CN104778293B - 非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法。高阶曲四面体单元作为剖分单元被用来模拟物体形状，在每一个四面体内拉格朗日插值多项式作为电流的展开式，并且将高斯积分点作为拉格朗日插值点，保证了体电流表示形式具有高阶精度。针对物体的非均匀特性，仍然可以采用高阶基函数进行分析，高阶基函数的使用使得本发明方法相对于传统的基于SWG基函数的方法，消耗更低的计算内存和更少的计算时间。

Description

非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法

技术领域

本发明属于目标电磁散射特性的快速计算技术，特别是一种非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法。

背景技术

三维介质体的电磁散射的快速计算在实际应用中具有重要的作用，如生物体的电磁建模、生物学成像以及地下目标探测等。对于均匀或者分段均匀的介质体的电磁散射可以利用基于等效原理的表面积分方程（P.Yla-Oijala and M.Taskinen.Well-conditionedmuller formulation for electromagnetic scattering by dielectric objects.IEEETrans.Antennas Propagat.,2005,53(10):3316-3323）来计算，该方法的未知电流/磁流分布在不同媒质的分界面上,具有未知量少的特点，但是该方法不适用于非均匀介质体的散射问题。在实际应用中，介质目标经常具有非均匀特性，电场体积分方程（D.H.Schaubert,D.R.Wilton,A.W.Glisson,A tetrahedral modeling method for electromagneticscattering by arbitrary shaped inhomogeneous dielectric bodies,IEEETrans.Antennas Propagat.，1984,32(1):77–85）通常被用来解决这类目标的电磁散射问题。体积分方程具有建模简单，计算精度高，且不受散射体材料及所处环境限制，有很高的灵活性，因此在分析非均匀介质体的电磁散射问题中，体积分方程方法得到了广泛的应用。

但是，体积分方程方法由于需要对散射体进行体剖分，未知量大，在实际计算中需求的计算资源多。高阶基函数（M.M.Botha,“Fully hierarchical divergence-conformingbasis functions on tetrahedral cells with applications,”Int.J.Numer.Meth.Engng.,2007，71:127-148,.）相对于普通的基函数不仅具有高阶的误差收敛精度，而且在相同的计算精度下消耗更少的计算资源。因此，高阶基函数在体积分方程方法中具有广泛的应用前景。然而，对于非均匀介质体其固有的不均匀特性，导致即使可以使用高阶基函数，带来的计算资源节省也是有限的。因为传统的高阶基函数定义中，每个基函数内的介质认为是均匀的，而由于散射体的非均匀特性导致剖分尺寸不能变大，这限制了高阶基函数的性能。因此传统的高阶基函数分析介电参数满足任意函数分布的散射体及非均匀散射体时，效率受到了限制。

发明内容

本发明的目的在于提供一种非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，从而实现快速得到电磁散射特性参数的方法。

实现本发明目的的技术方案为：一种非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，步骤如下：

第一步，电磁散射积分方程的建立，根据电磁散射的基本理论，目标上的总电场等于入射场与散射场之和，入射电场为已知激励，均匀平面波通常被用来作为入射电场，散射电场可以用待求的电流密度来表示。

第二步，对介电参数满足任意函数分布目标进行高阶曲四面体单元剖分，采用十点的二阶曲四面体单元进行建模，将曲四面体单元所处空间进行空间映射转换，使曲四面体单元转换为标准的四面体单元，方便求积分。

第三步，高阶矢量基函数的形成，在映射空间中，给出对应阶数的多项式展开形式，采用高斯积分点作为拉格朗日插值点，插值点的数目即为多项式展开空间的维数，当插值多项式和插值点位置确定后，可以得到拉格朗日插值算子。

第四步，点测试形成待求解的矩阵方程，根据测试单元与源单元的空间距离采用不同的计算方式：远作用是直接按照公式计算，近作用时通过高斯定理降低积分内核的震荡性后计算，对于存在奇异性的情形采用Duffy进行处理。

第五步，矩阵方程求解以及电磁散射参数的计算。

本发明与现有技术相比，其显著优点：（1）对剖分网格要求低，建模方便。本发明中使用了基于点的基函数，网格单元之间没有电流连续性要求，所以对网格要求低。（2）高阶基函数的使用，节省了计算资源。针对物体的非均匀特性，传统的高阶基函数很难将剖分尺寸变大，本发明方法中高阶基函数不受物体非均匀特性的限制。对于散射体媒质的非均匀特性，仍能采用基于大剖分尺寸的高阶基函数进行分析，大大减少了求解问题的未知量，节省了计算资源。（3）阻抗矩阵形成速度快，采用点匹配测试待求方程，相对于传统的伽辽金测试，在不损失计算精度的前提下，能快速形成阻抗矩阵。

附图说明

图1为本发明r空间与局部(u,v,w)空间转换示意图。

图2为本发明介电参数满足任意函数分布目标的结构示意图。

图3为本发明双站雷达散射截面曲线示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

本发明一种非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，步骤如下：

第一步，建立体电场积分方程。

根据电磁散射的基本理论，目标上的总电场等于入射场与散射场之和，入射电场为已知激励，均匀平面波通常被用来作为入射电场，散射电场可以用待求的电流密度来表示，可以得到电场积分方程

其中，J是待求的体电流密度，E^inc是已知的入射电场.积分内核是三维自由空间并矢格林函数，表示形式如下，

（2）式中的G(r,r′)=e^-jkR/(4πR)是自由空间三维标量格林函数,k₀是自由空间的波数.R=|r-r′|是观察点r和源点r′之间的距离,是单位并矢。

第二步，对介电参数满足任意函数分布目标进行高阶曲四面体单元剖分。

曲四面体单元具有较高的高阶建模精度，本发明中采用十点的二阶曲四面体单元进行建模。当散射体被曲四面体单元离散后，散射体内的电流可以表示如下，

其中，J_e(r)代表第e个单元内的电流，E是总的四面体单元数目，那么四面体内的电流可以用拉格朗日插值算子表示如下，

r_i是插值点,I_e是第e个单元上的插值点数目,L_(i,e)是插值算子.

曲四面体单元可以很好的模拟散射体的形状，但是不容易在曲四面体内直接进行数值积分，所以需要将r空间内的曲四面体单元映射到一个局部空间(u,v,w)中，如图1所示。在这个局部空间(u,v,w)中，待求电流可以写成如下的形式，

其中，u,v和w是(u,v,w)空间中三个方向的单位矢量,是雅克比因子，他们具有如下的表示形式，

第三步，高阶矢量基函数的形成。

在(u,v,w)空间中，n阶多项式可以表示成如下的形式，

空间的维数由下式决定，

当n＝0时,这种基函数就是经典的脉冲基函数；当n＝1时,多项式的形式为：当n＝2时,由于没有十点的高斯积分与之对应,所以本发明中采用了十一项多项式表示二维空间，多项式的形式为{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,uvw}.当n＝3时,同n＝2具有类似的情况，没有二十点的高斯积分与之对应，所以本发明中采用了二十四项多项式表示三维空间，多项式的形式为

{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,u³,v³,w³,u²v,u²w,uv²,uw²,v²w,vw²,uvw,u⁴,v⁴,w⁴,uv²w} (10)

表1中列出了零阶、一阶、二阶和三阶的体矢量基函数以及它们所对应的体高斯积分准则。

基函数的阶数

插值点的个数

积分准则的精度

每个单元内未知量个数

0	1	1	3
				1	4	2	12
2	11	4	33
				3	24	6	72

表1

当多项式和四面体内插值点被确定后,L_i(u,v,w)可以求解下面矩阵求得，

其中，(u_i,v_i,w_i)是插值点,m是一个四面体内所有插值点的个数。

第四步，点测试形成待求解的矩阵方程。

将电流展开形式带入方程（1），并且运用点测试，可以得到矩阵方程，

其中，

Δe表示第e个体四面体单元，(j,f)表示f单元的第j个测试点。

当第e个体四面体单元与第f个体四面体单元距离超过两个单元以外，A_αβ可以直接使用高斯积分准则得到，

其中，高斯积分准则中的权系数.

当第e个体四面体单元与第f个体四面体单元距离超过两个单元以内，但是不重合时，本发明中刚采用高斯定理，消去格林函数中的一个梯度算符，那么（15）式可以变为，

其中，表示Δe体单元的表面，是面单位外法向量。

当第e个体四面体单元与第f个体四面体单元重合时,(16)式中国的前两个积分项是奇异的，可以使用Duffy变换直接求解。第三项积分是非奇异的，可以采用高阶的高斯积分准则直接算出此项积分值。由于δ函数的存在，使得仅有满足e＝f和i＝j的条件下，式(13)中的第一项是非零的。

第五步，求解矩阵方程，得到电流系数，再根据互易定理由电流系数计算电磁散射参量。

为了验证本发明方法的正确性与有效性，下面给出了散射体媒质介电参数满足一定函数分布非均匀介质散射体的体积分Nystrom方法计算雷达散射截面的示例，并且计算结果均与传统算法进行了比较，吻合得很好。

两个边长0.5米立方体，沿着X方向排列，间隔1.5米，如图2所示。入射波频率300MHz，沿着正Z方向入射，X方向极化波，物体的相对介电参数满足ε(x,y,z)＝1+(x-1)²+y²的分布，为了验证本发明方法的正确性，采用基于SWG基函数的传统体积分方法作为对比，为了保证精度，该方法采用0.06米的剖分尺寸均匀剖分，总未知量为24962，本发明方法按0.25米剖分，未知量为1584，从图3中可以看出两种方法计算的结果吻合的很好，并且由于本发明方法使用了较少的未知量，所以本发明发方法在计算内存和计算时间的需求上相对于传统的方法具有较大的优势。

Claims (7)

1.一种非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于步骤如下：

第一步，令均匀平面波照射到一个非均匀介质散射体上，散射体上的总电场等于入射场与散射场之和，入射电场为已知激励，散射电场用待求的电流密度来表示，得出电场积分方程；

第二步，对介电参数满足任意函数分布目标进行高阶曲四面体单元剖分；当散射体被曲四面体单元离散后，散射体内的电流表示如下，

其中，J(r)是散射体内的电流，J_e(r)代表第e个单元内的电流，E是总的四面体单元数目，四面体内的电流用拉格朗日插值算子表示如下，

r_i是插值点,I_e是第e个单元上的插值点数目,L_(i,e)是拉格朗日插值算子；

第三步，高阶矢量基函数的形成；在(u,v,w)空间中，n阶多项式表示为，

空间的维数由下式决定，

当多项式和四面体内插值点被确定后,计算出拉格朗日插值算子L_(i,e)；

第四步，点测试形成待求解的矩阵方程；将电流展开形式带入电场积分方程，运用点测试，得到矩阵方程；

第五步，求解矩阵方程，得到电流系数，再根据互易定理由电流系数计算电磁散射参量。

2.根据权利要求1所述的非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于所述步骤一中：

电场积分方程的形式如下，

其中，J是待求的体电流密度，E^inc是已知的入射电场，积分内核是三维自由空间并矢格林函数，表示形式如下

(6)式中的G(r,r)＝e^-jkR/(4πR)是自由空间三维标量格林函数,k₀是自由空间的波数.R＝|r-r′|是观察点r和源点r′之间的距离,是单位并矢。

3.根据权利要求1所述的非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于，所述步骤二中离散后的电流在局部空间(u,v,w)中具有如下的表示形式：

其中，u,v和w是(u,v,w)空间中三个方向的单位矢量,θ_l是雅克比因子，具有如下的表示形式，

θ＝u·(w×v) (9) 。

4.根据权利要求1所述的非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于所述步骤三中：

n取不同的值时，多项式的形式不同；

当n＝0时,这种基函数就是经典的脉冲基函数；

当n＝1时,多项式的形式为：

当n＝2时,多项式形式为：{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,uvw}；

当n＝3时,多项式形式为：

{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,u³,v³,w³,u²v,u²w,uv²,uw²,v²w,vw²,uvw,u⁴,v⁴,w⁴,uv²w}。 (10)

5.根据权利要求1所述的非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于拉格朗日插值算子的具体计算方式如下：

多项式和四面体内插值点被确定后,求解下面的矩阵，得到局部空间(u,v,w)中的拉格朗日插值算子L_i(u,v,w)，

其中，(u_i,v_i,w_i)是插值点,m是一个四面体内所有插值点的个数。

6.根据权利要求1所述的非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于所述步骤四中：

采用点匹配后，矩阵方程表示形式如下，

其中，

Δe表示第e个体四面体单元，(j,f)表示f单元的第j个测试点，α表示测试基函数，β表示源基函数，δ表示脉冲函数。

7.根据权利要求6所述的非均匀介质目标电磁散射的体积分Nystrom分析方法，其特征在于所述步骤四中，

当第e个体四面体单元与第f个体四面体单元距离超过两个单元以外，A_αβ直接使用高斯积分准则得到，

其中，高斯积分准则中的权系数；

当第e个体四面体单元与第f个体四面体单元距离在两个单元以内，但是不重合时，采用高斯定理，消去格林函数中的一个梯度算符，(15)式变为，

其中，表示Δe体单元的表面，是面单位外法向量；

当第e个体四面体单元与第f个体四面体单元重合时,(16)式中的前两个积分项是奇异的，使用Duffy变换直接求解；第三项积分是非奇异的，采用高阶的高斯积分准则直接算出此项积分值；由于δ函数的存在，使得仅有满足e＝f和i＝j的条件下，式(13)中的第一项是非零的。