$L\left(\stackrel{\&RightArrow;}{X}\right)={\mathrm{\&mu;}}_1{\&Integral;}_S\frac{{\&PartialD;}^2\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{\&PartialD;t^2}\frac{1}{4\mathrm{\&pi;R}}d{S}^{\&prime;}-\frac{\&dtri;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}{\&Integral;}_S\frac{\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{4\mathrm{\&pi;R}}d{S}^{\&prime;}$

算符K表示对算符内的被作用量做如下处理：

$K\left(\stackrel{\&RightArrow;}{X}\right)=\frac{1}{2}\hat{n}\&times;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\stackrel{\&RightArrow;}{X}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)+{\&Integral;}_{S_0}\&dtri;\&times;\left[\frac{\&PartialD;\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{\&PartialD;t}\frac{1}{4\mathrm{\&pi;R}}\right]d{S}^{\&prime;}$

其中

是被作用量，是观察点的位置，

是源的位置，

τ＝t-R/c₁表示延迟时间，

是电磁波在传播速度，ε₁是

背景介质的介电常数，μ₁是

背景介质的磁导率；

是观察点的表面法向量；面S₀表示从面S中除去奇异点

的面。

上述方法中的均匀双各向同性媒质的本构关系是：

$\stackrel{\&RightArrow;}{D}={\mathrm{\&epsiv;}}_2\stackrel{\&RightArrow;}{E}+({\mathrm{\&chi;}}_r-j{\mathrm{\&kappa;}}_r)\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}_2{\mathrm{\&mu;}}_2}\stackrel{\&RightArrow;}{H}$

$\stackrel{\&RightArrow;}{B}=({\mathrm{\&chi;}}_r+j{\mathrm{\&kappa;}}_r)\sqrt{{\mathrm{\&epsiv;}}_2{\mathrm{\&mu;}}_2}\stackrel{\&RightArrow;}{E}+{\mathrm{\&mu;}}_2\stackrel{\&RightArrow;}{H}$

其中

是位移电流，

是电场强度，

是磁场强度，

是磁感应强度；ε₂是双各向同性媒质的介电常数，μ₂是双各向同性媒质的磁导率，χ_r是特勒根(Tellegen)参数，κ_r是帕斯特(Pasteur)参数，j是虚数单位。在均匀均匀双各向同性媒质物体内电磁场分解为左旋极化波场与右旋极化波场[2]，左旋极化波场与右旋极化波场相互独立，同时都满足麦克斯韦方程组，有各自的介电常数，磁导率和波阻抗；均匀双各向同性媒质内的右旋极化波场的介电常数为ε₊＝ε₂(α+κ_r)v₊，磁导率为μ₊＝μ₂(α+κ_r)v_-，波阻抗为

左旋极化波场的介电常数为ε_-＝ε₂(α+κ_r)v_-，磁导率为μ_-＝μ₂(α+κ_r)v₊，波阻抗为

其它参数为v₊＝α+jχ_r，v_-＝α-jχ_r；面电源矢量函数和面磁源矢量函数可以分解为右旋极化面电源矢量函数右旋极化面磁源矢量函数

和左旋极化面电源矢量函数

左旋极化面磁源矢量函数

$-{\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{+}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\frac{1}{2\mathrm{\&alpha;}}(v_{+}\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)-\frac{j}{{\mathrm{\&eta;}}_2}\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t))$

$-{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{+}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\frac{1}{2\mathrm{\&alpha;}}(v_{-}\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)+j{\mathrm{\&eta;}}_2\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t))$

$-{\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{-}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\frac{1}{2\mathrm{\&alpha;}}(v_{-}\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)+\frac{j}{{\mathrm{\&eta;}}_2}\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t))$

$-{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{-}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\frac{1}{2\mathrm{\&alpha;}}(v_{+}\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)-j{\mathrm{\&eta;}}_2\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t))$

均匀双各向同性媒质物体内的右旋极化波场的电场分量磁场分量与右旋极化面电源矢量函数

右旋极化面磁源矢量函数满足如下关系：

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{+}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{+},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{+})=-L_{+}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{+}\right)-K_{+}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{+}\right)$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{+}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{+},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{+})=K_{+}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{+}\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&eta;}}_{+}^2}{L}_{+}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{+}\right)$

其中，η₊表示右旋极化波场的波阻抗，L₊与K₊表示右旋极化波场的两个积分微分算符；均匀双各向同性媒质物体内的左旋极化波场的电场分量

磁场分量

与左旋极化面电源函数

左旋极化面磁源函数

满足如下关系：

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{-}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{-},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{-})=-L_{-}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{-}\right)-K_{-}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{-}\right)$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{-}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{-},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{-})=K_{-}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{-}\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&eta;}}_{-}^2}{L}_{-}\left({\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{-}\right)$

其中，η_-表示左旋极化波场的波阻抗，L_-与K_-表示左旋极化波场的两个积分微分算符；

算符L₊、算符K₊、算符L_-、算符K_-的表达式如下：

$L_{+}\left(\stackrel{\&RightArrow;}{X}\right)={\mathrm{\&mu;}}_{+}{\&Integral;}_S\frac{{\&PartialD;}^2\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{\&PartialD;t^2}\frac{1}{4\mathrm{\&pi;R}}d{S}^{\&prime;}-\frac{\&dtri;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{+}}{\&Integral;}_S\frac{\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{4\mathrm{\&pi;R}}d{S}^{\&prime;}$

$K_{+}\left(\stackrel{\&RightArrow;}{X}\right)={\&Integral;}_{S_0}\&dtri;\&times;\left[\frac{\&PartialD;\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{\&PartialD;t}\frac{1}{4\mathrm{\&pi;R}}\right]d{S}^{\&prime;}-\frac{1}{2}\hat{n}\&times;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\stackrel{\&RightArrow;}{X}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)$

$L_{-}\left(\stackrel{\&RightArrow;}{X}\right)={\mathrm{\&mu;}}_{-}{\&Integral;}_S\frac{{\&PartialD;}^2\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{\&PartialD;t^2}\frac{1}{4\mathrm{\&pi;R}}d{S}^{\&prime;}-\frac{\&dtri;}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{-}}{\&Integral;}_S\frac{\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{4\mathrm{\&pi;R}}d{S}^{\&prime;}$

$K_{-}\left(\stackrel{\&RightArrow;}{X}\right)={\&Integral;}_{S_0}\&dtri;\&times;\left[\frac{\&PartialD;\stackrel{\&RightArrow;}{X}({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;},\mathrm{\&tau;})}{\&PartialD;t}\frac{1}{4\mathrm{\&pi;R}}\right]d{S}^{\&prime;}-\frac{1}{2}\hat{n}\&times;\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}\stackrel{\&RightArrow;}{X}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)$

上述方法，步骤(3)中的边界积分方程是指，在双各向同性媒质物体表面上应用PMCHWT公式得到的边界积分方程；对边界方程应用伽略金方法主要包括对算法L与算符K的空间检验与时间检验，即与空间基函数

(n＝0，1，2...N)和时间基函数φ_j(st)(j＝0，1，2...M)做内积，得到如下计算结果：

$<{\mathrm{\&phi;}}_i\left(\mathrm{st}\right),<{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right),L\left(\stackrel{\&RightArrow;}{e}\right)>>=$

${\mathrm{\&mu;}}_1{s}^2\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}(0.25e_{n,j}+\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(j-k)e_{n,k})I_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)a_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}$

$+\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)b_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}$

$<{\mathrm{\&phi;}}_i\left(\mathrm{st}\right),<{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right),K\left(\stackrel{\&RightArrow;}{e}\right)>>=$

$0.5s\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}(0.5e_{n,j}+\underset{k=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_{n,k})c_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}$

$+\frac{s^2}{c_1}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}(0.25e_{n,j}+\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(j-k)e_{n,k})I_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)d_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}$

$+s\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{p,q}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}(0.5e_{n,j}+\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_{n,k})I_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)d_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}}$

内积

是空间检验，表示与

相乘并在三角形

内做面积分；内积<φ_i(st)，>是时间检验，表示与φ_i(st)相乘并对时间做积分；对散射体表面剖分的任意两个三角形做面积分时，它们之间的距离默认是固定不变的，因此时间延迟可以表示为

表示三角形的中心和三角形

的中心之间距离；上标p，q取值为+或，用于区分三角形网格剖分中有公共边的两个不同三角形面元；下标V取值为+或，表示与双各向同性媒质中的右旋极化波场或左旋极化波场有关，

时间积分项等于(Y.S.Chung，T.K.Sarkar，B.H.Jung，and Z.Ji，“Solutionof time domain electric field integral equation using the laguerrepolynomials，”IEEE Trans.Antennas Propogat.，vol.52，no.9，pp.2319-2328，Sept.2004)

$I_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^{-s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}/2[L_{i-j}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)-L_{i-j-1}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)]}& j\&le;i\\ 0& j>i\end{array}\right.$

空间积分项

和表达式如下：

$a_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}={\&Integral;}_S{\&Integral;}_{S^{\&prime;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m^p\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)\&CenterDot;{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n^q\left({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;}\right)/\left(4\mathrm{\&pi;R}\right)d{S}^{\&prime;}\mathrm{dS}$

$b_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}={\&Integral;}_S\&dtri;\&CenterDot;{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m^p\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right){\&Integral;}_{S^{\&prime;}}\&dtri;\&CenterDot;{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n^p\left({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;}\right)/\left(4\mathrm{\&pi;R}\right)d{S}^{\&prime;}\mathrm{dS}$

$c_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}={\&Integral;}_S{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m^p\left(r\right)\&CenterDot;\hat{n}\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n^q\left(r\right)\mathrm{dS}$

$d_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}={\&Integral;}_S{\&Integral;}_{S^{\&prime;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m^p\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)\&CenterDot;{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n^q\left({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;}\right)\&times;\hat{R}/\left(4\mathrm{\&pi;R}\right)d{S}^{\&prime;}\mathrm{dS}$

$d_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}}={\&Integral;}_S{\&Integral;}_{S^{\&prime;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m^p\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)\&CenterDot;{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n^q\left({\stackrel{\&RightArrow;}{r}}^{\&prime;}\right)\&times;\hat{R}/\left(4\mathrm{\&pi;}{R}^2\right)d{S}^{\&prime;}\mathrm{dS}$

表示沿

方向的单位矢量；上述

和是二重积分，在

的地方，所有的积分是正常积分，可以直接进行数值求解；当观察点与源点重合

时，可以采用解析公式去除空间奇异点；由于PMCHWT公式自动抵消，

项在整个求解过程中不需要求解。

上述方法中，步骤(3)中的矩阵方程是指

矩阵方程左边元素：

$Z{E}_{\mathrm{mn}}^E=\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}(\frac{{\mathrm{\&mu;}}_1{s}^2}{4}{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}+\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}{b}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}})\exp (-\frac{s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}}{2})$

$+\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{v_{\&PlusMinus;}}{2\mathrm{\&alpha;}}(\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\&PlusMinus;}{s}^2}{4}{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}+\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\&PlusMinus;}}{b}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}})\exp (-\frac{s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}}{2})$

$+\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\mathrm{j\&eta;}}_2}{2\mathrm{\&alpha;}}(\&PlusMinus;\frac{s^2}{4c_{\&PlusMinus;}}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}\&PlusMinus;\frac{s}{2}{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})\exp (-\frac{s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}}{2})$

$Z{E}_{\mathrm{mn}}^E=\underset{\mathrm{pq}}{-\mathrm{\&Sigma;}}(\frac{s^2}{4c}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}+\frac{s}{2}{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})\exp (-\frac{s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}}{2})$

$-\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{v_{\&PlusMinus;}}{2\mathrm{\&alpha;}}(\frac{s^2}{4c_{\&PlusMinus;}}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}\&PlusMinus;\frac{s}{2}{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})\exp (-\frac{s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}}{2})$

$+\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{{\mathrm{j\&eta;}}_2}{2\mathrm{\&alpha;}{\mathrm{\&eta;}}_{\&PlusMinus;}^2}(\&PlusMinus;\frac{{{\mathrm{\&mu;}}_{\&PlusMinus;}s}^2}{4}{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\&PlusMinus;\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\&PlusMinus;}}{b}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}})\exp (-\frac{s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}}{2})$

矩阵方程右边元素：

${\mathrm{\&gamma;}}_{m,i}^E=V_{m,i}^E-P_{m,i}^E-P_{m,i}^H$

${\mathrm{\&gamma;}}_{m,i}^H=V_{m,i}^H-Q_{m,i}^E-Q_{m,i}^H$

其中，

表示对入射波源的电场分量做内积，

表示对对入射波源的磁场场分量做内积，即

$V_{m,i}^E=<{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right),<{\mathrm{\&phi;}}_i\left(\mathrm{st}\right),{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^i>>$

$V_{m,i}^H=<{\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_m\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right),<{\mathrm{\&phi;}}_i\left(\mathrm{st}\right),{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^i>>$

其它元素为：

$P_{m,i}^E=\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\frac{{\mathrm{\&mu;}}_1{s}^2}{4}{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}+\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_1}{b}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}})e_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(j-k)e_{n,k}{\mathrm{\&mu;}}_1{s}^2{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{v_{\&PlusMinus;}}{2\mathrm{\&alpha;}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\&PlusMinus;}{s}^2}{4}{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}+\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\&PlusMinus;}}{b}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}})e_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{v_{\&PlusMinus;}}{2\mathrm{\&alpha;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(j-k)e_{n,k}{\mathrm{\&mu;}}_{\&PlusMinus;}{s}^2{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\frac{j{\mathrm{\&eta;}}_2}{2\mathrm{\&alpha;}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&PlusMinus;(\frac{s^2}{4c_{\&PlusMinus;}}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}+0.5s{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})e_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\frac{j{\mathrm{\&eta;}}_2}{2\mathrm{\&alpha;}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&PlusMinus;(\frac{{(j-k)s}^2}{c_{\&PlusMinus;}}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}+s{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})e_{n,k}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$Q_{m,i}^E=-\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\frac{s^2}{4c_1}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}+0.5s{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})e_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)$

$-\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left((j-k)\frac{s^2}{c_1}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}{+\mathrm{sd}}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}}\right){e_{n,k}I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}\right)$

$-\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{v_{\&PlusMinus;}}{2\mathrm{\&alpha;}}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\frac{s^2}{4c_{\&PlusMinus;}}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}+0.5s{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})e_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$-\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{v_{\&PlusMinus;}}{2\mathrm{\&alpha;}}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\frac{(j-k)s^2}{c_{\&PlusMinus;}}{d}_{\mathrm{mn},1}^{\mathrm{pq}}+s{d}_{\mathrm{mn},2}^{\mathrm{pq}})e_{n,k}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{j{\mathrm{\&eta;}}_2}{2\mathrm{\&alpha;}{\mathrm{\&eta;}}_{\&PlusMinus;}^2}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&PlusMinus;(\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\&PlusMinus;}{s}^2}{4}{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}+\frac{1}{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\&PlusMinus;}}{b}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}})e_{n,j}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

$+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{\mathrm{pq}}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{j{\mathrm{\&eta;}}_2}{2\mathrm{\&alpha;}{\mathrm{\&eta;}}_{\&PlusMinus;}^2}\underset{j=0}{\overset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=0}{\overset{j-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\&PlusMinus;(j-k)e_{n,k}{\mathrm{\&mu;}}_{\&PlusMinus;}{s}^2{a}_{\mathrm{mn}}^{\mathrm{pq}}{I}_{\mathrm{ij}}\left(s{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{mn},\&PlusMinus;}^{\mathrm{pq}}\right)$

上述方法，步骤(3)中的中矩阵方程按照拉盖尔函数的阶数i步进求解未知系数e_n，j和h_n，j；初始i＝0，

和都等于0，求出e_n，j和h_n，j(j＝0，n＝0，1，2，..N)；由于和

的值只与e_n，j和h_n，j(j＜i，n＝0，1，2，...N)有关，对i进行递推，逐步求出所有e_n，j和h_n，j(n＝0，1，2，...N；j＝0，1，2，...M)；为了提高计算效率，求解矩阵方程之前，可以先对系数矩阵进行LU分解，并将分解后的矩阵存储；将所有的空间积分项与时间积分项相乘，并将结果存储；在递推求解矩阵方程时，直接调用已经计算好的存储值，从而节省计算时间。本算法的矩阵填充过程复杂度为O(12MN²)，迭代处理的复杂度为O(M³N²)。

上述方法，步骤(4)求出双各向同性媒质物体在观察点处得散射场的电场分量

变化到极坐标下的表达式为

θ^s表示观察的θ角，

表示观察点的角；入射场

是已知量；由此可以得到观察点的主极化双站雷达散射截面

和交叉极化双站雷达散射截面

其中F[·]表示傅里叶变换。

相对于现有技术，本发明具有如下优点：

1、获得均匀双各向同性媒质物体的宽频域雷达散射截面。目前，已有技术多采用频域方法获得双各向同性媒质物体的散射场，然而使用频域方法一次只能得到一个频点的响应，要获得宽频域响应，需要多次使用；本发明采用时域方法获得双各向同性媒质物体的散射场，只需使用一次就可以获得的宽频域的雷达散射截面。

2、获得的均匀双各向同性媒质物体的散射场在时间后期是稳定的。一般的按时间步进的时域方法，在时间后期会出现不稳定的高频振荡；本发明采用按拉盖尔函数阶数步进的时域方法，在时间后期，散射场也是稳定的。

3、可以获取任意形状的均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面；电磁理论只能解决规则形状的双各向同性媒质物体的电磁散射问题，本发明提出的方法克服了电磁理论适用的局限性，本发明提出的方法可以用于获取任意形状的均匀双各向同性媒质物体的电磁散射特性，通用性强。

附图说明

图1是RWG基函数示意图；

图2是双各向同性圆球电磁散射示意图；

图3是等效电流和等效磁流的结果图；

图4是等效电流幅值和等效磁流幅值的结果图；

图5是圆球散射的前向散射场的归一化电场分量结果图；

图6是圆球散射的前向主极化和前向交叉极化的双站雷达散射截面结果图；

图7是圆球散射的主极化双站雷达散射截面结果图；

图8是圆球散射的交叉极化双站雷达散射截面结果图；

图9是双各向同性圆柱电磁散射示意图；

图10是圆柱散射的主极化双站雷达散射截面结果图；

图11是圆柱散射的交叉极化双站雷达散射截面结果图。

具体实施方案

下面结合附图对本发明作进一步详细的说明，但本发明要求保护的范围并不局限于下例表述的范围。

实施例1

如图2所示，双各向同性媒质圆球2，背景介质是自由空间1中，雷达入射电磁波3沿Z轴方向入射；入射电磁波采用高斯脉冲形式：

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=4{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_0{e}^{-{\mathrm{\&gamma;}}^2}/\left(\sqrt{\mathrm{\&pi;}}T\right)$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\hat{k}\&times;{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)/{\mathrm{\&eta;}}_0$

其中E₀是入射波电场幅度，

是沿传播方向的单位矢量；

T是脉冲的时间宽度；ct₀表示时间延迟，η₀是自由空间波阻抗；自由空间的介电常数为ε₁＝1.0，磁导率为μ₁＝1.0；圆球的相对介电常数ε_r＝4.0，相对磁导率μ_r＝1.0；入射波的高斯脉冲宽度T＝0.51m，时延ct₀＝0.11m，单位1m表示电磁波传播1米所用的时间。采用矩量法中的三角形面剖分法，对圆球表面S进行网格剖分；圆球表面S剖分成616个三角形面元和924个未知量，N＝924；面电源矢量函数

和面磁源矢量函数

用基函数扩展，设置s＝1.5×10¹¹，M＝120；双各向同性媒质物体电磁场分解为左旋极化波场与右旋极化波场；面电源矢量函数为

和面磁源矢量函数为

分解为右旋极化波面电源矢量函数

右旋极化波面磁源矢量函数

与左旋极化波面电源矢量函数

左旋极化波面磁源矢量函数

由均匀双各向同性圆球的本构参数κ_r＝0.3，χ_r＝0.5，得到圆球2中的左旋极化波场与右旋极化波场的相关参数的值；对积分微分算符L和K应用伽略金方法，空间测试采用RWG基函数

(m＝0，1，2...N)，时间测试函数采用φ_i(st)(i＝0，1，2...M)，并计算空间积分项空间积分项

和

以及时间积分项

m∈(0，N)，n∈(0，N)，i∈(0，M)，j∈(0，M)；根据电磁场边界条件，在圆球表面S使用PMCHWT公式，并将扩展后的面电源函数

和面磁源函数

代入公式，得到2N×2N矩阵方程：

$\left[\begin{array}{cc}{\left[Z{E}_{\mathrm{mn}}^E\right]}_{N\&times;N}& {\left[{\mathrm{ZE}}_{\mathrm{mn}}^H\right]}_{N\&times;N}\\ {\left[{\mathrm{ZH}}_{\mathrm{mn}}^E\right]}_{N\&times;N}& {\left[{\mathrm{ZH}}_{\mathrm{mn}}^H\right]}_{N\&times;N}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\left[e_{n,i}\right]}_{N\&times;1}\\ {\left[h_{n,i}\right]}_{N\&times;1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\left[{\mathrm{\&gamma;}}_{m,i}^E\right]}_{N\&times;1}\\ {\left[{\mathrm{\&gamma;}}_{m,i}^H\right]}_{N\&times;1}\end{array}\right]$

矩阵方程按照拉盖尔函数的阶数i递推求解未知数e_n，j和h_n，j；初始i＝0，

和

都等于0，求出e_n，j，h_n，j(j＝0，n＝0，1，2，..N)；由于

和

的值只与e_n，j，h_n，j(j＜i，n＝0，1，2，...N)有关，对i进行递推，逐步求出所有e_n，j，h_n，j(n＝n＝0，1，2，...N；j＝0，1，2，...M)；为了提高计算效率，求解矩阵方程之前，可以先对系数矩阵进行LU分解，并将分解后的矩阵存储；将所有的空间积分项与时间积分项

相乘，并将结果存储；在递推求解矩阵方程时，直接调用已经计算好的存储值，从而节省计算时间；用计算机编程求出面电源系数e_n，j和面磁源系数h_n，j，从而得到面电源

和面磁源进一步可以获得圆球表面的等效面电流

和等效面磁流

如图3是圆球表面等效电流与等效磁流计算结果图，横轴表示时间，左纵轴表示等效电流，右纵轴表示等效磁流；实线表示实部，虚线表示虚部；图3所示的圆球表面上的点(0.0096，0.0022，0.0005)的等效面电流和等效面磁流

随时间t的增加不会增大；图4是圆球表面等效电流与等效磁流的幅度计算结果图，横轴表示时间，纵轴表示幅度；图4表明圆球表面上的点(0.0096，0.0022，0.0005)的等效面电流

和等效面磁流

的幅值是逐渐减小的，由此可见，本方法获取的结果在时间后期也是稳定的，不会出现晚时震荡现象；根据散射场与面电源

和面磁源

的关系，可以获得散射场的电场分量

和磁场分量

的值，应用快速傅里叶变换得到散射场的频域响应；如图5是前向散射场的归一化电场瞬态仿真结果图，横轴表示时间，纵轴表示归一化的前向散射场的瞬态值，结果表前向散射场的归一化电场的θ分量和φ分量都是稳定的；图6是双站雷达散射截面的仿真结果图，横轴表示频率，纵轴表示雷达散射截面，仿真结果表明0到9GHz的主极化和交叉极化的前向双站雷达散射截面的计算结果与解析方法的精确值一致；图7是主极化的双站雷达散射截面计算结果图，横轴表示θ角度，纵轴表示雷达散射截面，图示表明4GHz和6GHz的主极化的双站雷达散射截面的计算结果与解析方法的精确值一致；图8是交叉极化的双站雷达散射截面计算结果图，横轴表示θ角度，纵轴表示雷达散射截面，仿真结果表明4GHz和6GHz的交叉极化的双站雷达散射截面的计算结果与精确值一致；通过上述与理论分析的精确值比较，验证了所获得的双向各向同性媒质物体的散射场，雷达散射截面是准确的。

实施例2

如图9所示，对均匀双各向同性圆柱体进行电磁散射，检测散射场的雷达散射截面；圆柱体的半径为0.02m，高度为0.04m，相对介电常数ε_r＝4.0，相对磁导率μ_r＝1.0，κ_r＝0.3，χ_r＝0.5；雷达入射电磁波与实施例1相同；采用三角形网格剖分，圆柱体表面剖分成610个三角形小片和915个未知量；M取值为120。将本发明的时域积分法的计算结果与频率积分法进行比较：图10是圆柱散射的主极化的双站雷达散射截面，横轴表示θ角度，纵轴表示雷达散射截面；图10表明2.0GHz，4.0GHz的主极化的双站雷达散射截面的计算结果与频域积分法结果一致；图11是圆柱散射的交叉极化的双站雷达散射截面，横轴表示θ角度，纵轴表示雷达散射截面；图11表明2.0GHz，4.0GHz的交叉极化的双站雷达散射截面的计算结果与频域积分法基本一致，在4.0GHz，θ＝60度附近，两种计算方法的结果有微小的不同。

实施表明，本发明提出的一种按照拉盖尔函数阶数步进的双各向同性媒质电磁散射的时域积分法，可以计算任意形状的均匀双各向同性媒质物体的电磁散射问题，为双各向同性媒质物体的雷达散射截面监测提供了一种新的方法。以上所述仅为本发明的仿真例子而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.均匀双各向同性媒质物体的雷达散射截面获取方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤(1)均匀双各向同性媒质物体在均匀背景介质中，背景介质的介电常数为ε₁，磁导率为μ₁，均匀双各向同性媒质物体的介电常数为ε₂，磁导率为μ₂；电磁波从背景介质中入射，被均匀双各向同性媒质物体散射；根据均匀双各向同性媒质物体的几何尺寸及其空间位置信息，建立均匀双各向同性媒质物体的几何模型，应用矩量法的三角形表面剖分方法，将其表面S剖分为无缝连接的多个三角形面元；

步骤(2)均匀双各向同性媒质物体表面S的面电源矢量函数

和面磁源矢量函数

的空间域基函数采用RWG基函数：

$\stackrel{\&RightArrow;}{e}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_n\left(t\right){\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{h}(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t)=\underset{n=0}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_n\left(t\right){\stackrel{\&RightArrow;}{f}}_n\left(\stackrel{\&RightArrow;}{r}\right)$

e_n(t)和h_n(t)是时间系数，N是均匀双各向同性媒质物体表面三角形剖分之后的公共边数，

是RWG基函数；时间域的基函数采用φ_j(st)＝e^-st/2L_j(st)：

$e_n\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_{n,j}{\mathrm{\&phi;}}_j\left(\mathrm{st}\right)$

$h_n\left(t\right)=\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_{n,j}{\mathrm{\&phi;}}_j\left(\mathrm{st}\right)$

L_j(st)是带有幅度因子s的j阶拉盖尔函数，M是时间基函数的最大阶数，e_n，j是电源矢量系数，h_n，j是磁源矢量系数；

步骤(3)在均匀双各向同性媒质物体内部电磁场分解为左旋极化波场与右旋极化波场：

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_d={\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{+}+{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{-}$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_d={\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{+}+{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{-}$

其中，

和

分别是均匀双各向同性媒质物体内部电磁场的电场分量和磁场分量，

和分别是右旋极化波场的电场分量和磁场分量；

和

分别是左旋极化波场的电场分量和磁场分量；根据电磁场边界条件，在均匀双各向同性媒质物体表面上的切向电磁场连续，得到边界积分方程

${\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t){|}_{\tan }=-{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}^s(\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{h}){|}_{\tan }+\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{E}}_{\&PlusMinus;}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{\&PlusMinus;},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{\&PlusMinus;}){|}_{\tan }$

${\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^i(\stackrel{\&RightArrow;}{r},t){|}_{\tan }=-{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}^s(\stackrel{\&RightArrow;}{e},\stackrel{\&RightArrow;}{h}){|}_{\tan }+\underset{\&PlusMinus;}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{\&RightArrow;}{H}}_{\&PlusMinus;}({\stackrel{\&RightArrow;}{e}}_{\&PlusMinus;},{\stackrel{\&RightArrow;}{h}}_{\&PlusMinus;}){|}_{\tan }$

其中，

和

分别是入射电磁波的电场分量和磁场分量；和分别是散射场的电场分量和磁场分量；|_tan表示场量取沿散射体表面的切向方向的分量。对边界积分方程应用伽略金方法，得到2N*2N维的矩阵方程，求解矩阵方程得到e_n，j和h_n，j；进一步得到面电源矢量函数

和面磁源矢量函数

步骤(4)根据等效原理，由面电源矢量函数

和面磁源矢量函数得到观察点的电磁散射，再应用傅里叶变换得到雷达散射截面。

2.根据权利要求1所述的均匀双各向同性媒质物体的雷达截面获取方法，其特征在于，在双各向同性媒质物体内电磁场分解为左旋极化波场与右旋极化波场，左旋极化波场与右旋极化波场相互独立，同时都满足麦克斯韦方程组，有各自的介电常数、磁导率和波阻抗。

3.根据权利要求1所述的均匀双各向同性媒质物体的雷达截面获取方法，其特征在于，步骤(3)所述边界积分方程是在均匀双各向同性媒质物体表面上应用PMCHWT公式得到的边界积分方程。

4.根据权利要求1所述的均匀双各向同性媒质物体的雷达截面获取方法，其特征在于，步骤(3)对边界积分方程应用伽略金方法，包括对算符L与算符K的空间检验与时间检验。

5.根据权利要求1所述的均匀双各向同性媒质物体的雷达截面获取方法，其特征在于，步骤(3)中的矩阵方程按照拉盖尔函数的阶数步进求解面电源矢量函数的系数和面磁源矢量函数的系数。

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