CN105955924A - 一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种快速求解局部变化导体目标的电磁散射特性的方法，首先，求出目标总阻抗矩阵及其逆矩阵，并将其表示成分块矩阵的形式；然后，利用分块矩阵求逆公式，得到剩余未变化部分的阻抗矩阵及其逆矩阵的关系式；接着，利用Sherman‑Morrison‑Woodbury公式，将剩余部分的感应电流矩阵表示成与总阻抗矩阵的逆矩阵和电压矩阵相关的形式。本发明通过快速求解导体目标减去一小部分后剩余未变化部分的感应电流的方法，有效的提升了分析目标电磁散射特性的效率，适合于目标发生多次局部变化的电磁问题的分析，比如求解飞机起飞起落架收起前后的电磁散射问题。

Description

一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法

技术领域：

本发明涉及一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，尤其涉及一种目标导体局部变化后阻抗矩阵快速求逆的技术。

背景技术：

电大目标的电磁散射问题一直受到国内外学者的广泛关注。矩量法(Method ofMoments,MoM)将电磁积分方程转化成矩阵方程，是计算目标散射特性的有效途径。但是传统矩量法的直接求解的复杂度为O(N³)，这里N是未知量的数目，如此高的复杂度限制着传统矩量法在计算电大目标的应用。

在实际电磁工程问题中,经常需要对模型形状做多次局部修改，而每次修改后都需要对其进行计算。这样实际上做了很多重复的计算，因为改变的部分远远小于总体。矩量法中可以采用局部求解的方法来解决这种繁琐重复计算的问题，从而提高求解速度。所谓局部求解，即先计算目标不变的结构的阻抗矩阵，这一部分比较大，只需要计算一次。之后计算变化结构的自阻抗矩阵以及它们与不变结构的互阻抗矩阵。但是局部求解仅限于加法式的，就是一个不变的母体结构叠加上一个参数改变的自由体结构，比如直升机机体和旋转的机翼。然而在实际问题中还有一类是需要做减法的，比如飞机起飞前以及起飞时起落架是放下来的，起飞后起落架就收起，在研究这前后两种情况的散射场时需要用到本发明提出的方法。

即先计算起落架放下来时飞机的阻抗矩阵逆矩阵Z^-1，之后起落架收起后飞机阻抗矩阵的逆矩阵的信息可以通过Z^-1得到，这样只需要计算一次Z^-1，而不需要对进行计算。

发明内容：

发明目的：本发明解决的是快速分析目标形状减去一个小部分之后电磁散射的问题，本发明提出了一种高效求解目标发生局部变化的求解方法。该方法可以显著降低矩量法计算电大目标电磁散射的计算时间消耗。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：

一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于，步骤如下：

第1步：对导体目标的表面用三角形面片进行离散，在剖分得到的三角形网格的公共边上构造RWG基函数；

第2步：在导体目标表面根据边界条件建立表面积分方程；

第3步：用定义的RWG基函数对表面积分方程进行离散，计算出导体目标总阻抗矩阵Z和电压矩阵，并求出导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1；

第4步：根据要在原导体目标形状上减去的自由体部分，将导体目标总阻抗矩阵分块

$Z=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{rr}& Z_{rf}\\ Z_{fr}& Z_{ff}\end{array}\right]$

其中，Z_ff为自由体的阻抗矩阵，Z_rr为剩余部分的阻抗矩阵，Z_rf和Z_fr为剩余部分和自由体的互阻抗矩阵；

第5步：根据分块矩阵求逆公式和Sherman-Morrison-Woodbury公式，用导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵表示出减去自由体后剩余部分的阻抗矩阵的逆矩阵；

第6步：利用第5步得出的结果，将剩余部分的感应电流矩阵表示成与导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵和剩余部分的电压矩阵相关的形式，由此利用剩余部分的感应电流矩阵解出剩余部分的远场雷达散射截面RCS的值。

本发明采用上述技术方案具有如下有益效果：

1.高效数值仿真方法：由于本发明提出的局部求解方法在目标结构多次改变的情况下只需要计算一次目标阻抗矩阵的逆矩阵，目的是降低了计算复杂度，进而减少矩量法的计算时间需求。

2.应用范围广泛：本发明提出的局部求解方法可以应用到多种电磁仿真问题，例如飞机起飞前后的电磁散射问题，飞机舱门打开前后的电磁仿真。

附图说明：

图1是本发明解决的导体目标的电磁散射问题的示意图。

图2是本发明阻抗矩阵分块示意图。

图3是本发明RWG基函数示意图。

图4是本发明计算的模型示意图以及其网格剖分图。

图5是本发明正方体模型RCS计算结果。

具体实施方案：

下面结合附图对技术方案的实施作进一步的详细描述：

如附图1所示，本发明主要解决多次局部修改的导体目标电磁散射的快速分析问题，比如飞机起飞前以及起飞时起落架是放下来的，起飞后起落架就收起。本发明称之一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其包括以下6个步骤：

第1步：用三角形面片对导体目标的表面进行离散，三角形面片的平均边长为0.1λ，λ为入射平面波的波长。在三角形网格的公共边上定义的RWG基函数f_n(r)：

$f_n\left(r\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{l_n}{2A_n^{+}}{\mathrm{\ρ}}_n^{+}\left(r\right),r\∈T_n^{+}\\ \frac{l_n}{2A_n^{-}}{\mathrm{\ρ}}_n^{-}\left(r\right),r\∈T_n^{-}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，和表示第n个基函数所对应的正三角形面片和负三角形面片；l_n表示和公共边的长度；和分别表示正、负三角形面片的面积；是从的自由顶点指向上某点r的矢量，是从上某点指向自由顶点的矢量；其中，自由顶点指该三角形中不属于公共边的定点，电流参考方向由流向

第2步：在导体目标表面建立表面积分方程：

$\hat{n}\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×\left({\mathrm{j\ω\μ}}_0{\∫}_{s}G\right(r,r^{\′}\left)J\right(r^{\′}){\mathrm{ds}}^{\′}-\▿\frac{1}{{\mathrm{j\ω\ϵ}}_0}{\∫}_{s}G(r,r^{\′}){\▿}_s^{\′}\·J(r^{\′}\left){\mathrm{ds}}^{\′}\right)=\hat{n}\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×E^i\left(r\right)---\left(2\right)$

其中，为单位矢量，j为虚数单位，k为波数，μ₀为自由空间磁导率，ε₀为自由空间电导率，为梯度算子，为散度算子，J(r′)为导体目标上任一源点r′处的感应电流，G(r,r′)＝e^-jk|r-r′|/(4π|r-r′|)为自由空间格林函数，Eⁱ(r)是入射平面波电场，r是任一场点位置矢量，r′是任一源点位置矢量。

第3步：用定义的RWG基函数f_n(r)对表面积分方程进行离散，导体表面上的感应电流可以近似展开为

$J\left(r\right)\≈\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{I}_n{f}_n\left(r\right)---\left(3\right)$

其中，f_n(r)表示第n个RWG基函数，I_n表示与第n个RWG基函数所对应的系数，N是基函数的数目；

将(3)代入到(2)，然后利用矩量法(MoM)得到阻抗矩阵方程

ZI＝V (4)

这里，Z表示导体目标总阻抗矩阵，V表示电压矩阵，I表示待求解的电流系数，公式(3)里的I_n是I中第n行的元素。然后求出导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1。

Z中第p行第q列阻抗矩阵元素为：

$z_{pq}=jk\mathrm{\η}{\∫}_{T_p^{\±}}{\∫}_{T_q^{\±}}G(r,r^{,})\left(f_p\right(r)\·f_q(r^{\′})-\frac{1}{k^2}{\▿}_s\·f_p(r){\▿}_s^{\′}\·f_q\left(r^{\′}\right)){\mathrm{ds}}^{\′}ds---\left(5\right)$

其中，p和q表示第p和第q个基函数的编号，1≤p≤N，1≤q≤N。

V中第p行电压元素表示为：

$v_p={\∫}_{T_p^{\±}}{f}_p\left(r\right)\·E^i\left(r\right)ds---\left(6\right)$

其中，和表示第p个基函数f_p(r)所对应的正三角形面片和负三角形面片；

第4步：根据要减去的部分，将导体目标总阻抗矩阵分块：

$Z=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{rr}& Z_{rf}\\ Z_{fr}& Z_{ff}\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，下标f代表将要减去的自由体，下标r代表减去自由体后目标剩余部分；Z_ff为自由体的阻抗矩阵，其维数为m×m，m＜＜N；Z_rr为剩余部分的阻抗矩阵，其维数为(N-m)×(N-m)，Z_rf和Z_fr为剩余部分和自由体的互阻抗矩阵，维数分别为(N-m)×m和m×(N-m)；

根据分块矩阵求逆公式，导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1可以表示为：

$Z^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{rr}& Z_{rf}\\ Z_{fr}& Z_{ff}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_{rr}& {\tilde{Z}}_{rf}\\ {\tilde{Z}}_{fr}& {\tilde{Z}}_{ff}\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，

${\tilde{Z}}_{rr}=Z_{rr}^{-1}+Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}---\left(9\right)$

${\tilde{Z}}_{rf}=-Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}---\left(10\right)$

${\tilde{Z}}_{fr}=-{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}---\left(11\right)$

${\tilde{Z}}_{ff}={(Z_{ff}-Z_{fr}{Z}_{rr}^{-1}{Z}_{rf})}^{-1}---\left(12\right)$

第5步：将的表达式(10)带入到的表达式(9)中，得出：

$\begin{array}{c}{\tilde{Z}}_{rr}=Z_{rr}^{-1}+Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}\\ =Z_{rr}^{-1}-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}\\ =(1-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr})Z_{rr}^{-1}\end{array}---\left(13\right)$

其中，1为单位矩阵，所以得出，

$Z_{rr}^{-1}={(1-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr})}^{-1}{\tilde{Z}}_{rr}---\left(14\right)$

根据Sherman-Morrison-Woodbury公式，有所以(14)式变为：

$\begin{array}{c}{Z}_{rr}^{-1}={(1-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr})}^{-1}{\tilde{Z}}_{rr}\\ ={\tilde{Z}}_{rr}+{\tilde{Z}}_{rf}{(1-Z_{fr}{\tilde{Z}}_{rf})}^{-1}{Z}_{fr}{\tilde{Z}}_{rr}\end{array}---\left(15\right)$

第6步：利用式(15)求解矩阵方程组Z_rrI_r＝V_r，其中，Z_rr为剩余部分的阻抗矩阵，V_r为剩余部分的电压矩阵，得到剩余部分电流展开系数I_r：

$I_r=Z_{rr}^{-1}{V}_r={\tilde{Z}}_{rr}{V}_r+{\tilde{Z}}_{rf}{(1-Z_{fr}{\tilde{Z}}_{rf})}^{-1}{Z}_{fr}{\tilde{Z}}_{rr}{V}_r---\left(16\right)$

可见，利用式(16)求解I_r所需要的量均可以通过已知的导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1和V_r求得。

最终利用感应电流系数I_r解出剩余目标的远场雷达散射截面RCS，表示为：

$RCS=\underset{r\→\mathrm{\∞}}{\lim }4{\mathrm{\πr}}^2\frac{|E^s{|}^2}{|E^i{|}^2}---\left(17\right)$

其中，E^s为远场散射场，Eⁱ为入射场。

如果需要在最初的导体目标上减去一个不同的小自由体，按照第4步到第6步的步骤重新计算，即在多次分析计算中，只需要计算一次目标整体阻抗矩阵的逆Z^-1，之后无论从目标整体中减去的自由体是什么，目标剩余部分表面的感应电流都能利用第4步到第6步的步骤快速得到。

下面以一具体实例对本发明方法作进一步说明：

如附图4中的插图所示，本发明以两个金属立方体的组合体的散射问题为研究对象加以详细论述，两个立方体的边长分别为1.5m和0.3m。为了方便，减去的自由体设置为0.3m的小立方体，其位于大立方体上方(方向)0.5m处，最外侧的侧边与大正方体最外侧侧边在一条直线上。入射波的工作频率为300MHz，入射方向为方向，入射波的电场方向为下面按照技术方案的过程实现对组合体减去小立方体之后的电磁散射问题进行高效求解。整个计算过程在个人电脑上完成，其配置为Intel(R)Pentium(R)Dual-Core CPUE5500主频2.8GHz，(本算例只使用了一个核)，2.0GB RAM。

首先根据第1～3步，将这整个理想导体离散成3144个三角形，三角形的边长约为0.1m。共得到4716个RWG基函数。生成目标导体整体的阻抗矩阵，求其逆矩阵，并存于内存。

然后根据第4～6步，确定待减去的自由立方体的未知量为108个，并根据公式(16)计算出剩余部分的感应电流系数，最终求出剩余部分的RCS。

最终解出电磁散射的远场雷达散射截面(附图5)。从附图5可以看出，用本方案提出的方法与用传统矩量法求解出的结果吻合得很好。在已经求解组合体散射问题的基础上，传统矩量法需要重新计算剩余部分的阻抗矩阵的逆，而本发明不需要直接计算剩余部分逆，其信息可以利用已经求得的组合体的逆得到。表1给出了只计算剩余部分的电磁散射问题的时间比较，没有比较求原组合体目标散射问题的时间。可以看出在已经计算出原目标的基础上，本发明计算剩余部分电磁散射的效率显著比传统方法高。值得说明的是，对更大的问题，本发明实现的时间缩减会变得更加明显。虽然在本具体实例中，目标的形状只发生了一次变化，然而本方案提出的快速求解局部变化问题的方法非常适合于计算目标局部发生多次变化的电磁散射问题。

表1

	计算时间(s)
		传统方法	95
本方案	10

Claims (9)

1.一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于，步骤如下：

第1步：对导体目标的表面用三角形面片进行离散，在剖分得到的三角形网格的公共边上构造RWG基函数；

第2步：在导体目标表面根据边界条件建立表面积分方程；

第3步：用定义的RWG基函数对表面积分方程进行离散，计算出导体目标总阻抗矩阵Z和电压矩阵，并求出导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1；

第4步：根据要在原导体目标形状上减去的自由体部分，将导体目标总阻抗矩阵分块

$Z=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{rr}& Z_{rf}\\ Z_{fr}& Z_{ff}\end{array}\right]$

其中，Z_ff为自由体的阻抗矩阵，Z_rr为剩余部分的阻抗矩阵，Z_rf和Z_fr为剩余部分和自由体的互阻抗矩阵；

第5步：根据分块矩阵求逆公式和Sherman-Morrison-Woodbury公式，用导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵表示出减去自由体后剩余部分的阻抗矩阵的逆矩阵；

第6步：利用第5步得出的结果，将剩余部分的感应电流矩阵表示成与导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵和剩余部分的电压矩阵相关的形式，由此利用剩余部分的感应电流矩阵解出剩余部分的远场雷达散射截面RCS的值。

2.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第1步中，三角形面片的平均边长为0.1λ，λ为入射平面波的波长。

3.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第1步中，在三角形网格的公共边上定义的RWG基函数f_n(r)：

$f_n\left(r\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{l_n}{2A_n^{+}}{\mathrm{\ρ}}_n^{+}\left(r\right),r\∈T_n^{+}\\ \frac{l_n}{2A_n^{-}}{\mathrm{\ρ}}_n^{-}\left(r\right),r\∈T_n^{-}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，和表示第n个基函数所对应的正三角形面片和负三角形面片；l_n表示和公共边的长度；和分别表示正、负三角形面片的面积；是从的自由顶点指向上某点的矢量，是从上某点指向自由顶点的矢量；其中，自由顶点指该三角形中不属于公共边的定点，电流参考方向由流向

4.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第2步中，在导体目标表面建立的表面积分方程为：

$\hat{n}\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×\left({\mathrm{j\ω\μ}}_0{\∫}_{s}G\right(r,r^{\′}\left)J\right(r^{\′}){\mathrm{ds}}^{\′}-\▿\frac{1}{{\mathrm{j\ω\ϵ}}_0}{\∫}_{s}G(r,r^{\′}){\▿}_s^{\′}\·J\left(r^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′})=\hat{n}\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×E^i\left(r\right)---\left(2\right)$

其中，为单位矢量，j为虚数单位，k为波数，μ₀为自由空间磁导率，ε₀为自由空间电导率，为梯度算子，·为散度算子，J(r′)为导体目标上任一源点r′处的感应电流，G(r,r′)＝e^-jk|r-r′|/(4π|r-r′|)为自由空间格林函数，Eⁱ(r)是入射平面波电场，r是任一场点位置矢量，r′是任一源点位置矢量。

5.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第3步中，用定义的RWG基函数对表面积分方程进行离散，导体表面上的感应电流可以近似展开为

$J\left(r\right)\≈\underset{n=1}{\overset{N}{\Σ}}{I}_n{f}_n\left(r\right)---\left(3\right)$

其中，f_n(r)表示第n个RWG基函数，I_n表示与第n个RWG基函数所对应的系数，N是基函数的数目；

将(3)代入到(2)，然后利用矩量法得到阻抗矩阵方程

ZI＝V (4)

这里，Z表示阻抗矩阵，V表示电压矩阵，I表示待求解的电流系数，公式(3)里的I_n是I中第n行的元素，然后求出目标阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1，

Z中第p行第q列阻抗矩阵元素为：

$z_{pq}=jk\mathrm{\η}{\∫}_{T_p^{\±}}{\∫}_{T_q^{\±}}G(r,r^{,})\left(f_p\right(r)\·f_q(r^{\′})-\frac{1}{k^2}{\▿}_s\·f_p(r){\▿}_s^{\′}\·f_q\left(r^{\′}\right)){\mathrm{ds}}^{\′}ds---\left(5\right)$

其中，p和q表示第p和第q个基函数的编号，1≤p≤N，1≤q≤N，j为虚数单位，k为波数，为梯度算子，·为散度算子，G(r,r′)＝e^-jk|r-r′|/(4π|r-r′|)为自由空间格林函数，r是任一场点位置矢量，r′是任一源点位置矢量；

V中第p行电压元素表示为：

$v_p={\∫}_{T_p^{\±}}{f}_p\left(r\right)\·E^i\left(r\right)ds---\left(6\right)$

其中，和表示第p个基函数f_p(r)所对应的正三角形面片和负三角形面片，Eⁱ(r)是入射平面波电场。

6.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第5步中，

根据分块矩阵求逆公式，导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵Z^-1表示为：

$Z^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{Z}_{rr}& Z_{rf}\\ Z_{fr}& Z_{ff}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_{rr}& {\tilde{Z}}_{rf}\\ {\tilde{Z}}_{fr}& {\tilde{Z}}_{ff}\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，

${\tilde{Z}}_{rr}=Z_{rr}^{-1}+Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}---\left(9\right)$

${\tilde{Z}}_{rf}=-Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}---\left(10\right)$

${\tilde{Z}}_{fr}=-{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}---\left(11\right)$

${\tilde{Z}}_{ff}={(Z_{ff}-Z_{fr}{Z}_{rr}^{-1}{Z}_{rf})}^{-1}---\left(12\right).$

7.根据权利要求6所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第5步中，将的表达式(10)带入到的表达式(9)中，得出：

$\begin{array}{c}{\tilde{Z}}_{rr}=Z_{rr}^{-1}+Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}\\ =Z_{rr}^{-1}-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}\\ =\left(1-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr}\right)Z_{rr}^{-1}\end{array}---\left(13\right)$

其中，1为单位矩阵，所以得出，

$Z_{rr}^{-1}={(1-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr})}^{-1}{\tilde{Z}}_{rr}---\left(14\right)$

根据Sherman-Morrison-Woodbury公式，有所以式(14)式变为：

$\begin{array}{c}{Z}_{rr}^{-1}={\left(1-{\tilde{Z}}_{rf}{Z}_{fr}\right)}^{-1}{\tilde{Z}}_{rr}\\ ={\tilde{Z}}_{rr}+{\tilde{Z}}_{rf}{\left(1-Z_{fr}{\tilde{Z}}_{rf}\right)}^{-1}{Z}_{fr}{\tilde{Z}}_{rr}\end{array}---\left(15\right).$

8.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于第6步中，利用步骤5得到的减去自由体后剩余部分的阻抗矩阵的逆矩阵公式求解矩阵方程组Z_rrI_r＝V_r，得到剩余部分电流展开系数I_r：

$I_r=Z_{rr}^{-1}{V}_r={\tilde{Z}}_{rr}{V}_r+{\tilde{Z}}_{rf}{(1-Z_{fr}{\tilde{Z}}_{rf})}^{-1}{Z}_{fr}{\tilde{Z}}_{rr}{V}_r---\left(16\right)$

其中，V_r为剩余部分的电压矩阵，Z_rr ^-1为剩余部分的阻抗矩阵的逆，来自导体目标总阻抗矩阵的逆矩阵

${\tilde{Z}}_{rr}=Z_{rr}^{-1}+Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}---\left(9\right)$

${\tilde{Z}}_{rf}=-Z_{rr}^{-1}{Z}_{rf}{\tilde{Z}}_{ff}---\left(10\right)$

${\tilde{Z}}_{fr}=-{\tilde{Z}}_{ff}{Z}_{fr}{Z}_{rr}^{-1}---\left(11\right)$

${\tilde{Z}}_{ff}={(Z_{ff}-Z_{fr}{Z}_{rr}^{-1}{Z}_{rf})}^{-1}---\left(12\right)$

最终利用感应电流系数I_r解出剩余目标的远场雷达散射截面RCS，表示为：

$RCS=\underset{r\→\mathrm{\∞}}{\lim }4{\mathrm{\πr}}^2\frac{|E^s{|}^2}{|E^i{|}^2}---\left(17\right)$

其中，E^s为远场散射场，Eⁱ为入射场。

9.根据权利要求1所述的一种快速求解局部变化目标的电磁散射特性的方法，其特征在于，如果需要在最初的导体目标上减去一个不同的小自由体，按照第4步到第6步的步骤重新计算，即在多次分析计算中，只需要计算一次目标整体阻抗矩阵的逆Z^-1，之后无论从目标整体中减去的自由体是什么，目标剩余部分表面的感应电流都能利用第4步到第6步的步骤快速得到。